数学物理方法教案 第八章 分离变数法
数学物理方法第八章
(7 ) ⎧ A0 = 0 ⎪ α1′ ⎪ A1a = − Ea + (8) a ⎪ ′ ⎨ A an = αn (9) n ⎪ n a ⎪ ′ βn n (10) ⎪ Bn a = n a ⎩
Wuhan University
习题课
一、正交曲线坐标系中的分离变量
【求解】
∂u I ε ∂ρ
∞
∂u II ρ =a = ∂ρ
2 l nπ 2 l nπ An = ∫ ϕ (α ) sin αdα , Bn = ∫0ψ (α ) sin l αdα 0 l l nπa
Wuhan University
习题课
二、齐次问题
1、求解
解：u ( x, t ) =
∑(A
n =1
⎧utt = a 2u xx , 0 < x < π , t > 0 ⎪ ⎪u ( x,0) = 3 sin x ⎫ ⎨ ⎬,0≤ x ≤π ⎭ ⎪ut ( x,0) = 0 ⎪u (0, t ) = u (π , t ) = 0; ∞ ⎩
n =1
′ ′ + ∑ (α n cos nϕ + β n sin nϕ ) ρ − n u
II
∞
ρ →∞
= − Eρ cos ϕ →
n =1
α 0 = 0, β 0 = 0; α n = 0(n ≠ 1), β n = 0; α1 ρ = − Eρ → α1 = − E
′ ′ u ( ρ , ϕ ) = − Eρ cos ϕ + ∑ (α n cos nϕ + β n sin nϕ )ρ − n
(3)
(2)
ρ =a
( 4)
习题课
一、正交曲线坐标系中的分离变量
数学物理方程经典教案 分离变量法(研究生,高校本科生)
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法 end
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
wt
§2.2.3 非齐次边界条件的齐次化
边界条件已经齐次化
§2.2.3 非齐次边界条件的齐次化
§2.2.4 高维定解问题的解法
• 目前，数学物理方程中一般都仅给出了 一维空间的波动方程或热传导方程的分 离变量法的解，很少见到如何用分离变 量法求解高维空间的边值或混合问题， 本节讨论高维空间下求解偏微分方程的 分离变量法的技巧。
§2.4 Sturm-Liouville问题
§2.4 Sturm-Liouville问题
§2.4 分离变量法 总结
固有值问题
分离变量法中典型齐次问题的一些结论
分离变量法中典型齐次问题的一些结论
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.2 非齐次方程定解问题的解法
• 对于非齐次方程的定解问题，不能直接使 用分离变量法，可以采用下列几种办法求 解这种问题：
• (一)、 固有函数法 • (二) 、冲量定理法 • (三) 、积分变换法（第四章讲）
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
数学物理方法-第八章
A e
l
B e
l
由 X (0) 0 得 A 0 ，故 X ( x ) B ，因而 X (l ) 0 ，对 B 没有任何限制， 取 B 1 ，所以 X ( x ) B 1 ，若取 B 0 ，则得到零解。故 X ( x ) B 1 . (3) 若 0 ,令
u ( x, t ) u n ( x, t )
n 1
n at n at n x Cn cos Dn sin sin l l l n 1 上式仅满足泛定方程(1)和边界条件(2)， C n , D n 未知.
.
(11)
5、由初始条件确定系数 Cn、Dn 利用初始条件(3)来确定系数 C n , D n 。将
2
，方程(6)的通解为 X ( x ) A cos x B sin x 。 根据(7)式得 B 0, A sin l 0 . 为了得到非零解， B 0 ,故应有 n , ( n 1,2,3, ), sin l 0 ，所以 l n 2 2 n x 于是有本征值 n 2 和本征函数 X n ( x ) An cos n 1, 2,3, l , l
l
(13)
求出系数 m x n x l sin dx mn ， 利用正弦函数的正交性 si n 方法1: l l 2 0
m x 用 si n 乘(12)式和(13)式的两端，对 x 从 0 到 l 积分可得， l l l 2 n x 2 n x Cn ( x)sin dx , Dn ( x) sin l dx . (14) l 0 l n a 0
解题步骤及其核心问题---本征值问题
问题的引入
数学物理方法：第八章-分离变量法-4
柱坐标系中拉普拉斯方程的一般解为
(,,)()()()
m m n n m u r z R r Z z ϕϕ∞
==Φ∑∑其中对于不同的边界条件函数)的形式不样其中对于不同的边界条件，函数R m (r )Z n (z ) 的形式不一样。
结论：
(1) 如果柱的侧面上是齐次边界条件，由此可以确定出本征值μ，而且径向函数所遵从的方程为贝塞尔方程；
（2）如果两端为齐次边界条件，由此可以确定出本征值μ = -ν 2，而且径向函数所遵从的方程为虚宗量贝塞尔方程。
因此，在求解柱坐标系中的拉普拉斯方程时，首先要分辨清楚是柱侧面为齐次边界条件，还是两端为齐次边界条件，以便确定本征值问题。
思考μ = 0????
方程的一般解：
()(,,,)()()()
m m n nj u r z t R r Z z T t ϕϕ∞
∞
=Φ∑∑∑10n
j m ==可见：对于波动方程在柱坐标系中的定解问题，存在三个本征值，即λ , ν 2，及μ= k 2-ν 2，它们分别由周期性条件，圆柱两端的齐次边界条件和圆柱侧面的齐次边界条件来确定。
对于输运方程，也可以得到类似的解：
()2210
(,,,)()()n
k a t m m n n
j m u r z t R r Z z e
ϕϕ∞
∞
-===Φ∑∑∑。
数理方程-分离变量法
第八章 分离变量法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。
分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。
叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。
特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。
（2）物理上 由叠加原理作保证。
例：有界弦的自由振动1.求两端固定的弦的自由振动的规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(t T x X t x u =这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。
第二步：代入方程（偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量）)()()()(2t T x X a t T x X ''=''变形得)()()()(2t T a t T x X x X ''=''= λ- 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。
数物第八章课件
∑ u ( x, t )
=
∞ n=1
( An
cos
nπ at
l
+
Bn
sin
nπ at ) sin
l
nπ
l
x
(12)
∫ An
=
2 l
l ϕ(ξ ) sin nπξ dξ
0
l
(15)
∫ Bn
=
2
nπ a
lψ (ξ ) sin nπξ dξ
0
l
(16)
系数An, Bn的值由(15)、(16)给出，则式(15)、(16)所给
∑ ϕ ( x)
=
∞ n=1
An
sin
nπ
l
x
由 ut t=0 =ψ (x), 得
∑ ψ
(x)
=
∞ n=1
Bn
nπ
l
a
sin
nπ
l
x
(13) (14)
两等式右边是正弦傅氏级数，左边是定义在(0, l)上的
函数，可将函数ϕ(x)和ψ(x)也展成正弦傅氏级数，然
后比较两边的系数就可确定An和Bn。
14
∑ ϕ ( x)
5
⎧⎪ X ′′ + λ X = 0
(5)
⎨
⎪⎩ X (0) = 0, X (l) = 0 (7)
2、求解
①当λ<0时，式(5)的通解为
X ′′ − ( − λ )2 X = 0
X = c1e −λx + c2e− −λx
由X(0)=0，得
c1 + c2 = 0
⇒ c2 = −c1
——本征值问题
y′′ − a 2 y = 0
《数学物理方程》分离变量法-精PPT共29页
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
容
膝
之
易
安
。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
《数学物理方程》分离变量法-精
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
数学物理方法课件 第八章-分离变量法-2
数学物理方法（II）3、二维拉普拉斯方程—热传导二维矩形区域的稳态热传导问题：y uu 0b散热片的横截面为一矩形，长和宽分别a b 。
它的一边y=b 为和它的边y 处于较高的温度，其它三边保持零度。
求横截面上的xa 0(0,0)xx yy u u x a yb +=<<<<⎧稳恒的温度分布000|0,|0|0,|x x a y y b u u u u u ====⎪==⎨⎪==⎩=?求出任意点(x,y )的温度分布u (x,y )?(,)sin u x b u A C e D e x ==+01n n n n a=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∑⎧再利用三角函数的正交性，可以得到：0 C D +=小结：（1）可以采用分离变量法(,)()()u r R r ϕϕ=Φ求解平面极坐标系中的拉普拉斯方程；（2）由周期性条件确定本征值和本征函数：2 (0,1,2,3...)()cos sin m m m m m A m B m λϕϕϕ==Φ=+在径向上的边界条件可以是非齐次的。
（3）拉普拉斯方程的通解为：00(,)ln u r C D rϕ∞=+叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定()()1 +cos sin m m m m m m m C r D r A m B m ϕϕ−=++∑叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定。
例2可以近似地认为带电云层与大地之间的静电场是均匀分布的，且电场强度E 0的方向竖直向下。
现将一个半径为a 的无限长直导线水平架设在该电场中，求导线周围的电场分布。
++带电云分析：轴其截面在平面++•取导体线的方向沿z 轴，其截面在xy 平面；•由于导体线是无线长的，可以取其一个界面进行分析另外导体线的截面个圆故y进行分析。
另外，导体线的截面一个圆，故可以采用平面极坐标系;(,)r ϕx•均匀电场的方向沿x 轴，即00xE =E e 大地/2π/2π−。
第八分离变数法
Am Bm 0(m 1)
29
定解问题的解为
u(,)
解的物理意义
D0
ln(
/
a)
E0
cos
E0
a2
cos
第二项：原来静电场的电势分布。
第三项：静电平衡时感应电荷的影响。
第一项：均匀带电柱体周围静电场的电势分布，在本问题中未
说明导体柱是否带电，故有此项。
30
§2. 非齐次振动方程和输运方程
l
t
Bn
sin
na
l
t n
1,2,
本征解为
u0 (x,t) A0 B0t
un
(
x,
t
)
(
An
cos
na
l
t
Bn
sin
na
l
t
)
cos
nx
l
11
例3. 一端为第一类齐次边界条件，另一端为第二类齐次 边界条件
细杆导热，初始时刻：一端温度为0度，保持不变，另一端温度 为u0，跟外界绝热，杆上温度梯度均匀。
4l 2
2a2
t
14
本征解为：
uk
C e
(
2
k
1)2
4l 2
2
a
2
t
k
sin (2k 1)
2l
x
满足泛定方程和边界条件的一般解为
u(x,t)
k 0
Ck
e
(
2k
1)2
4l 2
2a2
t
sin
(2k
1)
2l
x
根据初始条件确定叠加系数，注意此处的基本函数族
第八章分离变数法
9
第四步：解时间部分：
T ''
n2 2a2
l2
T
0
通解为：
T (t) Acos nat B sin nat ;
l
l
因此，方程（8.1.1）且满足边界条件（8.1.2）的 特解为
un
(
x, t)
An
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
sin
nx
l
,
(n 1,2,3)
用分离变数法得到的数学解式特别清 楚地反映了波动的这些基本概念。
2
两端固定弦的自由振动：
泛定方程 utt a2uxx 0, (0 x l)
初始条件 u |x0 0,
u |xl 0,
边界条件 u |t0 ( x), ut |t0 ( x),
(8.1.1) (8.1.2) (8.1.3)
柱外 2u 0
uxx uyy 0
u |x2 y2＝a2 0
用直角坐标，变数无法分离！ 改用极坐标
2u
2
1
u
1
2
2u
2
0
( a)
u |a 0, u(, 2 ) u(, ),
欲分离变数，不仅要求齐次方程、齐次 边界条件，还要选择合适的坐标系！
38
u
|
E0
cos
u0
Q
2
0
ln
2l
x=l边值要求
d sin nx n cosn 0
dx 2l xl 2l
2
n 2k 1, (k 0,1,2, ),
30
u(x,t)
数学物理方法课件：8-分离变数法
第三步：解本征值问题：
X ''X 0 (8.1.8)
X
(0)
X
(l)
0
(8.1.7)
(1) λ<0 : X (x) C1e x C2e x
由边值
C1 C2 0, C1e l C2e l 0,
C1 0
C2 0
6
(2) λ=0 : 由边值
X '(0) 0, X '(l) 0,
15
X ''X 0,
X '(0) 0, X '(l) 0,
T ' 'a2T 0
(1) λ<0： 由边值条件
X (x) C1e x C2e x
(C1 C2 ) 0 (C1e l C2e l ) 0
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解：
r1，r2的形式
(*)式的通解
两个不相等实根 ( p2 4q 0)
y c1er1x c2er2x
两个相等实根 ( p2 4q 0)
y (c1 c2 x)er1x
一对共轭复根 ( p2 4q 0)
r1 i，r2 i
p ， 4q p2
2
2
y ex (c1 cos x c2 sin x)
3
§8.1 齐次方程的分离变数法 驻波法
（一） 分离变数法介绍
求：两端固定弦的自由振动(p143)。 解：定解问题是
uuttx0
a
2ux 0,
x
0 u
xl
(0 0
x
l)
u t0 (x), ut t0 (x)
即：
分离变数法
2. 性质 1) u1 , u2 分别是齐次方程的
L[u1 ]=0
L[u 2 ]=0
则其组合 L[c1u1 c2 u2 ] 0 2) u1 是非齐次方程的解 u2是齐次方程的解 L[u1]=f L[u2]=0
则 u1 u2 是非齐次方程的解:
L[u1 u2 ] f
3）若L[u1]=f1,L[u2]=f2 则 L[u1 u2 ] f1 f 2 性质（3）对边界条件，初始条件常常用到。
例2
解
若λ>0，
例3
带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强静电场，其电
场强度是竖直的。水平架设的输电线出在这个静电场之
中，输电线是导体圆柱。柱面由于静电感应出现电荷， 圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，不过离圆柱 “无限远“处的静电场应保持为匀强的。现在研究导体 圆 柱怎样改变了匀强静电场。
（2）、u n(x,t) 特解称为本征振动模式它与初始条件无关。 称固有振动模式
（3） 、节点数 n+1
sin l 0
l 2l (n 1)l ,l 位置 x 0, , , n n n 2l 波长 （4） 相邻节点之间距离等于半波长， 、 即 n n na na ,v （5） 、本征频率 n l 2 2l a , 基频 基波（决定了音调） （6） 、基波，谐波 n=1 时 1 l n a n 1时 n 谐波 谐波（决定了音色）
3) 求解本征值问题
A cos B sin ( ) A B ( 0) Ae Be ( 0)
( 0)
得本征值和本征函数:
m2
m 0,1,2,3...
(m 0) (m 0)
《数学物理方法》课程教学大纲
《数学物理方法》课程教学大纲第一篇：《数学物理方法》课程教学大纲《数学物理方法》课程教学大纲（供物理专业试用）课程编码：140612090学时：64学分：4 开课学期：第五学期课程类型：专业必修课先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》教学手段：（板演）一、课程性质、任务1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。
本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。
在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。
2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。
理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。
可以在后续的选修课中加以介绍。
3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。
注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。
但是，它与其它的数学课有所不同。
本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。
因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。
学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。
教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。
二、课程基本内容及课时分配第一篇复数函数论第一章复变函数（10）教学内容：§1.1．复数与复数运算。
第三次更新 第8章 分离变数法
与x 和 t 无关
和 令
X " X 0 X (0) 0 X ' (l ) 0
T ' (t ) a T (t ) 0
2
以下求X
（1）、 < 0， = 0 可以证明，方程仅得无意义的解 （2）、 > 0
An 和 Bn由初始条件确定
初始条件
u( x, t )
t 0
( x)
(0 x l ) (0 x l )
ut ( x, t ) t 0 ( x)
n 1 An sin l x ( x) n
n a n 1 Bn l sin l x ( x) n
l n
n 2 l
2 2
有
n X C2 sin x l
由T满足的方程
n 2 l
2
2
称为本征值 是Furier级数的基本函数族
2
T " (t ) a T (t ) 0 2 2 2 n a T " (t ) T (t ) 0 2 l n at n at T A cos B sin l l n at n at n Bn sin ) sin x 分离变数的解 un ( x, t ) ( An cos l l l
C1 0
C2 0
u ( x, t ) 0
故 =0 也是不可能的
（3）、 > 0
X " X 0
X C1 cos x C2 sin x
而由边界条件
C1 0
C2 sin l 0
《数学物理方法》5分离变数法
（An
n1
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
）cos
nx
l
[例3] 杆的导热。设初始杆的一端温度为零， 另一端为u0。杆上温度梯度均匀，一端保 持零度不变，另一端与外界绝热。求杆温度
ut a 2uxx 0
a2 k
c
（0 xl）
u 0 x0
ux
0
xl
u（x，t）
t0
u0
x l
（0 xl）
[解] 设 u（x，t） X（x）T（t）
X（a） 0
C2 sin ka 0
X（x）要有非零解 C2 0 sin ka 0
ka n
k2
n2 2
a2
（n 1，2，3，）
本征值：
n
n2
a2
2
（n 1，2，3，）
本征函数：
X（n x）
sin n
a
x
Y Y 0
Y
通解：
Y（n y）
n y
Ane a
（n 1，2，3，）
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
？满足边界条件的常微分方程有非零解
（1） 0
X
d2X dx 2
0
通解：X（x） C0 D0 x
X（0） 0 X （l） 0
C0 0 D0 0
X（x） 0 0 应排除
（2） 0
设 k2
代入泛定方程和边界条件：
X（x）T （t） a2 X （x）T（t） 0
X（0）T（t） 0 X（l）T（t） 0
分离变量 X（x）T （t） a2 X （x）T（t）
数学物理方法技巧分离变量法
目录
CONTENTS
• 引言 • 分离变量法的基本原理 • 分离变量法的具体应用 • 分离变量法的注意事项 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的未来发展与展望
01
引言
分离变量法的定义
分离变量法是一种数学物理方法，用 于将多变量问题转化为多个单变量问 题，以便于求解。
它通过将偏微分方程转化为常微分方 程，或者将高阶微分方程转化为一系 列在解决具有多个相互独立变量的物理 问题时，如波动、热传导、流体动力 学等，分离变量法是非常有效的工具 。
它适用于具有周期性边界条件或对称 性边界条件的问题，如无限大区域、 周期性结构等。
THANKS
感谢您的观看
结合其他数值方法进行优化
1 2 3
混合方法
结合分离变量法和有限元法、有限差分法等其他 数值方法，形成混合方法，取长补短，提高求解 精度和效率。
自适应方法
结合分离变量法和自适应方法，根据问题特性和 求解需求，动态调整算法参数和求解精度，实现 高效求解。
无网格方法
结合分离变量法和无网格方法，克服传统数值方 法的网格依赖性，提高求解灵活性。
02
偏微分方程的解需要满足一定的边界条件和初始条件。
03
偏微分方程的解需要满足可解性条件，即解需要是有限个变 量的函数。
分离变量法的步骤
01
将偏微分方程转化为常微分方程。
02 对常微分方程进行求解，得到各个变量的解。
03 将各个变量的解组合起来，得到原偏微分方程的 解。
03
分离变量法的具体
应用
一维波动方程的分离变量法
为了确保数值解法的稳定性，可以采用多种方法，如增加计算步长、使用更精确的数值格式等。同时 ，也需要不断尝试和改进计算方法，以提高数值解法的稳定性和准确性。
数学物理方法 8 分离变数法
u x | x l 0,
X " X 0 ' ' X | x 0 X | x l 0
k cos x l
14 k=0,1,2,3… k=0,1,2…
(二)三种正交坐标系中的哈密顿和拉普拉斯算子
• 为了考察某一物理量在空间的分布和变化规律，必
（2）、常微分方程与齐次边界(或周期性)条件构成本征 值问题 （3）、将本征解(满足边界条件)叠加成无穷级数，给出 一般解 （4）、用初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）
12
分 离 变 量 流 程 图 输 运 方 程
u |t 0 ( x ) u |t 0 ( x )
ut a 2uxx
k=0,1,2,3… k=0,1,2……
1 ( k ) 2 X " X 0 l ' X | x 0 X | x l 0
2
u | x l 0,
u x | x 0 0,
k=0,1,2,3… k=0,1,2……
X x | x 0 0, X x |x l 0
7
2、求解本征值问题 X " X 0
常微分方程通解：
X " X X |x 0 X | x l 0 X |x 0 X |x l 0
X ( x ) C1e
在直角坐标系中，与三个坐标单位矢量垂直的三个面积元 分别为 dS x dydz, dSy dxdz, dSz dxdy 体积元为
dV =dxdydz
在直角坐标系中，梯度定义为
u u u u ex ey ez x y z
数学物理方法 第8章 分离变数法
X (0) X (l ) 0
nx n 2 2 X ( x) 1 cos 2 l l n 0,1, 2, n0 T (t ) A0 B0 t nat nat n 1
An cos l Bn sin l
例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端 温度为零度，另一端温度为 u0 ，杆上温度梯 度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端 跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。
四、分离变数法求解定解问题的基本步骤
线性齐次的 分离 偏微分方程 变数 齐次边界条件 初始条件 常微分方程1
解1
本征解 （解1＊解2） 解2 本征值 本征函数
常微分方程2
条件
分离变数
确定叠加系数
定解问题的解
本征值
本征解
五、付里叶级数法
nx 令 u ( x, t ) Tn (t ) sin l n 1
0 xl
——与采用分离变数法所得结果一致。
§8.2直角坐标系中有界空间上 的齐次泛定方程
例1：两端自由的均匀杆的纵振动问题
utt a u xx 0
2
0 xl
t0
ux
x0
ux
xl
0
t0
0 xl
u t 0 ( x) ut
t 0
( x)
解：由边界条件 u x
2 2 2
0 xl
n 2 2 a 2 Tn(t ) Tn (t ) 0 2 l
n 1
nat nat Tn (t ) An cos Bn sin l l
nat nat nx u ( x, t ) [ An cos Bn sin ] sin l l l n 1
数学物理方程经典教案分离变量法
数学物理方程经典教案分离变量法分离变量法是数学物理中常用的求解偏微分方程的方法之一、它适用于一类特殊的二元函数方程，即能够通过变量分离的方式将方程化为两个只依赖于一个变量的常微分方程。
为了更好地理解和应用分离变量法，下面将从理论和实践两个方面进行介绍和解释。
一、理论介绍1.分离变量法的基本思想：对于具有特定形式的二元函数方程，我们可以通过合适的变量变换，将方程化为两个只依赖于一个变量的常微分方程。
从而达到求解方程的目的。
2.分离变量法的基本步骤：(1)假设原方程的解具有特定的形式，例如f(x,y)=X(x)Y(y)。
(2)将f(x,y)代入原方程，化简得到两个只依赖于一个变量的常微分方程。
一个关于X(x)，一个关于Y(y)。
(3)解决两个常微分方程，得到X(x)和Y(y)的解。
(4)组合求解得到原方程的解。
3.分离变量法的适用范围：分离变量法适用于线性偏微分方程和一些非线性偏微分方程的特殊情况。
它在物理学、工程学和应用数学中有广泛的应用。
二、实践应用为了更好地说明分离变量法的应用，我们以热传导方程为例进行介绍。
热传导方程是一个描述物质内部热传导过程的重要方程，在热力学、材料科学等领域有广泛应用。
其方程形式为:∂u/∂t=α(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²+∂²u/∂z²)其中u(x,y,z,t)表示温度分布随时间的变化，α为热扩散系数。
分离变量法的具体求解步骤如下：1.假设温度分布函数可以表示为u(x,y,z,t)=X(x)Y(y)Z(z)T(t)。
2.将u(x,y,z,t)代入热传导方程中，得到四个只依赖于一个变量的常微分方程：X''(x)/X(x)=Y''(y)/Y(y)=Z''(z)/Z(z)=T'(t)/αT(t)。
3.解决这四个常微分方程，得到X(x)、Y(y)、Z(z)和T(t)的解。