28.2.2应用举例 第1课时《仰角、俯角与解直角三角形》练习题课件
人教版九年级下册数学作业课件 第二十八章 锐角三角函数 第1课时 仰角、俯角与解直角三角形
＝
3
3）
＝(30
3
＋45)米，
3
∴DG＝EH＝AH－AE＝(30 3 ＋45)－15＝(30 3 ＋30)米，(30 3 ＋30)÷5＝(6 3
＋6)秒，∴经过(6 3 ＋6)秒时，无人机刚好离开了操控者的视线
2．如图，在高为 2 m，倾斜角为 30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 (C )
A．[2பைடு நூலகம்( 3 ＋1)] m B．4 m C．2( 3 ＋1) m D．2( 3 ＋3) m
3．(威海中考)小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的 河流宽度．他先在河岸设立 A，B 两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点 M.测得 AB＝50 米，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°.请你依据所测数据求出这段河流的 宽度．(结果精确到 0.1 米，参考数据：sin22°≈38 ，cos22°≈1156 ，tan22°≈25 ，sin67°≈1123 ， cos67°≈153 ，tan67°≈152 )
2
∴x ＝ 17 ≈0.82 ， ∴OD ＝ 0.82 m ， ∴DH ＝ OH － OD ＝ OA － OD ＝ 3.4 － 0.82 ＝
5
2.58≈2.6(m)，答：最大水深约为 2.6 m.
13．(广元中考)如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到 一定高度 D 点处时，无人机测得操控者 A 的俯角为 75°，测得小区楼房 BC 顶端点 C 处的俯角为 45°.已知操控者 A 和小区楼房 BC 之间的距离为 45 米，小区楼房 BC 的高 度为 15 3 米．
解：如图，过点 D 作 DG⊥AE 于点 G，得矩形 GBFD，∴DF＝GB，在 Rt△GDE 中，DE＝80 cm，∠GED＝48°，∴GE＝DE·cos 48°≈80×0.67＝53.6(cm)，∴GB＝ GE＋BE≈53.6＋110＝163.6≈164(cm).∴DF＝GB≈164(cm).答：活动杆端点 D 离地面 的高度 DF 约为 164 cm
人教版九年级数学下册作业课件 第二十八章 锐角三角函数 第2课时 仰角、俯角与解直角三角形
AF的高度约为9.0米
【素养提升】 11．(18分)(广州中考)某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的 高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD， 标杆CD的影子为CE，CD＝1.6 m，BC＝5CD. (1)求BC的长； (2)从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度． 条件①：CE＝1.0 m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°. 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 参考数据：sin 54.46°≈0.81，cos 54.46°≈0.58，tan 54.46°≈1.40.
A．8(3－ 3 ) m B．8(3＋ 3 ) m C．6(3－ 3 ) m D．6(3＋ 3 ) m
8．(5分)(广西中考)如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼 顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120 m，则乙楼的高 CD是__4_0__3____m．(结果保留根号)
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例
第2课时 仰角、俯角与解直角三角形
仰角与俯角问题 1．(5分)(玉林中考)如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( ) D A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC
2．(5分)(教材P78习题T3变式)如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道 (点A，B在同一水平面上).为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发， 垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为 _____t_a8_n0_0_α__米．
3．(5分)如图，甲，乙两座建筑物相距30 m，从甲顶部点A测得乙顶部点D的仰角为 37°，若甲建筑物AB的高为40 m，则乙建筑物CD的高约为____m6．3 (结果取整数， 参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
人教版九年级下册数学课件28.2.2应用举例第一课时仰角和俯角在解直角三角形中的应用
类似地可以求出CD，进而求出BC．
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约为2051km.
PQ的长为 F 探究点二：测量物体的高度问题
活动2: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为
学习目标
• 1．使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直 角三角形的知识解决实际问题． • 2．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
合作探究 达成目标
探究点一：构造直角三角形解题
活动1： 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标
飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表
O·
上 P、Q 两点间的距离，为计算P⌒Q 的长需先求出∠POQ（即 a）的度数.
如图，⊙O 表示地球，点 F 是组合体的位 FQ 是⊙O 的切线，切点 Q 是从组合体观测地球时的最远点. P⌒Q 的长就是地面上 P、Q 两点间的距离，为计算P⌒Q 的长需先求出∠POQ（即 a）的度数.
2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为
B
αD Aβ
12031203
B C B D C D 40 3 12 30
160327.（ 17m） .
C
答：这栋楼高约为277.1m
2．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 【反思小结】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构 造直角三角形，然后运用三角函数解决问题． 2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为 _____米.
《28.2_应用举例-仰角、俯角》习题课件2
10．(2019·鄂州)为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市 某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图．小明同学 为测量宣传牌的高度 AB，他站在距离教学楼底部 E 处 6 米 远的地面 C 处，测得宣传牌的底部 B 的仰角为 60°，同时测 得教学楼窗户 D 处的仰角为 30°(A，B，D，E 在同一直线上)， 然后，小明沿坡度 i＝1∶1.5 的斜坡从 C 走到 F 处，此时 DF 正好与地面 CE 平行．
A．34.14 米 B．34.1 米
C．35.7 米
D．35.74 米
5．(2019·重庆)如图，AB 是垂直于水平面的建筑物，为测量 AB 的高度，小红从建筑物底端 B 点出发，沿水平方向行走了 52 米到达点 C，然后沿斜坡 CD 前进，到达坡顶 D 点处，DC＝ BC，在点 D 处放置测角仪，测角仪支架 DE 高度为 0.8 米， 在 E 点处测得建筑物顶端 A 点的仰角∠AEF 为 27°(点 A，B， C，D，E 在同一平面内)，
(1)求点 F 到直线 CE 的距离(结果保留根号)；
解：如图，过点 F 作 FG⊥EC 于点 G. 依题意知 FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°， ∴四边形 DEGF 是矩形． ∴FG＝DE. 在 Rt△CDE 中，DE＝CE·tan∠DCE＝6×tan 30°＝2 3(米)． 答：点 F 到直线 CE 的距离为 2 3米．
4．(中考·烟台)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房 CD
的高度，在水平地面 A 处安置测倾器测得楼房 CD 顶部点 D
的仰角为 45°，向前走 20 米到达 A′处，测得点 D 的仰角为 67.5°，
已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，则楼房 CD 的高度约为
2024学年初中数学人教版九年级下册28.2.2 应用举例 第1课时 仰角、俯角问题 课件
学习目标 练一练
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
如图，⊙O的半径为4 cm，PA，PB是⊙O的两条切线，∠APB＝60°，
则AP＝ 4 3 cm.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
活动2：探究与仰角、俯角相关的测量与计算 小组讨论：如图，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°， AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°, 求山高．(结果保留根号)请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做?
问题探究： 1.求AC，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△ABC中， 只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解 2.运用 方程 思想，先把AC看成已知，用含AC的代数式表示BC和DC， 由BD＝1000m建立关于AC的方程，从而求得AC.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
问题解决：
解：在Rt△ABC中， AC = tan B = tan 30
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
解：如图，设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时 踏板位于B处，过点A，B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过 点B作BC⊥AD于点C.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
在Rt△ABC中，∵AB＝3 m，∠CAB＝53°， ∴AC＝AB·cos 53°≈1.8(m)． 易证四边形CDEB是矩形， ∴BE＝CD＝AD－AC≈1.7(m)， ∴秋千踏板与地面的最大距离约是1.7 m. 点悟：解决与圆有关的三角函数问题时，常通过作垂线构造直角三角形， 再利用垂径定理、勾股定理或三角函数来求解．
28.2 应用举例 仰角、俯角
由已知 l1∥l2,所以 CD∥AF, 所以四边形 ACDF 为矩形, CD=AF=AE+EF=20+10=30(米), 所以 C,D 两点间的距离为 30 米.
解直角三角形应用题的“四个步骤” (1)依据实际问题建立数学模型. (2)根据已知条件,选用适当的三角函数解直角三角形. (3)得到数学问题的答案. (4)得到实际问题的答案.
)C
(A)asin 40°米 (B)acos 40 °米
(C)atan 40°米
(D) a 米 tan 40
3.(2017山西)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距
离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高
度为
米1(5结.3果保留一位小数.参考数据:sin 54°≈0.809 0,
DCE
和
BCE ,求
CE .
和
CE ,求
BE
解:(2)由题意,得CE=AB=30 m, 在Rt△CBE中,BE=CE·tan 20°≈30×0.36=10.8(m), 在Rt△CDE中,DE=CE·tan 18°≈30×0.32=9.6(m), 所以教学楼的高为 BD=BE+DE=10.8+9.6≈20.4(m). 答:教学楼的高约为20.4 m.
因为 CD=34 米,所以 DE= CD =34÷ 3 ≈40(米),
cos 30
2
所以 DB=DE+BE≈40+40=80(米),故海洋馆 D 处到出口 B 处的距离为 80 米.
5.(2018达州)在数学实验活动课上,老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的 高度.用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°,再往雕塑方向前进4米至B处,测得 仰角为45°.问:该雕塑有多高?(测角仪高度忽略不计,结果不取近似值)
人教版八年级下册数学课件仰角和俯角问题pptx
因此旗杆高度约为7.7m.
28.2.2 仰角和俯角问题
2.如图，小明想测量塔 AB的高度. 他在 D 处仰望塔顶，测得仰角为30°
，再往塔的方向前进 50m 至 C 处.测得仰角为60°，小明的身高 1.5 m.那
么该塔有多高？（结果精确到 1m ），你能帮小明算出该塔有多高吗?
A
D′
D
C′
C
B′
B
分析：由图可知，塔高 AB
可以分为两部分，上部分
AB′ 可以在 Rt△AD′B′ 和
Rt△AC′B′ 中利用仰角的正
切值求出，B′B 与 D′D 相等.
28.2.2 仰角和俯角问题
解：连接 D′C′，并延长交 AB 于点 B′，
由题意可知，∠AD′B′ = 30°，∠AC′B′ = 60°，D′C′ = 50m.
∴ ∠D′AB′ = 60°，∠C′AB′ = 30°，D′C′ = 50m ，设 AB′ = x m.
∵tan∠D′AB′ =
，tan∠C′AB′ =
，
A
∴D′B′ = x ·tan 60°，C′B′ = x ·tan 30°，
∴x·tan 60° - x·tan 30° = 50，
C′
D′
∴x =
BE
在 Rt△BDE 中，tan∠BDE =
.
DE
∴ BE = DE ·tan39°= 610 × tan39° ≈ 494 ( 米 )
∵CD = AE=610 ( 米 ) ，
∴CD = AB - BE = 116 ( 米 ).
故大楼的高度 CD 约为116米.
39°
28.2.2 第1课时 仰角、俯角与解直角三角形
28.2.2 应用举例第1课时 仰角、俯角与解直角三角形活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行,如图28-2-28,当组合体运行到地球表面P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400 km, π取3.142,结果取整数)?图28-2-28学生的学习兴趣问题转化为数学问题过求解三角形的内涵(续表)活动二: 实践探究交流新知1.解决问题:师生活动:教师引导学生分析问题,将实际问题转化为数学问题,并画出示意图.分析问题:从组合体中能直接看到的地球表面的最远点,是视线与地球相切时的切点.如图28-2-28,本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的☉O的有关问题:其中点F是组合体的位置,FQ是☉O的切线,切点Q是从组合体中观测地球时能直接看到的最远点,的长就是地球表面上P,Q两点间的距离.为计算的长需先求出∠POQ(即α)的度数.图28-2-292.仰角、俯角的应用:是从现实生活中提取出来而又高于现实的富了学生的知识更有兴趣学习进一步经历用三角函数解决实际问题的过程高学生运用所学知识解决实际问题的能力活动三: 开放训练体现应用【应用举例】例1如图28-2-30,小明想测量河对岸的一幢高楼AB的高度,在河边C处测得楼顶A的仰角是60°,在距C处60米的E处有幢楼房,小明从该楼房距离地面20米的D处测得高楼顶端A的仰角是30°(点B,C,E在同一直线上,且AB,DE均与地面BE垂直),求楼AB的高度.图28-2-30分析:过点D作DF⊥AB于点F.设AB的高度为x米,则AF=(x-20)米.在Rt△ABC和Rt△ADF中分别求出BC和DF的长度,然后根据CE=BE-BC,代入数值求出x的值.角形的应用关键是根据仰角构造直角三角形实际问题的能力他应向前或后退多少?(sin80°≈0.98,cos80°≈0.18,≈1.41,结果精确到0.1 cm)图28-2-31(续表)活动四: 课堂总结反思【达标测评】1.如图28-2-32,在水平地面上,由点A测得旗杆BC的顶点C的仰角为60°,点A到旗杆底部的距离AB=12米,则旗杆的高度为(C)图28-2-32A.6 米B.6米C.12 米D.12米2.如图28-2-33,AB,CD两教学楼相距30米,某学生在教室窗台口B处测得CD楼楼顶C处的仰角为30°,楼底D处的俯角为45°,则教学楼CD的高度为(A)图28-2-33A.米B.-米C.45米D.5米通过设置达标测评步巩固所学新知测学习效果清3.某飞机的飞行高度为1500米,从飞机上测得地面控制中心的俯角为60°,此时飞机与地面控制中心的距离为1000米.4.如图28-2-34,某建筑物BC上有一旗杆AB,小明在与BC相距12 m的F处,观测到旗杆顶部A的仰角为60°,底部B的仰角为45°,小明的眼睛E与地面的距离EF为1.6 m.(1)求建筑物BC的高度;(2)求旗杆AB的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.41,≈1.73)图28-2-34【知识网络】提纲挈领(续表)【学习目标】1.知识技能(1)进一步掌握解直角三角形的方法;(2)比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.2.解决问题(1)通过学习懂得仰角、俯角的意义,学会把实际问题转化为数学模型,发展学生的抽象思维能力;(2)在研究有关仰角、俯角的问题的过程中,发展学生的合情推理能力,体会数形结合的思想.3.数学思考通过解决与仰角、俯角有关的实际问题,发展学生的应用意识.4.情感态度(1)在研究有关仰角、俯角的实际问题的过程中,渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养生活中应用数学的意识;(2)通过一系列探究活动,培养学生与他人合作、交流的意识和探究精神.【学习重难点】1.学习重点:(1)能够灵活应用边与边、角与角、边与角之间的关系解直角三角形;(2)能将某些与仰角、俯角有关的实际问题中的数量关系,归结为直角三角形元素之间的关系,从而利用所学知识解决实际问题.2.学习难点:(1)如何把实际问题转化为数学问题;(2)灵活应用解直角三角形及仰角、俯角等知识解决实际问题.课前延伸【知识梳理】1.解直角三角形是指:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程.2.解直角三角形的依据:(1)两锐角之间的关系:两锐角互余;(2)三边之间的关系:勾股定理;(3)边与角之间的关系:锐角三角函数.自主学习记录卡1.自学本课内容后,你有哪些疑难之处?2.你有哪些问题要提交小组讨论?课内探究一、课堂探究1(新知探究)1.如图28-2-35,测角仪是测量角的工具,当我们测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角;视线在水平线下方的角叫做俯角.图28-2-352.如图28-2-36,∠C=∠DEB=90°,FB∥AC,从点A看点D的仰角是∠2;从点B看点D的俯角是∠FBD;从点A看点B的仰角是∠BAC;从点D看点B的仰角是∠3;从点B看点A的俯角是∠1.图28-2-36二、课堂探究2(知识应用)例1如图28-2-37,热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120 m,这栋高楼有多高?图28-2-37例2如图28-2-38, 在上海的黄浦江东岸,矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”,某校学生在黄浦江西岸B处测得塔尖D的仰角为45°,后退340 m到点A测得塔尖D的仰角为30°.设塔底C与A,B在同一直线上,试求该塔的高度(结果保留根号).图28-2-38三、课堂反馈训练1.从1.5 m高的测量仪上测得某建筑物顶端的仰角为30°,测量仪距建筑物60 m,则该建筑物的高大约为( B )A.34.65 mB.36.14 mC.28.28 mD.29.78 m2.如图28-2-39,某海岛上的观察所A发现海上某船只B,并测得其俯角α=30°,此时水位为+2.14 m.已知观察所A的标高(当水位为0 m时的高度)为42.64 m,观察所A到船只B的水平距离BC= 70 m(精确到1 m).图28-2-393.一辆小汽车与墙平行停放,其车门打开后的平面示意图如图28-2-40,汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米,已知小汽车车门宽AO为1.2米,当车门打开角度∠AOB为40°时,车门是否会碰到墙?请说明理由.(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)图28-2-404.如图28-2-41,在山顶上D处有一铁塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底D 测得点A的俯角β=45°.已知塔高BD=30米,求山高CD(结果保留根号).图28-2-41课后提升1.如图28-2-42,为测量楼房AC的楼顶上的电视天线AE的高度,在地面上一点B处测得楼顶A 的仰角为30°,前进15米到点D,测得天线顶端E的仰角为60°.已知楼高AC为15米,求天线AE的高度.图28-2-422.[遵义中考]如图28-2-43,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳BC与地面保持垂直,吊臂AB 与水平线的夹角为64°,吊臂底部A距地面1.5 m.(计算结果精确到0.1 m,参考数据:sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05)(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5 m时,吊臂AB的长为m.(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少?(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)图28-2-43教学目标(一)、知识与能力：使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．(二)、方法与过程：逐步培养分析问题、解决问题的能力．(三)情感、态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．教学重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学过程：（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a2+b2=c2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：tanA=（二）新授概念1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．2．例1如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米)解：在Rt △ABC 中sinB=AB===4221(米)答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．（ 引导学生先把实际问题转化成数学模型然后分析提出的问题是数学模型中的什么量在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？）的邻边的对边A A ∠∠AB AC ∴B AC sin 2843.01200斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin（三）教学互动例2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出(即)解:在上图中，FQ是⊙O的切线，是直角三角形，弧PQ的长为由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2 009. 6 km.（四）延伸拓展例热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出B C.解:如图, ，,答:这栋楼高约为277.1m.（五）巩固练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．(六)总结与反思请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．（七）、布置作业1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。
26.4 解直角三角形的应用 - 第1课时仰角、俯角、方位角问题课件(共23张PPT)
例1 如图，小明在距旗杆4.5 m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆底部B，俯角（∠BOC）为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)
例题示范
知识点2 方向角方位角：由正南或正北方向线与目标方向线构成的锐角叫做方位角．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°.
拓展提升
1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
分析：如图，α=30°，β=60°.在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角、方位角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角、方向角的概念.2.运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
回顾复习
九年级数学锐角三角函数28.2应用举例28..2仰角、俯角与解直角三角形
[解析] B 如图，过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D.
在 Rt△ACD 中，AD＝CD·tan∠ACD＝CD·tan33°，
在 Rt△DCO 中，OD＝CD·tan∠DCO＝CD·tan21°.
∵AB＝110 米，∴AO＝55 米，∴AO＝AD－OD＝CD·tan33°－CD·tan21°
∵山顶 A 处高出水面 50 m，∴OE＝50 m，
∴OP′＝OP＝PE＋OE＝(x＋50)m.
∵∠P′AE＝60°，∴P′E＝tan60°·AE＝ 3x m，
∴OP′＝P′E－OE＝( 3x－50)m.∴x＋50＝ 3x－50，
解得 x＝50( 3＋1)，
∴OP＝PE＋OE＝50( 3＋1)＋50＝(50 3＋100)m.
C.s8i0n0α米
2021/12/10
D.t8a0n0α米
第三页，共二十五页。
图K－21－1
课时 第2
(kèshí)
仰角、俯角与解直角三角形
[解析] D 在 Rt△ABC 中，∵∠CAB＝90°，∠ABC＝α，AC＝800 米， AC
∴tanα＝AB， ∴AB＝taAnCα＝t8a0n0α米． 故选 D.
2021/12/10
第二十一页，共二十五页。
图K－21－10
第2课时(kèshí) 仰角、俯角与解直角三角形
解：如图，过点 D 作 DE⊥BC 于点 E. ∵∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝90°. 在 Rt△ABC 中，∵AB＝6 km，∴AC＝3 km，BC＝3 3 km. 在 Rt△ABD 中，∵AB＝6 km，∠BAD＝30°， ∴BD＝AB·tan30°＝2 3 km. ∵∠DBE＝∠ABD－∠ABC＝60°，∠DEB＝90°， ∴BE＝ 3 km，DE＝3 km，∴CE＝BC－BE＝2 3 km. 在 Rt△CDE 中，CD＝ CE2＋DE2＝ 21 km. 答：山头 C，D 之间的距离是 21 km.
九年级下册人教版数学习题课件. 应用举例 仰角、俯角与解直角三角形
解：(1)在 Rt△EFH 中，∵∠HFE＝45°，∴HE＝EF＝10 米，∴BH ＝BE＋HE＝1.5＋10＝11.5(米)，即古树的高为 11.5 米
(2)在 Rt△EDG 中，DG＝DE tan 60°＝ 3 DE，设 DE＝x 米，则 DG ＝ 3 x 米，在 Rt△GFD 中，∵∠GFD＝45°，∴DG＝DF＝EF＋DE，∴
PD tan ∠PBD
＝ta3n00β
＝300(
2
＋1)(米).∵∠AED＝∠EDC＝∠ACD＝90°，∴
四边形 EDCA 为矩形，∴DC＝EA，ED＝AC＝150 米，∴PE＝PD－ED＝300－
150＝150(米).在
Rt△PEA 中，EA＝tan
PE ∠PAE
＝ta1n50α
＝300(米)，∴BC＝BD
第 有2志课2的时人00战仰0天角斗、3地俯，米角无与志，解的直∵人角怨C三天D角恨形＝地。460 米，∴OC＝OD－CD＝2 000 3 －460 米，在 Rt
器让大自者 己声的必内闳心，藏志着高一者条意巨必龙远，。既是一种苦刑，也是一种乐趣。
第有二志十 者八自章有千方锐百角计三，角无函志数者只感千难万难。
3 x＝10＋x，解得 x＝5 3 ＋5，∴CG＝DG＋DC＝ 3 x＋1.5＝ 3 (5 3 ＋5)＋1.5＝16.5＋5 3 ≈25(米).答：教学楼 CG 的高约为 25 米
【素养提升】 11．(20 分)(实践探究)(荆门中考)数学实践活动小组借助载有测角仪的 无人机测量象山岚光阁与文明湖湖心亭之间的距离．如图，无人机所在位 置 P 与岚光阁阁顶 A、湖心亭 B 在同一铅垂面内，P 与 B 的垂直距离为 300 米，A 与 B 的垂直距离为 150 米，在 P 处测得 A，B 两点的俯角分别
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解：(1)过点 A 作 AM⊥EF 于点 M，过点 C 作 CN⊥EF 于点 N，设 CN＝x，在 Rt△ECN 中，∵∠ECN＝45°，∴EN＝CN＝x，∴EM＝x ＋0.7－1.7＝x－1，∵BD＝5，∴AM＝BF＝5＋x，在 Rt△AEM 中，∵ EM 3 3 ∠EAM＝30°，∴tan∠EAM＝AM＝ 3 ，∴x－1＝ 3 (x＋5)，解得 x＝ 4＋3 3，即 DF＝(4＋3 3)米 (2)由(1)得 EF＝x＋0.7＝4＋3 3＋0.7≈ 10(米)，则旗杆 EF 的高度约为 10 米
28．1 锐角三角函数
第1课时 仰角、俯角与解直角三角形
知识点❶：利用直角三角形解决一般的实际问题 1．(练习2变式)如图，沿AC方向修山路，为加快施工进度，要在小山 另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，BD＝500米，∠D ＝55°，使A，C，E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是( C ) A．500sin55° m B．500cos35° m C．500cos55° m D．500tan55° m
解：根据题意得 AB＝18，DE＝18，∠A＝30°，∠EBC＝60°， DE 3 在 Rt△ADE 中， AE＝ ＝18÷ 3 ＝18 3， ∴BE＝AE－AB＝18 3 tan30° －18， 在 Rt△BCE 中， CE＝BE· tan60°＝(18 3－18)· 3＝54－18 3， ∴CD＝CE－DE＝54－18 3－18≈5(米)，则信号塔 CD 的高度约为 5 米
2．如图，AC 是电杆 AB 的一根拉线，测得 BC＝6 米，tan∠ACB 4 10 米． ＝3，则拉线 AC 的长为____
3．如图，小颖利用有一个锐角是 30°的三角板测量一棵树的高度， 已知她与树之间的水平距离 BE 为 5 m，AB 为 1.5 m(即小颖的眼睛距地 5 3 3 ( 面的距离)，那么这棵树高是_________ 3 ＋2) m.
11．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小 亮站着测量，眼睛与地面的距离(AB)是 1.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离(CD)是 0.7 米，看旗杆顶部 E 的 仰角为 45°.两人相距 5 米且位于旗杆同侧(点 B，D，F 在同一直线上)． (1)求小敏到旗杆的距离 DF；(结果保留根号) (2)求旗杆 EF 的高度． (结果保留整数， 参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)
6．小明同学在距某电视塔塔底水平距离 500 米处，看塔顶的仰角 182 米．(结果保留整数，参 为 20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为______ 考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70° ≈2.7475) 7．(2016·上海)如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30°，测得底部 C 的俯角为 60°，此时航拍无人机与该建筑 208 米． 物的水平距离 AD 为 90 米， 那么该建筑物的高度 BC 约为______ (精 确到 1 米，参考数据： 3≈1.73)
19 个这样的停车 形的宽与路的边缘成 45°角， 则该路段最多可以划出____
位．( 2≈1.414，结果保留整数)
10．(练习 1 变式)如图，在一幢 18 米高的楼顶上有一信号塔 DC， 李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的 A 处测得信号塔下端 D 的 仰角为 30°，然后他沿正对塔的方向前进了 18 米到达地面的 B 处，又 测得信号塔顶端 C 的仰角为 60°，CD⊥AB 于点 E，E，B，A 在一条 直线上．请你帮李明同学计算出信号塔 CD 的高度． (结果保留整数， 3 ≈1.7， 2≈1.4)
4．(2016·淮安)小宇想测量位于池塘两端的 A，B 两点的距离．他 沿着与直线 AB 平行的道路 EF 行走，当行走到点 C 处，测得∠ACF＝ 45°，再向前行走 100 米到点 D 处，测得∠BDF＝60°.若直线 AB 与 EF 之间的距离为 60 米，求 A，B 两点的距离．
解： 作 AM⊥EF 于点 M， 作 BN⊥EF 于点 N， 由题意可得 AM＝BN ＝60 米，CD＝100 米，∠ACF＝45°，∠BDF＝60°，∴CM＝ AM tan45°
解：∵∠BEC＝60°，∠BDE＝30°，∴∠DBE＝60°－30°＝30 3 °， ∴BE＝DE＝20， 在 Rt△BEC 中， BC＝BE· sin60°＝20× 2 ＝10 3 ≈17.3(米)，∴AB＝BC－AC≈17.3－12＝5.3(米)，则旗杆 AB 的高度为 5.3 米
9．某市为解决停车难的问题，计划在一段长为 56 米的路段规划出 如图所示且矩
8．(2016·张家界)如图，某建筑物 AC 顶部有一旗杆 AB，且点 A， B， C 在同一条直线上， 小明在地面 D 处观测旗杆顶端 B 的仰角为 30°， 然后他向正对建筑物的方向前进了 20 m 到达地面的 E 处，又测得旗杆 顶端 B 的仰角为 60°，已知建筑物的高度 AC＝12 m，求旗杆 AB 的高 度．(结果精确到 0.1 米；参考数据： 3≈1.73， 2≈1.41)
60 BN 60 ＝ 1 ＝60，DN＝ ＝ ＝20 3，∴AB＝MN＝CD＋DN－CM＝ tan60° 3 100＋20 3－60＝(40＋20 3)米，即 A，B 两点的距离是(40＋20 3)米
知识点❷：利用仰角、俯角解决实际问题 5． (习题 3 变式)如图， 某飞机在空中 A 处探测到它的正下方地平面 上的目标 C，此时飞行高度 AC＝1200 m，从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角α＝30°，则飞机 A 与指挥台 B 的距离为( D ) A．1200 m B．1200 2 m C．1200 3 m D．2400 m