一课三练——之数列求和(学案)
数列求和(高三一轮复习)---教学设计
有效性:通过学生的练习与评析,给学生提供了一个发现问题,讨论问题,解决问题的平台,为学生高效获取知识和提高综合素质创造条件。
(3)让学生归纳本节课的重难点及解题思路
例题反馈的训练充分发挥学生的主体地位,营造生动活泼的课堂教学气氛。
通过学生的评析,激发学生学习热情,发散学生思维,培养学生的合作,探究意识。
让学生从具体实例中发现结论。符合学生认识规律,并在结论的发现过程中培养学生的思维能力。
5课外的
巩固与检测
①计算:
②数列: 的前 项和为
(三)巩固检测题：
(1)
(2)
(3)
复习等差与等比数列的求和公式:
(1)中易忘讨论公比是否为1。
(2)与(3)是为用公式法求和作铺垫。
2
课
题
提
出
如何对非特殊的数列求和
3
例题讲解
〖例题引入〗
对下列数列求和
(1) 设Sn＝1－3＋5－7＋9＋……＋?
(2)设Sn＝1－3＋5－7＋9＋……＋?101=?(3) 设Sn＝－3＋5－7＋9＋……＋?
◆情感态度价值观：
培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界。
教学重点、难点:
数列求和是一个很重要的内容,前面已学习了等差与等比数列求前n项和的公式,但是不少题目是不能直接套用公式的,有些需要用一些特殊的方法,如课本上介绍的（“倒序相加法”）、“错位相减法”等．常用的数列求和法主要有下面几种：1．直接用等差与等比求前n项和的公式法；2．折项或并项求和法；3．奇偶求和法；4．裂项求和法；5．错位相减法；6.猜想归纳法．本节课是高三第一轮复习中数列求和的第一节,从而分析变换通项以及用局部和整体的思想来选择恰当的方法对非特殊的数列求和是本节课的重点与难点。
高中数学数列求和教案模板
高中数学数列求和教案模板
一、教学目标：
1. 知识与技能：掌握数列求和的基本方法，能够运用公式求解数列求和问题。
2. 过程与方法：培养学生分析问题、归纳规律和运用公式求解问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生坚持不懈、勇于探索的学习态度。
二、教学重点和难点：
1. 掌握等差数列求和公式和等比数列求和公式。
2. 解决实际问题中的数列求和问题。
三、教学过程：
1. 导入：通过一个生活中的实际问题引入数列求和的概念，引起学生兴趣。
2. 提出问题：给学生几道数列求和的练习题，让学生自己尝试解答。
3. 教学讲解：介绍等差数列求和公式和等比数列求和公式，讲解求解数列求和的基本方法。
4. 拓展练习：让学生做一些更复杂的数列求和题，巩固所学知识。
5. 实际应用：引导学生应用所学知识解决实际问题，提高学生的综合应用能力。
6. 总结：对本堂课所学内容进行总结，巩固学生的学习成果。
四、课堂作业：
1. 完成课堂练习题。
2. 设计一个与生活相关的数列求和问题，并用公式解决。
五、教学反思：
1. 教学过程中是否引入了生活实例，激发了学生的学习兴趣？
2. 是否根据学生的实际情况，调整了教学内容和难度？
3. 学生能否掌握数列求和的基本方法和公式，是否能够独立解决数列求和问题？
六、板书设计：
1. 等差数列求和公式：Sn = n(a1 + an)/2
2. 等比数列求和公式：Sn = a1(1-q^n)/(1-q)
七、教学反馈：
通过课堂练习和作业的批改，及时了解学生对数列求和知识的掌握情况，做好巩固和拓展工作。
数列求和(经典导学案及练习答案详解)
§6.5 数列求和学习目标1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．知识梳理数列求和的几种常用方法 1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)形如a n ＝(－1)n ·f (n )类型，常采用两项合并求解． 3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1.( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时，只要把上式等号两边同时乘a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ＋2n ＋3的前n 项和可用分组转化法求和．( √ )教材改编题1．数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100答案 D解析 S 100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.2．等差数列{a n }中，已知公差d ＝12，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝50，则a 2＋a 4＋…＋a 100等于( )A ．50B ．75C ．100D ．125 答案 B解析 a 2＋a 4＋…＋a 100＝(a 1＋d )＋(a 3＋d )＋…＋(a 99＋d ) ＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋50d ＝50＋25＝75.3．在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝________.答案 2 022解析 a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0222 023，∴n ＝2 022.题型一 分组求和与并项求和例1 (2022·衡水质检)已知各项都不相等的等差数列{a n }，a 6＝6，又a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)∵{a n }为各项都不相等的等差数列， a 6＝6，且a 1，a 2，a 4成等比数列． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝a 1＋5d ＝6，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d ≠0，解得a 1＝1，d ＝1，∴数列{a n }的通项公式a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n ，记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 延伸探究 在本例(2)中，如何求数列{b n }的前n 项和T n ? 解 由本例(2)知b n ＝2n ＋(－1)n n . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n 2－2；当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ] ＝2n ＋1－2＋n －12－n＝2n ＋1－n 2－52.所以T n＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.教师备选(2020·新高考全国Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100. 解 (1)由于数列{a n }是公比大于1的等比数列，设首项为a 1，公比为q ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *. (2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32， 26＝64，27＝128，所以b 1对应的区间为(0,1]，则b 1＝0； b 2，b 3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]， 则b 2＝b 3＝1，即有2个1； b 4，b 5，b 6，b 7对应的区间分别为 (0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，则b 4＝b 5＝b 6＝b 7＝2，即有22个2；b 8，b 9，…，b 15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b 8＝b 9＝…＝b 15＝3， 即有23个3；b 16，b 17，…，b 31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]， 则b 16＝b 17＝…＝b 31＝4，即有24个4；b 32，b 33，…，b 63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]， 则b 32＝b 33＝…＝b 63＝5，即有25个5；b 64，b 65，…，b 100对应的区间分别为(0,64]，(0,65]，…，(0,100]， 则b 64＝b 65＝…＝b 100＝6，即有37个6.所以S 100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.思维升华 (1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和．(2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c n }的前n 项和．跟踪训练1 (2022·重庆质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 由S 5＝5a 3＝25得a 3＝a 1＋2d ＝5， 又a 5＝9＝a 1＋4d ， 所以d ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)结合(1)知b n ＝(－1)n n 2，当n 为偶数时， T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6)＋…＋(b n －1＋b n )＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n －1)2＋n 2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n －(n －1)][n ＋(n －1)] ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n 为奇数时，n －1为偶数，T n ＝T n －1＋(－1)n ·n 2＝(n －1)n 2－n 2＝－n (n ＋1)2.综上可知，T n ＝(－1)n n (n ＋1)2.题型二 错位相减法求和例2 (10分)(2021·全国乙卷)设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n ＝na n3.已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求{a n }和{b n }的通项公式； [切入点：设基本量q ](2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和．证明：T n <S n 2. [关键点：b n ＝n ·⎝⎛⎭⎫13n ]教师备选(2020·全国Ⅰ)设{a n}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{a n}的公比；(2)若a1＝1，求数列{na n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，∵a1为a2，a3的等差中项，∴2a1＝a2＋a3＝a1q＋a1q2，a1≠0，∴q2＋q－2＝0，∵q≠1，∴q＝－2.(2)设{na n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＝(－2)n－1，S n＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，①－2S n＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n(－2)n，②①－②得，3S n＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n＝1－(－2)n1－(－2)－n(－2)n＝1－(1＋3n)(－2)n3，∴S n ＝1－(1＋3n )(－2)n9，n ∈N *.思维升华 (1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，常采用错位相减法．(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．②应用等比数列求和公式必须注意公比q 是否等于1，如果q ＝1，应用公式S n ＝na 1. 跟踪训练2 (2021·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围． 解 (1)因为4S n ＋1＝3S n －9， 所以当n ≥2时，4S n ＝3S n －1－9， 两式相减可得4a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n ＝34.当n ＝1时，4S 2＝4⎝⎛⎭⎫－94＋a 2＝－274－9， 解得a 2＝－2716，所以a 2a 1＝34.所以数列{a n }是首项为－94，公比为34的等比数列，所以a n ＝－94×⎝⎛⎭⎫34n －1＝－3n ＋14n .(2)因为3b n ＋(n －4)a n ＝0， 所以b n ＝(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n.所以T n ＝－3×34－2×⎝⎛⎭⎫342－1×⎝⎛⎭⎫343＋0×⎝⎛⎭⎫344＋…＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ，① 且34T n ＝－3×⎝⎛⎭⎫342－2×⎝⎛⎭⎫343－1×⎝⎛⎭⎫344＋0×⎝⎛⎭⎫345＋…＋(n －5)×⎝⎛⎭⎫34n ＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，② ①－②得14T n ＝－3×34＋⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫343＋…＋⎝⎛⎭⎫34n －(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－94＋916⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －11－34－(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，所以T n ＝－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1.因为T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，所以－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1≤λ⎣⎡⎦⎤(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n 恒成立，即－3n ≤λ(n －4)恒成立， 当n <4时，λ≤－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≤1；当n ＝4时，－12≤0恒成立，当n >4时，λ≥－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≥－3.所以－3≤λ≤1.题型三 裂项相消法求和例3 (2022·咸宁模拟)设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *， 所以a n ＋1＋a n －2a n ＋1a n ＝4， 即(a n ＋1－a n )2＝4，又{a n }是各项为正数的单调递增数列， 所以a n ＋1－a n ＝2， 又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝4n 2. (2)b n ＝1a n －1＝14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋ 12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 教师备选设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)，求{b n }的前n 项和T n ，证明：38≤T n ＜34.(1)解 因为2S n ＝3a n －1， 所以2S 1＝2a 1＝3a 1－1， 即a 1＝1.当n ≥2时，2S n －1＝3a n －1－1， 则2S n －2S n －1＝2a n ＝3a n －3a n －1， 整理得a na n －1＝3，则数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，故a n ＝1×3n －1＝3n －1. (2)证明 由(1)得b n ＝3n(3n －1＋1)(3n ＋1)＝32×⎝⎛⎭⎫13n －1＋1－13n ＋1，所以T n ＝32×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫130＋1－131＋1＋⎝⎛⎭⎫131＋1－132＋1＋⎝⎛⎭⎫132＋1－133＋1＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －1＋1－13n ＋1，即T n ＝32×⎝⎛⎭⎫12－13n ＋1＝34－323n ＋1，所以T n <34，又因为T n 为递增数列， 所以T n ≥T 1＝34－38＝38，所以38≤T n <34.思维升华 利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2. 跟踪训练3 (2022·河北衡水中学模拟)已知数列{a n }满足a 1＝4，且当n ≥2时，(n －1)a n ＝ n (a n －1＋2n －2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)记b n ＝2n ＋1a 2n，求数列{b n }的前n 项和S n .(1)证明 当n ≥2时， (n －1)a n ＝n (a n －1＋2n －2)， 将上式两边都除以n (n －1)， 得a n n ＝a n －1＋2n －2n －1， 即a n n －a n －1n －1＝2， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝4为首项，2为公差的等差数列．(2)解 由(1)得a nn ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2，即a n ＝2n (n ＋1)，所以b n ＝2n ＋1a 2n ＝14⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋1)2，所以S n ＝14⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫122－132＋⎭⎬⎫…＋⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋1)2 ＝14⎣⎡⎦⎤1－1(n ＋1)2＝n 2＋2n 4(n ＋1)2.课时精练1．已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围． 解 (1)由等差数列性质知，S 7＝7a 4＝49， 则a 4＝7，故公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2， 故a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝22n －1＋2n －1， T n ＝21＋1＋23＋3＋…＋22n －1＋2n －1 ＝21＋23＋…＋22n －1＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝21－22n ＋11－4＋n (1＋2n －1)2＝22n ＋13＋n 2－23.易知T n 单调递增，且T 5＝707<1 000，T 6＝2 766>1 000，故T n ≥1 000，解得n ≥6，n ∈N *.2．(2020·全国Ⅲ改编)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n .(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解 (1)由题意可得a 2＝3a 1－4＝9－4＝5，a 3＝3a 2－8＝15－8＝7，由数列{a n }的前三项可猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝2n ＋1.(2)由(1)可知，a n ·2n ＝(2n ＋1)·2n ，S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，① 2S n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② 由①－②得，－S n ＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22×(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝(1－2n )·2n ＋1－2，即S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.3．(2022·合肥模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 解 (1)由已知得a n ＋1－a n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2＋2(1－2n －1)1－2＝2n . 又a 1＝2，也满足上式，故a n ＝2n .(2)由(1)可知，b n ＝log 2a n ＝n ，1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故T n ＝n n ＋1.4．(2022·济宁模拟)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1,3a 2的等差中项，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n log 2a 2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1,3a 2的等差中项，所以2a 3＝2a 1＋3a 2，即2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12， 因为数列{a n }是正项等比数列，所以q ＝2.所以a n ＝a 4·q n －4＝2n .(2)方法一 (分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n ＋1＝22n ＋1，所以b n ＝(－1)n ·log 2a 2n ＋1＝(－1)n ·log 222n ＋1＝(－1)n ·(2n ＋1)，①若n 为偶数，T n ＝－3＋5－7＋9－…－(2n －1)＋(2n ＋1)＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n －1)＋(2n ＋1)]＝2×n 2＝n ； ②若n 为奇数，当n ≥3时，T n ＝T n －1＋b n ＝n －1－(2n ＋1)＝－n －2，当n ＝1时，T 1＝－3适合上式，综上得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，－n －2，n 为奇数 (或T n ＝(n ＋1)(－1)n －1，n ∈N *)．方法二 (错位相减法)由(1)可知，a 2n ＋1＝22n ＋1，所以b n ＝(－1)n ·log 2a 2n ＋1＝(－1)n ·log 222n ＋1＝(－1)n ·(2n ＋1)， T n ＝(－1)1×3＋(－1)2×5＋(－1)3×7＋…＋(－1)n ·(2n ＋1)， 所以－T n ＝(－1)2×3＋(－1)3×5＋(－1)4×7＋…＋(－1)n ＋1(2n ＋1)， 所以2T n ＝－3＋2[(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n ]－(－1)n ＋1(2n ＋1)＝－3＋2×1－(－1)n －12＋(－1)n (2n ＋1)＝－3＋1－(－1)n －1＋(－1)n (2n ＋1) ＝－2＋(2n ＋2)(－1)n ， 所以T n ＝(n ＋1)(－1)n －1，n ∈N *.5．(2022·重庆调研)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若________，求数列{b n }的前n 项和S n ，在①b n ＝4a n a n ＋1，②b n ＝(－1)n ·a n ，③b n ＝2n a n a ⋅这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36， 解得d ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)选条件①.b n ＝42n ·2(n ＋1)＝1n (n ＋1)， 则S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 选条件②.∵a n ＝2n ，b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n ·2n ， ∴S n ＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n ·2n ， 当n 为偶数时，S n ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ] ＝n 2×2＝n ； 当n 为奇数时，n －1为偶数， S n ＝n －1－2n ＝－n －1.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，－n －1，n 为奇数. 选条件③.∵a n ＝2n ，b n ＝2n a n a ⋅， ∴b n ＝22n ·2n ＝2n ·4n ， ∴S n ＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n ·4n ，① 4S n ＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n －1)·4n ＋2n ·4n ＋1，② ①－②得－3S n ＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n －2n ·4n ＋1＝4(1－4n )1－4×2－2n ·4n ＋1 ＝8(1－4n )－3－2n ·4n ＋1， ∴S n ＝89(1－4n )＋2n 3·4n ＋1.。
数列求和导学案
【学习目标】
1．能熟练地应用等差数列、等比数列前 n 项和公式解决有关数列求和问题； 2．掌握非等差数列、等比数列求和的几种常用方法.
【学习重、难点】
1．重点是倒序相加法、裂项相消法、错位相减法； 2．难点是能根据通项选择合适的方法求和.
课前自学案
n
项可以裂项 吗？如果可 以，用到的运 算方法是什 么？
[归纳领悟]：
4、错位相减求和法： 例 4.（2010· 四川高考)已知等差数列{an}的前 3 项和为 6，前 8 项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
问题 3、我们知道通分运算：
1 1 1 1 ，也就是说 可以裂项为 n n 1 n(n 1) n(n 1)
1 1 .你能尝试仿照上述过程写出一些裂项运算的等式吗？ n n 1
问题 4、等比数列的前 n 项和公式推导过程对解自主探究第 5 题有什么启示作用 ？ 学法指导： 感知模型，听 分析，归纳通 性通法，看规 范格式、书 写. 例 1 中应用等 比数列求和 公式要注意 什么？
例 4 中如对字 母有什么要 求？怎么解 决呢？
[归纳领悟]：
【整合提升】------ 谈收获
世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到。
数列求和的几种方法：
心得体会： 【课后强化】------ 一定行 1．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝ 2 A. 5 1 B. 30 7 C. 30 5 D. 6 ) 1 ，则 S8 等于( （n＋1）（n＋2） )
世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到。
数列的求和导学案
数列的求和高一（ ）班 姓名 ____________ 学号 _____________一、学习目标：（1）. 熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；(2). 能运用错位相减、裂项相消、倒序相加等重要的数学方法进行求和运算；（重点）（3）熟记一些常用的数列的和的公式．二、学习过程数列求和的方法：1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求.①等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq ⎧=⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ 常见的数列的前n 项和：123+++……+n=__________， 1+3+5+……+(2n-1)=_______ 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++等. 2、错位相减法： 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.若n n n c b a =∙，其中{}n b 是等差数列，{}n a 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b a b a b a b a --=++++则n qS = 122311n n n n b a b a b a b a -+++++两式相减并整理即得例1、（2008年全国Ⅰ第19题第（2）小题，满分6分）已知 12n n a n -=∙，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列{}n c 的公比q ；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和的公式求和.针对训练1、求和：()23230,1n n S x x x nx x x =++++≠≠3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。
数列地求和导学案
数列的求和高一（ ）班 姓名 ____________ 学号 _____________ 一、学习目标：（1）. 熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；(2). 能运用错位相减、裂项相消、倒序相加等重要的数学方法进行求和运算；（重点） （3）熟记一些常用的数列的和的公式． 二、学习过程数列求和的方法： 1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求.①等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq ⎧=⎪=-⎨-=≠⎪--⎩常见的数列的前n 项和：123+++……+n=__________， 1+3+5+……+(2n-1)=_______2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++等.2、错位相减法：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.若n n n c b a =∙，其中{}n b 是等差数列，{}n a 是公比为q 等比数列，令 112211n n n n n S b a b a b a b a --=++++则n qS = 122311n n n n b a b a b a b a -+++++两式相减并整理即得 例1、（2008年全国Ⅰ第19题第（2）小题，满分6分）已知 12n n a n -=∙，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列{}n c 的公比q ；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和的公式求和.针对训练1、求和：()23230,1n nS x x x nx x x =++++≠≠3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。
数列求和导学案
2.6数列求和导学案n 项和公式解决有关关应用问题；掌握非等差数列、等比数列求和的几种常用方法。
n 项和的定义：=nS _________________________________________；若数列{}n a 是等差数列则①：=n S ___________；公式②：=n S ________________; 若数列{}n a 是等比数列则①：=nS ____________；公式②：=n S ______________.（一）公式法（直接求和）如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比q 的取值情况要分q ＝1和q ≠1. 例1、求和:(1)123n S n =++++(2)n S =+++⋯⋯+n 2482(3)132......1-+++++=n n a a a a S（二）：绝对值求和{}n a ：注重原来通项正负转换的位置例2：在等差数列{}n a 中，316n a n =-，n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .练习：在等差数列{}n a 中，113,5a d ==-，n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
（三）分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．例3、求和：()()()()232122232n n S n =-+-+-++-练习：.数列121,341,581,7161,…,(2n -1)+n 21,…的前n 项和n S 的值等于（四）错位相减法：若通项能转化为等差数列与等比数列的积，一般适用于数列{}n n a b 的前n 项求和，其中{}n a 成等差，{}n b 成等比，即n n n c b a ⋅=. 例4、求和21122322n n -+⋅+⋅++⋅. 变式：求和21123n a a na -++++。
高中数学第二章数列习题课数列求和学案新人教B必修5
习题课 数列求和[学习目标] 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法．[预习导引] 1．基本求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d .(2)等比数列前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q.2．数列{a n }的a n 与S n 的关系数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．拆项成差求和经常用到下列拆项公式 (1)1nn ＋1＝1n －1n ＋1. (2)12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)．(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .要点一 分组分解求和例1 求和：S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n＋1xn )2.解 当x ≠±1时，S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n＋1xn )2＝(x 2＋2＋1x 2)＋(x 4＋2＋1x 4)＋…＋(x 2n＋2＋1x2n )＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n)＋2n ＋(1x 2＋1x 4＋…＋1x2n )＝x 2x 2n －1x 2－1＋x －21－x －2n 1－x－2＋2n＝x 2n －1x 2n ＋2＋1x 2n x 2－1＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，x ＝±1，x 2n－1x 2n ＋2＋1x 2n x 2－1＋2n ，x ≠±1.规律方法 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和． 跟踪演练1 求数列{a n }：1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)．解 当a ＝1时，则a n ＝n ，于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.当a ≠1时，a n ＝1－a n1－a ＝11－a(1－a n)．∴S n ＝11－a [n －(a ＋a 2＋…＋a n)]＝11－a [n －a 1－a n1－a]＝n1－a －a 1－a n1－a2. ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋12，a ＝1，n 1－a－a1－an 1－a2，a ≠1.要点二 错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4－a n )qn －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1，故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)知，b n ＝n ·qn －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，若q ≠1，上式两边同乘以q .qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1－n ·q n＝1－q n1－q －n ·q n. ∴S n ＝1－qn1－q2－n ·q n 1－q ＝n ·q n ＋1－n ＋1q n ＋11－q2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋12 q ＝1，nq n ＋1－n ＋1q n ＋11－q2q ≠1.规律方法 用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．跟踪演练2 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解 (1)∵a n ＋1＝2S n ，∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝2S n ， ∴S n ＋1＝3S n .又∵S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公比为3的等比数列．∴S n ＝3n －1(n ∈N ＋)．当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2，且a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ， 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2， ① ∴3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，②①－②得－2T n ＝2＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1＝2＋2·31－3n －21－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1，∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ≥2)，又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ∈N ＋)．要点三 裂项相消求和例3 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2.解 ∵1n 2－1＝1n －1n ＋1＝12(1n －1－1n ＋1)， ∴原式＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －1－1n ＋1)]＝12(1＋12－1n －1n ＋1)＝34－2n ＋12n n ＋1. 规律方法 如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项求和法． 跟踪演练3 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n .解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2nn ＋1＝2(1n －1n ＋1)， ∴S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2nn ＋1.要点四 奇偶并项求和例4 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n －1)．解 当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n ＋5)＋(2n －3)]＋(－2n ＋1) ＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n .当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n ＋3)＋(2n －1)]＝2·n2＝n .∴S n ＝(－1)n·n (n ∈N ＋)．跟踪演练4 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n －2)，…，求其前n 项和S n . 解 n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N ＋)，S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)2k (6k －2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k ＋5)＋(6k －2)] ＝3k ＝32n ；当n 为奇数时，令n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)．S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12. ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋12n 为奇数，3n2 n 为偶数.1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n n ＋1，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130答案 B 解析 ∵a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S 5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56.2．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12n B.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A解析 112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋…＋n )＋(12＋14＋…＋12n )＝n n ＋12＋121－12n 1－12＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n . 3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121 答案 C 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1，整理可得13a n ＝－23a n －1，即a na n －1＝－2，故数列{a n}是以1为首项，－2为公比的等比数列，故a n＝(－2)n－1.求数列前n项和，一般有下列几种方法．1．错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．2．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．4．奇偶并项：当数列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法．。
数列求和(学案)
数列求和一、学习目标：1 进一步巩固等差数列和等比数列的求和公式。
2 会运用等差数列和等比数列的求和公式的推导方法和思想解决某些特殊数列的求和问题。
二、预习题纲：（1）等差数列的求和公式 （2）等比数列的求和公式（3）这两个公式是用何种方法推导出来的？三、基础巩固： （1）问题：通过上述练习：（1）你能总结出数列求和的哪些常用方法？ （2）具体问题该如何恰当地选择方法？()()1111(2)25588113132n n =++++⨯⨯⨯-⨯+n S 234(3)234nn s x x x x nx=+++++ 11(2)(4)24n S =++++1(2n )2n++···四、能力提升：五、课后探究：六、小结与反思：通过本节课的学习你掌握了哪些数列求和的方法，以及对这些方法如何恰当选择？ 七、布置作业| （1）完善本学案。
（2）预习：循环结构（见学案）()442x xf x =+3、已知:，()()1f x f x +-122010(2)201120112011S f f f =+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111(1)112123123n=+++++++++++n S ()()()221(2)1121221222n -=+++++++++++n S 2222sin 1sin 2sin 3sin 89+++++(3)求和：{}()()1100143n n n a a n S-=--1、数列的通项公式 求{}112011112nn na a a a +=-=2、若数列满足 且，求S （1）求。
专题28 数列求和(教学案)(解析版)
2 014，2 016.
故 S2 016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 014＋2 016)＝1 008. 答案 (1)A (2)A
高频考点二 裂项相消法求和
例 2、已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差为 d，若 d，S9 为函数 f(x)＝(x－2)(x－99)的两个零点且
2n（b1＋b2n）
＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝
2
＝2n2.
【方法规律】(1)若数列{cn}的通项公式为 cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和
法求数列{cn}的前 n 项和. an，n为奇数，
(2)若数列{cn}的通项公式为 cn＝bn，n为偶数，其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分 组求和法求{an}的前 n 项和.
A.1 008
B.2 016 C.504 D.0
1 解析 (1)该数列的通项公式为 an＝(2n－1)＋2n，
则 Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋12＋212＋…＋21n
1 ＝n2＋1－2n.
π (2)a1＝cos 2＝0，a2＝2 cos π＝－2，a3＝0，a4＝4，….
所以数列{an}的所有奇数项为 0，前 2 016 项的所有偶数项(共 1 008 项)依次为－2，4，－6，8，…，－
d<S9.
(1)求数列{an}的通项公式；
1 (2)若 bn＝ an＋1＋ an(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解 (1)因为 d，S9 为函数 f(x)＝(x－2)(x－99)的两个零点且 d<S9，所以 d＝2，S9＝99，
nn－1
9×8
数列求和导学案
数列求和【2013年高考会这样考】1．考查等差、等比数列求和及非等差、等比数列求和的几种常见方法．2．通过数列求和考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力．【我们的应考策略】1．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n 项和公式．2．熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．一、数列求和的常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．5．分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．一种思路 一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．两个提醒 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．三个公式(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 二、双基自测1．(人教A 版教材习题改编)等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，则S 8＝( )．A ．254 B ．255 C ．256 D ．2572．(2011·潍坊模拟)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )．A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n 4 D ．n 2＋n3．(2012·北京海淀模拟)等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )． A ．120 B ．70 C ．75 D ．100三、命题方向考向一 公式法求和【1】►已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，S n 是其前n 项和，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列．(1)求公比q 的值；(2)求T n ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值．[审题视点] 求出公比，用等比数列求和公式直接求解．方法总结：应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式．考向二 分组转化求和【2】►(2012·包头模拟)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求：(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．[审题视点] 第(1)问由已知条件列出关于p 、q 的方程组求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解．方法总结：对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和考向三 裂项相消法求和【3】►在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . [审题视点] 第(1)问利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消求和．方法总结：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的考向四 错位相减法求和【4】►(2011·辽宁)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和． [审题视点] 第(1)问列出关于首项a 1与公差d 的方程组可求解；第(2)问观察数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的通项采用错位相减法．方法总结：用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．四、自我检测1．(2011·沈阳六校模考)设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )．A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n －1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －122、 在等比数列{a n }中，a 3＝9，a 6＝243，求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ，并求a 9和S 8的值。
高三数学一轮复习学案：专题《数列求和》
3．数列 的通项 ，其前n项和为Sn，则S30＝．
4、 ，（其中 ， 是不为0的常数，且 ）
5、已知数列 的前n项和为 ，且
（1）求
（2）求
1．已知等差数列 的前n项和为 ,则数列 的前100项和为．
2．若 ，则 ．
3．化简： ．
4．数列 的通项公式 ,前n项和为Sn,则 ．
5.已知数列 的首项 ，通项 （ 为常数），且 成等差数列，求：（Ⅰ） 的值；（Ⅱ）数列 的前 项的和 的公式。
课外作业——数列求和姓名：
1．在等比数列{an}中，a1= ，a4=－4，则公比q=； ．
7课题：数列求和班级姓名：
一：学习目标
数列求和的常用.
二：课前预习
1、已知数列 为等差数列， ，则
2、已知数列 ，则它的前n项和为_________________
3、数列 4、
5、数列 ，则它的前n项和为_____________
6、已知函数 的值为____
三：课堂研讨
例1、若 对一切正整数n都成立，求正整数 的最小值.
例2、等比数列{ }的前n项和为 ，（ ），点 均在函数 且 均为常数)的图象上.
（1）求r的值；（2）当b=2时，记 求数列 的前 项和
例3、数列
(Ⅰ)求 并求数列 的通项公式；
(Ⅱ)
设 ， , ，求使 的所有 的值，并说明理由
备注
课堂检测——数列求和姓名：
数列与数列求和的应用教学案
数列与数列求和的应用教学案在数学教学中，数列与数列求和是一个重要的概念和技巧，具有广泛的应用。
通过教学案的设计和实施，可以帮助学生更好地理解数列与数列求和的概念和方法，并且提高他们的数学应用能力。
本文将就数列与数列求和的应用教学进行探讨。
一、教学目标1. 知识与技能目标：（1）了解数列和数列求和的概念；（2）掌握数列和数列求和相关的公式和方法；（3）能够应用数列和数列求和解决实际问题。
2. 过程与方法目标：（1）培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力；（2）注重启发式教学，激发学生的学习兴趣和主动性；（3）通过课堂练习和实际应用，培养学生的数学思维和创新意识。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1. 数列的概念和表示方法：数列是有序的一系列数按照一定规律排列而成的集合，可表示为{an}或者an，其中an表示第n个数。
2. 数列的常见类型：（1）等差数列：相邻两项之差相等，可表示为an=a1+(n-1)d。
（2）等比数列：相邻两项之比相等，可表示为an=a1*r^(n-1)。
（3）斐波那契数列：每一项是前两项之和，可表示为an=an-1+an-2，其中a1=1，a2=1。
3. 数列求和的方法和技巧：（1）等差数列求和：Sn=n/2*(a1+an)。
（2）等比数列求和：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
（3）其他数列求和方法：递推法、数学归纳法等。
4. 数列求和的实际应用：（1）金融领域：利率、复利计算等；（2）物理学领域：运动学问题中的位移、速度、加速度等；（3）生活中的应用：数列模型在生活中的应用实例。
三、教学过程1. 导入与激发兴趣：可以通过生动有趣的问题引导学生思考，如："小明存钱，第一天存1元，第二天存2元，第三天存3元，以此类推，请问他存了多少钱？"。
2. 知识讲解与概念引入：通过讲解数列的概念和表示方法来引入数列的内容，并结合具体的例子解释等差数列、等比数列和斐波那契数列的特点和应用。
高中数学 《数列求和》导学案 新人教A版必修5
高中数学必修5 《数列求和》导学案姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1、 会用公式法求等差数列和等比数列的前n 项的和。
2、 会用几种特殊方法求几种常见特殊数列的前n 项的和。
【重点难点】重点：数列求和方法及其获取思路．难点：数列求和方法及其获取思路．【知识链接】等差数列求和公式:等比数列求和公式:【学习过程】知识点一：公式法求和直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法．例1．已知3log 1log 23-=x ，求数列{}n x 的前n 项和. 分析：本题可先求出x ，而所求和的形式满足等比数列，所以可以直接用等比数列前n 项和公式求解.等差数列前n 项和公式的推导方法：)(211121n n n n n n n a a n S a a a S a a a S +=⇒⎩⎨⎧+++=+++=-例2．求和：222222222222110108339221011++++++++分析：数列的第k 项与倒数第k 项和为1，故宜采用倒序相加法．知识点三：错位相减法：这种方法主要用于求数列{an · bn}的前n 项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 等比数列前n 项和公式的推导方法：11132321)1(++-=-⇒⎩⎨⎧++++=++++=n n n n n n n a a S q a a a a qS a a a a S例3．求和：)0()12(5332≠-++++x x n x x x n 分析：数列的每一项由两部分构成，一部分成等差，另一部分成等比，符合错位相减法求解。
知识点四：裂项相消法求和裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）. 常见的拆项公式有：1()n n k =+ ，= ，1(21)(21)n n =-+ 例4．求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S.知识点五：分组求和法一个数列的通项公式由若干个等差或等比或可求和的数列组成，分别求和而后相加减。
数列求和(2月7号学案及作业)
(2)令 bn＝(n＋n＋2)12a2n，数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明： 对于任意的 n∈N*，
都有
5 Tn<64.
4
裂项相消法求和的注意点 (1)在把通项裂开后，应验证其是否恰好等于相应的两项之差，注意变形的等
价性．
(2)在正负项抵消后，应注意消项的规律具有对称性，前面剩下几项，后面也
高考概览：1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式；2.掌握非等差数列、 非等比数列求和的几种常见方法．
[知识梳理] 1．公式法与分组求和法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 ①等差数列的前 n 项和公式：
Sn＝n(a12＋an)＝
.
②等比数列的前 n 项和公式：
na1，q＝1， Sn＝ a11－－aqnq＝a1(11－－qqn)，q≠1.
1
1．三个裂项公式
[辨识巧记]
(1)n(n1＋1)＝1n－n＋1 1.
(2)(2n－1)1(2n＋1)＝122n1－1－2n1＋1.
(3)
1＝ n＋ n＋1
n＋1－
n.
2．两个注意点
(1)应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称性，即前面剩第几项则后 面剩倒数第几项．
(2)应用错位相减法时，应注意相减后符号的变化和所构成的等比数列的项
a1－anq 项，或用 Sn＝ 1－q ，更不易出错．
[对点训练] 已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，{bn}是首项为 2 的等比数列， 且公比大于 0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nb2n－1}的前 n 项和(n∈N*)．
高中数学 课程整合《数列求和》(第1课时)学案 新人教A版必修
高中数学课程整合《数列求和》（第1课时）学案新人教A版必修数列求和共两课时**学习目标**1、掌握数列求和的方法；2、能根据和式的特征选用相应的方法求和、**要点精讲**1、公式法：等差、等比数列求和公式；公式：，等。
2、错位相减法：若是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和，常用错位相减法。
3、裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项。
4、分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列。
5、并项求和法：特点是数列的前后两项和或差可以组成一个我们熟悉的数列形式6、倒序相加法：类似于等差数列前项和公式的推导方法、**范例分析**例1、求和：、例2、（1）已知数列满足，求。
（2）已知数列的通项公式，求。
（3）已知数列的通项公式，求。
（4）求和：。
例3、（1）求和：（2）求和：（3）已知函数对一切，。
求和：。
例4、在等差数列中,首项，数列满足，且。
（1）求数列的通项公式；（2）求证：。
**规律总结**1、在例1中，把和式看成是某个数列的前项和，把每一项按通项形式分开，然后分组求和。
2、常用结论：，，，，，，。
2、用错位相减法求和时最好列出前3项和末3项；3、对和式中通项作结构分析，确定选用哪个方法、**基础训练**一、选择题1、已知数列的前n项和，则等于（）A、13B、C、46D、762、数列，，，…，，…则它的前项和（）A、B、C、D、3、和式 ( )A、B、C、D、4、已知，则（）A、B、C、D、5、和式（）A、B、C、D、二、填空题6、求和：。
7、设，则______________。
8、已知，，则。
三、解答题9、已知点列在直线上，为直线与轴的交点，等差数列的公差为（1）求、的通项公式；（2）设，求。
10、已知函数满足对于任意的实数，都有，且。
（1）求的值；（2）求证数列为等比数列；（3）设，,求证：、**能力提高**11、有限数列，为其前项和，定义为的“凯森和”；如有项的数列的“凯森和”为，则有项的数列的“凯森和”为（）A、B、C、D、12、（1）已知数列的通项公式，求数列的前项的和。
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学案 数 列 求 和
一、 知识梳理
求数列前n 和的方法： 方法一： 利用等差、等比数列的前n 项和公式和常用的求和公式 等差数列的前n 项和公式为：n S =____________=_____________。
_________ 1q = 等比数列的通项公式为：n S =
__________=__________ 1q ≠ .
1234n +++++= _________________； 22222
1234n +++++= _________________； 333331234n +++++= ___________________。
方法二： 分组求和法 例1、 求下列各式的和： （1）39256521248162n n n n S ⋅+=+++++ ；
（2）22222111()()()n n n S x x x x x x
=++++++ ；
变式、求下列各式的和：
（1）)()2()1(2n a a a n -++-+- ；
（2）11111111(1)(1)(1)224242n n S -=+++++++++++ ；
（3） 111111111n n S =++++
（4）数列1
1111,2,3,4,392781
的前n 项和是 .
方法三：倒序相加法（从等差数列的前n 项和公式求法得到） 例2、求下列各式的和：
（1）2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++ ；
（2）设()
f x =
，求(5)(4)(5)(6)f f f f -+-+++
变式、设4()42
x
x f x =+， 求12320122013()()()()()20132013201320132013
f f f f f +++++
方法四：裂项相消法
例4、（1）求数列
111,,,12123123(1)n ++++++++ 前n 项和
（2）求数列
1111,,,,132435(2)n n ⨯⨯⨯+ ，的前n 项和n S ；
（3）()()111112323434512n S n n n =++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯++ ；
变式、（1）求和：1111447(32)(31)
n n +++⨯⨯-+ ；
（2）求和)12)(12()2(5343122
22+-++⋅+⋅=n n n S n
（3
,,, ， 的前n 项和；
（4）正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且.12+=n n a S ① 求数列}{n a 的通项公式； ② 设1
1n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 和为n T ，求证：12n T <。
（5） 已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的*n N ∈ 满足关系式233n n S a =-，
① 求数列{}n a 的通项公式；
② 设数列{}n b 的通项公式是3311log log n n n b a a +=⋅ 前n 项和为n T ，求证：对于任意的正数n ，总有1n T <。
方法五：错位相减法（从等比数列前n 项和的求法得到） 例5、（1）已知数列211,3,5,,(21)(0)n a a
n a a --≠ ，求前n
项和；
（2）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=，
① 求{}n a ，{}n b 的通项公式； ② 求数列{
}n n a b 的前n 项和n S 。
变式、（1）求数列
1357,,,,24816⋅⋅⋅,212
n n -的前n 项和；
（2）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*111,2()n n a a S n N +==∈，
① 求数列{}n a 的通项n a ； ② 求数列{}n na 的前n 项和n T 。
三、课堂小结。