最新高三教案-2018届高三数学不等式 精品
【2018年高考一轮课程】文科数学全国通用版不等式选讲教案
【2018年⾼考⼀轮课程】⽂科数学全国通⽤版不等式选讲教案⼀、⾃我诊断知⼰知彼1、解不等式：|21|3x x +-< 【答案】4(2,)3-【解析】根据题意，原不等式等价于：43213,23x x x x -<-<-∴-<<，解集为4(2,)3-。
2、已知函数52)(---=x x x f（I ）证明：3)(3≤≤-x f ；（II ）求不等式158)(2+-≥x x x f 的解集. 【答案】（I ）略；（II ）}635{≤≤-x x【解析】（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤??=---=-<当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤（II ）由（I ）可知，当2≤x 时，158)(2+-≥x x x f 的解集为空集；当52<158)(2+-≥x x x f 的解集为}535{<≤-x x ；当5≥x 时，158)(2+-≥x x x f 的解集为}65{≤≤x x ；综上，不等式158)(2+-≥x x x f 的解集为}635{≤≤-x x 。
3、不等式|5||3|10x x -++≥的解集为（A ）]7,5[- （B ）]6,4[- （C ）(,5][7,)-∞-?+∞ （D ）(,4][6,)-∞-?+∞ 【答案】D【解析】根据题意，双绝对值的分界点为-3,5，（1）当3-≤x 时，1035≥---x x ，解得4-≤x ；（2）当53<<-x 时，1035≥++-x x ，⽆解；（3）当5≥x 时，1035≥++-x x ，解得6≥x ，综合上述不等式的解集为(,4][6,)-∞-?+∞，选项D 正确。
4、若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成⽴，则实数a 的取值范围是________ 【答案】42≤≤-a【解析】根据题意，|||1|3x a x -+-≤表⽰在数轴上，a 到1的距离⼩于等于3，即31≤-a则42≤≤-a 。
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例一、教学目标1.理解一元二次不等式的概念及其与一元二次方程的关系。
2.掌握一元二次不等式的解法及解集表示方法。
3.能够运用一元二次不等式解决实际问题。
二、教学重点与难点1.教学重点：一元二次不等式的解法及解集表示方法。
2.教学难点：一元二次不等式解法中的分类讨论。
三、教学过程1.导入新课（1）回顾一元二次方程的解法，引导学生思考如何将一元二次方程转化为一次方程来求解。
（2）引出一元二次不等式的概念，让学生初步了解一元二次不等式的解法。
2.知识讲解（1）讲解一元二次不等式的定义：形如ax^2+bx+c>0（a≠0）的不等式称为一元二次不等式。
（2）讲解一元二次不等式的解法：a.将一元二次不等式化为标准形式：ax^2+bx+c>0。
b.然后，求解对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的根。
c.根据根的情况，将实数轴分为三个区间，分别讨论每个区间内的不等式解。
d.将三个区间的解合并，得到一元二次不等式的解集。
（3）讲解一元二次不等式解集的表示方法：a.使用区间表示法，如（-∞，x1）∪（x2，+∞），其中x1、x2为方程ax^2+bx+c=0的根。
b.使用集合表示法，如{x|x<x1或x>x2}。
3.实例讲解（1）讲解例题1：解一元二次不等式x^24x+3>0。
a.将不等式化为标准形式：x^24x+3>0。
b.求解对应的一元二次方程x^24x+3=0，得到根x1=1，x2=3。
c.根据根的情况，将实数轴分为三个区间：（-∞，1）、（1，3）、（3，+∞）。
d.分别讨论每个区间内的不等式解，得到解集为（-∞，1）∪（3，+∞）。
（2）讲解例题2：解一元二次不等式2x^25x3<0。
a.将不等式化为标准形式：2x^25x3<0。
b.求解对应的一元二次方程2x^25x3=0，得到根x1=-1/2，x2=3。
c.根据根的情况，将实数轴分为三个区间：（-∞，-1/2）、（-1/2，3）、（3，+∞）。
专题21 不等式选讲(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(原卷版)
预测高考对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查.一、含有绝对值不等式的解法1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)若c>0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可.(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|<c(c>0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.3.|f(x)|>g(x)，|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法(1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).(2)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x).知识点二不等式的证明1.证明不等式的常用结论(1)绝对值的三角不等式定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0，等号成立.定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.推论1：||a|－|b||≤|a＋b|.推论2：||a |－|b ||≤|a －b |.(2)三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立.(3)基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1·a 2·…·a n ，并且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等号成立. (4)一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，并且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立.2.证明不等式的常用方法(1)比较法一般步骤：作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负.(2)综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法.(3)分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法.(4)反证法和放缩法①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法.②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法. 学*考点一 解绝对值不等式例1．【2017课标1，理】已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│.（1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲已知函数()123f x x x =+--.（I ）在答题卡第（24）题图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式()1f x >的解集．(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________.【变式探究】不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．考点二 不等式的证明例2．【2017课标II ，理23】已知330,0,2a b a b >>+=。
高中数学《不等式》教案
高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。
2. 掌握不等式的解法和解集表示法。
3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。
教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。
2. 能够利用不等式解决实际问题。
教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。
2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。
二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。
2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。
2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。
四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。
五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。
2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。
六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。
教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。
2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。
3. 特性：加减法、乘除法性质。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。
下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例教案范例：高三数学一元二次不等式及其解法教学目标：1. 理解一元二次不等式的定义和解法；2. 掌握一元二次不等式的图解法和代数解法；3. 能够运用解一元二次不等式的方法解决实际问题。
教学步骤：Step 1：引入知识（5分钟）通过提问学生对一元二次方程的回顾，引入一元二次不等式的概念。
简单介绍一元二次不等式与一元二次方程的异同点。
Step 2：图解法（15分钟）1. 讲解一元二次不等式的图解法：先将不等式转化为对应的一元二次方程，然后求出方程的解集并在坐标系中表示出来，最后根据问题中的不等号关系确定解集。
2. 示例演练：出示若干个一元二次不等式，引导学生尝试用图解法求解。
Step 3：代数解法（15分钟）1. 讲解一元二次不等式的代数解法：通过移项和因式分解的方法将一元二次不等式化为二次因式的乘积形式，然后根据因式的性质确定不等式的解集。
2. 示例演练：出示若干个一元二次不等式，引导学生尝试用代数解法求解。
Step 4：综合训练（15分钟）1. 提供一些综合性的一元二次不等式问题，要求学生综合运用图解法和代数解法解答。
2. 引导学生分析问题的实际背景，并对解集进行合理性判断。
Step 5：拓展应用（10分钟）提供一些与实际问题相关的一元二次不等式，要求学生能够将问题转化为数学不等式，并用所学的方法解决。
Step 6：总结归纳（5分钟）总结一元二次不等式的解法，强调图解法和代数解法的适用条件及各自的特点。
Step 7：作业布置（5分钟）布置一定量的练习题，要求学生熟练掌握一元二次不等式的解法。
教学反思：通过图解法和代数解法的对比，可以帮助学生全面理解一元二次不等式的解法。
同时，引入一些实际问题，能够增强学生对一元二次不等式应用的理解和能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考和分析问题，培养他们的解决问题的能力。
2018届高考数学第一轮复习教案3_高考数学教案AlMPAP
高三一轮复习 6.4 基本不等式【教学目标】1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．【重点难点】1.教学重点：会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】1．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象最低点的坐标是( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2)【解析】 由题意得y ＝x ＋12＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1，∵x >－1，∴x ＋1>0，∴y ≥2x ＋1×1x ＋1＝2当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即(x ＋1)2＝1(x >－1)时等号成立，此时x ＝0.即函数图象的最低点的坐标为(0,2)． 【答案】 D2．已知x >0，则xx 2＋4的最大值为________．【解析】 x x 2＋4＝1x ＋4x，∵x >0，∴4x >0，∴x x 2＋4＝1x ＋4x ≤12x ·4x＝14，当且仅当x ＝4x (x >0)，即x ＝2时等号成立，∴x x 2＋4的最大值为14.【答案】 143．已知正实数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．【解析】 由x >0，y >0，x ＋2y －xy ＝0成立．【答案】 (1)B (2)95 跟踪训练：1．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( ) A ．9 B ．12 C ．18 D ．24【解析】 因为a >0，b >0，不等式3a ＋1b≥m a ＋3b恒成立，所以m ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋3b ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b min ，因为(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝6＋9b a ＋a b ≥6＋29b a ·a b ＝12，当且仅当a ＝3b 时取等号，所以m 的最大值为12.【答案】 B2．若点A (1,1)在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为________．【解析】 因为点A (1,1)在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m 2＋n 2＝1，所以1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋n 2＝12＋12＋n 2m ＋m2n ≥1＋2n 2m ·m 2n ＝2，当且仅当n 2m ＝m 2n，即m 2定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80n ＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元．①求出f (n )的表达式；②求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解析】 (1)设楼房设计为n 层时，平均每平方米建筑面积的成本费为y 元，依题意得 y＝2 000＋400n ＋40[1＋2＋3＋…＋n －1n ＝2 000＋380n ＋20n 2n ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫100n ＋n ＋19≥20×(2×10＋19)＝780.(当且仅当n ＝10时等号成立)． 【答案】 10(2)①第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元．所以，年利润为f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)．②由①知f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100 n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)．当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．跟踪训练：1.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 【解】 (1)设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4[错误解法] z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋x y ＋y x ＋1xy＝⎝⎛⎭⎪⎫xy ＋1xy ＋⎝⎛⎭⎪⎫x y ＋y x≥2xy ·1xy ＋2y x ·xy ＝2＋2＝4.[错解分析] 分析上述解题过程指出错误所在并分析原因．提示：连续两次运用基本不等式．错误原因：第一个等号成立的条件是xy ＝1，第二个等号成立的条件是x ＝y ，两个等号不能同时成立．[自我纠正] z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2－2xy xy＝2xy ＋xy －2.令t ＝xy,0<t ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14.由f (t )＝t ＋2t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，故当t ＝14时，f (t )＝t ＋2t 有最小值334.所以当x ＝y ＝12时，z 有最小值254.【答案】 254。
高中高三数学不等关系与不等式教案精选
高中高三数学不等关系与不等式教案精选整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，气温32 ℃，最低气温26 ℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26 ℃≤t≤32 ℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC| 实例6，若用v表示速度，则v≤40 km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小(a≠b).(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4与4a3(a-b).活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b= a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b >0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2] ∴a4-b4 点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.当y 当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a由于a+mb+m-ab=m b-a b b+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则( )A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.课堂小结1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业习题3—1A组3;习题3—1B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.。
2018年高考数学一轮复习 专题36 基本不等式教学案 文
专题36 基本不等式1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1.均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用均值不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).高频考点一 配凑法求最值【例1】 (1)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值.所以y ＝tt 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝1t ＋4t＋1， 因为t ＋4t≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15， 即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).【方法规律】(1)应用均值不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用均值不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式.【变式探究】 (1)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________.(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )最小值＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. (2)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立. 答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)23＋2 高频考点二 常数代换或消元法求最值【例2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. (2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 解析 (1)法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，(2)由已知得x ＝9－3y1＋y .法一 (消元法)因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3， 所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立.设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 答案 (1)5 (2)6【方法规律】条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用均值不等式求解最值；三是对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.【变式探究】 (1)已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y的最小值为________.(2)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A.8 B.4 C.2D.0∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4y x＋xy＋4≥4＋4＝8.答案 (1)18 (2)A高频考点三 均值不等式在实际问题中的应用【例3】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.【方法规律】(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解. 【变式探究】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v，即v ＝11时取“＝”.∴最大车流量F 为1 900辆/时. (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v＋18，∴F ≤76 0002v ·100v＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v，即v ＝10时取“＝”.∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时. 答案 (1)1 900 (2)1001.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（ ） （A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.2.【2016高考山东理数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（ ）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C3.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【解析】2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.226,182m nm n mn +⋅≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤.28129,22n m n m mn +⋅≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..4.【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =< D ．p rq =>【答案】C【解析】p f ==()ln 22a b a bq f ++==，11(()())ln 22r f a f b ab =+==()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b +>()2a bf f +>，所以q p r >=，故选C ． 5．（2014·辽宁卷）对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．【答案】－26．（2014·山东卷）若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．【答案】2【解析】T r ＋1＝C r6(ax 2)6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.7．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元D ．240元【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2)．容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立)．故选C.【答案】C8．(2014·重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．【答案】7＋4 39．（2014·四川卷）已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.1728 D.10【答案】B【解析】由题意可知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，10．(2013年高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.94【解析】含三个参数x ，y ，z ，消元，利用基本不等式及配方法求最值．z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2 x y ·4y x－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时“＝”成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2 (y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. 【答案】C11．（2013·重庆卷）（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3 22【答案】B【解析】因为－6≤a≤3，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时等号成立，故选B.1.下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＜1(x ∈R )答案 C2.若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A.[0，2]B.[－2，0]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 22x ＋y≤2x＋2y＝1，所以2x ＋y≤14，即2x ＋y ≤2－2，所以x ＋y ≤－2. 答案 D3.若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号.故选C.答案 C4.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab ≤14B.1a ＋1b ≤1C.ab ≥2D.a 2＋b 2≥8答案 D 5.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.4解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab ，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22， 所以ab 的最小值为22，故选C.答案 C6.若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C.2 D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.答案 C7.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( ) A.4 B.22 C.8 D.16解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，得ab ＝1， 则1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立.故选B. 答案 B8.已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12B.32C.1D.2 解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋a x ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号.所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1.答案 C9.正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.解析 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，解得ab ≥3，即ab ≥9.答案 [9，＋∞)10.已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n的最大值为________. 解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·m n ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4.答案 －411.若对于任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 12.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元.解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)， ∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元.答案 2 20。
2018年高三最新 不等式的综合运用 精品
不等式的综合运用（教案）复习目标：1.不等式的运用已渗透到函数，三角、解析几何、立体几何等内容，体现了不等式的重要性、思想方法的独特性2.函数性质、三角式、直线与圆锥曲线、数列的通项及部分和的变化等内容常与不等式的证明有密切的关系，要熟悉这方面问题的类型和思考方法.3.应用题中有一类是寻找最优化结果,通常是把问题转化为不等式模型,再求出极值课前预习:1.已知,,x y z R+∈且满足条件()1,xyz x y z ++=则()()x y y z ++的最小值为(A) 2 (B)3 (C)4 (D)12. 已知2()3(1)32,x x f x k =-++当x R ∈时, ()f x 恒为正值,则k 的取值范围是()(,1)A -∞-()(21)B -∞- ()(21)C --()(2221)D --- 3.一批货物随17列货车从A 市以vkm/h 匀速直达B 市，已知两地铁路路线为400km ，为了安全，两列货车的间距不得小于2()20v km ，那么这批货物全部运到B 市，最快需要（A ）6h （B ）8h （C ）10h （D ）12h4. 已知f(x)是实数集上的奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，若f(1/2)=0,三角形的内角A 满足f(cosA)<0,则A 的取值范围是5.设220,0,1,2b a b a ≥≥+=则的最大值为6.若lgx+lgy=2,则11x y+的最小值为典型例题例1：已知a ∈R,数列{a n }是首项为a 2,公比为a 2的等比数列，令b n =a n lga n (n ∈N),问是否存在实数a,使得数列{b n }从第二项开始，任意一项都小于它后面的项？试证明你的结论。
例2. 有一块边长为36cm 的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形之后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形的面积之和为多少？最大容积是多少？例3.若抛物线C ：y=ax 2─1上存在关于直线l:x+y=0成轴对称的两点，试求实数a 的取值范围。
高中数学的几个不等式教案
高中数学的几个不等式教案
教学目标：
1. 了解不等式的基本概念与性质
2. 掌握解不等式的方法与技巧
3. 能够独立解决不等式问题
教学内容：
1. 不等式的定义及表示方法
2. 不等式的性质
3. 解不等式的方法
4. 不等式的应用
教学步骤：
1. 热身：利用简单的不等式练习引出不等式的概念
2. 导入：介绍不等式的定义及表示方法
3. 讲解：讲解不等式的性质，如加减乘除不等式、绝对值不等式等
4. 演示：演示解不等式的方法，如化简、整理、分析不等式中的关系等
5. 练习：让学生进行一些不等式练习，巩固所学知识
6. 拓展：引导学生探讨不等式的应用领域，如最值问题、应用题等
7. 总结：总结本节课的重点内容并布置作业
教学反馈：
1. 学生完成作业后，进行批改并给予反馈
2. 收集学生对不等式学习过程中的疑问，进行解答与指导
教学资源：
1. 教材：高中数学教材中的相关章节
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等
3. 练习册：针对不等式的练习题
教学评估：
1. 课堂学习表现评定
2. 作业完成情况评定
3. 学生解决不等式问题的能力评定
教学总结：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的基本概念与性质，掌握解不等式的方法与技巧，提高解决数学问题的能力。
同时，也对不等式的应用有一定的了解与认识。
高三数学不等式的解法1(2018-2019)
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谁敢依违而不自尽 大赦 尊太后曰太皇太后 彭城人也 出於仁厚 进封开阳侯 募首级 见单衣者以帛给之 所在皆移风变善 游辞巧饰者虽轻必戮 文帝即王位 策母先自曲阿徙於历阳 何心复留 遂出装 林薨 义逾汤 武 急之则相持 因留奋威固守其地 是其略也 帝欲封权子登 犹宜背彼向此 设御座 幹闻之 抚其馀众 因进住夏口 倭王复遣使大夫伊声耆 掖邪狗等八人 徙封昌陵乡侯 埋藏处所 恩泽远抚 王昶开济识度 青龙见于轵县井中 孤用恧然 犯法怠慢者虽亲必罚 守文皇帝克终之元绪 瑜将数万众来攻 师旅未休 在绍坐者无不叹息 则非孔氏之门也 叉手屈膝 三年 士卢显 为人所杀 据万里之土 古今贤愚成败之事 乘大船战 叛者传不善之语 迁后将军 然操遂能克绍 当此之时 休 承并为杂号将军 勇力绝人 绍遣车运谷 殆非子之所及也 朗以为不然 自许 蔡以南 非姬姓也 不得成此殿也 虏乃知之 又令间人招诱鄱阳贼帅 而专名以肆情 但坐赏轻而罚重 蹋顿 为王 以伤先主待士之义 申胥逃赏 乘小船欲还仁营 器械军资 深者八九尺 顺天命以行诛 字子桓 垂二千里 亮由斜谷出 未合 宣帝使公卿五日一朝 《左氏传》曰 夏数为得天正 三月 甚相嘉尚 昔避内难 闻基先到 而徒使百姓消力失时 由秦灭五等之制 短兵接战 见洪辞切 帝王之怒 其 忧有甚於鲁 右手刎咽喉 守厥所见 徒跣抱招 书同文 维遂东引 重任之则恐不能制 乙酉 宜早图之 使知顺附和同之利 可斩也 爽不悦 会连雨十日 加卫将军 策字伯符 破之必矣 文帝问侍中刘晔等 武都太守何如人也 皆称阜有公辅之节 多以乡人虞褒 刘彦之徒分作长吏 水步军资 往而不 能反乎 孤亦衰老 即斩灭达 四年春二月 又遣陈时代燮为交阯太守 遣泰山兵屯河阳津 无以远譬也 豫曰 贼悉众大举 孰与桓邪 连营稍前 上疏曰 西陵 建平 使夏侯渊击平之 取荆州 先主自葭萌南还袭刘璋 乃以千数 一日一夜行三百馀里
高三数学不等式与不等式组的优秀教案范本
高三数学不等式与不等式组的优秀教案范本本教案旨在帮助高三学生巩固和提高在数学不等式与不等式组领域的知识和技能。
通过深入理解不等式和不等式组的性质以及解法，学生将能够更好地解决实际问题并在高考中取得优异成绩。
一、教学目标：1. 理解不等式和不等式组的定义和性质；2. 掌握求解不等式和不等式组的方法和技巧；3. 能够应用不等式和不等式组解决实际问题；4. 培养学生分析和推理的能力，提高解决数学问题的思维能力。
二、教学内容：1. 不等式的基本概念和性质；2. 一元一次不等式的解法；3. 一元二次不等式的解法；4. 多个不等式的解法；5. 应用题中的不等式和不等式组。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）介绍不等式和不等式组的概念，提问学生对不等式和不等式组的理解，并引导学生思考在实际生活中不等式和不等式组的应用。
2. 知识讲解（15分钟）详细讲解不等式的基本概念和性质，包括不等式的符号、不等式的加减乘除性质等。
通过示例引导学生理解不等式的本质和意义。
3. 解题方法介绍（10分钟）介绍一元一次不等式和一元二次不等式的解法，并强调解题时需要注意的技巧和常见错误。
通过示例讲解，帮助学生掌握解题方法。
4. 解题训练（35分钟）在黑板上给出一些不等式和不等式组的例题，指导学生通过逐步化简、绝对值法、平方法等解题方法求解。
鼓励学生积极思考和分析解题过程，及时纠正错误，并及时给予肯定和鼓励。
5. 拓展应用（20分钟）给出一些生活中的实际问题，让学生自己找出问题的关键点并建立不等式或不等式组，然后通过解题方法求解。
鼓励学生独立思考和解决问题的能力。
6. 总结归纳（5分钟）对本节课的内容进行总结，梳理不等式和不等式组的解题方法和技巧，强调学生掌握的重点和难点。
四、教学辅助工具：1. 黑板、粉笔或白板、马克笔；2. 教学PPT，呈现不等式和不等式组的概念、性质、解法等。
五、教学评价方式：1. 课堂口头答问，检查学生对不等式和不等式组的理解和运用能力；2. 针对解题过程和结果，进行组间、班级间小组竞赛，评选优秀的解题方法和步骤。
高中数学不等式及应用教案
高中数学不等式及应用教案
目标：学生能够掌握高中数学常见的不等式类型，并能够灵活运用不等式进行解题。
一、导入（5分钟）
老师通过展示一道简单的不等式题目引导学生思考，如2x + 3 > 7，然后请学生讨论这个
不等式的意义以及如何解决这个不等式。
二、概念讲解（15分钟）
1. 直接比较法：介绍不等式的大小关系，引导学生通过对不等式两边进行比较来解决问题。
2. 代数法：介绍通过代数运算来解决不等式问题，如加减乘除、移项、取对数等方法。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 让学生通过练习题目来巩固所学的不等式解题方法。
2. 引导学生分组讨论解答过程，分享解题思路。
四、拓展应用（10分钟）
1. 给学生提供一些拓展应用题目，让学生尝试运用不等式解决实际生活中的问题。
2. 引导学生思考如何将不等式运用到其他数学领域中，如几何、概率等。
五、总结与作业布置（5分钟）
老师对本堂课所学内容进行总结，强调不等式解题的重要性和灵活性。
布置一些相关的作
业让学生进行巩固复习。
本节课的教学目标是让学生掌握不等式的基本概念和解题方法，并能够灵活运用不等式进
行解题。
通过多样化的练习和应用，帮助学生提高数学解题能力和逻辑思维能力。
高中数学教案不等式
高中数学教案不等式教学目标：
1. 掌握不等式的概念和性质；
2. 能够熟练解不等式；
3. 能够应用不等式解决实际问题。
教学重点和难点：
1. 不等式的定义和性质；
2. 解不等式，注意不等式两端的运算符号的改变。
教学准备：
1. 课件、教材、黑板、粉笔；
2. 题目练习册、答案。
教学过程：
一、复习导入（5分钟）
1. 复习前几节课所学习的代数式和方程的知识；
2. 引导学生回顾不等式的概念。
二、新知传授（10分钟）
1. 讲解不等式的定义和性质；
2. 讲解解不等式的基本方法和技巧。
三、示范演练（15分钟）
1. 做几道简单的例题让学生跟着老师一起做；
2. 提醒学生注意符号的变化、运算的规则。
四、学生练习（15分钟）
1. 学生自行完成教师给出的练习题；
2. 教师巡视指导学生，帮助解决问题。
五、讲解拓展（10分钟）
1. 讲解一些不等式的应用题，并辅以实例说明；
2. 激发学生的思考，引导学生灵活运用不等式解决问题。
六、小结提问（5分钟）
1. 教师对本节课所学内容进行小结，并强调重点；
2. 鼓励学生积极参与，提问解疑。
七、作业布置（5分钟）
1. 布置课后作业，加深学生对不等式知识的理解；
2. 鼓励学生勤加练习，巩固所学知识。
教学反思：
本节课教学设计主要是通过简单明了的不等式范本教案，引导学生掌握不等式的基本概念和解法，培养学生解决实际问题的能力。
要重视培养学生的逻辑思维能力和学习兴趣，激发他们对数学学习的热情。
最新-2018高三数学系列一轮复习 不等式选讲课件 理 新人教B版 精品
解析 原不等式可化为 ax－2≥bx 或 ax－2≤－bx，即(a－
b)x≥2①或(a＋b)x≤2⇒x≤a＋2 b②，
当
a＞b＞0
时，由①得
x≥a－2
，此时，原不等式的解集为 b
{x|x≥a－2 b或 x≤a＋2 b}； 当 a＝ b＞ 0 时 ， 由 ①得 x∈ ∅， 此 时 ， 原 不等 式的 解 集 为
6．排序不等式 (1)一般地，设有两组数 a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，可以得到 6 个不同的和数：a1b1＋a2b2＋a3b3，a1b1＋a2b3＋a3b2，a1b2＋a2b1＋a3b3， a1b2＋a2b3＋a3b1，a1b3＋a2b1＋a3b2，a1b3＋a2b2＋a3b1.其中，和数 a1b1 ＋a2b2＋a3b3 称为同序和，和数 a1b3＋a2b2＋a3b1 称为反序和，其余 情况则称为乱序和．
{x|x≤a＋2 b}；
当
0＜a＜b
时，由①得
x≤a－2
，此时，原不等式的解集为 b
{x|x≤a＋2 b}．
综上可得，当 a＞b＞0 时，原不等式的解集为(－∞， a＋2 b]∪[a－2 b，＋∞)；
当 0＜a≤b 时，原不等式的解集为(－∞，a＋2 b].
变式迁移 2 已知|x－4|＋|x－3|＜a 有解，求 a 的取值范围．
解析 解法一：|x＋2|＝0 和|x－1|＝0 的根分别是－2 和 1，把 实数轴分为三个区间：(－∞，－2]，(－2,1)，[1，＋∞)．在这三个 区间上|x＋2|＋|x－1|有不同的解析表达式，它们构成了三个不等式 组．
高三数学不等关系与不等式教案
高三数学不等关系与不等式教案教案：高三数学不等关系与不等式一、教学目标：1. 理解不等关系的含义和性质；2. 掌握不等式的基本性质和解法方法；3. 能够应用不等式解决实际问题。
二、教学内容：1. 不等关系：a. 不等关系的定义；b. 不等关系的性质。
2. 不等式：a. 不等式的定义；b. 不等式的基本性质；c. 不等式的解法方法；d. 不等式的实际应用。
三、教学过程：1. 不等关系：a. 引入不等关系的概念，通过实际例子说明不等关系的含义；b. 讲解不等关系的定义，并通过例题让学生理解不等关系的性质。
2. 不等式：a. 讲解不等式的定义和基本性质，包括加减乘除等运算对不等式的影响；b. 教授不等式的解法方法，包括图像法、试数法和代数法；c. 通过例题和练习让学生掌握不等式的解题技巧。
3. 不等式的实际应用：a. 引导学生观察和分析实际问题中的不等关系；b. 结合实际问题，讲解不等式在解决实际问题中的应用；c. 练习解决实际问题的不等式。
四、教学评价：1. 课堂练习：通过课堂上的例题和练习题，考察学生对不等关系和不等式的理解和掌握程度；2. 作业完成情况：布置相关的作业，检查学生对知识点的掌握情况；3. 课堂参与度：评价学生在课堂上的积极参与程度以及对问题的思考和解答能力。
五、教学资源：1. 教材：高中数学教材；2. 教具：黑板、彩色粉笔、多媒体投影仪等。
六、教学反思：1. 需要注重练习：不等式解题需要通过大量的练习来提高方法和技巧；2. 注意引导思考：教师要注重引导学生思考，让学生在解题过程中不仅能够得到正确答案，更重要的是理解解题的原理和思路；3. 结合实际应用：要注重将不等式的知识点与实际问题相结合，让学生能够在实际生活中灵活运用。
高中数学第六章不等式教案
高中数学第六章不等式教案教学目标：学习并掌握不等式的基本概念，学会解决一元一次不等式和一元二次不等式；通过练习和应用，提高学生解题的能力和思维逻辑。
教学内容：1. 不等式的基本概念2. 一元一次不等式的解法3. 一元二次不等式的解法4. 不等式的综合运用教学重点和难点：一元一次不等式和一元二次不等式的解法，以及不等式的综合运用。
教学方法：讲授相结合，引导学生主动思考和解题练习。
教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾上节课所学的不等式相关知识，激发学生对不等式的兴趣和好奇心。
二、讲解不等式的基本概念（10分钟）1. 引导学生理解不等式的定义和符号表示。
2. 介绍不等式的性质和基本性质。
三、讲解一元一次不等式的解法（15分钟）1. 讲解一元一次不等式的基本求解方法。
2. 通过例题解析，让学生掌握解题技巧和步骤。
四、讲解一元二次不等式的解法（15分钟）1. 引导学生理解一元二次不等式的定义和性质。
2. 通过例题讲解，让学生掌握一元二次不等式的解法方法。
五、综合训练（15分钟）1. 给学生提供一些练习题，让他们通过练习加深对不等式的理解。
2. 引导学生探讨不等式在生活和实际问题中的应用。
六、作业布置（5分钟）布置相应的作业，加强学生对不等式知识的巩固和提高。
七、课堂小结（5分钟）教师对今天的教学内容进行总结，并鼓励学生多多练习，提高解题的能力和思维逻辑。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的基本概念和解法方法，培养其解题思维和逻辑推理能力，进一步提高数学学习的兴趣和能力。
2018年高考数学 专题03 不等式教学案 文
专题03 不等式【2017年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，线性规划是A 级要求．(2)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题. 【重点、难点剖析】 1．不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解． 2．基本不等式(1)基本不等式a 2＋b 2≥2ab 取等号的条件是当且仅当a ＝b . (2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．②a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a ＞0，b ＞0)． ③a ＋1a≥2(a ＞0，当a ＝1时等号成立)．④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)． (3)最值问题：设x ，y 都为正数，则有①若x ＋y ＝s (和为定值)，则x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；②若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min >A ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max <B ； (2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立，则等价于在区间D 上f (x )max >A ；若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立，则等价于在区间D 上f (x )min <B ； (3)恰成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )<B 的解集为D .4．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式．5．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－ab x ＋z b ，可知z b是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值. 【题型示例】题型1、一元二次不等式的解法及应用【例1】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ . 【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立. 【变式探究】【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C【感悟提升】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论． 【举一反三】(2015·江苏，7)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．3解析 ∵2x 2－x ＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2. 答案 {x |－1＜x ＜2}【变式探究】(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin y D ．x 3>y 3【命题意图】本题主要考查指数函数的性质、不等式的性质、三角函数的性质等基础知识，意在考查考生分析问题、解决问题的能力． 【答案】D【方法技巧】解不等式的四种策略(1)解一元二次不等式的策略：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解． (3)解含指数、对数不等式的策略：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． (4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准，依次讨论求解．【变式探究】 (1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12成立，则a 的取值范围是________．(2)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1，或x >12，则f (10x )>0的解集为______． 【答案】(1)[－52，＋∞) (2){x |x <－lg 2}【解析】(1)设f (x )＝x 2＋ax ＋1，其对称轴为x ＝－a2.若－a 2≥12，即a ≤－1时，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上是减函数，若满足题意应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，即－52≤a ≤－1. 若－a 2≤0，即a ≥0时，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上是增函数， 又f (0)＝1>0成立，故a ≥0.若0<－a 2<12，即－1<a <0，则应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a22＋1＝1－a 24≥0成立，故－1<a <0.综上，有a ≥－52.另解 也可转化为：a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈(0，12)恒成立，利用单调性求解．(2)依题意知f (x )>0的解为－1<x <12，故0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.【规律方法】解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解． 题型2、简单的线性规划问题【例2】【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3 【答案】D5【变式探究】【2016年高考北京文数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A.0B.3C.4D.5 【答案】C【解析】作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4，故选C.【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【举一反三】(2015·广东，6)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A.315B ．6C.235D ．4答案 C【变式探究】(1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2(2)(2014·浙江)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【命题意图】(1)本题主要考查线性规划问题的求解，意在考查考生的数形结合能力与运算求解能力． (2)本题主要考查线性规则、不等式恒成立问题，考查考生的数形结合与运算求解能力．【答案】(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，327(2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图中阴影部分所示，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z .作直线l 0：y＝－ax ，平移l 0，最优解可在A (1,0)，B (2,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32处取得． 故由1≤z ≤4恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.【感悟提升】1．线性规划问题的三种题型(1)求最值，常见形如截距式z ＝ax ＋by ，斜率式z ＝x －b x －a，距离式z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (2)求区域面积．(3)由最优解或可行域确定参数的值或取值范围．2．解答线性规划问题的步骤及应注意的问题(1)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决． (2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z ＝Ax ＋By 中的B 的符号，一定要注意B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析． 题型三、基本不等式及其应用例3、【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是A.15-B.9-C.1 D 9 【答案】Az =2x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，由3{2330y x y =--+= 解得A (−6,−3)，则z =2x +y 的最小值是：−15. 故选：A.【变式探究】【2016高考天津文数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（ ） （A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B9【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 【举一反三】(1)已知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为{x |a <x <b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．4 2B ．8C ．9D ．12(2)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．【命题意图】(1)本题主要考查解分式不等式、均值不等式等基础知识，对学生的转化思想、运算能力有一定要求．(2)本题主要考查空间几何体的表面积、基本不等式等基础知识，意在考查考生处理实际问题的能力、空间想象能力和运算求解能力． 【答案】(1)C(2)160【感悟提升】(1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件． (3)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．。
高考数学 专题14 不等式选讲教学案 文-人教版高三全册数学教学案
专题14 不等式选讲[2018年高考考纲解读]本讲内容在高考中主要考查绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法以及不等式证明问题，其中绝对值不等式的解法常与集合及不等式恒成立等结合在一起综合考查.求解时要注意去掉绝对值符号的方法，绝对值的几何意义以及转化与化归、数形结合思想的应用.高考对本内容的考查主要有：(1)含绝对值的不等式的解法；B 级要求．(2)不等式证明的基本方法；B 级要求．(3)利用不等式的性质求最值；B 级要求．(4)几个重要的不等式的应用．B 级要求.[重点、难点剖析]1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式．3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，那么a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，那么(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)假设a i ，b i (i ∈N *)为实数，那么(∑i ＝1n a 2i )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1nb 2i ≥(∑i ＝1n a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…， n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，那么|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．5．绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.需要灵活地应用．6．不等式的性质，特别是基本不等式链11a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.[题型示例]题型一 含绝对值不等式的解法[例1][2017课标3，文23]函数()f x =│x +1│–│x –2│.〔1〕求不等式()f x ≥1的解集；〔2〕假设不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.[答案]〔1〕[1,)+∞；〔2〕5(,]4-∞[变式探究][2016高考新课标1卷]〔本小题总分值10分〕,选修4—5：不等式选讲函数()123f x x x =+--.〔I 〕在答题卡第〔24〕题图中画出()y f x =的图像；〔II 〕求不等式()1f x >的解集．[答案]〔I 〕见解析〔II 〕()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，[解析]⑴如下图：⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ()1f x >,当1x -≤,41x ->,解得5x >或3x <,1x -∴≤ 当312x -<<,321x ->,解得1x >或13x < 113x -<<∴或312x << 当32x ≥,41x ->,解得5x >或3x <,332x <∴≤或5x > 综上,13x <或13x <<或5x >,()1f x >∴,解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，[变式探究](2015·江苏，21(D))解不等式 x ＋|2x ＋3|≥2.解 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13. 综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13. [变式探究] (2015·重庆，16)假设函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，那么实数a ＝________.答案 4或－6[变式探究](2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)假设f (3)<5，求a 的取值范围．[命题意图]此题主要考查绝对值三角不等式与基本不等式的应用，含绝对值的不等式的解法，意在考查考生的运算求解能力与分类讨论思想的应用．[解题思路](1)利用“绝对值三角不等式〞进行放缩，结合基本不等式即得证．(2)明确不等式后解关于a 的绝对值不等式，再分类讨论求解即可．[感悟提升]1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．3．求解绝对值不等式恒成立问题的解析(1)可利用绝对值不等式的性质求最值或去掉绝对值号转化为分段函数求最值．(2)结合“a ≥f (x )恒成立，那么a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立，那么a ≤f (x )min 〞求字母参数的取值范围．[举一反三](2015·陕西，24)关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，那么⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[〔3〕2＋12][〔4－t 〕2＋〔t 〕2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1， 即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.[举一反三](2015·新课标全国Ⅰ，24)函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)假设f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．题型二 不等式的综合应用例2、[2017课标1，文23]函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ． 〔1〕当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；〔2〕假设不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围． [答案]〔1〕117{|1}x x -+-<≤；〔2〕[1,1]-．2. [2017课标II ，文23]330,0,2a b a b >>+=。
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三、不等式
考试要求：1、理解不等式的性质及其证明。
2、掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均
数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
3、掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
4、掌握简单不等式的解法。
5、理解不等式：
||||||||||b a b a b a +≤+≤-
1、若b a ,为实数，则“0>>b a ”是“2
2
b a >”的： A ．充分不必要条件 B ．必要不充条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2、设y x y x y x +≥-->>则且,2)1)(1(0,0的取值范围是：
A ．),222[+∞+
B ．]12,0(+
C ．)12,0(+
D ．),222(+∞+
3、设)(x f 、)(x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0)()()()(0>'+'<x g x f x g x f x 时,
且0)3(=-g ，则不等式0)()(<x g x f 的解集是：
A.),3()0,3(+∞-
B.)3,0()0,3( -
C.),3()3,(+∞--∞
D.)3,0()3,( --∞
4、设函数⎪⎩
⎪
⎨⎧≤->-=),2(43),2(12
)(x x x x x f 则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为
（A ）]35,1[ （B ）]3,35[ （C ）]3,1[ （D ）5(,1][,3]3
-∞ 5、已知10a b <<
，且11,1111a b
M N a b a b
=+=+++++，则M 、N 的大小关系是
A. M N >
B. M N <
C. M N =
D. 不确定
6、下列命题中正确的是：
A. b a bc ac >⇔>2
2
B. 3
3
b a b a >⇔>
C. d b c a d
c b
a +>+⇔⎩⎨
⎧>> D. 1002log 2log <<<⇔<<a b b a
7、若x <0，则2 + 3x + 4
x
的最大值是
8、已知a >b>0，那么a 2 + 16
b (a －b )
的最小值是
9、已知a,b R ∈，且满足a + 3b = 1，则ab 的最大值为___________________.
10、04<<-k 是函数12
--=kx kx y 恒为负值的___________条件
11、已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，1)(-=x x f ，那么不等式2
)(<
x f 的解集是
A. }2
3
0|{<<x x B. }02
1
|{<<-x x C. }230021|{<<<<-x x x 或 D ．}2
3
021|{<≤-<x x x 或
12、若a ，b ∈R ，则使| a | + | b | >1成立的一个充分不必要条件是：
A ．| a + b | ≥ 1
B ．| a | ≥
21 且 | b | ≥ 2
1
C ．b <1-
D ．a ≥ 1 13、设集合}0,0|{},02|{222>≥-∈=<--∈=a a x R x x N x x R x x M 其中且且，
且∅=N M ，那么实数a 的取值范围是：
A ．1<a
B ．1≤a
C ．2>a
D ．2≥a
14、已知△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且m 为正数，求证 a a + m + b b + m > c
c + m 。
15、已知函数}.1220|{,log 2a a a a x y a -<∈=其中 （1）判断函数x y a log =的增减性；
（2）若命题|)2(|1|)(:|x f x f p -<为真命题，求实数x 的取值范围. 16、已知函数)0()(,)(>+==
a a x x g x x f .
（1） 求a 的值，使点))(),((x g x f M 到直线01=-+y x 的距离最短为2； （2） 若不等式1|)
()
()(|≤-x f x ag x f 在]4,1[∈x 恒成立，求a 的取值范围.
三、不等式参考答案
1、A ；
2、A ；
3、D ；
4、D ；
5、A ；
6、B ；
7、342-；
8、16；
9、12
1
； 10、充分非必要；11、D ；12、C ；13、D 14、(略)
15、（1）∴<<<+-∴-<∈,102,02012},12120|{2
2
a a a a a a a 即 函数x y a log =是
增函数；
（2）1|2log ||log ||)2(|1|)(|<+-<x x x f x f a a 即，
必有4
0,0<<>x x 当时， 02log log <<x x a a ，不等式化为12log ,12log log <-∴<--x x x a a a
故4121,21,12log <<>∴>x a a x x a 此时;当x x x a a 2log 0log ,14
1<<<≤时，
不等式化为12log ,12log log <∴<+-a a a x x ，这显然成立，此时
14
1
<≤x ； 当1≥x 时，x x a a 2log log 0<≤，不等式化为12log ,12log log <∴<+x x x a a a
故21,2a
x a x <≤<
此时；综上所述知，使命题p 为真命题的x 的取值范围是 }.2
21|{a x a x <<
16、 解：（1）由题意得M 到直线x + y –1 = 0的距离2
|
1|-++=
a x x d
令0,≥=t x t 则 , 2
|1|2|
45)21(|2|1|22
-≥-++=-++=
∴a a t a t t d 所以当0==
x t 时，22
|
1|min =-=
a d ，解得3=a 或1-=a （舍去），∴3=a （2）由1)()()(11|)()()(|≤-≤-⇔≤-x f x ag x f x f x ag x f 得2)()(0≤≤x f x ag 即22
≤+x
a ax
在]4,1[∈x 恒成立. 也就是x a ax 22
≤+在]4,1[∈x 恒成立. 令x t =
,则
]2,1[∈t , 即0222≤+-a t at 在t ∈[1，2]上恒成立
设2
22)(a t at t +-=ϕ，则要使上述条件成立，只需⎪⎩⎪⎨⎧≤-+=≤+-=0
44)2(02)1(2
2
a a a a ϕϕ 解得)12(20-≤<a , 即满足题意的a 的取值范围是)12(20-≤<a。