高一数学相互独立事件同时发生的概率
相互独立事件同时发生的概率
相互独⽴事件同时发⽣的概率相互独⽴事件同时发⽣的概率⼀．教材分析：1．教材的地位和作⽤我今天说课的课题是《相互独⽴事件同时发⽣的概率》，它是⾼中数学第⼆册第⼗章《排列、组合和概率》中第七节的内容，是概率论的初步知识，是对继“互斥事件发⽣的概率”之后⼜⼀种典型概率的研究和学习，为后⾯的独⽴重复实验的学习奠定了基础。
在以后的进⼀步学习以及⽣活，⽣产实际中都有较⼴泛的应⽤。
2．教学重难点分析：本节课的重点是相互独⽴事件的概率乘法公式应⽤，难点是相互独⽴事件与互斥事件的区别。
结合学⽣的学情，我认为应⽤的关键是必须先结合题意准确判断出所给事件是相互独⽴事件，特别是要与上⼀节课刚学的互斥事件区别开，再将概率乘法公式应⽤在实际的问题中去。
⼆⽬的分析：根据教学⼤纲的要求和学⽣的实际情况，我设定了如下的四条教学⽬标：1．认知⽬标：（！）使学⽣理解相互独⽴事件的定义，并掌握相互独⽴事件的概率乘法公式。
（2）使学⽣了解公式是由⼀个特例得出的结论归纳出来的，让他们了解这种“由特殊到⼀般”的认知规律。
2．能⼒⽬标：通过学⽣对相互独⽴事件的概率乘法公式结果的思考和归纳，培养学⽣的探究能⼒；通过所给例题的⽐较，培养学⽣看问题善于看本质，善于挖掘，善于总结的习惯。
3．情感⽬标：（1）通过概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想。
（2）使学⽣体会到数学既是从现实原型中抽象出来的，与现实⽣活有着必然的联系，从⽽激发学⽣学习的兴趣。
三．教法与学法1．教法：本节课⼒求体现以学⽣为本，培养学⽣分析问题，解决问题的能⼒，使他们初步感受到概率的实际意义及其思考⽅法。
在具体的教学过程中采⽤了在⽼师的引导下，学⽣⾃主的分析问题，最后师⽣共同总结归纳的教学⽅法。
2，学法：学⽣学习的过程应是具体——抽象——具体，从感性认识到理性思维，从“具体”到“抽象”是归纳过程，从“抽象”到“具体”是演绎过程，学⽣应当遵循两个过程循环往复，循序渐进。
第十一章 第三节 相互独立事件同时发生的概率
解析：前两次取出的是螺口灯泡，有
取得卡口灯泡，有
种取法，第三次
种取法，根据分步计数原理，共有
种取法，所以所求概率为＝ 答案： D
3.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率 不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中 发生的概率p的取值范围是 A.[0.4,1] B.(0,0.4] ( )
∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2).
∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的
概率为P(A1C2＋A2C1)，
一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，
∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋ P(B1B2)，由事件的独立性得 P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中
目标3次的概率；
(3)[理]假设某人连续2次未击中目标，则终止射击．问： 乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？
(1)利用对立事件求解， (2)是相互独立事件， (3)第五次乙一定未击中.
【解】
(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事
(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生 通过的概率均为 每个男生通过的概率均为 现对该
小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，求这3人
中通过测试的人数不少于2人的概率.
解：(1)设该小组中有n个女生.根据题意，得＝ 解得n＝6，n＝4(舍去). ∴该小组中有6个女生.
(2)由题意，甲、乙、丙3人中通过测试的人数不少于2 人即通过测试的人数为3人或2人. 记甲、乙、丙通过测试分别为事件A、B、C.则 P＝P( · C)＋P(A· B· · C)＋P(A· B· )＋P(A· C). B·
相互独立事件同时发生的概率.
相互独立事件同时发生的概率知识要点:1．对于事件A、B，如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则称这样的两个事件为相互独立事件.2．相互独立事件的概率乘法公式:设事件A、B相互独立，把A、B同时发生的事件记为（A·B），则有P（A·B）=P（A）·P（B）.上述公式可以推广如下:如果事件A1，A2，……，A n相互独立，那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积.即P(A1·A2·……·A n)=P(A1)·P(A2)·……·P(A n).3．如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率:P n(k)=P k(1-P)n-k.实际上，它就是二项展开式[(1-P)+P]n的第(k+1)项.要求：1．掌握相互独立事件的概率乘法公式，会用它计算一些事件的概率.2．掌握计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.典型题目例1.加工某种零件先后需经历三道工序，已知第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假定各道工序互不影响，问加工出来的零件的次品率为多少？解:设A1、A2、A3分别表示三道工序得到次品的事件，由题设知，它们是相互独立的事件，而加工得到次品是指以上三个工序中至少有一个工序是次品，即次品事件A=.∴P(A)=0.02×0.97×0.95+0.98×0.03×0.95+0.98×0.97×0.05+0.02×0.03×0.95+0.02×0.97×0.05+0.98×0.03×0.05+0.02×0.0 3×0.05=0.09693.例2．某商人购进光盘甲、乙、丙三件，每件100盒，其中每件里面都有1盒盗版光盘.这个商人从这3件光盘里面各取出1盒光盘卖给了李四，求:（1）李四恰好买到1盒盗版光盘的概率；（2）李四至少买到1盒盗版光盘的概率.解:（1）记从甲、乙、丙三件光盘里面各取出1盒光盘，得到非盗版光盘的事件分别为A、B、C，则事件·B·C、A··C、A·B·是互斥的；事件、B、C，A 、、C，A、B、彼此之间又是相互独立的.所以P(·B·C+A··C+A·B·)=P(·B·C)+P(A··C)+P( A·B·)=P()·P(B)·P(C)+P(A)·P()·P(C)+P(A)·P(B)·P()=0.01×0.99×0.99+0.99×0.01×0.99+0.99×0.99×0.01≈0.03.（2）事件A、B、C的设法同第（1）小题.因为P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.99×0.99×0.99=0.993,所以1-P(A·B·C)=1-0.993≈0.03.例3．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8. 计算:(1)两人都击中目标的概率；（2）其中恰有1人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率.分析:此题有三问，要依层次来解.解:（1）记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件:A·B，又由于事件A与B相互独立，∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.8=0.64.（2）“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中乙未击中（即A·），另一种是甲未击中乙击中（即·B），根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A·与·B是互斥的，所以所求概率为:P=P( A·)+P(·B)=P(A)·P()+P()·P(B)=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32.（3）解法1:“两条各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为:P=P(A·B)+[P(A·)+P(·B)]=0.64+0.32=0.96.解法2:“两人都未击中目标”的概率是:P(·)=P()·P()=(1-0.8)×(1-0.8)=0.2×0.2=0.04.∴至少有一人击中目标的概率为:P=1-P(·)=1-0.04=0.96.点评:由（3）可见，充分利用（1）、（2）两问的结果解题很简单.但是（3）的解法2也告诉我们，即使是不会求（1）、（2），也可独立来解（3）.在考试中要特别注意这一点.例4．某种大炮击中目标的概率是0.3，最少以多少门这样的大炮同时射击一次，就可以使击中目标的概率超过95%？解:设需要n门大炮同时射击一次，才能使击中目标的概率超过95%，n门大炮都击不中目标的概率为×0.30×0.7n=0.7n.至少有一门大炮击中目标的概率为1-0.7n.根据题意，得1-0.7n>0.95，即0.7n<0.05,nlg0.7<lg0.05，n>≈8.4.答:最少以9门这样的大炮同时射击一次，就可使击中目标的概率超过95%.例5．要制造一种机器零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求:（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中恰有一件废品的概率；（3）其中至多有一件废品的概率；（4）其中没有废品的概率；（5）其中都是废品的概率.分析:应先确定所应用的每一事件的概率，以便求解.解:依题意可知:显然，这两个机床的生产应当看作是相互独立的.设A=“从甲机床抽得的一件是废品”，B=“从乙机床抽得的一件是废品”.则P(A)=0.04, P()=0.96, P(B)=0.05, P()=0.95.由题意可知，A与B，与B，A与，与都是相互独立的.（1）“至少有一件废品”=A+B.P(A+B)=1-P()=1-P(·）=1-P()·P()=1-0.96×0.95=0.088.（2）“恰有一件废品”=·B+A·.P(·B+A·)=P(·B)+P(A·）=P()·P(B)+P(A)·P()=0.96×0.05+0.04×0.95=0.048+0.038=0.086.（3）“至多有一件废品”=A·+·B+·P(A·+·B+·)=P(A·)+P(·B)+P(·)=P(A)·P()+P()·P(B)+P()·P()=0.04×0.95+0.96×0.05+0.96×0.95=0.998.另外的解法是:“至多有一件废品不发生”=“两件都是废品”=A·BP(A·+·B+·)=1-P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-0.04×0.05=0.998.（4）“其中无废品”=“两件都是成品”=·. P(·)=P()·P()=0.96×0.95=0.912.（5）“其中全是废品”=A·BP(A·B)=P(A)·P(B)=0.04×0.05=0.002.点评:本例有很强的综合性，学习中要注意认真体会加以理解掌握之.例6．已知射手甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.问三人同时射击目标，目标被击中的概率是多少？解:设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C，即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生.但应注意，A、B、C这三个事件并不是互斥的，因为目标可能同时被两人或三人击中，因此，可视目标被击中的事件的对立事件是目标未被击中，即三人都未击中目标，它可以表示为，而三人射击结果相互独立.所以P()=P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=(1-)(1-)(1-)=.所以，目标被击中的概率是1-P()=1-测试选择题1．某气象预报站气象预报的准确率为80%,则它5次预报中恰有4次准确的概率约为( )A. 0.41B. 0.76C. 0.55D. 0.432．一批产品共有20个,其中有4个次品,从其中任意抽取1个来检查,记录其等级后,放回；再取,再放回.如此继续共查4次,求4次都取得合格品的概率( )A. B. C. D.3．某公司把一个技术难题交给A、B、C三人独立去解决.由以往业绩估计A、B、C三人能独立解决此问题的概率分别为0.4,0.5,0.6,问:他们三人能解决此问题的概率为（）A. 0.87B. 0.88C. 0.90D. 0.864．某气象局对其所属的某气象站“天气预报情况”进行了一次抽查,结果是:预报准确的概率是0.98,以这个结果为准,求这家气象站在100次的天气预报中至少有99次准确的概率( )。
相互独立事件同时发生的概率(2)
(2)“一件不合格品能通过第i名检验员检验”记为事件Bi(i=1、 2), “一件不合格品能出厂”即不合格品通过两名检验员检验 事件B1·B2发生，所求概率为： P(B1·B2)=P(B1)·P(B2)=1·2
两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是0.03，第
二台出废品的概率是0.02.加工出来的零件堆放在一起.若第一台
为事件 A B C, A B C, A B C
所求概率为：
P(A B C A B C A B C)
P(A B C) P(A B C) P(A B C)
P( A) P(B) P(C) P( A) P(B) P(C) P( A) P(B) P(C) 4
9
例5.掷三颗骰子，试求： (1)没有一颗骰子出现1点或6点的概率； (2)恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率． (3)至少有1颗骰子出现1点或6点的概率是多少
则男女排双双夺冠的概率为：
PA B PA PB 0.90.7 0.63
答：男女排双双夺冠的概率为0.63.
变式一 只有女排夺冠的概率有多大？
略解: 只有女排夺冠的概率为
P A B PA P B 0.90.3 0.27
例1. 假如到2008年北京奥运会时，凭借着天时、地
利、人和的优势，男排夺冠的概率有0.7；女排夺冠的 概率有0.9.那么，男女排双双夺冠的概率有多大？
求：(1)一件合格品不能出厂的概率， (2)一件不合格产品能出厂的概率
11.3 相互独立事件同时发生的概率
∴P(D)＝P(A· ＋B· ＋A· B A B) ＝P(A· )＋P(B· )＋P(A· B A B) ＝P(A)· B )＋P(B)· A )＋P(A)· P( P( P(B) ＝P(A)· [1－P(B)]＋P(B)· [1－P(A)]＋P(A)· P(B) ＝0.8×0.1＋0.9×0.2＋0.8×0.9＝0.98， 即目标被击中的概率是 0.98. 方法二 利用求对立事件概率的方法． 两人中至少有 1 人击中的对立事件为两人都未击中， 所以两人中至少有 1 人击中的概率为 P(D)＝1－P( A · )＝1－P( A )· B ) B P( ＝1－0.2×0.1＝0.98， 即目标被击中的概率是 0.98.
甲、乙两人各中一次；甲中 2 次，乙 2 次均不中；甲 2 次均不中，乙中 2 次．概率分别为 3 1 1 C2P(A)P( A )C2P(B)P( B )＝16， 1 P(A· A)P( B · )＝64， B 9 P( A · )P(B· 64. A B)＝ 所以甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次的概率为 3 1 9 11 16＋64＋64＝32.
1 1 (2)方法一 由题设和(1)知，P(A)＝2，P( A )＝2. 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 3 1－P( A · )＝4. A 1 1 方法二 由题设和(1)知，P(A)＝2，P( A )＝2. 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 3 1 C2P(A)P( A )＋P(A)P(A)＝4. (3)由题设和(1)知， 1 1 3 1 P(A)＝2，P( A )＝2，P(B)＝4，P( B )＝4. 甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：
某工厂为了保障安全生产， 每月初组织工
人参加一次技能测试．甲、乙两名工人通过每次测 4 3 试的概率分别是5和4.假设两人参加测试是否通过相 互之间没有影响． (1)求甲工人连续 3 个月参加技能测试至少有 1 次未 通过的概率； (2)求甲、乙两人各连续 3 个月参加技能测试，甲工 人恰好通过 2 次且乙工人恰好通过 1 次的概率； (3)工厂规定：工人连续 2 次没通过测试，则被撤销 上岗资格．求乙工人恰好参加 4 次测试后被撤销上 岗资格的概率．
高一数学相互独立事件同时发生的概率1PPT课件
Ⅱ. 讲授新课
• 1．独立事件的定义
• 把从两个坛子里分别摸出一个球，从甲坛子里 摸到白球叫做事件A，从两个坛子里分别摸出一 个球，从乙坛子里摸到白球叫做事件B．
由 (3×2)/(5×4)= (3/5)×(2/4) ， 我 们 看 到 P(A·B)=P(A)·P(B).
• 2．独立事件同时发生的概率的计算公式 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个
事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独
立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件 发生的概率的积，即： P(A1·A2·…·An)= P(A1)·P(A2)·…·P(An).
（黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑）
• 2．独立事件同时发生的概率的计算公式 在上面5×4种结果中，同时摸出白球的结果有 3×2种．因此，从两个坛子里分别摸出1个球， 都是白球的概率为P(A·B)=(3×2)/(5×4乙坛子里摸出1个球，得到白 球的概率P(B)=2/4；
• 很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑球， 对从另一个坛子里摸出白球的概率没有影响．
• 这就是说，事件A（或B）是否发生对事件B（或 A）发生的概率没有影响，
• 这样的两个事件叫做相互独立事件．
独立事件的定义的理解： 1）事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同
的概念；两个事件互斥是指这两个事件不可能 同时发生；两个事件相互独立是指其中一个事 件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影 响．
2）一般A 地与 ，B 如， 果A 事与 件B A与， A B与 相互B独立，那么
相互独立事件同时发生的概
第七节 相互独立事件同时发生的概率一、基本知识概要：1.相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，那么称事件A ，B 为相互独立事件。
注： 如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的。
两个相互独立事件A 、B 同时发生的概率为：P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）；如果事件A 1，A 2，…n A 彼此独立，则P （A 1·A 2·…n A ）=P （A 1）·P （A 2）·…P （n A ）；2.事件的积：设事件A 、B 是两个事件，A 与B 同时发生的事件叫做事件的积，记作A ·B 。
（此概念可推广到有限多个的情形）3.独立重复试验（又叫贝努里试验）：在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率记为P n （k ），设在一次试验中事件A 发生的概率为P ，则P n （k ）=k n k k n P P C --)1(。
二、重点难点: 对相互独立事件、独立重复试验的概念的理解及公式的运用是重点与难点。
三、思维方式: 分类讨论，逆向思维（即利用P （A ）=1－P （A ））四、特别注意：1.事件A 与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)。
特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为P(A+B)＝P(A)+P(B)2.事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.五、例题：例1.（2004年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张。
相互独立事件同时发生的概率
解（1）记“在一局比赛中，甲获胜”为 事件A，甲3：0获胜相当于在3次独立重 复试验中事件A发生了3次，根据n次独立 重复试验中事件发生k次的概率公式,甲3： 0获胜的概率是：
P1 P3 (3) C 0 .6 0 .216
3 3 3
答：甲3：0获胜的概率是0.216
(2)甲3：1获胜即甲在前3局中有2局获胜，且 第4局获胜。记 “甲在前3局中有2局获胜”为 A2 ，“甲在第4局获胜”为事件 A1 事件 ，由 于它们是相互独立事件，则甲3：1获胜的概率 是：P2 P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 )
3.对立事件的概率的和等于1。即 P(A)＋P( A )＝1 或P( A )=1-P(A)
4.相互独立事件同时发生的概率公式：
P A B P A P B
问题1：
某射手射击1次，击中目标的概率是0.9。他连 续射击4次,且各次射击是否击中相互之间没有影响， 那么他第二次未击中其它三次都击中的概率是多少？
= P A A A A = P A A A A
P A1 A2 A3 A4 = P A1 A2 A3 A4
1 2 3 4
1
2
3
4
P (1 P )
3
1
归 纳：
某射手射击一次，击中目标的 概率是0.9，求他射击4次恰好击中 目标3次的概率。
三、公式
如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率 计算公式：
Pn k C p 1 p
k n k
nk
或 Pn k C p q
k n k
相互独立事件同时发生的概率(二)(201912)
一、复习回顾
1.独立事件的定义 事件A（或B）是否发生对事件B（或
A）发生的概率没有影响，这样的两个事 件叫做相互独立事件。 2.A、B为独立事件，则
P(A B) P(A) P(B)
推广：
一般地，如果事件A1，A2，，An相互 独立，那么这n个事件同时发生的概 率等于每个事件发生的概率的积，即
[例3]（2003年·江苏·理，17）有三种产品，合格率分别 是0.90，0.95，0.95，各抽取一件进行检验。（1）求恰 有一件不合格的概率；（2）求至少有两件不合格的概 率。（精确到0.001） 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格品的事件分别为 A、B和C。因事件A、B、C相互独立。
[例2]有甲、乙、丙3批罐头，每批100个，其中各有1个是
不合法的，从三批罐头中各抽出1个，求抽出的3个中至少 有1个不合格的概率。（精确到0.01）
解分：设析从：甲设、从乙甲、、丙乙三、批罐丙头3批中罐各头抽出中1各个抽，出1 得个到不，合得格到事不件合分格别的为事A、件B分、别C；为则A事、件BA、、C； B、因C为相事互件独立“，抽A出、B、的C也3个相中互至少立。有1个是不合
格是所∵ 与所事事的对以件件求”立求““的与事的抽抽概事件事出出率件，件的的为“且概33个 个抽事率全中出件可是至的求A合少、。3格有个B的1、全个”C是是是相不合对互合格立独格的事的立件””，。
1 P（A B C） 1 P（A） P（B） P（C）
1 C919 C919 C919 1 0.993 0.03 C1100 C1100 C1100
（4）甲、乙两同学中至多一人做对；A B A B A B
（5）甲、乙两同学中恰有一人做对。A B A B
高中数学课件 1.相互独立事件及其同时发生的概率
2.独立事件同时发生的概率的计算公式 如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时
发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即：
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
例2.生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率是 97％,从它们生产的零件中各抽取1件，求两次都抽到合格品的概率。
解：分别记这段时间内开关JA、JB、JC能够闭合 JA 为事件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互 JB 之间没有影响。 根据相互独立事件的概率乘法公式这段时间内3 JC 个开关都不能闭合的概率是
所以这段事件内线路正常工作的概率是
还有什么做法？
显然太烦
例4.在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是 0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算 在这段时间内： (1)甲、乙两地都下雨的概率； P=0.2×0.3＝0.06 (2)甲、乙两地都不下雨的概率 P=(10.2)×(10.3)=0.56 (3)其中至少有1个地方下雨的概率
解法一：设P(乙答错）= x，则由题意，得 P(甲答错且乙答错）=0.2，
∴P(由乙答出）P(甲答错且乙答对）
解法二：P(由乙答出）=1-P(由甲答出）-P(两人都未答出） =1- 0.4- 0.2=0.4
两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一 个事件发生的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是 不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提 的．
P(D)=1-P(A·B·C)
又由于三台车床在1小时内不需要工人照管的事件是相互 独立的，所以
P(D)=1-P(A)·P(B)·P(C) =1- 0.9×0.8×0.7=0.496
§10.7.1相互独立事件同时发生的概率(1)
相互独立事件同时发生的概率（1）一、课题：相互独立事件同时发生的概率（1）二、教学目标：1.了解相互独立事件的意义；2.注意弄清事件“互斥”与“相互独立”是不同的两个概念；3．理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式。
三、教学重、难点：相互独立事件的意义；相互独立事件同时发生的概率乘法公式；事件的相互独立性的判定。
四、教学过程：（一）复习引入：1．复习互斥事件的意义及其概率加法公式：互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．()()()P A B P A P B +=+对立事件：必然有一个发生的互斥事件叫做对立事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-2．问题1：甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上。
问题2：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球。
提问1：问题1、2中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以） 提问2：问题1、2中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）（二）新课讲解：1．相互独立事件的定义：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
说明：若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。
2．相互独立事件同时发生的概率：问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果。
于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果。
同时摸出白球的结果有32⨯种。
高一数学：相互独立事件同时发生概率
二、课堂练习
课本P132练习 3、4 三、课堂小结
通过本节学习，应进一步掌握将一 些较复杂的事件转化为一些互斥事件或 相互独立事件的概率，进而求其概率。
四、课外作业：
课本P135习题10.7 4
解：分别记这段时间内开关JA， JB，JC能够闭合为事件A，B， C(如图)．由题意，这段时间内3 个开关是否能够闭合相互之间 没有影响．根据相互独立事件 的概率乘法公式，这段时间内3 个开关都不能闭合的概率是
P(A B C) P(A) P(B) P(C)
1 P(A)1 P(B)1 P(C)
（Ⅱ）能进行通讯的概率。
解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事 件A，“第二套通讯设备能正常工作”为事 件B，由题意知
P（A）= p3, P(B)= p3…………2分
P( A) 1 p3 , P(B) 1 p3
（Ⅰ）恰有一套设备能正常工作的概率为：
P( A B A B) P( A) P(B) P( A) P(B)
答：恰有一套设备能正常工作的概率为 2 p3 2 p6 ,
能进行通讯的概率为 2 p3 p 6 . ………12分
方法二：两套设备都不能正常工作的概率为
P( A B) P( A) P(B) (1 p3 )2 .
至少有一套设备能正常工作的概率， 即能进行通讯的概率为
1 P(A B) 1 P(A) P(B) 1 (1 p3 )2 2 p3 p6.
④ A、B、C中至少有一个发生；
1 P(A B C)
[例2]甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是
0.6， 计算：
(1) 2人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率．
相互独立事件同时发生的概率 Ⅲ.积事件A ·B
臭皮匠老三解出的把握至少是多少， 探究3： 他们才胜似一个诸葛亮？
相互独立事件同时发生的概率
1． 两 人 射 击 同 一 目 标 各 ，击 一 发 ， 甲 击 中 的率 概为 0.9， 乙 击中的概率为 0.8， 求 事 件 “ 目 标 被 击 ” 中的 概 率 .
解析：设“甲击中目标”为事件A “乙击中目标”为事件B
相互独立事件同时发生的概率
一个事件的发生与否对另一事件发生的概率 Ⅰ.相互独立事件： 没有影响的两个事件叫相互独立事件.
若 A 与 B 相 互 独 立 ， 则A 与 B , A与 B , A与 B也 相 互 独 立.
Ⅱ.互 斥 事 件 ： 指同一次试验中的两个事件不可能同时发生. 相互独立事件： 指在不同试验下的两个事件互不影响. Ⅲ.积事件A · B: 表示事件A、B 同时发生的事件. (1) A、B相互独时： P ( A B ) P ( A ) P ( B ) ( 2) A1 , A2 , , An 彼此独立： P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
B A B C A C
N1
N2
0.648
0.792
5.(2004年福建高考)甲、乙两人参加一次英语口试，已知 在被选的10道题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中 的8道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测 试，至少答对2题才算合格。 （1）分别求甲、乙两人考试合格的概率 （2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率
例在一段线路中并联着3个自动控制的 开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路 就能正常工作。假定在某段时间内每个开关 能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间 内线路正常工作的概率
高考第一轮复习数学相互独立事件同时发生的概率
相互独立事件同时发生的概率●知识梳理1.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响,这样的两个事件叫相互独立事件.2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p ,那么在n 次独立重复试验中,这个事件恰好发生k 次的概率为P n k =C k n p k 1－pn －k. 3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一,相互独立也是研究两个事件的关系；第二,所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三,两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生,两事件相互独立是指不同试验下,二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥,即可能同时发生,而互斥事件不可能同时发生.5.事件A 与B 的积记作A ·B ,A ·B 表示这样一个事件,即A 与B 同时发生.当A 和B 是相互独立事件时,事件A ·B 满足乘法公式P A ·B =P A ·PB ,还要弄清A ·B ,B A ⋅的区别. A ·B 表示事件A 与B 同时发生,因此它们的对立事件A 与B 同时不发生,也等价于A 与B 至少有一个发生的对立事件即B A +,因此有A ·B ≠B A ⋅,但A ·B =B A +. ●点击双基1.2004年辽宁,5甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p 1,乙解决这个问题的概率是p 2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是1－p 2+p 21－p 1 －p 1p 2－1－p 11－p 2 解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决,故所求概率是p 11－p 2+p 21－p 1.答案：B2.将一枚硬币连掷5次,如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率,那么k 的值为解析：由C k 521k 215－k =C 15+k 21k +1·215－k －1,即C k 5=C 15+k ,k +k +1=5,k =2.答案：C3.从应届高中生中选出飞行员,已知这批学生体型合格的概率为31,视力合格的概率为61,其他几项标准合格的概率为51,从中任选一学生,则该生三项均合格的概率为假设三项标准互不影响A.94 B.901 C.54 D.95 解析：P =31×61×451=901.答案：C4.一道数学竞赛试题,甲生解出它的概率为21,乙生解出它的概率为31,丙生解出它的概率为41,由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________. 解析：P =21×32×43+ 21×31×43+ 21×32×41=2411. 答案：2411 5.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是31.那么这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率是________.解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯,所以P =1－311－31×31=274. 答案：274●典例剖析例1 2004年广州模拟题某班有两个课外活动小组,其中第一小组有足球票6张,排球票4张；第二小组有足球票4张,排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张,乙从第二小组的10张票中任抽1张.1两人都抽到足球票的概率是多少2两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张,抽到足球票”为事件A ,“乙从第二小组的10张票中任抽1张,抽到足球票”为事件B ；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张,抽到排球票”为事件A ,“乙从第二小组的10张票中任抽1张,抽到排球票”为事件B ,于是P A =106= 53,P A =52； PB =104= 52,P B =53. 由于甲或乙是否抽到足球票,对乙或甲是否抽到足球票没有影响,因此A 与B 是相互独立事件.1甲、乙两人都抽到足球票就是事件A ·B 发生,根据相互独立事件的概率乘法公式,得到P A ·B =P A ·PB =53·52=256.答：两人都抽到足球票的概率是256. 2甲、乙两人均未抽到足球票事件A ·B 发生的概率为P A ·B =P A ·P B =52·53=256. ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为 P =1－P A ·B =1－256=2519. 答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是2519. 例2 有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中,每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A ,3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A 的球,则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球,则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球,则称试验成功,求试验成功的概率.解：设事件A ：从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球；事件B ：从第一个盒子中取得一个标有字母B 的球,则A 、B 互斥,且P A =107,PB =103；事件C ：从第二号盒子中取一个红球,事件D ：从第三号盒子中取一个红球,则C 、D 互斥,且PC =21,PD =108=54. 显然,事件A ·C 与事件B ·D 互斥,且事件A 与C 是相互独立的,B 与D 也是相互独立的.所以试验成功的概率为P =P A ·C +B ·D =P A ·C +PB ·D =P A ·PC +PB ·PD =10059. ∴本次试验成功的概率为10059. 例3 2004年福州模拟题冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶,每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料,取用甲种或乙种饮料的概率相等.1求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；2求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率. 解：1由题意知,甲种已饮用5瓶,乙种已饮用2瓶. 记“饮用一次,饮用的是甲种饮料”为事件A ,则p =P A =21. 题1即求7次独立重复试验中事件A 发生5次的概率为P 75=C 57p 51－p 2=C 27217=12821. 2有且仅有3种情形满足要求：甲被饮用5瓶,乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶,乙没有被饮用；甲被饮用4瓶,乙没有被饮用.所求概率为P 65+P 55+P 44=C 65p 51－p +C 55p 5+C 44p 4=163. 答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为12821,甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为163. ●闯关训练 夯实基础1.若A 与B 相互独立,则下面不相互独立事件有 与A与BC. A 与BD. A 与B解析：由定义知,易选A. 答案：A2.在某段时间内,甲地不下雨的概率为,乙地不下雨的概率为,假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响,则这段时间内两地都下雨的概率是解析：P =1－1－=. 答案：D3.某学生参加一次选拔考试,有5道题,每题10分.已知他解题的正确率为53,若40分为最低分数线,则该生被选中的概率是________.解析：该生被选中,他解对5题或4题.∴P =535+C 45×534×1－53=31251053. 答案：312510534.某单位订阅大众日报的概率为,订阅齐鲁晚报的概率为,则至少订阅其中一种报纸的概率为________.解析：P =1－1－1－=. 答案： 培养能力5.在未来3天中,某气象台预报每天天气的准确率为,则在未来3天中, 1至少有2天预报准确的概率是多少2至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少解：1至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率,即C 23··+C 33·=.∴至少有2天预报准确的概率为.2至少有一个连续2天预报准确,即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为2··+=.∴至少有一个连续2天预报准确的概率为.6.2004年南京模拟题一个通讯小组有两套设备,只要其中有一套设备能正常工作,就能进行通讯.每套设备由3个部件组成,只要其中有一个部件出故障,这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p ,计算在这一时间段内,1恰有一套设备能正常工作的概率； 2能进行通讯的概率.解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A ,“第二套通讯设备能正常工作”为事件B .由题意知P A =p 3,PB =p 3, P A =1－p 3,P B =1－p 3.1恰有一套设备能正常工作的概率为P A ·B + A ·B =P A ·B +P A ·B =p 31－p 3+1－p 3p 3=2p 3－2p 6.2方法一：两套设备都能正常工作的概率为 P A ·B =P A ·PB =p 6.至少有一套设备能正常工作的概率,即能进行通讯的概率为 P A ·B + A ·B +P A ·B =2p 3－2p 6+p 6=2p 3－p 6. 方法二：两套设备都不能正常工作的概率为 P A ·B =P A ·P B =1－p 32. 至少有一套设备能正常工作的概率,即能进行通讯的概率为1－P A ·B =1－P A ·P B =1－1－p 32=2p 3－p 6.答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p 3－2p 6,能进行通讯的概率为2p 3－p 6.7.已知甲袋中有3个白球和4个黑球,乙袋中有5个白球和4个黑球.现从两袋中各取两个球,试求取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率.解：从甲袋中取2个白球,从乙袋中取1个黑球和1个白球的概率为2723C C ×291415C C C =635； 从甲袋中取1个黑球和1个白球,从乙袋中取2个白球的概率为271413C C C ×2925C C =6310. 所以,取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为635+6310=6315=215. 探究创新8.2004年湖南甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92. 1分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；2从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.解：1设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件,由题设条件有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅,92)(,121)(,41)(C A P C B P B A P即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=-⋅=-⋅.92)()(,121)](1[)(,41)](1[)(C P A P C P B P B P A P由①③得PB =1－89PC , 代入②得27PC 2－51PC +22=0. 解得PC =32或911舍去. 将PC =32分别代入③②可得P A =31,PB =41, 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是31,41,32.2记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件,则 PD =1－P D =1－1－P A 1－PB 1－PC =1－32·43·31=65. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的概率为65. ●思悟小结1.应用公式时,要注意前提条件,只有对于相互独立事件A 与B 来说,才能运用公式P A ·B =P A ·PB .2.在学习过程中,要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积,或其对立事件.3.善于将具体问题化为某事件在n 次独立重复试验中发生k 次的概率. ●教师下载中心 教学点睛1.首先要搞清事件间的关系是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立,当且仅当事件A 和事件B 互相独立时,才有P A ·B =P A ·PB .、B 中至少有一个发生：A +B .1若A 、B 互斥：P A +B =P A +PB ,否则不成立. 2若A 、B 相互独立不互斥.法一：P A +B =P A ·B +P A ·B +P A ·B ； 法二：P A +B =1－P A ·B ； 法三：P A +B =P A +PB －P AB .① ② ③3.某些事件若含有较多的互斥事件,可考虑其对立事件的概率,这样可减少运算量,提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化,如例1.次独立重复试验中某事件发生k 次的概率P n k =C k n p k 1－pn －k正好是二项式1－p +p n 的展开式的第k +1项. 拓展题例例1 把n 个不同的球随机地放入编号为1,2,…,m 的m 个盒子内,求1号盒恰有r 个球的概率.解法一：用独立重复试验的概率公式.把1个球放入m 个不同的盒子内看成一次独立试验,其中放入1号盒的概率为P =m1.这样n 个球放入m 个不同的盒子内相当于做n 次独立重复试验.由独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式知,1号盒恰有r 个球的概率 P n r =C r np r1－pn －r=C r n·m 1r ·1－m1n －r=nrn r n m m --⋅)1(C .解法二：用古典概型.把n 个不同的球任意放入m 个不同的盒子内共有m n 个等可能的结果.其中1号盒内恰有r 个球的结果数为C r nm －1n －r,故所求概率P A =nrn r n mm --)1(C .答：1号盒恰有r 个球的概率为nrn r n m m --)1(C .例2 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ,且各引擎是否故障是独立的,如果至少50%的引擎能正常运行,飞机就可以成功地飞行,问对于多大的P 而言,4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验,要能正常运行,即求发生k 次k ≥2的概率.同理,2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k 次k ≥1的概率,由此建立不等式求解.解：4引擎飞机成功飞行的概率为C 24P 21－P 2+C 34P 31－P +C 44P 4=6P 21－P 2+4P 31－P +P 4. 2引擎飞机成功飞行的概率为C 12P 1－P +C 22P 2=2P 1－P +P 2.要使4引擎飞机比2引擎飞机安全,只要6P 21－P 2+4P 31－P +P 4≥2P 1－P +P 2. 化简,分解因式得P －123P －2≥0. 所以3P －2≥0, 即得P ≥32. 答：当引擎不出故障的概率不小于32时,4引擎飞机比2引擎飞机安全.。
两个相互独立事件同时发生的概率
判断下列事件A和B是否相互独立?
1.一个口袋内装有2个白球和2个黑 球,把“从中任意摸出1个球,得到 白球”记作事件A,把“从剩下的3 个球中任意摸出1个球,得到白球” 记作事件B 2.生产一种零件, 记“从甲车间生 产的零件中,抽取一件合格品”为 事件A,”从乙车间生产的零件中, 抽取一件合格品”为事件B
1.甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙坛 子里有2个白球,2个黑球.若从这两 个坛子里分别摸出1个球,则它们都 是白球的概率是多少? 记“从甲坛子里摸出1个球,得到白球” 为事件A,“从乙坛子里摸出1个球,得到 白球”为事件B,则事件A是否发生对事 件B的发生没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件
在上面的问题里,事件 A 是指 “从甲坛子里摸出1个球,得到黑球”, 事件 B 是指“从乙坛子里摸出1个 球,得到黑球”.很明显事件A与 B , A与B, A与 B 也都是相互独立的. 一般地,如果事件A与B 相互独立, 那么A与 B , A与B, A 与 B 也都是 相互独立的
“从两个坛子里分别摸出1个球, 它们都是白球”是一个事件,它的发 生,就是事件A,B同时发生,我们将它 记作A﹒B.于是需要研究,上面两个 相互独立事件A,B同时发生的概率 P(A﹒B)是多少? 从甲坛子里摸出1个球,有5种等 可能的结果;从乙坛子里摸出1个球, 有4种等可能的结果 .
2 .甲乙两人同时报考某一大学,甲被录取 的概率是0.6, 乙被录取的概率是0.7,两人 是否录取互不影响,求:
(1)甲乙两人都被录取的概率 (2)甲乙两人都不被录取的概率 (3)其中至少一个被录取的概率
4. 甲袋中有8个白球,4个红球; 乙袋中有6个白球,6个红球,从 每袋中任取一个球,问取得的 球是同色的概率是多少?
高一数学相互独立事件同时发生的概率
（黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑）
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率 是否有影响？ 结论：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发 生的概率没有影响
1、相互独立事件及其同时发生的概率
（1）相互独立事件的定义： 事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的 概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。
3、注意解题步骤！
配资 / 配资
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过些日子你们爹的身体好了，就盘一个门面店铺吧！还是开个粮油零售店得好，不但赚头大，而且也相对省劲儿很多 呢！”小青一听说耿正兄妹仨又要去做贩卖水果的生意，就说：“我也去，好歹能给你们帮上点儿忙的！”耿正说： “不用了，你不是还要绣花吗？”小青一扬头说：“嗨，那个早绣好了。现在没有需要绣的活儿！”耿直则说：“小青 姐姐，小心做粗活儿把你绣花的手给糟蹋了！”耿英打趣地说：“做粗活儿倒不至于糟蹋了绣花的手。别看我现在总做 粗活儿，将来不做了，照样还会绣花呢！”乔氏笑着说：“去吧，都去吧！糟蹋了绣花的手，正好以后不用绣了，就和 你们一块儿开店去！英丫头啊，好好教一教你姐姐怎么做生意噢！”耿英有些奇怪地问：“娘娘啊，你真舍得让姐姐去 做这样的粗活儿？”乔氏笑得更开心了。她端着饭碗看一眼宝贝女儿甜美的好看模样，再挨个看过耿正兄妹三人，由衷 地说：“只要你们姐姐愿意，娘娘就高兴啊！”大家有说有笑地吃完了饭，乔氏说：“我一个人洗刷就行了，你们趁早 批发水果去吧！”小青调皮地说：“姆妈哎，按时做好午饭啊，我回来吃了再给他们送去！”乔氏笑着说：“我知道！ 给你们摊鸡蛋煎饼，再炒两个菜，做个虾米紫菜汤。”看着小青和耿正兄妹三人高高兴兴地出门儿去了，耿老爹感激地 对乔氏说：“兄弟媳妇啊，这一眨眼的功夫，我们父子四个在你们家里已经住了半年多了。这一日三餐的，可真是难为 你了！”乔氏却笑着说：“一家人不说两家话啊，我高兴青丫头有了你这个好伯伯和这么多弟弟妹妹还来不及呢！”又 说：“就像我刚才说的，等大哥你的身体彻底休养好了，就不要再贩卖蔬菜水果了，盘个大一点儿的门面房子开粮油零 售店吧！开店的本钱不用你考虑的，那五佰两银子怎么着也足够用了！”耿老爹听了连连摆手，说：“不行，不行，我 白兄弟的抚恤金我怎么能用啊！那可是船老大给你们娘儿俩以后的生活费用呢！你放心，我们父子们再做一段日子，开 个小一点儿的粮油零售店的本金差不多也就够了。”乔氏听了耿老爹这话，原本高高兴兴的心情瞬间就一扫而光了。她 长叹一声摇着头伤心地说：“唉，人已经没有了，我要那些个银子有什么用呢！”于是不再说话，情绪很低落地收拾洗 刷去了。耿老爹一时间也不知道应该如何跟乔氏做进一步解释，就默默地起身回东边屋里休息去了。一会儿，西边屋里 传出来乔氏压抑的哭泣声。耿老爹知道，自己无意间的提起又勾起了乔氏的伤心，可自己真的不能动用白兄弟的那笔抚 恤金啊，那是白兄弟用命换来的，也是她们母女今后生活的保障啊！唉，都怪自己说话不当。又过了一会儿，乔氏压抑 的哭泣声还在继续着。耿老爹觉得，自己有责任，也必须得过去劝慰一番
高一数学相互独立事件同时发生的概率2
解：设事件A：女排夺冠，事件B：男排夺冠.
变式三:
至少有一队夺冠的概率有多大？
解2：（逆向思考）至少有一队夺冠的概率为
1 P A B 1 P A P B 1 1 P A1 P B 1 0.3 0.1 0.97
例2.有三批种子，其发芽率分别为0.9、0.8和0.7，
答：男女排双双夺冠的概率为0.63.
变式一
只有女排夺冠的概率有多大？
只有女排夺冠的概率为
P A B P A P B 0.9 0.3 0.27
例1.
假如到2008年北京奥运会时，凭借着天时、地 利、人和的优势，男排夺冠的概率有0.7；女排夺冠的 概率有0.9.那么，男女排双双夺冠的概率有多大？
1 P ( A B ) A、 B中至少有一个发生 1 P ( A B ) A、 B中至多有一个发生
2004年雅典奥运会女子排球决赛在中国和俄罗斯 之间展开，最终中国女排在先失两局的不利情况 下连扳三局，以总比分3-2击败俄罗斯女排获得冠 军，这也是中国女排继1984年洛杉矶奥运会夺冠 以来第二次在奥运会女排比赛中摘金，这是全中 国人民的骄傲！
解：设事件A：女排夺冠，事件B：男排夺冠.
变式三:
至少有一队夺冠的概率有多大？
解1：(正向思考)至少有一队夺冠的概率为
P A B A B A B P A P B P A P B P A P B 0.97
例1.
假如到2008年北京奥运会时，凭借着天时、地 利、人和的优势，男排夺冠的概率有0.7；女排夺冠的 概率有0.9.那么，男女排双双夺冠的概率有多大？
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巩固练习(2) 生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率 是97％,从它们生产的零件中各抽取1件，都抽到合格品 的概率是多少？ 解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为 事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么， 2件都是合格品就是事件A•B发生，又事件A与B相互独 立，所以抽到合格品的概率为
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P( A B C) 1 0.027 0.973
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
巩固练习（3） 在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨 的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互 之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；
P( A B) P( A) P( B)
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于 每个事件的概率的积 一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
P（A1· A2……An）=P（A1）· P（A2）……P（An）
如果A,B是两个相互独立事件,那么 1－P(A)•P(B)表示什么 A•B
（黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑）
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率 是否有影响？ 结论：事件A（或B）是否发生对事件B（或பைடு நூலகம்）发 生的概率没有影响
1、相互独立事件及其同时发生的概率
（1）相互独立事件的定义： 事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的 概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。
A•B
（白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑）
A•B
A• B
巩固练习（1） 1、一个口袋装有2个白球和2个黑球，把“从中任意摸 出1个球，得到白球”记作事件A，把“从剩下的3个球 中 任意摸出1个球，得到白球”记作事件B，那么， 1/3 （1）在先摸出白球后，再摸出白球的概率是多少？2/3 （2）在先摸出黑球后，再摸出白球的概率是多少？ （3）这里事件A与事件B是相互独立的吗？
例1 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人 击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
（2）其中恰由1人击中目标的概率 （3）至少有一人击中目标的概率
解：又A与B各射击1次，都击中目标，就是事件A,B同 时发生，且A与B相互独立，根据相互独立事件的概率的乘 法公式,得到 (1) 记：“甲射击1次，击中目标”为事件A“乙射击1次，击 中目标”为事件B，
注： ①区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生； 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一 个事件发生的概率没有影响。
②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B
是不是相互独立的 相互独立
（2）相互独立事件同时发生的概率公式：
“从两个坛子里分别摸出1个球，都是白球”是一个事件， 它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作A•B 两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概 率为：
10.7相互独立事件同时 发生的概率
加油！！
复习回顾： ①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件在一次试验中必然有一个发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是 什么？
P(A+B)=P(A)+(B)
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
P(A)+P(Ā)=1
问题：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里 有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出 1个球，它们都是白球的概率是多少？
（白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑）
P P( A B) [ P( A B) P( A B)] 0.36 0.48 0.84
解法2：两人都未击中的概率是 P( A B) P( A) P( B) (1 0.6) (1 0.6) 0.16,
因此，至少有一人击中 目标的概率 P 1 P( A B) 1 0.16 0.84 答：至少有一人击中的概率是0.84.
P( A B) P( A B) P( A) P( B) P( A) P( B) 0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6 0.24 0.24 0.48
答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48.
例1 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中 目标的概率都是0.6，计算： （3）至少有一人击中目标的概率. 解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是
3、注意解题步骤！
；看图写话 https:/// 看图写话 ；
成/虽然似确定石门/但却丝毫抪与石头相似/"马开也发现/和欧奕对望咯壹眼/都到咯对方心中の震撼/能用道纹交织成实质の如此石门/真无法想象这确定何其人物能做到の/ "难道确定至尊/ 两人心中涌起咯这种可能/心头震咯震/和至尊扯上关系/绝对非凡/ 站到石门脚下/马开和欧奕等人如 同蝼蚁/虽然密密麻麻都满确定修行者到石门之下/但到石门の对比下/壹切都显得那么渺袅/ 很多修行者立到石门之下/它们各自涌动着自身の意和法/都冲向巨大の石门/ 石门到各种意冲击下/居然壹道道涟漪扩散开来/缓缓の融化/水波粼粼/ 这の马开惊讶无比/修行者の意居然能化开石门の 道和法/ 欧奕和马开直直の盯着面前の修行者/这些修行者每壹佫都驱动咯全力/意驱动/法冲击/符文交织/渗透到石门中/石门就如同碰到蜡烛到加热壹般/缓缓の化开/ 只抪过/这些修行者做这些也十分吃力/每壹佫额头都有着汗水涌动而出/甚至有壹些修行者面色扭曲/难过狰狞/ 到马开着这 壹幕准备细细观望时/壹佫声音响起来/让马开の目光吸引过去/马开/来の正好/和我们壹起出手化开这石门/" "金爪雀/马开着出声の青年/正确定引诱无数人前来这里の金爪雀/它此刻带着无数の年少才俊/壹起出手舞动着意境冲击石门/石门被波动出片片涟漪/缓缓化开/ 金爪却那佫方向/有 数抪胜数の年少俊才/很多都十分抪凡/甚至马开到抪少天机榜上の人/ 甚至/欧奕都咦咯壹声/说确定其中有天机榜地榜の存到/ 望着那壹道道滂湃の意境冲击而出/着数抪胜数の年少俊才/马开望着那石门更确定意外咯起来/这些年少才俊/抪少确定古族弟子/都很确定强悍/ "马开/壹起出手/ 化开这石门/"金爪雀见马开未曾有出手の意思/抪由继续催促/它知道马开の强悍/心想要确定有马开帮忙出手/绝对可以尽快化开这壹处石门/进入其中/ 石门很宽阔/现到到石门下抪知道有多少修行者/也抪知道有多少修行者出手到化开石门/ 石门の入口有很多/它们只确定占据到其中壹佫入 口而已/金爪雀想要尽快进入其中/这样才能争の先机/ 有马开帮忙驱动/无疑能让它们の速度加快抪少/ 马开没有回答金爪雀/而确定向杨慧杨宁/她们既然说这处密地和族中有关系/那就按照她们の意思办/ "少爷/要确定我们实力足够の话/可以自己找壹佫入口进入/这石门有很多入口/成千上 万/数抪胜数/谁化开の入口/谁就确定那佫入口の主人/成为主人有什么好处/马开好奇の询问/ 杨慧杨宁摇头/我们只知道这些/抪知道具体/但能成为主人/自然确定好の/" 马开点点头/着金爪雀壹群人/又咯自己和欧奕/有没有把握/ 欧奕着金爪雀那些人/它们汇聚咯抪少年少才俊/实力都很强 大/合力十分恐怖/舞动の意境冲击/浩荡无边/可确定它们显然也很吃力/ "可以尝试/"欧奕没有多说什么/回答马开道/ 金爪雀见马开还没有举动/出声大喊道/马开/壹起出手/我们壹起进入其中/得先机/能夺取好地方/到时候可以完好の隐藏我们の肉身/" 马开抪知道它说の可以完好の隐藏肉 身确定什么意思/但既然欧奕已经做决定/马开也抪会出手和金爪雀联手/ 到杨慧杨宁の找寻到/到石门壹处纹理交织の节点/她们告诉两人这同样确定壹佫入口/ 马开和欧奕没有多说话/都以自身の意境舞动而出/冲击向石门而去/ "开/" 欧奕出口喝道/意境玄妙/诡异非凡/有古魇禁地の气息/ 意境接触到石门/石门壹道道涟漪暴动开来/ 金爪雀原本要两人帮忙/可着马开居然自己找咯壹处开启石门/它微微愣咯愣/没有想到马开自傲到这种地步/居然想凭借着数人之力开启壹佫入口/它难道就真の如此自信? /// 为咯（正文第壹二九三部分两人出手） 第壹二九四部分石封 欧奕和马 开出手/浩荡の意境涌动而出/冲击向石门/石门到意境の冲击下/化开咯壹道道涟漪/如同要融化壹样/波光粼粼/ 而与此同时/马开感觉到石门壹股恐怖の意冲击而出/对抗它の意/这股意很强大/强大の让马开都色变/壹佫瞬间/马开舞动の意直接被轰碎/到马开の意消失间/原本马开化开の涟漪/ 这时候也消失/再次恢复咯石块/ 欧奕同样确定如此遭遇/这让它和马开对望咯壹眼/终于明白为什么看到很多修行者都咬着牙齿/神情苍白/原来这石门会暴动出意与之对抗/ "马开/你们数人妄想开启壹佫入口/那就确定你们数人要对抗这佫入口暴动出来の意/要确定和我们合作/大家都可以分 担/"金爪雀再次大喊道/ 马开没有听金爪雀の话/依旧和欧奕出手/暴动出自身の意/直逼石门而去/ "马开/你当自己确定至尊抪成?你们数人而已/破抪开の/"金爪雀大喊/觉得马开太过自负咯/ 马开什么话都没有说/沉浸到马开の意境中/浩荡の意境舞动/壹道都确定意境冲击而出/化作青莲/青 莲颤动/没入到石门中/石门化开壹道道涟漪/ 欧奕和马开联手/它同样暴动出奇异の《壹〈本读《袅说 /意/抪断配合/涟漪越化越大/浩荡颤动/ 马开感受到强大意冲击而来/这股意极其强