北师大版高中数学必修一高一年级第一次月考

合集下载

高中数学第一章预备知识质量评估卷练测评(含解析)北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题

第一章单元质量评估卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A B D ．BA2．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |0＜x ≤1}，N ＝{x |x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1} D．{x |x ＜1}3．已知集合M ＝{1，a 2}，P ＝{－1，－a }，若M ∪P 有三个元素，则M ∩P ＝( ) A ．{0,1} B ．{0，－1} C ．{0} D ．{－1}4．命题“∀x ≥0，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．∃x ＜0，|x |＋x 2＜0 B ．∃x ≥0，|x |＋x 2≤0 C ．∃x ≥0，|x |＋x 2＜0 D ．∃x ＜0，|x |＋x 2≥0 5．已知a ＜0，－1＜b ＜0，则( ) A ．－a ＜ab ＜0 B ．－a ＞ab ＞0 C ．a ＞ab ＞ab 2D ．ab ＞a ＞ab 26．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－1,2] D ．(－1,1]7．“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ”的一个必要不充分条件是( ) A ．0＜a ＜1 B ．0＜a ＜13C ．0≤a ≤1 D．a ＜0或a ＞138．若正数a ，b 满足2a ＋1b ＝1，则2a＋b 的最小值为( )A ．4 2B ．8 2C ．8D ．9二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．有下列命题中，真命题有( ) A ．∃x ∈N *，使x 为29的约数 B ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0 C ．存在锐角α，sin α＝1.5D ．已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3m }，则对于任意的n ，m ∈N *，都有A ∩B ＝∅ 10．已知1a ＜1b＜0，下列结论中正确的是( )A ．a ＜bB ．a ＋b ＜abC ．|a |＞|b |D ．ab ＜b 211．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 坐标为(－1,0)，则下面结论中正确的是( )A ．2a ＋b ＝0B ．4a －2b ＋c ＜0C ．b 2－4ac ＞0 D ．当y ＜0时，x ＜－1或x ＞412．设P 是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．则关于数域的理解正确的是( )A ．有理数集Q 是一个数域B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为________．14．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是________．15．若1a ＋1b ＝12(a ＞0，b ＞0)，则4a ＋b ＋1的最小值为________．16．已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}； ②A ∩B ＝∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．(1)若集合A 中只有1个元素，则A ＝________；(2)若两个集合A 和B 按顺序组成的集合对(A ，B )叫作有序集合对，则有序集合对(A ，B )的个数是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知全集为实数集R ，集合A ＝{x |1≤x ≤7}，B ＝{x |－2m ＋1＜x ＜m }．(1)若m ＝5，求A ∪B ，(∁R A )∩B ； (2)若A ∩B ＝A ，求m 的取值X 围．18.(本小题满分12分)已知不等式(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集为{x |－3＜x ＜1}． (1)求a 的值；(2)若不等式ax 2＋mx ＋3≥0的解集为R ，某某数m 的取值X 围．19．(本小题满分12分)已知p ：x 2－3x －4≤0；q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分条件，求m 的取值X 围．20．(本小题满分12分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y (单位：万元)与处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝x 2－40x ＋1 600，x ∈[30,50]，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．(1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？21．(本小题满分12分)若集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}，B ＝{x ||x ＋2|＞3}，C ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－1＜0，m ∈R }．(1)若A ∩C ＝∅，某某数m 的取值X 围． (2)若(A ∩B )⊆C ，某某数m 的取值X 围．22．(本小题满分12分)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值．第二部分阶段测试第一章单元质量评估卷1．解析：由真子集的概念，知B A ，故选D. 答案：D2．解析：∵∁U N ＝{x |x ＞0}，∴M ∩(∁U N )＝{x |0＜x ≤1}．故选B. 答案：B3．解析：由题意知a 2＝－a ，解得a ＝0或a ＝－1.①当a ＝0时，M ＝{1,0}，P ＝{－1,0}，M ∪P ＝{－1,0,1}，满足条件，此时M ∩P ＝{0}；②当a ＝－1时，a 2＝1，与集合M 中元素的互异性矛盾，舍去，故选C.答案：C4．解析：“∀x ≥0，|x |＋x 2≥0”的否定是“∃x ≥0，|x |＋x 2＜0”．答案：C5．解析：∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，a ＜ab 2＜0，故A ，C ，D 都不正确，正确答案为B.答案：B6．解析：由x 2＋x －2≤0，得－2≤x ≤1，∴A ＝[－2,1]．由x ＋1x －2≥0，得x ≤－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1]∪(2，＋∞)．则∁R B ＝(－1,2]，∴A ∩(∁R B )＝(－1,1]．故选D.答案：D7．解析：因为关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，所以函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的图象始终落在x 轴的上方，即Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，因为要找其必要不充分条件，从而得到(0,1)是对应集合的真子集，故选C.答案：C8．解析：∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋1b ＝1，则2a＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2ab＋2ab ≥5＋4＝9，当且仅当2ab ＝2ab 即a ＝13，b ＝3时取等号，故选D.答案：D9．解析：A 中命题为真命题．当x ＝1时，x 为29的约数成立；B 中命题是真命题．x2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74＞0恒成立；C 中命题为假命题．根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角α，总有0＜sin α＜1；D 中命题为假命题．易知6∈A,6∈B ，故A ∩B ≠∅.答案：AB10．解析：因为1a ＜1b＜0，所以b ＜a ＜0，故A 错误；因为b ＜a ＜0，所以a ＋b ＜0，ab＞0，所以a ＋b ＜ab ，故B 正确；因为b ＜a ＜0，所以|a |＞|b |不成立，故C 错误；ab －b 2＝b (a －b )，因为b ＜a ＜0，所以a －b ＞0，即ab －b 2＝b (a －b )＜0，所以ab ＜b 2成立，故D 正确．故选BD.答案：BD11．解析：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的对称轴为x ＝1，∴－b2a ＝1，得2a＋b ＝0，故A 正确；当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ＜0，故B 正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则b 2－4ac ＞0，故C 正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1,0)，∴点A 的坐标为(3,0)，∴当y ＜0时，x ＜－1或x ＞3，故D 错误，故选ABC.答案：ABC12．解析：若a ，b ∈Q ，则a ＋b ∈Q ，a －b ∈Q ，ab ∈Q ，a b∈Q (b ≠0)，所以有理数Q 是一个数域，故A 正确；因为1∈Z,2∈Z ，12∉Z ，所以整数集不是数域，B 不正确；令数集M ＝Q ∪{2}，则1∈M ，2∈M ，但1＋2∉M ，所以C 不正确；根据定义，如果a ，b (b ≠0)在数域中，那么a ＋b ，a ＋2b ，…，a ＋kb (k 为整数)，…都在数域中，故数域必为无限集，D 正确．故选AD.答案：AD13．解析：原不等式等价于x 2－6x ＋8＜0，即(x －2)(x －4)＜0，得2＜x ＜4. 答案：(2,4)(或写成{x |2＜x ＜4})14．解析：由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100100－x1＋1.2x %t ≥100t ，解得0＜x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.答案：1615．解析：由1a ＋1b ＝12，得2a ＋2b＝1，4a ＋b ＋1＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋1＝8＋2＋8a b ＋2b a ＋1≥11＋28a b ·2ba＝19.当且仅当8a b ＝2ba，即a ＝3，b ＝6时，4a ＋b ＋1取得最小值19.答案：1916．解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，所以6∉B ，故A ＝{6}． (2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B )有1个；当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1,2,3,4,5,7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个．综上，可知有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.答案：(1){6} (2)3217．解析：(1)∵m ＝5，∴B ＝{x |－9＜x ＜5}，又A ＝{x |1≤x ≤7}， ∴A ∪B ＝{x |－9＜x ≤7}．又∁R A ＝{x |x ＜1，或x ＞7}， ∴(∁R A )∩B ＝{x |－9＜x ＜1}． (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋1＜1m ＞7，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0m ＞7，解得m ＞7.∴m 的取值X 围是{m |m ＞7}．18．解析：(1)由已知，1－a ＜0，且方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根为－3,1，有⎩⎪⎨⎪⎧41－a ＝－3＋161－a ＝－3，解得a ＝3.(2)不等式3x 2＋mx ＋3≥0的解集为R ，则Δ＝m 2－4×3×3≤0，解得－6≤m ≤6，实数m 的取值X 围为[－6,6]．19．解析：由x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4，由x 2－6x ＋9－m 2≤0，可得[x －(3＋m )][x －(3－m )]≤0，① 当m ＝0时，①式的解集为{x |x ＝3}；当m ＜0时，①式的解集为{x |3＋m ≤x ≤3－m }；当m ＞0时，①式的解集为{x |3－m ≤x ≤3＋m }；若p 是q 的充分条件，则集合{x |－1≤x ≤4}是①式解集的子集．可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜03＋m ≤－13－m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞03－m ≤－13＋m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.故m 的取值X 围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．20．解析：(1)当x ∈[30,50]时，设该工厂获利为S 万元，则S ＝20x －(x 2－40x ＋1 600)＝－(x －30)2－700，所以当x ∈[30,50]时，S 的最大值为－700，因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损．(2)由题知，二氧化碳的平均处理成本P ＝x y＝x ＋1 600x－40，x ∈[30,50]，当x ∈[30,50]时，P ＝x ＋1 600x－40≥2x ·1 600x－40＝40，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时等号成立，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．21．解析：(1)由已知可得A ＝{x |－4＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜－5或x ＞1}，C ＝{x |m －1＜x ＜m ＋1}．若A ∩C ＝∅，则m －1≥2或m ＋1≤－4，解得m ≥3或m ≤－5.所以实数m 的取值X 围为{m |m ≤－5或m ≥3}． (2)结合(1)可得A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．若(A ∩B )⊆C ，即{x |1＜x ＜2}⊆{x |m －1＜x ＜m ＋1}，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，解得1≤m ≤2.所以实数m 的取值X 围为{m |1≤m ≤2}．22．解析：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b2＋4＝(a 2＋b 2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4＝[(a ＋b )2－2ab ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4＝(1－2ab )·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4，由a ＋b ＝1，得ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以1－2ab ≥1－12＝12，且1a 2b 2≥16，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥12×(1＋16)＋4＝252，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值为252.。

北师大版高中数学必修1第一单元试卷及答案

高一年级数学第一单元质量检测试卷一.填空题（每题5分，共50分）1.集合A={}|12x x -≤≤，B={}|1x x <，则()R A C B ⋂=( )A {}|1x x >B {}|1x x ≥C {}|12x x <≤D {}|12x x ≤≤2.集合2{03},{9}P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤，则P M I =（）A {1,2}B {0,1,2} C{x|0≤x<3} D {x|0≤x ≤3}3．若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则集合A B =IA ．{}|11x x -<<B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<4.已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则（）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{2,3}M N =D ．{1,4}M N =5.若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =∈，，则A B ⋂=（） A.{}|11x x -≤≤ B. {}|0x x ≥ C. {}|01x x ≤≤ D. ∅6.已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},u ðB ∩A={9},则A=( )A {1,3}B {3,7,9}C {3,5,9}D {3,9}7.已知集合{||2,}A x x x R =≤∈},{|4,}B x x Z =≤∈,则A B ⋂=( )A (0,2)B [0,2]C {0,2}D {0,1,2}8.已知全集U=R ，集合M={x||x-1|≤2},则U C M=( ) A }{13X X -<< B }{13X X -≤≤ C }{13X X X <->或 D }{13X X X ≤-≥或9．已知全集U=R ，集合}{220A x x x =->，则U C A =( )10.若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或0.A ．{x ∣0≤x ≤2} B.{x ∣0<x<2}C ．{x ∣x<0或x>2} D.{x ∣x ≤0或x ≤2}二.填空题（每题5分，共25分）11．用适当的符号填空（1{}()(){}|2,1,2____,|1,0____x x x y y x φ≤=+，（2）{}32|_______52+≤+x x ，（3）{}31|,_______|0x x x R x x x x ⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭ 12．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或,则___________,__________==b a . 13．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人.14．若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = .15.设集合A={-1,1,3}，B={a +2,2a +4},A ∩B={3}，则实数a =________.三.解答题(共75分)16．设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求(12分)17．设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果A B B =，求实数a 的取值范围.(13分)18．集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-=，满足,A B φ≠，,A C φ=求实数a 的值.(12分)19．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若φ=B A C U )(，求m 的值.(12分)20．已知集合}023|{2=+-=x ax x A ,（1）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围；（2）若A 至少有一个元素，求a 的取值范围.(12分)21.已知集合}02|{2≤-+=x x x A ，B={x|2<x+1≤4}，设集合}0|{2>++=c bx x x C ，且满足φ=⋂⋃C B A )(，R C B A =⋃⋃)(，求b 、c 的值.(14分)参考答案：1.D 解析：本题考查集合的基本运算,{}{}21|,1|≤≤=⋂≥=x x B C A x X B C R R2.B ．解析：P={0,1,2}，M=[-3,3]，因此P ∩M={0,1,2}3.D ．解析：{|21}{|02}{|01}A B x x x x x x =-<<<<=<<I I4.C 解析：由集合的子、交、并集概念易知{2,3}M N =，故选C ．5.C 解析:考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。

北师大版高中数学必修一学期高一月考.doc

江西南城2011-2012学年上学期高一月考数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.（1）若集合{1,0,1,2},{|(1)0}M N x x x =-=-=，则=N M I （）（A ）{1,0,1,2}- （B ）{0,1,2} （C ）{1,0,1}- （D ）{0,1} （2）下列各组两个集合A 和B ，表示同一集合的是（）（A ）A ={}π，B ={}14159.3 （B ）A ={}3,2，B ={})32(，（C ）A ={}π,3,1，B ={}3,1,-π （D ）A ={}11,x x x -<≤∈N ，B ={}1 3．设全集},|),{(R y x y x U ∈=，}123|),{(=--=x y y x M ，}1|),{(+≠=x y y x N ，那么)(M C U ∩)(N C U =（）A ．φB ．{（2，3）}C ．（2，3）D ． }1|),{(+≠x y y x4．下列关系正确的是（）A ．},|{32R x x y y ∈+=∈π B ．)},{(b a =)},{(a b C ．}1|),{(22=-y x y x }1)(|),{(222=-y x y xD ．}02|{2=-∈x R x =φ5．已知集合A 中有10个元素，B 中有6个元素，全集U 有18个元素，≠⋂B A φ。

设集合)(B A C U ⋃有x 个元素，则x 的取值范围是（）A ．83≤≤x ，且N x ∈B ．82≤≤x ，且N x ∈C ．128≤≤x ，且N x ∈D ．1510≤≤x ，且N x ∈6．已知集合 },61|{Z m m x x M ∈+==，},312|{Z n n x x N ∈-==，=P x x |{+=2p },61Z p ∈，则P N M ,,的关系（）A ．N M =PB ．M P N =C ．M NP D ． N P M7．设全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，集合}5,3{=B ，则（）A ．B A U ⋃= B ． B AC U U ⋃=)( C ．)(B C A U U ⋃=D ．)()(B C A C U U U ⋃=8．已知}5,53,2{2+-=a a M ，}3,106,1{2+-=a a N ，且}3,2{=⋂N M ，则a 的值（）A ．1或2B ．2或4C ．2D ．1 9．满足},{b a N M =⋃的集合N M ,共有（） A ．7组 B ．8组 C ．9组 D ．10组 10．下列命题之中，U 为全集时，不正确的是（）A ．若B A ⋂= φ，则U BC A C U U =⋃)()(B ．若B A ⋂= φ，则A = φ或B = φC ．若B A ⋃= U ，则=⋂)()(B C A C U U φD ．若B A ⋃= φ，则==B A φ二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.11．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B . 12．设集合}3|{2x y y M -==，}12|{2-==x y y N ，则=⋂N M . 13．含有三个实数的集合既可表示成}1,,{aba ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a .14．已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分). 15．（12分）数集A 满足条件：若1,≠∈a A a ，则A a∈+11. ①若2A ∈，则在A 中还有两个元素是什么；②若A 为单元集，求出A 和a .16．（12分）设}019|{22=-+-=a ax x x A ，}065|{2=+-=x x x B ，}082|{2=-+=x x x C .①B A ⋂=B A ⋃，求a 的值； ②φB A ⋂，且C A ⋂=φ，求a 的值；③B A ⋂=C A ⋂≠φ，求a 的值；17．（12分）设集合}32,3,2{2-+=a a U ，}2|,12{|-=a A ，}5{=A C U ，求实数a 的值.18．（12分）已知全集}5,4,3,2,1{=U ，若U B A =⋃，≠⋂B A φ， }2,1{)(=⋂B C A U ，试写出满足条件的A 、B 集合. 19．（14分）在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个同学至少选作一题。

高中北师大版数学必修1第1章至第四章学业质量标准检测

第一章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝( A )A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}[解析]A∩B＝{x|－2<x<1}∩{x|x<－1或x>3}＝{x|－2<x<－1}，故选A．2．下列集合中表示同一集合的是( B )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}[解析]A选项中，元素为点，且不是同一点，C，D选项中的元素，一个为点，一个为数，都不可能为同一集合，故B正确．3．设集合A＝{a，b}，B＝{x|x∈A}，则( D )A．B∈A B．B AC．A∉B D．A＝B[解析]由已知可得B＝{a，b}，∴A＝B4．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝( B )A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}[解析]易得∁U B＝{x|x≤1}，故A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．5．(2019·全国卷Ⅱ理，1)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( A )A．(－∞，1) B．(－2,1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)[解析]∵A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|(x－2)(x－3)>0}＝{x|x<2或x>3}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}．∴A∩B＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}，故选A．6．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的范围是( C )A．a≤－1 B．a≥1C．－1≤a≤1 D．a≥1或a≤－1[解析]∵P＝{x|－1≤x≤1}，P∪M＝P，∴a∈P.即－1≤a≤1.7．设集合A ＝{x|x≤13}，a ＝11，那么( D ) A ．a A B ．a ∉A C ．{a}∉AD ．{a} A[解析] A 是集合，a 是元素，两者的关系应是属于与不属于的关系．{a}与A 是包含与否的关系，据此，A 、C 显然不对．而11<13，所以a 是A 的一个元素，{a}是A 的一个子集．故选D ．8．设全集U ＝{x ∈N|x≥2}，集合A ＝{x ∈N|x 2≥5}，则∁U A ＝( B ) A ．∅ B ．{2} C ．{5}D ．{2,5}[解析] 本题考查集合的运算．A ＝{x ∈N|x 2≥5}＝{x ∈N|x≥5}，故∁U A ＝{x ∈N|2≤x<5}＝{2}．选B ．9．已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A 等于( D ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9}D ．{3,9}[解析] 因为A∩B＝{3}，所以集合A 中必有元素3.因为(∁U B)∩A＝{9}，所以属于集合A 不属于集合B 的元素只有9.综上可得A ＝{3,9}．10．已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，且B≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围为( D )A ．－3≤m≤4B ．－2<m<4C ．2<m<4D ．2<m≤4[解析] 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ．又因为B≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，所以2<m≤4.11．已知集合A ＝{x|x<3或x≥7}，B ＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a 的取值范围为( A ) A ．a>3 B ．a≥3 C ．a≥7D ．a>7[解析] 因为A ＝{x|x<3或x≥7}，所以∁U A ＝{x|3≤x<7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a>3.12．下列四个命题：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合{x ∈R|x 2－2x ＋1＝0}有两个元素；④集合{x ∈Q|6x∈N}是有限集．其中正确命题的个数是( D )A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] ①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集， ∴①不正确．②当a ＝0时，0∈N ，∴②不正确． ③∵x 2－2x ＋1＝0，x 1＝x 2＝1， ∴{x ∈R|x 2－2x ＋1＝0}＝{1}， ∴③不正确．④当x 为正整数的倒数时6x ∈N ，∴{x ∈Q|6x ∈N}是无限集，∴④不正确．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知集合A ＝{x|x －2>0}，若a ∈A ，则集合B ＝{x|x 2－ax ＋1＝0}中元素的个数为2.[解析] ∵A ＝{x|x －2>0}，a ∈A ，∴a －2>0，即a>2，∴a 2－4>0，则方程x 2－ax ＋1＝0有两个不相等的实数根．故集合B 中元素的个数为2.14．设集合A ＝{x||x|<2}，B ＝{x|x>a}，全集U ＝R ，若A ⊆∁U B ，则a 的取值范围是a≥2. [解析] ∵|x|<2，∴－2<x<2，∴A ＝{x|－2<x<2}．而∁U B ＝{x|x≤a}，故当A ⊆∁U B 时，a≥2. 15．设全集U ＝R ，A ＝{x ∈N|1≤x≤10}，B ＝{x ∈R|x 2＋x －6＝0}，则图中阴影表示的集合为{－3}.[解析] 如图阴影部分为(∁U A)∩B．∵A ＝{x ∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4，…，9,10}， B ＝{x|x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}， ∴(∁U A)∩B＝{－3}．16．集合M ＝{x|x ＝3k －2，k ∈Z}，P ＝{y|y ＝3l ＋1，l ∈Z}，S ＝{z|z ＝6m ＋1，m ∈Z}之间的关系是SP ＝M.[解析] M 、P 是被3除余1的数构成的集合，则P ＝M ，S 是被6除余1的数，则S P. 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x ∈Z|－6≤x≤6}，B ＝{1,2,3}，C ＝{3,4,5,6}．求： (1)A ∪(B∩C)； (2)A∩[∁A (B ∪C)]．[解析] 由题意知A ＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}． (1)易知B∩C＝{3}，故A ∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．(2)∵B ∪C ＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁A (B ∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}， ∴A∩[∁A (B ∪C)]＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．18．(本小题满分12分)已知M ＝{1,2，a 2－3a －1}，N ＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a 的值． [解析] ∵M∩N＝{3}，∴3∈M ； ∴a 2－3a －1＝3，即a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.但当a ＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾；当a ＝4时，M ＝{1,2,3}，N ＝{－1,3,4}，符合题意． ∴a ＝4.19．(本小题满分12分)已知A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|mx －2＝0}且A ∪B ＝A ，求实数m 组成的集合C ．[解析] 由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，因此B 有可能等于空集． ①当B ＝∅时，此时方程mx －2＝0无解，即m ＝0符合题意．②当B≠∅时，即m≠0，此时A ＝{1,2}，B ＝{2m }，∵B ⊆A ．∴2m ＝1或2m ＝2，∴m ＝2或m ＝1.因此，实数m 组成的集合C 为{0,1,2}．20．(本小题满分12分)集合A ＝{x|－2<x<4}，集合B ＝{x|x －m<0}. (1)若m ＝3，求A∩B，A ∪B ；(2)若A∩B＝∅，求实数m 的取值范围； (3)若A∩B＝A ，求实数m 的取值范围． [解析] (1)当m ＝3时，B ＝{x|x<3}．又A ＝{x|－2<x<4}，∴A∩B＝{x|－2<x<4}∩{x|x<3}＝{x|－2<x<3}， A ∪B ＝{x|－2<x<4}∪{x|x<3}＝{x|x<4}． (2)∵A ＝{x|－2<x<4}，B ＝{x|x<m}，又A∩B＝∅， ∴m≤－2，即m 的取值范围是{m|m≤－2}． (3)∵A∩B＝A ，∴A ⊆B ．又A ＝{x|－2<x<4}，B ＝{x|x<m}， ∴m≥4，即m 的取值范围是{m|m≥4}．21．(本小题满分12分)已知M ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}，N ＝{x|ax ＝12}，若N ⊆M ，求实数a 所构成的集合A ，并写出A 的所有非空真子集.[解析]∵M＝{x|x2－5x＋6＝0}，解x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3，∴M＝{2,3}．∵N⊆M，∴N为∅或{2}或{3}．当N＝∅时，即ax＝12无解，此时a＝0；当N＝{2}时，则2a＝12，a＝6；当N＝{3}时，则3a＝12，a＝4.所以A＝{0,4,6}，从而A的所有非空真子集为{0}，{4}，{6}，{0,4}，{0,6}，{4,6}．22．(本小题满分12分)设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.(1)请你写出符合条件，且分别含有1个、2个、3个元素的集合S各一个．(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．(3)由(1)、(2)的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?[解析](1)由题意可知，若集合S中含有一个元素，则应满足10－x＝x，即x＝5，故S＝{5}．若集合S中含有两个元素，设S＝{a，b}，则a，b∈N＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一个：{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，若集合S中含有3个元素，由集合S满足的性质可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一个．(2)存在含有6个元素的非空集合S如下所示：S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8,9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4个．(3)答案不唯一，如：①S⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；②若5∈S，则S中元素个数为奇数个，若5∉S，则S中元素个数为偶数个．第二章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝x ＋1＋12－x 的定义域为( A )A ．[－1,2)∪(2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)[解析] 要使x ＋1有意义，须满足x ＋1≥0，即x≥－1；要使12－x 有意义，须满足2－x≠0，即x≠2，所以函数f(x)的定义域为{x|x≥－1，且x≠2}，用区间可表示为[－1,2)∪(2，＋∞)．2．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( D )A ．2B ．1C ．0D ．－2[解析] ∵f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋11)＝－2.3．下列四个图像中，表示的不是函数图像的是( B )[解析] 选项B 中，当x 取某一个值时，y 可能有2个值与之对应，不符合函数的定义，它不是函数的图像．4．二次函数y ＝－2(x ＋1)2＋8的最值情况是( C ) A ．最小值是8，无最大值 B ．最大值是－2，无最小值 C ．最大值是8，无最小值 D ．最小值是－2，无最大值[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x ＝－1时，函数有最大值8，无最小值．5．已知集合A 和集合B 的元素都属于N ，映射f ：A→B，若把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素n 2＋n ，则在映射f 下，像20的原像是( A )A ．4B ．5C．4或－5 D．－4或5[解析]由题意，得n2＋n＝20，∴n2＋n－20＝0，∴(n＋5)(n－4)＝0，∴n＝－5或n＝4.∵n∈N，∴n＝4，故选A．6．(2019·山东烟台高一期中测试)已知函数y＝f(x)的部分x与y的对应关系如下表：则f[f(4)]＝(A．－1 B．－2C．－3 D．3[解析]由图表可知，f(4)＝－3，∴f[f(4)]＝f(－3)＝3.7．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x 的取值范围是( D )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3][解析]∵f(x)为R上的奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D．8．若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[－7，－3]上是( B )A．增函数且最小值是－1 B．增函数且最大值是－1C．减函数且最大值是－1 D．减函数且最小值是－1[解析]∵奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数．∴y＝f(x)在[－7，－3]上有最大值－1且为增函数．9．定义在[1＋a,2]上的偶函数f(x)＝ax2＋bx－2在区间[1,2]上是( B )A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．先减后增函数[解析]∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0.定义域为[1＋a,2]，则1＋a＝－2，∴a＝－3.又二次函数f(x)＝－3x2－2的图像开口向下，对称轴为y轴，则在区间[1,2]上是减函数．10．若函数y＝kx＋5kx2＋4kx＋3的定义域为R，则实数k的取值范围为( D )A ．(0，34)B ．(34，＋∞)C ．(－∞，0)D ．[0，34)[解析] ∵函数的定义域为R ，∴kx 2＋4kx ＋3恒不为零，则k ＝0时，成立； k≠0时，Δ<0，也成立．∴0≤k<34.11．函数y ＝ax 2－bx ＋c(a≠0)的图像过点(－1,0)，则a b ＋c ＋b a ＋c －c a ＋b的值是( A ) A ．－1 B ．1 C ．12D ．－12[解析] ∵函数y ＝ax 2－bx ＋c(a≠0)的图像过(－1,0)点，则有a ＋b ＋c ＝0，即a ＋b ＝－c ，b ＋c ＝－a ，a ＋c ＝－b. ∴a b ＋c ＋b a ＋c －c a ＋b＝－1. 12．已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f(x)图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1mx i ＝( B )A ．0B ．mC ．2mD ．4m[解析] 因为y ＝f(x)，y ＝|x 2－2x －3|都关于x ＝1对称，所以它们交点也关于x ＝1对称，当m 为偶数时，其和为2×m 2＝m ，当m 为奇数时，其和为2×m －12＋1＝m ，因此选B ．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．将二次函数y ＝x 2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是y ＝x 2＋4x ＋2.[解析] y ＝(x ＋2)2＋1－3＝(x ＋2)2－2 ＝x 2＋4x ＋2.14．(2019·陕西黄陵中学高一期末测试)函数f(x)＝4－2x ＋1x ＋1的定义域是{x|x≤2且x≠－1}. [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－2x≥0x ＋1≠0，解得x≤2且x≠－1，∴函数f(x)的定义域为{x|x≤2且x≠－1}．15．已知函数f(x)＝x 2－|x|，若f(－m 2－1)<f(2)，则实数m 的取值范围是(－1,1).[解析] 因为f(x)＝x 2－|x|＝|x|2－|x|＝(|x|－12)2－14，所以f(x)为偶函数，且在区间(12，＋∞)上为增函数．又f(－m 2－1)＝f(m 2＋1)<f(2)，所以m 2＋1<2.所以m 2<1，即－1<m<1.16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如：解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y ＝2x 2＋1，x ∈{－2}；②y ＝2x 2＋1，x ∈{2}；③y ＝2x 2＋1，x ∈{－2,2}．那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有3个．[解析] 根据定义，满足函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有：y ＝2x 2＋1，x ∈{0，2}；y ＝2x 2＋1，x ∈{0，－2}，y ＝2x 2＋1，x ∈{－2，0，2}共3个．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x≤－1)x 2(－1<x<2)2x (x≥2).(1)求f{f[f(3)]}的值； (2)求f(a)＝3，求a 的值； (3)画出函数的图像．[解析] (1)∵－1<3<2，∴f(3)＝(3)2＝3. 又 3≥2，∴f[f(3)]＝f(3)＝2×3＝6. 又6≥2，∴f{f[f(3)]}＝f(6)＝2×6＝12.(2)当a≤－1时，f(a)＝a ＋2.若f(a)＝3，则a ＋2＝3， ∴a ＝1(舍去)．当－1<a<2时，f(a)＝a 2.若f(a)＝3，则a 2＝3， ∴a ＝3，或a ＝－3(舍去)．当a≥2时，f(a)＝2a.若f(a)＝3，则2a ＝3， ∴a ＝32(舍去)．综上可知，a ＝ 3.(3)函数f(x)的图像如图所示，18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－3,3]． (1)当a ＝－5时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－3,3]上是单调函数． [解析] (1)当a ＝－5时，f(x)＝x 2＋10x ＋2＝(x ＋5)2－23，x ∈[－3,3]，又因为二次函数开口向上，且对称轴为x ＝－5，所以当x ＝－3时，f(x)min ＝－19，当x ＝3时，f(x)max ＝41.(2)函数f(x)＝(x －a)2＋2－a 2的图像的对称轴为x ＝a ，因为f(x)在[－3,3]上是单调函数，所以a≤－3或a≥3.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1a －1x (a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增加的；(2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．[解析] (1)设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2. 则f(x 1)－f(x 2)＝(1a －1x 1)－(1a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2. ∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0. ∴x 1－x 2x 1x 2<0.∴f(x 1)<f(x 2)． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的． (2)∵f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，又∵f(x)在[12，2]上是增加的，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (12)＝12f (2)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －2＝121a －12＝2.∴a ＝25.20．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝f(x)＝x －2m2－m ＋3，其中m ∈{x|－2<x<2，x ∈Z}，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x ∈[0,3]时f(x)的值域． [解析] 由{x|－2<x<2，x ∈Z}＝{－1,0,1}． (1)由－2m 2－m ＋3>0，∴2m 2＋m －3<0，∴－32<m<1，∴m ＝－1或0.由(2)知f(x)是奇函数．当m ＝－1时，f(x)＝x 2为偶函数，舍去．当m ＝0时，f(x)＝x 3为奇函数． ∴f(x)＝x 3.当x ∈[0,3]时，f(x)在[0,3]上为增函数， ∴f(x)的值域为[0,27]．21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x 2－2|x|－1(－3≤x≤3)． (1)证明：f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； (3)求函数的值域．[解析] (1)证明：∵定义域关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x 2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)当x≥0时，f(x)＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x<0时，f(x)＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2－2，x≥0(x ＋1)2－2，x<0.根据二次函数的作图方法，可得函数图像，如图函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1)，[0,1]上为减函数，在[－1,0)，[1,3]上为增函数．(3)当x≥0时，函数f(x)＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2. 当x<0时，函数f(x)＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2. 故函数f(x)的值域为[－2,2]．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R. (1)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；(2)若a ，b ∈R ，且a ＋b>0，试比较f(a)＋f(b)与0的大小． [解析] (1)函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数，证明如下：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋x 31)－(x 2＋x 32)＝(x 1－x 2)＋(x 31－x 32)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1]．因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1>0.所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数． (2)由a ＋b>0，得a>－b ，由(1)知f(a)>f(－b)，因为f(x)的定义域为R ，定义域关于坐标原点对称，又f(－x)＝(－x)＋(－x)3＝－x －x 3＝－(x ＋x 3)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．于是有f(－b)＝－f(b)，所以f(a)>－f(b)，从而f(a)＋f(b)>0.第三章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·山东潍坊高一期末测试)函数f(x)＝ln (x ＋1)x －2的定义域是( B )A ．(－1，＋∞)B ．(－1,2)∪(2，＋∞)C ．(－1,2)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)[解析] 要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －2≠0，∴x>－1且x≠2，故函数f(x)的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)． 2．下列计算正确的是( B ) A ．log 26－log 23＝log 23 B ．log 26－log 23＝1 C ．log 39＝3D ．log 3(－4)2＝2log 3(－4)[解析] 在B 选项中，log 26－log 23＝log 263＝log 22＝1，故该选项正确．3．(2019·安徽合肥众兴中学高一期末测试)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x>0)3x(x≤0)，则f[f(14)]的值是( B )A ．9B ．19 C ．－19D ．－9[解析] ∵x>0时，f(x)＝log 2x ， ∴f(14)＝log 214＝log 22－2＝－2，又∵x<0时，f(x)＝3x ，∴f(－2)＝3－2＝19.∴f[f(14)]＝f(－2)＝19.4．(2019·山东潍坊高一期末测试)已知x ＝log 512，y ＝(12)0.1，z ＝213 ，则( A )A ．x<y<zB ．x<z<yC ．y<x<zD ．z<x<y[解析] log 512<log 51＝0，∴x<0；(12)0.1<(12)0＝1，∴0<y<1；213 >20＝1，∴z>1，∴x<y<z.5．函数y ＝a x与y ＝－log a x(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图像形状只能是( A )[解析] 排除法：∵函数y ＝－log a x 中x>0，故排除B ；当a>1时，函数y ＝a x为增函数，函数y ＝－log a x 为减函数，故排除C ；当0<a<1时，函数y ＝a x 为减函数，函数y ＝－log a x 为增函数，故排除D ，所以选A ． 6．(2019·北京文，3)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( A ) A ．y ＝x 12 B ．2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x[解析] 函数y ＝x 12＝x ，在(0，＋∞)上单调递增，函数y ＝2－x＝(12)x ，y ＝log 12x ，y ＝1x 在(0，＋∞)上都是单调递减的，故选A ．7．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax 2－x(a ∈R)．若f[g(1)]＝1，则a ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．3D ．－1[解析] 由已知条件可知：f[g(1)]＝f(a －1)＝5|a －1|＝1，∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A ．8．给出f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x (x≥4)f (x ＋1)(x<4)，则f(log 23)的值等于( D )A ．－238B ．111C ．119D ．124[解析] 因为log 23∈(1,2)，所以f(log 23)＝f(log 23＋1)＝f(log 26)＝f(log 26＋1) ＝f(log 212)＝f(log 212＋1) ＝f(log 224)＝12log 224＝124.9．若a>b>0,0<c<1，则( B ) A ．log a c<log b c B ．log c a<log c b C ．a c<b cD ．c a>c b[解析] 对于选项A ：log a c ＝lgc lga ，log b c ＝lgclgb，∵0<c<1，∴lgc<0，而a>b>0，所以lga>lgb ，但不能确定lga 、lgb 的正负，所以它们的大小不能确定；对于选项B ：log c a ＝lga lgc ，log c b ＝lgb lgc ，而lga>lgb ，两边同乘以一个负数1lgc 改变不等号方向所以选项B 正确；对于选项C ：利用y ＝x c在第一象限内是增函数即可得到a c>b c，所以C 错误；对于选项D ：利用y ＝c x在R 上为减函数易得为错误．所以本题选B ．10．设函数f(x)＝x 2－4x ＋3，g(x)＝3x－2，集合M ＝{x ∈R|f[g(x)]>0}，N ＝{x ∈R|g(x)<2}，则M∩N ＝( D )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－∞，1)[解析] ∵f[g(x)]>0，∴g 2(x)－4g(x)＋3>0. ∴g(x)>3或g(x)<1， ∴M∩N＝{x|g(x)<1}．∴3x－2<1,3x<3，∴x<1.故选D ．11．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1－2，－log 2(x ＋1)，x≤1，x>1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( A )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14[解析] 由已知条件可得函数图像：故f(a)＝－3＝－log 2(a ＋1)，可得a ＝7； f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74.故本题正确答案为A ．12．已知f(x)＝log 12(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－4,4)B ．[－4,4)C ．(－4,4]D ．[－4,4][解析] 要使f(x)在[2，＋∞)上是减函数，则需g(x)＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上递增且恒大于零． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2g (2)＝22－2a ＋3a>0，解得－4<a≤4.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．(2019·大连市高一期末测试)已知16a＝4，lg x ＝a ，则x ＝10. [解析] ∵16a＝4，∴a ＝12，∴lg x ＝12，∴x ＝1012＝10，∴x ＝10.14．(2019·安徽安庆二中高一期中测试)计算：(49)12 ＋(12)log23＋lne ＝2.[解析] 原式＝23＋12log 23＋1＝23＋13＋1＝2. 15．(2019·全国卷Ⅱ理，14)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax，若f(ln2)＝8，则a －3.[解析] 解法一：设x>0，则－x<0， ∴f(－x)＝－e－ax，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－e －ax，∴f(x)＝e－ax＝1eax ＝1(e x )a ， ∵ln2>0，∴f(ln2)＝1(e ln2)a ＝12a ＝8，∴2a＝18＝2－3，∴a ＝－3.解法二：∵ln2>0，∴－ln2<0，又∵当x<0时，f(x)＝－e ax， ∴f(－ln2)＝－e －aln2＝－1e aln2＝－1(e ln2)a＝－12a ，又∵f(x)为奇函数，∴f(－ln2)＝－f(ln2) ＝－8， ∴－12a ＝－8，∴2a＝18＝2－3，∴a ＝－3.16．关于函数y ＝2x2－2x －3有以下4个结论：①定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)； ②递增区间为[1，＋∞)； ③是非奇非偶函数； ④值域是(116，＋∞)．则正确的结论是②③.(填序号即可)[解析] ①不正确，因为y ＝2x 2－2x －3的定义域为R ； ④不正确，因为x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴2x2－2x －3≥2－4＝116，即值域为[116，＋∞)；②正确，因为y ＝2u为增函数，u ＝x 2－2x －3在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，所以y ＝2x2－2x －3的递增区间为[1，＋∞)；③正确，因为f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2019·安徽太和中学高一期中测试)计算下列各式的值： (1)(12)－2＋(12)0－2713 ＋38；(2)log 327－log 33＋lg25＋2lg2＋lne 2. [解析] (1)原式＝22＋1－(33) 13 ＋323＝4＋1－3＋2＝4.(2)原式＝log 3332 －log 3312 ＋lg25＋lg4＋2＝32－12＋lg100＋2 ＝32－12＋2＋2＝5. 18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x ＋2)． (1)求g(x)的解析式及定义域； (2)求函数g(x)的最大值和最小值． [解析] (1)∵f(x)＝2x， ∴g(x)＝f(2x)－f(x ＋2)＝22x－2x ＋2.∵f(x)的定义域是[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x≤30≤x＋2≤3，解得0≤x≤1.∴g(x)的定义域是[0,1]． (2)g(x)＝(2x )2－4×2x＝(2x－2)2－4. ∵x ∈[0,1]， ∴2x ∈[1,2]．∴当2x ＝1，即x ＝0时，g(x)取得最大值－3；当2x＝2，即x ＝1时，g(x)取得最小值－4.19．(本小题满分12分)已知定义域为R 的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(12)＝0，求不等式f(log 4x)>0的解集．[解析] 因为f(x)是偶函数，所以f(－12)＝f(12)＝0，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(－∞，0)上是减函数．所以f(log 4x)>0⇒log 4x>12或log 4x<－12，解得：x>2或0<x<12，则不等式f(log 4x)>0的解集是 {x|x>2，或0<x<12}．20．(本小题满分12分)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝log a x ，x ∈[2,4]的值域为[m ，m ＋1]，求a 的值．[解析] 当a>1时，f(x)＝log a x ，在[2,4]上是增加的，∴x ＝2时，f(x)取最小值；x ＝4时，f(x)取最大值，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＝m log a 4＝m ＋1，∴2log a 2＝log a 2＋1.∴log a 2＝1，得a ＝2 当0<a<1时，f(x)＝log a x 在[2,4]上是减少的，∴当x ＝2时，f(x)取最大值；x ＝4时，f(x)取最小值，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＝m ＋1log a 4＝m ，∴log a 2＝2log a 2＋1，∴log a 2＝－1.∴a ＝12.综上所述，a ＝2或a ＝12.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(12x －1＋12)·x 3.(1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)证明：f(x)>0.[解析] (1)因为要使题中函数有意义，需2x－1≠0，即x≠0，所以所求定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)因为f(x)＝2＋(2x－1)2(2x－1)·x 3＝2x＋12(2x －1)·x 3，又f(－x)＝2－x＋12(2－x －1)·(－x)3＝1＋2x2(1－2x )·(－x 3)＝2x＋12(2x－1)·x 3，所以f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数． (3)证明：因为x>0时，2x>1，所以2x－1>0. 又因为x 3>0，所以f(x)>0；因为x<0时，0<2x<1，所以－1<2x－1<0. 又因为x 3<0，所以f(x)>0.所以当x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f(x)>0.22．(本小题满分12分)某商品的市场日需求量Q 1和日产量Q 2均为价格P 的函数，且Q 1＝144·(12)P ＋12，Q 2＝6×2P ，日总成本C 关于日产量Q 2的关系式为：C ＝10＋13Q 2.(1)Q 1＝Q 2时的价格为均衡价格，求此均衡价格P 0；(2)当P ＝P 0时，求日利润L 的大小．[解析] 均衡价格即供需相等时所对应的价格，利润＝收益－成本，列出方程即可求解． (1)根据题意有Q 1＝Q 2， 144·(12)P ＋12＝6×2P，即(2P )2－2·2P－24＝0. 解得2P＝6,2P＝－4(舍去)． ∴P ＝log 26，故P 0＝P ＝log 26. 即均衡价格为log 26元． (2)由于利润＝收益－成本，故L ＝Q 1P －C ＝36log 26－(10＋13×36)＝36log 26－22，故P ＝P 0时，利润为(36log 26－22)元．第四章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)的图像与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的实数解的个数是( D )A．0 B．1C．2 D．3[解析]因为函数f(x)的图像与x轴有3个交点，所以函数f(x)有3个零点，即方程f(x)＝0有3个实数解．2．函数y＝x的零点是( A )A．0 B．(0,0)C．(1,0) D．1[解析]函数y＝x的零点是其图像与横轴交点的横坐标0，它是一个实数，而不是点，故选A．3．方程lgx＋x＝0的根所在区间是( B )A．(－∞，0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,4)[解析]若lgx有意义，∴x>0，故A不正确，又当x>1时，lgx>0，lgx＋x>0，C、D不正确，故选B．4．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的零点个数为( D )A．1 B．2C．3 D．4[解析]因为f(x)与x轴有4个交点，所以共有4个零点．5．若f(x)是一个二次函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，该函数有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝( C ) A．0 B．2C．4 D．无法判断[解析]由f(2＋x)＝f(2－x)知f(x)的图像关于x＝2对称．∴x1＋x2＝4.6．下图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点．在下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( B )A ．[－2，－1]B ．[1,2]C ．[4,5]D ．[5,6][解析] 在区间[1,2]上的零点为不变号零点，故不能用二分法求．7．夏季高山温度从山脚起每升高100m ，降低0.7摄氏度，已知山顶的温度是14.1摄氏度，山脚的温度是26摄氏度，则山的相对高度为( C )A ．1 750mB ．1 730mC ．1 700mD ．1 680m[解析] 设从山脚起每升高x 百米时，温度为y 摄氏度，根据题意得y ＝26－0.7x ，山顶温度是14.1摄氏度，代入得14.1＝26－0.7x.∴x ＝17(百米)，∴山的相对高度是1 700m.8．函数f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( B ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)[解析] ∵f(x)＝2x＋3x ，∴f(－1)＝－52<0，f(0)＝1>0，故选B ．9．若方程lnx ＋x －4＝0在区间(a ，b)(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 设f(x)＝lnx ＋x －4，f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，f(2)f(3)<0， ∴根在区间(2,3)内，∴a ＝2.故选B ．10．若方程x 2＋(m －2)x ＋(5－m)＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( A ) A ．(－5，－4] B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4][解析] 考查函数f(x)＝x 2＋(m －2)x ＋(5－m)，由条件知它的两个零点都大于2，其图像如图所示．由图可知，⎩⎪⎨⎪⎧－m －22>2f 2＝m ＋5>0m －22－45－m≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m<－2m>－5m≥4或m≤－4，∴－5<m≤－4.故选A ．11．已知函数f(x)在区间[0，a]中有唯一的变号零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为[0，a 2]，[0，a 4]，[0，a8]，则下列说法正确的是( D )A ．函数f(x)在区间[0，a16]中有零点B ．函数f(x)在区间[0，a 16]或[a 16，a8]中有零点C ．函数f(x)在区间[a16，a]中无零点D ．函数f(x)在区间[0，a 16]或[a 16，a 8]中有零点，或零点是a16[解析] 由二分法的定义可知，只有D 正确．12．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为( D )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}[解析] 令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x 2＋3x ，又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝x 2＋3x ， ∴f(x)＝－x 2－3x(x<0)，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x x≥0－x 2－3x x<0.∴g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x≥0－x 2－4x ＋3x<0.当x≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x<0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7， ∴函数g(x)的零点的集合为{－2－7，1,3}．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝(x 2－3)(x 2－2x －3)的零点为±3，3，－1 . [解析] 令f(x)＝0，得x ＝±3，或x ＝3，或x ＝－1.14．用一根长为12m 的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是9m 2. [解析] 设框架的一边长为xm ，则另一边长为(6－x)m.设框架面积为ym 2，则y ＝x(6－x)＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9(0<x<6)，y max ＝9(m 2)．15．已知f(x)是定义域为R 的奇函数，且在(－∞，0)内的零点有2012个，则f(x)的零点的个数为4_025.[解析] 因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内有2 012个零点，由奇函数的对称性知，在(0，＋∞)内也有2 012个零点，又x ∈R ，所以f(0)＝0，因此共4 025个零点．16．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x≤02x －6＋lnx x>0的零点个数是2.[解析] 当x≤2，令x 2－2＝0，得x ＝－2；当x>0时，令2x －6＋lnx ＝0，即lnx ＝6－2x ，在同一坐标系中，画出函数y ＝6－2x 与y ＝lnx 的图像如图所示．由图像可知，当x>0时，函数y ＝6－2x 与y ＝lnx 的图像只有一个交点，即函数f(x)有一个零点．综上可知，函数f(x)有2个零点．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求函数y ＝x 3－7x ＋6的零点． [解析] ∵x 3－7x ＋6＝(x 3－x)－(6x －6) ＝x(x 2－1)－6(x －1) ＝x(x ＋1)(x －1)－6(x －1) ＝(x －1)(x 2＋x －6) ＝(x －1)(x －2)(x ＋3)，∴由x 3－7x ＋6＝0即(x －1)(x －2)(x ＋3)＝0得x 1＝－3，x 2＝1，x 3＝2. ∴函数y ＝x 3－7x ＋6的零点为－3,1,2.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－x ＋m 的零点都在区间(0,2)内，求实数m 的范围．[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0f 0>0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4m≥0m>04－2＋m>0，解得0<m≤14.所以实数m 的取值范围是(0，14]．19．(本小题满分12分)(济南一中月考，有改动)判断方程x 3－4x －2＝0在区间[－2,0]内实数根的个数．[解析] 设f(x)＝x 3－4x －2，则f(x)的图像是连续曲线，而f(－2)＝－2<0，f(0)＝－2<0，若取区间[－2,0]内一点－1，得f(－1)＝1>0，取x ＝3，得f(3)＝13>0，因此函数f(x)满足f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)<0，f(0)·f(3)<0，∴f(x)分别在[－2，－1)，(－1,0)，(0,3)内至少存在一个零点，又∵x 3－4x －2＝0最多有3个根，∴方程x 3－4x －2＝0在区间[－2,0]内有2个实数根．20．(本小题满分12分)某公司从2009年的年产值100万元，增加到10年后2019年的500万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln(1＋x)≈x，lg2＝0.3，ln10＝2.30)[解析] 设每年年增长率为x ，则100(1＋x)10＝500，即(1＋x)10＝5，两边取常用对数，得 10·lg(1＋x)＝lg5，∴lg(1＋x)＝lg510＝110(lg10－lg2)＝0.710.又∵lg(1＋x)＝ln1＋xln10，∴ln(1＋x)＝lg(1＋x)·ln10.∴ln(1＋x)＝0.710×ln10＝0.710×2.30＝0.161＝16.1%.又由已知条件ln(1＋x)≈x 得x≈16.1%. 故每年的平均增长率约为16.1%.21．(本小题满分12分)是否存在这样的实数a ，使函数f(x)＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．[解析] 若实数a 满足条件，则只需f(－1)f(3)≤0即可．f(－1)f(3)＝(1－3a ＋2＋a －1)(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a)(5a ＋1)≤0，所以a≤－15或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时a ＝1，所以f(x)＝x 2＋x. 令f(x)＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1. (2)当f(3)＝0时a ＝－15，此时f(x)＝x 2－135x －65.令f(x)＝0，即x 2－135x －65＝0.解得，x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a ∈(－∞，－15)∪(1，＋∞)．22．(本小题满分12分)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积(尺寸单位：m)．[解析] 如图所示，设计长方形公寓分三种情况：(1)当一顶点在BC 上时，只有在B 点时长方形BCDB 1面积最大， ∴S 1＝SBCDB 1＝5 600m 2.(2)当一顶点在EA 边上时，只有在A 点时长方形AA 1DE 的面积最大， ∴S 2＝SAA 1DE ＝6 000m 2.(3)当一顶点在AB 边上时，设该点为M ，则可构造长方形MNDP ，并补出长方形OCDE. 设MQ ＝x(0≤x≤20)，∴MP ＝PQ －MQ ＝80－x. 又OA ＝20，OB ＝30，则OA OB ＝MQ QB ，∴23＝x QB ，∴QB ＝32x ，∴MN ＝QC ＝QB ＋BC ＝32x ＋70，∴S 3＝S MNDP ＝MN·MP＝(70＋32x)·(80－x)＝－32(x －503)2＋18 0503，当x ＝503时，S 3＝18 0503.比较S 1，S 2，S 3，得S 3最大，此时MQ ＝503m ，BM ＝25 133m ，故当长方形一顶点落在AB 边上离B 点25133m 处时公寓占地面积最大，最大面积为18 0503m 2.。

高一数学高中数学北师大版试题答案及解析

高一数学高中数学北师大版试题答案及解析1.集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}(c≠d)，集合A满足A B，A C.则集合A的个数是()A.8B.3C.4D.1【答案】C【解析】若A＝，则满足A B，A C；若A≠，由A B，A C知A是由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}.【考点】集合间的关系点评：先确定集合A中的元素，再确定集合的个数，不要漏掉空集的情况。

2.如图，一个半径为1的球O放在桌面上，桌面上的一点A1的正上方有一光源A，AA1与球相切，AA1=3，球在桌面上的投影是一个椭圆C，记椭圆C的四个顶点分别为A1、A2、B1、B2．则对于下列的命题：①若点P为椭圆C上的一个动点，则tan∠OAP=；②椭圆C的长轴长为4；③若沿直线B1B2的方向为主视方向，则几何体A﹣A1B1A2B2的左视图的面积为3；④椭圆C的离心率为其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）【答案】①②④【解析】根据题意作出过圆锥的轴与椭圆长轴AA1的截面，根据圆锥曲线的定义，可得球与长轴A1A2的切点是椭圆的焦点F，运用切线长定理，求出AE，AD，即可判断①；②由二倍角的正切公式，以及正切函数的定义，即可得到长轴长；求出a，c，b，即可得到几何体A﹣A1B1A2B2的左视图的面积为×3×2=3，即可判断③；由椭圆的离心率公式，即可判断④．解如图是过锥体的轴与椭圆长轴A1A2的截面，根据圆锥曲线的定义，可得球与长轴A1A2的切点是椭圆的焦点F，OE=OF=1，A1E=A1F=1，AA1=3，AE=2，AD=2，对于①，tan∠OAP=tan∠OAD==，故①对；对于②，tan∠A1AA2=tan2∠OAD==，A1A2=AA1•tan∠A1AA2=3×=4，故②对；对于③由于2a=4，a=2，a﹣c=1，c=1，b2=a2﹣c2=3，b=，若沿直线B1B2的方向为主视方向，则几何体A﹣A1B1A2B2的左视图的面积为×3×2=3，故③错；对于④椭圆C的离心率为e==，故④对．故答案为：①②④．点评：本题以中心投影及中心投影作图法，考查了椭圆的简单性质，同时考查了椭圆的基本量，属于中档题．深刻理解空间位置关系和椭圆的定义与性质，是解决本题的关键．3.（2011•成都二模）如图，在半径为l的球O中．AB、CD是两条互相垂直的直径，半径OP⊥平面ACBD．点E、F分别为大圆上的劣弧、的中点，给出下列结论：①E、F两点的球面距离为；②向量在向量方向上的投影恰为；③若点M为大圆上的劣弧的中点，则过点M且与直线EF、PC成等角的直线有无数条；④球面上到E、F两点等距离的点的轨迹是两个点；其中你认为正确的所有结论的序号为．【答案】①③【解析】先建立如图所示的空间直角坐标系，写出坐标E（0，，），F（，﹣，0）B （0，1，0），P（0，0，1）C（1，0，0）再一一验证即可．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，，），F（，﹣，0）B（0，1，0），P（0，0，1）C（1，0，0）①cos∠EOF=cos∠EOBcos∠COB=cos45°cos（90°+45°）=﹣=﹣∴，对；②向量在向量方向上的投影为，错；③由于等角的值不是一定值，因此将直线EF、PC都平移到点M，可知过点M且与直线EF、PC 成等角的直线有无数多条，对；④过点EF的中点及球心O的大圆上任意点到点E、F的距离都相等，错；故答案为①③点评：本题主要考查了球的性质、球面距离及相关计算，解答的关键是建立适当的空间坐标系写出点的坐标后利用空间坐标进行计算．4.电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（1≤X≤2013）等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先求出P（X=0），即第0次首次测到正品，即全是次品的概率，从而可得结论．解：由题意，P（X=0）=∴P（1≤X≤2013）=1﹣P（X=0）=故选B．点评：本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，考查学生的计算能力，属于中档题．5.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且（a＞0，且a≠1），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，则a的值为（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】利用商的导数的运算法则求出的导函数，由已知判断出导函数小于0，判断出函数递减；求出a的范围，求出函数值代入已知的等式，求出a的值．解：∵又∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），∴为减函数∴0＜a＜1∵即解得故选B点评：本题考查商的导数运算法则、考查利用导函数的符号判断函数的单调性．6.设y=﹣2e x sinx，则y′等于（）A．﹣2e x cosx B．﹣2e x sinx C．2e x sinx D．﹣2e x （sinx+cosx）【答案】D【解析】利用导数乘法法则进行计算．解：∵y=﹣2e x sinx，∴y′=（﹣2e x）′sinx+（﹣2e x）•（sinx）′=﹣2e x sinx﹣2e x cosx=﹣2e x（sinx+cosx）．故选D．点评：本题考查学生对导数乘法法则的运算能力，利用直接法求解．7.已知函数f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】求出原函数的导函数，由f'（﹣1）=4列式可求a的值．解：由f（x）=ax3+3x2+2，得f′（x）=3ax2+6x．所以f′（﹣1）=3a﹣6=4，解得．故选C．点评：本题考查了导数的加法法则，考查了基本初等函数的导数公式，是基础的运算题．8.已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【答案】B【解析】求f′（1）需要先求出函数f（x）=x+lnx的导数，由解析式的形式可以看出，需要用和的求导公式求导数解：∵f（x）=x+lnx，∴f′（x）=1+∴f′（1）=1+=2故选B点评：本题考查导数加法与减法法则，解题的关键是熟练掌握导数的加法与减法法则以及对数的求导公式，导数以其工具性在高考中的应用越来越广泛，在高考中的地位近几年稳步提高，应加强对其运算公式的掌握，提高应用的熟练程度．9.已知，则f′（）=（）A．﹣1+B．﹣1C．1D．0【答案】B【解析】本题先对已知函数进行求导，再将代入导函数解之即可．解：故选B．点评：本题主要考查了导数的运算，以及求函数值，解题的关键是正确求解导函数，属于基础题．10.若f（x）=sinx+cosx，则等于（）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】A【解析】由题意可得f′（x）=cosx﹣sinx，由此求得=cos﹣sin的值．解：∵f（x）=sinx+cosx，∴f′（x）=cosx﹣sinx，∴=cos﹣sin=0﹣1=﹣1，故选A．点评：本题主要考查基本函数的导数，求函数值，求出 f′（x ）=cosx ﹣sinx ，是解题的关键，属于基础题．11. 在三棱锥P ﹣ABC 中，PA=PB=PC=5，AB=3，AC=4，BC=5，则PA 与平面ABC 所成的角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】过P 作PD ⊥平面ABC ，垂足为D ，先证明D 是BC 的中点，∠PBC 为PA 与平面ABC 所成的角，从而可得结论．解：过P 作PD ⊥平面ABC ，垂足为D ，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AB ⊥AC ∵PA=PB=PC=，∴D 是BC 的中点 ∴∠PBC 为PA 与平面ABC 所成的角 ∴PB=PC=BC ，∴∠PBC=60° 故选C ．点评：本题考查线面角，考查学生的计算能力，正确作出线面角是关键． 12. 的导数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用导数的四则运算法则，按规则认真求导即可解：y′===故选A点评：本题考查了导数的除法运算法则，解题时认真计算即可，属基础题13. 设函数f （x ）在点x 0可导，则=（）A ．f′（x 0）B ．f′（x 0）C ．2f′（x 0）D ．不存在【答案】C【解析】利用导数的定义，把增量转化为2h ，问题得以解决．解：==2f′（x 0）．故选C ．点评：本题以函数为载体，考查导数的定义，关键是理解导数的定义，从而得解．14. （2014•虹口区二模）对于数列{a n }，规定{△1a n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中△1a n =a n+1﹣a n （n ∈N *）．对于正整数k ，规定{△k a n }为{a n }的k 阶差分数列，其中△k a n =△k ﹣1a n+1﹣△k ﹣1a n．若数列{a n}有a1=1，a2=2，且满足△2a n+△1a n﹣2=0（n∈N*），则a14= ．【答案】26【解析】利用新定义，可得{an }是从第2项起，2为公差的等差数列，即可求出a14．解：∵△k an=△k﹣1a n+1﹣△k﹣1a n，△2a n+△1a n﹣2=0，∴△1an+1=2，∴an+2﹣an+1=2，∵a1=1，a2=2，∴{an }是从第2项起，2为公差的等差数列，∴a14=2+2（14﹣2）=26．故答案为：26．点评：本题考查数列的应用，考查新定义，确定{an}是从第2项起，2为公差的等差数列是关键．15.下面程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A．c＞x B．x＞c C．c＞b D．b＞c【答案】A【解析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X=C．解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，∵条件成立时，保存最大值的变量X=C故选A．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．16.写出求满足1×3×5×7×…×n＞50 000的最小正整数n的算法并画出相应的程序框图．【答案】见解析【解析】由已知中程序的功能为用循环结构计算1×3×5×7×…×n的值，与50 000比较大小的算法，累乘积运算，且要反复运算，可令循环变量的初值为1，终值为超过50000，步长为2，由此确定循环前和循环体中各语句，即可得到相应的程序框图．解：算法如下：第一步，S=1，i=3．第二步，如果S≤50 000，则执行第三步，否则执行第五步．第三步，S=S×i．第四步，i=i+2，返回执行第二步．第五步，i=i﹣2．第六步，输出i．程序框图如下图所示：点评：本题考查的知识点是设计程序框图解决实际问题，其中熟练掌握利用循环进行累加和累乘运算的方法，是解答本题的关键．17.在国家法定工作日内，每周满工作量的时间为40小时，若每周工作时间不超过40小时，则每小时工资8元；如因需要加班，超过40小时的每小时工资为10元．某公务员在一周内工作时间为x小时，但他须交纳个人住房公积金和失业保险（这两项费用为每周总收入的10%）．试分析算法步骤并画出其净得工资y元的算法的程序框图（注：满工作量外的工作时间为加班）．【答案】见解析【解析】本题考查的知识点是设计程序框图解决实际问题，我们根据题目已知中公交车票价的定价规则易写出分段函数的解析式y=，然后我们可根据分类标准，设置出判断框中的条件，再由函数两段上的解析式，确定判断框的“是”与“否”分支对应的操作，由此即可画出流程图．解：算法如下：第一步，输入工作时间x小时．第二步，若x≤40，则y=8x•（1﹣10%），否则y=40×8（1﹣10%）+（x﹣40）×10（1﹣10%）．第三步，输出y值．程序框图：点评：编写程序解决分段函数问题，要分如下几个步骤：①对题目的所给的条件的分类进行总结，写出分段函数的解析式；②根据分类标准，设置判断框的个数及判断框中的条件；③分析函数各段的解析式，确定判断框的“是”与“否”分支对应的操作；④画出流程图，再编写满足题意的程序．18.下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是（）A．y=x﹣1B．y=C．y=3x2+D．y2=x2【答案】D【解析】一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数．记做y=f（x）．分别利用函数的定义去判断，其中D中x对应y的取值不唯一．解：根据函数的定义可知A，B，C满足函数的定义．在D中当x=1时，y=±1；当y=2时，x=±2，不符合函数的定义．故选D．点评：本题考查函数的定义，函数的定义要求对于A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素对应．否则不能构成函数．19.已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=,求a的取值范围．【答案】（1）a＞3. (2) {a|－≤a≤2或a＞3}.【解析】A∩B=∅，有两种可能，一种是A即空集，一种是A是集合B的补集的子集，分类求解即可．解：当A=φ时即2a＞a+3，a＞3，此时满足A∩B=∅当A≠∅时，2a≤a+3，即a≤3时有2a≥﹣1且a+3≤5解之﹣≤a≤2，此时A∩B=φ综合知，当a＞3或﹣≤a≤2时，A∩B=∅【考点】集合关系中的参数取值问题．20.若函数为定义在上的函数.（1）当时，求的最大值与最小值；（2）若的最大值为，最小值为，设函数，求的解析式.【答案】（1）的最大值为，最小值为；（2）【解析】(1)将代入函数的表达式,结合函数的单调性,从而求出函数的最大值最小值；(2)先求出函数的对称轴,通过讨论对称轴的位置,从而求出在区间上的最值.试题解析：（1）当时，.抛物线开口向上，对称轴为.当时，；当时，.的最大值为，最小值为.（2）抛物线开口向上，对称轴为，，，.当时，；当时，；当时，；当时，..【考点】二次函数的最值.【方法点晴】二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）.找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.。

北师大版高中数学必修一~高一年级第一次月考.doc

汉台中学2008~2009学年高一年级第一次月考数学试题（各位考生请注意：必须将试题答案写在答题纸上，否则无效。

）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）。

1、集合{|22},{|13}A x x B x x =-<<=-<≤，那么A B =U （）A 、{|23}x x -<<B 、{|12}x x <≤C 、{|21}x x -<≤D 、{|23}x x << 2、满足条件{1}{1,2,3}M =U 的集合M 的个数是（） A 、4 B 、3 C 、2 D 、13、已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N I 为（） A 、3,1x y ==- B 、(3,1)- C 、{3,1}- D 、{(3,1)}-4．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是（） A ．x =60t B ．x =60t ＋50tC ．x =⎩⎨⎧>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t tD ．x =⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t5、二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为（） A 、7- B 、1 C 、17 D 、25 6、函数y =的值域为（）A 、[]0,2B 、[]0,4C 、(],4-∞D 、[)0,+∞7、设A={x|0≤x ≤2},B={y|1≤y ≤2}, 在图中能表示从集合A 到集合B 的映射是（）xx8、定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则必有（）A 、函数()f x 是先增加后减少B 、函数()f x 是先减少后增加C 、()f x 在R 上是增函数D 、()f x 在R 上是减函数 9、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。

2023_2024学年新教材高中数学第四单元作业课件北师大版必修第一册

点. D√
多项选择题答案
名师点津名师教方法
解含参数的一元二次不等式时,需对参数进行分类讨论.一般有四种情况: (1)二次项系数不含参数,且二次三项式可分解时,根据两根大小分情况进行讨论. (2)二次项系数不含参数,且二次三项式不能分解时,对Δ的取值分三种情况进行讨论. (3)二次项系数含参数,且二次三项式可分解时,先考虑二次项系数是否为0,当二次项系数不为0时,再对二次项系数的正负情况,结合两根的大小分类进行讨论. (4)二次项系数含参数,且二次三项式不可分解时,先考虑二次项系数是否为0,当二次项系数不为0时,再对二次项系数的正负情况,结合Δ的取值分类进行讨论.
第四单元
单项选择题
1.[2023芜湖一中高一期末]不等式x(x+1)<2的解集是( )
A.{x|-1<x<2} C.{x|x<-1或x>2}
B.{x|-2<x<1} D.{x|x<-2或x>1}
答案
1.B 【解析】由x(x+1)<2,解得-2<x<1,即原不等式的解集为{x|-2<x<1}.故选B.
答案
答案
(3)由题设,x2+2mx-2m+1>2即x2+2mx-2m-1=(x+2m+1)(x-1)>0, 当-(2m+1)>1,即m<-1时,解集为(-∞,1)∪(-2m-1,+∞);(9分) 当-(2m+1)=1,即m=-1时,解集为{x|x≠1};(11分) 当-(2m+1)<1,即m>-1时,解集为(-∞,-2m-1)∪(1,+∞). (12分)
Байду номын сангаас

高中卷一北师大版高中数学必修一专题复习

北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解第一章集合与函数概念知识架构第一讲集合 ★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：文字语言符号语言属于不属于4.常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号 *N 或+N二：集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同B A ⊆且A ⊆B ⇔ 子集 A 中任意一元素均为B 中的元素B A ⊆或A B ⊇ 真子集A 中任意一元素均为B 中的元素，且B 中至少有一元素不是A 的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A ⊆φ，φB （φ≠B ）三：集合的基本运算①两个集合的交集:A B I ={}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集:A B U ={}x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且交并补集合集合表示法集合的运算集合的关系列举法描述法图示法包含相等子集与真子交集并集补集函数函数及其表示函数基本性质单调性与最值函数的概念函数的奇偶性函数的表示法映射映射的概念集合与函数概念★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

重难点： 1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{})(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合221,1,9432x y x y M xN y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N=（） A.Φ；B.{})2,0(),0,3(；C.[]3,3-；D.{}3,2[错解]误以为集合M 表示椭圆14922=+y x ，集合N 表示直线123=+yx ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B[正解]C ；显然{}33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M I(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。

2022版高中数学第二章函数的表示法映射提升训练含解析北师大版必修1

2022版高中数学北师大版必修1：函数的表示法映射基础过关练题组一函数的表示法1.(2020河北衡水冀州中学高一上第二次月考)已知函数f(x),g(x)由下列表格给出,则f[g(3)]= ()x 1 2 3 4f(x) 2 4 3 1g(x) 3 1 2 4A.4B.3C.2D.12.(2021山东烟台高一上期中)某高三学生于2020年9月第二个周末乘高铁赴济南参加全国高中数学联赛(山东赛区)的比赛活动.早上他乘出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘在家里了,于是回到家取上身份证,然后乘出租车以更快的速度赶往高铁站,令x(单位:分钟)表示离开家的时间,y(单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,下列图像中与上述事件吻合最好的是()3.如图,函数f(x)的图像是曲线OAB,其中点O、A、B的坐标分别为(0,0)、(1,2)、(3,1),则f[f(3)]的值等于.4.如图所示,有一块边长为a的正方形铁皮,将其四角各截去一个边长为x的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出此盒子的体积V以x为自变量的函数解析式,并指明这个函数的定义域.题组二函数解析式的求法5.(2021北京理工大学附中高一上期中)已知函数f (x )是一次函数,且f (x -1)=4x +3,则f (x )的解析式为( ) A.f (x )=4x -1 B.f (x )=4x +7 C.f (x )=4x +1 D.f (x )=4x +36.已知f (2x +1)=4x 2,则f (-3)= ( ) A.36 B.16 C.4D.-167.已知f (x )是一次函数,且2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )的解析式为 ( ) A.f (x )=2x +3 B.f (x )=3x +2 C.f (x )=3x -2 D.f (x )=2x -38.(2019河北辛集中学高一上第一次月考)已知f (x -1)=x 2,则f (x 2)= . 9.已知f (x -1x )=x 2+1x 2,则f (3)= .10.已知函数f (x )满足af (x )+f (-x )=bx ,其中a ≠±1,求函数f (x )的解析式. 题组三分段函数问题的解法11.(2021四川成都实验外国语学校高一上第二次段考)已知f (x )={x (x +4),x ≥0,x (x -4),x <0,则f [f (-1)]的值为( )A.5B.15C.25D.4512.已知函数f (x )={x +1,x ∈[-1,0],x 2+1,x ∈(0,1],则下列函数图像正确的是( )13.已知函数f (x )={x 2(-1≤x ≤1),1(x >1或x <-1),则函数f (x )的值域为 .14.“水”这个曾经被人认为取之不尽用之不竭的资源,竟然到了严重制约我国经济发展,严重影响人民生活的程度.缺水每年给我国工业造成的损失达2000亿元,给我国农业造成的损失达1500亿元,严重缺水困扰全国三分之二的城市.为了节约用水,某市打算出台一项水费政策,规定当每季度每人用水量不超过5立方米时,每立方米水费1.2元;当超过5立方米而不超过6立方米时,超过部分的水费加收200%;当超过6立方米而不超过7立方米时,超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)立方米,那么本季度他应交的水费y (单位:元)与用水量x (单位:立方米)的函数关系式为 .15.已知函数f (x )=1+x -|x |4.(1)用分段函数的形式表示函数f (x ); (2)在平面直角坐标系中画出函数f (x )的图像;(3)在同一平面直角坐标系中,再画出函数g (x )=1x (x >0)的图像(不用列表),观察图像直接写出当x >0时,不等式f (x )>1x 的解集.16.(2021吉林榆树一中高一上期中)已知函数f (x )={x +1,x ≤-2,x 2+2x ,-2<x <2,2x -1,x ≥2.(1)求f (-5),f (-√3),f f -52的值;(2)若f (a )=3,求实数a 的值. 题组四映射17.下列各个对应中,构成映射的是( )18.已知集合A ={1,2,3},B ={4,5,6},f :A →B 为集合A 到集合B 的一个函数,那么该函数的值域的不同情况的种数为 ( ) A.6B.7C.8D.2719.(2021江西南昌六校高一上期中联考)已知映射f :(x ,y )→(x +2y ,x -2y ),在映射f 下(1,-1)的原像是( ) A.0,12 B.(1,1) C.(-1,3) D.12,1能力提升练一、选择题1.(2019广东深圳中学高一上第一次段考,)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.某城市机动车最高限速80千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油D.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 2.()如图所示的图像表示的函数解析式为 ( )A.y =32|x -1|(0≤x ≤2)B.y =32-32|x -1|(0≤x ≤2) C.y =32-|x -1|(0≤x ≤2) D.y =1-|x -1|(0≤x ≤2)3.(2021江西景德镇一中高一上期中,)若f (x )对任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (x )= ( )A.x -1B.x +1C.2x +1D.3x +34.(2021辽宁抚顺一中高一上期中,)已知函数f (x )={3x -1x +3(x ≠-3),x (x =-3)的定义域与值域相同,则常数a =( ) A.3 B.-3 C.13D.-135.(2019福建莆田一中高一上月考,)定义运算:a*b ={x ,x ≥x ,x ,x <x ,则f (x )=x 2*|x |的图像是 ( )二、填空题6.(2021重庆西南大学附中高一上第二次月考,)已知函数g (√x +1)=2x +3,则g (3)= .7.()已知函数f (2x -1)=4x +3,若f (t )=11,则t =.8.(2019山东泰安一中高一上十月检测,)设函数f (x )={23x -1,x ≥0,1x,x <0,若f (a )>a ,则实数a 的取值范围是 . 三、解答题9.(2021河南南阳一中高一上第一次月考,)根据下列条件,求f (x )的解析式.(1)f [f (x )]=4x -3,其中f (x )为一次函数; (2)2f 1x+f (x )=x (x ≠0).10.()已知A ={a ,b ,c },B ={-1,0,1},映射f :A →B 满足f (a )+f (b )=f (c ),求映射f :A →B 的个数.答案全解全析第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识第2.2 函数的表示法第2.3 映射基础过关练1.A2.C 5.B 6.B 7.C 11.D12.A17.D18.B19.A1.A 由题意,根据题表的对应关系,可得g (3)=2,所以f [g (3)]=f (2)=4,故选A .2.答案 C信息提取 ①y 表示离开家的距离,x 表示离开家的时间;②该学生先乘出租车,中途返回家,再乘出租车以更快的速度前行;③确定与上述事件吻合的图像.数学建模本题为实际问题中的函数图像识别题,通过构建函数模型,分析两个变量间的变化情况,得出正确的函数图像.由题意可知,该高三学生行动的三个过程均为离开家的距离关于时间的一次函数,结合图像可得答案.解析由题意,知该高三学生离开家,y 是x 的一次函数,且y 值均匀增加; 返回家的过程中,y 仍然是x 的一次函数,且y 值均匀减少;最后由家乘出租车以更快的速度赶往高铁站,y 仍然是x 的一次函数,且y 值增加的速度比刚开始快, 所以与事件吻合最好的图像为C,故选C . 3.答案 2解析由题中图像知f (3)=1,∴f [f (3)]=f (1)=2.4.解析由题意可知该盒子的底面是边长为(a -2x )的正方形,高为x , ∴此盒子的体积V =x (a -2x )2, 其中自变量x 应满足{x -2x >0,x >0,即0<x <x 2,∴此盒子的体积V 以x 为自变量的函数解析式为V =x (a -2x )2,定义域为(0,x2).5.B 因为f (x -1)=4x +3=4(x -1)+7,所以f (x )=4x +7.故选B .6.B 当2x +1=-3时,x =-2,因此f (-3)=4×(-2)2=16.故选B . 7.C 设f (x )=kx +b (k ≠0),由2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1, 得{2(2x +x )-3(x +x )=5,2(0+x )-(-x +x )=1, 解得{x =3,x =-2,所以f (x )=3x -2.故选C .8.答案 (x 2+1)2解析令t =x -1得x =t +1,由f (x -1)=x 2得f (t )=(t +1)2,即f (x )=(x +1)2,于是f (x 2)=(x 2+1)2. 9.答案 11解析令t =x -1x ,则x 2+1x 2=(x -1x )2+2=t 2+2,因此f (t )=t 2+2,从而f (3)=32+2=11. 10.解析在原式中以-x 替换x ,得af (-x )+f (x )=-bx , 于是有{xx (x )+x (-x )=xx ,xx (-x )+x (x )=-xx ,消去f (-x ),得f (x )=xxx -1. 故f (x )的解析式为f (x )=xx -1x. 11.D f (-1)=-(-1-4)=5>0,所以f [f (-1)]=f (5)=5×(5+4)=45,故选D .12.A 当x =-1时,f (x )=0,即图像过点(-1,0),故D 错误;当x =0时,f (x )=1,即图像过点(0,1),故C 错误;当x =1时,f (x )=2,即图像过点(1,2),故B 错误.故选A.13.答案 [0,1]解析由已知得函数f (x )的定义域为R,大致图像如图所示,由图像知,当-1≤x ≤1时,f (x )=x 2的值域为[0,1];当x >1或x <-1时,f (x )=1,所以f (x )的值域为[0,1]. 14.答案 y ={1.2x ,x ∈[0,5]3.6x -12,x ∈(5,6]6x -26.4,x ∈(6,7]解析由题意可知: ①当x ∈[0,5]时,y =1.2x ;②当x ∈(5,6]时,y =1.2×5+(x -5)×1.2×(1+200%)=3.6x -12; ③当x ∈(6,7]时,y =1.2×5+1×1.2×(1+200%)+(x -6)×1.2×(1+400%) =6x -26.4.∴y ={1.2x ,x ∈[0,5],3.6x -12,x ∈(5,6],6x -26.4,x ∈(6,7].15.解析 (1)当x ≥0时,f (x )=1+x -x 4=1;当x <0时,f (x )=1+x +x 4=12x +1.所以f (x )={1,x ≥0,12x +1,x <0.(2)函数f (x )的图像如图所示.(3)函数g (x )=1x (x >0)的图像如图所示,当f (x )>1x 时,f (x )的图像在g (x )的图像的上方,所以由图像可知f (x )>1x 的解集是{x |x >1}.16.解析 (1)因为f (x )={x +1,x ≤-2,x 2+2x ,-2<x <2,2x -1,x ≥2,所以f (-5)=-5+1=-4,f (-√3)=(-√3)2+2×(-√3)=3-2√3,f -52=-52+1=-32,f [x (-52)]=f -32=(-32)2+2×-32=94-3=-34.(2)当a ≤-2时,f (a )=a +1=3,解得a =2,不符合题意,舍去; 当-2<a <2时,f (a )=a 2+2a =3, 即(a -1)(a +3)=0,解得a =1或a =-3(舍去),此时a =1; 当a ≥2时,f (a )=2a -1=3,即a =2. 综上所述,a =1或a =2. 思想方法对于分段函数的求值或求参问题,常常需要针对自变量的取值分类进行求解,即分段函数分段求,这体现了分类讨论思想.17.D 选项A 中,元素2没有像,不构成映射;选项B 中,元素2没有像,不构成映射;选项C 中,元素1有两个像,不构成映射;选项D 中,满足映射的定义,构成映射.18.B 由函数的定义知,此函数可以分为三类来进行研究:若函数是三对一的对应,则值域有{4},{5},{6}三种情况;若函数是二对一的对应,则值域有{4,5},{5,6},{4,6}三种情况;若函数是一对一的对应,则值域有{4,5,6}一种情况.综上可知,函数的值域的不同情况有7种.19.A 由{x +2x =1,x -2x =-1,解得{x =0,x =12,所以在映射f 下(1,-1)的原像是0,12.故选A . 能力提升练1.C2.B3.B4.A5.B一、选择题1.C 对于A 选项,由题图可知,当乙车速度大于40千米/时时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5千米,故A 错误;对于B 选项,由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,故B 错误;对于C 选项,当行驶速度不超过80千米/时时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,故C 正确;对于D 选项,甲车以80千米/时的速度行驶时,燃油效率为10千米/升,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),故D 错误. 故选C .2.B 当0≤x ≤1时,y =32x ,当1<x ≤2时,y =3-32x ,所以y =32-32|x -1|(0≤x ≤2). 3.B ∵f (x )对任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1①,∴2f (-x )-f (x )=-3x +1②, 由①②得,f (x )=x +1.故选B .4.A 显然f (x )={3x -1x +3(x ≠-3),x (x =-3)的定义域为R,故值域为R,y =3x -1x +3=3-10x +3的值域为{y ∈R|y ≠3},∴a =3,故选A .5.B 依题意得f (x )={x 2,x 2≥|x |,|x |,x 2<|x |.在同一平面直角坐标系中作出y =x 2与y =|x |的图像,如图所示.由图像知,当x ≤-1时,x 2≥|x |,f (x )=x 2; 当-1<x <1,且x ≠0时,x 2<|x |,f (x )=|x |; 当x =0时,x 2=|x |,f (x )=0; 当x ≥1时,x 2≥|x |,f (x )=x 2.因此,当x ≤-1或x ≥1时,图像为抛物线的一部分,当-1<x <1时,图像为折线段,故选B .二、填空题 6.答案 11解析令√x +1=t ≥1,则x =(t -1)2,所以g (t )=2(t -1)2+3=2t 2-4t +5(t ≥1),所以g (x )=2x 2-4x +5(x ≥1),所以g (3)=2×32-4×3+5=11.7.答案 3解析设2x -1=t ,则x =x +12,∴f (t )=2(t +1)+3=2t +5.∵f (t )=11,∴2t +5=11,解得t =3.8.答案 (-∞,-1)解析当a ≥0时,由f (a )>a ,得f (a )=23a -1>a ,解得a <-3,与a ≥0矛盾,舍去;当a <0时,由f (a )>a ,得f (a )=1x >a ,由a <0去分母、移项,得a 2-1>0,即(a +1)(a -1)>0,解得a >1或a <-1,又因为a <0,所以a <-1.综上所述,实数a 的取值范围是(-∞,-1).三、解答题9.解析 (1)由题意,设f (x )=ax +b (a ≠0), 则f [f (x )]=af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b =4x -3,由恒等式性质,得{x 2=4,xx +x =-3,解得{x =2,x =-1或{x =-2,x =3,∴函数f (x )的解析式为f (x )=2x -1或f (x )=-2x +3. (2)f (x )+2f1x=x ,将上式中的x 与1x互换,得f1x+2f (x )=1x ,于是得关于f (x )的方程组{x (x )+2x (1x )=x ,x (1x )+2x (x )=1x ,∴f (x )=23x -x3(x ≠0).10.解析当A 中的三个元素都对应0时,f (a )+f (b )=0+0=0=f (c ),有1个映射;当A 中的三个元素对应B 中的两个元素时,满足f (a )+f (b )=f (c )的映射有4个,分别为1+0=1,0+1=1,(-1)+0=-1,0+(-1)=-1;当A 中的三个元素对应B 中的三个元素时,满足f (a )+f (b )=f (c )的映射有2个,分别是(-1)+1=0,1+(-1)=0.因此满足题设条件的映射有7个.。

北师大版高中数学必修第一册课后习题第一章 1.3 第1课时交集和并集

第一章预备知识§1集合1.3 集合的基本运算第1课时交集和并集课后篇巩固提升必备知识基础练1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={x|2x-3<4},则A∩B=()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2}D.{2,4,6}又A={0,2,4,6,8,10},∴A∩B={0,2}.2.(重庆高一期末)已知集合A={x|x2-2x-3=0},B={1,y},若A∩B={3},则A ∪B=( )A.{1,3}B.{-1,3}C.{-1,1,3}D.{-3,-1,3},A={x|x2-2x-3=0}={-1,3}.因为A∩B={3},所以y=3,B={1,3},所以A∪B={-1,1,3}.故选C.3.(多选题)(山东泰安高一质检)满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A可能是( )A.{5}B.{1,5}C.{3}D.{1,3,5}{1,3}∪A={1,3,5},知A⊆{1,3,5},且A中至少有1个元素5.所以A={5}或A={1,5}或A={3,5}或A={1,3,5}.故选ABD.4.设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}5.已知集合A={x|3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=()A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3},故A∩B={-4,1}.3x-4<0,解得x<436.(广东珠海高一期末)已知集合A={-2,0,2},B={y|y=x 2,x ∈A},则A ∪B=( ) A.{-4,4,-2,2,0} B.{-2,2,0,4}C.{-4,4,0,2}D.{0,2,4}B={y|y=x 2,x ∈A}={0,4},A={-2,0,2},所以A ∪B={-2,0,2,4}.7.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A ∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b= .,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4.8.已知关于x 的方程3x 2+px-7=0的解集为A,方程3x 2-7x+q=0的解集为B,若A∩B={-13}.求A ∪B.{-13},∴-13∈A,且-13∈B.由-13∈A,设3=-73,解得m=7.∴A={-13,7},同理B={-13,83}, ∴A ∪B={-13,83,7}.9.(安徽合肥高一期末)已知集合A={的取值范围.当m=-1时,B={x|-1<x<2},∴A ∪B={x|-1<x<3}. (2)∵A∩B=A,∴A ⊆B, ∴{1-m ≥3,m ≤1,m <1-m ,解得m≤-2, 故实数m 的取值范围为(-∞,-2].关键能力提升练10.(山东,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A ∪B=( ) A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}数形结合)由数轴可知所以A ∪B={x|1≤x<4},故选C.11.(全国1,理2)设集合A={x|x 2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=( )A.-4B.-2C.2D.4A={x|-2≤x≤2},B={x|x≤-a2}.因为A∩B={x|-2≤x≤1},所以有-a2=1,解得a=-2.12.(湖北荆州中学高一期末)定义集合的商集运算为AB=x∈A,n∈B,已知集合S={2,4,6},T=x x=k2-1,k∈S,则集合TS∪T中的元素个数为( )A.5B.6C.7D.8解析∵集合的商集运算为AB=x∈A,n∈B,集合S={2,4,6},∴T=xx=k2-1,k∈S={0,1,2},∴TS=0,12,13,14,16,1,∴TS∪T=0,12,13,14,16,1,2.∴集合ST∪T元素的个数为7.13.(江西南康中学高一月考)已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α,β.若集合A={α,β},B={2,4,5,6},C={1,2,3,4},A∩C=A,A∩B=⌀,求p,q的值.A∩C=A知A⊆C,又A={α,β},则α∈C,β∈C.而A∩B=⌀,故α∉B,β∉B.显然既属于C又不属于B的元素只有1和3.令α=1,β=3.对于方程x 2+px+q=0的两根α,β, 根据根与系数的关系可得p=-4,q=3. 14.已知集合A={的取值范围.∪B=B,∴A ⊆B,∴{m ≤-2,m +9≥3,解得-6≤m≤-2,∴实数m 的取值范围是[-6,-2]. (2)当A∩B=⌀时,3≤m,或m+9≤-2, 解得m≥3,或m≤-11, ∴当A∩B≠⌀时,-11<m<3, ∴实数m 的取值范围是(-11,3).学科素养拔高练15.(上海育才中学高一月考)设集合A={x|0≤x+a≤1},B={x|a -1≤x≤0},其中a ∈R,求A∩B.a-1>0,即a>1时,B=⌀时,A∩B=⌀;当a-1=0,即a=1时,A={x|-1≤x≤0},B={0},则A∩B={0};当a-1<0,即a<1时,1-a>0.若-a>0,即a<0时,如右图所示,A∩B=⌀.若-a=0,即a=0时,如下图所示,A={x|0≤x≤1},B={x|-1≤x≤0},则A∩B={0}.若a-1<-a<0,即0<a<1时,2如下图所示,A∩B={x|-a≤x≤0}.若-a≤a-1,即1≤a<1时,如右图所示,A∩B={x|a-1≤x≤0}.2综上所述,当a<0或a>1时,A∩B=⌀;当a=0或a=1时,A∩B={0};时,A∩B={x|-a≤x≤0};当0<a<121≤a<1时,A∩B={x|a-1≤x≤0}.2。

第一章-1.1-集合的概念与表示高中数学必修第一册北师大版

（3）偶数集；
【解析】可表示为{| = 2， ∈ }．（【举一反三】奇数集可表示为
{| = 2 + 1, ∈ }）
（4）被3除余2的正整数组成的集合.
【解析】可表示为{| = 3 + 2， ∈ }．
设被3除余2的数为，则 = 3 + 2， ∈ ，但此题要求为正整数，故
第一章预备知识
§1 集合
1.1 集合的概念与表示
教材帮|必备知识解读
知识点1 集合与元素的相关概念
例1-1 ［教材改编P5 T2］用符号“∈ ”或“∉ ”填空：
∉
∈
（1）设为素数集，则1___，2___;
【解析】素数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然
数，所以1不是素数，2是素数.即1 ∉ ，2 ∈ .
对于D，当 = −34时，3 − 1 = −34，解得 = −11 ∈ ，所以−34 ∈ ，所以D正确.
例14 已知集合 = {| = + 2,， ∈ }.
（1）试分别判断1 = − 2，2 =
1
，3
2− 2
= (1 − 2 2)2 与集合的关系;
【解析】1 = − 2 = 0 + −1 × 2，
C.集合{| = − 1}与{| = − 1}表示同一个集合
D.方程 + 1 + − 1 = 0的解集是{−1,1}
【解析】A中方程 2 − − 6 = 0的解确实是−2,3，故正确；
B中两个集合都是数集，但前者表示实数集，后者表示的是{| ≥ −1}，故不正确；
= 3 + 2， ∈ ，也可以写成 = 3 − 1， ∈ + .（【注意】此时从1开始）

高中数学必修一第一章测试题附答案

高中数学必修一第一章测试题附答案稷王中学高一年级第一次月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.集合{1,3,5,7}用描述法表示出来应为{ x | x 是不大于7的非负奇数}。

2.设集合A={ x | -4<x<3 }，B={ x | x≤2 }，则AB=(-4,2]。

3.设集合A={ x | -5≤x<1 }，B={ x | x≤2 }，则A∪B={ x | -5≤x≤2 }。

4.已知集合A={ x | x^2+x-2=0 }，若B={ x | x≤a }，且A⊂B，则a的取值范围是a≥1.5.A={1,2}，则满足A∪B ={1，2，3}的集合B的个数为3.6.已知全集U=R，集合M={ (x,y) | y=x-1 }，N={ (x,y) |y=x+1 }，则N∩C(U-M)={(1,2)}。

7.设集合M={ x | -2≤x≤2 }，N={ y | -2≤y≤2 }，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是第三个图形。

8.已知A={1，2，3}，B={2，4}，定义集合A、B间的运算A＊B={ x∣x∈A且x∉B }，则集合A＊B={1,3}。

9.与y=|x|为同一函数的是y=−|x|。

10.下列对应关系：①A={1,4,9}，B={-3,-2,-1,1,2,3}，f：x→√x；②A=R，B=R，f：x→1/x；③A=R，B=R，f：x→x-2；④A={-1,0,1}，B={-1,0,1}，f：A中的数平方。

其中是A到B的映射的是①③。

11.已知函数y=f(x)的定义域为{0,1,2,3}，则函数y=f(x+1)的定义域是{1,2,3,4}。

12.若x,y∈R，f(x+y)=f(x)+f(y)，f(1)=1且函数y=f(x)在R上单调，则f(x)=x。

1.(1) 2 (2) 4 (3) -4 (4) 12.(1) y=x (2) y=-x (3) y=03.解集为B。

新教材北师大版高中数学必修第一册练习-换底公式答案含解析

第四章对数运算与对数函数§2 对数的运算2.2 换底公式知识点对数的换底公式1.☉%8#65￥@7￥%☉(2020·银川一中月考)log 29·log 34=( )。

A.14 B.12C.2D.4 答案：D解析：原式=log 232·log 322=4log 23·log 32=4·lg3lg2·lg2lg3=4。

故选D 。

2.☉%11##*4#3%☉(2020·菏泽高一检测)log 849log 27的值是( )。

A.2B.32C.1D.23答案：D 解析：log 849log 27=log 272log 223÷log 27=23。

故选D 。

3.☉%0#90#￥0*%☉(2020·江西赣州十三县市高一期中考试)若log 2x ·log 34·log 59=8,则x 等于( )。

A.8 B.25 C.16 D.4 答案：B解析：因为log 2x ·log 34·log 59=lgxlg2·lg4lg3·lg9lg5=lgx lg2·2lg2lg3·2lg3lg5=8,所以lg x =2lg 5=lg 25,所以x =25。

故选B 。

4.☉%#*#29#62%☉(2020·白城一中月考)化简:log 212+log 223+log 234+…+log 21516等于( )。

A.5 B.4 C.-5 D.-4 答案：D解析：原式=log 2(12×23×34×…×1516)=log 2116=-4。

故选D 。

5.☉%￥7@@74#3%☉(2020·闽侯八中高一月考)若log 34·log 8m =log 416,则m 等于( )。

A.3 B.9 C.18 D.27 答案：D解析：原式可化为log 8m =2log 34,所以13log 2m =2log 43,所以m 13=3,m =27。

北师大版高中数学课件必修第1册第一章预备知识

刷基础
14．[四川成都 2021 高一月考]下列各组中的 M，P 表示同一集合的个数是( B )
①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；
②M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}；
③M＝{y|y＝x2－1}，P＝{t|t＝ x－1}；
④M＝{y|y＝x2－1}，P＝{(x，y)|y＝x2－1}．
A．0
刷基础
题型3 集合的表示方法
10．集合 A＝
| 6 ∈Z 3－x x∈N＋，用列举法可以表示为( C )
A．{3，6}
B．{1，2，4，5，6，9}
C．{－6，－3，－2，－1，3，6}
D．{－6，－3，－2，－1，2，3，6}
解析
6
∵x∈N＋，∴3－x∈Z.∵ ∈Z，∴3－x 是 6 的约数，∴3－x＝±1，3－x＝±2，3－x＝±3，
解析
x＋y＝0， x＝－2， x＝1，
x＋y＝0，
由方程组 x2＋x＝2 可得 y＝2 或 y＝－1，所以方程组 x2＋x＝2 的解集是{(1，－1)，(－2，2)}．故选
C.
1.1 集合的概念与表示
刷基础
12．[河南驻马店 2021 高一月考]已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}，则集合 B 中元素个数
x
1.1 集合的概念与表示
刷基础
解析
(1)【解】因为( 2＋ 6)2＝8＋4 3，此时 m＝8，n＝4，不满足 m2－3n2＝1，所以( 2＋ 6)2 不是集
合 A 中元素．
c m＋n 3
(2)【证明】因为 c∈A，所以
＝
＝(m＋n 3)(2－ 3)＝(2m－3n)＋(2n－m) 3.因为
2＋ 3 2＋ 3

高中数学第1章集合滚动训练北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题

第1章集合滚动训练(一)一、选择题1．若集合A＝{x|x>－1}，则下列关系式中成立的为( )A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A考点元素与集合的关系题点判断元素与集合的关系答案 D解析元素与集合之间为“∈”与“∉”关系，集合与集合之间是“⊆”与“⊈”关系，只有选项D符合．2．已知集合M＝{x∈N|4－x∈N}，则集合M中元素个数是( )A．3 B．4 C．5 D．6考点集合的表示综合题点集合的表示综合问题答案 C解析当x取0,1,2,3,4时，4－x的值分别为4,3,2,1,0，都是自然数，符合题意，故选C. 3．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁R B)等于( )A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案 B解析∵∁R B＝{x|x≤1}，∴A∩(∁R B)＝{x|0<x≤1}．4．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{4} B．{2,4} C．{4,5} D．{1,3,4}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案 A解析阴影部分表示的是集合(∁U A)∩B＝{4,5}∩{2,4}＝{4}．5．若集合A＝{x|x<a}，B＝{x|2<x<4}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值X围是( ) A．a≤4 B．a<2 C．a>4 D．a≥4考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案 D解析因为∁R B＝{x|x≤2或x≥4}，而A∪(∁R B)＝R，所以借助数轴可知a≥4.6．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案 D解析由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．7．设集合A＝{－2,0,1,3}，集合B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4考点集合的表示综合题点集合的表示综合问题答案 C解析若只考虑－x∈A，则x可以为2,0，－1，－3，但1－x∉A，所以x可以为2，－1，－3，故集合B中有3个元素．二、填空题8．设集合M＝{x|－1≤x≤2}，N＝{x|x－2k≤0}，若M⊆N，则k的取值X围是________．考点子集及其运算题点根据子集关系求参数的取值X围答案{k|k≥1}解析由题意知2≤2k，解得k≥1.9．用描述法表示由图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M是________．考点用描述法表示集合题点用描述法表示集合答案 {(x ，y )|－1≤x ≤0,0≤y ≤1}解析阴影部分点的横坐标的X 围为－1≤x ≤0，纵坐标的X 围为0≤y ≤1，所以表示的集合为{(x ，y )|－1≤x ≤0,0≤y ≤1}．10．设全集为U ，若M ∩(∁U N )＝{0}，M ∩N ＝{1}，则集合M 中含有________个元素．考点 Venn 图表达的集合关系及运用题点 Venn 图表达的集合关系答案 2解析借助于Venn 图求解，如图①所示，阴影部分为M ∩(∁U N )，如图②所示，阴影部分为M ∩N ，所以M ＝{0,1}，即集合M 中有2个元素．11．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，2，3的所有非空子集中，是伙伴关系集合的个数为________．考点元素与集合的关系题点伴随元素问题答案 7解析伙伴关系集合有{1}，{－1}，{1，－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－1，12，2，共7个．三、解答题12．设集合P ＝{x －y ，x ＋y ，xy }，Q ＝{x 2＋y 2，x 2－y 2,0}，若P ＝Q ，求x ，y 的值及集合P ，Q .考点集合的关系题点由集合的关系求参数的值解 ∵P ＝Q ，∴0∈P .当x －y ＝0时，x ＝y ，x 2－y 2＝0，舍去；当x ＋y ＝0时，x ＝－y ，x 2－y 2＝0，舍去；当xy ＝0时，若x ＝0，y ≠0，则P ＝{－y ，y,0}，Q ＝{y 2，－y 2,0}，∴y ＝±1，若y ＝0，x －y ＝x ＋y ，舍去．∴x ＝0，y ＝±1，P ＝Q ＝{1，－1,0}．13．设全集U ＝{x |x ≤4}，A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3<x ≤3}，求∁U A ，∁U B ，A ∩B ，∁U (A ∩B )，(∁U A )∩B .考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算解 ∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，∁U B ＝{x |x ≤－3或3<x ≤4}，A ∩B ＝{x |－2<x <3}，∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，(∁U A )∩B ＝{x |－3<x ≤－2或x ＝3}．四、探究与拓展14．已知集合A ＝{}0，2a －1，a 2，B ＝{}a －5，1－a ，9，且9∈(A ∩B )，则a 的值为________．考点交集的概念及运算题点由交集的运算结果求参数的值答案 5或－3解因为9∈(A ∩B )，所以9∈A ，且9∈B ，即2a －1＝9或a 2＝9，解得a ＝5或a ＝±3. 当a ＝5时，A ＝{}0，9，25，B ＝{}0，－4，9，A ∩B ＝{}0，9，9∈(A ∩B )，符合题意；当a ＝3时，A ＝{}0，5，9，B ＝{}－2，－2，9，B 中有元素重复，不符合题意，舍去；当a ＝－3时，A ＝{}0，－7，9，B ＝{}－8，4，9，A ∩B ＝{}9，9∈(A ∩B )，符合题意，综上所述，a ＝5或a ＝－3.15．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，某某数m 的取值X 围；(3)若A ∩B ＝∅，某某数m 的取值X 围．考点题点解 (1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知，⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值X 围为{m |m ≤－2}．(3)由A ∩B ＝∅，得①当2m ≥1－m 即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②当2m <1－m 即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧ m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <13，2m ≥3.得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值X 围为{m |m ≥0}．。

2022-2023学年北师大版高一上数学月考试卷(含解析)

2022-2023学年高中高一上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. ，，若，则的值为（）A.B.或C.D.2. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有名学生喜欢篮球或足球，名学生喜欢篮球，名学生喜欢足球，则该中学既喜欢篮球又喜欢足球的学生数是( )A.B.C.D.3. 已知，，若，则 A.B.C.D.4. 已知集合，，则（）A.A ={a,a +b,a +2b}B ={a,ac,a }c 2A =B c −1−1−12−12185766346485254A ={1,x,y}B ={1,,2y}x 2A =B x −y =()1211432A ={x|−8>0}2x B ={x|x −1>6}A ∪B =(3,+∞)(7,+∞)B.C.D.5. 已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为( )A.B.C.D.6. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.7. 已知命题：实数满足，命题：实数满足．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为( )A.B.C.D.8. 正数，满足＝，且恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.(7,+∞)(3,7)(−∞,7)x >k <13x +1k (−∞,−1][1,+∞)[2,+∞)(2,+∞)A ={x|−2≤x ≤−1}B ={y|y =−2x +a,x ∈A}A ⊆B a [−5,−4][4.5][−3,−6][3,6]p x −+6x −8>0x 2q x −(m +1)x +m <0(m >1)x 2p q m 1<m <41<m ≤4m >4m ≥4a b 2a +b 12−4−≤t −ab −−√a 2b 212t (−∞,]2–√2[,+∞)2–√2[−,]2–√22–√2[,+∞)12二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 下列关于空集的说法中，正确的有（）A.B.C.D.10. 若集合＝恰有两个子集，则的值可能是（）A.B.C.D.或11. 下列结论中正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.函数的最小值为C.命题“”的否定是“”D.若函数有负值，则实数的取值范围是或12. 下列命题中正确的是( )A.的最小值是B.的最大值是C.的最大值是D.有最大值卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）∅∈∅∅⊆∅∅∈{∅}∅⊆{∅}A {x |a −2x −1＝0}x 2a 0−1101ab >0>0ab y =++2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√2∀x >1,−x >0x 2∃≤1,−≤0x 0x 20x 0y =−ax +1x 2a a >2a <−2y =+3x 2+2x 2−−−−−√2y =x +(x <0)1x −2y =2−3x −(x >0)4x 2−43–√y =+3x 2+2x 2−−−−−√13. （5分）若命题“ ，”为假命题，则的取值范围是________.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14. 已知集合，，若，求实数的值．15. 已知椭圆，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，．若，且当直线轴时，．求椭圆的方程；设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论；记的面积为，求的最大值．16. 已知函数的最小值等于．（1）求的值；（2）若正数，，满足，求的最大值． 17. 解不等式． 18. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立．若为真命题，求实数的取值范围；若为假命题，为真命题，求实数的取值范围． 19. 已知函数.求关于的不等式的解集；若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．∃x ∈R +2mx +m +2<0x 2m A ={x|−3x +2=0}x 2B ={x|−ax +a −1=0}x 2A ∪B =A a C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2A F C F l C P Q AF =3l ⊥x PQ =3(1)C (2)AP AQ k 1k 2k 1k 2(3)△APQ S S f(x)=|x +m|−|2x −4|(m >0)3m a b c a +b +c =3m ++a −√b √c √<0x −3x +7p x ∈[0,1]2x −2≥−3m m 2q x ∈[−1,1]−x +m −1≤0x 2(1)p m (2)p ∧qp ∨q m f (x)=−4x +5(x ∈R)x 2(1)x f (x)<2(2)f (x)>m −3x ∈R m参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学月考试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】C【考点】集合的相等【解析】根据集合相等确定元素关系即可得到结论．【解答】解：∵，，∴若，则①或②，由①消去得，当时，集合，不成立，由②消去得，当或时，当时，此时，满足条件.故选：.2.【答案】D【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】记“该中学学生喜欢篮球”为事件，“该中学学生喜欢足球”为事件，则“该中学学生喜欢篮球或足球”为事件，“该中学学生既喜欢篮球又喜欢足球”为事件·，然后根据积事件的概率公式可得结果．【解答】解：记“该中学喜欢篮球的学生”为集合，“该中学喜欢足球的学生”为集合，A ={a,a +b,a +2b}B ={a,ac,a }c 2A =B {a +b =ac a +2b =ac 2{a +b =ac 2a +2b =acb c =1c =1B =B ={a,a,a}b c =1c =1c =−12c =−12b =−a 34C A B A +B A B P (A ⋅B)=P (A)+P (B)−P (A +B)A B A ∪B则“该中学喜欢篮球或足球的学生”为集合，如图，所以该中学既喜欢篮球又喜欢足球的学生数为人.故选.3.【答案】C【考点】集合的无序性集合的相等【解析】化简，，利用，即可得出结论．【解答】解：，假设，解得或(舍去)，(舍去)，该假设不合题意；假设，解得，，该假设满足题意；.故选.4.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】A ∪B =85A ∩B =63+76−85=54D A B A =B ∵A =B {x =，x 2y =2y ，∴x =0x =1y =0∴{=y ，x 2x =2y ，∴(2y =y )2y =14x =12∴∴x −y =−=121414C无【解答】解：因为，，所以．故选．5.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】求出的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断求解．【解答】解：由得，解得或．要使“”是“”的充分不必要条件，则．故选.6.【答案】A【考点】集合的包含关系判断及应用集合关系中的参数取值问题【解析】由已知先求出集合，然后结合集合的包含关系即可直接求解．【解答】解：因为，，若，则解得：.故选.7.A ={x|x >3}B ={x|x >7}A ∪B =(3,+∞)A <13x +1<13x +1−1=<03x +1−x +2x +1x <−1x >2x >k <13x +1k ≥2C B A ={x|−2≤x ≤−1}B ={y|y =−2x +a,x ∈A}={y|2+a ≤y ≤4+a}A ⊆B {4+a ≥−1,2+a ≤−2,−5≤a ≤−4A【答案】D【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】先求出，为真时的值，再利用充分必要条件求解即可.【解答】解：由，可得，由，可得.∵是的充分不必要条件，∴，∴.故选.8.【答案】B【考点】不等式恒成立问题基本不等式在最值问题中的应用【解析】由，，＝得，＝，于是问题转化为：恒成立，令＝，求得的最大值，只需即可．【解答】∵，，＝，∴＝，∴恒成立，转化为恒成立，令＝＝，又由，，＝得：＝，∴（当且仅当，时取“＝”）；∴＝．p q x −+6x −8>0x 22<x <4−(m +1)x +m <0x 21<x <m p q {x|2<x <4} {x|1<x <m}m ≥4D a >0b >02a +b 14+a 2b 21−4ab t ≥2+4ab −ab −−√12f(a,b)2+4ab −ab −−√12f(a,b)t ≥f(a,b)max a >0b >02a +b 14+a 2b 21−4ab 2−4−≤t −ab −−√a 2b 212t ≥2+4ab −ab −−√12f(a,b)2+4ab −=4(ab +−)ab −−√1212ab −−√184−(+)ab −−√14234a >0b >02a +b 112a +b ≥22ab −−−√ab ≤18a =14b =12f(a,b)max 4−=(+)18−−√142342–√2≥–√．二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】B,C,D【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】略10.【答案】A,B【考点】子集与真子集【解析】恰有两个子集的集合只有一个元素，进而求解．【解答】集合恰有两个子集，则集合中只有一个元素，当＝时，，满足题意；当时，＝＝，即＝，此时＝，满足题意；故的值为，．11.【答案】A,D【考点】命题的真假判断与应用t ≥2–√2A A a 0a ≠0△4+4a 0a −1A {−1}a 0−1必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：对于，由，能得到，反之也成立，故正确.对于，由基本不等式可知当且仅当，解得，无解，所以等号不成立，所以取不到最小值，错误；对于，命题""的否定是“”，故错误.对于，函数有负值，则，解得或，故正确.故选.12.【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用基本不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】结合基本不等式以及基本不等式取得最值的条件对每个选项进行分析即可求解.【解答】解：对于，，当且仅当时取等号，解得无解，即式子最小值取不到，故错误；对于，时，，当且仅当时取等号成立，故正确；A ab >0>0a b AB +≥2,+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√=+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√=−1x 2B C ∀x >1,−x >0x 2∃>1,−≤0x 0x 20x 0C D y =−ax +1x 2Δ=−4>0(−a)2a >2a <−2D AD A y ==++3x 2+2x 2−−−−−√+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√≥2=2⋅+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−√=+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√x 2A B x <0y =x +=−[(−x)+(−)]1x 1x ≤−2=−2(−x)⋅(−)1x−−−−−−−−−−√x =−1B =2−3x −≤2−2=2−4−−−−−对于，时，，当且仅当时取等号，即式子的最大值是，故正确；对于，由中结论可知，无最大值，故错误.故选.三、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13.【答案】【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】由于命题：“，使得”为假命题，可得命题的否定是：“，”为真命题，因此，解出即可．【解答】解：∵命题：“，使得”为假命题，∴命题的否定是：“，”为真命题，∴，即，解得，∴实数的取值范围是．故答案为：．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14.【答案】解：由题得，∵，∴，∴或或或．当时，，无解；当时，得；当时，C x >0y =2−3x −≤2−2=2−44x 3x ⋅4x −−−−−√3–√3x =4x 2−43–√CD A y =+3x 2+2x 2−−−−−√D BC [−1,2]∃x ∈R +2mx +m +2<0x 2∀x ∈R +2mx +m +2≥0x 2Δ≤0∃x ∈R +2mx +m +2<0x 2∀x ∈R +2mx +m +2≥0x 2Δ≤04−4(m +2)≤0m 2−1≤m ≤2m [−1,2][−1,2]A ={1,2}A ∪B =A B ⊆A B =∅{1}{2}{1,2}B =∅Δ=−4(a −1)<0a 2B ={1}{1+1=a,1×1=a −1,a =2B ={2}{2+2=a,2×2=a −1,无解；当时，得．综上可知，或．【考点】集合关系中的参数取值问题根与系数的关系【解析】【解答】解：由题得，∵，∴，∴或或或．当时，，无解；当时，得；当时，无解；当时，得．综上可知，或．15.【答案】解：设椭圆的右焦点为，，则，①由，得，②又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，得，则，③联立①②③，解得，，，所以椭圆的方程为．为定值．证明如下：显然，直线不与轴垂直，可设的方程为，B ={1,2}{1+2=a,1×2=a −1,a =3a =2a =3A ={1,2}A ∪B =A B ⊆A B =∅{1}{2}{1,2}B =∅Δ=−4(a −1)<0a 2B ={1}{1+1=a,1×1=a −1,a =2B ={2}{2+2=a,2×2=a −1,B ={1,2}{1+2=a,1×2=a −1,a =3a =2a =3(1)F(c,0)c >0=+a 2b 2c 2AF =3a +c =3l ⊥x P Q c x =c +=1x 2a 2y 2b 2y =±b 2a PQ ==32b 2a =4a 2=3b 2=1c 2C +=1x 24y 23(2)k 1k 2−14PQ y PQ x =my +1=122联立椭圆方程，消去并整理得，又设，，由韦达定理得从而，，所以，即，故得证．由知，所以．令，，则，设函数，由知，在上为增函数，得，即时，，此时取得最大值为．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题利用导数研究函数的最值根与系数的关系直线与椭圆结合的最值问题+=1x 24y 23x (3+4)+6my −9=0m 2y 2P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2 +=−y 1y 26m 3+4m 2=y 1y 2−93+4m 2+=(m +1)+(m +1)=x 1x 2y 1y 283+4m 2=(m +1)(m +1)=x 1x 2y 1y 2−12+4m 23+4m 2==k 1k 2y 1y 2(+2)(+2)x 1x 2y 1y 2+2(+)+4x 1x 2x 1x 2===−−93+4m 2++4−12+4m 23+4m 2163+4m 2−93614=−k 1k 214(3)(2) +=−，y 1y 26m 3+4m 2=，y 1y 2−93+4m 2S =AF ⋅|−|=|−|=12y 1y 232y 1y 232(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√==1832(−+6m 3+4m 2)2363+4m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+1m 2(3+4m 2)2−−−−−−−−−−√=18+1m 29(+1+6(+1)+1m 2)2m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=1819(+1)++6m 21+1m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− t =+1m 2t ≥1S =(t ≥1)189t ++61t −−−−−−−−−√g(t)=9t +(t ≥1)1t (9t +)'=9−=>01t 1t 29−1t 2t 2g(t)[1,+∞)t =1m =0[g(t)=9×1+=10]min 11S =1810+6−−−−−√92椭圆的标准方程【解析】对第（1）问，由，，及可求得，；对第（2）问，可先设直线的方程与，的坐标，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理建立交点坐标的关系，将用坐标表示，再探求定值的存在性；对第（3）问，根据，将用参数表示，从而得到面积关于函数，根据此函数的形式特点，可求得面积的最大值．【解答】解：设椭圆的右焦点为，，则，①由，得，②又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，得，则，③联立①②③，解得，，，所以椭圆的方程为．为定值．证明如下：显然，直线不与轴垂直，可设的方程为，联立椭圆方程，消去并整理得，又设，，由韦达定理得从而，，所以，即，故得证．由知，所以AF =3PQ =3=+a 2b 2c 2a 2b 2PQ P Q k 1k 2=AF ⋅|−|S △APQ 12y 1y 2|−|y 1y 2m m (1)F(c,0)c >0=+a 2b 2c 2AF =3a +c =3l ⊥x P Q c x =c +=1x 2a 2y 2b 2y =±b 2a PQ ==32b 2a =4a 2=3b 2=1c 2C +=1x 24y 23(2)k 1k 2−14PQ y PQ x =my +1+=1x 24y 23x (3+4)+6my −9=0m 2y 2P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2 +=−y 1y 26m 3+4m 2=y 1y 2−93+4m 2+=(m +1)+(m +1)=x 1x 2y 1y 283+4m 2=(m +1)(m +1)=x 1x 2y 1y 2−12+4m 23+4m 2==k 1k 2y 1y 2(+2)(+2)x 1x 2y 1y 2+2(+)+4x 1x 2x 1x 2===−−93+4m 2++4−12+4m 23+4m 2163+4m 2−93614=−k 1k 214(3)(2) +=−，y 1y 26m 3+4m 2=，y 1y 2−93+4m 2S =AF ⋅|−|=|−|=12y 1y 232y 1y 232(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=18−−−−−−−−−−．令，，则，设函数，由知，在上为增函数，得，即时，，此时取得最大值为．16.【答案】【考点】基本不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】解：∵．∴可得：∴解得：．∴不等式的解集为．【考点】分式不等式的解法一元二次不等式的解法==1832(−+6m 3+4m 2)2363+4m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+1m 2(3+4m 2)2−−−−−−−−−−√=18+1m 29(+1+6(+1)+1m 2)2m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=1819(+1)++6m 21+1m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− t =+1m 2t ≥1S =(t ≥1)189t ++61t −−−−−−−−−√g(t)=9t +(t ≥1)1t (9t +)'=9−=>01t 1t 29−1t 2t 2g(t)[1,+∞)t =1m =0[g(t)=9×1+=10]min 11S =1810+6−−−−−√92<0x −3x +7{(x −3)(x +7)<0，x +7≠0，−7<x <3{x |−7<x <3}【解析】（1）由题意可得：，或，进而即可得解．【解答】解：∵．∴可得：∴解得：．∴不等式的解集为．18.【答案】解：∵命题：对任意，不等式恒成立，而，有，，解得，∴为真命题时，实数的取值范围是.命题：存在，使得不等式成立，只需，∵，，，解得，即命题为真时，实数的取值范围是.由题意，命题，一真一假，若为假命题，为真命题，则解得；若为假命题，为真命题，则解得.综上所述，实数的取值范围为或.【考点】一元二次不等式的解法复合命题及其真假判断逻辑联结词“或”“且”“非”【解析】{x −3>0x +7<0{x −3<0x +7>0<0x −3x +7{(x −3)(x +7)<0，x +7≠0，−7<x <3{x |−7<x <3}(1)p x ∈[0,1]2x −2≥−3m m 2x ∈[0,1]=−2(2x −2)min ∴−2≥−3m m 21≤m ≤2p m 1≤m ≤2(2)q x ∈[−1,1]−x +m −1≤0x 2≤0(−x +m −1)x 2min −x +m −1=+m −x 2(x −)12254∴=−+m (−x +m −1)x 2min 54∴−+m ≤054m ≤54q m m ≤54p q p q m <1或m >2,m ≤,54m <1q p 1≤m ≤2,m >,54<m ≤254m m <1<m ≤254x ∈[0,1],≥−3m(2x −2)2命题为真，只需，根据一次函数的单调性，转化为求关于的一元二次不等式；（2）命题为真，只需，根据二次函数的性质，求出的范围，依题意求出真假，和假真时，实数的取值范围．【解答】解：∵命题：对任意，不等式恒成立，而，有，，解得，∴为真命题时，实数的取值范围是.命题：存在，使得不等式成立，只需，∵，，，解得，即命题为真时，实数的取值范围是.由题意，命题，一真一假，若为假命题，为真命题，则解得；若为假命题，为真命题，则解得.综上所述，实数的取值范围为或.19.【答案】解：∵，∴，，∴，故不等式的解集为.∵不等式对任意恒成立，∴恒成立.∵，∴，∴即，故的取值范围为.【考点】不等式恒成立问题二次函数的性质P x ∈[0,1],≥−3m (2x −2)min m 2m 4x ∈[−1,1],≤0(−x +m −1)x 2min m P 4P 4m (1)p x ∈[0,1]2x −2≥−3m m 2x ∈[0,1]=−2(2x −2)min ∴−2≥−3m m 21≤m ≤2p m 1≤m ≤2(2)q x ∈[−1,1]−x +m −1≤0x 2≤0(−x +m −1)x 2min −x +m −1=+m −x 2(x −)12254∴=−+m (−x +m −1)x 2min 54∴−+m ≤054m ≤54q m m ≤54p q p q m <1或m >2,m ≤,54m <1q p 1≤m ≤2,m >,54<m ≤254m m <1<m ≤254(1)−4x +5<2x 2−4x +3<0x 2(x −3)(x −1)<01<x <3(1,3)(2)f (x)>m −3x ∈R f(x >m −3)min f(x)=(x −2+1)2f(x =1)min m −3<1m <4m (−∞，4)一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，，∴，故不等式的解集为.∵不等式对任意恒成立，∴恒成立.∵，∴，∴即，故的取值范围为.(1)−4x +5<2x 2−4x +3<0x 2(x −3)(x −1)<01<x <3(1,3)(2)f (x)>m −3x ∈R f(x >m −3)min f(x)=(x −2+1)2f(x =1)min m −3<1m <4m (−∞，4)。

高中数学第二章函数测试题北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题

第二章测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，在(－∞，0)上为递增的是( ) A ．f (x )＝－2x ＋1 B ．g (x )＝|x －1| C ．y ＝1xD ．y ＝－1x[答案] D[解析] 熟悉简单函数的图像，并结合图像判断函数单调性，易知选D. 2．下列四个图像中，表示的不是函数图像的是( )[答案] B[解析] 选项B 中，当x 取某一个值时，y 可能有2个值与之对应，不符合函数的定义，它不是函数的图像．3．函数f (x )＝x －2＋1x －3的定义域是( ) A ．[2,3)B ．(3，＋∞)C ．[2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)[答案] C[解析] 要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0x －3≠0解得x ≥2且x ≠3.故选C.4．二次函数y ＝－2(x ＋1)2＋8的最值情况是( ) A ．最小值是8，无最大值 B ．最大值是－2，无最小值 C ．最大值是8，无最小值 D ．最小值是－2，无最大值 [答案] C[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x ＝－1时，函数有最大值8，无最小值． 5．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b 是从A 到B 的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f 作用下的像是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] A[解析] 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1，10a ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2.于是y ＝x －2，因此5在f 下的像是5－2＝3.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，f x ＋2，x <0，那么f (－3)的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．0 D ．1[答案] B[解析] 依题意有f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1＋1＝2，即f (－3)＝2.7．不论m 取何值，二次函数y ＝x 2＋(2－m )x ＋m 的图像总过的点是( ) A ．(1,3) B ．(1,0) C ．(－1,3) D ．(－1,0)[答案] A[解析] 由题意知x 2＋2x －y ＋m (1－x )＝0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －y ＝01－x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3，∴图像总过点(1,3)．8．定义在R 上的偶函数f (x )在区间[－2，－1]上是增函数，将f (x )的图像沿x 轴向右平移2个单位，得到函数g (x )的图像，则g (x )在下列区间上一定是减函数的是( )A ．[3,4]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[－1,0][答案] A[解析] 偶函数f (x )在[－2，－1]上为增函数，则在[1,2]上为减函数，f (x )向右平移2个单位后在[3,4]上是减函数．9．若函数f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则( ) A ．f (3)＋f (4)<0 B ．f (－3)－f (－2)<0 C ．f (－2)＋f (－5)<0 D ．f (4)－f (－1)>0 [答案] D[解析] 由题意知函数f (x )在[0,6]上递增．A 中f (3)＋f (4)与0的大小不定，A 错；B 中f (－3)－f (－2)＝f (3)－f (2)>0，B 错；C 中f (－2)＋f (－5)＝f (2)＋f (5)与0的大小不定，C 错；D 中f (4)－f (－1)＝f (4)－f (1)>0，D 正确． 10．若函数y ＝kx ＋5kx 2＋4kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值X 围为( )A ．(0，34)B ．(34，＋∞)C ．(－∞，0)D ．[0，34)[答案] D[解析]∵函数的定义域为R ，∴kx 2＋4kx ＋3恒不为零，则k ＝0时，成立；k ≠0时，Δ<0，也成立．∴0≤k <34.11．函数y ＝ax 2－bx ＋c (a ≠0)的图像过点(－1,0)，则ab ＋c ＋ba ＋c －ca ＋b的值是( )A ．－1B ．1 C.12 D ．－12[答案] A[解析]∵函数y ＝ax 2－bx ＋c (a ≠0)的图像过(－1,0)点，则有a ＋b ＋c ＝0，即a ＋b ＝－c ，b ＋c ＝－a ，a ＋c ＝－b . ∴ab ＋c ＋ba ＋c －ca ＋b＝－1.12．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23[答案] A[解析]由题意得|2x－1|<13⇒－13<2x－1<13⇒23<2x<43⇒13<x<23，∴选A. 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．将二次函数y＝x2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是________．[答案]y＝x2＋4x＋2[解析]y＝(x＋2)2＋1－3＝(x＋2)2－2＝x2＋4x＋2.14．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.[答案]0[解析]本题考查偶函数的定义等基础知识．∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即x2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，∴|x－a|＝|x＋a|，平方，整理得：ax＝0，要使x∈R时恒成立，则a＝0.15．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f[g(1)]的值为当g[f(x)]＝2时，x＝________.[答案] 1 1[解析]f[g(1)]＝f(3)＝1，∵g[f(x)]＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如：解析式为y＝2x2＋1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y＝2x2＋1，x∈{－2}；②y＝2x2＋1，x∈{2}；③y＝2x2＋1，x∈{－2,2}．那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有________个．[答案] 3[解析] 根据定义，满足函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有：y ＝2x 2＋1，x ∈{0，2}；y ＝2x 2＋1，x ∈{0，－2}，y ＝2x 2＋1，x ∈{－2，0，2}共3个．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2|x |≤11 |x |>1，(1)画出f (x )的图像； (2)求f (x )的定义域和值域．[分析] 解答本题可分段画出图像，再结合图像求函数值域． [解析] (1)利用描点法，作出f (x )的图像，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图像知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－3,3]． (1)当a ＝－5时，求f (x )的最大值和最小值；(2)某某数a 的取值X 围，使y ＝f (x )在区间[－3,3]上是单调函数． [解析] (1)当a ＝－5时，f (x )＝x 2＋10x ＋2＝(x ＋5)2－23，x ∈[－3,3]，又因为二次函数开口向上，且对称轴为x ＝－5，所以当x ＝－3时，f (x )min ＝－19，当x ＝3时，f (x )max ＝41.(2)函数f (x )＝(x －a )2＋2－a 2的图像的对称轴为x ＝a ，因为f (x )在[－3,3]上是单调函数，所以a ≤－3或a ≥3.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增加的；(2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．[解析] (1)设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝(1a －1x 1)－(1a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2.∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0. ∴x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增加的． (2)∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又∵f (x )在[12，2]上是增加的，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 12＝12，f 2＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －2＝121a －12＝2.∴a ＝25.20．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域． [解析] 由{x |－2<x <2，x ∈Z }＝{－1,0,1}． (1)由－2m 2－m ＋3>0，∴2m 2＋m －3<0，∴－32<m <1，∴m ＝－1或0.由(2)知f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2为偶函数，舍去．当m ＝0时，f (x )＝x 3为奇函数． ∴f (x )＝x 3.当x ∈[0,3]时，f (x )在[0,3]上为增函数， ∴f (x )的值域为[0,27]．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)． (1)证明：f (x )是偶函数；(2)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数；(3)求函数的值域．[解析] (1)证明：∵定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12－2，x ≥0，x ＋12－2，x <0.根据二次函数的作图方法，可得函数图像，如图函数f (x )的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f (x )在区间[－3，－1)，[0,1]上为减函数，在[－1,0)，[1,3]上为增函数．(3)当x ≥0时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f (3)＝2. 当x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f (－3)＝2. 故函数f (x )的值域为[－2,2]．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋x 3，x ∈R . (1)判断函数f (x )的单调性，并证明你的结论；(2)若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，试比较f (a )＋f (b )与0的大小． [解析] (1)函数f (x )＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数，证明如下：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋x 31)－(x 2＋x 32)＝(x 1－x 2)＋(x 31－x 32)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1]．因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1>0.所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数． (2)由a ＋b >0，得a >－b ，由(1)知f (a )>f (－b )，因为f (x )的定义域为R ，定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝(－x )＋(－x )3＝－x －x 3＝－(x ＋x 3)＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．于是有f(－b)＝－f(b)，所以f(a)>－f(b)，从而f(a)＋f(b)>0.。

2024-2025学年高一数学必修第一册(北师版)教学课件第六章-§1获取数据的途径

高中数学必修第一册北师大版
三、抽查中的公平性与代表性
例3 为了缓解城市的交通拥堵情况,某城市准备出台限制私家车的政策,为此要进行民意调查,某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民,你认为这样的调查结果会怎样? 解：由于要出台限制私家车的政策,抽查的市民又是拥有私家车的市民,因此调查结果倾向于反对出台限制私家车的政策. 如果要调查出市民对政策的真实意见,需要对市民的各个群体进行抽查,还需要对一些社会团体(比如公交公司、消防、医院等)的运营状况进行调查,这样才能比较真实地反映出社会的实际情况,了解市民的心声.
高中数学必修第一册北师大版
课堂小结
1.知识清单： (1)直接获取数据和间接获取数据. (2)普查和抽样调查，各自的优缺点. (3)总体和样本，样本容量. 2.常见误区：不能正确区分总体、个体、样本、样本容量.
高中数学必修第一册北师大版
反思感悟抽查应遵循的原则 (1)在抽样时必须做到抽样的随机性,即为了使抽取的样本能够很好地反映总体,必须排除人为主观因素的影响, 使收集到的样本与总体分布的情况基本吻合. (2)抽样的过程必须科学、合理,使所有个体被抽到的可能性相等,即按随机原则抽取样本,同时可以按照一定的可能性来保证将抽样误差控制在规定的范围内.
反思感悟
反思感悟普查与抽查的选取原则对生活中实际问题的调查,往往需要选用合适的调查方式,这要根据调查对象的特点、普查的特点、抽查的特点来确定.一般若需要调查所有对象,则选用普查的方式;若调查具有破坏性或无法实现,则选用抽查的方法.
高中数学必修第一册北师大版
跟踪训练指出下列问题适合用普查还是抽查. (1)某学校为了掌握全体教师的身体健康状况,请一家医院对全体教师进行体检; (2)某渔民想知道他的鱼塘所养的鱼的成长状况; (3)银行在收进储户现金时检验有没有假钞; (4)英语老师在课堂上用10分钟的时间了解班里同学记单词和短语的情况. 解： (1)普查.(2)抽查.(3)普查.(4)抽查.

北师大版高中数学必修一高一年级第一次月考

高中数学 第一章 预备知识质量评估卷练测评(含解析)北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题

北师大版高中数学必修1第一单元试卷及答案

北师大版高中数学必修一学期高一月考.doc

高中北师大版数学必修1第1章至第四章学业质量标准检测

高一数学高中数学北师大版试题答案及解析

北师大版高中数学必修一~高一年级第一次月考.doc

2023_2024学年新教材高中数学第四单元作业课件北师大版必修第一册

高中卷一北师大版高中数学必修一专题复习

2022版高中数学第二章函数的表示法映射提升训练含解析北师大版必修1

北师大版高中数学必修第一册课后习题 第一章 1.3 第1课时 交集和并集

第一章-1.1-集合的概念与表示高中数学必修第一册北师大版

高中数学必修一第一章测试题附答案

新教材北师大版高中数学必修第一册练习-换底公式答案含解析

北师大版高中数学课件必修第1册第一章 预备知识

高中数学 第1章 集合滚动训练 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题

2022-2023学年北师大版高一上数学月考试卷(含解析)

高中数学 第二章 函数测试题 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题

2024-2025学年高一数学必修第一册(北师版)教学课件第六章-§1获取数据的途径

高中数学第一章预备知识质量评估卷练测评(含解析)北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题

北师大版高中数学必修第一册课后习题第一章 1.3 第1课时交集和并集

北师大版高中数学课件必修第1册第一章预备知识

高中数学第1章集合滚动训练北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题

高中数学第二章函数测试题北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题