中职数学 函数的奇偶性和图象的对称性
中职高三数学函数知识点
中职高三数学函数知识点数学函数是中职高三学习中的重要内容之一，它是数学中的基础概念之一，贯穿于各个章节和知识点。
本文将从函数的定义、性质及图像、函数的分类和常见函数等方面进行论述，以帮助同学们全面掌握数学函数知识。
一、函数的定义及性质函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。
定义如下：定义1：设有两个非空集合A和B，如果根据某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个元素x，都在集合B中唯一地确定一个元素y与之对应，那么就称f为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B。
定义2：设函数f：A→B，如果对于x1∈A和x2∈A，当x1≠x2时，有f(x1)≠f(x2)，即函数的自变量不同，则函数值也不同。
则称函数f为单射函数。
定义3：设函数f：A→B，如果对于任意的b∈B，都能找到一个a∈A，使得f(a)=b，则称函数f为满射函数。
定义4：设函数f：A→B，如果函数f既是单射函数，又是满射函数，则称函数f为双射函数。
函数的性质有以下几点：1. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量可以取的值的集合，值域是指函数对应的因变量的取值范围。
2. 奇偶性：如果对于任意的x∈定义域，有f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数；如果对于任意的x∈定义域，有f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数。
3. 单调性：如果对于定义域内的任意两个不同的实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数为增函数；当x1>x2时，有f(x1)>f(x2)，则函数为减函数。
4. 周期性：如果存在一个正数T，使得对于定义域内任意一个实数x，有f(x+T)=f(x)，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
二、函数的图像及性质函数的图像可以通过绘制函数的坐标图来表示，其中自变量x 在横轴上，因变量y在纵轴上。
通过绘制函数图像，可以进一步了解函数的性质。
1. 基本函数的图像：线性函数y=kx，其中k为常数，对应于平面直线；二次函数y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，对应于抛物线；三角函数sin x、cos x、tan x等，对应于正弦曲线、余弦曲线和正切曲线等。
中职数学函数的奇偶性(优质课)
职高高一数学—函数的奇偶性
３函数是奇函数或是偶函数称为函数的 奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性 质；
４如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数， 那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
1、奇函数的图象关于原点对称.
反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数 为奇函数.
2、偶函数的图象关于y轴对称.
反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数 为偶函数.
f(-x)与f(x)
4、判断奇偶性方法：图象法，定义法。
结论
5、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提
性质法： 同乘为偶，异乘为奇
同加减，奇偶性不变
1.课本P52练习3.2.2
2. 课本P53习题3.2 3.预习课本P54-56
三、指出下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+2x
解: f(x)定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x = -(x3+2x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数
(2)f(x)=2x4+3x2
解 f(x)定义域为R : f(-x)=2(-x)4+3(-x)2 ∵ =2x4+3x2
一般地，对于函数f(x)的定 义域内的任意一个x，都有 f(－x)= －f(x)，那么f(x) 就叫做奇函数．奇函数的图 像关于原点对称．
注意：
１对于定义域内的任意一个x，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即 定义域关于原点对称）．
２奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.
f(-2)=f(2) f(-1)=f(1) f(-x)=f(x)
函数奇偶性对称性周期性知识点总结
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数是一种数学工具，用于描述两个变量之间的关系。
函数的对称性与奇偶性是函数的重要性质之一，它们可以帮助我们简化函数的分析和计算。
下面将介绍函数的对称性与奇偶性的概念和特点，并通过实例来说明其应用。
1. 对称性的定义和性质函数的对称性是指函数在某种变换下保持不变的性质。
常见的对称性包括轴对称（即关于某一条轴的对称性）和中心对称（即关于某一中心点的对称性）。
1.1 轴对称性对于轴对称函数，其图像相对于某一条轴对称，也就是说，图像在镜像之后仍然保持不变。
轴对称函数可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的轴对称函数有偶函数和周期为2π的周期函数。
1.2 中心对称性对于中心对称函数，其图像相对于某一中心点对称，也就是说，图像在中心点旋转180°之后仍然保持不变。
中心对称函数可以表示为f(x) = -f(-x)。
常见的中心对称函数有奇函数。
2. 奇偶性的定义和性质函数的奇偶性是指函数在代入负数或正数时的表现特点。
奇函数与轴对称性相关，而偶函数与中心对称性相关。
2.1 奇函数奇函数满足f(-x) = -f(x)，也就是说，当自变量取反时，函数值也取反。
奇函数的图像关于原点对称，具有轴对称性。
奇函数的常见特点是在原点处取值为零，而且在自变量为正负相等的情况下函数值相等。
2.2 偶函数偶函数满足f(-x) = f(x)，也就是说，当自变量取反时，函数值不变。
偶函数的图像关于y轴对称，具有中心对称性。
偶函数的常见特点是在y轴处取值为零，而且在自变量为相反数的情况下函数值相等。
3. 对称性和奇偶性的应用对称性和奇偶性是函数分析中常用的工具之一，它们可以帮助我们简化函数的计算和图像的绘制。
3.1 推导函数的性质通过对函数的奇偶性进行分析，我们可以推导出函数的其他性质。
例如，偶函数的奇次幂项的系数为零，奇函数的偶次幂项的系数为零。
这些推导可以帮助我们更快地分析函数的特点。
3.2 简化函数的计算对于奇函数，当我们需要计算积分、求解方程等操作时，可以从负数到正数的范围内进行计算，然后将结果乘以2即可。
中职数学教案：函数的奇偶性
中等专业学校2023-2024-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级一年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题§3.3.2函数的奇偶性教学目标1.结合函数图像，能用数学语言表达函数奇偶性的定义，2.能通过图像法和定义法判断函数的奇偶性，逐步提高直观想象和数学抽象等核心素养3.知道函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系重点定义法判断函数奇偶性难点定义法判断函数奇偶性教法引导探究，讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一创设情景大千世界，美无处不在．下图展示了生活中的对称之美．其实，我们的数学中也存在着对称美，函数图像的对称就是其中一种．义务教育阶段，我们已经知道函数f(x)=x2的图像和f(x)=1x的图像：函数f(x)=x2的图像是关于y轴对称的轴对称图形，函数f(x)=1x的图像是关于原点对称的中心对称图形．观察这两种对称的函数图像，自变量互为相反数时，它们对应的函数值有什么关系？并指出函数的单调区间．（1）由于函数f=f(f)是偶函数，所以它的图像关于y轴对称，因此它的图像如图所示．函数f = f(f)的减区间为(—∞, 0]，增区间为[0, +∞)．（2）由于函数f=f(f)是奇函数，所以它的图像关于原点中心对称，因此它的图像如图所示．函数f = f(f)的增区间为(—∞, +∞)．利用函数图像可以判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性也可以研究函数图像．如在研究函数时，如果我们知道它是奇函数或偶函数，就可以先研究它在非负区间上的性质，然后利用对称性便可得到它在非正区间上的性质，从而减少工作量．三练习巩固四小结与作业1、判断或证明偶函数的基本步骤：一看：二找：三判断：2、偶函数的图像特征关于y轴对称布置作业教材P108 习题。
中职数学3.4函数的奇偶性
邳州市中等专业学校教案
附板书设计
教学反思：为了贯彻新课程理念，本节课在数学教材的选取上，力求贴近生活实际，并且就地取材，创设学生熟悉的感兴趣的情境，使学生能在轻松、愉快的教学情境中学习有用的数学，同时也能运用数学知识来分析问题和解决问题。
在初中所学的对称知识的基础上，将新旧知识有机结合，教学中应注意培养学生的数学语言的表述能力，严格推理证明的能力。
培养学生的识图、读图能力，倡导合作式学习，通过学生小组合作设计问题、小组交流解决问题的方式，提高学生合作学习、主动探究的能力。
函数的奇偶性与对称性
函数的奇偶性与对称性函数在数学中起着非常重要的作用，它通过各种数学运算将一个数对映到另一个数。
在这篇文章中，我们将讨论函数的奇偶性与对称性。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在变量值取正和负时的性质是否一致。
具体而言，若对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，则函数被称为奇函数；若对于任意的x，有f(-x)=f(x)，则函数被称为偶函数；若对于某些x，有f(-x)≠±f(x)，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数具有对称中心为原点的特点，也就是说当将函数关于原点对称时，图像不变。
例如，f(x)=x^3就是一个简单的奇函数。
当x取正值和负值时，函数的值相反，而且当将其图像沿y=x对称时，图像仍然保持不变。
偶函数则具有关于y轴的对称性，也就是说当将函数关于y轴对称时，图像不变。
例如，f(x)=x^2就是一个典型的偶函数。
当x取正值和负值时，函数的值相同，而且当将其图像沿y轴对称时，图像仍然保持不变。
二、函数的对称性与函数的奇偶性相关的是函数的对称性。
函数的对称性有三种：关于x轴的对称性、关于y轴的对称性和关于原点的对称性。
关于x轴的对称性是指当将函数关于x轴翻转时，图像不变。
例如，f(x)=sin(x)就是一个具有关于x轴对称性的函数。
当x取正值时，函数值是正的，而当x取负值时，函数值是负的，因此函数在x轴上关于原点具有对称性。
关于y轴的对称性是指当将函数关于y轴翻转时，图像不变。
例如，f(x)=cos(x)就是一个具有关于y轴对称性的函数。
当x取正值时，函数值相同，而当x取负值时，函数值也相同，因此函数在y轴上关于原点具有对称性。
关于原点的对称性是指当将函数关于原点翻转时，图像不变。
例如，f(x)=tan(x)就是一个具有关于原点对称性的函数。
当x取正值和负值时，函数的值相反，因此函数在原点上具有对称性。
三、实际应用函数的奇偶性与对称性在实际问题中有广泛应用。
在物理学中，奇函数常用于描述对称的场景，例如电流的方向或磁场的分布。
中职数学第三章函数-判断或证明函数的奇偶性
第15课时 判断或证明函数的奇偶性【目标导航】1.理解函数奇偶性的前提条件是什么？完善奇，偶函数的定义。
2.理解奇偶函数的定义，会用定义来判断或证明函数的奇偶性，掌握其证明步骤。
3.理解奇偶函数的几何意义，会用其几何图形来说明函数的奇偶性。
【自主学习】1．函数奇偶性的概念（1）偶函数：如果对于函数f (x )的定义域内 一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．（2）奇函数：如果对于函数f (x )的定义域内 一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．2.奇、偶函数的图象（1）偶函数的图象关于 对称，图象关于 对称的函数一定是偶函数．（2）奇函数的图象关于 对称，图象关于 对称的函数一定是奇函数．3.对奇函数、偶函数定义的说明:函数具有奇偶性：定义域关于原点对称。
对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量【合作探究】例1: 判断下列函数的奇偶性：（1）()3f x x =； （2）()221f x x =+； （3）()f x =； （4）()1f x x =-． 分析:(1)判断奇偶性的前提是什么？（2）是否满足定义？解（1）函数的定义域为(),-∞+∞，对任意的(),x ∈-∞+∞都有(),x -∈-∞+∞．()3f x x =，()()33f x x x -=-=-， 故()()f x f x =--．所以()3f x x =是奇函数．（2）函数的定义域为(),-∞+∞，对任意的(),x ∈-∞+∞都有(),x -∈-∞+∞．()221f x x =+，()()222121f x x x -=-+=+．故()()f x f x =-．所以函数()221f x x =+是偶函数．（3）函数的定义域是[)0,+∞．由于2[0,)∈+∞但是2[0,)-∉+∞，所以函数()f x =是非奇非偶函数．（4）函数的定义域为(),-∞+∞，对任意的(),x ∈-∞+∞都有(),x -∈-∞+∞．()1f x x =-，()()11f x x x -=--=--，故()()f x f x -≠-且()()f x f x -≠．所以函数()1f x x =-是非奇非偶函数．归纳小结：判断奇偶性的步骤：例2：根据下列函数图像判断函数的奇偶性。
职校数学-函数的性质-奇偶性
Q1(a,-b)
关于x轴对称
关于y轴对称
请同学们观察，y=x2图象对称吗？ 如果对称，请问关于什么对称？
y y=x2
Q(-x,y)
P(x,y)
点P(x,y)关于y轴对称的点Q(-x,-y)
o
x
思 考
请问y=x2函数图象上，所有的点 都关于y轴对称吗？
偶函数
如果点(x,y)在函数y=x2的图象上，那么，与 点(x,y)关于y轴对称的点(-x,y)也在函数y=x2 的图象上，这是就是函数y=x2是偶函数
函数的性质
函数的奇偶性
学习内容
对称
关于原点 对称
偶函数
函数的 奇偶性
关于y轴 对称
奇函数
新课导入
我们今天来讨论一下关于对称的问题，请同学们 例举一些生活中对称事物
对称点的坐标特性
一般设点P（a，b）为平面内的一点则有
y P(a,b) Q3(-a,b)
关于y轴对称
o
x
关于中心O点对称
Q2(-a,-b)
设函数f(x)的定义域D关于原点对称，如果 对于xϵD，有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶 函数
关于原点对称
请同学们观察，y=x3图象对称吗？ 如果对称，请问关于什么对称？
y y=x3
P(x,y) -x
o
点P(x,y)关于原y)
思 考
请问y=x3函数图象上，所有的点 都关于原点对称吗？
奇函数
如果点(x,y)在函数y=x3的图象上，那么，与 点(x,y)关于原点O对称的点(-x,-y)也在函数 y=x3的图象上，这是就是函数y=x3是奇函数
设函数f(x)的定义域D关于原点对称，如果 对于xϵD，有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇 函数
职高《函数的奇偶性》教学设计
职高《函数的奇偶性》教学设计教学设计：函数的奇偶性一、教学目标1.知识目标：（1）了解函数的奇偶性的概念和基本性质。
（2）掌握判断函数的奇偶性的方法。
（3）学会应用奇偶性判断函数的性质。
2.能力目标：（1）能够判断给定函数的奇偶性。
（2）能够应用函数的奇偶性进行函数性质的分析。
二、教学准备1.教学资源：（1）黑板、白板、彩色粉笔、擦板、电脑、投影仪等。
（2）教材《职高数学》。
2.学情分析：本节课的学生是高中职教育阶段的学生，他们已经学过了函数的基本概念和性质。
本节课通过引入奇偶性的概念，能够更好地帮助学生理解和应用函数的性质。
三、教学过程1.导入新知识（1）引入奇偶性的概念：通过例子引入奇偶性的概念，如：“小明和小红分别走了100步，小明在偶数步的位置，小红在奇数步的位置。
小明和小红分别到达目的地的时候，小明和小红的位置是相同的吗？为什么？”引导学生思考，并引出奇偶性的概念。
（2）定义函数的奇偶性：引导学生回顾函数的定义，并解释什么是奇函数和偶函数，并引导学生总结奇函数和偶函数的性质。
（3）通过例题巩固概念：例如：判断函数f(x)=x^2-x是奇函数还是偶函数。
引导学生回忆函数的奇偶性的判断方法，并帮助学生进行判断。
2.拓展知识通过一些具体的例子，引导学生探索函数奇偶性的性质，如：奇函数和奇函数的和（差）是奇函数、两个奇函数的乘积是偶函数等。
3.综合应用（1）通过一些实际问题，引导学生运用奇偶性判断函数的性质。
例如：已知函数f(x)为奇函数，证明f(x)+1为奇函数。
引导学生运用奇函数的性质，证明结论。
（2）通过练习题巩固知识点，提高学生的运用能力。
四、教学方法和学法1.教学方法：（1）启发式教学法：通过启发学生思考来引入新知识，并帮助学生理解和掌握函数的奇偶性的概念和性质。
（2）问题导向式教学法：引入实际问题，通过问题引导学生探索和应用函数的奇偶性的性质。
2.学法：（1）归纳法：通过分析例子和练习，引导学生总结奇函数和偶函数的性质和判断方法。
函数的奇偶性与对称性
函数的奇偶性与对称性在数学中，函数的奇偶性与对称性是一些基本概念。
了解这些概念能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
本篇文章将详细介绍函数的奇偶性与对称性，并讨论它们在数学中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在坐标系中的对称性。
一个函数如果满足$f(x) = f(-x)$，则称该函数为偶函数；如果满足$f(x) = -f(-x)$，则称该函数为奇函数。
偶函数的图像在坐标系中具有关于y轴的对称性，即左右对称。
例如，$f(x) = x^2$是一个典型的偶函数。
我们可以观察到，对于函数图像上的任意一点$(x, y)$，如果存在另一个点$(-x, y)$也在图像上，那么这个函数就是偶函数。
奇函数的图像在坐标系中具有关于原点的对称性，即中心对称。
例如，$f(x) = x^3$是一个典型的奇函数。
我们可以观察到，在函数图像上，原点为中心，任意一点$(x, y)$和$(-x, -y)$对称。
二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他形式的对称性，如轴对称和中心对称。
轴对称是指函数图像具有关于某条垂直或水平直线的对称性。
例如，函数$y = f(x)$具有关于y轴对称性，而函数$x = f(y)$具有关于x轴对称性。
轴对称的性质对于解方程和图形绘制等问题具有重要意义。
中心对称是指函数图像具有关于坐标系原点的对称性。
例如，函数$y = \frac{1}{x}$具有关于原点的中心对称性。
中心对称和轴对称在几何和物理学等领域有广泛应用。
三、奇偶函数的性质奇函数和偶函数具有一些特殊的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和求解函数问题。
1. 偶函数的性质：- 偶函数在定义域内关于y轴对称，因此只需研究正半轴上的取值。
- 偶函数的图像关于y轴对称，即$(x, y)$在图像上，则$(-x, y)$也在图像上。
- 偶函数的奇数次幂为奇函数，偶数次幂为偶函数。
2. 奇函数的性质：- 奇函数在定义域内关于原点对称，因此只需研究第一象限上的取值。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
在数学中，函数可以具有对称性和奇偶性。
函数的对称性和奇偶性是函数图像的特征，它们能够提供有关函数行为的重要信息。
一、函数的对称性函数的对称性指的是函数图像相对于某一基准轴的镜像对称关系。
常见的对称形式包括关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
1. 关于x轴对称的函数如果一个函数的图像关于x轴对称，那么对于函数中的每一个点(x, y)，对应的点(x, -y)也在图像上。
具体来说，如果对于函数f(x)来说，当对于任意实数x，有f(x) = -f(-x)，则该函数关于x轴对称。
常见的对称函数包括y = x^2 和 y = sin(x)。
2. 关于y轴对称的函数如果一个函数的图像关于y轴对称，那么对于函数中的每一个点(x, y)，对应的点(-x, y)也在图像上。
具体来说，如果对于函数f(x)来说，当对于任意实数x，有f(x) = f(-x)，则该函数关于y轴对称。
常见的对称函数包括y = x^3 和 y = cos(x)。
3. 关于原点对称的函数如果一个函数的图像关于原点对称，那么对于函数中的每一个点(x, y)，对应的点(-x, -y)也在图像上。
具体来说，如果对于函数f(x)来说，当对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则该函数关于原点对称。
常见的对称函数包括y = x^4 和 y = tan(x)。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性指的是函数的输入为正数或负数时的输出表现。
函数可以是奇函数、偶函数或者既不奇也不偶。
1. 奇函数若对于函数f(x)，当对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则该函数为奇函数。
奇函数的特点是关于原点对称，即对于函数图像中的任意一点(x, y)，对应的点(-x, -y)也在图像上。
常见的奇函数包括y = x 和 y = sin(x)。
2. 偶函数若对于函数f(x)，当对于任意实数x，有f(-x) = f(x)，则该函数为偶函数。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数是数学中的重要概念，它描述了一个变量与其自变量之间的关系。
在函数的研究中，对称性和奇偶性是两个重要的性质。
本文将从函数的对称性和奇偶性的概念入手，深入探讨它们的特点及应用。
一、对称性的概念对称性是一种几何性质，它指的是某个物体在某种操作下，不发生变化或者发生不变的性质。
在函数中，对称性指的是函数图像关于某条直线或某个坐标轴的对称性。
1.1 关于y轴对称当函数图像关于y轴对称时，称为关于y轴对称函数。
对于任意一点(x, y)在函数图像上，对应点(-x, y)也在函数图像上。
这种对称性可以通过判断函数的公式是否关于x的偶函数来确定。
1.2 关于x轴对称当函数图像关于x轴对称时，称为关于x轴对称函数。
对于任意一点(x, y)在函数图像上，对应点(x, -y)也在函数图像上。
这种对称性可以通过判断函数的公式是否关于x的奇函数来确定。
1.3 关于原点对称当函数图像关于原点对称时，称为关于原点对称函数。
对于任意一点(x, y)在函数图像上，对应点(-x, -y)也在函数图像上。
这种对称性可以通过判断函数的公式是否关于x的奇函数且关于y的奇函数来确定。
二、奇偶性的概念奇偶性是函数的一种性质，它描述了函数的对称性和曲线在坐标系中的位置关系。
奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型，它们对应不同的对称性。
2.1 奇函数奇函数满足以下两个条件：一是在函数定义域内，f(-x) = -f(x)，即函数图像关于原点对称；二是在函数定义域内，f(x) = f(-x)，即函数图像关于y轴对称。
2.2 偶函数偶函数满足以下两个条件：一是在函数定义域内，f(-x) = f(x)，即函数图像关于y轴对称；二是在函数定义域内，f(x) = f(-x)，即函数图像关于x轴对称。
2.3 常见函数的奇偶性常见的函数中，指数函数和正弦函数是奇函数，而幂函数和余弦函数是偶函数。
这些函数的奇偶性可以通过函数的公式来判断。
三、对称性与奇偶性的应用对称性和奇偶性在函数的研究与应用中有着广泛的用途。
深圳优质课件中职数学教材 函数的奇偶性
作业
1. 求满足下列条件的点的坐标. （1）与点（-2,1）关于x轴对称； （2）与点（-1，-3）关于y轴对称； （3）与点（2，-1）关于坐标原点对称； （4）与点（-1,0）关于y轴对称.
设函数y=f(x)定义域为D，若对任 意的xD,都有-xD,且f(-x)=f(x), 则函数f(x)是偶函数.
定义解读： （1）定义域D关于原点对称； （2）f(-x)=f(x).
图像的对称性
1
图像关于 原点对称
-a=-a）
2
图像上的点 关于原点对称
奇函数
1
图像关于原点对称
2
奇函数定义
因为 f(x)=x³ , f(-x)=(-x)³=-x³ , 故 f(-x)=-f(x) ，所以 f(x)=x³ 是奇函数.
解（2）函数的定义域为（-，+），对任意的x（-，+），都有-x（-，+）. 因为 f(x)=2x²+1 , f(-x)=2(-x)²+1=2x²+1 , 故 f(-x)=f(x) ，所以 f(x)=2x²+1 是偶函数.
2、判断下面函数的奇偶性.
1 f x x;2fx1 x2
;
3 f x 3x 1;
4 f x 3x2 2.
中职教育课程改革国家规划教材 《数学》 基础模块 高教出版社
奇函数
函数的 奇偶性
偶函数
深圳市育新学校
美丽的建筑物
1
轴对称建筑
2
中心对称建筑
函数的对称性与奇偶性的判断
函数的对称性与奇偶性的判断函数是数学中的重要概念，它描述了一种关系，将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
在函数的研究中，对称性与奇偶性的判断是一个常见且重要的问题。
本文将探讨函数的对称性与奇偶性的判断方法，并对其进行详细解释。
1. 函数的对称性对称性是指某个变量的改变是否引起函数图像的变化。
常见的对称性有以下几种：轴对称、中心对称和旋转对称。
1.1 轴对称轴对称即函数图像相对于某个轴做镜像之后与原图像完全重合。
对于轴对称函数，可以将其图像分为两部分，其中一部分关于轴对称，另一部分与之相同但关于轴的一侧。
以函数f(x)为例，若满足f(x) = f(-x)，则表示函数具有轴对称性。
1.2 中心对称中心对称即函数图像相对于某个点做镜像之后与原图像完全重合。
对于中心对称函数，可以将其图像分为两部分，其中一部分关于中心对称，另一部分与之相同但关于中心的异侧。
以函数f(x)为例，若满足f(x) = f(-x)，表示函数具有中心对称性。
1.3 旋转对称旋转对称即函数图像绕某个点旋转180°之后与原图像完全重合。
对于旋转对称函数，其图像在不同的角度上具有相同的形状。
以函数f(x)为例，若满足f(x) = -f(-x)，则表示函数具有旋转对称性。
2. 函数的奇偶性奇偶性是指函数的性质，也是函数的一种对称性。
奇函数与偶函数是函数奇偶性的两种基本类型。
2.1 奇函数奇函数是指满足f(x) = -f(-x)的函数。
奇函数的特点是函数图像关于原点对称，也即以原点为对称中心，左右对称。
奇函数具有以下几个特性：- 在原点处取值为0，即f(0) = 0；- 若f(x)是奇函数，则f(-x)也是奇函数；- 奇函数的奇次幂项系数为0，即只包含奇次幂项。
例如：f(x) =x^3 + 2x。
2.2 偶函数偶函数是指满足f(x) = f(-x)的函数。
偶函数的特点是函数图像关于y轴对称，也即以y轴为对称轴，左右对称。
函数的对称性与奇偶性判定
函数的对称性与奇偶性判定函数的对称性在数学中有着重要的地位，它是判断一个函数性质的重要方法之一。
其中，奇偶性是对称性的一种特殊情况，在函数的对称性中占据了重要的角色。
本文将讨论函数的对称性与奇偶性判定，并探究其在数学中的应用。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像具备某种对称性质。
常见的对称性包括轴对称、中心对称和周期性对称等。
下面将分别介绍这些对称性及其判定方法。
1.1 轴对称轴对称是指函数的图像关于某条直线对称。
对于任意给定的函数，要判断其是否具有轴对称性，可以通过以下方法进行：首先，确定函数的定义域和值域。
然后选取一个点P(x,y)，利用函数关系式计算对称点P’(2a-x,y)的函数值。
如果P'也在函数的定义域中，并且函数值与P相等，那么函数具有轴对称性。
否则，函数不具有轴对称性。
1.2 中心对称中心对称是指函数的图像关于某个点对称。
对于任意给定的函数，要判断其是否具有中心对称性，可以采用以下方法：确定函数的定义域和值域。
然后选取一个点P(x,y)，利用函数关系式计算对称点P'(-x,-y)的函数值。
如果P'也在函数的定义域中，并且函数值与P相等，那么函数具有中心对称性。
否则，函数不具有中心对称性。
1.3 周期性对称周期性对称是指函数的图像在一定的区间内重复出现。
对于任意给定的函数，要判断其是否具有周期性对称性，可以采用以下方法：确定函数的定义域和值域。
然后选取一个点P(x,y)，利用函数关系式计算对称点P'(x+a,y)的函数值。
如果P'也在函数的定义域中，并且函数值与P相等，那么函数具有周期性对称性。
否则，函数不具有周期性对称性。
二、函数的奇偶性判定函数的奇偶性是对称性的一种特殊情况。
在函数的定义域内，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)，那么函数具有偶对称性；如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)，那么函数具有奇对称性。
根据这一定义，我们可以采用以下方法判断函数的奇偶性：2.1 奇对称性判定对于给定的函数，要判断其是奇对称还是非奇对称，可以采用以下步骤：首先，将函数关系式进行变形，得到f(x) - f(-x) = 0。
中职数学上册函数的奇偶性
该函数是非奇非偶函数
函数的奇偶性
练习：第56面
x 2 （3）f ( x) 3 x 1 (4) f ( x) 3 x 2
２．判断下列函数的奇偶性： 1 1 f ( x) x （2）f ( x) 2
解：（ 1 ）函数f ( x) x的定义域为（ ， ） 且对于任意x （ ， ） , 都有 f ( x) x x f ( x)
△
偶函数
ｆ(-x)=ｆ(x)
图象关于y轴对称
奇函数
ｆ(-x)=－ｆ(x)
图象关于原点对称
函数的奇偶性
作业：第56面
A组题：1、2、3
函数的奇偶性
*作函数ｆ(x)=x ,x∈R的图像
y f(x) -x 0 [-x,-f(x)] f(-x) x [x,f(x)]
3
函数图像 关于原点 对称
x
f(-x)=-f(x)
这样的函数我们称之为奇函数
函数的奇偶性
奇函数定义：
◆如果对于函数ｆ(x)定义域内的任意一个x，
都有ｆ(-x)=－ｆ(x)成立,则称函数ｆ(x)为奇函数. ◆奇函数图象关于原点对称。
• （2）点Ｐ（ a, b)关于 y轴的对称点的坐标为Ｐ（ - a, b) , 其坐标特征为：纵坐标不变，横坐标变为相反数； • （3）点Ｐ（ a, b) 关于原点 对称点的坐标为Ｐ（-a,-b) , 其坐标特征为：横坐标变为相反数，纵坐标也变为相 反数．
函数的奇偶性 *作函数f(x)=2x2，x∈(-∞,+∞)的图像。 y
★图像关于原点对称的函数为奇函数。
函数的奇偶性
△判断函数奇偶性的必要条件： 定义域关于原点对称。
◇判断函数奇偶性的方法：
中职数学函数的奇偶性
1、写出函数的定义域； 2、判断定义域是否关于原点对称； 3、根据f(-x)与f(x)的关系判断 奇偶性。
第11页，共14页，编辑于2022年，星期五
1、口答下列各题：
（1） 函数f(x)=x是奇函数吗？ （2）函数g(x)=2是奇函数还是偶函数？ （3）如果y=h(x)是偶函数，当h(-1)=2时， h(1)的值是多少？
(1)、 f(x)=x是奇函数
(2)、 g(x)=2是偶函数
(3)、 h(1)= h(-1)= 2
第12页，共14页，编辑于2022年，星期五
课堂小结：
1、一般地，如果对于函数f(x)定义域中的任意一个x，都有f(-x) =f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数；
如果对于函数定义域中的任意一个x，都有f(-x) =f(x) ，那么函数f(x)就
5）函数f(x)= 0的定义域为Ｒ， 当X∈R时, - X ∈R 又因为f(－x)= 0， f(－x)= 0 所以f(－x) = －f(x)且f(－x) = f(x) 因此 函数f(x)= 0既是奇函数也是偶函数。
第10页，共14页，编辑于2022年，星期五
想一想：判断函数奇偶性的大体步骤分哪几步？
关于中职数学函数的奇偶性
第1页，共14页，编辑于2022年，星期五
观察函数f(x)= 1 的图象， 看看它具有怎样的x 对称性？
y
o
x
观察函数g(x)=x2的图象，
看看它具有怎样的对称性 ？
y
g(x)=x2
o
x
关于原点成中心对称
关于y轴成轴对称
第2页，共14页，编辑于2022年，星期五
观察函数f(x)= 1 的图象， 看看它具有怎样的x 对称性？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
(x,y) f(x)
x
1、偶函数定义:
设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x, 都有-x D,且f(-x)=f(x), 那么函数y=f(x)就叫做偶函数.
2、奇函数定义:
设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x, 都有-x D,且f(-x)=-f(x),那么函数y=f(x)就叫做奇函数.
y=f(x)在[a,b]上单调增 加，图像随x增加而上升； y=f1(x)在[a,b]上单调减 小，图像随x增加而下降．
引 例：
问题１：画出函数f(x)=x2的图象，并求f(-2),f(2), f(-3),f(3)值． 解: f(-2)=(-2)2=4 f(2)=２２＝4
y
f(-３)=(-３)2=９ f(３)= ３2=９ 思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律?
问题３.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1), f(1)及f(-x) 解: f (-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f (-1)=(-1)3=-1 f (1)=1 f (-x)=(-x)3=-x3 思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律? f (-2)= - f (2) f (-1)= - f (1) f (-x)= - f (x)
－３－２
o
２３
x
f(-2)=f(2)
f(-３)=f(３)
问题２：对于定义域内的任意x是否存在一个-x，使 f(x)=x2满足f(-x)=f(x)结论呢？
1、偶函数定义: 设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意 一个x,都有-x D,且f(-x)=f(x), 那么函数y=f(x)就 叫做偶函数.
3、奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象(如y=x2)
y
P’(-x ,fx,f(x)) -x o
x x
结论 ：y=f(x)是偶函数
y=f(x) 图象关于y轴对称.
3、奇、偶函数的图象特征 奇函数的图象(如y=x3 )
y
P(x ,f(x))
-x
o
x
x
x
结论 ：y=f(x)是奇函数
函数的奇偶性
复习：
函数的单调性定义及图像特征 1、定义
对于任意x1, x2[a,b], x1<x2, 都有 f(x1) < f(x2),则f(x) 在[a,b]上单调增加．
对于任意x1, x2[a,b], x1<x2, 都有 f(x1) > f(x2),则f(x) 在[a,b]上单调减小．
2、图像特征
例2 试据下列的函数图象，判断函数的奇偶性：
练习
利用定义，判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x2-1 ； (2) f(x)=
1 x
+1 ；
(3) f(x)= x ，
x∈ (-2，3) ； (4) f(x)= 5
.
小结:
1、两个定义: 任意一个x∈D ,都有-x∈D f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。 2、两个特征: 奇函数 图象关于原点对称。
☆说明:
(1) 、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说 函数f(x) 具有奇偶性。 (2)、函数具有奇偶性的前提条件是：定义域关于原点对称。 (3)、x的任意性。 若f ( x)是偶函数，则f ( x) f ( x)且定义域对称 (4)、定义反之亦然。 若f ( x)是奇函数，则f ( x) f ( x)且定义域对称
P’(-x ,f(-x))
(-x,-f(x))
y=f(x) 图象关于原点对称.
3、奇、 偶函数的图象特征:
(1)、y=f(x)是偶函数 图象关于y轴对称. (2)、y=f(x)是奇函数 图象关于原点对称.
☆ 说明：奇偶函数图象的性质可用于：
①、判断函数的奇偶性。 ②、简化函数图象的画法。
例1 利用定义，判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=x3+x ； (2) f(x)=|x| ； 1 2 (3) f(x)=x -2 ， x(0， +)； (4) f(x)= x 3 +1 ； (5) f(x)=0 .
☆ 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤: (1) 求定义域，判断其是否关于原点对称； (2) 再判断 f(-x)= -f(x) 或 f(-x)=f(x) 是否成立； (3)由定义得出结论。
偶函数 图象关于y轴对称。 3、判断函数奇偶性的方法步骤:
(1)、定义法 步 骤 (2)、图像法
第一步、求定义域 是否关于原点对称 判断f -x 与 f x 之间的关系 第二步、 图像是否关于y轴或原点对称 第三步、得出结论