2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—6.不等式与线性规划

2011年—2018年新课标全国卷文科数学分类汇编
6．不等式、推理与证明
一、选择题
(2017·新课标Ⅰ，文7)设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
则z =x +y 的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
（2017·新课标Ⅱ，文7）设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+ 的最小值是（ ）
A. -15
B. -9
C. 1
D. 9
(2017·新课标Ⅲ，文5)设x ，y 满足约束条件32600
0x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则z x y =-的取值范围是（ ） A ．[]–30，
B ．[]–32，
C ．[]02，
D ．[]03，
(2014·新课标Ⅰ，文11)设x ，y 满足约束条件,
1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩
且z=x+ay 的最小值为7，则a= ( )
A ．-5
B ．3
C ．-5或3
D ．5或-3
（2014·新课标Ⅱ，文9）设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．8
B ．7
C ．2
D ．1
（2013·新课标Ⅱ，文3）设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则23z x y =-的最小值是（ ）
A ．-7
B ．-6
C ．-5
D ．-3 (2012·新课标Ⅰ，文5)已知正三角形ABC 的顶点A （1，1），B （1，3），顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）
在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是（ ）
A ．
（12） B ．（0，2） C ．
1，2） D ．（0
，1+
二、填空题
(2018·新课标Ⅰ，文14) 若x y ，满足约束条件220
100x y x y y --⎧⎪
-+⎨⎪⎩
≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．
(2018·新课标Ⅱ，文14) 若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-⎧⎪
-+⎨⎪-⎩≥≥≤ 则z x y =+的最大值为__________．
(2018·新课标Ⅲ，文15)若变量x y ，满足约束条件23024020.
x y x y x ++⎧⎪
-+⎨⎪-⎩
≥，
≥，≤则13z x y =+的最大值是________．
(2016·新课标Ⅰ，文16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5kg ，乙材料0．3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．
（2016·新课标Ⅱ，文14）若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则z =x -2y 的最小值为__________
(2016·新课标Ⅲ，文13)设x ，y 满足约束条件2102101x y x y x -+⎧⎪
--⎨⎪⎩≥≤≤，则235z x y =+-的最小值为______．
(2015·新课标Ⅰ，文15)若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩
，则z =3x +y 的最大值为 ．
（2015·新课标Ⅱ，文14）若x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤+-≥--≤-+0120120
5y x y x y x ，则y x z +=2的最大值为 .
(2013·新课标Ⅰ，文14)设x ，y 满足约束条件13,
10,
x x y ≤≤⎧⎨
-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______．
(2011·新课标Ⅰ，文14)若变量x ，y 满足约束条件329
69x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
，则2z x y =+的最小值为 ．
2011年—2018年新课标全国卷文科数学分类汇编
6．不等式、推理与证明（解析版）
一、选择题
(2017·新课标Ⅰ，文7)设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
则z =x +y 的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解法】如图，目标函数z x y =+经过(3,0)A 时最大，故max 303z =+=，故选D ．
（2017·新课标Ⅱ，文7）设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+ 的最小值是（ ）
A. -15
B. -9
C. 1
D. 9
【答案】A 解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B (-6，-3)处取得最小值12315z =--=- .故选
A.
(2017·新课标Ⅲ，文5)设x ，y 满足约束条件32600
0x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则z x y =-的取值范围是（ ） A ．[]–30，
B ．[]–32，
C ．[]02，
D ．[]03，
【答案】B 解析：方法1：作出可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()0,3A 处取得最小值033z =-=-． 在点()2,0B 处取得最大值202z =-=．选B ．
方法2：画图，求出三条线的交点分别为()0,0A ，()0,3B 与()2,0C ，由图形可知三条线围城的是一个
封闭的图形，所以可以采用代点的方法求解．即000A Z =-=；033B Z =-=-；202C Z =-=．故选B ．
(2015·新课标Ⅰ，文5)已知正三角形ABC 的顶点A （1，1），B （1，3），顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是（ ）
A ．
（12） B ．（0，2） C ．
1，2） D ．（0
，1 【解析】正△ABC 内部如图所示，
A （1，1），
B （1，3），C
（12）．
将目标函数z x y =-+化为y x z =+， 显然在B （1，3）处，max 132z =-+=；
在C
（1+2
）处，min (121z =-+=．
因为区域不包括端点，所以12z <<，故选择A ．
(2014·新课标Ⅰ，文11)设x ，y 满足约束条件,
1,
x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩且z=x+ay 的最小值为7，则a= ( )B
A ．-5
B ．3
C ．-5或3
D ．5或-3 解：联立x+y=a 与x-y =-1解得交点M 11
(
,)22
a a -+，
z 取得最值11722a a a -++⨯=，解之得a =-5或a =3． 但a =-5时，z 取得最大值，舍去，所以a =3，故选B ．
（2014·新课标Ⅱ，文9）设x ，y 满足的约束条件10
10330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．8
B ．7
C ．2
D ．1
【答案】B 解析：画出可行域为如图所示，由2z x y =+，得122z y x =-
+，平移直线122
z
y x =-+，由图象可知当直线122z y x =-
+经过A 点时，直线122
z
y x =-+的截距最大，此时z 最大． 由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得32
x y =⎧⎨=⎩，即A (3，2)，
此时z 的最大值为z =3+2×2=7
（2013·新课标Ⅱ，文3）设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则23z x y =-的最小值是（ ）
A ．-7
B ．-6
C ．-5
D ．-3
【答案】B 解析：由约束条件作出可行域如图所示，由z =2x -3y 得233
z
y x =
-. 平移直线233z y x =
-，由图象可知当直线233
z
y x =-经过点B 时，y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得3
4
x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ，代
入直线z =2x -3y 得32346z =⨯-⨯=-，故选B.
(2012·新课标Ⅰ，文5)已知正三角形ABC 的顶点A （1，1），B （1，3），顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）
在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是（ ）
A ．
（12） B ．（0，2）
C ．
1，2） D ．（0
，1+
【答案】A 解析：有题设知C
，作出直线l 0：0x y -+=，平移直线l 0，有图像知，直线:l z x y
=-+过B 点时，max z =2，过C 时，min z
=1∴z x y
=-+取值范围为
(12)，故选A.
二、填空题
(2018·新课标Ⅰ，文14)若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪
-+⎨⎪⎩
≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．
【答案】6 解析：约束条件可行域如下图：
可行域如上图阴影部分：目标函数32z x y =+可化为322
z y x =-+ 将3
2
y x =-
进行平移，可得在(2,0)B 处距最大，即z 最大，将2,0x y ==，代入得max 6z = 【基本解法2】（交点法）将方程22022010
,,1000
x y x y x y x y y y --=--=-+⎧⎧⎧⎨⎨⎨
-+===⎩⎩⎩≥
两两求解得交点坐标为(4,3),(2,0),(1,0)---，代入一一检验即可，max 6z =．
(2018·新课标Ⅱ，文14)若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-⎧⎪
-+⎨⎪-⎩≥≥≤ 则z x y =+的最大值为__________．
【答案】9 解析：250
5,050x y x y x +-=⎧⇒==⎨
-=⎩，
230
5,450x y x y x -+=⎧⇒==⎨
-=⎩，
230
1,2250x y x y x y -+=⎧⇒==⎨
+-=⎩，
将上述点的坐标代入目标函数中可知：max 9z = (2018·新课标Ⅲ，文15)若变量x y ，满足约束条件23024020.
x y x y x ++⎧⎪
-+⎨⎪-⎩
≥，
≥，≤则13z x y =+的最大值是________．
【答案】3解析：由图可知在直线240x y -+=和2x =的交点(2,3)处取得最大值，故1
2333
z =+⨯=
.
(2016·新课标Ⅰ，文16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5kg ，乙材料0．3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 解析：216000． 设生产产品A ，B 的件数分别为,x y ，获得利润为z 元，
则,x y 满足约束条件为：,1.50.51500.39053600
x y x y x y x y ∈⎧⎪+⎪
⎨+⎪⎪+⎩N
………，
目标函数为()210090030073z x y x y =+=+，画出满足不等式组的可行域，如图所示．
联立536000.390x y x y +=⎧⎨+=⎩，得60
100x y =⎧⎨=⎩
，即()60,100A ．移动目标函数73900z y x =-+，
可得到当其经过点()60,100A 时，z 有最大值216000．故填216000．
（2016·新课标Ⅱ，文14）若x ，y 满足约束条件10
3030x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则z =x -2y 的最小值为__________
【答案】-5解析：由1=03=0x y x -+⎧⎨-⎩
得=3
=4x y ⎧⎨⎩，将点A (3，4)代入z =x -2y 得最小值为-5.
(2016·新课标Ⅲ，文13)设x ，y 满足约束条件210
2101x y x y x -+⎧⎪
--⎨⎪⎩
≥≤≤，则235z x y =+-的最小值为______．
【答案】10- 解析 如图所示，可行域为ABC △及其内部，其中()()()1,0,1,1,1,3A B C --，直线
235z x y =+-过点B 时取最小值10-．
B (
(2015·新课标Ⅰ，文15)若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩
，则z =3x +y 的最大值为 ．4
【答案】4解析：作出可行域四边形ABC ，如图．
画出直线l 0：3x +y =0，平移l 0到l ，
当l 经过点A 时z 最大，联立x+y -2=0与x -2y +2=0 解得交点A (1,1)，所以 z max =4．
（2015·新课标Ⅱ，文14）若x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤+-≥--≤-+0120120
5y x y x y x ，则y x z +=2的最大值为 .
【答案】8解析：不等式表示的可行域是以(1, 1)，(2, 3)，(3, 2)为顶点的三角形区域，z = 2x + y 的最大值必在顶点处取得，经验算，当x =3，y =2时，z max =8.
(2013·新课标Ⅰ，文14)设x ，y 满足约束条件13,
10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩
则z ＝2x －y 的最大值为______．
【答案】3解析：画出可行域如图所示．
画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3．
(2011·新课标Ⅰ，文14)若变量x ，y 满足约束条件329
69
x y x y ≤+≤⎧⎨
≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 ．
【答案】6- 解析：在坐标系中画出可行域，如下图．
可知当直线过点A 时取得最小值，由230
(4,5)90x y A x y +-=⎧⇒-⎨--=⎩
，
可得A 的坐标为(4,5)-，故2z x y =+的最小值为6-． 故答案为6-．
=
9-=。