【数学】福建省华安一中、长泰一中等四校2017-2018学年高二下学期第一次联考试题(4月)(文)

福建省华安一中、长泰一中等四校2017-2018学年

高二下学期第一次联考试题（4月）（文）

（考试时间：120分钟 总分：150分）

一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1.若复数z=1+i,为z 的共轭复数,则下列结论正确的是( ) A.=-1-i B.=-1+i C.||=2 D.||=

2.已知复数z 满足=i 5,则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.直线1,

13x t y t =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩的斜率为（ ）

A ．1

B ．1-

C ．3

D ．3-

4.余弦函数是偶函数，2()cos(1)f x x =+是余弦函数，因此2()cos(1)f x x =+是偶函数，以上推理（ ）

A ．结论不正确

B ．大前提不正确

C ．小前提不正确

D ．全不正确 5.若()2cos x f x x =+，则函数()f x 的导函数()f 'x =( ) A.5 B.6 C.1 D.-1

18.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos 2sin x y α

α

=+⎧⎨

=⎩(α为参数)，以原点O 为

极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛⎫

+= ⎪⎝

⎭

. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；

(Ⅱ)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，求PA PB ⋅.

19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为

,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 的极坐标方程;

(2)直线l 的极坐标方程是,射线OM :与圆C 的交点为O ,P ,与直

线l 的交点为Q ,求线段PQ 的长.

20.已知函数f （x ）=x 3﹣3x 2﹣9x+1（x ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调区间．

（2）若f （x ）﹣2a≥0对∀x ∈[﹣2，4]恒成立，求实数a 的取值范围．

cos ()1sin x y ϕ

ϕϕ

=⎧⎨

=+⎩为参数2sin()336

π

ρθ+=6

π

θ=

21.体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般。某地区抽取30位居民，其中60％的人经常进行体育锻炼。经体检调查，这30位居民的健康指数(百分制)的数据如下：

经常锻炼的：

65，76，80，75，92，84，76，86，87，95，68，82，72，94，71，89，83，77

缺少锻炼的：

63，58，85，93，65，72，59，91，63，67，56，64

(I)根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与体育锻炼有关系”?

(Ⅱ)从该学科教师健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中经常进行体育锻炼的人数的概率.

附：

()()

()()()()

2 2

a b c d ad bc

K

a b c d a c b d

+++-

=

++++

．

22.已知函数， （为常数）.

（1）若函数

与函数

在处有相同的切线，求实数

的值.

（2）若，且，证明： .

x e

参考答案

1-5、DBCCA 6-10、CBABD 11-12、AB 13.2018 14. -2． 15.1 16. 17解：（1）依据..............2分 根据题意是纯虚数，..............4分

；..............5分

（2）根据题意在复平面上对应的点在第四象限，可得

所以，实数的取值范围为..............10分

18.解：(Ⅰ)由曲线C 的参数方程(α为参数)，得(α为参数)，

两式平方相加，得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2

＝4；.........3分

由直线l 的极坐标方程可得ρcos θcos π4－ρsin θsin π

4＝

即直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.............6分

(Ⅱ)由题意可知P (2，0)，则直线l 的参数方程为(t 为参数)．

设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|PA |·|PB |＝|t 1|·|t 2|，

将(t 为参数)代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2＋2t －3＝0， 则Δ>0，由韦达定理可得t 1·t 2＝－3，

112e

-

12(2)(34)(38)(46)z z a i i a a i ⋅=-⋅+=++-12z z ⋅380

460a a +=⎧⎨

-≠⎩

8

3

a =-12z z ⋅38083

46032a a a +>⎧⇒-<<⎨

-<⎩

a 8

3{|}32

a a -<<12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩12cos 2sin x y α

α-=⎧⎨=⎩

2cos sin 2ρθρθ⇒-=2

22

22

x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2

2222

x t y t ⎧=+

⎪⎪⎨⎪=⎪⎩