必修一数学抽象函数习题精选含答案,推荐文档

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高一抽象函数经典习题

抽象函数练习题参考答案第一组1、若函数()21f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()2log f x 的定义域为________．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、若()()11f n f n +=+，n *∈N ，且()12f =，则()100f =________．【答案】1023、定义R 上的函数()()()f xy f x f y =+，且()98f =，则f =________．4、定义在区间()1,1-上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-．若()()2110f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,5、已知函数()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，对正实数,x y ，都有：()()()f xy f x f y =+成立．则不等式()2log 0f x <的解集是_________．【答案】()1,26、已知函数()f x 是定义在(],3-∞上的减函数，已知()()222f a t f a t -+-≤对[]1,1t ∈-恒成立，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎡⎢⎣⎦7、已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在0x ∈R ，使得12,x x ∀∈R ，总有()()()()0102012f x x x x f x f x f x +=++恒成立，则0x =________．【答案】1第二组8、函数()f x 对于0x >有意义，且满足条件()21f =，()()()f xy f x f y =+，()f x 是减函数．⑴ 证明：()10f =；⑵ 若()()32f x f x +-≥成立，求x 的取值范围．【答案】⑵ []1,3-．9、已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+且当0x >，()0f x <，又()12f =-．⑴ 判断()f x 的奇偶性；⑵ 求()f x 在区间[]3,3-上的最大值；⑶ 解关于x 的不等式()()()224f ax f x f ax -<+．【答案】⑴ 奇函数；⑵ 6；⑶ 当0a =时，(),1-∞；当2a =时，()(),11,-∞+∞；当0a <时，2,1a ⎛⎫⎪⎝⎭；当02a <<时，()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当2a >时，()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．10、定义在R 上的函数()y f x =满足：① ()00f ≠；② 当0x >时，()1f x >；③ ,a b ∀∈R ，()()()f a b f a f b +=⋅． ⑴ 求证：()01f =；⑵ 求证：对任意的x ∈R ，恒有()0f x >； ⑶ 证明：()f x 是R 上的增函数；⑷ 若()()221f x f x x ⋅->，求x 的取值范围．【答案】⑷ ()0,3．11、已知函数()f x 的定义域为R 满足：① 任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=⋅； ② 当0x >时，()01f x <<．⑴ 证明：()01f =，且0x <时()1f x >； ⑵ 证明：()f x 在R 上单调递减； ※⑶ 设()()()(){}22,1A x y f x f y f =⋅>，()(){},21,B x y f ax y a =-+=∈R ，若AB =∅，试确定a 的取值范围．【答案】⑶ ⎡⎣12、已知函数()f x 的定义域为R ，满足：① 任意实数,m n 都有()()()12f m n f m f n +=+=； ② 102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③ 当12x >时，()0f x >． ⑴ 求()1f ； ※⑵ 求和()()()()123f f f f n ++++（n *∈N ）；⑶ 判断函数()f x 的单调性，并证明．【答案】⑴ ()112f =；⑵ 22n ；⑶ 单调递增．13、函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：① 对任意x ∈R ，有()0f x >；② 对任意,x y ∈R ，有()()yf xy f x =⎡⎤⎣⎦； ③ 113f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证：()f x 在R 上是单调减函数；※⑶ 若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()()2f a f c f b +>．【答案】⑴ ()01f =．14、定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足：① ()f x 不恒为零；② 对任何实数,x q ，都有()()q f x qf x =． ⑴ 求证：方程()0f x =有且只有一个实根；⑵ 若1a b c >>>，且a 、b 、c 成等差数列，求证：()()()2f a f c f b ⋅<⎡⎤⎣⎦；⑶ 若()f x 单调递增，且0m n >>时，有()()22m n f m f n f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，求证：32m <<【答案】略．15、已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称．⑴ 求()0f 的值；⑵ 证明：()()4f x f x +=；⑶ 若()f x x =（01x <≤），求当x ∈R 时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象．【答案】⑴ ()00f =；⑶ ()4,414124,4143x k k x k f x x k k x k --+⎧=⎨-+-+<<+⎩≤≤，k ∈Z ．16、设函数()f x 在(),-∞+∞上满足()()22f x f x -=+，()()77f x f x -=+，且在闭区间[]0,7上，只有()()130f f ==．⑴ 试判断函数()y f x =的奇偶性；⑵ 试求方程()0f x =在闭区间[]2013,2013-上的根的个数，并证明你的结论．【答案】⑴ 非奇非偶函数；⑵ 806个根．第三组17、已知定义在()1,1-上的函数()f x 满足：对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证：函数()f x 是奇函数；⑶ 若当()1,0x ∈-时，有()0f x >，求证：()f x 在()1,1-上是减函数； ※⑷ 写出一个满足已知条件的函数（此问不用写理由）．【答案】⑴ ()00f =；⑷()arctan f x x =-或()1log 1axf x x-=+，其中0a >且1a ≠．18、定义在R 上的函数()f x 对任意实数,a b 都有()()()()2f a b f a b f a f b ++-=⋅成立，且()00f ≠．⑴ 求()0f 的值；⑵ 试判断()f x 的奇偶性；⑶ 若存在常数0c >使02c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试问()f x 是否为周期函数，请说明理由．【答案】⑴ ()01f =；⑵ 偶函数；⑶ 2c ．19、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且,a b ∀∈R ，()()()f ab af b b a =+．⑴ 求()0f ，()1f 的值；⑵ 判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论； ⑶ 若()22f =，试求12nf ⎛⎫⎪⎝⎭的值．【答案】⑴ ()00f =，()10f =；⑵ 奇函数；⑶ 122nn n f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．20、已知定义在R 上的函数()f x 满足：① 值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<； ② 对于定义域内任意的实数,x y ，均满足()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+．⑴ 试求()0f 的值；⑵ 判断并证明函数()f x 的奇偶性； ⑶ 判断并证明函数()f x 的单调性．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 奇函数；⑶ 单调递减．21、 ()f x 的定义域关于原点对称，且满足①对()f x 定义域D 内的任意两个数1x 、2x （12x x ≠），()()()()()1212211f x f x f x x f x f x +-=-；②()1f a =-，且当0x a <<时，()0f x <． ⑴ 证明：()f x 是奇函数；⑵ 求函数()f x 在()0,4a 上的单调性．【答案】⑵ 单调递增．22、函数()f x 的定义域为R ，且()f x 不恒等于零．对任意实数m 、n ，总有()()22n m f m f n m f n f ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． ⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证，对任意实数t ，均有()t f t ⋅≥0；※⑶ 若()01f y =，求所有满足条件的()f x ．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 取2m t =，2n t =，有()()242tf t f t =0≥，∴()0t f t ⋅≥ ⑶ ()()222442222n n mm mnf m f n m f n f ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()()()22222mnf m f n m f n n f m =+ ()()mf n nf m =取1m =，n x =，有()0f x xy =即为所求．23、已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，值域为[)0,+∞的子集，且满足下列条件：①对任意的[),0,x y ∈+∞都有()()()f xf y f y f x y ⋅=+⎡⎤⎣⎦； ②()20f =；③当02x <≤时()0f x ≠． ⑴ 求证：当2x ≥时，()0f x =； ⑵ 求()f x 的解析式．【答案】⑴ 取2y =即得；⑵ 当[),0,2x y ∈时，取()2xf y =，有()20f y f y ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，∴()22y f y +≥，()22f y y -≤ 取2x y +=，有()20f xf x -=⎡⎤⎣⎦，∴()22xf x -≥，即()22f x x-≥ 综上，当02x <≤时()22f x x =-．于是()f x 的解析式为()2,0220,2x f x x x ⎧<⎪=-⎨⎪⎩≤≥．24、已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：① 对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； ② ()13f =；③ 若10x ≥，2x ≥0且121x x +≤，则有()()()12122f x x f x f x ++-≥． ⑴ 求()0f 的值； ⑵ 求()f x 的最大值；※⑶ 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()132n n S a =--，n *∈N ．求证：()()()121312223n n f a f a f a n -++++-⋅≤．【答案】⑴ ()02f =；⑵ 3．25、对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：① 对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥； ② ()11f =；③ 若10x ≥，20x ≥，121x x +≤，都有()()()1212f x x f x f x ++≥成立．则称函数()f x 为理想函数．⑴ 若函数()f x 为理想函数，求()0f 的值；⑵ 判断函数()21x g x =-（[]0,1x ∈）是否为理想函数，并予以证明；⑶ 若函数()f x 为理想函数，假定[]00,1x ∃∈，使得()[]00,1f x ∈，且()()00f f x x =，求证：()00f x x =．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 是．26、已知函数()f x ，()g x 在R 上有定义，满足：① ,x y ∀∈R ，()()()()()f x y f x g y g x f y -=-； ② ()10f ≠．⑴ 求证：()f x 为奇函数；⑵ 若()()12f f =，求()()11g g +-的值．【答案】⑵ ()()111g g -+=．。

高一数学之抽象函数专题集锦-含详细解析

高一数学之抽象函数专题集锦一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(−2)，f(−π)，f(3)的大小顺序是( )A.B. C. D.2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =−2对称，若f(−2)=1，则f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A. [−2,2]B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. (−∞,0]∪[4,+∞)D. [0,4]3. 已知函数y =f(x)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5]4. 函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A. B. C. [0,4] D. [1,3]5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x −1)⩾0的x 的取值范围是( )A. [−1,1]∪[3,+∞)B. [−3,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={x 2+4x x ≥0 , 4x −x 2 , x <0若f(2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (−2 , 1)B. (−1 , 2)C. (−∞ , −1)⋃(2 , +∞)D. (−∞ , −2)⋃(1 , +∞)7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是A. f(−1)<f(0)=f(2)B. f(0)<f(−1)<f(2)C. f(0)=f(2)<f(−1)D. f(−1)<f(0)<f(2)8. 设函数f(x)={x 2−6x +6,x ⩾03x +4,x <0，若互不相等的实数x 1,x 2,x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的取值范围是( )A. (113,6]B. (203,263)C. (203,263]D. (113,6) 9. f(x)是定义域在(−2,2)上单调递减的奇函数，当f(2−a)+f(2a −3)<0时，a 的取值范围是( )A. (0,4)B. (0,52)C. (12,52)D. (1,52) 10. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1+ x 2>0，则f (x 1)+ f (x 2)的值( )A. 恒为负值B. 恒等于零C. 恒为正值D. 无法确定正负11. 已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调增加，则f(2x −1)<f(13)的x 取值范围是( ) A. (13,23). B. [13,23) C. (12,23) D. (12,23] 12. 已知函数y =f(x)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5] 13. 若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)+f(x +13)的定义域为( )A. [−13,23]B. [−13,12]C. [0,12]D. [0,13] 14. 已知函数f(x)={x 2+4x(x ⩾0)4x −x 2(x <0)，若f (2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,−1)∪(2,+∞)B. (−1,2)C. (−2,1)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 15. 设偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)≤f(1)的x 的取值范围是_____．16. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)<f(13)的x 的取值范围是．17. 奇函数f(x)的定义域为[−5,5]，当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是______________．18. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x +4)=f(x −2).若当x ∈[−3,0]时，f(x)=6−x ，则f(919)=______．三、解答题（本大题共15小题，共180.0分）19. 设函数f(x)是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)．(1)求f(0)；(2)证明f(x)奇函数；(3)解不等式．20.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1∈D,x2∈D，有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)．(Ⅰ)求f(1 )的值；(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并证明；(Ⅲ)如果f(4)=1，f(3x+1)+f(2x−6)≤3，且f(x)在(0,+∞)上是增函数，求x的取值范围．21.已知函数f(x)=ax2+bx ，且f(1)=2，f(2)=52．(Ⅰ)确定函数f(x)的解析式，并判断奇偶性；(Ⅱ)用定义证明函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递增；(Ⅲ)求满足f(1+2t2)−f(3+t2)<0的实数t的取值范围．22.定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)，且f(3)=6，(1)求f(0)，f(1)；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(3)若对于任意x∈[12,3]都有f(kx2)+f(2x−1)<0成立，求实数k的取值范围．23.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2−2x．(1)写出函数y=f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．24.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意a,b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立，证明：(Ⅰ)函数y=f(x)是R上的减函数；(Ⅱ)函数y=f(x)是奇函数.25.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a,b∈[−1,1]，且a+b≠0时，有f(a)+f(b)>0恒成立．a+b(1)用定义证明函数f(x)在[−1,1]上是增函数;)<f(1−x);(2)解不等式：f(x+12(3)若f(x)≤m2−2m+1对所有x∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围．26.定义域为R的函数f(x)满足，对任意的m，n∈R有f(m+n)=f(m)f(n)，且当x>0时，有0<f(x)<1，f(4)=1．16(1)求f(0)；(2)证明：f(x)在R上是减函数；f(x2)恒成立，求实数a的取值范围．(3)若x>0时，不等式f(x)f(ax)>14)=1，如果对于0<x<y，都有f(x)> 27.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(12f(y)，(1)求f(1)；(2)解不等式f(−x)+f(3−x)≥−2。

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第2卷（选择题、选择题（本大题共12个小题，每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）函数尸log a （x + 2）+ 1的图象过定点（若 2lg(x - 2y)= lg x + lg y(x>0, y>0)则x 的值为()114 B . 1 或4 C . 1 或 4 D.4log 3x ，x>0，已知函数f(x)= 2x ，x w o.A.1 B . 4 C . 2 D.17. 函数y = ax 2 + bx 与y = log b x （ab ^0，|a|M |b|）在同一直角坐标系中的图象 a (1,2)B .(2,1)C . (-2,1)D .(-1,1) 共60分）5分，共60分，在每小题给出的 2. 3. C .下列函数中与函数y = x 相等的函数是（ y = （：'x ）2y = 2log 2xB .D .) y = x 2 y = Iog 22x 4.2 函数y = lg 1+x -1的图象关于（A .原点对称B .C . x 轴对称D .y 轴对称直线y = x 对称 5. F 列关系中正确的是（）1log 76<In 2<log 3 n B . 1log 3 n <ln2<log 76C . 1In 2<log 76<log 3 nD .1In 2<log 3n vlogS6.的值为（）可能是（8.若函数y = (m 2 + 2m — 2)x m 为幕函数且在第一象限为增函数，则m 的值为()A . 1B . — 3C .— 1D . 39. 若函数y =f(x)是函数y = a x (a>0且a ^ 1)的反函数，其图象经过点(a , a),则 f(x) =()1 2A . log 2xB . log 1 x C.2x D . x2110 .函数f(x)= log2(x 2— 3x + 2)的递减区间为()B ・(1,2)11.函数f(x)= lg(kx 2 + 4kx + 3)的定义域为R ，则k 的取值范围是()A. 0, 3B.0, 33D . ( — X, 0] u 4,+x12. 设a>0且a ^ 1,函数f(x) = log a |ax 2— x|在［3,4］上是增函数，则a 的取值范围是()1 A. 6, 14 U (1，+X )B.1 1 1, 1 U (1, + X )1 11c. 8, 6 U (1，+X )D. 0, 4 u (1,+ X )第u 卷 (非选择题共90分)、填空题(本大题共4个小题，请把正确答案填在题中横线上)+•7C. 0, 4.1-313.计算27+ lg 0.01 —In v e+ 3log32= ________14. ________________________________________ 函数f(x) = lg(x—1) + p5 —x的定义域为 _____________________________________ .15. 已知函数f(x) = Iog3(x2+ ax+ a+ 5), f(x)在区间(―®, 1)上是递减函数，则实数a的取值范围为_________ .16. 已知下列四个命题：①函数f(x) = 2x满足：对任意X1, *€ R且刃工x2X i —L x2 1 __ 2都有f —2 <2【f(x i) + f(X2)];②函数f(x)= Iog2(x+ 1 + x2), g(x) = 1 + ?x_〔不都是奇函数；③若函数f(x)满足f(x- 1)= —f(x+ 1)，且f(1) = 2,则f(7)= —2;④设x i,x2是关于x的方程|log a x|= k(a>0且a^ 1)的两根，贝U X1X2= 1.其中正确命题的序且日序号疋________ .三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)1 1(1) 计算lg25+ lg 2X Ig 500 —qlg 亦—Iog29X Iog32;(2) 已知Ig 2= a，lg 3 = b，试用a，b表示log125.18. (本小题满分12分)已知函数f(x)= lg(3x—3).(1) 求函数f(x)的定义域和值域；(2) 设函数h(x) = f(x) —lg(3x+ 3),若不等式h(x)>t无解，求实数t的取值范围.19. (本小题满分12分)—2 m2+ m+ 3已知函数f(x) = x (m€ Z)为偶函数，且f(3)<f(5).(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；⑵若g(x)= log a[f(x) —2x](a>0 且a^ 1)，求g(x)在(2,3]上的值域.20. (本小题满分12分)kx _ 1已知函数f(x)= Ig (k€ R).x—1(1) 若y=f(x)是奇函数，求k的值，并求该函数的定义域；(2) 若函数y= f(x)在[10,+x)上是增函数，求k的取值范围.21. (本小题满分12分)1 一x已知函数f(x)= Iog3〔一mx(m H 1)是奇函数.(1)求函数y= f(x)的解析式；1 一x⑵设g(x)= —,，用函数单调性的定义证明：函数y= g(x)在区间(—1,1)1 —mx上单调递减；(3) 解不等式f(t+ 3)<0.22. (本小题满分12分)已知函数f(x)= log4(4x+ 1) + kx(k€ R)是偶函数.(1) 求实数k的值；(2) 设g(x)= log4(a 2x+ a)，若f(x)= g(x)有且只有一个实数解，求实数a的取值范围.1. D解析：定点(—1,1).2. B解析：详解答案由对数函数恒过定点(1,0)知，函数y= log a(x+ 2)+ 1的图象过由对数的性质及运算知，2lg(x—2y) = lg x+ lg y化简为lg(x—2y)2= lg xy,即(x—2y)2= xy,解得x=y或x=4y.所以f的值为1或寸.故选B.3. D 解析：函数y=x的定义域为R.A中，y= ( ,x)2定义域为［0, + );B 中，y= ,x2= |x|；C 中，y = 2log2x=x,定义域为(0, +^);D 中，y= Iog22x=x, 定义域为R.所以与函数y=x相等的函数为y= log22x.24. A 解析：函数y= lg 弟—1的定义域为(—1,1).2 1 一x又设f(x)二尸lg苗-仁lg帀，1 + x 1 —x所以f( —X)二lg 1—x二一lg 二一f(x),所以函数为奇函数，故关于原点对称.15. C 解析：由对数函数图象和性质，得0<log76<1, ln ?<0, Iog3n >1所以1ln 2<log76v log3 n故选C.111 16. A 解析：••• 27>0-f 27 = log3^7= —3,v —3<0, f(—3) = 2—3=8.故选A.b7. D 解析：A 中，由y= ax2+ bx 的图象知，a>0, -<0，由y= log b x 知，a 一ab>0,所以A错；b bB 中，由y= ax2+ bx 的图象知，a<0, -<0，由y= log b x 知，->0,所以B a— aa错；C 中，由y= ax2+ bx 的图象知，a<0，—-<-1，A ->1，由y= log b x 知0<— aa — aa<1，所以C错.故选D.8. A 解析：因为函数y= (m2+ 2m—2)x m为幕函数且在第一象限为增函数，m2+ 2m—2= 1，所以解得m= 1.故选A.m>0，9. B 解析：因为函数y=f(x)图象经过点(.a,a),所以函数y= a x(a>0且a^ 1)1 1 过点(a, .a),所以a = a a即a = Q,故f(x)= log^x.10. D 解析：令t = x2—3x+ 2,则当t= x2—3x+ 2>0 时，解得x€ (— ^, 1)U (2,+x).且t = x2—3x+ 2在区间(一x, 1)上单调递减，在区间(2,+x) 上单调递增；又y= log丄t在其定义域上为单调递减的，所以由复合函数的单调性知，f(x) 2=log】程一3x+ 2)单调递减区间是(2,+ x).211. B 解析：因为函数f(x) = lg(&+ 4kx+ 3)的定义域为R，所以kx2+ 4kxk>0,+ 3>0,x€ R恒成立.①当k= 0时，3>0恒成立，所以k= 0适合题意.②&0,3 3即0<k<4・由①②得0W k<4.故选B.解题技巧：本题实际上考查了恒成立问题，解决本题的关键是让真数kx2+ 4kx+ 3>0, x € R 恒成立.12. A 解析：令u(x)=|ax2—x|,贝U y= log a u,所以u(x)的图象如图所示.当a>1时，由复合函数的单调性可知，区间[3,4]落在 1 1所以4W 石或g<3，故有a>1;1 1 1解得6<a<4.综上所述，a 的取值范围是6,1 1 113. —1 解析：原式=^— 2—2+ 2=14. (1,5] 解析：要使函数f(x) = lg(x — 1) + 5-x 有意义，只需满足；"Jo 即可•解得1<x < 5,所以函数f(x)= lg(x — 1)+ 5 — x 的定义域为(1,5].a15. [ — 3,— 2] 解析：令 g(x) = x 2 + ax + a + 5, g(x)在 x € —8,—-是减 a函数，x € — 2，+ 是增函数.而f(x) = log 3t ，t € (0，+8)是增函数.由复合函数的单调性，得—2> 1，解得—3< a <— 2.g 1 > 0，解题技巧：本题主要考查了复合函数的单调性，解决本题的关键是在保证真数g(x)>0的条件下，求出g(x)的单调增区间.16. ①③④ 解析：①•••指数函数的图象为凹函数，.••①正确； ②函数 f(x) = Iog 2(x + . 1 + x 2)定义域为 R ，且 f(x) + f(—x)= Iog 2(x + .1 + x 2) + log 2(— x + 1 + x 2) = log 21 = 0，二 f(x) = — f( — x)，.°. f(x)为奇函数.22x + 1g(x)的定义域为(—8，0)u (0，+8)，且 g(x)= 1+ 2—1=2x —1，g(—x)=2—x+ 1 1 + 2x2^+1 二1—x = — g(x),A g(x)是奇函数.②错误;1 、10 -- 或— + 8 上0，2a 或 a ，+ 丄,当0<a<1时，由复合函数的单调性可知，[3,4]? 1 2a ，1 1 11，所以习三3 且a>4,14 u (1, 1 6.③••• f(x —1)=—f(x + 1)，二f(7) = f(6+ 1)= —f(6 —1) = —f(5), f(5)= f(4+ 1)二—f(4—1)= —f(3), f(3)二—f(1),••• f(7)= —f(1)，③正确；④|log a x|= k(a>0且a^ 1)的两根，贝U log a x i = —Iog a x2,：log a x i + log a X2 = 0, X1 x2= 1..・.④正确.17. 解：(1)原式二lg25 + lg 5 lg 2+ 2lg 2+ lg 5 —log39=lg 5(lg 5 + lg 2) + 2lg 2+ lg 5 — 2二2(lg 5+ lg 2) — 2=0.10__ lg T _ lg 10—lg 2_ 1 —lg 2 (2)log125=lg 12_lg 3X4_ lg3 + lg4 _ lg 3+ 2lg 2'—_ 1 —lg 2 1 —alg 2_a, lg 3_ b, Iog125_ _ .lg 3+ 2lg 2 b + 2a18. 解：(1 )由3x—3>0解得x>1,所以函数f(x)的定义域为(1,+x). 因为(3x—3)€(0,+x)，所以函数f(x)的值域为R.3x_ 3(2)因为h(x) _ lg(3x—3) —lg(3x+ 3)_ lg 3+3_lg 1 —3+3的定义域为(1,+x)，且在(1,+x)上是增函数，所以函数的值域为(一X, 0).所以若不等式h(x)>t无解，则t的取值范围为［0, +X).19. 解：(1)因为f(3)<f(5),所以由幕函数的性质得，—2m2+ m+ 3>0,解得彳3—1<m<2.因为m€ Z ,所以m_ 0或m_ 1. 当m_ 0时，f(x)_x3它不是偶函数. 当m_ 1时，f(x)_x2是偶函数.所以m_ 1, f(x) _x2.(2)由(1)知g(x)_ log a(x2—2x),设t_x2—2x, x€ (2,3］，则t € (0,3］,此时g(x)在(2,3］上的值域就是函数y_log a t在t€ (0,3］上的值域.当a>1时，y = log a t 在区间(0,3］上是增函数，所以y € (-^, log a 3］; 当0<a<1时，y = log a t 在区间(0,3］上是减函数，所以y € ［log a 3,+^ ). 所以当a>1时，函数g(x)的值域为(一X, iog a 3］;当0<a<1时，g(x)的值域为［log a 3, + x ).20. 解：(1)因为f(x)是奇函数,—kx - 1 kx -1-f(—X )二一f(x)，即 lg — x —1 二一lg_x —1—kx -1 _ x — 1 —x — 1 _ kx — 1，二 k 2 _ 1， k _ ±，而k _ 1不合题意舍去, k _ — 1. —x — 1由 >0，得函数y _f(x)的定义域为(一1,1).x — I又 f(x)_ lg kX —1_ lg k + ・ ,x —1 x —1 '即 lg k+ ■ <lg k +『,X 1— 1 X 2- 1 '1 1 > , X 1 — 1 X2 — 1 1综上可知k € 10, 1 .解题技巧：本题主要考查了对数型函数的性质，解决本题的关键是充分利用好奇偶性和单调性.21. (1)解：由题意得f( — x) + f(x)_0对定义域中的x 都成立，1 + X .1 — X1 + X 1 — X “(2)v f(x)在［10，+^)上是增函数，•10k — 1 1--------- >0 • k>= 10 — 1 ， 10'故对任意的X 1，X 2，当10< X 1VX 2时,恒有f(X )<f(X )， k — 1 k —1X 1 — 1 X 2 — 1，• (k — 1)1 1X 1— 1— X 2— 1 <0,--k — 1<0, • k<1.所以log s + log3 _ 0,即•_ 1,1 + mx 1 —mx 1 + mx 1 —mx 所以1 —x2_ 1 —m2x2对定义域中的x都成立，所以m 2 3= 1又m ^ 1,所以m =— 1,1 一 x所以 f(x) = Iog 3^—.1 + x1 一 x⑵证明：由(1)知，g(x)=-,I 十x设 X 1, X 2€ (— 1,1),且 X 1<X 2，贝U X 1— 1>0 , X 2— 1>0 , X 2— X 1>0.2 x 2 __ x 1因为 g(X 1)_ g(X 2)= 1 — x1 1 — x2 >0，所以 g(X 1)> g(X 2),所以函数y = g(x)在区间(一 1,1)上单调递减.⑶解：函数y = f(x)的定义域为(—1,1),设 X 1, X 2€ (— 1,1)，且 X 1<X 2，由 ⑵得 g(x 1)>g(x 2),所以 Iog 3g(x 1)>log 3g(x 2),即 f(x”>f(X 2),所以y = f(x)在区间(—1,1)上单调递减.—1< t 十 3<1 , 因为f(t 十3)<0 = f(0),所以 t 十 3>0 ,解得—3<t<— 2.故不等式的解集为(—3, — 2).22.解：(1)由函数f(x)是偶函数可知f(x) = f(— x),/. Iog 4(4X — 1)— kx = log 4(4 x — 1) — kx ,4X — 1化简得 Iog4.—x 十 1 = — 2kx ,4 十11 即x = — 2kx 对一切x € R 恒成立，二k = — ^.⑵函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点， 1 即方程Iog 4(4X 十1) — ?x = Iog 4(a 2X + a)有且只有一个实根，0,此时有a = — 2+ 2 2或a = — 2 — 2 2(舍去);③当a>1时，又g(0) = — 1,方程恒有一个正根与一个负根，符合题意.综上可2化简得方程2X + 2X = a-2X + a 有且只有一个实根，且 a 2X + a>0成立，则a>0.令t = 2X >0 ,则(a — 1)t 2 + at — 1= 0有且只有一个正根.设 g(t) = (a — 1)t 2 + at — 1,注意到 g(0) = — 1<0,所以①当a = 1时，有t = 1，符合题意；②当0<a<1时，g(t)图象开口向下，且g(0) = — 1<0,则需满足t 对称轴= a 2 a — 1 >0,知，a的取值范围是{ — 2 + 2 2} U [1 ,+x).。

抽象函数-题型大全(例题-含答案)

下考抽象函数本领归纳之阳早格格创做由于函数观念比较抽象，教死对付解有闭函数暗号()f x 的问题感触艰易，教佳那部分知识，能加深教死对付函数观念的明白，更佳天掌握函数的本量，培植机动性；普及解题本领，劣化教死数教思维素量.现将罕睹解法及意义归纳如下：一、供表白式：1.换元法：即用中间变量表示本自变量x 的代数式，从而供出()f x ，那也是证某些公式大概等式时常使用的要领，此法解培植教死的机动性及变形本领.例1：已知 ()211x f x x =++,供()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u -=+=--∴2()1x f x x-=- 2.拼集法：正在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可供()f x .此解法简净，还能进一步复习代换法.例2：已知3311()f x x x x +=+，供()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x xx x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先决定函数典型，设定函数闭系式，再由已知条件，定出闭系式中的已知系数.例3．已知()f x 二次真函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,供()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数本量法:主要利用函数的奇奇性,供分段函数的剖析式.y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,供()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域闭于本面对付称，故先供x <0时的表白式.∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例5．一已知()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-，供()f x ,()g x . 解：∵()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,无妨用-x 代换()f x +()g x =11x -………①中的x , ∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……② 隐睹①+②即可消去()g x ,供出函数21()1f x x =-再代进①供出2()1xg x x =- 5.赋值法：给自变量与特殊值，从而创造顺序，供出()f x 的表白式例6：设()f x 的定义域为自然数集，且谦脚条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,供()f x解：∵()f x 的定义域为N ，与y =1,则有(1)()1f x f x x +=++∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈ 二、利用函数本量，解()f x 的有闭问题1.推断函数的奇奇性：例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对付一确真数x 、y 皆创造，且(0)0f ≠,供证()f x 为奇函数.道明：令x =0, 则已知等式形成()()2(0)()f y f y f f y +-=……①正在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为奇函数.例8：奇函数()f x 正在定义域（-1，1）内递减，供谦脚2(1)(1)0f m f m -+-<的真数m 的与值范畴. 解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 正在（-1，1）内递减，∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.解大概式的有闭题目例9：如果()f x =2ax bx c ++对付任性的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解：对付任性t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为扔物线y =2ax bx c ++的对付称轴又∵其启心进与∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵正在［2，＋∞)上，()f x 为删函数∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数.例1、已知函数f（x）对付任性真数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，供f（x）正在区间[－2，1]上的值域.领会：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，果此供函数f（x）的值域，闭键正在于钻研它的单调性.解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为删函数.正在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，∴f（x）的值域为［－4，2］.例2、已知函数f（x）对付任性，谦脚条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，供不等式的解.领会：由题设条件可预测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调删函数，如果那一预测精确，也便不妨脱去不等式中的函数标记，从而可供得不等式的解. 解：设，∵当，∴，则，即，∴f（x）为单调删函数.∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3.∴，∴，即，解得不等式的解为－1 < a < 3.2、指数函数型抽象函数例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），谦脚条件：存留，使得，对付所有x战y，创造.供：（1）f（0）；（2）对付任性值x，推断f（x）值的正背.领会：由题设可预测f（x）是指数函数的抽象函数，从而预测f （0）＝1且f（x）＞0.解：（1）令y＝0代进，则，∴.若f（x）＝0，则对付任性，有，那与题设冲突，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1.（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对付任性x，f（x）＞0恒创造.例4、是可存留函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4.共时创造？若存留，供出f （x）的剖析式，如不存留，道明缘由.领会：由题设可预测存留，又由f（2）＝4可得a＝2．故预测存留函数，用数教归纳法道明如下：（1）x＝1时，∵，又∵x∈N时，f（x）＞0，∴，论断精确.（2）假设时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，论断精确.综上所述，x为十足自然数时.3、对付数函数型抽象函数对付数函数型抽象函数，即由对付数函数抽象而得到的函数.例5、设f（x）是定义正在（0，＋∞）上的单调删函数，谦脚，供：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，供x的与值范畴.领会：由题设可预测f（x）是对付数函数的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2.解：（1）∵，∴f（1）＝0.（2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞）上的删函数，故，解之得：8＜x≤9.例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是可精确，试道明缘由.领会: 由题设条件可预测y＝f（x）是对付数函数的抽象函数，又∵y ＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是预测g（a＋b）＝g（a）·g（b）精确.解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g （m）＝a，g（n）＝b，从而，∴g （m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g （a＋b）＝g（a）·g（b）.4、三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数.例7、己知函数f（x）的定义域闭于本面对付称，且谦脚以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0.试问：（1）f（x）的奇奇性怎么样？道明缘由.（2）正在（0，4a）上,f（x）的单调性怎么样？道明缘由.领会: 由题设知f（x）是的抽象函数，从而由及题设条件预测：f（x）是奇函数且正在（0，4a）上是删函数（那里把a瞅成举止预测）.解：（1）∵f（x）的定义域闭于本面对付称，且是定义域中的数时有，∴正在定义域中.∵，∴f（x）是奇函数.（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵正在（0，2a）上f（x）＜0，∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于整，从而知中的，于是f（x1）＜f（x2），∴正在（0，2a）上f（x）是删函数.又，∵f（a）＝－1，∴，∴f （2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，，于是f（x）＞0，即正在（2a，4a）上f（x）＞0.设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f （x2）均大于整.f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x1）＜f（x2），即f（x）正在（2a，4a）上也是删函数.综上所述，f（x）正在（0，4a）上是删函数.5、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数.例8、已知函数f（x）对付任性真数x、y皆有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，.（1）推断f（x）的奇奇性；（2）推断f（x）正在［0，＋∞）上的单调性，并给出道明；（3）若，供a的与值范畴.领会：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可预测f（x）是奇函数，且正在［0，＋∞）上是删函数.解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数.（2）设，∴，，∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）正在0，＋∞）上是删函数.（3）∵f（27）＝9，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又，故.抽象函数罕睹题型解法综述抽象函数是指不给出函数的简曲剖析式，只给出了一些体现函数个性的式子的一类函数.由于抽象函数表示形式的抽象性，使得那类问题成为函数真量的易面之一.本文便抽象函数罕睹题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数的定义域是［1，2］，供f(x)的定义域.解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的谦脚从而函数f(x)的定义域是［1，4］评析：普遍天，已知函数的定义域是A，供f(x)的定义域问题，相称于已知中x的与值范畴为A，据此供的值域问题.例2. 已知函数的定义域是，供函数的定义域.解：的定义域是，意义是凡是被f效率的对付象皆正在中，由此可得所以函数的定义域是评析：那类问题的普遍形式是：已知函数f(x)的定义域是A，供函数的定义域.精确明白函数标记及其定义域的含意是供解此类问题的闭键.那类问题真量上相称于已知的值域B，且，据此供x 的与值范畴.例2战例1形式上正好同.二、供值问题例3. 已知定义域为的函数f(x)，共时谦脚下列条件：①；②，供f(3)，f(9)的值.解：与，得果为，所以又与得评析：通过瞅察已知与已知的通联，巧妙天赋值，与，那样便把已知条件与欲供的f(3)相通了起去.赋值法是解此类问题的时常使用本领.三、值域问题例4. 设函数f(x)定义于真数集上，对付于任性真数x、y，总创造，且存留，使得，供函数的值域.解：令，得，即有大概.若，则，对付任性均创造，那与存留真数，使得创造冲突，故，必有.由于对付任性均创造，果此，对付任性，有底下去道明，对付任性设存留，使得，则那与上头已证的冲突，果此，对付任性所以评析：正在处理抽象函数的问题时，往往需要对付某些变量举止符合的赋值，那是普遍背特殊转移的需要脚法.四、剖析式问题例5. 设对付谦脚的所有真数x，函数谦脚，供f(x)的剖析式.解：正在中以代换其中x，得：再正在(1)中以代换x，得化简得：评析：如果把x战分别瞅做二个变量，何如真止由二个变量背一个变量的转移是解题闭键.常常情况下，给某些变量符合赋值，使之正在闭系中“消得”，从而死存一个变量，是真止那种转移的要害战术.五、单调性问题例6. 设f(x)定义于真数集上，当时，，且对付于任性真数x、y，有，供证：正在R上为删函数.道明：正在中与，得若，令，则，与冲突所以，即有当时，；当时，而所以又当时，所以对付任性，恒有设，则所以所以正在R上为删函数.评析：普遍天，抽象函数所谦脚的闭系式，应瞅做给定的运算规则，则变量的赋值大概变量及数值的领会与拉拢皆应尽管与已知式大概所给闭系式及所供的截止相闭联.六、奇奇性问题例7. 已知函数对付任性不等于整的真数皆有，试推断函数f(x)的奇奇性.解：博得：，所以又博得：，所以再与则，即果为为非整函数，所以为奇函数.七、对付称性问题例8. 已知函数谦脚，供的值.解：已知式即正在对付称闭系式中与，所以函数的图象闭于面（0，2002）对付称.根据本函数与其反函数的闭系，知函数的图象闭于面（2002，0）对付称.所以将上式中的x用代换，得评析：那是共一个函数图象闭于面成核心对付称问题，正在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数对付一确真数x皆谦脚，则函数的图象闭于面（a，b）成核心对付称图形.八、搜集概括问题例9. 定义正在R上的函数f(x)谦脚：对付任性真数m，n，总有，且当x>0时，0<f(x)<1.（1）推断f(x)的单调性；（2）设，，若，试决定a的与值范畴.解：（1）正在中，令，得，果为，所以.正在中，令果为当时，所以当时而所以又当x=0时，，所以，综上可知，对付于任性，均有.设，则所以所以正在R上为减函数.（2）由于函数y=f(x)正在R上为减函数，所以即有又，根据函数的单调性，有由，所以曲线与圆里无大众面.果此有，解得.评析：（1）要计划函数的单调性必定波及到二个问题：一是f(0)的与值问题，二是f(x)>0的论断.那是解题的闭键性步调，完毕那些要正在抽象函数式中举止.由特殊到普遍的解题思维，奇像类比思维皆有帮于问题的思索妥协决.定义正在R 上的函数f x ()谦脚：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，供f ()2000的值.解：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代进，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44故f x ()是周期为8的周期函数，例2 已知函数f x ()对付任性真数x y ，皆有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，供f x ()正在[]-21，上的值域.解：设x x 12< 且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0 又f x f x x x ()[()]2211=-+∴f x ()为删函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0得f ()00=∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 供参数范畴那类参数隐含正在抽象函数给出的运算式中，闭键是利用函数的奇奇性战它正在定义域内的删减性，去掉“f ”标记，转移为代数不等式组供解，但是要特天注意函数定义域的效率.例3 已知f x ()是定义正在（-11，）上的奇函数，且正在（0，1）上为删函数，谦脚f a f a ()()---<2402，试决定a 的与值范畴. 解： f x ()是奇函数，且正在（0，1）上是删函数，∴f x ()正在()-10，上是减函数，由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a . （1）当a =2时，f a f a f ()()()-=-=2402，不等式不可坐.（2）当32<<a 时，（3）当25<<a 时，综上所述，所供a 的与值范畴是()()3225，， . 例 4 已知f x ()是定义正在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对付x R ∈恒创造，供真数m 的与值范畴.解： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪sin cos sin cos对付x R ∈恒创造⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x22231sin sin cos 对付x R ∈恒创造⇔ 对付x R ∈恒创造，三. 解不等式那类不等式普遍需要将常数表示为函数正在某面处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数标记“f ”，转移为代数不等式供解.例5 已知函数f x ()对付任性x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，供不等式f a a ()2223--<的解集. 解：设x x R 12、∈且x x 12< 则x x 210-> ∴->f x x ()212，即f x x ()2120-->，故f x ()为删函数，又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=果此不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13. 四. 道明某些问题例6 设f x ()定义正在R 上且对付任性的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，供证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期.领会：那共样是不给出函数表白式的抽象函数，其普遍解法是根据所给闭系式举止递推，若能得出f x T f x ()()+=（T 为非整常数）则f x ()为周期函数，且周期为T. 道明： f x f x f x ()()()()=+-+121()()12+得f x f x ()()()=-+33由（3）得f x f x ()()()+=-+364 由（3）战（4）得f x f x ()()=+6.上式对付任性x R ∈皆创造，果此f x ()是周期函数，且周期为6. 例7 已知f x ()对付十足x y ，，谦脚f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，供证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()正在R 上为减函数.道明：对付十足x y R ，∈有f x y f x f y ()()()+=⋅.且f ()00≠，令x y ==0，得f ()01=，现设x >0，则-<x 0，f x ()->1，而f f x f x ()()()01=⋅-=∴<<01f x ()，设x x R 12，∈且x x 12<，则0121<-<f x x ()，∴>f x f x ()()12，即f x ()为减函数. 五. 概括问题供解抽象函数的概括问题普遍易度较大，常波及到多个知识面，抽象思维程度央供较下，解题时需掌控佳如下三面：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇奇性去掉函数标记“f ”前的“背号”，三是利用函数单调性去掉函数标记“f ”.例8 设函数y f x =()定义正在R 上，当x >0时，f x ()>1，且对付任性m n ，，有f m n f m f n ()()()+=⋅，当m n ≠时f m f n ()()≠.（1）道明f ()01=；（2）道明：f x ()正在R 上是删函数；（3）设{}A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221，B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10，若A B =∅，供a b c ，，谦脚的条件.解：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅， ∴=f ()00大概f ()01=.若f ()00=，当m ≠0时，有fm fm f ()()()+=⋅00，那与当m n ≠时，f m f n ()()≠冲突， ∴=f ()01. （2）设x x 12<，则x x 210->，由已知得f x x ()211->，果为x 10≥，f x ()11>，若x 10<时，->->x f x 1101，()，由f fx f x ()()()011=⋅- （3）由f x f y f ()()()221⋅<得x y 2211+<()由f a x b y c ()++=1得a x b y c ++=0（2）从（1）、（2）中消去y 得()a b x a c x c b 2222220+++-<，果为AB =∅ ∴=-+-<∆()()()24022222a c ab cb ，即a bc 222+<例9 定义正在（-11，）上的函数f x ()谦脚（1），对付任性x y ，，∈-()11皆有f x f y f x yx y()()()+=++1，（2）当x ∈-()10，时，有f x ()>0，（1）试推断f x ()的奇奇性；（2）推断f x ()的单调性；（3）供证f f f n nf ()()()()15111131122+++++>…. 领会：那是一讲以抽象函数为载体，钻研函数的单调性与奇奇性，再以那些本量为前提去钻研数列供战的概括题.解：（1）对付条件中的x y ，，令x y ==0，再令y x =-可得f f f f x f x f f x f x ()()()()()()()()000000+=+-=⎧⎨⎩⇒=-=-⎧⎨⎩，所以f x ()是奇函数. （2）设-<<<1012x x ，则fx fx fx f x f x x x x ()()()()()121212121-=+-=-- x x x x 1212001-<<<，， ∴--<x x x x 121210，由条件（2）知f x xx x ()121210-->，从而有f x f x ()()120->，即f x f x ()()12>，故f x ()()在，-10上单调递减，由奇函数本量可知，f x ()正在（0，1）上仍是单调减函数. （3） f n n ()1312++ 抽象函数问题分类剖析咱们将不精确给出剖析式的函数称为抽象函数.连年去抽象函数问题频频出现于百般考查题中，由于那类问题抽象性强，机动性大，普遍共教感触狐疑，供解无从下脚.本文试图通过真例做分类剖析，供教习参照. 1. 供定义域那类问题只消紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()瞅做一个完全，相称于f x ()中的x 那一个性，问题便会迎刃而解.例1. 函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[l o g ()]222的定义域是___.领会：果为l o g()22x 2-相称于f x ()中的x ，所以l o g()2221x -≤，解得 22<≤x 大概-≤<-22x . 例2. 已知f x ()的定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12的定义域是______.领会：果为x a +及x a -均相称于f x ()中的x ，所以 (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1 (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，12. 推断奇奇性根据已知条件，通过妥当的赋值代换，觅供f x ()与f x ()-的闭系. 例 3. 已知f x ()的定义域为R ，且对付任性真数x ，y 谦脚fx y fx f y()()()=+，供证：f x ()是奇函数. 领会：正在fx y fx f y ()()()=+中，令x y ==1，得f f f f ()()()()11110=+⇒= 令x y ==-1，得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-= 于是fx f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11 故f x ()是奇函数.例4. 若函数y f xf x =≠()(())0与y f x =-()的图象闭于本面对付称，供证：函数y f x =()是奇函数.道明：设y f x =()图象上任性一面为P （x y 00，）y f x =()与y f x=-()的图象闭于本面对付称， ∴P x y ()00，闭于本面的对付称面()--x y 00，正在y f x =-()的图象上，又y f x 00=() 即对付于函数定义域上的任性x 皆有f x f x ()()-=，所以y f x =()是奇函数.3. 推断单调性根据函数的奇奇性、单调性等有闭本量，绘出函数的示企图，以形帮数，问题赶快获解.例5. 如果奇函数f x ()正在区间[]37，上是删函数且有最小值为5，那么f x ()正在区间[]--73，上是A. 删函数且最小值为-5B. 删函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5 领会：绘出谦脚题意的示企图1，易知选B.图1例6. 已知奇函数f x ()正在(0)，+∞上是减函数，问f x ()正在()-∞，0上是删函数仍旧减函数，并道明您的论断.领会：如图2所示，易知f x ()正在()-∞，0上是删函数，道明如下：任与xx x x 121200<<⇒->-> 果为f x ()正在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12. 又f x ()是奇函数，所以f x f xf x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()正在()-∞，0上是删函数. 图24. 探供周期性那类问题较抽象，普遍解法是小心领会题设条件，通过类似，奇像出函数本型，通过对付函数本型的领会大概赋值迭代，赢得问题的解.例7. 设函数f x()的定义域为R，且对付任性的x，y有f x y f x y f x f y()()()()++-=⋅2，并存留正真数c，使f c()2=.试问f x()是可为周期函数？假如，供出它的一个周期；若不是，请道明缘由.领会：小心瞅察领会条件，奇像三角公式，便会创造：y x=c o s谦脚题设条件，且cosπ2=，预测f x()是以2c为周期的周期函数.故f x()是周期函数，2c是它的一个周期.5. 供函数值紧扣已知条件举止迭代变更，经有限次迭代可曲交供出截止，大概者正在迭代历程中创造函数具备周期性，利用周期性使问题巧妙获解.例8. 已知f x()的定义域为R+，且fxy fx fy()()()+=+对付十足正真数x，y皆创造，若f()84=，则f(2)=_______.领会：正在条件fxy fx fy()()()+=+中，令x y==4，得f f f f()()()()844244=+==，又令x y==2，得f f f(4)(2)(2)=+=2，例9. 已知f x()是定义正在R上的函数，且谦脚：f x f x f x()[()]()+-=+211，f()11997=，供f(2001)的值.领会：紧扣已知条件，并多次使用，创造f x()是周期函数，隐然f x()≠1，于是f x f x f x()() ()+=+ -211，所以f x f x f x ()()()+=-+=814 故f x ()是以8为周期的周期函数，从而 6. 比较函数值大小利用函数的奇奇性、对付称性等本量将自变量转移到函数的单调区间内，而后利用其单调性使问题获解.例10. 已知函数f x ()是定义域为R 的奇函数，x <0时，f x ()是删函数，若x 10<，x 20>，且||||x x 12<，则f x f x ()()--12，的大小闭系是_______. 领会： x x 1200<>，且||||x x 12<，又x <0时，f x ()是删函数，f x ()是奇函数，故f x f x ()()->-12 7. 计划圆程根的问题例11. 已知函数f x ()对付一确真数x 皆谦脚f x f x ()()11+=-，而且f x ()=0有三个真根，则那三个真根之战是_______.领会：由f x f x ()()11+=-知曲线x =1是函数f x ()图象的对付称轴. 又f x ()=0有三个真根，由对付称性知x 11=必是圆程的一个根，其余二根x x 23，闭于曲线x =1对付称，所以x x 23212+=⨯=，故x x x 1233++=. 8. 计划不等式的解供解那类问题利用函数的单调性举止转移，脱去函数标记.例12. 已知函数f x ()是定义正在(]-∞，1上的减函数，且对付一确真数x ，不等式fk x fk x(s i n )(s i n)-≥-22恒创造，供k 的值. 领会：由单调性，脱去函数暗号，得由题意知(1)(2)二式对付十足x R ∈恒创造，则有 9. 钻研函数的图象那类问题只消利用函数图象变更的有闭论断，便可获解.例13. 若函数y f x =+()2是奇函数，则y f x =()的图象闭于曲线_______对付称.领会：y f x =()的图象右移个单位左移个单位22y f x =+()2的图象，而y f x =+()2是奇函数，对付称轴是x =0，故y f x =()的对付称轴是x =2.例14. 若函数f x ()的图象过面（0，1），则f x ()+4的反函数的图象必过定面______.领会：f x ()的图象过面（0，1），从而f x ()+4的图象过面()-41，，由本函数与其反函数图象间的闭系易知，f x ()+4的反函数的图象必过定面()14，-. 10. 供剖析式例15. 设函数f x ()存留反函数，g x f x h x ()()()=-1，与g x ()的图象闭于曲线x y +=0对付称，则函数h x ()=A. -f x ()B. --f x ()C. --f x 1()D. ---f x 1()领会：央供y h x =()的剖析式，真量上便是供y h x =()图象上任一面Px y ()00，的横、纵坐标之间的闭系.面Px y ()00，闭于曲线y x =-的对付称面()--y x 00，符合y f x =-1()，即-=-x g y 00(). 又gxf x ()()=-1，即h x f x ()()=--，选B.抽象函数的周期问题2001年下考数教（文科）第22题：设f x ()是定义正在R 上的奇函数，其图象闭于曲线x =1对付称.对付任性x x 12012，，∈[]皆有f xx f xf x ()()()1212+=⋅. （I ）设f ()12=，供f f ()()1214，；（II ）道明f x ()是周期函数. 剖析：（I ）解略.（II ）道明：依题设y f x =()闭于曲线x =1对付称故f x f x x R ()()=-∈2，又由f x ()是奇函数知将上式中-x 以x 代换，得那标明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期 f x ()是奇函数的真量是f x ()的图象闭于曲线x =0对付称又f x ()的图象闭于x =1对付称，可得f x ()是周期函数且2是它的一个周期由此举止普遍化推广，咱们得到思索一：设f x ()是定义正在R 上的奇函数，其图象闭于曲线x aa =≠()0对付称，道明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期. 道明： f x ()闭于曲线xa =对付称又由f x ()是奇函数知f x f x x R ()()-=∈，将上式中-x 以x 代换，得 ∴f x ()是R 上的周期函数且2a 是它的一个周期思索二：设f x ()是定义正在R 上的函数，其图象闭于曲线x a=战x ba b =≠()对付称.道明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期. 道明： f x ()闭于曲线x a x b ==和对付称将上式的-x 以x 代换得∴f x ()是R 上的周期函数且2()b a -是它的一个周期若把那讲下考题中的“奇函数”换成“奇函数”，f x ()仍旧不是周期函数？通过探索，咱们得到思索三：设f x ()是定义正在R 上的奇函数，其图象闭于曲线x =1对付称.道明f x ()是周期函数，且4是它的一个周期.，道明： f x ()闭于x =1对付称∴=-∈fx f x xR ()()2，又由f x ()是奇函数知f x f x x R f x f x x R()()()()-=-∈∴-=--∈，，2将上式的-x 以x 代换，得∴f x ()是R 上的周期函数且4是它的一个周期f x ()是奇函数的真量是f x ()的图象闭于本面（0，0）核心对付称，又f x ()的图象闭于曲线x =1对付称，可得f x ()是周期函数，且4是它的一个周期.由此举止普遍化推广，咱们得到思索四：设f x ()是定义正在R 上的函数，其图象闭于面M a ()，0核心对付称，且其图象闭于曲线x bb a =≠()对付称.道明f x ()是周期函数，且4()b a -是它的一个周期.道明： f x ()闭于面M a ()，0对付称 ∴-=-∈f a x f x x R ()()2， f x ()闭于曲线x b =对付称∴=-∈∴-=--∈f x f b x x R f b x f a x x R()()()()222，，将上式中的-x 以x 代换，得f b x f a x x R f x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R()()[()][()][()][()][()]()2242242242222+=-+∈∴+-=++-=-++-=-+-=+-=∈，，∴f x ()是R 上的周期函数且4()b a -是它的一个周期由上咱们创造，定义正在R 上的函数f x ()，其图象若有二条对付称轴大概一个对付称核心战一条对付称轴，则f x ()是R 上的周期函数.进一步咱们料到，定义正在R 上的函数f x ()，其图象如果有二个对付称核心，那么f x ()是可为周期函数呢？通过探索，咱们得到思索五：设f x ()是定义正在R 上的函数，其图象闭于面M a ()，0战N b a b ()()，0≠对付称.道明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期.道明： f x ()闭于Ma Nb ()()，，，00对付称 ∴-=-∈-=-∈∴-=-∈f a x f x x R f b x f x x Rf a x f b x x R()()()()()()2222，，，将上式中的-x以x 代换，得 f a x f b x x Rf x b a f b x a f a x a f x x R()()[()][()][()]()2222222+=+∈∴+-=+-=+-=∈，，∴f x ()是周期函数且2()b a -是它的一个周期抽象函数解规则道抽象函数是指不给出简曲的函数剖析式大概图像,只给出一些函数标记及其谦脚的条件的函数,如函数的定义域,剖析递推式,特定面的函数值,特定的运算本量等,它是下中函数部分的易面,也是大教下等数教函数部分的一个贯串面,由于抽象函数不简曲的剖析表白式动做载体,果此明白钻研起去比较艰易.但是由于此类试题即能考查函数的观念战本量,又能考查教死的思维本领,所以备受命题者的青睐,那么,何如供解抽象函数问题呢,咱们不妨利用特殊模型法,函数本量法,特殊化要领,奇像类比转移法,等多种要领从多角度,多层里去领会钻研抽象函数问题, 一:函数本量法函数的个性是通过其本量(如奇奇性,单调性周期性,特殊面等)反应出去的,抽象函数也是如许,惟有充分掘掘战利用题设条件战隐含的本量,机动举止等价转移,抽象函数问题才搞转移,化易为易,时常使用的解题要领有:1,利用奇奇性完全思索;2,利用单调性等价转移;3,利用周期性返回已知4;利用对付称性数形分离;5,借帮特殊面,布列圆程等. 二:特殊化要领1正在供解函数剖析式大概钻研函数本量时,普遍用代换的要领,将x 换成-x 大概将x 换成等 2正在供函数值时,可用特殊值代进3钻研抽象函数的简曲模型,用简曲模型解采用题,挖空题,大概由简曲模型函数对付概括题,的解问提供思路战要领.总之,抽象函数问题供解,用惯例要领普遍很易凑效,但是咱们如果能通过对付题脚法疑息领会与钻研,采与特殊的要领战脚法供解,往往会支到事半功倍之成果,真有些山贫火复疑无路,柳暗花明又一村的快感. 1．已知函数f(x)对付任性x 、y ∈R 皆有f(x+y)＝f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1 ①若t 为自然数,(t>0)试供f(t)的表白式②谦脚f(t)=t 的所有整数t 是可形成等好数列?若能供出此数列,若不克不迭道明缘由 ③若t 为自然数且t≥4时, f(t) ≥mt2+(4m+1)t+3m,恒创造,供m 的最大值. 2．已知函数f(x)=1)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)定义域皆是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是删函数. g(m) · g(n)=g(m+n)(m 、n ∈R) 供证：①f(x)是R 上的删函数②当n ∈N,n≥3时,f(n)>1+n n 解: ①设x1>x2g(x)是R 上的删函数, 且g(x)>0 ∴ g(x1) > g(x2) >0 ∴g(x1)+1 > g(x2)+1 >0∴1)(22+x g >1)(21+x g >0∴1)(22+x g -1)(21+x g >0∴f(x1)- f(x2)=1)(1)(11+-x g x g - 1)(1)(22+-x g x g =1-1)(21+x g -(1-1)(22+x g )=1)(22+x g -1)(21+x g >0∴ f(x1) >f(x2)∴ f(x)是R 上的删函数②g(x) 谦脚g(m) · g(n)= g(m+n)(m 、n ∈R) 且g(x)>0 ∴ g(n)=[ g(1)]n=2n 当n ∈N,n≥3时, 2n>n ∴f(n)=1212+-n n＝1-122+n ，1+n n ＝1-11+n2n ＝（1+1）n ＝1+n+…+i nC +…+n+1>2n+1∴ 2n+1>2n+2∴122+n<11+n ,即1-122+n>1-11+n∴当n ∈N,n≥3时,f(n)>1+n n3．设f1(x) f2(x)是(0,+∞)上的函数,且f1(x)单删,设f(x)= f1(x) +f2(x) ,且对付于(0,+∞)上的任性二相同真数x1, x2 恒有| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|①供证：f (x)正在(0,+∞)上单删. ②设F(x)=x f (x), a>0、b>0. 供证：F(a+b)> F(a)+F(b) . ①道明:设 x1>x2>0f1(x) 正在(0,+∞)上单删f1(x1)－ f1(x2)>0∴| f1(x1)－ f1(x2)|= f1(x1)－ f1(x2)>0| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|∴f1(x2)- f1(x1)<f2(x1)－ f2(x2)< f1(x1)－ f1(x2) ∴f1(x1)+f2(x1)> f1(x2)+ f2(x2) ∴f(x1)> f(x2)f (x)正在(0,+∞)上单删 ②F(x)=x f (x), a>0、b>0a+b>a>0,a+b>b>0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f (x)正在(0,+∞)上单删∴F(a+b)>af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)4．函数y ＝f(x)谦脚 ①f(a+b)＝f (a)·f (b)，②f(4)＝16, m 、n 为互量整数，n≠0 供f(nm)的值 f(0) =f(0+0)=f(0) ·f(0)=f2(0)∴f(0) =0大概1.若f(0)=0则f(4)=16=f(0+4)=f(0) ·f(4)=0.(冲突)∴f(1)=1f(4)=f(2) ·f(2)=f(1) ·f(1) ·f(1) ·f(1)=16f(1)=f2(21)≥0 ∴f(1)=2.仿此可证得f(a)≥0.即y=f(x)利害背函数.f(0)=f(a+(-a))=f(a) ·f(-a)∴f(-a)=)(1a f n ∈N*时f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(n 1+n 1+…+n 1)=fn(n1)=2 ∴f(n 1)= n12∴f(nm )=[f(n1)]m= nm 25．定义正在（-1，1）上的函数f (x)谦脚 ① 任性x 、y ∈（-1，1）皆有f(x)+ f(y)＝f (xyyx ++1)，②x ∈（-1，0）时，有f(x) >01) 判决f(x)正在（-1，1）上的奇奇性，并道明缘由 2) 判决f(x)正在（-1，0）上的单调性，并给出道明3) 供证：f (1312++n n )＝f (11+n )－f (21+n ) 大概f (51)+f (111)+…+f (1312++n n )> f (21) (n ∈N*)解:1)定义正在（-1，1）上的函数f (x)谦脚任性x 、y ∈（-1，1）皆有f(x)+ f(y)＝f (xyyx ++1),则当y=0时, f(x)+ f(0)＝f(x) ∴f(0)=0当-x=y 时, f(x)+ f(-x)＝f(0)∴f(x)是（-1，1）上的奇函数2) 设0>x1>x2>-1f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)=)1(2121x x xx f --0>x1>x2>-1 ,x ∈（-1，0）时，有f(x) >0,1-x1 x2>0, x1-x2>0∴)1(2121x x xx f -->0即f(x)正在（-1，0）上单调递加.3)f (1312++n n )=f(12312-++n n ) =f()2)(1(11)2)(1(1++-++n n n n )=f(211112111+•+-+-+n n n n )=f(11+n )-f(21+n ) ∴f (51)+f (111)+…+f (1312++n n ) =f(21)-f(31)+f(31)-f(41)+f(41)+…+f(11+n )-f(21+n )= f(21) -f(21+n )=f(21)+f(-21+n )x ∈（-1，0）时，有f(x) >0∴f(-21+n )>0, f(21)+f(-21+n )>f(21)即f (51)+f (111)+…+f (1312++n n )> f (21)6．设 f (x)是定义正在R 上的奇函数,其图像闭于曲线x=1对付称, 对付任性x1、x2∈[0,12]皆有f (x1+ x2)＝f(x1) ·f(x2), 且f(1)=a>0. ①供f (12)及 f (14);②道明f(x)是周期函数③记an=f(2n+12n ), 供lim ∞→n (lnan)解: ①由f (x)= f (x 2 + x2)=[f(x)]2≥0,f(x)a= f(1)=f(2n·12n )=f(12n +12n +…+12n )＝[f (12n )]2解得f (12n)=n a 21∴ f (12)=21a,f (14)=41a . ②f(x)是奇函数,其图像闭于曲线x=1对付称, ∴f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).∴f(x+2)=f[1+(1+x)]= f[1-(1+x)]= f(x)=f(-x).∴f(x)是以2为周期的周期函数.③ an=f(2n+12n )= f (12n )=na 21 ∴lim ∞→n (lnan)= lim ∞→n aa 2ln =0 7．设)(x f y =是定义正在R 上的恒不为整的函数，且对付任性x 、y ∈R 皆有 f(x+y)＝f(x)f(y)①供f(0)，②设当x<0时，皆有f(x)>f(0)道明当x>0时0<f(x)<1,③设a1=21,an=f(n)（n ∈N* ），sn 为数列｛an ｝前n 项战，供lim ∞→n sn.解：①②仿前几例，略.③ an ＝f(n)， ∴ a1＝f(1)＝21an+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝21an ∴数列｛an ｝是尾项为21公比为21的等比数列 ∴sn ＝1-n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ∴lim ∞→n sn ＝18．设)(x f y =是定义正在区间]1,1[-上的函数，且谦脚条件：（i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对付任性的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有（Ⅰ）道明：对付任性的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有（Ⅱ）道明：对付任性的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）正在区间[－1，1]上是可存留谦脚题设条件的奇函数)(x f y =，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当。

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是（）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（）．A ．恒大于B ．恒小于C ．可正可负D ．可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________．【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数；（2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-．【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立．令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。

抽象函数-题型大全(例题-含答案)

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：()211xf x x =++()f x 解：设1xux =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1x f x x -=-例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x xx x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()f x x x =++例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-，求()f x ,()g x .解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-, 不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x ,∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =-例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x 解：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N=+∈ 二、利用函数性质，解()f x 的有关问题例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。

高考数学函数专题训练《抽象函数》含答案解析

2．己知是定义在上的偶函数，在区间为增函数，且，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，因为f（x）是定义在上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数，
所以函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，
由f（3）＝0，则不等式f（1﹣2x）＞0⇒f（1﹣2x）＞f（3）⇒|1﹣2x|＜3，
【解析】设则
∵ ，∴ ．所以函数是R上的减函数，
∵函数是偶函数，∴函数，∴函数关于对称，
∴ ，原不等式等价为，
∴不等式等价，
．∵ 在R上单调递减，∴ ．故选B．
12．定义在上的函数满足，对任意，都有，非零实数，满足，则下列关系式中正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，
所以 .故选A.
7．已知是定义在上的奇函数，且，则函数的零点个数至少为（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】是定义在上的奇函数，，且零点关于原点对称，
零点个数为奇数，排除选项，又，
，，
，的零点至少有个，故选C.
8．定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为()
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，都有，
故，∴函数是上的减函数，
∵ ，∴ ，∴ .故选C.
5．已知定义在上的函数满足为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，的周期为6，又为偶函数，
15．已知定义在上的偶函数，满足，且在区间上是增函数，

抽象函数-题型大全(例题-含答案)

高考抽象函数技能总结【1 】因为函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号()f x 的问题觉得艰苦,学好这部分常识,能加深学生对函数概念的懂得,更好地控制函数的性质,造就灵巧性;进步解题才能,优化学生数学思维本质.现将罕有解法及意义总结如下：一.求表达式：1.换元法：即用中央变量暗示原自变量x 的代数式,从而求出()f x ,这也是证某些公式或等式经常运用的办法,此法解造就学生的灵巧性及变形才能.例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x .解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑正当：在已知(())()fg xh x =的前提下,把()h x 并凑成以()g u 暗示的代数式,再运用代换即可求()f x .此解法简练,还能进一步温习代换法.例2：已知3311()f x x x x+=+,求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1)3.待定系数法：先肯定函数类型,设定函数关系式,再由已知前提,定出关系式中的未知系数.例3．已知()f x 二次实函数,且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++,则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.运用函数性质法:重要运用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数,∴()f x 的界说域关于原点对称,故先求x <0时的表达式.∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数,∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩ 例5．一已知()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且有()f x +1()1g x x =-, 求()f x ,()g x . 解：∵()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,无妨用-x 代换()f x +()g x =11x -………①中的x , ∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-5.赋值法：给自变量取特别值,从而发明纪律,求出()f x 的表达式例6：设()f x 的界说域为天然数集,且知足前提(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x解：∵()f x 的界说域为N,取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加,有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈二.运用函数性质,解()f x 的有关问题 1.断定函数的奇偶性：例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x .y 都成立,且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数.证实：令x =0, 则已知等式变成()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数.例8：奇函数()f x 在界说域（-1,1）内递减,求知足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值规模.解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1,1）内递减,∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.解不定式的有关标题例9：假如()f x =2ax bx c ++对随意率性的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解：对随意率性t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴又∵其启齿向上∴f (2)最小,f (1)=f (3)∵在［2,＋∞)上,()f x 为增函数 ∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)五类抽象函数解法 1.线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数.例1.已知函数f （x ）对随意率性实数x,y,均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ）,且当x ＞0时,f （x ）＞0,f （－1）＝－2,求f （x ）在区间[－2,1]上的值域. 剖析：由题设可知,函数f （x ）是的抽象函数,是以求函数f （x ）的值域,症结在于研讨它的单调性. 解：设,∵当,∴,∵,∴,即,∴f （x ）为增函数.在前提中,令y ＝－x,则,再令x ＝y ＝0,则f （0）＝2 f （0）,∴f （0）＝0,故f （－x ）＝f （x ）,f （x ）为奇函数,∴f （1）＝－f （－1）＝2,又f （－2）＝2 f （－1）＝－4, ∴f （x ）的值域为［－4,2］. 例2.已知函数f （x ）对随意率性,知足前提f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ）,且当x ＞0时,f （x ）＞2,f （3）＝5,求不等式的解.剖析：由题设前提可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数,且f（x）为单调增函数,假如这一猜测准确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解. 解：设,∵当,∴,则, 即,∴f （x）为单调增函数. ∵, 又∵f（3）＝5,∴f（1）＝3.∴,∴,即,解得不等式的解为－1 < a < 3.2.指数函数型抽象函数例3.设函数f（x）的界说域是（－∞,＋∞）,知足前提：消失,使得,对任何x和y,成立.求：（1）f（0）; （2）对随意率性值x,断定f（x）值的正负.剖析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数,从而猜测f（0）＝1且f（x）＞0.解：（1）令y＝0代入,则,∴.若f（x）＝0,则对随意率性,有,这与题设抵触,∴f（x）≠0,∴f （0）＝1.（2）令y＝x≠0,则,又由（1）知f（x）≠0,∴f（2x）＞0,即f（x）＞0,故对随意率性x,f（x）＞0恒成立.例4.是否消失函数f（x）,使下列三个前提：①f（x）＞0,x∈N;②;③f （2）＝4.同时成立？若消失,求出f（x）的解析式,如不消失,解释来由.剖析：由题设可猜测消失,又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测消失函数,用数学归纳法证实如下：（1）x＝1时,∵,又∵x∈N时,f（x）＞0,∴,结论准确.（2）假设时有,则x＝k＋1时,,∴x＝k＋1时,结论准确.综上所述,x为一切天然数时.3.对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数.例5.设f（x）是界说在（0,＋∞）上的单调增函数,知足,求：（1）f（1）;（2）若f（x）＋f（x－8）≤2,求x的取值规模.剖析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数,f（1）＝0,f（9）＝2.解：（1）∵,∴f（1）＝0.（2）,从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9）,即,∵f（x）是（0,＋∞）上的增函数,故,解之得：8＜x≤9.例6.设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.假如f（ab）＝f（a）＋f（b）,那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否准确,试解释来由.剖析: 由题设前提可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数,又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x）,∴y＝g （x）必为指数函数的抽象函数,于是猜测g（a＋b）＝g（a）·g（b）准确.解：设f（a）＝m,f（b）＝n,因为g（x）是f（x）的反函数,∴g（m）＝a,g（n）＝b,从而,∴g（m）·g（n）＝g（m＋n）,以a.b分离代替上式中的m.n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）.4.三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数.例7.己知函数f（x）的界说域关于原点对称,且知足以下三前提：①当是界说域中的数时,有;②f（a）＝－1（a＞0,a是界说域中的一个数）;③当0＜x＜2a时,f（x）＜0.试问：（1）f（x）的奇偶性若何？解释来由.（2）在（0,4a）上,f（x）的单调性若何？解释来由.剖析: 由题设知f（x）是的抽象函数,从而由及题设前提猜测：f（x）是奇函数且在（0,4a）上是增函数（这里把a算作进行猜测）.解：（1）∵f（x）的界说域关于原点对称,且是界说域中的数时有,∴在界说域中.∵,∴f（x）是奇函数.（2）设0＜x1＜x2＜2a,则0＜x2－x1＜2a,∵在（0,2a）上f（x）＜0,∴f（x1）,f（x2）,f（x2－x1）均小于零,进而知中的,于是f（x1）＜f（x2）,∴在（0,2a）上f（x）是增函数.又,∵f（a）＝－1,∴,∴f（2a）＝0,设2a＜x ＜4a,则0＜x－2a＜2a,,于是f（x）＞0,即在（2a,4a）上f（x）＞0.设2a＜x1＜x2＜4a,则0＜x2－x1＜2a,从而知f（x1）,f（x2）均大于零.f（x2－x1）＜0,∵,∴,即f（x1）＜f（x2）,即f（x）在（2a,4a）上也是增函数.综上所述,f（x）在（0,4a）上是增函数.5.幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数.例8.已知函数f（x）对随意率性实数x.y都有f（xy）＝f（x）·f（y）,且f（－1）＝1,f（27）＝9,当时,.（1）断定f（x）的奇偶性;（2）断定f（x）在［0,＋∞）上的单调性,并给出证实;（3）若,求a的取值规模.剖析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数,从而可猜测f（x）是偶函数,且在［0,＋∞）上是增函数.解：（1）令y＝－1,则f（－x）＝f（x）·f（－1）,∵f（－1）＝1,∴f（－x）＝f（x）,f（x）为偶函数.（2）设,∴,,∵时,,∴,∴f（x1）＜f（x2）,故f（x）在0,＋∞）上是增函数.（3）∵f（27）＝9,又,∴,∴,∵,∴,∵,∴,又,故.抽象函数罕有题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些表现函数特点的式子的一类函数.因为抽象函数表示情势的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.本文就抽象函数罕有题型及解法评析如下：一.界说域问题例1. 已知函数的界说域是［1,2］,求f(x)的界说域.解：的界说域是［1,2］,是指,所以中的知足从而函数f(x)的界说域是［1,4］评析：一般地,已知函数的界说域是A,求f(x)的界说域问题,相当于已知中x的取值规模为A,据此求的值域问题.例2. 已知函数的界说域是,求函数的界说域.解：的界说域是,意思是凡被f感化的对象都在中,由此可得所以函数的界说域是评析：这类问题的一般情势是：已知函数f(x)的界说域是A,求函数的界说域.准确懂得函数符号及其界说域的寄义是求解此类问题的症结.这类问题本质上相当于已知的值域B,且,据此求x的取值规模.例2和例1情势上正相反.二.求值问题例3. 已知界说域为的函数f(x),同时知足下列前提：①;②,求f(3),f(9)的值.解：取,得因为,所以又取得评析：经由过程不雅察已知与未知的接洽,奇妙地赋值,取,如许便把已知前提与欲求的f(3)沟通了起来.赋值法是解此类问题的经常运用技能.三.值域问题例4. 设函数f(x)界说于实数集上,对于随意率性实数x.y,总成立,且消失,使得,求函数的值域.解：令,得,即有或.若,则,对随意率性均成立,这与消失实数,使得成立抵触,故,必有.因为对随意率性均成立,是以,对随意率性,有下面来证实,对随意率性设消失,使得,则这与上面已证的抵触,是以,对随意率性所以评析：在处理抽象函数的问题时,往往须要对某些变量进行恰当的赋值,这是一般向特别转化的须要手腕.四.解析式问题例5. 设对知足的所有实数x,函数知足,求f(x)的解析式.解：在中以代换个中x,得：再在(1)中以代换x,得化简得：评析：假如把x和分离看作两个变量,如何实现由两个变量向一个变量的转化是解题症结.平日情形下,给某些变量恰当赋值,使之在关系中“消掉”,进而保存一个变量,是实现这种转化的重要计谋.五.单调性问题例6. 设f(x)界说于实数集上,当时,,且对于随意率性实数x.y,有,求证：在R上为增函数.证实：在中取,得若,令,则,与抵触所以,即有当时,;当时,而所以又当时,所以对随意率性,恒有设,则所以所以在R上为增函数.评析：一般地,抽象函数所知足的关系式,应看作给定的运算轨则,则变量的赋值或变量及数值的分化与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的成果相接洽关系.六.奇偶性问题例7. 已知函数对随意率性不等于零的实数都有,试断定函数f(x)的奇偶性.解：取得：,所以又取得：,所以再取则,即因为为非零函数,所认为偶函数.七.对称性问题例8. 已知函数知足,求的值.解：已知式即在对称关系式中取,所以函数的图象关于点（0,2002）对称.依据原函数与其反函数的关系,知函数的图象关于点（2002,0）对称.所以将上式中的x用代换,得评析：这是统一个函数图象关于点成中间对称问题,在解题中运用了下述命题：设a.b 均为常数,函数对一切实数x 都知足,则函数的图象关于点（a,b ）成中间对称图形. 八.收集分解问题例9. 界说在R 上的函数f(x)知足：对随意率性实数m,n,总有,且当x>0时,0<f(x)<1.（1）断定f(x)的单调性; （2）设, ,若,试肯定a 的取值规模.解：（1）在中,令,得,因为,所以.在中,令因为当时,所以当时而所以又当x=0时,,所以,综上可知,对于随意率性,均有.设,则所以所以在R 上为减函数.（2）因为函数y=f(x)在R 上为减函数,所以即有又,依据函数的单调性,有由,所以直线与圆面无公共点.是以有,解得.评析：（1）要评论辩论函数的单调性必定涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题,二是f(x)>0的结论.这是解题的症结性步调,完成这些要在抽象函数式中进行.由特别到一般的解题思惟,联想类比思维都有助于问题的思虑息争决.界说在R 上的函数f x ()知足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求f ()2000的值. 解：由f x f x ()()220-+-=,以t x =-2代入,有f t f t ()()-=,∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84 故f x ()是周期为8的周期函数,∴==f f ()()200000例2 已知函数f x ()对随意率性实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时,f x f ()()>-=-012，,求f x ()在[]-21，上的值域.解：设x x 12< 且x x R 12，∈, 则x x 210->,由前提当x >0时,f x ()>0 ∴->f x x ()210 又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111 ∴f x ()为增函数,令y x =-,则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00=∴-=-f x f x ()(),故f x ()为奇函数,∴=-=f f ()()112,f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数规模这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,症结是运用函数的奇偶性和它在界说域内的增减性,去掉落“f ”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别留意函数界说域的感化.例3 已知f x ()是界说在（-11，）上的偶函数,且在（0,1）上为增函数,知足f a f a ()()---<2402,试肯定a 的取值规模.解： f x ()是偶函数,且在（0,1）上是增函数,∴f x ()在()-10，上是减函数,由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a . （1）当a =2时,f a f a f ()()()-=-=2402,不等式不成立.（2）当32<<a 时,f a f a f a a a a a a ()()()-<-=-⇔-<-<-<-<->-⎧⎨⎪⎩⎪<<24412014024322222解之得，（3）当25<<a 时,f a f a ()()-<-242=-⇔<-<<-<-<-⎧⎨⎪⎩⎪<<f a a a a a a ()22240210412425解之得，综上所述,所求a 的取值规模是()()3225，， .例4 已知f x ()是界说在(]-∞，1上的减函数,若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立,求实数m 的取值规模.解： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪sin cos sin cos对x R ∈恒成立⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x22231sin sin cos 对x R ∈恒成立⇔m xm m x x x 2222311254-≤--≥+=--+⎧⎨⎪⎩⎪sin sin cos (sin ) 对x R ∈恒成立,∴-≤--≥⎧⎨⎪⎩⎪∴-≤≤-m m m m 223115421102为所求。

抽象函数解题-题型大全(例题-含答案)

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

高中抽象函数练习题

高中抽象函数练习题一、选择题A. 若f(x)为奇函数，则f(x) = f(x)B. 若f(x)为偶函数，则f(x) = f(x)C. 若f(x)为增函数，则f(a) < f(b)，其中a < bD. 若f(x)为减函数，则f(a) > f(b)，其中a < bA. f(x)在R上单调递增B. f(x)在R上单调递减C. f(x)在（∞，0）上单调递增D. f(x)在（0，+∞）上单调递减A. f(x)在R上单调递增B. f(x)在R上单调递减C. f(x)在（∞，1）上单调递增D. f(x)在（1，+∞）上单调递减二、填空题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(3)的值______。

2. 设函数f(x) = x^2 4x + 3，求f(x)的最小值______。

3. 已知函数f(x) = |x 2|，求f(x)的零点______。

三、解答题1. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），讨论f(x)的单调性。

2. 已知函数f(x) = x^3 3x，求f(x)的极值。

3. 设函数f(x) = (1/2)^x，求f(x)在区间[0, 1]上的最大值和最小值。

4. 已知函数f(x) = |x 1| + |x + 1|，求f(x)在R上的最小值。

5. 设函数f(x) = x^2 2x + 1，求证：对于任意x ∈ R，都有f(x) ≥ 0。

6. 已知函数f(x) = (1/2)^x，求证：f(x)在R上单调递减。

7. 设函数f(x) = x^3 3x，求f(x)的拐点。

8. 已知函数f(x) = |x 2| |x + 1|，求f(x)的零点。

9. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），讨论f(x)的凹凸性。

10. 已知函数f(x) = x^2 4x + 3，求f(x)在区间[1, 3]上的最大值和最小值。

四、应用题1. 某企业的成本函数为C(x) = 3x^2 + 2x + 10，其中x为生产的产品数量。

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案

抽象函数-题型大全(例题-含答案)

高考抽象函数技能总结因为函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号()f x 的问题觉得艰苦,学好这部分常识,能加深学生对函数概念的懂得,更好地控制函数的性质,造就灵巧性;进步解题才能,优化学生数学思维本质.现将罕有解法及意义总结如下：一.求表达式：1.换元法：即用中央变量暗示原自变量x 的代数式,从而求出()f x ,这也是证某些公式或等式经常运用的办法,此法解造就学生的灵巧性及变形才能.例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑正当：在已知(())()f g x h x =的前提下,把()h x 并凑成以()g u 暗示的代数式,再运用代换即可求()f x .此解法简练,还能进一步温习代换法.例2：已知3311()f x x xx +=+,求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1)3.待定系数法：先肯定函数类型,设定函数关系式,再由已知前提,定出关系式中的未知系数.例3．已知()f x 二次实函数,且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++,则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.运用函数性质法:重要运用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数,∴()f x 的界说域关于原点对称,故先求x <0时的表达式.∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数,∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例5．一已知()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且有()f x +1()1g x x =-, 求()f x ,()g x . 解：∵()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,无妨用-x 代换()f x +()g x =11x -………①中的x , ∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-5.赋值法：给自变量取特别值,从而发明纪律,求出()f x 的表达式例6：设()f x 的界说域为天然数集,且知足前提(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x解：∵()f x 的界说域为N,取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加,有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈ 二.运用函数性质,解()f x 的有关问题 1.断定函数的奇偶性：例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x .y 都成立,且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数.证实：令x =0, 则已知等式变成()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数.例8：奇函数()f x 在界说域（-1,1）内递减,求知足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值规模.解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1,1）内递减,∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.解不定式的有关标题例9：假如()f x =2ax bx c ++对随意率性的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解：对随意率性t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴又∵其启齿向上∴f (2)最小,f (1)=f (3)∵在［2,＋∞)上,()f x 为增函数∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4) 五类抽象函数解法 1.线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数.例1.已知函数f（x）对随意率性实数x,y,均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）,且当x＞0时,f（x）＞0,f（－1）＝－2,求f（x）在区间[－2,1]上的值域.剖析：由题设可知,函数f（x）是的抽象函数,是以求函数f（x）的值域,症结在于研讨它的单调性.解：设,∵当,∴,∵,∴,即,∴f（x）为增函数.在前提中,令y＝－x,则,再令x＝y＝0,则f（0）＝2 f（0）,∴f （0）＝0,故f（－x）＝f（x）,f（x）为奇函数,∴f（1）＝－f（－1）＝2,又f（－2）＝2 f（－1）＝－4,∴f（x）的值域为［－4,2］.例2.已知函数f（x）对随意率性,知足前提f（x）＋f（y）＝2 + f （x＋y）,且当x＞0时,f（x）＞2,f（3）＝5,求不等式的解. 剖析：由题设前提可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数,且f（x）为单调增函数,假如这一猜测准确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解. 解：设,∵当,∴,则, 即,∴f（x）为单调增函数.∵,又∵f（3）＝5,∴f（1）＝3.∴,∴,即,解得不等式的解为－1 < a < 3.2.指数函数型抽象函数例3.设函数f（x）的界说域是（－∞,＋∞）,知足前提：消失,使得,对任何x和y,成立.求：（1）f（0）; （2）对随意率性值x,断定f（x）值的正负.剖析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数,从而猜测f（0）＝1且f（x）＞0.解：（1）令y＝0代入,则,∴.若f（x）＝0,则对随意率性,有,这与题设抵触,∴f（x）≠0,∴f（0）＝1.（2）令y＝x≠0,则,又由（1）知f（x）≠0,∴f （2x）＞0,即f（x）＞0,故对随意率性x,f（x）＞0恒成立.例4.是否消失函数f（x）,使下列三个前提：①f（x）＞0,x∈N;②;③f（2）＝4.同时成立？若消失,求出f（x）的解析式,如不消失,解释来由.剖析：由题设可猜测消失,又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测消失函数,用数学归纳法证实如下：（1）x＝1时,∵,又∵x∈N时,f（x）＞0,∴,结论准确.（2）假设时有,则x＝k＋1时,,∴x＝k＋1时,结论准确.综上所述,x为一切天然数时.3.对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数.例5.设f（x）是界说在（0,＋∞）上的单调增函数,知足,求：（1）f（1）;（2）若f（x）＋f（x－8）≤2,求x的取值规模.剖析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数,f（1）＝0,f（9）＝2.解：（1）∵,∴f（1）＝0.（2）,从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9）,即,∵f（x）是（0,＋∞）上的增函数,故,解之得：8＜x≤9.例6.设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.假如f（ab）＝f（a）＋f（b）,那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否准确,试解释来由.剖析: 由题设前提可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数,又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x）,∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数,于是猜测g（a ＋b）＝g（a）·g（b）准确.解：设f（a）＝m,f（b）＝n,因为g（x）是f（x）的反函数,∴g（m）＝a,g （n）＝b,从而,∴g（m）·g（n）＝g（m ＋n）,以a.b分离代替上式中的m.n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）.4.三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数.例7.己知函数f（x）的界说域关于原点对称,且知足以下三前提：①当是界说域中的数时,有;②f（a）＝－1（a＞0,a是界说域中的一个数）;③当0＜x＜2a时,f（x）＜0.试问：（1）f（x）的奇偶性若何？解释来由.（2）在（0,4a）上,f（x）的单调性若何？解释来由.剖析: 由题设知f（x）是的抽象函数,从而由及题设前提猜测：f（x）是奇函数且在（0,4a）上是增函数（这里把a算作进行猜测）.解：（1）∵f（x）的界说域关于原点对称,且是界说域中的数时有,∴在界说域中.∵,∴f（x）是奇函数.（2）设0＜x1＜x2＜2a,则0＜x2－x1＜2a,∵在（0,2a）上f（x）＜0,∴f（x1）,f（x2）,f（x2－x1）均小于零,进而知中的,于是f（x1）＜ f（x2）,∴在（0,2a）上f（x）是增函数.又,∵f（a）＝－1,∴,∴f（2a）＝0,设2a＜x＜4a,则0＜x－2a＜2a,,于是f（x）＞0,即在（2a,4a）上f（x）＞0.设2a＜x1＜x2＜4a,则0＜x2－x1＜2a,从而知f（x1）,f（x2）均大于零.f（x2－x1）＜0,∵,∴,即f（x1）＜f（x2）,即f（x）在（2a,4a）上也是增函数.综上所述,f（x）在（0,4a）上是增函数.5.幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数.例8.已知函数f（x）对随意率性实数x.y都有f（xy）＝f（x）·f（y）,且f（－1）＝1,f（27）＝9,当时,.（1）断定f（x）的奇偶性;（2）断定f（x）在［0,＋∞）上的单调性,并给出证实;（3）若,求a的取值规模.剖析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数,从而可猜测f（x）是偶函数,且在［0,＋∞）上是增函数.解：（1）令y＝－1,则f（－x）＝f（x）·f（－1）,∵f（－1）＝1,∴f（－x）＝f（x）,f（x）为偶函数.（2）设,∴,,∵时,,∴,∴f（x1）＜f（x2）,故f（x）在0,＋∞）上是增函数.（3）∵f（27）＝9,又,∴,∴,∵,∴,∵,∴,又,故.抽象函数罕有题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些表现函数特点的式子的一类函数.因为抽象函数表示情势的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.本文就抽象函数罕有题型及解法评析如下：一.界说域问题例1. 已知函数的界说域是［1,2］,求f(x)的界说域.解：的界说域是［1,2］,是指,所以中的知足从而函数f(x)的界说域是［1,4］评析：一般地,已知函数的界说域是A,求f(x)的界说域问题,相当于已知中x的取值规模为A,据此求的值域问题.例2. 已知函数的界说域是,求函数的界说域.解：的界说域是,意思是凡被f感化的对象都在中,由此可得所以函数的界说域是评析：这类问题的一般情势是：已知函数f(x)的界说域是A,求函数的界说域.准确懂得函数符号及其界说域的寄义是求解此类问题的症结.这类问题本质上相当于已知的值域B,且,据此求x的取值规模.例2和例1情势上正相反.二.求值问题例3. 已知界说域为的函数f(x),同时知足下列前提：①;②,求f(3),f(9)的值.解：取,得因为,所以又取得评析：经由过程不雅察已知与未知的接洽,奇妙地赋值,取,如许便把已知前提与欲求的f(3)沟通了起来.赋值法是解此类问题的经常运用技能.三.值域问题例4. 设函数f(x)界说于实数集上,对于随意率性实数x.y,总成立,且消失,使得,求函数的值域.解：令,得,即有或.若,则,对随意率性均成立,这与消失实数,使得成立抵触,故,必有.因为对随意率性均成立,是以,对随意率性,有下面来证实,对随意率性设消失,使得,则这与上面已证的抵触,是以,对随意率性所以评析：在处理抽象函数的问题时,往往须要对某些变量进行恰当的赋值,这是一般向特别转化的须要手腕.四.解析式问题例5. 设对知足的所有实数x,函数知足,求f(x)的解析式.解：在中以代换个中x,得：再在(1)中以代换x,得化简得：评析：假如把x和分离看作两个变量,如何实现由两个变量向一个变量的转化是解题症结.平日情形下,给某些变量恰当赋值,使之在关系中“消掉”,进而保存一个变量,是实现这种转化的重要计谋.五.单调性问题例6. 设f(x)界说于实数集上,当时,,且对于随意率性实数x.y,有,求证：在R上为增函数.证实：在中取,得若,令,则,与抵触所以,即有当时,;当时,而所以又当时,所以对随意率性,恒有设,则所以所以在R上为增函数.评析：一般地,抽象函数所知足的关系式,应看作给定的运算轨则,则变量的赋值或变量及数值的分化与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的成果相接洽关系.六.奇偶性问题例7. 已知函数对随意率性不等于零的实数都有,试断定函数f(x)的奇偶性.解：取得：,所以又取得：,所以再取则,即因为为非零函数,所认为偶函数.七.对称性问题例8. 已知函数知足,求的值.解：已知式即在对称关系式中取,所以函数的图象关于点（0,2002）对称.依据原函数与其反函数的关系,知函数的图象关于点（2002,0）对称.所以将上式中的x用代换,得评析：这是统一个函数图象关于点成中间对称问题,在解题中运用了下述命题：设a.b均为常数,函数对一切实数x都知足,则函数的图象关于点（a,b）成中间对称图形.八.收集分解问题例9. 界说在R上的函数f(x)知足：对随意率性实数m,n,总有,且当x>0时,0<f(x)<1.（1）断定f(x)的单调性;（2）设,,若,试肯定a的取值规模.解：（1）在中,令,得,因为,所以.在中,令因为当时,所以当时而所以又当x=0时,,所以,综上可知,对于随意率性,均有.设,则所以所以在R上为减函数.（2）因为函数y=f(x)在R上为减函数,所以即有又,依据函数的单调性,有由,所以直线与圆面无公共点.是以有,解得. 评析：（1）要评论辩论函数的单调性必定涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题,二是f(x)>0的结论.这是解题的症结性步调,完成这些要在抽象函数式中进行.由特别到一般的解题思惟,联想类比思维都有助于问题的思虑息争决.界说在R 上的函数f x ()知足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求f ()2000的值.解：由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44故f x ()是周期为8的周期函数,例2 已知函数f x ()对随意率性实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时,f x f ()()>-=-012，,求f x ()在[]-21，上的值域.解：设x x 12< 且x x R 12，∈, 则x x 210->,由前提当x >0时,f x ()>0 又f x f x x x ()[()]2211=-+∴f x ()为增函数,令y x =-,则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00=∴-=-f x f x ()(),故f x ()为奇函数,∴=-=f f ()()112,f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数规模这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,症结是运用函数的奇偶性和它在界说域内的增减性,去掉落“f ”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别留意函数界说域的感化.例3 已知f x ()是界说在（-11，）上的偶函数,且在（0,1）上为增函数,知足f a f a ()()---<2402,试肯定a 的取值规模.解： f x ()是偶函数,且在（0,1）上是增函数,∴f x ()在()-10，上是减函数,由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a . （1）当a =2时,f a f a f ()()()-=-=2402,不等式不成立.（2）当32<<a 时, （3）当25<<a 时,综上所述,所求a 的取值规模是()()3225，， .例 4 已知f x ()是界说在(]-∞，1上的减函数,若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立,求实数m 的取值规模. 解： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪sin cos sin cos对x R ∈恒成立⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x22231sin sin cos 对x R ∈恒成立⇔ 对x R ∈恒成立, 三. 解不等式这类不等式一般须要将常数暗示为函数在某点处的函数值,再经由过程函数的单调性去掉落函数符号“f ”,转化为代数不等式求解.例 5 已知函数f x ()对随意率性x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2,当x >0时,f x ()>2,f ()35=,求不等式f a a ()2223--<的解集. 解：设x x R 12、∈且x x 12< 则x x 210-> ∴->f x x ()212, 即f x x ()2120-->, 故f x ()为增函数,又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=是以不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13. 四. 证实某些问题例6 设f x ()界说在R 上且对随意率性的x 有f x f x f x ()()()=+-+12,求证：f x ()是周期函数,并找出它的一个周期.剖析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数,其一般解法是依据所给关系式进行递推,若能得出f x T f x ()()+=（T 为非零常数）则f x ()为周期函数,且周期为T.证实： f x f x f x ()()()()=+-+121()()12+得f x f x ()()()=-+33由（3）得f x f x ()()()+=-+364由（3）和（4）得f x f x ()()=+6.上式对随意率性x R ∈都成立,是以f x ()是周期函数,且周期为6.例7 已知f x ()对一切x y ，,知足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，,且当x <0时,f x ()>1,求证：（1）x >0时,01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数. 证实：对一切x y R ，∈有f x y f x f y ()()()+=⋅. 且f ()00≠,令x y ==0,得f ()01=, 现设x >0,则-<x 0,f x ()->1, 而f f x f x ()()()01=⋅-=∴<<01f x (),设x x R 12，∈且x x 12<, 则0121<-<f x x ()，∴>f x f x ()()12,即f x ()为减函数. 五. 分解问题求解抽象函数的分解问题一般难度较大,常涉及到多个常识点,抽象思维程度请求较高,解题时需掌控好如下三点：一是留意函数界说域的运用,二是运用函数的奇偶性去掉落函数符号“f ”前的“负号”,三是运用函数单调性去掉落函数符号“f ”.例8 设函数y f x =()界说在R 上,当x >0时,f x ()>1,且对随意率性m n ，,有f m n f m f n ()()()+=⋅,当m n ≠时f m f n ()()≠.（1）证实f ()01=;（2）证实：f x ()在R 上是增函数;（3）设{}A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221,B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10,若A B =∅,求a b c ，，知足的前提.解：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅, ∴=f ()00或f ()01=.若f ()00=,当m ≠0时,有fm fm f ()()()+=⋅00,这与当m n ≠时,f m f n ()()≠抵触, ∴=f ()01. （2）设x x 12<,则x x 210->,由已知得f x x ()211->,因为x 10≥,f x ()11>,若x 10<时,->->x f x 1101，(),由f fx f x ()()()011=⋅- （3）由f x f y f ()()()221⋅<得x y 2211+<()由f a x b y c ()++=1得a x b y c ++=0（2）从（1）.（2）中消去y 得()a b x a c x c b 2222220+++-<,因为AB =∅ ∴=-+-<∆()()()24022222a c ab cb , 即a b c222+< 例9 界说在（-11，）上的函数f x ()知足（1）,对随意率性x y ，，∈-()11都有f x f y f x yx y()()()+=++1, （2）当x ∈-()10，时,有f x ()>0,（1）试断定f x ()的奇偶性;（2）断定f x ()的单调性;（3）求证ff f n nf ()()()()15111131122+++++>….剖析：这是一道以抽象函数为载体,研讨函数的单调性与奇偶性,再以这些性质为基本去研讨数列乞降的分解题.解：（1）对前提中的x y ，,令x y ==0,再令y x =-可得f f f f x f x f f x f x ()()()()()()()()000000+=+-=⎧⎨⎩⇒=-=-⎧⎨⎩,所所以f x ()奇函数. （2）设-<<<1012x x ,则fx fx fx f x f x x x x ()()()()()121212121-=+-=-- x x x x 1212001-<<<，, ∴--<x x x x 121210,由前提（2）知f x xx x ()121210-->,从而有f x f x ()()120->,即f x f x ()()12>,故f x ()()在，-10上单调递减,由奇函数性质可知,f x ()在（0,1）上仍是单调减函数.（3） f n n ()1312++抽象函数问题分类解析我们将没有明白给出解析式的函数称为抽象函数.近年来抽象函数问题一再消失于各类测验题中,因为这类问题抽象性强,灵巧性大,多半同窗觉得迷惑,求解无从下手.本文试图经由过程实例作分类解析,供进修参考. 1. 求界说域这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体,相当于f x ()中的x这一特点,问题就会水到渠成.例 1. 函数y f x =()的界说域为(]-∞，1,则函数y f x =-[l o g ()]222的界说域是___.剖析：因为l o g()22x 2-相当于f x ()中的x,所以l o g()2221x -≤,解得 22<≤x 或-≤<-22x .例 2. 已知f x ()的界说域为(0)，1,则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12的界说域是______.剖析：因为x a +及x a-均相当于f x ()中的x,所以(1)当-≤≤120a 时,则x a a ∈-+()，1 (2)当012<≤a 时,则x a a ∈-()，1 2. 断定奇偶性依据已知前提,经由过程恰当的赋值代换,追求f x ()与f x ()-的关系. 例3. 已知f x ()的界说域为R,且对随意率性实数x,y 知足fx y fx f y ()()()=+,求证：f x ()是偶函数.剖析：在fx y fx f y ()()()=+中,令x y ==1, 得f f f f ()()()()11110=+⇒= 令x y ==-1,得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-= 于是fx f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11 故f x ()是偶函数.例4. 若函数y f xf x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称,求证：函数 y f x =()是偶函数.证实：设y f x =()图象上随意率性一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x=-()的图象关于原点对称, ∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上, 又y f x 00=() 即对于函数界说域上的随意率性x 都有f x f x ()()-=,所所以y f x =()偶函数.3. 断定单调性依据函数的奇偶性.单调性等有关性质,画出函数的示意图,以形助数,问题敏捷获解.例5. 假如奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5,那么f x ()在区间[]--73，上是A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5 剖析：画出知足题意的示意图1,易知选B.图1例6. 已知偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数,问f x ()在()-∞，0上是增函数照样减函数,并证实你的结论.剖析：如图2所示,易知f x ()在()-∞，0上是增函数,证实如下：任取xx x x 121200<<⇒->-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数,所以f x f x ()()-<-12. 又f x ()是偶函数,所以 f x f xf x f x ()()()()-=-=1122，, 从而f x f x ()()12<,故f x ()在()-∞，0上是增函数. 图24. 寻找周期性这类问题较抽象,一般解法是细心剖析题设前提,经由过程相似,联想出函数原型,经由过程对函数原型的剖析或赋值迭代,获得问题的解. 例7. 设函数f x ()的界说域为R,且对随意率性的x,y 有f x y f x y f x f y ()()()()++-=⋅2,并消失正实数c,使f c ()20=.试问f x ()是否为周期函数？若是,求出它的一个周期;若不是,请解释来由.剖析：细心不雅察剖析前提,联想三角公式,就会发明：y x =c o s 知足题设前提,且cos π20=,猜测f x ()是以2c 为周期的周期函数.故f x()是周期函数,2c是它的一个周期.5. 求函数值紧扣已知前提进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出成果,或者在迭代进程中发明函数具有周期性,运用周期性使问题奇妙获解.例8. 已知f x()的界说域为R+,且fxy fx fy()()()+=+对一切正实数x,y都成立,若f()84=,则f(2)=_______.剖析：在前提fxy fx fy()()()+=+中,令x y==4,得f f f f()()()()844244=+==,又令x y==2,得f f f(4)(2)(2)=+=2,例9. 已知f x()是界说在R上的函数,且知足：f x f x f x()[()]()+-=+211,f()11997=,求f(2001)的值.剖析：紧扣已知前提,并多次运用,发明f x()是周期函数,显然f x()≠1,于是f x f x f x()() ()+=+ -211,所以f xf x f x()()()+=-+=81 4故f x()是以8为周期的周期函数,从而6. 比较函数值大小运用函数的奇偶性.对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内,然后运用其单调性使问题获解.例10. 已知函数f x()是界说域为R的偶函数,x<0时,f x()是增函数,若x 1<,x20>,且||||x x12<,则f x f x()()--12，的大小关系是_______.剖析： x x 1200<>，且||||x x 12<, 又x <0时,f x ()是增函数,f x ()是偶函数,故f x f x ()()->-127. 评论辩论方程根的问题例11. 已知函数f x ()对一切实数x 都知足f x f x ()()11+=-,并且f x ()=0有三个实根,则这三个实根之和是_______.剖析：由f x f x ()()11+=-知直线x =1是函数f x ()图象的对称轴. 又f x ()=0有三个实根,由对称性知x 11=必是方程的一个根,其余两根x x 23，关于直线x =1对称,所以x x 23212+=⨯=,故x x x 1233++=. 8. 评论辩论不等式的解求解这类问题运用函数的单调性进行转化,脱去函数符号.例12. 已知函数f x ()是界说在(]-∞，1上的减函数,且对一切实数x,不等式fk x fk x(s i n )(s i n)-≥-22恒成立,求k 的值. 剖析：由单调性,脱去函数记号,得由题意知(1)(2)两式对一切x R ∈恒成立,则有 9. 研讨函数的图象这类问题只要运用函数图象变换的有关结论,就可获解.例13. 若函数y f x =+()2是偶函数,则y f x =()的图象关于直线_______对称.剖析：y f x =()的图象右移个单位左移个单位22y f x =+()2的图象,而y f x =+()2是偶函数,对称轴是x =0,故y f x =()的对称轴是x =2.例14. 若函数f x ()的图象过点（0,1）,则f x ()+4的反函数的图象必过定点______.剖析：f x ()的图象过点（0,1）,从而f x ()+4的图象过点()-41，,由原函数与其反函数图象间的关系易知,f x ()+4的反函数的图象必过定点()14，-. 10. 求解析式例15. 设函数f x ()消失反函数,g x f x h x ()()()=-1，与g x ()的图象关于直线x y +=0对称,则函数h x ()=A. -f x ()B. --f x ()C. --f x 1()D. ---f x 1()剖析：请求y h x =()的解析式,本质上就是求y h x =()图象上任一点Px y ()00，的横.纵坐标之间的关系.点Px y ()00，关于直线y x =-的对称点()--y x 00，合适y f x =-1(),即-=-x g y 00(). 又gx f x ()()=-1,即h x f x ()()=--,选B. 抽象函数的周期问题2001年高考数学（文科）第22题：设f x ()是界说在R 上的偶函数,其图象关于直线x =1对称.对随意率性x x 12012，，∈[]都有f xx f xf x ()()()1212+=⋅. （I ）设f ()12=，求f f ()()1214，; （II ）证实f x ()是周期函数. 解析：（I ）解略.（II ）证实：依题设y f x =()关于直线x =1对称故f x f x x R ()()=-∈2，又由f x ()是偶函数知将上式中-x以x 代换,得这标明f x ()是R 上的周期函数,且2是它的一个周期f x ()是偶函数的本质是f x ()的图象关于直线x =0对称又f x ()的图象关于x =1对称,可得f x ()是周期函数且2是它的一个周期由此进行一般化推广,我们得到思虑一：设f x ()是界说在R 上的偶函数,其图象关于直线x aa =≠()0对称,证实f x ()是周期函数,且2a 是它的一个周期.证实： f x ()关于直线x a=对称又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，将上式中-x以x 代换,得 ∴f x ()是R 上的周期函数且2a 是它的一个周期思虑二：设f x ()是界说在R 上的函数,其图象关于直线x a =和x ba b =≠()对称.证实f x ()是周期函数,且2()b a -是它的一个周期. 证实： f x ()关于直线x a x b ==和对称将上式的-x以x 代换得 ∴f x ()是R 上的周期函数且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”,f x ()照样不是周期函数？经由摸索,我们得到思虑三：设f x ()是界说在R 上的奇函数,其图象关于直线x =1对称.证实f x ()是周期函数,且4是它的一个周期.,证实： f x ()关于x =1对称∴=-∈fx f x xR ()()2，又由f x ()是奇函数知f x f x x R f x f x x R()()()()-=-∈∴-=--∈，，2将上式的-x以x 代换,得 ∴f x ()是R 上的周期函数且4是它的一个周期f x ()是奇函数的本质是f x ()的图象关于原点（0,0）中间对称,又f x ()的图象关于直线x =1对称,可得f x ()是周期函数,且4是它的一个周期.由此进行一般化推广,我们得到思虑四：设f x ()是界说在R 上的函数,其图象关于点M a ()，0中间对称,且其图象关于直线x bb a =≠()对称.证实f x ()是周期函数,且4()b a -是它的一个周期.证实： f x ()关于点M a ()，0对称 ∴-=-∈f a x f x x R ()()2， f x ()关于直线x b =对称∴=-∈∴-=--∈f x f b x x Rf b x f a x x R()()()()222，，将上式中的-x以x 代换,得 f b x f a x x Rf x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R()()[()][()][()][()][()]()2242242242222+=-+∈∴+-=++-=-++-=-+-=+-=∈，，∴f x ()是R 上的周期函数且4()b a -是它的一个周期由上我们发明,界说在R 上的函数f x (),其图象如有两条对称轴或一个对称中间和一条对称轴,则f x ()是R 上的周期函数.进一步我们想到,界说在R 上的函数f x (),其图象假如有两个对称中间,那么f x ()是否为周期函数呢？经由摸索,我们得到思虑五：设f x ()是界说在R 上的函数,其图象关于点M a ()，0和N b a b ()()，0≠对称.证实f x ()是周期函数,且2()b a -是它的一个周期.证实： f x ()关于Ma Nb ()()，，，00对称 ∴-=-∈-=-∈∴-=-∈f a x f x x R f b x f x x R f a x f b x x R()()()()()()2222，，，将上式中的-x 以x 代换,得f a x f b x x Rf x b a f b x a f a x a f x x R()()[()][()][()]()2222222+=+∈∴+-=+-=+-=∈，，∴f x ()是周期函数且2()b a -是它的一个周期抽象函数解法规谈抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其知足的前提的函数,如函数的界说域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高级数学函数部分的一个连接点,因为抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,是以懂得研讨起来比较艰苦.但因为此类试题即能考核函数的概念和性质,又能考核学生的思维才能,所以备受命题者的青睐,那么,如何求解抽象函数问题呢,我们可以运用特别模子法,函数性质法,特别化办法,联想类比转化法,等多种办法从多角度,多层面去剖析研讨抽象函数问题, 一:函数性质法函数的特点是经由过程其性质(如奇偶性,单调性周期性,特别点等)反响出来的,抽象函数也是如斯,只有充分发掘和运用题设前提和隐含的性质,灵巧进行等价转化,抽象函数问题才干转化,化难为易,经常运用的解题办法有:1,运用奇偶性整体思虑;2,运用单调性等价转化;3,运用周期性回归已知4;运用对称性数形联合;5,借助特别点,布列方程等. 二:特别化办法1在求解函数解析式或研讨函数性质时,一般用代换的办法,将x 换成-x 或将x 换成等 2在求函数值时,可用特别值代入3研讨抽象函数的具体模子,器具体模子解选择题,填空题,或由具体模子函数对分解题,的解答供给思绪和办法.总之,抽象函数问题求解,用通例办法一般很难凑效,但我们假如能经由过程对标题标信息剖析与研讨,采取特别的办法和手腕求解,往往会收到事半功倍之功能,真有些山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的快感. 1．已知函数f(x)对随意率性x.y ∈R 都有f(x+y)＝f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1 ①若t 为天然数,(t>0)试求f(t)的表达式②知足f(t)=t 的所有整数t 可否组成等差数列?若能求出此数列,若不克不及解释来由 ③若t 为天然数且t≥4时, f(t) ≥mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m 的最大值. 2．已知函数f(x)=1)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)界说域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)=g(m+n)(m.n ∈R)求证：①f(x)是R 上的增函数②当n ∈N,n≥3时,f(n)>1+n n 解: ①设x1>x2g(x)是R 上的增函数, 且g(x)>0 ∴ g(x1) > g(x2) >0 ∴g(x1)+1 > g(x2)+1 >0∴1)(22+x g >1)(21+x g >0∴1)(22+x g -1)(21+x g >0∴f(x1)- f(x2)=1)(1)(11+-x g x g - 1)(1)(22+-x g x g =1-1)(21+x g -(1-1)(22+x g )=1)(22+x g -1)(21+x g >0∴ f(x1) >f(x2)∴ f(x)是R 上的增函数②g(x) 知足g(m) · g(n)= g(m+n)(m.n ∈R) 且g(x)>0 ∴ g(n)=[ g(1)]n=2n 当n ∈N,n≥3时, 2n>n ∴f(n)=1212+-n n＝1-122+n ,1+n n ＝1-11+n2n ＝（1+1）n ＝1+n+…+i nC +…+n+1>2n+1 ∴ 2n+1>2n+2∴122+n<11+n ,即1-122+n>1-11+n∴当n ∈N,n≥3时,f(n)>1+n n3．设f1(x) f2(x)是(0,+∞)上的函数,且f1(x)单增,设f(x)= f1(x) +f2(x) ,且对于(0,+∞)上的随意率性两相异实数x1, x2 恒有| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|①求证：f (x)在(0,+∞)上单增. ②设F(x)=x f (x), a>0.b>0. 求证：F(a+b)> F(a)+F(b) . ①证实:设 x1>x2>0f1(x) 在(0,+∞)上单增f1(x1)－ f1(x2)>0∴| f1(x1)－ f1(x2)|= f1(x1)－ f1(x2)>0| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|∴f1(x2)- f1(x1)<f2(x1)－ f2(x2)< f1(x1)－ f1(x2) ∴f1(x1)+f2(x1)> f1(x2)+ f2(x2) ∴f(x1)> f(x2)f (x)在(0,+∞)上单增 ②F(x)=x f (x), a>0.b>0a+b>a>0,a+b>b>0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f (x)在(0,+∞)上单增∴F(a+b)>af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)4．函数y ＝f(x)知足 ①f(a+b)＝f (a)·f (b),②f(4)＝16, m.n 为互质整数,n≠0 求f(nm)的值 f(0) =f(0+0)=f(0) ·f(0)=f2(0)∴f(0) =0或1.若f(0)=0则f(4)=16=f(0+4)=f(0) ·f(4)=0.(抵触)∴f(1)=1f(4)=f(2) ·f(2)=f(1) ·f(1) ·f(1) ·f(1)=16f(1)=f2(21)≥0 ∴f(1)=2.仿此可证得f(a)≥0.即y=f(x)长短负函数.f(0)=f(a+(-a))=f(a) ·f(-a)∴f(-a)=)(1a f n ∈N*时f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(n 1+n 1+…+n 1)=fn(n1)=2 ∴f(n 1)= n12∴f(nm )=[f(n1)]m= nm 25．界说在（-1,1）上的函数f (x)知足 ① 随意率性x.y ∈（-1,1）都有f(x)+ f(y)＝f (xyyx ++1),②x ∈（-1,0）时, 有f(x) >01) 剖断f(x)在（-1,1）上的奇偶性,并解释来由 2) 剖断f(x)在（-1,0）上的单调性,并给出证实3) 求证：f (1312++n n )＝f (11+n )－f (21+n )或f (51)+f (111)+…+f (1312++n n )> f (21) (n ∈N*) 解:1)界说在（-1,1）上的函数f (x)知足随意率性x.y ∈（-1,1）都有f(x)+ f(y)＝f (xyyx ++1),则当y=0时, f(x)+ f(0)＝f(x) ∴f(0)=0当-x=y 时, f(x)+ f(-x)＝f(0)∴f(x)是（-1,1）上的奇函数2) 设0>x1>x2>-1f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)=)1(2121x x xx f --0>x1>x2>-1 ,x ∈（-1,0）时,有f(x) >0,1-x1 x2>0, x1-x2>0∴)1(2121x x xx f -->0即f(x)在（-1,0）上单调递增.3)f (1312++n n )=f(12312-++n n ) =f()2)(1(11)2)(1(1++-++n n n n )=f(211112111+•+-+-+n n n n )=f(11+n )-f(21+n ) ∴f (51)+f (111)+…+f (1312++n n ) =f(21)-f(31)+f(31)-f(41)+f(41)+…+f(11+n )-f(21+n )= f(21) -f(21+n )=f(21)+f(-21+n )x ∈（-1,0）时,有f(x) >0∴f(-21+n )>0, f(21)+f(-21+n )>f(21)即f (51)+f (111)+…+f (1312++n n )> f (21)6．设 f (x)是界说在R 上的偶函数,其图像关于直线x=1对称, 对随意率性x1.x2∈[0,12]都有f (x1+ x2)＝f(x1) ·f(x2), 且f(1)=a>0. ①求f (12)及 f (14);②证实f(x)是周期函数③记an=f(2n+12n ), 求lim ∞→n (lnan)解: ①由f (x)= f (x 2 + x2)=[f(x)]2≥0,f(x)a= f(1)=f(2n·12n )=f(12n +12n +…+12n )＝[f (12n )]2解得f (12n)=n a 21∴ f (12)=21a,f (14)=41a . ②f(x)是偶函数,其图像关于直线x=1对称, ∴f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).∴f(x+2)=f[1+(1+x)]= f[1-(1+x)]= f(x)=f(-x). ∴f(x)是以2为周期的周期函数.③an=f(2n+12n )= f (12n)=n a 21∴lim ∞→n (lnan)= lim ∞→n aa 2ln =07．设)(x f y =是界说在R 上的恒不为零的函数,且对随意率性x.y ∈R 都有f(x+y)＝f(x)f(y)①求f(0),②设当x<0时,都有f(x)>f(0)证实当x>0时0<f(x)<1, ③设a1=21,an=f(n)（n ∈N* ）,sn 为数列｛an ｝前n 项和,求lim ∞→n sn.解：①②仿前几例,略. ③an ＝f(n),∴ a1＝f(1)＝21an+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝21an∴数列｛an ｝是首项为21公比为21的等比数列∴sn ＝1-n⎪⎭⎫ ⎝⎛21∴lim ∞→n sn ＝18．设)(x f y =是界说在区间]1,1[-上的函数,且知足前提：（i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对随意率性的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有（Ⅰ）证实：对随意率性的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有（Ⅱ）证实：对随意率性的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）在区间[－1,1]上是否消失知足题设前提的奇函数)(x f y =,且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当若消失,请举一例：若不消失,请解释来由.（Ⅰ）证实：由题设前提可知,当]1,1[-∈x 时,有,1|1|)1()(|)(|x x f x f x f -=-≤-=即.1)(1x x f x -≤≤-（Ⅱ）证法一：对随意率性的 1.|v -u ||f(v)-f(u)|,1||],1,1[,≤≤≤--∈有时当v u v u当0,u ,1|v -u |<⋅>v 时无妨设,0<u 则1,u -0>>v v 且所以,|1||1||)1()(||)1()(||)()(|-++≤-+--≤-v u f v f f u f v f u f.1)(211<--=-++=u v v u 综上可知,对随意率性的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f证法二：由（Ⅰ）可得,当.||11)1()(||)(|,]0,1[x,-1f(x),]1,0[x x f x f x f x x -=+≤--=-∈≤∈时时所以,当.||1)(|,]1,1[x x f x -≤-∈时是以,对随意率性的],1,1[,-∈v u当1||≤-v u 时,.1|||)()(|≤-≤-v u v f u f 当1||>-v u 时,有0<⋅v u 且.2||||||1≤+=-<v u v u所以.1)||(|2||1||1|)(||)(||)()(|≤+-=-+-≤+≤-v u v u v f u f v f u f 综上可知,对随意率性的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f（Ⅲ）答：知足所述前提的函数不消失.来由如下,假设消失函数)(x f 知足前提,则由],1,21[,|,||)()(|∈-=-v u v u v f u f得.21|121||)1()21(|=-=-f f 又,0)1(=f 所以.21|)21(|=f ①。

高中抽象函数练习题

高中抽象函数练习题一、选择题1. 设f(x)是定义在R上的抽象函数，若f(1)=2，f(x+1)=f(x)+1，则f(6)的值为：A. 7B. 8C. 9D. 102. 若抽象函数f(x)满足f(x)=f(2-x)，且f(1)=3，求f(2)的值：A. 1B. 3C. 5D. 无法确定3. 抽象函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)+1，且f(1)=2，求f(3)的值：A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若抽象函数f(x)满足f(2x)=2f(x)，且f(1)=3，求f(8)的值。

5. 设抽象函数f(x)满足f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)，若f(0)=1，求f(1)的值。

三、解答题6. 抽象函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)，且f(1)=2。

求证f(x)>0。

7. 若抽象函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，且f(1)=3，求f(5)的值。

8. 抽象函数f(x)满足f(x)=f(x+a)+f(x-a)，其中a为正常数，若f(1)=2，求f(5)的值。

四、证明题9. 抽象函数f(x)满足f(x)+f(1-x)=1，证明f(x)是周期函数。

10. 若抽象函数f(x)满足f(x)=f(-x)，且f(x)+f(y)=f(x+y)，证明f(x)是奇函数。

五、综合题11. 抽象函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)+2，且f(1)=3。

求f(2)和f(3)的值，并证明f(x)是递增函数。

12. 设抽象函数f(x)满足f(x)=f(x+a)f(x-a)，其中a为正常数，且f(1)=2。

求f(2)和f(3)的值，并讨论f(x)的性质。

六、探索题13. 若抽象函数f(x)满足f(x)f(y)=f(x+y)，且f(0)=1，探索f(x)的表达式。

14. 抽象函数f(x)满足f(x)+f(y)+f(z)=f(x+y+z)，且f(1)=2，探索f(x)的性质。

抽象函数练习题高三复习

抽象函数练习题高三复习抽象函数是高中数学中的一个重要概念，对于高三学生来说，熟练掌握抽象函数的相关知识是非常关键的。

本文将为大家介绍一些抽象函数的练习题，帮助大家巩固复习，提高解题能力。

题目1：已知函数$f(x)=x^2-2x+1$，求$f(x+1)$的解析式。

解析：首先，将$x+1$代入函数$f(x)$的解析式中，即可求得$f(x+1)$的解析式。

将$x+1$代入$f(x)$中的$x$，得到：$f(x+1)=(x+1)^2-2(x+1)+1$展开括号并化简，得到：$f(x+1)=x^2+2x+1-2x-2+1$合并同类项，得到最终的解析式：$f(x+1)=x^2+1$题目2：已知函数$g(x)=3x-2$，求$g(2x+1)$的解析式。

解析：类似地，将$2x+1$代入函数$g(x)$的解析式中，即可求得$g(2x+1)$的解析式。

将$2x+1$代入$g(x)$中的$x$，得到：$g(2x+1)=3(2x+1)-2$展开并化简，得到：$g(2x+1)=6x+3-2$合并同类项，得到最终的解析式：$g(2x+1)=6x+1$通过这两道题的练习，我们可以加深对于抽象函数的理解。

在解题过程中，将给定的表达式代入函数的解析式中，根据运算规则进行化简求解，最终得到新的解析式。

题目3：已知函数$h(x)=\frac{1}{x}$，求$h\left(\frac{1}{x}\right)$的解析式。

解析：将$\frac{1}{x}$代入函数$h(x)$的解析式中，即可求得$h\left(\frac{1}{x}\right)$的解析式。

将$\frac{1}{x}$代入$h(x)$中的$x$，得到：$h\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{\frac{1}{x}}$将分子分母取倒数，得到最终的解析式：$h\left(\frac{1}{x}\right)=x$在这道题中，我们使用了取倒数的运算规则，将原函数中的$x$的倒数代入得到新的解析式。

抽象函数题型全归纳及答案

抽象函数题型全归纳及答案抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域，解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域.例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域.解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域.例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____. 解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域.解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域. 例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集.例题4：函数的定义域是，求的定义域.解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f (x )的定义域.解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f (x )的定义域是［1，4］【巩固2】已知函数的定义域是，求函数的定义域. 解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12定义域是__.解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1 二、解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力.例题5：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解析：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=-2. 凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法.例题6：已知3311()f x x xx +=+，求()f x 解析：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥，∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数.例题7：已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解析：设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例题8：已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解析：∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式.∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例题9： ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-，求()f x ,()g x . 解析：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x , ∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例题10：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x解析：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈【巩固4】设函数f x ()存在反函数，g x fx h x ()()()=-1，与g x ()的图象关于直线x y +=0对称，则函数h x ()=A. -f x ()B. --f x ()C. --fx 1() D. ---fx 1()解析：要求y h x =()的解析式，实质上就是求y h x =()图象上任一点P x y ()00，的横、纵坐标之间的关系. 点P x y ()00，关于直线y x =-的对称点()--y x 00，适合y f x =-1()，即-=-x g y 00().又g x fx ()()=-1，∴-=-⇒-=-⇒=---x fy y f x y f x 0100000()()()，即h x f x ()()=--，选B.【巩固5】设对满足的所有实数x ，函数满足，求f(x)的解析式.解析：在中以代换其中x ，得：再在(1)中以代换x ，得化简得：评析：如果把x 和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键.通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略.三、求值问题这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值.其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化.或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解.例题11：已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f (3)，f (9)的值. 解析：取，得因为，所以又取，得例题12：定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值.解析：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=，又由f x f x ()[()]+=--44()()(8)(4)()f x f x f x f x f x =-=-∴+=-+=，f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000【巩固6】已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______.解析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1【巩固7】已知f x ()是定义在R 上的函数，且满足：f x f x f x ()[()]()+-=+211，f ()11997=，求f (2001)的值.解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f x ()是周期函数，显然f x ()≠1，于是f x f x f x ()()()+=+-211，f x f x f x f x f x f x f x f x ()()()()()()()()+=++-+=++--+-=-412121111111所以f x f x f x ()()()+=-+=814，故f x ()是以8为周期的周期函数，从而f f f (2001)()()=⨯+==8250111997 四、值域问题例题13：设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，总成立，且存在，使得，求函数的值域.解析：令，得，即有或.若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有.由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段.【巩固8】已知函数f x ()对任意实数x y ，有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域.解析：设x x 12<，且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0 ，∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111，∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0 ，得f ()00= ，∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，五、求参数范围或解不等式这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用.例题14：已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围.解析： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，∴f x ()在()-10，上是减函数，由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a .（1）当a =2时，f a f a f ()()()-=-=2402，不等式不成立. （2）当32<<a 时，2222120(2)(4)(4)140224a f a f a f a a a a a -<-<⎧⎪-<-=-⇔-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩（3）当25<<a 时，2(2)(4)f a f a -<-222021(4)041224a f a a a a a <-<⎧⎪=-⇔<-<⇒<<⎨⎪-<-⎩综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，， . 例题15：f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.解析：： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪sin cos sin cos对x R ∈恒成立⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x22231sin sin cos对x R ∈恒成立⇔m x m m x x x 2222311254-≤--≥+=--+⎧⎨⎪⎩⎪sin sin cos (sin ) 对x R ∈恒成立，223115214m m m m ⎧-≤-⎪∴≤≤⎨--≥⎪⎩，【巩固9】已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式f k x f k x (sin )(sin )-≥-22恒成立，求k 的值.解析：由单调性，脱去函数记号，得k x k x k xk x k k x 222222221111412-≤-≤-⎧⎨⎪⎩⎪⇔≤+-+≥-⎧⎨⎪⎩⎪sin sin sin sin ()(sin )(2)由题意知(1)(2)两式对一切x R ∈恒成立，则有k x k k x k 2222111412941≤+=-+≥-=⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⇒=-(sin )(sin )min max【巩固10】已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集.解析：设x x R 12、∈且x x 12<，则x x 210->，∴->f x x ()212，即f x x ()2120-->2211211121()[()]()()2()()()f x f x x x f x x f x f x f x f x ∴=-+=-+->∴>，故f x ()为增函数，又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=，22(1)3(22)3(1)22113f f a a f a a a ∴=∴--<=--<∴-<<，，，即因此不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13.六、单调性问题例题16：设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x 、y ，有，求证：在R 上为增函数.证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有当时，；当时，而，所以又当时，，所以对任意，恒有设，则∴，∴在R 上为增函数例题17：已知偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函是减函数，并证明你的结论.证明：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取x x x x 121200<<⇒->->因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12. 又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数.【巩固11】如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5解析：画出满足题意的示意图1，易知选B.七、奇偶性问题例题18：已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性. 解析：取得：，所以又取得：，所以再取则，即因为为非零函数，所以为偶函数. 【巩固12】若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，求证：函数y f x =()是偶函数.证明：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，0000()()y f x y f x ∴-=--∴=-，又y f x 00=()，∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数.八、周期性问题几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,1. ，则是以为周期的周期函数；2. ，则是以为周期的周期函数；()y f x =x a ()()f x f x a =+()y f x =T a =()()f x a f x +=-()x f 2T a =3. ，则是以为周期的周期函数；4. ，则是以为周期的周期函数；5. ，则是以为周期的周期函数.6. ，则是以为周期的周期函数.7. ，则是以为周期的周期函数.8. 函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.9.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；10.函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；11.函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；例题19：设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期.解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出f x T f x ()()+=（T 为非零常数）则f x ()为周期函数，且周期为T.证明： f x f x f x ()()()()=+-+121∴+=+-+f x f x f x ()()()()1232()()12+得f x f x ()()()=-+33()()1f x a f x +=±()x f 2T a =()()f x a f x a +=-()x f 2T a =1()()1()f x f x a f x -+=+()x f 2T a =1()()1()f x f x a f x -+=-+()x f 4T a =1()()1()f x f x a f x ++=-()x f 4T a =()y f x =()()f a x f a x +=-0a >()f x 4T a =()f x 2T a =()y f x =()x R ∈x a =x b =()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y ()0,B b y ()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y x b =()a b <()f x ()4b a -由（3）得f x f x ()()()+=-+364由（3）和（4）得f x f x ()()=+6.上式对任意x R ∈都成立，因此f x ()是周期函数，且周期为6.例题20：设函数f x ()的定义域为R ，且对任意的x ，y 有f x y f x y f x f y ()()()()++-=⋅2，并存在正实数c ，使f c ()20=.试问f x ()是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由.解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y x =cos 满足题设条件，且cosπ20=，猜测f x ()是以2c 为周期的周期函数. f x c c f x c c f x c f c f x c f x f x c f x c f x [()][()]()()()()()()()++++-=+=∴+=-∴+=-+=222222202故f x ()是周期函数，2c 是它的一个周期.【巩固13】设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称.对任意x x 12012，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅.证明f (x )是周期函数. 证明：依题设y f x =()关于直线x =1对称,故f x f x x R ()()=-∈2，又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，∴-=-∈f x f x x R ()()2，,将上式中-x 以x 代换，得f x f x x R ()()=+∈2，这表明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期f x ()是偶函数的实质是f x ()的图象关于直线x =0对称又f x ()的图象关于x =1对称，可得f x ()是周期函数,且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x a a =≠()0对称，证明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期.证明： f x ()关于直线x a =对称.∴=-∈f x f a x x R ()()2，又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，,∴-=-∈f x f a x x R ()()2，将上式中-x 以x 代换，得f x f a x x R ()()=+∈2，∴f x ()是R 上的周期函数,且2a 是它的一个周期思考二：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和x b a b =≠()对称.证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期.证明： f x ()关于直线x a x b ==和对称()(2)()(2)(2)(2)f x f a x x R f x f b x x R f a x f b x x R ∴=-∈=-∈∴-=-∈，，，，，将上式的-x 以x 代换得f a x f b x x R ()()22+=+∈，∴+-=-+=-+=∈f x b a f x a b f x a a f x x R [()][()][()]()22222，∴f x ()是R 上的周期函数,且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f x ()还是不是周期函数？我们得到思考三：设f x ()是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x =1对称.证明f x ()是周期函数，且4是它的一个周期.，证明： f x ()关于x =1对称,∴=-∈f x f x x R ()()2，又由f x ()是奇函数知()()(2)()f x f x x R f x f x x R -=-∈∴-=--∈，，，将上式的-x 以x 代换，得(2)()f x f x x R +=-∈，(4)[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x f x x R ∴+=++=-+=--=∈，∴f x ()是R 上的周期函数,且4是它的一个周期f x ()是奇函数的实质是f x ()的图象关于原点（0，0）中心对称，又f x ()的图象关于直线x =1对称，可得f x ()是周期函数，且4是它的一个周期.由此进行一般化推广，我们得到思考四：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0中心对称，且其图象关于直线x b b a =≠()对称.证明f x ()是周期函数，且4()b a -是它的一个周期.证明： f x ()关于点M a ()，0对称，∴-=-∈f a x f x x R ()()2，f x ()关于直线x b =对称，()(2)(2)(2)f x f b x x R f b x f a x x R ∴=-∈∴-=--∈，，，将上式中的-x 以x 代换，得(2)(2)[4()][2(24)][2(24)][2(2)][2(2)]()f b x f a x x Rf x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R+=-+∈∴+-=++-=-++-=-+-=+-=∈，，∴f x ()是R 上的周期函数，且4()b a -是它的一个周期由上我们发现，定义在R 上的函数f x ()，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则f x ()是R 上的周期函数.进一步我们想到，定义在R 上的函数f x ()，其图象如果有两个对称中心，那么f x ()是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0和N b a b ()()，0≠对称.证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期.证明： f x ()关于M a N b ()()，，，00对称(2)()(2)()(2)(2)f a x f x x R f b x f x x R f a x f b x x R∴-=-∈-=-∈∴-=-∈，，，，将上式中的-x 以x 代换，得(2)(2)[2()][2(2)][2(2)]()f a x f b x x R f x b a f b x a f a x a f x x R+=+∈∴+-=+-=+-=∈，， ∴f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期九、对称性问题（1）对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心.2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;⑨正弦型函数既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异.⒁绝对值函数：这里主要说的是和两类.前者显然是偶函数，它会关于轴对称;后者是把轴下方的图像对称到轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如就没有对称性，而却仍然是轴对称. ⒂形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线 (由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点.（2）抽像函数的对称性1、函数图像本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称①的图像关于直线对称② 的图像关于直线对称. 特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.sin()y A x ωϕ=+(||)y f x =|()|y f x =y x x |ln |y x =|sin |y x =(0,)ax b y c ad bc cx d+=≠≠+d x c =-a y c =x (,)d a c c-)(x f y =)(x f y =a x =⇔)()(x a f x a f -=+⇔)2()(x a f x f -=⇔)2()(x a f x f +=-)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =22)()(b a x b x a x +=-++=)(x f y =y ()()f x f x =-（2）中心对称①的图像关于点对称.② 的图像关于点对称. 特别地，函数的图像关于原点对称的充要条件是.（3）对称性与周期性之间的联系①若函数既关于直线对称，又关于直线对称，则函数关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为；且函数为周期函数，周期；特别地：若是偶函数，图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数；②若函数既关于点对称，又关于点对称，则函数关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为；且函数为周期函数，周期； ③若函数既关于直线对称，又关于点对称，则函数关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为，相邻对称轴或中心的距离为；且函数为周期函数，周期.特别地：若是奇函数，图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数.2、两个函数图像的对称性（互对称问题）（1）函数与图像关于直线对称.（2）函数与图像关于直线对称)(x f y =),(b a ⇔b x a f x a f 2)()(=-++⇔b x a f x f 2)2()(=-+⇔b x a f x f 2)2()(=++-c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =),2(c b a +)(x f y =(0,0)()()0f x f x +-=()f x x a =x b =()a b ≠()f x b a -()f x 2T b a =-)(x f y =x a =()f x 2a ()f x (,0)a (,0)b ()a b ≠()f x b a -()f x 2T b a =-()f x x a =(,0)b ()a b ≠()f x b a -2b a -()f x 4T b a =-)(x f y =x a =()f x a 4)(x a f y +=)(x a f y -=0=x )(x f y =)2(x a f y -=a x =（3）函数与图像关于直线对称（4）函数与图像关于直线对称即直线对称（5）函数与图像关于轴对称. （6）函数与图像关于轴对称.（7）函数与图像关于直线成轴对称.（8）函数与图像关于直线成轴对称.（9）函数与的图像关于直线对称.（10）函数与的图像关于直线对称.（11）函数有反函数，则和的图像关于直线对称.（12）函数与的图像关于点成中心对称.特别地，函数与图像关于原点对称.例题21：函数满足，求值. 解析：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称.根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称.所以将上式中的x 用代换，得评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数对一切实数x 都满足，则函数的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形.十、综合问题1) 比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解.)(x f y -=)2(x a f y +=a x -=)(x a f y +=)(x b f y -=0)()(=--+x b x a 2a b x -=)(x f y =)(x f y -=x )(x f y =)(x f y -=y )(x f y =()a x f a y -=-x y a +=)(x f y =()x a f y a -=+x y a -=()y f x =()1y f x -=y x =()y f x =()1y f x -=--y x =-()y f x =()y f a x =+()1y f a x -=+y x a =+)(x f y =)2(2x a f b y --=),(b a )(x f y =)(x f y --=例题22：已知函数f x ()是定义域为R 的偶函数，x <0时，f x ()是增函数，若x 10<，x 20>，且||||x x 12<，则f x f x ()()--12，的大小关系是_______.解析： x x 1200<>，且||||x x 12<，∴<-<⇒-<<001221x x x x又x <0时，f x ()是增函数，∴-<f x f x ()()21f x ()是偶函数，∴-=f x f x ()()11，故f x f x ()()->-122) 讨论方程根的问题例题23：已知函数f x ()对一切实数x 都满足f x f x ()()11+=-，并且f x ()=0有三个实根，则这三个实根之和是_______.分析：由f x f x ()()11+=-知直线x =1是函数f x ()图象的对称轴.又f x ()=0有三个实根，由对称性知x 11=必是方程的一个根，其余两根x x 23，关于直线x =1对称，所以x x 23212+=⨯=，故x x x 1233++=.3) 研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解.例题24：若函数y f x =+()2是偶函数，则y f x =()的图象关于直线_______对称解析：y f x =()的图象右移个单位左移个单位22y f x =+()2的图象，而y f x =+()2是偶函数，对称轴是x =0，故y f x =()的对称轴是x =2.例题25：若函数f x ()的图象过点（0，1），则f x ()+4的反函数图象必过定点__ 解析：f x ()的图象过点（0，1），从而f x ()+4的图象过点()-41，，由原函数与其反函数图象间的关系易知，f x ()+4的反函数的图象必过定点()14，-.【巩固14】定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m ，n ，总有，且当x >0时，0<f (x )<1.（1）判断f (x )的单调性；（2）设，，若，试确定a 的取值范围. 解析：（1）在中，令，得，因为，所以.在中，令因为当时，，所以当时而，所以又当x =0时，，所以，综上可知，对于任意，均有. 设，则所以，∴在R 上为减函数.（2）由于函数y =f (x )在R 上为减函数，所以即有，又，由单调性，有由，所以直线与圆面无公共点. 因此有，解得. 【巩固15】设函数y f x =()定义在R 上，当x >0时，f x ()>1，且对任意m n ，，有f m n f m f n ()()()+=⋅，当m n ≠时f m f n ()()≠.（1）证明f ()01=；（2）证明：f x ()在R 上是增函数；（3）设{}A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221，B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10，若A B =∅，求a b c ，，满足的条件.解析：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅，∴=f ()00或f ()01=.若f ()00=，当m ≠0时，有f m f m f ()()()+=⋅00，与当m n ≠时，f m f n ()()≠矛盾，∴=f ()01.（2）设x x 12<，则x x 210->，由已知得f x x ()211->，因为x 10≥，f x ()11>，若x 10<时，->->x f x 1101，()，由f f x f x ()()()011=⋅-12211111()0()()()()()()f x f x f x x f x f x f x R f x ∴=>=-⋅>∴-，，在上为增函数。

数学练习题抽象函数(含答案)

高考一轮专练——抽象函数1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),试判断f (x )的奇偶性。

2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围3. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

4. 设函数()f x 对任意121,[0,]2x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=⋅,()2f x =已知(1)2f =，求1()2f ,1()4f 的值.5. 已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足：f （x+2）[1－f （x ）]=1+f （x ），f （1）=1997，求f （2001）的值。

6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0.（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数.7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有ba b f a f ++)()(＞0（1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）若f （k )293()3--+⋅xx x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。

9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示.11．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足: ()()()f a b af b bf a •=+. （1）求(0),(1)f f 的值;（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论;（3）若(2)2f =,*(2)()n n f u n N n-=∈，求数列{n u }的前n 项和n s .12．已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. （1）若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式.13．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++，且1()02f =，当12x >时, ()f x >0. （1）求(1)f ;（2）求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; （3）判断函数()f x 的单调性，并证明.14．函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意x R ∈,有()f x >0；②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =；③1()13f >.（1）求(0)f 的值;（2）求证: ()f x 在R 上是单调减函数;（3）若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()2()f a f c f b +>.15．已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=•,且当0x >时,0()1f x <<.（1）证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1;（2）证明: ()f x 在R 上单调递减; （3）设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f •>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若A B =Φ,试确定a 的取值范围.16．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,设F ()()()x f x f a x =--. （1）用函数单调性的定义证明:()F x 是R 上的增函数; （2）证明:函数y =()F x 的图象关于点(,0)2a成中心对称图形.17．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称. （1）求(0)f 的值；（2）证明：函数()f x 是周期函数;（3）若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象。

高一数学抽象函数的习题

高一数学抽象函数的习题1, 已知f(x)是定义在（0，+∞)上的增函数，且)()()(y f x f y x f -=(1)求f(1)的值(2)若f(6)=1，解不等式f(x+3)-f(x 1)＜2 解答：由定义域知x ＞0)()()(y f x f y xf -=, 令y=1得f(x)=f(x)-f(1),又f(x)在（0,+∞）上的增函数，则f(1)=0又f(x 1)=f(1)-f(x)=-f(x) 原不等式f(x+3)-f(x 1)<2可化为 f(x+3)+f(x)<2再化为f(x+3)-1<1-f(x) 即f(x+3)-f(6)<f(6)-f(x)即f(63+x ）＜f （x6）则0＜63+x ＜x 6 解得0＜x ＜23173-2, 已知f(x)在定义域0到正无穷上为增函数，且f(xy)=f(x)+f(y) ,f(2)=1 解不等式f(x)-f(x-3)大于3解：f(x)－f(x －3)＞3 因为f(2)=1所以，f(x)－f(x －3)＞3f(2)因为f(xy)＝f(x)+f(y).所以3f(2)=f(2)+f(4)=f(8)所以，f(x)>f(x －3)+f(8)＝f(8(x-3)) 又因f(x)在零到正无穷上递增，所以，x ＞8(x-3)且x-3>0，得3<x<24/73, 已知函数f （x+y ）=f （x ）+f （y ）+2y （x+1），且f （1）=1 若x 为正整数，试求f （x ）的表达式解答：把f(x)看成数列的第x 项因f(x+1)=f(x)+f(1)+2(x+1)所以f(x+1)-f(x)=2x+3然后用叠加法可得f(x)=f(x)-f(x-1)+f(x-1)-f(x-2)+...+f(2)-f(1)+f(1)=2[(x-1)+(x-2)+...+1]+3(x-1)+1=x(x-1)+3(x-1)+1=2x +2x-2 4已知f(x)为定义在实数集上不恒为零的偶函数，且对任意实数都有xf(x+1)=(1+x)f(x)，求f[f(25)] 解答：先求 f(25) 和 f （0）。

必修一数学抽象函数习题精选含答案

抽象函数单调性和奇偶性1.抽象函数的图像判断单调性例1.如果奇函数f(x)在区间［3, 7］上是增函数且有最小值为5,那么f (x)在区间［7，3］上是()A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为 5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选Bo2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(2) 0，并且f (x)在(，0)上为增函数。

若(a 1)f(a) 0 ,则实数a的取值范围二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3.已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(x) 1g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m)g(n) g(m n)(m,n R)求证：f(x)是R上的增函数.解:设X1>X2因为，g(x)是R上的增函数,且g(x)>0。

故g(x 1) > g(x 2) >0 o g(X1)+1 > g(x 2)+1 >0 ,2 22> 2>0g(X2)1 g(xj 1g(x2) 1 g(xj 1>0 o增函数。

2.证明奇偶性例5.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y 满足f(xy) f(x) 求证：f(x)是偶函数。

分析：在 f(xy) f (x) f(y)中，令 x y 1，得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0 令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0于是 f( x) f( 1 x) f( 1) f (x) f (x)，故 f (x)是偶函数。

三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

f(x 1)- f(x 2)=皿Jg(xj 1gg) 1 g%) 122=1——2——(1-2)g(xj 1 gg) 1>0 g(xj 1可以推出: f(x 1)>f(x 2)，所以 f(x)是 R 上的上为减函数。

抽象函数精选例题

1第04讲抽象函数一、知识纵横1.抽象函数是指一些没有给出明确解析式的函数，通常用函数性质或函数方程来描述．2.定义域：多为抽象函数()f x 和复合函数定义域互求．3.求值：由函数方程给出的抽象函数通常用赋特殊值法求值．4.单调性抽象函数通常需要用定义法来判断单调性，在比较()1f x 和()2f x 大小时常用作差或作商法．*单调性：设函数的定义域为D ，区间I D ⊆；任取12x x I <∈，（1）若恒满足()()12f x f x <，则称()f x 在I 上是增函数；（2）若恒满足()()12f x f x >，则称()f x 在I 上是减函数．5.奇偶性（1）如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；（2）如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数．6.对称性中心对称：（1）若()()f x a f x a +=---，则()f x 函数图象关于()0,0对称，()f x 为奇函数；（2）若()()f x a f x a +=--+，则()f x 函数图象关于(),0a 对称，()f x a +为奇函数；轴对称：（1）若()()f x a f x a +=--，则()f x 函数图象关于0x =轴对称，()f x 为偶函数；（2）若()()f x a f x a +=-+，则()f x 函数图象关于x a =轴对称，则有()f x a +为偶函数；7.周期性：对于任意的x D ∈有()()f x T f x +=，则T 为函数()f x 的周期．特别提醒4：抽象函数的要点是函数方程的形式，同号看周期，异号看对称．二、题型突破【题型1抽象函数定义域问题】例1.（1）若()f x 的定义域为[],m n ，且0mn <，0m n +>，则函数()()()g x f x f x =+-的定义域为（）A ．[],n m -B ．[],n n -C ．[],m m -D ．[],m n -（2）已知函数()2y f x =-的定义域为(]2,4，则函数()y f x =的定义域为________；（3）若函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数()21f x x-的定义域为__________．答案：（1）由题可得0m <、0n >且m n -<，从而()g x 的定义域为[],m m -；（2）由题()f x 的定义域为[)2,0-；（3）由题()21f x -的定义域为[]0,1，从而()21f x x -的定义域为(]0,1．2【题型2抽象函数求值问题】例2.（1）设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，()112f =，且满足对任意的实数x ∈R ，有()()()22f x f x f +=+，则()5f =_________；（2）函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则1138f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________；（3）函数()f x 满足：()114f =，()()()()4f x f y f x y f x y =++-，则()2010f =_________；（4）函数()f x 是定义在R 的函数，若对于任意x 恒有()()33f x f x +≤+和()()22f x f x +≥+，且()11f =，则()2005f =_________．答案：（1）()()()()()532221f f f f f =+=+，且()()()112f f f =-+，从而()21f =，代入可得()552f =．（2）由①③可得()11f =，令12x =可知1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由②可得当1x =时有1132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当12x =有1164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当13x =时1194f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由函数非减可得1184f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而113384f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）令0x y ==，有()00f =或12，若()00f =，令0y =，则()f x 恒为0，与题目矛盾，从而()102f =，令1y =得()()()11f x f x f x =-++，将x 代为1x +可得()()()12f x f x f x +=++，两式叠加可得()()120f x f x -++=，将x 代为3x +可得()()250f x f x +++=，两式相减可得()()15f x f x -=+，从而可知()()1201002f f ==．（4）由()()33f x f x +≤+可知()()66f x f x +≤+，由()()22f x f x +≥+可知()()66f x f x +≥+，从而()()66f x f x +=+，()()200511f f ==．【题型3抽象函数求解析式】例3.（1）()f x 定义域为R ，若()01f =，且对,x y ∈R 恒有()()()21f x y f x y x y -=--+，则()f x =__________________；（2）()f x 定义域为R ，若()01f =，且对,x y ∈R 恒有()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =__________________．答案：（1）令0x =，可得()()11f y y y -=--+，从而()()2111f x x x x x =++=++；（2）令1y =，0x =，可得()12f =，令0y =，可得()()111f x x f x =+-=+．【题型4抽象函数单调性问题】3例4.（1）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意a 、b ，当0a b +≠，都有()()0f a f b a b +>+；若a b >，试比较()f a 和()f b 的大小．（2）奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则()()110x f x -+>的解集为________．答案：（1）将b 代为b -可得()()0f a f b a b ->-，从而函数为奇函数，有()()f a f b >；（2）当10x ->时，()10f x +>可以解得()(),31,1x ∈-∞-- ，此时无解；当10x -<时，()10f x +<可以解得()()3,11,x ∈--+∞ ，此时()3,1x ∈--．【题型5抽象函数奇偶性问题】例5.（1）()f x 的定义域为{}|11D x x =-<<，对于任意的,x y D ∈，均有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，证明：()f x 为奇函数；（2）()f x 的定义域为R ，对于任意的,x y ∈R ，均有()()()()11f x y f x y f x f y ++=-+-，()12f =，判断()f x 的奇偶性．答案：（1）令0x y ==，可得()00f =，令y x =-，可得()()0f x f x +-=，从而为奇函数；（2）令1x y ==，可得()32f =-，令1x =，1y =-，可得()()()()1311f f f f =--，从而()12f -=-，令1x =-，可得()()f y f y -=-，从而()f x 为奇函数．【题型6抽象函数综合性问题】例6.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：（1）对任意,a b ∈R 有()()()f a b f a f b +=+；当0a >时()0f a >；()21f =．求:（1）证明：()f x 是奇函数；（2）证明：()f x 在R 上单调递增；（3）若()()232f x f x +-<，求x 的取值范围．答案：以下四个题皆为函数方程入门问题，注意函数的特殊值和函数的性质．（1）可以解得()00f =，令b a =-可得函数为奇；（2）易证；（3）()42f =，从而()()234f x x f -<，由单调性可得234x x -<，解得()1,4x ∈-．例7.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：对任意,a b ∈R 有()()()f a b f a f b +=⋅，当0a >时，()1f a >，求：（1）求证：()01f =（2）判断()f x 的单调性，并证明；4（3）若()()221f x f x x ->，求x 的取值范围．答案：（1）令0a b ==可得()01f =或0，若()00f =，令0b =有()0f a =，与题目不符，从而()01f =；（2）易证函数为增函数；（3）由题可得()()230f x x f ->，从而230x x ->，解得()0,3x ∈．例8.设()f x 的定义域为{}0D x x =≠，满足以下条件：对任意a ，b D ∈有()()()f a b f a f b ⋅=+，当1x >时，()0f x >；（3）()21f =；求：（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在定义域上的单调性，并证明；（3）解不等式：()()23f x f x -->．答案：（1）由题可知()()110f f =-=，从而令1a =-，函数为偶函数；（2）易证函数在()0,+∞单调递增，在(),0-∞上单调递减；（3）可得()83f =，从而不等式可化为()()816f x f x >-，解得1616,22,97x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例9.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：对任意a 、b ∈R 都有()()()f ab f a f b =；当01x ≤<时，()01f x ≤<．③()11f -=，()279f =，求：（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并证明；（3）若0a ≥且()1f a +≤，求a 的取值范围．答案：（1）令1a =-可得函数为偶；（2）易证函数在()0,+∞上为增；（3）由题可得()2333f =，从而13a +≤解得[]0,2a ∈．【题型7对称性与周期性综合】例10.（1）函数()f x 的定义域为R ，若()()213f x f x ⋅+=，且()12f =，则()99f =___________；（2）函数()201138f x x ax bx =++-，且()210f -=，则()2f =______________；（3）函数()1f x +是R 上的偶函数，当01x ≤≤时，()1f x x =+，则()1.4f =___________；（4）函数()1f x +是奇函数，()1f x -是偶函数，且()02f =，则()4f =_______；答案：（1）将x 代为2x +，可得()()2413f x f x ++=，从而()()4f x f x =+，则()()139932f f ==；5（2）由题()8f x +为奇函数，从而()()()2828f f +=--+，解得()226f =-；（3）由题可得()()11f x f x +=-+，令0.4x =可得()()1.40.6 1.6f f ==；（4）由()1f x +为奇函数可得()()11f x f x +=--+，由()1f x -为偶函数可得()()11f x f x -=--，将x 代为2x +可得()()13f x f x +=--，从而有()()31f x f x --=-+，从而函数的周期为4，()()402f f ==．三、直通高考例11.（2016上海）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A ．和均为真命题B ．和均为假命题C ．为真命题，为假命题D ．为假命题，为真命题答案：D ．若()0.1f x x =-，()g x x =，则相加为增函数，用类似的方法可以将f ，g ，h 分为三段，每个函数在其中一段上单调递减，从而①为假命题；由题中三个函数相加可得()2f g h ++为周期为T 的函数，从而f g h ++周期为T ，令f g +周期为T ，从而f g --周期为T ，与f g h ++相加可得h 的周期为T ，同理可得②为真．。

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抽象函数单调性和奇偶性 1. 抽象函数的图像判断单调性例 1．如果奇函数 f (x) 在区间[3，7] 上是增函数且有最小值为 5，那
么 f (x) 在区间[7， 3]上是( )
A. 增函数且最小值为5 B. 增函数且最大值为5
y
C. 减函数且最小值为5 D. 减函数且最大值为5 分析：画出满足题意的示意图，易知选 B。 2、抽象函数的图像求不等式的解集
又 f (3) f (2 1) f (2) f (1) 2 3 f (1) 4 5
f (1) 3 f (a2 2a 2) 3 f (1)，即a2 2a 2 11 a 3
因此不等式 f (a 2 2a 2) 3 的解集为a|1 a 3。
五、综合问题求解解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利
5 O
-7 -3 3 -5
例 2、已知定义在R 上的偶函数f (x) 满足f (2) 0 ，并且
f (x) 在 (,0) 上为增函数。若 (a 1) f (a) 0 ，则实数a 的取值范围
二、抽象函数的单调性和奇偶性 1.证明单调性
例 3．已知函数 f(x)= g( x) 1 ,且 f(x),g(x)定义域都是 R,且 g(x)>
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不
等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例 6．已知 f (x) 是定义在（1，1 ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足 f (a 2) f (4 a 2 ) 0，试确定a 的取值范围。
，
综上所述，所求a 的取值范围是( 3，2) (2， 5)
四、不等式
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“ f ”，转化为代数不等式求解。
例 7．已知函数 f ( x) 对任意x，y R 有 f ( x) f ( y) 2 f ( x y) ，当
g( x2 ) 1 g( x1) 1
的增函数。例 4．已知 f ( x) 对一切x，y ，满足 f (0) 0，f ( x y) f ( x) f ( y) ，且当 x 0 时， f ( x) 1，求证：（1） x 0 时， 0 f ( x) 1；（2） f ( x) 在 R 上为减函数。
分析：在 f (xy) f (x) f ( y) 中，令x y 1 ，得
f (1) f (1) f (1) f (1) 0
令x y 1，得 f (1) f (1) f (1) f (1) 0 于是 f (x) f (1 x) f (1) f (x) f (x) ，故 f (x) 是偶函数。三、求参数范围
x
，2
Hale Waihona Puke 则0 f (x2 x1 ) 1， f (x2 ) f [(x2 x1 ) x1 ] f (x2 x1 ) f (x1 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ，即 f ( x) 为减函数。 2.证明奇偶性
例 5．已知 f (x) 的定义域为 R，且对任意实数 x，y 满足 f (xy) f (x) f ( y) ，求证： f (x) 是偶函数。
g( x) 1
0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m)g(n) g(m n)(m, n R) .
求证： f(x)是 R 上的增函数. 解:设 x1>x2 因为，g(x)是 R 上的增函数, 且 g(x)>0。
故 g(x1) > g(x2) >0。 g(x1)+1 > g(x2)+1 >0，
1 a 2 0 f (a 2 4) 1 a 2 4 0
a 2 a 2 4 解之得，3 a 2
（3）当2 a 5 时， f (a 2) f (4 a 2 )
0 a 2 1
f (a 2 4) 0 a 2 4 1 a 2 a2 4
解之得，2 a 5
解： f (x) 是偶函数，且在（0，1）上是增函数，
f ( x) 在
(1，0) 上是减函数，由1 a 2 1 得
3 a 5。
21 4
（1）当 a 2 时， f (a 2) f (4 a2 ) f (0) ，不等式不成立。
（2）当 3 a 2 时，
f (a 2) f (4 a 2 )
证明：对一切x，y R 有 f (x y) f ( x) f ( y) 。且 f (0) 0 ，令
x y 0 ，得 f (0) 1，
现设x 0，则 x 0 ， f ( x) 1，而
f (0) f ( x) f ( x) 1
f ( x)
1 f (x)
1
0
f
( x)
1，设x1，x2 R 且 x1
x 0 时， f ( x) 2 ， f (3) 5，求不等式 f (a 2 2a 2) 3 的解集。
解：设x1 、x2 R 且 x1 x2 ，则x2 x1 0 ， f ( x2 x1 ) 2 ，则
f (x2 x1 ) 2 0 ， f (x2 ) f [(x2 x1 ) x1 ] f (x2 x1) f (x1) 2 f(x1 ) f (x2 ) f (x1 ) ，故 f ( x) 为增函数，
2 > 2 >0
g( x2 ) 1 g( x1 ) 1
2 - 2 >0。
g( x2 ) 1 g( x1) 1
f(x1)- f(x2)= g( x1) 1 -
g( x1 ) 1
g( x2 ) 1 =1-
g( x2 ) 1
2 g( x1) 1
-(1-
g(
2)
x2 ) 1
7x
.
= 2 - 2 >0。可以推出：f(x1) >f(x2)，所以 f(x)是 R 上
用函数的奇偶性去掉函数符号“ f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“ f ”。例 8.设函数 y f ( x) 定义在 R 上，当x 0 时， f ( x) 1，且对任意 m，n ，有 f (m n) f (m) f (n) ，当m n 时 f (m) f (n) 。（1）证明 f (0) 1；（2）证明： f ( x) 在 R 上是增函数；（3）设