二00七学年第一学期高二期中考试数学试题(理)
北京市北京市海淀区顶级名校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题
【答案】B
【解析】
【详解】当 且 时,我们可以得到 或 （因为直线 与平面 的位置关系不确定）,所以充分性不成立;当 时,过直线 可做平面 与平面 交于直线 ,则有பைடு நூலகம்.又有 ,则有 ,即 .所以必要性成立,故选 .
8.已知正方体 ，给出下列四个结论：
因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误；
对于 ，平面 平面 ，理由是：
由 ， ， ， 分别是棱 ， ， ， 的中点，
得出 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，
又 ，所以平面 平面 ．
故选： ．
7.已知直线 平面 ，则“直线 ”是“ ”的( )
A.平面 与平面 垂直
B.平面 与平面 所成的（锐）二面角为
C.平面 与平面 平行
D.平面 与平面 所成的（锐）二面角为
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分析可得 重合于同一点，且 所成的角为直角，即可得出.
【详解】设 ，则根据题意得点 是过点 作平面 垂线的垂足，
， 点 是过点 作平面 垂线的垂足，
（1）判断 与 是否垂直，并证明；
（2）若点 为棱 的中点，点 在直线 上，且点 到平面 的距离为 ，求线段 的长.
（3）求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
注：若选择①和②分别作答，按选择①给分.
20.对于平面直角坐标系中的两点 ，现定义由点 到点 的“折线距离” 为 .
（1）已知 ，求 ；
同理，若 ，得点 是过点 作平面 垂线的垂足，
得点 是过点 作平面 垂线的垂足，
广东省深圳市深圳中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题年级：高二科目：数学注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。
选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净。
一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）1．在等差数列{}n a 中，4820a a +=，712a =，则4a =（ ） A ．4B ．5C ．6D ．82．在等比数列{}n a 中，若52a =，387a a a =，则{}n a 的公比q =（ ）A B ．2C ．D ．43．已知两条直线1l ：350x y +−=和2l ：0x ay −=相互垂直，则a =（ ） A ．13B ．13−C ．3−D ．34．已知椭圆C 的一个焦点为(1,0，且过点(，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22123x y +=B ．22143x y +=C ．22132x y +=D ．22134x y +=5．在等比数列{}n a 中，24334a a a =，且652a a =，则{}n a 的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．276．已知F 是双曲线C ：2213x y −=的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，2OF PF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．1B C D ．127．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()1,0F c −、()2,0F c ，若椭圆C 上存在一点P ，使得12PF F ∆的内切圆的半径为2c，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．30,5B ．40,5C ．3,15D ．4,158．已知双曲线C ：22221x y a b−=（0a >，0b >），点B 的坐标为()0,b ，若C 上的任意一点P 都满足PB b ≥，则C 的离心率取值范围是（ ）A ．B ．+∞C ．(D ．)+∞二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，51a =，则（ ） A ．222a a +=B ．371a a =C ．99S =D ．1010S =10，已知圆M ：22430x y x +−+=，则下列说法正确的是（ ） A ．点()4,0在随M 内 B ．圆M 关于320x y +−=对称CD ．直线0x −=与圆M 相切11．已知双曲线22221x y a b−=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （0k ≠）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若AB ≥（ ）A ．23BCD 12．若数列{}n a 满足121a a ==，12n n n a a a −−=+（3n ≥），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以n a 为边长的正方形中的扇形面积为n b ，数列{}n b 的前n 项和为n S ．则下列说法正确的是（ ）：A ．821a =B ．2023a 是奇数C ．24620222023a a a a a ++++=D ．2023202320244s a a π=⋅三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13．数列{}n a 的通项公式n a =，若9n S =，则n = ．14．已知直线l ：y x =被圆C ：()()22231x y r −+−=（0r >）截得的弦长为2，则r = ． 15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右两焦点分别是1F 、2F ，其中122F F c =．椭圆C 上存在一点A ，满足2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是 ．16．已知A ，B 分别是椭圆E ：22143x y +=的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD的斜率1k ，2k 满足122k k =，则直线CD 过定点，定点坐标为 ．四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()2214x y ++=与圆2C ：()22310x y +−=相交于P ，Q 两点． （1）求线段PQ 的长；（2）记圆1C 与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆2C 上滑动，求2MNC ∆面积最大时的直线MN 的方程． 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，{}n b 为等比数列，且11b =，0n b >，2210b S +=，53253S b a =+，*n N ∈． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．19．已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4370x y −+=相切． （1）求圆的方程；（2）设直线420ax y a −+−=与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点()3,1P −？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系xOy 中，圆1O ：()2221x y ++=，圆2O ：()2221x y −+=，点()1,0H ，一动圆M 与圆1O 内切、与圆2O 外切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）是否存在一条过定点的动直线l ，与（1）中的轨迹E 交于A 、B 两点，并且满足HA ⊥HB ？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且44a =，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，113b =，且()n n S T =．（1）求n T ； （2令nn na cb =，求正整数n ，使得“11n n n c c c −+=+”与“n c 是1n c −，1n c +的等差中项”同时成立； （3）设27n n d a =+，()()112nn nn n d e d d +−+=，求数列{}n e 的前2n 项和2n Y ．22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F，12F F =P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线1PF ，PO ，2PF 分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有112PF F M =．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求12POF POF PQMPQNs s s s ∆∆∆∆+的最大值。
北京市房山区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含答案
房山区2023-2024学年度第一学期期中学业水平调研高二数学（答案在最后）第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知()1,3A -，()3,5B ，则线段AB 的中点坐标为（）A.（1，4）B.（2，1）C.（2，8）D.（4，2）【答案】A 【解析】【分析】用中点坐标公式即可求解.【详解】设线段AB 的中点坐标为(),M a b ，则132352a b -+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即14a b =⎧⎨=⎩，则线段AB 的中点坐标为()1,4M .故选：A.2.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 中点．设AB a =，AD b =，1AA c = ，用基底{},,a b c 表示向量AE，则AE = （）A.a b c ++r r rB.12a b c++ C.12a b c++ D.12a b c ++ 【答案】B【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.【详解】11122AE AC CE AB AD AA a b c =+=++=++.故选：B3.在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C 【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解【详解】连接1A D ，DB ，如图，因为正方体中11//A D B C ，所以1BA D ∠就是1A B 与1B C 所成的角，在1BA D 中，11A D A B BD ==.∴160BA D ∠=︒.故选：C4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11AA BC ⋅=（）A. B. C.2D.4【解析】【分析】根据向量数量积定义计算即可.【详解】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,易知12AA =，1BC = 因为11AA BB = ，1BB 与1BC 的夹角为π4，所以1AA 与1BC 的夹角为π4，1111π2cos 2442AA BC AA BC ⋅=⋅=⨯= .故选：D5.如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，则下列叙述中错误的是（）A.ACD ∠是直线AC 与平面BCD 所成角B.ABD ∠是二面角A BC D --的一个平面角C.线段AC 的长是点A 到直线BC 的距离D.线段AD 的长是点A 到平面BCD 的距离【答案】B 【解析】【分析】根据线面垂直即可求解AD ，根据BC ⊥平面ACD ，即可得BC AC ⊥，进而判断C ，结合二面角的定义即可判断B.【详解】对于AD ，由于AD ⊥平面BCD ，所以ACD ∠是直线AC 与平面BCD 所成角，线段AD 的长是点A 到平面BCD 的距离，故AD 正确，对于B ，AD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ,所以BC AD ⊥,又BC CD ⊥，,,AD CD D AD CD =⊂ 平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD ，CA ⊂平面ACD ,故BC AC ⊥,又BC CD ⊥，AC ⊂平面ABC ,CD ⊂平面BCD ,故ACD ∠是二面角A BC D --的一个平面角，故B 错误，对于C ，由于BC AC ⊥，所以线段AC 的长是点A 到直线BC 的距离，C 正确,故选：B6.已知直线1l ：()210x a y a +-+=与直线2l ：20ax y ++=平行，则a 的值为（）A.1-或2B.13C.2D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据两直线平行，即可列式求解.【详解】因为12l l //，所以2112a a a -=≠，解得：1a =-.故选：D7.在同一平面直角坐标中，表示1l ：y ax b =+与2l ：y bx a =-的直线可能正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合各选项分析直线的斜率与在y 轴上的截距，即可判断.【详解】对于A ：由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故A 错误．对于B ：由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故B 错误．对于C ：由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b >，在y 轴上的截距0a ->，即a<0，故C 正确．对于D ：由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b <；而2l 的斜率0b >，矛盾，故D 错误．故选：C ．8.长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，M 为AB 的中点，1D M MC ⊥，则AD =（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】连接1CD ，设AD a =()0a >，表示出CM ，1CD ，1MD ，利用勾股定理计算可得.【详解】如图连接1CD ，设AD a =()0a >，则CM =1==CD ，1MD ==因为1D M MC ⊥，所以22211MC MD CD +=，即22158a a +++=，解得1a =（负值舍去）.故选：A9.设P 为直线1y =-上的动点，过点P 作圆C ：()()22324x y ++-=的切线，则切线长的最小值为（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再求出切线长即可.【详解】圆心为()3,2C -，半径为2r =，设切点为Q ，要使得切线长PQ 最小，则CP 最小，此时CP l ⊥，所以3CP =，所以PQ ==故选：B10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A -，()2,0B ，圆()()()221:204C x y m m -+-=>，在圆上存在点P 满足2PA PB =，则实数m 的取值范围是（）A.22⎣⎦B.521,42⎡⎢⎣⎦C.212⎛ ⎝⎦D.521,22⎢⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =求出点P 的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设(),P x y ，因为点()1,0A -，()2,0B ，2PA PB =，=22650x y x +-+=，所以()2234x y -+=，可得圆心()3,0，半径2R =，由圆()()221:24C x y m -+-=可得圆心()2,C m ，半径12r =，因为在圆C 上存在点P 满足2PA PB =，所以圆()2234x y -+=与圆()()221:24C x y m -+-=有公共点，所以112222-≤≤+，整理可得：2925144m ≤+≤，解得：52122m ≤≤，所以实数m的取值范围是22⎤⎢⎥⎣⎦，故选：D.第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.已知()2,1A ，()0,3B -，则直线AB 的斜率AB k =__________．【答案】2【解析】【分析】根据直线斜率公式进行计算即可.【详解】根据题意，1(3)220AB k --==-，故答案为：2.12.已知()0,0A ，()2,2B ，()4,2C ，则ABC 外接圆的方程为____________．【答案】22620x y x y +-+=【解析】【分析】首先设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，从而得到044220164420F D E F D E F =⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，再解方程组即可.【详解】设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则064422021644200F D D E F E D E F F ==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=⎨⎨⎪⎪++++==⎩⎩，所以ABC 外接圆的方程为：22620x y x y +-+=.故答案为：22620x y x y +-+=13.已知直线l 与平面α所成角为45︒，A ，B 是直线l 上两点，且6AB =，则线段AB 在平面α内的射影的长等于____________．【答案】【解析】【分析】依题意可得线段AB 在平面α内的射影的长等于45cos AB ︒.【详解】因为直线l 与平面α所成角为45︒，A ，B 是直线l 上两点，且6AB =，则线段AB 在平面α内的射影的长等于456s 2co AB ︒=⨯=故答案为：14.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，则点1D 到点B 的距离等于____________；点1D 到直线AC 的距离等于____________．【答案】①.②.5【解析】【分析】以向量DA ，DC ，1DD所在方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，根据两点间的距离公式可求点1D 到点B 的距离；连接1D A ，作1D E 垂直AC ，垂足为E ，求出向量1AD uuu r 在向量AC上的投影，由勾股定理即可求点1D 到直线AC 的距离.【详解】如图，以向量DA ，DC ，1DD所在方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由11AA AD ==，2AB =，则()10,0,1D ，()1,2,0B ，所以1D B ==，所以点1D 到点B .连接1D A ，作1D E 垂直AC ，垂足为E ，由()1,0,0A ，()0,2,0C ，所以()11,0,1AD =- ，()1,2,0AC =-，所以15AD AC AE AC⋅===，又1AD =，所以点1D 到直线AC 的距离5d ==.；5.15.已知圆O ：()2220x y rr +=>和直线l ：40x y -+=，则圆心O 到直线l 的距离等于_____________；若圆O 上有且仅有两个点到直线l ，写出一个符合要求的实数r 的值，r =______________．【答案】①.②.2（答案不唯一）.【解析】【分析】根据点到直线距离公式计算；将圆O 上有且仅有两个点到直线l 转化为半径与圆心O 到直线l 的距离之间的关系即可求解.【详解】圆心O 到直线l 的距离为d ==；因为圆O 上有且仅有两个点到直线l ，所以d r <-<r <<.故答案为：2（答案不唯一）.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PAB 是等边三角形，O 为AB 的中点，且PO ⊥底面ABCD ，点F 为棱PC 上一点．给出下面四个结论：①对任意点F ，都有CD OF ⊥；②存在点F ，使//OF 平面PAD ；③二面角P AC B --；④平面PAB ⊥平面ABCD ．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】②③④【解析】【分析】根据题意，利用空间直线与直线，直线与平面位置关系，依次进行判断即可.【详解】对于①，若点F 与点C 重合，显然不满足CD OF ⊥，所以①错；对于②，若点F 为线段PC 中点，取线段PD 中点E ，连接EF ，则//EF CD 且12EF CD =，所以//EF AO 且EF AO =，则四边形AOFE 为平行四边形，得//OF AE ，因为OF ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以//OF 平面PAD ，所以②正确；对于③，因为O 为AB 的中点，且PO ⊥底面ABCD ，过O 作OH AC ⊥于H ，则PHO ∠即为二面角P AC B --的平面角，根据边长可求得32PO =，4OH =，所以32tan 24PHO ∠==，所以③正确；对于④，因为PO ⊥底面ABCD ，PO ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ，所以④正确；故答案为：②③④三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知三条直线1l ：20x y +-=，2l ：3100x y -+=，3l ：3450x y -+=．（1）求直线1l ，2l 的交点M 的坐标；（2）求过点M 且与直线3l 平行的直线方程；（3）求过点M 且与直线3l 垂直的直线方程．【答案】（1）()1,3M -（2）34150x y -+=（3）4350x y +-=【解析】【分析】（1）联立直线方程，即可求解；（2）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解；（3）根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解；【小问1详解】联立203100x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩，故交点M 坐标为()1,3M -；【小问2详解】所求直线与直线3l 平行，则所求直线可设3405x y C C -+=≠（），所求直线过点()1,3M -，则()31430C ⨯--⨯+=，解得15C =，故所求直线方程为34150x y -+=；【小问3详解】所求直线与直线3l 垂直，则所求直线可设430x y D ++=，所求直线过点()1,3M -，则()41330D ⨯-+⨯+=，解得5D =-，故所求直线方程为4350x y +-=．18.已知圆C 的圆心为点()1,3C -，半径为2．（1）写出圆C 的标准方程；（2）若直线l ：20x y --=与圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）()()22134x y -++=（2）【解析】【分析】（1）根据圆的标准方程定义可得解；（2）求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得.【小问1详解】因为圆心()1,3C -，半径2r =，所以圆C 的标准方程为()()22134x y -++=.【小问2详解】圆心C 到直线l 的距离d ==2AB∴===AB ∴=19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，1==PA AB ，M 为PB 的中点．（1）求证：AM ⊥平面PBC ；（2）求直线PD 与平面PBC 所成角的大小；（3）求点D 到平面PBC 的距离．【答案】（1）见解析（2）π6（3）2【解析】【分析】（1）根据线线，线面的垂直关系的转化，即可证明线面垂直；（2）首先建立空间直角坐标系，由（1）可知向量AM是平面PBC 的法向量，利用向量法求线面角的大小；（3）根据（2）的结果，结合点到平面的距离的定义，即可求解.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，所以BC AM ⊥，因为PA AB =，且点M 是PB 的中点，所以AM PB ⊥，且BC PB B = ，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AM ⊥平面PBC ；【小问2详解】以点A 为原点，以向量,,AB AD AP 为,,x y z 轴的方向向量，建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，11,0,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,1,1PD =- ，由（1）可知，向量AM是平面PBC 的法向量，设直线PD 与平面PBC 所成角为θ，所以1sin cos ,2PD AM θ== ,则π6θ=，所以直线PD 与平面PBC 所成角的大小为π6；【小问3详解】因为1PA AD ==，则PD =由（2）可知，直线PD 与平面PBC 所成角的大小为π6，所以点D 到平面PBCπ62=.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，D 是BC的中点，BC =11A A AB AC ===．（1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）求二面角1D AC C --的余弦值；（3）判断直线11A B 与平面1ADC 是否相交，如果相交，求出A 到交点H 的距离；如果不相交，求直线11A B 到平面1ADC 的距离．【答案】（1）见解析（2）3（3）相交，AH =【解析】【分析】（1）构造中位线，利用线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值；（3）利用平面的性质，即可判断直线11A B 与平面1ADC 的位置关系，并利用图形求解.【小问1详解】连结1AC 交1AC 于点E ，连结DE，因为点,D E 分别是1,BC A C 的中点，所以1//DE A B ，且DE ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC ；【小问2详解】因为1AB AC ==，BC =，所以AB AC ⊥，且1A A ⊥平面ABC ，所以如图，以点A 为原点，以向量1,,AB AC AA 为,,x y z轴的方向向量建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，11,,022D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,1,1C ，11,,022AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10,1,1AC =uuu r ，设平面1ADC 的法向量为(),,m x y z=，则1110220AD m x y AC m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，令1x =，则1y =-，1z =，所以平面1ADC 的法向量为()1,1,1m =-，平面1ACC 的法向量()1,0,0n =，设二面角1D AC C --的平面角为θ，则13cos cos ,33m n m n m n θ⋅==== ，所以二面角1D AC C --的余弦值为33；【小问3详解】如图，延长1C D 交1B B 于点G ，连结GA 并延长，交11B A 的延长线于点H ，因为点D 是BC 的中点，所以11GB BB ==，所以112BA B H =，即111A H AA ==，则22112AH =+=21.已知圆M ：22420x y x y +--=和直线l ：1y kx =-．（1）写出圆M 的圆心和半径；（2）若在圆M 上存在两点A ，B 关于直线l 对称，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线AB 的方程．【答案】（1）圆心为()2,1，半径为5（2）30x y +-=或0x y +=【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径；（2）推出直线l 即为AB 的垂直平分线，过圆心()2,1M ，从而得到1k =，直线AB 的斜率为1-，再结合图形，得到当AB 过点M 和过原点时，满足要求，得到答案.【小问1详解】22420x y x y +--=变形为()()22215x y -+-=，故圆M 的圆心为()2,1【小问2详解】由垂径定理可知，线段AB 的垂直平分线一定过圆心()2,1M ，又A ，B 关于直线l 对称，故直线l 即为AB 的垂直平分线，所以直线l 过点()2,1M ，将其代入1y kx =-中得，211k -=，解得1k =，故直线AB 的斜率为1-，又以线段AB 为直径的圆经过原点，圆M 也经过原点，故当AB 过点M 时满足要求，此时直线AB 的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，当当AB 过原点时，也满足要求，此时直线AB 的方程为()00y x -=--，即0x y +=，综上，直线AB 的方程为30x y +-=或0x y +=.。
江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含解析
2023~2024学年第一学期高二期中调研试卷数学（答案在最后）注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页、包含单项选择题（第1题~第8题），多项选择题（第9题~第12题）.填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.直线320x y +-=的方向向量为（）A.()1,3- B.()1,3 C.()3,1- D.()3,1【答案】A 【解析】【分析】根据直线的斜率得到直线的一个方向向量为()1,k ，再求其共线向量即可.【详解】由题意得直线320x y +-=的斜率为-3，所以直线的一个方向向量为()1,3-，又()()1,31,3-=--，所以()1,3-也是直线320x y +-=的一个方向向量.故选：A.2.等差数列{}n a 中，若39218a a +=，则263a a +的值为（）A.36B.24C.18D.9【答案】B 【解析】【分析】由等差数列通项公式求基本量得5146d a a +==，再由2639532a a a a a +=++即可求值.【详解】令{}n a 的公差为d ，则3911122(2)831218a a a d a d a d +=+++=+=，即5146d a a +==，则2624683953218624a a a a a a a a a +=+++=++=+=.故选：B3.与直线3x﹣4y+5=0关于y 轴对称的直线方程是（）A.3x+4y+5=0 B.3x+4y﹣5=0C.3x﹣4y+5=0D.3x﹣4y﹣5=0【答案】B 【解析】【分析】分别求出直线3450x y -+=与坐标轴的交点，分别求得关于y 轴的对称点，即可求解直线的方程．【详解】令0x =，则54y =，可得直线3450x y -+=与y 轴的交点为5(0,)4，令0y =，则53x =-，可得直线3450x y -+=与x 轴的交点为5(,0)3-，此时关于y 轴的对称点为5(,0)3，所以与直线3450x y -+=关于y 轴对称的直线经过两点55(0,),(,0)43，其直线的方程为15534x y +=，化为3450x y +-=，故选B ．【点睛】本题主要考查了直线方程点的求解，以及点关于线的对称问题，其中解答中熟记点关于直线的对称点的求解，以及合理使用直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.经过原点和点()3,1-且圆心在直线350x y +-=上的圆的方程为（）A.()()22510125x y -++= B.()()22125x y ++-=C.()()22125x y -+-= D.2252539x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令圆心为(,53)x x -，由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可写出圆的方程.【详解】由题设，令圆心为(,53)x x -，又圆经过原点和点()3,1-，所以()()()2222253363r x x x x =+-=-+-，整理可得53x =，故圆心为5(,0)3，所以半径平方2259r =，则圆的方程为2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.故选：D5.设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.【详解】令{}n a 公差为d 且0d ≠的无穷等差数列，且11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，若{}n a 为递减数列，则0d <，结合一次函数性质，不论1a 为何值，存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，充分性成立；若存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，由于0d ≠，即{}n a 不为常数列，故1()n a dn a d =+-单调递减，即0d <，所以{}n a 为递减数列，必要性成立；所以“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的充分必要条件.故选：C6.已知点()4,3P ，点Q 在224x y +=的圆周上运动，点M 满足PM MQ =，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】A 【解析】【分析】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由动点转移法求得M 点轨迹方程，由方程确定轨迹后可得面积．【详解】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由PM MQ =得M 是线段PQ 中点，∴002423x x y y =-⎧⎨=-⎩，又Q 在圆224x y +=上，22(24)(23)4x y -+-=，即223(2)()12x y -+-=，∴M 点轨迹是半径为1的圆，面积为πS =，故选：A ．7.等比数列{}n a 中，123453a a a a a ++++=，222221234515a a a a a ++++=，则12345a a a a a -+-+=（）A.5-B.1-C.5D.1【答案】C 【解析】【分析】由等比数列前n 项和公式写出已知与待求式后，进行比较，已知两式相除即得.【详解】设公比为q ，显然1q ≠±，则由题意得5121012(1)31(1)151a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除得51(1)51a q q +=+，所以551112345[1()](1)51()1a q a q a a a a a q q--+-+-+===--+，故选：C.8.过点()2,0P 作圆2241x y y +-=的两条切线，设切点分别为,A B ，则PAB 的面积为（）A.8B.2C.8D.【答案】A 【解析】【分析】写出圆的标准方程得圆心为(0,2)C，半径r =，进而有||CP =，由圆的切线性质得||||BP AP ==，sin BPC BPC ∠=∠=，2BPA BPC ∠=∠，最后应用倍角正弦公式、三角形面积公式求PAB 面积.【详解】由题设，圆的标准方程为22(2)5x y +-=，圆心为(0,2)C，半径r =，所以||CP =，如下图示，切点分别为,A B，则||||BP AP ===，所以||||sin ||||BC BP BPC BPC CP CP ∠==∠==2BPA BPC ∠=∠，所以15sin sin 22sin cos 4BPA BPC BPC BPC ∠=∠=∠∠=，所以11||||sin 2248PAB S BP AP BPA =∠==.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9.已知直线:0l x my m ++=，若直线l 与连接()()3,2,2,1A B -两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（）A.2π3 B.π2C.π4D.π6【答案】ABC 【解析】【分析】求出直线l 过的定点，从而求得,AC BC k k ，进而利用数形结合可得直线l 倾斜角的范围，由此得解.【详解】因为直线:0l x my m ++=可化为()10x y m ++=，所以直线l 过定点()0,1C -，又()()3,2,2,1A B -，所以()21130AC k --==---，()11120BC k --==-，故直线AC 的倾斜角为3π4，直线BC 的倾斜角为π4，结合图象，可知直线l 的倾斜角范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故ABC 正确，D 错误.故选：ABC.10.设,n n S T 分别是等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前()*Nn n ∈项和，下列说法正确的是（）A.若15160a a +>，15170a a +<，则使0n S >的最大正整数n 的值为15B.若5nn T c =+（c 为常数），则必有1c =-C.51051510,,S S S S S --必为等差数列D.51051510,,T T T T T --必为等比数列【答案】BCD 【解析】【分析】A 由已知可得129152d a d -<<-，且0d <，再应用等差数列前n 项和公式及0n S >得1201a n d<<-，即可判断；B 由等比数列前n 项和公式有11511n n n b b q T c q q =-=+--，即可判断；C 、D 根据等差、等比数列片段和的性质直接判断.【详解】令{}n a 的公差为d ，则11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，所以151611517122902300a a a d a a a d +=+>⎧⎨+=+<⎩，故129152d a d -<<-，且0d <，使211(1)()0222n n n d dS na d n a n -=+=+->，则1201a n d <<-，而122930a d <-<，即121(30,31)ad-∈，故030n <≤，所以使0n S >的最大正整数n 的值为30，A 错；令{}n b 的公比为q 且0q ≠，则()11115111nnn n b q b b q T c qq q-==-=+---（公比不能为1），所以1511q b q =⎧⎪⎨=-⎪-⎩，即1c =-，B 对；根据等差、等比数列片段和的性质知：51051510,,S S S S S --必为等差数列，51051510,,T T T T T --必为等比数列，C 、D 对.故选：BCD11.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前()*Nn n ∈项和为nS，前()*Nn n ∈项积为nT ，若1132a=，56T T =，则（）A.2q = B.当且仅当6n =时，n T 取得最小值C.()*11N ,11n n T T n n -=∈< D.n n S T >的正整数n 的最大值为11【答案】AC 【解析】【分析】根据56T T =确定6a ，561a q a =求出q 的值确定A ，根据数列项的变化，确定B ，利用等比数列的基本量运算判断C ，根据n n S T >转化二次不等式，从而确定正整数n 的最大值判断D.【详解】对于A ，因为56T T =，所以6651T a T ==，因为56132a q a ==，解得2q =，故A 正确；对于B ，注意到61a =，故15,Z n n ≤≤∈时，01n a <<，7,Z n n ≥∈时，1n a >，所以当5n =或6n =时，n T 取得最小值，故B 错误；对于C ，()()()21111215*221231222N ,11n n n nnn n n n T a a a a a q n n --+++--===⋅=∈< ，()()()()2111011111112105*221112111222N ,11n n n n nn n n n T a a a a q n n -----+++----===⋅=∈< ，所以()*11N ,11n n T T n n -=∈<，故C 正确；对于D ，()1512112n n n a q S q--==-，21122n n n T -=，因为n n S T >，所以211252212n nn -->，即211102212n n n -+->，所以211102212n n n -+->，即211102n n n -+>，所以131322n <<，正整数n 的最大值为12，故D 错误，故选：AC.12.已知圆22:4C x y +=，圆22:860M x y x y m +--+=（）A.若8m =，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B.若9m =，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为()3,4--C.若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则16m >D.若圆M 恰好平分圆C 的周长，则4m =-【答案】AD 【解析】【分析】A 、B 将圆M 化为标准形式，确定圆心和半径，判断圆心距与两圆半径的关系，再求相交弦长判断；C 由题意知两圆相离，根据圆心距大于两圆半径之和及圆的方程有意义求参数范围；D 由题意相交弦所在直线必过(0,0)C ，并代入相交弦方程求参数即可.【详解】A ：8m =时圆22:(4)(3)17M x y -+-=，则(4,3)M，半径r =，而圆22:4C x y +=中(0,0)C ，半径2r '=，所以||5CM =，2||2CM -<<+，即两圆相交，此时相交弦方程为4360x y +-=，所以(0,0)C 到4360x y +-=的距离为65d =，故相交弦长为1625=，对；B ：9m =时圆22:(4)(3)16M x y -+-=，则(4,3)M ，半径4r =，同A 分析知：42||42CM -<<+，故两圆相交，错；C ：若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则两圆相离，则||2CM r r r '>+=+，而圆22:(4)(3)25M x y m -+-=-，即r =所以250162525m m ->⎧⎪⇒<<⎨<⎪⎩，错；D ：若圆M 恰好平分圆C 的周长，则相交弦所在直线必过(0,0)C ，两圆方程相减得相交弦方程为8640x y m +--=，将点代入可得4m =-，对.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13.若{}n a 是公差不为0的等差数列，248,,a a a 成等比数列，11a =，n S 为{}n a 的前()*Nn n ∈项和，则1210111S S S +++ 的值为___________．【答案】2011【解析】【分析】由等差数列中248,,a a a 成等比数列，解出公差为d ，得到n a ，求出n S ，裂项相消求1210111S S S +++ 的值.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，248,,a a a 成等比数列，由2428a a a =，则()()()211137a d a d a d +=++，即()()()213117d d d +=++，由0d ≠，得1d =，所以()11n a a n d n =+-=，则有()()1122n n n a a n n S ++==，得()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121011111101111112021211221311S S S ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- .故答案为：201114.平面直角坐标系xOy 中，过直线1:7310l x y -+=与2:430l x y +-=的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为_______________．（写成一般式）【答案】9550x y +-=【解析】【分析】设交点系方程，结合直线过(0,1)求方程即可.【详解】由题设，令直线l 的方程为731(43)0x y x y λ-+++-=，且直线过(0,1)，所以031(043)02λλ-+++-=⇒=，故直线l 的方程为9550x y +-=.故答案为：9550x y +-=15.如图，第一个正六边形111111A B C D E F 的面积是1，取正六边形111111A B C D E F 各边的中点222222,,,,,A B C D E F ，作第二个正六边形222222A B C D E F ，然后取正六边形222222A B C D E F 各边的中点333333,,,,,A B C D E F ，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为_______________．【答案】3414n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据题设分析出前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，应用等比数列前n 项和公式求面积和.【详解】由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为2，故它们面积比为34，所以前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，所以前n 个正六边形的面积之和31()344[1()]3414nn S -==--.故答案为：34[1()]4n-16.已知实数,,a b c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点()4,1A ，O 是坐标原点，直线:230l ax by c ++=．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段AM 的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及直线方程有:()(3)0l a x y c y +++=，求出直线所过的定点，结合已知M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,22C -，半径为2，问题化为求()4,1A 到该圆上点距离的最小值.【详解】由题设2b a c =+，则:()30l ax a c y c +++=，即:()(3)0l a x y c y +++=，令03303x y x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩，即直线l 恒过定点(3,3)B -，又OM l ⊥，所以M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,)22C -，半径为2，要求AM 的最小值，即求()4,1A 到该圆上点距离的最小值，而52||2CA =，所以min 22AM =-=四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线()1:2120l x a y ---=，()()()2:22130R l a x a y a ++++=∈．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）若1//l 2l ，求12,l l 之间的距离．【答案】（1）1a =-或52；（2【解析】【分析】（1）由两线垂直的判定列方程求参数即可；（2）由两线平行的判定列方程求参数，注意验证是否存在重合情况，再应用平行线距离公式求距离.【小问1详解】由12l l ⊥，则2(2)(1)(21)0a a a +--+=，即22350a a --=，所以(25)(1)0a a -+=，可得1a =-或52.【小问2详解】由1//l 2l ，则22121a a a++=-，可得250a a +=，故0a =或5-，当0a =，则1:220l x y +-=，2:230l x y ++=，此时满足平行，且12,l l=；当5a =-，则1:310l x y +-=，2:310l x y +-=，此时两线重合，舍；综上，1//l 2l 时12,l l18.已知等差数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，又294,90a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设9n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n a n =（2）()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得.（2）由992n n b a n =-=-，令920n c n =->求出n 的取值范围，再分段求出数列{}n b 的前n 项和nT 【小问1详解】设等差数列的公差为d ，首项为1a ，因为990S =，所以()199599902a a S a +===，所以510a =，由5231046a a d -==-=，解得2d =，又24a =，所以()()224222n a a n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】992n n b a n=-=-设92n c n =-，{}n c 的前n 项和为n S ，得()279282n n S n n n +-=⨯=-，920n c n =->，得92n <当14n ≤≤时，0n c >，即n n b c =，所以214,8n n n T S n n≤≤==-当5n ≥时，得0n c <，所以n n b c =-，则()()12456n n T c c c c c c =+++-+++ ()()224442328832n n S S S S S n n n n =--=-=--=-+综上所述：()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩19.已知数列{}n a 的首项123a =，且满足121n n na a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设()11n n n b a --=，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】（1）证明见解析（2）4134n n-⨯【解析】【分析】（1）121n n n a a a +=+，取倒数得1112n n n a a a ++=，化简整理即可判断11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）法一：将2n S 转化为()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和，结合（1）中结论即可得解；法二：结合（1）中结论得()1112n n n b -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，应用分组求和及等比数列的前n 项和公式即可得解.【小问1详解】因为1122,13n n n a a a a +==+，所以0n a ≠，所以11111222n n n n a a a a ++==+，所以1111122n n a a +-=-，即11111(1)2n na a +-=-因为11211,1032a a =-=≠，1111121n na a +-=-，所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列；【小问2详解】法一：21234212111111n n nS a a a a a a -=-+-++- 1234212111111111111n n a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+---++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭易知()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以12为首项，12-为公比的等比数列，所以2221111122412133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪- ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭===⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭；法二：由（1）1112n n a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1112n n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()111112n nn n n b a ---⎛⎫==--- ⎪⎝⎭所以22211111224120133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭=-==⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭．20.如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过,,,A B C D 四点的圆为圆M ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，求动点P 横坐标的取值范围．【答案】（1）2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（2）652,2⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）根据圆所过点的坐标求解圆的方程即可.（2）根据P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，设P 点坐标带入化简求解，依据图像即可得出答案.【小问1详解】如图，因为28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，所以()()()()4,0,4,0,2,4,2,4A B C D --，经过,,,A B C D 四点的圆即经过,,A B C 三点的圆，法一：AB 中垂线方程即0x =，BC 中点为()3,2，04242BC k -==--，所以BC 的中垂线方程为()1232y x -=-，即1122y x =+，联立01122x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，得圆心坐标10,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2216540022MB ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法二：设圆M 的一般方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入()()()4,0,4,0,2,4A B C -，4160416024200D F D F D E F -++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩解得0116D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法三：以AB 为直径的圆方程为()()2440x x y +-+=，直线:0AB y =，设圆M 的方程为()()2440x x y y λ+-++=，代入()2,4C ，解得1λ=-，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；【小问2详解】()2,0E -，设圆M 上一点(),P x y ，()(),,2,PO x y PE x y =--=--- ，因为24PO PE ≥，所以()()()224x x y y ---+--≥，即222240x y x ++-≥，由222240x y x ++-≥对应方程为圆()22222240125x y x x y ++-=⇒++=所以P 点在圆()22125x y ++=上及其外部，22221602240x y y x y x ⎧+--=⎨++-=⎩解得122,4x x ==，所以两圆交点恰为()()4,0,2,4B C ，结合图形，当圆M 上一点纵坐标为12时，横坐标为342x =>，所以点P横坐标的取值范围是2,2⎡⎢⎣⎦．.21.平面直角坐标系xOy 中，直线0:3213x y l +-=，圆M ：22128480x y x y +--+=，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得QH 为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=（2）存在；64,1313H ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用对称求出C 点坐标，即可得到圆C 的标准方程；（2）设P 点坐标，,A B 在以PC 为直径的圆N 上，由圆C 与圆N 求公共弦AB ，得直线AB 过定点T ，Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得QH 为定值．【小问1详解】圆M 化成标准方程为()()22644x y -+-=，圆心()6,4M ，半径为2，设圆心()00,C x y ，圆C 与圆M 关于直线l 对称，直线0:3213x y l +-=的斜率为32-，所以00004263643213022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得0000x y =⎧⎨=⎩，所以()0,0C ，圆C 的方程为224x y +=.【小问2详解】因为P 是直线l 上的动点，设132,32P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,PA PB 分别与圆C 切于,A B 两点，所以,CA PA CB PB ⊥⊥，所以,A B 在以PC 为直径的圆N上，圆N 的方程()22221331334242t t x t y t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即22132302x y tx t y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭AB 为圆C 与圆N 的公共弦，由222240132302x y x y tx t y ⎧+-=⎪⎨⎛⎫+-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，作差得AB 方程为1323402tx t y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭即()1323402t x y y -+-=令23013402x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩得1213813x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又Q 是AB 中点，所以CQ AB ⊥，则有Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得12QH CT =为定值，坐标为64,1313H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.记首项为1的递增数列为“W -数列”．（1）已知正项等比数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，且满足：222n n a S +=+．求证：数列{}n a 为“W -数列”；（2）设数列{}()*Nn b n ∈为“W -数列”，前()*N n n ∈项和为n S ，且满足()32*1N n i n i b S n ==∈∑．（注：3333121n i n i bb b b ==+++∑ ）①求数列{}n b 的通项公式n b ；②数列{}()*N n c n ∈满足33n n n b b c =，数列{}n c 是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据： 1.44≈≈）【答案】（1）证明见解析（2）①n b n =；②存在；最大项为31c =【解析】【分析】（1）利用等比数列中,n n a S 的关系求解；（2）利用等差数列的定义以及,n n a S 的关系求解，并根据数列的单调性求最值.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为222n n a S +=+，则3122n n a S ++=+，两式相减得3212n n n a a a +++-=，即()()()2112210n n a q q a q q ++--=-+=,因为0,0n a q >>，所以2q =，222n n a S +=+中，当1n =时，有3122=+a a ，即11422a a =+，解得11a =，因此数列{}n a 为“W -数列”；【小问2详解】①因为()32*1N n i n i bS n ==∈∑所以3211b b =，又{}n b 为“W -数列”，所以11b =，且1n n b b +>，所以{}n b 各项为正，当2n ≥，321n i ni b S ==∑①，13211n i n i b S --==∑②，①一②得：3221n n n b S S -=-，即()()311n n n n n b S S S S --=-+，所以21n n n b S S -=+③，从而211n n n b S S ++=+④，④-③得：2211n n n n b b b b ++-=+，即()()111n n n n n n b b b b b b ++++-=+，由于{}n b 为“W -数列”，必有10n n b b ++>，所以11n n b b +-=，()2n ≥，又由③知2221b S S =+，即22122b b b =+，即22220b b --=得22b =或21b =-（舍）所以211b b -=，故()*11n n b b n N +-=∈所以{}n b 是以1为首项，公差是1的等差数列，所以n b n =；②303n n n c =>，所以31113n n c n c n ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，令311113n n c n c n ++⎛⎫=< ⎪⎝⎭，得 2.27n >≈，。
【高二上数学】浙江省9+1高中联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)
2023学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试数学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一．单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线310x +−=的倾斜角是（ ） A.π3B.2π3C.π6D.5π6【答案】D 【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，从而得到直线的斜率与倾斜角. 【详解】直线310x −=，即3333y x =−+，则直线的斜率33k =−， 所以倾斜角为5π6. 故选：D2. 若复数z 满足：()12i 8i z +=+，则复数z 的虚部为（ ） A. 3− B. 2C. 3D. 3i −【答案】A 【解析】【分析】先根据复数的除法运算求解出z ，然后判断出z 的虚部即可. 【详解】因为()12i 8i z +=+，所以()()()()8i 12i 8i 816i i 223i 12i 12i 12i 5z +−+−++====−++−， 所以z 的虚部为3−， 故选：A.3. “1x <”是“ln 0x <”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】由ln 0x < ，解得01x << ，所以“1x <”是“ln 0x <”成立的必要不充分条件.故选B. 4. 若函数()()cos 2f x x φ=+的图象关于直线56πx =−对称，则ϕ的最小值是（ ） A.4π3B.2π3C. π3 D. π6【答案】C 【解析】【分析】利用余弦函数的对称轴列式，计算即可得解.【详解】由题意555cos π1ππ,Z ππ,Z 333k k k k ϕϕϕ⎛⎫−+=±⇒−+=∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭ϕ⇒=⋅⋅⋅，4π3−，π3−，2π3，5π3，…，则ϕ的最小值是π3，故选：C.5. 在直三棱柱111ABCA B C 中，1,,,AB BC AB BC AA D E ⊥==分别为,AC BC 的中点，则异面直线1C D 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A.33B.5 C.1010D.3010【答案】D 【解析】【分析】设2AB =，取11A B 的中点F ，连接1,,C F DF DE ，则可得1C DF ∠为异面直线1C D 与1B E 所成的角或补角，然后在1C DF 中求解即可.【详解】设2AB =，取11A B 的中点F ，连接1,,C F DF DE ，则11112B F A B = 因为,D E 分别为,AC BC 的中点，所以DE ∥AB ，12DE AB =， 因为11A B ∥AB ，11A B AB =，所以DE ∥1B F ，1B F DE =， 所以四边形1DEB F 为平行四边形，所以DF ∥1B E ， 所以1C DF ∠为异面直线1C D 与1B E 所成的角或补角.因为1,,2,AB BC AB BC AA D E =⊥==分别为,AC BC 的中点， 所以()222222111125,125,226DF B E C F C D ==+==+==+=，所以11163022cos 5C DC DF DF ∠===. 故选：D6. 若关于x 的不等式()2190x m x −++≤在[]1,4上有解，则实数m 的最小值为（ ）A. 9B. 5C. 6D.214【答案】B 【解析】【分析】先通过分离参数得到91m x x +≥+，然后利用基本不等式求解出9x x+的最小值，则m 的最小值可求.【详解】因为()2190x m x −++≤在[]1,4上有解，所以91m x x+≥+在[]1,4上有解， 所以[]()min 911,4m x x x ⎛⎫+≥+∈⎪⎝⎭，又因为9926x x x x+≥⋅=，当且仅当9x x =即3x =时取等号，所以16m +≥，所以5m ≥，即m 的最小值为5， 故选：B.7. 设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：22221x ya b−=的离心率分别为1e ，2e ，且双曲线2C 的渐近线的斜率小于155，则21e e 的取值范围是（ ）A. ()1,4B. ()4,+∞C. ()1,2D. ()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于155，即可得出22305b a <<，由此即可求出21e e 的取值范围，从而求解【详解】由题意得，221c a b =−222c a b =+所以22221112221c c a b b e a a a a −====−22222222221c c a b b e a a a a+====+又因为双曲线的渐近线的斜率小于155，得222305b k a <=<，所以222212101b e a e b a+=>−，即()2222211211,411e k e k k ⎛⎫+==−+∈ ⎪−−⎝⎭，得()211,2e e ∈，故C 正确. 故选：C.8. 如图，四棱锥P ABCD −中，//AB CD ，22AB CD ==，ACD 是正三角形，PA AC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，若点F 是PAD 所在平面内的动点，且满足2FA FD +=，点E 是棱PC （包含端点）上的动点，则当直线AE 与CD 所成角取最小值时，线段EF 的长度不可能为（ ）A.5 B.62C.264D.72【答案】A 【解析】【分析】由三余弦定理确定直线AE 与CD 所成角取最小值时点E 的位置，根据椭圆定义确定F 点的轨迹，在平面PAD 内，以O 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，求椭圆方程，求OF 范围；因为EO ⊥平面PAD ，所以EO OF ⊥，根据勾股定理求67,22EF. 【详解】三余弦定理：如图直线AB 与平面BOC 相交于点B ， 过A 作AO ⊥平面BOC ,垂足为O ，BC 为平面BOC 内一直线, 过O 向BC 引垂线且垂足为C ，连结BO ， 因为AO ⊥平面BOC ，AO BO ⊥,AO BC ⊥ 又因为BC OC ⊥,且AO OC O =,所以BC⊥平面AOC ，所以BC AC ⊥所以AOB 90∠=,90OCB ∠=,90ACB ∠=, 设ABO α∠=,ABC β∠=,CBO,cosBCAB ,cos BOAB ,cos BCBO, 所以cos cos cos βαγ=⋅；因为ACD 是正三角形，所以1DC AC ==,60ACD ∠=, 又因为//AB CD ，所以60CAB ∠=,在ABC 中，1AC =,2AB =,60CAB ∠=，由余弦定理有：2222cos 60BC AC AB AC AB ，解得3BC =,满足222AB AC BC =+,所以BC AC ⊥, 过A 作AH PC ⊥于点H ,因为平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =,由面面垂直的性质可知AH BC ⊥, 又AHAC A =,所以BC ⊥平面PAC ；因为AE 与CD 所成的角等于AE 与AB 所成的角设为θ，即EAB θ=∠， 由三余弦定理得：11cos cos cos cos 22EAC CAB EAC θ=∠⋅∠=∠≤，此时E 与C 重合， 设AD 的中点为O ，因为ACD 是正三角形，⊥EO AD , 则222213122EOEAAO， 根据已知条件，点F 的轨迹满足椭圆定义， 设椭圆方程()2222100x y a b a b +=>>，， 因22FAFDa ，所以1a =，因为12AD c ，所以12c =， 因为a c >，所以点F 的轨迹是椭圆，222a b c =+，所以32b =, 在平面PAD 内，以O 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，为为椭圆方程为22413y x +=，设()00,F x y ，则2200413y x ，又因为PA AE ⊥,PA BE ⊥,AE BE E =,所以PA ⊥平面ABCD ,PA EO ⊥,PA AD A ⋂=, 所以EO ⊥平面PAD ，因为EO ⊥平面PAD ，所以EO OF ⊥, 所以222222000371443EFOE OF x y y ， 又因为20304y ，所以267174434y ， 所以67,22EF， 2426626727284424244故选：A【点睛】三余弦定理的应用，利用椭圆方程求OF 的范围，利用垂直关系转化边长求EF 范围.二．多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分）9. 下列命题正确的是（ ） A. 集合{},,A a b c =的子集共有8个B. 若直线1l ：10x ay +−=与2l ：210a x y −+=垂直，则1a =C. 若221x y +=（x ，R y ∈），则34x y −的最大值为5D. 长、宽、高分别为1、2、3的长方体的外接球的表面积是14π【答案】ACD 【解析】【分析】根据子集的概念求出子集判断A ，利用两直线垂直的公式列式计算判断B ，换元法利用余弦函数的最值判断C ，根据长方体的外接球的直径为体对角线求解半径，代入球的表面积公式计算判断D . 【详解】集合{},,A a b c =的子集有∅，{}a ，{}b ，{}c ，{},a b ，{},a c ，{},b c ，{},,a b c 共8个， 故A 正确；因为直线1l ：10x ay +−=与2l ：210a x y −+=垂直，则20a a −=， 即()2110a a ⨯+⨯−=，解得0a =或1，故B 错误；由221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，则()343cos 4sin 5cos 5x y θθθϕ−=−=+≤， 故C 正确；由长方体的体对角线为其外接球的直径知：222212314R =++=，所以142R =， 所以长方体的外接球的表面积是24π14πS R ==，故D 正确； 故选：ACD10. 已知向量()2,cos a θ=−，()sin ,1b θ=，则下列命题正确的是（ ） A. 不存在R θ∈，使得//a b B. 当2tan 2θ=时，a b ⊥ C. 对任意R θ∈，都有a b ≠D. 当3a b ⋅=时，a 在b 方向上的投影向量的模为355【答案】ABD 【解析】【分析】根据向量间运算与三角恒等变换逐项判断即可. 详解】对于A ，若//a b ，则有sin cos 2sin 2221θθθθ=−⇒=−<−⇒不存在，故A 正确；对于B ，若ab ⊥，则【202cos 0tan 2a b θθθ⋅=⇒−+=⇒=，故B 正确； 若22222cos sin 1cos 21a b θθθ=⇒+=+⇒=−，存在θ，故C 不正确；()22sin cos 333,33a b θθθθθϕ⎫⋅=−+=+=+=⎪⎪⎭其中3cos ,sin ,363ϕϕ== 所以()()cos 12π,k Z k θϕθϕ+=⇒+=∈222sin sin 3θϕ⇒==， 2333cos 35551sin a b a bθθ⋅====+，故D 正确； 故选：ABD11. 已知直线l ：()()1120x y λλλ++−+=，C ：2240x y y +−=，则下列结论正确的是（ ）A. 直线l 恒过定点()2,4−B. 直线l 与C 必定相交C.C 与1C ：2240x y x +−=公共弦所在直线方程y x =D. 当0λ=时，直线l 与C 的相交弦长是2【答案】BC 【解析】【分析】求出直线l 过的定点判断A ；由点与圆的位置关系判断B ；求出公共弦所在直线方程判断C ；利用圆的弦长公式计算判断D.【详解】依题意，直线l ：()()20x y x y λ−+++=，由200x y x y −+=⎧⎨+=⎩，解得11x y =−⎧⎨=⎩，直线l 恒过定点()1,1−，A 错误；显然点()1,1−在C 内，则直线l 与C 必定相交，B 正确；C 的圆心(0,2)C ，半径2r =，1C 的圆心1(2,0)C ，半径12r =，111||22(,)CC r r r r =−+，即C 与1C 相交，把两个圆的方程相减得公共弦所在直线方程440y x −+=，即y x =，C 正确；为当0λ=时，直线l ：0x y +=，点()0,2C 到直线l 的距离，0222d +==，因此直线l 与C 的相交弦长为22222r d −=，D 错误.故选：BC12. 设椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆C 的右顶点为A ，点P 、Q 都在椭圆C 上且P 、Q 关于原点对称，直线x m =与椭圆C 相交于点M 、N ，则下列说法正确的是（ ） A. 四边形12PFQF 不可能是矩形 B.2PQF 周长的最小值为6C. 直线P A ，QA 的斜率之积为定值14−D. 当2F MN 的周长最大时，2F MN 3 【答案】BCD 【解析】【分析】A ：先判断出四边形12PFQF 是平行四边形，然后根据对角线长度的关系判断即可； B ：利用椭圆的定义以及PQ 的范围求解出2PQF 周长的最小值；C ：利用坐标表示出斜率关系，然后根据点在椭圆上化简运算，从而求得结果；D ：将点M 设为(),2πcos ,in 2s πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后表示出2F MN 的周长，结合三角形函数确定出周长最小时θ的值，从而可求面积.【详解】对于A ：因为点O 平分12,PQ F F ，所以四边形12PFQF 是平行四边形， 又因为2a =，1b =且[]2,2PQ b a ∈，所以[]221,2,4c a b PQ =−=∈，所以123F F =12PQ F F =有可能成立，故A 不正确； 对于B ：因为四边形12PFQF 是平行四边形，所以21QF PF=，所以2PQF 周长为2221246PF QF PQ PF PF PQ a PQ PQ ++=+=+=+≥+，故B 正确； 对于C ：因为()2,0A ，设()11,P x y ，所以()11,Q x y −−，所以21211122111141422444AP AQx y y y k k x x x x −−−⋅=⋅===−−−−−−，故C 正确； 对于D ：由题意可知()2,0m ∈−，设()π2cos ,πsin ,2M θθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)23,0F ，所以()()()222222cos 3sin 03cos 43cos 43cos 223MF θθθθθθ=−+−=−+=−=，所以2F MN 的周长为π4232sin 44sin 83θθθ⎛⎫−+=+−≤ ⎪⎝⎭，当且仅当πsin 13θ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，即ππ5π326θθ−=⇒=时取等号， 所以2112sin 2cos 3123322F MN S θθ=⨯⨯=⨯⨯=△，故D 正确； 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆性质的综合运用，其中涉及到焦点三角形、定值等问题，着重考查学生的转化与计算能力，难度较大.C 项的解答关键在于表示完斜率乘积后利用点所满足的椭圆方程进行化简计算，D 项的解答关键在于将点的坐标设为三角函数形式，利用三角形函数的取值范围进行分析求解.三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的横线上）13. 若双曲线221691440x y −−=上一点M 与它的一个焦点的距离为9，则点M 与另一个焦点的距离为________． 【答案】15或3 【解析】【分析】化双曲线方程为标准方程，利用双曲线定义求解.【详解】因为221916x y −=，所以3a =，4b =，5c =，设点M 与另一个焦点的距离为x ，则由双曲线的定义得，926x a −==，解得15x =或3x =. 故答案为：15或314. 已知一个圆锥的侧面积为6π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为___________. 【答案】3π 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，分析得出2l r =，由圆锥的侧面积计算出l 、r 的值，可求得圆锥的高，再利用圆锥的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则圆锥的底面圆周长为r l 2π=π，可得2l r =， 圆锥的侧面积为226rl r πππ==，解得3r =，23l =， 所以，圆锥的高为223h l r =−=， 因此，该圆锥的体积为21133333V r h πππ==⨯⨯=. 故答案为：3π.15. 若直线l ：0x y m ++=与曲线C ：29y x =−只有一个公共点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(]{}3,332−−【解析】【分析】先对曲线C 进行变形，可知其表示圆的上半部分，画出曲线C 及直线l ，采用数形结合即可求得结果．【详解】因为曲线2:9C y x =−，可化为()2290x y y +=≥，所以曲线C 是以(0,0)为圆心，3为半径的圆的上半部分，直线:l y x m =−−的斜率为1−，在y 轴上的截距为m −，画图如下：由于直线与曲线只有一个公共点， 由图得：[)(]3,33,3m m −∈−⇒∈−， 当直线l 与圆相切时，则3322m d m ==⇒=±，由图可知32m =−综上：(]3,3m ∈−或32m =−． 故答案为：(]{}3,332−−．16. 已知扇形OPQ 中，半径2r =，圆心角为π02θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，若要在扇形上截取一个面积为1的矩形ABCD ，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则tan θ的最小值为________．【答案】43【解析】【分析】连接CO ，设COP α∠=，分别用含α的三角函数表示,AB BC ，表示出矩形ABCD 的面积，由矩形面积为1求得tan θ的最小值.【详解】连接CO ，设COP α∠=，则2sin AD BC α==，2cos OB α=，2sin tan tan AD OA αθθ==，2sin 2cos tan AB OB OA ααθ=−=−， 则2sin 2cos 2sin 1tan ABCD S AB BC αααθ⎛⎫=⋅=−⋅= ⎪⎝⎭，则24sin 4sin cos 1tan αααθ−=，即24sin 4sin cos 1tan αααθ=−， 即24sin tan 4sin cos 1αθαα=−24cos cos 41sin sin αααα=⎛⎫−− ⎪⎝⎭， ∴当cos 12tan sin 2ααα=⇒=时，()min 4tan 3θ=，故答案为：43四．解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3cos 0b A a B +=． （1）求角B 的大小；（2）若2a =，AC 边上的中线3BD =，求ABC 的面积S ． 【答案】（1）2π3（2）23【解析】【分析】（1）由正弦定理统一为角的三角函数，化简即可得解；（2）利用中线的向量性质()12BD BA BC =+，结合余弦定理求出4c =，用面积公式求ABC 的面积 【小问1详解】sin sin 3cos 0sin 3tan 3B A A B B B B =⇒=−⇒=−，因为()0,πB ∈，所以2π3B = 【小问2详解】()2211134222804242BD BA BC c c c c c ⎡⎤⎛⎫=+⇒=++⋅−⇒−−=⇒= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦113sin 2423222S ac B ⇒==⨯⨯⨯= 18. 亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届．1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，衢州举办了亚运知识竞赛活动．活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，下图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第8的选手分数：（2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是多少？（3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为11，试求所有选手的平均分和方差． 【答案】（1）0.025；131 （2）1415（3）118；146 【解析】【分析】（1）先求出所有矩形的面积和为1，从而可求缺失部分的面积，根据矩形面积可求得第8名的成绩位于区间125分至135分之间，从而求解；（2）求得105以下合计6个人，对这6人编号后，利用列举法求解； （3）利用平均数和方差的定义求解即可. 【小问1详解】根据题意得：0.050.20.20.3101h ++++=，得：0.025h =，所以：图中缺失部分的直方图的高度0.025h =；因为分数位于135分至145分人数为：0.1404⨯=人，分数位于125分至135分人数：0.254010⨯=，设第8名选手的分数为x ，则：13541010x −=，得：131x =，所以可估算排名第8名选手的分数为131. 【小问2详解】分数105以下人数有：85分至95分人数：0.05402⨯=人，95分至105分人数：0.1404⨯=人，总共：6人，将6人依次编号为1，2，3，4，5，6（95分以下人编号为1，2），任选2个人的方法如下： 列举出所有样本点：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共计15种，至多有1位是95分以下的选手有14种，所以概率为：1415P =. 【小问3详解】男子组40位选手的平均分:0.05900.11000.21100.31200.251300.1140119y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所有选手的平均分：1171191182z +==，女子组的方差：2121xS =， 男子组的方差：()2222222901190.05190.190.210.3110.25210.1169y S =−⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()222222214014011171214012111740x S x x x x =+⋅⋅⋅+−=⇒+⋅⋅⋅+=+， ()()222222214014011191694016911940y S y y y y =+⋅⋅⋅+−=⇒+⋅⋅⋅+=+，所有选手的方差：()222222222140140112111716911921182901191181171181181468022zS x x y y +++−⨯++−−=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+−===综述：所有选手的平均分118z =，所有选手的方差2146z S =.19. 已知双曲线C 的渐近线方程是3y x =±，点()2,3M 在双曲线C 上. （1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若动直线l ：1y kx =+与双曲线C 交于A ，B 两点，问直线MA ，MB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2 （2）是，3 【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线设出方程，将点的坐标代入求解方程，利用离心率公式直接求解即可； （2）联立方程，韦达定理，代入两斜率之和表达式化简即可求解. 【小问1详解】的由双曲线C 的渐近线方程是3y x =±，故设C ：223x y λ−=，因为()2,3M 在双曲线C 上，所以1293λ=−=，所以C ：2213y x −=，所以1a =，3b =222c a b =+=，所以2ce a==； 【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22331x y y kx ⎧−=⎨=+⎩得()223240k x kx −−−=，则248120k ∆=−>得24k <且23k ≠，12223kx x k +=−，12243x x k −=−， 又111113132222222MA y kx k k k k k x x x −+−−+−===+−−−， 222223132222222MB y kx k k k k k x x x −+−−+−===+−−−， 所以()121122222MA MBk k k k x x ⎛⎫+=+−+ ⎪−−⎝⎭()()()212121222244322122142424233kx x k k k k k k x x x x k k −+−−=+−=+−−+−++−−−()()()()()()()22222232124262212121341244221k k k k k k k k k k k k k k k k k k +−−++−=+−=−−=−−=−+−−+−+−.即直线MA ，MB 的斜率之和是3.20. 如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，4BC =，2PC PD CD ===，M 为AD 的中点．（1）若BM PC ⊥，求证：BM PM ⊥； （2）若二面角P CD A −−的余弦值为33，求直线PB 与平面PAD 所成角θ的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）23【解析】【分析】（1）证明出BM ⊥平面PCM ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）设CD 的中点为N ，AB 的中点为E ，连接PN 、PE 、NE ，过点P 在平面PNE 内作PO NE ⊥，垂足为点O ，分析可知，二面角P CD A −−的平面角为PNE ∠，根据已知条件求出ON 、PN 的长，推导出PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DC 、ON 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得sin θ的值. 【小问1详解】证明：因为四边形ABCD 为矩形，则4AD BC ==， 因为M 为AD 的中点，则122AM AD ==， 又因为2AB =，AB AM ⊥，则ABM 为等腰直角三角形，所以，45AMB ∠=， 同理可证45CMD ∠=，所以，18090BMC AMB CMD ∠=−∠−∠=，即BM CM ⊥， 因为BM PC ⊥，PC CM C ⋂=，PC 、CM ⊂平面PCM ，所以，BM ⊥平面PCM ， 因为PM ⊂平面PCM ，所以，BM PM ⊥. 【小问2详解】证明：设CD 的中点为N ，AB 的中点为E ，连接PN 、PE 、NE ， 过点P 在平面PNE 内作PO NE ⊥，垂足为点O ， 因为2PC PD CD ===，且N 为CD 的中点， 则PCD 为等边三角形，且PN CD ⊥，2222213PN PD DN =−=−=因为四边形ABCD 为矩形，则//AB CD 且AB CD =，因为N 、E 分别为CD 、AB 的中点，所以，//AE DN 且AE DN =，且AD DN ⊥，所以，四边形ADNE 为矩形，所以，CD NE ⊥，所以，二面角P CD A −−的平面角为PNE ∠，则3cos 3PNE ∠=， 因为PO NE ⊥，则3cos 313ON PN PNE =∠==， 则22312PO PN ON =−=−=因为CD NE ⊥，PN CD ⊥，PN NE N =，PN 、NE ⊂平面PNE ，所以，CD ⊥平面PNE ，因为PO ⊂平面PNE ，则PO CD ⊥， 因为PO NE ⊥，CDNE N =，CD 、NE ⊂平面ABCD ，所以，PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DC 、ON 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,3,0A −−、()1,1,0D −、()1,3,0B −、(2P ， 则()0,4,0AD =，(2AP =，(2BP =−，设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则40320n AD y n AP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =，则()2,0,1n =−，所以，222sin cos ,3323n BP n BP n BPθ⋅====⨯⋅， 因此，直线PB 与平面PAD 所成角θ的正弦值为23. 21. 已知函数()()232f x x x a x a =−−−．（1）当0a =时，求函数()f x 的值域；（2）若不等式()33f x ≥对x ∈R 恒成立，求实数a 的最小值．【答案】（1）[)0,∞+ （2）215a ≥ 【解析】【分析】（1）根据分段函数分别求各段()f x 的取值范围，然后取其并集即得. （2）首先去绝对值，分别求出0a ≤和0a >时，()f x 的最小值，结合恒成立条件解不等式即得. 【小问1详解】（1）()222,00325,0x x a f x x x x x x ⎧≥=⇒=−=⎨<⎩，①()[)200,x f x x ≥⇒=∈+∞；②()()2050,x f x x <⇒=∈+∞；综上：函数()f x 的值域是[)0,∞+； 【小问2详解】（2）去绝对值得()22223,53,x ax a x af x x ax a x a⎧+−≥=⎨−+<⎩， 当x a ≥时，方程2230x ax a +−=的21130a ∆=≥，()2222313324f x x ax a x a a ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭，当x a <时，方程22530x ax a −+=的22110a ∆=−≤，()222235553510100f x x ax a x a a ⎛⎫=−+=−+ ⎪⎝⎭，①2313430022a a a f a a ⎪−⎛⎫≤⇒≤−⇒−=< ⎝⎭，不符题意，∴0a ≤舍去； ②302a a a >⇒>−，()2min 3355331010100a a a f x f a ⎛⎫>⇒==≥ ⎪⎝⎭， 260215a a ⇒≥⇒≥；综上：215a ≥22. 已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为()1,0F 2倍．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，1F 是椭圆的另一个焦点，若1ABF 内切圆的半径23r =，求直线l 的方程． 【答案】（1）2212x y += （2）1x y =±+【解析】【分析】（1）由题意可求得1c =，2a b =，并且222a b c =+，求得a ，b ，c ，代入椭圆标准方程可得解；（2）设出直线l 方程与椭圆方程联立，根据韦达定理可得12y y +，12y y ，可求得112212112ABF S F F y y y y =⋅⋅−=−△，再根据内切圆半径可表示出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此求得答案. 【小问1详解】由题可得1c =，焦点在x 轴上，222a b=2a b =， )2221b b ∴=+，解得21b =，22a =，所以椭圆C ：2212x y +=. 【小问2详解】设()11,,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程为1x ty =+，()22222222101x y t y ty x ty ⎧+=⇒++−=⎨=+⎩的根为1y ，2y ， 12222t y y t +=−+，12212y y t −=+，且2880t ∆=+>， 又∵()12221211212212212422ABF t S c y y y y y y y y t +=⋅⋅−=−=+−=+△，111244422233ABF S a r =⋅⋅=⨯=△， 2221413t t ⋅+=⇒=±，所以直线l 的方程为：1x y =±+.【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点F 的直线l 与椭圆联立，由韦达定理可得12y y +，12y y ，可求出1122112ABF S F F y y =⋅⋅−△，另根据三角形内切圆半径和面积的关系可求得1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线l 的方程.。
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含解析
合肥2023~2024学年度高二年级第一学期期中联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章、第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若0AB <，0BC >，则直线0Ax By C --=不经过．．．的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解.【详解】由0Ax By C --=，得A C y x B B=-，又0AB <，0BC >，则直线的斜率0AB <，在y 轴上的截距0CB-<，所以直线0Ax By C --=经过第二、三、四象限，不经过第一象限.故选：A2.若点()1,1P 在圆22:20C x y x y k +---=的外部，则实数k 的取值范围是（）A.(),1-∞- B.5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D.41,5⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由方程表示圆可得54k >-，再由点在圆外即可得1k <-，求得实数k 的取值范围是5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【详解】易知圆C 可化为()2215124x y k ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，可得504k +>，即54k >-；又()1,1P 在圆C 外部，可得11120k +--->，解得1k <-；可得514k -<<-.故选：B.3.已知O ，A ，B ，C 为空间中不共面的四点，且()1,3OP OA OB OC λμλμ=++∈R，若P ，A ，B ，C 四点共面，则函数()()[]()2311,2f x x x x λμ=-+-∈-的最小值是（）A.2 B.1 C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据点共面可得系数和为1，即可结合二次函数的性质求解最值.【详解】因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以存在,R x y ∈，使得AP xAB yAC =+，故()()OP O x OB OA A A y OC O --=-+,整理得()1OP OA x y OA xOB yOC -=--++ ，又()1,3OP OA OB OC λμλμ=++∈R，所以113x yx y λμ+=+⎧⎪⎨--=⎪⎩，所以23λμ+=，所以()()222112f x x x x =--=--，当1x =时，函数取最小值，且最小值为2-.故选:D.4.已知()1,2,1A 是平面α内一点，()1,1,1n =--是平面α的法向量，若点()2,0,3P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离为（）A.2 B.233C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据点到平面的距离公式即可求出.【详解】由题意得()1,2,2AP =- ，故点P 到平面α的距离n AP d n⋅===故选：C.5.已知点()1,3A -，()3,1B ，直线:20l mx y ++=与线段AB 有公共点，则实数m 的取值范围为（）A.(][)1,5,∞-⋃-+∞B.[]5,1-C.(][),15,-∞-⋃+∞ D.[]1,5-【答案】C 【解析】【分析】先求出直线l 的定点，再求出,PA PB k k ，数形结合，得出结果.【详解】如图由题意知直线l 过定点()0,2P -，易求PA 的斜率()32510PA k --==---，PB 的斜率()12130PB k --==-，直线l 的斜率l k m =-，所以1m -≥或5m -≤-，即1m ≤-或5m ≥故选：C.6.已知圆22:8120C x y x +-+=，点P 在圆C 上，点()6,0A ，M 为AP 的中点，O 为坐标原点，则tan MOA ∠的最大值为（）A.12B.12C.4D.3【答案】A 【解析】【分析】根据中点坐标公式结合相关点法可得M 的轨迹方程为()2251x y -+=，即可根据相切求解最值.【详解】由题意知圆C 的方程为()2244x y -+=，设()00,P x y ，(),M x y ，则006,20,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,所以0026,2,x x y y =-⎧⎨=⎩,又P 在圆C 上，所以()220044x y -+=，即()()2221024x y -+=，即M 的轨迹方程为()2251x y -+=.如图所示，当OM 与圆()2251x y -+=相切时，tan MOA ∠取得最大值，此时OM ==，tan 12MOA ∠=，所以tan MOA ∠的最大值为612.故选:A7.如图，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，CA CB ⊥，CA CB AD ==，E 为AB 的中点，F 为DB 上靠近B 的三等分点，则直线DE 与CF 所成角的余弦值为（）A.2B.3C.15D.16【答案】D【解析】【分析】以A 为坐标原点，AC 为y 轴，AD 为z 轴，过A 垂直于平面CAD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1CA =，求得11,,122DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，211,,333CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据线线角的向量公式即可求解.【详解】以A 为坐标原点，AC 为y 轴，AD 为z 轴，过A 垂直于平面CAD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1CA =，则()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1D ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,,122DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()1,1,1BD =-- ，()1,0,0CB = ，所以1211,,3333CF CB BF CB BD ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭.设直线DE 与CF 所成角的大小为θ，则1cos cos ,6DE CF DE CF DE CF θ⋅===.故选：D.8.已知圆()()22:349C x y -+-=和两点(),0A t ，()(),00B t t ->，若圆C 上至少存在一点P ，使得0PA PB ⋅<，则实数t 的取值范围是（）A.()2,8 B.()2,+∞ C.()3,+∞ D.()1,3【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知，圆C 与圆()2220:O x y t t +=>的位置关系为相交、内切或内含，利用圆心距和两圆半径之间的关系即可求得2t >.【详解】圆()()22:349C x y -+-=的圆心()3,4C ，半径为3r =，因为圆C 上至少存在一点P ，使得0PA PB ⋅<，则90APB ∠>︒，所以圆C 与圆()2220:O x y tt +=>的位置关系为相交、内切或内含，所以可得3OC t <+，又因为5OC ==，所以53t <+，即2t >.即实数t 的取值范围是()2,+∞.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在四棱锥P ABCD -中，AP a = ，AB b = ，AD c = ，若PE ED = ，2CF FP =，则（）A.1122BE a b c=-+ B.221333BF a b c=-+C.212333DF a b c=+- D.111636EF a b c=-+ 【答案】BC 【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可得出BE 、BF、DE 、EF 关于{},,a b c 的表达式.【详解】对于A 选项，()()1122BE PE PB PD PB AD AP AB AP =-=-=---11112222AP AB AD a b =-+=-+，故A 错误；对于B 选项，()2233BF BC CF AD CP AD AP AC =+=+=+-()22212213333333AD AP AB AD AP AB AD a b c =+--=-+=-+，故B 正确；对于C 选项，()()221212333333DF BF BD BF AD AB b c b a b c =-=--=-+--=+-，故C 正确；对于D 选项，2211111133322636EF BF BE a b a b c a b c ⎛⎫⎛⎫=-=-+--+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.10.已知直线1:30l ax y a +-=，直线()2:2160l x a y +--=，则（）A.当3a =时，1l 与2l 的交点为()3,0B.直线1l 恒过点()3,0C.若12l l ⊥，则13a = D.存在a ∈R ，使12l l ∥【答案】ABC 【解析】【分析】将3a =代入解得两直线交点坐标为()3,0可判断A ；令30,0,x y -=⎧⎨=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩可判断B ，由直线垂直的条件可判断C ，由直线平行的条件可判断D.【详解】对于A ，当3a =时，直线1:390l x y +-=，直线2:2260l x y +-=，联立390,2260,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩所以两直线的交点为()3,0，故A 正确；对于B ，直线()1:30l x a y -+=，令30,0,x y -=⎧⎨=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩即直线1l 恒过点()3,0，故B 正确；对于C ：若12l l ⊥，则()2110a a ⨯+⨯-=，解得13a =，故C 正确；对于D ，假设存在a ∈R ，使12l l ∥，则()120a a ⨯--=，解得2a =或1a =-，当2a =时，1:260l x y +-=，2:260l x y +-=，两直线重合，舍去，当1a =-时，直线1:30l x y --=，直线2:2260l x y --=，两直线重合，舍去，所以不存在a ∈R ，使12l l ∥，故D 错误.故选：ABC.11.已知x 、y 满足226210x y x y +-++=，则（）A.22x y +3- B.1y x +的最大值为47C.2x y +的最小值为1-D.5【答案】BCD【分析】利用距离的几何意义结合圆的几何性质可判断AD 选项；设1yk x =+，可知直线0kx y k -+=与圆C 有公共点，利用直线与圆的位置关系求出k 的取值范围，可判断B 选项；设2x y t +=，可知直线20x y t +-=与圆C 有公共点，利用直线与圆的位置关系求出t 的取值范围，可判断C 选项.【详解】方程226210x y x y +-++=可变形为()()22319x y -++=，则方程226210x y x y +-++=表示的曲线是以()3,1C -为圆心，以3为半径的圆，对于A 选项，设点(),P x y ，则22xy +表示圆C 上的点P 到原点O 的距离的平方，因为()()2203019-++>，则原点O 在圆C 外，所以，min333OP OC =-==，当且仅当P 为线段OC与圆C 的交点时，OP 取最小值，所以，22xy+的最小值为)2319=-A 错误；对于B 选项，设1yk x =+，则0kx y k -+=，由题意知直线0kx y k -+=与圆C 有公共点，3≤，即27880k k +-≤，解得4477k ---+≤≤，即1y x +的最大值为6247-，故B 正确；对于C 选项，设2x y t +=，即20x y t +-=，由题意知直线20x y t +-=与圆C 有公共点，3≤，解得11t -≤≤+，故2x y +的最小值为1-，故C 正确；因为()()22319x y -++=，3+=+表示点P 到点()0,3M 的距离，因为()()2203319-++>，所以，min33532MP MC =-==-=，当且仅当点P 为线段MC 与圆C 的交点时，MP 取最小值，的最小值为325+=，故D 正确.故选：BCD.12.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为3，2AB =，空间中一点P 满足[]()1,0,1AP xAB y AA x y =+∈，则（）A.若12x =，则三棱锥1P AAC -的体积为定值B.若12y =，则点P 的轨迹长度为3C.若1x y +=，则1PB 的最小值为13D.若x y =，则点P 到BC 的距离的最小值为32【答案】ACD 【解析】【分析】A ：做出图像，由已知和选项找到点P 的位置，判断P 到平面1AA C 的距离为定值，又1AA C △的面积为定值可求出；B ：作图找到点P 位置，判断轨迹长度即可；C ：由向量共线得到P 的位置，再点到直线的距离求1PB 最小值；D ：建系，用空间向量关系求出P 到BC 的距离，再用二次函数的性质求出最值.【详解】对A，若12x =，分别作棱AB ，11A B 的中点D ，E ，连接DE ，则P 在线段DE 上，易知DE ∥平面1AA C ，故点P 到平面1AA C 的距离为定值，又1AA C △的面积为定值，所以三棱锥1P AAC -的体积为定值，故A 正确；若12y =，分别作1AA ，1BB 的中点M ，N ，则点P 的轨迹为线段MN ，易知2MN AB ==，故B 错误；若1x y +=，则1A ，P ，B 三点共线，即点P 在线段1A B 上，易求点1B 到1A B 的距离为13，故1PB 的最小值为13，故C 正确；若x y =，则点P 在线段1AB 上，易证DB ，DC ，DE 两两垂直，以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()1,0,0B ，()C ，()11,0,3A -，()11,0,3B ，所以()2,0,0AB =，()0AC = ，()BC =- ，()10,0,3AA = ，()()12,0,3AP x AB AA x x =+= ，所以()22,0,3BP AP AB x x =-=- ，所以1cos ,x BP BC BP-= ，所以点P 到BC的距离d ====所以当14x =时，min 32d =，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的求法，利用点到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难的试题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线l 过点()1,2，且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程是___________.【答案】2y x =或240x y +-=【解析】【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()1,2求得k 的值，当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()1,2求解.【详解】①当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为y kx =，因为直线过点()1,2，所以2k =，所以直线l 的方程为2y x =；②当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线l 在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a ，则直线l 的方程为12x y a a +=，又因为直线l 过点()1,2，所以1212a a +=，解得：2a =，所以直线l 的方程为124x y +=，即240x y +-=，综上所述：直线l 的方程为2y x =或240x y +-=，故答案为：2y x =或240x y +-=．14.已知点()0,5A ，()1,2B -，()3,4C --，()2,D a 四点共圆，则=a ______.【答案】1【解析】【分析】设出圆的一般方程，带入A ，B ，C 坐标，求出圆的方程，再带入点()2,D a 求出答案.【详解】设过A ，B ，C 的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，()2240D E F +->，则255052025340E F D E F D E F ++=⎧⎪+-+=⎨⎪--+=⎩，解得6215D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以过A ，B ，C 的圆的方程为2262150x y x y ++--=，又点D 在此圆上，所以24122150a a ++--=，即2210a a -+=，所以1a =，故答案为：115.如图，已知二面角l αβ--的大小为60 ，A α∈，B β∈，,CD l ∈，,AC l BD l ⊥⊥且2==AC BD ，4CD =，则AB =______.【答案】【解析】【分析】根据题意，得到AB AC CD DB =++ ，利用()22AB AC CD DB =++ ，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】因为二面角l αβ--的大小为60 ，所以AC 与DB 的夹角为120 ，又因为AB AC CD DB =++，所以()22222222AB AC CD DB AC CD DB AC CD CD DB DB AC=++=+++⋅+⋅+⋅ 1416400222202⎛⎫=+++++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AB =故答案为：16.在ABC 中，顶点()2,3A ，点B 在直线:310l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC 周长的最小值为______.【答案】【解析】【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线:310l x y -+=同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知.【详解】设A 关于直线l 的对称点为P ，关于x 轴的对称点为Q ，PQ 与l 的交点即为B ，与x 轴的交点即为C .如图，,P Q 两点之间线段最短可知，PQ 的长即为ABC 周长的最小值.设(),P x y ，则331,223310,22y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⨯-+=⎪⎩解得2,519,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即219,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，A 关于x 轴的对称点为()2,3Q -，故ABC周长的最小值为PQ ==故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的三个顶点是()1,2A -，()2,2B -，()3,5C .（1）求边AC 上的高所在直线的方程；（2）求BAC ∠的角平分线所在直线的方程.【答案】（1）4320x y +-=（2）7130x y +-=【解析】【分析】（1）根据垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解直线方程，（2）根据两点距离可得三角形为等腰三角形，进而得中点坐标，根据两点斜率公式即可求解斜率.【小问1详解】设AC 边上的高所在直线的斜率为k ，直线AC 的斜率()523314AC k -==--，所以1AC k k ⋅=-，所以43k =-，故所求直线方程为()4223y x +=--，即4320x y +-=.【小问2详解】由题意得()22345AB =-+=，22435AC =+=，所以5AB AC ==，则ABC 为等腰三角形，BC 的中点为53,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()32125712AD k -==---，由等腰三角形的性质知，AD 为BAC ∠的平分线，故所求直线方程为()1217y x -=-+，即7130x y +-=.18.已知圆()()22:119C x y -+-=.（1）直线1l 过点()2,0A -，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；（2）设直线2:3420l x y +-=与圆C 相交于E ，F 两点，点P 为圆C 上的一动点，求PEF !的面积S 的最大值.【答案】（1）2x =-或4380x y ++=（2）【解析】【分析】（1）分类讨论直线1l 的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解；（2）根据垂径定理求弦长，结合圆的性质求面积最大值.【小问1详解】由题意得()1,1C ，圆C 的半径3r =，当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，由直线1l 与圆C相切，得3=，解得43k =-，所以直线1l 的方程为4380x y ++=；当直线1l 的斜率不存在时，直线1l 的方程为2x =-，显然与圆C 相切；综上，直线1l 的方程为2x =-或4380x y ++=.【小问2详解】由题意得圆心C 到直线2l的距离1d =，所以2EF ==点P 到直线2l 的距离的最大值为314r d +=+=，则PEF !的面积的最大值()max 11422S EF r d =⨯⨯+=⨯=.19.不同材质的楔形零配件广泛应用于生产生活中，例如，制作桌凳时，利用楔形木块可以防止松动，使构件更牢固.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCD MNPQ -，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中,,,M N P Q 是中间的小正方形的顶点.（1）求楔形体的表面积；（2）求平面APQ 与平面BNQ 的夹角的余弦值.【答案】（1）10+（2）26【解析】【分析】（1）由题意可知求出楔形体侧面等腰梯形的高即可求出表面积为10+（2）以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量即可求出平面APQ 与平面BNQ的夹角的余弦值为26.【小问1详解】易得该楔形体的上底面为边长为1的正方形，下底面是边长为3的正方形，侧面是等腰梯形，其上底面边长为1，下底面边长为3=，所以该楔形体的表面积为()11133413102⨯+⨯+⨯+=+【小问2详解】以点D为坐标原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()3,0,0A，()3,3,0B，()1,2,3P，()1,1,3Q，()2,2,3N，则()2,2,3AP=-，()2,1,3AQ=-，()1,1,3BN=--，()2,2,3BQ=--.设平面APQ的法向量为()1111,,n x y z=，平面BNQ的法向量为()2222,,n x y z=，则111111112230230AP n x y zAQ n x y z⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得10y=，令12z=，则13x=，，所以平面APQ的一个法向量为()13,0,2n=，同理得22221222302230BN n x y zBQ n x y z⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，解得20z=，令21x=，则21y=-；即平面BNQ的一个法向量为()21,1,0n=-.设平面APQ与平面BNQ的夹角为θ，则1212cos26n nn nθ⋅===，所以平面APQ 与平面BNQ的夹角的余弦值为26.20.已知圆C 过()1,3M -，()1,1N 两点，且圆心C 在直线250x y +-=上.（1）求圆C 的方程；（2）设直线3y kx =+与圆C 交于A ，B 两点，在直线3y =上是否存在定点D ，使得直线AD ，BD 的倾斜角互补？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）()()22134x y -+-=（2）存在定点()3,3D -满足条件【解析】【分析】（1）先求MN 的中垂线所在直线方程，根据圆的性质求圆心和半径，即可得结果；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意可得()121220kx x kt x x -+=，联立方程，利用韦达定理运算求解.【小问1详解】由题意得MN 的中点E 的坐标为()0,2，直线MN 的斜率为1-，因为CE MN ⊥，所以直线CE 的斜率为1，所以直线CE 的方程为2y x -=，即2y x =+，解方程组2250y x x y =+⎧⎨+-=⎩得13x y =⎧⎨=⎩，故()1,3C ，所以圆C 的半径2r CM ===，所以圆C 的方程为()()22134x y -+-=.【小问2详解】由()()223134y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 整理得()221230k x x +--=，可得()241210k ∆=++>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221x x k +=+，12231x x k =-+.（*）设(),3D t ，则113AD y k x t -=-，223BD y k x t -=-（AD k ，BD k 分别为直线AD ，BD 的斜率）.因为直线AD ，BD 的倾斜角互补，所以0AD BD k k +=，即1212330y y x t x t--+=--，即()()()()1221330y x t y x t --+--=，即()121220kx x kt x x -+=，将（*）式代入得2262011k kt k k --=++，整理得()2301k t k+=+对任意实数k 恒成立，故30t +=，解得3t =-，故点D 的坐标为()3,3-.所以在直线3y =上存在定点()3,3D -满足条件..21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等边三角形，顶点P 在底面上的射影在正方形ABCD 外部，设点E ，F 分别为PA ，BC 的中点，连接BE ，PF.（1）证明：//BE 平面PDF ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为3，设点G 为棱PB 上的一个动点（不含端点），求直线AG 与平面PCD 所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）223.【解析】【分析】（1）取AD 的中点M ，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理即得.（2）利用给定体积求出锥体的高，以点M 为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】取AD 的中点M ，连接EM ，BM ，如图，由E 为PA 的中点，得//EM PD ，而EM ⊄平面PDF ，PD ⊂平面PDF ，则//EM 平面PDF ，又//MD BF ，且MD BF =，即四边形BMDF 为平行四边形，则//MB DF ，又MB ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，于是//MB 平面PDF ，显然MB EM M = ，,MB EM ⊂平面BEM ，因此平面//BEM 平面PDF ，又BE ⊂平面BEM ，所以//BE 平面PDF .【小问2详解】连接MF ，设该四棱锥的高为h ，则体积为21233h ⨯⨯=，h =，连接PM ，则,PM AD FM AD ⊥⊥，,,FM PM M FM PM ⋂=⊂平面PMF ，于是AD ⊥平面PMF ，而AD ⊂平面ABCD ，则平面PMF ⊥平面ABCD ，在平面PMF 内过M 作Mz FM ⊥，而平面PMF 平面ABCD FM =，从而Mz ⊥平面ABCD ，显然,,MA MF Mz 两两垂直，以点M 为坐标原点，直线,,MA MF Mz 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系Mxyz ，则PM =，(0,P -，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()1,0,0D -，则(1,3,PB = ，(1,3,PC =- ，()0,2,0DC = ，设()01PG PB λλ=<< ，则(),3,PG λλ=，点)(),31G λλλ--，)()1,31AG λλλ=--- ，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则3020n PC x y n DC y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1z =，得()n = ，设直线AG 与平面PCD 所成的角为θ，则sin cos ,3n AG n AG n AG θ⋅=〈〉=== 令1t λ-=，则1t λ=-，且01t <<，因此sin 333θ===，所以当23t =，即13λ=时，sin θ取得最大值，且最大值为3.22.已知点()4,0E -，()1,0F -，动点P 满足2PEPF =，设动点P 的轨迹为曲线C ，过曲线C 与x 轴的负半轴的交点D 作两条直线分别交曲线C 于点,A B （异于D ），且直线AD ，BD 的斜率之积为13-.（1）求曲线C 的方程；（2）证明：直线AB 过定点.【答案】（1）224x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据2PE PF =设点代入即可得到曲线C 的方程；（2）先考虑斜率存在的情况，设直线联立，得到AB 方程，进而得到AB 过定点，再考虑斜率不存在的情况，也得到AB 过该定点即可.【小问1详解】设(),P x y ，由2PE PF =，得2PE PF ==，两边平方并化简，得曲线C 的方程为224x y +=.【小问2详解】由（1）得()2,0D -，设直线AD 、BD 的斜率分别为1k ，()212k k k >，如图所示，当AB 不垂直于x 轴时，设()1:2AD y k x =+，联立()22142x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，整理得()222211114440k x k x k +++-=，解得2x =-（舍）或2121221k x k -+=+，当2121221k x k -+=+时，21112211224211k k y k k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭，所以2112211224,11k k A k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理得2222222224,11k k B k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，所以AB 的斜率()()()()()()122222122112222222121221221244414111222221121111AB k k k k k k k k k k k k k k k k k -+-+++==---+--+-++()()()()1221122121124414k k k k k k k k k k k k ---==+-+，因为1213k k =-，代入可得()1243AB k k k =-+，故AB 的方程为()2112211214224131k k y x k k k k ⎛⎫--=-- ⎪+++⎝⎭，即()()()()()()()2211112222121121211218148412443133131k k k k k y x x k k k k k k k k k k k -++=-++=-++++++++，()()()()1212124441,333x x k k k k k k =-+=--+++故AB 过定点()1,0；当AB x ⊥轴时，设()00,A x y ，则()00,B x y -，所以0012001223y y k k x x -=⋅=-++，即()220032y x =+，又因为2222000044x y y x +=⇒=-，代入可得20020x x +-=，解得01x =或02x =-（舍），所以((,1,A B（或((1,,1,A B ），所以AB 的方程为1x =，过点()1,0.综上，直线AB 过定点()1,0T。
上海市延安中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题(解析版)
所以高为 ，
体积为 ．
故答案为： ．
11.三棱锥 中， 且 ，若点 、 分别为棱 、 中点，那么线段 的长为______.
【答案】
【解析】
【分析】取 中点 ，连接 ，由题意可得 ，再由勾股定理即可得出答案.
【详解】取 的中点 ，连接 ，
在三角形 中， 分别为 的中点，所以 ， ，
（2）取AB中点F，连接PF，CF，证明 ，得出 （或其补角）为异面直线所成的角，解三角形即可得解.
【小问1详解】
底面 ， 底面 ，
，又 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
， 即为二面角 的平面角，
又 底面 ， 底面 ，
，
在 中， ， ,
.
所以二面角 的大小为
【小问2详解】
取AB中点F，连接PF，CF，如图，
所以对角线 ，
故答案为：
2.半径为2的球的表面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】代入球的表面积公式: 即可求得.
【详解】 ，
由球的表面积 公式可得,
,
故答案为:
【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.
3.圆锥母线长为3，高为2，则圆锥底面半径为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理求解即可
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线与平面的位置关系对选项逐一判断
【详解】对于A，由题意得 ， ，而 ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
故平面 平面 ，而 平面 ，故 平面 ，故A正确，
对于B，取 的中点 ，底面中心 ，则 ，故 与 相交，故B错误，
福建省厦门2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题含解析
福建省厦门2022—2023学年度第一学期期中考试高二年数学试卷（答案在最后）2022.11一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆22:(0)4x C y λλ+=>，则该椭圆的离心率e =（）A.3B.12C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】将椭圆方程转化为标准方程，利用222a c b -=即ce a=即可求解.【详解】解：因为椭圆C 的方程为22(0)4x y λλ+=>，即2214x y λλ+=，故243c λλλ=-=，又2223344c e a λλ===，故2e =.故选：C.2.已知向量(a = ，单位向量b满足2a b += a ，b的夹角为（）A.6π B.π4C.π3D.2π3【答案】C 【解析】【分析】将模平方后可求数量积，从而可求夹角的大小.【详解】因为(a = ，故2a =，因此2a b += 2212a b += 即224412a a b b +⋅+= ，故44412a b +⋅+= 即1a b ⋅= ，故11cos ,212a b ==⨯ ，而[],0,πa b ∈ ，故π,3a b =，故选：C.3.若圆221x y +=与圆()()22416x a y -+-=有3条公切线，则=a （）A.-3B.3C.5D.3或-3【答案】D 【解析】【分析】根据公切线的条数可判断两圆的位置关系即可求解.【详解】因为两圆有3条公切线,所以两圆的位置关系为外切,则圆心距等于两圆半径之和,14=+,解得=3a 或3-,故选:D.4.若双曲线C ：22214x y a -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为，则C 的焦距为（）A.8B.10C.12D.16【答案】A 【解析】【分析】由题得双曲线的渐近线方程为2y x a=±，不妨设直线20x ay -=，解方程24⎛⎫-=即得解.【详解】由22214x y a -=，则该双曲线的渐近线方程为2y x a =±，不妨设直线20xay -=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为则24⎛⎫-=，解得212a =，所以22416c a =+=，所以4c =.故该双曲线的焦距为28c =故选：A5.已知圆C ：2220x y x +-=，直线l ：10x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当PC AB ⋅最小时，直线PC 的方程为（）A.10x y +-=B.10x y --=C.10x y -+= D.220x y +-=【答案】B 【解析】【分析】由切线性质得P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB PC ⊥，则42PAC PC AB S PA ⋅==△，又PA =，故当直线PC l ⊥时，PC 最小，PC AB ⋅最小，即可由点斜式求得方程【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，半径为1r =，由切线性质得，P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB PC ⊥.所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△，而PA =PC l ⊥时，PC 最小，即PA 最小，即PC AB ⋅最小，所以此时直线:1PC y x =-，即10x y --=故选：B6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率-线在第二象限的交点为A ，若()12120F F F A F A +⋅=，则双曲线的渐近线方程为（）．A.y =B.34y x =±C.43y x =±D.3y x =±【答案】A 【解析】【分析】根据数量积的运算律得到112||||F A F F =，再由直线1AF 的斜率可得12AF F ∠的正切值，进而求出它的余弦值，在三角形中，由余弦定理可得a ，c 的关系，进而求出双曲线的渐近线方程．【详解】解：因为1212()0F F F A F A +⋅= ，而2112F A F A F F =-，所以()()1211120F F F A F A F F +⋅-= ，可得22112F A F F = ，即1122F A F F c ==，因为A 在第二象限，由双曲线的定义可得212F A F A a -=，所以222F A a c =+，过点1F 且斜率为-的直线1AF ，可得12tan AF F ∠=-，又121212221212sin tan =cos sin +cos =1AF F AF F AF F AF F AF F ∠∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，解得121cos 8AF F ∠=-或121cos 8AF F ∠=（舍去），在12AF F △中，由余弦定理可得：22222211221211218||||||44(22)cos 2||||222AF F F AF c c a c AF F AF F F c c +-+-+∠===-⋅⋅，整理可得2c a =，又222c a b =+，所以223b a=，所以b a =所以双曲线的渐近线为y =；故选：A ．7.以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，AB 4=，梯形ABCD 的周长为10.若点C ，D 在以A ，B 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率是（）A.B.12C.2D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据圆的性质，结合相似三角形的性质、椭圆的定义、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】如图所示，依题意可知，梯形ABCD 为等腰梯形，且有π2ACB ∠=，不妨假设BC x =，则有62CD x =-，过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，则有4(62)12x BH x --==-，因为π,2ACB CHB CBA HBC ∠=∠=∠=∠所以Rt Rt ACB CHB ∽，因此有2BC BA BH BA BC BHBC=⇒⋅=，代入化简得()241x x -=，解得2x =，即2BC =，AC =2BC AC a +=，得1a =+，离心率1c e a ===，故选：D【点睛】关键点点睛：利用相似三角形的性质，椭圆的定义是解题的关键.8.长方体ABCD A B C D -''''中，AB BC ==，AA '=A B C D ''''的中心为O '，当点E 在线段CC '上从C 移动到C '时，点O '在平面BDE 上的射影G 的轨迹长度为（）A.23π B.3C.3πD.6【答案】B 【解析】【分析】根据题意，证明BD ⊥平面ACC A ''，以CA ，CC '分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，由OG O G ⊥'，可得：3111y y x x -⋅=---，化简可得射影G 的轨迹，求出轨迹对应的圆心角，利用弧长公式，即可求得答案.【详解】易证明BD ⊥平面ACC A ''，则G OE ∈=面AC ' 面BDE 如图所示，以CA ，CC '分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，则有：()0,0C ，()1,0O ，(O '，设(),G x y ，∴由OG O G ⊥'，可得：111y y x x ⋅=---，整理可得：()223124y x ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴点O '在平面BDE 上的射影G 的轨迹是以1,2F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆弧 OG ，∵tan 3O C GOF OO '''∠==，∴sin 2O G O O GOF ∠'=='⋅∴O GF '是等边三角形，即23GFO π∠=，∴圆弧 OG的长2323l π=⨯=故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线12:210,:(1)10l mx y l x m y ++=+++=，则下列结论正确的是（）A.若12l l ∥，则2m =-B.若12l l ∥，则1m =或2m =-C.若12l l ⊥，则23m =-D.若12l l ⊥，则23m =【答案】AC 【解析】【分析】根据两直线平行列出方程，求出1m =或2m =-，经检验，1m =不合要求；再根据两直线垂直列出方程，求出23m =-.【详解】令(1)20m m +-=，解得：1m =或2m =-．当1m =时，1l 与2l 重合；当2m =-时，12l l ∥．A 正确，B 错误．若12l l ⊥，则2(1)0m m ++=，解得23m =-，C 正确，D 错误．故选：AC10.已知()0,1,1AB =，()2,1,2BE =- ，BE ⊥平面BCD ，则（）A.点A 到平面BCD 的距离为23B.AB 与BE 所成角的正弦值为6C.点A 到平面BCD 的距离为13D.AB 与平面BCD 所成角的正弦值为6【答案】CD 【解析】【分析】根据点面距、线线角、线面角等知识求得正确答案.【详解】因为BE ⊥平面BCD ，所以BE是平面BCD 的一个法向量，所以点A 到平面BCD 的距离为13AB BE BE⋅= ，故A 错误，C 正确；AB 与BE所成角的余弦值为6AB BE AB BE ⋅==⋅6=，B 错误.AB 与平面BCD所成角的正弦值为6AB BE AB BE⋅==⋅，D 正确.故选：CD11.月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点(30)F ，，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线()0y t t =>与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则下列结论正确的是（）A.椭圆的离心率是2B.线段AB长度的取值范围是(0,3+C.ABF △面积的最大值是)914D.OAB 的周长存在最大值【答案】ABC 【解析】【分析】由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A ；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB 长度的取值范围，判断B ；设,A B 坐标，表示出ABF △面积，利用基本不等式求得其最大值，判断C ；表示出OAB 的周长的表达式，结合t 的取值范围可判断D .【详解】由题意得半圆的方程为22+9(0)x y x =≤，设椭圆的方程为22221(0,0)x y a b x a b +=>>≥，所以23,183b a c =⎧∴=⎨=⎩，所以椭圆的方程为221(0)189x y x +=≥．A ．椭圆的离心率是22c e a ===，所以该选项正确；B ．当0t →时，||3AB →+3t →时，||0AB →，所以线段AB 长度的取值范围是(0,3+，所以该选项正确；C ．由题得ABF △面积1||2S AB t =⨯，设22111(,),9,3)A x t x t x t ∴+=∴=<<，设22222(,),1,189x t B x t x ∴+=∴=||AB =，所以1=2S t t =⨯=191)24+≤=+，当且仅当t =时等号成立，所以该选项正确；D ．OAB 的周长||||||3AO OB AB =++=+，所以当0=t 时，OAB 的周长最大，但是t 不能取零，所以OAB 的周长没有最大值，所以该选项错误．故选：ABC.12.已知直线l ：10kx y k --+=与圆C ：()()222216x y -++=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（）A.AB 的最小值为B.若圆C 关于直线l 对称，则3k =C.若2ACB CAB ∠=∠，则1k =或17k =- D.若A ，B ，C ，O 四点共圆，则13k =-【答案】ACD 【解析】【分析】判断出直线l 过定点()1,1D ，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】直线():11l y k x =-+过点()1,1D ，圆()()22:2216C x y -++=，即224480x y x y +-+-=①，圆心为()2,2C -，半径为4r =，由于()()22121216-++<，所以D 在圆C 内.CD ==所以minAB ==AB CD ⊥，所以A 选项正确.若圆C 关于直线l 对称，则直线l 过,C D 两点，斜率为21321--=--，所以B 选项错误.设22ACB CAB θ∠=∠=，则π2π,4θθθθ++==，此时三角形ABC是等腰直角三角形，C 到直线AB的距离为42⨯==，解得1k =或17k =-，所以C 选项正确.对于D 选项，若,,,A B C O 四点共圆，设此圆为圆E ，圆E 的圆心为(),E a b ，,O C 的中点为()1,1-，1OC k =-，所以OC 的垂直平分线为:11,2l y x y x +=-=-，则2b a =-②，圆E 的方程为()()2222x a y b a b -+-=+，整理得22220x y ax by +--=③，直线AB 是圆C 和圆E 的交线，由①-③并整理得()():422480AB a x b y --++=，将()1,1D 代入上式得()()422480a b --++=，40a b +-=④，由②④解得3,1a b ==，所以直线AB 即直线l 的斜率为42212463a b --==-+，D 选项正确.故选：ACD【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.过点()1,3P-且倾斜角为45 的直线在y 轴上的截距是______.【答案】4-【解析】【分析】求出所求直线的方程，化为斜截式，可得结果.【详解】由题意可知，所求直线的斜率为tan 451= ，故所求直线方程为31y x +=-，即4y x =-.因此，该直线在y 轴上的截距是4-.故答案为：4-.14.已知四面体ABCD 棱长均为2，点E ，F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅=___________.【答案】1【解析】【分析】根据数量积的运算律及定义计算可得.【详解】解：因为点E ，F 分别是BC 、AD 的中点，所以()12AE AB AC =+ ，12AF AD =，1cos 602222AB AD AB AD ︒⋅=⋅=⨯⨯= ，1cos 602222AC AD AC AD ︒⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()111124()2AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅+==⋅⋅.故答案为：115.直线(2)y a x =+与曲线2||1x y y -=恰有2个公共点，则实数a 的取值范围为________.【答案】,13⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】画出直线与曲线的图象，结合图象可得答案.【详解】由曲线2||1x y y -=得，当0y ≥时221x y -=；当0y <时221x y +=；直线(2)y a x =+恒过()2,0-点，所以直线与曲线的图象为当直线(2)y a x =+与()2210+=<x y y 相切时，此时a<0，1=，解得3a =-，当直线(2)y a x =+与y x =平行时，1a =，直线(2)y a x =+与曲线2||1x y y -=要恰有2个公共点，可得13-<<a ，故答案为：,13⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上一点，且OP =，点M 满足12F M MP = ，20OP MF ⋅=，则双曲线的离心率为________．【答案】2【解析】【分析】取1PF 另一三等分点N ，则有2//ON MF ，又M 是PN 中点，则有Q 是OP 中点，再由平行四边形的对角线平方和等于四边的平方和，列出关于,a c 的方程，即可得答案；【详解】因为点M 满足12F M MP =，所以M 是1PF 一个三等分点，取1PF 另一三等分点N ，则有2//ON MF ，又M 是PN 中点，则有Q 是OP 中点，因为220OP MF OP MF FQ OP ⋅=⇒⊥⇒⊥，所以22PF OF c ==，则12PF a c =+，由平行四边形对角线平方和等于四边的平方和，∴22221212224PF PF F F PO +=+，∴22222(2)2(2)46a c c c a ++=+⋅，化简得2e =．故答案为：2.【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意平面几何知识的运用.四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切，过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于,M N 两点.（1）求圆A 的方程；（2）当||MN =时，求直线l 的方程.【答案】（1）22(1)(2)20x y ++-=（2）2x =-或3460x y -+=【解析】【分析】（1）求出圆心到直线1l 的距离即为圆半径，从而得圆方程；（2）由弦长求得弦心距，设出直线方程，由圆心到直线的距离得参数值，从而得直线方程，注意检验斜率不存在的直线是否符合要求．【小问1详解】r ==，所以圆方程为22(1)(2)20x y ++-=；【小问2详解】由题意圆心到直线l的距离为1d ===，显然直线2x =-满足题意，在直线l 斜率存在时，设方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，1=，34k =，直线方程为33042x y -+=，即3460x y -+=，所以直线l 方程为2x =-或3460x y -+=．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，BC CD ⊥，AD CD =，PA =ABC 和PBC均为边长为的等边三角形（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；（2）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）13【解析】【分析】（1）取BC 的中点O ，连接OP ，OA ，利用勾股定理证明OP OA ⊥，从而可证得OP ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）先求出CD ，以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OP为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】证明：取BC 的中点O ，连接OP ，OA ，因为ABC ，PBC均为边长为所以AO BC ⊥，OP BC ⊥且3==OA OP ，因为AP =222OP OA AP +=，所以OP OA ⊥，又因为⋂=OA BC O ，OA ⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，又因为OP ⊂平面PBC ，所以平面PBC⊥平面ABCD ；【小问2详解】解：因为BC CD ⊥，ABC 为等边三角形，所以π6ACD ∠=，又因为AD CD =，所以π6CAD ∠=，23ADC ∠=π，在ADC △中，由正弦定理，得sin sin AC CDADC CAD=∠∠，所以2CD =，以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OP为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,3P，()B，()2,D，()0,BP =，()2,BD =-，设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =，则00n BP n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3020z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令1z =，则平面PBD的一个法向量为()n =，依题意()CP =，所以cos ,13CP n n CP n⋅==，故直线PC 与平面PBD所成角的正弦值为13.19.已知点()0,1A ，点P 在双曲线C ：2212x y -=上（1）求PA 的最小值，并求出此时求点P 的坐标；（2）直线AP 与C 交于点Q （异于点P ），若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直线AP 的斜率的取值范围.【答案】（1）3，1,33⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭（2）1,,122⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）设()00,P x y ，则有220022x y =+，计算PA =.（2）设l ：1y kx =+，联立方程得到方程组，消去y 利用韦达定理得到根与系数的关系，将题目转化为0OP OQ ⋅>，利用向量的运算法则计算得到答案.【小问1详解】设()00,P x y ，则有220022x y =+，则PA ===当013y =时，min 236PA =，此时点P 的坐标为251,33⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【小问2详解】由题知直线l 的斜率存在，故可设l ：1y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，与双曲线方程联立得22121x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，()2212440k x kx ---=，则()()2222120Δ1616121610k k k k ⎧-≠⎪⎨=+-=->⎪⎩，解得21k <且212k ≠122412k x x k +=-，122412x x k =--，()()()()2121212121111111OP OQ x x y y x x kx kx k xx k x x ⋅=+=+++=++++()22222241412231212k k k k k k -+++---==--，依题意得0OP OQ ⋅> ，解得212k >所以221,22k ⎛⎫⎛⎫∈--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，点E 在底面圆周上，且,BE CE M =为AE 上的一点，且,BM AC N ⊥为线段AC 上一动点（不与,A C重合）（1）若2AN NC =，设平面BMN ⋂面BEC l =，求证：//MN l ；（2）当平面BMN 与平面DEC 夹角为π3，试确定N 点的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）N 为AC 中点.【解析】【分析】（1）由线面垂直、圆的性质有AB EC ⊥、EC BE ⊥，再由线面垂直的判定及性质得EC BM ⊥，进而有BM ⊥面AEC ，最后由线面垂直的性质、射影定理及线面平行的判定和性质证结论；（2）构建空间直角坐标系求,,BM CA BC的坐标，设(),0,1CN CA λλ=∈ ，可得()1,1BN λλ=--+ ，再分别求出面BMN 、面EDC 的法向量，结合已知面面角的大小求参数λ，即可确定N 点的位置.【小问1详解】由题知AB ⊥面,BEC EC ⊂面BEC ，则AB EC ⊥，由BC 为底面圆的直径，则EC BE ⊥，由BE AB B =I ，,BE AB ⊂面ABE ，EC ∴⊥面ABE ，又∵EM ⊂面ABE ，∴EC BM ⊥，又,BM AC AC EC C ⊥⋂=，,AC EC ⊂面AEC ，BM ∴⊥面AEC ，又∵AE ⊂面AEC ，故BM AE ⊥.由AB BC ==，在ABE 中，由射影定理：2212ME ME EA BE NCAM AM EA AB AN⋅====⋅，故//MN ,EC EC ⊂面,BEC MN ⊄面BEC ,∴MN //面BEC ，又面BEC ⋂面BMN l =，MN ⊂面BMN ，∴//MN l .【小问2详解】由（1）知，以E 为原点,EC EB 为,x y 轴正方向，过E 的母线为z 轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设1EC =，则(()20,,,1,,1,1,033BM CA BC ⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭，设()(),,0,1CN CA λλλλ==-∈，()()()1,1,0,1,1,BN BC CN λλλλ=+=-+-=--+，设面BMN 的法向量为(),,n x y z =r，则2033(1)(1)0BM n y z BN n x y z λλ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+-+=⎩，令=1y，则131n λλ-⎛=-⎝ ，又平面EDC 的一个法向量()0,1,0v =设平面BMN 与平面DEC 的夹角为θ，则1cos cos 2n v θ=⋅==，解得0λ=或12λ=，其中0λ=时,N C 重合，不合题意，故当平面BMN 与平面DEC 夹角为π3时12λ=，此时N 为AC 中点.21.在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠（2）max 32S =【解析】【分析】（1）由题意可得121242MF MF F F +=>=，结合椭圆的定义，分析即得解；（2）设直线1MF 的方程为：1x ty =-，与椭圆联立，分别表示11NF O MF E S S ，△△的面积，结合韦达定理化简，令()2344u t u =+≥，再配方法求最值即得解.【小问1详解】依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.【小问2详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122211162223434NF O MF ES S S y y y y t t =+=+=-=⋅=++△△,令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====,∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.22.已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的焦距为，且过点3M ⎫⎪⎪⎭.斜率为k 的直线l 与椭圆Γ有两个不同的交点A ，B （1）求Γ的标准方程；（2）设()2,0P -，直线PA 与椭圆Γ的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆Γ的另一个交点为D .若C ，D 和点7,44Q ⎛⎫-⎪⎝⎭共线，求k .【答案】（1）2213x y +=（2）16k =【解析】【分析】（1）解法1：根据椭圆上点M 的坐标，求2PF 和1PF ，再结合椭圆的定义求椭圆方程；解法2：将点P 代入椭圆方程，结合焦距，即可求解椭圆方程；（2）首先设直线PA 方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，用点A 的坐标，表示点C 的坐标，同理用点B 的坐标表示点D 的坐标，再利用向量的坐标表示Q ，C ，D 三点共线，化简求得1212y y kx x -=-的值.【小问1详解】解法1：设焦距为2c，则c =设椭圆左右焦点为1F 、2F，则23PF =，13PF =则122a PF PF =+=，解得a =所以椭圆C 的标准方程为2213xy +=解法2：设焦距为2c，则c =点3M ⎫⎪⎪⎭在椭圆上，有222113a b +=解得21b =，23a =所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y 则221133x y +=①222233x y +=②.又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+又1112y k x =+，则()2211131122111112412712474723y x x x x x x x x y ---=--=-=++++，第21页/共22页同理13147y y x =+所以11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,.同理可得22227124747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,.故337,44QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，447,44QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 因为Q ，C ，D 三点共线，所以()()34437744044x y x y ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，将点C ，D 的坐标代入化简可得121216y y x x -=-，即16k =第22页/共22页。
精品解析：湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题
湖南师大附中2022-2023学年度高二第一学期期中考试数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．当23＜m ＜1时，复数m （3+i ）﹣（2+i ）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．曲线221259x y +=与曲线221925x y k k +=--（9k <且0k ≠）的（ ） A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等3．数列{}n a 的通项()374,4,,4,n n t n n a t n -⎧-+≤=⎨>⎩若{}n a 是递增数列，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(4,7)B ．32,75⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．32,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(1,7)4．,,PA PB PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）A B C D ．125．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（ ） A ．35B ．42C ．49D ．566．半径为5的圆O 内有一点P ，已知4OP =，过点P 的21条弦的长度构成一个递增的等差数列{}n a ，则{}n a 的公差的取值范围为（ ） A ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．14,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知0ω>，函数()sin f x x ω=在π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，则ω的取值范围是（ ）A ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1339,,2222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．133,,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知函数2()f x x mx n =++，则存在,m n ∈R ，对任意的x ∈R 有（ ）A ．()(22022)f x f x <+B ．2022(())2022≥x f f xC ．≥⎝⎭ffD ．(sin )(cos )f x f x ≤二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知圆22:230A x y y +--=，则下列说法正确的是（ ） A ．直线=1x -与圆A 相切 B ．圆A 截y 轴所得的弦长为4 C ．点(1,1)B --在圆A 外D ．圆A 上的点到直线34190x y -+=的最小距离为3 10．已知n S 是{}n a 的前n 项和，下列结论正确的是（ ） A ．若{}n a 为等差数列，则n pS n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（p 为常数）仍然是等差数列B ．若{}n a 为等差数列，则322n n n S S S =-C ．若{}n a 为等比数列，公比为q ，则()21nn n S q S =+D ．若{}n a 为等比数列，则“,,,,m n p q m n p q *+=+∈N ”是“m n p q a a a a ⋅⋅=”的充要条件11．点M 是正方体1111ABCD A B C D -中侧面正方形11ADD A 内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（ ） A．满足1MC AD ⊥的点M B ．点M 存在无数个位置满足直线1//B M 平面1BC DC ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30D ．若E 是棱1CC 的中点，平面1AD E 与平面11BCC B 所成锐二面角的正切值为12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个顶点分别是12,A A ，左、右两个焦点分别是12,F F ，P 是双曲线上异于12,A A 的一点，给出下列结论，其中正确的是（ ） A ．存在点P ，使得212PF PA a -=B ．存在点P ，使得直线12,PA PA 的斜率的绝对值之和122PA PA bk k a+≤ C ．使得12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有四个 D ．若212PA PA b ⋅=，则120PF PF ⋅=三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为___________．14．已知直三棱柱111ABC A B C 的所有顶点都在球O 的球面上，1120,2AB AC BAC AA ==∠=︒=，则球的表面积为___________．15．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．16．已知数列{}n a 满足()2211112n n n n n n a a a a a a +++++=-+．（1）若31a =，则n a =___________；（2）若对任意正实数t ，总存在1(3,)a λ∈和相邻两项1,k k a a +，使得1(21)0k k a t a +++=成立，则实数λ的取值范围是___________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．在平面直角坐标系中，三个点(0,0),(2,0),(0,6)O A B -到直线l 的距离均为d ，且1d <． (1)求直线l 的方程；(2)若圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l C 的标准方程． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PD ⊥平面ABCD ，E 为AB 中点，F 为PD 中点，222AB PD BC ===．(1)证明：EF ∥平面PBC ； (2)求点E 到面PBC 的距离．19．7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件． （1）求7月几日该款服装销售最多，最多售出几件．（2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．求该款服装在社会上流行几天．20．已知抛物线2:4,(1,2),(,0)C y x A B m =，其中0m >，过B 的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点．(1)当直线l 垂直于x 轴，且AMN 为直角三角形，求实数m 的值；(2)若四边形OAPB 是平行四边形，当点P 在直线l 上时，求实数m ，使得AM AN ⊥． 21．已知数列{}n a 的首项135a =，且满足1321nn n a a a +=+． (1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)设数列{}n b 满足13,,2,,2nn n a b n n n nn ⎧-⎪⎪=⎨+⎪+⎪+⎩为偶数时为奇数时求最小的实数m ，使得122k b b b m +++<对一切正整数k 均成立．22．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(2,0)F -．过1F 且倾斜角为60︒的直线与椭圆交于()()1122,,,A a b B a b 两点，且112AF F B =．(1)求证：()2121220b b b b ++=，并求椭圆C 的方程；(2)设()()()()11223344,,,,,,,M x y P x y N x y Q x y 是椭圆C 上顺时针依次排列的四个点，求四边形MPNQ 面积的最大值并计算此时的22221212,x x y y ++的值．数学参考答案1．D 【分析】原复数化为（3m ﹣2）+i （m ﹣1），再根据m 的范围确定. 【详解】m （3+i ）﹣（2+i ）化简得（3m ﹣2）+i （m ﹣1）， ∥213m ＜＜ ∥3m ﹣2＞0，m ﹣1＜0 ∥所对应的点在第四象限 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的代数形式，考查了复平面内各象限复数的特点，属于基础题. 2．C 【分析】分析可知两曲线都表示椭圆，求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，可得出合适的选项. 【详解】曲线221259x y +=表示焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8的椭圆．曲线221925x y k k+=--（9k <且0k ≠）表示焦点在y轴上，长轴长为短轴长为8=故选：C. 3．A 【分析】根据一次函数以及幂函数的性质即可结合数列的特征求解. 【详解】由已知得()270,1,474,t t t t ⎧->⎪>⎨⎪-+<⎩解得47t <<．故选:A ． 4．B 【分析】作图，找到直线PC 在平面PAB 上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将,,PA PB PC 三条射线截取出来放在正方体中进行分析. 【详解】 解法一：如图，设直线PC 在平面PAB 的射影为PD ，作CG PD ⊥于点G ，CH PA ⊥于点H ，连接HG ，易得CG PA ⊥，又,,CH CG C CH CG ⋂=⊂平面CHG ，则PA ⊥平面CHG ，又HG ⊂平面CHG ，则PA HG ⊥， 有cos cos cos PH CPA PCPG PH PH CPD APD PC PG PC ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠=⋅=⎪⎩故cos cos cos CPA CPD APD ∠=∠⨯∠． 已知60,30APC APD ∠=︒∠=︒，故cos cos60cos cos cos30CPA CPD APD ∠︒=∠︒∠==为所求． 解法二：如图所示，把,,PA PB PC 放在正方体中，,,PA PB PC 的夹角均为60︒．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B ， 所以(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB =-==-， 设平面PAB 的法向量(,,)n x y z =，则00n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1,1y z ，所以(1,1,1)n =-，所以2cos ,||||2PC n PC n PC n ⋅-〈〉===⋅⨯．设直线PC 与平面PAB所成角为θ，所以6sin |cos ,|3PC n θ=〈〉=， 所以cos θ= 故选B ． 5．B 【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n 轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数. 【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染, 则每轮新增感染人数为0nR ，经过n 轮传染，总共感染人数为：1200000111n nR R R R R +-++++=-，∥0R 3=，∥当感染人数增加到1000人时，113=100013n +--，化简得3=667n ， 由563243,3729==，故得6n ≈，又∥平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6742⨯=天， 故选：B 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 6．A 【分析】计算出过点P 的直线截圆O 所得弦长的最大值和最小值，即可求得数列{}n a的公差的取值范围. 【详解】设圆心O 到过点P 的直线的距离为d ，则04d OP ≤≤=， 设过点P 的直线截圆O 的弦长为L ，则[]6,10L =， 即过点P 的直线截圆O 所得弦长的最大值为10，最小值为6，设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >且201064d ≤-=，解得105d <≤. 故选：A. 7．D 【分析】根据()sin f x x ω=的最值点为ππ+2,k x k ω=∈Z，进而根据不等式得到1132k ωω<+<，由ωk ，的取值范围即可求解. 【详解】当()sin f x x ω=取最值时，ππ+,2x k k ω=∈Z ．即ππ+2,k x k ω=∈Z ，由题知ππ+π2<<π3ωk ，故1132k ωω<+<．即33,2Z 1,2k k k ωω⎧<+⎪⎪∈⎨⎪>+⎪⎩．因为0,0k ω>=时，1322ω<<；1k =时，3922ω<<； 显然当32ω>时，2πππ2=π32232T ωω==<，此时()sin f x x ω=在π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上必有最值点．综上，所求133,,222ω⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选:D ． 8．C 【分析】根据二次函数的对称轴，结合二次函数的单调性，即可判断AC ，根据指数函数的性质即可判断B,取特殊值即可排除D. 【详解】由题意可知，函数图象开口向上，对称轴为2mx =-， A 选项，当220222mx +=-时，根据二次函数性质知不成立，故A 错误； B 选项，(())f f x 为四次函数，因为2022x y =为指数函数，且单调递增，当x 取得足够大的实数时，一定有2022(())2022x f f x <，故B 错误；C ≥，则只需()f x 即2m -≤，所以m ≥即可，故C 正确；D 选项，分别取ππ,0,,π22x =-，可得(0)(1)(1)f f f =-=，对二次函数来说是不可能的，故D 错误．故选：C ． 9．BC 【分析】根据圆心到直线的距离即可判断AD,根据圆的弦长可判断B,根据点与圆的位置关系可判断C. 【详解】由圆22:230A x y y +--=得22(1)4x y +-=， 所以圆心(0,1)A ，半径2r =，对于A ：圆心A 到直线=1x -的距离为1，所以直线=1x -与圆A 相交，故A 错误； 对于B ：圆心A 在y 轴上，则所截得的弦长为直径等于4，故B 正确；对于C ：点(1,1)B --到圆心A 的距离2d ==，所以点B 在圆A 外，故C 正确； 对于D ：圆心A 到直线的距离3d ==，所以圆A 上的点到直线34190x y -+=的最小距离为321-=，故D 错误． 故选:BC ． 10．AC 【分析】结合等差数列求和公式求出npS n，根据等差数列定义判断A ；结合等差数列前n 项和的性质判断B ；根据数列的前n 项和的定义及等比数列的通项公式判断C ；举反例判断D. 【详解】对于A ，由211(1)222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，故122n pS pdd n p a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．所以()1111122222n n pS pS pd d pd d pd n p a n p a n n +⎛⎫⎛⎫-=++----= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 所以n pS n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（p 为常数）是等差数列，A 正确； 对于B ，由{}n a 为等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --仍成等差数列，故有()()2322n n n n n S S S S S -=+-，所以()()()322232n n n n n n n n S S S S S S S S =-=-+--，设数列{}n a 的公差为d ，则()2322n n n n d S S S -+=，当0d ≠时，322n n n S S S ≠-，B 不正确；对于C ，()212212n n n n n n n n n S S a a a q a a a q S ++-=+++=+++=，故()21n n n S q S =+，C 正确；对于D ，令3n a =，则{}n a 为等比数列，且210013a a a a ⋅=⋅，但210013+≠+，故“,,,,m n p q m n p q *+=+∈N ”不是“m n p q a a a a ⋅⋅=”的必要条件，D 不正确． 故选：AC ． 11．ABD 【分析】利用线面垂直判定可证得1AD ⊥平面11A B CD ，可知点M 轨迹即为平面11A B CD 与平面11ADD A 的交线1A D ，由此可得轨迹长度，知A 正确；利用面面平行得判定可证得平面11//AB D 平面1BDC ，可知当M 轨迹为平面11AB D 与平面11ADD A 的交线1AD ，由此可知B 正确；以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设()101AM AD λλ=≤≤可求得M 点坐标，利用线线角的向量求法可得关于λ的函数形式，由函数的最值可得线线角最小值大于30，知C 错误；利用二面角的向量求法可求得平面1AD E 与平面11BCC B 所成锐二面角的余弦值，进而得到正切值，知D 正确. 【详解】对于A ，CD ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，1CD AD ∴⊥； 四边形11ADD A 为正方形，11AD A D ∴⊥； 又1,CD A D ⊂平面11A B CD ，1CDA D D =，1AD ∴⊥平面11AB CD ，∴点M 轨迹即为平面11A B CD 与平面11ADD A 的交线，即为1A D ，∴点M A 正确；对于B ，11//B D BD ，BD ⊂平面1BDC ，11B D ⊄平面1BDC ，11//B D ∴平面1BDC ； 同理可得：1//AD 平面1BDC ，又1111B D AD D ⋂=，111,B D AD ⊂平面11AB D ， ∴平面11//AB D 平面1BDC ，∴M 轨迹为平面11AB D 与平面11ADD A 的交线，即1AD ， ∴点M 存在无数个位置满足直线1//B M 平面1BC D ，B 正确；对于C ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,1,0C ，()0,0,0D ，()11,1,1B ，()1,0,0A ，()10,0,1D ， ()0,1,0DC ∴=，()11,0,1AD =-设(),0,M s t ，()101AM AD λλ=≤≤，()()1,0,,0,s t λλ∴-=-，则()1,0,M λλ-，()1,1,1B M λλ∴=---，111cos ,B MDC B M DC BM DCλ⋅∴<>===⋅ 则当12λ=时，1max cos ,cos30B M DC <>=<=；1B M ∴与DC 夹角大于30，C 错误；对于D ，由C 可得空间直角坐标系如下，则()1,0,0A ，()10,0,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()11,0,1AD ∴=-，110,1,2D E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面1AD E 的法向量(),,n x y z =，11012AD n x z D E n y z ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令2z =，解得：2x =，1y =，()2,1,2n ∴=， 又平面11BCC B y ⊥轴，∴平面11BCC B 的一个法向量()0,1,0m =，1cos ,3m nm n m n ⋅∴<>==⋅，tan ,2m n ∴<>= 即平面1AD E 与平面11BCC B 所成锐二面角的正切值为D 正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的动点轨迹问题、线线角与面面角的求解问题；本题求解动点轨迹的关键是能够借助线面垂直、面面平行的性质，找到动点所在的其他平面，进而得到动点轨迹为两平面的交线. 12．AD 【分析】由双曲线的定义，可判断A 正确；由12200022000PA PA y y y k k x a x a x a ⋅=⋅=+--，结合双曲线的方程，得到1222PA PA b k k a=⋅可判断B 错误；结合双曲线的几何性质，可判断C 错误；结合22200x y c +=，得到22212000PF PF x y c ⋅=+-=，可判断D 正确． 【详解】设00(,)P x y ．对于A ，由双曲线的定义，只需11PA PF =即可，即只需P 点为线段11A F 的中垂线与双曲线的交点，故A 正确；对于B ，因为12(,0),(,0)A a A a -，所以12200022000PA PA y y y k k x a x a x a ⋅=⋅=+--，又2200221x y a b-=，所以()1222222022,PA PA b b y x a k k a a=-⋅=，故122PA PA b k k a +≥=，当且仅当12PA PA k k =时等号成立，又分析得等号不可能成立，故B 错误；对于C ，若P 在第一象限，则当12PF c =时，222PF c a =-，12PF F △为等腰三角形； 当22PF c =时，11222,PF c a PF F =+△也为等腰三角形， 故点P 在第一象限且使得12PF F △为等腰三角形的点P 有两个．同理，在第二、三、四象限且使得12PF F △为等腰三角形的点P 也各有两个， 因此使得12PF F △为等腰三角形的点P 共有八个，故C 错误；对于D ，由22221200PA PA x y a b ⋅=+-=，得22200x y c +=， 从而22212000PF PF x y c ⋅=+-=，故D 正确． 故选：AD ． 13．310##0.3 【分析】由列举法得所有基本事件，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】从5条线段中任取3条线段的基本事件有135137139157159179357359379579，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,总数为10，能构成三角形的情况有：(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个基本事件，故概率为310． 故答案为：31014．12π 【分析】设ABC 和111A B C △外接圆的圆心为D ，E ，则球心O 为DE 的中点，在ABC 中由正弦定理可求得其外接圆半径，结合球的性质可求球的半径，进而求得其表面积． 【详解】设ABC 和111A B C △的外心分别为D ，E ．由球的性质可得三棱柱111ABC A B C 的外接球的球心O 是线段DE 的中点，连接,OC CD ，设外接球的半径为R ，ABC 的外接圆的半径r ，因为120AB AC BAC ==∠=︒，由余弦定理可得cos1206BC = 2r =，所以r =而在OCD 中，可知222||||||CO OD CD =+，即2213R r =+=， 因此三棱柱外接球的表面积为24π12πS R ==． 故答案为：12π．15．2. 【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 60ba==. 【详解】 如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60b a =2c e a ===． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 16． 4n - 7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【分析】化简递推关系，证明数列{}n a 为等差数列，利用等差数列通项公式求n a ，化简方程1(21)0k k a t a +++=可得1112k a k -<<-，结合连接列不等式求λ的取值范围. 【详解】因为()2211112n n n n n n a a a a a a +++++=-+，所以()221112102n n n n n n a a a a a a +++-+++-=，所以()()211210n n n n a a a a ++--+=+，故()2110n n a a +-+=， 所以11n n a a +-=-，所以数列{}n a 是公差为1-的等差数列， （1）31a =时，()1211a +⨯-=，所以13a =，所以4n a n =-，（2）由已知可得1(21)1(21)2(1)10k k k k k a t a a t a t a +++=-++=+-=，又t 为正实数， 所以12(1)k a t =+，0t >，所以102k a <<．所以11012a k <+-<， 即1112k a k -<<-． 从而11,(3,)2k k λ⎛⎫--⊆ ⎪⎝⎭，即有1312k k λ-≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩，所以72λ≥，所以实数λ的取值范围是7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为：4n -；7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.17．(1)330x y --= (2)22(2)1x y -+= 【分析】（1）根据几何意义可判断直线l 为ABO 的三条中位线，结合1d <可知为AB 边上的中位线，进而根据截距式即可求解方程，（2）由待定系数法，可根据圆的弦长公式列方程求解半径和圆心即可. 【详解】（1）由几何意义可知，直线l 为ABO 的中位线，而O 到OB 边的中位线距离为1．O 到OA 边的中位线距离为3．O 到AB 边上的中位线距离12OAd <=，故直线l 只能为AB 边上的中位线，即直线l 过点(1,0),(0,3)-．故直线l 的方程113x y +=-，即330x y --=； （2）设圆的标准方程为222(),0,0x a y r a r -+=>>， 则()222221,a r r ⎧-=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎝⎭⎩ 解得2a =或0（舍去），1r =， 所以圆C 的标准方程为22(2)1x y -+= 18．(1)证明见解析【分析】（1）取PC 的中点G ，连接,BG FG ，由三角形中位线定理结合矩形的性质可得四边形BEFG 为平行四边形，则EF ∥BG ，再由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可得,,PD AD DC 两两垂直，所以以点D 为坐标原点，以,,DA DC DP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量， 利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：取PC 的中点G ，连接,BG FG , 因为F 为PD 中点， 所以FG ∥DC ，12FG DC =， 因为E 为AB 中点，所以12BE AB =， 因为AB ∥DC ，AB DC =， 所以BE ∥FG ，BE FG =， 所以四边形BEFG 为平行四边形， 所以EF ∥BG ，因为EF ⊄平面PBC ，BG ⊂平面PBC ， 所以EF ∥平面PBC ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，,AD DC ⊂平面ABCD ， 所以,PD AD PD DC ⊥⊥，因为四边形ABCD 为矩形，所以AD DC ⊥， 所以,,PD AD DC 两两垂直，所以以点D 为坐标原点，以,,DA DC DP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,1)D A B C P ， 因为E 为AB 中点，F 为PD 中点， 所以1(1,1,0),0,0,2E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()1,0,0,0,2,1CB PC ==-，(0,1,0)EB =， 设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，则 ·0·20m CB x m PC y z ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，令1y =，则(0,1,2)m =， 所以点E 到平面PBC 的距离为1EB m d m⋅=== 19．（1） 7月13日该款服装销售最多，最多售出39件；（2） 11天． 【分析】（1）根据等差数列的特点列出式子即可求解；（2）求出数列的前n 项和，根据题意列出不等式即可求解. 【详解】（1）设7月n 日售出的服装件数为()*,131n a n n ∈≤≤N ，最多售出k a 件．由题意知()()3312313k ka k a k ⎧=+-⎪⎨--=⎪⎩，解得1339k k a =⎧⎨=⎩，∥7月13日该款服装销售最多，最多售出39件． （2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，由（1）及题意知3,113652,1431n n n a n n ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，∥()()()33,11322735113,1431n n nn S n n n ⎧+≤≤⎪=⎨⎪+--≤≤⎩． ∥13273200S =>，∥当113n ≤≤时，由200n S >，得1213n ≤≤，当1431n ≤≤时，日销售量连续下降，由20n a <，得2331n ≤≤， ∥该款服装在社会上流行11天（从7月12日到7月22日）． 20．(1)5m = (2)6m = 【分析】（1）根据向量垂直，即可利用坐标运算求解，（2）根据平行得斜率关系，进而联立方程得韦达定理，结合向量垂直由坐标运算即可求解. 【详解】（1）由题意:l x m =，代入24y x =中，解得y =± 不妨取((,M m N m -，则(1,22),(1,2)AM m m AN m =--=--，AMN 为直角三角形,故只能是A ∠为直角，即2(2)(1,2)(1)(44)0AM AN m m m m ⋅=-⋅--=-+-=， 故5m =或1，易知1m =不合题意，舍去，故5m =． （2）由题意四边形OAPB 为平行四边形，则2BP OA k k ==，设直线221212:2(),,,,44y y l y x m M y N y ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立()22,4,y x m y x ⎧=-⎨=⎩得2240y y m --=，由题意，判别式Δ4160m =+>，12122,4y y y y m +==-， 要使AM AN ⊥，则0AM AN ⋅=，又2212121,2,1,244y y AM y AN y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()2212121122044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 化简，得()()1222160y y +++=，即()12122200y y y y +++=，代入得60,m -=故6m =． 故6m =时，有AM AN ⊥．21．(1)证明见解析 (2)94【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明.（2）根据奇偶项的特点，由裂项求和和分组求和，结合等比数列求和公式即可求解122k b b b +++，由不等式的性质即可求解. 【详解】 （1）由已知得，112133n na a +=+， 所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 因为112103a -=≠， 所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列．（2）证明：（2）由（1），当n 为偶数时，12323n n n b a =-=-， 当n 为奇数时，222222n n n b n n n n +=+=+-++， 故()()1221321242k k k b b b b b b b b b -+++=+++++++24222222222222222213352121333k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭242222222221333k k k k ⎛⎫=+-++++- ⎪+⎝⎭222211233212113k k ⎛⎫-⎪⎝⎭=-++-292142143kk =--+⋅， 由29219421434k k --<+⋅ 所以m 的最小值为94． 22．(1)证明见解析；22:195x y C +=(2)四边形MPNQ 面积的最大值为222212129,5x x y y +=+=【分析】(1)化简关系112AF F B =可得122b b =-，由此证明()2121220b b b b ++=，结合设而不求法列方程，结合关系2222a b -=可求,a b ，由此可得椭圆方程；(2)由三角形面积公式和数量积运算证明122112OMPSx y x y =-，再结合基本不等式求其最大值，由此求出四边形MPNQ 面积的最大值并求出取最值是22221212,x x y y ++的值．【详解】（1）由112AF F B =，得()()11222,22,a b a b ---=+，故122b b =-，从而()()()222212122222222222220b b b b b b b b b b ++=-++-=-=， 依题意，直线AB的方程为2)y x =+，由)22222,1,y x x y ab ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2221y b =，即2222222403b a y y b a b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， 又因为2222a b -=，故122222412222234,33b b a b a b b b b b b a a ⎧⎪+=⎪⎪+⎪⎨⎪--⎪⋅==⎪++⎪⎩于是242222033b b a a ⎛⎫ ⎪-+= ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22332a b =+，解得3,a b ==故椭圆C 的方程为22195x y +=； （2）由（1）得222211221,19595x y x y +=+=，故由基本不等式和绝对值不等式)222212211221122129595x y x y x y x y y x y =+++≥=+≥-，从而1221x y x y -≤取等条件为22221221,9595x y x y ==，且12120x x y y ≤，故有2222121295x x y y ++=，又2222122129595x y x y +++=，于是222212129,5x x y y +=+=．而11||||sin |||22OMP S OM OP MOP OM OP =⋅⋅⋅∠=⋅△=21()2OM OP =⋅=122112x y x y ==-≤．同理OPN ONQ QQM S S S ≤≤≤△△△于是，四边形MPNQ 的面积4OMP OPN ONQ OQM S S S S S ≤+++≤=△△△△另一方面，当M ，N ，P ，Q 为椭圆四个顶点时，有1|2||2|2S a b =⋅⋅=故四边形MPNQ 面积的最大值为222212129,5x x y y +=+=．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
江苏徐州第一学期高二期中考试数学试题(含答案)
2016-2017学年度第一学期期中考试高二数学(理)(考试时间120分钟，总分160分)参考公式：圆柱的体积公式：V圆柱二Sh,其中S是圆柱的底面积，h是高.1锥体的体积公式：V锥体=-Sh,其中S是锥体的底面积，h是高.3一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分.)1 .过点A( 一1,3)且与直线x _2y T = 0垂直的直线方程为 ________________ .2•过三点A(4,0)，B(0,—2)和原点0(0,0)的圆的标准方程为____________________ .3. _____________________________________________________________ 在平面直角坐标系xOy中，过A(-1,0) ,B(1,2)两点直线的倾斜角为_____________ . 4. _______________________________________________________________圆心在y轴上，且与直线2x 3y -1^0相切于点A(2,2)的圆的方程是______________ .5. 对于任意的R，e|2x11，m_0恒成立，则实数m的取值范围是.6. 若直线ax 2y ^0和直线3ax (a —1)y • 7 = 0平行，则实数a的值是7. 经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为.8. 已知圆柱M的底面半径为2，高为6，圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为9. 在坐标系xOy中，若直线ax • y -2 = 0与圆心为C的圆(x -1)2• (y - a)2 = 16相交于代B两点，且- ABC为直角三角形，则实数a的值是.10. 已知点P(-1,1)和点Q(2,2)，若直线l : x my 5=0与线段PQ没有公共点，则实数m的取值范围是_____________.11. 设〉「为互不重合的平面，m,n为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m_n，n是平面内任意的直线，则m_：•;②若〉_［，：：、「？，n :，n _ m ,则n _ 一：；③若〉［二m，n :，n _ m ,贝U -：」一：；④若m _ ：•，：•_［，m//n，则n H ：其中正确命题的序号为___________ .12. 在平面直角坐标系xOy中，圆C : (x-4)2• y2= 1，若直线y = kx-3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最大值是_______ .13. 已知三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，现沿PA, PB,PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为..6，则三棱锥P - ABC的体积为_________ .14. 已知实数x, y满足x -x •仁y 1 - y，则X y的取值范围是__________________ .二、解答题（本大题共6小题，共计90分.）15. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC-^BQ,中，点M,N分别为线段A,B，AC1的中点.（1）求证：MN// 平面BB1C1C ;⑵若D在边BC 上, AD_D6，求证：MN_AD.16. （本小题满分14分）命题p:实数x满足x^4ax 3a^：：0（其中a 0），命题q:]x-1| 兰2实数x满足x 3 （1）若a=1，且p q为真，求实数x的取值范围;x-2（2）若一p是飞的充分不必要条件，求实数a的取值范围.17. (本小题满分14分)如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD_平面BCE ,BE _ EC .(1)求证：平面AEC _平面ABE ；BF(2)点F在BE上，若DE//平面ACF，求的值. BE18. (本小题满分16分)已知直线I与圆C : x2y22x-4y • a=0相交于代B两点，弦AB的中点为M(0,1).(1)求实数a的取值范围以及直线I的方程；⑵若圆C上存在动点N使CN二2MN成立，求实数a的取值范围.19. (本小题满分16分)设直线l : x my 2,3 = 0，圆O: x2y^r2( r . 0).(1) 当m取一切实数时，直线I与圆O都有公共点，求r的取值范围；⑵当r -5时，求直线I被圆O截得的弦长的取值范围.(3)当r =1时，设圆O与x轴相交于P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，直线PM交直线「:x=3于点P，直线OM交直线「于点Q .求证：以P Q为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标.20. (本小题满分16分)已知O为坐标原点，设动点M (2,t) (t 0).(1)若过点P(0,4.3)的直线l与圆C:x2y2-8x =0相切，求直线I的方程;⑵求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设A(1,0)，过点A作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值.2016〜2017学年度第一学期期中考试高二数学参考答案兀22；3.— ;4.x y 1 =13;46.. a = 0 或 a = 7;7. x y_3 = 0 或 x_y_1 =0;、解答题：本大题共6小题，共计90分. 15. (本小题满分14分)、填空题：本大题共14小题，每小题 5分，共70分.8.6 ; 29. -1 ; 10. m ：：： —2或312.13.9;814.[2, .5 1].2 21.2x y -1 =0 ;2.(x -2) (y 1) =5证明：(1)如图，连结A1C.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,•••侧面AA1C1C为平行四边形.又N为线段AC1的中点,••• A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点.•••为M为线段A1B的中点,• MN //BC.又MN 二平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C，• MN //平面BB1C1C.(2)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1±平面ABC.又AD 平面ABC,：CC1 丄AD.•/AD丄DC1，DC1 平面BB1C1C，CC1 平面BB1C1C，CC1 ADC1 = C1,• AD丄平面BB1C1C. ..... 又BC平面BB1C1C,• AD丄BC.… 又由(1)知，MN // BC,：MN 丄AD . 10分12分14分2分(第15题)16. （本小题满分14分）解：【答案】⑴ 由 x 2 -4ax • 3a 2 ：：： 0得 x-3a x-a ::: 0 ,又 a 0，所以 a .. x :: 3a ， 当 a = 1 时，1 ：： x 3,即p 为真时，实数x 的取值范围是1 ：：： x ：：： 3 , 2分x-1 兰2得丿>0 、x —2即q 为真时，实数x 的取值范围是2 ^13, ...................... 4分若p q 为真，则p 真且q 真, 所以实数x 的取值范围是2,3.⑵由（1）知 p ： a ：：： x ：：：3a ，则—p : x 三a 或 x _3a ，8 分q ： 2 : x _3，贝U -q : x _2 或 x 3， .......................................... 10 分 因为-p 是-q 的充分不必要条件， 贝贝-p= q ，且—q= p ，b va <2所以0-，解得-a 曲，3^>3,故实数a 的取值范围是（1,2] ....................................... 14分17. （本小题满分14分） 解：（1）证明：：ABCD 为矩形，••• AB 丄 BC .•••面 ABCD 丄面 BCE ，面 ABCD nW BCE = BC ，AB 面 ABCD ， ••• AB 丄面 BCE.................... 3 分v CE 面 BCE ，A CE 丄 AB . T CE 丄BE ，AB 平面 ABE ，「一1兰x 兰3 x< 一3或 x> 2， 解得2*3, A OBF DCE（第17题图）BE 平面ABE，AB n BE= B，•••CE丄平面ABE.v CE 平面AEC,：平面AEC丄平面ABE. …8分（2）连结BD交AC于点0,连结0F.v DE //平面ACF, DE 平面BDE,平面ACF n平面BDE= OF,••• DE//OF................................... 12 分又矩形ABCD中，0为BD中点，••• F为BE中点，即BM = 2 ....................... 14分18. (本小题满分16分)解：(1)圆 C :(x 1)1 2(y-2)2=5-a,C(-1,2), r ：：5)据题意：CM = 2 ：：：、、5 ―■ a = a ：：： 3因为CM _ AB, ： k CM k AB - -hk cM 一-1二k AB =1所以直线I的方程为x —y • 1 =01 2 2 2依题意，圆C与圆（XQ）（^^ =学习必备欢迎下载37 解得-3 < a < —. 9又因为由（1） 知 a :：3，所以-3 8 ：：：3 19. （本小题满分16分）解：（1）直线I 过定点（-2・、3,0），当m 取一切实数时，直线I 与圆O 都有公共点等价于点（-2、3,0）在圆O 内或在圆O 上, 所以（-2-.3）2 • 02 岂 r 2 . ............................. 2 分解得r _ 2 .3 .(2)由 CN=2MN ，得 x-1L I 3丿10分89有公共点, 評一戸卜抄三鈔g 13分15分 16分所以r 的取值范围是［2..3,七); ........ 4分(2)设坐标为(-2、,3,0)的点为点A ，则|OA|=2._3 .则当直线I 与OA 垂直时，由垂径定理得直线I 被圆O 截得的弦长为2 rOA I =2.52 一(2、3)2 =2.13 ; ......... 6 分当直线过圆心时，弦长最大，即x 轴被圆O 截得的弦长为2r =10 ;所以I 被圆O 截得的弦长的范围是［2 13,10］ . ........... 8分(3) 对于圆O 的方程x 2 • y 2 = 1，令x 二1，即 P(-1,0)，Q(1,0).设M(st)，则直线PM 方程为"土水1)•x = 3解方程组1=丄第+1)，I s +1同理可得：Q(3,2).s —1 又点M (s,t)在圆上，所以s 2 t 2 =1 .所以圆C 的方程为(X -3)2 • (y -三災)22 2即(x —3)2 y 2 一十忖一严,，2即（x_3）2 亍一2^^8^ '， t t又 s 2 t 2 =1，故圆 C 的方程为（X -3）2 • y 2 —2（1；3s ）y 一8=0，令 y =0,则（x-3）2 =8，1 —3s故C(3,f)，半径长为10分3st —t所以弘齐)，半径长为 st - 3tS 2 - 1，12分14分所以圆C经过定点，八o，则X=3_2...2 ,所以圆C经过定点且定点坐标为(3_2.._2,0). ................. 16分20. (本小题满分16分)解：⑴圆C: (x -4)2• y2=16.圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，I ： x二0符合题意；......... 2分当斜率存在时，设直线I ： ^ kx 4 3,即k^ - y 4 3= 0,因为直线I与圆C相切，所以圆心到直线距离为4，所以|4k 4 -3^4,解得k 3,3所以直线I : y 3x 4 .3,即x 、3y -12 73故所求直线I为x =0,或x •、、3y -12 =0. ................. 5分(2)以OM为直径的圆的方程为(X-l)2+(y-y 土+1其圆心为(1,2),半径r因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d=Pr2-1 = —, ........................ 9分23 — 2t — 5 t所以十匕，解得I所求圆的方程为(x-1)2• (y-2)2=5, 10分(3)方法一：由平几知：ON2=OK OM ,t o直线OM y=-x，直线AN y = __(x_1),2 t12分ty =2x由 2 得X K二y = -t&一1)4 t24ON24t242=2所以线段ON的长为定值,2. .....................................16分方法二:设N（X o，y o），则FN =（x -1,y。
2020-2021学年山东省枣庄市高二上学期期中考试数学试题 word版
山东省枣庄市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题一、单项选择题：1．过点()3,0和点(的直线的斜率是（ ）AB ．C D ．-2．若向量()1,0,1a =-，向量()2,0,b k =，且满足向量//a b ，则k 等于（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．过点()1,2，且与直线220x y ++=垂直的直线方程为（ ） A ．20x y -= B ．230x y -+= C ．240x y +-=D ．250x y +-=4．已知圆22410x y y +--=，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）A ．()0,2，5B ．()0,2-，5C ．()0,2D ．()0,2-5．已知直线l ：20kx y -+=过定点M ，点(),P x y 在直线210x y +-=上，则MP 的最小值是（ ）A B C D ．6．已知直线l ：y x m =+与曲线x =m 的取值范围是（ ）A ．2,⎡-⎣B ．(2⎤--⎦C ．2,⎡⎣D ．(2⎤-⎦7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 取点M ，在1CD 取一点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则MN 的最小值为（ ）A ．1 BC．2D．38．在四面体ABCD 中，5AB BC CD DA ====，3AC =，8BD =，点P 在平面ABD 内，且CP =设异面直线CP 与BD 所成的角为θ，则sin θ的最小值为（ ） A．8B．2C．3D．2二、多项选择题：9．下列说法正确的是（ ）A ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--B ．点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1C ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=10．圆1Q ：2220x y x +-=和圆2Q ：22240x y x y ++-=的交点为A ，B ．则有（ ） A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB的长为2D ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB距离的最大值为12+ 11．下列说法正确的有（ ） A ．方程2x xy x +=表示两条直线B ．椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则4m = C ．曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D ．椭圆C ：2215y x +=的焦距是2 12．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则下列说法正确的有（ ）A ．1//BC 平面APQB ．1A D ⊥平面APQC ．平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形D ．异面直线PQ 与11A C 所成的角为60︒ 三、填空题：13．直线10x ++=的倾斜角的大小是______．14．两平行直线1l ：3420x y +-=与2l ：6850x y +-=间的距离是______．15．已知直四棱柱ABCD A B C D ''''-的棱长均为2，60BAD ∠=︒，以D '为半径的球面与侧面BCC B ''的交线长为______．16．已知AB 是圆O ：222x y +=的一条弦，其长度AB =，M 是AB 的中点，若动点(),2P t t +、(),2Q m -，使得四边形PMOQ 为平行四边形，则实数m 的最大值______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知ABC △的顶点坐标为(1,5)A -，(2,1)B --，(4,3)C ，M 是BC 边上的中点． （Ⅰ）求AB 边所在的直线方程； （Ⅱ）求中线AM 的长．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线2y x =-上，且圆M 与直线10x y +-=相切于点(2,1)P -．（Ⅱ）过坐标原点O 的直线l 被圆M ，求直线l 的方程．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ．2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点（Ⅰ）求证：//DM 平面PAB ．（Ⅱ）是否存在点E ，使得二面角P DE B --的余弦值为23？若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，说明理由．20．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠∠∠===︒，11AB AD AA ===． （Ⅰ）求1A C 的长；（Ⅱ）证明：直线1A C ⊥平面11BDD B ．21．已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，点P 在直线l ：20x y -=上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（Ⅰ）若点P 的坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求切线PA ，PB 方程；（Ⅱ）证明：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标．22．已知圆C ：22(1)12x y ++=，点(1,0)A ，P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ．（Ⅱ）若直线l ：y kx m =+与曲线E 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求MON △面积的最大值．2020~2021学年度第一学期第一学段质量检测高二数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题二、多项选择题 9．BC 10．ABD11．AC12．ACD三、填空题13．56π 14．11015．216．3-四、解答题注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分． 17．解：（Ⅰ）直线AB 的斜率为()1566211k ---===----，所以直线AB 的方程为()561y x -=+，即6110x y -+=． （Ⅱ）设M 的坐标为()00,x y 则由中点坐标公式得02412x -+==，01312y -+==．故(1,1)M．所以224(11)(15)25M=++-=．18．解：（Ⅰ）设与直线10x y+-=垂直的直线方程为：0x y m-+=，又因为直线0x y m-+=过点(2,1)P-，故210m++=，解得3m=-，故圆M的圆心在直线30x y--=上．由230y xx y=-⎧⎨--=⎩，解得：12xy=⎧⎨=-⎩，所以圆心M的坐标为(1,2)-．所以圆M的半径：r MP===所以圆M的方程为：22(1)(2)2x y-++=．（Ⅱ）因为直线l被圆M，所以圆心M到直线l的距离：2d==．若直线l的斜率不存在，则l为直线0x=，此时圆心M到的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y kx=，即0kx y-=．由d==，整理得：2870k k++=，解得：1k=-或7-．所以直线l的方程为：0x y+=或70x y+=．19．解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA AD⊥，PA AB⊥，又AB AD⊥，所以PA，AB，AD 两两垂直．以A为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示．则(0,0,2)P，(2,0,0)B，(0,2,0)D，(2,4,0)C点M 为PC 中点，故(1,2,1)M 故(1,0,1)DM =，又(0,0,2)AP =，(2,0,0)AB = 所以1122DM AP AB =+ 所以DM ，AP ，AB 为共面向量， 所以//DM 平面PAB ． （Ⅱ）设(2,,0)E a ，04a <<依题意可知平面BDE 的法向量为(0,0,2)AP =，(0,2,2)DP =-，(2,2,0)DE a =-设平面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，则2202(2)0n DP y z n DE x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令31z =，则2,1,12a n -⎛⎫=⎪⎝⎭．因为二面角P DE B --的余弦值为23， 所以2cos ,3AP n AP n AP n⋅==⋅， 23=，解得1a =或3a =． 所以存在点E 符合题意，当1BE =或3BE =时，二面角P DE B --的余弦值为23．20．解：（Ⅰ）设AB a =，AD b =，1AA c =，则{},,a b c 为空间中的一个基底，且1AC a b c =+- 因为1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，11AB AD AA ===， 所以2221a b c ===，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=． ()22211AC AC a b c ==+- 2222222a b c a b a c b c =+++⋅-⋅-⋅=．故1AC ．（Ⅱ）BD b a =-，1BB c =()()1AC BD a b c b a ⋅=+-⋅-220b a b c a c =--⋅+⋅=． ()11AC BB a b c c ⋅=+-⋅20a c b c c =⋅+⋅-=．故1AC 是平面11BDD B 的法向量，故直线1A C ⊥平面11BDD B ． 21．解（Ⅰ）当切线斜率不存在时，切线方程为1x =，符合题意． 当切线斜率存在时，设直线方程为1(1)2y k x =-+， 即102kx y k --+= 因为直线和圆相切，所以1d ==，解得512k =-． 此时直线方程为51(1)122y x =--+，即512110x y +-=． 所以切线PA ，PB 方程为：1x =，512110x y +-=．（Ⅱ）设点001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,2)M ，过P ，A ，M 三点的圆即以PM 为直径的圆．即2220012222x x x y ⎛⎫+ ⎪⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭所以220001202x x x y x y x ⎛⎫-+-++=⎪⎝⎭， ()22012102xy y x y x ⎛⎫+-+--+= ⎪⎝⎭，从而22201102x y y x y ⎧+-=⎪⎨--+=⎪⎩， 解得定点坐标为(0,2)或42 ,55⎛⎫⎪⎝⎭． 22．解：（Ⅰ）因为点Q 在线段AP 的垂直平分线上， 所以AQ PQ =．又CP CQ PQ =+=所以2CQ AQ AC +=>=．所以曲线E 是以坐标原点为中心，(1,0)C -和(1,0)A为焦点，长轴长为设曲线E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．则1c =，a =22b =．所以曲线E 的方程为22132x y +=． （Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222326360k x kmx m +++-=． 此时有227224480k m ∆=-+>． 由一元二次方程根与系数的关系，得122632kmx x k -+=+，21223632m x x k -=+．所以MN == 因为原点O 到直线l的距离d =所以12MON S MN d =⋅=△ 由0∆>，得22320k m -+>．又0m ≠，由基本不等式，得()2222323222MONm k m S k +-+≤⨯=+△． 当且仅当22322k m +=时，不等式取等号．所以MON △。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
山西省阳泉市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题含解析
阳泉2023-2024学年第一学期高二年级期中考试试题（答案在最后）学科：数学考试时间：120分钟分值：150分客观题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知过点的直线的方向向量，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由直线的方向向量得直线的斜率，斜截式得直线方程.【详解】直线的方向向量，则的斜率为，又直线过点，的方程为，即.故选：B2.在长方体中，，则=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示求解【详解】因为，所以，所以，故选：B3.若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（）A.－3B.－4C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据两平面平行得到两法向量平行，进而得到方程组，求出，得到答案.【详解】∵，∴，故存在实数，使得，即，故，解得，∴.故选：A4.圆心为，且过原点的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】计算，得到圆方程.【详解】根据题意，故圆方程为.故选：.【点睛】本题考查了圆方程，意在考查学生的计算能力.5.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.【详解】因为在平行六面体中，，所以.故选：A.6.已知方程表示的曲线是椭圆,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，所以，解得且，即实数的取值范围是，故选B.7.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即得.【详解】在半圆柱下底面半圆所在平面内过作直线的垂线，由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，则以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，于是，，又为的中点，则，，,，设平面的法向量，则，令，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：D8.已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为，连接，，则四边形为矩形．因此．，．可得，结合余弦函数运算求解．【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，，因为，则四边形为矩形，所以，则，．．．即，则，因为，则，可得，即，所以，即双曲线离心率的取值范围是，故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.任何直线方程都能表示为一般式B.两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等C.直线与直线的交点坐标是D.直线方程可化为截距式为【答案】AC【解析】【分析】根据具体条件对相应选项作出判断即可.【详解】对A：直线的一般是方程为：，当时，方程表示水平线，垂直轴；当时，方程表示铅锤线，垂直轴；当时，方程表示任意一条不垂直于轴和轴的直线；故A正确.对B：两条直线的斜率相等时，两直线可能重合，故B错.对C：联立，解得，故C正确.对D：若或时，式子显然无意义，故D错.故选：AC10.已知圆与直线，下列选项正确的是（）A.圆的圆心坐标为B.直线过定点C.直线与圆相交且所截最短弦长为D.直线与圆可以相离【答案】AC【解析】【分析】根据圆的标准方程，可判定A正确；化简直线为，可判定B不正确；根据圆的性质和圆的弦长公式，可判定C正确；根据点在圆内，可判定D不正确.【详解】对于A中，由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为，所以A正确；对于B中，由直线，可化为，令，解得，所以直线恒过点，所以B不正确；对于C中，由圆心坐标为和定点，可得，根据圆的性质，当直线与垂直时，直线与圆相交且所截的弦长最短，则最短弦长为，所以C正确；对于D中，由直线恒过定点，且，即点在圆内，所以直线与圆相交，所以D不正确.故选：AC.11.已知曲线，则（）A.当时，是圆B.当时，是椭圆且一焦点为C.当时，是椭圆且焦距为D.当时，是焦点在轴上的椭圆【答案】AC【解析】【分析】分别将值代入方程，化简即可判断A、B、C，举例即可说明D.【详解】对于A项，当时，曲线C可化为是圆，A正确；对于B项，当时，曲线C可化为是焦点在轴上的椭圆，B错误；对于C项，当时，曲线是椭圆，且，所以，故C正确；对于D项，当时，曲线不是椭圆，故D错误.故选：AC.12.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，且A在x轴上方，过A、B分别作C的准线的垂线，垂足分别为、，则（）A.若纵坐标为，则B.C.准线方程为D.以为直径圆与直线相切于F【答案】CD【解析】【分析】根据抛物线的定义、标准方程和抛物线的几何性质，可判定A错误、C正确；设直线的方程为，联立方程方程组，结合向量的数量积的坐标运算和直线与圆的位置关系的判定方法，可判定B错误，D正确.【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点，准线，所以C正确；对于A中，由的纵坐标为，可得横坐标为，根据抛物线的定义，可得，所以A错误；对于B中，设直线的方程为，且，，则，，联立方程，整理得，则，，因为，，可得，所以与不互垂直，所以B错误；对于D中，因为，，可得，则，所以的中点到直线的距离，又因，故以为直径的圆与直线相切于，所以D正确.故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线过点，且斜率是倾斜角为的直线斜率的二倍，则直线的方程为_______【答案】【解析】【分析】根据倾斜角与斜率的关系，结合点斜式方程，可得答案.【详解】倾斜角为的直线的斜率，则直线的斜率，由点斜式方程可得，整理可得：.故答案为：.14.写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．【答案】或或【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故①，于是或，再结合①解得或或，所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可[方法二]：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可[方法三]：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.15.如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，即异面直线A1M与DN所成角的大小是考点：异面直线所成的角16.已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，则当最大时，的面积为__________.【答案】##【解析】【分析】将对称性和椭圆的定义结合起来，得到PM，PN的和为定值，从而知当M、N、P三点共线时，MN的值最大，然后通过几何关系求出，结合余弦定理即可求出三角形的面积.【详解】根据椭圆的方程可知，，连接PM，PN，则，所以当M、N、P三点共线时，|MN|的值最大此时又因，可得在中，由余弦定理可得，，即，解得，故答案为：.【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．主观题四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．17.已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程．（1）在轴、轴上的截距互为相反数；（2）与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程；（2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，．【小问1详解】①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为，②当直线不经过原点时，设直线的方程为在直线上，，，即．综上所述直线的方程为或【小问2详解】由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得，故，故，当且仅当，即时等号成立，故此时面积最小为,故直线方程为，即18.如图，在四棱锥中，平面平面，分别为的中点．（1）证明：平面；（2）若与所成的角为，求平面和平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题设易得四边形为正方形，即，由等腰三角形性质得，再由面面、线面垂直的性质得，最后应用线面垂直的判定证结论；（2）构建空间直角坐标系，根据线线角并应用向量法求坐标，再由面面角余弦值的向量求法求平面和平面夹角的余弦值．【小问1详解】由为的中点，则，，又，，易知：四边形为正方形，即，由，则，又面面，面，面面所以面，面，则，又，面，则平面；【小问2详解】由（1）易知：两两垂直，可建如下空间直角坐标系，所以，设且，则，故，又与所成的角为，所以，则，即，，若为面的一个法向量，则，令，故，又是面的一个法向量，则，所以平面和平面夹角的余弦值为.19.已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切．（1）求圆的标准方程；（2）过点作圆的切线，求此切线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用直线方程、圆的标准方程运算即可得解.（2）利用直线方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式运算即可得解.【小问1详解】解：由题意，圆心在直线上，故设圆心，由于圆与轴相切，∴半径，则圆的方程为：，又∵圆过点，∴，解得：，∴圆的标准方程为．【小问2详解】解：当切线斜率不存在时，因为圆心到直线的距离为，所以是圆的切线方程．当切线斜率存在时，设切线斜率，则切线方程为，即，由直线与圆相切得，解得：，因此过点与圆相切的切线方程为，即，综上知，过点圆的切线方程为或．20.已知椭圆，直线，（1）为何值时，直线与椭圆有公共点；（2）若直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立直线的方程和椭圆的方程，化简后利用判别式列不等式来求得的取值范围.（2）利用根与系数关系列方程，求得，进而求得直线的方程.【小问1详解】由消去并化简得，若直线与椭圆有公共点，则，即，解得，所以时，直线与椭圆有公共点.【小问2详解】由（1）得，当时，直线与椭圆有两个公共点，设，则，，由于，所以，解得，所以直线的方程为.21.如图，已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点又知.（1）求证:平面;（2）求到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由已知可得平面平面，由面面垂直的性质可得平面，则，再结合可证得结论，（2）取的中点，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；【小问1详解】证明：∵在底面上的射影为的中点，∴平面平面，∵，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，且，平面，∴平面．【小问2详解】解：取的中点，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，∵平面，平面，∴，∴四边形是菱形，∵是的中点，∴，∴，，，，∴，，设平面的法向量，则，，取，，到平面的距离．，平面，平面平面，到平面的距离等于到平面的距离.22.已知双曲线的离心率，，分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于，两点，在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根据双曲线的离心率得关系，从而可得关系，即可得双曲线渐近线方程，不妨设，，确定点为的中点代入双曲线方程可得与的关系，再由的面积即可求得的值，从而可得双曲线的方程；（2）当直线的斜率存在时，设直线方程与交点坐标，代入双曲线方程后可得交点坐标关系，设，满足为常数即可求得的值，并且检验直线的斜率不存在时是否满足该定值即可.【小问1详解】由离心率，得，所以，则双曲线的渐近线方程为，因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，，由于，则点为的中点，所以，又点在双曲线上，所以，整理得：因为的面积为8，所以，则，故双曲线的方程为；【小问2详解】由（1）可得，所以为当直线的斜率存在时，设方程为：，，则，所以，则恒成立，所以，假设在轴上是否存在定点，设，则要使得为常数，则，解得,定点，；又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得，不妨取，若，则，符合上述结论；综上，在轴上存在定点，使为常数，且.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用交点坐标关系，假设在轴上是否存在定点，设，验证所求定值时，根据数量积的坐标运算与直线方程坐标转换可得，要使得其为定值，则与直线斜率无关，那么在此分式结构中就需满足分子分母对应系数成比例，从而可得含的方程，通过解方程确定的存在，使得能确定定点坐标的同时还可得到定值，并且要验证直线斜率不存在的情况.。
福建省南平市高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
C
C
D
C
D
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0
分.
9
10
11
12
ABC
BC
BCD
BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13． (0, 1) 8
14．(0,0,3)
（2）如图所示，以点 A 为坐标原点，以分别以 AB 、 AD 、 AP 为 x 轴、 y 轴和 z 轴建
立空间直角坐标系，则 B 2,0,0 ，C 2, 2,0 ， D 0, 4, 0 ， E 0,0, 2 ， P 0, 0,3 .所
以， BE 2, 0, 2 ， BD 2, 4,0 ， PC 2, 2, 3 ， PD 0, 4, 3 ，设
3z2 0
0
，令
y2
3得
x2
3
，
z2 4 ，即 n 3,3, 4
A． x2 y2 1 45 36
B． x2 y2 1 36 27
C． x2 y2 1 27 18
D． x2 y2 1 18 9
7.
设
F1,
F2
是椭圆
E
：
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左、右焦点， P 为直线 x 3a 2
上一点，
F2PF1是底角为 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）
13．抛物线 y 2x2 的焦点坐标为__________ 14．在空间直角坐标系中，已知 A(1, 2,1), B(2, 2, 2) ，点 P 在 z 轴上，且满足 | PA || PB | ，
浙江省台金七校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题含解析
2023学年第一学期台金七校联盟期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线10x +=的倾斜角为A.6π B.3π C.23π D.56π【答案】A 【解析】【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】由直线10x +=，则33y x =+，设直线的倾斜角为α，所以tan 3α=，所以6πα=.故选：A【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，不能互相垂直的两条直线是（）A.1A B 和1ACB.1A B 和1C DC.1C D 和1B CD.1A B 和11B C 【答案】C 【解析】【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积逐项判断即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，则()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,1,0C 、()0,0,0D 、()11,0,1A 、()11,1,1B 、()10,1,1C 、()10,0,1D .对于A 选项，()10,1,1A B =- ，()11,1,1AC =- ，则11110A B AC ⋅=-=，故11A B AC ⊥；对于B 选项，()10,1,1DC =，11110A B DC ⋅=-= ，故11A B C D ⊥，B 对；对于C 选项，()11,0,1CB = ，111CB DC ⋅=，故1C D 和1B C 不垂直，C 错；对于D 选项，()111,0,0C B = ，1110A B C B ⋅=，故111A B B C ⊥，D 对,故选：C.3.如图三棱柱111ABC A B C -中，G 是棱1AA 的中点，若BA a = ，BC b =，1BA c = ，则CG =（）A.a b c-+- B.1122a b c -+ C.12a b c-++D.1122a b c-++ 【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可得出CG 关于a 、b 、c的关系式.【详解】由已知可得11AA BA BA c a =-=-，因为G 为棱1AA 的中点，则()111112222CG CA AG BA BC AA a b c a a b c =+=-+=-+-=-+.故选：B.4.在空间直角坐标系O xyz -中，已知()()()1,2,0,0,1,2,1,0,2A B C ，则点O 到平面ABC 的距离是（）A.2B.3C.5 D.22【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量求出平面ABC 的一个法向量，代入点到平面距离公式即可得出结果.【详解】依题意可得()()1,1,2,1,1,0AB BC =--=- ，()1,2,0OA =，设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =，则20n AB x y z n BC x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，则可得1,1y z ==，即()1,1,1n = ，所以点O 到平面ABC 的距离是33OA n d n⋅==.故选：B5.已知直线l ：()321020kx k y k ++--=，则下列选项错误的是（）A.当直线l 与直线20x y ++=平行时，1k =B.当直线l 与直线20x y ++=垂直时，12k =-C.当实数k 变化时，直线l 恒过点()2,1D.原点到直线l 【答案】C 【解析】【分析】A 项：根据与直线20x y ++=平行可求出k 值，即可求解；B 项：根据与直线20x y ++=垂直可求出k 值，即可求解；C 项：将直线l 整理得：()310220x y k y +-+-=，从而求出定点，即可求解；D 项：当原点与直线过的定点连线垂直直线时有最大距离，从而求解.【详解】对于A 项：当直线l 与直线20x y ++=平行，得斜率为：312kk -=-+，解得：1k =，故A 项正确；对于B 项：当直线l 与直线20x y ++=垂直，得斜率：312k k -=+，解得：12k =-，故B 项正确；对于C 项：直线l 化简为：()310220x y k y +-+-=，由3100220x y y +-=⎧⎨-=⎩，解得：31x y =⎧⎨=⎩，即l 恒过定点()3,1，故C 项错误；对于D 项：当原点与直线l 的定点的连线垂直于直线l 时距离最大，由两点间距离得：=D 项正确.故选：C.6.已知抛物线2:4C x y =，过点()2,0M -的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点（点P 在第一象限），点F 为抛物线的焦点，若5PF =，则QF =（）A.97B.119C.139D.52【答案】C 【解析】【分析】设点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，根据抛物线的定义即可根据5PF =求得14y =，求解直线方程，将直线l 方程与抛物线的方程联立，求出1x ，2x ，由抛物线的定义可求得||QF 的值．【详解】易知点(0,1)F ，设点1(P x ,1)y ，2(Q x ,2)y ，其中110,0,y x >>由于5PF =，所以11154PF y y =+=⇒=，将14y =代入2:4C x y =得211116,0,4x x x =>∴= ，故直线l 的斜率为4263PM k ==，故其方程为()223y x =+，联立()22234y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得238160x x --=，解得214,43x x =-=，所以22442339y ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭由抛物线的定义可得21319QF y =+=．故选：C7.已知圆()22:32C x y -+=，对于直线():30l mx y m m -+=∈R 上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得π2APB ∠=，则实数m 的取值范围是（）A.,44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.,44∞∞⎛⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33,44⎛- ⎝⎭D.33,,44∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】作出图形，考虑PA 、PB 都与圆C 相切，设APC θ∠=，则2APB θ∠=，分析可知，当PC l ⊥时，θ最大，此时，APB ∠最大，计算出圆心C 到直线l 的距离d ，分析可得2>d ，即可求得实数m 的取值范围.【详解】如下图所示：圆心为()3,0C ，半径为2r =C 到直线l 的距离为261m d m =+考虑PA 、PB 都与圆C 相切，此时，由切线长定理可知，PA PB =，又因为CA CB =，PC PC =，则PAC PBC ≌，设APC θ∠=，则2APB θ∠=，因为AC PA ⊥，则2sin AC PCdθ=≤，故当PC l ⊥时，θ最大，此时，APB ∠最大，因为对于直线():30l mx y m m -+=∈R 上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得π2APB ∠=，则π22θ<，可得π4θ<，则2π2sin 42d <=，可得2621m d m =>+，解得24m <-或24m >.故选：B.8.已知12F F 分别是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，双曲线左､右两支上各有一点P Q ､，满足122F P F Q = ，且12π3F QF =∠，则该双曲线的离心率是（）A.73B.72C.53 D.73【答案】D 【解析】【分析】延长1PF 交交双曲线于M 点，连接212,,PF QF MF ，结合双曲线的定义与余弦定理可得,a c 关系，从而求得双曲线的离心率.【详解】如图，延长1PF 交交双曲线于M 点，连接212,,PF QF MF 因为122F P F Q =，所以2//PM QF ，根据双曲线的对称性可得,M Q 关于原点对称所以12MF F Q =，则四边形12F MF Q 为平行四边形，所以212π3PMF F QF ∠=∠=设12MF F Q m ==，则12PF m =，由双曲线定义可得：21212,2PF PF a MF MF a -=-=，所以2222,2PF a m MF a m =+=+，在2PMF V 中，由余弦定理得222222π2cos3PF PM MF PM MF =+-⋅⋅，则()()()()222122322322a m m a m m a m +=++-⨯⨯+⨯，整理得103a m =所以121016,33a aMF MF ==，在12F MF △中，由余弦定理得222121212π2cos 3F F MF MF MF MF =+-⋅⋅，则()2221016101612233332a a a a c ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22499c a =，所以73c a =则该双曲线的离心率是73c a =.故选：D .二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.9.已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（）A.cos 3f παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B.函数()f x 的图像关于直线π3x =对称C.将()2f x 图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D.若()3π5π,536f αα=<<，则4sin 10α=【答案】BCD 【解析】【分析】根据诱导公式可判断A ；根据正弦函数性质可判断B ；根据函数左右平移原则“左加右减”即可判断C ；根据两角差的正弦可判断D .【详解】因为ππππsin sin cos 3362f αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误；函数()f x 的对称轴为πππ62x k +=+，Z k ∈，得ππ3x k =+，Z k ∈，所以函数()f x 的图像关于直线π3x =对称，故B 正确；由题意知()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所将()2f x 图像上所有点向右平移π6个单位，得πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 正确；因为()π3sin 65f αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且π5π36α<<，所以πππ26α<+<，所以π4cos 65α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为ππππππsin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得4sin 10α=，故D 正确.故选：BCD .10.已知三棱锥O ABC -，则下列选项正确的是（）A.若()()0,1,2,1,1,1OA OB == ，则OA 在OB 上的投影向量为OBB.若G 是三棱锥O ABC -的底面ABC 的重心，则()13OG OA OB OC=++C.若233555OG OA OB =-++，则,,,A B C G 四点共面D.设(),,,R,,0a OA b OB c a b λμλμλμ===+∈≠，则{},,a b c 构成空间的一个基底【答案】AB【解析】【分析】利用投影向量的定义根据空间向量数量积的坐标运算计算可得A 正确，画出几何体由空间向量加减运算法则可求得B 正确，显然233555OG OA OB =-++不满足共面定理，可知C 错误；不共面的非零空间向量才可以构成空间的一个基底，可知D 错误.【详解】对于A ，易知OA 在OB上的投影向量为OA OB OB OB OBOB⋅⋅==,所以可知A 正确；对于B ，取BC 的中点为E ，连接,OE AE ，如下图所示：由G 是三棱锥O ABC -的底面ABC 的重心可得2AG GE =，易知()()22113323OG OA AG OA AE OA AC AB OA AC AB +=+=+⨯+==++()()1211133333O O C OB OB OC OB O A C=++++=+++=++ 所以()13OG OA OB OC =++，即可知B 正确；对于C ，若233555OG OA OC =-++ ，显然233415555-++=≠，则,,,A B C G 四点不共面，所以C 错误；对于D ，由(),,,R,,0a OA b OB c a b λμλμλμ===+∈≠ 可知，,,a b c共面，所以{},,a b c不能构成空间的一个基底，即D 错误.故选：AB11.已知椭圆221:143x y C +=，点O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆1C 的左右焦点，则下列选项正确的是（）A.椭圆1C 上存在点P ，使得12π2F PF ∠=B.P 为椭圆1C 上一点，点()4,4M ，则1PM PF -的最小值为1C.直线()()():3cos 60R l x y θθθ⋅+⋅-=∈与椭圆1C 一定相切D.已知圆222:(1)1C x y -+=，点P N ､分别是椭圆1C ､圆2C 上的动点，则PO PN的最小值为3【答案】BC 【解析】【分析】易知圆221x y +=与椭圆221:143x y C +=无交点，可得A 错误，由椭圆定义将1PM PF -转化为()1222444PM PF PM PF PM PF MF =---≥=-+-，即可知B 正确，联立直线l 与椭圆方程可得223sin 0y y θθ-⋅+=，显然方程只有一解，即可知C 正确，由21PN PF ≤+以及距离公式，构造函数并利用单调性可求出PO PN的最小值为12，即D 错误.【详解】对于A ，若存在点P ，使得12π2F PF ∠=，则点P 在以12F F 为直径的圆221x y +=上，而点P 在椭圆上，易知椭圆221:143x y C +=与圆221x y +=无交点，如下图所示：所以不存在点P 满足题意，即A 错误；对于B ，由椭圆定义可得1224PF PF a +==，则可得124PF PF =-，所以()1222444PM PF PM PF PM PF MF =---≥=-+-，当且仅当2,,P M F 三点共线时满足题意，又()21,0F ，()4,4M 可得25MF =，即1241PM PF MF -≥=-，所以B 正确；对于C ，将22143x y +=变形可得2234120x y +-=，结合直线l 可得22222123609cos cos cos x y θθθ+-=，联立直线()():3cos 6l x y θθ⋅=-⋅消去x可得223sin 0y y θθ-⋅+=，显然该方程仅有一解y θ=，所以当R θ∈时，直线和椭圆仅有一个交点，此时直线()()():3cos 60R l x y θθθ⋅+⋅-=∈与椭圆1C 一定相切，即C 正确；对于D ，易知圆222:(1)1C x y -+=的圆心为()21,0F ，所以可得21PN PF ≤+，不妨设()00,P x y ，则由2200143x y +=可得2200334x y =-，则PO PN≥=00===易知[]02,2x ∈-，令()[]22212,1262,3x f x x x x ∈=-+-+，则()()()()2212621236x x f x xx --+'=-+在[]2,2x ∈-上满足()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在[]22-,上单调递增，即()()124f x f ≥-=，因此可得12PO PN≥≥=，即PO PN 的最小值为12，即D 错误.故选：BC12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是1CC 的中点，点N 是底面正方形ABCD 内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（）A.存在点N 满足2ANM π∠=B.满足15A N =N 的轨迹长度是4πC.满足MN 平面11A BC 的点N 的轨迹长度是1D.满足11B N A M ⊥的点N 2【答案】ABD 【解析】【分析】利用正方体中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标，翻译条件求出轨迹方程，注意变量的取值范围，求解轨迹长度即可.【详解】如图建立空间直角坐标系，则有(200)A ，，，(0,2,1)M ,(0)N x y ，，，1(202)A ，，，(220)B ，，，1(022)C ，，，1(222)B ，，对于A 选项，若2ANM π∠=，则=0NA NM ⋅ ，且=(20)NA x y -- ，，，=(21)NM x y -- ，，，故N 轨迹方程为22(1)(1)=2x y -+-，当=0x 时，=0y ，点(00)，既在轨迹上，也在底面内，故存在这样的点N 存在，A 正确对于B选项，1A N =，N ∴的轨迹方程为22(2)=1x y -+，0202x y ≤≤≤≤ ，，N ∴在底面内轨迹的长度是22(2)=1x y -+周长的14故长度为411π=4π⨯⨯，B 正确对于C 选项，1=(022)A B - ，，，11=(220)A C - ，，，设面11A BC 的法向量=()n x y z，，故有220220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，解得=1=1=1x y z ⎧⎪⎨⎪⎩，故=(111)n ，，MN ∥平面11A BC ，=0MN n ∴⋅，N ∴的轨迹方程为3=0x y +-0202x y ≤≤≤≤ ，，N ∴，C 错误对于D 选项，1=(222)B N x y --- ，，，1=(221)A M --，，11B N A M ⊥ ，11=0B N A M ∴⋅，N ∴的轨迹方程为1=0x y -++0202x y ≤≤≤≤ ，，N ∴，D 正确故选：ABD非选择题部分三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知空间中点()2,1,6M -，则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是__________.【答案】()2,1,6【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点的对称求解即可.【详解】空间中点()2,1,6M -，则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是()2,1,6.故答案为：()2,1,6.14.已知双曲线的两条渐近线方程为0x ±=，并且经过点)A ，则该双曲线的标准方程是__________.【答案】22142x y -=【解析】【分析】根据题意设双曲线方程为221mx ny -=，利用渐近线和过点)A 解方程组即可求得其标准方程.【详解】依题意可设双曲线方程为221mx ny -=，,0m n >；由渐近线方程为0x =可得2n m =，将点)A代入可得61m n -=，解得11,42m n ==，所以双曲线标准方程为22142x y -=.故答案为：22142x y -=15.已知抛物线光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，一条光线从点()3,1P 沿平行于x 轴的方向射出，与拋物线相交于点M ，经点M 反射后与C 交于另一点N .若3OM ON -⋅=，则M N ､两点到y 轴的距离之比为__________.【答案】116##0.0625【解析】【分析】设出直线MN 的方程，联立抛物线方程，用韦达定理和3OM ON -⋅=得出p 的值和M 、N 的坐标，然后可得M N ､两点到y 轴的距离之比．【详解】依题意，由抛物线性质知直线MN 过焦点(,0)2pF ，设1(M x ,1)y ，2(N x ,2)y ，直线MN 的方程为2px ty =+，由222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得：2220y pty p --=，所以212y y p =-，2221212224y y p x x p p =⋅=，则21212334OM ON x x y y p ⋅=+=-=- ，又0p >，所以2p =，故抛物线方程为24y x=而11y =，故24y =-，所以2212121,4444y y x x ====所以M N ､两点到y 轴的距离之比为12116x x =．故答案为：116．16.已知四棱锥,P ABCD PA -⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1,2,5PA AB AD ===，点,E F 分别在,AB BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，则三棱锥P ADF -外接球的体积为__________.【答案】273π2【解析】【分析】把平面PAB 展开到与底面ABCD 共面的P AB '的位置，根据图形可知当,,,P E F D ''四点共线时，空间四边形PEFD 的周长最小，进而求得各边长，由正弦定理可求得ADF △外接圆的半径r ，在三棱锥P ADF -中确定球心位置根据勾股定理即可求得外接球半径，可得其体积.【详解】把平面PAB 展开到与底面ABCD 共面的P AB '的位置，延长DC 到D ¢，使得1CD '=，则DF D F '=（如下图所示），因为PD 的长度为定值，故只需PE EF FD P E EF FD ''++=++最小，即,,,P E F D ''四点共线，易知6,4P D DD ''==，P D DD CF CD ''='，可得3CF =，所以2,22,13BF AB DF ===，45DAF ∠= ，由正弦定理可得ADF △外接圆的半径113262sin 452r =⨯=，设ADF △外接圆圆心为O '，则三棱锥P ADF -外接球的球心O 一定在过O '且与平面ADF 垂直的直线上，如下图所示：因为O 到点,P A 的距离相等，所以222733242PA OA r ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，即三棱锥P ADF -外接球的半径为332R =，所以外接球的体积为34273ππ32V R ==.故答案为：273π2【点睛】关键点点睛：本题关键在于将PAB 展开到与底面ABCD 共面的P AB '的位置，确定出空间四边形PEFD 的周长最小时F 点的具体位置，求得三棱锥P ADF -的各边长进而求出外接球半径即可求出体积.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,7a b c c b =且2cos 2a c A b +=.（1）求C 的值；（2）若ABC 的面积为33BC 边上的高.【答案】（1）π3C =（23【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可得1cos 2C =，可求出π3C =；（2）利用余弦定理以及边的比例关系可求出3a b =，再由面积计算可得6a =，即可求得BC 边上的高为3【小问1详解】利用正弦定理由2cos 2a c A b +=可得sin 2sin cos 2sin A C A B +=，又在ABC 中，易知πA B C ++=，可得πA C B +=-，所以()()sin sin πsin A C B B +=-=；即()sin 2sin cos 2sin 2sin cos 2cos sin A C A A C A C A C +=+=+，可得sin 2sin cos A A C =，显然sin 0A ≠，所以12cos C =，所以1cos 2C =，又()0,πC ∈，可得π3C =；【小问2详解】由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +-==，代入c =整理可得2260a ab b --=，解得3a b =或2a b =-（舍）；所以ABC 的面积为1sin 2S ab C ==，解得2b =，所以6a =；设BC 边上的高为h ，则1122S h BC ah =⋅==，可得h =，即BC 18.已知圆()()222:40C x y r r -+=>，两点()30A -,、()5,0B -.（1）若6r =，直线l 过点B 且被圆C 所截的弦长为6，求直线l 的方程；（2）若圆C 上存在点P ，使得2210PA PB +=，求圆C 半径r 的取值范围.【答案】（1）22y x =+或22y x =--（2）[]6,10【解析】【分析】（1）计算出圆心C 到直线l 的距离为d =，对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线l 的方程，利用点到直线的距离公式可求出直线l 的方程；（2）设点(),P x y ，利用平面内两点间的距离公式结合2210PA PB +=可得知点P 在圆()2244x y ++=，可知圆C 与圆()2244x y ++=有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于r 的不等式，即可解得r 的取值范围.【小问1详解】解：当6r =时，圆C 的标准方程为()22436x y -+=，圆心为()4,0C ，因为直线l 过点B 且被圆C 所截的弦长为6，则圆心C 到直线l的距离为d ===若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为5x =-，此时，圆心C 到直线l 的距离为9，不合乎题意；所以，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()5y k x =+，即50kx y k -+=，则d ==，解得2k =±，所以，直线l的方程为22y x =+或22y x =--.【小问2详解】解：设点(),P x y ，则()()2222223510PB x y PA x y +=+++++=，整理可得()2244x y ++=，因为点P 在圆C 上，则圆C 与圆()2244x y ++=有公共点，且圆()2244x y ++=的圆心为()4,0E -，半径为2，则22r CE r -≤≤+，且8CE =，故282r r -≤≤+，因为0r >，解得610r ≤≤，故r 的取值范围是[]6,10.19.已知正三棱台111ABC A B C -中，11AA =，1122BC B C ==，D 、E 分别为1AA 、11B C 的中点.（1）求该正三棱台的表面积；（2）求证：DE ⊥平面11BCC B 【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥-P ABC ，分析可知正三棱锥-P ABC 是棱长为2的正四面体，结合三角形的面积公式可求得正三棱台111ABC A B C -的表面积；（2）设点P 在底面ABC 的射影为点O ，则O 为正ABC 的中心，取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，以点CO 、AB 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，证明出DE CP ⊥，DE CB ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.【小问1详解】解：将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥-P ABC ，如图所示：因为11//B C BC ，且1122BC B C ==，则1A 、1B 分别为PA 、PB 的中点，则122PA AA ==，2PC PB PA ===，故PBC 是边长为2的等边三角形，由此可知，PAB 、PAC △都是边长为2的等边三角形，易知ABC 是边长为2的等边三角形，111A B C △是边长为1的等边三角形，故正三棱台111ABC A B C -的表面积为111222393221444442PAB ABC A B C S S S ⨯++=⨯⨯+⨯+⨯=△△△.【小问2详解】解：设点P 在底面ABC 的射影为点O ，则O 为正ABC 的中心，取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，πsin232CM AC ==⨯=，则233CO CM ==，因为PO ⊥平面ABC ，CO ⊂平面ABC ，则OP CO ⊥，所以，3PO ==，以点O 为坐标原点，CO 、AB 、OP的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则,0,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、,1,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、0,0,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、,1,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、3,446D ⎛- ⎝⎭、1,,1243E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则36,1,36DE ⎛=- ⎝⎭ ，2326,0,33CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，)CB = ，所以，22033DE CP ⋅=-+= ，110DE CB ⋅=-+= ，所以，DE CP ⊥，DE CB ⊥，因为CP CB C ⋂=，CP 、CB ⊂平面11BCC B ，故DE ⊥平面11BCC B .20.已知函数()2,01,02xm x x x f x m x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，Rm ∈（1）当4m =时，求函数()f x 的值域；（2）讨论函数()f x 的零点个数.【答案】（1）(][),32,-∞-⋃+∞（2）答案见解析【解析】【分析】（1）代入4m =分别利用基本不等式和函数单调性求出两段函数值域即可得出结论；（2）对参数m 的取值进行分类讨论，利用基本不等式以及指数函数单调性分别对两函数的最值的符号作出判断，结合图象特征即可得函数()f x 的零点个数.【小问1详解】当4m =时可得()42,041,02xx x x f x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩；显然当0x >时，4222x x +-≥-=，当且仅当2x =时，等号成立，当0x ≤时，易知函数412x -在(],0-∞上单调递增，所以可得04411322x -≤-=-，即0x ≤时，(]41,32x -∈-∞-；综上可知，函数()f x 的值域为(][),32,-∞-⋃+∞；【小问2详解】①当0m ≤时，函数2m y x x=+-在()0,∞+上单调递增，且当x 趋近于0时，0y <，当x 趋近于+∞时，0y >，即函数2m y x x =+-在()0,∞+上存在一个零点；而函数12x m y =-在(],0-∞上单调递减，且当(],0x ∈-∞时，0y >恒成立，即函数12x m y =-在(],0-∞上无零点；所以当0m ≤时，函数()f x 仅有1个零点；②当01m <<时，易知2m y x x =+-在(上单调递减，在)+∞上单调递增，此时最小值为20<，即函数2m y x x =+-在()0,∞+上存在两个零点；而函数12x m y =-在(],0-∞上单调递增，且当x 趋近于-∞时，0y <，其最大值为10m ->，即函数12x m y =-在(],0-∞上有一个零点；所以当01m <<时，函数()f x 仅有3个零点；③当1m =时，易知12y x x =+-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，此时最小值为0，即函数12y x x =+-在()0,∞+上存在一个零点；而函数112x y =-在(],0-∞上单调递增，且当x 趋近于-∞时，0y <，其最大值为0，即函数112x y =-在(],0-∞上有一个零点；即当1m =时,函数()f x 仅有2个零点；④当1m >时，易知2m y x x =+-在(上单调递减，在)+∞上单调递增，此时最小值为20>，即函数2m y x x =+-在()0,∞+上无零点；而函数12x m y =-在(],0-∞上单调递增，且当x 趋近于-∞时，0y <，其最大值为10m -<，即函数12x m y =-在(],0-∞上无零点；所以当1m >时，函数()f x 没有零点；综上可知，当0m ≤时，函数()f x 仅有1个零点；当01m <<时，函数()f x 仅有3个零点；当1m =时,函数()f x 仅有2个零点；当1m >时，函数()f x 没有零点；21.已知多面体ABCDEF 的底面ABCD 为矩形，四边形BDEF 为平行四边形，平面FBC ⊥平面ABCD ，2FB FC BC ===，4AB =，G 是棱CF 上一点.（1）证明：AE 平面BCF ；（2）当BG 平面AEF 时，求BG 与平面DEG 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）46767【解析】【分析】（1）先证平面ADE //平面BCF ，再证明AE 平面BCF 即可；（2）设出G 的坐标，求出平面AEF 的法向量，由BG 平面AEF 的向量关系求出G 点坐标，再用向量法求线面角即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ；AD ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，所以//AD 平面BCF ，又四边形BDEF 为平行四边形，所以//DE BF ，又DE ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以//DE 平面BCF ，因为AD DE E ⋂=，且AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以平面ADE //平面BCF ，因为AE ⊂平面ADE ，所以AE 平面BCF ；【小问2详解】如图，连接AF ，EG ，取BC 的中点N ，AD 的中点M ，因为FBC 是等边三角形，所以FN BC ⊥，又平面FBC ⊥平面ABCD ，FN ⊂平面FBC ，平面FBC 平面ABCD BC =，所以FN ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为矩形，所以MN NB ⊥，以N 为坐标原点，,,NM NB NF 分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，()()()()(4,1,0,0,1,0,0,1,0,4,1,0,0,0,A B C D F --，则(CF = ，设(01)CG tCF t =≤≤，则()0,G t -，可知()(()0,,4,1,,4,2,0BG t AF BD =-=--=- ，由底面是平行四边形，得(0,AE AF FE AF BD =+=+=- ，设平面AEF 的法向量为()111,,x n y z = ，则111114030x y y ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，得1111,2y x ==，则平面AEF的法向量为12n ⎛= ⎝ ，由题意//BG 平面AEF ，则()102102BG n t ⋅=⨯+-⨯+= ，解得12t =，所以12CG CF = ，即G 是CF 中点，因为(0,AE =-，所以(4,E -，所以(10,,4,,22DE DG ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面DEG 的法向量为()222,,m x y z =，则22222014022y x y z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩，取21z =，得2234y x ==，所以平面DEG的法向量为34m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，30,,22BG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线BG 与平面DEG 所成的角为θ，则sin cos ,67BG m BG m BG m θ⋅===⋅ .所以BG 与平面DEG所成角的正弦值为67.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点12D ⎫⎪⎭，点,A B 分别是椭圆C 的左､右顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0E 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（P 在,E Q 之间），直线,AP BQ 交于点M ，记,ABM PQM 的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）()0,1【解析】【分析】（1）利用离心率以及椭圆过的点联立解方程组即可求得椭圆方程;（2）设出直线方程4x my =+并与椭圆联立并利用韦达定理得出关系式，解出直线PA 与QB 的交点12121221212262,33my y y y y y M y y y y ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭，利用弦长公式以及点到直线距离公式可求得面积12,S S 的表达式，即可得2122124S m S m -=+，再由212m >即可求得()120,1S S ∈.【小问1详解】由题意可知离心率为32c e a ==，将点12D ⎫⎪⎭代入椭圆方程可得223114a b +=，又222a b c =+，解得2224,1,3a b c ===；所以椭圆方程为2214x y +=【小问2详解】易知()()2,0,2,0A B -，设直线l 的方程为4x my =+，()()1122,,,P x y Q x y ，且12x x <，联立直线和椭圆方程22144x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得()2248120m y my +++=，()()22841240m m ∆=-⨯+>，可得212m >，且121222812,44m y y y y m m +=-=++可得直线PA 的方程为()()11112226y y y x x x my =+=+++，直线QB 的方程为()2222y y x my =-+，解得12121221212262,33my y y y y y M y y y y ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭PQ =；M 点到直线PQ 的距离为d =所以PQM的面积为()121221112122243y y S PQ d m y y -=⋅=⋅+-ABM 的面积为121221212231432S y y y y B y A y y y =⋅-=-；所以2122221221222331216444112444y y S m m m m y y m m m S ⨯⋅-⨯-+++====-+++，又212m >可得()21610,14m -∈+，即可得12S S 的取值范围是()0,1.【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线面积范围问题时，往往根据题目已知条件写出面积的表达式，进而求得两面积比值的表达式，再由参数范围利用函数单调性或者基本不等式即可限定出要求的结果.。
2020年11月安徽省卓越县中联盟高二上学期期中联考理科数学试题 (2)
数 的值为 n
_____________.
在 中,已知 , , , 为线段 上的 ．16 ∆ABC
AB·AC = 9 sin B = cos Asin C S∆ABC = 6 P
AB
点,且CP = x CA + y CB ,则 xy 的最大值为________. CA CB
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.
．A -2
．B 2
．C -11
．D 11
5．已知直线l1 : ax + 4y − 2 = 0 与直线l2 : 2x −5y + b = 0 互相垂直，垂足为(1,c)，则
a +b + c 的值为（ ）
A．20
B．－4
C．0
D．24
．已知 ， ，则 （ ） 6
tan(α − π ) = 2 tan (α + β ) = −3 tan(β + π ) =
14．已知三棱锥 P− ABC 中，侧棱 PA ⊥底面 ABC ， AC ⊥ BC ， PA = AB = 2BC = 2 ， 则三棱锥 P− ABC 的外接球的表面积为________.
15．设等差数列{an}的前n 项和为 Sn ，且 a1 > 0 ， S14 = S9 ，则满足 Sn > 0 的最大自然
≥
k
2
−
2k
恒成立，则
k
的取值范围为（
）
．A [−2,0) ∪ (0,4]
． ． B [−4,0) ∪ (0,2] C [−4, 2]
D． [ −2, 4]
．12 M ， N 分别为菱形 ABCD的边 BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线 AC 折起，使点 D 不在平面 ABC 内，则在翻折过程中，下列选项正确的是（ ） ① MN / / 平面 ABD ；②异面直线 AC 与MN 所成的角为定值； ③在二面角 D− AC − B逐渐变小的过程中，三棱锥 D − ABC 外接球的半径先变小后 变大；④若存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直，则∠ABC 的取值范围
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二00七学年第一学期高二期中考试数学试题(理)命题：王永平 审核：何新江 07.11.1考生须知：1、全卷分试卷Ⅰ、Ⅱ和答卷Ⅰ、Ⅱ。
试卷共3页，有三大题，24小题，满分为150分，考试时间120分钟。
2、本卷答案必须做在答卷Ⅰ、Ⅱ的相应位置上，做在试卷上无效。
3、请用铅笔将答卷Ⅰ上的准考证号和学科名称所对应的括号或方框涂黑，用黑色中性笔将姓名、准考证号分别填写在答卷Ⅰ、Ⅱ的相应位置上，然后开始答题。
试卷Ⅰ一、选择题：（共 50分,1—10每题4分，11--12题各5分） 1．下列给出的赋值语句中正确的是A 、3=AB 、M=3C 、B=A=2D 、x+y=0 2．下列对一组数据的分析，不正确的说法是A 、数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B 、数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定C 、数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D 、数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定3．根据如图(1)所示的程序，可知输出结果为A.17B.19C.21D.23 4．已知x 、y则线性回归方程bx a y+=ˆ所表示的直线必经过点 A ．（0，0） B ．（1.5,5） C ．（4,1.5） D ．（2,2）5．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A ．至少有一个黒球与都是红球 B ．至少有一个黒球与都是黒球 C ．至少有一个黒球与至少有1个红球 D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球 6．向面积为S 的ABC ∆内，任掷一点，则PBC∆面积不大于S 31的概率是A ．31B ． 32C ． 95D ． 94 7．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则此二项展开式中有理项的项数有 Ａ．0项Ｂ．1项 Ｃ．2项 Ｄ．3项8．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ， 则01211a a a a ++++ 的值为Ａ．2- Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．29．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 A ．21p pB ．)1()1(1221p p p p -+-C ．211p p -D ．)1)(1(121p p ---10．两名大学毕业生去某单位应聘，该单位要从参加应聘的人中录用5人，且两人同时被录用的概率为191．则两人中至少有一人被录用的概率为 A 3817． B 3821 C 361360 D 3823 11．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A 、 B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、 C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只 能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为A ．18B ．17C ．16D ．1512．． 在网络游戏《变形》中，主人公每过一关都以32的概率变形（即从“大象”变为“老鼠”或从“老鼠”变为“大象”），若将主人公过n 关不变形的概率计为P n ，则（ ）A ．P 5>P 4B ．P 8<P 7C ．P 11<P 12D ．P 15>P 16试卷Ⅱ二、填空题（每题4分，共28分）13.完成下列进位制之间的转化：101101（2）＝_________（7）14．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人15．已知随机变量X 服从正态分布2(0)N σ，且(20)P X -≤≤0.4=,则(2)P X >= ．16．抛掷一颗骰子两次, 在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率17.在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的4个答案中找出正确答案（正确答案不唯一，即此题为多选题）。
某抢答者不知道正确答案，则这位抢答者一次就猜中正确答案的概率为____________。
18．从0,1,2,3,4,5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有 .个。
(用数字作答)．19．某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的. 则恰有2个景区有部门选择的概率.三、解答题（本大题共5小题：共72分，解答应写出文字说明、或演算步骤） 20. （本小题满分14分）甲乙两人独立地破译一个密码,他们能破译密码的概率分别是11,34. 求①.两人都译出密码的概率. ②.两人都译不出密码的概率.③.恰有一人译出密码的概率. ④.至多一人译出密码的概率21.（本小题满分14分）某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如下： 甲：9.4，8.7，7.5，8.4，10.1，10.5，10.7，7.2，7.8，10.8； 乙：9.1，8.7，7.1，9.8，9.7，8.5，10.1，9.2，10.1，9.1； （1） 用茎叶图表示甲，乙两个成绩；（2）根据茎叶图分析甲、乙两人成绩；（3）分别计算两个样本的平均数-x 和标准差s ，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定22. （本小题满分（1（223. (本小题满分商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．24．(本小题满分15分)平面上有两个质点A(0,0), B(2,2)，在某一时刻开始每隔1秒向上下左右任一方向移动一个单位。
已知质点A 向左，右移动的概率都是14，向上，下移动的概率分别是13和P, 质点B 向四个方向移动的概率均为q ： （1）求P 和q 的值；（2）试判断至少需要几秒，A ，B 能同时到达D （1，2），并求出在最短时间同时到达的概率？21．解：二00七学年第一学期高二期中考试数学答题卷(理)答卷Ⅱ二、填空题（4'×7＝28'）13．_______________。
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三、解答题（本大题共6小题：共72分，解答应写出文字说明、或演算步骤）20.解：22．解：23．解：24．解：二00七学年第一学期高二期中考试数学答案一. 选择题(共50分，1—10每题4分，11--12题各5分，) BDABD CCABA CC12．【解析】由题32)1(3111⋅-+⋅=--n n n P P P （*)N n ∈，即13132--=n n P P （*)N n ∈，以n ＋1代n ，得n n P P 31321-=+，所以)(3111-+--=-n n n n P P P P （*)N n ∈．而31,110==P P ，所以n n n P P 31(321--=-+（N n ∈）．所以22121200k k k k P P P P -+->⎧⎨-<⎩，，所以偶数项比它相邻项大，所以答案为C二. 填空题(共28分)13. 63 14. 25 15. 0.1 16. 1/2 17. 1/15 18. 36 1 9. 14/27 . 三.解答题(共72分) 20. 解(本小题满分14分)设A=甲译出密码,B=乙译出密码,C=密码破译,A,B 独立.①. P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=1134⨯=112②.P(C )=P(AB )=P(111()(1)(1)342A PB ⨯=-⨯-=③∵A,B 是独立事件,,AB BA 也是独立且互斥的事件, ∴C=AB AB +, P(C)=P(AB )+P(AB )=125411(31)311(41=-⨯+-⨯ ④.至多一个人译出密码, 即两人都译不出密码或恰有一人译出密码.AB AB AB D ++=∴P(D)=P(AB AB AB ++)=151121212+=21．解：（1 （2）由上图知，甲中位数是9.05，乙中位数是9.15，乙的成绩大致对称，可以看出乙发挥稳定性好，甲波动性大。
（3）解：（3）-x 甲＝101×（9.4+8.7+7.5+8.4+10.1+10.5+10.7+7.2+7.8+10.8）=9.11 S 甲＝])11.98.10(...)11.97.8()11.94.9[(101222-++-+-＝1.3 -x 乙＝101×（9.1+8.7+7.1+9.8+9.7+8.5+10.1+9.2+10.1+9.1）=9.11＝9.14 S 乙＝])14.91.9(...)14.97.8()14.91.9[(101222-++-+-＝0.9 因为S 甲>S 乙，这说明了甲运动员的波动大于乙运动员的波动，所以我们估计，乙运动员比较稳定。
22．. (本小题满分14 或者：（2）①DO 应改为WHILE;②PRINT n+1 应改为PRINT n ③S=1应改为S=0注：此题有多种改法，凡符合题意都对23．(本小题满分15分) 解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=， (300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．24．(本小题满分15分)解：（1）由于质点向四个方向移动是一个必然事件， 则：P=16；q=14。
（2）至少需要3秒才可以同时到达D ，则当经过3秒：A 到达D 点的概率为： 13C ·P(右)·P(上)·P （上）＝112设N(2,1)；C(1,1)；H(3,2)；F(2,3)；E(1,3)；则经过3秒，B 到达D 的可能情景为： DBD,DMD,DED,DCD,NBD,NCD,HBD,FED,FBD,共9种可能。