第 四 章 几何元素的相对位置
七年级数学上册第4章 几何图形初步思维导图
图形的初步认识立体图形的展开与折叠
几何体的展开
正方体的表面展开图
棱柱的表面展开图
圆柱的表面展开图
圆锥的表面展开图
折叠将平面展开图折叠成立体图形
常见的平面图形
直线两点确定一条直线
射线
线段
性质两点之间线段最短
中点
比较长短
度量法
叠合法
角
概念及表示方法
角的大小比较
度量法
1°=60'
1'=60''
叠合法
角的平分线
余角和补角
余角α与β互余：∠α+∠β=90°
补角α与β互补：∠α+∠β=180°
方向角和方位角
常见的立体图形
棱柱
圆柱上下底面是圆，侧面是曲面
棱柱
棱柱的所有侧棱长都相等
棱柱的上、下底面的形状相同
n棱柱有（n+2）个面、2n个顶点、3n条棱
锥体
圆锥底面是圆，侧面是曲面
棱锥底面是多边形，侧面是三角形
球由一个曲面围成
图形的构成元素
点点动成线
线线动成面
面面动成体
面与面相交得到线，
线与线相交得到点
立体图形的视图
主视图从正面看反映几何体的长和高
左视图从左面看反映几何体的宽和高
俯视图从上面看反映几何体的长和宽
视图到立体图形
七巧板的组成5块等腰直角三角形（2小形三角形、1块中形三角形和2块大形三角形）、
1块正方形和1块平行四边形
七年级数学上册 第四章 几何图形初步。
高二数学必修二 第四章 圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔 等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ； 干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的间隔 为22B AC Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k ，②若求得两个一样的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线肯定为另一条切线）(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与（差），与圆心距（d ）之间的大小比拟来确定。
工程制图第四章
4-26 过直线AB作平面(用三角形表示)平行 已知直线MN。
4-26 过直线AB作平面(用三角形表示)平行 已知直线MN。
4-27 过点D作平面平行已知平面。
4-27 过点D作平面平行已知平面。
4-28 已知△DEF和直线MN均平△ABC,试 补全它们的投影。
4-28 已知△DEF和直线MN均平△ABC,试 补全它们的投影。
4-40 已知直角△ABC的一直角边AB,并知其 斜边AC平行直线DE,试完成△ABC的投影。
4-41已知直角△ABC的一直角边AB,另一直角 边BC∥ △DEF,且长度为20mm,试完成△ABC的 两投影。
4-41已知直角△ABC的一直角边AB,另一直 角边BC∥ △DEF,且长度为20mm,试完成△ABC 的两投影。
4-3.过点M作一正平线MN与AB相交于N点。
4-3.过点M作一正平线MN与AB相交于N点。
4-4 判断直线MN是否属于给定平面。 答＿＿
4-4 判断直线MN是否属于给定平面。 答＿否＿
4-5 直线AD属于已知平面,求直线的另一投影。
4-5 直线AD属于已知平面,求直线的另一投影。
4-6 已知三角形ABC和三角形DEF共面,试 补出三角形DEF的另一投影。
4-8 试完成五边形ABCDE的水平投影。 解法一
4-8 试完成五边形ABCDE的水平投影。 解法二
4-9 过A点作直线段AB平行于CD,AB=30mm。
4-9 过A点作直线段AB平行于CD,AB=30mm。
4-10 过A点作一水平线AB与CD相交。
4-10 过A点作一水平线AB与CD相交。
4-42 求两平行平面间的距离。
4-42 求两平行平面间的距离。
人教版初中数学七年级上册教学课件 第四章 几何图形初步 点、线、面、体
检测反馈
1.将一个长方形绕它的一条边所在直线旋转一周，
所得的几何体是（ A ）
A．圆柱
B．三棱柱
C．长方体
D．圆锥
2.将如图所示的Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋 转一周，所得几何体从左面看是下图中的（ D）
A．
B．
C．
D．
3.假如我们把笔尖看作一个点，当笔尖在纸上移
动时，就能画出线，说明了 点动成线
如果把汽车雨刷看成一条线，从几何的角度来观 察它在挡风玻璃上摆动时的现象，你可以得出什 么结论？
结论：线动成面
举出生活中能够说明“线动成面”这一结论的 例子
既然“点动成线，线动成面”， 那么当面运动时又会形成什 么图形？
把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来
观察电视屏幕上的画面、大型团体操的背景图案。 从几何的角度观察它们有什么共同特点？你能发 现构成几何图形的基本元素是什么吗？
新课标 人
数学
7年级/上
七年级数学·上 新课标 [人]
第四章 几何图形初步
4.1.2 点、线、面、体
学习新知
检测反馈
下图的模型，有_6___个面，面与面相交形成了
·· ·· 1_2__条线,棱与棱相交形成__8__个顶点。 ·· ··
学习知
想一想:从外形中分别可以抽象出什么立体图形？ 归纳:长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、 棱锥等都是几何体，几何体简称体.
由此,我们认为几何图形都是由_点__、 _线__、 _面__、 _体__组成的,_点__是构成图形的基本元素.
1.几何图形是由点、线、面、体组成的，点 是组成图形的基本元素。
2.线可以是直的，也可以是曲的.面有平面和 曲面之分。
第四章点线面的投影 (1)
Δy
ΔΖ
β
Δy α 实长
例2 已知直线AB的H投影及a′,其α为30°，求AB的 V投影。
b'
△Z
△Z
α
例3 已知ab，b′，β=30°,求a′b′。 a′
b′
a′b′
b
60°
a
例4 已知AB实长40㎜，点A距V面30㎜，求ab， 问有几解？
例5 已知AB＝40㎜，α＝30°，β=45°，求AB的两投影。
用定比关系,如图中的（2）。
三、交叉两直线—既不平行又不相交的两条 直线
（ 1）
（ 2）
（ 3）
投影特性：交叉两直线的投影可能表现为相互平
行，但不可能所有同面投影均平行，如上图中 （1）;交叉两直线的投影也可能表现为相交，但 同面投影的交点不是真正交点的投影,不满足投影 规律，如上图示（2）、（3）。
例3
求AB、CD的公垂线（或距离）。 a' n' b' n a(b)
距离
c' m'
d'
c
m d
作业：
P21-28。
§4-6 平面的投影
平面的表示方法 平面的分类及其投影特性
一、平面的表示方法
b' a' b a c c' a' b b' c'
a
不在一条直线 上的三个点
c
直线及直线 外一点
a′ b′
a〞 b〞
a b
若zA ＞ zB ，表示A在B之上。
右图中,A在B的左后上方。
重影点及其可见性判定：
如果空间两点恰好位于某一投影面的一条垂 线上，该两点在该投影面上的投影重合为一点， 则称这两点为对该投影面的重影点。
人教版七年级数学第四章《几何图形初步》知识点汇总
人教版七年级数学第四章《几何图形初步》知识点汇总七年级数学期末复第四章《几何图形初步》知识点汇总1.几何图形①定义：几何图形是从实物中抽象出来的各种图形。
②分类：几何图形分为平面图形和立体图形。
③平面图形：图形所表示的各个部分都在同一平面内，如直线、三角形等。
④立体图形：图形所表示的各个部分不在同一平面内，如圆柱体。
2.常见的立体图形①柱体：A棱柱，B圆柱。
②椎体：A棱锥，B圆锥，球体等。
3.立体图形的三视图从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体，然后描出三张所看到的图（分别叫做正视图、俯视图、左视图），这样就可以把立体图形转化为平面图形。
①会观察小正方体堆积图形画出三视图。
②会根据三视图知道堆积的小正方体的个数。
4.立体图形的展开图①圆柱的平面展开图是矩形。
②圆锥的平面展开图是扇形。
③ n棱柱的侧面展开图是n个形，n棱柱有个底面，都是n边形，n棱柱的平面展开图是多边形。
④ n棱锥的侧面展开图是n个形，n棱锥有个底面，是n 边形，n棱锥的平面展开图是多边形。
⑤正方体的展开图共分四类。
①掌握在正方体展开图中找相对面的方法。
②会根据展开图中的图案判断是哪个图形的展开图。
5.点、线、面、体几何图形的组成：由点、线、面、体组成。
点是构成图形的基本元素，点动成线，线动成面，面动成体。
6.直线①点与直线的位置关系：第一种关系：点在直线上，或者说直线经过点；第二种关系：点在直线外，或者说直线不经过点。
②直线公理：经过两点有且只有一条直线（简称：两点确定一条直线）。
7.直线与直线的位置关系①同一平面内，两条直线的位置关系分为平行和相交。
②当两条不同的直线相交时，我们就称这两条直线相交，这个点叫做它们的交点。
8.射线①表示方法：端点字母必须写在前。
②判断两条射线是同一条射线的方法：它们有一个公共端点，并且在这个公共端点的一侧的点相同。
9.线段①基本性质：线段是有限长的直线段，有两个端点。
②两点之间的距离是线段的长度。
第四章 投影变换
分析
因 直 线 MN 平 行 于 △ ABC 且相距20㎜，所以MN必定位于 与△ABC平行且相距20㎜的平 面P上。当△ABC 为投影面的 垂直面时作图简便，为此选用变 换投影面法。
B M P N m a C
A n
x
V H
b
c
变换到利于解题的位置（如 图所示）仅需要一次换面。
A a
o
o1
B
b
b’1
a x1 b’1
a2
(b2)
⒈ 空间分析 直线AB为一般位置直线， ② 过a,b 要将其变为投影面的垂直线必 作直线 须经过两次变换。 ⊥ o1x1
a’1
④ 作直线 a’1和b’1
⑤ 作轴 o2x2 ⊥ a’1b’1
§4－2 变换投影面法
（三）把一般位置平面变为投影面的垂直面
§4－1 概述
几何元素的特殊位置和一般位置的比较 求平面实形 求点到平面 的距离 求两交叉直线 求两平面夹角 间的最短距离 d’c’ c’ a’
x x x x
x x x x
a’(d’) d’ a’ c’ c’
a’ d’ b’(c’)f’ a’ b’ m’ b’ e’ c’b’
0 0 0 0
a’ d’ a’ b’
n
作图
PH1
m1 b1 a1 (d1) d′ n1
c1
c′
o d
c
AD∥OX
§4－2 变换投影面法
方法2 变换V面
b′ m′ a′ V x H a m n d c n′ b
作图
d′ c′ o
① 作水平线AD； ② 作轴o1x1⊥水平线AD； ③ 作⊿ABC的V1面投影； ④ 作P面∥⊿ABC且相距20㎜； ⑤ 在变换中，点的高度是不变量；
第 四 章 几何元素的相对位置
H
③平面的坡角与法线的倾角互余 (ϕH+θH=90°)
O L3
L2
P
Y
a` n`
l1`
(3) 主直线平面
l2`
l1
n
a
l2
平面用一对相交主直线表示
平面以其他形式表示
n`⊥正平线的V投影 n ⊥水平线的H投影
(4)基本作图题 ① 过定点作平面的法线 例 过定点A作直线L垂直于平面P
A N
P
a`
p`
面⊥面 线⊥线 掌握: 几何条件 基本作图
4.直角投影定理 5.可见性判断
穿点 重影点 6.两种方法: (1)直角三角形法求实长与倾角 (2)面上取线和面上取点的方法
2.5.4 综合问题
1. 综合的意义: (1) 几何元素的综合 (2) 条件的综合
2. 方法： (1) 交轨法 (2) 反推法
3. 步骤： (1) 空间分析 (2) 投影作图 (3) 讨论解答
(2)辅助平面法求穿点 例 已知直线L和平面P的投影, 求L对平面P的穿点
k` Rv
l` P
p`
p l
k
适用范围: 一般位置平面
L R
K
(3) 穿点法求面面交线 例 在上例中添加一条L1的平行线L2, 则L1L2构成平面R, 求平面P与R的交线
l1`
Sv qv
k1` k2` p`
l2` P
L1 L2
A
K P
A Q
P
K
2. 平面与平面垂直
(1) 几何条件
(2) 投影作图
N
①过A点作平面Q
Q3
垂直于平面P
Q1
A Q2
n`
p`
七年级数学第四章《图形的认识》知识要点解析
七年级数学第四章：图形的认识一、图形的构成：点→线→平面图形→立体图形二、点：1、最基本的几何图形构成元素2、常见的点：端点、中点、任意分点、交点、特殊位置的点3、探究内容：距离、位置关系（与点、线及其其它图形）三、线：最重要的图形研究对象分类：直类：直线、射线、线段；曲类：圆、圆弧、椭圆、抛物线、波形线、不规则曲线等。
（一）、直线：以任意点为基础，在其两个互逆方向上的所有点与这个点的集合；或者说一个点从某一点出发，在其完全互逆的方向上运动的轨迹。
注意：1、它没有端点，向两方无限延伸，长度无限，无法测量。
2、直线一般用表示直线上任意两点的大写字母表示，或者用一个小写字母表示。
3、两点确定一条直线，4、同一平面内，两直线的位置关系：相交 {有一个公共点} 或者平行（无公共点）（重合所有点都为公共点，可以理解成特殊的相交或者平行）（二）、射线：以某一点为基础，在其一个方向上的所有点与这个点的集合；或者说一个点从某一点出发，在其一个方向上运动的轨迹。
注意：1、它有一个端点，向一方无限延伸，长度无限，无法测量2、射线用两个大写字母表示，表示端点的字母写在前面，在两个字母前加上“射线”；或者用一个小写字母表示。
（三）、线段：直线或者线段上某两点及其之间的所有点的集合；或者说一个点从某一点出发，向着另外一点的方向运动，运动到那个点的轨迹。
注意：1、有两个端点，长度可以测量，线段之间可以进行长短的比较（度量法与叠合法）。
2、我们把两点之间线段的长度称为两点之间的距离。
两点之间线段最短。
3、线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，或者说直线上到两个端点距离相等的点。
4、常见的线段：边、高、中线、角分线、中位线、对角线、半径、直径、弦、弦心距、切线等.5、线段上的点的个数n与这些点所组成的线段条数N之间的关系：N=()12 n n-四、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。
人教版七年级数学上册第四章知识点总结及阶梯练习
人教版七年级数学上册第四章知识点总结第四章图形的初步认识1、几何体也简称为体，包围体的是面，面面相交为线，线线相交为点；点动成线，线动成面，面动成体，几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。
2、线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点；线段可以度量，直线、射线不能度量。
3、直线、线段性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线；或者说两点确定一条直线；两点之间，线段最短。
4、角的意义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
角的大小的比较：（1）叠合法，使两个角的顶点及一边重合，另一边在重合边的同旁进行比较；（2）度量法。
角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线二、基础知识巩固1、如图所示，讲台上放着一本书，书上放着一个粉笔盒，指出右边三个平面图形分别是左边立体图形的哪个视图。
（1）（2）（3）2、（1）过一个已知点的直线有多少条？答：（2）过两个已知点的直线有多少条？答：（3）过三个已知点的直线有多少条？答：（4）经过平面上三点A，B，C中的每两点可以画多少条直线？请画出图来。
（5）根据（4）的结论，猜想经过平面上四点A，B，C，D中的任意两点画直线，会有什么样的结果？如果不能画，请简要说明理由；如果能画，请画出图来。
3、（1）计算：①27°42′30″＋1070′；②63°36′－36.36°。
（2）用度、分、秒表示48.12°。
（3）用度表示50°7′30″。
4、小明从A点出发，向北偏西33°方向走33 m到B点，小林从A点出发，向北偏东20°方向走了6.6 m到C点，试画图确定A，B，C三点的位置（1cm表示3m），并从图上求出点B，C的实际距离。
5、已知点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，CD=2．5厘米，请你求出线段AB、AC、AD、BD的长各为多少？6、如图，经过直线a外一点p的４条直线中，与直线a平行的直线有___,共有__条．∠A与∠C__________．7、如图，如果AB∥CD，那么8、如图中几何体的展开图形是（）A B C D9、如图是某些几何体的表面展开图，则这些几何体分别是 图1： 图2： 图3：10、若要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上 两个数之和为6，x=_ ___，y=______.11、俯视图为圆的立体图形可能是________或___________。
七年级数学上册第四章几何图形初步4.1几何图形4.1.2点、线、面、体课件(新版)新人教版
图4-1-2-2
图4-1-2-3 解析 A是由4旋转得到的,B是由2旋转得到的,C是由1旋转得到的,D是 由3旋转得到的. 点拨 利用面动成体这一性质解题.
题型二 探索几何体的顶点、棱、面之间的关系 例2 新年晚会会场上,悬挂着五彩缤纷的小装饰,其中有各种各样的立 体图形,多面体是其中的一部分,多面体中围成立体图形的每一个面都 是平的,没有曲的,如棱柱、棱锥等,如图4-1-2-4.
)
答案 B
5.如图,第二行的图形绕虚线旋转一周,便形成第一行的某个图形(几何 体),将对应的两个图末)圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋 转一周得到的,那么图4-1-2-1是以下四个图形中的哪一个绕着直线旋转 一周得到的 ( )
图4-1-2-1
初中数学（人教版）
七年级 上册
第四章 几何图形初步
知识点 点、线、面、体
重要提示 (1)几何图形都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形 的基本元素.点、线、面、体经过运动变化,就能组合成各种各样的几 何图形,形成多姿多彩的图形世界. (2)一般地,有曲面的几何体都可以由某个平面图形旋转得到.将一个平 面图形旋转成立体图形,既与平面图形的形状有关,也与平面图形旋转 时所绕的轴有关,因此在分析平面图形旋转后得到的立体图形时,要综 合分析平面图形的形状和旋转轴两个因素.
解析 分三种情况进行讨论. ①以8 cm长的边所在直线为轴,旋转得到的圆锥的体积V1= ×π×62×8=9 6π(cm3). ②以6 cm长的边所在直线为轴,旋转得到的圆锥的体积V2= ×π×82×6=1
1 3 1 3
28π(cm3).
③以10 cm长的边所在直线为轴,旋转得到的几何体是由两个同底面的 圆锥组成的,设圆锥底面的半径为r cm,则有 ×6×8= ×10×r,解得r=4.8.
03几何元素间的相对关系
例子
（四）平面上的最大斜度线
• 平面上和某投影面倾角最大的直线，称 为该平面对某投影面的最大斜度线。 • 特性 1.平面对某投影面的最大斜度线与平 面内该投影面的平行线相垂直。 2.平面对某投影面的最大斜度线与该 投影面的夹角，就是平面与该投影面的 夹角。
• 证明
求平面倾角
（五）综合问题求解
有无数解
n
c m
●
b
n a
●
c
m
例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。
b cm
●
n
正平线
a a
c m
●
n
b
唯一解
⒉ 两平面平行
① 若一平面上的两相 交直线对应平行于另 一平面上的两相交直 线，则这两平面相互 平行。 ② 若两投影面垂直面 相互平行，则它们具 有积聚性的那组投影 必相互平行。
投影法基础
第四章 几何元素间的相对关系
直线与平面及两平面的相对位置 相对位置包括平行、相交和垂直。 （一）、平行问题
包 括
⒈ 直线与平面平行
直线与平面平行 平面与平面平行
定理：
若一直线平行于平面上的某一直 线，则该直线与此平面必相互平行。
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
有多少解？ a b
b
如何判别？ 可通过正面投影 直观地进行判别。
⑵
b e m f ● a e
● ● ●
空间及投影分析
n 1 ● 2 c h 平面EFH是一水平面，它的 正面投影有积聚性。ab与ef 的交点m 、 b c与f h的交点 n即为两个共有点的正面投影， 故mn即MN的正面投影。
⑴
a b e ● m(n)
人教版七年级上册数学第4章 几何图形初步 点、线、面、体
你能从下面几何体中找出点、线、面吗？
知2－讲
思考：体是由什么围成的？它们有什么不同？ 体是由面组成 面与面相交成线 线与线相交成点
知2－讲
物体的运动会留下运动轨迹,这些运动轨迹往往也能 抽象成几何图形.如果把笔尖看成一个点,这个点在 纸上运动时,形成的图形是什么?动手试一试.
归纳结论: 点动成线.
知2－练
3如图所示的几何体是由哪个图形绕虚线旋转一 周形成的( )A
１.谈一谈你认识到的点、线、面、体及它们之间的 关系． ２.说一说通过今天的学习你对周围环境有了哪些新 的认识． ３.想一想在获得一个结论的过程中，我们都经历哪 几个环节，这对你将来探索新知识有何帮助？
完成教材P120练习T1，T2， P122习题4.1T5
4.1几何图形
第四章几何图形初步
第5课时点、线、面、体
1 课堂讲解 图形的构成元素及关系
曲面几何的形成方法
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
问题：物体的构成往往包含多种元素，几何图形也是如 此.观察长方体模型，它有几个面？面与面相交的地方 形成了几条线？线与线相交成几个点，三棱柱呢？
知2－讲
点 点动成线
线
线动成面
面
面动成体
体
线与线相交形成点
面与面相交形成线 包围着体的部分是面
知2－讲
例2笔尖在纸上快速滑动写出了一个又一个字，这 说明了______点__动_；成车线轮旋转时，看起来像一个 整体的圆面，这说明了_______线__动_；成直面角三角 形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形 成了一个圆锥，这说明了______面__动_．成体 导引：构成图形的要素是点、线、面，其中点是构 成图形的最基本元素，判断图形构成情况时， 有三种情况：点动成线，线动成面，面动成 体，通过实际情景，逐一分析便可得结果．
七年级数学第四章 简单的几何图形 第1、2、3小节北京实验版知识精讲
七年级数学第四章简单的几何图形第1、2、3小节实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：第四章简单的几何图形第1、2、3小节［教学要求］1. 了解平面图形与立体图形的概念，认识长方形、圆、三角形等平面图形，认识圆柱、圆锥、长方体、正方体、球、棱柱、棱锥等几何体，并能用语言描述它们的某些特征。
2. 了解圆柱、圆锥、长方体、棱锥、棱柱等几何体的平面展开图，并能正确地判断和制作简单的立体模型。
3. 初步体会从不同的方向观察立体图形或实物，可能会看到不同的图形。
4. 通过实例认识点、线、面、体，感受它们之间的关系，从构成图形的基本元素的角度认识常见的几何图形的某些特征。
二. 重点、难点：1. 认识现实生活中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、棱锥、球，使自己发展空间观念，培养动手能力，积累数学活动的经验。
2. 从构成图形的基本元素认识几何图形及某些特征。
知道常见立体图形的平面展开图，能借助于常见立体图形的平面展开图制作简单的立体图形。
3. 对“点动成线，线动成面，面动成体”及“面交成线，线交成点”的事实的认识。
［课堂教学］（一）知识要点：1. 平面图形与立体图形我们知道，图形是由点、线、面构成的，图形可分为立体图形和平面图形，平面图形是组成平面图形的元素（点、线）都在同一平面内。
立体图形，顾名思义，组成立体图形的元素（点、线、面）在不同的平面内，它们具有一定的长度、宽度和厚度，能占据一定的空间。
如图常见的实物图片：（1）厅柜；（2）长、宽、高都相等的礼品包装盒；（3）铁桶；（4）天坛最上一层的建筑；（5）居民住宅的屋檐以上部分；（6）螺母；（7）砖塔；（8）足球。
如图1图1图2图2是由实物图片图1抽象出来的图形，它们都是立体图形，而长方形、圆、三角形都是平面图形。
如图：注意：几何体与实物有着密切联系，又与实物不同。
几何体反映了实物的形状，是从具体实物中抽象出来的几何图形。
例如：砖、牙膏盒等是生活中的实物，其形状具有共同特征（具有六个面：相对的两个面是大小相等的长方形；有12条棱、8个顶点等）。
第四章点、直线、平面的正投影规律
图29 直线与一般位置平面相交
求直线与一般位置平面的交点K，可按下面 三个步骤进行：
1、过已知直线AB作一铅垂面P位置平面）相 交，为，作为辅助面。
2、求出辅助面P与已知平面的交线MN的投影。 3、求出MN与直线AB的交点K的投影，点K 就是直线与平面的交点。
（a）已知直线AB和 三角形CDE的投影
第四章 点、直线、平面的正投影规律
学习目标和教学要求: ： 1、熟练掌握点的三面正投影规律； 2、掌握各种位置点、直线、平面的投
影特性及点、线、面相对位置关系； 3、掌握定比性、两直线的相对位置关
系、直线与平面相对位置关系。
第一节 点的投影
一、点的三面投影
作出一点A的三面投影a、a′、a″（图41）。
其余两个投影平行于相应的投影轴，例 如表4-1中，CD//H，所以cd=C，a´b´//OX， a"b 投影轴而另一个投影倾斜时，它 必然是一根投影面平行线，平行 于该倾斜投影所在的投影面。
3.投影面垂直线
（1）空间关系
投影面垂直线垂直于某一个投影面， 因而平行于另外两个投影面。例如，表 4-2中空间直线EF⊥H，因而EF平行于V 面和W面,简称铅垂线。投影面垂直线除 铅垂线外，还有垂直于V面的正面垂直 线（正垂线），垂直于W面的侧面垂直 线（侧垂线）。
5、用迹线表示的特殊位置平面示例
（1）投影面垂直平面: 平面Q是铅锤面，在两投影面体系
中，有一条迹线垂直于投影轴，另一 条迹线倾斜于投影轴。 （2）投影面平行平面：
平面R是平行于H面的水平面，在 两投影面体系中，只有一条迹线，平 行于投影轴。如图4-23和4-24所示，
如图4-23用迹线表示的垂直于投影面的平面
图4—4投影图上的方位
几何元素间的相对位置及综合问题解题方法
两平面平行的作图问题有：
两平面平行
① 若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
AB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ； 则：P∥Q
② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。
两特殊位置平面平行
c
f
b
d
e
a
a
b
c
d
e
f
X
f
g
a
b
c
d
1. 直线与平面相交
要讨论的问题：
(1) 求直线与平面的交点。
(2) 判别两者之间的相互遮 挡关系，即判别可见性。
我们将分别讨论一般位置的直线与平面或至少有一个处于特殊位置的情况。
●
●
2. 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。
A
B
C
D
H
G
E
F
作图过程
k
k
c
g
h
e
f
d
c
e
f
g
h
d
X
O
PV
1
1
2
2
a
a
b
b
例12 试过定点A作直线与已知直线EF正交。
E
Q
分析
F
A
K
过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。
作图
2
1
1
2
2
直线与平面平行
两平面平行
4. 1 平行问题
⒈ 直线与平面平行
第四讲-几何元素相对位置(一)-点、直线和平面的从属关系
2021/4/9
8
4.3、平面上的主直线
问题：在一般位置平面
上能否找到与投影面平 行的直线？
P
如果用一组水平 面截P平面，得到一 组交线，这组交线有 何特性？
主直线：平面上与 投影面平行的直线。
平面2021P/4/9与投影面的交线成为P在该投影面上的迹线。9
例：求平面上的水平线。 c’
a’Βιβλιοθήκη d’b’c db p
a
2021/4/9
10
4.4、平面上的点
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作 为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
① a
b
k●
c
②
bd
●k c
a
a
k● b c
利用平面的积聚性求解
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线求解
b
B
投影分割成与空间相同的
C
比例。即：
A
AC/CB=ac/cb= ac / cb a c
b H
◆若点的投影有一个不在直
线的同名投影上， 则该点必不 2在021/4此/9 直线上。
定比定理 3
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
b
c
a
c
b
a
2021/4/9
点C在直 线AB上
② a c●
ac
点C不在 直线AB上
6
例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平 面内任作一条直线。
解法一
m a
根据定理一
b n c
解法二
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二 投影方法 1.分类: (1) 中心投影 (2) 平行投影: 正投影 斜投影 2.性质: (1) 单值同素性 (2) 从属性 (3) 平行性 (4) 定比性 (5) 亲似性 (6) 积聚性 (7) 存真性
Q
p
a b q
P
方法: 面与面线与面线与线点与点 注意
: 独立性。各投影图要分别分析下结论。
例1：求两平面的交线MN并判别可见性。
分析: 平面ABC与DEF都为正垂面，它们 的正面投影都积聚成直线。交线必为一条 正垂线，只要求得交线上的一个点便可作 出交线的投影。
⑴ a
b
e ● m(n)
4.直角投影定理 5.可见性判断 穿点 重影点 6.两种方法: (1)直角三角形法求 实长与倾角 (2)面上取线和面 上取点的方法
2.5.4 综合问题
1. 综合的意义: (1) 几何元素的综合 (2) 条件的综合 2. 方法： (1) 交轨法 (2) 反推法 3. 步骤： (1) 空间分析 (2) 投影作图 (3) 讨论解答
a`
l1`
l2`
p`
L2 A
L1
Q
a l1
l2 p
P
4.2 相交问题
面与面相交---交线 线与面相 交---穿点
思考：如何分析面与体相交？
两平面相交: 公共线 (1) 交线的性质 公共点
(2) 交线的求法:
确定两公共点
确定一个公共点及交线方向
1.平面与平面相交 (1)积聚性法求交线 例 求平面P与三角形ABC的交线
l2` P K1
L1
L2
K2
qv
R
l1 l2
3.可见性问题 (Visibility)
a` A
b`
B
a (b)
结论：重影点两个坐标相同, 另外 一个不同, 坐标值大者可见
例1 判断重影点可见性
l1`
1` 3` (4`) l2 `
2`
l1
l2
4
1 (2)
3
例2 判断可见性
p`
a`
q` b`
4. 例题分析
例1 过定点A求作直线L,使之与已知两交叉直线L1L2相交
1.空间分析
P`
l1`
l` k`
l2`
2.投影作图
(1)过A和L1作平面P (2)求L2对P的穿点K 3.讨论 (1)作直线与二交 叉直线 相交,有无数解 (1)过定点作直线与二交 叉直线相交,有唯一解
a`
l P a k l2 P
在线上
(1) 穿点的性质 在面上
(2) 穿点的求法:
积聚性法
辅助平面法
(1)积聚性法求穿点 例1 已知P为正垂面,又知直线L的投影, 求L对 平面P的穿点
l`
K` p`
p l
k
例2 已知铅垂线L与三角形ABC的投影, 求L对三角形ABC的穿点
b`
l`
L e`
K`
a`
c`
K
b
a k l e
c
适用条件: 有一个为投射线或投射面
工程图学
Engineering Graphics
第四章 几何元素的相对位置
4.1 平行问题
4.2 相交问题
4.3 垂直问题
4.1 平行问题
L1
1.几何条件
线//面
L2
P
L1//L2
面//面
L1//P
L1 L2 P
L1//L3 L2//L4
P//Q
L3 L4
Q
2.投影作图
(1)过点作直线平行于定平面 例1. 过A点作与平面P平行的直线
三 点线面的投影 1.点 线面的投影规律 2.特殊位置几何元素的投影规律及性质 点: 面上的点 轴上的点 线: 面平行线 投射线 面: 面平行面 投射面 主直线 最 大斜度线
3.几何元素的相对位置 (1) 平行: 线//面 面//面 掌握: 几何条件 基本作图 (2) 相交: 面面相交----交线 线面相交----穿点 掌 握: 几何条件 求交的方法 (3) 垂直: 线 面----法线 面 面 线 线 掌握: 几何条件 基本作图
l a p
②过直线L外一定点A作垂线
l`
k`
l1`
a` p` L A K P L1
k l
l1 a
p
思考:如何判断两直线是否垂直
③ 应用:
求线与线的距离问题
1) 平行线间距离 (点到线的距离) 2) 交叉线间距离 (公垂线问题)
点线面相对位置
1. 平行问题 2. 相交问题 (1) 面面相交 — 交线 (积聚性法
(2)辅助平面法求穿点
例 已知直线L和平面P的投影, 求L对平面P的穿点
k`
Rv
l` P L K l R
p`
p
k
适用范围: 一般位置平面
(3) 穿点法求面面交线 例 在上例中添加一条L1的平行线L2, 则L1L2构成平面R, 求平面P与R的交线
l1` Sv k1` k2` p` p k1 k2
优点: 比辅助平面法精度高
K
2. 平面与平面垂直 (1) 几何条件
N Q3
(2) 投影作图 ①过A点作平面Q 垂直于平面P
Q1
A
Q2Βιβλιοθήκη q` a`n`p`
P
两平面互相垂直, 则其中一个平面必经过(或平行于)另 一个平面的法线
q a
n
p
② 过直线L, 作平面Q垂直于平面P
N Q3 Q1 n` p`
Q2 L
l`
q`
P
思考: 如何判断平面Q是否垂直于平面P?
辅助平面法 穿点法)
(2) 线面相交 — 穿点 (积聚性法 辅助平面法) (3)可见性判断: 重影点(投影相交处) 穿点 (线面相交处) 3. 垂直问题 线面垂 直 — 法线 面面垂直 线线垂直
空间几何投影基础小结
一 空间形体分析 1. 形体分类 (1)基本几何体: 平面立体 回转体 (2)组合体
f c
d
步骤:
a
●
n
e c
① 求交线 ② 判别可见性 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面 ABC在上，其水平投影可见。
d
●
m
b
f
可通过正面投影直观地进行判别。
例2：求两平面的交线MN并判别可见性。
b
f m d
●
分析: N点的水平投影n位于Δdef的外面， 说明点N位于ΔDEF所确定的平面内， 但不位于ΔDEF这个图形内。 所以ΔABC和ΔDEF的交线应为 MK。
a`
l2`
p` l1` L2 A
L1 a l2 l1 p P
例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
b c m
●
n
正平线
a a
c m
●
n
唯一解
b
(2)过点作平行于定直线的平面
过A点作与直线L平行的平面P
l1` a` l` l2`
L l2 a l l1
L2 L1
A
P
(3)过点作面平行面 过A点作与平面P平行的平面Q
l`
a`
c`
b`
适用条件: 有一 个面为投射面
p`
a
p l c
b
(2) 辅助平面法求交线
例 求平面P与平面Q的交线
P
Q
p`
s`2
l` n` m`
q`
s`1
N S2
M
S1 p l m
n
q
L
适用范围:一般位置平面
辅助平面的选择原则: 面平行面或投射面
2.直线与平面相交
直线与平面的交点就是穿点
L
K P
c
L
B A C K P
a p r b QH l
m
a
● ●
2
●
c
n
由水平投影可知，KN段在平面前，故正 面投影上kn为可见。
1 b k
还可通过重影点判别可见性。
⑵ 直线为特殊位置 分析:
b k a b
●
m
直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点， 故交点K的水平投影也积聚在该点上。
●
n
1(2)
c
步骤:
① 求交点
② 判别可见性 点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上， 在后。故k 2为不可见。
a
k ● m(n2 ) ● 1
●
c
4.3 垂直问题
1. 直线与平面垂直 (1)几何条件 若直线垂直于平面，则垂直于平面内的 任一直 N 线 3D：N P L1 N (相交) L2 N (交叉)
Z
V
L1
W
(2)法线N
定义:垂直于平 面的直线
O X L2
L3
性质: ① P面所有直线垂直于N ②过N的所有平面垂直于P
③平面的坡角与法线的倾角互余 ( H+ H=90)
H
P
Y
a`
n`
l1` l 2`
(3) 主直线平面
l1 n a
平面用一对相交主直线表示
l2
n` 正平线的V投影 n 水平线的H投影
平面以其他形式表示
a`
(4)基本作图题 ① 过定点作平面的法线 例 过定点A作直线L垂直于平面P
p` n`
A N P a n
R A L1
L2 K
l1
例2 在已知平面P上求一点K,使K与三已知点A.B.C等距。 A与C点立标相同。