数学形式同线性规划中的约束条件
运筹学习题
第一章. 线形规划及单纯形法习题
1. 某炼油厂根据计划每季度需供应合同单位汽油15万吨，煤油12万吨，重油12万
吨.该厂从A ，B 两处运回原油提炼，已知两处原油成分如下表所示。又如从A 处采购原油每吨价格（包括运费,下同）为200元，B 处原油每吨为300元.试求：1)选择该炼油厂采购原油的最优决策；2）如A 处价格不变,B 处降为290元/吨，则最
2万元。
2)改为每季度从A 处采购15万吨，从B 处采购30万吨，总费用11700万元。
2. 已知线性规划问题： 213m ax x x z +=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+=++=+40
,,342
10215.5152421
31x x x x x x x x x st
下表中所列的解(a ）— （f ）均满足约束条件1—3，试指出表中哪些是可行解，哪些是
3. 已知某线性规划问题的约束条件为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=≥=---+=-+=-+)5,,1(0852********.54321421321 j x x x x x x x x x x x x st j
判断下列各点是否为该线性规划问题可行域的凸集的顶点：
（a ）），，，，（0200155=X
（b ） ），，，，（80079=X (c ） ），，，，（0010515=X
答:
该线性规划问题中
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=4121p
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=7312p
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=1013p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2104p
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1005p （a ） 因有0421=++-p p p ，故不是凸集顶点；
（b ） （9,7，0，0，8）为非可行域的点
习运筹学题1(1)
习 题 1
1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥+≥++=0
x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21
212121， ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥+≤++=0
x ,x 124x 3x 2
x 2x 2x 3x maxz )b (2121212
1
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=8
x 310x 5120
10x 6x x x maxz )c (21
212
1
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+-≥-+=0
x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯一解
3
*,)5.0,75.0(*==z X T ); (b)唯一解
4*,)2,0(*==z X T );
(c)唯一解16*,)6,10(*==z X T
); (d)无界解）
2 用单纯形法求解下列线性规划问题。
⎪⎩⎪⎨⎧≥
≤+≤++=0
x ,x 82x 5x 9
4x 3x 5x 10x maxz )a (21
2121
21 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
≥≤+≤+≤+=0
x ,
x 5x x 242x 6x 155x x 2x maxz )b (212
12
122
1 答案：
(a)
唯
一
解
5
.17*,)5.1,1(*==z X T )，对偶问题
5.17*,)78
6.1,35
7.0(*==w Y T ; (b)唯一解5.8*,)5.1,5.3(*==z X T ）
，5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T
3 用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。
《运筹学》试题及答案(四)
《运筹学》试题及答案
一、单选题
1. μ是关于可行流f的一条增广链，则在μ上有（D）
A.对一切
B.对一切
C.对一切
D.对一切
2.不满足匈牙利法的条件是(D)
A.问题求最小值
B.效率矩阵的元素非负
C.人数与工作数相等
D.问题求最大值
3.从甲市到乙市之间有—公路网络，为了尽快从甲市驱车赶到乙市，应借用（）C
A.树的逐步生成法
B.求最小技校树法
C.求最短路线法
D.求最大流量法
4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）D
A.状态变量的选取
B.决策变量的选取
C.有虚拟产地或者销地
D.目标函数取乘积形式
5.当基变量x i的系数c i波动时，最优表中引起变化的有(B)
A.最优基B
B.所有非基变量的检验数
C.第i 列的系数
D.基变量X B
6.当非基变量x j的系数c j波动时，最优表中引起变化的有(C)
A.单纯形乘子
B.目标值
C.非基变量的检验数
D. 常数项
7.当线性规划的可行解集合非空时一定(D)
A.包含点X=(0,0,···,0)
B.有界
C.无界
D.是凸集
8.对偶单纯形法的最小比值规划则是为了保证(B)
A.使原问题保持可行
B.使对偶问题保持可行
C.逐步消除原问题不可行性
D.逐步消除对偶问题不可行性
9.对偶单纯形法迭代中的主元素一定是负元素（）A
A.正确
B.错误
C.不一定
D.无法判断
10.对偶单纯形法求解极大化线性规划时，如果不按照最小化比值的方法选取什么变量则在下一个解中至少有一个变量为正（）B
A.换出变量
B.换入变量
C.非基变量
D.基变量
11.对LP问题的标准型：max,,0
Z CX AX b X
数学建模的基本方法与实例
数学建模的基本方法与实例数学建模是一种通过数学模型来解决实际问题的方法。它在现代科学研究和工程实践中扮演着重要的角色。本文将介绍数学建模的基本方法，并通过实例来详细说明。
一、问题分析
在进行数学建模之前，首先需要对问题进行分析和理解。这包括明确问题的背景、确定问题的目标以及收集问题所需数据等。通过充分了解问题，我们可以更加准确地进行建模和求解。
二、建立模型
在问题分析的基础上，我们需要建立适当的数学模型来描述和解决问题。数学模型是对实际问题的抽象和简化，它包括变量、参数、约束条件和目标函数等要素。常见的数学模型包括线性规划模型、非线性规划模型、动态规划模型等。
以线性规划模型为例，其数学形式为：
Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ
Subject to:
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂
...
aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ
其中，c₁、c₂、...、cₙ分别为模型的目标函数系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为约束条件的系数，b₁、
b₂、...、bₙ为约束条件的右侧常数。
三、求解模型
建立完数学模型后，下一步是求解模型以得到问题的最优解。对于
不同类型的模型，可以使用不同的数学方法和工具来求解。常见的方
法包括线性规划的单纯形法、非线性规划的梯度法、动态规划的最优
控制理论等。
四、模型验证与分析
求解完模型后，需要对结果进行验证和分析。这包括检验模型的可
松弛变量名词解释
松弛变量名词解释
松弛变量是线性规划中的一种概念，用于将约束条件转化为等式形式。在线性规划中，约束条件通常是不等式形式，例如大于等于、小于等于等。为了将这些不等式约束转化为等式约束，引入了松弛变量。
松弛变量是一种非负变量，它的引入可以使得原始问题的约束条件变为等式形式。通过引入松弛变量，可以将原始问题转化为一个等价的问题，从而更容易求解。具体来说，对于一个线性规划问题的约束条件形如：
a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b
其中，a1, a2, ..., an是常数，x1, x2, ..., xn是决策变量，b是常数。为了将这个不等式约束转化为等式约束，引入一个非负的松弛变量s，使得：
a1x1 + a2x2 + ... + anxn + s = b
这样，原始问题的约束条件就变为等式形式。松弛变量s的引入使得原始问题的可行域扩大，因为s可以取非负的任意值。通过引入松弛变量，可以将原始问题转化为一个等价的问题，从而更容易求解。
需要注意的是，松弛变量的引入可能会增加问题的决策变量的个数，从而增加问题的复杂度。因此，在使用松弛变量时需要权衡求解的效率和问题的复杂度。
运筹学(第5章 目标规划)
图解法
明确问题，列出
目标的优先级和 权系数
构造目标规 划模型
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
求出满意解
分析各项目标 完成情况
例6．一位投资商有一笔资金准备购买股票。资金总额为 90000元，目前可选的股票有A和B两种（可以同时投资 于两种股票）。其价格以及年收益率和风险系数如表1：
股票 A B
价格（元） 20 50
例； (3) C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； (4) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求
充分利用，又尽可能不加班。
要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。
线性规划模型存在的局限性：
1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际问 题中并非所有约束都需要严格满足。
2）只能处理单目标的优化问题。实际问题中，目 标和约束可以相互转化。
∵正负偏差不可能同时出现，故总有： x1－x2+d--d+ =0
若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d->0,用目标约束
运筹学
无界解往往是建模是遗漏了某些必要资源约束，无解往往建模有误，约束条件矛盾
凸集：如集合C中任意两点其连线上的点仍为集合C中的点，则C为凸集。
顶点：该点属于集合C，该点将过该点的任意一条直线分为两段，只有一段经过集合C。
基本定理：若LP问题的可行域存在，必定为凸集；
第一章线性规划及单纯性法
数学模型三大要素：决策变量、约束条件、目标函数
线性规划数学模型：可控连续变量 线性 线性
线性规划数学模型的标准形式：目标函数求极大值，约束均为等式，常数项非负，变量非负。
标准化：若目标函数为求极小值，令 =-z，求 最大值。
对小于等于的约束条件，加入松弛变量，大于等于的约束条件，加入剩余变量。松弛变量和剩余变量在实际中分别表示未被充分利用或超用的资源，均未转化成价值和利润，在目标函数中系数为0.
单纯形法的矩阵描述初始单纯形表
基
b
b
B N I
最终单纯形表
基
b
I
0
第二章线性规划的对偶理论
原问题与对偶问题的一般对应关系
原问题（对偶问题）
对偶问题（原问题）
目标函数பைடு நூலகம்ax
变量
目标函数中变量的系数
约束条件
目标函数min
约束条件
约束条件的右端项
管理运筹学试题
管理运筹学试题（A）
一．单项选择（将唯一正确答案前面的字母填入题后的括号里。正确得1分，选错、多选或不选得0分。共15分）
1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为（）
A．多余变量B．松弛变量C．自由变量D．人工变量
正确答案：A: B: C: D:
2．约束条件为AX=b，X≥0的线性规划问题的可行解集是（）A．补集B．凸集C．交集D．凹集
正确答案：A: B: C: D:
3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（）上达到。A．内点B．外点C．极点D．几何点
正确答案：A: B: C: D:
4．对偶问题的对偶是（）
A．基本问题B．解的问题C．其它问题D．原问题
正确答案：A: B: C: D:
5．若原问题是一标准型，则对偶问题的最优解值就等于原问题最优表中松弛变量的（）
A．值B．个数C．机会费用D．检验数
正确答案：A: B: C: D:
6．若运输问题已求得最优解，此时所求出的检验数一定是全部（）A．大于或等于零B．大于零C．小于零D．小于或等于零
正确答案：A: B: C: D:
7．设V是一个有n个顶点的非空集合，V={v1，v2，……，vn}，E是一个有m条边的集合，E={e1，e2，……em}，E中任意一条边e是V 的一个无序元素对[u，v]，（u≠v），则称V和E这两个集合组成了一个（）
A．有向树B．有向图C．完备图D．无向图
正确答案：A: B: C: D:
8．若开链Q中顶点都不相同，则称Q为（）
A．基本链B．初等链C．简单链D．饱和链
正确答案：A: B: C: D:
9．若图G 中没有平行边，则称图G为（）
运筹学标准型
运筹学标准型
运筹学是一门研究如何有效地进行决策和规划的学科，它涉及
到数学、工程学、经济学等多个领域。在实际应用中，人们常常会
遇到各种各样的问题，如资源分配、生产调度、物流运输等，而运
筹学正是为了解决这些问题而存在的。在运筹学的研究中，有一种
标准型模型，它是一种常见的数学模型，可以用来描述和解决许多
实际问题。本文将对运筹学标准型进行介绍和分析。
首先，我们来看一下什么是运筹学标准型。运筹学标准型是指
一类特定形式的数学优化模型，通常包括一个目标函数和一组约束
条件。目标函数是需要最大化或最小化的目标，而约束条件则是对
决策变量的限制。通过对这些约束条件的分析和优化，可以得到最
优的决策方案。在实际应用中，我们可以将许多问题转化为标准型
模型，然后利用数学方法进行求解，从而得到最佳的解决方案。
运筹学标准型有许多不同的形式，其中最常见的包括线性规划、整数规划、非线性规划等。线性规划是指目标函数和约束条件均为
线性的优化问题，它在资源分配、生产计划等方面有着广泛的应用。整数规划则是在线性规划的基础上增加了决策变量必须为整数的限制，通常用于离散决策问题。非线性规划则是指目标函数或约束条
件中至少有一个是非线性的优化问题，它在工程设计、经济决策等
领域有着重要的应用。
在实际问题中，我们常常需要根据具体情况选择合适的运筹学
标准型。例如，在生产调度中，我们可以利用线性规划来优化生产
计划，最大化利润或最小化成本；在物流配送中，我们可以利用整
数规划来安排车辆路线，使得配送成本最低。通过运用运筹学标准型，我们可以更加科学地进行决策和规划，提高资源利用效率，降
《运筹学》题库
用图解法求解，并写出解的情况 解：
x2 6
Z’ 4
x2=4
2 Z’
0
2468
x1+x2=1
x1 10
5x1+10x2=50
11
由图可知：
解之得：
则 maxZ=2+3*4=14 4、用图解法求解下面线性规划问题
解：
12
5、用图解法求解下面线性规划问题 图解如下：
可知，目标函数在 B(4,2)处取得最大值，故原问题的最优解为
解：引入 0—1变量 xi, xi=1表示应携带物品 i，,xi=0表示不应携带物品 I
5、工厂每月生产 A、B、C三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源
限量及单件产品利润如下图所示：
产
A
B
C
资源限量
资
品
源
材料（kg） 1.5
1.2
4
2500
设备（台时） 3
1.6
1.2
1400
利润（元/件） 10
解：设 表示下个月生产 AR1型飞机的数目， 表示 AR2型， 表示 AR4型， 表示
AR6型
目标函数：
6
约束条件：
为整数 12、永辉食品厂在第一车间用 1单位原料 N可加工 3单位产品 A及 2单位产品 B，产品 A 可以按单位售价 8元出售，也可以在第二车间继续加工，单位生产费用要增加 6元，加工 后单位售价增加 9元。产品 B可以按单位售价 7元出售，也可以在第三车间继续加工，单 位生产费用要增加 4元，加工后单位售价可增加 6元。原料 N的单位购入价为 2元，上述 生产费用不包括工资在内。3个车间每月最多有 20万工时，每工时工资 0.5元，每加工 1 单位 N需要 1.5工时，若 A继续加工，每单位需 3工时，如 B继续加工，每单位需 2工时。 原料 N每月最多能得到 10万单位。问如何安排生产，使工厂获利最大？ 解：设 为产品 A的售出量； 为 A在第二车间加工后的售出量； 表示产品 B的售出 量； 表示 B在第三车间加工后的售出量； 为第一车间所用原材料的数量，
《 运筹学》复习题
《运筹学》复习题
一、单项选择题
1、（）运筹学的主要内容包括： [单选题] *
A.线性规划
B.非线性规划
C.存贮论
D.以上都是(正确答案)
2、（）下面是运筹学的实践案例的是： [单选题] *
A.丁谓修宫
B.田忌赛马
C.二战间，英国雷达站与防空系统的协调配合
D.以上都是(正确答案)
5、（）运筹学模型： [单选题] *
A．在任何条件下均有效
B.只有符合模型的简化条件时才有效(正确答案)
C．可以解答管理部门提出的任何问题
D．是定性决策的主要工具
8、（）图解法通常用于求解有（）个变量的线性规划问题。 [单选题] *
A.1
B.2(正确答案)
C.4
D.5
10、 (D)将线性规划问题转化为标准形式时，下列说法不正确的是： [单选题] *Ａ.如为求z的最小值，需转化为求-z的最大值(正确答案)
Ｂ.如约束条件为≤，则要增加一个松驰变量
Ｃ.如约束条件为≥，则要减去一个剩余变量
Ｄ.如约束条件为＝，则要增加一个人工变量
12、（）关于主元的说法不正确的是： [单选题] *
A.主元所在行称为主元行
B.主元所在列称为主元列
C.主元列所对应非基变量为进基变量
D.主元素可以为零(正确答案)
13、（）求解线性规划的单纯形表法中所用到的变换有： [单选题] *
A.两行互换
B.两列互换
C.将某一行乘上一个不为0的系数(正确答案)
D.都正确
14、（）矩阵的初等行变换不包括的形式有： [单选题] *
A. 将某一行乘上一个不等于零的系数
B.将任意两行互换
C. 将某一行乘上一个不等于零的系数再加到另一行上去
D.将某一行加上一个相同的常数(正确答案)
运筹学复习题——考试题
《运筹学》复习题
一、填空题（1分×10=10分）
1．运筹学的主要研究对象是（组织系统的管理问题）。
2．运筹学的核心主要是运用（数学）方法研究各种系统的优化。
3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。
4．通常对问题中变量值的限制称为（约束条件），它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是（最优化技术），并强调系统整体优化功能。
6．运筹学用（系统）的观点研究（功能）之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于计算机的应用和发展。
9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。
10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。
11．运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。
12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是（建立数学模型），并对模型求解。
13．用运筹学解决问题时，要分析，定义待决策的问题。
14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。
15．数学模型中，“s.t.”表示约束。
16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。
18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。19．线性规划问题是求一个(线性目标函数),在一组(线性约束)条件下的极值问题。
20．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。
【精品】第03章线性规划
第3章线性规划
数学规划是系统工程中最重要的分析方法之一，是运筹学的主要分支。
它包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等。
30年代初出现的线性规划，1947年丹茨基（GeorgeB．Dantzig）发明单纯形法，理论上才得到完善。
随着电子计算机的发展，成千上万个约束条件和变量的大型线性规划问题都可以求解。因此，无论从理论的成熟性看，还是从应用的广泛性看，线性规划都是运筹学的一个重要分支。它在工业、农业、交通运输、军事和计划管理等各方面都愈来愈得到广泛地应用。
l线性规划问题及其数学模型
在生产过程中，要想提高工作效率和经济效益，
一般有两条途径：
一是进行技术改造，改进生产手段和条件。（比如增添设备、改进工艺、挖掘潜力等）
二是在生产手段和条件都不变的情况下，改善生产的组织和计划管理，作出最优安排，使生产手段和条件得到充分的利用。
线性规划方法就是解决后一类问题的工具。
后一类问题又可分为两个方面：
一是在一定限制条件下，使得工作成果尽可能大；
二是为完成既定任务，使资源消耗尽可能小。
例3一1资源利用问题。某工厂计划生产A 、B 两种产品，生产这两种产品需要煤、电力和劳动力三种资源。已知该厂可利用的煤有360t ，电力有200kw ，劳动日有300个，生产每千克产品的资源消耗量和能获得的利润如表3—1所示。问该厂应生产A ，B 两种产品各多少千克才能使总利润最大？
解设生产A ，B 两种产品各为x 1，x 2kg ，则该问题可归结为，求一组变量x l ，x 2满足下列条件：
使得总利润f=7x
1+12x
线性规划中的约束条件
线性规划中的约束条件
教案主题：线性规划中的约束条件
一、引言
在数学中，线性规划是一种优化问题，用于寻找满足一定约束条件下的最优解。而这些约束条件是问题中的关键要素之一。本教案将围绕线性规划中的约束条件展开讨论。
二、约束条件的定义
1. 什么是约束条件
约束条件是在线性规划中限制变量值的条件。它们是问题的要求或限制，决定了可行解的空间。
2. 线性约束条件的形式
线性约束条件是指一组关于变量的线性等式或不等式，如≤、≥和=等。
三、约束条件的类型
1. 相等约束条件
相等约束条件是指变量需要满足等式限制，如x + y = 10。这种约束条件在几何上表示为一条直线。
2. 非负约束条件
非负约束条件指变量需要满足非负性，如x ≥ 0和y ≥ 0。这种约束条件在几何上表示为第一象限内的区域。
3. 不等式约束条件
不等式约束条件是指变量需要满足不等式限制，如2x + 3y ≤ 6。这种约束条件在几何上表示为一条直线及其以上（或以下）的区域。
四、约束条件的几何解释
1. 几何解释的基本原则
线性规划的约束条件可以用在笛卡尔坐标系中的几何形状进行解释。例如，几个不等式约束条件的交集表示问题的可行解区域。
2. 图形化方法解析
使用图形化方法可以直观地表达线性规划的约束条件和可行解区域。通过画出约束条件和目标函数的等高线图，可以找到最优解。
五、多目标的线性规划问题
1. 多目标规划问题的背景
多目标规划问题是在一个优化问题中同时考虑多个目标函数，需要综合考虑多个目标。
2. 多目标规划问题中的约束条件
在多目标规划问题中，约束条件需要满足多个目标函数的约束，这可能会增加问题的复杂性。
线性规划的标准型
z 2 x1 3x2 x3 x1 x2 x3 3 s.t. x1 4 x2 7 x3 9 x 0, j 1, 2,3 j
看这个模型是否属于线性规划，应该怎么看？看能不能满足我们线性规划的定 义，对吧，满足几个条件：第一个，决策变量有没有；第二个，目标函数和约束 条件是不是它们的线性表达式呢？是的吧；第三个，非负条件满足吗？也满足吧 那么它是不是线性规划呢？不是， 因为目标函数一定要表现出是极大化还是极小 化的特征，而这里它没有反映。它的目标函数没有反映出是 max 还是 min，它必 须是要反映出极大化或是极小化，所以它不是线性规划模型 接下来我们看第二个模型，这个模型对上面那个模型做了一定的调整 练习题 2：是否线性规划模型？
个条件： 目标函数约定是极大化 max（或极小化 min）--在这本书里，标准型是 max， 而有些书里标准型是 min，当然大家只要记住一个标准就行了，另外一个只 是它的反向 约束条件均用等式表示 每一个约束条件都是等号，我们前面给大家讲的线 性规划的矩阵形式、向量形式等时，有的是小于等于，有的是大于等于，那 么都要转变为等号 决策变量限于取非负值 决策变量必须要满足非负条件 右端常数项均为非负值 资源约束向量 b 取非负 对系数没有要求， 包括多目标函数的系数（价值系数 C） ，对约束条件的系数（系 数矩阵 A） 都没有要求， 它只要求目标函数满足... 约束条件满足...决策变量满足... 右端常数项满足 这 4 个条件希望大家记住， 我们来看标准型的不同形式有哪些。我们说线性规划 的标准型同样有 4 种描述形式 线性规划标准型的描述形式 一般形式 紧缩形式 矩阵形式 向量-矩阵形式 线性规划标准型的一般形式
运筹学3
分配问题与匈牙利法
2 ◎0 4 2 4 √
2 5 Ø0 3 ◎0 4 1 ◎0 1 3
选择直线外的最小元素 为1；直线外元素减1， 直线交点元素加1，其 他保持不变。
4 Ø0 3 5 1 √
◎0 2 3 0Ø 5
√
分配问题与匈牙利法
1 ◎0 3 1 3 √
2
6
Ø0
3
0◎ √
l =m=4 < n=5
>0用目标约束可表为:
min{d d }
x1
x2
d
d
0
目标规划问题及其数学模型
• 2）力求使利润指标不低于12元，目标约束
表示为：
min{d }
2 x1
3x2
d
d
12
• 3）设备B必要m时in可{d }加班及加班时间要控制， 目标约束表示为x1 ：2x2 d d 8
• 4）设备A既要求充分利用，又尽可能不加班，
图解法解题步骤：
1. 将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏 差变量）的直线方程分别标示于坐标平面上。 2. 确定系统约束的可行域。 3. 在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值 增大的方向
目标规划的图解分析法
• 3. 求满足最高优先等级目标的解 • 4. 转到下一个优先等级的目标，再不破坏所
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其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
Biblioteka Baidu标规划问题及其数学模型
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如：
(1) 力求使利润指标不低于12元；
(2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
例；
(3) C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； (4) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求
1
2
• 4）设备A既要求充分利用，又尽可能不加班 min{d d } ，目标约束表示为：
2 x 2 x d d 12 2 1
目标规划问题及其数学模型
3. 目标的优先级与权系数
在一个目标规划的模型中，为达到某一目标可牺牲其他一些 目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低 可分别通过优先因子P1,P2,…表示。对于同一层次优先级的不同 目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个 具体数字，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。 现假定：
目标规划问题及其数学模型
• 目标规划怎样解决上述线性规划 模型建模中的局限性？
1. 设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异
偏差变量用下列符号表示： d+——超出目标的偏差，称正偏差变量 d-——未达到目标的偏差，称负偏差变量
正负偏差变量两者必有一个为0。
• • •
当实际值超出目标值时： d+>0, d-=0; 当实际值未达到目标值时： d+=0, d->0; 当实际值同目标值恰好一致时： d+=0, d-=0;
• ∵正负偏差不可能同时出现，故总有： • x1－x2+d--d+ =0
目标规划问题及其数学模型
若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d->0,用目标约束可 表为: min{d } x x d d 0 1 2 若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望d＋>0,用目标约束可 表为: min{d } x x d d 0 2 1 若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望d＋>0,也不希望d>0用目标约束可表为: min{d d } x x d d 0 2 1
充分利用，又尽可能不加班。 要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。
• 线性规划模型存在的局限性：
目标规划问题及其数学模型
• 1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际 问题中并非所有约束都需要严格满足。
• 2）只能处理单目标的优化问题。实际问题中， 目标和约束可以相互转化。 • 3）线性规划中各个约束条件都处于同等重要地 位，但现实问题中，各目标的重要性即有层次上 的差别，同一层次中又可以有权重上的区分。 • 4）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只 需找出满意解就可以。
第1优先级P1——企业利润； 第2优先级P2——甲乙产品的产量保持1:1的比例 第3优先级P3——设备A,B尽量不超负荷工作。其中设备A的重要性 比设备B大三倍。
目标规划问题及其数学模型
• 上述目标规划模型可以表示为：
min z P1 d 1 P2 (d 2 d 2 ) 3 P3 (d 3 d 3 ) P3 d 4 4 x1 16 4 x 12 2 2 x1 3 x 2 d 1 d 1 12 s .t . x1 x 2 d 2 d 2 0 2 x 2 x d d 12 1 2 3 3 x 2 x d d 2 4 4 8 1 x , x , d , d 0 ( i 1,..., 4) 1 2 i i
故恒有d+×d-=0
目标规划问题及其数学模型
2. 统一处理目标和约束
对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划 中的约束条件。如C和D设备的使用限制。
4 x1 16 4 x 2 12
对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通过 目标约束来表达。 1）例如要求甲、乙两种产品保持1:1的比例，系统约束表达为： x1=x2。由于这个比例允许有偏差， 当x1<x2时，出现负偏差d-，即： x1+d- =x2或x1－x2+d- =0 当x1>x2时，出现正偏差d+，即： x1-d+ =x2或x1－x2-d+ =0
目标规划
主讲：葛永新 2017.9.15
Chapter4 目标规划
(Goal Programming )
本章主要内容：
目标规划问题及其数学模型
目标规划的图解法 目标规划的单纯形法
目标规划应用举例
•1、问题的提出： • 目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济
管理多目标决策的需要而由线性规划逐步发展起来 的一个分支。 • 由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机 构日益复杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整 体的目标工作，产生了目标管理这种先进的管理技 术。目标规划是实行目标管理的有效工具，它根据 企业制定的经营目标以及这些目标的轻重缓急次序 ，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标或从 总体上离规定目标的差距为最小。
目标规划问题及其数学模型
• 2）力求使利润指标不低于 12元，目标约束 min{d } 表示为： 2 x 3 x d d 12
1 2
• 3）设备B必要时可加班及加班时间要控制， min{d } 目标约束表示为： x 2 x d d 8
目标规划问题及其数学模型
• 解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建 立线性规划模型：
max z 2 x1 3 x 2 2 x1 2 x 2 12 x1 2 x 2 8 s.t 4 x1 16 4 x 2 12 x1 , x 2 0
目标规划问题及其数学模型
目标规划问题及其数学模型
• 例4.1 某企业计划生产甲，乙两种产品，这 些产品分别要在A,B,C,D四种不同设备上加工 。按工艺文件规定，如表所示。
单件利 A B C D 润 问该企业应如何安排计划，使得计划期内的总利润收入为最 1 1 4 0 2 甲 大？ 2 2 0 4 3 乙 最大负 荷 12 8 16 12