常微分试卷三答案
常微分方程第一、二、三次作业参考答案
1、给定一阶微分方程2dyx dx=： （1） 求出它的通解；解：由原式变形得：2dy xdx =.两边同时积分得2y x C =+.（2） 求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C =-即通过点（2,3）的特解为：21y x =-.（3） 求出与直线23y x =+相切的解；解：依题意联立方程组：223y x Cy x ⎧=+⎨=+⎩故有：2230x x C --+=。
由相切的条件可知：0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=解得4C =故24y x =+为所求。
（4） 求出满足条件33ydx =⎰的解。
解：将 2y x C =+代入330dy =⎰，可得2C =-故22y x =-为所求。
2、求下列方程的解。
１）3x y dydx-= 2）233331dy x y dx x y -+=--解：依题意联立方程组：23303310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得：2x =，73y =。
则令2X x =-，73Y y =-。
故原式可变成：2333dY x ydX x y-=-. 令Yu X =，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dxdu u u x-=-+.两边同时积分，可得122(263)||u u C X --+= .将732y u x -=-，2X x =-代入上式可得： 12227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪⎝⎭.即上式为所求。
3、求解下列方程:1)24dyxy x dx+=. 解：由原式变形得：22dyxdx y=-. 两边同时积分得：12ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。
2)()x dyx y e dx-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解： ()0dyx y dx -=. 进一步变形得：1dy dx y=.两边同时积分得：x y ce =.利用常数变异法，令()x y c x e =是原方程的通解。
常微分方程第三版习题答案
常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。
在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。
本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 习题一1.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程，得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$，得到：$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分，得到：$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。
将方程变形，得到：$ydy = tdt$对上式两边同时积分，得到：$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得：$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：$1 = 0 + C$解得：$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
福师《常微分方程》期末试卷解析
福师《常微分方程》期末试卷解析一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 答案：A解析：对常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
2. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
3. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。
4. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。
5. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
6. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
7. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。
8. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。
9. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
10. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
常微分方程第三版答案
百度文库•让每个人平等地捉升口我习题1.21・—=2xy,并满足初始条件：x=0, y=l 的特解。
dx解：—=2xdx 两边积分有：ln|y|=x'+cy=e ' +e =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2, x=0 y=l 时c=l特解为尸e r \2. y' dx+(x+l)dy=O 并求满足初始条件：x=0, y=l 的特解。
dy 1 + y 2* — 了dx xy + x^ydy _ 1 + y 2 1 dx y x + A 3 dy= ------ r dx X + X'两边积分：x(l+x 2) (1+y 2 )=cx"4. (1+x)ydx+(l-y)xdy=O解：原方程为：—dy=-—dx y x两边积分：In | xy +x-y=c另外x=0, y=0也是原方程的解。
5・(y+x) dy+(x-y)dx=O解：原方程为：解：y - dx=-(x+l)dy卑 dy=J x + 1 dx 两边积分：-丄=-ln|x+l|+ln|c| y I尸 In 1 c(x + 1)1另外y=0> X-1也是原方程的解x=0, y=l 时 c=e 特解：y=In I c(x + \) I解：原方程为:dy x- ydx x + y八V … t dv du 小、亠令i =u 则——=u+x 代入有: x dx dx---- d u= — dx iC +1 xln(u~ +l)x~ =c-2arctgu即 ln(y ~+x~ )=c-2arctg 厶.6. x — -y+ -Jx 2 — y 1 =0解：原方程为：y^=- + —-Jl-(-)2 dx xxv xA y dv dii 贝U 令—=u — =u+ x — x dx dx,du=sgnx — dx VI-w 2 Xarcsin —=sgnx In I x I +c x7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：—=—fgy ctgx两边积分:In |siny =-ln |cosx I-In I c I1 c siny= ---------- = ------ 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. ccosx cosx所以原方程的通解为sinycosx=c.dx y解：原方程为：学二 dx y2 e ' -3e~ =c.9・ x (lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：——=—In — dx x xA v rjl dy du 令—=u ，贝11 — =u+ x —— x dx dxduu+ x — =ulnudxln(lnu-l)=-ln|cx|1+1 n = =cy・xdx解：原方程为：g二11 — =(x+y) 2dx“A十du解：令x+y=u,则〒=〒T dx dxdx------du=dx\ + ir arctgu=x+c arctg (x+y)=x+cdx (x+y)-“ 八dy du解：令x+y=u,则一=——1 dx dxu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.cly 2x - y +113.—= ---------- :——dx x-2y+ 1解：原方程为：(x-2y+l) dy=(2x-y+l)dx xdy+ydx-(2y-l)dy-(2x+l)dx=O dxy-d (y' -y) -dx +x=c乍•>xy-y - +y_x - _x二c—dy x-y+ 5dx x _ y _ 2解：原方程为：(x-y-2) dy= (x-y+5) dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=O1 . 1 .dxy-d (— y' +2y) -d( —x" +5x) =02 2y - +4y+x - +10x-2xy 二c・15：— =(x+l) 2+(4y+l)，+8xy + l dx解：原方程为：—=(x+4y) 2+3 dx八 e ■ 1 d" 1令x+4y=u 贝(J ——= -------dx 4 dx 41du 1 =------ =iT +34 dx 4—=4 U2+13dx3z、u= —t g(6x+c)T22t g(6x+c) = -(x+4y+l).16:证明方程丄学=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程: y dx1) y(l+x2 y2)dx=xdyX 心二2 + x：y： y dx2)2-x2y2证明:令xy=u,则x— +y= —dx dx…, dy 1 du u亠贝9于=—: ---- •有:dx x dx Q——=f (u) +1 u dx------ ! ------- d u= — dx«(/(«)+ 1) X所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
(完整版)常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷一、填空题。
1. 方程23210d xx dt+=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个.4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程222()0d x dx x dt dt+= 。
4．用比较系数法解方程..5．求方程 sin y y x '=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设 3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX=满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt 10.若三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点; (iii) 和没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -= .2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dy xy y dx dx -+=答案一.填空题。
常微分方程第三版答案doc
常微分方程第三版答案doc习题1.21．dyd某=2某y,并满足初始条件：某=0,y=1的特解。
解：dyy=2某d某两边积分有：ln|y|=某2+cy=e某2+ec=ce某2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y=ce某2,某=0y=1时c=1特解为y=e某2.2.y2d某+(某+1)dy=0并求满足初始条件：某=0,y=1的特解。
解：y2d某=-(某+1)dydy1y2dy=-某1d某两边积分:-1y=-ln|某+1|+ln|c|y=1ln|c(某1)|另外y=0,某=-1也是原方程的解某=0,y=1时c=e特解：y= ln|c(某1)|dy1y23．d某=某y某3y解：原方程为：dyd某=1y21y某某31y21ydy=某某3d某两边积分：某(1+某2)(1+y2)=c某24.(1+某)yd某+(1-y)某dy=0解：原方程为：1y某1ydy=-某d某两边积分：ln|某y|+某-y=c另外某=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+某）dy+(某-y)d某=0解：原方程为：dyd某=-某y某y令ydy某=u则d某=u+某dud某代入有：-u11u21du=某d某ln(u2+1)某2=c-2arctgu即ln(y2+某2)=c-2arctgy某2.6.某dy22d某-y+某y=0解：原方程为：dyd某=y某+|某|某-(y2)则令y某=udydud某=u+某d某1du=gn某u2某d某arciny某=gn某ln|某|+c7.tgyd某-ctg某dy=0解:原方程为：dyd某tgy=ctg某两边积分：ln|iny|=-ln|co某|-ln|c|iny=1ccco某=co某另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为inyco某=c.y23某8dyed某+ydyey2解：原方程为：d某=3某ye2e3某-3ey2=c.9.某(ln某-lny)dy-yd某=0解：原方程为：dyyyd某=某ln某令y某=u,则dydud某=u+某d某u+某dud某=ulnuln(lnu-1)=-ln|c某|1+lny某=cy.10.dyd某=e某y解：原方程为：dy某d某=eeyey=ce某11dy2d某=(某+y)解：令某+y=u,则dydud某=d某-1du2d某-1=u11u2du=d某arctgu=某+carctg(某+y)=某+c12.dyd某=1(某y)2解：令某+y=u,则dyd某=dud某-1du1d某-1=u2u-arctgu=某+cy-arctg(某+y)=c.13.dy2某y1d某=某2y1解:原方程为：（某-2y+1）dy=(2某-y+1)d某某dy+yd某-(2y-1)dy-(2某+1)d某=0d某y-d(y2-y)-d某2+某=c某y-y2+y-某2-某=c14:dy某d某=y5某y2解：原方程为：（某-y-2）dy=(某-y+5)d某某dy+yd某-(y+2)dy-(某+5)d某=0d某y-d(12y2+2y)-d(122某+5某)=0y2+4y+某2+10某-2某y=c.15:dyd某=(某+1)2+(4y+1)2+8某y1解：原方程为：dyd某=（某+4y）2+3令某+4y=u则dy1dud某=4d某-141du14d某-4=u2+3dud某=4u2+13u=32tg(6某+c)-1tg(6某+c)=23(某+4y+1).16:证明方程某dyyd某=f(某y),经变换某y=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+某2y2)d某=某dy2）某dy2某2y2yd某=2-某2y2证明：令某y=u,则某dydud某+y=d某则dy1duud某=某d某-某2，有：某duud某=f(u)+1u(f(u)1)du=1某d某所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程答案
《常微分方程》测试题 1 答案一、填空题（每空5分）12、 z=34、5、二、计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。
此外方程还有解y=0.2、解：积分：故通解为：3、解：齐线性方程的特征方程为，，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程于是原方程通解为4、解三、证明题（每题15分）1、证明：令的第一列为(t)= ,这时(t)==(t)故(t)是一个解。
同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)== (t)这样(t)也是一个解。
因此是解矩阵。
又因为det=-t故是基解矩阵。
2、证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。
（2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)《常微分方程》测试题2 答案一、填空题：（每小题3分，10×3=30分）1. 2. 3 3.4. 充分条件5. 平面6. 无7. 1 8. 9.10. 解组线性无关二. 求下列微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分）1、解：将方程变形为………（2分）令，于是得……（2分）时，，积分得从而…（2分）另外，即也是原方程的解………（2分）2、解：由于……………………（3分）方程为恰当方程，分项组合可得…………（2分）故原方程的通解为……（3分）3、解：齐线性方程的特征方程为特征根…（2分）对于方程，因为不是特征根，故有特解…（3分）代入非齐次方程，可得.所以原方程的解为…（3分）4、解：线性方程的特征方程,故特征根…………………（2分）对于，因为是一重特征根，故有特解,代入，可得……（2分）对于，因为不是特征根，故有特解，代入原方程，可得…（2分）所以原方程的解为…（2分）5、解:当时，方程两边乘以，则方程变为…（2分），即于是有，即……（3分）故原方程的通解为另外也是原方程的解. …（3分）三、解：, ，解的存在区间为…（3分）即令……（4分）又误差估计为：（3分）四、解：方程组的特征方程为特征根为，（2分）对应的特征向量应满足可解得类似对应的特征向量分量为…（3分）原方程组的的基解矩阵为…………………（2分）………（3分）五、证明题：(10分)证明：设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为…………………（3分）由已知条件，得…………………（2分）故这两个解是线性相关的．由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得，由于，可知．否则，若，则有，而，则，这与，线性相关矛盾．（3分）故（2分）《常微分方程》测试题3答案1．辨别题（1）一阶，非线性（2）一阶，非线性（3）四阶，线性（4）三阶，非线性（5）二阶，非线性（6）一阶，非线性2．填空题（1）．（2）．（3）．（4）．3．单选题（1）．B （2）．C （3）．A （4）．B （5）. A （6）. B 7. A 4. 计算题（1）．解当时，分离变量得等式两端积分得即通解为（2）．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+（3）．解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即（4）. 令，则，代入原方程，得，当时，分离变量，再积分，得，即：5. 计算题令，则原方程的参数形式为由基本关系式，有积分得得原方程参数形式通解为5．计算题解方程的特征根为，齐次方程的通解为因为不是特征根。
河北专接本数学(常微分方程)模拟试卷3(题后含答案及解析)
河北专接本数学（常微分方程）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．下列各式是一阶微分方程的有( )．A．y2+4y一2=0B．y”+2y’+3y=0C．y’+ex=(y’+ex)’D．(7x一6y)dx+(2x+y)dy=0正确答案：D 涉及知识点：常微分方程2．微分方程x2y”+xy’+2y=0的阶是( )．A．4B．3C．2D．1正确答案：C 涉及知识点：常微分方程3．以下函数可以作为某个二阶方程的通解的是( )．A．C1x2+C2x+CB．x2+y2=CC．y=ln(C1x)+ln(C2sinx)D．y=C1sin2x+C2cos2x正确答案：D 涉及知识点：常微分方程4．下列函数中是微分方程y’+=x的解的为( )．A．B．C．D．正确答案：D 涉及知识点：常微分方程5．已知r1=0，r2=一4是某二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的两个根，则该方程是( )．A．y”+4y’=0B．y”—4y’=0C．y”+4y=0D．y”—4y=0正确答案：A 涉及知识点：常微分方程6．微分方程xdy=ylnydx的一个解是( )．A．y=lnxB．ln2y=zC．y=sinxD．y=ex正确答案：D 涉及知识点：常微分方程填空题7．微分方程sinxcosydx=cosxsinydy满足初始条件的特解为__________．正确答案：涉及知识点：常微分方程8．微分方程+3y=e2x的通解为__________．正确答案：涉及知识点：常微分方程9．微分方程(x—2)y’=y+2(x—2)3在初始条件y｜x=1=0下的特解为__________．正确答案：y=(x一2)3一(x一2) 涉及知识点：常微分方程10．已知曲线过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率为x2，则曲线的方程为__________．正确答案：涉及知识点：常微分方程11．微分方程+y=e—x的通解为．正确答案：y=e—x(x+C) 涉及知识点：常微分方程12．微分方程xdy—ydx=y2eydy的通解为__________．正确答案：x=一yey+Cy 涉及知识点：常微分方程13．已知二阶常系数齐次微分方程的通解为y=C1ex+C2e—x，则原方程为__________．正确答案：y”一y=0 涉及知识点：常微分方程14．以y=e2x，y=xe2x为特解的二阶常系数齐次微分方程为__________．正确答案：y”—4y’+4y=0 涉及知识点：常微分方程15．已知微分方程y”+y=x的一个解为y1=x，微分方程y”+y=ex的一个解为y2=ex，则微分方程y”+y=x+ex的通解为__________．正确答案：y=C1cosx+C2sinx+ex+x 涉及知识点：常微分方程综合题16．求微分方程的通解3xx+5x一5y’=0正确答案：涉及知识点：常微分方程17．求微分方程的通解y—xy’=a(yx+y’)正确答案：涉及知识点：常微分方程18．求微分方程的通解y’—=(x+1)x正确答案：x(x+1)2+c(x+1)2 涉及知识点：常微分方程19．求微分方程的通解tanx=1+y正确答案：y=Csinx一1 涉及知识点：常微分方程20．求微分方程的通解=10x+y正确答案：10x+10—y=C 涉及知识点：常微分方程21．求微分方程的通解ylnxdx+xlnydy=0正确答案：ln2x+ln2y=C 涉及知识点：常微分方程22．求微分方程的通解xdy+dx=eydx正确答案：e—y=1一Cx 涉及知识点：常微分方程23．求微分方程的通解x(y2一1)dx+y(x2一1)dy=0正确答案：(y2一1)(x2一1)=C 涉及知识点：常微分方程24．求已给微分方程满足初始条件的特解正确答案：2(x3—y3)+3(x2一y2)+5=0 涉及知识点：常微分方程25．求已给微分方程满足初始条件的特解y’一ytanxsecx，y｜x=0=0正确答案：y=xsecx 涉及知识点：常微分方程26．求已给微分方程满足初始条件的特解y’=e2x—y，y｜x=0=0正确答案：ey=(1+e2x) 涉及知识点：常微分方程27．求已给微分方程满足初始条件的特解y’+ycosx=e—sinx，y｜x=0=0正确答案：y=xe—sinx 涉及知识点：常微分方程28．求微分方程的通解或特解(y2一6x)+2y=0正确答案：涉及知识点：常微分方程29．求微分方程的通解或特解+3y=2正确答案：涉及知识点：常微分方程30．求微分方程的通解或特解+y=e—x正确答案：y=(x+C)e—x 涉及知识点：常微分方程31．求微分方程的通解或特解一3xy=xy2正确答案：涉及知识点：常微分方程32．求微分方程的通解或特解(x2+1)+2xy=4x2正确答案：涉及知识点：常微分方程33．求微分方程的通解或特解+2y=4x正确答案：y=2x—1+Ce—2x 涉及知识点：常微分方程34．求微分方程的通解或特解y’+2xy=4x正确答案：涉及知识点：常微分方程35．求微分方程的通解或特解y’一=2x2正确答案：y=x2+Cx 涉及知识点：常微分方程36．求微分方程的通解或特解+y—e2=0，y｜x=a=6正确答案：涉及知识点：常微分方程。
考研数学二(常微分方程)-试卷3
考研数学二（常微分方程）-试卷3(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.微分方程y""-4y=e 2x +x的特解形式为( )．（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c √解析：解析：y""-4y=0的特征方程为λ2 -4=0，特征值为λ1 =-2，λ2 =2． y""-4y=e 2x的特解形式为y=axe 2x， y""-4y=x的特解形式为y 2 =bx+C，故原方程特解形式为axe 2x +bx+c，选(D)．3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y 1 =e x，y 2 =2xe x，y 3 =3e -x，则该微分方程为 ( )．（分数：2.00）A.y"""-y""-y"+y=0 √B.y"""+y""-y"-y=0C.y"""+2y""-y"-2y=0D.y"""-2y"-y"+2y=0解析：解析：由y 1 =e x，y 2 =2xe -x，y 3 =3e -x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1 =λ2 =1，λ3 =-1，其特征方程为(λ-1) 2 (λ+1)=0，即λ3 -λ2 -λ+1=0，所求的微分方程为y"""-y""-y"+y=0，选(A)．4.设φ1 (x)，φ2 (x)为一阶非齐次线性微分方程y"+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．（分数：2.00）A.C[φ1 (x)+φ2 (x)]B.C[φ1 (x)-φ2 (x)]C.C[φ1 (x)-φ2 (x)]+φ2 (x) √D.[φ1 (x)-φ2 (x)]+Cφ2 (x)解析：解析：因为φ1 (x)，φ2 (x)为方程y"+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1 (x)-φ2 (x)为方程y"+P(x)y=0的一个解，于是方程y"+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1 (x)-φ2 (x)]+φ2 (x)，选(C)．二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.yy""=1+y" 2满足初始条件y(0)=1，y"(0)=0的解为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：±x）解析：解析：令y"=p，则，解得In(1+p 2)=lny 2+lnC 1，则1+p 2=C 1y 2，由y(0)=1，y"(0)=0得y"= +C 2=±x，由y(0)=1得C 2 =0，所以特解为6.微分方程y""+4y=4x-8的通解为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：C 1 cosx+C 2 sin2x+x-2．）解析：解析：微分方程两个特征值为λ1=-2i，λ2=2i，则微分方程的通解为y=C 1cosx+C 2sin2x+x-2．7.设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y""-6y"+9y=e 3x，则y(x)= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由题意得y(0)=0，y"(0)=2， y""-6y"+9y=e 3x的特征方程为λ2 -6λ+9=0，特征值为λ1=λ2 =3，令y""-6y"+9y=e 3x的特解为y 0 (x)=ax 2 e 3x，代人得a= 故通解为y=(C 1 +C 2 x)e 3x+ 由y(0)=0，y"(0)=2得C 1 =0，C 2 =2，则y(x)=2xe 3x8.微分方程2y""=3y 2满足初始条件y(-2)=1，y"(-2)=1的特解为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：令y"=p，则y""= ，解得p 2 =y 3 +C 1，由y(-2)=1，y"(-2)=1，得C 1 =0，所以y"= ，再由y(-2)=1，得C 2 =0，所求特解为9.微分方程 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：ln｜x｜+C）解析：解析：由10.设二阶常系数非齐次线性微分方程y""+y"+qy=Q(x)有特解y=3e -4x +x 2 +3x+2，则Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-12x 2 -34x-19，C 1 e -4x +C 2 e 2 +x2+3x+2）解析：解析：显然λ=-4是特征方程λ2 +λ+q=0的解，故q=-12，即特征方程为λ2 +λ-12=0，特征值为λ1=-4，λ2=3．因为x 2+3x+2为特征方程y""+y"-12y=Q(x)的一个特解，所以Q(x)=2+2x+3-12(x2 +3x+2)=-12x 2 -34x-19，且通解为y=C1 e -4x +C2 e2 +x2+3x+2(其中C1，C 2为任意常数)．11.以y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-sinx-3cosx，y""+y"-2y=-sinx-3cosx．）解析：解析：特征值为λ1=-2，λ2=1，特征方程为λ2+λ-2=0，设所求的微分方程为y""+y"-2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得 Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为y""+y"-2y=-sinx-3cosx．12.设y""-3y"+ay=-5e -x的特解形式为Axe -x，则其通解为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x）解析：解析：因为方程有特解Axe -x，所以-1为特征值，即(-1) 2 -3×(-1)+a=0 a=-4，所以特征方程为λ2 -3λλ1 =-1，λ2 =4，齐次方程y""-3y"+ay=0的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 4x，再把Axe -x代入原方程得A=1，原方程的通解为y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x13.设f(x)，则f(x)= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e -x）解析：解析：由整理得，两边对x求导得f"(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce -x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e -x三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(常微分方程)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学一（常微分方程）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设可微函数f(x，y)在点(xo，yo)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(xo，y)在y=yo处的导数等于零．B．f(xo，y)存y=yo处的导数大于零．C．f(xo，y)在y=yo处的导数小于零．D．f(xo，y)在y=yo处的导数不存在．正确答案：D 涉及知识点：常微分方程2．设A为n阶实矩阵，AT 是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：AX=0和(Ⅱ)：AT AX=0，必有A．(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解．C．(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解．D．(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解．正确答案：A 涉及知识点：常微分方程3．设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解．以上命题中正确的是A．①②．B．①③．C．②④．D．③④．正确答案：B 涉及知识点：常微分方程4．设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是A．若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B．若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．正确答案：B 涉及知识点：常微分方程5．非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则A．r=m时，方程组Ax=西有解．B．r=n时，方程组Ax=b有唯一解．C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解．D．r<n时，方程组Ax=b有无穷多解．正确答案：A 涉及知识点：常微分方程6．当x→0时，（1-cosx）ln（1+x2）是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn 是比ex2-1高阶的无穷小，则正整数n=________.A．1B．2C．3D．4正确答案：B 涉及知识点：常微分方程7．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则A．a=1,b=-1/6B．a=1,b=1/6C．a=-1,b=-1/6D．a=-1,b=1/6正确答案：A 涉及知识点：常微分方程8．设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且，(φ)≠0，f(x)有间断点，则A．φ[f(x)]必有间断点B．[φ(x)]2必有间断点C．f[φ(x)]必有间断点D．φ(x)/f(x)必有间断点正确答案：D 涉及知识点：常微分方程9．微分方程y”+y=x2+1+sinx的特解形式可设为A．y* =ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y* =x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y* =ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：常微分方程10．设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．正确答案：B 涉及知识点：常微分方程11．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，则φ(x/y)的表达式为A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正确答案：A 涉及知识点：常微分方程12．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正确答案：A 涉及知识点：常微分方程13．若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B 涉及知识点：常微分方程14．设u=e-x sinx/y,则э2 u/эxэy 在点（2,1/π）处的值________。
常微分方程第三版答案
习题2.2求下列方程的解 1．dxdy=x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dxc dx +)=e x [-21e x-(x x cos sin +)+c] =c e x -21(x x cos sin +)是原方程的解。
2．dtdx+3x=e t 2 解：原方程可化为：dtdx=-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt3 (⎰et2e -⎰-dt 3c dt +) =e t 3- (51e t 5+c)=c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。
3．dtds=-s t cos +21t 2sin解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c + )=e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。
4．dx dy n x x e y nx=- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y nx+=)(c dx ex e ey dxx nnx dxx n+⎰⎰=⎰-)(c e x x n += 是原方程的解.5．dx dy +1212--y xx=0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x⎰=-dxx x ey 212(c dx edxx x +⎰-221))21(ln 2+=x e)(1ln 2⎰+--c dx exx=)1(12xce x +是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dx P x dxx P x dxdy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 232解：方程的通解为：y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dyy x c dy y dx x y dx x y dy y yQ y y y eyQ y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243P(y)dyP(y)dyP(y)dy1)dx+c)=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。
常微分方程模拟试题与答案
常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） ． 3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是x x x e ,e ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 开 区间．5．方程21d d y xy-=的常数解是1±=y ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（D ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （ C ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ B ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ A ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、计算题（每小题６分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分：11.y y x yln d d = 12. x yx y x y +-=2)(1d d13. 5d d xy y xy+= 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．3)(2y y x y '+'=四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程模拟试题参考答案三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分） 通积分为xC y e ln = （6分） 12．解 令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u xux-= （3分） 分离变量，取不定积分，得C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ） 通积分为： Cx xyln arcsin = （6分） 13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xy y+=--45d d 令 z y =-4，则xz x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41 （3分） 通解为41e 4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C y x （6分） 14．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰20d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 （6分） 15．解 原方程是克莱洛方程，通解为 32C Cx y +=（6分）四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为 x C C y 521e += （4分） 因为0=α是特征根。
常微分方程第三版答案
习题1.2 1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dxdy =-y x y x +- 令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy . 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnx x1dxarcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ x dxdu=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy=cy. 10.dxdy=e y x - 解：原方程为：dxdy=e x e y - e y =ce x 11dxdy=(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du-1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c 12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu-1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15:dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y +证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后答案
3t15t=e ( e +c)5=c e 3t +15e 2t 是原方程的解ds 13． =-s cost + sin2tdt 2cos tdt 13dt解：s=e ( sin2t e dt c )=esint( sin t coste sin t dt c) sin tsint sint= e( sin tee c )常微分方程 习题 2.2求下列方程的解1． dy = y sin x dx解： y=e ( sinxe dx c)x1 x=e x [- e x (sinx cos x )+c]= ce sint sint 1 是原方程的解。
4．dy xy e x x n，n 为常数. dx n解：原方程可化为：dy xy e x x n dx n方程的解。
=c e(sinx cos x )是原yendxx x ( e x x e n n dx n xdx c)2．dx+3x=e 2tnxx (ec)dt 解：原方程可化为：dx=-3x+edt是原方程的解 .所以：3dtx=ee2te 3dt5．dy +1 22x y 1=0 dx x 2dt c)ds23P(x) ,Q(x) (x 1)3 x1P(x)dxee=(x+1) 2((x 21) c)即： 2y=c(x+21+)(x+14) 为方程的通解。
8.d dy x =x y y 33dx x+y 1 2 解： xy 2dy y yP(y)dy P(y)dy( e Q(y)dy c) =y( 1*y 2dy c)y3= y cy23即 x=y +cy 是方程的通解 ，且 y=0也是方程的解。
2解：原方程可化为：dy dx1x 22xy 1x7.dy 2y (x 1)3dx x 1 解：dy 2y(x 1)3 dx x 1 (x 1)2(ln x 2e方程的通解为：ln x 2 1( e x dx c)1= x 2(1 ce x )P(x)dx P(x)dxy=e ( e Q(x)dx c) =(x+1)(=(x+1)((x 11)2 *(x+1)3dx+c) (x+1)dx+c) 是原方程的解.x=edx c )2则P(y)=y 1,Q(y) y 2方程的通解9. dy ay x 1,a 为常数 dx x x解：(P x) a ,Q(x) x 1xP(x )dxeedx方程的通解为：y=(x)dx P (x)dx(e Q(x)dx=xa(1 x+1dx+c)x a时，x 方程的通解为11.dy xy x 3y 3 dx 解：dy xyx 3y 3dx 两边除以3y c)d 3y xy 2 x 3 ydxdy2( xy 2 x 3)y=x+ln/x/+c当 y=cx+xln/x/-1当 a 1时， 方程 的通解为a 0，1时，方程的通解为y=cxa x 1 +-1- a adx 令y 2 z dz 2( xz x 3) dx P(x) 2x,Q(x) 2x 3 epx dx e2xdxe x 2 方程的通解为：z= e dx( e dxQ(x)dx c)10.x d d x y y x 3解：d dy x 1x y x 3P(x) 1,Q(x) x =e =xx(e x (2x 3)dx c) 22ce x1故方程的通解为y ：2(x 2 ce x 1) 1,且y 0也是方程的解。
常微分试题及答案
常微分试题及答案一、选择题1. 若微分方程 dy/dx = 3x^2，则它的通解为：A. y = x^3 + CB. y = x^2 + CC. y = x^3/3 + CD. y = x^4/2 + C答案：C2. 设 y = e^x 是微分方程 dy/dx - y = 0 的解，则该微分方程的通解为：A. y = e^xB. y = e^(2x)C. y = e^(3x)D. y = e^(4x)答案：A3. 设 y = x^2 是齐次微分方程 y'' - y' - 2y = 0 的解，则该微分方程的通解为：A. y = x^2B. y = x^2 + CC. y = e^x + CD. y = e^(2x) + C答案：B二、计算题1. 解微分方程 dy/dx = 2x + 1，并求出满足初始条件 y(0) = 1 的特解。
解：对微分方程进行分离变量得：dy = (2x + 1)dx两边同时积分得：∫dy = ∫(2x + 1)dxy = x^2 + x + C代入初始条件 y(0) = 1 得：1 = 0^2 + 0 + CC = 1特解为：y = x^2 + x + 12. 求微分方程 y'' + 2y' + y = 0 的通解。
解：首先设通解为 y = e^(rx)，带入微分方程得：r^2e^(rx) + 2re^(rx) + e^(rx) = 0化简得：e^(rx)(r^2 + 2r + 1) = 0由指数函数的性质可知，e^(rx) 不等于 0，因此：r^2 + 2r + 1 = 0求解这个二次方程得：r = -1 （二重根）所以，通解为 y = (C1 + C2x)e^(-x)三、应用题有一容器中装有某种细菌，已知初始时刻容器中有 1000 个细菌，随着时间的推移，细菌的数量的变化率与它们的数量成正比。
经实验测得 2 小时后细菌的数量增加到 2000 个。
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。
1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。
2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。
3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。
4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。
xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。
6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。
8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。
9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。
10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。
11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。
12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案(共4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．5．方程21d d y xy -=的常数解是 ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程y x xy +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy =解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ B ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分： 11. y y xy ln d d = 12. xy x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy += 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．3)(2y y x y '+'=四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty t y t x d d sin 1d d 五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程 )(d d x f y xy =+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ． 19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．x x x e ,e 4．开 5．1±=y二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D 7．C 8．B 9．C 10．A三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解： 1y =为常数解 （1分）当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x yy y +=⎰⎰d ln d （3分） 通积分为x C y e ln = （6分）注：1y =包含在常数解中，当0c =时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。
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实通解为x(t)=C1cos(t)+C2sin(t). [5分]
(2)考虑算子形式的复系统(D2+ 1)z=exp(it).从而
z(t)= exp(it){1/( (D+i)2+ 1)}1= exp(it)(1/( (D2+2iD))1
[解] (1) x(t)=exp(a(t-t0)x0+t0texp(a(t-s) f(s) ds. [10分]
(2)首先，用分离变量法求得dx/dt=ax有通解x(t)=c exp(at)。
设方程有形如x(t)=c(t) exp(at)的解。代入方程得dc/dt= exp(-as) f(s),
从而得到特解x(t)= exp(at)exp(-as) f(s) ds和通解
x(t)=C1exp((- k/m)1/2)+ C2exp(-(- k/m)1/2),
当k>0时通解为
x(t)= C1cos(( k/m)1/2t)+ C2sin(( k/m)1/2t). [3分]
(3)当k<0时奇点（0，0）的是鞍点，是不稳定的。[3分]
当k>0时奇点（0，0）是中心，是稳定的。[3分]
通解为x(t)= C1cos(t)+C2sin(t)+ cos(t)/4+t sin(t)/2. [1分]
(3)代入初始条件得C1+ 1 /4=1, C2=0,即C1=3/4, C2=0.最终解为
x(t)= (3/4) cos(t)+ cos(t)/4+t sin(t)/2= cos(t)+t sin(t)/2. [4分]
四川大学期末考试试题(A卷)答案及评分标准
（2006——2007学年第一学期）
考试科目：常微分方程适用专业名称：基础数学、应用数学、计算数学）
(1)考虑线性系统dx/dt=A(t)x,其中A是nn实矩阵函数、tR,xRn。其所有的解构成一个__a____。
(a)存在x0使x(t,x0)0当t0，(b)对0附近所有x0有x(t,x0)0当t0，
(c)存在x0使x(t,x0)0当t+，(d)对0附近所有x0有x(t,x0)0当t+.
2、（20分）假设初值问题dx/dt=ax+f(t), x(t0)=x0满足解的存在唯一性条件，其中a为实数，tR, xR。(1)写出这个初值问题解的表达式。(2)用常数变易法证明这个表达式。
(4)草图(略) [4分]
注：其他等价做法以及等价结果相应给分。
满卷100分
5、（20分）方程d2x/dt2+(k/m)x=0描述了线性弹簧振子的自由振动，其中质量m>0,Hook常数k0。记y表示运动的速度，即y=dx/dt.
（1）写出方程的等价一阶微分方程组。
（2）求通解。
（3）分别对k>0和k<0判断奇点（0，0）的定性性质（类型及稳定性），并给出论据。
（4）画相平面轨道的草图。
(a)f连续，(b) f连续且对x有界，
(c) f连续且对x可微，(d) f连续且对x连续可微。
(5)在(4)中考虑的初值问题解对初值连续依赖的条件是__c___。
(a)f连续，(b) f连续且对x有界，
(c)连续且对x是Lipschitz的，(d) f连续且对x可微。
(6)设系统dx/dt=f(x)的初值问题具有存在唯一性且满足f(0)=0。系统关于初值x(0)=x0的解记为x(t,x0)。系统零解的渐近稳定性是指其零解稳定并且__d__。
=(x/y) d(xy3)+ 4x2d(xy)
=(x/y) {d(xy3)+ 4xy d(xy) }
=(x/y) d{xy3+ 2(xy)2}，[4分]
从而得到xy3+ 2(xy)2=C。[1分]
4、（15分）计算方程d2x/dt2+x=cos t的通解。进而计算方程关于初值x(0)=1, dx/dt(0)=0的解。
= exp(it)(1/( (D+2i))t= exp(it)(1/( (D+2i))t
=(1/(2i))(t-1/(2i)) exp(it)=(cos(t)/4+t sin(t)/2)+i(sin(t)/4- t cos(t)/2).
从而，x(t)=Re z(t)= cos(t)/4+t sin(t)/2 . [5分]
[解] (1)等价一阶微分方程组为
dx/dt=y, dy/dt= -(k/m)x. [4分]
(2)特征方程为2+(k/m)=0，当k<0时特征值为
1=(- k/m)1/2，2= -(- k/m)1/2。
当k>0时特征值为
1=( k/m)1/2i，2= -( k/m)1/2i。[3分]
因此当k<0时通解为
(a) n维线性空间，(b) n2维线性空间，(c)无穷维线性空间, (d)不是线性空间。
(2)设X(t)是(1)考虑的系统的基本解矩阵，若C是nn可逆实矩阵，下列也是基本解矩阵的是___b___。
(a)CX((t), (b) X((t)C, (c) C+ X((t)，(d) C- X((t)。
(3)X(t)是(1)考虑的系统的基本解矩阵，则它具有初值条件x(t0)=x0的解为___c___。
x(t)=exp(at)c+exp(a(t-s) f(s) ds.
通过初始条件可以确定c，并证得(1)的表达式。[10分]
3、（15分）求方程(xy2+4x2y)+(3x2y+4x3)dy/dx=0的通解。
[解]左式=( xy2dx+3x2y dy)+ (4x2y dx+4x3dy)[5分]
=(x/y) (y3dx+3xy2dy)+ 4x2(y dx+x dy)[5分]
(a)x(t)=exp(A(t-t0))x0(b)x(t)=X(t-t0)x0,
(c)x(t)= X(t)X-1(t0)x0, (d)x(t)=x0exp(trA(t-t0))。
(4)考虑系统dx/dt=f(t,x)关于x(t0)=x0初值问题,其中(t,x)R,即RRn中以(t0,x0)为中心的有界闭矩形。该初值问题存在唯一解的条件是___d___。