人教版初二数学上试卷13.3.2等边三角形(第2课时)-同步练习(1)

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八年级上册数学人教版课时练《等边三角形》试题试卷含答案解析(2)

《13．3．2等边三角形》课时练一、选择题1．如图，已知ABC D 和CDE D 都是等边三角形，且A 、C 、E 三点共线．AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：①AD BE =；②60AOB Ð=°；③AP BQ =；④PCQ D 是等边三角形；⑤//PQ AE ．其中正确结论的有（）个A ．5B ．4C ．3D ．22．已知，在△ABC 中，AB AC =，如图，（1）分别以B ，C 为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点D ；（2）作射线AD ，连接BD ，CD ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误．．的是（）A ．BAD CADÐ=ÐB ．△BCD 是等边三角形C ．AD 垂直平分BC D ．ABDC S AD BC=3．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，且AB=AC ，AC=AD ，有四个结论：①AC ⊥BD ；②BC=DC ；③△ABC ≌△ADC ；④△ABD 是等边三角形．其中正确的是()A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④4．如图点,,A B C 在同一条直线上，,CBE ADC D D 都是等边三角形，,AE BD 相交于点O ，且分别与,CD CE交于点,M N ，连接,M N ，有如下结论：①DCB ACE D @D ；②AM DN =；③CMN D 为等边三角形；④60°Ð=EOB ．其中正确的结论个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（）A ．0．5B ．1C ．0．25D ．26．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，OP=8，在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使△OMN 的周长最短，则△PMN 周长的最小值为（）A ．4B ．8C ．16D ．327．如图，在等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD ≌△ACD ；②2DE=2DF=AD ；③△ADE ≌△ADF ；④4BE=4CF=AB ．正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．设P 是边长为a 的正三角形内的一点，P 到三边的距离分别为,,()x y z x y z ££．若以,,()x y z x y z ££为边可以组成三角形，则z 应满足的条件为（）A ．3386a a z ££B ．3364a z a ££C ．33348a z a ££D ．33382a z a ££9．边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）A ．511a 32´（）B ．511a 23´（）C ．611a 32´（）D ．611a 23´（）10．如图，∠AOB ＝30°，点P 是∠AOB 内的定点，且OP ＝3．若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（）A ．12B ．9C ．6D ．3二、填空题11．如图所示，∠AOB ＝60°，点P 是∠AOB 内一定点，并且OP ＝2，点M 、N 分别是射线OA ，OB 上异于点O 的动点，当△PMN 的周长取最小值时，点O 到线段MN 的距离为_____．12．已知等边ABC D 的边长为3，点E 在直线AB 上，点D 在直线CB 上，且ED EC =，若6AE =，则CD 的长为______．13．如图，过边长为1的等边三角形ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，当AP ＝CQ 时，PQ 交AC 于D ，则DE 的长为______．14．如图，已知ABC 中，60A Ð=°，D 为AB 上一点，且2,4AC AD BD B ACD =+Ð=Ð，则DCB Ð的度数是_________．15．如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且∠EBD=72°，则∠AEB 的度数是______．三、解答题16．在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ．（1）如图1，连接EC ，求证：△EBC 是等边三角形；（2）点M 是线段CD 上的一点（不与点C ，D 重合），以BM 为一边，在BM 的下方作∠BMG=60°，MG 交DE 延长线于点G ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD ，DG 与AD 之间的数量关系；（3）如图3，点N 是线段AD 上的一点，以BN 为一边，在BN 的下方作∠BNG=60°，NG 交DE 延长线于点G ．试探究ND ，DG 与AD 数量之间的关系，并说明理由．17．在边长为9的等边三角形ABC 中，点Q 是BC 上一点，点P 是AB 上一动点，以1个单位每秒的速度从点A 向点B 移动，设运动时间为t 秒．（1）如图1，若BQ=6，PQ//AC 求t 的值；（2）如图2，若点P 从点A 向点B 运动，同时点Q 以2个单位的速度从点B 经点C 向点A 运动，当t 为何值时，APQ D 为等边三角形．（3）如图3，将边长为9的等边三角形ABC 变换为AB ，AC 为腰，BC 为底的等腰三角形，且AB=AC=10，BC=8，点P 运动到AB 中点处静止，点M ，N 分别为BC ，AC 上动点，点M 以1个单位每秒的速度从点B 向C 运动，同时N 以a 个单位每秒的速度从点C 向A 运动，当,BPM CNM D D 全等时，求a 的值．18．如图1，已知△ABC 和△EFC 都是等边三角形，且点E 在线段AB 上．（1）求证：BF ∥AC ；（2）过点E 作EG ∥BC 交AC 于点G ，试判断△AEG 的形状并说明理由；（3）如图2，若点D 在射线CA 上，且ED ＝EC ，求证：AB ＝AD ＋BF ．19．小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：（1）取特殊情况，探索讨论：当点E 为AB 的中点时，如图（2），确定线段AE 与DB 的大小关系，请你写出结论：AE _____DB （填“>”，“<”或“=”），并说明理由．（2）特例启发，解答题目：解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE _____DB （填“>”，“<”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ．（请你将剩余的解答过程完成）（3）拓展结论，设计新题：在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =，若△ABC 的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你画出图形，并直接写出结果）．20．在△ABC 中，AB =AC ，D 是直线BC 上一点，以AD 为一条边在AD 的右侧作△ADE ，使AE =AD ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．（1）如图，当点D 在BC 延长线上移动时，若∠BAC =40°，则∠ACE =，∠DCE =，BC 、DC 、CE 之间的数量关系为；（2）设∠BAC =α，∠DCE =β．①当点D 在BC 延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D 在直线BC 上（不与B ，C 两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE ∥AB 时，若△ABD 中最小角为15°，试探究∠ACB 的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．21．如图，在ABC D 中，AC BC =，90ACB Ð=°，点D 为ABC D 内一点，且BD AD =．（1）求证：CD AB ^；（2）若15CAD Ð=°，E 为AD 延长线上的一点，且CE CA =．①求BDC ∠的度数．②若点M 在DE 上，且DC DM =，请判断ME 、BD 的数量关系，并说明理由．③若点N 为直线AE 上一点，且CEN D 为等腰D ，直接写出CNE Ð的度数．22．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，BD 、CE 交于点F ．（1）求证：BD=CE ；（2）求∠EFB 的度数．23．（1）如图1，ABC 和DCE 都是等边三角形，且B ，C ，D 三点在一条直线上，连接AD ，BE 相交于点P ，求证：BE AD =．（2）如图2，在BCD 中，若120BCD Ð<°，分别以BC ，CD 和BD 为边在BCD 外部作等边ABC ，等边CDE △，等边BDF ，连接AD 、BE 、CF 恰交于点P ．①求证：AD BE CF ==；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB ，PC ，PD 与BE 存在怎样的数量关系，并说明理由．参考答案1．A 2．D3．A 4．D 5．A 6．B 7．D 8．B 9．A 10．D 11．112．3或913．1214．20°15．132°16．（1）证明：如图1所示：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，BC=AB．∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠DBA=∠A=30°．∴DA=DB ．∵DE ⊥AB 于点E ．∴AE=BE=AB．∴BC=BE ．∴△EBC 是等边三角形；（2）结论：AD=DG+DM ．证明：如图2所示：延长ED 使得DW=DM ，连接MW ，∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD ，又∵DM=DW ，∴△WDM 是等边三角形，2121∴MW=DM ，在△NGM 和△DBM 中，∴△WGM ≌△DBM ，∴BD=WG=DG+DM ，∴AD=DG+DM ．（3）结论：AD=DG ﹣DN ．证明：如图延长BD 至H ，使得DH=DN ．由（1）得DA=DB ，∠A=30°．∵DE ⊥AB 于点E ．∴∠2=∠3=60°．∴∠4=∠5=60°．∴△NDH 是等边三角形．∴NH=ND ，∠H=∠6=60°．∴∠H=∠2．∵∠BNG=60°，∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．即∠DNG=∠HNB ．在△DNG 和△HNB 中，∴△DNG ≌△HNB （ASA ）．∴DG=HB ．∵HB=HD+DB=ND+AD ，∴DG=ND+AD ．∴AD=DG ﹣ND ．17．解：（1）ABC D 是等边三角形，60A B C \Ð=Ð=Ð=°，PQ//AC ，60BQP C \Ð=Ð=°，60BQP B \Ð=Ð=°，BPQ \D 是等边三角形，BP BQ \=，由题意可知：AP t =，则9BP t =-，96t \-=，解得：3t =，故t 的值为3；（2）①当点Q 在边BC 上时，已知此时APQ D 不可能为等边三角形；②当点Q 在边AC 上时，若APQ D 为等边三角形，则AP AQ =，由题意可知，AP t =，2BC CQ t +=，()922182AQ BC AC BC CQ t t \=+-+=´-=-，182t t \=-，解得：6t =，故当6t =时，APQ D 为等边三角形；（3）由题意可知：BM t =，CN at =，1110522BP AB ==´=，则8CM BC BM t =-=-，若PBM D ≌NCM D ，则PB NC BM CM =ìí=î，即：58at t t=ìí=-î，解得：544a t ì=ïíï=î；若PBM D ≌MCN D ，则PB MC BM CN =ìí=î，即：58t t at=-ìí=î，解得：13a t =ìí=î；综上所述：当,BPM CNM D D 全等时，a 的值为1或54．18．解：（1）如图1，∵△ABC 和△EFC 都是等边三角形，∴∠ACB=∠ECF=∠A=60°，AC=BC ，CE=FC ，∴∠1+∠3=∠2+∠3，∴∠1=∠2，在△ACE 与△FCB 中，12AC BC CE CF =ìïÐ=Ðíï=î,∴△ACE ≌△FCB ，∴∠CBF=∠A =60°，∴∠CBF =∠ACB ，∴AC ∥BF ；（2）△AEG 是等边三角形，理由如下：如图，过E 作EG ∥BC 交AC 于G，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠AEG=∠AGE=60°，∴△AEG 是等边三角形．（3）如图2，过E 作EG ∥BC 交AC 于G ，由（2）可知△AEG 是等边三角形，∴AE=EG=AG ，∠GAE=∠AGC=60°，∴∠DAE=∠EGC=120°，∵DE=CE ，∴∠D=∠1，∴△ADE ≌△GCE ，∴AD=CG ，∴AC=AG+CG=AG+AD ，由（1）得△ACE ≌△FCB ，∴BF=AE ，∴BF=AG ，∴AC=BF+AD ，∴AB=BF+AD ．19．解：（1）AE DB =，理由如下：ED EC = ，EDC ECD\Ð=Ð∵△ABC 是等边三角形，60ACB ABC Ð=Ð=°\，点E 为AB 的中点，1302ECD ACB \°Ð=Ð=，30EDC Ð=°\，30D DEB Ð=Ð=°\，DB BE \=，AE BE = ，AE DB \=；故答案为：=；（2）AE DB =，理由如下：如图3：∵△ABC 为等边三角形，且EF ∥BC ，60AEF ABC Ð=Ð=°\，60AFE ACB Ð=Ð=°，FEC ECB Ð=Ð；120EFC DBE Ð=Ð=°\；ED EC = ，D ECB \Ð=Ð，D FEC Ð=Ð，在△EFC 与△DBE 中，FEC D EFC DBE EC DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△EFC ≌△DBE （AAS ），EF DB\=60AEF AFE Ð=Ð=° ，∴△AEF 为等边三角形，AE EF \=，AE BD \=．（3）①如图4，当点E 在AB 的延长线上时，过点E 作EF ∥BC ，交AC 的延长线于点F：则DCE CEF Ð=Ð，DBE AEF Ð=Ð；ABC AEF Ð=Ð，ACB AFE Ð=Ð；∵△ACB 为等边三角形，60ABC ACB \Ð=Ð=°，60AEF AFE \Ð=Ð=°，60DBE ABC Ð=Ð=°，DBE EFC \Ð=Ð；而ED EC =，D DCE \Ð=Ð，D CEF Ð=Ð；在△FEC 和△BDE 中，FEC D EFC DBE EC DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△FEC ≌△BDE （AAS ），EF BD \=；∵△AEF 为等边三角形，2AE EF \==，2BD EF ==，123CD \=+=；②如图5，当点E 在BA 的延长线上时，过点E 作EF ∥BC ，交CA 的延长线于点F ：类似上述解法，同理可证：2DB EF ==，1BC =，211CD =-=\．、20．（1）如图1所示：∵∠DAE =∠BAC ，∴∠DAE +∠CAD =∠BAC +∠CAD ，∴∠BAD =∠CAE ．在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ACE =∠B 12=（180°﹣40°）=70°，BD =CE ，∴BC +DC =CE ．∵∠ACD =∠B +∠BAC =∠ACE +∠DCE ，∴∠BAC =∠DCE ．∵∠BAC =40°，∴∠DCE =40°．故答案为：70°，40°，BC +DC =CE ；（2）①当点D 在线段BC 的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β．理由如下：∵∠DAE =∠BAC ，∴∠DAE +∠CAD =∠BAC +∠CAD ，∴∠BAD =∠CAE ．在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠B=∠ACE．∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，α+β=180°，如图2所示．理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE．∵∠ADC+∠ADB=180°，∴∠ADC+∠AEC=180°，∴∠DAE+∠DCE=180°．∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β，∴α+β=180°；（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，如图3所示．理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，α=β；综上所述：当点D 在BC 上移动时，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB =60°．理由如下：∵当点D 在线段BC 的延长线上或在线段BC 反向延长线上移动时，α=β，即∠BAC =∠DCE ．∵CE ∥AB ，∴∠ABC =∠DCE ，∴∠ABC =∠BAC ．∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =∠BAC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°；∵当D 在线段BC 上时，α+β=180°，即∠BAC +∠DCE =180°．∵CE ∥AB ，∴∠ABC +∠DCE =180°，∴∠ABC =∠BAC ．∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =∠BAC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°；综上所述：当CE ∥AB 时，若△ABD 中最小角为15°，∠ACB 的度数为60°．21．（1）∵CB=CA ，DB=DA ，∴CD 垂直平分线段AB ，∴CD ⊥AB ；（2）①在△ADC 和△BDC 中，BC AC CD CD BD AD =ìï=íï=î，∴△ADC ≌△BDC （SSS ），∴∠ACD=∠BCD=12∠BCA=45°，∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BDC=180°-45°-15°=120°；②结论：ME=BD ，理由：连接MC ，∵AC BC =，90ACB Ð=°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠DBA=∠DAB=30°，∴∠BDE=30°+30°=60°，由①得∠BDC=120°，∴∠CDE=60°，∵DC=DM ，∠CDE=60°，∴△MCD 为等边三角形，∴CM=CD ，∵EC=CA=CB ，∠DMC=60°，∴∠E=∠CAD=∠CBD=15°，∠EMC=120°，在△BDC 和△EMC 中，15120CBD E BDC EMC CD CM Ð=Ð=°ìïÐ=Ð=°íï=î，∴△BDC ≌△EMC （AAS ），∴ME=BD ；③当EN=EC 时，∠1152EN C °==7．5°或∠2EN C =180152°-°=82．5°；当EN=CN 时，∠3EN C =180215°-´°=150°；当CE=CN 时，点N 与点A 重合，∠CNE=15°，所以∠CNE 的度数为7．5°或15°或82．5°或150°．22．（1）证明：∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，∴AE=AD 、AB=AC ，又∵∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC ，即∠DAB=∠EAC ，在△EAC 和△DAB 中，AE AD DAB EAC AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△EAC ≌△DAB ，∴BD=CE ；（2）解：由（1）△EAC ≌△DAB ，可得∠ECA=∠DBA ，在等边△ABC 中，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠EFC=∠FCB+∠FBC=∠FCA+∠ACB+∠FBC=∠ACB+∠ABC=60°+60°=120°．23．（1）证明：∵ABC 和DCE 都是等边三角形，∴BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE ，即∠BCE=∠ACD ，∴BCE ACD ≌（SAS ），∴BE=AD ；（2）①证明：∵ABC 和DCE 是等边三角形，∴AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，即∠ACD=∠BCE ，∴≌ACD BCE V V （SAS ），∴AD=BE ，同理：ABD CBF ≌（SAS ），∴AD=CF ，即AD=BE=CF ；②解：结论：PB+PC+PD=BE ，理由：如图2，AD 与BC 的交点记作点Q ，则∠AQC=∠BQP ，由①知，≌ACD BCE V V ，∴∠CAD=∠CBE ，在ACQ 中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BQP=120°，在BPQ V 中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP ）=60°，∴∠DPE=60°，同理：∠APC=60°，\Ð=°∠CPD=120°，CPE60,在PE上取一点M，使PM=PC，△是等边三角形，∴CPM==，∠PCM=∠CMP=60°，∴CP CM PM∴∠CME=120°=∠CPD，△是等边三角形，∵CDE∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，∴∠PCD=∠MCE，≌（SAS），∴PCD MCE∴PD=ME，∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．。

13.3.2 等边三角形人教版数学八年级上册同步作业(含答案)

13.3.2　等边三角形必备知识·基础练(打“√”或“×”)1．三条边都相等的三角形是等边三角形．(√)2．三个角都相等的三角形是等边三角形．(√)3．有一个角是60°的三角形是等边三角形．(×)4．有一个角等于30°的三角形，它所对的边等于最长边的一半. (×) 5．在△ABC中，若AB＝BC＝AC，则∠A＝∠B＝∠C＝60°.(√)知识点1　等边三角形的性质1．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE 的周长为(　D　)A．4 B．30 C．18 D．12【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4，∴△ADE的周长为12.2．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝__30__°.【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝30°.∴∠BAD＝123．(2020·阜新中考)如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为__102°__．【解析】如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠1＝42°，a∥b，∴∠2＝∠1＋∠BAC＝42°＋60°＝102°.知识点2　等边三角形的判定4．(易错警示题)下列推理中，错误的是(　B　)A．因为∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形B．因为AB＝AC且∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形C．因为∠A＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形D．因为AB＝AC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形【解析】选项A，根据判定方法可知三个角相等的三角形是等边三角形，因此A是正确的；选项B，由AB＝AC可推出∠B＝∠C，因此它只能判定△ABC是等腰三角形，故B是错误的；选项C，可求出第三个角也是60°，因此有两个角是60°的三角形可判定为等边三角形，故C是正确的；选项D，有一个角为60°的等腰三角形，可判定为等边三角形，故D是正确的．5．(2021·长沙期中)如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．【证明】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°，∴△DEF是等边三角形．6.(2021·北京期中)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．【证明】∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴∠BDE＝∠CDF＝60°，∴∠EDF＝60°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE与△CDF中，{∠B＝∠C，BD＝CD，∠BDE＝∠CDF，∴△BDE≌△CDF(ASA)，∴DE＝DF，∴△DEF是等边三角形．知识点3　含30°角的直角三角形的性质7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则BD的长度是(　C　)A.3 cm B．6 cmC．9 cm D．12 cm【解析】在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°(同角的余角相等)，∵AD＝3 cm，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm.∴BD＝AB－AD＝12－3＝9(cm).8．如图，∠MON＝30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON 于点Q.若点P到OM的距离为2，则OQ的长为(　D　)A.1 B．2 C．3 D．4【解析】如图，过点P作PE⊥ON，∵OP平分∠MON，∴∠1＝∠2，∵PQ∥OM，∴∠1＝∠3，∠MON＝15°，∴∠2＝∠3＝12∴OQ＝PQ，∠4＝30°，∴PQ＝2PE＝4，∴OQ＝PQ＝4.9．(生活情境题)如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝12 m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为(　B　)A.4 m B．6 m C．8 m D．12 m【解析】∵∠ACB＝90°，AB＝12 m，∠A＝30°，∴BC＝1AB＝6 m．则立柱BC的长度为6 m．210．(2021·珠海期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝3 cm，求BC的长．【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB⊥AD，∴BD＝2AD＝2×3＝6(cm)，∵∠B＋∠ADB＝90°，∴∠ADB＝60°，∵∠ADB＝∠DAC＋∠C＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DC＝AD＝3 cm，∴BC＝BD＋DC＝6＋3＝9(cm).关键能力·综合练11.如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，BD⊥AC，则△ABC的面积是(　B　)A．12 B．16C．20 D．24【解析】∵AB＝AC，AC＝8，∴AB＝8，∵BD是高，∴∠BDA＝90°，∵∠A＝30°，∴BD＝1AB＝4，2∴△ABC的面积＝1×8×4＝16.212．(2021·深圳质检)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(　A　)A.15° B．30° C．45° D．60°【解析】∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝15°.13．(2020·河南中考)如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为(　D　)A.63B．9C．6 D．33【解析】连接BD交AC于O，∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO＝CO，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，∵AB＝BC＝3，∴AD＝CD＝3AB＝3，∴四边形ABCD的面积＝2×1×3×3＝33.214．(生活情境题)某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(　B　)A.300a元B．150a元C．450a元D．225a元【解析】如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°，∵CD⊥BD，AC＝30 m，∴CD＝15 m，∵AB＝20 m，∴S△ABC＝12AB×CD＝12×20×15＝150 m2，∵每平方米售价a元，∴购买这种草皮的价格是150a元．15．(2020·常州中考)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝__30__°.【解析】∵EF 垂直平分BC ，∴BF ＝CF ，∴∠B ＝∠BCF ，∵△AFC 为等边三角形，∴∠AFC ＝60°，∴∠B ＝∠BCF ＝30°.16．(2021·杭州期中)如图，AD ，BE 是等边△ABC 的两条高线，AD ，BE 交于点O ，则∠AOB ＝__120__°.【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠CAB ＝∠ABC ＝60°，∵AD ，BE 是等边△ABC 的两条高线，∴∠BAD ＝12∠BAC ＝30°，∠ABE ＝12∠ABC ＝30°，∴∠AOB ＝180°－∠BAD －∠ABE ＝180°－30°－30°＝120°.17．如图，已知△ABC 是等边三角形，过点B 作BD ⊥BC ，过A 作AD ⊥BD ，垂足为D ，若△ABC 的周长为12，求AD 的长．【解析】∵BD ⊥BC ，在等边三角形ABC 中，∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝90°－60°＝30°.又∵AD⊥BD，即△ABD是直角三角形，∴∠ABD所对的直角边AD是斜边AB的一半．∵等边三角形ABC的周长为12，∴其边长AB＝4.∴AD＝1AB＝2.218．(素养提升题)(2021·广州期中)如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，连接AD，BE，交CE 和AC分别于G，H点，连接GH.(1)试证明AD＝BE；(2)试证明△BCH≌△ACG；(3)试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．【解析】(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°.∴∠ACD＝∠ECB，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE.(2)∵△ACD≌△BCE，∴∠CBH＝∠CAG.∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B，C，D在同一条直线上，∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°.又∵AC＝BC，∴△ACG≌△BCH.(3)△CGH是等边三角形，理由如下：∵△ACG≌△BCH，∴CG＝CH，又∵∠ACG＝60°，∴△CGH是等边三角形(有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形).模型　等边三角形判定定理1的应用模型如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.求证：△ADE是等边三角形．【证明】∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴AD＝AE＝DE，即△ADE是等边三角形．应用模型：在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝CA.关闭Word文档返回原板块。

13.3.2 等边三角形1(含答案)

뷈୽
୽，
୽뷈
୽，
在上取点，使
뷈，
在 뷈୽ 与 ୽ 中，
뷈୽ ୽， ୽뷈
୽ ，뷈
，
뷈୽
୽，
୽ ୽， ୽
뷈୽ ，
୽
୽뷈 甘，
뷈୽ 뷈୽
୽
甘，
୽ ୽，
୽ 为等边三角形，
୽
，
뷈 ୽．
18.解： 1୽证明：在等边 뷈୽ 中，
뷈 ୽ 甘，
뷈，
뷈୽，
୽，
뷈
୽
甘，
뷈
୽
⺁甘，
甘，
是等边三角形；
୽易知 뷈
୽
，
뷈 ୽ ，뷈 ୽
뷈 뷈୽ ୽．
뷈 平分 뷈୽，
1 ୽．
是等边三角形，
，又 뷈 ୽． 1 뷈．
16.解：
为等边三角形．
证明： 뷈୽ 为等边三角形， 뷈 ୽．
뷈୽
在 뷈 与 ୽ 中， 뷈
୽
뷈
뷈୽
，뷈
୽．
뷈୽ 뷈
ห้องสมุดไป่ตู้
୽ 甘，
୽
୽ 甘，
是等边三角形．
17. 1୽证明：在等边 뷈୽ 中，
뷈୽
୽뷈 甘， ୽ 뷈୽，
୽，
୽
୽뷈 甘，
，
뷈
뷈 뷈 1ͳ，
在
뷈 中， 뷈 ⺁甘，
뷈 뷈，
뷈 뷈 1ͳ，
뷈 ͳ，
୽ͳ
19.解： 1୽ 뷈 、 ୽ 都是等边三角形，
뷈， ୽
，뷈
뷈
뷈 甘， ୽
甘，
뷈
୽ ୽ 뷈， ୽
뷈
୽ 뷈，
୽ 뷈，
뷈 在 ୽ 和 뷈 中， ୽ 뷈

人教版八年级数学上册《13.3.2等边三角形》练习题(附答案)

人教版八年级数学上册《13.3.2等边三角形》练习题（附答案）一、选择题1.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为( )A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm2.如图，BC=10cm，∠B=∠BAC=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为( )A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm3.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE=AD，则∠DEC的度数为( )A. 105°B. 95°C. 85°D. 75°4.如图，直线l1//l2，△ABC是等边三角形∠1=50°，则∠2的大小为( )A. 60°B. 80°C. 70°D. 100°5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，AD=3则BD的长是( )A. 12B. 9C. 6D. 36.如图，直线l//m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为18°，则∠α的度数为( )A. 60°B. 42°C. 36°D. 30°7.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，AC的垂直平分线交BC于D，交AC于E，DE=2，则BC=( )A. 8B. 10C. 12D. 158.如图，四边形ABCD中∠C=30∘，∠B=90∘，∠ADC=120∘若AB=2，CD=8，则AD=( )A. 4B. 5C. 6D. 79.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上OP=12，点M，N在边OB上PM=PN，若MN=2，则OM的长是( )A. 3B. 4C. 5D. 610.如图，C为线段AB上一动点(不与点A、B重合)，在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD 交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH.以下五个结论：①AE=BD②GH//AB③AD=DH ④GE=HB⑤∠AFD=60°一定成立的是( )A. ①②③④B. ①②④⑤C. ①②③⑤D. ①③④⑤二、填空题11.若一个等边三角形的周长是30cm，一边上的高是5√ 3cm，则这个等边三角形的面积是．12.如图∠MAN=60°，点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上．若△ABC是锐角三角形，则AC的取值范围是______．13.在△ABC中，若AB=AC=7，∠B=30°，则BC边上的高AD=．14.如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为________米．15.如图，将一副三角板如图所示叠放在一起，若AB=8cm，则阴影部分的面积是cm2．16.如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是______．17.如图，在△ABC中∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为点D，若ED=5，则EC的长为．18.在△ABC中∠B=10°，∠C=20°，AC=2cm，CD⊥AB且CD交BA的延长线于点D，则CD的长为．19.如图，将边长为5cm的等边△ABC向右平移1cm，得到△A′B′C′，此时阴影部分的周长为cm．20.如图，△ABC为等边三角形DE//AC，点O为线段EC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO= FO.若AC=7，FC=3，则OC的长为．三、解答题21.如图，在Rt△ABC中∠A=90°，∠B=30°，请用尺规作图法在AB上求作一点D，使得AB=3AD.(保留作图痕迹，不写作法)22.如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．(1)求证：CD=BE；(2)求∠CFE的度数．23.如图∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE垂足分别为D、E，CE交AB于点F．(1)求证：BE=CD；(2)若∠ECA=75°，求证：DE=1AB．224.如图，在△ABC中AB=AC=8，∠CBA=45°．(1)求证：AC⊥AB；(2)分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D(点D在AC的左侧)，连接CD，AD，BD.求△ABD 的面积．25.如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点(不含端点B，C)，N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．(1)尺规作图：在直线BC的下方，过点B作∠CBE=∠CBA，作NC的延长线，与BE相交于点E．(2)求证：△BEC是等边三角形；(3)求证：∠AMN=60°．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解析】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm∴斜边的长为2×2=4cm．故选：B．2.【答案】C【解析】解：∵∠B=∠BAC=15°∴AC=BC∵∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°又∵AD⊥BCAC=5cm．∴AD=12故选：C．根据等角对等边的性质可得AC=BC=10cm，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．本题考查了等角对等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．先根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC可得∠CAD=30°，再由AD=AE可知∠ADE=∠AED，根据三角形内角和定理即可求出∠AED的度数，故可得出∠DEC的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=60°．∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC∴∠DAC=30°．∵AD=AE∴∠ADE=∠AED=180°−30°2=75°∴∠DEC=∠DAC+∠ADE=105°．故选：A4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质和平行线的性质，熟记等边三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质及外角性质可求∠3，再根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：如图∵△ABC是等边三角形∴∠A=60°∵∠1=50°∴∠3=∠1+∠A=50°+60°=110°∵直线l1//l2∴∠2+∠3=180°∴∠2=180°−∠3=70°故选：C．5.【答案】B【解析】解：∵CD⊥AB，∠ACB=90°∴∠ADC=90°=∠ACB∵∠B=30°∴∠A=90°−∠B=60°∴∠ACD=90°−∠A=30°∵AD=3∴AC=2AD=6∴AB=2AC=12∴BD=AB−AD=12−3=9故选：B．根据三角形的内角和求出∠A，根据余角的定义求出∠ACD，根据含30°角的直角三角形性质求出AC=2AD，AB=2AC求出AB即可．本题主要考查的是含30°角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出AC=2AD，AB=2AC．6.【答案】B【解析】解：∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠ABC=60°．∵l//m∴∠1=∠ABC+18°=78°．∴∠α=180°−∠A−∠1=180°−60°−78°=42°．故选：B．先利用等边三角形的性质得到∠A、∠ABC的度数，再利用平行线的性质求出∠1的度数，最后利用三角形的内角和定理求出∠a．本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质等知识点，掌握“等边三角形的每个内角都是60°”、“三角形的内角和是180°”及平行线的性质是解决本题的关键．另解决本题亦可过点C作直线l的平行线，利用平行线的性质求解．7.【答案】C【解析】解：连接AD，如图所示：∵AB=AC，∠BAC=120∘∴∠B=∠C=30∘∵AC的垂直平分线交BC于D∴DA=DC，∠DEC=90∘∴CD=2DE=4∴AD=4∵∠BAD=120∘−30∘=90∘∴BD=2AD=8∴BC=BD+CD=8+4=12∴故选C．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了含30∘角的直角三角形的性质，通过作辅助线得出直角三角形是解决问题的关键．作DE⊥BC于E，作AF⊥DE于F，先求出EF=AB=2，再根据含30∘角的直角三角形的性质得出DE= 12CD=4，进而得到DF=DE−EF=2，进而可得出答案．【解答】解：作DE⊥BC于E，作AF⊥DE于F，如图所示：则∠DEC=∠AFD=90∘，EF=AB=2∵∠C=30∘∴∠CDE=60°∴∠ADE=120°−60°=60∘，DE=12CD=4∴DF=DE−EF=2∵∠AFD=90°∴∠DAF=30∘∴AD=2DF=4．故选A．9.【答案】C【解析】【分析】此题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用含30°角的直角三角形的性质得出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD−MD即可求出OM的长．【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D在Rt△OPD中∠AOB=60°，OP=12∴∠OPD=30°∴OD=12OP=6∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2∴MD=ND=12MN=1∴OM=OD−MD=6−1=5．故选C.10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．根据等边三角形的性质可以得出△ACE≌△DCB，就可以得出∠CAE=∠CDB，∠AEC=∠DBC，通过证明△CEG≌△CBH就可以得出CG=CH，GE=HB，可以得出△GCH是等边三角形，就可以得出∠GHC=60°就可以得出GH//AB，由∠DCH≠∠DHC就可以得出CD≠DH，就可以得出AD≠DH，进而得出结论．【解答】解：∵△ACD和△BCE是等边三角形∴AD=AC=CD，CE=CB=BE，∠ACD=∠BCE=60°．∴∠DCE =60°．∴∠DCE =∠BCE ．∴∠ACD +∠DCE =∠BCE +∠DCE∴∠ACE =∠DCB ．在△ACE 和△DCB 中{AC =DC ∠ACE =∠DCB CE =CB∴△ACE ≌△DCB(SAS)∴AE =BD ，∠CAE =∠CDB ，∠AEC =∠DBC.故①正确；在△CEG 和△CBH 中{∠GEC =∠HBC CE =CB ∠GCE =∠HCB,∴△CEG ≌△CBH(ASA)∴CG =CH ，GE =HB ，故④正确；∴△CGH 为等边三角形∴∠GHC =60°∴∠GHC =∠BCH∴GH//AB ，故②正确；∵∠AFD =∠EAB +∠CBD∴∠AFD =∠CDB +∠CBD =∠ACD =60°，故⑤正确；∵∠DHC =∠HCB +∠HBC =60°+∠HBC∴∠DCH ≠∠DHC∴CD ≠DH∴AD ≠DH ，故③不正确；综上所述，正确的有：①②④⑤．故选B ．11.【答案】25√ 3cm 2【解析】【分析】根据周长可求边长；根据三角形面积公式计算．此题考查等边三角形的性质和三角形的面积计算，属基础题．【解答】解：∵等边三角形的周长是30厘米∴边长为10厘米．∵高是√ 102−52=√ 75=5√ 3厘米∴面积=10×5√ 3÷2=25√ 3(cm2).故答案是：25√ 3cm2．12.【答案】1<AC<4【解析】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中AB=2，∠A=60°∴∠ABC1=30°∴AC1=12AB=1在Rt△ABC2中AB=2，∠A=60°∴∠AC2B=30°∴AC2=4当点C在C1和C2之间时，△ABC是锐角三角形∴AC的取值范围是1<AC<4故答案为：1<AC<4．当点C在射线AN上运动，△ABC的形状可能是钝角三角形、直角三角形或锐角三角形．画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造含30°角的直角三角形，即可得到AC的取值范围．本题考查了直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．13.【答案】3.5【解析】【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题关键．根据含30°角的直角三角形的性质即可得．【解答】解：∵在△ABC中AB=AC=7，∠B=30°，AD⊥BC∴AD=12AB=3.5故答案为：3.5．14.【答案】12【解析】【分析】此题主要利用了直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半解决问题，然后解题时要正确理解题意，把握题目的数量关系．如图，由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而离地面4米处折断倒下，即BC=4米，所以得到AB=8米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．【解答】解：如图∵∠BAC=30°，∠BCA=90°∴AB=2CB而BC=4米∴AB=8米∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米．故答案为12．15.【答案】8【解析】【分析】本题主要考查含30°角的直角三角形，等腰直角三角形，平行线的判定与性质等知识点，熟记公式是解题的关键.先利用直角三角形的性质求出AC的长，再根据平行线的性质及等腰直角三角形的性质求出CF的长即可．【解答】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=8cm∴AC=4cm．由题意可知BC//ED∴∠AFC=∠ADE=45°∴AC=CF=4cm．×4×4=8(cm2).故S△ACF=12故答案为8．16.【答案】6【解析】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点∴EF=2∵DE//AB，DF//AC∴△DEF是等边三角形∴剪下的△DEF的周长是2×3=6．故答案为：6．根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，关键是证明△DEF是等边三角形．17.【答案】10【解析】【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE，故可得出∠B=∠DCE，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：在△ABC中∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，ED=5所以BE=CE所以∠B=∠DCE=30°在Rt△CDE中因为∠DCE=30°，ED=5所以CE=2DE=10．故答案为：10．18.【答案】1cm【解析】【分析】根据三角形的外角的性质可求得∠DAC=30°，再根据直角三角形中有一个角是30°，则这个角所对的边等于斜边的一半，从而求得CD的长．本题考查直角三角形的性质的综合运用．【解答】解：∵∠B=10°，∠C=20°∴∠DAC=30°．∵CD⊥AB∴CD=1/2AC=1cm．故CD的长度是1cm．19.【答案】12【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.也考查了平移的性质．利用等边三角形的性质得到AB=BC=5cm，∠B=∠ACB=60°，再根据平移的性质得到∠A′B′C′=∠B= 60°，BB′=1cm，B′C=4cm，于是可判断阴影部分为等边三角形，从而得到阴影部分的周长．【解答】解：∵△ABC为等边三角形∴AB=BC=5cm，∠B=∠ACB=60°∵等边△ABC向右平移1cm得到△A′B′C′∴∠A′B′C′=∠B=60°，BB′=1cm∴∠A′B′C′=∠ACB=60°，B′C=BC−BB′=5−1=4cm∴阴影部分为等边三角形∴阴影部分的周长为3×4=12(cm)．故答案为：12．20.【答案】221.【答案】解：如下图：点D即为所求．【解析】本题考查了尺规作图，掌握作一个角的平分线的方法是解题的关键．作∠ACB 的平分线即可．22.【答案】解：(1)∵△ABD 、△AEC 都是等边三角形∴AD =AB ，AC =AE ，∠DAB =∠DBA =∠ADB =60°，∠CAE =60°∵∠DAB =∠DAC +∠CAB ，∠CAE =∠BAE +∠CAB∴∠DAC =∠BAE在△DAC 和△BAE 中{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE∴△DAC≌△BAE∴CD =BE ．(2)∵△DAC≌△BAE∴∠ADC =∠ABE∴∠CFE =∠BDF +∠DBF=∠BDF +∠DBA +∠ABF=∠BDF +∠DBA +∠ADC=∠BDA +∠DBA=60°+60°=120°．【解析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△DAC≌△BAE ．(1)利用△ABD 、△AEC 都是等边三角形，证明△DAC≌△BAE ，即可得到CD =BE ；(2)由△DAC≌△BAE ，得到∠ADC =∠ABE ，再由∠CFE =∠BDF +∠DBF =∠BDF +∠DBA +∠ABF ，即可解答．23.【答案】证明：(1)∵∠ACB =90°，AD ⊥CE ，BE ⊥CE∴∠ACD +∠BCE =90°，∠ACD +∠CAD =90°，∠ADC =∠CEB =90°∴∠BCE =∠CAD在△ADC 和△CEB 中{∠ADC =∠CEB ∠CAD =∠BCE AC =BC∴△ADC≌△CEB(AAS)∴BE =CD ；(2)∵∠ECA=75°∴∠CAD=15°=∠BCE ∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠CBA=∠CAB=45°∴∠BFE=60°，∠DAF=30°∴∠FBE=30°，DF=12AF∴EF=12BF∴DE=DF+EF=12(AF+BF)=12AB．【解析】(1)由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得BE=CD；(2)由直角三角形的性质可得DF=12AF，EF=12BF，可得结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，30°所对的直角边是斜边的一半，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．24.【答案】(1)证明：∵AB=AC∴∠CBA=∠ACB=45°∴∠CAB=180°−∠ACB−∠CBA=90°∴AC⊥AB．(2)解：过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E由题意得：AC=AD=CD=8∴△ACD是等边三角形∴∠DAC=60°∴∠DAE=180°−∠DAC−∠CAB=30°∴DE=12AD=4∴△ABD的面积=12AB⋅DE=12×8×4=16∴△ABD的面积为16．【解析】(1)利用等腰三角形的性质可得∠CBA=∠ACB=45°，然后利用三角形内角和定理求出∠CAB=90°，即可解答；(2)过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，根据题意可得：AC=AD=CD=8，从而可得△ACD是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得∠DAC=60°，从而利用平角定义可得∠DAE=30°，最后在Rt△DEA中，利用含30°角的直角三角形的性质可得DE=4，从而利用三角形的面积进行计算即可解答．本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．25.【答案】(1)解：如图所示：(2)证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=60°∴∠ACH=120°∵CN平分∠ACH∴∠HCN=∠BCE=60°∵∠CBE=∠CBA=60°∴∠EBC=∠BCE=∠BEC=60°∴△BEC是等边三角形；(3)证明：连接ME∵△ABC和△BCE是等边三角形∴AB=BC=BE在△ABM和△EBM中∵{AB=EB∠ABM=∠EBM BM=BM,∴△ABM≌△EBM(SAS)∴AM=EM，∠BAM=∠BEM∵AM=MN∴MN=EM∴∠N=∠CEM∵∠HCN=∠N+∠CMN=60°∠BEC=∠BEM+∠CEM=60°∴∠CMN=∠BEM=∠BAM∵∠AMC=∠ABC+∠BAM=∠AMN+∠CMN∴∠AMN=60°．【解析】【分析】此题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质和判定，作一个角等于已知角的基本作图，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．(1)以B为圆心，以任意长为半径画弧，交AB、BC两边为D和F，以F为圆心，以DF为半径画弧，交前弧于G，作射线BG，交NC的延长线于E，则∠CBE=∠CBA；(2)证明△BCE三个角都是60°，可得结论；(3)作辅助线，构建三角形全等，证明△ABM≌△EBM(SAS)，得AM=EM，∠BAM=∠BEM，证明∠CMN=∠BEM=∠BAM根据三角形外角的性质可得结论．。

人教版八年级数学上册 13.3.2 等边三角形同步练习(附答案)

13．3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定知识点1 三角形的性质1．如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )A．100° B．80°C．60° D．40°2．如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝．第2题图第3题图3．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝．4．如图，点D，E分别在等边△ABC边BC，CA的延长线上，且CD＝AE，连接AD，BE.求证：BE＝AD.知识点2等边三角形的判定5．已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )A．等腰直角三角形B．一般的等腰三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形6．如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC 是等边三角形．7．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC.求证：△CEB 为等边三角形．8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )A．15° B．30° C．45° D．60°第8题图第9题图9．如图，在等边△ABC中，M，N分别在BC，AC上移动，且BM＝CN，AM与BN相交于点Q，则∠BAM＋∠ABN的度数是( )A．60° B．55°C．45° D．不能确定10．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是cm.11．如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形ODC，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.求∠AEB的大小．12．如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动．设运动时间为t s，当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由．13．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断过程．第2课时含30°角的直角三角形的性质知识点含30°角的直角三角形的性质1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，最小边BC＝4 cm，则最长边AB的长是( ) A．5 cm B．6 cm C. 5 cm D．8 cm2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD等于( )A．3 B．4 C．5 D．6第2题图第3题图3．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8 cm，则BD＝，BE＝．4．等腰三角形顶角为30°，腰长是4 cm，则三角形的面积是．5．如图是某房屋顶框架的示意图，其中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5 m，求∠B，∠C，∠BAD的度数和AB的长度．6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，连接BD.若DE＝2，则AC的长为( )A．4 B．6 C．8 D．10第6题图第7题图7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，连接AE，BE＝6 cm，则AC的长为．9．如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.(1)求∠E的度数；(2)求证：M是BE的中点．10．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°.求：(1)此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里？(2)小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东航行，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．参考答案：13．3.2 等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定1．B 2．3． 3．120°．4．证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ACB ＝60°. ∴∠BAE ＝∠ACD ＝120°. 在△BAE 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CD ，∠BAE ＝∠ACD ，AB ＝CA ，∴△BAE ≌△ACD(SAS)．∴BE ＝AD.5．C6．证明：∵DC ＝DB ，∴∠B ＝∠DCB ＝30°.∴∠ADC ＝∠DCB ＋∠B ＝60°. 又∵AD ＝DC ，∴△ADC 是等边三角形． 7．∴BC ＝BE.∵AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，CE ⊥AB ， ∴∠ECB ＝60°. 又∵BC ＝BE ，8．A 9．A 10．18.11．解：∵△DOC 和△ABO 都是等边三角形，且点O 是线段AD 的中点，∴OD ＝DC ＝OC ＝OB ＝OA ，∠ADC ＝∠DAB ＝60°. 在△DBA 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠DAB ＝∠ADC ，AD ＝DA ，∴△DBA ≌△ACD(SAS)．∴∠BDA ＝∠CAD. ∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD.又∵∠BDA ＋∠OBD ＝∠BOA ＝60°， ∴∠BDA ＝30°. ∴∠CAD ＝30°.∵∠AEB ＝∠BDA ＋∠CAD ， ∴∠AEB ＝60°.12．解：△BPQ 是等边三角形．理由：当t ＝2时， AP ＝2×1＝2(cm)， BQ ＝2×2＝4(cm)．∴BP ＝AB －AP ＝6－2＝4(cm)． ∴BQ ＝BP.∴∠B＝60°.∴△BPQ是等边三角形．13．解：(1)△ODE是等边三角形．理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC.∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴△ODE是等边三角形．(2)BD＝DE＝EC.理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.∴∠DBO＝∠DOB.∴DB＝DO.同理：EC＝EO.∵△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝OE.∴BD＝DE＝EC.第2课时含30°角的直角三角形的性质1．D2．A3．2__cm．4．4__cm2．5．解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝12×(180°－120°)＝30°.∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∠BAD ＝12∠BAC ＝60°.又∵∠B ＝30°， ∴AB ＝2AD ＝7 m. 6．B 7．C 8．3__cm ． 9．解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°. 又∵CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE. 又∵∠ACB ＝∠E ＋∠CDE ， ∴∠E ＝12∠ACB ＝30°.(2)证明：连接BD ，∵等边△ABC 中，D 是AC 的中点， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝12×60°＝30°.由(1)知∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E ＝30°，∴DB ＝DE. 又∵DM ⊥BC ，∴M 是BE 的中点． 10．解：(1)过点P 作PD ⊥AB 于点D.∵∠PBD ＝90°－60°＝30°，∠PAB ＝90°－75°＝15°， ∴∠APB ＝30°－15°＝15°.∴∠PAB ＝∠APB.∴BP ＝AB ＝7海里． (2)∵∠PBD ＝30°，∠PDB ＝90°， ∴PD ＝12PB ＝3.5海里．∵3.5>3，∴该轮船继续向东航行，没有触礁的危险．。

2019年秋人教版八年级上册数学13.3.2等边三角形同步作业含答案

2019年秋人教版八年级上册数学13.3.2等边三角形同步作业一、单选题1．如图在等边△ABC 中，O 为三条高线的交点，连结OB 、OC 那么∠BOC=( )A ．100°B ．90°C ．150°D ．120°2．下列不能断定ABC △为等边三角形的是（）A.60A ︒∠=，60B ︒∠=B.A B C ∠=∠=∠C.AB AC =，60B ︒∠=D.AB BC =，A C ∠=∠3．在ABC ∆中,,60,6AB AC A BC =∠=︒=,则AB 的值是( )A.12B.8C.6D.34．如图，在△ABE 中，AE 的垂直平分线MN 交BE 于点C ，∠E ＝30°，且AB ＝CE ，则∠BAE 的度数是（）A ．100°B ．90°C ．85°D ．80°5．如图，在ABC △中，4,6,60AB BC B ==∠=︒，将ABC △沿BC 方向平移2个单位后得到DEF ，连接DC ，则DC 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．66．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④7．如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（）A. B. C.2 D.8．如图，等边△ABC的周长为18，且AD⊥BC于点D，那么AD的长为（）A．3 B．4 C．D．6∠的内部，点P'与点P关于OB对称，点P"与点P关于OA对称，9．已知AOB30∠=，点P在AOB则O，P'，P"三点所构成的三角形是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定10．如图，点D是等边△ABC的边AC上一点，以BD为边作等边△BDE，若BC＝10，BD＝8，则△ADE的周长为（）A．14 B．16 C．18 D．20二、填空题11．如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AC ＝CD ，∠DAB ＝10°，∠B ＝5∠DAB ，则∠C ＝_____．12．已知在等边三角形ABC 中，点D 是边BC 的中点，AC=8,则BD=______________．13．如图，点D 、E 、F 分别是边长为6的等边三角形ABC 边AB 、BC 、AC 上的点，且2AD BE CF ===.则ADF ∆的面积为______________14．如图，ABC ∆为等腰直角三角形，90ABC ∠=，ADB ∆为等边三角形，则ADC ∠=______.15．如图，已知等边△ABC 中，BD=CE,AD 与BE 交于点P ，则∠APE=________.16．如图，ABC ∆为正三角形，AD 是ABC ∆的角平分线，ADE ∆也是正三角形，下列结论：①AD BC ⊥：②=EF FD ：③BE BD =，其中正确的有________（填序号）.17．如图所示，在等边ABC ∆中，剪去A ∠后，12∠+∠=__________．三、解答题18．如图，在等边△ABC 中，DE 分别是AB ，AC 上的点，且AD=CE ．（1）求证：BE=CD ；（2）求∠1+∠2的度数．19．已知：在△ABC 中，BA=BC ，BD 是△ABC 的中线，△ABC 的角平分线AE 交BD 于点F ，过点C 作AB 的平行线交AE 的延长线于点G（1）如图1，若∠ABC=60°，求证：AF=23EG; （2）如图2，若∠ABC=90°，求证：AF=12EG; （3）在（2）的条件下如图3，过点A 作∠CAH=13∠FAC ，过点B 作BM ∥AC 交AG 于点M ，点N 在AH 上，连接MN 、BN ，若∠BMN+∠EAH=90°，ABC S 18∆=，求BN 的长.20．如图，点O 是等边ABC △内一点，105AOB ︒∠=，BOC α∠=，点D 是等边△ABC 外一点，∠OCD=60°，OC=OD ，连接OD 、AD ．（1）求AOD ∠的度数（用含α的式子表示）（2）求证：:BOC ADC ≌；（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形．21．如图，E 是AOB ∠的平分线上一点，,EC OB ED OA ⊥⊥，C 、D 是垂足，连接CD 交OE 于点F ，若60AOB ︒∠=(1)求证: OCD ∆是等边三角形:(2)若EF=5，求线段OE 的长，答案1．D 2．D 3．C 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C 9．A 10．C11．60° 12．4 13．14．135 15．60° 16．①②③ 17．24018（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC ，在△ACD 和△CBE 中，AC=BC ，∠A=∠BCE ，AD=CE ，∴△ACD ≌△CBE （SAS ），∴BE=CD ；（2）解：∵△ACD ≌△CBE ，∴∠1=∠ACD ，∴∠1+∠2=∠ACD+∠2=∠ACB=60°．19．【详解】（1）证明：∵BA=BC ，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，设DF=a ，∵BD 为△ABC 的中线，AE 为△ABC 的角平分线，∴AF=2a ，EF=a ，∵CG ∥AB ，∴∠G=∠CAE=∠CAE=30°，∴GE=AE=AF+EF=2a+a=3a ，∴AF=23EG ；（2）证明：取EG 的中点P ，连接CF 、CP ，∵BA=BC，∠ABC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AF=CF，∵AF是△ABC的角平分线，∴∠BAE=∠FAC=22.5°，∴∠CFP=45°，∵CG∥AB，∴∠ECG=∠ABC=90°，∴CP=GP=12 EG，∵CG∥AB，∴∠G=∠BAE=22.5°，∴∠CPF=45°，∴CF=CP，∴AF=12 EG；（3）过点B作BK⊥AM于K，过点M作ML⊥AH于H，∵∠CAH=13∠FAC，∴∠EAH=22.5°+13×22.5°=30°， ∴∠AML=90°-30°=60°，∵∠BMN 与∠EAH 互余，∴∠BMN=90°-30°=60°，∴∠BMK=∠NML ，∵AE 是△ABC 的平分线，CG ∥AB ，∴∠BAE=∠BME=12×45°=22.5°， ∴AB=BM ，∴MK=12AM ， ∵∠MAH=30°，ML ⊥AH ，∴MH=12AM ， ∴MK=ML ，在△BMK 和△NML 中，90BMK NML MK MLBKM NLM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△BMK ≌△NML （ASA ），∴MN=BM ，∴MN=AB ，∵△ABC 的面积为18， ∴12AB 2=18， ∴AB=6，∵∠BMN=60°，BM=MN ，∴△BMN 是等边三角形，∴BN=MN=6．20．解：（1）∵60OCD ︒∠=，OC OD =，∴OCD 为等边三角形，∴60COD ︒∠=，∵105AOB ︒∠=，BOC α∠=﹐∴360195AOD AOB BOC COD α︒︒∠=-∠-∠-∠=-；（2）∵ABC △和OCD 均为等边三角形，∴BC AC =，OC DC =，60ACB OCD ︒∠=∠=，∴ACB ACO OCD ACO ∠-∠=∠-∠，即BCO ACD ∠=∠．在BOC 和ADC 中，BC AC BCO ACD OC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)BOC ADC ≌；（3）∵BOC ADC ≌，∴=ADC BOC α∠=∠．∵OCD 为等边三角形．∴60ODC ︒∠=，∴60ADO ADC ODC α︒∠=∠-∠=-．又由（1）可知195AOD α︒∠=-，∴18045OAD AOD ADO ︒︒∠=-∠-∠=，∵AOD △是等腰三角形，①ADO AOD ∠=∠，即60195αα︒︒-=-，解得127.5α︒=，②ADO OAD ∠=∠，即6045a ︒︒-=，解得105α︒=，③AOD OAD ∠=∠，即19545α︒︒-=，解得150α︒=综上：当127.5α︒=或105︒或150︒时，AOD △是等腰三角形21．解(1)∵点E 是AOB ∠的平分线上一点，,EC OB ED OA ⊥⊥，垂足分别是C 、D ， DE CE ∴=，在 Rt ODE ∆与Rt OCE ∆中，DE CE OE OE =⎧⎨=⎩， Rt ODE Rt OCE(HL)∴∆≅∆，OD OC ∴=，60AOB ︒∠=，OCD ∴∆是等边三角形；(2)OCD ∆是等边三角形，OF 是COD ∠的平分线，OE DC ∴⊥，60AOB ︒∠=，30AOE BOE ︒∴∠=∠=，60,ODF ED OA ︒∠=⊥，30EDF ︒∴∠=，210DE EF ∴==，220OE DE ∴==。

2019精选教育人教版数学八年级上册同步练习：1332 等边三角形.doc

2019-2019学年度人教版数学八年级上册同步练习13.3.2 等边三角形学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共12小题）1．如图，△AOB是边长为2的等边三角形，顶点A的坐标是（）A．（，）B．（，﹣1）C．（﹣1，）D．（，﹣1）2．平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P 是A、B、C三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点．则平面上等边△ABC的巧妙点有（）个．A．7 B．8 C．9 D．103．在△ABC中，AB=BC=AC=6，则△ABC的面积为（）A．9 B．18 C．9 D．184．下列几种三角形：①有一个角为60°的等腰三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的三角形；④有一外角为120°的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形6．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状7．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个10．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°．若BE=6cm，DE=2cm，则BC的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm11．如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=78°，∠BDC=24°，则∠DBC=（）A．18°B．20°C．25°D．15°12．在下列结论中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二．填空题（共8小题）13．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=．14．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，若将△ABC向右滚动，则x的值等于，数字2019对应的点将与△ABC的顶点重合．15．如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△A n B n A n的边长为．+116．下列三角形：（1）有两个角等于60°；（2）有一个角等于60°的等腰三角形；（3）三个外角都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有．17．在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（0，），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）△ABC为三角形．（2）若△ABC三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加3，则所得的图形与原来的三角形相比，主要的变化是．18．如果三角形的三边a、b、c适合（a2﹣2ac）（b﹣a）=c2（a﹣b），则a、b、c之间满足的关系是；有同学分析后判断△ABC是等边三角形，你的判断是．19．如图，AB=AC，DB=DC，若∠ABC为60°，BE=3cm，则AB=cm．20．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC=5，则这块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．三．解答题（共5小题）21．已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求：∠B、∠C的度数，△ABC是什么三角形？22．如图，在等边△ABC中，AC=6，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是多少？23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；（2）若∠C=30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．24．如图一，AB=AC，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB．问：（答题时，注意书写整洁）（1）图一中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）（2）过D点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，如图二，图中现在增加了几个等腰三角形，选一个进行证明．（3）如图三，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）线段EF与BE、CF有什么关系，并证明．25．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，∵△AOB是等边三角形，∴AE⊥OB，∠OAE=30°，∴OE=OA=1，AE=．∵点A位于第二象限，∴（﹣1，）．故选：C．2．解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心，（2）点P在三角形外部时，一个对称轴上有三个点，如图：共有9个点符合要求，∴具有这种性质的点P共有10个．故选：D．3．解：如图，作AD⊥BC于D，∵AB=BC=AC=6，∵AD为BC边上的高，则D为BC的中点，∴BD=DC=3，∴AD=，∴等边△ABC的面积=BC•AD=×6×3=9．故选：C．4．解：因为有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由①，②，④推出等边三角形，而③只能得出这个三角形是等腰三角形．故选：B．5．解：如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠AEF=∠DEC=90°﹣∠C，∠F=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠F．又∠A=120°，∴∠FAE=60°．∴△AEF是等边三角形．故选：A．6．解：∵△ABC为等边三角形∴AB=AC∵∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△ACD∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°∴△ADE是等边三角形．故选：B．7．解：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由（1），（2），（4）推出等边三角形，而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形．故选：B．8．解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）若每一个角各取一个外角，则所有内角相等，即三角形是等边三角形；若一个顶点取2个的话，就不成立，该结论错误．故选：D．9．解：①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；②若添加条件为∠B=∠C，又∵∠A=60°，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，求证：△ABC为等边三角形．证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEC=90°，在Rt△ADC和Rt△CEA中，∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，综上，正确的说法有3个．故选：A．10．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=2cm，∴BN=4cm，∴BC=2BN=8cm．故选：C．11．解：如图延长BD到M使得DM=DC，∵∠ADB=78°，∴∠ADM=180°﹣∠ADB=102°，∵∠ADB=78°，∠BDC=24°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=102°，∴∠ADM=∠ADC，在△ADM和△ADC中，∴△ADM≌△ADC，∴AM=AC=AB，∵∠ABD=60°，∴△AMB是等边三角形，∴∠M=∠DCA=60°，∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，∴∠BAO=∠ODC=24°，∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∴24°+2（60°+∠CBD）=180°，∴∠CBD=18°，故选：A．12．解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确．故选：C．二．填空题（共8小题）13．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．又点D是边BC的中点，∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案是：30°．14．解：∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，∴﹣4﹣（2x+1）=2x+1﹣（x﹣3）；∴﹣3x=9，x=﹣3．故A表示的数为：x﹣3=﹣3﹣3=﹣6，点B表示的数为：2x+1=2×（﹣3）+1=﹣5，即等边三角形ABC边长为1，数字2019对应的点与﹣4的距离为：2019+4=2019，∵2019÷3=672，C从出发到2019点滚动672周，∴数字2019对应的点将与△ABC的顶点C重合．故答案为：﹣3，C．15．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：△A n B n A n+1的边长为2n﹣1．故答案是：2n﹣1．16．解：（1）根据已知求出∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形；（2）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；（3）由三个外角都相等，得出三角形的三个内角也相等，根据三角都相等的三角形是等边三角形；所以是等边三角形；（4）、∵AD=DC，BD⊥AC，∴AB=BC，∵AB=AC，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形；故答案为（1）（2）（3）（4）．17．解：（1）如图，由题中条件可得，BC=2，OA=，OB=OC=1，∴AB=AC=2=BC，∴△ABC是等边三角形；（2）如上图，若将△ABC三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加3，则所得的图形与原来的三角形全等，只不过相当于将△ABC向右平移3．18．解：∵（a2﹣2ac）（b﹣a）=c2（a﹣b），∴a≠b，∴a2﹣2ac=﹣c2，∴（a﹣c）2=0，∴a=c，∴△ABC是等腰三角形，∴a、b、c之间满足的关系是a=c≠b，故答案为：a=c≠b，△ABC是等腰三角形．解：在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD．∴∠BAD=∠CAD．又∵AB=AC，∴BE=EC=3cm．∴BC=6cm．∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形．∴AB=6cm．故答案为：6．20．解：连接AA′，∵点M是线段AC、线段A′C′的中点，AC=5，∴AM=M C=A′M=MC′=2.5，∵∠MA′C=30°，∴∠MCA′=∠MA′C=30°，∴∠MCB′=180°﹣30°=150°，∴∠C′MC=360°﹣（∠MCB′+∠B′+∠C′）=360°﹣（150°+60°+90°）=60°，∴∠AMA′=∠C′MC=60°，∴△AA′M是等边三角形，∴AA′=AM=2.5．故答案为：2.5．三．解答题（共5小题）21．解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．解：连接DP，∵∠DOP=60°，OD=OP，∴△ODP是等边三角形，∴∠OPD=60°，PO=PD，∵等边三角形ABC，∴∠A=∠B=60°，∴∠AOP+∠OPA=120°，∠OPA+∠DPB=120°，∴∠AOP=∠DPB，在△AOP和△BPD中∴△AOP≌△BPD，∴AO=BP=2，∴AP=AB﹣AP=6﹣2=423．解：（1）BE垂直平分AD，理由：∵AM⊥BC，∴∠ABC+∠5=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°，∴∠5=∠C；∵AD平分∠MAC，∴∠3=∠4，∵∠BAD=∠5+∠3，∠ADB=∠C+∠4，∠5=∠C，∴∠BAD=∠ADB，∴△BAD是等腰三角形，又∵∠1=∠2，∴BE垂直平分AD．（2）△ABD是等边三角形．理由：∵∠5=∠C=30°，AM⊥BC，∴∠ABD=60°，∵∠BAC=90°，∴∠CAM=60°，∵AD平分∠CAM，∴∠4=∠CAM=30°，∴∠ADB=∠3+∠C=60°，∴∠BAD=60°，∴∠ABD=∠BDA=∠BAD，∴△ABD是等边三角形．24．解：（1）①∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD、CD分别是角平分线，∴∠DBC=∠ABC=∠ACB=∠DCB，∴DB=DC，∴△BDC是等腰三角形，即在图1中共有两个等腰三角形；②∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE=∠DBC，∴∠DBE=∠EDB，∴EB=ED，∴△EBD为等腰三角形，同理△FDC为等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠AFE，∵AB=AC，∴△AEF为等腰三角形，即在图2中增加了三个等腰三角形；（2）同②可证明得△EBD为等腰三角形，△FDC为等腰三角形，所以EF=BE+CF，即只有两个等腰三角形．25．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12﹣2t，解得t=4，∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，y﹣12=36﹣2y，解得：y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．。

人教版八年级上册数学第13章13.3.2《等边三角形》【同步练习】

人教版八年级上册数学第13章13.3.2《等边三角形》【同步练习】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（）．A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形4．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2，则AB的长是（）A．2 B．4 C．8 D．165．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状二、填空题 6．在△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=________________．7．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______． 8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________。

9．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•则CD•=___cm ．三、解答题10．已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD 的夹角是多少度？11．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC 于点D ，求证：BC=3AD ．D CAB12．已知：如图，点B ，C ，D 在同一直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，BE 交AC 于点F ，AD 交CE 于点H ，（1）求证：△BCE ≌△ACD ；（2）求证：CF ＝CH ；（3）判断△CFH 的形状并说明理由．参考答案1．C【分析】由已知条件根据等边三角形的性质、角平分线的性质求解．【详解】解：如图，∵等边三角形ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的角的平分线，交于点I，∴∠1＝∠2＝12∠ACB＝30°，∴∠BIC＝180°﹣（∠1+∠2）＝120°．故选：C．【点睛】此题主要考查等边三角形的性质，解题的关键是根据题意作出图形进行求解.2．D【解析】【分析】直接根据等边二角形的判定方法进行判断.【详解】解：①有两个角等于60°的三角形为等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形为等边三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形为等边三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形等边三角形.故选：D.【点睛】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角3．A【分析】根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADF≌△BED≌△CFE即可得出：△DEF是等边三角形．【详解】∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AE=BF=CD，又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形，故选A.【点睛】考点：本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定；根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．4．C【解析】试题分析：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，可以得到∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°，由此可以推出∠DCA=∠B=30°，然后利用30°所对的直角边等于斜边的一半分别求出AC，AB．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高∴∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°∴∠DCA=∠B=30°（同角的余角相等），∵AD=2cm，在Rt△ACD中，AC=2AD=4cm，在Rt△ABC中，AB=2AC=8cm．∴AB的长度是8cm故选C．考点：本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，同角的余角相等点评：解答本题的关键是掌握好含30度角的直角三角形的性质：30°所对的直角边等于斜边的一半。

人教版初二数学上试卷13.3.2等边三角形(第2课时)-同步练习(1).docx

初中数学试卷桑水出品第2课时含30°角的直角三角形的性质要点感知在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的______.预习练习1-1 在Rt△ACB中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10,则BC=_____.1-2 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,∠B=_____，∠A=_____.边AB与BC之间的关系是_____.1.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则BC∶AB等于( )A.2∶1B.1∶2C.1∶3D.2∶32.Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B＝30°,AD＝2 cm,则AB的长度是( )A.2 cmB.4 cmC.8 cmD.16 cmBE=_____.3.如图：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8 cm，BD=_____，.数和AB的长度5.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6 cm,则AC等于( )A.6 cmB.5 cmC.4 cmD.3 cm6.(扬州中考)如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=( )A.3B.4C.5D.67.等腰三角形顶角为30°，腰长是4 cm，则三角形的面积是_____.8.等腰三角形的底角为15°，腰长是2 cm，则腰上的高为_____.9.(温州中考)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD=2，求DF的长.挑战自我10.如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1.(1)求证：AD=BE；(2)求AD 的长.参考答案课前预习要点感知一半预习练习1-1 5 1-2 60°30°AB=2BC当堂训练1.B2.C3.4 cm2 cm4.∠B=∠C=21(180°-120°)=30°,∠BAD=21∠BAC=60°,AB=2AD=7 m.课后作业5.D6.C7.4 cm 28.1 cm9.(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°.∵DE ∥AB ，∴∠EDC=∠B=60°.∵EF ⊥DE ，∴∠DEF=90°.∴∠F=90°-∠EDC=30°.(2)∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC 是等边三角形.∴ED=DC=2.∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4.10.(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC.又AE=CD ，∴△ABE ≌△CAD(SAS).∴∠ABE=∠CAD ，BE=AD.(2)∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠PAE=∠BAC=60°，又BQ ⊥PQ ，∴∠PBQ=30°.∴PB=2PQ=6.∴BE=PB+PE=7.∴AD=BE=7.。

人教版八年级数学上册 (14.3.2 等边三角形) 同步优化训练习题(含答案)

14.3.2 等边三角形5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.等边三角形有________条对称轴，分别是________.答案：三每条边的垂直平分线〔或每条边上的高（或中线、顶角平分线）所在的直线〕2.等边三角形每边上的中线、角平分线、高________且________.思路解析：等边三角形具有等腰三角形的所有性质.答案：重合相等3.等腰三角形一底角为30°，底边上的高为9 cm，则这个等腰三角形的腰长是________ cm，顶角是________.思路解析：底边上的高分等腰三角形为两个全等的直角三角形，利用30°直角三角形的特殊性质.答案：18 120°10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列条件能判定三角形为等边三角形的有( )①有一个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个思路解析：判定等边三角形的方法：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.因此②④是正确的.当每边上的高与中线都重合时，这个三角形也是等边三角形.答案：B2.如图14-3-8，已知P、Q是△ABC边BC上的两点，且PB=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC的度数为( )图14-3-8A.150°B.120°C.100°D.90°思路解析：已知边的相等关系求角的度数，需要用“等边对等角”性质，涉及相邻三角形的内角关系时，可以用“外角性质”转换.由PQ=AP=AQ可知△APQ是等边三角形，每个内角为60°，由PB=AP，AQ=QC，得△ABP、△ACQ都是等腰三角形，根据“外角性质”得∠B=∠BAP=∠C=∠CAQ=30°.答案：B3.△ABC中，AB=BC，∠B=∠C，则∠A=________.思路解析：由AB=BC得到∠C＝∠A，即△ABC的三个内角相等.答案：60°4.如图14-3-9，△ABC是等边三角形，AB＝5 cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠BAD＝________，∠ADF ＝________，BD＝________，∠EDF＝________.图14-3-9思路解析：综合运用等边三角形的性质和特殊直角三角形性质.答案：30° 60° 2.5 cm 120°5.如图14-3-10，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形．（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．图14-3-10思路分析：两个等边三角形公共中心，构成了新的三个三角形：△AFE、△BDF、△CED也是全等三角形. 解：（1）AE=BF=CD，AF=BD=CE.理由：如图：∵△ABC、△DEF都是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠EFD=∠FDE=∠DEF=60°，EF=FD=DE.∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=∠4+∠5=∠5+∠6=∠6+∠1=120°.∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6.∴△AFE≌△BDF≌△CED.∴AE=B F=CD，AF=BD=CE.（2）用旋转与平移相结合的方法可以相互得到.快乐时光老师在家长会上说：“请大家看一下下面的成语.”屏幕上出现“食全食美，爱若天使”.“这就是未来祖国的希望们写的成语.”老师接着说：“请各位家长配合，以后要让孩子们少看广告……”家长一脸不解地问：“那看什么呢？”学生迅速地站起来答道：“看疗效呗！”30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.如图14-3-11，已知等边△ABC的边长为6 cm , D是AC的中点，E为BC的延长线上一点，且CE=CD,DM ⊥BC于M，则ME的长为( )A.5 cmB.5.5 cmC.4.5 cmD.3.5 cm思路解析：运用等腰三角形的性质与判定定理，△CDE是等腰三角形，△DME是特殊的直角三角形.答案：C2.如图14-3-12，两个全等的直角三角形中都有一个锐角为30°，且较长的直角边在同一直线上，则图中的等腰三角形有( )A.4个B.3个C.2个D.1个图14-3-11 图14-3-12 图14-3-13思路解析：观察图形，注意60°的角.答案：B3.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为( )A.75°或15°B.30°或60°C.75°D.30°思路解析：等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，分两种情况讨论.答案：A4.如图14-3-13，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PAC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形.其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.4思路解析：运用相关的定理逐一判断，在猜测结论是正确时，把结论换成证明题解决.如图：①△PCA是顶角为150°的等腰三角形，则∠PAC＝15°；②△PCB是顶角为150°的等腰三角形，（顶角：360°-60°-60°-90°=150°）∠BCD=15°+60°=75°，∠CDA=45°+60°=105°，所以∠BCD+∠CDA=180°，AD∥BC；③△CAB中，∠BCA=∠CAD=45°－15°=30°，∠B AC=105°－30°=75°，所以∠CBA=180°－30°－75°=75°，△CAB为等腰三角形，而CP平分∠BCA，则直线PC与AB垂直;④四边形ABCD是以AD的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.答案：D5.等腰三角形的底角为15°，腰长为2a cm，则三角形的面积为________.思路解析：这是一个钝角三角形（如图），作出腰上的高，构造出特殊的直角三角形.答案：a2 cm26.如图14-3-14，已知OA＝10，P是射线ON上的一动点（即P点在射线ON上运动），且∠AON＝60°.图14-3-14（1）当OP＝_________时，△AOP为等边三角形，此时∠APO的度数为________；（2）当△AOP为直角三角形时，OP＝________，此时∠APO的度数为________.思路解析：动点P决定了△AOP的形状，当有两边相等时，△AOP为等边三角形；当有一个角为直角时，△AOP为直角三角形，当直角顶点没有确定，需要讨论.(1)∵∠AON＝60°，若△AOP是等边三角形，则OP＝OA＝10，根据等边三角形的性质，∠APO＝60°.(2)∵∠AON＝60°,若△AOP为直角三角形,则∠A＝90°,此时∠APO＝30°,∴OP＝2·OA＝20或者∠APO＝90°，此时∠A＝30°.∴OP＝12OA=5.答案：（1）10 60°（2）20 30°(或5 90°)7.如图14-3-15，P是线段AB上一点，△APC与△BPD是等边三角形，请你判断AD与BC相等吗？并证明你的判断．图14-3-15思路解析：△CPB可以看作是△APD绕点P顺时针旋转60°得到，用全等三角形的判断证明这两个三角形全等.答案：AD=BC.证明：∵△APC为等边三角形,∴AP=PC,∠APC=60°.同理,PD=PB,∠BPD=60°.∴∠APD=∠CPB.∴△APD≌△CPB.∴AD=BC.8.如图14-3-16，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E，求证：BF=12FC.图14-3-16思路解析：线段的一半与特殊的直角三角形的两边关系类似，而∠C＝30°，可以通过垂直平分线的性质把BF转化成AF，从而可以得到△ACF为直角三角形，下一步只要证明AF=12FC即可.证明：连结AF.∵EF为AB的垂直平分线，∴BF=AF，∠B=∠BAF.∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∠AFC=2∠B=60°.∴∠CAF=90°.∴AF=12FC.∴BF=12FC.9.已知，如图14-3-17中，等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h.图14-3-17若点P在一边BC上（如图①），此时h3=0，可得结论：h1＋h2＋h3＝h.请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图②）、点P在△ABC外（如图③）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请简述理由；若不成立，h1、h2、h3与h之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明.思路分析：这是一个阅读理解题，以点P在等边三角形的边上为前提，有结论“h1＋h2＋h3＝h”成立，因此我们要把问题②、③转化成图①的情景.过点P作NQ∥BC，分别交AB、AC、AM（或它们的延长线）于点N、Q、K（如图），则△ANQ仍为等边三角形，对应有类似“h1＋h2＋h3＝h”的结论.解：当点P在△ABC内部时，结论h1＋h2＋h3＝h仍然成立.如图，过点P作NQ∥BC，分别交AB、AC、AM于点N、Q、K，则△ANQ仍为等边三角形，由①可知h1＋h2＝AK.∵NQ∥BC，KM⊥BC，PF⊥BC∴KM=PF=h3.∴h1＋h2＋h3＝AK＋KM＝AM＝h.当点P在△ABC外部时，h1、h2、h3与h之间的关系为h1＋h2－h3＝h，如图，证法同上.。

人教版八年级数学上册等边三角形的性质与判定2同步练习题

人教版八年级数学试题13.3.2 等边三角形第1课时等边三角形的性质和判定1.等边三角形是轴对称图形，它有_________条对称轴。

2.等边三角形两个内角的平分线所成的钝角的度数是_____________.3.若一个三角形有两个外角都是120°，则这个三角形是__________三角形。

4.等边三角形的两条中线相交所成的锐角的度数是_________。

5.若等腰三角形腰上的中线垂直于腰，则这个三角形是_________三角形。

6.若右图所示，已知点D在BC上，点E在AD上，BE=AE=CE,并且∠1=∠2=60°.求证：△ABC是等边三角形。

7.如右图所示，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截出AD=AE，△ADE是等边三角形吗？说明理由。

8.如右图所示，已知△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE评分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE是等边三角形。

习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。

因此,预习数学的关键是先看书,进而尝试做题。

学生经过自己的努力,初步理解和掌握了新的数学知识,还要通过做练习或解决简单的问题来检验自己预习的效果。

教材中每一小节后的思考练习题,是编者根据教学大纲的要求,对教材中要点和重点的概述,是对学生理解书本内容的具体评估。

因此,我们可以利用这些题目来检查自己的预习效果。

通过试解练习题,哪些知识点已知已会,哪些难懂不会,一下子就检验出来了。

对试解出来的习题,通过听课以加深理解;对试解不出来的习题,课堂上应格外留心听讲,力求政克,为提高课堂学习质量打下坚实的基础。

如何应用习题试解预习法?同学们可以采用以下的步骤：第一步:先阅读教材,然后合上书本,围绕课后几个思考题想一想:这课讲了什么新问题,自己弄懂了没有?这些新知识与旧知识之间有什么联系,自己是否已经掌握?还有什么不懂的问题需要上课时听老师讲解?通过这样的回忆,初步检查自己的预习效果。

13.3.2等边三角形同步练习(含简单答案)人教版数学八年级上册

13.3.2 等边三角形一、单选题1．如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC ，若30cm AB AC ==，D 是BC 的中点，30ABC ∠=︒，则AD 的长为（）A ．10cmB ．12cmC ．15cmD ．cm2．如图，ABD AEC 、都是等边三角形，BE CD 、交于F ，则BFC ∠的度数为（）A ．140︒B ．130︒C ．120︒D ．110︒3．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，cm AD BC a ==，60A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，则这个梯形的周长是（）A ．4a cmB ．5a cmC ．6a cmD ．7a cm 4．如图，在Rt ABC △中，9030C B ∠=︒∠=︒，，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，在边AB ，AC 上截取AD ，AE ；然后分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在CAB ∠内交于点F ；作射线AF 交BC 于点G ．若2BG =，P 为边AB 上一动点，则GP 的最小值为（）A ．12B ．1C ．2D ．无法确定5．如图所示，已知ABC 和DCE △均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG //BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，OP 平分AOB ∠，15AOP PC OA PD OA ∠=︒⊥，∥，于点D ．10PC =，则PD 的长度是（）A ．2.5B ．4C ．6D ．57．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB BC cm +=，则AB 的长度为（）A ．6cm B ．7cm C ．8cm D ．9cm8．如图，在等边ABC 中，D 是AB 的中点，DE AC ⊥于E ，已知8＝AB ，则CE 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．39．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP=2，则AC 的长为（）A ．2B ．4C ．5D ．610．下列叙述不正确的是（）A ．等腰三角形一定是锐角三角形B ．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线C ．其中有一个内角为60︒的等腰三角形是等边三角形D ．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等二、填空题11．如图，15AOB ∠=︒，P 是OA 上一点，P 与P '关于OB 对称，作'⊥P M OA 于点M ，4OP =，则M P '= ．12．如图，在等边三角形ABC 中，AD 是角平分线，P 为线段AD 上一动点，M 为AC 的中点，连接PM PC ，，若PM PC +的最小值为15cm ，则AD = cm ．13．如图，∠MON ＝30°，点A 1、A 2、A 3、……在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3、……在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4，……均为等边三角形，若OA 1＝1，则△A 2019B 2019A 2020的边长为14．如图所示，∠A ＝60°，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，BD 与CE 相交于点H ，HD ＝1，HE ＝2，则BD ＝，CE ＝．15．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，且5AD =，10AC =．则AB = 16．如图所示，在ABC 中，90,15,ACB B DE ∠=︒∠=︒垂直平分AB ，交BC 于点E ，3cm AC =，则BE 等于．17．如图，等边ABC ，D 为CA 延长线上一点，E 在BC 边上，且AD CE =，连接DE 交AB 于点F ，连接BD ，若45BFE ∠=︒，DBE 的面积为2，则DB = ．18．如图，边长为8cm 的等边ABC 中，点D 在边AB 上，且2AD =，点E 在边BC 上，以2/s cm 的速度从B 向C 运动，点F 在边AC 上，以/s acm 的速度从C 向A 运动，则当=a 时，BDE △与CEF △全等．19．如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等．若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于．20．如图，AD 为等边ABC 的高，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且AE CF =，当BF CE +取得最小值时，AFB ∠的度数为．三、解答题21．（1）图①是折叠凳撑开时的侧面示意图，其中凳腿AC 和DB 的长度相等，O 是AC 和BD 的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度AD 设计为30cm ，求撑开时的凳腿间距BC ；（2）在（1）题条件下，为了节省空间，凳子不用时可折叠起来摆放，图②是折叠后的侧面示意图，若折叠前凳面与凳腿的夹角D ∠为60度，求折叠后凳腿的高度AC ．22．如图，在ABC 中，,120,AB AC BAC AD BC =∠=︒⊥于D ，点O 是线段AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，且OP OC =．(1)请直接写出线段OB 和OP 之间的数量关系：______．(2)请说明： 30APO DCO ∠+∠=︒；(3)请说明：POC △是等边三角形；(4)请直接写出线段AB OA AP 、、之间的数量关系．23．郑州高铁站入口的双翼闸机如图1所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ．双翼的边缘54cm AC BD ==，且与闸机侧立面夹角30ACP BDQ ∠=∠=︒．一名旅客携带如图2长方体行李箱进站（单位：cm ）．当双翼收回进闸机箱内时：(1)根据实际情况，推着______向前更容易通过闸机；A ．“80100⨯”的面B ．“60100⨯”的面(2)通过计算说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机．24．如图，A 、B 、C 、D 是几个城市，AB BC AC AD CD 、、、、是几条即将修建的公路，经测量：90,30ACB CBA ∠=︒∠=︒，CD AB ∥，,AD AC AB =长为20公里．(1)求ADC ∠的度数；(2)甲施工队沿A C D --方向施工，每公里造价3000万元，乙施工队沿AD 方向施工，H 为线段AD 的中点，H 处附近因条件限制只能以H 为圆心、HE 为半径修半圆形公路，AE DG 、每公里造价3500万元，半圆形公路每公里造价5000万元．甲施工队的总造价比乙施工队的总造价少230万元，求HE 的长(π 3.14)≈．25．如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，延长BA 至点D ，使12AD AB =，连结CD ，作BAC ∠的平分线与BDC ∠的平分线交于点E ，连结EB ，EC ．(1)求证：AD CD ⊥；(2)求DBE ∠的度数；(3)求BECD 的值．参考答案：1．C2．C3．B4．B5．D6．D7．C8．A9．D10．A11．212．1513．2201914． 5 415．2016．6cm17．18．2或319．1520．105︒/105度21．（1）30cm ；（2）60cm 22．(1)OB OP =；(2)30︒；(3)略；(4)AB OA AP =+．23．(1)B(2)可以通过，略24．(1)60ADC ∠=︒(2)HE 的长为2.9米25．(1)略(2)DBE ∠=︒75(3)BECD =。

八年级初二上册数学人教版课时练《等边三角形》02(含答案)

《13.3.2 等边三角形》课时练一、选择题1．如图，等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 在线段AD 上，45EBC ∠=︒，则ACE ∠等于( )A ．B ．C ．D ．2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB 的长为2cm ，则AC 长为（） A ．4cmB ．2cmC ．1cmD ．m3．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC 垂直于横梁AC ，AB=10m ，∠A=30°，则立柱BC 的长度是（）A ． 5mB ． 8mC ． 10mD ． 20m4．如图，已知∠ABC=60°，DA 是BC 的垂直平分线，BE 平分∠ABD 交AD 于点E ，连接CE ．则下列结论：①BE=AE ；②BD=AE ；③AE=2DE ；④S △ABE =S △CBE ，其中正确的结论是（）A ． ①②③B ． ①②④C ． ①③④D ． ②③④5．如图，E 是等边ABC △中AC 边上的点，12BE CD ∠=∠=，，则对ADE △的形状判断最准确的是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状6．给出几种三角形:①有两个角为60︒的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；④有一个角为60︒的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )A．4种B．3种C．2种D．1种7．设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间的关系的是( )A．B．C．D．二、填空题8．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠ABC=30°，底边上的高AD=_______cm．9．如图，在△ABC中．∠B=90°，∠BAC=30°．AB=9cm，D是BC延长线上一点．且AC=DC．则AD=_________cm．11．如图是屋顶的“人”字形钢架，其中斜梁AB AC =，顶角120BAC ∠=︒，跨度10m BC =，AD 为中柱(即底边的中线)，两根支撑架,DE AB DF AC ⊥⊥，则DE DF += ．三、简答题12．如图，在△ABC 中，BA=BC ，∠B=120°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，求证：AD=DC ．13．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是△ABC 的高，∠A=30°，AB=4，求BD 长．参考答案9.1810．3011．512．解：如图，连接DB．∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠ABD，∵BA=BC，∠B=120°，∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°，∴∠ABD=30°，又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°﹣30°=90°，∴BD=DC，∴AD=DC．13．解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，∴BC=AB=×4=2，∵CD是△ABC的高，∴∠CDA=∠ACB=90°，∠B=∠B，故∠BCD=∠A=30°，∴在Rt△BCD中，BD=BC=×2=1，∴BD=1．。

八年级数学上册13.3.2.1《等边三角形的性质》同步训练(含解析)(新版)新人教版

等边三角形的性质·一．选择题;;1．（2013•吉安模拟）如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是;（）A．100°B．80° C．60° D．40°2．（2014秋•贵港期末）如图，在等边△ABC中，AB=8，E是BA延长线上一点，且EA=4，D 是BC上一点，且ED=EC，则BD的长为;（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2014秋•岑溪市期中）在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（）A．4 B．8 C．16 D．324．（2015•港南区二模）如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB的长为（）A．B．C．D．5．（2015春•张家港市期末）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=（）度．A．30 B．20 C．25 D．156．（2014•路南区一模）已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（）A．60° B．45° C．40° D．30°7．（2013秋•沈丘县校级期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（）①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2014春•赛罕区校级月考）如图．阴影部分是边长为1的小正三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个正三角形，则A和B的边长分别是（）A．2，4 B．2.5，5 C．3，6 D．4，8二．填空题9．（2015•泉州）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD= °．10．（2015•滕州市校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为．11．（2015春•扬中市期末）三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2= °．12．（2015秋•湖南校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为5，则OE+OF的值为．13．（2014•武侯区校级模拟）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则点P2010的坐标为．三．解答题14．（2014秋•上蔡县校级期末）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，延长BC到E，使CE=CD，AB=6cm．（1）求BE的长；（2）判断△BDE的形状，并说明理由．15．（2014秋•维扬区校级期中）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．（1）求∠E的度数．（2）求证：M是BE的中点．16．（2013秋•宜春期末）△ABC为等边三角形，点M是线段BC上一点，点N是线段CA上一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求证：∠AQN=60°．17．（2014秋•北京校级期中）如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由．人教版八年级数学上册13.3.2.1 《等边三角形的性质》同步训练习题（教师版）一．选择题1．（2013•吉安模拟）如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（）A．100°B．80° C．60° D．40°考点：等边三角形的性质．分析：先根据△ABC是等边三角形，求出∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠3的度数，再根据对顶角相等，即可求出∠2的度数；解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵∠1=20°，∴∠3=100°，∴∠2=100°；故选A．点评：此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是三角形内角和定理，此题较简单，是一道基础题．2．（2014秋•贵港期末）如图，在等边△ABC中，AB=8，E是BA延长线上一点，且EA=4，D 是BC上一点，且ED=EC，则BD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．分析：过点E作EF⊥BC于F，先根据含30°的直角三角形的性质求出BF，再根据等腰三角形的三线合一性质求出DF，即可得出BD．解答：解：过点E作EF⊥BC于F；如图所示：则∠BFE=90°，∵△ABC是等边三角形，∠B=60°，∴∠FEB=90°﹣60°=30°，∵BE=AB+AE=8+4=12，∴BF=BE=6，∴CF=BC﹣BF=2，∵ED=EC，EF⊥BC，∴DF=CF=2，∴BD=BF﹣DF=4；故选：B．点评：本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质；培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力．3．（2014秋•岑溪市期中）在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（）A．4 B．8 C．16 D．32考点：等边三角形的性质．分析：根据等边三角形三线合一可知AD就是∠BAC的平分线，从而求得∠BAC的平分线长．解答：解：∵在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC的平分线长为16．故选C．点评：本题主要考查了等边三角形三线合一的性质．4．（2015•港南区二模）如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB的长为（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：根据等边三角形性质，直角三角形性质求△BDE≌△AFD，得BE=AD，再求得BD的长．解答：解：∵∠DEB=90°∴∠BDE=90°﹣60°=30°∴∠ADF=180﹣30°﹣90°=90°同理∠EFC=90°又∵∠A=∠B=∠C，DE=DF=EF∴△BED≌△ADF≌△CFE∴AD=BE设BE=x，则BD=2x，∴由勾股定理得BE=，∴BD=．故选C．点评：本题利用了：1、等边三角形的性质，2、勾股定理，3、全等三角形的判定和性质．5．（2015春•张家港市期末）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=（）度．A．30 B．20 C．25 D．15考点：等边三角形的性质．分析：由AD是等边三角形ABC的中线，根据三线合一与等边三角形的性质，即可求得∠ADC 与∠DAC的度数，又由AE=AD，根据等边对等角的性质，即可求得∠ADE的度数，继而求得∠EDC的度数．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，∵AD是△ABC的中线，∴∠DAC=BAC=30°，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED===75°，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．故选D．点评：此题考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意三线合一与等边对等角的性质的应用，注意数形结合思想的应用．6．（2014•路南区一模）已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（）A．60° B．45° C．40° D．30°考点：等边三角形的性质；平行公理及推论；平行线的性质．专题：计算题．分析：过C作CE∥直线m，由l∥m，推出l∥m∥CE，根据平行线的性质得到∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°，即∠α+∠CBF=∠ACB=60°，即可求出答案．解答：解：过C作CE∥直线m∵l∥m，∴l∥m∥CE，∴∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°，∵等边△ABC，∴∠ACB=60°，∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°，∴∠α=40°．故选C．点评：本题主要考查对平行线的性质，等边三角形的性质，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，此题是一个比较典型的题目，题型较好．7．（2013秋•沈丘县校级期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（）①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．分析：因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有，AD=CD，∠ADB=∠CDB=90°（①正确），且∠ABD=∠CBD=30°（②正确），∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，可得∠CDE=∠DEC=30°，所以就有，∠CBD=∠DEC，即DB=DE（③正确），∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°（④正确）；由此得出答案解决问题．解答：解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，∴∠ADB=∠CDB=90°，BD平分∠ABC；∴BD⊥AC；∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，∴∠CDE=∠DEC=30°，∴∠CBD=∠DEC，∴DB=DE．∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°所以这四项都是正确的．故选：D．点评：此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．8．（2014春•赛罕区校级月考）如图．阴影部分是边长为1的小正三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个正三角形，则A和B的边长分别是（）A．2，4 B．2.5，5 C．3，6 D．4，8考点：等边三角形的性质．专题：数形结合．分析：设A的边长为x，根据等边三角形的性质和已知图形得到H和G的边长都为x，B的边长为2x，由于阴影部分是边长为1的小正三角形，易得C的边长为2x﹣1，F和E的边长为x+1，所以D的边长可表示为2x﹣1或x+2，则2x﹣1=x+2，然后解方程求出x即可得到A 和B的边长．解答：解：如图，设A的边长为x，则H和G的边长都为x，B的边长为2x，∵阴影部分是边长为1的小正三角形，∴C的边长为2x﹣1，F和E的边长为x+1，∴D的边长为2x﹣1或x+2，∴2x﹣1=x+2，解得x=3，∴A和B的边长分别3和6．故选C．点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了观察图形的能力．二．填空题9．（2015•泉州）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°°．考点：等边三角形的性质．分析：根据正三角形ABC得到∠BAC=60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠BAC=30°，故答案为：30°．点评：本题考查的是等边三角形的性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°和等腰三角形的三线合一是解题的关键．10．（2015•滕州市校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为 2 ．考点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质．分析：延长BC至F点，使得CF=BD，证得△EBD≌△EFC后即可证得∠B=∠F，然后证得AC∥EF，利用平行线分线段成比例定理证得CF=EA后即可求得BD的长．解答：解：延长BC至F点，使得CF=BD，∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD，∴∠EDB=∠ECF，在△EBD和△EFC中，，∴△EBD≌△EFC（SAS），∴∠B=∠F∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB，∴∠ACB=∠F，∴AC∥EF，∴=，∵BA=BC，∴AE=CF=2，∴BD=AE=CF=2，故答案为：2．点评：本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线．11．（2015春•扬中市期末）三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=1400．考点：等边三角形的性质．分析：先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．解答：解：∵图中是三个等边三角形，∠3=40°，∴∠ABC=180°﹣60°﹣40°=80°，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴80°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）=180°，∴∠1+∠2=140°．故答案为：140点评：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．12．（2015秋•湖南校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为5，则OE+OF的值为 5 ．考点：等边三角形的性质．分析：利用等边三角形的特殊角求出OE与OF的和，可得出其与三角形的高相等，进而可得出结论．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°又∵OE⊥AB，OF⊥AC，∠B=∠C=60°，∴OE=OB•sin60°=OB，同理OF=OC．∴OE+OF=（OB+OC）=BC．在等边△ABC中，高h=AB=BC．∴OE+OF=h．又∵等边三角形的高为5，∴OE+OF=5，故答案为5．点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；三条边都相等．13．（2014•武侯区校级模拟）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则点P2010的坐标为．考点：等边三角形的性质；勾股定理．专题：规律型．分析：做题首先要知道经过连续翻转2010次后P点的位置，然后求出此点坐标．解答：解：观察图形结合翻转的方法可以得出P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2.5，P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5…依此类推下去，P2005、P2006的横坐标是2005，P2007的横坐标是2006.5，P2008、P2009的横坐标就是2008．∴P2010的纵坐标为，横坐标=2008+1.5=2009.5．∴P2007（2007，）．点P2010处于顶点上，∵三角形边长为1，故P2010（2009，）．故答案为（2009，）．点评：本题主要考查等边三角形的性质和坐标等知识点．三．解答题14．（2014秋•上蔡县校级期末）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，延长BC到E，使CE=CD，AB=6cm．（1）求BE的长；（2）判断△BDE的形状，并说明理由．考点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：（1）根据等边三角形的性质得BC=AB=6cm，再根据“三线合一”得AD=CD=AC=3cm，而CD=CE=3cm，所以BE=BC+CE=9cm；（2）根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，再根据“三线合一”得∠CBD=∠ABC=30°，而CD=CE，则∠CDE=∠E，接着利用三角形外角性质得∠CDE+∠E=∠ACB=60°，所以∠E=30°，于是得到∠CBD=∠E，然后根据等腰三角形的判定即可得到△BDE为等腰三角形．解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BC=AB=6cm，∵BD⊥AC，∴AD=CD=AC=3cm，∵CD=CE=3cm，∴BE=BC+CE=6cm+3cm=9cm；（2）△BDE为等腰三角形．理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD⊥AC，∴∠CBD=∠ABC=30°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠E，而∠CDE+∠E=∠ACB=60°，∴∠E=30°，∴∠CBD=∠E，∴△BDE为等腰三角形．点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．也考查了等腰三角形的判定与性质．15．（2014秋•维扬区校级期中）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．（1）求∠E的度数．（2）求证：M是BE的中点．考点：等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．分析：（1）由等边△ABC的性质可得：∠ACB=∠ABC=60°，然后根据等边对等角可得：∠E=∠CDE，最后根据外角的性质可求∠E的度数；（2）连接BD，由等边三角形的三线合一的性质可得：∠DBC=∠ABC=×60°=30°，结合（1）的结论可得：∠DBC=∠E，然后根据等角对等边，可得：DB=DE，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：M是BE的中点．解答：（1）解：∵三角形ABC是等边△ABC，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵CE=CD，∴∠E=∠CDE，又∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠E=∠ACB=30°；（2）证明：连接BD，∵等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°由（1）知∠E=30°∴∠DBC=∠E=30°∴DB=DE又∵DM⊥BC∴M是BE的中点．点评：此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质．16．（2013秋•宜春期末）△ABC为等边三角形，点M是线段BC上一点，点N是线段CA上一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求证：∠AQN=60°．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据已知条件，利用SAS定理即可证明△ABM≌△BCN．（2）根据△ABM≌△BCN（已证），可得∠AMB=∠BNC，然后利用△BQM∽△BCN即可得出结论．解答：证明；（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°∵在△ABM和△BCN中，∴△ABM≌△BCN（SAS）；（2）∵△ABM≌△BCN（已证）．∴∠AMB=∠BNC，∵∠MBQ=∠NBC（公共角），∴△BQM∽△BCN，∴∠BQM=∠C=60°∵∠BQM和∠AQN是对顶角，∴∠AQN=60°．点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，有点难度，属于中档题．17．（2014秋•北京校级期中）如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）EC=BD，理由为：由△ABE和△ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，利用等式的性质得到∠EAC=∠BAD，利用SAS可得出△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为：由三角形ADC为等边三角形，得到∠ADC=∠ACD=60°，再由（1）得到△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠ADB，由∠EOD为三角形OCD的外角，利用三角形的外角性质及等量代换可得出∠EOD=∠ADC+∠ACD，可求出∠EOD的度数，利用邻补角定义求出∠DOC的度数，即为BD与CE的夹角．解答：解：（1）EC=BD，理由为：∵△ABE和△ACD都为等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△AEC和△ABD中，，∴△AEC≌△ABD（SAS），∴EC=BD；（2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为：∵△ADC为等边三角形，∴∠ADC=∠ACD=60°，∵△AEC≌△ABD，∴∠ACE=∠ADB，∵∠EOD为△COD的外角，∴∠EOD=∠ODC+∠OCD=∠ODC+∠ACD+∠ACE=∠ODC+∠ADB+∠ACD=∠ADC+∠ACD=120°，即∠DOC=60°，则BD和CE的夹角大小为60°．点评：此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，利用了等量代换及转化的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．。

新人教版八年级上册《13.3.2 等边三角形》同步练习(附答案)

新人教版八年级上册《13.3.2 等边三角形》同步练习一、选择题（本大题共11小题，共33.0分）1.如图，AD是等边△ABC的中线，AE=AD，则∠EDC的度数为()A. 30°B. 20°C. 25°D. 15°2.在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BC=6，则AB的值是()A. 12B. 8C. 6D. 33.等腰△ABC的底角若为顶角的1，过底边上的一点D作底边BC的垂线交AC于点E，4交BA的延长线于点F，则△AEF是()A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰但非等边三角形4.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为()A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm5.在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AD的长是()A. 3B. 4C. 5D. 4.56.如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC的长为()A. 2B. √3C. 4D. 2√37.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD为△ABC的角平分线，若AC=12，则在△ABD中AB边上的高为()A. 3B. 4C. 5D. 68.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD=4，则BC的长为()A. 8B. 4C. 12D. 69.下列条件不能得到等边三角形的是()A. 有两个内角是60°的三角形B. 有一个角是60°的等腰三角形C. 腰和底相等的等腰三角形D. 有两个角相等的等腰三角形10.如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB=8，则BF的长为()A. 3B. 4C. 5D. 611.如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）12.如图，等边三角形ABC的两条角平分线BD和CD交于点D，则∠BDC等于______．13.已知∠AOB=30°，点P在OA上，且OP=2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ=______．14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，若MN=2，则NF=______．15.如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB=12cm，求CM的长为______．16.如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=______．17.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE=1，则BC的长是______．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）18.如图，把等边△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F.证明：AC⊥BD．19.如图，BD是等边三角形ABC的角平分线，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DF⊥BC，垂足为F.BF与EF相等吗？为什么？20.在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边△ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q，求证：∠BQM=60°．(1)请你完成这道思考题；(2)做完(1)后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出许多问题，譬如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？请你选择其中一个问题并画出图形，给出证明．21.如图，四边形ABCD中，AB//DC，DB平分∠ADC，且AD=BD.求∠A的度数．22.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．23.(1)如图1，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，并连结CN.求证：AB=CN+CM．(2)【类比探究】如图2，在等边△ABC中，若点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其它条件不变，则AB=CN+CM是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出AB，CN，CM三者之间的数量关系，并给予证明．24.同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.”(1)请写出这个命题的条件和结论；(2)若交换命题的条件和结论，得到的命题是真命题吗？若你的判断是真命题，请写出证明过程(要求画图，并写出已知，求证)；若是假命题，请说明理由．25.已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的动点．(1)如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为lcm/s，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接按AQ，PQ．①当t=2时，求∠AQP的度数．②当t为何值时△PBQ是直角三角形？(2)如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQ=PC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×60°=30°，∴∠ADC=90°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=180°−∠CAD2=75°，∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=90°−75°=15°．故选：D．由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．2.【答案】C【解析】解：∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=6，故选：C．证明△ABC是等边三角形即可解决问题．本题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3.【答案】A【解析】解：设等腰△ABC的底角为x°，∵等腰△ABC的底角若为顶角的14，∴顶角为4x°，∴x+x+4x=180°，∴x=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠EAF=60°，∵FD⊥BC，∴∠F=90°−∠B=60°，∴AE=AF，∴△AEF是等边三角形．故选：A．，可求得∠B=∠C=30°，继而求得∠AEF=∠F=60°，由等腰△ABC的底角若为顶角的14则可判定△AEF是等边三角形．此题主要考查了等边三角形的判定，综合利用了等腰三角形和直角三角形的性质．4.【答案】B【解析】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，∴斜边的长为2×2=4cm．故选：B．根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵∠ACB=60°，∠B=90°，∴∠A=30°，∵DE是斜边AC的中垂线，∴DA=DC，∴∠ACD=∠A=30°，∵BD=2，∴AD=CD=4，故选B根据直角三角形的性质求出∠A的度数，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，解答即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵∠B=60°，DE⊥BC，∴BD=2BE=2，∵D为AB边的中点，∴AB=2BD=4，∵∠B=∠C=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=4，故选：C．在Rt△BDE中可先求得BD的长，则可求得AB的长，由条件又可证得△ABC为等边三角形，则可求得AC=AB，可求得答案．本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB的长是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：过D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠CBA=60°，∵BD平分∠CBA，∴∠DBA=∠CBD=30°，∴AD=BD，CD=12BD=12AD，∵AD+CD=AC=12，∴CD=4，∵DE⊥AB，∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=4，故选：B．过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出DE=CD，求出∠A=∠DBA=∠CBD=30°，推出AD=BD，CD=12BD，求出CD即可．本题考查了含30°角的直角三角形，角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．8.【答案】C【解析】【解析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，求出BD和CD的长度是解决问题的关键．由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=30°，Rt△ABD中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得BD=2AD=8，易证得∠DAC=∠C=30°，即CD=AD=4，由此可求得BC的长．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵AB⊥AD，∴BD=2AD=2×4=8，∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB=60°，∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C，∴DC=AD=4∴BC=BD+DC=8+4=12，故选：C．9.【答案】D【解析】解：A、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，不符合题意；B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；C、腰和底相等的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；D、有两个角相等的等腰三角形可能不是等边三角形，符合题意；故选：D．根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角本题考查了等边三角形的判定，解决本题的关键是熟记等边三角形的定义和判定定理．10.【答案】C【解析】解：∵在等边△ABC中，D是AB的中点，AB=8，∴AD=4，AC=8，∠A=∠C=60°，∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，∴∠AED=∠CFE=90°，AD=2，∴AE=12∴CE=8−2=6，CE=3，∴CF=12∴BF=5，故选：C．根据等边三角形的性质得到AD=4，AC=8，∠A=∠C=60°，根据直角三角形的性质AD=2，于是得到结论．得到AE=12本题考查了等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．11.【答案】A【解析】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB−∠ECB=15°，故选：A．先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．出∠ECB是解本题的关键．12.【答案】120°【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC=12∠ABC=30°，∠DCB=12∠ACB=30°，∴∠BDC=180°−30°−30°=120°，故答案为：120°．由已知条件根据等边三角形的性质、角平分线的性质求解．本题考查了等边三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．13.【答案】2【解析】解：如图，连OQ，∵点P关于直线OB的对称点是Q，∴OB垂直平分PQ，∴∠POB=∠QOB=30°，OP=OQ，∴∠POQ=60°，∴△POQ为等边三角形，∴PQ=PO=2．故答案为2．连OQ，由点P关于直线OB的对称点是Q，根据轴对称的性质得到OB垂直平分PQ，则∠POB=∠QOB=30°，OP=OQ，得到△POQ为等边三角形，根据等边三角形的性质得PQ=PO=2．本题考查了轴对称的性质：关于某直线对称的两图象全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点的连线段被对称轴垂直平分．也考查了等边三角形的判定与性质．14.【答案】1【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，∴∠C=∠B=12(180°−∠A)=30°，连接AN，AM，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B=30°，∠C=∠NAC=30°，∴∠AMN=∠B+∠MAB=60°，∠ANM=∠C+∠NAC=60°，∴AM=AN，∴△AMN是等边三角形，∵MN=2，∴AN=2=CN，在Rt△NFC中，∠C=30°，∠NFC=90°，CN=2，CN=1，∴NF=12故答案为：1．连接AN，AM，根据线段垂直平分线性质求出BM=AM，CN=AN，根据等腰三角形的性质求出∠C，∠B，∠MAB，∠NAC，求出△AMN是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AN=2=CN，再求出NF即可．本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．15.【答案】4cm【解析】解：∵△ABC是正三角形，∴∠A=∠B=∠C，∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，∴∠PMB=∠MNC=∠APN，∴∠NPM=∠PMN=∠MNP，∴△PMN是等边三角形，∴PN=PM=MN，∴△PBM≌△MCN≌△NAP(AAS)，∴BM+PB=AB=12cm，∵△ABC是正三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴2PB=BM，∴2PB+PB=12cm，∴PB=4cm，∴MC=4cm故答案为：4cm．根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C，进而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；根据全等三角形的性质得到PA=BM=CN，PB=MC=AN，从而求得BM+PB= AB=12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质等，得出∠NPM=∠PMN=∠MNP是本题的关键．16.【答案】30°【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．又点D是边BC的中点，∠BAC=30°．∴∠BAD=12故答案是：30°．根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．17.【答案】3【解析】解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=1，∵DE是AB的垂直平分线，∴∠B=∠DAB，∵∠DAB=∠CAD，∴∠CAD=∠DAB=∠B，∵∠C=90°，∴∠CAD+∠DAB+∠B=90°，∴∠B=30°，∴BD=2DE=2，∴BC=BD+CD=1+2=3，故答案为：3．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠DAB=∠B，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出∠B= 30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，然后求解即可．本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，属于基础题，熟记性质是解题的关键．18.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，把边长为2的等边三角形△ABC沿直线BC 向右平移，使点B与点C重合，得到△DCE，∴△DCE是等边三角形，∴∠ACB=60°=∠DCE，BC=AC=AB=DC=DE=CE，(180°−∠ACB−∠ACD)=30°，∴∠ACD=180°−60°−60°=60°，∠CDB=∠CBD=12∴∠DFC=180°−∠CDB−∠ACD=180°−30°−60°=90°，∴AC⊥BD．【解析】根据等边三角形的性质和旋转得出∠ACB=60°=∠DCE，BC=AC=AB= DC=DE=CE，求出∠CBD=∠CDB=30°，求出∠DFC即可．本题考查了等边三角形的性质，平移的性质等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．19.【答案】解：BF与EF相等．理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD是等边三角形ABC的角平分线，∵CD =CE ，∴∠CDE =∠E ，而∠BCD =∠CDE +∠E =60°，∴∠E =30°，∴∠DBE =∠E ，∴△DBE 为等腰三角形，∵DF ⊥BC ，∴BF =EF ．【解析】根据等边三角形的性质得∠ABC =∠ACB =60°，再由BD 是角平分线得∠CBD =30°，接着根据等腰三角形的性质，由CD =CE 得到∠CDE =∠E ，利用三角形外角性质可计算出∠E =30°，所以∠DBE =∠E ，于是可判断△DBE 为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可得BF =EF ．本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.也考查了等腰三角形的判定与性质．20.【答案】解：(1)∵在△ABM 和△BCN 中，{BM =CN ∠B =∠C AB =BC，∴△ABM≌△BCN(SAS)．∴∠BAM =∠CBN(全等三角形对应角相等)．∵∠QBA +∠CBN =∠CBA =60°(已知)，∴∠QBA +∠BAM =60°(等量代换)．∴∠BQM =60°．(2)①是．∵∠BQM =60°(已知)，∴∠QBA +∠BAM =60°．∵∠QBA +∠CBN =60°(由(1)得出的结论)，∴∠BAM =∠CBN(等量代换)．在△ABM 和△BCN 中，{∠ABM =∠BCN AB =AC∴△ABM≌△BCN(ASA)．∴BM =CN(全等三角形对应边相等)．②成立．∵BM =CN(①的结论)，∴CM =AN(等量代换)．∵AB =AC ，∠ACM =∠BAN =180°−60°=120°(平角的性质)，在△BAN 和△ACM 中，{BA =AC ∠BAN =∠ACM AN =CM∴△BAN≌△ACM(SAS)．∴∠NBA =∠MAC ，∴∠BQM =∠BNA +∠NAQ =180°−∠NCB −(∠CBN −∠NAQ)=180°−60°−60°=60°(三角形内角和定理)．【解析】(1)由已知条件得△ABM≌△BCN ，得∠BAM =∠CBN ，又因为∠QBA +∠CBN =∠CBA =60°，所以∠QBA +∠BAM =60°，即有∠BQM =60°；(2)①因为∠BQM =60°，所以∠QBA +∠BAM =60°，又因为∠QBA +∠CBN =60°，所以∠BAM =∠CBN ，已知∠B =∠C ，AB =AC ，则ASA 可判定△ABM≌△BCN ，即BM =CN ；②成立．本题考查了全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质；此题把全等三角形的判定和性质结合求解．有利于培养学生综合运用数学知识的能力，全等三角形的证明是正确解答本题的关键．21.【答案】解：∵AD =BD ，∴∠A =∠ABD ，∵BD 平分∠ADC ，∴∠ADB =∠CDB ，又∵AB//CD ，∴∠ABD =∠BDC ，∴∠ABD =∠BDC =∠BDA =∠A∴△ADB 为等边三角形，∴∠A =60°．【解析】证明△ABD是等边三角形即可解决问题．本题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：△APQ为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC．在△ABP与△ACQ中，∵{AB=AC∠ABP=∠ACQ BP=CQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)．∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，∴△APQ是等边三角形．【解析】先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ，再证∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形．考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．23.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∵△AMN是等边三角形，∴AM=MN=AN，∠MAN=∠AMN=∠ANM=60°，∴∠BAC−∠MAC=∠MAN−∠MAC，即∠BAM=∠CAN，在△BAM和△CAN中，{AB=AC∠BAM=∠CAN AM=AN，∴△BAM≌△CAN(SAS)∴BM=CN，∴AB=BC=BM+CM=CN+CM；(2)解：AB=CN+CM不成立，AB=CN−CM，由(1)可知，∠BAC=∠MAN在△BAM和△CAN中，{AB=AC∠BAM=∠CAN AM=AN，∴△BAM≌△CAN(SAS)∴BM=CN，∴AB=BC=BM−CM=CN−CM．【解析】(1)根据等边三角形的性质得到AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AM=MN=AN，∠MAN=∠AMN=∠ANM=60°，证明△BAM≌△CAN，根据全等三角形的性质、结合图形证明结论；(2)仿照(1)的证明过程解答即可．本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24.【答案】解：(1)题设：一条直角边等于斜边的一半．结论：这条直角边所对的锐角等于30°．(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，是真命题．已知，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°．求证：BC=12AB．证明：如图1所示，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，易证AD=AB，∠BAD=60°．∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD，∴BC=CD=12AB，即BC=12AB．【解析】(1)根据命题由题设和结论两部分组成解决问题．(2)首先写出已知、求证，画出图形，借助等边三角形的判定和性质证明或借助三角形的外接圆证明．本题考查命题与定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25.【答案】解：(1)①根据题意得AP=PB=BQ=CQ=2，∵△ABC是等边三角形，∴AQ⊥BC，∠B=60°，∴∠AQB=90°，△BPQ是等边三角形，∴∠BQP=60°，∴∠AQP=∠AQB−∠BQP=90°−60°=30°；②由题意知AP=BQ=t，PB=4−t，当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，得：4−t=2t，解得t=43；当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2(4−t)，解得t=83；∴当t=43秒或t=83秒时，△PBQ为直角三角形；(2)AC=AP+CQ，理由如下：如图所示，过点Q作QF//AC，交AB于F，则△BQF是等边三角形，∴BQ=QF，∠BQF=∠BFQ=60°，∵△ABC为等边三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠BFQ=60°，∴∠QFP=∠PAC=120°，∵PQ=PC，∴∠QCP=∠PQC，∵∠QCP=∠B+∠BPQ，∠PQC=∠ACB+∠ACP，∠B=∠ACB，∴∠BPQ=∠ACP，在△PQF和△CPA中，∵{∠BPQ=∠ACP ∠QFP=∠PAC PQ=PC，∴△PQF≌△CPA(AAS)，∴AP=QF，∴AP=BQ，∴BQ+CQ=BC=AC，∴AP+CQ=AC．【解析】(1)①由△ABC是等边三角形知AQ⊥BC，∠B=60°，从而得∠AQB=90°，△BPQ是等边三角形，据此知∠BQP=60°，继而得出答案；②由题意知AP=BQ=t，PB=4−t，再分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况分别求解可得．(2)过点Q作QF//AC，交AB于F，知△BQF是等边三角形，证∠QFP=∠PAC=120°、∠BPQ=∠ACP，从而利用AAS可证△PQF≌△CPA，得AP=QF，据此知AP=BQ，根据BQ+CQ=BC=AC可得答案．本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形与等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定和性质等知识点．。