【金版学案】2015-2016高中数学 4.1.1圆的标准方程练习新人教A版必修2

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高中数学学案圆的标准方程

4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程学习目标核心素养1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 通过对圆的标准方程的学习,提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径．(2)确定圆的基本要素是圆心和半径,如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．当a＝b＝0时,方程为x2＋y2＝r2,表示以圆点O为圆心、半径为r的圆．思考：平面内确定圆的要素是什么？[提示]圆心坐标和半径．2. 点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d,半径为r.d与r的大小点与圆的位置d<r 点P在圆内d＝r 点P在圆上d>r 点P在圆外1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )A．(－2,3),1 B．(2,－3),3C．(－2,3), 2 D．(2,－3), 2D [由圆的标准方程可得圆心为(2,－3),半径为 2.] 2．以原点为圆心,2为半径的圆的标准方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4 C ．(x －2)2＋(y －2)2＝8D ．x 2＋y 2＝ 2B [以原点为圆心,2为半径的圆,其标准方程为x 2＋y 2＝4.] 3．点P(m,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上D ．不确定A [∵m 2＋25＞24,∴点P 在圆外．]4．点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上,则圆的方程是________．(x ＋2)2＋y 2＝10 [因为点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上,故(1＋2)2＋12＝m,∴m ＝10.即圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝10.]求圆的标准方程【例1】求过点A(1,－1),B(－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程．思路探究：法一：利用待定系数法,设出圆的方程,根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上,设出圆心坐标,根据条件建立方程组求圆心坐标和半径,从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质,确定圆心坐标和半径,从而求方程．[解] 法一：设所求圆的标准方程为 (x －a)2＋(y －b)2＝r 2,由已知条件知⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2，（－1－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法二：设点C 为圆心,∵点C 在直线x ＋y －2＝0上, ∴可设点C 的坐标为(a,2－a)．又∵该圆经过A,B 两点, ∴|CA|＝|CB|.∴（a －1）2＋（2－a ＋1）2＝（a ＋1）2＋（2－a －1）2, 解得a ＝1.∴圆心坐标为C(1,1),半径长r ＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法三：由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0), k AB ＝1－（－1）－1－1＝－1,所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1,所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x－0), 即y ＝x.则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1,1),圆的半径为（1－1）2＋[1－（－1）]2＝2, 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.确定圆的方程的方法：确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,b)及半径r,其求解的方法：一是待定系数法,如法一,建立关于a,b,r 的方程组,进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径,如法二、法三．一般地,在解决有关圆的问题时,有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．1．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4,0),且过点(2,2)；(2)圆心在y 轴上,半径为5,且过点(3,－4)；(3)过点P(2,－1)和直线x －y ＝1相切,并且圆心在直线y ＝－2x 上． [解] (1)r 2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8, ∴圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝8.(2)设圆心为C(0,b),则(3－0)2＋(－4－b)2＝52, ∴b ＝0或b ＝－8,∴圆心为(0,0)或(0,－8),又r ＝5, ∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25. (3)∵圆心在y ＝－2x 上,设圆心为(a,－2a), 设圆心到直线x －y －1＝0的距离为r. ∴r ＝|a ＋2a －1|2,① 又圆过点P(2,－1),∴r 2＝(2－a)2＋(－1＋2a)2,②由①②得⎩⎨⎧a ＝1，r ＝2或⎩⎨⎧a ＝9，r ＝132，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338.点与圆的位置关系【例2】已知圆心为点C(－3,－4),且经过原点,求该圆的标准方程,并判断点P 1(－1,0),P 2(1,－1),P 3(3,－4)和圆的位置关系．[解] 因为圆心是C(－3,－4),且经过原点, 所以圆的半径r ＝（－3－0）2＋（－4－0）2＝5, 所以圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25.因为|P 1C|＝（－1＋3）2＋（0＋4）2＝4＋16＝25<5, 所以P 1(－1,0)在圆内；因为|P 2C|＝（1＋3）2＋（－1＋4）2＝5, 所以P 2(1,－1)在圆上；因为|P 3C|＝（3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5, 所以P 3(3,－4)在圆外．1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离,与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的符号,并作出判断． 2．灵活运用若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围．2．已知点A(1,2)不在圆C ：(x －a)2＋(y ＋a)2＝2a 2的内部,求实数a 的取值范围． [解] 由题意,点A 在圆C 上或圆C 的外部, ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a 2, ∴2a ＋5≥0,∴a ≥－52.∵a≠0,∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52， 0∪(0,＋∞)．与圆有关的最值问题[探究问题]1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？[提示] 可采用几何法,先求出该点到圆心的距离,再加上或减去圆的半径,即可得距离的最大值和最小值．2．若点P(x, y)是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上的任一点,如何求点P 到直线x －y ＝0的距离的最大值和最小值？[提示] 可先求出圆心(2,－2)到直线x －y ＝0的距离,再将该距离加上或减去圆的半径1,即可得距离的最大值和最小值．【例3】已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14,试求x 2＋y 2的最值．思路探究：首先观察x 、y 满足的条件,其次观察所求式子的几何意义,求出其最值．[解] 由题意知x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方,显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时,其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0,0)到圆心C(－1,0)的距离d ＝1,故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32,最小距离为1－12＝12.因此x 2＋y 2的最大值和最小值分别为94和14.1．本例条件不变,试求yx的取值范围．[解] 设k ＝y x ,变形为k ＝y －0x －0,此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率,由k ＝y x ,可得y ＝kx,此直线与圆有公共点,圆心到直线的距离d≤r ,即|－k|k 2＋1≤12,解得－33≤k≤33.即y x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 2．本例条件不变,试求x ＋y 的最值．[解] 令y ＋x ＝b 并将其变形为y ＝－x ＋b,问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y 轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y 轴上的截距取得最大值和最小值,此时有|－1－b|2＝12,解得b ＝±22－1,即最大值为22－1,最小值为－22－1.与圆有关的最值问题的常见类型及解法：(1)形如u ＝y －bx －a 形式的最值问题,可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题,可转化为动直线y ＝－a b x ＋lb截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题,可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．1．确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组求a,b,r或直接求出圆心(a,b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简,提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑,其中利用几何特征较为直观、简捷．3．与圆有关的最值问题,常借助于所求式的几何意义,利用数形结合的思想解题,渗透着直观形象的数学素养．1．圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的方程为( )A．x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25C．(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25A[由题意,圆的半径r＝（0－3）2＋（4－0）2＝5,则圆的方程为x2＋(y－4)2＝25.]2．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点,Q是直线x＝－3上的动点,则|PQ|的最小值为( ) A．6 B．4 C．3 D．2B[由题意,知 |PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长,即|PQ|的最小值为6－2＝4,故选B.]3．经过原点,圆心在x轴的负半轴上,半径为2的圆的方程是________．(x＋2)2＋y2＝4 [由题意知,圆心是(－2,0),半径是2,所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.]4．点(5a＋1,a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部,则a的取值范围是________．[0,1)[由于点在圆的内部,所以(5a＋1－1)2＋(a)2＜26,即26a＜26,又a≥0,解得0≤a＜1.] 5．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(3,0),C(3,4),求△ABC的外接圆方程．[解]易知△ABC是直角三角形,∠B＝90°,所以圆心是斜边AC的中点(2,2),半径是斜边长的一半,即r＝5,所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.。

高中数学 4.1.1 圆的标准方程学案新人教A版必修2

4.１.1 圆的标准方程课前预习学案一．预习目标回忆圆的定义，初步了解用方程建立圆的标准方程．二．预习内容1：圆的定义是怎样的？2：圆的特点是什么？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．学习重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．二．学习过程探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点2．写点集3．列方程4．化简方程探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；变式训练１：说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3) +(y-2) =5；(2)(x+4) +(y+3) =7；(3)(x+2) + y=4例２ (1)已知两点P (4，9)和P (6，3)，求以PP为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？变式训练２：求证：以A(x ，y)、B(x ，y)为直径端点的圆的方程为(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0．四．当堂检测１．圆(x ＋1)2+(y －2)2=4的圆心、半径是（）A ．(1,－2),4B ．(1,－2),2C ．(－1,2),4D ．(－1,2),2２．过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程为 .3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．参考答案:１．Ｄ２．22(3)2x y -+=课后练习与提高１．圆2)1()1(22=++-y x 的周长是（）Ａ．π2 Ｂ．π2 Ｃ．２π2 Ｄ．π4２．点Ｐ（5,2m ）与圆2422=+y x 的位置关系是( )Ａ．在圆外Ｂ．在圆内Ｃ．在圆上Ｄ．不确定３．已知圆Ｃ与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆Ｃ的方程为（）Ａ．1)1(22=++y x Ｂ．122=+y xＣ．1)1(22=++y x Ｄ．1)1(22=-+y x４．已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切。

【金版新学案】2016-2017学年高一数学人教A版必修二习题第四章圆与方程 4.1.2 Word版含答案

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．圆2x 2＋2y 2－4ax ＋12ay ＋16a 2＝0(a ＜0)的周长等于( )A ．22πaB ．－22πaC ．2πa 2D ．－2πa解析：由已知得，圆的标准方程为(x －a )2＋(y ＋3a )2＝2a 2，∵a ＜0，∴半径r ＝－2a ， ∴圆的周长为－22πa .答案： B2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F解析：由已知D 2＋E 2－4F ＞0，可知方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线为圆．若圆关于y ＝x 对称，则知该圆的圆心在直线y ＝x 上，则必有D ＝E .答案： A3．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么该圆的一条直径所在直线的方程为( )A ．2x －y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝0解析：由已知得圆心C (1，－3)，且圆心C 不在直线2x －y ＋1＝0,2x －y －1＝0,2x ＋y －1＝0上，而在直线2x ＋y ＋1＝0上，故该圆的一条直径所在直线的方程为2x ＋y ＋1＝0.答案： C4．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0 D ．－2或0 解析：把圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故此圆圆心为(1,2)，圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则22＝|1－2＋a |2，解得a ＝2，或a ＝0.故选C. 答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．若l 是经过点P (－1,0)和圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋3＝0的圆心的直线，则l 在y 轴上的截距是________．解析：圆心C (－2,1)，则直线l 的斜率k ＝1－0－2＋1＝－1，所以直线l 的方程是y －0＝－(x ＋1)，即y ＝－x －1，所以l 在y 轴上的截距是－1.答案：－16．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.解析：由已知－D 2＝2，－E 2＝－4，所以D ＝－4，E ＝8，又因为半径为4，即12D 2＋E 2－4F ＝4， 1216＋64－4F ＝4，解之，得F ＝4. 答案： 47．若方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0表示一个圆，则实数m 的取值范围是________．解析：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，由D 2＋E 2－4F ＞0，得16m 2＋4m 2－80m ＋80＞0，即20(m －2)2＞0，所以m ≠2.答案： m ≠2三、解答题(每小题10分，共20分)8．求圆心在直线y ＝x 上，且经过点A (－1,1)，B (3，－1)的圆的一般方程．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心是⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，由题意知，⎩⎨⎧ －D 2＝－E 2，2－D ＋E ＋F ＝0，10＋3D －E ＋F ＝0，解得D ＝E ＝－4，F ＝－2，即所求圆的一般方程是x 2＋y 2－4x －4y －2＝0.9．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程．解析：设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14. 所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14.。

高考数学总复习圆的标准方程1学案新人教A版

高考数学总复习圆的标准方程1学案新人教A版新人教A版学习目标：掌握并理解圆的标准方程，并能应用圆的标准方程解决一些简单问题。

通过推导圆的标准方程体会求轨迹方程的一些方法。

通过学习，体会事物之间的相互联系、相互转化的观点。

学习重点：圆的标准方程。

学习难点：根据一定条件求解圆的标准方程。

教学过程复习引入：前面所学的直线方程是如何将几何与代数结合起来的？问题1：圆的定义：探究1：圆的方程：思考：圆心为原点，半径为人r的圆的标准方程小结知识要点：1、圆的标准方程：圆心为(a,b)，半径为r的圆的标准方程为圆心为原点，半径为人r的圆的标准方程2、单位圆：以为圆心，半径为的圆，其标准方程为3、求圆的标准方程的思路：4、已知圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，点在圆上时，满足条件？在圆外时，满足条件？在圆内时，满足条件？例题1、根据下列条件，求圆的标准方程（1）圆心在点C(-2，1)，并过点A(2，-2)（2）圆心在点C(1,3)，并与直线3x-4y-6=0相切（3）过点（0，1）和点（2，1），半径为例2：过点A(6,0),B(1,5)，且圆心在直线l：2x-7y+8=0上的圆的标准方程。

例3、赵州桥的跨度是37、02米，圆拱高约为7、2米，求这座圆拱桥的拱圆方程。

二、基础训练：1、圆心是C(2,-3)，且经过原点的圆的标准方程是2、圆心在原点，半径为6的圆的标准方程为3、经过点P(6,3)，圆心为C(2,-2)的圆的标准方程是4、以点C(-1,-5)为圆心，并且和y轴相切的圆的标准方程是5、已知点A(-4,-5)，B(6,-1)，则以线段AB为直径的圆的标准方程是6、圆心为(2,-3)，一条直径的两个端点分别落在x, y轴上，则此圆的标准方程为三、例题分析：例1、已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2、7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？若货车的最大宽度为a m，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？例2、（1）圆心在直线l：2x-y-3=0上，该圆过点A(5,2),B(3,2)，求该圆的标准方程。

【金版学案】2015-2016高中数学人教A版必修2习题：4.1.1《圆的方程》(学生用)

4．1.1圆的标准方程基础梳理练习2：圆(x－1)2＋(y＋2)2＝32的圆心为，半径为．►思考应用下列几种特殊位置的圆的方程是什么？D．(x＋3)2＋(y－4)2＝252．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是() A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定3．圆的一条直径的两个端点是(2，0)、(2，－2)，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝11．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是()A．－4<a<3 B．－5<a<4C．－5<a<5 D．－6<a<42．方程y＝－25－x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 mC．3.6 m D．2.0 m8．已知点P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的任意一点，点A(－1，0)、B(1，0)，试求|PA|2＋|PB|2的最大值和最小值．9．已知集合A＝{(x，y)|x＝3a＋1，y＝4a}，集合B＝{(x，y)|(x －2)2＋y2<25a2}，且A∩B≠∅，求实数a的取值范围．1．利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径，比较点到圆心的距离与半径的大小能得出点与圆的位置关系，求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大简化计算的过程与难度．2．点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径之间的关系．当d<r时，点在圆内；当d＝r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外．。

高中数学(教案+课内预习学案+课内探究学案+课后练习与提高)4.1.1圆的标准方程新人教A版必修2

4. 1.1 圆的标准方程【教学目标】１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．【教学重难点】教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．（二）检查预习、交流展示求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P (M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．（三）合作探究、精讲精练探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得： (x-a)2+(y-b) 2=r2(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．例1 写出下列各圆的方程：(请三位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P (5，1)，圆心在点C(8，-3)；解析：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．解：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；点评：圆的标准方程与圆心坐标、半径长密切相关，应熟练掌握．变式训练１：说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4答案：(1) 圆心是(3,2),半径是5；(2) 圆心是(－４,－３),半径是7；(3) 圆心是(－２,０),半径是２．例２ (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解析：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决；分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．解：(1) 解法一：(学生口答)设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：又由两点间的距离公式得：∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10 解法二：(给出板书)∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．化简得：x2+y2-10x-12y+51=0．即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程．解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．点评：1．求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．2．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．变式训练２：求证：以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．证明：略．（四）反馈测试导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的方程的推导步骤；2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．【板书设计】探究一：圆的标准方程1．建系设点2．写点集3．列方程4．化简方程探究二：圆的方程形式特点例1变式训练１例２变式训练２课堂小结【作业布置】导学案课后练习与提高4.１.1 圆的标准方程课前预习学案一．预习目标回忆圆的定义，初步了解用方程建立圆的标准方程．二．预习内容1：圆的定义是怎样的？2：圆的特点是什么？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．学习重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．二．学习过程探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点2．写点集3．列方程4．化简方程探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；变式训练１：说出下列圆的圆心和半径：(学生回答) (1)(x-3)2+(y-2)2=5； (2)(x+4) 2+(y+3)2=7； (3)(x+2)2+ y 2=4例２ (1)已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？变式训练２：求证：以A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0．三．反思总结１．圆(x ＋1)2+(y －2)2=4的圆心、半径是（）A ．(1,－2),4B ．(1,－2),2C ．(－1,2),4D ．(－1,2),2２．过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程为 .3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．参考答案:１．Ｄ２．22(3)2x y -+=课后练习与提高１．圆2)1()1(22=++-y x 的周长是（）Ａ．π2 Ｂ．π2 Ｃ．２π2 Ｄ．π4 ２．点Ｐ（5,2m ）与圆2422=+y x 的位置关系是( )Ａ．在圆外Ｂ．在圆内Ｃ．在圆上Ｄ．不确定３．已知圆Ｃ与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆Ｃ的方程为（）Ａ．1)1(22=++y x Ｂ．122=+y x Ｃ．1)1(22=++y x Ｄ．1)1(22=-+y x４．已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切。

《金版新学案》高三数学一轮复习第八章第3课时圆的方程课件文新人教A版

解析： (1)方法一：设圆的一般方程为 x2＋ y2 ＋Dx＋ Ey＋ F＝0，则 1＋ 144＋ D＋ 12E＋ F＝ 0 49＋ 100＋ 7D＋ 10E＋ F＝ 0， 81＋ 4－ 9D＋ 2E＋ F＝ 0 解得 D＝－2，E＝－4， F＝－95， ∴所求圆的方程为 x2＋ y2－2x－4y－ 95＝0.
解析：设圆心为 (0， b)，则 0－3 ＋b＋ 4 ＝5，即 b2＋8b＝ 0，则 b＝0 或 b＝－8.
答案： x2＋y2＝25 或 x2＋(y＋8)2＝25
2 2
故圆的方程为： x2＋ y2＝ 25 或 x2＋ (y＋8)2＝25.
求ห้องสมุดไป่ตู้的方程
常见的求圆的方程的方法有两种，一是利用圆的几何特征，求出圆心坐标和半径，写出圆的标准方程；二是利用待定系数法，它的应用关键是根据已知条件选择标准方程还是一般方程．
a＝ 4 解得b＝－3. 2 r ＝ 25
∴圆的标准方程是(x－4) ＋ (y＋3) ＝ 25.
2
2
(2)方法一：设圆的标准方程为 (x－a) ＋ (y－ 2 2 b) ＝ r ，
b＝－ 4a 3－ a2＋－ 2－ b2＝ r2，则有 |a＋ b－ 1| ＝r 2
1．圆(x＋2)2＋y2＝5 关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5 解析：已知圆的圆心坐标 (－ 2,0)，它关于
原点对称的点的坐标为(2,0)．答案： A
2．方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆的充要条件是( ) 1 1 A. ＜m＜1 B ． m＜或 m＞ 1 4 4 1 C． m＜ D ． m＞ 1 4

高中数学《圆的标准方程》学案6 新人教A版必修2

高中数学《圆的标准方程》学案6 新人教A 版必修2应坐标便会满足一个方程。

当曲线C 和方程F(x ，y)=0满足如下关系时：①曲线C 上点的坐标都是方程F(x ，y)=0的解；②以方程F(x ，y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上，则称曲线C 为方程F(x ，y)=0表示的曲线；方程F(x ，y)=0是曲线C 表示的方程。

从集合角度看，点集（曲线）与方程解集相等。

解析几何研究的内容就是给定曲线C ，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。

其特征是以数解形。

坐标法是几何问题代数化的重要方法。

2、直线的倾斜角α和斜率k 是描述直线位置的重要参数，它们之间关系是正切函数关系：k=tan α，α∈[0，),2()2πππ ，当α=2α时，直线斜率不存在，否则由α求出唯一的k 与之对应。

当已知k ，求倾斜角α时：k ≥0时，α=arctank ；k<0时，α=π+arctank 。

或：k=0时，α=0；k ≠0时，cot α=k 1,α=arccot k1。

由正切函数可知，当α∈（0，2π），α递增时，斜率k →+∞。

当α∈（2π，π），α递减时，斜率k →-∞。

当涉及到斜率参数时，通常对k 是否存在分类讨论。

3、直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A 2+B 2≠0）一一对应。

从几何条件看，已知直线上一点及直线方向与已知直线上两点均可确定直线；从对应方程看，直线方程两种典型形式：点斜式（斜截式），两点式（截距式），因此求直线方程，常用待定系数法。

即根据题意，选择方程的适当形式；由已知条件，列关于参数的方程（组）。

当点P(x 0，y 0)在直线Ax+By+C=0上时，其坐标满足方程Ax 0+By 0+C=0；当P 不在直线Ax+By+C=0上时，Ax 0+By 0+C ≠0，即Ax 0+By 0+C>0或Ax 0+By 0+C<0。

高中数学圆的标准方程学案新人教A版必修2

内蒙古赤峰市乌丹一中高中数学圆的标准方程学案新人教A 版必修2课题4.1.1圆的标准方程主备人学习重点：1.明确圆的基本要素，能用定义推导圆的标准方程2.会求圆的标准方程，能判断点与圆的位置关系学习难点：1.通过平面几何中圆的性质与求标准方程的结合学习方法：学习过程：认真阅读教材P118页-P119页内容，完成下列问题：基础知识：1.圆的标准方程：__________________________________2.点到圆的位置关系:222220000C x-a +y-b =r r>0) C a b P x y d=|PC|=x -a +y -b P C ：（）（）（圆心（，）点（，），设（）（）如何判断点与的位置关系？【例题讲解】例1：写出圆心为A （2，-3），半径为5的圆的方程，并判断M 1（5，-7），M 2（-5，-1）与圆的位置关系？2A 51B 7-3C 2-8例：ABC 的三个顶点坐标分别为（，），（，），（，），求它的外接圆的方程3C A 11B 2-2C l x-y+1=0例：已知圆心为的圆经过点（，）和（，），且圆心在直线：上，求该圆的标准方程。

【巩固练习】：时间安排2222221.P 11x+2)m 2.C x+4+y-6=94x+3y-1=03.C x+2)(6)1,l 3x-4y+5=0C l 4.A 1-1B -1,1C x+y-=y m y +=+-=点（，-）在圆（的外部，则实数的取值范围：（）（）的圆心到直线的距离为？：（直线：，求圆关于直线对称的圆的方程求经过（，），（），圆心在直线20上的圆的标准方程学习小结：备注。

高中数学 4.1 圆的方程学案(无答案)新人教A版必修2

x y k 0 是圆的方程，求实数 k 的取值范
2 2
围。
三．练习：教 P 120
1，3，教 P 123 1，2
2
学习重点学习难点
；半径为
；。
标准方程与一般方程要互化
3.点与圆的位置关系：
二．典型例题例 1：求下列圆的半径、圆心坐标且画出圆。（1） x2 y 2 3 （2） ( x 2)2 ( y 1)2 4
（ 3） x y 2 x 4 y 0
2 2
（4） x y 6 x 2 y 6 0
2 2
通过配方法化成标准方程
例 2：求满足下列条件的圆的方程（1）圆心在 x 轴上，半径为 5，且过点 A(2,3) 注意圆的要素：半径，圆心
1
（2）以 A(1,2) 、 B(5,6) 为直径端点。
（3）圆心在直线 l : x y 1 0 且此圆过两点 A(1,1) 、 B(2,2)
求圆的方程的方法：几何法、待定系数法
（4）过三点 A(0,0) , B(1,1) , C (4,2)
2 2 (5)圆 ( x 3) ( y 4) 1关于直线 x y 0 对称的圆。
半径不变，圆心坐标变。
例 3：（1）点 (1,1) 在圆 ( x a) ( y a) 4 的内部，求 a 的取值范围。
吉林省吉林市朝鲜族中学 2014 高中数学 4.1 圆的方程学案（无答案）新人教 A 版必修 2
学习目标 1. 掌握圆的标准方程和一般方程 2. 通过配方把圆的一般方程化为圆的标准方程 3. 用几何法或待定系数法会求一些圆的方程圆的标准方程和一般方程会求圆的方程学一．知识点 1.圆的标准方程：其中，圆心坐标 2.圆的一般方程：习内容学法指导

高中数学 411圆的标准方程学案新人教A版必修2.doc

圆的标准方程1.圆的标准方程.2.点与圆的位置关系的判断方法.3.根据己知条件求圆的标准方程的方法.例2 AABC的三个顶点的坐标是A(5, 1), B(7, -3), C(2, - 8).求它的外接圆的方解：设所求圆的方程是匕- ")2 + (y - b)2 = K ①因为A (5, 1), 〃(7, - 3), C(2, - 8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于(5-a)2= r• (7-a)2+(-3-b)2 =r(2-6z)2+(-8-/7)2 = r解此方程组，得a = 2b = —3 r2 =25所以,△力氏的外接圆的方程是(x- 2尸+ (y+3)2=25.经典习题例1写出下列方程表示的圆的圆心和半径(1)/ + (y + 3)2 = 2；(2) (x + 2)2 + (y - I)2 = / (&H0)【解析】(1)圆心为(0, -3),半径为VL(2)圆心为(-2, 1),半径为|乩例2圆心在直线x - 2y - 3 = 0±, 口过水2, -3), 〃(-2, - 5),求圆的方程.解法1：设所求的圆的方程为C Y - a? + (y -方尸二八(2-a)2 +(-3-b)2 =r2 山条件知•(一2 —°)2+(—5 —仍2 =r2a-2 方一3 = 0a =-]解方程组得\b = -2r2 =1()■即所求的圆的方程为(x + I)2 + (y + 2r二10解法2：k AH =-,血?的中点是(0, -4),所以畀〃的中垂线方程为2% + 7 + 4 = 0 x-2y-3 = O zr. (x = -\ 2x + y + 4 = 0 y = -2I •因为圆心为(-1, -2 )又厂=J(2 + l)?+(-3十2尸=质.所以所求的圆的方程是匕+ 1尸+ (y + 2)2二10.例3已知三点水3, 2), 〃⑸ -3), C(-l, 3),以戸(2, -1)为圆心作一个圆，使•久从C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.【解析】要使久B. C三点中一点在圆外，一-点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是I以I、\PB\. |比1中的中间值.I PA 1=皿I PB \= V13J PC l=V25.因为|刊< PB\<\PC所以圆的半径厂=1 PB\=尼.故所求的圆的方程为匕-2F + (y + 1尸二13.。

4.1.1圆的标准方程导学案

4.1.1圆的标准方程导学案(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除4.1.1圆的标准方程（人教A版数学新课标教材必修2，P118-120）一、学习目标：姓名：1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程；2.会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径；由不同的已知条件求得圆的标准方程；3.掌握点与圆位置关系的判定；二、学习内容【方程推导】在平面直角坐标系中，已知：圆心为A(a,b), 半径长为r，圆上的任意一点M(x,y)应该满足的关系式？推到过程：结论：以圆心A(a,b), 半径长r的圆的标准方程为：【结构分析】圆的标准方程是一个____元____次方程.【练习强化】1.写出下列圆的圆心坐标和半径. 总结：特别地，当(a,b)=(0,0),r=1时，圆的方程变为2.根据下列条件，写出圆的标准方程.(1)圆心在A(2,1)，半径长为4；(2)圆心在A(-3,4)，半径长为5；(3)圆心在A(-3,-2)，半径长为5；【知识应用】练习1：判断下列各点是否在以A(2,-3)为圆心，半径为5的圆上？(1))7,5(M 1- (2))1,2(M 2--(3))1,3(M 3-分析：点在圆上，则点的坐标满足圆的方程；反之，点的坐标满足圆的方程，则点在圆上.解：以A(2,-3)为圆心，半径为5的圆的标准方程是方程圆心坐标半径 6)1()4(22=-+-y x4)4()1(22=++-y x8)3(22=-+y x222)3(-=+y x222)(a y a x =+-9)2(22=++y x将)7,5(M 1-的横纵坐标代入上述方程得所以将)1,2(M 2--的横纵坐标代入上述方程得所以将)1,3(M 3-的横纵坐标代入上述方程得所以进一步探讨：r ____A M 1=; r _____A M 2=; r _____A M 3=;归纳规律：坐标平面内的点)y ,x (P 000与圆C:222)()(r b y a x =-+-的位置关系:①点0P 在圆C 上⇔②点0P 在圆C 内⇔③点0P 在圆C 外⇔练习2：△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆方程.结论：求圆的标准方程的方法：练习3：已知圆心为C 的圆经过点)1,1(A 和)2,2(B -，且圆心C 在直线l ：01=+-y x 上，求圆心为C 的圆的标准方程.三、课堂小结请同学们通过对照学习目标和学习过程中的思考内容回顾本课学习的知识点、数学方法、数学思想，从以下方面进行小结：(1)圆的标准方程：(2)判断点与圆的位置关系：(3)求圆的标准方程的方法：①找圆心、半径；②待定系数法.四、达标练习1.写出下列圆的方程：（1）圆心在C(-3,4),半径是5；（2）圆心在C（8,-3）,且经过点M(5,1).2.判断下列各点是否在以原点为圆心，半径为5的圆上？(1)A(0,3) (2)(3,4) (3)(6,8)3.已知△AOB的顶点坐标分别是A(4,0),B(0,3),O(0,0),求△AOB外接圆的方程.五、作业：习题4.1A 组2,3题六、带问题预习下一节：(1)把圆的标准方程平方项展开后是什么形式？(2)方程0208622=++-+y x y x 表示的曲线是什么样的？。

高中数学新人教版A版精品学案《圆的标准方程》

圆的标准方程
【学习目标】
1．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径。

2．会根据不同的已知条件，利用几何法或待定系数法建立圆的标准方程；能运用圆的标准方程解决一些实际问题。

【学习重难点】
1．什么叫做圆？
2．确定圆需要哪几个要素？
3．圆心是C （a ，b ），半径是r 的圆的方程是什么？
【学习过程】
一、范例导析：
例1：
求圆心是C （2，-3），且经过原点的圆的标准方程。

例2：
已知圆心为C 的圆经过点A （1， 1）和B （2，－2），且圆心C 在直线上：－ 1=0，求圆心为C 的圆的标准方程。

例3：
已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2．7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
变式1：直线=4和-=-2均过圆心，半
变式4：求圆心在轴上，半径为5，且变式3：求圆心在（1，3），且和直线
变式2：已知点A （-4，-5），B （6，-1），
思考：假设货车的最大宽度为a m ，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
【达标检测】
【作业布置】
课后思考：已知：一个圆的直径端点是11(,)A x y ，22(,)B x y 。

证明：圆的方程是()()()()12120x x x x y y y y --+--= -1, 4、B （3，2）， -1 ,-5为圆心,并且和轴 1, 5与B （3，-1）为直径 1. 求经过点P 6, 3 ,圆心为C2, -2的。

《金版学案》2015-2016学年人教A版高中数学选修4-4习题第二讲2.1.2圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化

2．1.2 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化►预习梳理1.圆的参数方程．点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos t ，y ＝r sin t(t 为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程．圆的圆心为O 1(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos t ，y ＝b ＋r sin t(t 为参数)． ►预习思考1．圆x 2＋y 2＝16的参数方程为：____________． 2．圆(x －6)2＋y 2＝4的参数方程为：______________．, 预习思考1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos t ，y ＝4sin t (t 为参数) 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)圆的参数方程与普通方程互化圆的参数方程应用一层练习1．圆(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( ) A ．(－1＋cos θ，sin θ) B ．(1＋sin θ，cos θ) C ．(－1＋2cos θ，2sin θ) D ．(1＋2cos θ，2sin θ) 1．D2．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π，θ是参数)上的动点，则yx的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－332.A3．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为________．如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________．3．x 2＋(y ＋1)2＝1 [1－2，1＋2]4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数，0＜θ＜π)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则θ＝________．4.π6或5π65．指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，π≤t ≤2π)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)． 5．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)得x 2＋y 2＝9.又由0＜θ＜π2，得0＜x ＜3，0＜y ＜3，所以所求方程为x 2＋y 2＝9(0＜x ＜3且0＜y ＜3)．这是一段圆弧(圆x 2＋y 2＝9位于第一象限的部分)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)得x 2＋y 2＝4.由π≤t ≤2π，得－2≤x ≤2，－2≤y ≤0. 所求圆方程为x 2＋y 2＝4(－2≤x ≤2，－2≤y ≤0)．这是一段半圆弧(圆x 2＋y 2＝4位于y 轴下方的部分，包括端点)．(3)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数)得(x －3)2＋(y －2)2＝152，由0≤θ＜2π知这是一个整圆弧．二层练习6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则（x －5）2＋（y ＋42）的最大值为________．6．67．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2， C 2：⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t(t 为参数)，它们的交点坐标为________． 7．(2，1)8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ()t 为参数和C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，它们的交点坐标为________．8．(1，1)9．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为____________________________________．9.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数) 10．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为____________．10．ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2三层练习11．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝5＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最大值为________．11．512.(2015·广州一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋sin θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝t (t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为________．12.⎝⎛⎭⎪⎫2，π413．如下图所示，已知定点A (2，0)，点Q 是圆C ：x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于点M ，当Q 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程．13．解析：设点O 到AQ 的距离为d ，则 12|AM |·d ＝12|OA |·|OM |·sin ∠AOM ，12|QM |·d ＝12|OQ |·|OM |·sin ∠QOM . 又∠AOM ＝∠QOM ，所以|AM ||QM |＝|OA ||OQ |＝21.所以AM→＝23AQ →. 因为点Q 是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以设点Q 坐标为(cos θ，sinθ)，M (x ，y )，得(x －2，y －0)＝23(cos θ－2，sin θ－0)，即x －23＝23cos θ，y ＝23sin θ，两式平方相加，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝49，故点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝49.14．(2015·福建卷，数学理)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos ty ＝－2＋3sin t (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin(θ－π4)＝m ，(m ∈R)． (1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．14．分析：(1)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得(x －1)2＋(y＋2)2＝9，利用x＝ρcos θ，y＝ρsin θ将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)利用点到直线距离公式求解．解析：(1)消去参数t，得到圆的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，由2ρsin(θ－π4)＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0，所以直线l的直角坐标方程为x－y－m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1－（－2）＋m|2＝2，解得m＝－3±2 2.1．利用参数求曲线的轨迹方程．(1)利用参数求曲线的轨迹方程的基本步骤是：①确定参数；②求出参数方程；③消参；④得到轨迹的普通方程(注意轨迹范围)．(2)参数的选取应根据具体条件来考虑，例如可以是时间，旋转角，动直线的斜率、截距、动点的坐标等．2．参数方程与普通方程的等价性．把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使两种方程表示的曲线不一致，因此，在相互转化中，要注意两种方程的等价性．例如，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ消去参数θ后的x ＋y ＝1，它表示一条直线对吗？这是不对的．因为在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ中，x ，y 的取值范围是[0，1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ表示的是一条线段x ＋y ＝1(0≤x ≤1)，而不是直线x ＋y ＝1.3．关于求x 、y 的代数式的取值范围问题，常把普通方程化为参数方程，利用三角函数的值域求解．【习题2.1】1．解析：取投放点为原点，飞机飞行航线所在的直线为x 轴，过原点和地心的直线为y 轴建立平面直角坐标系，得到被投放的物资的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝100t ，y ＝－12gt2(t 是参数，表示时间)，令x ＝1000，解得t ＝10.当t ＝10时，由方程得到y ＝－12×g ×102≈－12×9.8×102＝－490，即飞机投放救灾物资时的飞行高度约为490 m.2．解析：解法一设经过时间t ，动点的位置是M (x ，y )，那么有x －2＝3t ，y －1＝4t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝1＋4t(以时间t 为参数)．解法二设M (x ，y )是直线上任意一点，它与M 0(2，1)的有向距离为t ，根据已知条件，由速度合成的知识可知x －2＝35t ，y －1＝45t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝1＋45t (以位移t 为参数)．3．证明：不妨设△ABC 的外接圆的半径为1，建立如下图所示的平面平面直角坐标系，使点B ，C 关于x 轴对称，那么外接圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.设点M (cos θ，sin θ)，则|MA |2＋|MB |2＋|MC |2＝[(cos θ－1)2＋sinθ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－322＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋322＝6.4．解析：(1)消去t 得y ＝2x －7，即普通方程为y ＝2x －7，表示直线．(2)y ＝cos 2θ＋1＝2cos 2θ－1＋1＝2x 2，∵x ＝cos θ，∴－1≤x ≤1.∴普通方程为y ＝2x 2(－1≤x ≤1)，表示以(－1，2)，(1，2)为端点的一段抛物线弧．(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2＋1t 2＋2，y 2＝t 2＋1t 2－2，两式相减得x 2－y 2＝4，即普通方程为x 2－y 2－4＝0，表示双曲线．(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，∴cos φ＝x 5，sin φ＝y 3，cos 2φ＋sin 2φ＝1，∴普通方程为x 225＋y29＝1，表示椭圆．。

人教版高中数学必修二 4.1.1 圆的标准方程学案+课时训练

人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1圆的标准方程学案【学习目标】1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点、难点)3．掌握点与圆的位置关系．(易错点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆的标准方程阅读教材P118～P119第1行的内容，完成下列问题．1．以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.[思考辨析学练结合]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就惟一确定．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9.()[解析](1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．(2)错误．当m＝0时，不表示圆．(3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3.[答案](1)√(2)×(3)×知识点2 点与圆的位置关系阅读教材P119“例1”及“探究”部分，完成下列问题．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：[已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外[解析]圆心M(2,3)，半径r＝2，∵|PM|＝(3－2)2＋(2－3)2＝2＜r，∴点P在圆内．[答案] C【合作探究析疑解难】考点1 直接法求圆的标准方程[典例1] (1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52[点拨](1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程．(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程．[解答](1)设圆心坐标为(0，b)，则由题意知(0－1)2＋(b－2)2＝1，解得b＝2.故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a ＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝(4－2)2＋(0＋3)2＝13，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.[答案](1)A(2)A1．以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25[解析]因该圆与x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所以圆的方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝16.[答案] C考点2 待定系数法求圆的标准方程[典例2] 求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．[分析]解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径．[解答]法一：设点C为圆心，∵点C在直线：x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.∴(2a＋3－2)2＋(a＋3)2＝(2a＋3＋2)2＋(a＋5)2，解得a＝－2.∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径r＝10.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由条件知⎩⎨⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.故所求圆的标准方程为 (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法三：线段AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝－3－(－5)2－(－2)＝12，所以弦AB 的垂直平分线的斜率k ＝－2，所以线段AB 的垂直平分线的方程为： y ＋4＝－2x ，即y ＝－2x －4.故圆心是直线y ＝－2x －4与直线x －2y －3＝0的交点，由⎩⎨⎧y ＝－2x －4，x －2y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2.即圆心为(－1，－2)，圆的半径为 r ＝(－1－2)2＋(－2＋3)2＝10，所以所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.2．求圆心在x 轴上，且过点A (5,2)和B (3，－2)的圆的标准方程． [解] 法一设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．则⎩⎨⎧b ＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝0，r ＝ 5.所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝5. 法二因为圆过A (5,2)，B (3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB 的中垂线上． AB 中垂线的方程为y ＝－12(x －4)，令y ＝0，得x ＝4.即圆心坐标为C (4,0)，所以r ＝|CA |＝(5－4)2＋(2－0)2＝ 5. 所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝5. 考点3 与圆有关的最值问题探究1 若P (x ，y )为圆C (x ＋1)2＋y 2＝14上任意一点，请求出P (x ，y )到原点的距离的最大值和最小值．[分析] 原点到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.探究2 若P (x ，y )是圆C (x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．[分析] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，所以点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.[典例3] 已知x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，求(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最大值与最小值．[分析]x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，即点P(x，y)是圆上的点．而(x＋1)2＋(y＋1)2表示点(x，y)与点(－1，－1)的距离．故此题可以转化为求圆x2＋(y＋4)2＝4上的点与点(－1，－1)的距离的最值问题．[解答]因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，圆心C(0，－4)，半径r＝2，因此(x＋1)2＋(y＋1)2表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离．因为|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点A(－1，－1)在圆外．如图所示．而|AC|＝(0＋1)2＋(－4＋1)2＝10，所以(x＋1)2＋(y＋1)2的最大值为|AC|＋r＝10＋2，最小值为|AC|－r＝10－2.[思路总结]1．本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决．充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用．2．涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：①k＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等．[跟踪练习]3．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|P A|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.图4-1-1[解]设P(x，y)，则d＝|P A|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34，最大值为2×36＋2＝74.【学习检测巩固提高】1．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是()A．(x－4)2＋(y＋1)2＝10B．(x＋4)2＋(y－1)2＝10C．(x－4)2＋(y＋1)2＝100D．(x－4)2＋(y＋1)2＝10[解析]设圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝r2，把点(5,2)代入可得r2＝10．[答案] A2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C．3D．2[解析]配方得(x－1)2＋(y－4)2＝4，∴圆心为C(1,4)．由条件知|a＋4－1|a2＋1＝1.解之得a＝－43.[答案] A3．经过圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为________. [解析]圆C的圆心为(－1,2)，又所求直线的斜率为1，故由点斜式得y－2＝x ＋1，即x－y＋3＝0.[答案]x－y＋3＝04．以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是.[解析]将直线x＋y＝6化为x＋y－6＝0，圆的半径r＝|2－1－6|1＋1＝52，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝25 2.[答案] (x －2)2＋(y ＋1)2＝252 5．圆过点A (1，－2)、B (－1,4)，求(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．[解析] (1)当AB 为直径时，过A 、B 的圆的半径最小，从而周长最小．即AB 中点(0,1)为圆心，半径r ＝12|AB |＝10.则圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝10. (2)解法一：AB 的斜率为k ＝－3，则AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x .即x －3y ＋3＝0由⎩⎨⎧ x －3y ＋3＝02x －y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝3y ＝2. 即圆心坐标是C (3,2)．r ＝|AC |＝(3－1)2＋(2＋2)2＝2 5. ∴圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 解法二：待定系数法设圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.则⎩⎨⎧(1－a )2＋(－2－b )2＝r 2(－1－a )2＋(4－b )2＝r 22a －b －4＝0，⎩⎨⎧a ＝3b ＝2r 2＝20.∴圆的方程为：(x －3)2＋(y －2)2＝20.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程课时检测一、选择题1．点P (m,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定[解析] ∵m 2＋25＞24，∴点P 在圆外． [答案] A2．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)满足( )A ．是圆心B ．在圆上C ．在圆内D ．在圆外[解析] 因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，故点P (3,2)在圆内． [答案] C3．以点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1为圆心，半径为54的圆的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝2516 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝54 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －1)2＝54 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝2516 [解析] 由圆的几何要素知A 正确． [答案] A4．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标和半径分别为( )A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，4[解析] 圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标为(－1,2)，半径r ＝2. [答案] A5．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1[解析] ∵点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，∴将－x ，－y 代入⊙C 的方程得(－x ＋2)2＋(－y －1)2＝1. 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. [答案] A6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0[解析] ∵点P (2，－1)为弦AB 的中点，又弦AB 的垂直平分线过圆心(1,0)，∴弦AB 的垂直平分线的斜率k ＝0－(－1)1－2＝－1， ∴直线AB 的斜率k ′＝1，故直线AB 的方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0. [答案] A7．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32与圆x 2＋y 2＝12的位置关系是( )A ．在圆上B ．在圆内C ．在圆外D ．不能确定[解析] 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32的坐标代入圆的方程可知(12)2＋(32)2＝1>12.∴点在圆外． [答案] C8．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y ＋1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－1,1)C ．(2,5)D ．(1，＋∞)[解析] 点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y ＋1)2＝5的内部，则(2a )2＋a 2＜5，解得－1＜a ＜1. [答案] B9．若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( D )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0[解析] 圆心C (3,0)，k PC ＝－12，又点P 是弦MN 的中点，∴PC ⊥MN ，∴k MN k PC ＝－1，∴k MN ＝2，∴弦MN 所在直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. [答案] D10．点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( ) A ．9B ．8C ．5D ．2[解析] 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离为d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝5.又r ＝3，则M 到直线的最短距离为5－3＝2.[答案] D二、填空题 11．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．[解析] 由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.[答案] x 2＋(y －1)2＝112．圆心既在直线x －y ＝0上，又在直线x ＋y －4＝0上，且经过原点的圆的方程是 .[解析] 由⎩⎨⎧ x －y ＝0x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝2. ∴圆心坐标为(2,2)，半径r ＝22＋22＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝813．已知圆C 经过A (5,1)、B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为 .[解析] 设所求圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，把所给两点坐标代入方程得⎩⎨⎧ (5－a )2＋12＝r 2(1－a )2＋32＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝2r 2＝10，所以所求圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.[答案] (x －2)2＋y 2＝1014．以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为 .[解析] 令x ＝0得y ＝4，令y ＝0得x ＝2，∴直线与两轴交点坐标为A (0,4)和B (2,0)，以A 为圆心过B 的圆方程为x 2＋(y －4)2＝20，以B 为圆心过A 的圆方程为(x －2)2＋y 2＝20.[答案]x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20三、解答题15．已知圆C的半径为17，圆心在直线x－y－2＝0上，且过点(－2,1)，求圆C 的标准方程．[解]∵圆心在直线x－y－2＝0上，r＝17，∴设圆心为(t，t－2)(t为参数)．∴圆C的标准方程为(x－t)2＋(y－t＋2)2＝17.∵圆C过点(－2,1)，∴(－2－t)2＋(1－t＋2)2＝17.解得t＝2或t＝－1.∴圆心C的坐标是(2,0)或(－1，－3)．∴所求圆C的标准方程是(x－2)2＋y2＝17或(x＋1)2＋(y＋3)2＝17.16．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．[解析](1)因为点M在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，又由a>0，可得a＝10.(2)由两点间距离公式可得|PN|＝(3－5)2＋(3－6)2＝13，|QN|＝(5－5)2＋(3－6)2＝3，因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P、Q两点一个在圆内、另一个在圆外，由于3<13，所以3<a<13.即a的取值范围是(3，13)．17．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．求AD边所在直线的方程.[解析]因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又因为点T (－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.18．求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P (3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.[解析] 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-=-+=+22)2()3(132042r b a a b b a ，化简得⎩⎨⎧ 4a ＋b ＝0b ＝a －5(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，解得⎩⎨⎧ a ＝1b ＝－4r 2＝8.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以22为半径的圆．。

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