选修1-1双曲线性质导学案

§1.3.2 双曲线的简单几何性质

编制：曹树建审核：陈李琼

学习目标：

1．掌握双曲线的简单几何性质．

2．了解双曲线的渐近性及渐近线的概念．

3．能区别椭圆与双曲线的性质．

学习重点：双曲线的简单几何性质

学习难点：双曲线的渐近性及渐近线

课前预习案

教材助读：

阅读教材56-58页的内容，思考并完成下列问题：

1．双曲线的几何性质

标准方程x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0) 图形

性质

范围_______________ _______________

对称性

对称轴：________

对称中心：____

对称轴：________

对称中心：____

顶点

_____________________ ______________________________

坐标

渐近线_______________ _______________

离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)

2.等轴双曲线

实轴和虚轴________的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是________.

3．弦长公式

设斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则：|AB|＝，或|AB|＝

预习训练

1、求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程

2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( )

A.x24－y212＝ 1

B.x212－y24＝ 1

C.x210－y26＝

1 D.x26－y210＝1

3．双曲线的渐近线方程为y＝±34x，则双曲线的离心率是( )

A.54 B．2 C.54或53 D.5)2或15)3

4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±3)3x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为______________．

5．求满足下列条件的双曲线方程：

(1)离心率为54，半虚轴长为2；

(2)与椭圆x2＋5y2＝5共焦点且一条渐近线方程为y－3x＝0.

．

§1.3.2 双曲线的简单几何性质

当堂训练

1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )

A．2 B．22

C．4 D．42

2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( ) A．－14 B．－4

C．4 D.14

3．若双曲线x28－y2m＝1的渐近线方程为y＝±2x，则实数m等于( ) A．4 B．8 C．16 D．32

4．若直线x＝a与双曲线x24－y2＝1有两个交点，则a的值可以是( ) A．4 B．2 C．1 D．－2

5．设a>1，则双曲线的离心率e的取值范围是( )

A．(2，2) B．(2，5)

C．(2,5) D．(2，5)

合作探究

6．设F1、F2分别是双曲线x2－y29＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且?·?＝0，则|?＋?|等于( )

A．25 B.5

C．210 D.10

7．已知(2,3)在双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为______________．

9．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线

y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．

当堂训练

10．(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±34x，求双曲线的离心率．

(2)双曲线的离心率为2，求双曲线的两条渐近线的夹角．

11．设F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使

∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，求双曲线的离心率．

课后拓展

12．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝213，

椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求这两曲线方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积．

1、解析：双曲线标准方程为x24－y28＝1，故实轴长为4.

2、解析：∵mx2＋y2＝1是双曲线，∴m<0，且其标准方程为y2－x21－m＝1.

又∵其虚轴长是实轴长的2倍，∴－1m＝4，即m＝－14.答案：A

3、解析：由题意，得双曲线焦点在x轴上，且a2＝8，b2＝m，∴a＝22，b＝m.

又渐近线方程为y＝±2x，∴m8＝4.∴m＝32.答案：D

4、解析：∵双曲线x24－y2＝1中，x≥2或x≤－2，∴若x＝a与双曲线有两个交点，则a>2或a<－2，故只有A选项符合题意．答案：A

5、解析：e＝ca＝b2＋a2a2)

＝\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1a)))2＝\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1a)))2.

∵a>1，∴0<1a<1，∴1<1＋1a<2，∴2

6、解析：由题意，可知双曲线两焦点的坐标分别为

F1(－10，0)、F2(10，0)．设点P(x，y)，

则?＝(－10－x，－y)，?＝(10－x，－y)，

∵?·?＝0，∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.

∴|?＋?|＝|\o(PF1→)→)→)→))＝2x2＋y2＋20＝210.

7、解析：∵2c＝4，∴c＝2，则b2＝c2－a2＝4－a2，

故4a2－94－a2＝1得a2＝1，a＝1，∴e＝ca＝2.答案：2

9、解析：由条件知双曲线的焦点为(4,0)，

所以a2＋b2＝16，b3)，解得a＝2，b＝23，

故双曲线方程为x24－y212＝1.答案：x24－y212＝1

10、解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y＝±34x，

∴ba＝34或ba＝43.当ba＝34时，e＝54；当ba＝43时，e＝53.

(2)∵e＝ca＝2，∴a2＋b2)a＝2即a＝b，

∴双曲线渐近线方程为y＝±x.∴双曲线两条渐近线的夹角为90°.

11、解：∵AF1⊥AF2，

∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2.①

∵|AF1|＝3|AF2|，

∴点A在双曲线的右支上．则|AF1|－|AF2|＝2a，

∴|AF2|＝a，|AF1|＝3a，代入到①式得(3a)2＋a2＝4c2，c2a2＝104.∴e＝ca＝10)2.