由柯西收敛原理证确界存在定理说课材料
用确界原理证明柯西收敛准则
用确界原理证明柯西收敛准则柯西收敛准则是数列收敛的一个重要准则，它是由法国数学家柯西所提出的。
它的表述是：如果数列 ${a_n}$ 满足对于任意$varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n,m>N$ 时，有 $|a_n-a_m|<varepsilon$，则称数列 ${a_n}$ 是柯西收敛的，或者称其为基本收敛的。
柯西收敛准则是收敛概念的一种等价表述，其证明可以通过极限的定义或确界原理等多种方式进行。
本文将以确界原理为基础，详细阐述柯西收敛准则的证明过程。
二、确界原理在证明柯西收敛准则之前，我们先来介绍一下确界原理。
确界原理是数学分析中的一个基本原理，它是指：非空有上界的实数集合必有上确界，非空有下界的实数集合必有下确界。
具体来说，如果实数集合 $S$ 非空且有上界，则存在一个实数$M$，使得对于所有 $xin S$，都有 $xleq M$；这个实数 $M$ 被称为 $S$ 的上确界。
类似地，如果实数集合 $S$ 非空且有下界，则存在一个实数 $m$，使得对于所有 $xin S$，都有 $xgeq m$；这个实数 $m$ 被称为 $S$ 的下确界。
在数学证明中，确界原理常常被用来证明一些重要定理，例如最大值定理、中值定理等。
三、柯西收敛准则的证明在进行柯西收敛准则的证明之前，我们先来说明一个引理：引理1：若数列 ${a_n}$ 满足对于任意 $nin mathbb{N}$，都有 $a_nleq a_{n+1}$，则 ${a_n}$ 收敛当且仅当 ${a_n}$ 有上界。
证明：设 ${a_n}$ 收敛于 $a$，则对于任意$varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有 $|a_n-a|<varepsilon$。
因为 $a_nleq a_{n+1}$，所以 $a_Nleqa_{N+1}leq cdots leq a_nleq a$。
由柯西收敛原理证确界存在定理
有限覆盖定理→紧致性定理证明：设数列}{n x 满足 b x a n ≤≤。
先证0x ∃∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。
如果不然。
x ∀∈[b a ，]，x δ∃0 ，使(x x δ-,x x δ+)只含}{n x 的有限项。
记E={(x x δ-,x x δ+)|x ∈[b a ，]，x δ由上产生}，是[b a ，]的一个覆盖。
由有限覆盖定理，知∃E 中有限个开区间（11δ-x ,11δ+x ）(22δ-x ,22δ+x )…… (k k x δ-,k k x δ+)覆盖],[b a 。
则一方面：由覆盖的定义，}{n x 中的所有项包含于这有限个开区间内，另一方面，因为{i i x δ-,i i x δ+}（),...2,1k i =均只含}{n x 的有限项，故这有限个开区间只包含}{n x 中的有限项，这将互相矛盾。
故0x ∃∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。
特别地，取1=ε，则∃)1,1(001+-∈x x x k ，取2/1=ε，则∃)(),2/1,2/1(12002k k x x x k >+-∈， ……取n /1=ε，则∃)(),/1,/1(100->+-∈n n k k k n x n x x n……则}{n k x 为}{n x 的子数列,满足0<n x x n k /10<-)(,0∞→→n故}{nk x 收敛于0x 。
定理证完柯西收敛定理→确界存在定理以非空有上界数集必有上确界为例来证明证明：设数集A 非空有上界， 设1b 是A 的上界因为A 非空，设A x ∈0，则存在1a <0x ，1a 就不是A 的上界。
1a 1b ，用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a +是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[1a ，211b a +]；如果211b a +不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[211b a +，1b ]；用2a ，2b 的中点222b a +二等分[2a ，2b ]……如此继续下去，得一闭区间列{],[n n b a }，对n ∀，⊃],[n n b a ],[11++n n b a ，∞→n lim （n n a b -）=0数列{ n a }，{n b }满足n ∀， n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。
第十讲 柯西收敛准则
第十讲、柯西收敛准则定理10.1 . （柯西收敛准则）数列{}n x 极限存在的充要条件是:对于0ε∀>存在正数 N , 使当n N >时, 对于一切p +∈ 有||n p n x x ε+−<注记10.1. （I ）柯西准则的意义是：数列{}n x 是否有极限可以根据其一般项的特性得出，而不必事先知晓其极限的具体值(见下面的例子10.2）。
（II ）定理10.1的逆否命题为：（柯西收敛准则）数列{}n x 极限不存在的充要条件是: 00ε∃>，使得对 +N ∀∈ , 均存在n N >时, 存在p +∈ ，使得0||n p n x x ε+−≥例子10.1设sin 2n n x n =，试用柯西收敛准则证明该数列极限存在。
证明：注意到sin 2()sin 2sin 2()sin 2||=112n p n n p n n p n x x n p n n p nn p n n +++−−≤+++≤+≤+于是，对0ε∀>，取正数 2=N ε, 则当n N >时, 对于一切p +∈ 有2||n p n x x n ε+−≤<。
故由定理10.1柯西收敛准则可知sin 2lim n n n →∞存在。
证毕。
例子10.2.设222111123n x n =++++ ，证明数列{}n x 收敛。
证明：注意到222111||=(1)(2)()111(1)(1)(2)(1)()1111111121111n p n x x n n n p n n n n n p n p n n n n n p n p n n p n+−++++++≤+++++++−+ =−+−++− ++++−+=−<+ 于是，对0ε∀>，取正数 1=N ε, 则当n N >时, 对于一切p +∈ 有1||n p n x x nε+−≤<。
故由定理10.1柯西收敛准则可知222111lim 123n n →∞ ++++ 存在。
用柯西收敛准则证明确界原理
用柯西收敛准则证明确界原理确界原理（Bolzano–Weierstrass theorem）是实数完备性的一个重要结果之一，它表明，一个有界数列必然有收敛的子数列。
在证明确界原理时，通常会使用柯西收敛准则（Cauchy convergence criterion）。
柯西收敛准则也被称为柯西准则，是一种用来判断数列是否收敛的方法。
准则的表述如下：对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，对于所有的正整数m、n>N，当满足，m-n，<N时，必有，am-an，<ε。
现在，我们来证明确界原理。
假设我们有一个有界数列{an}，它的上界为M，下界为m。
根据确界的定义，我们可以找到一个M的上界m'，使得m' > m。
我们可以将这个上界作为第一个数列中的一些项，将其他的项作为第二个数列。
前一个数列的上界是m'，下界是m，后一个数列的上界和下界与原有数列的上界和下界相同。
所以，我们可以将问题简化为证明下列命题：如果存在一个有界数列，其上界为M，且存在一个正整数N，使得当n>N时，有，a_N-an，<ε，则可以找到一个收敛的子数列，其极限为a_N。
根据柯西收敛准则，我们可以找到一个正整数N，满足当n,m>N时，有，an-am，<ε/2、（注意：这里的n和m是任意的正整数）注意到数列{an}是有界的，所以它至少有一个收敛子数列，我们将其表示为{an_k}，极限为a。
由于{an_k}是一个收敛数列，根据收敛数列的定义，对于给定的ε/2，我们可以找到一个正整数K，当k>K时，有，an_k-a，<ε/2现在我们来证明{an_k}的极限也是{an}的极限。
对于给定的ε，选择N=max(N,K)，则当n>N时，有：an-a，≤ ，an - an_k， + ，an_k - a，< ε/2 + ε/2 = ε这证明了{an_k}的极限也是{an}的极限。
用柯西收敛准则证明确界原理
用柯西收敛准则证明确界原理用柯西收敛准则证明确界原理什么是确界原理•确界原理是数学中的一个基本原理，也被称为上确界原理或最大元原理。
在实际问题中，确界原理常常用于证明数列或函数的存在性及性质。
什么是柯西收敛准则•柯西收敛准则是数学分析中用于判断数列的收敛性的一种方法。
根据柯西收敛准则，如果对于任意给定的正数ε，序列的后续项差的绝对值小于ε时，我们可以说这个序列是收敛的。
如何用柯西收敛准则证明确界原理1.首先，让我们考虑一个数列{a_n}，假设它是一个有上界的数列。
2.我们借助确界原理来证明这个数列必然存在一个上确界。
3.根据确界原理，我们需要证明数列的上确界是存在的、唯一的。
4.为了证明数列的上确界存在，我们需要使用柯西收敛准则。
5.根据柯西收敛准则，我们需要证明对于任意给定的正数ε，数列的后续项差的绝对值小于ε。
6.我们可以假设存在一个正数ε，使得数列的后续项差的绝对值大于等于ε，即|a_m - a_n| >= ε，其中m、n为自然数且m > n。
7.由于数列有上界，所以存在一个上确界M，使得M >= a_n对于所有的n。
8.考虑数列的后续项差a_m - a_n，由于数列有上确界，所以存在一个N，使得a_N >= M - ε。
9.由于a_N >= M - ε，所以a_m >= a_N，即a_m >= M - ε。
10.综合前两步得到的不等式，我们可以得到a_m - a_n >= (M - ε)- a_n。
11.由于|a_m - a_n| >= ε，所以(M - ε) - a_n >= ε，即M -2ε >= a_n。
12.这与M >= a_n矛盾，因此假设不成立。
13.因此，对于任意给定的正数ε，数列的后续项差的绝对值小于ε，即数列满足柯西收敛准则。
14.根据柯西收敛准则，数列是收敛的。
15.则存在一个上确界M，即数列的确界是存在的。
学年论文-数学分析七大定理的相互证明
云南大学课题名称：数学分析七大定理的相互证明学院：数学与统计专信息与计算科学业：指导教师：何清海学生姓名：段飞龙学生学号20101910050目录摘要关键词 .、八、-前U言,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 结论十口V U j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j参考文献,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,摘要：数学分析中的单调有界性定理、闭区间套定理、确界存在性定理、有限覆盖定理、Weierstrass聚点定理、致密性定理以及柯西收敛准则，虽然他们的数学形式不同，但他们都描述了实数集的连续性，在数学分析中有着举足轻重的作用。
关键词：单调有界性定理闭区间套定理确界存在性定理有限覆盖定理Weierstrass聚点定理致密性定理柯西收敛准则前言：一、七大定理定理1单调有界性定理(1 )、上确界上确界的定义“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。
考虑一个实数集合M.如果有一个实数S,使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界。
在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M的上确界。
一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。
上确界的数学定义有界集合S,如果B满足以下条件①对一切x • S，有X —，即［是S的上界；②对任意存在x • S，使得x • ：•，即一：又是S的最小上界，则称1为集合S的上确界，记作一：二supS (同理可知下确界的定义)在实数理论中最基本的一条公理就是所谓的确界原理：“任何有上界(下界)的非空数集必存在上确界(下确界)”。
上确界的证明(1)每一个x • X满足不等式x空m ;⑵对于任何的；-0,存在有x X ,使x' M -；则数M =sup、x f称为集合X的上确界。
(2)下确界下确界的定义“下确界”的概念是数学分析中最基本的概念。
柯西收敛准则证明确界原理
柯西收敛准则证明确界原理哎呀，今天咱们来聊聊一个挺有意思的数学话题——柯西收敛准则和极界原理。
这两个概念就像两个老朋友，虽然各自有各自的性格，但结合起来，能让我们更好地理解数学的奥秘。
想象一下，你在街边的小摊上，瞧见一群人围着，那个摊主可是个高手，能把简单的食材做出让人惊艳的美味。
这就是数学，简单而又复杂。
柯西收敛准则，听起来有点拗口，但别担心。
简单来说，它的意思就是：如果一个数列的后面项之间越来越接近，也就是说，它们的差别越来越小，那这个数列就可以认为是收敛的。
就像你和朋友一起聚会，大家聊得越来越投机，最后干脆约定下一次再聚。
这里面其实就有个趋势，数列也一样，慢慢趋近于某个值，像是个“聚会点”。
有个小故事，说是有个学生在学习这个准则的时候，总是觉得无从下手。
一天，他突然灵光一现，决定用实际生活中的例子来理解这个概念。
他发现每次和朋友们聚餐，大家点的菜越来越少，最后都是分享一盘小菜。
他们之间的距离越来越近，哈哈，这不是正好是柯西收敛准则的真实写照吗？所以说，数学就藏在我们的日常生活里，别小看这些简单的例子。
再聊聊极界原理。
这玩意儿也很有意思。
极界原理其实是说，一个有界的序列，如果它的所有子列都有极限，那这个序列的极限也存在。
这就像你们有个小圈子，虽然每次聚会的主题不一样，但大家都是在某个界限内活动。
想象一下，你们每次聚会都约在同一个咖啡馆，虽然聊的话题千变万化，但最终的感觉都是温馨的。
这个温暖就是极限，而大家的共同点就是那个界限。
柯西和极界这两者之间有啥关系呢？嘿，答案就是：一个是趋势，一个是界限。
它们像一对好搭档，互相补充。
你要是想知道一个序列的收敛性，柯西准则告诉你看“朋友们之间的距离”，而极界原理则提醒你关注“圈子里的活动范围”。
这两者结合，就像一把钥匙，能打开更深的数学大门。
话说回来，学习这些理论时，可能一开始会有点晕头转向，但别忘了，慢慢来，不急。
你可以把它们看作拼图，拼的过程虽然有点折磨，但完成后的那一瞬间，绝对会让你心满意足。
第十讲柯西收敛准则
第十讲柯西收敛准则柯西收敛准则是数学分析中一个重要的收敛判定准则，通过它我们可以判断一个数列是否收敛。
在数学分析中，数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的，我们通常关心的是这个数列是否有一个极限值。
柯西收敛准则是通过数列中各项之间的距离来判断数列的收敛性。
柯西收敛准则的原理是：对于一个数列{an}，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，所有后续项an与前项之间的差值小于ε，那么数列{an}就是收敛的。
具体来说，柯西收敛准则可以形式化为以下定义：对于一个数列{an}，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n，m>N时，有，an - am，<ε，那么数列{an}就是收敛的。
其中，ε表示误差范围，N表示柯西收敛序列中的一些位置。
柯西收敛准则的直观解释是：当数列中的元素逐渐靠近一些极限值时，元素之间的距离也会逐渐变小，直到无限接近于零。
也就是说，如果数列是收敛的，那么无论选择多小的误差范围ε，我们总可以找到一个足够大的位置N，使得大于该位置的所有后续项都在ε的误差范围之内。
柯西收敛准则可以应用于各种不同类型的数列，比如数列中的元素可以是实数，复数，还可以是无限级数或者函数序列等等。
它在数学分析中的应用非常广泛，特别是在序列极限的证明中，经常可以用到柯西收敛准则进行推导和判断。
柯西收敛准则的证明可以通过数列的有界性以及数学分析中的等式推导和不等式性质来进行。
首先，根据柯西收敛准则的定义，我们可以推导出数列是有界的，即存在一个常数M，使得对于所有的n，有，an，<= M。
其次，通过等式推导和不等式性质，我们可以得到：，an - am， <= ，an - an+1， + ，an+1 - an+2， + ... + ，am-1 - am。
由于an满足柯西收敛准则，所以取n > N时，保证，an - am，小于给定误差ε。
于是，通过上述等式和不等式，我们可以得到从n > N开始，数列中的任意两项an和am之间的差值都小于ε，即数列满足柯西收敛准则。
数项级数的柯西收敛原理
数项级数的柯西收敛原理
数项级数的柯西收敛原理是说，一个数项级数收敛当且仅当它满足柯西收敛准则。
具体来说，对于一个数项级数∑an，其中an是一列实数或复数，该级数收敛的充分必要条件是对于任意给定的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n和m大于等于N时，级数的部分和序列满足以下不等式：
|an + an+1 + ... + am| < ε
换句话说，对于任意给定的正实数ε，当级数的部分和序列中的两个项的索引n和m都大于等于某一固定的正整数N时，级数的部分和序列的差异小于ε。
这个原理与级数的收敛性直观相符，因为它告诉我们，如果一个级数收敛，那么对于任意给定的精度要求ε，总是可以找到一个足够大的项的索引N，使得级数的部分和序列在N之后的项之和的差异小于ε。
换句话说，级数的部分和序列逐渐趋向于某个有限的值。
柯西收敛原理是判定一个级数是否收敛的一个重要工具，它提供了一种更加严格和精确的判定方法，而不仅仅是依赖于直观观察级数的部分和序列的变化趋势。
浅谈各种收敛中的柯西收敛原理及应用
浅谈各种收敛中的柯西收敛原理及应用
柯西收敛原理，又称为柯西殊效应原理，是由法国数学家柯西于1902年提出
的一种数学定理，它认为：当一个微分方程的解呈现一系列函数时，在收敛条件合适的地方，它们构成一个实数函数，这个函数是通过原方程求得的解的有限个极限。
柯西收敛原则的应用极为广泛，广义可以分为量子力学、量子电动力学、非线
性动力学、热力学等多个方面，衍生出量子分析、数值解法分析、基础物理学、量子场论等研究方向，是理论物理学中最受欢迎的一种原理。
同时，由于柯西收敛原则具有极其实用的特性，还可实现良好的数值精度，因此，可应用于众多现实问题中，广泛涉及工程领域，如材料力学、气体动力学、计算机科学、流体动力学、热传导、模型数据分析、随机动力学等等领域。
它也可以用于自然界的微观和宏观环境中，如星系、星际介质、伽马射线等，在这些领域，柯西收敛原则都有很好的应用前景。
总之，柯西收敛原则的作用极为强大，也被广泛应用于各种不同的科学和工程
领域，它具有简单通用和高效可靠的特点，准确处理各种复杂的问题，是看数学和其他物理子领域不可或缺的一个原则。
用柯西收敛原理证明数列收敛
用柯西收敛原理证明数列收敛1. 引言哎呀，大家好！今天我们要聊的是一个非常有趣的数学话题，那就是柯西收敛原理。
别紧张，这不是高深莫测的数学公式，而是一个相对简单、却又能帮我们搞明白数列收敛的好工具。
想象一下，你在追剧，看到一个角色不断追求目标，最终到达那个目标一样，数列的收敛也有类似的感觉。
只不过，目标不是一个浪漫的约会，而是一个数字！接下来，我们就要深入探讨这个原理，看看它是如何在数学的世界里发挥威力的。
2. 柯西收敛原理的基础2.1. 什么是数列收敛？首先，咱们得明白，什么是数列收敛。
简单来说，数列收敛就是当数列的项越来越接近一个特定的数字时，我们就说这个数列是收敛的。
就像你每天吃完晚饭后，总是要回到家里的那个沙发上，不管你去多远，最后还是得回到那儿。
数列也一样，不管它起初多么“飘”，最后总会落到那个数字上。
2.2. 柯西收敛原理的定义然后，柯西收敛原理就像是一个评估工具，它告诉我们：如果一个数列是柯西数列，那它一定是收敛的。
什么是柯西数列呢？简单地说，就是对于任何一个很小的正数，我们总能找到一个足够大的数列的项，使得从这个项开始，后面的项之间的距离都小于这个很小的正数。
听起来是不是有点拗口？别担心，举个例子就明白了。
就像你和朋友约好一起去看电影，约定在某个时间见面。
如果你们的距离越来越近，最终一定会在电影院碰面的。
3. 用柯西收敛原理证明数列收敛3.1. 举个例子现在，我们来具体看看怎么用柯西收敛原理来证明一个数列的收敛。
假设我们有一个数列 {a_n，它的定义是：a_n = 1/n。
好啦，大家看到这里可能会说，这有什么难的嘛！但是，仔细想想，随着 n 的增大，a_n 的值越来越小，最终它会逼近 0。
我们要怎么证明呢？3.2. 具体步骤接下来，我们用柯西原理来做这件事。
首先，我们选择一个很小的正数ε，比如0.01。
按照柯西原理，我们需要找到一个足够大的 n，使得对于所有的 m 和 n 大于等于这个数，|a_n a_m| < ε。
用柯西收敛准则证明数列收敛
用柯西收敛准则证明数列收敛1. 引言：数列收敛的魅力大家好，今天咱们来聊聊数列收敛这个话题，听上去有点高深，但其实它就像是一个老朋友，陪伴我们在数学的世界中游历。
想象一下，数列就像是一列火车，每一个车厢都是一个数。
当这列火车在轨道上稳定前进时，我们就说这个数列是收敛的。
而如果火车摇摇晃晃，东倒西歪，那就可能是发散了。
那么，怎么知道它究竟收敛没收敛呢？这里就不得不提到柯西收敛准则了。
今天就来给大家普及一下这个准则，让我们一起揭开这个神秘面纱吧！2. 柯西收敛准则的背景2.1 什么是柯西收敛准则？先给大家科普一下，柯西收敛准则是由一个叫做柯西的大哥提出来的，听起来是不是特别牛？这位大哥说，数列收敛的一个重要特征是：对于任意的小的正数 (epsilon)，总能找到一个足够大的自然数 (N)，使得对于所有的 (m, n > N)，都有 (|a_m a_n| < epsilon)。
这句话翻译成通俗话，就是说：如果数列收敛的话，那么它的后面那一大堆数字就得互相靠得很近，像是一群小伙伴在一起团结一致，互相抱团取暖。
2.2 为啥柯西收敛准则重要？那么，柯西大哥这条准则为什么如此重要呢？简单来说，它不需要知道数列的极限值是什么，只要能验证数列的“靠近度”，就能判断收敛性。
就像我们在生活中，朋友之间的关系，也不一定非要天天见面，只要彼此心灵相通，关系就会越来越紧密，对吧？所以，柯西收敛准则就像是为我们提供了一种新思路，解决了不少麻烦事儿。
3. 用柯西收敛准则证明数列收敛3.1 实际例子为了更直观地理解，我们可以用一个简单的数列来举个例子，假设我们有一个数列((a_n))，其中 (a_n = frac{1{n)。
大家一看就知道，随着 (n) 的增大，这个数列的值越来越小，最终会接近零。
我们想要证明它收敛，就得拿出柯西准则来过过招。
首先，我们得设定一个小小的 (epsilon)，比如说 (epsilon = 0.01)。
柯西数列收敛证明
柯西数列收敛证明
柯西数列收敛证明主要基于柯西收敛准则，该准则是针对数列收敛的充要条件的。
柯西收敛准则的内容是：对于任意的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε。
这个准则的证明可以分为两部分：必要性和充分性。
必要性的证明相对简单，主要运用数列极限的定义。
如果数列{an}收敛，那么存在一个实数ξ，使得对于任意的正数ε，都存在一个正整数N，当n>N时，有|an-ξ|<ε/2。
由于数列极限的定义，我们也可以得到对于任意的正数ε/2，都存在一个正整数N，当m>N时，有|am-ξ|<ε/2。
因此，我们可以得到|am-an| = |(am-ξ) + (ξ-an)| ≤ |am-ξ| + |ξ-an| < ε/2 + ε/2 = ε。
这就证明了必要性。
充分性的证明稍微复杂一些，需要使用绝对值的三角不等式。
假设对于任意的正数ε，都存在一个正整数N，当n,m>N时，有|an-am|<ε。
取m=n+1，那么对于任意的正数ε，都存在一个正整数N，当n>N时，有|an-a(n+1)|<ε。
这意味着数列{an}是有界的，即存在一个正数M，使得对于所有的n，都有|an|≤M。
然后，我们可以证明对于任意的正数ε，都存在一个正整数N，当n>N时，有|an-a(N+1)|<ε。
这就说明数列{an}是柯西收敛的，从而证明了充分性。
总的来说，柯西收敛准则提供了一个判断数列是否收敛的有效方法，同时也为我们提供了一种证明数列收敛的新思路。
函数极限柯西收敛准则
函数极限柯西收敛准则
一、教学目标
1、了解极限柯西收敛准则的内涵；
2、掌握极限柯西收敛准则的主要思想和推导过程；
3、能够中用费米和投影法解决极限柯西收敛准则的问题。
二、教学要求
1、熟练掌握极限柯西收敛准则的概念；
2、能熟练应用极限柯西收敛准则解决实际问题；
3、总结准则中关于极限的思想，形成自己的见解和理解；
4、明确极限柯西收敛准则的定义，掌握推导原理与推导步骤；
5、能够利用费米和投影法解决极限柯西收敛准则中的问题。
三、教学重点
1、重点理解极限柯西收敛准则的逻辑关系；
2、熟练掌握极限柯西收敛准则的求解步骤；
3、灵活运用极限柯西收敛准法解决实际问题。
四、教学准备
1、教学手段：PPT，电子教学课件，课堂实例；
2、教学用具：黑板，白板，投影仪，磁带；
3、教学例题：推导极限柯西收敛准则的实例，以及可被费米和投影法求解的问题。
五、教学内容
1、概念定义
极限柯西收敛准则是指：当一系列函数{f_n(x)},n=1,2,3,…中，每一个函数f_n(x)从上界的一个范围内的x到下界的一些范围内的y时，函数系列{f_n(x)}当n趋近无穷大时。
2-第一讲2-极限知识浅析--数列的柯西收敛准则
and integral calculus DifferentialD ifferential and integral calculus本节提要数列的柯西收敛准则3. 定理的几何解释1. 柯西(Cauchy)列2. Cauchy 收敛准则（定理）4.例题D ifferential and integral calculus一、(复习)数列极限1. 极限定义(ε –N )n x a ε−<；ε(>0),N ,n > N,{}n x ，a ,2. 极限理解：1）动态过程：（2）极限：无限趋近于定数，要多近有多近(不是很近或非常近)；理想数，常数列极限本身，其它数列永远达不到；（3）ε：理想数（4）N 时刻：(二重性) (i)要多小有多小, 不是很小、也不是非常小(不存在)，(ii) 一旦指定后正非零数用(存在性）;不唯一, N =N (ε)；二、数列的柯西收敛准则n n x a lim →∞=⇔0,ε∀>N ,∃当n > N 时，有.n x a ε−<1. 柯西(Cauchy)列：如果数列有具有以下特性：则称数列是一个基本数列或柯西(Cauchy)列。
2. Cauchy 收敛准则：定理数列收敛的充要条件是：是一个基本数列。
数列收敛and integral calculus定理1（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件，n a 对N ,,ε0当n m N ,时, 有n m a a .ε若n a 证明必要性收敛于a , 设n na a lim .则对,ε0N N ,当n N ,m N 时，有n a a,ε2ma a,ε2故n ma a n m a aa a n m a aa a.εεε22and integral calculus先证明满足条件的数列必有界。
充分性ε1对于存在N ,使得m , n >N 时，m n a a .ε =1特别当n >N , m =N +1 时，有n N a a .1 1n n NNN a a a a a .111+1+有界。
柯西收敛准则
《数学分析》观摩课教案 教学内容
柯西收敛准则
教学目的: 1. 理解柯西收敛准则; 2. 理解柯西收敛准则的充分性的证明方法及思想; 3. 掌握柯西收敛准则的应用. 教学重点: 对柯西收敛准则的理解及其应用. 教学难点: 柯西收敛准则的充分性的证明方法及思想. 教学方法: 探究式教学与启发式教学相结合. 教学时间: 45 分钟.
设问一 怎么叙述“极限 lim f ( x) 存在(或收敛)”类似的判定准则?
x →+∞
Hale Waihona Puke 第 1 页，共 6 页《数学分析》观摩课教案 (备注：其实质是将一个离散的结论，即数列的柯西收敛准则推广的连续的情形，见上图)
出现情况
应对策略 分析数列极限定义与函数极限定义二者的区别， 找到二者的异同, 引 导与启发学生直至写对为止.
作业: P96 10
第 6 页，共 6 页
n →∞
f ( an ) − b < ε .
若上面两个不等式同时成立, 则有
f ( x) − b < 2ε
(至此给出详细证明过程)
其余情形的柯西收敛准则
x→a+
lim f ( x), lim− f ( x), lim f ( x), lim f ( x) 情况的柯西收敛准则, 并给出其余五种情形的证
n →∞ x →a
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x : 0 < x − a < δ , 有 f ( x) − b < ε .
柯西收敛准则证明区间套定理
柯西收敛准则证明区间套定理好嘞，今天咱们来聊聊柯西收敛准则和区间套定理，这听上去是不是有点高深莫测？别担心，我们轻松一点，慢慢来。
想象一下，你在一个阳光明媚的日子里，和朋友一起在公园里晒太阳，聊聊生活中的点点滴滴。
就是这种感觉，轻松愉快，咱们不需要穿西装打领带，也不需要绞尽脑汁。
什么是柯西收敛准则呢？简单说，就是一个关于序列收敛的准则。
你可能会想，收敛这个词听起来有点严肃，其实就是指某个序列的数字越来越靠近一个特定的数字。
比如说，你从一块巧克力开始，咬了一小口，然后再咬一小口，最后你会发现，那个巧克力没多久就被你吃完了。
这就是“收敛”，你开始的时候离巧克力的中心还很远，但随着每一口的咬合，越来越近，最后完美契合。
柯西收敛准则告诉我们，如果一个序列中的数相互之间越来越近，那么这个序列就是收敛的。
简直就像朋友之间的感情，越走越近，最后成了一家人。
区间套定理又是什么呢？想象一下，你有一条河，河水流淌着，两边是不同的风景。
一条河流中的水在不断向前，河边的风景也在变换。
区间套定理就是关于这些“河流”和“风景”的。
有一堆区间，这些区间就像那条河，随着每一步都在缩小。
如果这些区间的交集非空，哇，那就是一幅美丽的风景图，证明了某种收敛性。
简单来说，就是如果你不停地缩小这个区间，最后得到的依然是一个存在的东西，这种存在感就像你心里对某件事情的坚定信念。
然后，咱们把这两者联系起来。
柯西收敛准则就像是一个标杆，告诉我们当数越来越靠近的时候，我们要相信它们会收敛。
而区间套定理则是具体的应用，说明了这些小区间在不断收缩的过程中，依然能找到一个共同的“家”。
就像一群小动物在寻找安全的窝，它们在不断靠近，最后找到一个舒适的地方。
再来一点小幽默。
想象一下，柯西和区间套就像两位老友，一位是热爱逻辑的学者，另一位则是深谙生活哲理的智者。
它们两个在某一天喝茶聊天，柯西说：“你看，我的准则很重要哦，能帮助大家判断序列的收敛。
”而区间套则微微一笑，回答：“我的存在就是为你提供具体的实例，让你的理论更生动！”这就是数学的魅力，两个概念碰撞在一起，产生了无穷的智慧和乐趣。
柯西定理
§3 Cauchy积分公式及其推论一、教学目标或要求：彻底掌握柯西积分公式的叙述和证明二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：柯西积分公式的叙述和证明重点：柯西积分公式的叙述和证明难点: 柯西积分公式的叙述和证明三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：9－12§3 Cauchy积分公式及其推论1. Cauchy积分公式我们利用柯西积分定理（复围线形式）导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式。
定理3.11 (柯西积分公式)：设c 为区域D 的边界，在上解析，则对于区域D内任一点Z，有：证明：设z 为D 内任意一点，则作为以为自变量的函数除z 点以外在区域D内均解析. 以z 点为心,充分小的为半径作圆周，使及其内部均含于D 内，由柯西定理的推广得由得由于与积分变量无关，所以下面证明：根据的连续性，对任意，必存在正数，当，有,因此只要取，则当满足时，就有.于是所以当时，即所以(证毕) 柯西积分公式可以改写成借此公式可以计算某些围线积分（指路径是围线的积分）。
例 计算积分解 因在闭圆上解析，由柯西积分公式得例 计算积分⎰=-22d 1z z z z。
解 首先，识别积分类型．由于被积函数在积分路径内部含有两个奇点1-=z 与1=z ，所以，想到用“挖奇点”法来计算。
其次，为了用“挖奇点”法，作211:,211:21=-=+z c z c ，有 ⎰⎰⎰-+-=-=21d 1d 1d 12222c c z z z zz z z z z z 最后，计算上式右端两个积分，得⎰⎰+-=-11d 11d 12c c z z z zz z z1]1[i π2-=-=z z z i π=⎰⎰-+=-22d 11d 12c c z z z zz z z1]1[i π2=+=z z z i π=故i π2d 122=-⎰=z z z z。
例 计算积分 ⎰+cz zz d 312, 其中c 为5=z ． 解 首先，识别积分的类型。
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由柯西收敛原理证确界存在定理
有限覆盖定理→紧致性定理
证明：设数列}{n x 满足 b x a n
≤≤。
先证0x ∃∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。
如果不然。
x ∀∈[b a ，]，x δ∃0φ，使(x x δ-,x x δ+)只含}{n x 的有限项。
记E={(x x δ-,x x δ+)|x ∈[b a ，]，x δ由上产生}，是[b a ，]的一个覆盖。
由有限覆盖定理，知∃E 中有限个开区间（11δ-x ,11δ+x ）(22δ-x ,22δ+x )…… (k k x δ-,k k x δ+)覆盖],[b a 。
则
一方面：由覆盖的定义，}{n x 中的所有项包含于这有限个开区间内，另一方面，因为{i i x δ-,i i x δ+}（),...2,1k i =均只含}{n x 的有限项，故这有限个开区间只包含}{n x 中的有限项，这将互相矛盾。
故0x ∃∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无
限项。
特别地，取1=ε，则∃)1,1(001+-∈x x x k ，
取2/1=ε，则∃)(),2/1,2/1(12002k k x x x k >+-∈， ……
取n /1=ε，则∃)(),/1,/1(100->+-∈n n k k k n x n x x n ……
则}{n k x 为}{n x 的子数列,满足0<n x x n k /10<-)(,0∞→→n 故}{n k x 收敛于0x 。
定理证完
柯西收敛定理→确界存在定理
以非空有上界数集必有上确界为例来证明 证明：设数集A 非空有上界，
设1b 是A 的上界
因为A 非空，设A x ∈0，则存在1a <0x ，
1a 就不是
A 的上界。
π1a 1b ，用1a ，1b 的中点2
11b a +二等分[1a ，1b ]，如果2
11b a +是A 的上界，
则取
[2a ，2b ]=[1a ，2
11b a +]；如果2
11b a +不是A 的上界，则取[2a ，
2b ]=[2
1
1b a +，1b ]；用2a ，2b 的中点2
22b a +二等分[2a ，2b ]……如此继续下
去，得一闭区间列{],[n n b a }，对n ∀，⊃],[n n b a ],[11++n n b a ，∞
→n lim （n n a b -）=0
数列{ n a }，{n b }满足n ∀， n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。
下证{ n a }，{n b }是收敛数列。
Θ∞
→n lim （n n a b -）=0，即0φε∀，N ∃，当N n φ
，有|n n a b -|επ。
又对+∈∀Z p ，n a ≤p n a +≤p n b +≤n b ，故|-+p n a n a |≤（n n a b -）επ，故{ n a }是收敛的，设∞
→n lim n a =r 。
又因∞
→n lim （n n a b -）=0，故∞
→n lim n b =r
最后证r=supA 。
因为n b 是A 的上界，故对n b x A x ≤∈∀,，由极限的保序性，r x ≤ 即r 是A 的上界，
设任一r r <'，我们来说明r '不是A 的上界
由∞
→n lim n a =r r '>，则N ∃，当N n φ，有r a n '>。
而对n ∀， n a 不是A 的上
界，故r '就不能是A 的上界
故r=supA 。
定理证完。