中考数学第一部分考点研究复习第三章函数第1课时二次函数的综合应用练习含解析84

第三章 函数

第16课时 二次函数的综合应用 （建议答题时间：90分钟）

1. (2016大连)如图，抛物线y ＝x 2

－3x ＋5

4

与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D

是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，与直线BC 相交于点E . (1)求直线BC 的解析式；

(2)当线段DE 的长度最大时，求点D 的坐标．

第1题图

2. (2016宁波)如图，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(3，0)．

(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标；

(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA ＋PC 的值最小时，求点P 的坐标．

第2题图

3. (2016安徽)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A (2，4)与B (6，0)． (1)求a 、b 的值；

(2)点C 是该二次函数图象上A 、B 两点之间的一动点，横坐标为x (2

第3题图

4. (2016北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m－1(m>0)与x轴的交点为A、B.

(1)求抛物线的顶点坐标；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．

①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；

②若抛物线在点A、B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

第4题图

5. (2016陕西)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点M(1，3)和N(3，5)．

(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况；

(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(－2，0)，且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．

第5题图

6. (2016上海)如图，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)经过点A(4，－5)，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝5OB，抛物线的顶点为点D.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)连接AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；

(3)如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO＝∠ABC，求点E的坐标．

第6题图

7. (2016益阳)如图，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.

(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；

(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；

(3)在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

第7题图

答案（精讲版）

1. 解：(1)当x ＝0时，y ＝5

4

，

∴C (0，5

4

)，

当y ＝0时，x 2

－3x ＋5

4

＝0，

∴(x －52)(x －1

2

)＝0，

解得x ＝52或x ＝12

，

∴A(12，0)，B(5

2

，0)，

设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋54

，

将B (52，0)代入得52k ＋54＝0，解得k ＝－12

，

∴直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋54

；

(2)设E (a ，－12a ＋54)，则D (a ，a 2－3a ＋54)(0＜a ＜5

2

)，

∴ED ＝(－12a ＋54)－(a 2－3a ＋54)＝－a 2＋52a ＝－(a －54)2＋25

16

.

将a ＝54代入y ＝a 2－3a ＋54中得y ＝－15

16

.

∴当a ＝54时，线段DE 的长度最大，此时点D 的坐标为(54，－15

16

)．

2. 解：(1)把B (3，0)代入抛物线解析式，得0＝－32＋3m ＋3，

解得m ＝2，

∴y ＝－x 2＋2x ＋3，

∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，

∴顶点坐标为(1，4)；

(2)如解图，连接BC 交抛物线的对称轴l 于点P ，连接AP ，此时PA ＋PC 的值最小．

第2题解图

设直线 BC 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，

由题知，点C 的坐标为(0，3)，

抛物线的对称轴为直线x ＝1.

把点(3，0)，(0，3)分别代入，得

⎩⎨

⎧0＝3k ＋b 3＝b ， ∴⎩

⎨⎧k ＝－1b ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3.

当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2.

答：当PA ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2)．

3. 解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋b x 的图象经过点A (2，4)与B (6，0)． ∴⎩⎨⎧4＝4a ＋2b 0＝36a ＋6b

，解得⎩

⎨⎧a ＝－1

2b ＝3

；

第3题解图①

(2)如解图①，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点D (2，0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，

CF ⊥x 轴，垂足分别为点E ，点F ，则

S △OAD ＝1

2

OD ·AD ＝12

×2×4＝4，

S △ACD ＝12AD ·CE ＝12

×4×(x －2)＝2x －4，

S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×(－12

x 2＋3x )＝－x 2＋6x ，

则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋(2x －4)＋(－x 2＋6x )＝－x 2＋8x .

∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x (2

∵S ＝－(x －4)2＋16，

∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.