验中学2018届高考数学专题复习：极坐标参数方程练习(附答案)

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2018届高考数学二轮参数方程与极坐标专题卷(全国通用)(5)

参数方程与极坐标1．设点P 在曲线2sin =θρ上,点Q 在曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上,求|PQ |的最小值（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：首先把两曲线化为直角坐标方程：222,(1)1y x y =-+=，数形结合知过x=1的直线与圆相交的较近的两点间的距离就是PQ的最小值．考点：直线与圆的位置关系．2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()4x tt y t =⎧⎨=+⎩为参数.曲线C 的参数方程为2()2x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数，则直线l 和曲线C 的公共点有（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）无数个【答案】B 【解析】试题分析：()4x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数即y=x+4，2()2x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数即22(2)(2)8x y -+-=，=l 和曲线C 的公共点有1个，选B 。

考点：本题主要考查参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系。

点评：小综合题，将参数方程化为普通方程，实现了“化生为熟”，研究直线与圆的位置关系，两种思路，一是“代数法”，二是“几何法”。

3．坐标系中，圆θρsin 2-=的圆心的极坐标是（） A ．)2,1(πB ．)2,1(π- C ．)0,1( D ．(1,)π【答案】B 【解析】试题分析：圆θρsin 2-=即为圆22s i n ρρθ=-化成直角坐标方程为2220x y y ++=，所以圆心的直角坐标为()0,1-，极坐标是)2,1(π-.考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化.4．将点M 的极坐标⎪⎭⎫⎝⎛310π，化成直角坐标是（）(A)(5， (B)()5 (C)()5，5 (D)()5-，-5 【答案】A【解析】本题考查极坐标与直角坐标的互化由点M 的极坐标⎪⎭⎫⎝⎛310π，，知10,3πρθ== 极坐标与直角坐标的关系为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以⎪⎭⎫⎝⎛310π，的直角坐标为10cos 5,10sin 33x y ππ====即(5，故正确答案为A5．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数）．以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．【答案】（Ⅰ）ρ=2cosθ，（Ⅱ）2【解析】试题分析：（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y 2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II ）由直线l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解：（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II ）如图所示，由直线l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q ．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．视频6．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知极坐标系中的曲线2cos sin ρθθ=与曲线πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】2a = 【解析】试题分析：由将cos ,sin x y ρθρθ==极坐标方程2cos sin ρθθ=及πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化为直角坐标方程2x y =，2x y +=，联立方程组解得交点坐标()1,1A ，()2,4B -，根据两点间距离公式求线段AB 的长．试题解析：曲线2cos sin ρθθ=化为2x y =；…………………………………4分πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭同样可化为2x y +=，…………………………8分联立方程组，解得()1,1A ，()2,4B -，所以AB ==所以3222a a -=（0a >），解得2a =（负值已舍）．………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程7．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t 为参数）；以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos()4ρθπ=+．（1）写出直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值.【答案】曲线C:02222=+-+y x y x （2）62．【解析】试题分析：先将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线上的点的坐标（含参数）代入，化为求函数的最值问题，也可将直线l 的参数方程化为普通方程，根据勾股定理转化为求圆心到直线上最小值的问题.试题解析：（1曲线C:02222=+-+y x y x 4分（2）因为圆C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 2-=，所以θρθρρs i n 2c o s 22-=，所以圆C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ，圆心为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,22,半径为1, 6分因为直线l的参数方程为,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以直线l上的点P+⎝向圆C引切线长是所以直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是62． 10分考点：参数方程与极坐标，直线与圆的位置关系.8．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线2:sin2cosC aρθθ=(0)a>，过点()2,4P--的直线l的参数方程为（t为参数）。

高中数学极坐标与参数方程大题及答案

高中数学极坐标与参数方程大题及答案一、题目1.将直角坐标方程x2+y2=4转化为极坐标方程，并求出对应的参数方程；2.已知曲线的极坐标方程为 $r=2\\cos\\theta$，求对应的直角坐标方程并作图；3.曲线的参数方程为 $x=\\sin\\theta$，$y=\\cos\\theta$，求对应的直角坐标方程并判断曲线形状。

二、解答1. 将直角坐标方程转化为极坐标方程给定直角坐标方程x2+y2=4，我们可以假设 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，将其带入方程得：$(r\\cos\\theta)^2+(r\\sin\\theta)^2=4$化简得：$r^2(\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta)=4$由于 $\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta=1$，所以方程可以简化为r2=4，即r=±2。

因此，直角坐标方程x2+y2=4对应的极坐标方程为r=2和r=−2。

对应的参数方程为：当r=2时，$x=2\\cos\\theta$，$y=2\\sin\\theta$；当r=−2时，$x=-2\\cos\\theta$，$y=-2\\sin\\theta$。

2. 求曲线的直角坐标方程并作图已知曲线的极坐标方程为 $r=2\\cos\\theta$，我们将其转化为直角坐标方程。

利用极坐标与直角坐标的关系 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，我们将$r=2\\cos\\theta$ 代入得：$x=2\\cos\\theta\\cos\\theta=2\\cos^2\\theta$$y=2\\cos\\theta\\sin\\theta=\\sin2\\theta$所以，曲线的直角坐标方程为 $x=2\\cos^2\\theta$，$y=\\sin2\\theta$。

我们现在来作图，首先确定参数的范围。

2018年高考数学真题专题汇编----极坐标与参数方程

（ 1）求的取值范围；（ 2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．
4.【 2018 江苏卷 21C】在极坐标系中，直线 l 的方程为 4cos ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．
sin( π 6
) 2 ，曲线 C 的方程为
参考答案
一、填空题
1.1 2
1
2.
2
二、解答题
1.解：（ 1）由 x cos ， y sin 得 C2 的直角坐标方程为 ( x 1)2 y2 4．
2018 年高考数学真题专题汇编 ----
极坐标与参数方程
一、填空题
1. 【 2018 北京卷 10】在极坐标系中，直线 cos 则 a=_______2cos 相切，
x 2.【2018 天津卷 12】 )已知圆 x2 y2 2 x 0的圆心为 C，直线
2 1 t,
（ 2）由（ 1）知 C2 是圆心为 A( 1,0) ，半径为 2 的圆．
2 ( t 为参数 )
y 3 2t 2
与该圆相交于 A，B 两点，则 △ ABC 的面积为
.
二、解答题
1.【 2018 全国一卷 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y k|x| 2.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 .
（ 1）求 C2 的直角坐标方程；（ 2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程 .
x 2cos θ， 2【. 2018 全国二卷 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 y 4sin θ（ θ为参数），直线 l 的参数方程为
x 1 t cos α，（ t 为参数）．

2018年高考数学分类汇编专题十三极坐标与参数方程

《2018年高考数学分类汇编》第十三篇：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．2.【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线21,232⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 . 二、解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案一、填空题1.21+2.21 二、解答题1.解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2221k =+，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． (02，αl O ⊙A B ，αAB P当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，221k =+，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故，于是直线的斜率．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点． cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-O 221x y +=2απ=l O当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 2απ≠tan k α=l 2y kx =-l O 22||11k <+1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(2sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 222sin 10t t α-+=22sin A B t t α+=2sin P t α=P (,)x y cos ,2sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩P 2sin 2,22cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α44απ3π<<)所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=π6．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos236AB==因此，直线l被曲线C截得的弦长为23。

专题7 极坐标系与参数方程-2018年高考数学备考关键问题对策及新题好题训练含答案

专题七极坐标系与参数方程2018年高考数学备考关键问题对策及新题好题训练含答案【高考考场实情】极坐标与参数方程为高考选考内容之一，一道解答题，满分10分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目。

【考查重点难点】主要考查直线与特殊位置的圆的极坐标方程，考查直线、圆、椭圆的参数方程，考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与参数方程的互化，考查利用参数方程求轨迹的问题及轨迹方程的建立，考查参数方程与极坐标方程的直接应用，如极坐标系下两点间距离的求解等，交汇考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面几何的有关基础知识、三角函数的性质等. 试题分设两问，第一问考查内容多为“互化”. 第二问考查内容均为利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中ϑρ,的几何意义解决问题，内容涉及距离、面积、弦长、交点、轨迹等问题. 理论上说，本系列的问题通过“互化”转化为普通直角坐标方程后，均可用解析几何的相关知识加以解决，但是高考全国卷更加关注用本领域知识解决相关问题的考查，下面从学生存在的主要问题剖析出发，提出相应的教学对策. 【存在问题分析】（一）对直线参数方程中参数的几何意义认识不到位【例1】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,()2x tt y =--⎧⎪⎨=⎪⎩为参数.直线与曲线22:(2)1C y x --=交于,A B 两点.求||AB 的长；【名师点睛】本题易错的主要原因是对直线参数方程中参数的几何意义的认识不清，错误的由点,A B 对应的参数分别为12,t t 得12||||AB t t =-==当直线的参数方程非标准式时，其参数并不具有距离的几何意义，只有把直线的参数方程化为标准的参数方程时，||t 才表示距离.一般地，直线⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00（t表示参数），当122=+b a 时，||t 表示点),(y x p 到点00()P x ,y 的距离.【例2】在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程是1+cos ,sin .x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 是参数）．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：4cos ρθ=，若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设(1,0)P ，且1PA PB -=,求直线l 的倾斜角．【解析】直线l 为经过点(1,0)P 倾斜角为α的直线，由1cossin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22(2)4x y -+=，整理得22cos 30t t α--=，2(2cos )120α∆=+>，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122cos t t α+=，1230t t ⋅=-<，所以1t ，2t 异号，则12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==，所以1cos 2α=±，又),0[π∈α所以直线l 倾斜角3π=α或32π. 【名师点睛】本题易错的主要原因仍是直线参数方程中参数t 的几何意义认识不到位所致，||t 表示距离，t 是包含符号的，由于本题中，,A B 在P 点的两侧，12t ,t 异号，故12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==而不是121212||||||||()44cos 121PA PB t t t t t t α-=-=+-⋅=+=. 此外，本题的参数方程中含两个字母参量，哪个是参数在审题时也是值得特别注意的. （二）忽略参数的取值范围导致“互化”不等价【例题3】将曲线1C 的参数方程1sin 22sin cos x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩（θ为参数）化为普通方程.【名师点睛】本题易错点主要在于忽视了三角函数sin y x =的有界性，即R,θ∈,212sin 2121≤≤-θ所以.2121≤≤-x 在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅要把其中的参数消去，还要注意y x ,的取值范围. （三）对极径的意义理解不到位，不能灵活使用极径解决问题【例题4】（2017全国II 卷22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ．（Ⅰ）M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足6⋅=OM OP ,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A 的极坐标为)3,2(π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（Ⅰ）设P 的极坐标为(,)(>0)ρρθ，M 的极坐标为11()(>0),ρθρ，则由已知得116⋅=ρρ即416cos ⋅=ρθ，得2C 的极坐标方程为4cos (0)=>ρθρ，所以2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠【名师点睛】本题的主要问题在于对于极径的意义理解不到位，其一，不能将极径与OM 、OP 建立联系，从而无法快速求出P 的轨迹方程，其二，不能利用极径的几何意义建立OAB ∆的面积模型进行求解，而是顺着第一问的思路在直角坐标系下寻求解题出路，结果造成不能顺利建模亦或是建立OAB ∆面积关于直线OB 斜率的函数关系，致使解题过程复杂化，计算量加大，最终无法准确求解. 此外，在第（Ⅰ）问题目中还隐含着一个条件0>ρ，如果审题稍有不慎极易遗漏这一限制条件. （四）思维不严谨性，完备性欠缺【例题5】在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为22cos ,(2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）.（Ⅰ）将1C 的方程化为普通方程；（Ⅱ）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程是)(3R π∈=ρθ求曲线1C 与2C 交点的极坐标.【解析】（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为22cos ,(2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）的普通方程为22(2)4x y -+=；（Ⅱ）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22(2)4x y -+=得曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，把3π=θ代入得4co s 23πρ==，又因为曲线1C 和曲线2C 的均过原点，.所以曲线1C 与2C 交点的极坐标为(0,0),(2,).3π【名师点睛】本题直接用极坐标方程求交点的极坐标非常容易遗漏（0,0）点.在极坐标方程与直角坐标方程互化的过程中，经常需要在方程两边同乘以或除以ρ，这时需要考虑等价问题：如果曲线0),(=θρϕ不通过极点，那么0),(=⋅θρϕρ与0),(=θρϕ不等价；如果曲线0),(=θρϕ通过极点，那么0),(=⋅θρϕρ与0),(=θρϕ等价，这是因为0=ρ包含在方程(,)0ϕρθ=的曲线中. 本题由于曲线1C 和曲线2C 的均过原点，所以交点的极坐标还包含有(0,0).如果本题用直角坐标方程求解也不难，且不易遗漏原点.所以求交点坐标的问题，一般宜用我们熟悉的直角坐标方程求解.【例题6】在直角坐标系xOy 中，直线4:1=+y x C 曲线⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1:2y x C （θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）写出直线1C 与2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线)0(:>=ραθl 分别交1C 与2C 于A ，B 两点，求OAOB 的取值范围.【解析】（Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线4:1=+y x C ∴直线1C 的极坐标方程为,4)sin (cos =+θθρ 曲线⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1:2y x C 的普通方程为1)1(22=+-y x ，∴曲线2C 的极坐标方程为θρcos 2=.【名师点睛】本题的易漏点在于对题目隐含条件的挖掘，求出OA OB ],1)42(cos 2[41)12sin 2(cos 41)sin (cos cos 241||||12+-=++=+⋅==πααααααρρOA OB 后直接得OAOB 的取值范围是]4221,4221[+-忽略了射线)0(:>=ραθl 分别交1C 与2C 于相交，隐含着24ππ<<-α这一条件.【解决问题对策】（一）关注两个“互化”的技能训练【指点迷津】参数方程和普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化是高考每年必考的内容之一，考查形式多样，有直接要求互化的，也有通过转化化为直角坐标方程或普通方程，然后利用解析几何的相关知识解决问题的，因此，应通过专项训练使之熟练化、自动化.【例7】（2017年高考全国III 卷23）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）写出C 的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3cos sin 0l ρθθ+=：，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．（Ⅱ）将极坐标方程转化为一般方程3:0l x y +=，联立2204x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，解得ρ=M．（二）强化对直线参数方程中参数t 的几何意义的认识【指点迷津】利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以快速求解与线段长度、距离等相关的问题. 使用时应注意t 表示距离时方程的特征和t 所具有的“方向”性.【例8】在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系. （Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.可知2|||||2cos |AP t θ==代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=，可知/1||||||cos AQ t θ==所以PQ=1|||||2cos |||cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ=时取等号，所以线段PQ 长度的最小值为（三）关注圆、椭圆参数方程在求最值方面的应用【指点迷津】涉及有关最值或参数范围问题的求解，常可利用圆与椭圆的参数方程，化为三角函数的最值问题处理.【例9】（2017年高考全国I 卷22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为()41x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数. （Ⅰ）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（Ⅱ）若C 上的点到la.（四）关注极径、极角几何意义的认识与应用【例10】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（Ⅰ）求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于原点O，且||AB =α的值. 【解析】（Ⅰ）由22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ可得1C 普通方程为22(2)4x y -+=，.4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线1C ：22(2)4x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=，由题意设1(,)A a ρ，2(,)B a ρ，则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-sin()|4πα=-=∴sin()14πα-=±，∴42k ππαπ-=+()k Z ∈，π<<α0，∴43π=α. （五）注重算法的选择，关注运用本领域知识进行的问题解决【指点迷津】将陌生的问题化为已知的问题加以解决，是问题解决的常见思维模式，对极坐标、参数方程的有关问题解决，最简洁的思路就是将极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程转化为普通方程，再利用解析几何的知识解决问题，然而在有些情况下这种转化却会加大运算过程，有时还会出现无法计算结果的情形，近年来高考全国卷就经常出现这种情况，因此除了掌握化为普通直角坐标方程求解的算法外，还应关注运用本领域知识解决问题的算法.【例11】（2016年高考全国Ⅲ卷22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【解法一】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（Ⅱ）设点sin )P αα+，因2C 为直线，所以PQ 的最小值即为点P 到直线2C 的距离的最小值.而点P 到直线2C 的距离为)23d πα+-当且仅当2(Z)6k k παπ=+∈时，d PQ 31(,)22P . 【解法二】（Ⅰ）同法（Ⅰ）.当2c =-时，方程2246(33)0x cx c ++-=可化为241290x x -+=，即2(23)0x -=所以32x =，122y x =-+=，即切点31(,)22P ，此时 d ==PQ 【名师点睛】显然，法一优于法二，即利用椭圆参数方程，将问题转化为三角函数最值运算优于转化为直角坐标用解析几何知识解决. 【新题好题训练】 1．已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于两点．（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；（Ⅱ）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．【答案】（I ）；（II ）.【解析】试题分析：（I ）利用消参后可得曲线C 的普通方程，把代入交消去参数可得直线的普通方程，再把直线方程代入曲线C 方程，结合韦达定理、弦长公式可得弦长；（II ）直线的参数方程是标准参数方程，直接代入曲线C 的普通方程，A 、B 两点参数是此方程的解，且，由此可得其取值范围．试题解析：（Ⅰ）曲线的参数方程：（为参数），曲线的普通方程为．当时，直线的方程为，代入，可得，∴.∴.（Ⅱ）直线参数方程代入，得．设对应的参数为，∴．2．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与的直角坐标方程；（2）判断曲线是否相交，若相交，求出相交弦长.【答案】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.试题解析：（1）由题知，将曲线的参数方程消去参数，可得曲线的普通方程为.由，得.将，代入上式，得，即.故曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）知，圆的圆心为，半径，因为圆心到直线的距离，所以曲线相交，所以相交弦长为.3．在直角坐标系中，曲线的参数方程为：,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1) 若把曲线上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，求的极坐标方程；(2) 直线的极坐标方程是,与曲线交于两点，求三角形的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）根据坐标变换得到曲线，利用极坐标转换公式即可写出极坐标方程；（2）转化为直角坐标系方程后，联立方程组，解出点的坐标，计算即可.(2)（法一）直线与曲线的交点为，则的极坐标满足方程组：解之得：、，（法二）直线与曲线C1的交点为，则A、B的直角坐标满足方程组：联立方程可得:、,所以边上的高为，4．已知圆锥曲线（为参数）和定点，是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线的直角坐标方程；（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点，求的值.【答案】（1）；（2）.解析：（1）得圆锥曲线的直角坐标方程为，椭圆的左焦点为，右焦点为，∴直线的直角坐标方程为，即为（2）∵直线与直线垂直且过点，∴直线的参数方程为（为参数）.将其代入得，即，∴，，∴与异号，∴.∴=.5．选修4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系中，点，，是线段的中点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数）. （1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；（2）设直线过点交曲线于两点，求的值.【答案】（Ⅰ）,. （Ⅱ）12.试题解析：（（Ⅰ）将点，的极坐标化为直角坐标，得和.所以点的直角坐标为.将消去参数，得，即为曲线的普通方程.（Ⅱ）解法一：直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角）代入，整理得：.设点、对应的参数值分别为、.则，.解法二：过点作圆：的切线，切点为，连接，因为点由平面几何知识得：，所以.6．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数，），直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若为曲线上任意一点，为直线任意一点，求的最小值.【答案】(1) 直线的直角坐标方程为,曲线的轨迹方程是上半圆;(2) 的最小值为.试题解析：（1）曲线的参数方程为（为参数，），消去参数可得，由于，所以，故曲线的轨迹方程是.由，可得，即，把代入上式可得，故直线的直角坐标方程为.（2）由题意可得点在直线上，点在半圆上，半圆的圆心到直线的距离等于，故的最小值为.点睛：解答本题时注意以下两点：（1）消去参数方程中的参数得到普通方程时，要注意参数取值范围的限制，在普通方程中仍要注明取值范围．（2）解答解析几何中的最值问题时，对于一些特殊的问题，可根据几何法求解，以增加形象性、减少运算量．7．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），已知直线的方程为. （1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；（2）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.【答案】（1）.（2）.（Ⅱ）若曲线上的所有点均在直线的右下方则，有恒成立，即恒成立，恒成立，即可求的取值范围．试题解析：（Ⅰ）依题意，设，则点到直线的距离，当，即，时，，故点到直线的距离的最小值为.（Ⅱ）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，所以对，有恒成立，即恒成立，所以，又，所以.故的取值范围为.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．8．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，点是曲线上一点，的最小值为，求实数的值．【答案】(1)见解析;(2)或．试题解析（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为，即，化为极坐标方程为，由曲线的极坐标方程（），得（），∴曲线的直角坐标方程为，即．（2）曲线的圆心到直线的距离，故的最小值为，解得或．9．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的曲线上运动.(I)若点在射线上,且,求点的轨迹的直角坐标方程;(Ⅱ)设,求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）.(Ⅱ) .【解析】试题分析：试题解析：（Ⅰ）设，则，又,,,，．将代入上式可得点的直角坐标方程为．（Ⅱ）设，则，的面积，当且仅当，即时等号成立面积的最大值为．10．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为 (为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.(I)求圆的直角坐标方程；(II)若是直线与圆面的公共点,求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析;(Ⅱ) 见解析.【解析】分析: (I)直接利用极坐标公式把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程. (II)先求出直线l与圆的公共点，再数形结合分析出的取值范围.详解：（Ⅰ）∵圆的极坐标方程为又∴∴圆普通方程为，设.故点在线段上从而当与点重合时，当与点重合时，故的取值范围为[-1,1].点睛：对于第(Ⅱ)问，方法比较多，本题的解答时利用了数形结合的方法.,z表示直线的纵截距，纵截距最大，z最大，纵截距最小，z最小. 一般看到二元一次多项式要联想到利用直线的纵截距的几何意义解答比较方便.。

高三数学《极坐标与参数方程》专题测试题含答案

高三数学极坐标与参数方程专题测试题含答案（120分钟每小题10分，共15小题，总分150分）1.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.2. 【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值。

3.【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.4.【2015高考陕西，理23】在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．5.【2015高考新课标2，理23】在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．6．【2014全国2，理20】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.7. 【2014课标Ⅰ，理23】已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.（I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．8.【2015高考新课标1，理23】在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积.9．【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.10.【2016高考新课标1卷】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．11.【2016高考新课标2理数】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．12.【2018年全国卷Ⅲ理】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．13．【2018年理数全国卷II】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．14．【贵州省凯里市2018届四模】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.(1)写出曲线的极坐标方程；(2)设直线（为任意锐角）、分别与曲线交于两点，试求面积的最小值.15．【辽宁省葫芦岛市2018年二模】直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.参考答案1.解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.…………5分（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =当4a ≥-时，d=8a =；当4a <-时，d=16a =-. 综上，8a =或16a =-.…………10分【考点】极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与曲线的位置关系.【名师点睛】化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.2.解析：（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()11，＞0ρθρ，由题设知cos 14=，=ρρθOP OM =。

极坐标参数方程大题及答案详解

极坐标参数方程大题及答案详解1. 题目描述求函数 $r = f(\\theta)$, 其中 $f(\\theta)$ 是 $\\theta$ 的某个函数。

问题描述已知函数 $r = f(\\theta)$，具体要求如下：1.求函数 $r = f(\\theta)$ 的图像。

2.求 $r = f(\\theta)$ 的对称轴。

3.求 $r = f(\\theta)$ 的顶部和底部的点。

4.求函数 $r = f(\\theta)$ 在给定范围内的最大值和最小值的坐标。

给定的函数 $r = f(\\theta)$ 满足条件：函数的定义域为 $\\theta \\in [a, b]$。

请根据给定题目中的参数方程，完成以上要求。

2. 解答详解给定函数 $r = f(\\theta)$ 的参数方程，我们首先可以绘制其图像，具体步骤如下：1.初始化一个极坐标系。

2.根据给定函数 $r = f(\\theta)$ 的参数方程，计算r和 $\\theta$ 所对应的坐标点。

3.将得到的坐标点在极坐标系上绘制出来。

4.连接相邻的点，即可得到函数 $r = f(\\theta)$ 的图像。

完成上述步骤后，我们可以得到函数 $r = f(\\theta)$ 的图像。

下面我们根据题目的要求，依次解答其他问题：2.1 求函数 $r = f(\\theta)$ 的对称轴函数 $r = f(\\theta)$ 的对称轴是指图像关于某条直线对称。

我们可以通过以下步骤来求解对称轴：1.对于给定的$\\theta$ 的取值范围，找到该范围内的最大值和最小值。

2.计算最大值和最小值所对应的函数值r。

3.选取最大值和最小值所对应的角度 $\\theta_{max}$ 和$\\theta_{min}$，计算其平均值 $\\theta_{avg}$。

4.根据 $\\theta_{avg}$ 计算其所对应的函数值r avg。

5.当 $\\theta$ 从 $\\theta_{avg}$ 开始递增或递减时，观察r的变化趋势，若r的值逐渐减小或递增，说明图像关于 $\\theta_{avg}$ 对称；若r的值逐渐增大或递减，说明图像不关于 $\\theta_{avg}$ 对称。

专题22 选修系列--参数方程与极坐标-2018年高考数学(文)母题题源系列(全国1专版)(解析版)

【母题原题1】【2018新课标1，文22】在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果. 学￥科网【母题原题2】【2017新课标1，文22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【2016新课标1，文23】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).【母题原题3】在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.【命题意图】1.掌握极坐标与直角坐标之间的转化公式，能利用极坐标的几何意义解题．2．理解参数方程中参数的几何意义并灵活应用几何意义进行解题. 【基础知识与解题技巧】 1．参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，将参数方程化为普通方程需消去参数．（2）如果知道变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如，x =f （t ），把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t 的关系y =g （t ），那么x f t y g t =⎧⎨=⎩（），（）就是曲线的参数方程．（1）在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性．（2）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同． 2．几种常见曲线的参数方程（1）圆以O ′（a ，b ）为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在（0，0）时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．（2）椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2=1（a >b >0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2=1（a >b >0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．（3）直线经过点P 0（x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．1．【河南省2017-2018学年高三最后一次模拟考试】在平面直角坐标系中,已知倾斜角为的直线经过点.以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出曲线的普通方程;(2)若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.整理得.因为直线与曲线有两个不同的交点，所以,化简得.又,所以，且. 学@科网设方程的两根为,则，，所以,所以 .由，得，所以,从而，即的取值范围是.点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．【湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试】已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同.曲线的极坐标方程是.直线的参数方程为（为参数，）.设，直线与曲线交于两点.（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围.由，得化简得（其中），∴∴∴.点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．3．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性训练】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的极坐标方程；（2）设，为上两点，若，求的值．（2）不妨设，的极坐标分别为，，则，．从而，，所以，因此．点睛：（1）本题主要考查参数方程和极坐标的互化，考查极坐标方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)解答第2问，可以化成直角坐标解答，但是计算量比较大，本题直接利用极坐标解答，计算量比较小.4．【江西师范大学附属中学2018届高三年级测试（三模）】在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线．其中为直线的倾斜角（）（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，与曲线的交点分别为，求的值.点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和普通方程的互化，考查直线参数方程参数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.5．【湖北省2018届高三5月冲刺】在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求直线的参数方程；(2)若点在直线上，点在曲线上，求的最小值.【解析】分析：(1)根据直线参数标准式方程写出直线的参数方程，(2)先根据，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点斜式得直线的方程，最后根据圆的性质得的最小值为圆心到直线距离减去半径.详解：故的最小值为.点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.6．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】在直角坐标系中，直线的方程是，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）射线：（其中）与曲线交于，两点，与直线交于点，求的取值范围．【解析】分析：（1）利用可得直线的极坐标方程，由消参数得从而可得曲线的极坐标方程是；（2）将分别代入，，得，，，由得，利用正弦函数的单调性可得结果.详解：（1）∵∴直线的极坐标方程是，由消参数得，点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．7．【河南省郑州外国语学校2018届高三第十五次调研考试】在平面直角坐标系的中，曲线的参数方程是（为参数），以射线为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求直线与曲线相交所得的弦的长.【解析】分析：（1）曲线的参数方程化为直角坐标方程，利用，可得的直角坐标方程为；（2）直线的倾斜角为，过点，可得直线的参数方程为（为参数）代入得，利用韦达定理结合直线参数方程的几何意义可得结果.详解：（1）曲线的参数方程化为直角坐标方程为，因为，所以的直角坐标方程为（2）直线的倾斜角为，过点，所以直线化成参数方程为，即（为参数）代入得，，设方程的两根为，则，所以.点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．学%科网8．【四省2018届高三第三次大联考】在极坐标系中.曲线的极坐标方程为点的极坐标为以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴.建立平面直角坐标系，(1)求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标;(2)过点的直线与曲线相交于两点.若,求的值.当时，或.当时，同理点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，直线的参数方程将其几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．【安徽省江南十校2018届高三冲刺联考（二模）】已知曲线的参数方程为：（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）曲线与曲线有两个公共点，求的取值范围.点睛：本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程间的互化、直线和抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的数学化简能力和基本计算能力．10．【江西省重点中学协作体2018届高三第二次联考】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）.（1）求曲线、的直角坐标方程.（2）若、分别为、上的动点，且、间距离的最小值为，求实数的值.由、间距离的最小值为知：当时，得；当时，，得.综上：或者. 学.科网点睛：本题主要考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与互化，极坐标方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．【安徽省合肥市第一中学2018冲刺高考最后1卷】在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.（1）求曲线和直线的直角坐标方程，并求出曲线上到直线的距离最大的点的坐标，（2）求曲线的极坐标方程，并设为曲线上的两个动点，且，求的取值范围.【解析】分析：（1）先消参得到曲线C的直角坐标方程，利用极坐标公式得到直线l的直角坐标方程,再利用三角函数的图像和性质求出曲线上到直线的距离最大的点的坐标.(2)转化成求的值.详解：（1）曲线，直线，则曲线上点到直线的距离，当时，最大，此时，.（2）曲线的极坐标方程为，即.设，则.点睛：（1）本题主要考查参数方程极坐标和直角坐标的互化，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握能力. (2)对于第（2）问，可以利用直角坐标，也可以利用极坐标解答，直接利用极坐标解答简洁一些.12．【四川省成都市第七中学2018届高三下学期三诊模拟考试】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（Ⅰ）写出曲线，的普通方程；（Ⅱ）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.（Ⅱ）曲线左焦点为直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为（参数）将其代入曲线整理可得，所以.设对应的参数分别为则所以，.所以.点睛:本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题．13．【山西省运城市康杰中学2018届高考模拟（一）】在平面直角坐标系中，曲线，曲线为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（I）求曲线的极坐标方程；（II）若射线与曲线的公共点分别为，求的最大值．点睛：考查参数方程和极坐标方程，主要考查曲线的参数方程和直角坐标方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化问题，要牢记互化公式和消参方法.14．【山东省名校联盟2018年第一次适应模拟试题】在直角坐标系中，以原点为极点，正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．已知曲线：，把曲线上任一点纵坐标压缩为原来的，得到曲线．（1）求曲线和的普通方程；（2）过点作两条互相垂直的直线和，设交曲线于，两点，交曲线于，两点，求的最大值．则所以，同理故所以，或，取得最大值．点睛：本题主要考查极坐标方程化为普通方程，逆代法的应用以及直线参数方程的应用、平面向量数量积的运算、三角函数的有界性的应用，属于中档题.直线参数方程的参数的几何意义，在解答与线段和与线段积有关的的问题时，用起来较为得心应手.15．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三第三次模拟考试】在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），圆与圆外切于原点，且两圆圆心的距离，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆和圆的极坐标方程；（2）过点的直线、与圆异于点的交点分别为点和点，与圆异于点的交点分别为点和点，且.求四边形面积的最大值．所以．所以当，即时，有最大值9．学科&网点睛：本题考查几类曲线方程间的互化，考查学生的转化能力和计算能力．在有关极坐标的问题中要注意极径的作用，由于它表示线段的长度，进而可用来解决几何中的弦长、面积等问题．。

极坐标与参数方程大题及答案

极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。

首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。

首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。

使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。

2018年高考数学分类汇编：专题十三极坐标与参数方程

《2018年高考数学分类汇编》第十三篇：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．2.【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .二、解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案一、填空题1.21+2.21 二、解答题1.解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，yxOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故，于是直线的斜率．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-O 221x y +=2απ=l O 2απ≠tan k α=l y kx =-lO 1<1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A t Bt 2sin 10t α-+=A B t t α+=P t αP (,)xy cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩P sin 2,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α44απ3π<<)所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为。

高三数学专项训练：极坐标与参数方程(附答案)

x 中，⊙ 的参数方程为cos ，（为参数）， xOy O过点 0， 2 且倾斜角为的直线与⊙ 交于，两点．l O AB Ptl,（为参数），设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线． m l l P k P Cm y , k（1）写出的普通方程： C（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l : (co s s in ) ，为与 M lxC3 cosx 3、（2016 全国 I I I 卷高考）在直角坐标系s in1坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线) 2 2 . 41（II ）设点 P 在上，点 Q 在上，求|P Q |的最小值及此时 P 的直角坐标.4、（成都市 2018 届高三第二次诊断）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标2s ins in ( ) 5 2 0 ，直线的极坐标方程为 . 44（1）求直线的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；5、（成都市 2018 届高三第三次诊断）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是，直线l 的2 s in 在直线l 上.以极点为坐标原点 O ，极轴为 x 轴的4正半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度.（I ）求曲线C 及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于不同的两点 A，求 Q A Q B 的值.6、（达州市 2017 届高三第一次诊断）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴2tx 2建立极坐标系，直线l 的参数方程为.t 2y 2 t2 2（1）若l 的参数方程中的t1 1(0, 2) l （2）若点 P，和曲线C 交于两点，求.7、（德阳市 2018 届高三二诊考试）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：（t 为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：x.0,0l与直线和曲线C 的交点分别为点M 和点 N （异于点O ）， 2 O N 求的最大值.O M8、（广元市 2018 届高三第一次高考适应性统考）在平面直角坐标系x Oy4cos a 2(a 为参数），以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方y程为 ( ) .R 6C（2）设直线与曲线相交于 , 两点，求的值.ABC A B 轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 3 c os s inC3 0 ，的极坐标方程为．4s in( ) 6（I ）求直线 l 和的普通方程；C （II ）直线 l 与有两个公共点 A 、B ，定点 P (2, 3) ，求|||| 的值．C 10、（绵阳市 2018 届高三第一次诊断）在直角坐标系中，曲线C 的参数方程是yx（1）求曲线C 的极坐标方程；C, AOB与曲线分别交于异于原点的 A B 两点，求的面积.（2）设l，，若631211、（南充市 2018 届高三第二次高考适应性考试）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1:1 ，以坐标原点O 为极点，以轴正半轴y1x22 2(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和曲线C 的极坐标方程；12C C,与曲线，分别交于 A B 两点，求61 212、（仁寿县 2018 届高三上学期零诊）在平面直角坐标系xoy 中，圆 C 的参数方程为l3）=7． 43 t 2 (t 为参数)，以坐标原 1224 c os(3（1）求圆C 的直角坐标方程； 2（2）若 P(x, y )是直线l 与圆面 4cos( )的公共点，求 3x y的取值范围.32 0（ PQ （1）求点的轨迹C 的直角坐标方程；3 （2）若C 上点 M 处的切线斜率的取值范围是，求点 M 横坐标的取值范围. 315、（雅安市 2018 届高三下学期三诊）在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为(2,0) ，半径为CXCl（2）点的极坐标为 1,，直线与圆相交于，，求 PAC 的值.P l A B 235 cos16、（宜宾市 2018 届高三第一次诊断）在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为xOy 5 s iny(其中参数 ).xCx 1 t c os （2）直线l 的参数方程为(其中参数 , 是常数)，直线l 与曲线交于t RC y点，且，求直线l 的斜率．AB2 3 l2t ， x 2 y 4 t的极坐标方程为 4cos ．（1）写出直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）过点 M (1，0) 且与直线平行的直线交于 A ， B 两点，求| AB | .l l C 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴x si n 2 cos ( 0) ，过点的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为 a a2x 2 （为 t参数），直线与曲线相交于两点. 的直线的参数方程为2 y 42 (1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； 2 PA PB AB 求的值 (2)若 ,. a 1、解答：的参数方程为的普通方程为 22yl : x 0 与e O有两个交点，当| 0 0 2 |t an2 ，由直线l 与e O时，设直线l 的方程为 y x1 两个交点有，得，∴或，综上时，点P 坐标为 (0,0)ly 22A22为 y， 1 1 2 2③2 2k 2(1 k )x 2 2kx 1 0 2 2 ，∴，∴得121222y ④2xk 代入④得 x y 2y 0 .当点 P(0,0) 时满足方程 x y 2y 0 ，∴ AB 中点的 P2 2 2 2 y22 2 的轨迹方程是 x，即 xy2 22 2 2 222 2 22B (y 0 ，故点 P 的参数方程为，则22 2 2 2y s in2 2 0）.2、【解析】⑴将参数方程转化为一般方程l : y k x 2 112k① ②消可得： 4k x 2 y 2 即的轨迹方程为 4 ；P ⑵将参数方程转化为一般方程……③Cl3422x 2y2 c os解得 5y．5s in c os 10 0.4c oss in ，可得直线的直角坐标方程为y ， 2 3 c osx x 2 y 2 将曲线C 的参数方程C12 4（2）设Q(2 3cos ,2s in ) (0 ).(4 2, ) 化为直角坐标为(4, 4).4则 M.2s in( ) 103 cos s in 103.225s in ( ) 1，即当 3 6∴点 M 到直线的距离的最大值为6 25、.316C242 2 t ) (2 2 22 2121 21121 121 2，4. s in c os2由得：2，所以 x 2 y 2 y ，所以曲线C 的直角坐标方程为： x .224 2s in， s in c oss in s in cos 2O N所以，4 4 23由于0 ，所以当时，取得最大值：.2844cos a 2得曲线的普通方程：C所以曲线的极坐标方程为： 4 c os 12 C 2（2）设 , 两点的极坐标方程分别为( , ),( , ) ,661224 c os 12 0 的两根2是 C2∴ 2 3, 12121 29、解：（I ）直线 l 的普通方程为： 3 3 0， ·································································· 1 分x y因为圆的极坐标方程为， C 63 1所以 2 4( s i n cos ) ， ··············································································· 3 分2 2所以圆的普通方程 22 3 0 ；·························································· 4 分 C x 2 y 2 x y （II ）直线 l ： 3 3 0的参数方程为： x y3 y 3 t2代入圆的普通方程 22 3 0 消去 x 、y 整理得： x 2 y 2 x y 2 9 17 0 ， ··········································································································· 6 分t t | | | ，| | | |，··························································································· 7 分PB tPA t 1 2|| PA | | PB |||| t | | t ||| t t | (t t ) ······························································· 8 分2 12122 12219 417 13 .··································································································· 10 分2 10、解：（Ⅰ）将 C 的参数方程化为普通方程为(x -3) +(y -4) =25，2 2 22．（Ⅱ）把代入 6 c os 8s in ，得，6 1∴ ． ……………………………………………………………6 分A66 c os 8s in32∴ ． ……………………………………………………………8 分B31s in AOB2 1 21225 3． 4211、解：（Ⅰ）由2.3yx 2所以曲线的普通方程为C 2.13 c os1 s i n 1，得到，化简得到曲线把 x，代入22的极坐标方程为2 cos.C 2（Ⅱ）依题意可设 A,曲线C 的极坐标方程为 2.2 261211代入C 的极坐标方程得 2 2，解得 .621.622.12）=7．根据 ρcosθ=x ，ρsinθ=y 可得：﹣y+x=7．即直线 l 的直角坐标方程为 x．---------------------------5 分（θ 为参数），其圆心为（﹣1，2），半径r=4．----6 分5 2．---------------------8 分2∴ AB 的最小值为圆心到直线的距离 d ﹣r ，即 AB min4 c os( )13、【解析】（1）∵圆C 的极坐标方程为323 14 c os ( cos )∴ ， 322又∵ 2222∴圆C 的普通方程为 x 22（2）设 z，y 2x 2 3y 0 (x 1) (y 3) 4 ，22 2 2 ∴圆C 的圆心是(1, 3)3 t2 3x y 得 z t ，代入 z 12，圆C 的半径是，2 3，即 x y 的取值范围是∴，∴.……10 分 2 0 14、解：（1）由，得22设，，1 1x 2 yx 2x 2, y 2y则 x ，122111 1得22，∴221,0 为圆心，1半径的半圆，如图所示，，设点处切线的倾斜角为 lM设253 由l 斜率范围， …………7 分3 3 63 而，∴，∴ ，26 3 22M , 所以，点横坐标的取值范围是． …………10 分22，，化简得圆的极坐标方程：，:由l 得，y1l 的极坐标方程为.4(1,0)，（2）由 PP22 t x2直线的参数的标准方程可写成2y 1 t2 2 2t 2) (1 t) 2 ，2 2 2 2，，.3 5 cosx Q 16、解：（1）5 s iny 的普通方程 x 22x 1t c osQ1 直线l 的普通方程 y k xy3k 0 k k 122 t ，217、（1）由2y 4 t2 又由 4cos 得 4cos ，则的直角坐标方程为 0 ． ··············5 分2C x 2 y 22 t , x2 （2）过点 M ( 1，0) 且与直线平行的直线的参数方程为l l 2 y t .2 将其代入 4 0 得 2 23 0 ，则 t t，x 2 y 2 x tt 1 2 所以| AB ||t t | (t t ) 4t t14 ． ······················································10 分2 1212(1)由整理得= ,,(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程 = 得,.设两点对应的参数分别为,则有∵=,即=,解得或者(舍去),。

专题7-3 极坐标与参数方程综合-2018年高考数学备考之

2018届高考数学大题狂练第七篇坐标系与参数方程专题03 极坐标与参数方程综合1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1{ 12x tcos y tsin αα=+=+（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222124sin 3cos ρθθ=+.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的直角坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ， B ，求P A P B ⋅的取值范围. 【答案】(1) 22143x y +=;(2) 82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ∴283sin PA PB α⋅=+，结合正弦函数的有界性，即可得到PA PB ⋅的取值范围. 试题解析：（Ⅰ） 222222224sin 3cos 124312143x y y x ρθρθ+=⇒+=⇒+=; （Ⅱ）因为点P 在椭圆C 的内部，故l 与C 恒有两个交点，即R α∈，将直线l 的参数方程与椭圆C 的直角坐标方程联立，得()22131cos 4sin 122t t αα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，整理得()()223sin 4sin +6cos 80t t ααα++-=，则2882,3sin 3PA PB α⎡⎤⋅=∈⎢⎥+⎣⎦.2．在平面直角坐标系中，直线l0y --=以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()22cos =1cos θρθ-(1)写出直线l 的一个参数方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)已知直线l 与曲线C 交于A B ，两点，试求AB 中点N 的坐标. 【答案】（1）2{x t y =+=， 22y x =；（2）73⎛ ⎝⎭.(2)将2,{.x t y =+=代入22y x =得23240t t --=.设,A B 对应的参数为12122,,3t t t t ∴+=.由此可求AB 中点N 的坐标. 试题解析：(1)直线的方程0y --=,)2x y -=.∴令2,x t y =+=.∴y 0--=的一个参数方程为2,{( .x t t y =+-=参数)由题意可得2212cos cos ρθρθ-=,即22sin 2cos ρθρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为22y x =.(2)将2,{.x t y =+=代入22y x =得23240t t --=.设,A B 对应的参数为12122,,3t t t t ∴+=. 设点()()()112200A ,,,,,x y B x y N x y ,则)121212120072,22322t t x x t t y y x y ++++==+====. 故AB 中点N的坐标为73⎛ ⎝⎭.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与曲线交于两点，求. 【答案】（1），；（2）曲线的方程可化为：，显然，所以化为直角坐标方程为，化简得. （2）由（1），将两曲线方程联立，得，消去y ，得，整理得.设、，则由根与系数的关系可得，.所以. 4．椭圆C 的参数方程为2{x cos y sin ϕϕ==（ϕ为参数），以直角坐标系的原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线l 的方程为102cos sin ρθθ=+.（1）求出直角坐标系中l 的方程和椭圆C 的普通方程；（2）椭圆C 上有一个动点M ，求M 到l 的最小距离及此时M 的坐标.【答案】(1)见解析;(2) 5M ⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）根据cos x sin y ρθρθ==，，把直线的极坐标方程转化为直角坐标方程；根据平方关系，把椭圆的参数方程转化为普通方程；（2）利用点到直线公式得10d θβ+=利用正弦型函数的有界性求最值即可. 试题解析：（1）:2100,x y +-= 22:14x C y +=. （2）设()2cos ,sin ,M M θθ到的距离为105d θβ+==≥， ∴当()sin 1θβ+=时，M 到的距离最小，最小值为此时sin cos sin θβθβ====, M ⎝⎭. 5．在直角坐标系xOy中，直线1:{ 12x l y t=+=+（t 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:4sin 02C πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 被直线l 截得的弦长；（2）与直线l 垂直的直线MN 与曲线C 相切于点M ，求点M 的直线坐标.【答案】(1)2；(2)).试题解析：（1）将直线1:{ 12x l y t=+=+（t 为参数）化为直角坐标方程为3y x =，经过坐标原点，所以其极坐标方程为(),6R πθρ=∈，将(),6R πθρ=∈代入4sin 02πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭解得2ρ=，即曲线C 被直线l 截得的弦长为2.（2）如图所示，因为直线ON 的倾斜角为6π，所以3C O B π∠=，又因为//CM ON ，所以2,36OCM COM ππ∠=∠=，所以得直线OM 的倾斜角为3π，所以其极坐标方程为(),3R πθρ=∈，将(),3R πθρ=∈代入4sin 02πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭计算得OM =，设点M 的直角坐标为(),x y ，则cos ,sin 333x OM y OM ππ=====.6．在平面直角坐标系中，直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：.（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；（2）记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值.【答案】（1）. .（2）.所以其极坐标方程为：.由得：，所以，所以曲线的直角坐标方程为：. （2）由题意，，所以，由于，所以当时，取得最大值：.。

极坐标参数方程大题及答案高中

极坐标参数方程大题及答案高中问题一已知极坐标方程$r = 2\\sin(\\theta)$，求图形的方程。

解答：为了求得图形的方程，我们需要将极坐标方程转化为直角坐标方程。

通过换元法，我们可以将极坐标方程转化为两个直角坐标方程，如下所示：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$我们将极坐标方程$r = 2\\sin(\\theta)$代入上述直角坐标方程中，得到：$$x = 2\\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\sin^2(\\theta)$$从以上方程可以看出，这是一个平面上的曲线，但我们还需要进一步确定它的形状。

为了做到这一点，我们可以进行图形绘制。

问题二绘制$r = 2\\sin(\\theta)$的图形。

解答：通过绘制$r = 2\\sin(\\theta)$的图形，我们可以更好地理解它的形状。

下面是该图形的绘制结果：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plttheta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)r = 2 * np.sin(theta)x = r * np.cos(theta)y = r * np.sin(theta)plt.figure(figsize=(6, 6))plt.plot(x, y, color='blue')plt.title('Graph of r = 2 * sin(theta)')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.grid(True)plt.show()通过运行上述代码，我们可以得到$r = 2\\sin(\\theta)$的图形。

从图中可以看出，该曲线是一个以原点为中心的对称图形，形状类似于玫瑰花。

高中数学极坐标与参数方程典型例题及答案

高中数学极坐标与参数方程典型例题及答案1. 极坐标与参数方程的基本概念在高中数学中，我们学习到了直角坐标系下的函数图像、方程和曲线的性质。

然而，在极少数情况下，采用直角坐标系来描述函数图像可能并不是最方便的方式。

因此，我们引入了极坐标系和参数方程的概念。

极坐标系是一种将平面上的点用它们到某一点距离和与某一方向线段之间的夹角来表示的坐标系。

在极坐标系中，每一个点都表示为一个有序对(r，θ)，其中r代表距离，θ代表夹角。

参数方程是一种使用一个参数来表示函数图像上的点坐标的方式。

我们用参数t来表示一个点的坐标，并通过参数方程给出x和y的关系式。

通过引入极坐标系和参数方程，我们可以更加直观地描述某些特殊的函数图像，同时也方便求解与这些函数有关的问题。

2. 极坐标题型与答案例题1求曲线r = 4sinθ + 2cosθ的极坐标方程并画出图像。

解答：首先，我们将给出的极坐标方程转化为直角坐标系的方程。

根据极坐标到直角坐标的转化公式，我们有：x = r * cosθ y = r * sinθ代入r = 4sinθ + 2cosθ，可得：x = (4sinθ + 2cosθ) * cosθ y = (4sinθ + 2cosθ) * sinθ化简后得到直角坐标系下的方程：x = 4sinθ * cosθ + 2cos^2θ y = 4sin^2θ +2sinθ * cosθ将θ的取值范围设为0°至360°，作出图像如下：x = 4sinθ * cosθ + 2cos^2θy = 4sin^2θ + 2sinθ * cosθ例题2已知曲线y = sin(t)，x = cos(t)，请写出x和y的普通方程，并求曲线上的一点P的坐标，使得t = π/6。

解答：已知x = cos(t)和y = sin(t)，我们可以得到普通方程： x^2 + y^2 = cos^2(t) +sin^2(t) = 1此外，当t = π/6时，我们有：x = cos(π/6) = √3/2 y = sin(π/6) = 1/2因此，当t = π/6时，曲线上的点P的坐标为(√3/2, 1/2)。

2018--2020年高考数学试题分类汇编极坐标参数方程及答案解析

2018-2020年高考数学试题分类汇编极坐标参数方程1、（2018年高考数学全国卷I文理科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．2、（2018年高考数学全国卷II文理科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．3、（2018年高考数学全国卷III文理科22）（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．4、（2018年高考数学天津卷理科12）（5分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；直线化为普通方程是x+y﹣2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．5、（2018年高考数学北京卷理科10）（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=1+．解：圆ρ=2cosθ，转化成：ρ2=2ρcosθ，进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，把直线ρ（cosθ+sinθ）=a 的方程转化成直角坐标方程为：x +y ﹣a=0．由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径．则：=1，解得：a=1±．a ＞0则负值舍去．故：a=1+．6、（2018年高考数学江苏卷理科23）在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin （﹣θ）=2，曲线C 的方程为ρ=4cosθ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：∵曲线C 的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x 2+y 2=4x ， ∴曲线C 是圆心为C （2，0），半径为r=2得圆． ∵直线l 的方程为ρsin （﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l 的普通方程为：x ﹣y=4．圆心C 到直线l 的距离为d=，∴直线l 被曲线C 截得的弦长为2．7、（2019年全国卷III 文理科）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD . （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =，求P 的极坐标.解：（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-.所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭.（2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=. 综上，P的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭.8、（2019年全国卷II 文理科）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 解：（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==. 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上. 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=.. 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π .9、（2019年全国卷I 文理科）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．解：（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.l的直角坐标方程为2110x +=.（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）.C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=.当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l.10、（2019年天津卷理科12）设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a的值为 . 答案：43 解析：本题主要考察极坐标与参数方程,直线和圆的位置关系圆参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin 21cos 22y x ，转化为圆标准方程为4)1()2(22=-+-y x ，圆心(2,1)，半径r=2.因为直线与圆相切,即圆心到直线的距离等于圆的半径,21|212|2=++-=a a r ，解得43=a 11、（2019年江苏卷21B ）[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. 解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B，2π），由余弦定理，得AB=（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=12、（2019年北京卷3）已知直线l 的参数方程为x =1+3t y =2+4tìíî （t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15 （B ）25 （C ）45 （D ）65答案：D解析：由题意知0234=+-y x ，所以56916|24|=++=d 13、（2020•全国1卷）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．答案：（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11(,)44.解析：（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；（2）当4k =时，0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin tt t==为参数），两式相加消去参数t ，得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线2C 化为直角坐标方程，联立12,C C 方程，即可求解.解：（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x tt y t =⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x tt y t ⎧=⎨=⎩为参数），所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin tt t==为参数），两式相加得曲线1C1=，1=1,01,01y x x y =-≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=12=136=（舍去），11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44.14、（2020•全国2卷）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）. （1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.答案：（1）1:4C x y +=；222:4C x y -=；（2）17cos 5ρθ=. 解析：（1）分别消去参数θ和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.解：（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=；由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=.（2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =， ∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=. 15、（2020•全国3卷）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．答案：（1）2）3cos sin 120ρθρθ-+=解析：（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值；（2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.解：（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A . 令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=. 16、（2020•江苏卷）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．答案：（1）1242ρρ==，（2）)4π解析：(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 解：（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43πρρ=∴=，因为点B为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y x =，又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y+-=，由2240y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00xy ==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=.（2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=，当4πθ=时ρ=当54πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π。

2018年高考数学专题14.1极坐标与参数方程试题理

极坐标与参数方程【三年高考】1. 【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=.当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =当4a ≥-时，d=所以8a =；当4a <-时，d=16a =-.综上，8a =或16a =-.2. 【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。

【解析】（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()11，＞0ρθρ，由题设知cos 14=，=ρρθOP OM =。

由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程()cos =4＞0ρθρ。

因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠。

3．【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+ . 设(),p x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠.所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.（2）C 的极坐标方程为()()222cossin 402,ρθθθπθπ-=<<≠ .联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.故1tan 3θ=-，从而2291cos ,sin 1010θθ== .代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M4．【2016高考新课标1卷】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【解析】⑴ cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①， ∴1C 为以()01，为圆心,a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-=，∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-=即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+= ，，224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②， 3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=,即为3C ，∴210a -=,∴1a = 5. 【2016高考新课标2】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【解析】（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =23cos,tan 83αα==±，所以l的斜率为3或3-. 6. 【2016高考新课标3】在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+= （I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.7.【2015高考新课标2】在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．8.【2015高考福建】在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l sin()m,(m R).4pq -=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【解析】(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,由sin()m 4pq -=，得sin cos m 0r q r q --=,所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=.(Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2|12m |2，--+=解得m=-3±9.【2015高考新课标1】在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积.【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ|MN|=1ρ－2ρ因为2C 的半径为1，则2CM N 的面积o 11sin 452⨯=12. 【2017考试大纲】 1.坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2.参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对参数方程和极坐标的考查，主要考查直线和圆的参数方程，椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，结合解析几何中有关曲线的图形及性质、三角函数、平面向量等在求点的坐标、参数的值或范围、曲线的方程、有关线段的长度或最值等方面命制题目，考查学生的转化能力，分析问题、解决问题的能力，以及数形结合思想、方程思想等思想方法的应用．该知识点为高考选考内容之一，试题以解答题形式为主，难度一般中档偏下.【2018年高考复习建议与高考命题预测】《坐标系与参数方程》包括坐标系和参数方程两部分内容．坐标系应着重理解用极坐标系和平面直角坐标系解决问题的思想，以及两种坐标的关系与互化；极坐标系只要求能够表示给出简单图形的极坐标方程；参数方程只要求能够选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程，能进行普通方程与参数方程的互化，并会选择适当的参数，用参数方程表示某些曲线，解决相关问题．参数方程与普通方程的互化是高考对本部分知识考查的一个重点．预测2018年高考仍然考查参数方程与普通方程，极坐标方程与普通方程互化，重点是直线和圆的参数方程，极坐标方程，考查学生的转化与化归能力．题型主要为解答题形式，侧重考查参数方程和普通方程的互化，极坐标系与普通坐标系的互化.复习建议：复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主；紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.【2018年高考考点定位】高考对坐标系的考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题；考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定.【考点1】极坐标【备考知识梳理】1．极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．(2)极坐标：设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；∠叫做点M的极角，记为θ.有序数对(),ρθ称以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOMMρθ．为点M的极坐标，记作(),ρ≥，θ可取任意实数．一般地，不做特殊说明时，我们认为02．极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如ρ≥），于图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(),x y和(),ρθ（0是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：若圆心为00,M ，半径为r 的圆方程为()2220002cos 0r ρρρθθρ--+-=.4.注意：（1）在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．（2）在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．极坐标(),ρθ ，()(),2k k Z ρθπ+∈，()(),2k k Z ρπθπ-++∈表示同一点的坐标．【规律方法技巧】1. 确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．极坐标与直角坐标的互化(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正向重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，进行整体代换． (3)直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤①运用()222tan 0x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩②在[)0,2π内由()tan 0yx xθ=≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． (4)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．3.求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设(),P ρθ是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．4.注意： (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．5.曲线的极坐标方程的应用：解决极坐标方程问题一般有两种思路．一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【考点针对训练】1.【湖北武汉市2017届高三第三次模拟】圆锥曲线C 的极坐标方程为： ()221sin 2ρθ+=.（1）以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，并求曲线C 在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；（2）直线l 的极坐标方程为若曲线C 上的点M 到直线l 的距离最大，求点M 的坐标（直角坐标和极坐标均可）.【解析】（Ⅰ）曲线C 直角坐标方程：()()121,0,1,0F F - 焦点极坐标： ()()121,,1,0F F π （Ⅱ）直线l 直角坐标方程：即直线m 与曲线C 相切时，切点M 到直线l 的距离最大，()22485610t t =--= ，解得：2.【武汉市汉阳一中2017届高三第五次模拟】在直角坐标系中，圆：＝1经过伸缩变换后得到曲线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线L 的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程及直线L 的直角坐标方程；（2）设点M 是上一动点，求点到直线L 的距离的最小值．【解析】（1）由＝经过伸缩变换，可得曲线的方程为：，即将极坐标方程两边同乘可的直线的直角坐标方程．【考点2】参数方程【备考知识梳理】 1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标,x y 都是某个变量的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M(),x y 都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数,x y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点()000,P x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段0P P的数量． (2)圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的参数方程为sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩ (ϕ为参数)．抛物线px y 22=的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数)．3.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系，例如()x f t =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t =，那么，()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩就是曲线的参数方程．【规律方法技巧】1.在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意,x y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．2.直线的参数方程及应用根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； (2)定点0M 是弦12M M 的中点⇒120t t +=； (3)设弦12M M 中点为M ，则点M 对应的参数值122M t t t +=(由此可求12M M 及中点坐标)．3.圆与圆锥曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．4.化参数方程为普通方程的方法: 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④恒等式(三角的或代数的)消元法．参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围，这一点最易忽视．5．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点()000,P x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)．若,A B为直线l 上两点，其对应的参数分别为12,t t ，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到： (1) 1202t t t +=；(2) 1202t tPM t +==；(3) 21AB t t =-；(4) 12PA PB t t ⋅=⋅. 【考点针对训练】1. 【四川省雅安市2017届高三第三次诊断】平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为3{(x cos y sin ααα==为参数)，在以原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；(2)设点()0,2P ，直线l 和曲线C 交于A ， B 两点，求【解析】 (1)由3{ x cos y sin αα==消去参数α，得，即曲线C的普通方程为得s i n c o s 2ρθρθ-=，(*) 将{ x cos y sin ρθρθ==代入(*)，化简得2y x =+，所以直线l 的倾斜角为(2)由(1)知，点()0,2P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为 (t 为参数)，(t 为参数)，设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则10t ∴<， 20t <，所以2.【宁夏石嘴山市2017届高三第三次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，的直线l 的参数方程为1{x tcos y tsin αα=+=（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,0P .若点M 的极坐标为，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求.【解析】（1）∵直线的参数方程为1{x tcos y tsin αα=+=（为参数），∴直线的普通方程为()tan ?1y x α=-．由2cos 4sin 0ρθθ-=，得22cos 4sin 0ρθρθ-=，即240x y -=，∴曲线的直角坐标方程为24x y =．（2）∵点的直角坐标为()0,1．∴tan 1α=-，直线的倾斜（为参数）．代入24x y =，得．设,A B 两点对应的参数为12,t t ．∵Q 为线段AB 的中点，∴点Q 对应的．又点()1,0P ，则【应试技巧点拨】 1.极坐标与直角坐标的互化(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正向重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，进行整体代换． 2.求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设(),P ρθ是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． 3.参数方程与普通方程的互化在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x ，y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线． 4.直线的参数方程及应用根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； (2)定点0M 是弦12M M 的中点⇒120t t +=； (3)设弦12M M 中点为M ，则点M 对应的参数值122M t t t += (由此可求12M M 及中点坐标)． 5.圆与圆锥曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．1.【江西省新余市2017届高三高考全真模拟】已知直线l 在直角坐标系xOy 中的参数方程为{ (x a tcos t y tsin θθ=+=为参数， θ为倾斜角)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为2cos 4cos 0ρρθθ--=.(1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)点(),0Q a ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求使为定值的a 值.2.【河北省武邑中学2017届高三第四次模拟】将圆2{(2x cos y sin θθθ==为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C. (1)求出C 的普通方程；(2)设直线l ： 220x y +-=与C 的交点为1P ， 2P ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设()11,x y 为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(),x y ，则有11{12x x y y == 1122{({(2x cos x cos y sin y sin θθθθθθ==∴== 为参数）为参数）∴ 2214x y += (2) 221{4220x y x y +=+-= 解得： 20{{01x x y y ====或所以()()122,0,0,1,p p 则线段12p p 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，所求直线的斜率2k =，于是所求直线方程为()121,4x-2y 302y x -=--=即.化为极坐标方程得： 4cos 2sin 30ρθρθ--=，即34cos 2sin ρθθ=-3. 【四川省成都市2017届高三6月1日高考热身】在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1{(x cos y sin ϕϕϕ=+=为参数)，以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求.【解析】(1)圆C 的普通方程是()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=.(2)设()11,P ρθ，则有()1121cos ,,Q ρθρθ=，则有，因为1tan 0θ>，所以4. 【四川省遂宁市2017届高三三诊考试】在直角坐标系xOy 中，以o 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线{2x t y t ==+的参数方程为{2x ty t ==+，（ t 为参数），曲线22420x x y y -+-=的普通方程为22420x x y y -+-=，点P 的极坐标为（1）求直线l 的普通方程和曲线22420x x y y -+-=的极坐标方程；（2）若将直线l 向右平移2个单位得到直线'l ，设'l 与22420x x y y -+-=相交于,A B 两点，求PAB 的面积．【解析】（1）根据题意，直线()R ρ∈的普通方程为2y x =+，曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+（2）'l 的普通方程为y x =，所以其极坐标方程为因为'OP l ⊥，所以点P 到直线'l 的距离为5. 【广西桂林等五市2017届高三5月联合】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(Ⅱ)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 【解析】（Ⅰ）因为直线l 的极坐标方程为曲线C 的参数方程为（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α，可得为曲线C 上任意一点，则点P 到直线l 的距离d 取最6. 【辽宁省沈阳市2017届高三第九次模拟】平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标，射线OM 的极坐标方程为()00θαρ=≥.(1)写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若射线OM 平分曲线2C ，且与曲线1C 交于点A ，曲线1C 上的点B 满足求7.【吉林省实验中学2017届高三第八次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线（α为参数），在以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A B 、两点，求点M 到A B 、两点的距离之积．【解析】（Ⅰ）曲线C 化为普通方程为：cos sin 2ρθρθ-=-，所以直线l 的直角坐标方程为 20x y -+=.（Ⅱ）直线1l 的参数方程为（t 为参数），，设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-，8.【福建省莆田2017届高三第二次模拟】以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为（ t 为参数， 0θπ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ραα-=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ， B 两点，当θ变化时，求. 【解析】（I ）由2sin 2cos 0ραα-=由，得22sin 2cos .ραρα=曲线 C 的直角坐标方程为22y x =（II ）将直线l 的参数方程代入22y x =，得22sin 2cos 10.t t θθ--=设,A B 两点对应的参数分别为12,t t 则2.9.【湖南省长沙市2017届高三5月模拟】在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为：（其中θ为参数）.（1）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程为： {x tcosa y tsina==（其中t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,A B 两点，，求直线l 的斜率. 【解析】（1得()2235x y +-=，即22640x y y +-+=所以曲线C 的极坐标方程为： 26sin 40p p θ-+= （2）直线l 的参数方程为： {x tcosa y tsina==（其中t 为参数）代入22640x y y +-+=，得26sin 40t t a -+=，设其方程的两根为1t ， 2t ，∴2121236sin 160{64a t t sina t t ∆=-≥+==∴直线l 的斜率为10.【江西省南昌市2017届高三第三次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程为1{(x cos y sin θθθ=+=为参数).(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线C 向左平移一个单位,再经过伸缩变换2{x xy y=''=得到曲线C '，设(),M x y 为曲线C '上任一点，求M 的直角坐标.【解析】（I ）由 1{x cos y sin θθ=+=（θ为参数）得曲线C 的普通方程为()2211x y -+=，得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（Ⅱ）()2211x y -+=，向左平移一个单位再经过伸缩变换2{x xy y=''=得到曲线C '的直角坐标，设()2cos ,sin M αα，则，的最小值为2-，此时点M 的坐标为11. 【2016年湖北八校高三四次联考】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅．【解析】（Ⅰ）因为直线过点(1,2)P ，倾斜角为6π，所以直线l 的参数方程为1cos ,62sin ,6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为6cos()6sin 2πρθθ=-=.（Ⅱ）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +-=，127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅=12.【2016年安徽安庆二模】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数,α为直线的倾斜角）．（I ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（II ）若直线l 与曲线C 有唯一的公共点,求角α的大小．【解析】（Ⅰ）当π2a =时,直线l 的普通方程为1x =-；当π2a ≠时,直线l 的普通方程为(tan )(1)y x a =+.由θρcos 2=,得θρρcos 22=,所以222x y x +=,即为曲线C 的直角坐标方程.（Ⅱ）把a t x cos 1+-=,sin y t a =代入222x y x +=,整理得24cos 30t t a -+=.由012cos 162=-=∆α,得23cos 4=a ,所以cos =a或cos =a -故直线l 倾斜角α。

专题7-3 极坐标与参数方程综合第02期-2018年高考数学

2018届高考数学大题狂练第七篇坐标系与参数方程专题03 极坐标与参数方程综合1．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线与曲线相交于，两点，求．【答案】（Ⅰ）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）.2．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求.【答案】（1），；（2）【解析】分析：解法一：（1）消去参数可得的普通方程为，则极坐标方程为．极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为．（2）设的极坐标分别为，则，联立极坐标方程可得，则，结合三角函数的性质计算可得．解法二：（1）同解法一（2）曲线表示圆心为且半径为1的圆．联立直线参数方程的标准形式与圆的方程可得，结合参数的几何意义知，则解法三：（1）同解法一（2）设的极坐标分别为，则由消去得，化为，即，因为，即，所以，或，即或所以．解法二：（1）同解法一（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆．将的参数方程化为标准形式(其中为参数)，代入的直角坐标方程为得，，整理得，，解得或．设对应的参数分别为，则．所以，又因为是圆上的点，所以解法三：（1）同解法一（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆．又由①得的普通方程为，则点到直线的距离为，所以，所以是等边三角形，所以，又因为是圆上的点，所以 .点睛：本题主要考查直线的参数方程，圆的参数方程，参数方程与普通方程、极坐标方程之间的转化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的方程为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线与曲线交点的一个极坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（Ⅰ）在的方程两边同乘以，然后利用公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（Ⅱ）直接把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程解得后可得交点坐标，再化为极坐标.试题解析：（Ⅰ），，即；（Ⅱ）将，代入得，，即，从而，交点坐标为，所以，交点的一个极坐标为 .4．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线，直线（为参数）与曲线相交于两点.（1）求曲线与直线的普通方程；（2）点，若成等比数列，求实数的值.【答案】(1)见解析;(2).（2）直线的参数方程为（为参数），代入，得到，.设点分别对应参数，恰为上述方程的根，则有，，则.又，，.因为，所以，得，或.因为时，所以.点睛：本题主要考查极坐标直角坐标和参数方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查这些基础知识的掌握能力和运算能力.5．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（I）写出直线的直角坐标方程以及曲线C的极坐标方程；（II）若，且直线与曲线C交于两点，求的值.【答案】（I）直线的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为；（II）. 【解析】（I）依题意，曲线C：，即，故曲线C的极坐标方程为；因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为.（Ⅱ）易知点在直线上，设直线的参数方程为（t为参数），代入C：中，整理得，由根与系数的关系得，故.6．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线：（）.（1）求和的极坐标方程；（2）设点是与的一个交点（异于原点），点是与的交点，求的最大值.【答案】（1），；（2）见解析.（2）设，则，，由射线与相交，则不妨设，则，所以当即时，取最大值，此时.点睛：(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生参数方程极坐标和三角基础知识的掌握能力及基本的运算推理能力.(2)求三角函数的值域时，要注意的范围，由射线与相交，则不妨设.如果不考虑的范围，解答就会出错.始终注意一个原则，函数的问题，定义域优先.。

2018年高考数学专项训练-极坐标和参数方程

2018年高考数学专项训练-极坐标和参数方程1.【2017·黑龙江伊春二中期末】在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．2.极坐标系中，已知圆ρ=10cos（1）求圆的直角坐标方程．（2）设P是圆上任一点，求点P到直线距离的最大值．3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．4.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2=，直线l 的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．5.【2017·普宁一中】已知曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ+ρcos θ=10，以极点为直角坐标系原点，极轴所在直线为x 轴建立直角坐标系，曲线C 1的参数方程为（α为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）若点M 在曲线C 1上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值及该点坐标．6.【2018·成都龙泉中学】在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A 、B ．（I ）若3πα=，求线段AB 的中点的直角坐标；（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．7.已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2﹣2ρcos （θ﹣）=2．（1）把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设两圆交点分别为A 、B ，求直线AB 的参数方程，并利用直线AB 的参数方程求两圆的公共弦长|AB|．8.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l的参数方程为（t 为参数），α为直线l 的倾斜角，l 与C 交于A ，B 两点，且|AB|=，求l 的斜率．9.【2017·江苏高考】在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,2,8ty t x （t 为参数）,曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==,22,22s y s x （s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.10.【2017·全国Ⅱ卷】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为4cos =θρ。