优化方案高中数学模块综合检测新人教A版必修4

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2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4习题：模块综合检测 Word版含答案

模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C .a －b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，(a －b )·b ＝0，所以a －b 与b 垂直．故选C .2．已知sin(π＋α)＝13，则cos 2α＝( )A ．79B ．89C ．－79D ．429解析：选A .由于sin(π＋α)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－132 ＝79.3．下列函数中同时满足最值是12，最小正周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A .由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A .4．已知平面对量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ．由于a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，所以1×m －2×(－2)＝0，所以m ＝－4.所以2a ＋3b ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．5．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A .22B ．32C . 2D ．2解析：选C .由于A ＋B ＋C ＝180°，所以原式＝3sin A －cos(180°－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋30°) ＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝2.6．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．90°解析：选C .设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a·b ＝0⇒a·b ＝－1⇒cos θ＝a·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ＝120°.故选C .7．已知α，β为锐角，且tan α＝17，sin β＝35，则α＋β等于( )A ．3π4B ．2π3C ．π4D ．π3解析：选C .由于β为锐角，sin β＝35，所以cos β＝1－sin 2β＝45，所以tan β＝sin βcos β＝34，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝17＋341－17×34＝1.由于α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.8．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A .π12B ．π6C .π3D .5π6解析：选B ．y ＝f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m (m ＞0)个单位长度后得f (x ＋m )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3，由于图象关于y 轴对称，令x ＝0，得⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫m ＋π3＝2，从而m ＋π3＝2k π±π2，故m ＝2k π＋π6或m ＝2k π－5π6，k ∈Z .又m ＞0，所以m min ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C .由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而f (x )＝2sinπ4x . 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋22.10．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( ) A ．φ B ．π2－φC .π2＋φ D .3π2－φ 解析：选D .|a |＝（2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2，|b |＝1，a·b ＝－2sin φ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a |·|b |＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，且3π2－φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以θ＝3π2－φ.故选D .11．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A .152B ．152C ．7D ．18解析：选A .由于AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )，所以|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2＝1236×()222－12×22×3×cos π4＋32＝152.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A .由于函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，所以θ＝π2，所以y ＝2cos ωx ，排解C ，D ；y ＝2cos ωx ∈[－2，2]，结合题意可知T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，排解B ，故选A .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－32，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－⎝⎛⎭⎫－322＝125. 答案：12514．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：由于∠ABO ＝90°，所以AB →⊥OB →，所以OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2，2)－(－1，t )＝(3，2－t )，所以(2，2)·(3，2－t )＝6＋2(2－t )＝0. 所以t ＝5. 答案：515．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________．解析：f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由于π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2，所以1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1. 答案：116(2021·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出全部正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →. 解析：由于 AB →2＝4|a |2＝4，所以|a |＝1，故①正确；由于 BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，所以|BC →|＝|b |＝2，故②错误；由于 b ＝AC →－AB →，所以a ·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；由于 BC →＝b ，故④正确；由于 (AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确．答案：①④⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点． (1)求OA →·OB →；(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标．解：(1)OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5. (2)设P (m ，n )，由于P 在AB 上，所以BA →与P A →共线．BA →＝(4，2)，P A →＝(1－m ，－2－n )，所以4·(－2－n )－2(1－m )＝0. 即2n －m ＋5＝0.①又由于OP →⊥AB →，所以(m ，n )·(－4，－2)＝0. 所以2m ＋n ＝0.②由①②解得m ＝1，n ＝－2，所以OP →＝(1，－2)．18．(本小题满分12分)已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．解：(1)cos β＝55，β∈(0，π)，得sin β＝255，即tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.(2)由于tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝110，cos α＝－310. 所以f (x )＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x ＝－5sin x .所以f (x )的最大值为5.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)争辩f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 由于f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 20．(本小题满分12分)(2021·高考湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上全部点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)依据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)，知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由于y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. 21．(本小题满分12分)将射线y ＝17x (x ≥0)围着原点逆时针旋转π4后所得的射线经过点A (cos θ，sin θ)．(1)求点A 的坐标；(2)若向量m ＝(sin 2x ，2cos θ)，n ＝(3sin θ，2cos 2x )，求函数f (x )＝m·n ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域．解：(1)设射线y ＝17x (x ≥0)与x 轴的非负半轴所成的锐角为α，则tan α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以tan α＜tan π4，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17＋11－17×1＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θcos θ＝43，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45. (2)f (x )＝3sin θ·sin 2x ＋2cos θ·2cos 2x ＝125sin 2x ＋125cos 2x ＝1225sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－125，1225.22．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2，1)，n ＝()0，－5，且m ⊥(OA →－n )．(1)求向量OA →； (2)若cos(β－π)＝210，0＜β＜π，求cos(2α－β)的值．解：(1)由于OA →＝(cos α，sin α)，所以OA →－n ＝()cos α，sin α＋5. 由于m ⊥(OA →－n )，所以m ·(OA →－n )＝0，所以2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得sin α＝－55，cos α＝－255，所以OA →＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)由于cos(β－π)＝210，所以cos β＝－210，又0＜β＜π，所以sin β＝1－cos 2β＝7210，且π2＜β＜π. 又由于sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210 ＝25250＝22.。

2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第一章§5.1正弦函数的图像 Word版含答案

§5 正弦函数的性质与图像5．1 正弦函数的图像1．问题导航(1)用“五点法”作正弦函数图像的关键是什么？(2)利用“五点法”作y ＝sin x 的图像时，x 依次取－π，－π2，0，π2，π可以吗？(3)作正弦函数图像时应留意哪些问题？ 2．例题导读P 27例1.通过本例学习，学会用五点法画函数y ＝a sin x ＋b 在[0，2π]上的简图．试一试：教材P 28练习题你会吗？1．正弦函数的图像与五点法(1)图像：正弦函数y ＝sin x 的图像叫作正弦曲线，如图所示．(2)五点法：在平面直角坐标系中经常描出五个关键点(它们是正弦曲线与x 轴的交点和函数取最大值、最小值时的点)：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线顺次将它们连接起来，得到函数y ＝sin x 在[0，2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法为“五点法”．(3)利用五点法作函数y ＝A sin x (A >0)的图像时，选取的五个关键点依次是：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，A ，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－A ，(2π，0)． 2．正弦曲线的简洁变换函数y ＝sin x 与y ＝sin x ＋k 图像间的关系．当k >0时，把y ＝sin x 的图像向上平移k 个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像；当k <0时，把y ＝sin x 的图像向下平移|k |个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像．1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．( )(2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．( )(3)用五点法作函数y ＝－2sin x 在[0，2π]上的图像时，应选取的五个点是(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，－2，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，0)．( )(4)将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x 轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．( )解析：(1)正确．观看正弦函数的图像知y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点． (2)正确．观看正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．(3)正确．在函数y ＝－2sin x ，x ∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－2，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，0)．(4)正确．当x ∈[－π，π]时，y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥0，－sin x ，sin x <0，于是，将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像翻折到x 轴上方即可得函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像时，下列点不是关键点的是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C ．(π，0) D ．(2π，0)解析：选A.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，五个关键点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0)．3．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．解析：0＋π2＋π＋3π2＋2π＝5π.答案：5π4．(1)正弦曲线在(0，2π]内最高点坐标为________，最低点坐标为________．(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像外形________，位置________．(填“相同”或“不同”)解析：(1)由正弦曲线知，正弦曲线在(0，2π]内最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1.(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像，外形相同，位置不同．答案：(1)⎝⎛⎭⎫π2，1 ⎝⎛⎭⎫3π2，－1(2)相同不同1．y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈R 的图像间的关系(1)函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像是函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像的一部分．(2)由于终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0的图像与函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像外形完全全都，因此将y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像．2．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点(1)“几何法”的实质是利用正弦线进行的尺规作图，这样作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”的实质是在函数y ＝sin x 的一个周期内，选取5个分点，也是函数图像上的5个关键点：最高点、最低点及平衡点，这五个点大致确定了函数一个周期内图像的外形．(3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精确度不高的状况下常用此法，要切实把握好．另外与“五点法”作图有关的问题经常消灭在高考试题中．3．关于“五点法”画正弦函数图像的要点 (1)应用的前提条件是精确度要求不是太高． (2)五个点必需是确定的五点．(3)用光滑的曲线顺次连接时，要留意线的走向，一般在最高(低)点的四周要平滑，不要消灭“拐角”现象．(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”．用五点法作正弦型函数的图像用五点法画函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图． (链接教材P 27例1) [解] 步骤：①列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 y－11－1－3－1②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－3，(2π，－1)．③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图，如图所示．方法归纳作形如函数y ＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]的图像的步骤1．(1)函数f (x )＝a sin x ＋b ，(x ∈[0，2π])的图像如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]B ．f (x )＝sin x ＋12，x ∈[0，2π]C ．f (x )＝32sin x ＋1，x ∈[0，2π]D ．f (x )＝32sin x ＋12，x ∈[0，2π](2)用五点法作出下列函数的简图．①y ＝2sin x ，x ∈[0，2π]； ②y ＝2－sin x ，x ∈[0，2π]．解：(1)选A.将图像中的特殊点代入f (x )＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]，不妨将(0，1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.5代入得⎩⎨⎧a sin 0＋b ＝1，a sin π2＋b ＝1.5，解得b ＝1，a ＝0.5，故f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]． (2)①列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2sin x2－2描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．②列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2－sin x21232描点并将它们用光滑的曲线连接，如图：利用正弦函数的图像求函数的定义域求函数f (x )＝lg (sin x )＋16－x 2的定义域． (链接教材P 30习题1－5 A 组T 4)[解] 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图像，如图所示．结合图像可得：该函数的定义域为[－4，－π)∪(0，π)．方法归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观看得到，同时要留意区间端点的取舍．有时利用图像先写出在一个周期区间上的解集，再推广到一般状况．2．求函数y ＝log 21sin x－1的定义域.解：为使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0⇔0<sin x ≤12.依据正弦曲线得，函数定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π6，2k π＋π，k ∈Z .利用正弦函数的图像确定方程解的个数在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图像，依据图像推断出方程sin x ＝lg x 的解的个数． (链接教材P 30习题1－5 A 组T 1(1))[解] 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，再依次向右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图像．作出y ＝lg x 的图像，如图所示．由图像可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．若本例中的函数y ＝lg x 换为y ＝x 2，则结果如何？解：在同始终角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝sin x 的图像，如图所示．由图知函数y ＝x 2和y ＝sin x 和图像有两个交点，则方程x 2－sin x ＝0有两个根．方法归纳方程根(或个数)的两种推断方法(1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．(2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图像，利用对应函数的图像，观看与x 轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．②转化为两个函数，分别作这两个函数的图像，观看交点个数，有几个交点原方程就有几个根．3．(1)函数y ＝2sin x 与函数y ＝x 的图像的交点有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 (2)争辩方程10sin x ＝x (x ∈R )根的个数．解：(1)选B.在同始终角坐标系中作出函数y ＝2sin x 与y ＝x 的图像，由图像可以看出有3个交点．(2)如图所示，当x ≥4π时，x 10≥4π10>1≥sin x ；当x ＝52π时，sin x ＝sin 52π＝1，x 10＝5π20，1>5π20，从而x >0时，有3个交点，由对称性知x <0时，有3个交点，加上x ＝0时的交点为原点，共有7个交点．即方程有7个根．思想方法数形结合思想的应用求满足下列条件的角的范围．(1)sin x ≥12；(2)sin x ≤－22.⎝⎛⎭⎫0，12作x 轴[解] (1)利用“五点法”作出y ＝sin x 的简图，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，12两的平行线，在[0，2π]上，直线y ＝12与正弦曲线交于⎝⎛⎭⎫π6，12，点．结合图形可知，在[0，2π]内，满足y ≥12时x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6≤x ≤5π6.因此，当x ∈R 时，若y ≥12，则x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z .(2)同理，满足sin x ≤－22的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5π4＋2k π≤x ≤74π＋2k π，k ∈Z . [感悟提高] 形如sin x >a (<a )的不等式，求角x 的范围，一般接受数形结合的思想来解题，具体步骤： (1)画出y ＝sin x 的图像，画直线y ＝a .(2)若解sin x >a ，则观看y ＝sin x 在直线y ＝a 上方的图像．这部分图像对应的x 的范围，就是所求的范围．若解sin x <a ，则观看y ＝sin x 在直线y ＝a 下方的图像．这部分图像对应的x 的范围，就是所求的范围．1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的大致图像是( )解析：选B.利用五点法画图，函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的图像肯定过点(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，1)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，1)，故B 项正确．2．已知点M ⎝⎛⎭⎫π4，b 在函数f (x )＝2sin x ＋1的图像上，则b ＝________．解析：b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4＋1＝2.答案：23．若函数f (x )＝2sin x －1－a 在⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝0得2sin x ＝1＋a .作出y ＝2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的图像，如图所示．要使函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个零点，需满足3≤1＋a <2，所以3－1≤a <1.答案：[3－1，1), [同学用书单独成册])[A.基础达标]1．关于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．关于原点对称 B ．有最大值1C ．与y 轴有一个交点D ．关于y 轴对称解析：选D.正弦函数y ＝sin x 的图像如图所示．依据y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知A ，B ，C 均正确，D 错误． 2．函数y ＝sin x 的图像与函数y ＝－sin x 的图像关于( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选A.在同始终角坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 在[0，2π]上的图像，可知两函数的图像关于x 轴对称．3．下列函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π)B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x解析：选D.对A ，由于y ＝sin(x ＋π)＝－sin x ，故排解A ；对B ，由于y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，故排解B ；对C ，由于y ＝sin(－x )＝－sin x ，故排解C ；对D ，由于y ＝sin(2π＋x )＝sin x ，故选D.4.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )解析：选D .当x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，故排解A 、B 、C ，选D .5．函数y ＝x sin x 的部分图像是( )解析：选A .函数y ＝x sin x 的定义域为R ，令f (x )＝x sin x ，则f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )为偶函数，排解B 、D ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，故排解C ，故选A.6．在[0，2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________．解析：在同始终角坐标系内作出y ＝sin x 和y ＝22的图像如图，观看图像并求出交点横坐标，可得到x的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π.答案：⎣⎡⎦⎤π4，34π7.函数y ＝sin x 的图像和y ＝x2π的图像交点个数是________．解析：在同始终角坐标系内作出两个函数的图像如图所示：由图可知交点个数是3.答案：38.已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值范围是________．解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图像知，－1≤sin x ≤1，即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2. 答案：0≤m ≤29.用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0，2π])的图像．解：(1)列表，如表所示：x 0 π2 π 32π 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝3－sin x32343(2)描点，连线，如图所示．10.若函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点，求k 的取值范围．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π，作出函数的图像如图：由图可知当1<k <3时函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点． [B.力量提升]1．若y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，2π3，则函数的值域为( )A.⎝⎛⎭⎫22，1B.⎣⎡⎦⎤22，1 C ．(1，2] D ．[1，2]解析：选B.画出函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3的图像如图所示，可知y ∈⎣⎡⎦⎤22，1.2．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x(0<x <π)，下列结论正确的是( ) A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值也无最小值解析：选B.f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋asin x.由于0<x <π，所以0<sin x ≤1.所以1sin x≥1.所以1＋asin x ≥a ＋1.所以f (x )有最小值而无最大值．故选B.3．已知f (sin x )＝x 且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________．解析：由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ＝12时，x ＝π6，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6＝π6.答案：π64．若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________．解析：不妨设△ABC 中，0<A ≤B ≤C ，得0<A ≤B ，且0<A ≤C ，所以0<3A ≤A ＋B ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π，所以0<3A ≤π，即0<A ≤π3.若x 为三角形中的最小角，则0<x ≤π3，由y ＝sin x 图像知y ∈⎝⎛⎦⎤0，32.答案：⎝⎛⎦⎤0，325．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观看函数图像，写出满足下列条件的x 的区间． ①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]有两个交点，求a 的取值范围．解：列表如下：x －π －π2 0 π2 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x131－11描点连线得：(1)由图像可知图像在y ＝1上方部分时y >1，在y ＝1下方部分时y <1，所以当x ∈(－π，0)时，y >1；当x ∈(0，π)时，y <1.(2)如图所示，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1. 所以a 的取值范围是{a |1<a <3或－1<a <1}．6．(选做题)已知函数y ＝f (x )为奇函数，且是⎝⎛⎭⎫－12，12上的减函数，f (1－sin α)＋f (1－sin 2α)<0，求α的取值范围．解：由题意可知f (1－sin α)<－f (1－sin 2α)．由于f (x )是奇函数，所以－f (1－sin 2α)＝f (sin 2α－1)，所以f (1－sin α)<f (sin 2α－1)．又由f (x )是⎝⎛⎭⎫－12，12上的减函数，所以⎩⎨⎧－12<1－sin α<12，－12<sin 2α－1<12，1－sin α>sin 2α－1，所以⎩⎨⎧12<sin α<32，12<sin 2α<32，sin 2α＋sin α－2<0，解得22<sin α<1，所以2k π＋π4<α<2k π＋π2(k ∈Z )或2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z )，所以α的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )．。

高中数学模块综合检测(A)(含解析)新人教A版必修4(1)

【优化方案】2013-2014学年高中数学模块综合检测（A ）（含解析）新人教A 版必修4模块综合检测(A)(时间：100分钟：满分120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如果一扇形的弧长为2π cm ，半径等于2 cm ，则扇形所对圆心角为( ) A ．2π B ．π C.π2 D.3π2解析：选B.θ＝2π2＝π.2．若|a |＝2sin 15°，|b |＝4cos 15°，a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值是( )A.32B. 3 C ．2 3 D.12解析：选B.a ·b ＝2sin 15°·4cos 15°·cos 30°＝4sin 30°·cos 30°＝2sin 60°＝ 3. 3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1 D ．不能确定解析：选A.sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)，α为第一象限角时，π4＋2k π<α＋π4<3π4＋2k π，k∈Z ，所以sin α＋cos α>1.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2解析：选B.∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.5．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74D.34解析：选D.因为θ∈[π4，π2]，所以2θ∈[π2，π]，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.6．已知sin(x －3π4)cos(x －π4)＝－14，则cos 4x 的值等于( )A.14B.24C.12D.22解析：选C.由sin(x －3π4)cos(x －π4)＝－14⇒(sin x ＋cos x )2＝12，得sin 2x ＝－12，则cos 4x ＝1－2sin 22x ＝1－2(－12)2＝12.7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－6,21)B ．(－2,7)C ．(6，－21)D ．(2，－7)解析：选A.如图，QC →＝AQ →＝PQ →－P A →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，PC →＝PQ →＋QC →＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)， BC →＝3PC →＝(－6,21)．8．设θ∈(π4，π2)，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是( )A.34 B ．－34 C.154 D ．－154解析：选D.∵θ∈(π4，π2)，∴cos θ<sin θ，∴cos θ－sin θ＝－1－sin 2θ＝－ 1－116＝－154.9．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数为( )A ．y ＝sin(2x －π3)，x ∈RB ．y ＝sin(12x ＋π6)，x ∈RC ．y ＝sin(2x ＋π3)，x ∈RD ．y ＝sin(12x －π6)，x ∈R解析：选B.把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到y ＝sin(x＋π6)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到的图象对应的函数为y ＝sin(12x ＋π6)，x ∈R ，故选B.10．已知向量a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)＝( )A.13B.27C.17D.23解析：选C.由题意得cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝25，得sin α＝35.又α∈(π2，π)，所以cos α＝－45，tan α＝－34，则tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝17.二、填空题(本大题共5小题，请把正确的答案填在题中的横线上) 11．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为________．解析：a 在b 方向上的投影为： a ·b |b |＝2×(－4)＋3×7(－4)2＋72＝1365＝655. 答案：65512．若tan α＝－2，且sin α<0，则cos α＝________. 解析：∵tan α＝－2<0， ∴α位于第二、四象限． ∵sin α<0，∴α位于第三、四象限或y 轴的非正半轴上． ∴α位于第四象限．又cos 2α＝11＋tan 2α＝11＋4＝15，∴cos α＝55.答案：5513．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________．解析：法一：由已知，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，由此可知|a ＋b |＝ 2.将(a －c )·(b －c )＝0展开得a ·b －a ·c －c ·b ＋c 2＝0. 设a ＋b 与c 的夹角为θ，则 |c |2＝(a ＋b )·c ＝|a ＋b |·|c |·cos θ，即|c |＝ 2 cos θ.故当cos θ＝1时，|c |取最大值 2.法二：因为(a －c )·(b －c )＝0，所以a －c 与b －c 互相垂直．又因为a ⊥b ，所以a ，b ，a －c ，b －c 构成的四边形是圆内接四边形，c 是此四边形的一条对角线．当c 是直径时，|c |达到最大值，此时圆内接四边形是以a ，b 为邻边的正方形，所以|c |的最大值为 2.法三：因为a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可以a ，b 作为基底建立直角坐标系，a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，设c ＝(x ，y )，则a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x,1－y )．由(a －c )·(b －c )＝0得(1－x )(－x )－y (1－y )＝0，所以x 2＋y 2＝x ＋y ≤2(x 2＋y 2)，从而x 2＋y 2≤ 2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号．又|c |＝x 2＋y 2，故|c |的最大值为 2.答案： 214．要得到函数y ＝3cos(2x －π2)的图象，可以将函数y ＝3sin(2x －π4)的图象沿x 轴________．解析：y ＝3sin(2x －π4)――→向左平移π8y ＝3sin 2x ＝3cos(2x －π2)．答案：向左平移π8个单位15．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝________.解析：此函数的周期T ＝2(1112π－712π)＝2π3，故2πω＝2π3，∴ω＝3，f (x )＝A cos(3x ＋φ)， f (π2)＝A cos(3π2＋φ)＝A sin φ＝－23. 又由题图可知f (7π12)＝A cos(3×7π12＋φ)＝A cos(φ－14π)＝22(A cos φ＋A sin φ)＝0，∴f (0)＝A cos φ＝23.答案：23三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知cos α＝13，且－π2<α<0，求cos (－α－π)·sin (2π＋α)sin (－α－π)cos (－α)tan α的值．解：∵cos α＝13，且－π2<α<0，∴sin α＝－223，tan α＝－22，∴原式＝－cos αsin αsin αcos αtan α＝－1tan α＝24.17．已知向量a ＝(3cos α，1)，b ＝(－2,3sin α)，且a ⊥b ，其中α∈(0，π2)．(1)求sin α和cos α的值；(2)若5sin(α－β)＝35cos β，β∈(0，π)，求β的值．解：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－6cos α＋3sin α＝0，即sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15，sin 2α＝45，又α∈(0，π2)，∴sin α＝255，cos α＝55.(2)∵5sin(α－β)＝5(sin αcos β－cos αsin β) ＝25cos β－5sin β＝35cos β，∴cos β＝－sin β，即tan β＝－1，∵β∈(0，π)，∴β＝3π4.18．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，且cos(α＋π3)＝13，求sin(2α＋5π3)的值．解：(1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T ＝2π，则ω＝2πT＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)．∵f (x )是偶函数，∴φ＝π2＋k π(k ∈Z )，又0≤φ≤π，∴φ＝π2，则f (x )＝cos x .(2)由已知得cos(α＋π3)＝13，∵α∈(－π3，π2)，∴α＋π3∈(0，5π6)，则sin(α＋π3)＝223，∴sin(2α＋5π3)＝－sin(2α＋2π3)＝－2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝－429.19．已知函数f (x )＝－23sin 2x ＋sin 2x ＋ 3. (1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解：(1)f (x )＝3(1－2sin 2x )＋sin 2x＝sin 2x ＋ 3 cos 2x ＝2sin(2x ＋π3)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－2.(2)列表：x 0 π12 π3 7π12 5π6 π 2x ＋π3π3 π2 π 3π2 2π 7π3 f (x )32－23描点连线得图象，如图所示．20．已知向量a ＝(3sin 2x ，cos 2x )，b ＝(cos 2x ，－cos 2x )．(1)若当x ∈(7π24，5π12)时，a ·b ＋12＝－35，求cos 4x 的值；(2)cos x ≥12，x ∈(0，π)，若关于x 的方程a ·b ＋12＝m 有且仅有一个实根，求实数m 的值．解：(1)∵a ＝(3sin 2x ，cos 2x )，b ＝(cos 2x ，－cos 2x )， ∴a ·b ＋12＝3sin 2x cos 2x －cos 22x ＋12＝32sin 4x －1＋cos 4x 2＋12 ＝32sin 4x －12－12cos 4x ＋12＝sin(4x －π6)．由a ·b ＋12＝－35⇒sin(4x －π6)＝－35，∵x ∈(7π24，5π12)，∴4x －π6∈(π，32π)．∴cos(4x －π6)＝－45.∴cos 4x ＝cos[(4x －π6)＋π6]＝cos(4x －π6)cos π6－sin(4x －π6)·sin π6＝3－4310.(2)∵cos x ≥12.又余弦函数在(0，π)上是减函数，∴0<x ≤π3.令f (x )＝a ·b ＋12＝sin(4x －π6)，g (x )＝m ，在同一坐标系中作出两个函数的图象，由图可知m ＝1或m ＝－12.。

2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第二章章末优化总结 Word版含答案

章末优化总结, )平面对量的概念与性质理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角等概念．突显向量“形”的特征是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提．关于平面对量a ，b ，c 有下列三个命题： ①若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a·b ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出全部真命题的序号)[解析] ①由于b ⊥c ，所以b ·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a ·b ＋c ·b ＝a ·b ；②a ∥b ，且a ≠0⇒b ＝λa ⇒1－2＝k6⇒k ＝－3；③|a|＝|b|＝|a －b|⇒a ，b ，a －b 构成等边三角形，a 与a ＋b 的夹角应为30°. 所以真命题为①②. [答案] ①②平面对量的线性运算1．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题．2．理解向量的有关概念[如平行向量(共线向量)、相等与相反向量、平面对量基本定理、单位向量等]及其相应运算的几何意义，并能机敏应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等，是求解有关向量线性运算问题的基础．如图，在△ABC 中，AQ →＝QC →，AR →＝13AB →，BQ 与CR 相交于点I ，AI 的延长线与边BC 交于点P .(1)用AB →和AC →分别表示BQ →和CR →；(2)假如AI →＝AB →＋λBQ →＝AC →＋μCR →，求实数λ和μ的值； (3)确定点P 在边BC 上的位置．[解] (1)由AQ →＝12AC →，可得BQ →＝BA →＋AQ →＝－AB →＋12AC →，又AR →＝13AB →，所以CR →＝CA →＋AR →＝－AC →＋13AB →.(2)将BQ →＝－AB →＋12AC →，CR →＝－AC →＋13AB →，代入AI →＝AB →＋λBQ →＝AC →＋μCR →，则有AB →＋λ⎝⎛⎭⎫－AB →＋12AC →＝AC →＋μ⎝⎛⎭⎫－AC →＋13AB →，即(1－λ)AB →＋12λAC →＝13μAB →＋(1－μ)AC →.所以⎩⎨⎧1－λ＝13μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎨⎧λ＝45μ＝35.(3)设BP →＝mBC →，AP →＝nAI →.由(2)，知AI →＝15AB →＋25AC →，所以BP →＝AP →－AB →＝nAI →－AB →＝n ⎝⎛⎭⎫15AB →＋25AC →－AB →＝2n 5AC →＋⎝⎛⎭⎫n 5－1AB →＝mBC →＝mAC →－mAB →，所以⎩⎨⎧－m ＝n 5－1，m ＝2n 5，解得⎩⎨⎧m ＝23，n ＝53.所以BP →＝23BC →，即BP PC＝2.即点P 是BC 上靠近点C 的三等分点．平面对量的数量积求平面对量的数量积的方法有两个：一个是依据数量积的定义，另一个是依据坐标．定义法是a·b ＝|a||b|·cos θ，其中θ为向量a ，b 的夹角；坐标法是a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.利用数量积可以求长度，也可推断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算转化为代数问题解决．(1)设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝________． (2)已知两个单位向量a ，b 的夹角θ为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________．[解析] (1)由于单位向量m ＝(x ，y )，则x 2＋y 2＝1.① 若m ⊥b ，则m·b ＝0，即2x －y ＝0.②由①②解得x 2＝15，所以|x |＝55，|x ＋2y |＝5|x |＝ 5.(2)法一：由于b·c ＝0，所以b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a·b ＋(1－t )b 2＝0. 又由于|a |＝|b |＝1，θ＝60°，所以12t ＋1－t ＝0，所以t ＝2.法二：由t ＋(1－t )＝1知向量a ，b ，c 的终点A 、B 、C 共线，在平面直角坐标系中设a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，则c ＝⎝⎛⎭⎫32，－32.把a 、b 、c 的坐标代入c ＝t a ＋(1－t )b ，得t ＝2.[答案] (1)5 (2)2平面对量的应用平面对量的应用主要体现在两个方面，一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和平行，数乘向量和相像，距离、夹角和数量积之间有着亲密联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．二是在物理中的应用，主要是解决力、位移、速度等问题．如图所示，G 为△AOB 的中线OM 的中点，过点G 作直线分别交OA ，OB 于点P ，Q ，设OPOA＝m ，OQ OB ＝n ，试推断1m ＋1n是否为定值．[解] 设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝12OM →＝14(OA →＋OB →)＝14a ＋14b . 所以PG →＝OG →－OP →＝14a ＋14b －m a＝⎝⎛⎭⎫14－m a ＋14b . PQ →＝OQ →－OP →＝nOB →－mOA →＝n b －m a .由于PG →与PQ →共线，所以PG →＝λPQ →(λ∈R )，即⎝⎛⎭⎫14－m a ＋14b ＝λ(n b －m a )．所以⎩⎨⎧14－m ＝－λm ，14＝λn .消去λ得14－m ＝－m 4n ⇒14m －1＝－14n .所以1m ＋1n＝4为定值．质量m ＝2.0 kg 的木块在平行于斜面对上的拉力F ＝10 N 的作用下，沿斜面角θ＝30°的光滑斜面对上滑行|s |＝2.0 m 的距离，如图所示(g 取9.8m/s 2)．(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；(2)在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少；(3)求物体所受合外力对物体所做的功，并指出它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系．[解] (1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如题图所示，拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F ·s ＝|F||s |cos 0°＝20(J)．支持力对木块所做的功为W F N ＝F N ·s ＝0. 重力G 对物体所做的功为W G ＝G ·s ＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)． (2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W ＝W F ＋W F N ＋W G ＝0.4(J)．(3)物体所受合外力的大小为|F 合|＝|F |－|G |sin 30°＝0.2(N)．所以，物体所受合外力对物体所做的功为W ＝F 合·s ＝0.4(J)．所以，物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和相等．1．O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三点，若(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 是( )A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形解析：选B.由题意知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝CB →·(AB →＋AC →)＝0，如图所示，其中AB →＋AC →＝2AD →(点D 为线段BC 的中点)，所以AD ⊥BC ，即AD 是BC 的中垂线，所以AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形．故选B.2．已知e 为单位向量，|a |＝4，a 与e 的夹角为23π，则a 在e 方向上的投影为________．解析：依据定义知a 在e 方向上的投影为|a |cos 2π3＝－2.答案：－23．已知向量a ＝(6，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．解析：设B (x ，y )为l 上任意一点，则AB →＝(x －3，y ＋1)，又a ＋2b ＝(6，2)＋2⎝⎛⎭⎫－4，12＝(－2，3)，由题意得AB →·(a ＋2b )＝0，所以(x －3，y ＋1)·(－2，3)＝－2(x －3)＋3(y ＋1)＝0，即2x －3y －9＝0.答案：2x －3y －9＝04．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|2a －b |＝ 5. (1)求|2a －3b |的值；(2)求3a －b 与a －2b 的夹角．解：(1)由于|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2 ＝4－4a ·b ＋1＝5，所以a ·b ＝0.由于|2a －3b |2＝4a 2＋9b 2＝4＋9＝13，所以|2a －3b |＝13.(2)设3a －b 与a －2b 的夹角为θ，则cos θ＝（3a －b ）·（a －2b ）|3a －b |·|a －2b |＝3a 2＋2b 210·5＝552＝22，又由于θ∈[0，π]，所以θ＝π4为所求．5．如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，BC 上一点F 使BF ＝13BC .(1)以a 、b 为基底表示向量AM →与HF →；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →.解：(1)由已知得AM →＝AD →＋DM →＝12a ＋b .HF →＝HD →＋DC →＋CF →＝12b ＋a ＋(－23b )＝a －16b .(2)由已知得a·b ＝|a||b|cos 120°＝3×4×(－12)＝－6，从而AM →·HF →＝(12a ＋b )·(a －16b )＝12|a |2＋1112a·b －16|b |2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113., [同学用书单独成册])(时间：100分钟，分数：120分)一、选择题(本大题共有10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( ) A ．共线向量的方向相同 B ．零向量是0C ．长度相等的向量叫做相等向量D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选B.对A ，共线向量的方向相同或相反，错误；对B ，零向量是0，正确；对C ，方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，错误；对D ，共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误．故选B.2．已知A 、B 、D 三点共线，存在点C ，满足CD →＝43CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23 B ．13C ．－13D ．－23解析：选C.由于A ，B ，D 三点共线，所以存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)，即CD →＝CA→＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－t ＝43，t ＝λ，即λ＝－13.3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14 B ．12 C ．1 D ．2解析：选B.a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12.4．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( )A ．重心，外心B ．重心，内心C ．外心，重心D ．外心，内心解析：选C.由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得AN →＝NB →＋NC →，取BC边的中点D ，则AN →＝NB →＋NC →＝2ND →，知A 、N 、D 三点共线，且AN ＝2ND ，故点N 是△ABC 的重心．5．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角等于( )A ．θ－π2B ．π2＋θC.3π2－θ D ．θ解析：选C.设a 与b 的夹角为α，a ·b ＝cos θ·0＋sin θ·(－1)＝－sin θ，|a |＝1，|b |＝1，所以cos α＝a ·b|a ||b |＝－sin θ＝cos(3π2－θ)，由于θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α∈[0，π]， y ＝cos x 在[0，π]上是递减的，所以α＝3π2－θ，故选C.6．已知等边三角形ABC 的边长为1，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b －b ·c －c·a 等于( )A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析：选D.由平面对量的数量积的定义知，a·b －b·c －c·a ＝|a||b|cos(π－C )－|b||c|cos(π－A )－|c||a|cos(π－B )＝cos(π－C )－cos(π－A )－cos(π－B )＝－cos C ＋cos A ＋cos B ＝cos 60°＝12.故选D.7．已知平面对量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( ) A.π2 B ．π3 C.π6 D ．π解析：选B.由于|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，所以4＋4a·b ＋3＝7，a·b ＝0，所以a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，由于tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝3，所以∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.8．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.53 B ．54 C.109 D ．158解析：选A.依题意，不妨设BE →＝12EC →，BF →＝2FC →，则有AE →－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13AC →；AF →－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23AC →.所以AE →·AF →＝(23AB →＋13AC →)·(13AB →＋23AC →)＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →) ＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC →) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，故选A. 9．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝|a |＝1，则向量a 与c 的夹角为( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°解析：选D.由于a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )，所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2＋2cos 60°＝3，所以|c |＝ 3.又c·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a·b ＝－1－cos 60°＝－32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a ||c |＝－323×1＝－32，由于0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.10．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝7，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1，0≤y ≤1，则动点P 的轨迹所掩盖的面积为( )A.103 6 B ．53 6 C.103 D ．203解析：选A.如图，由于OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1，0≤y ≤1，所以动点P 的轨迹所掩盖的区域是以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAMB ，则动点P 的轨迹所掩盖的面积S ＝AB ×r ，r 为△ABC 的内切圆的半径．在△ABC 中，由向量的减法法则得BC →＝AC →－AB →，所以BC →2＝(AC →－AB →)2，即|BC →|2＝|AC →|2＋|AB →|2－2|AC →||AB →|cos A ，由已知得72＝62＋|AB →|2－12·|AB →|×15，所以5|AB →|2－12|AB →|－65＝0，所以|AB →|＝5.所以S △ABC ＝12×6×5×sin A ＝66，又O 为△ABC 的内心，故O 到△ABC 各边的距离均为r ，此时△ABC 的面积可以分割为三个小三角形的面积的和，所以S △ABC ＝12(6＋5＋7)×r ，即12(6＋5＋7)×r ＝66，所以r ＝263，故所求的面积S ＝AB ×r ＝5×236＝1036.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为________．解析：m a ＋4b ＝(2m －4，3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，由于m a ＋4b 与a －2b 共线，所以－1(2m －4)＝4(3m ＋8)，解得m ＝－2. 答案：－212．如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．解析：由于AO →＝μAC →＝μ(AD →＋DC →)＝μ⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝μa ＋μ2b . 由于μ＋μ2＝1，解得μ＝23.所以AO →＝23a ＋13b .答案：23a ＋13b13．已知两点A (－1，0)，B (－1，3)，O 为坐标原点，点C 在第一象限，且∠AOC ＝120°.设 OC →＝－3OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ＝________．解析：由题意，得OC →＝－3(－1，0)＋λ(－1，3)＝(3－λ，3λ)，由于∠AOC ＝120°，所以OA →·OC →|OA →||OC →|＝－12，即λ－3（3－λ）2＋3λ2＝－12，解得λ＝32.答案：3214．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．解析：由于AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝(AB →＋13AD →)·(AD →＋1λAB →)＝1λAB →2＋1＋3λ3λAD →·AB →＋13AD →2＝4λ＋1＋3λ3λ×2×2×cos 120°＋43＝10－2λ3λ＝1.解得λ＝2.答案：215．若将向量a ＝(1，2)绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b ，则b 的坐标是________．解析：如图，设b ＝(x ，y )，则|b |＝|a |＝5，a·b ＝|a||b |·cos π4＝5×5×22＝522，又x 2＋y 2＝5，a·b ＝x ＋2y ，得x ＋2y ＝522，解得x ＝－22，y ＝322(舍去x ＝322，y ＝22)．故b ＝⎝⎛⎭⎫－22，322.答案：⎝⎛⎭⎫－22，322三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)由a ＝(1，2)，得|a |＝12＋22＝5，又|c |＝25，所以|c |＝2|a |. 又由于c ∥a ，所以c ＝±2a ，所以c ＝(2，4)或c ＝(－2，－4)．(2)由于a ＋2b 与2a －b 垂直，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，将|a |＝5，|b |＝52代入，得a·b ＝－52. 所以cos θ＝a·b|a|·|b |＝－1，又由θ∈[0，π]，得θ＝π，即a 与b 的夹角为π.17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，4)，B (－2，3)，C (2，－1)．(1)求AB →，AC →及|AB →＋AC →|；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)⊥OC →，求t 的值．解： (1)由于A (1，4)，B (－2，3)，C (2，－1)．所以AB →＝(－3，－1)，AC →＝(1，－5)，AB →＋AC →＝(－2，－6)， |AB →＋AC →|＝（－2）2＋（－6）2＝210.(2)由于(AB →－tOC →)⊥OC →，所以(AB →－tOC →)·OC →＝0，即AB →·OC →－tOC →2＝0，由于AB →·OC →＝－3×2＋(－1)×(－1)＝－5， OC →2＝22＋(－1)2＝5，所以－5－5t ＝0，所以t ＝－1.18．(本小题满分10分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1. 求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明：由于OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，所以OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，所以(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，所以|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2，所以OP 1→·OP 2→＝－12，又cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12，所以∠P 1OP 2＝120°.所以|P 1P 2→|＝|OP 2→－OP 1→|＝（OP 2→－OP 1→）2＝OP 1→2＋OP 2→2－2OP 1→·OP 2→＝ 3.同理可得|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3. 故△P 1P 2P 3是等边三角形．19．(本小题满分12分)已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证： (1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .证明：如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，E (1，2)，F (0，1)． (1)BE →＝OE →－OB →＝(1，2)－(2，0)＝(－1，2)， CF →＝OF →－OC →＝(0，1)－(2，2)＝(－2，－1)，由于BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，所以BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)，由于FP →∥CF →，所以－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2.同理，由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2.解得x ＝65，所以y ＝85，即P ⎝⎛⎭⎫65，85. 所以AP →2＝⎝⎛⎭⎫652＋⎝⎛⎭⎫852＝4＝AB →2，所以|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .若OA →＝a ，OB →20．(本小题满分13分)(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，＝b ，试用a ，b 表示OP →，OQ →，并推断OP →＋OQ →与OA →＋OB →的关系．(2)受(1)的启示，假如点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB 的n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．解：(1)OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b .同理OQ →＝13a ＋23b .OP →＋OQ →＝a ＋b ＝OA →＋OB →.(2)结论：OA 1→＋OA n －1→＝OA 2→＋OA n －2→＝…＝OA →＋OB →.证明如下：由(1)可推出OA 1→＝OA →＋AA 1→＝OA →＋1n AB →＝OA →＋1n (OB →－OA →)＝n －1n OA →＋1n OB →，所以OA 1→＝n －1n a ＋1n b ，同理OA n －1→＝1n a ＋n －1nb ，所以OA 1→＋OA n －1→＝a ＋b ＝OA →＋OB →. 又OA 2＝n －2n a ＋2nb ，OA n －2→＝2n a ＋n －2n b ，所以OA 2→＋OA n －2→＝a ＋b ＝OA →＋OB →，…，因此有OA 1→＋OA n －1→＝OA 2→＋OA n －2→＝…＝OA →＋OB →.。

高中数学模块综合测评新人教A版必修4(2021年整理)

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模块综合测评(时间：120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。

已知角α的终边经过点P（4,—3）,则2sin α+cos α的值等于()A.—B。

C.D。

—解析：根据三角函数的定义可知sin α=-，cos α=,∴2sin α+cos α=-=-.答案：D2.sin cos的值是()A.0 B。

-C。

D。

2解析:原式=2=2sin=—2sin=-,故选B。

答案：B3.(2016•新疆阿克苏高一期末）函数y=cos 2x+sin2x,x∈R的值域是（)A.[0，1] B。

C。

[—1，2］D.[0,2］解析：因为函数y=cos 2x+sin2x=cos 2x+cos 2x=cos 2x,且x∈R，所以cos 2x∈[-1,1］,所以cos 2x∈［0,1].故选A.答案:A4。

已知两向量a=(2,sin θ）,b=(1,cos θ)，若a∥b，则的值为（)A.2 B。

3 C.4 D。

5解析：∵a∥b，∴2cos θ=sin θ,∴tan θ=2,∴=2+tan θ=4.答案：C5.已知函数f （x ）=sin ωx+cos ωx （ω〉0)，x ∈R .在曲线y=f （x ）与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为，则f (x ）的最小正周期为( ） A.B 。

【优化方案】高中人教A版数学必修4同步测试卷：高中同步测试卷(十五)(含答案解析)

高中同步测试卷(十五)模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin 480°等于( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．若角α终边上一点的坐标为(1，－1)，则角α为( )A ．2k π＋π4，k ∈ZB ．2k π－π4，k ∈ZC ．k π＋π4，k ∈ZD ．k π－π4，k ∈Z3．若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a 与b 的夹角为30°，则a·b 的值是( ) A.32 B. 3 C ．2 3 D.124．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan α＝－34，则sin ()α＋π＝( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－455．已知向量a ＝(1，n)，b ＝(－1，n)，若2a －b 与b 垂直，则|a|等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．46．与如图所示的图象相符的函数是( )A ．y ＝sin x －|sin x|B ．y ＝|sin x|＋sin xC ．y ＝|sin x|D ．y ＝|sin x|－sin x7．函数y ＝3x －x 2tan x 的定义域是( )A ．(0，3]B ．(0，π)C.⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3D.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3 8．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝( )A ．(－6，21)B ．(－2，7)C ．(6，－21)D ．(2，－7)9．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫2cos x ，22sin x ，b ＝⎝⎛⎭⎫22sin x ，2cos x ，f(x)＝a·b ，要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将f(x)的图象( ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位10．A 、B 、C 、D 为平面上四个互异点，且满足(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形11．已知cos α＝13，cos (α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos (α－β)的值等于( ) A ．－12 B.12 C ．－13 D.232712．关于函数f(x)＝2sin xcos x －23cos 2x ，下列结论中不正确的是( ) A ．f(x)在区间⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 B ．f(x)的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π6，－3 C ．f(x)的最小正周期为π D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f(x)的值域为[－23，0]13．已知AB →＝2e 1＋ke 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________．14．已知tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＋cos 2α＝________．15．若函数y ＝Asin (ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A>0，ω>0，|φ|<π2在其一个周期内的图象上有一个最高点⎝⎛⎭⎫π12，3和一个最低点⎝⎛⎭⎫712π，－5，则这个函数的解析式为________． 16．已知△ABC 中，BC 边上的中线AO 长为2，若动点P 满足BP →＝12cos 2θBC →＋sin 2θBA→(θ∈R)，则(PB →＋PC →)·PA →的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2asin x 2cos x 2＋sin 2x 2－cos 2x2(a ∈R)．(1)当a ＝1时，求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴；(2)当a ＝2时，在f(x)＝0的条件下，求cos 2x1＋sin 2x 的值．18.(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1，2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|，0<θ<π，求θ的值．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π9的值；(2)设α∈⎝⎛⎫π，3π2，若f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π4的值．20．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m)．(1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数m 满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求实数m 的值．21.(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限．求OB 2的最大值．22．(本小题满分12分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin 12x ，1，n ＝⎝⎛⎭⎫43cos 12x ，2cos x ，设函数f(x)＝m·n.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)，x ∈[]－π，π的单调递增区间；(3)设函数h(x)＝f(x)－k(k ∈R)在区间[－π，π]上的零点的个数为n ，试探求n 的值及对应的k 的取值范围．参考答案与解析1．解析：选D.sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32. 2．[导学号19460092] 解析：选B.角终边在第四象限，是第四象限角． 3．解析：选B.a·b ＝2sin 15°·4cos 15°·cos 30°＝4sin 30°·cos 30° ＝2sin 60°＝3，故选B.4．解析：选B.由题意可知，sin α＝35，所以sin(α＋π)＝－sin α＝－35，故选B.5．解析：选C.由于2a －b 与b 垂直，则(2a －b)·b ＝0，即(3，n)·(－1，n)＝－3＋n 2＝0，解得n ＝±3. 所以a ＝(1，±3)，所以|a|＝1＋（±3）2＝2.6．[导学号19460093] 解析：选B.对于A ，当x ＝π2时，y ＝0，与图象矛盾，从而排除A ；对于C ，当x ＝π2时，y ＝1，与图象矛盾，故排除C ；对于D ，当x ＝π2时，y ＝0，与图象矛盾，从而排除D ，故应选B.事实上，对于B ，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥00，sin x<0，其图象与已知图象相同．7．解析：选C.要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧3x －x 2≥0，tan x ≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤3，x ≠k π2，k ∈Z ，所以x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3，故选C. 8．[导学号19460094] 解析：选A.如图，QC →＝AQ →＝PQ →－PA →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，PC →＝PQ →＋QC →＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)，BC →＝3PC →＝(－6，21)，故选A. 9．解析：选C.f(x)＝a·b ＝sin xcos x ＋sin xcos x ＝sin 2x. 而y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，于是只需将f(x)的图象向左平移π6个单位．故选C.10．解析：选B.因为(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，所以|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 为等腰三角形．11．解析：选D.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α∈(0，π)．因为cos α＝13，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin 2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝223，cos (α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β) ＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327.12．[导学号19460095] 解析：选D.f(x)＝sin 2x －3(1＋cos 2x)＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－3，因此C 正确；x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π6，函数f(x)是单调递增函数，故A 正确；令2x －π3＝kπ，k ∈Z ，得x ＝π6＋kπ2(k ∈Z)，k ＝0时得函数的对称中心为⎝⎛⎭⎫π6，－3，故B 正确；x ∈⎣⎡⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，23π，f(x)∈[－23，2－3]，故D 错． 13．解析：BC →＝－e 1－3e 2，所以BD →＝BC →＋CD →＝－e 1－3e 2＋2e 1－e 2 ＝e 1－4e 2，若A ，B ，D 三点共线，则AB →＝ λBD →，所以2e 1＋ke 2＝λ(e 1－4e 2)，所以λ＝2，k ＝－4λ＝－4×2＝－8. 答案：－814．解析：原式＝sin 2α＋cos 2α ＝cos 2α＋2sin αcos α－sin 2α ＝cos 2α＋2sin αcos α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋2tan α－tan 2α1＋tan 2α＝1＋2×2－221＋22＝15.答案：1515．[导学号19460096] 解析：A ＋B ＝3，－A ＋B ＝－5，所以A ＝4，B ＝－1. T 2＝7π12－π12＝6π12，所以T ＝π，ω＝2. y ＝4sin(2x ＋φ)－1.所以sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1. 又|φ|<π2，所以φ＝π3.所以y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1. 答案：y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1 16．[导学号19460097] 解析：BP →＝12cos 2θBC →＋(1－cos 2θ)BA →，BP →－BA →＝cos 2θ⎝⎛⎭⎫12BC →－BA → ＝cos 2θ(BO →－BA →)，即AP →＝cos 2θAO →，所以点P 在AO 上， (PB →＋PC →)·PA →＝2PO →·PA → ＝2(AO →－AP →)·PA →＝2AO →2(1－cos 2θ)·(－cos 2θ) ＝－8sin 2θcos 2θ＝－2sin 22θ，所以(PB →＋PC →)·PA →的最小值为－2. 答案：－217．解：由已知得f(x)＝asin x －cos x. (1)当a ＝1时，f(x)＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，则函数f(x)的最小正周期为2π. 令x －π4＝kπ＋π2(k ∈Z)，得x ＝kπ＋3π4(k ∈Z)，则函数f(x)的图象的对称轴是直线x ＝kπ＋3π4(k ∈Z)．(2)当a ＝2，f(x)＝0时，有0＝2sin x －cos x ，则tan x ＝12，则原式＝cos 2x －sin 2x （cos x ＋sin x ）2＝cos x －sin x cos x ＋sin x ＝1－tan x 1＋tan x ＝13.18．[导学号19460098] 解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，即4sin θ＝cos θ，所以tan θ＝14.(2)由|a|＝|b|，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5，从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又0<θ<π，得π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4，因此θ＝π2或θ＝3π4.19．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π9＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4 ＝tan π3＋tan π41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＋π4＝tan (α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①、②解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝⎛⎭⎫－255×22＝－31010. 20．[导学号19460099] 解：(1)因为OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， OC →＝(5－m ，－3－m)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则这三点共线，因为AB →＝(3，1)，AC →＝(2－m ，1－m)，所以3(1－m)＝2－m ，所以m ＝12即为满足的条件．(2)由题意，△ABC 为直角三角形， ①若∠A ＝90°，则AB →⊥AC →，所以3(2－m)＋(1－m)＝0，所以m ＝74.②若∠B ＝90°，则AB →⊥BC →，因为BC →＝(－1－m ，－m)，所以3(－1－m)＋(－m)＝0，所以m ＝－34.③若∠C ＝90°，则BC →⊥AC →，所以(2－m)(－1－m)＋(1－m)(－m)＝0，所以m ＝1±52.综上可得，m ＝74或－34或1±52.21．解：过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H. 设∠OAD ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝cos θ，AH ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ，所以B(23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3. 由0<θ<π2，知π3<2θ＋π3<4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3. 22．[导学号19460100] 解：(1)f(x)＝m·n＝43sin 12xcos 12x ＋2cos x ＝23sin x ＋2cos x ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)由(1)，知f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， x ∈[－π，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，7π6，由－π2≤x ＋π6≤π2，解得－2π3≤x ≤π3，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－2π3，π3. (3)当x ∈[－π，π]时，函数h(x)＝f(x)－k 的零点讨论如下：当k>4或k<－4时，h(x)无零点，n ＝0；当k ＝4或k ＝－4时，h(x)有一个零点，n ＝1；当－4<k<－2或－2<k<4时，h(x)有两个零点，n ＝2；当k ＝－2时，h(x)有三个零点，n ＝3.。

高中数学人教A版必修四模块综合检测(A) Word版含答案.docx

模块综合检测(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于( )A.1213B.513C ．－513D ．－12132．已知向量a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则实数k 等于( ) A.12B ．－2C ．－7D ．3 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16B ．－8C ．8D ．164．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A.25B ．－25 C.25或－25D ．－155．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4B ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4C ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 6．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，则a ·b 等于( )A.32B.3C ．23D.127．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13C ．－13D ．－239．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是( )A ．7,5B ．7，－112C ．5，－112D ．7，－510．已知向量a ＝(sin(α＋π6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于( )A ．－34B ．－14C.34D.1411．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．1212．已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4B.⎣⎡⎦⎤π4，5π12C.⎣⎡⎦⎤π12，5π12D.⎣⎡⎦⎤5π12，π2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．sin2010°＝________.14．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ(θ为锐角)，且a ∥b ，则tan θ＝________.15．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的投影为________．16．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点(2，－12)，则函数f (x )＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的最大值．18．(12分)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .19．(12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．20．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．21．(12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f (－1112π)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．22．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α.模块综合检测(A)答案1．D [∵cos 2A ＋sin 2A ＝1，且sin A cos A ＝－512，∴cos 2A ＋(－512cos A )2＝1且cos A <0，解得cos A ＝－1213.]2．D [∵a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )．∴b ＝(a ＋b )－a ＝(1，k )－(2,1)＝(－1，k －1)． ∵a ⊥b .∴a ·b ＝－2＋k －1＝0 ∴k ＝3.]3．D [AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝AC →2＋0＝16.]4．B [∵sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25.] 5．A [由图可知，A ＝4，且⎩⎪⎨⎪⎧6ω＋φ＝0，－2ω＋φ＝－π，解得⎩⎨⎧ω＝π8φ＝－34π.∴y ＝4sin(π8x －3π4)＝－4sin(π8x ＋π4)．]6．B [由cos30°＝a ·b|a ||b |得32＝a ·b 2cos15°·4sin15°＝a ·b 4sin30° ∴a ·b ＝3，故选B.]7．C [y ＝cos(x ＋π3)＝sin(x ＋π3＋π2)＝sin(x ＋5π6)，∴只需将函数y ＝sin x 的图象向左平移5π6个长度单位，即可得函数y ＝cos(x ＋π3)的图象．]8．A [由于AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.]9．D [∵β＝π－2α，∴y ＝cos(π－2α)－6sin α ＝－cos 2α－6sin α＝2sin 2α－1－6sin α＝2sin 2α－6sin α－1＝2⎝⎛⎭⎫sin α－322－112当sin α＝1时，y min ＝－5；当sin α＝－1时，y max ＝7.]10．B [a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14，故选B.]11．B [将f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若与原图象重合，则π2为函数f (x )的周期的整数倍，不妨设π2＝k ·2πω(k ∈Z )，得ω＝4k ，即ω为4的倍数，故选项B 不可能．]12．C [建立如图所示的直角坐标系． ∵OC →＝(2,2)，OB →＝(2,0)， CA →＝(2cos α，2sin α)，∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连结CM 、CN ，如图所示，则向量OA →与OB →的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB . ∵|OC →|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|，知∠COM ＝∠CON ＝π6，但∠COB ＝π4.∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12，故π12≤〈OA →，OB →〉≤5π12.]13．－12解析 sin2010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12.14．1解析 ∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0.∴cos 2θ＝12，∵θ为锐角，∴cos θ＝22，∴θ＝π4，∴tan θ＝1.15.2105解析 AB →＝(2,2)，CD →＝(－1,3)．∴AB →在CD →上的投影|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝2×(－1)＋2×3(－1)2＋32＝410＝2105. 16．sin(πx 2＋π6)解析据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得(T2)2＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin(πx 2＋φ)，又函数图象过点(2，－12)，故f (x )＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin(πx 2＋π6)． 17．解 (1)∵a ∥b ，∴32cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－32，2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013.(2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝22sin(2x ＋π4)．∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴－22≤f (x )≤12，∴f (x )max ＝12.18．(1)解因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)解由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2＝17－15sin2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .19．解 (1)∵a ·b ＝0，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45.又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， ∴cos φ＝sin φ.∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.20．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值为1. 21．解 (1)f (x )＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22x sin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22xsin (π2＋2x )＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ， ∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)．∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.22．解 (1)∵|a |＝1，|b |＝1，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α－β)，|a －b |2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45得cos(α－β)＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213.∴sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×(－513)＝3365.。

高中数学模块综合质量检测卷新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题

模块综合质量检测卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知，θ2为第二象限角．故选B.2．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( )A ．53 B ．－53C ．±53D ．－23解析：选B ∵sin(π－α)＝sin α＝log 22－23＝－23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－ 1－sin 2α＝－1－49＝－53.故选B. 3．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值是( ) A ．34 B ．537 C ．2537D ．53737解析：选D ∵|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋24e 1·e 2＋16e 22＝9＋24×12＋16＝37，∴|3e 1＋4e 2|＝37.又∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3＋4×12＝5，∴cos θ＝537＝53737.故选D.4．(2018·某某太和中学期中)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．－2或1D ．－1或2解析：选D 由于A ，B ，C 三点共线，故AB →∥AC →，因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，所以λ(λ－1)－2×1＝0，解得λ＝－1或λ＝2.故选D.5．(2019·某某诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝－4CD →，则AD →＝( ) A ．14AB →－34AC → B ．14AB →＋34AC →C ．34AB →－14AC → D ．34AB →＋14AC → 解析：选 B 解法一：设AD →＝xAB →＋yAC →，由BC →＝－4CD →可得，BA →＋AC →＝－4CA →－4AD →，即－AB →－3AC →＝－4xAB →－4yAC →，则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝34，即AD →＝14AB →＋34AC →，故选B.解法二：在△ABC 中，BC →＝－4CD →，即－14BC →＝CD →，则AD →＝AC →＋CD →＝AC →－14BC →＝AC →－14(BA →＋AC →)＝14AB →＋34AC →，故选B.6．(2019·某某定州中学调研)函数f (x )＝12(1＋cos2x )·sin 2x (x ∈R )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选D 由题意，得f (x )＝14(1＋cos2x )(1－cos2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos4x )．又f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数，故选D.7．(2018·永州二模)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，则cos 2π4－α＝( )A ．725 B ．925 C ．1625D ．2425解析：选B ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34， ∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4tan 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＋1＝916916＋1＝925.故选B.8．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选B 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.故y max ＝cos π6＝32，y min ＝cos 2π3＝－12.所以，所求值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.故选B.9.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos2xB ．y ＝cos2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝2πω＝π，∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C ．10.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118解析：选B如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝DE →＋EF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →.又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.11．(2019·某某百校联盟联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝( )A ．4－2 3B ．23－4C ．4－4 3D ．43－4解析：选B 由题意可得－sin α＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12·cos π12－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12＝3sin α＋π12cos π12＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sinπ12，整理可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2tan π12＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－2×tan π4－tanπ61＋tan π4tanπ6＝23－4.故选B.12．(2019·某某部分市学校联考)如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中AB ＝2，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC →·PB →的最大值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选B 连接BC ，则∠ACB ＝90°.∵AP ⊥PC ，∴AC →·PB →＝AC →·(PC →＋CB →)＝AC →·PC →＝(AP →＋PC →)·PC →＝PC →2.依题意可证Rt △APC ∽Rt △ACB ，∴|PC →||CB →|＝|AC →||AB→|，即|PC →|＝|AC →||CB →|2.∵|AC →|2＋|CB →|2＝|AB →|2，∴|AC →|2＋|CB →|2＝4≥2|AC→||CB →|，即|AC →||CB →|≤2，当且仅当|AC →|＝|CB →|时取等号，∴|PC →|≤1，∴AC →·PB →＝PC →2≤1，AC →·PB →的最大值为1，故选B. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )14．(2019·某某师大附中一模)已知两个单位向量a ，b 满足|a ＋2b |＝3，则a ，b 的夹角为________．解析：因为|a ＋2b |＝3，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(3)2.又a ，b 是两个单位向量，所以|a |＝1，|b |＝1，所以a ·b ＝－12.因为a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，则a ，b 的夹角为2π3. 答案：2π315．(2019·某某四校协作体联考)化简：1cos 80°－3sin 80°＝________.解析：1cos 80°－3sin 80°＝sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80°＝2sin (80°－60°)12sin 160°＝2sin 20°12sin 20°＝4.答案：416．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为________．解析：设c ＝(x ，y )，则2a －c ＝(2－x,2－y )，3b －c ＝(－3－x,3－y )，则由题意得(2－x )(－3－x )＋(2－y )(3－y )＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝132，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，52为圆心，262为半径的圆，所以|c |的最大值为26.答案：26三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为2π3，b ·c ＝－4，|a |＝22，某某数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4.∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0. ∵b ·c ＝|b ||c |cos 2π3＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4， ∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a ·c ＋n b ·c . ∴16＝n ×(－4)．∴n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ，得0＝8m －4a ·b ，即a ·b ＝2m ，①在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a ·b ＝12.② 由①②，得m ＝± 6. ∴a ·b ＝±2 6.∴cos θ＝±2622×2＝±32.∴θ＝π6或5π6.18．(12分)(2019·某某日照五中期中)已知角α的终边过点P (－4,3)． (1)求tan (3π＋α)sin (5π－α)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)若β为第三象限角，且tan β＝43，求cos(α－β)的值．解：(1)因为角α的终边过点P (－4,3)，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan (3π＋α)sin (5π－α)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin αcos αsin α＋sin α＝12cos α＝－58.(2)因为β为第三象限角，且tan β＝43，所以sin β＝－45，cos β＝－35.由(1)知，sin α＝35，cos α＝－45，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝0.19．(12分)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的．解：(1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2πT ＝2.所以y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π6.综上，所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6；然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；再使横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象．20．(12分)已知向量a ，b 不共线．(1)若OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，求当实数t 为何值时，A ，B ，C 三点共线；(2)若|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为120°，实数x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，求|a －x b |的取值X 围．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，即13(a ＋b )＝λa ＋(1－λ)t b ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，(1－λ)t ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，t ＝12.故t ＝12时，A ，B ，C 三点共线．(2)因为a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－12，则|a －x b |2＝a 2＋x 2b 2－2x a ·b ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以当x ＝－12时，|a －x b |取得最小值，最小值为32；当x ＝12时，|a －x b |取得最大值，最大值为72，所以|a －x b |的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72. 21．(12分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.22．(12分)(2019·襄阳四校期中)设函数f (x )＝cos π2－x cos x －sin 2(π－x )－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若f (α)＝3210－1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π8的值．解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －sin 2x －12＝12(sin 2x ＋cos2x )－1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)∵f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4－1＝3210－1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝35.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8知，2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－45. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α－π8＋π4－1word11 / 11 ＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4－1 ＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4sin π4－1 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35×22＋45×22－1＝－310.。

2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第一章§9训练案知能提升 Word版含答案

, [同学用书单独成册])[A.基础达标]1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将传播至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C.相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C.2．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摇摆时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摇摆的周期是1 s 时，线长l 等于( )A.g π B ．g 2π C.g π2 D ．g 4π2 解析：选D.由于周期T ＝2πg l，所以g l ＝2πT ＝2π，则l ＝g 4π2. 3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：选C.由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，得4k π－π≤t ≤4k π＋π，k ∈Z .当k ＝1时，得t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故在[10，15]上是增加的．4．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经长期观看，函数y ＝f (t )的图像可以近似地看成函数y ＝k ＋A sin(ωt ＋φ)的图像，下面函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0，24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0，24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0，24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π2，t ∈[0，24]解析：选A.将t ＝0及t ＝3分别代入给定的四个选项A ，B ，C ，D 中，可以看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.5．如图，设点A 是单位圆上的肯定点，动点P 从点A 动身在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图像大致是( )解析：选C.由l ＝αR 可知α＝l R ，结合圆的几何性质可知d 2＝R sin α2，所以d ＝2R sin α2＝2R sin l2R，又R＝1，所以d ＝2sin l2，故结合正弦图像可知，选C.6.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率分别是________．解析：t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故频率为1π. 答案：12，1π7．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω>0，0<φ<π)，则这段曲线的函数解析式为________．解析：图中从6时到14时的图像是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像．所以12·2πω＝14－6，解得ω＝π8，由图知A ＝12(30－10)＝10，b ＝12(30＋10)＝20，这时y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20，将x ＝6，y ＝10代入上式可取φ＝34π.综上所求的解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋34π＋20，x ∈[6，14]．答案：y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋34π＋20，x ∈[6，14]8．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针匀速地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，若将A ，B 两点的距离d (cm)表示成时间t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0，60]．解析：秒针1 s 转π30弧度，t s 后秒针转了π30t 弧度，如图所示，(1)当t ＝0时，d ＝0，(2)当0＜t ＜30时，由sin πt 60＝d25，所以d ＝10sin πt 60；(3)当t ＝30时，d ＝10；(4)当30＜t ＜60时，sin 2π－πt 302＝d 25，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－πt 60＝d 10，所以d ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－πt 60＝10sin πt 60；(5)当t ＝60时，d ＝0.综上可知当0≤t ≤60时，均有d ＝10sin πt60.答案：10sinπt 609.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观看后轮气针的运动规律．如图所示，轮胎以角速度ω做圆周运动，P 0为气针的初始位置，气针(看作一点)到原点O 距离为r cm ，求气针P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求出P 的运动周期，当φ＝π6，r ＝ω＝1时，说明其图像与函数y ＝sin t 图像有什么关系？解：过P 作x 轴的垂线(图略)，设垂足为M ，则MP 就是正弦线．所以y ＝r sin(ωt ＋φ)，因此T ＝2πω.当φ＝π6，r ＝ω＝1时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫t ＋π6，其图像是将y ＝sin t 的图像向左平移π6个单位长度得到的，如图所示．10．生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型．下表中给出了在24小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开头计时).时间(时) 温度(℃)0 36.8 2 36.7 4 36.6 6 36.7 8 36.8 10 37 12 37.2 14 37.3 16 37.4 18 37.3 20 37.222 37 24 36.8(1)在直角坐标系中以时间为横轴，温度为纵轴，描述以上数据组对应的点的图像； (2)选用一个三角函数来近似描述这些数据； (3)作出(2)中所选函数的图像．解：(1)图像如下．(2)设t 时的体温y ＝A sin(ωt ＋φ)＋c ，则c ＝37.4＋36.62＝37，A ＝37.4－36.62＝0.4，ω＝2πT ＝2π24＝π12.由0.4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×16＋φ＋37＝37.4，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝1，取φ＝－5π6.故可用函数y ＝0.4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t －5π6＋37来近似描述这些数据．(3)图像如下．[B.力量提升]P 0(2，－2)，1.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致是( )解析：选C.由于P 0(2，－2)，所以∠P 0Ox ＝π4，按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4，此时P 点纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，所以d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，当t ＝0时，d ＝2，排解A ，D ；当t ＝π4时，d ＝0，排解B.2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，依据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N ＋)C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝9，－A ＋B ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝7，又T ＝2(7－3)＝8. 所以ω＝2πT ＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7，由f (3)＝9，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.所以3π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )．又由于|φ|<π2，所以φ＝－π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7.3.如图，半圆的直径为2，A 为直径MN 的延长线上一点，且OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为边作等边△ABC ，设∠AOB ＝x 时，S 四边形OACB 等于________．解析：如图，S 四边形OACB ＝S △AOB ＋S △ABC .过点B 作BD ⊥MN 于D ，则BD ＝BO sin(π－x )，即BD ＝sin x .所以S △AOB ＝12×2sin x ＝sin x .由于OD ＝BO cos(π－x )＝－cos x ，所以AB 2＝BD 2＋AD 2＝sin 2x ＋(－cos x ＋2)2＝5－4cos x .所以S △ABC ＝12AB ·AB sin 60°＝534－3cos x .所以S 四边形OACB ＝sin x －3cos x ＋534.答案：sin x －3cos x ＋5344．如图，圆O 的半径为2，l 为圆O 外一条直线，圆心O 到直线l 的距离|OA |＝3，P 0为圆周上一点，且∠AOP 0＝π6，点P 从P 0处开头以2秒一周的速度绕点O 在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．(1)1秒钟后，点P 的横坐标为________．(2)t 秒钟后，点P 到直线l 的距离用t 可以表示为________________________________________________________________________．解析：(1)1秒钟后，点P 从P 0处绕点O 在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周，此时点P 与P 0关于原点对称，从而点P 的横坐标为－ 3.(2)由题意得，周期为2，则t 秒钟后，旋转角为πt ，则此时点P 的横坐标为2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt ＋π6，所以点P 到直线l 的距离为 3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6，t ≥0.答案：(1)－3 (2)3－2cos ⎝⎛⎭⎫πt ＋π6(t ≥0)5.一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图)．它从初始位置P 0开头，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．已知绳子的长度为l ，求：(1)P 的纵坐标y 关于时间t 的函数解析式； (2)点P 的运动周期和频率；(3)假如ω＝π6 rad/s ，l ＝2，φ＝π4，试求y 的最值；(4)在(3)中，试求小球到达x 轴的非负半轴所需的时间．解：(1)y ＝l sin(ωt ＋φ)，t ∈[0，＋∞)． (2)由解析式得，周期T ＝2πω，频率f ＝1T ＝ω2π.(3)将ω＝π6 rad/s ，l ＝2，φ＝π4代入解析式，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π4，t ∈[0，＋∞)．得最小正周期T ＝2πω＝2ππ6＝12.当t ＝12k ＋1.5，k ∈N 时，y max ＝2，当t ＝12k ＋7.5，k ∈N 时，y min ＝－2. (4)设小球经过时间t 后到达x 轴非负半轴，令π6t ＋π4＝2π，得t ＝10.5，所以当t ∈[0，＋∞)时，t ＝12k ＋10.5，k ∈N ，所以小球到达x 轴非负半轴所需要的时间为10.5＋12k ，k ∈N . 6．(选做题)某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24 单位：小时)而周期性变化．为了了解变化规律，该队观看若干天后，得到每天各时刻t 的浪高数据平均值如下表：y (米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.4 1.0 t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24(1)试画出散点图；(2)观看散点图，从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，y ＝A cos(ωt ＋φ)＋b 中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)假如确定当浪高不低于0.8米时才能进行训练，试支配白天进行训练的具体时间段．解：(1)散点图如图．(2)由散点图可知，选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 函数模型较为合适．由图可知A ＝1.4－1.0＝0.4＝25，T ＝12，b ＝1，ω＝2πT ＝π6，此时解析式为y ＝25sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt 6＋φ＋1，以点(0，1.0)为“五点法”作图的第一关键点则有π6×0＋φ＝0，所以φ＝0.所求函数的解析式为y ＝25sin πt6＋1(0≤t ≤24)．(3)由y ＝25sin πt 6＋1≥45(0≤t ≤24)，得sin πt 6≥－12，则－π6＋2k π≤πt 6≤7π6＋2k π，(k ∈Z )，得－1＋12k ≤t ≤7＋12k ，(k ∈Z )．令k ＝0，1，2，从而得0≤t ≤7或11≤t ≤19，或23≤t ≤24，所以应在白天11时～19时进行训练．。

优化方案高中数学第一章三角函数章末综合检测新人教A版必修4

章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝tan x2是( )A ．最小正周期为4π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为4π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选B ．该函数为奇函数，其最小正周期T ＝π12＝2π.2．简谐运动y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π3的相位与初相是( ) A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π3解析：选C.相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.3．设a ＜0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a ，4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A.25 B ．－25C.15D ．－15解析：选A.因为点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即（－3a ）2＋（4a ）2＝1，解得a ＝±15.因为a ＜0，所以a ＝－15.所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.所以sin α＝－45，cos α＝35.所以sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.4．设α为第二象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1＝( ) A ．1 B ．tan 2α C ．－tan 2α D ．－1解析：选D.sin αcos α·1sin 2α－1＝sin αcos α·cos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α. 因为α为第二象限角，所以cos α＜0，sin α＞0. 所以原式＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )为奇函数解析：选D.因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，所以T ＝2π，故A 选项正确；因为y＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数，所以y ＝－cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，故B 选项正确；因为f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，所以f (x )的图象关于直线x ＝0对称，故C 选项正确；f (x )＝－cos x 是偶函数，故D 选项错误．6．sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32B ．32C ．－12＋ 3D.12＋ 3 解析：选B ．sin 600°＝sin (360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， tan 240°＝tan (180°＋60°)＝tan 60°＝3，因此sin 600°＋tan 240°＝32. 7．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则si n α的值是( )A.355 B ．377C.31010 D.13解析：选C.由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.8．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )A ．1B ．－12C ．0D ．－1解析：选D.由f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的是g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝cos π＝－1.故选D.9．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23 B ．43 C.32D ．3解析：选C.法一：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －4π3ω＋π3＋2的图象．因为两图象重合，所以ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝32k ，k ∈Z .又ω＞0，所以ω的最小值是32. 法二：由题意可知，4π3是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2(ω＞0)的最小正周期T 的正整数倍，即4π3＝kT ＝2k πω(k ∈N *)，所以ω＝32k ，所以ω的最小值为32.10．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B ．π4C.π3D.π2解析：选 A.由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0，所以8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z )，|φ|的最小值为π6.11．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π2解析：选A.因为T ＝2ππ＝2，f (x )＝sin(πx ＋θ)，所以f (2)＝sin(2π＋θ)＝sin θ＝1，又0＜θ＜2π，则θ＝π2.故选A.12．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，则满足此条件的一个φ值为( )A.π12 B ．π6C.π3D.π4解析：选A.令2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π4－φ2(k ∈Z )，因为函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，所以令π6＜k π2＋π4－φ2＜π3(k ∈Z )，解得k π－π6＜φ＜k π＋π6(k ∈Z )，四个选项中只有A 符合，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知cos(45°＋α)＝513，则cos (135°－α)＝________．解析：cos (135°－α)＝cos [180°－(45°＋α)] ＝－cos (45°＋α)＝－513.答案：－51314．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6，当f (x )取最大值时，x 的取值集合为________．解析：由x 2－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝4k π＋43π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π＋43π，k ∈Z15．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为2，则ω＝________．解析：因为0＜ω＜1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ωπ3⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，所以sin ωπ3＝22，所以ωπ3＝π4，ω＝34.答案：3416．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z ；③把函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图象．其中，正确的说法是________．解析：对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，因为k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝3sin 2x ，故③对．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝12，求cos （3π＋θ）cos θ[cos （π＋θ）－1]＋cos （θ－4π）cos （θ＋2π）cos （3π＋θ）＋cos （－θ）的值．解：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin θ，所以sin θ＝－12.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝8. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，a 为常数． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1(其中0＜ω＜1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，(1)试求ω的值；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z ，因为0＜ω＜1，所以k ＝0，ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎛⎪⎫x ＋π6＋1，x ∈[－π，π]，列表如下，则函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象如图所示．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示．(1)求此函数的解析式；(2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间．解：(1)由题图可知，其振幅为A ＝23，由于T2＝6－(－2)＝8，所以周期为T ＝16，所以ω＝2πT ＝2π16＝π8，此时解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ.因为点(2，－23)在函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ的图象上，所以π8×2＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，所以φ＝2k π－3π4(k ∈Z )．又|φ|＜π，所以φ＝－3π4.故所求函数的解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4.(2)由2k π－π2≤π8x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得16k ＋2≤x ≤16k ＋10(k ∈Z )，所以函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4的递增区间是[16k ＋2，16k ＋10](k ∈Z )．当k ＝－1时，有递增区间[－14，－6]，当k ＝0时，有递增区间[2，10]，与定义区间求交集得此函数在(－2π，2π)上的递增区间为(－2π，－6]和[2，2π)． 21．(本小题满分12分)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，在同一个周期内，当x ＝π4时，y 取最大值1，当x ＝7π12时，y 取最小值－1.(1)求函数的解析式y ＝f (x )，并说明函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换可得到y ＝f (x )的图象？(2)若函数f (x )满足方程f (x )＝a (0＜a ＜1)，求此方程在[0，2π]内的所有实数根之和．解：(1)因为T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π4＝2π3，所以ω＝2πT＝3.又sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，所以3π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .又|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4. y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，再将y ＝s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象．(2)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的最小正周期为2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4在[0，2π]内恰有3个周期，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4＝a (0＜a ＜1)在[0，2π]内有6个实数根，从小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，则x 1＋x 2＝π4×2＝π2，x 3＋x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π3×2＝11π6， x 5＋x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π3×2×2＝19π6，故所有实数根之和为π2＋11π6＋19π6＝11π2.22．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω＞0，0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1)把(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得cos θ＝32. 因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6.因为T ＝π，且ω＞0，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32.所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3.因为点P 在y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6.所以4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6，所以x 0＝2π3或x 0＝3π4.。

2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第一章章末优化总结 Word版含答案

章末优化总结,)三角函数的值域与最值求三角函数的值域与最值的三种途径(1)利用函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b的值域求解．(2)将所求三角函数式变形为关于sin x(或cos x)的二次函数的形式，利用换元的思想进行转化，然后再结合二次函数的性质求解．(3)利用正弦函数、余弦函数的有界性求解，同时，一般函数求值域的方法(分别常数法、判别式法、图像法等)在三角函数中也适用．求y ＝sin x－2cos x－2的值域．[解]将已知函数式看成单位圆上的点A(cos x，sin x)与点B(2，2)连线的斜率，如图所示，观看得到k AB≤y ≤k CB.设过点B的圆的切线方程为y－2＝k(x－2)．即kx－y－2k＋2＝0.于是|2－2k|k2＋1＝1，解得k＝4±73.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－73，4＋73.已知|x|≤π4，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值．[解]y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.令t＝sin x，由于|x|≤π4，所以－22≤sin x≤22.则y＝－t2＋t＋1＝－⎝⎛⎭⎫t－122＋54⎝⎛⎭⎫－22≤t≤22，当t＝－22，即x＝－π4时，f(x)有最小值，且最小值为－⎝⎛⎭⎫－22－122＋54＝1－22.三角函数的性质1．三角函数的周期在不加说明的状况下，就是指最小正周期．求三角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k，y＝A cos(ωx＋φ)＋k及y＝A tan(ωx＋φ)＋k的形式，然后用公式求解，另外还可以利用图像求出三角函数的周期．2．争辩函数y＝A sin(ωx＋φ)的奇偶性时，应先考虑其定义域，若其定义域关于原点对称，则当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时，函数为偶函数；当φ≠kπ2(k∈Z)时，函数为非奇非偶函数．3．求函数y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0)的单调区间时(若ω＜0，可先利用诱导公式将x前的系数ω变成正值)，应把ωx＋φ视为一个整体，由A的符号来确定单调性．函数f(x)＝3sin⎝⎛⎭⎫2x－π3的图像为C.(1)图像C关于直线x＝11π12对称；(2)函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增加的；(3)由y＝3sin 2x的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C.以上三个论断中，正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[解析](1)f⎝⎛⎭⎪⎫11π12＝3sin⎝⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝3sin3π2＝－3，所以直线x＝11π12为图像C的对称轴，故(1)正确；(2)由－π12＜x＜5π12，得－π2＜2x－π3＜π2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增加的，故(2)正确；(3)f (x )＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，而由y ＝3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像，得不到图像C ，故(3)错误．[答案] C三角函数的图像及图像变换三角函数的图像是争辩三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平常的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观看来争辩函数的有关性质．具体要求如下：(1)用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π.(2)对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 应明确A ，ω，φ与单调性的关系，针对x 的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很简洁出错，应留意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区分．(3)由已知函数图像求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图像求得的y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．已知函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图像上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图像上的全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图像沿x 轴向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，写出函数y ＝g (x )的解析式；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求函数f (x )的最大值和最小值．[解] (1)由于T ＝2πω＝π，所以ω＝2.又由于f (x )min ＝－2，所以A ＝2. 由于f (x )的最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1.由于0＜φ＜π2，所以4π3＜4π3＋φ＜11π6，所以4π3＋φ＝3π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6――→横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6――→沿x 轴向右平移π6个单位长度 y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝2sin x ，所以y ＝g (x )＝2sin x . (3)由于0≤x ≤π12，所以π6≤2x ＋π6≤π3，所以当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )min ＝2sin π6＝1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )max ＝2sin π3＝ 3.1．已知sin(π＋θ)＜0，cos(π－θ)＜0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选A.由于sin(π＋θ)＝－sin θ＜0，所以sin θ＞0，又由于cos(π－θ)＝－cos θ＜0，所以cos θ＞0，所以角θ所在象限为第一象限．2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1－1x 2sin x 的图像大致为( )解析：选A.函数的定义域为{x |x ≠0}，所以排解B ，C.由于f (－x )＝⎝⎛⎭⎫1－1x 2sin(－x )＝－⎝⎛⎭⎫1－1x 2sin x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图像关于原点对称，故排解D.3．化简：1－sin 2440°＝________．解析：原式＝1－sin 2（360°＋80°）＝1－sin 280°＝cos 280°＝cos 80°.答案：cos 80°4．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________．解析：由0≤ωx ≤π2，得0≤x ≤π2ω，所以y ＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2ω上是递增的．又ω∈(0，1)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2ω，故f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是递增的，即2sinωπ3＝2，所以ω＝34. 答案：345．已知函数y ＝f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图像过点⎝⎛⎭⎫0，－32. (1)求φ的值，并求函数y ＝f (x )图像的对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数y ＝f (x )的值域．解：(1)由于函数图像过点⎝⎛⎭⎫0，－32，所以sin φ＝－32，又由于|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )．(2)由于0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.,[同学用书单独成册])(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简sin 600°的值是( )A ．0.5B ．－32C.32D ．－0.5 解析：选B.sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．已知函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2的值为( )A ．0B ．22C ．1D ．－1 解析：选C.由题知[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，所以cos a ＋b 2＝cos 2k π＝1.3．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( )A ．{1}B ．{1，3}C ．{－1}D ．{－1，3}解析：选D.当x 为第一象限角时，sin x ＞0，cos x ＞0，tan x ＞0，所以y ＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan xtan x ＝3；当x 为其次象限角时，sin x ＞0，cos x ＜0，tan x ＜0，所以y ＝sin x sin x ＋－cos x cos x ＋tan x－tan x ＝－1；当x 为第三象限角时，sin x ＜0，cos x ＜0，tan x ＞0，所以 y ＝sin x －sin x ＋－cos x cos x ＋tan x tan x＝－1；当x 为第四象限角时，sin x ＜0，cos x ＞0，tan x ＜0，所以y ＝sin x －sin x ＋cos x cos x ＋tan x －tan x ＝－1. 综上可知，值域为{－1，3}．4．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝( )A.56π B ．16π C.π2 D ．π3解析：选A.y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －π2）＋φ的图象，整理得y ＝cos(2x－π＋φ)．由于其图象与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，所以φ－π＝π3－π2＋2k π，所以φ＝π3＋π－π2＋2k π，即φ＝5π6＋2k π.又由于－π≤φ<π，所以φ＝5π6. 5．要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：选C.由于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，所以将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度，即可得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图像．故应选C.6．若两个函数的图像仅经过有限次平移能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：f 1(x )＝2cos 2x ，f 2(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，f 3(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－1，则( )A ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两为“同形”函数；B ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两不为“同形”函数；C ．f 1(x )，f 2(x )为“同形”函数，且它们与f 3(x )不为“同形”函数；D ．f 2(x )，f 3(x )为“同形”函数，且它们与f 1(x )不为“同形”函数．解析：选D.由题意得f 2(x )与f 3(x )中，A ，ω相同，所以可通过两次平移使其图像重合，即f 2(x )与f 3(x )为“同形”函数，而f 1(x )中ω＝2与f 2(x )，f 3(x )中的ω＝1不同，需要伸缩变换得到，即它们与f 1(x )不为“同形”函数．7．已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是( ) A ．f (cos α)>f (cos β) B ．f (sin α)>f (sin β) C ．f (sin α)>f (cos β) D ．f (sin α)<f (cos β)解析：选D.由已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，知函数f (x )在[0，1]上为减函数．当α、β为锐角三角形两内角时，有α＋β＞π2且0＜α，β＜π2，则π2＞α＞π2－β＞0，所以sin α＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，即sin α＞cos β，又0＜sin α，cos β＜1，所以f (sin α)<f (cos β)成立，选D.8．将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度，若所得图像与原图像重合，则ω的值不行能为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：选B.法一：将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位后所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ2＋φ，而平移后所得图像与原图像重合，所以ωπ2＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝4k (k ∈Z )，所以ω的值不行能等于6，故选B.法二：当ω＝4时，将函数f (x )＝2sin(4x ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝2sin(4x ＋φ)与原函数相同．当ω＝6时，将函数f (x )＝2sin(6x ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝2sin(6x ＋3π＋φ)＝－2sin(6x ＋φ)，与原函数不相同，故选B.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中|φ|＜π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，则f (x )的递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )解析：选C.由于f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值．函数f (x )的周期T ＝π，所以f (π)＝f (0)．又由于函数的对称轴为x ＝π6，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最小值，所以2×π6＋φ＝－π2，解得φ＝－56π.由－π2＋2k π≤2x －56π≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．10．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图像．依据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为( )A ．10小时B ．8小时C ．6小时D ．4小时解析：选B.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，2πω＝12，解得A ＝0.5，b ＝1，ω＝π6，则y ＝0.5cos πt 6＋1.令y ＝0.5cos πt 6＋1>1.25(t ∈[0，24])得cos πt 6>12.又t ∈[0，24]，πt 6∈[0，4π]，因此0≤πt6<π3或5π3<πt 6≤2π或2π≤πt 6<2π＋π3或2π＋5π3<πt6≤2π＋2π，即0≤t <2或10<t ≤12或12≤t <14或22<t ≤24，在一日内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同实数解，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2与y ＝m 有两个不同交点．令u ＝2x －π6，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2得u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，在同始终角坐标系中做出函数y ＝2sin u 与y ＝m 的图像(如图)，可知1≤m <2.答案：[1，2)12．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈[－π，0])的递减区间是________．解析：令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，令k ＝－1，得－5π6≤x≤－π3，得函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3.答案：⎣⎡⎦⎤－5π6，－π313．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 的大小关系为________(按由小至大挨次排列)．解析：a ＝sin 5π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－5π7＝sin 2π7，b ＝cos 2π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2π7＝sin 3π14，由于0＜3π14＜2π7＜π2，y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，所以b ＜a ；又由于0＜π4＜2π7＜π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，所以c ＝tan 2π7＞tan π4＝1，所以b ＜a ＜c .答案：b ＜a ＜c14．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度可得y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．解析：将y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图像，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.答案：2215．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题：①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6；②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③函数y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称；④函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π6对称．其中正确的是________．解析：①f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，正确；②T ＝2π2＝π，最小正周期为π，错误；③令2x ＋π3＝k π，当k ＝0时，x ＝－π6，所以函数f (x )关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，正确；④令2x ＋π3＝k π＋π2，当x ＝－π6时，k ＝－12，与k ∈Z 冲突，错误．所以①③正确．答案：①③三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)计算3sin （－1 200°）tan 113π－cos 585°·tan ⎝⎛⎭⎫－374π. 解：原式＝3sin （－120°－3×360°）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋2π3－cos(225°＋360°)·tan ⎝⎛⎭⎫－9π－14π＝－3sin 120°tan2π3＋cos 225°tan π4＝－3sin 60°－tanπ3＋(－cos 45°)·tan π4＝3·323＋⎝⎛⎭⎫－22×1＝32－22.17. (本小题满分10分)(1)求函数y ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的最大值和最小值及相应的x 值；(2)已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值．解：(1)当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－1，即x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z .所以当x ＝－23π＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最大值1＋2＝3.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，即x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .所以当x ＝π3＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最小值1－2＝－1.(2)由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，所以－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤12.当a ＞0，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3.所以12a ＋3＝4，所以a ＝2.当a ＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋ 3.所以－a ＋3＝4，所以a ＝－1. 综上可知，实数a 的值为2或－1.18．(本小题满分10分)为得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图像，只要把函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换？解：法一：①把函数y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像；②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像；③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像；④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．综上得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．法二：将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：①把函数y ＝sin x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图像；②把得到的图像向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像； ③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像；④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．综上得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像．解：(1)由于x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .由于－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，列表如下：x 0 π8 3π8 5π8 7π8 π y－22－11－22描点连线，可得函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像如下．20．(本小题满分13分)已知A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0图像上的任意两点，且角φ的终边经过点P (1，－3)，若|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π3.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，不等式mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由于角φ的终边经过点P (1，－3)，所以tan φ＝－3，且－π2＜φ＜0，得φ＝－π3.函数f (x )的最大值为2，又|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π3，得周期T ＝2π3，即2πω＝2π3，所以ω＝3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3.(2)令－π2＋2k π ≤3x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π18＋2k π3≤x ≤5π18＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π18＋2k π3，5π18＋2k π3，k ∈Z .(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，－π3≤3x －π3≤π6，得－3≤f (x )≤1，所以2＋f (x )＞0，则mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立等价于m ≥f （x ）2＋f （x ）＝1－22＋f （x ）恒成立．由于2－3≤2＋f (x )≤3，所以1－22＋f （x ）最大值为13，所以实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，＋∞.。

2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第一章章末综合检测 Word版含答案

,[同学用书单独成册])(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简sin 600°的值是( )A ．0.5B ．－32C.32D ．－0.5 解析：选B.sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32.2．已知函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2的值为( )A ．0B ．22C ．1D ．－1解析：选C.由题知[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，所以cos a ＋b 2＝cos 2k π＝1.3．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( )A ．{1}B ．{1，3}C ．{－1}D ．{－1，3}解析：选D.当x 为第一象限角时，sin x ＞0，cos x ＞0，tan x ＞0，所以y ＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan x tan x ＝3；当x 为其次象限角时，sin x ＞0，cos x ＜0，tan x ＜0，所以y ＝sin x sin x ＋－cos x cos x ＋tan x－tan x ＝－1；当x 为第三象限角时，sin x ＜0，cos x ＜0，tan x ＞0，所以 y ＝sin x －sin x ＋－cos x cos x ＋tan x tan x＝－1；当x 为第四象限角时，sin x ＜0，cos x ＞0，tan x ＜0，所以y ＝sin x －sin x ＋cos x cos x ＋tan x －tan x ＝－1. 综上可知，值域为{－1，3}．4．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝( )A.56π B ．16π C.π2 D ．π3解析：选A.y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －π2）＋φ的图象，整理得y ＝cos(2x－π＋φ)．由于其图象与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，所以φ－π＝π3－π2＋2k π，所以φ＝π3＋π－π2＋2k π，即φ＝5π6＋2k π.又由于－π≤φ<π，所以φ＝5π6.5．要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：选C.由于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，所以将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度，即可得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图像．故应选C.6．若两个函数的图像仅经过有限次平移能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：f 1(x )＝2cos 2x ，f 2(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，f 3(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－1，则( )A ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两为“同形”函数；B ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两不为“同形”函数；C ．f 1(x )，f 2(x )为“同形”函数，且它们与f 3(x )不为“同形”函数；D ．f 2(x )，f 3(x )为“同形”函数，且它们与f 1(x )不为“同形”函数．解析：选D.由题意得f 2(x )与f 3(x )中，A ，ω相同，所以可通过两次平移使其图像重合，即f 2(x )与f 3(x )为“同形”函数，而f 1(x )中ω＝2与f 2(x )，f 3(x )中的ω＝1不同，需要伸缩变换得到，即它们与f 1(x )不为“同形”函数．7．已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是( ) A ．f (cos α)>f (cos β) B ．f (sin α)>f (sin β) C ．f (sin α)>f (cos β) D ．f (sin α)<f (cos β)解析：选D.由已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，知函数f (x )在[0，1]上为减函数．当α、β为锐角三角形两内角时，有α＋β＞π2且0＜α，β＜π2，则π2＞α＞π2－β＞0，所以sin α＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，即sin α＞cos β，又0＜sin α，cos β＜1，所以f (sin α)<f (cos β)成立，选D.8．将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度，若所得图像与原图像重合，则ω的值不行能为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：选B.法一：将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位后所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ2＋φ，而平移后所得图像与原图像重合，所以ωπ2＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝4k (k ∈Z )，所以ω的值不行能等于6，故选B.法二：当ω＝4时，将函数f (x )＝2sin(4x ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝2sin(4x ＋φ)与原函数相同．当ω＝6时，将函数f (x )＝2sin(6x ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝2sin(6x ＋3π＋φ)＝－2sin(6x ＋φ)，与原函数不相同，故选B.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中|φ|＜π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，则f (x )的递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )解析：选C.由于f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值．函数f (x )的周期T ＝π，所以f (π)＝f (0)．又由于函数的对称轴为x ＝π6，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最小值，所以2×π6＋φ＝－π2，解得φ＝－56π.由－π2＋2k π≤2x －56π≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．10．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：t (小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图像．依据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为( )A ．10小时B ．8小时C ．6小时D ．4小时解析：选B.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，2πω＝12，解得A ＝0.5，b ＝1，ω＝π6，则y ＝0.5cos πt 6＋1.令y ＝0.5cos πt 6＋1>1.25(t ∈[0，24])得cos πt 6>12.又t ∈[0，24]，πt 6∈[0，4π]，因此0≤πt6<π3或5π3<πt 6≤2π或2π≤πt 6<2π＋π3或2π＋5π3<πt6≤2π＋2π，即0≤t <2或10<t ≤12或12≤t <14或22<t ≤24，在一日内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同实数解，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2与y ＝m 有两个不同交点．令u ＝2x －π6，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2得u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，在同始终角坐标系中做出函数y ＝2sin u 与y ＝m 的图像(如图)，可知1≤m <2.答案：[1，2)12．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈[－π，0])的递减区间是________．解析：令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，令k ＝－1，得－5π6≤x≤－π3，得函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3.答案：⎣⎡⎦⎤－5π6，－π313．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 的大小关系为________(按由小至大挨次排列)．解析：a ＝sin 5π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－5π7＝sin 2π7，b ＝cos 2π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2π7＝sin 3π14，由于0＜3π14＜2π7＜π2，y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，所以b ＜a ；又由于0＜π4＜2π7＜π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，所以c ＝tan 2π7＞tan π4＝1，所以b ＜a ＜c .答案：b ＜a ＜c14．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度可得y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．解析：将y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图像，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.答案：2215．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题：①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6；②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③函数y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称；④函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π6对称．其中正确的是________．解析：①f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，正确；②T ＝2π2＝π，最小正周期为π，错误；③令2x ＋π3＝k π，当k ＝0时，x ＝－π6，所以函数f (x )关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，正确；④令2x ＋π3＝k π＋π2，当x ＝－π6时，k ＝－12，与k ∈Z 冲突，错误．所以①③正确．答案：①③三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)计算3sin （－1 200°）tan 113π－cos 585°·tan ⎝⎛⎭⎫－374π. 解：原式＝3sin （－120°－3×360°）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋2π3－cos(225°＋360°)·tan ⎝⎛⎭⎫－9π－14π＝－3sin 120°tan2π3＋cos 225°tan π4 ＝－3sin 60°－tanπ3＋(－cos 45°)·tan π4＝3·323＋⎝⎛⎭⎫－22×1＝32－22.17. (本小题满分10分)(1)求函数y ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的最大值和最小值及相应的x 值；(2)已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值．解：(1)当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－1，即x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z .所以当x ＝－23π＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最大值1＋2＝3.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，即x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .所以当x ＝π3＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最小值1－2＝－1.(2)由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，所以－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤12.当a ＞0，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3.所以12a ＋3＝4，所以a ＝2.当a ＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3.所以－a ＋3＝4，所以a ＝－1. 综上可知，实数a 的值为2或－1.18．(本小题满分10分)为得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图像，只要把函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换？解：法一：①把函数y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像；②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像；③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像；④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．综上得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．法二：将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：①把函数y ＝sin x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图像；②把得到的图像向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像； ③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像；④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．综上得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像．解：(1)由于x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .由于－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，列表如下：x 0 π8 3π8 5π8 7π8 π y－22－11－22描点连线，可得函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像如下．20．(本小题满分13分)已知A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0图像上的任意两点，且角φ的终边经过点P (1，－3)，若|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π3.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，不等式mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由于角φ的终边经过点P (1，－3)，所以tan φ＝－3，且－π2＜φ＜0，得φ＝－π3.函数f (x )的最大值为2，又|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π3，得周期T ＝2π3，即2πω＝2π3，所以ω＝3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3.(2)令－π2＋2k π ≤3x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π18＋2k π3≤x ≤5π18＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π18＋2k π3，5π18＋2k π3，k ∈Z .(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，－π3≤3x －π3≤π6，得－3≤f (x )≤1，所以2＋f (x )＞0，则mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立等价于m ≥f （x ）2＋f （x ）＝1－22＋f （x ）恒成立．由于2－3≤2＋f (x )≤3，所以1－22＋f （x ）最大值为13，所以实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，＋∞.。

高中数学模块综合测评新人教A版必修4[1](2021年整理)

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模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设向量a＝(2,4）与向量b＝（x,6）共线，则实数x＝（）A．2 B．3C．4 D．6【解析】∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.【答案】B2．如果一扇形的弧长为2π cm，半径等于2 cm，则扇形所对圆心角为（）A．2π B．πC．错误!D．错误!【解析】θ＝错误!＝错误!＝π。

【答案】B3．设α是第二象限的角，P（x,4)为其终边上的一点，且cos α＝错误!，则tan α＝( ) A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!【解析】∵点P（x,4)在角α终边上，则有cos α＝错误!＝错误!。

又x≠0,∴16＋x2＝5,∴x＝3或－3.又α是第二象限角，∴x＝－3，∴tan α＝错误!＝错误!＝－错误!.【答案】D4．已知错误!＝2＋错误!，则tan错误!等于（)A．2＋错误!B．1C．2－错误!D．错误!【解析】∵错误!＝2＋错误!，∴tan错误!＝错误!＝错误!＝2－错误!。

【答案】C5．已知平面向量a＝（2,4)，b＝(－1,2),若c＝a－（a·b)b，则｜c|等于( ）A．4错误!B．2错误!C．8 D．8错误!【解析】由题意易得a·b＝2×（－1)＋4×2＝6，∴c＝（2，4）－6(－1,2）＝(8，－8)，∴｜c|＝错误!＝8错误!.【答案】D6．已知cos错误!＝m，则cos x＋cos错误!＝( )A．2m B．±2mC．错误!m D．±错误!m【解析】∵cos错误!＝m，∴cos x＋cos错误!＝cos x＋错误!cos x＋错误!sin x＝错误!sin错误!＝3cos 错误!＝错误!cos错误!＝错误!m。

高中数学模块综合测评含解析新人教A版必修4

模块综合测评(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．若cos α＝13,则cos 2α＝( )A.429B ．－429C.79D ．－79D [cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79,故选D.]2．已知扇形的圆心角为2π3弧度,半径为2,则扇形的面积是( )A.8π3B.43 C ．2πD.4π3D [扇形的面积S ＝12×2π3×22＝4π3.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝13,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π12的值等于( ) A.13 B.223C ．－13D ．－223C [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝－13,故选C.] 4．设向量a ＝(2tan α,tan β),向量b ＝(4,－3),且a ＋b ＝0,则tan(α＋β)＝( ) A.17 B ．－15C.15D ．－17A [∵a ＋b ＝(2tan α＋4,tan β－3)＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧2tan α＋4＝0，tan β－3＝0，∴tan α＝－2,tan β＝3,∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋31－－2×3＝17.]5．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ,g (x )＝2cos x ,动直线x ＝t 与f (x )和g (x )的图象分别交于A ,B 两点,则|AB |的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0,2]D ．[1,2]B [题意得|AB |＝|f (t )－g (t )|＝|sin t －cos t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4∈[0,2]．故选B.]6．已知tan θ2＝23,则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ的值为( )A.23 B ．－23C.32D ．－32A [1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝tan θ2＝23.]7．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象,只要把函数y ＝2cos 2x 图象上所有的点( )A ．向左平行移动π8个单位长度B ．向右平行移动π8个单位C.向左平行移动π4个单位长度D ．向右平行移动π4个单位B [只要把函数y ＝ 2 cos 2x 图象上所有的点,向右平行移动π8个单位,可得函数y ＝ 2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象, 故选B.]8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜π2,x ∈R )在一个周期内的图象如图所示,则y ＝f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4 B ．f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋π3 C.f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4 D ．f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x －π3B [由图象知函数的最大值为A ＝4,T 4＝π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝3π8.即T ＝3π2＝2πω,即ω＝43,即f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋φ, 由五点对应法得43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0,得φ＝π3,得f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋π3,故选B.]9．已知f (x )＝1＋sin 2x2,若a ＝f (lg 5),b ＝f (lg 0.2),则下列正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1C [∵b ＝f (lg 0.2)＝f (－lg 5),∴f (x )＋f (－x )＝1＋sin 2x 2＋1＋sin －2x2＝1,∴a ＋b ＝f (lg 5)＋f (－lg 5)＝1.]10．如图,设P 为△ABC 内一点,且AP →＝14AB →＋15AC →,BM →＝34BA →,CN →＝45CA →,则△PMB 的面积与△ABC 的面积之比等于( )A ．1∶5B ．2∶5C ．3∶20D ．7∶20C [由题可知AM →＝14AB →,AN →＝15AC →,则AP →＝AM →＋AN →,由平行四边形法则可知NP →∥AB →,AN →∥MP →,所以S △PMB S △ABC ＝|PM →|·|MB →||AB →|·|AC →|＝15×34＝320.]11．函数f (x )＝cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的一个单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π A [函数f (x )＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3,令－π2＋2k π≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z ),解得－5π6＋2k π≤x ≤2k π＋π6,当k ＝0时,函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6.故选A.]12．在△ABC 中,A ,B ,C 是其三个内角,设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B ,当f (B )－m ＜2恒成立时,实数m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－3C ．m ＜3D ．m ＞1D [f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1. ∵f (B )－m ＜2恒成立, ∴2sin B ＋1－m ＜2恒成立, 即m ＞2sin B －1恒成立． ∵0＜B ＜π, ∴0＜sin B ≤1,∴－1＜2sin B －1≤1,故m ＞1.]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13．已知OA →＝(－2,1), OB →＝(0,2),且AC →∥OB →,BC →⊥AB →,则点C 的坐标是． (－2,6) [设C (x ,y ),则AC →＝(x ＋2,y －1),B C →＝(x ,y －2),AB →＝(2,1)．由AC →∥OB →,BC →⊥AB →,得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴点C 的坐标为(－2,6)．]14．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变),则所得的图象的函数解析式为．y ＝sin 4x [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ,再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得y ＝sin 4x .]15．设α是第二象限角,P (x,4)为其终边上一点,且cos α＝x5,则tan 2α＝ .247[因为α是第二象限角,P (x,4)为其终边上的一点,所以x ＜0, 因为cos α＝x 5＝xx 2＋16,所以x ＝－3,所以tan α＝y x ＝－43,所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.] 16．如图,在等腰△ABC 中,D 为底边BC 的中点,E 为AD 的中点,直线BE 与边AC 交于点F ,若AD ＝BC ＝4,则AB →·CF →＝ .－8 [以点D 为原点,以BC 为x 轴建立平面直角坐标系；则A (0,4),B (－2,0),C (2,0),E (0,2),直线AC 的方程为2x ＋y －4＝0；直线BE 的方程为x －y ＋2＝0；由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0x －y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝83,向量AB →＝(－2,－4),CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，83,则AB →·CF →＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4×83＝－8, 所以AB →·CF →＝－8.]三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α＋π·tan α－πcos 3π－α的值．[解] (1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1, ∴点P 在单位圆上,由正弦函数定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α.由(1)知,P 在单位圆上,∴由余弦函数定义得cos α＝45,∴原式＝54.18．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α,sin α),b ＝(1,2sin α－1),α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,a·b ＝25,求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos 2α2.[解] ∵a·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25,∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π,∴cos α＝－45, ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425,∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22cos α－sin α1＋cos α＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－351－45＝－10 2.19．(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,已知AB ＝2,AC ＝6,∠BAC ＝60°,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且AB →＝2AD →,AC →＝5AE →.(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →,求证：点F 为DE 的中点；(2)在(1)的条件下,求BA →·EF →的值． [解] (1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →,所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →,又AB →＝2AD →,AC →＝5AE →,所以AF →＝12AD →＋12AE →,所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →),因为AB →＝2AD →,AC →＝5AE →, 所以EF →＝14AB →－110AC →,所以BA →·EF →＝－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →－110AC →＝－14AB 2→＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos 60°＝－25.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos 4x －12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋cos 2x －sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)在所给坐标系中画出函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π，118π的图象(只作图不写过程)．[解] f (x )＝1－2sin 22x －1－2sin 2x＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π,令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2,k ∈Z ,则2k π＋π4≤2x ≤2k π＋5π4,k ∈Z ,故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (2)图象如下：21．(本小题满分12分)如图,已知OP →＝(2,1),OA →＝(1,7),OB →＝(5,1),设Z 是直线OP 上的一动点．(1)求使ZA →·ZB →取最小值时的OZ →；(2)对(1)中求出的点Z ,求cos∠AZB 的值． [解] (1)∵Z 是直线OP 上的一点, ∴OZ →∥OP →.设实数t ,使OZ →＝tOP →, ∴OZ →＝t (2,1)＝(2t ,t ), 则ZA →＝OA →－OZ →＝(1,7)－(2t ,t ) ＝(1－2t,7－t ),ZB →＝OB →－OZ →＝(5,1)－(2t ,t )＝(5－2t,1－t ),∴ZA →·ZB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8. 当t ＝2时,ZA →·ZB →有最小值－8, 此时OZ →＝(2t ,t )＝(4,2)．(2)当t ＝2时,ZA →＝(1－2t,7－t )＝(－3,5), |ZA →|＝34,ZB →＝(5－2t,1－t )＝(1,－1),|ZB →|＝ 2. 故cos∠AZB ＝ZA →·ZB→|ZA →||ZB →|＝－834×2＝－417＝－41717.22．(本小题满分12分)(2019·钦州高一期末)已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有两个不相等的实数根,求m 的取值范围．[解] (1)f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3, 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2,k ∈Z ,得k π－π12≤x ≤k π＋5π12,k ∈Z ,即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12,k ∈Z .(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2,所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3,设X ＝2x －π3,则X ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3,f (x )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有两个不相等的实数根,即g (X )＝2sin X ＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上有两个不相等的实数根,由图象知g ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin 2π3＝2×32＝3,则要使g (X )＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上有两个不相等的实数根,则3≤m＜2,即实数m的取值范围是[3,2)．- 11 -。

优化方案高中数学第二章平面向量章末综合检测新人

章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在五边形ABCDE 中(如图)，AB →＋BC →－DC →＝( ) A.AC →B ．AD → C.BD →D.BE →解析：选B ．AB →＋BC →－DC →＝AC →＋CD →＝AD →.2．已知向量a ＝(－1，x )，b ＝(1，x )，若2b －a 与a 垂直，则|a |＝( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．4 解析：选C.由题意得，2b －a ＝2(1，x )－(－1，x )＝(3，x )，因为(2b －a )⊥a ，所以－1×3＋x 2＝0，即x 2＝3，所以|a |＝（－1）2＋3＝2.3．已知O (0，0)，A (2，0)，B (3，1)，则(OB →－OA →)·OB →＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4解析：选A.由已知得OA →＝(2，0)，OB →＝(3，1)，OB →－OA →＝(1，1)，则(OB →－OA →)·OB →＝(1，1)·(3，1)＝3＋1＝4.4．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B ．π2C.2π3D.3π4解析：选C.因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.5．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有( )A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．|a |＝|b |D ．|a |≠|b |解析：选A.f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )＝－a·b x 2＋(a 2－b 2)x ＋a·b ，若函数f (x )的图象是一条直线，那么其二次项系数为0，所以a·b ＝0，所以a ⊥b ，故选A.6．在△ABC 中，已知D 是边AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13 B ．23 C.12D.34解析：选B ．由已知得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，因此λ＝23，故选B ．7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，如果BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，那么|AM →|等于( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选C.因为BC →2＝16，所以|BC →|＝4. 又因为|AB →－AC →|＝|CB →|＝4，所以|AB →＋AC →|＝4. 因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)．所以|AM →|＝12|AB →＋AC →|＝2.8．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：选B ．由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12. 9．已知平面上直线l 的方向向量e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，点O (0，0)和A (1，－2)在l 上的射影分别是O ′和A ′，则O ′A ′→＝λe ，其中λ等于( )A.115B ．－115C ．2D ．－2解析：选D.由题意可知|O ′A ′→|＝|OA →|cos(π－θ)(θ为OA →与e 的夹角)．因为O (0，0)，A (1，－2)，所以OA →＝(1，－2)．因为e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，所以OA →·e ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋(－2)×35＝－2＝|OA →|·|e |·cos θ，所以|OA →|·cos θ＝－2.又因为|O ′A ′→|＝|λ|·|e |，所以λ＝±2.又由已知可得λ<0，所以λ＝－2，故选D.10．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19 B ．13 C ．1 D ．3解析：选B ．如图，因为AN →＝12NC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋29×3AN →＝mAB →＋23AN →，又B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13.11．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b＝mq －np .下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2解析：选B ．根据题意可知若a ，b 共线，可得mq ＝np ，所以a ⊙b ＝mq －np ＝0，所以A 正确；因为a ⊙b ＝mq －np ，而b ⊙a ＝np －mq ，故二者不相等，所以B 错误；对于任意的λ∈R ，(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )＝λmq －λnp ，所以C 正确；(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2＋n 2p 2－2mnpq ＋m 2p 2＋n 2q 2＋2mnpq ＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，所以D 正确．故选B ．12．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ，m ，α为实数，若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6，1]B ．[4，8]C ．(－∞，1]D ．[－1，6]解析：选A.由a ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2m －2，λ2－m ＝cos 2α＋2sin α，又cos 2α＋2sin α＝－sin 2α＋2sin α＋1 ＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos 2α＋2sin α≤2，所以－2≤λ2－m ≤2，将λ2＝(2m －2)2代入上式，得－2≤(2m －2)2－m ≤2，得14≤m ≤2，所以λm ＝2m －2m ＝2－2m∈[－6，1]．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)14．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．解析：AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC＝60°.又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．答案：等边三角形15．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．解析：由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°. 答案：90°16．(2015·高考天津卷)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．解析：取BA →，BC →为一组基底，则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →，AF →＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712BA →＋BC →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－712BA →＋BC →＝712||BA→2－2518BA →·BC →＋23||BC →2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. 答案：2918三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，解得k ＝－12.(2)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝m λ，解得m ＝32.18．(本小题满分12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，(1)用OA →，OB →表示OC →.(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．解：(1)因为2AC →＋CB →＝0，所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →. (2)证明：如图，DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)．故DA →＝12OC →.即DA∥OC，且DA≠OC.故四边形OCAD 为梯形．19．(本小题满分12分)已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)， (1)当x ，y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x ，y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 与b 共线，所以存在实数λ，使得a ＝λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ∈R ，所以当x ＝13，y 为任意实数时，a 与b 共线．(2)由a ⊥b ⇒a ·b ＝0⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.① 由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53y ＝73，所以xy ＝－1或xy ＝359.所以存在实数x ，y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |，此时xy ＝－1或xy ＝359.20．(本小题满分12分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (3，4)，B (0，0)，C (c ，0)． (1)若AB →·AC →＝0，求c 的值； (2)若c ＝5，求sin A 的值．解：(1)AB →＝(－3，－4)，AC →＝(c －3，－4)．因为AB →·AC →＝0，所以－3(c －3)＋16＝25－3c ＝0，所以c ＝253.(2)因为AB →＝(－3，－4)，AC →＝(c －3，－4)＝(2，－4)，所以co s A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－6＋165×25＝55.所以sin A ＝1－cos 2A ＝255.21．(本小题满分12分)如图所示，G 为△AOB 的中线OM 的中点，过点G 作直线分别交OA ，OB 于点P ，Q ，设OP OA＝m ，OQ OB＝n ，试推断1m ＋1n是否为定值．解：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝12OM →＝14(OA →＋OB →)＝14a ＋14B ．所以PG →＝OG →－OP →＝14a ＋14b －m a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－m a ＋14B ． PQ →＝OQ →－OP →＝nOB →－mOA →＝n b －m a .因为PG →与PQ →共线，所以PG →＝λPQ →(λ∈R )，即⎝ ⎛⎭⎪⎫14－m a ＋14b ＝λ(n b －m a )．所以⎩⎪⎨⎪⎧14－m ＝－λm ，14＝λn .消去λ得14－m ＝－m 4n ⇒14m －1＝－14n .所以1m ＋1n＝4为定值．22．(本小题满分12分)在四边形ABCD 中，已知BC →∥DA →，AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)．(1)求x 与y 的关系式；(2)若AC →⊥BD →，求x ，y 的值以及四边形ABCD 的面积．解：(1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，所以DA →＝－AD →＝(－x －4，2－y )．又因为BC →∥DA →，BC →＝(x ，y )，所以x (2－y )－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)．因为AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，所以y 2－2y －3＝0，所以y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，则BC →＝(－6，3)，AC →＝(0，4)，BD →＝(－8，0)．所以|AC →|＝4，|BD →|＝8，所以S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16.当y ＝－1时，x ＝2，则BC →＝(2，－1)，AC →＝(8，0)，BD →＝(0，－4)． |AC →|＝8，|BD →|＝4，S 四边形ABCD ＝16.综上可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，S 四边形ABCD ＝16.。

高中数学模块综合检测卷新人教A版必修4

模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是(C ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，(a －b )·b ＝0，所以a －b 与b 垂直．故选C.2．点P 从()1，0出发，沿单位圆逆时针方向运动4π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析：由三角函数的定义知，Q 点的坐标为⎝⎛cos 4π3，⎭⎪⎫sin 4π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.故选C.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω＞0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (0)＝(D )A ．1 B.12 C.22 D.32解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2，把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π3，∴f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (0)＝sin π3＝32.故选D. 4．将函数y ＝sin( 2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(B )A.3π4 B.π4 C ．0 D ．－π4解析：利用平移规律求得解析式，验证得出答案．y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位Y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.5．已知sin(π＋α)＝45且α是第三象限的角，则cos(2π－α)的值是(B )A ．－45B ．－35C ．±45 D.35解析：sin(π＋α)＝45⇒sin α＝－45，又∵α是第三象限的角，∴cos(2π－α)＝cosα＝－35.故选B.6．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2sin 3x 的图象(D ) A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位解析：y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，故只需将y ＝2sin 3x 向左平移π12个单位．7．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于(C ) A ．30° B ．60°C ．120°D ．90°解析：c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1⇒cosa ，b ＝a ·b ||a ||b ＝－12⇒a ，b ＝120°.故选C. 8．函数f (x )＝sin x －12，x ∈(0，2π)的定义域是(B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3 解析：如下图所示，∵sin x ≥12，∴π6≤x ≤5π6.故选B.9．(2015·新课标全国高考Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点BC →＝3CD →，则(A ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：由题知AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →，故选A.10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于(B )A ．7 B.17 C ．－17D ．－7解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，所以sin α<0，即sin α＝－35，tan α＝34. 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17，故选B.11．函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是(D )A ．0 B.π2 C ．π D.3π212．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是(D )A ．2 2B ．2 3C ．2D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．解析：因为a 2＝9＋4－2×3×2×13＝9，b 2＝9＋1－2×3×1×13＝8，a ·b ＝9＋2－9×1×1×13＝8，所以cos β＝83×22＝223.考点：向量数量积及夹角答案：223.14．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________．解析：f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤f (x )≤2， ∴f (x )的最小值为1. 答案：115．若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．解析：由题意f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将其图象向右平移φ个单位，得2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －2φ＋π4，要使图象关于y 轴对称，则π4－2φ＝π2＋kπ，解得φ＝－π8－k π2，当k ＝－1时，φ取最小正值3π8.答案：3π816．已知函数f (x )＝sin ωx ，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，有下列命题： ①当ω＝2时，f (x )g (x )的最小正周期是π2；②当ω＝1时，f (x )＋g (x )的最大值为98；③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2可以得到函数g (x )的图象．其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上)．解析：①ω＝2时，f (x )g (x )＝si n 2x ·cos 2x ＝12sin 4x ，周期T ＝2π4＝π2.故①正确．②ω＝1时，f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos 2x ＝sin x ＋1－2sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋98，∴当sin x ＝14时，f (x )＋g (x )取最大值98.故②正确．③ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2得到sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin 2x ，故③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点．(1)求OA →·OB →；(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标．解析：(1)OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5. (2)设P (m ，n )，∵P 在AB 上，∴BA →与PA →共线． BA →＝(4，2)，PA →＝(1－m ，－2－n )，∴4·(－2－n )－2(1－m )＝0. 即2n －m ＋5＝0.① 又∵OP →⊥AB →，∴(m ，n )·(－4，－2)＝0. ∴2m ＋n ＝0.②由①②解得m ＝1，n ＝－2，∴OP →＝(1，－2)． 18．(本小题满分12分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13. (1)求tan α的值；(2)求2sin 2α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解析：(1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13，∴tan α＝－12.(2)原式＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝85. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x .(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)若f (x )＝65，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．解析：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ＝2sin x cos π6＋2cos x sin π6－2cos x＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π ，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤23π＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调增区间为[－π3＋2k π，23π＋2k π](k ∈Z)．(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝725.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (a )的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解析：(1)由0＜α＜π2，且sin α＝22，求出角α的余弦值，再根据函数f (x )＝cosx (sin x ＋cos x )－12，即可求得结论．(2)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12，由正弦与余弦的二倍角公式，以及三角函数的化一公式，将函数f (x )化简，根据三角函数周期的公式即可得结论，根据函数的单调递增区间，通过解不等式即可得到所求的结论．(1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22，所以f (a )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0.(1)求实数a 的值；(2)设g (x )＝[f (x )]2－2，求函数g (x )的最小正周期与单调递增区间．解析：(1)∵函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0.即－32＋a2＝0.解得a ＝ 3. (2)g (x )＝4sin 2(x ＋π3)－2＝2(1－cos(2x ＋2π3)－2＝－2cos(2x ＋2π3)∴g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.令－ π＋2k π≤2x ＋2π3≤2k π，k ∈Z－5π6＋k π≤x ≤k π－π3，k ∈Z ∴g (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6＋k π，－π3＋k π，k ∈Z.22．(本小题满分10分)已知向量m ＝(sin x ，－cos x )，n ＝(cos θ，－sin θ)，其中0<θ<π.函数f (x )＝m·n 在x ＝π处取最小值．(1)求θ的值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若sin B ＝2sin A ，f (C )＝12，求A .解析：(1)∵f (x )＝m ·n ＝sin x cos θ＋cos x sin θ＝sin(x ＋θ)，又∵函数f (x )在x ＝π处取最小值，∴sin(π＋θ)＝－1, 即sin θ＝1.又0<θ<π，∴θ＝π2.(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .∵f (C )＝12，∴cos C ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝2π3－A ，代入sin B ＝2sin A 中，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝2sin A ，∴tan A ＝33， ∵0<A <π，∴A ＝π6.。

高中数学模块综合测试卷新人教A版必修4

模块综合测试卷班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．－3290°角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案：D解析：－3290°＝－360°×10＋310° ∵310°是第四象限角 ∴－3290°是第四象限角2．在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的弧长l 为( ) A.23π B.34π C.56π D ．π 答案：A解析：设该弦AB 所对的圆心角为α，由已知R ＝1，∴sin α2＝AB2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π，∴l ＝αR ＝23π.3．下列函数中周期为π2的偶函数是( )A ．y ＝sin4xB ．y ＝cos 22x －sin 22x C ．y ＝tan2x D ．y ＝cos2x 答案：B解析：A 中函数的周期T ＝2π4＝π2，是奇函数．B 可化为y ＝cos4x ，其周期为T ＝2π4＝π2，是偶函数．C 中T ＝π2，是奇函数，D 中T ＝2π2＝π，是偶函数．故选B. 4．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )·b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2 答案：A解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3.5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 是( ) A ．长方形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．梯形答案：D解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →，且|AD →|≠|BC →|∴四边形ABCD 是梯形．6．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[2，2] 答案：D解析：|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos θ，因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以2＋2cos θ∈[2,4]，所以|a ＋b |的取值范围是[2，2]．7．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( ) A ．－17 B ．7C.17D ．－7 答案：B解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－45，∴sin α＝35，tan α＝－34， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7. 8．函数f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －π2的部分图象是( )答案：C解析：∵f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －π2， ∴f (π－x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π－x －π2＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－x ＝f (x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．排除A 、B 、D.9．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋2k π，58π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋2k π，π8＋2k π(k ∈Z ) 答案：A解析：y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.由2k π≤2x －π4≤π＋2k π，(k ∈Z ) 得π8＋k π≤x ≤58π＋k π(k ∈Z )时，y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4单调递减．故选A. 10．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案：A解析：因为直线x ＝π4和x ＝5π4是函数图象中相邻的两条对称轴，所以5π4－π4＝T2，即T 2＝π，T ＝2π.又T ＝2πω＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为直线x ＝π4是函数图象的对称轴，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z .因为0<φ<π，所以φ＝π4，检验知，此时直线x ＝5π4也为对称轴．故选A.11．若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)，则|a ＋b |的最小值为( ) A.2－1 B ．2－ 2 C. 2 D ．2 答案：C解析：|a ＋b |＝x 2＋2x ＋≥ 2.12．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69 答案：C解析：∵α＋β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2＝13×33＋223×63＝3＋439＝539.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知|a |＝4，a 与b 的夹角为π6，则a 在b 方向上的投影为__________．答案：2 3解析：由投影公式计算：|a |cos π6＝2 3.14．函数y ＝2sin x cos x －1，x ∈R 的值域是______．答案：[－2,0]解析：y ＝2sin x cos x －1＝sin2x －1，∵x ∈R ，∴sin2x ∈[－1,1]，∴y ∈[－2,0]．15．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析：由f (x )与g (x )的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，则f (x )的最小值为3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 16．下列判断正确的是________．(填写所有正确判断序号)①若sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值是43②函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) ③函数f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x 是奇函数④函数y ＝tan x 2－1sin x的最小正周期是π答案：①④解析：①sin y －cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，∴sin x ＝－1时，最大值为43.②2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8.③定义域不关于原点对称．④y ＝tan x 2－1sin x ＝－1tan x，∴T ＝π.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值．解：∵tan α＝y x ＝－34∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.18．(12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0. (1)求tan A 的值；(2)求函数f (x )＝cos2x ＋tan A ·sin x (x ∈R )的值域．解：(1)∵m ·n ＝0， ∴sin A －2cos A ＝0.∴tan A ＝sin Acos A＝2.(2)f (x )＝cos2x ＋tan A sin x ＝cos2x ＋2sin x＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.∵－1≤sin x ≤1∴sin x ＝12时，f (x )取最大值32，sin x ＝－1时，f (x )取最小值－3，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32. 19．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝2 5，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )．∵|c |＝2 5，∴x 2＋y 2＝2 5，即x 2＋y 2＝20.① ∵c ∥a ，a ＝(1,2)∵2x －y ＝0，即y ＝2x ，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入上式得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－525×52＝－1.又∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π.20．(12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－sin 2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值； (2)若对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，都有f (x )≤c ，求实数c 的取值范围．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－sin 2π12＝cos π6＝32.(2)f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－12(1－cos2x ) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x ＋32cos2x ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，所以当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )取得最大值32.所以对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )≤c 等价于32≤c .故当对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )≤c 时，c 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.21．(12分)已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos2α＝1－sin 22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin2β＝725，又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，∴cos α＝25，∴sin α＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.22．(12分)如图，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2是函数y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋φ(其中A >0，φ∈[0，π))的图象与y 轴的交点，点Q ，点R 是它与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ ⊥PR ，求A 的值．解：(1)∵函数经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2，∴sin φ＝12，又∵φ∈[0，π)，且点P 在递增区间上，∴φ＝π6.(2)由(1)可知y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6.令y ＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6＝0，∴2π3x ＋π6＝k π，(k ∈Z )，∴可得x ＝－14，54， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0. 又∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2，∴PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－A 2，PR →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－A 2. ∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0，解得A ＝52.。

2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第一章§5.3训练案知能提升 Word版含答案

, [同学用书单独成册])[A.基础达标]1．函数f (x )＝sin 4x ，x ∈R 的奇偶性为( ) A ．偶函数 B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数解析：选B.由于f (－x )＝sin[4(－x )]＝sin(－4x )＝－sin 4x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 4x 为奇函数． 2.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x ＋|a |－1，x ∈R 为奇函数，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1解析：选D.由题意，得f (0)＝0，即|a |－1＝0，所以a ＝±1，即当a ＝±1时，f (x )＝sin x 为R 上的奇函数． 3.函数f(x)＝－sin 2x ＋sin x ＋1，x ∈R 的最小值为( ) A.54 B ．1 C ．0 D ．－1解析：选D.f (x )＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54，当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－1.4.函数y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为( )A .⎣⎡⎦⎤－π，－π2B ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2C .⎣⎡⎦⎤－π，π2D ．⎣⎡⎦⎤π2，π解析：选B .y ＝sin x 的递增区间就是y ＝4sin x ＋3的增区间．5.函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时的x 的值分别为( )A ．y ＝3，x ＝π2B ．y ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )C ．y ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )解析：选C .当sin x ＝－1，即x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y 取最大值3.6.函数y ＝sin |x |的图像关于________对称．解析：由于sin |－x |＝sin |x |，所以y ＝sin |x |是偶函数，其图像关于y 轴对称．答案：y 轴7.函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤2π3的值域是________．解析：利用图像解决．通过图像不难发觉y ＝2sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3的值域为(0，2]．答案：(0，2]8.cos 10°，sin 11°，sin 168°从小到大的排列挨次是________．解析：由于sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos (90°－80°)＝sin 80°，当0°≤x ≤90°时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，因此sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.答案：sin 11°<sin 168°<cos 10°9.若函数y ＝a －b sin x 的最大值是32，最小值是－12，求函数y ＝－4a sin bx 的最大值与最小值及周期．解：由于－1≤sin x ≤1，当b >0时，－b ≤b sin x ≤b . 所以a －b ≤a －b sin x ≤a ＋b ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1，所以所求函数为y ＝－2sin x .当b <0时，b ≤b sin x ≤－b ，所以a ＋b ≤a －b sin x ≤a －b .所以⎩⎨⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，所以所求函数为y ＝－2sin (－x )＝2sin x .所以y ＝±2sin x 的最大值是2，最小值是－2，周期是2π.10.推断函数f (x )＝lg 1－sin x1＋sin x 的奇偶性．解：由1－sin x 1＋sin x >0得(1－sin x )(1＋sin x )>0，所以－1<sin x <1，所以x ≠k π＋π2(k ∈Z )．此函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，且f (－x )＝lg 1－sin （－x ）1＋sin （－x ）＝lg 1＋sin x 1－sin x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x 1＋sin x －1＝－lg1－sin x1＋sin x ＝－f (x )．所以函数f (x )＝lg 1－sin x1＋sin x为奇函数．[B.力量提升]1．已知奇函数f (x )在[－1，0]上是递减的，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是( )A ．f (cos α)>f (cos β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (sin α)>f (cos β)D ．f (sin α)<f (cos β)解析：选D.由于α、β为锐角三角形两内角，则0<π2－β<α<π2，所以0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β<sin α<1，即0<cos β<sinα<1.而已知奇函数f (x )在[－1，0]上是递减的，所以函数f (x )在[0，1]上也是递减的，所以f (cos β)>f (sin α)．2．函数y ＝2＋12sin x ，当x ∈[－π，π]时，( )A ．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是削减的B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是削减的C ．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是削减的D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是削减的解析：选B.由于12>0，所以函数y ＝2＋12sin x 的单调性与正弦函数y ＝sin x 的单调性相同，类比正弦函数的单调性可知，函数y ＝2＋12sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是削减的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是削减的．故选B.3．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3＝________.解析：由诱导公式可知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，由f (x )的最小正周期是π，知f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. 由f (x )是偶函数知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x .所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32.答案：324．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则 f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________．解析：由于f (x )是以4为周期的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34，f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76. 由于当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.由于当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，所以f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12.又由于f (x )是奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316，f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. 所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝12－316＝516.答案：5165．已知3sin 2α＋2sin 2β＝2sin α，求sin 2α＋sin 2β的取值范围．解：由已知条件知sin 2β＝sin α－32sin 2α，所以0≤sin α－32sin 2α≤1，解得0≤sin α≤23，所以sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋sin α－32sin 2α＝－12(sin α－1)2＋12，设sin α＝t ，t ∈⎣⎡⎦⎤0，23， y ＝－12(t －1)2＋12在⎣⎡⎦⎤0，23上是增函数，所以当t ＝0时，y min ＝0，当t ＝23时，y max ＝49.所以sin 2α＋sin 2β的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，49. 6．(选做题)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x .(1)当x ∈[－π，0]时，求f (x )的解析式； (2)画出函数f (x )在[－π，π]上的函数简图；(3)当f (x )≥12时，求x 的取值范围．解：(1)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝sin(－x )＝－sin x . 若x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，则π＋x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.由于f (x )是最小正周期为π的周期函数，所以f (x )＝f (π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ，所以x ∈[－π，0]时，f (x )＝－sin x .(2)函数f (x )在[－π，π]上的函数简图，如图所示：(3)x ∈[0，π]，sin x ≥12，可得π6≤x ≤5π6，函数周期为π，所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋5π6，k ∈Z .。

高中数学模块综合评价检测含解析新人教A版选修4_4

——教学资料参考参考范本——高中数学模块综合评价检测含解析新人教A版选修4_4______年______月______日____________________部门(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的直角坐标是(－1，)，则点M 的极坐标为( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3C.D.(k ∈Z)解析：点M 的极径是2，点M 在第二象限，故点M 的极坐标是. 答案：C2．极坐标方程cos θ＝(ρ∈R)表示的曲线是( )A ．两条相交直线B ．两条射线C ．一条直线D ．一条射线解析：由cos θ＝，解得θ＝或θ＝π，又ρ∈R，故为两条过极点的直线．答案：A3．曲线ρcos θ＋1＝0关于直线θ＝对称的曲线的方程是( )A ．ρsin θ＋1＝0B ．ρcos θ＋1＝0C ．ρsin θ＝2D ．ρcos θ＝2解析：因为M(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点是N ，从而所求曲线方程为ρcos ＋1＝0，即ρsin θ＋1＝0.答案：A4．直线(t 为参数)和圆x2＋y2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－，3)C．(，－3) D．(3，－)解析：将x＝1＋，y＝－3＋t代入圆方程，得＋＝16，所以t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，因此AB的中点M对应参数t＝＝4，所以x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－，故AB中点M的坐标为(3，－)．答案：D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1解析：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0或ρcos θ＝x＝1.答案：C6．极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ的两个圆的圆心距是( )A．2 B. C．5 D.5解析：ρ＝2cos θ是圆心为(1，0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心为，半径为2的圆，所以两圆的圆心距是.答案：D7．已知圆M：x2＋y2－2x－4y＝10，则圆心M到直线(t为参数)的距离为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意易知圆的圆心M(1，2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x －4y －5＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝＝2.答案：B8．点M 关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π6 解析：点M 的直角坐标为＝，直线θ＝(ρ∈R)，即直线y ＝x ，点关于直线y ＝x 的对称点为，再化为极坐标为.答案：A9．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和参数方程(θ为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、射线和圆B ．圆、射线和双曲线C ．两直线和椭圆D ．圆和抛物线解析：因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，参数方程(θ为参数)化为普通方程为－x2＝1，表示双曲线．答案：B10．已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为(θ为参数)，且它们总有公共点．则a 的取值范围是( )A.∪(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，4 解析：由已知得⎩⎨⎧at＝1＋cos θ，a2t－1＝2sin θ，则4(at －1)2＋(a2t －1)2＝4，即a2(a2＋4)t2－2a(a ＋4)t ＋1＝0，Δ＝4a2(a ＋4)2－4a2(a2＋4)＝16a2(2a ＋3)．直线l 与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0，即a≥－.答案：C11．已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0，)，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线AF2的极坐标方程为( )A ．ρcos θ＋ρsin θ＝3B ．ρcos θ－ρsin θ＝3C.ρcos θ＋ρsin θ＝3D.ρcos θ－ρsin θ＝3解析：圆锥曲线为椭圆，c ＝1，故F2的坐标为(1，0)，直线AF2的直角坐标方程是x ＋＝1，即x ＋y ＝，化为极坐标方程就是ρcos θ＋ρsin θ＝.答案：C12．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，直线l 的参数方程为(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：曲线C 的直角坐标方程为x2＋y2－6y ＝0，即x2＋(y －3)2＝9，直线的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝＝，所以直线l 与圆C 相交所得弦长为2＝2＝4.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在极坐标系中，点关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为________．解析：结合图形不难知道点关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4 14．已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数)，当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为________．解析：当φ＝时，代入渐开线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3cos π4＋3·π4·sin π4，y＝3sin π4－3·π4·cos π4，x ＝＋，y ＝－，所以当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋32π8，322－32π8 15．若直线l 的极坐标方程为ρcos ＝3，曲线C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．解析：直线的直角坐标方程为x ＋y －6＝0，曲线C 的方程为x2＋y2＝1，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax ＝＋1＝3＋1.答案：3＋116．在直角坐标系Oxy 中，椭圆C 的参数方程为(θ为参数，a>b>0)．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ＝，若直线l 与x 轴、y 轴的交点分别是椭圆C 的右焦点、短轴端点，则a ＝________.解析：椭圆C 的普通方程为＋＝1(a>b>0)，直线l 的直角坐标方程为x －y －＝0，令x ＝0，则y ＝－1，令y ＝0，则x ＝，所以c ＝，b ＝1，所以a2＝3＋1＝4，所以a ＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(t 为参数)，曲线C 的参数方程为(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为(t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y2＝2x.联立方程组⎩⎨⎧y＝2（x－1），y2＝2x，解得公共点的坐标为(2，2)，.18．(本小题满分12分)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ＝.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．解：(1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， ⎩⎨⎧ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，代入得⊙O：x2＋y2－x －y ＝0，由l ：ρsin ＝，得：ρsin θ－ρcos θ＝，ρsin θ－ρcos θ＝1，又代入得：x －y ＋1＝0.(2)由解得⎩⎨⎧x＝0，y＝1，又得ρ＝1，tan θ不存在，又因为θ∈(0，π)，则θ＝，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为.19．(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)当m ＝2时，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB|的值．解：(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.由得x＝y＋m，即x－y－m＝0，所以直线l的普通方程为x－y－m＝0.(2)设圆心到直线l的距离为d，由(1)可知直线l：x－y－2＝0，曲线C：(x－1)2＋y2＝1，圆C的圆心坐标为(1，0)，半径1，则圆心到直线l的距离为d＝＝.所以|AB|＝2 ＝.因此|AB|的值为.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝，所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(1，0)，半径r＝1.因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，所以直线l与圆C相交．21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．(1)求圆心的极坐标；(2)求△PAB面积的最大值．解：(1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为.(2)直线l的普通方程为2x－y－1＝0，圆心到直线l的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝，点P到直线AB距离的最大值为＋＝，故最大面积Smax＝××＝.22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.11 / 11 (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a ＝1.。