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圆的问题专题

专题-圆的问题专题知识回顾一、与圆有关的概念与规律1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

2.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。

3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

4．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．5．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

圆心角的度数等于它所对弧的度数。

6．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

7.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。

8.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10. 点和圆的位置关系：① 点在圆内点到圆心的距离小于半径② 点在圆上点到圆心的距离等于半径③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径11. 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

12. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心是三角形三条边垂直平分线的交点。

外心到三角形三个顶点的距离相等。

13．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。

14．圆内接四边形的特征：⇔⇔⇔①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。

15.直线与圆有3种位置关系：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，那么① 直线和⊙O 相交；② 直线和⊙O 相切；③ 直线和⊙O 相离。

第一章圆(讲义)(含答案)

第一章圆（讲义）➢知识点睛1.圆的基本概念及性质：在同一平面内，到定点的距离等于一个固定长度的所有的点构成的图形叫做圆。

这个定点叫做圆的圆心。

连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。

直径所在的直线是圆的对称轴。

2.圆的周长与面积:圆的一周长度称为圆的周长，圆的周长与它的直径长度之比称为圆周率，记为π。

因此圆的周长C=rπ=。

圆的内部区域面积称dπ2为圆的面积，圆的面积S=2πr。

3.两个大小不同的同心圆之间的部分称为圆环。

设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积S=()2222-=-。

R r R rπππ➢精讲精练经典例题1圆与扇形相关概念：（1）圆中心的一点叫做，一般用字母表示。

（2）连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做，用字母表示。

（3）通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做，用字母表示。

直径长度是半径长度的倍。

（4）决定圆的大小；决定圆的位置；圆有条对称轴。

（5）图中涂色部分是一个。

圆上A、B两点之间的部分叫做。

顶点在圆心，两条半径组成的∠AOB，叫做。

（6）圆的周长式：；圆的面积公式：。

经典例题2（1）图中圆的周长是多少？圆的面积是多少？（单位：厘米，π取3.14）（2）下图的周长及面积分别是多少？(π取3.14，单位：米)经典例题3计算下图涂色部分的面积。

（π取3.14）经典例题4如图，有五个同心圆的半径分别是1、2、3、4、5，求图中阴影部分的面积。

（π取3.14）经典例题5如图是圆环的一半，面积是28.26平方厘米，那么图形的周长是多少？（π取3.14）【参考答案】经典例题1：（1）圆心，O（2）半径，r（3）直径，d ，2（4）半径，圆心，无数（5）扇形，弧AB ，圆心角（6）C =π2πd r ，S =2πr经典例题2：（1）周长：94.2cm ，面积：706.52cm（2）周长：40.56米，面积：105.12平方米经典例题3：84.78经典例题4：47.1经典例题5：24.84。

圆的16个公式

圆的16个公式1.圆的面积：S=πr²=πd²/4。

2.扇形弧长：L=圆心角（弧度制）*r=n°πr/180°（n为圆心角）。

3.扇形面积：S=nπr²/360=Lr/2（L为扇形的弧长）。

4.圆的直径：d=2r。

5.圆锥侧面积：S=πrl（l为母线长）。

6.圆锥底面半径：r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）。

7.圆的周长：C=2πr或C=πd。

8.圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。

9.圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。

可变形为（x+D/2）^2+（y+E/2）^2=（D^2+E^2-4F）/4。

故有：10.当D^2+E^2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D^2+E^2-4F）/2为半径的圆；11.当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；12.当D^2+E^2-4F<0时，方程不表示任何图形。

13.圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ,y=b+r*sinθ,（其中θ为参数）。

14.圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0。

15.圆的离心率e=0，在圆上任意一点的半径都是r。

16.经过圆x^2+y^2=r^2上一点M（a0，b0）的切线方程为a0*x+b0*y=r^2。

圆的知识点总结

圆的相关知识点1、圆心：圆中心一点叫做圆心。

用字母“O"来表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母“r"来表示.画圆时，圆规两脚间的距离就是半径.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母“d”表示。

直径是圆中最长的线段。

2．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。

3．在同一个圆内，所有的半径都相等,所有的直径都相等。

在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。

在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。

用字母表示为:d＝２r r ＝d÷24、正方形中画最大的圆：先画正方形的两条对角线,交点就是圆心,再以边长的一半作半径画圆.边长也就是圆的直径。

5、圆中画最大的正方形：先画两条互相垂直的直径，直径和圆相交的四个点连接起来就成了一个圆。

在长方形中画最大的圆，宽就是圆的直径。

6、扇形：由两条半径和一段弧围成的图形就是扇形.顶点在圆心的角是圆心角。

圆上两点间的一段叫弧。

7、在同一个圆中,扇形的大小与圆心角的大小有关.在不同的圆中，扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。

8．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数.我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。

圆周率是一个无限不循环小数.在计算时，π取3。

14。

世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之.周长是直径的π倍，是半径的2π倍。

6．圆的周长公式：C=πd 或C=2πr 周长等于直径乘π，等于半径乘2π。

直径等于周长除以π，或等于半径乘2，半径等于周长除以π再除以2，或等于直径除以2。

圆的直径、半径扩大或缩小几倍,周长也扩大或缩小相同的倍数，周长、直径、半径间的变化相同。

两个圆的直径、半径和周长之间的倍数关系完全相同。

7、圆的面积：圆所占平面的大小叫圆的面积.8．把一个圆割拼成一个近似的长方形,割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，因为长方形面积=长×宽，所以圆的面积= πr×r＝πｒ²，要求圆的面积必须知道圆的半径（或知道半径的平方）。

关于圆的知识点

关于圆的知识点
1. 定义：圆是一个平面上距离某一点（圆心）的距离都相等的点的集合。

2. 元素和特点：
- 圆心：圆心是圆上所有点到圆心的距离相等的那个点。

- 直径：通过圆心的任意两个点所确定的线段叫做圆的直径，直径的长度是圆的最长距离。

- 半径：圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离。

圆的半
径长度都相等。

- 弧：圆上的一段连续的弧叫做圆弧。

- 弦：圆上的一段弧所对应的线段叫做弦。

- 弧度：弧度是角度的一种度量方式，定义为半径长的圆弧
所对应的夹角。

3. 公式和关系：
- 圆的周长：L = 2πr，其中L代表周长，r代表半径。

- 圆的面积：A = πr²，其中A代表面积，r代表半径。

- 圆的直径与半径的关系：直径等于半径的两倍，即d = 2r。

- 圆的弧长与圆心角的关系：圆的弧长等于圆心角所对应的
圆弧长度的百分比乘以圆的周长。

4. 圆与其他几何图形的关系：
- 圆与直线的关系：一条直线与一个圆有三种可能的关系，
即不相交、相切或者相交于两个点。

- 圆与其他圆的关系：两个或多个圆之间可能相离、相切或
相交。

这些是关于圆的基本知识点，可以帮助我们理解和解决与圆相关的问题。

圆的意义和特点

圆的意义和特点
一、圆的意义
1、理想：圆是一个完美的图形，它代表着完美无缺、统一完整，也象征着未来永恒的社会价值，代表着理想的力量。

2、和谐：圆的状态更具多元和谐的特性，象征着乐观有希望的未来，鼓舞着我们努力追求完美的社会。

3、虚无：圆形也代表世间万物的恒久，它体现出空无的真谛，象征着宇宙之无限，提醒我们要懂得把握生活的虚无本质以及学会珍惜身边的每一份礼物。

4、自由：圆形更象征着一种自由的生活方式，它传递着宽容他人的精神，鼓励每个人要平等自由的生活。

二、圆的特点
1、统一：圆形的边缘没有明显的起伏，所有的点都处于某种统一的状态，从而构成一个完整的圆形。

2、完美：每一个圆的状态，都处于完美程度的状态，这表明了一种高贵无比的气质和心态，更展示出完美的审美情趣。

3、动态：圆的状态是一种极具变化的状态，不断改变的空间和时间，它演化出不同的美丽，象征着一种优秀的平衡和活力。

4、平等：圆形的每一个点都处于同等的距离，这体现了一种平等的意义，鼓励我们要以一种平等的心态去看待世界。

圆组词造句

圆组词造句
关于圆的组词，具体介绍如下：
1、圆圈。

造句：你画的这个圆圈可真园啊。

自行车轱辘是一个圆圈吗？
2、圆形。

造句：你看图画里有几个圆形的东西啊？月亮是圆形的吗？
3、团圆。

造句：中秋节是阖家团圆的日子。

；你爸妈在家盼着你回家团圆呢！
4、圆规。

造句：小学几年级会用到圆规呢？；你新买的圆规可真漂亮啊。

5、圆梦。

造句：我有一个圆梦计划，你想知道吗？
6、圆满。

造句：祝你们幸福美满！
7、圆滑。

造句：小张这个人比较圆滑，你要注意一下。

8、桂圆。

造句：小王平时最喜欢吃桂圆了。

9、汤圆。

造句：元宵节是吃汤圆的日子。

10、半圆。

造句：月亮有时候是一个半圆，有时候是一个整圆。

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圆组词_圆的组词_圆字组词圆组词_圆的组词“圆”字在开头的词语圆相圆钢圆柏圆觉圆木警枕圆孔方木圆首方足圆颅方趾圆柱木圆盘耙圆心角圆生树圆罗曜圆棒榫圆锥体圆桌面圆鼓鼓圆舞曲圆珠笔圆社圆的圆盾圆整圆锁圆亲圆袂圆月圆枕圆珰圆锯圆教圆方圆轻圆象圆旋圆木圆蟾圆台圆音圆蛤圆稳圆情圆眼圆空圆览圆雕圆日圆缺圆扉圆扇圆精圆腹圆晕圆盖圆魄圆柱圆领圆符圆镜圆明圆颅圆转圆备圆机圆盘圆舒圆磬圆房圆梦圆成圆熟圆融圆桌圆笼圆规圆子圆圈圆心圆明园圆城圆坐圆坛圆坟圆场圆土圆绫圆曲线圆经圆纱圆满结束圆满礼成圆满圆溜溜圆滚滚圆滑圆渊圆混圆珠玉润圆活圆泛圆排圆折圆饼圆饭圆彪彪圆峤圆媚圆妙圆密圆宰圆成实自性圆满收官圆阙圆门圆善圆周角圆周流圆周率圆周圆和圆合圆括号圆号圆常圆足布圆明上座圆应圆弧圆工圆天圆通居士圆通禅寺圆通大士圆通法圆通圆白菜圆范圆苍圆变圆谎圆全圆通偈圆便圆作圆柱体圆仔汤圆桌会议圆凿方纳圆冠方领圆劲圆满成功圆功圆网印花圆阵圆渊方井圆光术圆光蔚圆光圆到圆卜隆冬圆匀圆美圆丽圆滑世故圆常无圆觉三观圆丘草圆丘圆乎乎“圆”字在结尾的词语踏圆簿圆旋圆转圆破镜难圆缺月重圆刓方爲圆青解毒圆月缺重圆预知子圆家好月圆青木香圆言方行圆月缺难圆税外方圆内方外圆橘瓣鱼圆字正腔圆破镜重圆的皪圆胜金圆外切圆梅月圆比金圆虎睛圆的的圆鸭蛋圆规圆高圆肉圆水圆蜡圆轻圆窝圆环圆鱼圆龙圆蹴圆肥圆踢圆松圆穹圆走圆上圆香圆青圆桂圆椭圆扁圆长圆重圆银圆复圆围圆团团圆圆合家团圆骨肉团圆回圆地格方圆缩砂圆缚虎圆滴圆满圆的溜圆溜圆滚瓜溜圆渫白圆清圆消食圆消暑圆玉润珠圆空心汤圆泡汤圆汤圆外接圆指方画圆贰拾圆毁方投圆拟规画圆扒圆破饮圆煨姜圆如神圆好梦难圆阖家团圆膀阔腰圆和胃圆同心圆幅圆戊已圆神应圆广圆弄圆开胃圆平圆狗头骨圆天心月圆大已寒圆膀大腰圆大惊圆大团圆大圆对圆寸金圆通圆连翘圆月边圆御圆香薷圆白薇圆蓬煎圆山药汤圆紫石英圆花好月圆玉芝圆诜诜圆卖镜重圆半圆偏圆顺倾转圆面面俱圆体规画圆润体圆人月圆行满功圆神功圆缺月再圆外方内圆随方就圆百部圆防风圆匾圆光圆滚瓜儿圆剔团圆内切圆包圆匀圆美圆十五月亮十六圆八圆破觚为圆面为底圆削方为圆刓方为圆破矩为圆斫方为圆底为面圆磨盘两圆菟丝子圆不以规矩，不能成方圆不以规矩，不成方圆明月不常圆不二圆不圆无规矩不成方圆万病圆七子团圆小丁香圆一裹圆一圆乌荆圆乌圆事缓则圆事寛即圆小理中圆“圆”字在中间的词语方圆几里虎目圆睁文圆质方规圆矩方方圆百里怒目圆睁方领圆冠方圆殊趣怒目圆瞪智圆行方椭圆体走圆场跑圆场滚圆溜胖珠圆玉滑珠圆玉润浑圆球肾沥圆方打圆场戴圆履方月圆花好镜圆璧合打圆台方圆可施纱帽圆领方底圆盖右手画圆，左手画方科头圆子大圆镜智大圆智团圆节谈圆说通地圆说重圆记方圆十里做圆活幼圆体凿枘圆方方枘圆凿凿圆枘方功行圆满功德圆满外圆内方卵圆孔蛾眉倒蹙，凤眼圆睁竹刻圆雕刻圆仪划圆防守金圆券包圆儿自圆其说八面圆通世故圆滑方圆难周，异道不安万枘圆凿诸事圆满处事圆滑。

九年级数学圆的知识点

九年级数学圆的知识点在我们的学习时代，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。

为了帮助大家更高效的学习，下面是店铺为大家整理的九年级数学圆的知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。

一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD）直径等于半径的2倍。

（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

圆的相关概念及特征

圆的相关概念及特征说实话圆这个东西，特征挺有意思的。

我首先想到的就是圆的形状，它整个就像一个完美的封闭曲线，没有棱棱角角的。

你看，正方形啊长方形啊那些，都有角，可是圆就那么顺滑地绕了一圈，就像一个小皮球的轮廓一样，不管从哪个方向看都是圆润润的。

说到圆的半径，这也是个很有趣的东西。

我把圆想象成一个大披萨，那半径呢，就像是从披萨的中心到边缘的一条线。

而且不管从中心向哪个方向画这条半径，它的长度都是一样的。

这就让我很惊讶，刚开始我还不太相信呢，自己就拿了个圆规画了好几个圆，然后量半径，还真的都是一样长。

还有直径，直径就像是经过圆心，把圆一分为二的那根长长的线。

我发现直径的长度正好是半径的两倍，就像如果半径是一小段树枝的话，那直径就是用两根这样的树枝接起来的长度。

圆的周长也有它独特的地方。

我记得刚开始计算圆周长的时候，可把我给折腾坏了。

我总是想，这弯弯的一圈怎么去量长度呢。

后来才知道有个公式叫C等于2πr（C是周长，r是半径）。

这个π啊，就像是圆的一个神秘数字，它是个无限不循环小数，约等于。

我就在想，这个数字怎么这么奇怪呢，不过也正是因为有它，才能准确地算出圆的周长。

比如说一个半径是3厘米的圆，那它的周长就是2乘以再乘以3，最后得到厘米。

还有面积，圆的面积公式是S等于πr²（S是面积）。

我都不知道人们是怎么发现这个公式的。

我试图从正方形或者长方形面积去理解这个圆的面积。

我想啊想，就像把圆切成无数个小扇形再拼起来，就近似于一个长方形了。

这样就可以按照长方形的面积公式，长乘以宽来理解圆的面积。

不过这只是一种大概的理解方式啦，其实它的推导还是很复杂的。

中心对称也是圆的一个特征呢。

就是说你把圆绕着圆心旋转，不管转多少度，它看起来都还是和原来一模一样，就像一个永远不会有正面反面之分的碟子一样。

有时候我还会把圆和椭圆搞混，椭圆也有点圆溜溜的，但是椭圆呢长和宽不一样长，不像圆从中心到边缘的距离到处都一样。

我就是慢慢观察对比才能分得清它们。

六年级上学期第五单元圆的概念

圆一、圆的概念：一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周时，它的另一端就会画出一条封闭的曲线，这条封闭曲线叫做圆。

二、圆的各局部名称1、圆心一般用字母O 表示；半径一般用r 表示；直径一般用字母 d 表示。

2、半径的意义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。

3、直径的意义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

三、有关圆的性质1、圆的数学定义：圆是到定点的间隔等于定长的所有点的集合。

定点指的是圆心，定长指的是半径的长度。

2、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆。

等圆经过平移可以完全重合。

3、同心圆：圆心重合、半径不相等的两个圆叫做同心圆。

4、轴对称图形：假如一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的局部可以完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

5、圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。

6、一个圆有无数条半径，有无数条直径。

7、在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。

8、在同圆或等圆中：r=d 2或d=2r 。

四、圆周率的意义与圆的周长计算公式1、圆周率是任意一个圆的周长与它的直径的比值，这个比值是一个固定的数，用字母π〔读“派〞〕表示。

它是一个无限不循环小数，π=3.1415926525……但在实际应用中常常只取它的近似值，例如π≈3.14。

2、用字母C 表示圆的周长，r 表示半径，d 表示直径，那么圆的周长公式C=πd 或C=2πr 。

五、圆的面积1、圆的面积计算公式：S=πr ²2、圆的直径求面积：S=π〔d 2 〕²；圆的周长求面积：S=π〔C 2π〕²。

六、圆环的面积1、两个半径不相等的同心圆之间的局部叫做圆环，也叫做环形。

2、外圆：圆环中较大的圆叫做外圆，外圆的半径用字母“R 〞表示。

3、内圆：圆环中较小的圆叫做内圆，内圆的半径用字母“r 〞表示。

4、环宽：两个圆之间的宽度叫做环宽。

环宽=外圆半径-内圆半径，即R-r 。