常微分方程解题模式的构建

考研数学常微分方程解题技巧整理：攻克常微分方程题型,迅速解题

确定题目中的物理量，如质量、长度、时间等
THANK YOU
汇报人：XX
利用数值方法求解常微分方程的近似解
05
验证解的正确性和稳定性
06
总结解题方法和技巧，提高解题效率
解题思路
理解题目：明确题目要求，找出已知条件和未知量
建立模型：根据题目要求，建立相应的常微分方程模型
求解模型：利用常微分方程的求解方法，如分离变量法、积分法等，求解模型
检验结果：对求解结果进行检验，确保其正确性和合理性
生物化学反应模型：利用常微分方程求解化学反应速率随时间的变化
生物细胞分裂模型：利用常微分方程求解细胞分裂数量随时间的变化
生物种群竞争模型：利用常微分方程求解不同种群之间的竞争关系
工程问题
应用解解决实际问题，如设计、优化等
讨论解的物理意义，如稳定性、收敛性等
求解微分方程，如分离变量法、积分法等
建立微分方程模型，如牛顿第二定律、能量守恒定律等
- 解的稳定性：解的稳定性取决于p(x)和q(x)的性质- 解的收敛性：解的收敛性取决于p(x)和q(x)的性质
- 物理、工程、经济等领域的常微分方程问题- 数学建模、数值分析等领域的常微分方程问题
常微分方程的应用题解题技巧
05
物理问题
光学问题：如折射、反射等
流体力学问题：如流体的流动、压力等
量子力学问题：如量子纠缠、量子隧道等
复数法的注意事项：注意复数运算法则的应用，避免错误
线性常微分方程解题技巧
04
齐次线性方程的解法
齐次线性方程的定义：所有项都是线性的，且所有项的次数都相同
齐次线性方程的解法：利用特征值和特征向量求解
特征值和特征向量的定义：特征值是方程的解，特征向量是与特征值对应的向量

常微分方程组的解法

常微分方程组的解法常微分方程组是由多个关于未知函数及其导数的方程组成的方程组，它是数学中的重要研究对象。

常微分方程组的解法可以分为解析解法和数值解法两种。

解析解法是指通过数学方法求出常微分方程组的解析表达式。

常微分方程组的解析解法主要包括分离变量法、一阶线性方程法、变量代换法、常数变易法、特殊函数法等。

其中，分离变量法是指将常微分方程组中的各个变量分离出来，然后对每个变量分别积分，最后得到常微分方程组的解析解。

一阶线性方程法是指将常微分方程组转化为一阶线性方程，然后通过求解一阶线性方程来得到常微分方程组的解析解。

变量代换法是指通过合适的变量代换将常微分方程组转化为更简单的形式，然后通过求解简化后的方程组得到常微分方程组的解析解。

常数变易法是指将常微分方程组中的常数作为未知量，然后通过求解常数得到常微分方程组的解析解。

特殊函数法是指通过特殊函数的性质求解常微分方程组，如指数函数、三角函数等。

数值解法是指通过计算机数值计算的方法求出常微分方程组的数值解。

常微分方程组的数值解法主要包括欧拉法、龙格-库塔法、变步长法等。

其中，欧拉法是一种简单的数值解法，它的基本思想是将常微分方程组的解曲线上的点离散化为一系列点，然后通过计算机逐步求解得到常微分方程组的数值解。

龙格-库塔法是一种高阶数值解法，它通过计算机采用多个不同的计算公式来逼近常微分方程组的解曲线，从而得到更为准确的数值解。

变步长法是一种自适应数值解法，它通过计算机根据误差大小自动调整步长大小，从而得到更为准确的数值解。

常微分方程组的解法包括解析解法和数值解法两种，每种方法都有其适用的范围和优缺点。

在实际应用中，需要根据具体问题的性质和求解要求选择合适的解法来求解常微分方程组。

常微分方程的解法总结总结

常微分方程的解法总结前言常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是研究一阶或高阶导数与未知函数之间关系的数学方程。

在物理学、工程学和计算机科学等领域，常微分方程扮演着重要的角色。

解决常微分方程是这些领域中许多问题的关键。

本文将总结常用的常微分方程解法方法，帮助读者加深对常微分方程的理解并提供解决问题的思路。

一、可分离变量法可分离变量法是一种常见且简单的求解常微分方程的方法。

它适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程。

解题思路：1.将方程写成dy/g(y) = f(x)dx的形式，将变量进行分离。

2.两边同时积分得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。

3.求出积分后的表达式，并整理得到解 y 的表达式。

使用这种方法解决常微分方程的步骤相对简单，但要注意确认分母不为零以及选取合适的积分常数。

二、特殊方程类型的求解除了可分离变量法，常微分方程还存在一些特殊的方程类型，它们可以通过特定的方法进行解决。

1. 齐次方程齐次方程是指形如dy/dx = F(y/x)的方程。

其中，F(t) 是一个只有一个变量的函数。

解题思路：1.令 v = y/x，即 y = vx。

将方程转化为dy/dx = F(v)。

2.对于dv/dx = F(v)/x这个方程，可以使用分离变量法进行求解。

3.求出 v(x) 后，将其代入 y = vx 得到完整的解。

2. 齐次线性方程齐次线性方程是指形如dy/dx + P(x)y = 0的方程。

解题思路：1.使用积分因子法求解，将方程乘以一个积分因子，使得左边变成一个可积的形式。

2.求积分因子的方法是根据公式μ = e^(∫P(x)dx)，其中 P(x) 是已知的函数。

3.通过乘积的方式求解完整的方程。

3. 一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。

解题思路：1.使用积分因子法，将方程乘以一个积分因子，使得左边变成一个可积的形式。

常微分方程解法总结

常微分方程解法总结引言在数学领域中，常微分方程是一类以函数与其导数之间关系为描述对象的方程。

它广泛应用于物理、化学、生物等自然科学的建模和解决问题中。

常微分方程的求解有许多方法，本文将对其中一些常见的解法进行总结和讨论。

一、分离变量法分离变量法是求解常微分方程中常用的一种方法。

它的基本思想是将方程中的变量分离，将含有未知函数的项移到方程的一侧，含有自变量的项移到方程的另一侧，然后对两边同时积分，从而得到最终的解析解。

例如，考虑一阶常微分方程dy/dx = f(x)g(y)，可以将此方程改写为1/g(y)dy = f(x)dx，然后对两边同时积分得到∫1/g(y)dy =∫f(x)dx。

在对两边积分后，通过求解不定积分得到y的解析表达式。

二、常系数线性齐次微分方程常系数线性齐次微分方程是另一类常见的常微分方程。

它具有形如dy/dx + ay = 0的标准形式，其中a为常数。

这类方程的解法基于线性代数中的特征值和特征向量理论。

对于形如dy/dx + ay = 0的一阶常微分方程，可以假设其解具有形式y = e^(rx)，其中r为待定常数。

带入方程，解得a的值为r，于是解的通解即为y = Ce^(rx)，其中C为任意常数。

通过特定的初值条件，可以确定常数C的值，得到方程的特解。

三、变量分离法变量分离法是一种适用于某些特殊形式常微分方程的解法。

其基本思想是将方程中的变量进行适当的变换，从而将方程化为分离变量的形式。

例如，考虑一阶非齐次线性微分方程dy/dx = f(x)/g(y)，其中f(x)和g(y)为已知函数。

通常情况下，变量分离法需要对方程变形，将含有未知函数和自变量的项进行合并处理。

假设存在一个新的变量z(x) = g(y)，则dy/dx = (dy/dz)*(dz/dx) = (1/g'(y))*(dz/dx)。

将dy/dx和f(x)分别代入原方程，进而可以求得dz/dx。

对dz/dx进行积分后，可以得到z(x)的解析表达式。

如何求解常微分方程

如何求解常微分方程求解常微分方程是微积分中的重要内容，常微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。

常微分方程的求解方法有多种，下面我将从多个角度进行全面的回答。

1. 分离变量法，对于可分离变量的一阶常微分方程，可以通过将变量分离并进行积分来求解。

首先将方程中的未知函数和导数分离到方程的两侧，然后进行变量的移项和积分，最后得到未知函数的表达式。

2. 齐次方程法，对于一阶常微分方程，如果可以通过变量的替换将其转化为齐次方程，即方程中的未知函数和导数的比值只与自变量有关，可以使用齐次方程法求解。

通过引入新的变量替换和代换，将齐次方程转化为可分离变量的形式，然后进行求解。

3. 线性方程法，对于一阶线性常微分方程，可以使用线性方程法求解。

线性方程的特点是未知函数和其导数的一次项系数是常数，通过引入一个积分因子，将线性方程转化为可积分的形式，然后进行求解。

4. 变量替换法，对于某些形式复杂的常微分方程，可以通过引入新的变量替换，将其转化为更简单的形式，然后进行求解。

常见的变量替换包括令导数等于新的变量，令未知函数等于新的变量的幂函数等。

5. 微分方程的特殊解法，对于一些特殊的常微分方程，可以使用特殊解法求解。

例如，对于一些常见的一阶常微分方程，如指数函数、对数函数、三角函数等形式，可以直接猜测其特殊解，然后验证是否满足原方程。

6. 数值解法，对于一些无法通过解析方法求解的常微分方程，可以使用数值解法进行近似求解。

常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，这些方法将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。

总结起来，求解常微分方程的方法包括分离变量法、齐次方程法、线性方程法、变量替换法、特殊解法和数值解法。

根据不同的常微分方程形式和条件，选择合适的方法进行求解。

希望这些解答对你有帮助。

常微分方程组解法

常微分方程组解法常微分方程组是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

解决常微分方程组的问题是确定每个未知函数的表达式，以满足方程组中的所有方程。

常微分方程组的解法有许多种方法，本文将介绍其中几种常用的解法。

1. 分离变量法（Separation of Variables）分离变量法适用于可以将常微分方程组中的每个未知函数分离成独立变量的形式的情况。

首先，将每个未知函数表示为单独的变量乘以一个函数的形式，然后将这些表达式代入方程组，最后将方程组化简为一系列独立的方程。

解决这些方程可以得到每个未知函数的解析解。

2. 线性组合法（Linear Combination）线性组合法适用于常微分方程组中的每个未知函数表达式可以通过其他未知函数的线性组合来表示的情况。

通过选择适当的线性组合系数，可以将方程组化简为一系列只含一个未知函数的方程。

然后，解决这些方程可以得到每个未知函数的解析解。

3. 齐次线性微分方程组的特征方程法（Characteristic Equation）齐次线性微分方程组的特征方程法适用于常微分方程组中的每个未知函数满足线性微分方程的情况。

首先，将未知函数表示为指数函数的形式，然后代入方程组，得到一个特征方程。

解这个特征方程可以得到每个未知函数的通解。

最后，通过添加特定的解（特解）来得到完整的解。

4. 变量替换法（Change of Variables）变量替换法适用于常微分方程组中的每个未知函数可以通过对原始变量进行适当的变换来表示的情况。

通过选择适当的变量替换，可以将方程组转化为具有更简洁形式的方程。

解决这些方程可以得到每个未知函数的解析解。

总结起来，常微分方程组的解法有分离变量法、线性组合法、特征方程法和变量替换法等。

根据具体的问题，我们可以选择适当的解法来求解常微分方程组，以得到满足方程组的每个未知函数的解析解。

这些解法在实际应用中具有广泛的适用性，为解决各种物理、工程和经济问题提供了有效的数学工具。

常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法

常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述自变量只有一个的未知函数及其导数之间关系的方程。

在物理学、工程学、经济学等领域中，常微分方程被广泛应用于各种问题的建模与求解。

本文将介绍常微分方程的基本概念和求解方法。

一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的数学方程。

一般来说，常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两大类。

一阶常微分方程中未知函数的导数最高只有一阶导数，而高阶常微分方程中未知函数的导数可以是二阶、三阶，甚至更高阶的导数。

常微分方程的解是指能够满足方程条件的函数形式，解的形式可以是显式解或隐式解。

显式解是直接给出的解析表达式，而隐式解则是以方程的形式给出。

常微分方程的解集通常具有唯一性。

其中，初始值问题（Initial Value Problem，简称IVP）是对常微分方程的一种特殊求解方法。

在初始值问题中，除了给出方程本身的条件外，还需给出未知函数在某一点的值，用于确定解的具体形式。

二、常微分方程的求解方法常微分方程有多种求解方法，常见的方法包括分离变量法、二阶线性微分方程的特解法和常系数线性齐次微分方程的特征根法等。

具体求解方法选择取决于方程的形式和性质。

1. 分离变量法（Separation of Variables）分离变量法适用于可以将方程的变量分离并分别对各个变量积分的情况。

首先，将方程中的未知函数和其导数分别放在等号两边，然后对方程两边同时积分，最后解出未知函数。

2. 二阶线性微分方程的特解法对于二阶线性微分方程，可以采用特解法求解。

特解法的基本思想是假设未知函数的解具有特定形式，代入方程后求解得到特解。

特解法适用于方程的解一般形式已知的情况。

3. 常系数线性齐次微分方程的特征根法对于常系数线性齐次微分方程，可以采用特征根法求解。

特征根法的基本思想是假设未知函数的解具有指数形式，代入方程后求解得到特征根和特征向量。

常微分方程的基本概念及其求解方法

常微分方程的基本概念及其求解方法常微分方程是数学中一种基础而又普遍的模型，它描述了自然界中大量的现象，例如物理运动、化学反应、生物生长等。

在科学和工程中，常微分方程的应用十分广泛，因此学习和掌握它是非常重要的。

本文将从常微分方程的基本概念和求解方法两方面，为读者介绍常微分方程。

一、常微分方程的基本概念1.1 定义常微分方程是指一个包含一个或多个未知函数及其导数的等式。

通常情况下，未知函数是一个关于一元变量的的函数。

例如，下面这个方程就是一个一阶常微分方程：y' = f(x, y)其中，y'表示y关于自变量x的导数，f(x, y)是一个已知的函数。

1.2 阶数常微分方程的阶数是指方程中导数的最高阶数。

例如，y'' + 2y' + y = 0 是一个二阶常微分方程。

1.3 初值问题常微分方程有时也被称为初值问题，因为为了求解方程，我们需要先给出初值。

初值问题指的是给定某个时刻的函数值和导数值，以及常微分方程本身，求解函数在其他时刻的值。

例如，y' = f(x, y)，y(x0) = y0 就是一个初值问题，其中y(x0) = y0表示在x = x0时函数y的值为y0。

二、常微分方程的求解方法2.1 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最基本的方法。

它的基本思路是将未知函数的导数通过分离变量的方法移到等式的一侧，将其他项移到另一侧，从而实现变量的分离。

例如，对于y' =f(x)g(y)，我们可以将其改写成dy/g(y) = f(x) dx，然后对两边积分得到：ln |g(y)| = F(x) + C其中F(x)和C是常数，|g(y)|表示g(y)的绝对值。

通过取指数，我们可以得到g(y)的表达式，从而求得未知函数。

2.2 变量代换法当分离变量法难以应用时，可以采用变量代换法。

变量代换的基本思路是将因式分解，然后进行替换。

例如，对于y' + 2y/x =x^2，我们可以将y = ux^m代入方程，其中m是一个待定的整数。

考研数学常微分方程题解题方法

考研数学常微分方程题解题方法考研数学常微分方程是数学考研中的一个重要的考点，也是许多考生头疼的地方。

常微分方程的解题方法多样，需要考生在备考过程中掌握和熟练运用。

本文将从常微分方程的一阶方程、二阶方程、变量分离、齐次方程等方面介绍一些解题方法。

一、一阶方程的解题方法对于一阶方程dy/dx = f(x, y)，可以通过分离变量的方法来求解。

首先将方程重新整理为dy = f(x, y)dx的形式，然后两边同时积分，即可得到方程的通解。

但需要注意的是，有些方程的右端函数f(x, y)可能不易分离变量，这时可以采用常微分方程的可分离变量近似解法，即用一阶泰勒展开式来近似代替右端函数f(x, y)。

同时，在解题过程中，还需要注意初始条件的考虑和对待解方程的变量的合理换元。

二、二阶方程的解题方法二阶方程是一阶方程的推广，其一般形式为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)。

对于二阶齐次线性微分方程，其特征方程为r² + P(x)r + Q(x) = 0。

根据特征方程的解，可以得到二阶齐次线性微分方程的通解。

而对于非齐次线性微分方程，可以通过求非齐次线性微分方程的一个特解，再加上齐次线性微分方程的通解，即可得到非齐次线性微分方程的通解。

在解题过程中，可以采用常系数变异法、未知系数法、特征根法、常数变易法等方法，具体根据题目的要求和形式来选择合适的方法。

三、变量分离的解题方法当微分方程可以经过变量分离变为dy/dx = f(x)g(y)的形式时，可以先将等式两边分离变量，然后各自积分，在解方程过程中包含的未知常数可以通过给定的初始条件得到。

变量分离法在一些特定形式的微分方程中使用较为广泛，例如dy/dx = (x+y)/(x-y)，对于这种形式的方程，将x+y和x-y作为一个整体，即可进行变量分离求解。

四、齐次方程的解题方法齐次方程是指微分方程的右端函数为零的情况，即dy/dx = f(x, y)/g(x, y) = 0。

常微分方程常见形式及解法

常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。

简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。

接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。

一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。

齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。

一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。

2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。

当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。

常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。

二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。

对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。

例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。

2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。

原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。

数学复习常微分方程的解法

数学复习常微分方程的解法数学复习：常微分方程的解法一、引言在数学中，微分方程是描述自然界中许多物理现象的重要工具之一。

常微分方程是一类只涉及一个自变量的微分方程，求解常微分方程是数学学习中的重要内容。

本文将介绍几种常见的常微分方程的解法。

二、一阶常微分方程的解法1. 可分离变量法如果常微分方程可以化为dy/dx=f(x)g(y)的形式，那么可以通过分离变量法求解。

具体的步骤如下：- 将f(x)g(y)的形式转换为dy/g(y)=f(x)dx。

- 两边同时积分，得到∫1/g(y)dy=∫f(x)dx。

- 对两边分别求积分，得到F(y)=∫1/g(y)dy和F(x)=∫f(x)dx，其中F(x)和F(y)分别为积分常数。

- 最后将F(y)=F(x)+C整理为y的显式表达式。

2. 齐次方程法对于形如dy/dx=f(y/x)的齐次方程，可以通过以下步骤求解：- 令u=y/x，即y=ux。

- 将dy/dx=f(y/x)化为dy/du=xf(u)。

- 通过分离变量法求解上述方程，得到∫1/f(u)du=∫xdx。

- 对两边求积分，再整理为u(x)的显式表达式，即u(x)=∫1/f(u)du+C。

- 最后将u=y/x代回，得到y(x)=xu(x)。

3. 线性方程法对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性常微分方程，可以通过以下步骤求解：- 将方程改写为dy/dx+p(x)y=q(x)的形式。

- 通过积分因子mu(x)=exp(∫p(x)dx)将方程转化为(mu(x)y)'=mu(x)q(x)。

- 对等式两边同时求积分，得到mu(x)y=∫mu(x)q(x)dx。

- 将上式整理为y的显式表达式。

三、高阶常微分方程的解法对于高于一阶的常微分方程，通常需要进行一定的变换或者使用递推方法进行求解。

以下介绍一些常见的高阶常微分方程的解法。

1. 特征方程法对于形如yⁿ+a₁y⁽ⁿ⁻¹⁾+...+a⁽²⁾y''+a₁y'+a₀y=0的n阶常微分方程，可以通过解特征方程来获得通解。

常微分方程的解法

常微分方程的解法常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中的一个重要分支，它研究的是包含未知函数及其导数的方程。

在科学和工程领域中，常微分方程被广泛应用于描述自然现象和系统行为的数学模型。

解常微分方程是研究ODE的核心问题，本文将介绍几种常见的常微分方程解法。

一、分离变量法对于某些可分离变量的常微分方程，我们可以通过将未知函数和变量分离来求解方程。

具体步骤如下：1. 将方程变形，将所有含有未知函数及其导数的项移到等式的一侧；2. 将含有未知函数的项移到一侧，含有变量的项移到另一侧；3. 对两边同时积分，得到解的形式。

例如，考虑求解以下常微分方程：$$\frac{{dy}}{{dx}} = x^2$$将方程分离变量并进行积分，得到：$$\int{1}\ dy = \int{x^2}\ dx$$积分后得到：$$y = \frac{{x^3}}{{3}} + C$$其中C为积分常数，代表无穷多个可能的解。

二、线性线性常微分方程是指方程中的未知函数及其导数项构成一个线性组合的方程。

对于形如$${{d^n y}\over{dx^n}} + a_{n-1}{{d^{n-1} y}\over{dx^{n-1}}} + \ldots + a_1{{dy}\over{dx}} + a_0y = f(x)$$的线性常微分方程，其中$f(x)$为已知函数，我们可以使用特征方程来求解。

1. 求解特征方程$${{d^n r}\over{dr^n}} + a_{n-1}{{d^{n-1}r}\over{dr^{n-1}}} + \ldots + a_1{{dr}\over{dr}} + a_0r = 0.$$特征方程的解为$r_1, r_2, \ldots, r_n$；2. 如果特征方程的解都是实数，则对应的齐次解为$$y_c(x) =C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} + \ldots + C_ne^{r_nx}$$其中$C_1, C_2,\ldots, C_n$为常数；3. 如果特征方程的解包含复数，则对应的齐次解为$$y_c(x) =e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$$其中$\alpha$和$\beta$是复数，$C_1$和$C_2$是常数；4. 采用常数变易法，设待求的解可以表示为$$y_p(x) =u_1(x)e^{r_1x} + u_2(x)e^{r_2x} + \ldots + u_n(x)e^{r_nx}$$将$u_1(x),u_2(x), \ldots, u_n(x)$代入原方程得到未知常数的方程组，并解此方程组得到$u_1(x), u_2(x), \ldots, u_n(x)$；5. 根据待定系数法，将所有齐次解$y_c(x)$和特解$y_p(x)$相加，得到原方程的通解$y(x) = y_c(x) + y_p(x)$。

常微分方程的经典求解方法

常微分方程的经典求解方法常微分方程是研究函数$y=y(x)$及其导数与自变量$x$之间的关系的方程。

它在应用数学中有着广泛的应用，例如物理学、工程学、生物学等领域。

解微分方程的目标是找到函数$y$的表达式，使得方程成立。

经典的求解常微分方程的方法可以分为分离变量法、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程和常系数线性微分方程等几种方法。

一、分离变量法：对于形如$y'=f(x)g(y)$的微分方程，其中$f(x)$和$g(y)$是已知的函数，我们可以采用以下步骤求解。

1.将方程写成\[g(y)dy = f(x)dx\]的形式。

2.对方程两边同时积分，得到\[ \int g(y)dy = \int f(x)dx\]。

3.解释上述积分并恢复未知函数$y$即可。

二、一阶线性微分方程：形如$y'+p(x)y=q(x)$的微分方程称为一阶线性微分方程。

1.将方程写成标准形式，即\[ \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)\]。

2.利用积分因子法求解。

a.计算积分因子$\mu(x)$，即$\mu(x) = e^{\int p(x)dx}$。

b.将方程两边同时乘以积分因子$\mu(x)$，得到\[\mu(x)y' +\mu(x)p(x)y = \mu(x)q(x)\]。

c.左边可以写成\[\frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)q(x)\]。

d.将上式两边同时积分，并解释上述积分求得未知函数$y$即可。

三、二阶线性微分方程：形如$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$的微分方程称为二阶线性微分方程。

1.将方程写成标准形式。

2.设方程有特解$y_1(x)$和齐次线性方程$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$的通解为$y_2(x)$。

3.利用叠加原理，方程的通解为$y(x)=y_1(x)+y_2(x)$。

常微分方程解题模式的构建

ｒ
模式对于提高常微分方程教学效果和学生的学习效率具有一定的理论和实践意义．
关键词Ｐｌａ断点；微分方程；题模式ｏｙ；常解中图分类号Ｇ６２０４．
１问题的提出
常微分方程在物理学、生物学、学、化医学、程技术等许多学科中均有广泛的应用，数学理工是论联系实际的重要工具．因此，常微分方程不仅是大学数学专业的基础课程，是大学理工科的必还修课程《高等数学》的重要组成部分．真正地学好这门课程，要熟练掌握常微分方程的一些基本概念，迅速准确地判断所给方程的类型，熟练掌握各类方程的解法是我们必需的基本功．只有这些基
因此对于基本概念都没有掌握；６的学生低于６，５％Ｏ分自剖原因是：对于基本概念和各种类型方程
的解法都熟悉，但是面对着一个个似曾相识的微分方程，理不出有序的解题程序；６的学生得却３％
分超过６分，Ｏ自剖原因是：于基本概念和各种类型方程的解法都熟悉，本上都可以找到相应题对基
习．我们必须尽快而有效地解决这一“ 断点 ”问题．为此，我们采用分层抽样的方法，我校数学系、对物理系和计算机科学与技术系２０名同学作了无记名的《２常微分方程解法学习情况》的调查．经过汇总，调查结果表明：％的学生得分低于１，８０分自剖原因是：于常微分方程没有兴趣，对

常微分方程的解法介绍

常微分方程的解法介绍常微分方程是描述自变量和未知函数及其导数之间关系的方程。

在数学和工程领域中，常微分方程是一种非常重要的数学工具，广泛应用于描述自然现象和工程问题。

解常微分方程是求解这些方程的未知函数的过程，下面将介绍几种常见的解法。

一、分离变量法分离变量法是解常微分方程最基本的方法之一。

对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以通过将变量分离来求解。

具体步骤如下：1. 将方程写成dy/g(y)=f(x)dx的形式；2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy=∫f(x)dx；3. 分别对y和x积分，得到方程的通解。

例如，对于方程dy/dx=x/y，可以将方程改写为ydy=xdx，然后对两边同时积分，得到y^2=2x+C，其中C为积分常数，即为方程的通解。

二、齐次方程法对于形如dy/dx=F(y/x)的一阶齐次微分方程，可以通过引入新的变量u=y/x来将其转化为分离变量的形式。

具体步骤如下：1. 令u=y/x，即y=ux，然后对x求导得到dy/dx=u+x(du/dx)；2. 将dy/dx和u代入原方程，化简得到F(u)=u+x(du/dx)；3. 通过变量分离法解出u的表达式，再将u=y/x代入，即可得到原方程的通解。

三、一阶线性微分方程法一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)为已知函数。

解一阶线性微分方程的方法是利用积分因子来将其转化为恰当微分方程。

具体步骤如下：1. 将方程写成dy/dx+p(x)y=q(x)的形式；2. 求出积分因子μ(x)=exp(∫p(x)dx)；3. 用积分因子乘以方程两边，化为恰当微分方程的形式；4. 求解恰当微分方程，得到原方程的通解。

四、常数变易法对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，如果p(x)和q(x)为常数，可以利用常数变易法来求解。

具体步骤如下：1. 令y=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)为待定函数；2. 将y=u(x)v(x)代入原方程，化简得到关于u(x)和v(x)的两个方程；3. 解出u(x)和v(x)，再将其代入y=u(x)v(x)，即可得到原方程的通解。

常微分方程的解法与应用

常微分方程的解法与应用常微分方程是数学中的一类重要方程，它描述了函数的导数与自变量之间的关系。

在科学研究和工程应用中，常微分方程被广泛应用于物理、化学、生物等领域。

本文将介绍常微分方程的解法和应用，并探讨其在不同领域中的具体应用案例。

一、常微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是求解常微分方程的常用方法之一。

它的基本思想是将方程中的变量分离开来，使得一个变量只与自身有关，而与其他变量无关。

通过对两边积分，可得到方程的解析解。

2. 变量代换法变量代换法是常微分方程求解的另一种常用方法。

通过引入新的自变量替代原方程中的自变量，可以将原方程转化为一个更容易求解的形式。

常见的变换包括线性变换、指数变换等。

3. 解特征方程法某些特殊类型的常微分方程可以利用解特征方程的方法求解。

特征方程可以通过代入特定解形式得到，进而求得方程的一般解。

二、常微分方程的应用1. 物理学中的应用常微分方程在物理学中的应用非常广泛。

例如，牛顿第二定律可以用常微分方程描述，通过求解该方程可以得到物体在给定力下的运动规律。

另外，电路中的电流变化、振动系统的运动等也可以通过常微分方程进行建模。

2. 经济学中的应用经济学中许多问题都可以用常微分方程进行描述和求解。

比如，经典的凯恩斯消费函数模型可以转化为常微分方程，通过求解该方程可以研究经济中的收入分配和消费行为。

此外，投资模型和供给需求模型等也都可以用常微分方程来建模分析。

3. 生态学中的应用常微分方程在生态学中有着重要的应用。

通过建立生态系统中不同物种之间的关系方程，可以得到物种的数量随时间的变化规律。

这对于研究物种竞争、群落演替等生态现象具有重要意义。

4. 医学中的应用医学领域常常需要研究生物体内各种物质的代谢过程，这些过程可以通过常微分方程进行建模。

例如，用常微分方程描述药物在体内的吸收、分布和排泄过程，可以帮助医生合理给药，提高治疗效果。

三、应用案例1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度随时间和空间的变化规律。

常微分方程建模方法

常微分方程建模方法常微分方程建模方法可以分为定性分析和定量分析两个阶段。

定性分析是通过分析问题的物理背景和现象特征，确定微分方程的类型和形式。

而定量分析则是通过对微分方程进行求解，得到具体的解析解或数值解，来揭示问题的本质。

1.理解问题背景：了解问题的物理背景、现象特征、变量之间的关系等，分析问题的要素和限制条件。

2.建立数学模型：根据问题的特征和变量关系，建立微分方程模型。

通常可以利用物理定律、守恒定律、动力学方程等来描述问题的变化规律。

3.确定初始条件和边界条件：对于初值问题，需要确定初始条件；对于边值问题，需要确定边界条件。

这些条件是求解微分方程的前提。

4.分析微分方程：对建立的微分方程进行分析，研究方程的特性和性质。

可以利用变量分离、线性化、换元等方法来化简和求解方程。

5.求解微分方程：根据微分方程的类型和性质，选择合适的求解方法。

可以将高阶微分方程化简为一阶微分方程，然后利用解析解或数值解的方法求解。

6.模型验证和优化：对求解得到的解析解或数值解进行验证，检验模型的合理性和准确性。

如果模型不准确，需要进行调整和优化。

7.结果解释和应用：根据求解得到的结果，解释模型的含义和意义，并将模型应用到实际问题中，得出结论和预测。

常微分方程建模方法可以应用于各个领域，如物理学、生物学、工程学、经济学等。

例如，通过建立流体力学方程，可以研究流体的流动和扩散过程；通过建立生态学方程，可以研究生物种群的数量和分布变化；通过建立经济学方程，可以研究经济增长和波动。

总之，常微分方程建模方法是将实际问题抽象成数学模型的过程，通过求解微分方程来揭示问题的本质和规律。

建模过程需要充分理解问题的背景和特征，合理选择合适的数学工具和求解方法，最终得到有实际应用价值的结论和预测。

高中数学备课教案解常微分方程组的方法总结

高中数学备课教案解常微分方程组的方法总结高中数学备课教案：解常微分方程组的方法总结一、引言常微分方程组是高中数学中重要的内容之一，其解法包含了多种方法。

本文将对解常微分方程组的几种常见方法进行总结和讨论，并提供相应的例题进行说明。

二、方法一：变换法变换法是解常微分方程组的一种常见方法，通过引入新的变量来将方程组转化为更简单的形式进行求解。

具体步骤如下：1. 假设方程组为：dx/dt = f(x, y)dy/dt = g(x, y)2. 引入新的变量：u = φ(x, y)v = ψ(x, y)3. 计算新的变量的导数：du/dt = (∂φ/∂x)*(dx/dt) + (∂φ/∂y)*(dy/dt)dv/dt = (∂ψ/∂x)*(dx/dt) + (∂ψ/∂y)*(dy/dt)4. 将方程组转化为关于u和v的形式：du/dt = Φ(u, v)dv/dt = Ψ(u, v)5. 求解转化后的方程组，并将u和v转化为x和y。

三、方法二：特征方程法特征方程法是解常微分方程组的另一种重要方法，通过求解特征方程来得到方程组的通解。

具体步骤如下：1. 假设方程组为：dx/dt = f(x, y)dy/dt = g(x, y)2. 将方程组写成矩阵形式：X' = AX其中，X = [x, y], A = [[∂f/∂x, ∂f/∂y], [∂g/∂x, ∂g/∂y]]3. 求解特征方程：det(A - λI) = 0其中，λ为特征值，I为单位矩阵。

4. 求解特征方程得到的特征值，并代入公式：X = c1*e^(λ1*t)*v1 + c2*e^(λ2*t)*v2其中，c1、c2为常数，v1、v2为特征向量。

5. 根据初值条件确定常数c1和c2，并得到方程组的特解。

四、方法三：欧拉法欧拉法是解常微分方程组的一种近似求解方法，通过使用差分逼近来计算方程组的数值解。

具体步骤如下：1. 假设方程组为：dx/dt = f(x, y)dy/dt = g(x, y)2. 将时间区间等分成若干小段：Δt = (b - a) / N其中，a、b为时间区间的起点和终点，N为等分的段数。

数学常微分方程的解法

数学常微分方程的解法教案：数学常微分方程的解法一、引言在数学中，微分方程是研究自然现象和物理问题的一种重要工具。

它描述了变量与其导数之间的关系，具有广泛的应用。

本教案将介绍常微分方程的解法。

二、一阶常微分方程1. 可分离变量法可分离变量法适用于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的方程。

我们可以通过分离变量并对两边进行积分来解得方程的解。

2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如 dy/dx = f(x,y)/g(x,y) 的方程。

我们可以将方程进行适当的变量替换，使其转化为一个齐次方程。

然后通过引入新变量进行积分得到解。

3. 线性方程法线性方程法适用于形如 dy/dx + p(x)y = q(x) 的方程。

我们可以通过乘以一个适当的积分因子，将其化为一个恰当的积分方程。

然后通过积分得到解。

4. 可降阶线性方程法可降阶线性方程法适用于形如 d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)的方程。

我们可以通过适当的变量替换和积分得到解。

三、二阶线性常微分方程1. 齐次方程法齐次方程法适用于形如 d^2y/dx^2 + p(x) dy/dx + q(x)y = 0 的方程。

我们可以通过特征根法或变量替换的方式，将其转化为一个齐次线性方程。

然后通过求解特征方程得到解。

2. 常系数齐次方程法常系数齐次方程法适用于特殊形式的二阶齐次线性方程。

我们可以通过特征方程法求解得到解。

3. 变量变换法变量变换法适用于形如 d^2y/dx^2 + p(x) dy/dx + q(x)y = f(x) 的方程。

我们可以通过适当的变量替换，将其化为一个齐次线性方程。

然后通过特解和齐次解的叠加得到解。

4. 常数变易法常数变易法适用于形如 d^2y/dx^2 + p(x) dy/dx + q(x)y = f(x) 的方程。

我们可以通过假设特解为常数的方式，代入方程求解得到解。

四、应用示例1. 谐振子的运动通过常微分方程的解法，我们可以分析谐振子的运动过程，并求解其运动方程。

常微分方程解题模式的构建

常微分方程解题模式的构建3李孝诚　刘兆丽　(淮北煤炭师范学院数学系　安徽淮北　235000)摘要　为了解决常微分方程教学实践中出现的“断点”问题,在Polya 解题观和建构主义学习观的指导下,结合大学常微分方程知识特点,提出基于Polya 解题观的常微分方程解题模式.实践表明,本模式对于提高常微分方程教学效果和学生的学习效率具有一定的理论和实践意义.关键词　Polya ;断点;常微分方程;解题模式中图分类号　G 642.01　问题的提出常微分方程在物理学、生物学、化学、医学、工程技术等许多学科中均有广泛的应用,是数学理论联系实际的重要工具.因此,常微分方程不仅是大学数学专业的基础课程,还是大学理工科的必修课程《高等数学》的重要组成部分.要真正地学好这门课程,熟练掌握常微分方程的一些基本概念,迅速准确地判断所给方程的类型,熟练掌握各类方程的解法是我们必需的基本功.只有这些基本功扎实了,我们才能正确地求解各种类型的常微分方程,从而真正地领会到常微分方程的思想和方法,并将它们应用于各自专业的理论和实践中.在长期的教学实践中,我们发现看似简单的各种类型常微分方程的解法却是很大一部分学生学习该课程的一个“断点”.由于“断点”的产生,常常使学生学习常微分方程课程前后不能顺利衔接.这不仅会直接影响到该课程后续深层知识的学习,还会影响后继课程复变函数和实变函数的学习.我们必须尽快而有效地解决这一“断点”问题.为此,我们采用分层抽样的方法,对我校数学系、物理系和计算机科学与技术系220名同学作了无记名的《常微分方程解法学习情况》的调查.经过汇总,调查结果表明:8%的学生得分低于10分,自剖原因是:对于常微分方程没有兴趣,因此对于基本概念都没有掌握;56%的学生低于60分,自剖原因是:对于基本概念和各种类型方程的解法都熟悉,但是面对着一个个似曾相识的微分方程,却理不出有序的解题程序;36%的学生得分超过60分,自剖原因是:对于基本概念和各种类型方程的解法都熟悉,基本上都可以找到相应题型的解法.“常微分方程”课程除了传授学生必要的基础知识,更重要的是培养学生的能力,即让学生学会学习,学会思考,学会如何获取信息,如何分析和解决实际问题,如何发展和创新[1].因此,为了解决常微分方程学习中的“断点”和实现本课程的教学目标,本文依据Polya 解题思想和现代数学教育教学理论,结合常微分方程教学内容特点,为学生提供一个宏观的常微分方程解题模式,将分段学习的常微分方程知识系统化,并将能力培养融于学生的解题活动之中.2　常微分方程解题模式的建构George Polya (1887～1985),美籍匈牙利数学家.Polya 不仅是一个建树颇多的数学家,还是一个世界闻名的数学解题学研究者.他的代表作有:《怎样解题》(1944)、《数学与猜想》(1954)和《数学的发现-对解题的理解、研究和讲授》(1962).特别是《怎样解题》更是风靡全球,曾被译成十七种文字.现代数学家瓦尔登就曾说过:“每个69高等数学研究STUDIES IN COLL EGE MA T H EMA TICS Vol.12,No.4J ul.,20093收稿日期:2008-01-01.修改日期:2008-10-10.大学生、每个学者、每个教师都应该读这本引人入胜的书.”在我们国家,不少的中学数学教师都拜读过,它对于中学数学的解题确实起到了较好的指导作用.在国外,这本书的读者群不仅包括中学数学教师,还包括大学数学教师.因为里面有不少内容涉及对大学数学问题的解题分析.但是,我国大部分大学生,甚至是大学数学教师,大多数没有认真研究过.因此它对于我国大学数学的解题活动基本上没有起到指导作用.我国高校数学教育领域中的这一现象,在一定程度上也违背了Polya 的初衷———“我只是为数学解题者们提供一个宏观的、广泛的解题模式思想方法,而不是具体的、万能的解题钥匙.”Polya 在解题学研究中最大的贡献就是“怎样解题”表[2]和解题思维过程“正方形性质图”[3]的提出.对于Polya 的解题理论,人们从不同的角度阐发了其解题思想的核心,简单地说,就是“正确有序解题思维指导下的程序化的解题系统”.常微分方程的解法具有较强的程序化和模式性.常见的常微分方程主要有“四类七型”[4].即可分离变量、一阶线性微分方程、高阶可降次和高阶线性常系数微分方程四类.其中一阶线性微分方程类分为一阶线性齐次微分方程型和一阶线性非齐次微分方程型,高阶可降次分为y (n )=f (x )型和为y ″=f (x ,y ′)型,高阶线性常系数微分方程分为高阶线性常系数齐次型和高阶线性常系数非齐次型.每一种类型都有固有的标准形式和求解方法.因此,在理解的基础上熟练掌握常微分方程的基本概念和“四类七型”微分方程的标准形式和求解方法,再辅之以合理有序的解题思维,经过典型题目的练习,学生完全可以达到常微分方程求解的模式化、程序化.根据Polya 提出的“怎样解题”表和解题思维过程“正方形性质图”体现的思想,结合常微分方程知识特点,本文构建了常微分方程的解题模式.具体结构如下图:图1　常微分方程解题模式此常微分方程解题模式不但体现了解题者自身建构知识的重要性,还指出了常微分方程求解的一般流程,为解题者提供了一条明确而有序的宏观解题思路.但是,我们也要视具体习题情况而定,并不是每一个习题都需要经过每一道程序.2.1　分析方程特征这相当于Polya “怎样解题”表的第一步———理解题目.常微分方程的习题一般都不是标准形式,这就需要我们理解题目,分析方程特征,多问自己几个“是什么”.比如这个方程是自己以前解过的题目么?是不是类似的等.如果是自己解过的,那就非常容易了,可以直接依据自己的记忆实施相应的解法.但是,大多数题目还是自己没有解过的,这时就要根据方程特征,依据“先简后繁”的原则和基本的变形方法将所给习题化为标准形式.所谓“先简后繁”,就是依次检查所给习题能否化为可分离变量方程、一阶线性微分方程、高阶79第12卷第4期李孝诚,刘兆丽:常微分方程解题模式的构建89高等数学研究 2009年7月可降次方程和高阶线性常系数微分方程等类型.这个过程的顺利进行需要解题者长时记忆系统中的常微分方程知识结构模块的参与,特别是常微分方程的基本知识和常微分方程标准形式模块知识的参与.这一阶段能否顺利进行,很大程度上决定于这两块知识的成熟度.2.2　确定方程类型这相当于Polya“怎样解题”表的第二步———拟定方案.将复杂的、不易解决的问题,转化为简单的、容易解决的问题.将所给方程化为标准形式后,解题者就可以依据短时记忆系统中的常微分方程标准形式模块知识,简单地辨别一下,就可以确定习题属于“四类七型”中的哪一种类型.如果解题者长时记忆系统中该模块知识比较模糊,甚至缺失,就很难甚至根本就通不过这一阶段.2.3　实施相应解法这相当于Polya“怎样解题”表的第三步———执行方案.常微分方程类型确定后,解题者就可以依据相应的解题方法和步骤进行解题活动.每一种类型常微分方程均有固定的解题模式与之对应,这个模式性的特点给我们的解题活动提供了很大的方便性和简捷性.比如,如果所给的习题,经过化简得到标准形y″=f(x,y′),可知此方程是高阶可降次类型,我们直接用与之对应的换元法直接求解即可.同样,如果解题者的知识结构中的这块知识不完善,那么这一关必将是很难通过的.2.4　检验、反思这相当于Polya“怎样解题”表的第四步———回顾.这一步是整个解题过程中比较重要的也是最容易被省略或忽视的最后一个过程,同样也是培养学生分析和解决问题能力及创新能力比较关键的环节.Polya和斯托利亚尔都曾指出“在解题活动中,得到题目的结果并不是结束.我们还要检验他的正确性、合理性和简捷性,还要反思整个解题思维的过程!”Polya进一步指出我们甚至要经历验证之后再验证的过程[5].对于微分方程的求解过程比较复杂,得到结果后,我们必须依据一定的策略检验答案的正确性和解题过程的曲折性.如果答案错误,我们必须返回解题过程找出错误原因.最重要的是避免再次犯同样的错误.如果发现解题过程中有薄弱的知识块,我们就要及时弥补该阶段的知识模块,并通过一定的练习提高此知识块的成熟度.通过以上的分析,我们可以看出:此模式不但给出了常微分方程的宏观解题模式,还具备了诊断功能.通过本模式的训练,解题者不但可以提高常微分方程的解题的正确度和效率,还可以根据自己的实际解题情况,主动地弥补自己知识的缺陷,从而建构合理而有序的知识结构.下面我们举一个具体的常微分方程的实例,说明本模式的双重功能性.例[6]　解常微分方程y2d x+(xy-1)d y=0.分析　利用本文中的常微分方程解题模式来求解.(1)　分析方程特征,确定方程所属类型所给方程为一阶常微分方程,根据常微分方程知识结构基本知识和标准形式模块知,此方程只可能为可分离变量或者一阶线性常微分方程类型.依据“先简后繁”原则,先看此方程能否化为可分离变量型.观察xy-1部分,变量x与y不容易分离,所以只可能为一阶线性常微分方程.所以可以化简为:d x d y +1y x =1y 2.将标准形和长时记忆系统中的常微分方程知识结构标准形式模块作比较,可知此方程属于一阶线性非齐次常微分方程.(2)　实施相应的解题方法由长时记忆系统中常微分方程知识结构解题方法模块知,我们应当用常数变易法或者公式法求解所给微分方程.无论是用哪一种方法,都具有较强的模式性.相对而言,公式法比较容易,而且不容易出错.具体的解法在此就省略了.(3)检验、反思答案解出之后,我们首先要检验结果的正确性.依据的原则主要有:常微分方程的通解中含有的任意常数的个数等于微分方程的阶数;将所求通解代入原方程检验等.解题者还可以反思在整个解题过程中,对于一阶线性非齐次常微分方程的标准形式、常数变易法和公式法是否熟悉,如果不熟悉,可以及时弥补.解　(略).3　常微分方程解题模式的有效性实验为了检验常微分方程解题模式对学生形成常微分方程正确而快速解题能力的有效性,我们进行了两个不同层次的实验.第一个实验对象是2005年的专升本辅导班.我们运用本模式思想(主要展现在例题讲解中)来讲解《高等数学(一)》常微分方程部分知识.本班共有25人,总共可以分为三类:专科毕业16人(应届11人,往届5人)、中专毕业自考专科6人、高中毕业自考专科3人.专科应届毕业的学生高数基础比较好;专科毕业往届和高中毕业自考专科次之;中专毕业自考专科基础最差,高等数学的知识量几乎为零.鉴于学生的知识层次和专升本考试大纲,我们将几乎一半的时间放在前三章(一元函数的极限、连续、微积分)基础部分.因此,对于常微分方程部分,我们用的时间比规定的课时几乎少一半.但是,本章的最后测验表明:80分以上有20人,60-80分3人,不及格2人.第二个实验对象是物理系物理教育专业一班2005-2006学年第二学期的高等数学.本班共61人,上学期高等数学不及格5人.期末考试试题统计分析表明:常微分方程一章中的题目共22分,18分以上有51人;13-18分有7人;13分以下有3人.这一章的得分率远高于其他班级.在这两个阶段的实验中,绝大多数同学反映运用此模式解题,不但解题思路清晰,而且还能巩固所学知识.实验表明:本文所建构的常微分方程解题模式对于提高高等数学课程的教学效率和学生的解题能力及创新能力具有一定的成效.我们将在以后的数学系数学与应用数学专业和理科系的高等数学教学中,进一步实验和推广本模式,争取取得更大的成效.参考文献[1]刘惠民,那文忠等.“常微分方程”课程教学模式的改革与探索[J ].数学教育学报,2006.15(1),72-74.[2]乔治・波利亚.怎样解题[M ].涂泓,冯承天,译.上海:上海科技教育出版社,2006.[3]乔治・波利亚.数学的发现-对解题的理解、研究和讲授[M ].欧阳绛,译.北京:科学出版社,1982.[4]陈文灯.高等数学辅导(同济五版)[M ].北京:世界图书出版公司,2005.[5]乔治・波利亚.数学与猜想(第一卷)[M ].李心灿,王日爽,李志尧,译.北京:科学出版社,1984.[6]同济大学应用数学系.高等数学(下)[M ].第五版.北京:高等教育出版社,2004.99第12卷第4期李孝诚,刘兆丽:常微分方程解题模式的构建。