第六章 三维变换与投影
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同二维变换类似，三维变换同样引入了齐次坐标技 术，在四维空间（x,y,z,w）内进行讨论。定义了规范化 齐次坐标以后，三维图形几何变换就可以表示为物体顶 点集合的规范化齐次坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的形 式。用规范化齐次坐标表示的三维图形几何变换矩阵是 一个4×4方阵，简称为三维几何变换矩阵。
a d T g l
y
P0 P 1
v θx
z O
θy
u
x
将 P0 P 1 规范为单位矢量n，它在三个坐标轴上的投影 分别为 n1 cos n2 cos n3 cos 。取z轴上一单位矢量k 将其绕x轴顺时针旋转θx角，再绕y轴逆时针旋转θy角， 则单位矢量k将同单位矢量n重合，变换过程为
n1
（6-16）
3.沿z方向错切
1 0 T 0 0 0 1 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
（6-17）
三维图形几何变换
6.3 三维复合变换
P' P T P T1 T2 Tn
T为复合变换矩阵，T1，T2……Tn为n个单次基本几 何变换矩阵。
第六章
本章学习目标
三维几何变换矩阵 正交投影 斜投影 透视投影
本章内容
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
三维图形几何变换 三维基本几何变换矩阵 三维复合变换 坐标系变换 平行投影 透视投影 本章小结
6.1 三维图形几何变换
6.1.1三维几何变换矩阵
0 1 0 cos T 0 sin 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 1
（6-32）
绕y轴的逆时针三维旋转变换矩阵为
cos 0 T sin 0 0 sin 1 0 0 cos 0 0 0 0 0 1
6.4.1 二维坐标系变换
y
y' y
y
P(3,3)
0
P(3,3)
x x'
0
0
P(1,1) （a） 原图
x
x
0'
（b）点变换
（c）坐标系变换
平移变换矩阵
1 T 0 Tx 0 1 Ty 0 0 1
（6-29）
坐标系的旋转变换，应使用相反方向的旋转变换矩 阵。如绕z轴的逆时针旋转变换，应使用顺时针旋转变 换矩阵，反之亦然。
。
（6-26） （6-27）
n3 cos cos y cos x cos2 cos2
（6-28）
将式（6-25）～（6-28）代入（6-19）、（6-20）、
（6-22）和（6-23）中，即可计算出T2、T3、T5和T6。
复合变换矩阵
T T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
sin( ) 0 cos cos sin T sin( ) cos 0 0 0 1 0 sin cos 0 0 0 1
（6-30）
坐标系反射变换相当于坐标系不动，点进行反射， 二者效果一致，坐标系变换的反射变换矩阵保持不 变。
6.4 坐标系变换
在进行三维观察时，需要将物体的描述从世界坐标系 变换到观察坐标系，然后通过旋转视点可以观察物体的全 貌。 同一种变换既可以看作是点变换也可以看作是坐标系 变换。点变换是顶点位置发生改变，但坐标系位置不发生 改变。坐标系变换是建立新坐标系描述旧坐标系内的顶点， 坐标系位置发生改变，但顶点位置不发生改变。
6.3.1相对于任一参考点的三维几何变换
在三维基本几何变换中，比例变换和旋转变换是与参 考点相关的。相对于任一参考点Q（x,y,z）的比例变换 和旋转变换应表达为复合变换形式。变换方法是首先 将参考点平移到坐标原点，相对于坐标原点作比例变 换或旋转变换，然后再进行反平移将参考点平移回原 位置。
6.3.2 相对于任意方向的三维几何变换
（6-2）
6.2 三维基本几何变换矩阵
6.2.1 平移变换
1 0 T 0 Tx 0 1 0 Ty 0 0 1 Tz 0 0 0 1
（6-3）
6.2.2 比例变换
S x 0 T 0 0 0 Sy 0 0 0 0 Sz 0 0 0 0 1
6.4.2 三维坐标系变换
平移变换矩阵
1 0 T 0 Tx 0 1 0 Ty 0 0 1 Tz 0 0 0 1
（6-3ຫໍສະໝຸດ Baidu）
相对于点变换而言，坐标系变换的平移参数需要取为负值。
同二维坐标系的旋转变换类似，三维坐标系的旋转变化 矩阵应使用点变换的反向旋转变换矩阵表示。 绕x轴的逆时针三维旋转变换矩阵为
（6-21）
（5）将 P0 P1 绕x轴旋转-x角，即顺时针旋转x角
0 1 0 cos x T5 0 sin x 0 0
0 sin x cos x 0
0 0 0 1
（6-22）
（6）将 P0 P1 绕y轴旋转-y角，即逆时针旋转y 角
b e h m
c f i n
p q r s
（6-1）
6.1.2 三维几何变换
P' P T
x1' ' x2 ' xn y1' ' y2 ' yn z1' 1 x1 ' z2 1 x 2 ' z n 1 xn y1 y2 yn z1 1 a d z 2 1 g z n 1 l b e h m c f i n p q r s
（6-33）
绕z轴的逆时针三维旋转变换矩阵为
cos sin T 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-34）
β为顺时针旋转角。 坐标系的三维反射变换，直接采用点变换的反射变换矩 阵。
主视图 正交投影 俯视图 侧视图 正投影 正等测 平行投影 正轴测投影 正二测 正三测 投影 斜等测 斜投影 斜二测 一点透视 透视投影二点透视 三点透视
（6-6）
3.绕z轴旋转
cos sin T 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-7）
β为正向旋转角
6.2.4 反射变换
1.关于x轴的反射
1 0 0 0 1 0 T 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
cos x sin y
sin x
cos x cos y 1
即， n1 cos x sin y
n2 sin x
n3 cos x cos y
可解得： sin x n2 cos
cos x 1 sin 2 x 1 cos 2
n2
n3
0 1 0 cos x 1 0 0 1 1 0 sin x 0 0
0 sin x cos x 0
0 cos y 0 0 0 sin y 1 0
0 sin y 1 0 0 cos y 0 0
0 0 0 1
1 0 T 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
（6-11）
5.关于yoz面的反射
1 0 T 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-12）
6.关于xoz面的反射
1 0 0 1 T 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-24）
计算中间变量sinθx、sinθy、cosθx、cosθy 将 P0 P 1 投影到y＝0的平面上，投影矢量为u
u与z轴正向的夹角为θy
将 P0 P 1 投影到x＝0的平面上，投影矢量为v v与z轴正向的夹角为θx 不需要计算 θx 和θy的值，只需计算其正弦值与余弦值， 就可以计算出变换矩阵T2、T3、T5和T6。
（6-13）
6.2.5 错切变换
1 b d 1 T g h 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
（6-14）
1.沿x方向错切
1 d T g 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-15）
2.沿y方向错切
1 0 T 0 0 b 1 h 0 0 0 1 0 0 0 0 1
P0 P 1 x1 x0
y1 y0
z1 z0
在3个坐标轴上的方向余弦分别为
n1 cos n2 cos n cos 3
，求空间一点
P(x，y，z)绕 P0 P1 逆时针旋转θ角的分步变换矩阵。
y
P1
θ
β γ
P0 α
0 z
x
(1) 将P0(x0，y0，z0)点平移到坐标原点
（6-8）
2.关于y轴的反射
1 0 T 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
（6-9）
3.关于z轴的反射
1 0 0 1 T 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-10）
4.关于xoy面的反射
相对于任意方向的变换方法是首先对任意方向做旋转 变换，使变换方向与某个坐标轴重合，然后对该坐标轴 进行三维基本几何变换，最后做反向旋转变换，将任意 方向还原到原来的方向。三维几何变换中需要进行两次 旋转变换，才能使任意方向与某个坐标轴重合。一般做 法是先将任意方向旋转到某个坐标平面内，然后再旋转 到与该坐标平面内的某个坐标轴重合。 例6-1 已知空间矢量
1 0 T1 0 x 0
0 1 0 y0
0 0 1 z0
0 0 0 1
（6-18）
(2)将P0 P1 绕y轴顺时针旋转y角，与yoz平面重合
cos y 0 T2 sin y 0 0 sin y 1 0 0 cos y 0 0 0 0 0 1
（6-25）
2 2 2 2 2 2 由 n1 n2 n3 1 ，得到 cos cos cos 1
则， 1 cos2 cos2 cos2
所以， cos x cos 2 cos 2
n1 cos sin y cos x cos2 cos2
cos y 0 T6 sin y 0 0 sin y 1 0 0 cos y 0 0 0 0 0 1
（6-23）
（7）将P0(x0，y0，z0)点平移回原位置
1 0 T7 0 x0 0 1 0 y0 0 0 1 z0 0 0 0 1
（6-4）
6.2.3 旋转变换
1.绕x轴旋转
0 1 0 cos T 0 sin 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 1
（6-5）
2.绕y轴旋转
cos 0 T sin 0 0 sin 1 0 0 cos 0 0 0 0 0 1
（6-19）
(3) 将 P0 P1 绕x轴逆时针旋转x角，与z轴重合
0 1 0 cos x T3 0 sin x 0 0 0 sin x cos x 0 0 0 0 1
（6-20）
(4) 将P(x，y，z）点绕z轴逆时针旋转θ角
cos sin T4 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
a d T g l
y
P0 P 1
v θx
z O
θy
u
x
将 P0 P 1 规范为单位矢量n，它在三个坐标轴上的投影 分别为 n1 cos n2 cos n3 cos 。取z轴上一单位矢量k 将其绕x轴顺时针旋转θx角，再绕y轴逆时针旋转θy角， 则单位矢量k将同单位矢量n重合，变换过程为
n1
（6-16）
3.沿z方向错切
1 0 T 0 0 0 1 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
（6-17）
三维图形几何变换
6.3 三维复合变换
P' P T P T1 T2 Tn
T为复合变换矩阵，T1，T2……Tn为n个单次基本几 何变换矩阵。
第六章
本章学习目标
三维几何变换矩阵 正交投影 斜投影 透视投影
本章内容
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
三维图形几何变换 三维基本几何变换矩阵 三维复合变换 坐标系变换 平行投影 透视投影 本章小结
6.1 三维图形几何变换
6.1.1三维几何变换矩阵
0 1 0 cos T 0 sin 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 1
（6-32）
绕y轴的逆时针三维旋转变换矩阵为
cos 0 T sin 0 0 sin 1 0 0 cos 0 0 0 0 0 1
6.4.1 二维坐标系变换
y
y' y
y
P(3,3)
0
P(3,3)
x x'
0
0
P(1,1) （a） 原图
x
x
0'
（b）点变换
（c）坐标系变换
平移变换矩阵
1 T 0 Tx 0 1 Ty 0 0 1
（6-29）
坐标系的旋转变换，应使用相反方向的旋转变换矩 阵。如绕z轴的逆时针旋转变换，应使用顺时针旋转变 换矩阵，反之亦然。
。
（6-26） （6-27）
n3 cos cos y cos x cos2 cos2
（6-28）
将式（6-25）～（6-28）代入（6-19）、（6-20）、
（6-22）和（6-23）中，即可计算出T2、T3、T5和T6。
复合变换矩阵
T T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
sin( ) 0 cos cos sin T sin( ) cos 0 0 0 1 0 sin cos 0 0 0 1
（6-30）
坐标系反射变换相当于坐标系不动，点进行反射， 二者效果一致，坐标系变换的反射变换矩阵保持不 变。
6.4 坐标系变换
在进行三维观察时，需要将物体的描述从世界坐标系 变换到观察坐标系，然后通过旋转视点可以观察物体的全 貌。 同一种变换既可以看作是点变换也可以看作是坐标系 变换。点变换是顶点位置发生改变，但坐标系位置不发生 改变。坐标系变换是建立新坐标系描述旧坐标系内的顶点， 坐标系位置发生改变，但顶点位置不发生改变。
6.3.1相对于任一参考点的三维几何变换
在三维基本几何变换中，比例变换和旋转变换是与参 考点相关的。相对于任一参考点Q（x,y,z）的比例变换 和旋转变换应表达为复合变换形式。变换方法是首先 将参考点平移到坐标原点，相对于坐标原点作比例变 换或旋转变换，然后再进行反平移将参考点平移回原 位置。
6.3.2 相对于任意方向的三维几何变换
（6-2）
6.2 三维基本几何变换矩阵
6.2.1 平移变换
1 0 T 0 Tx 0 1 0 Ty 0 0 1 Tz 0 0 0 1
（6-3）
6.2.2 比例变换
S x 0 T 0 0 0 Sy 0 0 0 0 Sz 0 0 0 0 1
6.4.2 三维坐标系变换
平移变换矩阵
1 0 T 0 Tx 0 1 0 Ty 0 0 1 Tz 0 0 0 1
（6-3ຫໍສະໝຸດ Baidu）
相对于点变换而言，坐标系变换的平移参数需要取为负值。
同二维坐标系的旋转变换类似，三维坐标系的旋转变化 矩阵应使用点变换的反向旋转变换矩阵表示。 绕x轴的逆时针三维旋转变换矩阵为
（6-21）
（5）将 P0 P1 绕x轴旋转-x角，即顺时针旋转x角
0 1 0 cos x T5 0 sin x 0 0
0 sin x cos x 0
0 0 0 1
（6-22）
（6）将 P0 P1 绕y轴旋转-y角，即逆时针旋转y 角
b e h m
c f i n
p q r s
（6-1）
6.1.2 三维几何变换
P' P T
x1' ' x2 ' xn y1' ' y2 ' yn z1' 1 x1 ' z2 1 x 2 ' z n 1 xn y1 y2 yn z1 1 a d z 2 1 g z n 1 l b e h m c f i n p q r s
（6-33）
绕z轴的逆时针三维旋转变换矩阵为
cos sin T 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-34）
β为顺时针旋转角。 坐标系的三维反射变换，直接采用点变换的反射变换矩 阵。
主视图 正交投影 俯视图 侧视图 正投影 正等测 平行投影 正轴测投影 正二测 正三测 投影 斜等测 斜投影 斜二测 一点透视 透视投影二点透视 三点透视
（6-6）
3.绕z轴旋转
cos sin T 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-7）
β为正向旋转角
6.2.4 反射变换
1.关于x轴的反射
1 0 0 0 1 0 T 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
cos x sin y
sin x
cos x cos y 1
即， n1 cos x sin y
n2 sin x
n3 cos x cos y
可解得： sin x n2 cos
cos x 1 sin 2 x 1 cos 2
n2
n3
0 1 0 cos x 1 0 0 1 1 0 sin x 0 0
0 sin x cos x 0
0 cos y 0 0 0 sin y 1 0
0 sin y 1 0 0 cos y 0 0
0 0 0 1
1 0 T 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
（6-11）
5.关于yoz面的反射
1 0 T 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-12）
6.关于xoz面的反射
1 0 0 1 T 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-24）
计算中间变量sinθx、sinθy、cosθx、cosθy 将 P0 P 1 投影到y＝0的平面上，投影矢量为u
u与z轴正向的夹角为θy
将 P0 P 1 投影到x＝0的平面上，投影矢量为v v与z轴正向的夹角为θx 不需要计算 θx 和θy的值，只需计算其正弦值与余弦值， 就可以计算出变换矩阵T2、T3、T5和T6。
（6-13）
6.2.5 错切变换
1 b d 1 T g h 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
（6-14）
1.沿x方向错切
1 d T g 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-15）
2.沿y方向错切
1 0 T 0 0 b 1 h 0 0 0 1 0 0 0 0 1
P0 P 1 x1 x0
y1 y0
z1 z0
在3个坐标轴上的方向余弦分别为
n1 cos n2 cos n cos 3
，求空间一点
P(x，y，z)绕 P0 P1 逆时针旋转θ角的分步变换矩阵。
y
P1
θ
β γ
P0 α
0 z
x
(1) 将P0(x0，y0，z0)点平移到坐标原点
（6-8）
2.关于y轴的反射
1 0 T 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
（6-9）
3.关于z轴的反射
1 0 0 1 T 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-10）
4.关于xoy面的反射
相对于任意方向的变换方法是首先对任意方向做旋转 变换，使变换方向与某个坐标轴重合，然后对该坐标轴 进行三维基本几何变换，最后做反向旋转变换，将任意 方向还原到原来的方向。三维几何变换中需要进行两次 旋转变换，才能使任意方向与某个坐标轴重合。一般做 法是先将任意方向旋转到某个坐标平面内，然后再旋转 到与该坐标平面内的某个坐标轴重合。 例6-1 已知空间矢量
1 0 T1 0 x 0
0 1 0 y0
0 0 1 z0
0 0 0 1
（6-18）
(2)将P0 P1 绕y轴顺时针旋转y角，与yoz平面重合
cos y 0 T2 sin y 0 0 sin y 1 0 0 cos y 0 0 0 0 0 1
（6-25）
2 2 2 2 2 2 由 n1 n2 n3 1 ，得到 cos cos cos 1
则， 1 cos2 cos2 cos2
所以， cos x cos 2 cos 2
n1 cos sin y cos x cos2 cos2
cos y 0 T6 sin y 0 0 sin y 1 0 0 cos y 0 0 0 0 0 1
（6-23）
（7）将P0(x0，y0，z0)点平移回原位置
1 0 T7 0 x0 0 1 0 y0 0 0 1 z0 0 0 0 1
（6-4）
6.2.3 旋转变换
1.绕x轴旋转
0 1 0 cos T 0 sin 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 1
（6-5）
2.绕y轴旋转
cos 0 T sin 0 0 sin 1 0 0 cos 0 0 0 0 0 1
（6-19）
(3) 将 P0 P1 绕x轴逆时针旋转x角，与z轴重合
0 1 0 cos x T3 0 sin x 0 0 0 sin x cos x 0 0 0 0 1
（6-20）
(4) 将P(x，y，z）点绕z轴逆时针旋转θ角
cos sin T4 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1