其他不等式的解法2

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不等式的解法

x
4
0
3x 5 x 4
x
x
x
5 3 4 1 2
x4,
4. x23x10 x4
解:
x2 3x10 0 x4 0
x 5或 x 2
x
4
x2 3x 10 (x 4)2
x
26 5
x
5,
26 5
不等式解法的两个极其重要的思想:
⒈转化:即将绝对值不等式即其他不等式向代数不等式或代数不等式组转化,再对其求解.
一.一次不等式和不等式组的解法二.二次不等式的解法三.高次不等式的解法四.分式不等式的解法五.绝对值不等式的解法六.无理不等式的解法
一元一次不等式和不等式组的解法
一元一次不等式即为形如ax>b的不等式。
当a>0 则x> b a
当a<0 则x< b a
当a=0 且b 0 则为
当a=0 且b<0 则为R
解:1.当a=0时,不等式为：-x>0,解集为:{x|x＜0}
2. 当a≠0时，不等式为：(ax-1)(x-a)>0，（1）当a>0时，不等式为:(x-1/a)(x-a)>0，
①a>1,a>1/a,解集为:{x|x＜1/a或x>a}， ② 0＜a＜1,a＜1/a,解集为:{x|x＜a或x>}， ③ a=1,a=1/a=1,解集为:{x|x∈R且x≠1}; （2）当a＜0时，(x-1/a)(x-a)＜0， ①-1＜a＜0,a>1/a,解集为:{x|1/a＜x＜a} ②a＜-1,a＜1/a,解集为:{x|a＜x＜1/a}， ③a=-1,a=1/a=-1,解集为:x∈Φ。
列表法: f(x)的根把实数集分成若干个区间,

不等式方程解法

不等式方程解法一、不等式的基本概念不等式是数学中一种重要的关系，它描述了两个数之间的大小关系。

不等式中包含了大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）等符号。

二、一元不等式的解法1. 基本思路：将不等式变形为“x≥(≤)a”的形式，然后根据a与x的大小关系确定解集。

2. 解法步骤：（1）移项：将所有含有未知量x的项移到一边，将常数项移到另一边。

（2）合并同类项：将同类项合并。

（3）除以正数或乘以负数：如果不等式两边都是正数或都是负数，则可以直接比较大小；如果不等式两边符号相反，则需要将其乘以一个负数使其符号相同。

（4）确定解集：根据a与x的大小关系确定解集。

三、二元不等式的解法1. 基本思路：将二元不等式化为一元不等式，然后根据一元不等式的解法求解。

2. 解法步骤：（1）移项：将所有含有未知量x和y的项移到左侧，将常数项移到右侧。

（2）合并同类项：将同类项合并。

（3）分离变量：将含有x的项和含有y的项分别放在两侧。

（4）确定符号：根据不等式符号确定x和y的大小关系。

（5）求解：将不等式化为一元不等式，然后根据一元不等式的解法求解。

四、绝对值不等式的解法1. 基本思路：将绝对值不等式拆成两个部分，一个是|x|>a，另一个是|x|<a，然后根据这两个部分确定解集。

2. 解法步骤：（1）拆分绝对值：将绝对值拆成正负两部分。

（2）移项合并同类项：将所有含有未知量x的项移到左侧，常数项移到右侧，并合并同类项。

（3）确定符号：根据不等式符号确定x的大小关系。

（4）求解：根据|x|>a和|x|<a两个部分确定解集。

五、方程与不等式的转化1. 将方程转化为不等式：（1）当方程中含有“=”时，可直接将“=”改为“≥”或“≤”即可；（2）当方程中含有“≠”时，可将其改写为两个不等式。

2. 将不等式转化为方程：（1）当不等式中含有“≥”或“≤”时，可将其改写为“=”；（2）当不等式中含有“>”或“<”时，可将其改写为两个不等式。

不等式的性质及解法

不等式的性质及解法不等式是数学中的一种重要的数值关系表示形式，与等式相比，不等式更能反映数值大小之间的差异。

在实际问题中，我们经常会遇到需要确定数值范围的情况，而不等式的性质和解法则帮助我们进行准确的数值分析和解决问题。

一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a<b，b<c，则有 a<c。

这一性质表明不等式的关系可以在数轴上进行传递，简化了分析比较的步骤。

2. 加减性：如果 a<b，则有 a±c<b±c。

对于不等式两边同时加减同一个数，不等式的关系保持不变。

3. 乘除性：如果 a<b 并且 c>0，则有 ac<bc；如果 a<b 并且 c<0，则有ac>bc。

这一性质需要注意，当乘以负数时，不等式的关系需要取反。

4. 对称性：如果a<b，则有b>a。

不等式两边的大小关系可以互换。

二、一元不等式的解法1. 加减法解法：通过加减法将不等式转化为更简单的形式。

例如：对于不等式 2x+3>7，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。

2. 乘除法解法：通过乘除法将不等式转化为更简单的形式。

同样以不等式 2x+3>7 为例，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。

3. 移项解法：利用不等式的基本性质，将所有项移到同一边，得到一个结果。

例如：对于不等式 3(x-2)>4x-7，我们可以先将右边的项移动到左边，得到 3x-6>4x-7，然后将 x 的系数移到一侧，得到 3x-4x>-7+6，化简得到 -x>-1，再乘以 -1，注意需要反转不等式的关系，得到x<1，即解集为 x<1。

4. 系数法解法：当不等式中存在系数时，我们可以通过判断系数的正负来确定解的范围。

例如：对于不等式 2x-3>0，我们观察到系数2>0，说明 x 的取值范围为正数，即解集为 x>3/2。

不等式求解方法归纳

一、不等式基本知识1、基本性质性质一：a b b a <⇔>（对称性）性质二：c a c b b a >⇒>>,,（传递性）性质三：c b c a b a +>+⇔>性质四：bc ac c b a bc ac c b a <⇔<>>⇔>>0,;0,2、运算性质d b c a d c b a +>+⇒>>,（加法法则）；bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（乘法法则）n n b a N n b a >⇒∈>>+,0（乘方法则）；n n b a N n b a >⇒∈>>+,0（开方法则） 3、常用不等式（1）ab b a b a ≥+≥+222)2(2 （2）||222ab b a ≥+ 取等号条件：一正、二定、三相等（3）2|1|≥+x x （4）若ma mb a b m b a ++<>>>,0,0 （5）n n n x x x n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅+++21321(0≥i x )二、不等式的证明方法常用的方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、反证法、类比法、放缩法、换元法、判别式法、导数法、几何法、构造函数、数轴穿针法等。

1、比较法例1、若,0,0>>b a 求证：b a ba ab +≥+22。

证明：abb a b a b a ab b ab a b a b a b a a b 22222))(()())(()(-+=+-+-+=+-+0≥，∴b a a b b a +≥+22。

2、分析法例2已知y x b a ,,,都是正实数，且.,11y x b a >>求证：yb y x a x +>+。

解： y x b a ,,,都是正实数，∴要证yb y x a x +>+，只要证)()(x a y y b x +>+，即证ay bx >，也就是ab ay ab bx >，即,b y a x >而由.,11y x b a >>，知by a x >成立，原式得证。

高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法

高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法类型一：形如)()(,)(R aa x f a x f 型不等式解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础.1、当0a 时，ax f a a x f )()(a x f ax f )()(或ax f )(2、当0aa x f )(，无解ax f )(使0)(x f 的解集3、当0a时，a x f )(，无解ax f )(使)(x f y成立的x 的解集.例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22xx的解集为（）A.)2,1(B.)1,1(C.)1,2(D.)2,2(解：因为22x x，所以222x x.即20222xxx x ，解得：21xR x ，所以)2,1(x，故选A.类型二：形如)0()(a b b x f a 型不等式解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：bx f a ab b x f a)()0()(或a x fb )(需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：bx f aabb x f a)()0()(例2 （2004年高考全国卷）不等式311x 的解集为（）A ．)2,0( B.)4,2()0,2(C ．)0,4( D.)2,0()2,4(解：311311x x 或11,3x 20x或24x，故选D类型三：形如)()(x g x f ，)()(x g x f 型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下解法：把)(x g 看成一个大于零的常数a 进行求解，即：)()()()()(x g x f x g x g x f ，)()()()(x g x f x g x f 或)()(x g x f 例3 （2007年广东高考卷）设函数312)(xx x f ，若5)(x f ，则x的取值范围是解：53125)(x x x f 2122212xx x x x 212212xx x x 1111xxx ，故填：1,1.类型四：形如)()(x g x f 型不等式。

不等式解法15种典型例题

不等式解法15种典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于 0)2()5)(4(32>-++x x x⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔2450)2)(4(05x x x x x x 或 ∴原不等式解集为 {}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ；（2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ① 0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ； ② ⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f （1）解：原不等式等价于0223223≤+--⇔+≤-x x x x x x 0)2)(2(650)2)(2()2()2(32≤+-++-⇔≤+---+⇔x x x x x x x x x⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(x x x x x x x x x x 用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

不等式组的解法2

3x 1 2 x 3 4 x 1 2x 1
答案：
(3) –2<x<0
• X>0
(4) 无解
(2) x<-2
观察：
x 2 x 0
-2
o o
0
X>0
o
同大取大
同小取小
x 2 x 0
-2
o
0
x<-2
o
x 2 x 0
2.5
o
.
4
所以，原不等式组的解集是2.5〈x 4
试
解不等式组
一
试
3x 1 2 x 3 1 x 1 2x 1 3x 1 2 x 3 2 x 1 2x 1
3x 1 2 x 3 3 x 1 2x 1
类似地，几个一元一次不等式合在一起就构成了一元一次不等式组
不等式组的解集
从数轴上看前面两个不等式组解集的情况
x 3 x 5
3 1
o o
x5 x3 3 2 x 3 6
5
o
· 3
（请观察解集在数轴上的反映：线段与射线）
你能得出什么结论呢？
结
论
几个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集
一元一次不等式组的解法
二○○五年一月二日
不等式组
x a, x b.(a b) x a, x b.(a b) x a, x b.(a b) x a, x b.(a b)
数轴表示
解集
引例：一个小朋友的年龄大于3且小
于5，即他的年龄x同时满足x>3与x<5,把x>3与 x3 x<5合在一起就是

专题(二) 方程、不等式的解法

(1)求 k 的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为 x1，x2，当 k＝1 时，求 x21＋x22的值．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(2k＋1)2－4k2>0. ∴k>－14.
(2)当 k＝1 时，原方程为 x2＋3x＋1＝0. ∵x1，x2 是该方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知 x1＋x2＝－3，x1x2＝1. ∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×1＝7.
3．解不等式：2x－1＞3x2－1，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得 4x－2＞3x－1. 解得 x＞1. 这个不等式的解集在数轴上表示如下：
4．解不等式组：25xx－≥－1>9－3（x，x＋1），并把它的解集在数轴上表示出来．解：解不等式 2x≥－9－x，得 x≥－3. 解不等式 5x－1＞3(x＋1)，得 x＞2. 则不等式组的解集为 x＞2. 将解集表示在数轴上如下：
8．已知关于 x 的方程(x－3)(x－2)－p2＝0. (1)求证：无论 p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根分别为 x1，x2，且满足 x21＋x22＝3x1x2，求实数 p 的值．解：(1)证明：∵(x－3)(x－2)－p2＝0，
∴x2－5x＋6－p2＝0. ∴Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝1＋4p2. ∵无论 p 取何值时，总有 4p2≥0， ∴1＋4p2＞0. ∴无论 p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
2x＋y＝4，① (3)x－y＝－1；② 解：①＋②，得 2x＋y＋x－y＝4－1.解得 x＝1. 把 x＝1 代入①，得 2＋y＝4.解得 y＝2. ∴原方程组的解是xy＝＝12，.

不等式的性质和解法

不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。

2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。

（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。

（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。

（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。

二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。

（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。

（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。

（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。

（5）化简：将不等式化简到最简形式。

2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。

（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。

3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。

（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。

4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。

（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。

三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。

2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。

3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。

二次不等式、分式不等式的解法

二次不等式、分式不等式的解法（二）示标——知识归纳1、不等式的结构()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧指数、对数不等式等超越不等式绝对值不等式无理不等式分式不等式高次一次、二次、整式不等式有理不等式代数不等式不等式 2、这些不等式解法的化归思路主要是：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫化去绝对值超越化为代数无理化为有理分式化为整式高次化为低次)5()4()3()2()1(最后化为⎩⎨⎧二次不等式一次不等式组施标——应用举例例1 解关于x 的不等式：（1）).(03222R a a ax x ∈>--（2）).0(0)1(22≠<++-a a x a ax解（1）.,30322122a x a x a ax x -===--有二根当0=a 时，021==x x ，解集为);,0()0,(+∞-∞当0<a 时，,21x x < 解集为);,()3,(+∞--∞a a当0>a 时，,21x x > 解集为).,3(),(+∞--∞a a（2）0)1(22=++-a x a ax 有二根 .1,21a x a x == 当0>a 时，原不等式化为,0)1)((<--ax a x 当1=a 时，解集为φ；当10<<a 时，解集为)1,(a a ；当1>a 时，解集为).,1(a a当0<a 时，原不等式化为,0)1)((>--ax a x 当1-=a 时，解集为);,1()1,(+∞---∞当1-<a 时，解集为);,1(),(+∞-∞aa 当01<<-a 时，解集为).,()1,(+∞-∞a a固标：1．解含字母系数的不等式，要分类讨论。

这里要注意：分类的标准是比较两根的大小，当然还要注意分类不重不漏。

本例是分类思想的范例。

2．本题之(2)是难题，其难点是对“0>a 与0<a ”的分类，它化归为两类不等式：)0(0)1)((><--a a x a x ， )0(0)1)((<>--a ax a x 。

2.不等式的解法

0<x+1<1, 0<(x2+x-6)2<(x+1)4
x+1>0, x2-3x+2<0; ① x+1<0,
x2-3x+2>0. ②
{x | 1<x<2,或x<－1}.
解法2:根序法-----从函数的角度看问题
令y= (x+1)(x2-3x+2)=(x-1)(x-2)(x+1) 函数的零点分别为1、2、-1, 结合图象,可得不等式的解为:x<-1,或1<x<2.
C.x | x 1 D.x | x 1或x o
4.下列不等式中与 lg(x 2) 0同解的是(.B..)
A.(x
3)(2
x)
0.....B .x
2
3
x
0
C .2 x
x
3
0.............D .(x
3)(2
x)
0
小结3
-------指数不等式与对数不等式的解法
1、af(x)>ag(x)
-1
1
2
故原不等式的解集为:{x |1<x<2,或x<－1}.
注意: (1)此解法的关键是正确地画出函数的图象;为
了方便画图首先将不等式化为标准形式;
(2)解法1适用于幂次较低的高次不等式.解法2适用于所有高次不等式.
练习2
解不等式(x+2)(x+1)3(x-1)2x<0.
解: 令y= (x+2) (x+1).解不等式:
1
x x
1 1
1.
答:X>o

不等式的解法

不等式的解法一、简单的一元高次不等式的解法： 1.一元二次不等式的一般解法：1）形如：（x －a ） · (x －b ）＞0 等价于⎩⎨⎧〉-〉-00b x a x 或⎩⎨⎧〈-〈-00b x a x 。

2）形如：（x －a ） · (x －b ）＜0 等价于⎩⎨⎧〈-〉-0b x a x 或 ⎩⎨⎧〉-〈-0b x a x 。

2.简单的一元高次不等式的穿针引线法：一元高次不等式f(x)＞0(或＜0)用穿针引线法（或数轴标根法、根轴法、区间法）求解。

用此法解一元高次不等式，先将不等式化为一端为零，一端为一次因式（或二次因式不可分解因式）之积，然后求出零点，并在数轴上依次标出，再用光滑曲线从右至左，自上而下依次通过这些零点。

则大于零（小于零）的不等式的解集对应着曲线在数轴上方（下方）部分的实数x 的取值集合。

【注意事项】分解因式后，各因式中x 的系数一定要化为正数；画线时，遇奇数次重根一次穿过，遇偶数次重根穿而不过；考查各重根是否在解集内，再决定其去留。

【典型例题】解不等式：1) x 2-2x-3＞0; 2) (x+2)·(x+1)2·(x-1)3·(x-2)≤0. 【解析】1）不等式x 2-2x-3＞0 可化为（x-3）（x+1）＞0 它等价于⎩⎨⎧〉+〉-0103x x 或 ⎩⎨⎧〈+〈-0103x x 即 x ＞3 或x ＜-1。

还可以用穿针引线法解答：令x 2-2x-3=0 ，即（x-3）（x+1）=0. 则零点分别为 -1,3.将零点依次标在数轴上，并画出光滑的曲线，如图所示： + + -1 3因为不等式大于零，所以取X 轴上方的阴影部分。

则不等式的解集为： x ＞3 或x ＜-1。

2）用穿针引线法解答：令 (x+2)·(x+1)2·(x-1)3·(x-2)=0 ，则零点分别为：-2，-1,1,2，将零点依次标在数轴上，并画出光滑的曲线，如图所示：X-2 -1 1 2故原不等式的解集为{x|x ≤-2或1≤x ≤2或x=-1} 。

不等式的解法及二次函数二次不等式二次方程

不等式的解法及二次函数二次不等式二次方程一．不等式的解知识小结1、一元二次不等式：只含有一个未知数。

并且未知数的最高次数是二次的不等式叫一元二次不等式。

要求学生举5个例子。

2、闭区间：集合}{b x a x ≤≤叫做闭区间，记为[a,b ]。

注意：隐含条件a <b 。

3、开区间：集合}{b x a x <<叫做开区间，记为（a,b ）。

注意：隐含条件a <b 。

4、半开半闭区间：集合}{b x a x <≤或}{b x a x ≤<叫做半开半闭区间，记为[a,b ]或（a,b ）。

注意：隐含条件a <b 。

5、区间的端点：在上述所有区间中，a,b 叫做端点。

6、实数集R 及b x b x a x a x ≤<>≥,,,用区间表示：),(),,[),,(+∞+∞+∞-∞a a ，),(],,(b b -∞-∞，∞+读作正无穷大，∞-读作负无穷大。

它们是一个理想的数，不是一个具体的数，∞+比你想的大还要大，∞-比你想的小还要小。

7、)0(02>>++a c bx ax 、或)0(02><++a c bx ax 的解法：例1 例1（一元二次不等式与一元二次方程的关系）求不等式2x 2-3x-2>0的解集。

解：因为不等式2x 2-3x-2>0相应的一元二次方程的根的判别式Δ>O ，方程2x 2-3x-2＝0的两个根是2,2121=-=x x 所以不等式的解集为),2()21,(+∞--∞ 。

小结：解不等式步骤：10检验二次项系数是否为正；20判断一元二次方程的判别式是否>0,<0,=0；30解出一元二次方程的根；40写出一元二次不等式的解集（用集合或区间表示）。

8、)0(02<>++a c bx ax 、或)0(02<<++a c bx ax 的解法：前面，我们只考虑一元二次不等式的二次项系数a>0的情况，当a<O 时，可在不等式的两边同乘以一l ，使二次项系数为正，就可同样求解．例2 求不等式-3x 2+x+1>0的解集．解将原不等式化为3x 2-x-1<0，因为方程3x 2-x-1＝0的两根是6131,613121+=-=x x , 所以原不等式的解集为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6131,6131例3 写出一个一元二次不等式，使它的解集（-1，3）。

不等式解法种典型例题

或或
或或 .∴原不等式解集是 .
解法二：原不等式化为 .画数轴，找因式根，分区间，定符号.
符号
∴原不等式解集是．
说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,否则会产生误解.解法二中，“定符号”是关键.当每个因式的系数为正值时,最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间;也可以先决定含０的区间符号,其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
解：(解法1)由题可判断出，是方程的两根,
∴ ，．又的解集是，说明 .
而 , ，∴ ．
∴ ,即 ,即 .
又，∴ ,∴ 的解集为 .
(解法2)由题意可判断出 , 是方程的两根,
∴ ．又的解集是 ,说明 .
而 , ．
对方程两边同除以得．
令 ,该方程即为，它的两根为 , ,
∴ ， .∴ , ，∴方程的两根为，．
典型例题八
例8解不等式．
分析:先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可．
解答：去掉绝对值号得 ,
∴原不等式等价于不等式组
∴原不等式的解集为．
说明：解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解.
典型例题九
例９解关于的不等式 .
∵ ，∴ ．∴不等式的解集是．
说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根；(２)结合使用韦达定理,本题中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系数， , 的关系也用，表示出来;（3)注意解法２中用“变换”的方法求方程的根.
解法一：原不等式，即

不等式的解法(二)

＞0
两相异实根 x1、2= b b 4ac
2
=0
2a
两相等实根 b x1=x2= 2a
＜0
无实根
ax2+bx+c＞0 （a＞0）
ax2+bx+c＜0 （a＞0）
{x｜x＜x1或x {x｜x∈R且＞x2 } x≠x1} {X｜X1＜X＜ X2}
R

注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
a
logb （x 3）
1
三、练习
ax 1、不等式＜1的解集{x｜x＜1或x＞2}， x 1
则a=
2 x2
2、M={x｜ 2
＜
2
3x
则 M N=
}，N={x｜log 1 （x-1）＞0}
2
3、若函数y=lg(ax2+ax+1)的值域为R，求a的取值范围
； /2016/jn/qlzy050910/zpgw.html 齐鲁制药
不等式的解法（二）
1、一元一次不等式的解法
ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0）或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式一元二次方程 ax2+bx+c=0的根二次函数 y=ax2+bx+c的图象（a＞0）
应用举例：
1、不等式ax2+bx+2＞0的解集为 ax2-bx+2＞0 2、若函数f(x)=mx2+(m-1)x+m-1的值恒为负，求m的范围 3、关于x的不等式mx2-(2m+1)x+m-1≥0的解集为

各类不等式的解法

各类不等式的解法一、不等式的基本性质不等式的基本性质有：(1)对称性或反身性：a>b ⇔b<a ；(2)传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ；(3)可加性：a>b ⇒a+c>b+c ，此法则又称为移项法则；(4)可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。

不等式运算性质：(1)同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ；(2)正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。

特例：(3)乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >；(4)开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n 1n 1b a >；(5)倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。

例1： 1)、5768--与的大小关系为 .2）、设1->n ,且,1≠n 则13+n 与n n +2的大小关系是 .3）已知,αβ满足11123αβαβ-+⎧⎨+⎩≤≤≤≤, 试求3αβ+的取值范围. 例2.比较()21+a 与12+-a a 的大小。

例3.解关于x 的不等式m x x m +>+)2(。

二、一元二次不等式的解法一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 或 )0.(02><++a c bx ax 的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。

1.解下列不等式：（1）02322≥--x x (2)01692>++x x (3)542<-x x (4)0122≤++x x2.解不等式组（1）22371002520x x x x ⎧--≤⎨-+>⎩ （2）2223054x x x x ⎧-->⎨->⎩3.若不等式02>++c bx ax 的解集为(-2,3),求不等式02<-+b ax cx 的解集.4.当k 为何值时，不等式08322<-+kx kx 对于一切实数x 都成立？三、分式不等式与高次不等式的解法1.分式不等式解法2.高次不等式解法：数轴标根法（奇穿偶切）典型例题例1解下列不等式（1）x －3x ＋7 ＜0 （2）3＋2x ＜0 （3）4x －3 ＞2－x 3－x－3 （4） 3x ＞1 例2 解下列不等式：（1）(x+1)(x-1)(x-2)>0 （2）（-x-1)(x-1)(x-2)<0(3) x(x-1)2(x+1)3(x+2)≤0 （4）（x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0（5）015223>--x x x （6）0)2()5)(4(32<-++x x x ．（7）22123+-≤-x x（8）12731422<+-+-x x x x 四、无理不等式的解法解无理不等式的基本方法就是将其转化为有理不等式组，在转化过程中一定要注意等价变换题型Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)()0)(()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型例1 解不等式⑴0231≤---x x ⑵125->-x x 题型Ⅱ：⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型例2 解不等式x x x 211322+>+- 题型Ⅲ：⎪⎩⎪⎨⎧>>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型例3解不等式x x x 211322+<+- 例4解不等式1112-+>+x x 例5解不等式36922>-+-x x x五、绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法关键就在于去掉绝对值,而去掉绝对值,则需要对绝对值中的零点进行讨论,一般来说一个零点分两个范围,两个零点分三个零点,依次类推.（1）含有一个绝对值：不等式)0(><a a x 的解集是{}a x a x <<-; 不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ; 不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或（2）含有多个绝对值：零点分段法例1 解不等式（1）5500≤-x . （2）752>+x （3）32≥-x（4）1≤ | 2x-1 | < 5. （5） |4x-3|>2x+1例2解不等式：（1）|x -3|-|x +1|<1. （2）|x |－|2x ＋1||＞1．例3 已知函数f (x )=|x -2|-|x -5|．（I ）证明：-3≤f (x )≤3；（II ）求不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集．六、指数不等式与对数不等式利用指数函数及对数函数的单调性转化为代数不等式例1.解不等式66522252.0-+---≥x x x x例2.解不等式154log <x . 例3.解不等式：)10(log 31log ≠<-<-a x x a a例4．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 12>++-+x x x x aa a 七、基本不等式（也叫均值不等式）1．基本不等式2.(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)(3)a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号且不为零) 上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值设x ，y 都是正数．(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P.(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14S 2. 练习1．已知两个正数a ，b 的等差中项为4，则a ，b 的等比中项的最大值为( )A ．2B ．4C ．8D ．162．若a ，b ∈R ，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b≥2ab ＋1b ≥2ab ＋a b≥2 3．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是( )A ．4B ．8C ．22D ．4 24.当x>1时，求函数f(x)＝x ＋1x －1的最小值________． 5．已知x ，y>0，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 6．某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________.7. 已知a 、b 、c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8. 八、不等式的证明（一）比较法：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论例1 求证：x 2 + 3 > 3x例2 a ,b ? R +，且a b ≥，求证：a b b a b a b a ab b a ≥≥+2)(（二）综合法 1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒L3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

分式不等式的解法

一不等式的解法1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值）利用绝对值的定义：（零点分段法）利用绝对值的几何意义：||x 表示x 到原点的距离||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为}|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为}|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.2 整式不等式的解法根轴法（零点分段法）1）化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)；2）分解因式；3）标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。

注意：能取的根打实心点，不能去的打空心）；4）穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。

注意：偶次重根不能穿过)；一元二次不等式解法步骤：1）化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)；2）首先考虑分解因式；不易分解则判断∆，当0∆≥时解方程（利用求根公式）3）画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心）3 分式不等式的解法1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0()f xg x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩； 4 指数、对数不等式的解法①当1a >时()()()()f x g x a a f x g x >⇔> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >⇔>> ②当01a <<时()()()()f x g x a a f x g x >⇔< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >⇔<<x =0x x ≥ 0x x -<二．练习1. 不等式222310372x x x x ++>-+的解集是2. 不等式3113x x+>--的解集是 3. 不等式2223712x x x x +-≥--的解集是 4. 不等式1111x x x x -+<+-的解集是 5. 不等式229152x x x --<+的解集是 6. 不等式22320712x x x x -+>-+的解集是 7. 不等式2121x x x +≤+的解集是 8. 不等式2112x x ->-+的解集是 9. 不等式23234x x -≤-的解集是 10. 不等式2212(1)(1)x x x -<+-的解集是 11. 不等式2206x x x x +<+-的解集是 12. 不等式2121x x x +<-的解集是 13. 不等式2321x x x x +>++的解集是 14. 不等式211(3)x >-的解集是 15. 不等式(23)(34)0(2)(21)x x x x -->--的解集是 16. 不等式2311x x +≥+的解集是 17. 不等式1230123x x x +->---的解集是 18. 不等式25214x x+≤--的解集是 19. 不等式221421x x x ≥--的解集是 20. 不等式221(1)(2)x x x -<+-的解集是答案1. 2. (-2，3)3. 4.5. 6.7. 8. (1，2)9. 10.11. 12.13. 14.15. 16. [-1，2]17. 18.19. 20.。

不等式公式大全

不等式公式大全不等式是数学中常见的一种关系式，它在数学中有着广泛的应用。

不等式的解法和性质有很多，下面我们来详细介绍不等式的各种公式及其应用。

一、基本不等式公式。

1. 一元一次不等式，ax + b > 0 (a ≠ 0)，ax + b < 0 (a ≠ 0)。

2. 一元二次不等式，ax^2 + bx + c > 0 (a ≠ 0)，ax^2 + bx + c < 0 (a ≠ 0)。

3. 绝对值不等式，|ax + b| > c，|ax + b| < c。

二、不等式的性质。

1. 不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式仍成立。

2. 不等式两边同时乘以（除以）一个正数，不等式方向不变；两边同时乘以（除以）一个负数，不等式方向改变。

3. 不等式两边同时取绝对值，不等式方向不变。

三、不等式的解法。

1. 图像法，将不等式对应的函数图像画出，通过图像来确定不等式的解集。

2. 区间法，将不等式化简成区间表示，通过区间的交集和并集来确定不等式的解集。

3. 讨论法，对不等式中的各项进行讨论，找出不等式的解集。

四、常见不等式。

1. 平均不等式，对任意n个正数a1、a2、…、an，有(a1+a2+…+an)/n ≥√(a1a2…an)，等号成立当且仅当a1=a2=…=an。

2. 柯西-施瓦茨不等式，对任意n维实内积空间中的向量a和b，有|a·b| ≤ ||a|| ||b||，等号成立当且仅当a与b成比例。

3. 阿贝尔不等式，对任意n个实数a1、a2、…、an和任意n个非负实数b1、b2、…、bn，有|a1b1 + a2b2 + … + anbn| ≤ (|a1|+|a2|+…+|an|)(b1+b2+…+bn)。

五、不等式的应用。

1. 在数学证明中，不等式常常用来推导出其他结论。

2. 在优化问题中，不等式常常用来确定最优解的范围。

3. 在概率统计中，不等式常常用来确定随机变量的性质。