第六章 三维变换与投影
计算机图形学第6章(2)概述
z 2 E F 2 B x A C x 3 G D y 1 H z 1 1 y
其矩阵计算形式如下:
计算机图形学
0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 1 0 0 1 3 0 1 1 / 2 0 3 0 1 0 1 / 3 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 3 2 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1/ 2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1
O
z
B''(0,b,c)
y
计算机图形学
绕任意轴的三维旋转变换
(3) 将OB '绕y轴顺时针旋转β角，则OB '旋转到z轴
上；
cos( ) 0 TRy sin( ) 0
0 sin( ) 1 0 0 cos( ) 0 0
计算机图形学
4.
对称变换
1 0 TFxy 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
(1)关于坐标平面对称
关于xoy平面进行对称变换的
矩阵计算形式为：
p' x' y' z ' 1 p TF xy [ x y z 1]
计算机图形学
(1)绕z轴旋转
cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
z
TRZ
y X
p' x' y' z' 1 p TRt [ x cos y sin x sin y cos z 1]
计算机图形学-三维图形变换与投影
5.关于yoz面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 变换矩阵为： T 0 0
6.关于zox面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
J
z
x y
34
三维复合变换
步骤：
1。J轴绕Z轴转φ 角至yoz平面，成为J1。 2。J1轴绕X轴转γ 角后与z轴平行，成为J2。 3。立体绕J2轴转θ 角 4。从J2返回J1。 5。从J1返回J。
J2 J
J2
z
J1
z
J1
z
J1
x
y
x
y
x
y
35
投影变换
36
投影变换
显示器只能用二维图形表示三维物体，因此三维 物体就要靠投影来降低维数得到二维平面图形 把三维物体转变为二维图形的过程称为投影变换
1 b d 1 T g h 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
错切变换
1 b d 1 T g h 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
三维错切变换中，一个坐标的变化受另外两个坐
标变化的影响。
如果变换矩阵第一列中元素d和g不为0，产生沿x
同理可得，绕y轴旋转变换：
x ' z sin x cos y' y z ' z cos x sin
z 绕y轴旋转 x
cos 0 T sin 0
0 sin 1 0 0 cos 0 0
画法几何与土木建筑制图 第6章 投影变换
b d c
b d c
b1
a1(d1)
c1
4、 投影面垂直面变换为投影面平行面
换H面
正垂面
“水平面”（实形）
换V面
b
铅垂面
“正平面”（实形）
V V1
a1
X1
b1
c1
A a
b
a
B
V X
a
H
c
C
X
a
b(c)
H
c
b(c) c1
b1
a1
实形
5、 一般位置线变换为投影面垂直线:二次换面
b a
a2 (b2) H2
（2）轨迹圆在旋转轴所平行面上的投影，为平行于投影轴的直线。
三、 换面法的投影规律
1. 换面法的投影规律（1）以点的一次变换为例-替换V面
替换投影面
V a
新投影面
V a 替换投影
A
a1 V1
X ax
新投影
旧轴
X ax
新投影
a1
a
ax1
X1 H
a
ax1
保留投影面
H
保留投影
新轴
X1
新投影到不变投影连线垂直于新投影轴:a1a ⊥ X1
新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距
V1称为新投影面；V称为被更换的投影面；H称为被保留的 投影面。 X1称为新投影轴；X称为被更换的投影轴。
二、 新投影面的选择原则
V1
a1
X1
b1
c1
A a
V
b
B
a
c
C
b(c) H
V1∥ABC
V1┴H
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： (1) 新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置(平行或垂直) (2) 新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个被保留的投影面。
数学8三维变换与投影
uz ' u (uz1',uz2 ',uz3')
uy
'
|
u u
ux ux
|
(uy1', uy2
',uy3')
ux ' uy 'uz ' (ux1',ux2 ',ux3')
则所需复合矩阵为
u x1 ' R uy1'
u0z1 '
ux2 ' ux3' 0 uy2 ' uy3 ' 0
uz2 ' 0
x' cos 0 sin 0 x
y'
0
1
0
0
y
z' sin 0 cos 0 z
1
0
0
0
1
1
沿 y 轴 Ry ( )
x' 1 0
0
y'
0
cos
sin
z' 0 sin cos
1
0
0
0
沿 x 轴 Rx ( )
0 x0y0 z11
x' cos sin 0 0 x
b/d c/d
0 0
0 0
0 1
R Ry ( ) Rx ()
d 0 a 0
Ry
(
)
0 a
1 0
0 d
0 0
0 0 0 1
M T 1 Rx ()1 Ry ( )1 Rz ( ) Ry ( ) Rx () T
2020/5/10
12
旋转（二）
得到复合矩阵 R Ry ( ) Rx () 的更快的方法是利用正交矩阵的乘积仍然是正交
第六章 三维图形变换
1 d T = h 0
b c 0 1 f 0 i 1 0 0 0 1
6.1.6 错切变换
1 d Tx = g 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 Ty = 0 0
b 0 0 1 0 0 h 1 0 0 0 1
6.1 三维几何变换
实现比例、对 称、旋转、错切 四种基本变换 把H=1平面上 的齐次点变换为 H=px+qy+rz+1 平面上的点
a d T = h 实现平移变换 x0
b c p e f q i j r y0 z0 s
使图形产生 全比例变换
6.1.1 比例变换
比例变换矩阵：
第六章 三维图形变换
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 三维几何变换 三维投影变换 鼠标追踪球旋转 三维观察 OpenGL视点变换
6.1 三维几何变换
• 三维图形变换是对三维物体图形的操作，它使得人们 能方便地从不同的角度观察物体而得到物体的视图； 必要时可放大物体局部进行观察，或者把整个物体对 平面进行投影得到其轴侧图或透视图 • 在讨论三维变换时，也同二维图形变换一样，引入齐 次坐标(x, y, z, 1)来表示三维空间点(x, y, z)，以使得三 维图形变换可以统一用矩阵表示
0 0 0 0 0 0 0 1
6.2.1 平行投影－正轴测
2 6 － 6 2 6 0 T正等 = 3 － 2 － 6 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
2 2 － sin β 0 2 2 0 cosβ 0 T正二 = 2 2 － 2 － 2 sin β 0 0 0 0
6.1.2 全比例变换
三维图像投影变换——透视投影
三维图像投影变换——透视投影⼆、投影变换1、平⾯⼏何投影投影变换就是把三维物体投射到投影⾯上得到⼆维平⾯图形。
【计算机绘图是产⽣三维物体的⼆维图象，但屏幕上绘制图形的时候，必须在三维坐标系下考虑画法。
】常⽤的投影法有两⼤类两种投影法的本质区别在于【透视投影】的投影中⼼到投影⾯之间的距离是【有限的】，⽽【平⾏投影】的投影中⼼到投影⾯之间的距离是【⽆限的】。
（1）中⼼（透视）投影透视投影是3D渲染的基本概念，也是3D程序设计的基础。
其中的[p,q,r]能产⽣透视变换的效果1、透视基本原理因为⼀条直线段是由两点确定，多边形平⾯由围城该多边形的各顶点和边框线段确定，⽽任何⽴体也可以看成是由它的顶点和各棱边所构成的⼀个框体。
也就是说，可以通过求出这些【顶点的透视投影】⽽获得空间【任意⽴体的透视投影】。
三维世界的物体可以看作是由点集{X i}构成的，这样依次构造起点为E，并经过点X i的射线R i，这些射线与投影⾯P的交点集合便是三维世界在当前视点的透视图。
投影线均通过投影中⼼，在投影中⼼【相对】投影⾯【确定的】情况下，空间的⼀个点在投影⾯上只存在【唯⼀⼀个】投影。
2、⼀点透视先假设q≠0，p=r=0。
然后对点(x,y,z)进⾏变换图70对其结果进⾏齐次化处理得：A、当y=0时，有说明处于y=0平⾯内的点，经过变换以后没有发⽣变化B、当y→∞时，有说明当y→∞时，所有点的变换结果都集中到了y轴上的1/q处，即所有平⾏于y轴的直线将延伸相较于(0,1/q,0)，该点称为【灭点】，⽽像这样形成⼀个灭点的透视变换称为【⼀点透视】。
同理可知，当p≠0，q=r=0时，则将在x轴上的1/p处产⽣⼀个灭点，坐标为(1/p,0,0)，在这种情况下，所有平⾏于x轴的直线将延伸交于该点。
同理，当r≠0,q=p=0时，则将在z轴上的1/r处产⽣⼀个灭点，其坐标为(0,0,1/r)，这种情况下，所有平⾏于z轴的直线将延伸交于该点。
第六章 三维变换与投影
0 1 0 y0
0 0 1 z0
0 0 0 1
（6-18）
(2)将P0 P1 绕y轴顺时针旋转y角，与yoz平面重合
cos y 0 T2 sin y 0 0 sin y 1 0 0 cos y 0 0 0 0 0 1
。
（6-26） （6-27）
n3 cos cos y cos x cos2 cos2
（6-28）
将式（6-25）～（6-28）代入（6-19）、（6-20）、
（6-22）和（6-23）中，即可计算出T2、T3、T5和T6。
复合变换矩阵
T T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
第六章
本章学习目标
三维几何变换矩阵 正交投影 斜投影 透视投影
本章内容
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
三维图形几何变换 三维基本几何变换矩阵 三维复合变换 坐标系变换 平行投影 透视投影 本章小结
6.1 三维图形几何变换
6.1.1三维几何变换矩阵
sin( ) 0 cos cos sin T sin( ) cos 0 0 0 1 0 sin cos 0 0 0 1
（6-30）
坐标系反射变换相当于坐标系不动，点进行反射， 二者效果一致，坐标系变换的反射变换矩阵保持不 变。
6.3.1相对于任一参考点的三维几何变换
在三维基本几何变换中，比例变换和旋转变换是与参 考点相关的。相对于任一参考点Q（x,y,z）的比例变换 和旋转变换应表达为复合变换形式。变换方法是首先 将参考点平移到坐标原点，相对于坐标原点作比例变 换或旋转变换，然后再进行反平移将参考点平移回原 位置。
第六章投影变换
sinφ 1]
• z轴上C点［0 0 1 1］。
• 变换后为： ［0 0 1 1］·H = [sinθ -
cosθ·sinφ cosθ·cosφ 1]
2021/6/29
13
6.2.2 正轴测投影
•
在观察坐标系中的正投影是去掉z分量，上
述三点到坐标原点的长度是
,按正等轴测投
影的要求，原用户坐标系中x、y和z方向单位长
平面与二个坐标轴相交，这种投影被称为二点透
视。
二点透视示意图
2021/6/29
27
6.4 透视投影
• 3、三点透视 • 三点透视：按照投影面的方向可对在
用户坐标系中正放的矩形体产生三主消失 点，即投影平面与三个坐标轴相交，这种 投影被称为三点透视。
2021/6/29
28
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
1.为什么需要做投影变换？
2.什么叫投影变换?
3.试述投影变换的分类
4.沿Z方向正投影的变换矩阵是什么样的？
5.若给出投影方向矢量［A，B，C］，且以Z=0的 平面作为投影平面，则斜平行投影变换矩阵是什 么样的？
6.若投影中心处于观察坐标系的原点，投影平面与Z 轴垂直并距原点的距离为d，则透视投影变换矩阵 是什么样的？
2021/6/29
2、平行投影变换：平行投影可以看成投影中
心在无限远处的投影。见下图（b）。
2021/6/29
3
6.1 投影概念分类
a透视投影变换示意图 b平行投影变换示意图
2021/6/29
4
6.1 投影概念分类
• 二、投影的分类
2021/6/29
5
6.2 正平行投影
• 正平行投影的投影中心是在无限远处， 且投影射线与投影平面垂直。
计算机图形学中的三维变换与投影算法
计算机图形学中的三维变换与投影算法计算机图形学是研究计算机中图形的表示、生成、处理和显示的学科。
在计算机图形学中，三维变换和投影算法是非常重要的技术，它们可以用来对三维物体进行位置、姿态和尺寸的调整，并将其投影到二维画面上。
三维变换是指通过对三维物体的顶点进行一系列变换操作，来改变物体的位置、形状和方向。
常用的三维变换操作包括平移、旋转和缩放。
平移操作改变物体的位置，旋转操作改变物体的方向，而缩放操作改变物体的尺寸。
通过组合不同的变换操作，可以实现复杂的三维物体的变换。
平移是通过将物体的每个顶点按照指定的距离移动来改变物体的位置。
旋转是通过将物体的每个顶点绕着旋转中心按照指定的角度旋转来改变物体的方向。
缩放是通过将物体的每个顶点按照指定的比例因子进行缩放来改变物体的尺寸。
这些变换操作可以通过矩阵运算来进行计算，从而实现对三维物体的变换。
投影是将三维物体投影到二维画面上的操作。
在计算机图形学中，常用的投影算法有平行投影和透视投影。
平行投影是将物体的每个顶点沿着平行于视线的方向进行投影，得到二维画面上的对应点。
透视投影则考虑到物体离视点的距离，并根据投影面和视点的位置关系而调整投影结果。
通过投影操作，可以将三维物体在计算机屏幕上展示出来，从而实现真实感的图形显示。
在实际应用中，三维变换和投影算法被广泛应用于计算机游戏、虚拟现实、计算机辅助设计等领域。
通过三维变换，可以实现物体的动画效果，使得游戏或虚拟现实场景更加逼真。
而通过投影算法，可以实现对物体的观察和测量，帮助设计师更好地进行产品设计和展示。
总结来说，计算机图形学中的三维变换和投影算法是实现三维物体在计算机中显示和操作的关键技术。
通过对物体进行平移、旋转和缩放等变换操作，可以改变物体的位置、方向和尺寸；而通过投影操作，可以将三维物体投影到二维画面上展示出来。
这些技术在计算机游戏、虚拟现实和计算机辅助设计等领域发挥着重要的作用，推动了计算机图形学的发展。
空间几何的投影和投影变换
空间几何的投影和投影变换空间几何的投影和投影变换是数学中的重要概念，在生活中也有很多实际应用。
在这篇文章中，我们将介绍投影和投影变换的概念及其应用。
一、投影投影可以理解为把一个物体投射到一个平面上，在平面上得到的影像就是投影。
在三维空间中，我们可以用投影来描述一些物理现象，如阴影、光线等。
在立体几何中，我们经常将几何体投影到平面上，以便更好地观察和分析。
比如一个立方体，我们可以将其投影为一个正方形，以方便观察和计算。
在这个过程中，需要注意投影方向和位置。
另外，有时候我们也需要将一个物体在空间中的某一部分投影到一个平面上，以便更好地观察和分析。
这个过程称为部分投影。
比如一个球体，我们可以将其上半部分投影到一个平面上，以观察球面的形状。
二、投影变换投影变换是指把一个几何体通过投影变换成为另一个几何体的过程。
在这个过程中，几何体的形状、大小等性质可能会改变。
比如，我们可以将一个球体投影到一个平面上，得到一个椭圆形。
这就是一个投影变换。
在这个过程中，球体的形状保持不变，但其大小却变小了。
这是因为，球体的某些部分被压缩到了平面上，而平面又是一个二维的对象，不能够完全表示三维空间中的对象。
投影变换常用于计算机图形学中，用来处理三维图形的显示问题。
在这个过程中，需要进行一系列投影变换，以便将三维图形投影到屏幕上，显示给用户观看。
另外，投影变换还可以应用于图像处理中，比如图像压缩、图像增强等。
在这些应用中，我们也需要进行一系列的投影变换，将图像从一个空间变换到另一个空间，以便更好地处理和分析图像。
三、应用实例在生活中，投影和投影变换也有很多实际应用。
比如，我们可以通过投影来得到一个物体的影像，以便更好地观察和分析。
这可以应用于很多领域，如建筑设计、工程测量、地图绘制等。
另外，我们也可以通过投影变换来实现三维图形的显示和处理。
这可以应用于电脑游戏、模拟器、虚拟现实等领域。
同时，投影和投影变换还可以应用于现实中的一些物理现象，如光线的传播、镜面反射、阴影等。
计算机图形学2010_06三维图形变换
第六章 三维图形变换第一节 三维图形变换基础一、三维坐标系xyzxyz右手坐标系左手坐标系三维图形学中习惯上通常是采用右手坐标系。
xy 平面对应于视平面，z 轴垂直于视平面，指向视平面之外。
二、三维齐次坐标及变换矩阵三维图形变换也是基于矩阵运算进行。
矩阵运算的维数被扩展为四维。
三维坐标点采用4元齐次坐标表示：(x , y , z , 1)，三维坐标与三维齐次坐标的相互转换如下：三维坐标(x , y ,z )——齐次坐标(x , y ,z , 1) 齐次坐标(x , y ,z , h )——二维坐标(x /h , y /h ,z /h ) 变换矩阵则为4X4的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s nm kr j i h q f e d p c b a 其中：平移变换第二节 三维几何变换一、三维基本变换 1. 平移变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010000100001nmk T )1,,,()1,,,(n z m y k x T z y x +++=⋅2. 比例变换)1,,,()1,,,(1000000000000jz ey ax T z y x j e a T =⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 3. 旋转变换三维的基本旋转变换分为三种，即绕三个坐标轴的旋转变换。
(1)绕z 轴旋转γ角旋转后z 值不变，x,y 值将发生改变，x,y 值的计算公式与平面旋转相同，即：zz y x y y x x ='+='-='γγγγcos sin sin cos 则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010000cos sin 00sin cos γγγγT 有：)1,1,cos sin ,sin cos ()1,,,(γγγγy x y x z y x +-=T(2)绕x 轴旋转α角则旋转后x 的坐标值不变，y 和z 的坐标值将改变，相当于在yz 平面上绕平面原点进行旋转变换。
平面转转变换的公式为：ααααcos sin sin cos y x y y x x +='-='对应而来，这里y 对应于x ，z 对应y ，有：ααααcos sin sin cos z y z z y y +='-='则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000cos sin 00sin cos 00001ααααT )1,cos sin ,sin cos ,()1,,,(ααααz y z y x z y x +-=T(3)绕y 轴旋转β角这时，z 对应于x ，x 对应于y 。
第六章三维图形的变换
平行投影__三视图
三视图是正投影视图，包括主视图、俯视图和侧视 图，投影面分别与y轴、 z轴和x轴垂直。即将三维物体 分别对正面、水平面和侧平面做正投影得到三个基本视 图。图6-2为正三棱柱的立体图，图6-3为正三棱柱的三 视图。 主视图 侧视图
图 6-2 正三棱柱的立体图
图6-3正三棱柱的三视图
0 0 1 0
0 0 0 1
因此
R ' y cos ' 0 sin ' 0 0 sin ' 1 0 0 cos ' 0 0 0 0 0 1
绕任意轴的旋转变换-方法1
3）P点绕ON 轴（即z轴）逆时针旋转θ角 R z R ' y 4）ON 轴绕y 轴旋转γ' 5）ON 轴绕z轴旋转α' R 'z 因此
三维变换矩阵
矩阵表示为：
x '
y' z' 1 x
cos sin - sin cos y z 1 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
绕任意轴的旋转变换-方法
a) 绕过原点的任意轴的旋转变换 空间点 P(x,y,z) 绕过原点的任意轴 ON逆时针旋转 θ 角的旋转变换。 基本思想：因ON 轴不是坐标轴，应设法旋转该轴， 使之与某一坐标轴重合，然后进行旋转θ角的变换， 最后按逆过程，恢复该轴的原始位置。
1.5 1 0 0 T 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 T 1.5 0 1 1 1 1.5 2.5 1 1 0 1 2.5
第六章 (25)(第一课)
第六章 三维图形变换与三维观察 于是， 空间一点绕任意轴ON旋转θ角的变换可分为三 步进行： （1） 通过两次旋转变换， 使ON轴与坐标系z轴重合。 （2） 绕z轴旋转θ （3） 通过两次逆旋转变换， 使ON轴转回到原来的位 置。 因此， 整个变换过程是5次简单基本变换的级联。
26
第六章 三维图形变换与三维观察 (1) 绕 z 轴旋转－θ2角， 其变换矩阵为：
5
第六章 三维图形变换与三维观察 相对于一给定点(xf, yf, zf)的缩放变换可用下列变换序列 来表示： （1 （2）用式（6.4 （3）平移给定点至原始位置。 任一点的缩放变换矩阵表示形式可以用“平移—缩放— 平移”变换组合表示如下：
6
第六章 三维图形变换与三维观察 (6.5)
7
第六章 三维图形变换与三维观察
50
第六章 三维图形变换与三维观察 （2）正轴侧投影（Axonometric Othographic Projection)。 投影平面与任一坐标轴不垂直， 因而， 它所描述的不仅是 物体的一个面， 有时是两个面或多个面， 所以具有一定的 立体感。 在正轴侧投影中， 线的平行性保持不变， 平行于 同一坐标轴的线段均以相同的比例缩放， 其缩放系数与投 影方向有关， 但正轴侧投影中的角度经投影后将发生变化。
48
第六章 三维图形变换与三维观察 (6.32)
其中A、 B为常数。 显然， 射影变换把三维空间的直线也变 成了直线。
49
第六章 三维图形变换与三维观察
6.2.3 平行投影及其分类
1. （1） 正投影。 投影平面垂直于某一坐标轴， 因此， 该坐标轴方向就是投影方向。 最常见的正投影有六种： 前 (主)视图、 后视图、 左(侧)视图、 右视图、 顶(俯)视图、 底(仰)视图， 工程制图中常用前视图、 侧视图和顶视图三 种。 正投影能较好地描述物体的一个面， 但却丢失了物体 的许多三维信息， 即使使用所有的六种正视图， 有时也难 以重构该物体的三维结构。
三维图形几何变换与投影变换
1 实验目的1）掌握4*4矩阵乘法运算的编程实现。
2）掌握平移、比例、旋转三种基本三维几何变换矩阵生成。
3）掌握正交投影图的生成和绘制方法。
2 实验要求1）三维坐标系的原点位于屏幕中心，X轴水平向右，Y轴垂直向上，Z轴垂直于坐标屏幕，指向屏幕外。
2）设计实现三维图形变换类，具有平移、比例、旋转三维几何变换功能，以及正交投影变换功能.3）使用第二章的直线类绘制正四面体的是三维线框模型,要求体心位于坐标原点，使正四面体同时绕Y轴匀速旋转，并相对于体心点来回缩放。
4）使用双缓冲机制，绘制正四面体三维线框模型的二维正交投影图，要求投影到XOY平面。
3 详细设计3。
1 核心算法及类型设计void CTrans3DView：:BuildPointEdge(）｛double d=400;P[0]。
x=d/2; P[0］.y=d/2; P[0］.z=d/2；P［1］。
x=d/2； P［1]。
y=-d/2; P［1].z=-d/2；P[2］。
x=—d/2； P[2]。
y=—d/2; P[2]。
z=d/2；P[3].x=-d/2; P［3].y=d/2; P［3]。
z=—d/2；E[0]。
SetPointsIndex(0，1）；E［1].SetPointsIndex（0,2）;E[2］。
SetPointsIndex（0，3)；E[3］。
SetPointsIndex（1，2);E[4]。
SetPointsIndex（1,3)；E［5］.SetPointsIndex(2,3);｝void CTrans3DView：：OnDraw(CDC＊pDC){CTrans3DDoc* pDoc = GetDocument()；ASSERT_VALID（pDoc);if（!pDoc）return;// TODO：在此处为本机数据添加绘制代码CRect rect;GetClientRect(&rect);pDC-〉SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);pDC-〉SetWindowExt（rect.Width()，rect.Height()）;pDC—>SetViewportExt(rect.Width（），—rect.Height（）);pDC—〉SetViewportOrg（rect.Width（）/2，rect。
形学中的视变换与投影
形学中的视变换与投影
视变换与投影是形学中非常重要的概念，它们在绘画、建筑、设计
等领域都有着广泛的应用。
本文将从视变换和投影两个方面对形学中
的视变换与投影进行探讨。
视变换是指将现实中的三维对象通过特定的变换方式投影到平面上，以获得一个二维的视图。
在视变换中，视点、观察方向、视图平面等
因素都会影响最终的投影效果。
例如，在透视投影中，远处的物体会
看起来比近处的物体小，而在等轴测投影中，则是保持物体的各个部
分等比例缩放。
视变换可以帮助我们更好地理解和表达三维空间中的
对象，是建筑师、设计师等专业人士必备的技能之一。
投影则是视变换中的一种特殊情况，它是将三维空间中的对象投影
到一个平面上，从而得到一个二维的图像。
在投影中，重要的参数包
括投影位置、投影方向和投影方式等。
常见的投影方式有平行投影、
透视投影、等轴测投影等，它们各自具有特定的特点和应用范围。
例如，在建筑设计中，通过等轴测投影可以清晰地表达建筑物的各个部分，而在艺术创作中，透视投影则可以营造出更加逼真的场景。
视变换和投影在形学中具有举足轻重的地位，它们不仅帮助我们更
好地理解和表达三维空间中的对象，还可以为我们的创作提供更多的
可能性。
因此，掌握视变换和投影的原理和方法，对于希望在绘画、
建筑、设计等领域有所作为的人来说至关重要。
希望通过本文的介绍，读者对形学中的视变换与投影有了更深入的了解，能够在实际操作中
灵活运用这些知识，为自己的创作增添新的色彩。
计算机图形学-三维图形变换与投影96页PPT
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
ENDLeabharlann 16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（6-4）
6.2.3 旋转变换
1.绕x轴旋转
0 1 0 cos T 0 sin 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 1
（6-5）
2.绕y轴旋转
cos 0 T sin 0 0 sin 1 0 0 cos 0 0 0 0 0 1
（6-16）
3.沿z方向错切
1 0 T 0 0 0 1 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
（6-17）
三维图形几何变换
6.3 三维复合变换
P' P T P T1 T2 Tn
T为复合变换矩阵，T1，T2……Tn为n个单次基本几 何变换矩阵。
1 0 T1 0 x 0
0 1 0 y0
0 0 1 z0
0 0 0 1
（6-18）
(2)将P0 P1 绕y轴顺时针旋转y角，与yoz平面重合
cos y 0 T2 sin y 0 0 sin y 1 0 0 cos y 0 0 0 0 0 1
6.4 坐标系变换
在进行三维观察时，需要将物体的描述从世界坐标系 变换到观察坐标系，然后通过旋转视点可以观察物体的全 貌。 同一种变换既可以看作是点变换也可以看作是坐标系 变换。点变换是顶点位置发生改变，但坐标系位置不发生 改变。坐标系变换是建立新坐标系描述旧坐标系内的顶点， 坐标系位置发生改变，但顶点位置不发生改变。
sin( ) 0 cos cos sin T sin( ) cos 0 0 0 1 0 sin cos 0 0 0 1
（6-30）
坐标系反射变换相当于坐标系不动，点进行反射， 二者效果一致，坐标系变换的反射变换矩阵保持不 变。
b e h m
c f i n
p q r s
（6-1）
6.1.2 三维几何变换
P' P T
x1' ' x2 ' xn y1' ' y2 ' yn z1' 1 x1 ' z2 1 x 2 ' z n 1 xn y1 y2 yn z1 1 a d z 2 1 g z n 1 l b e h m c f i n p q r s
6.4.1 二维坐标系变换
y
y' y
y
P(3,3)
0
P(3,3)
x x'
0
0
P(1,1) （a） 原图
x
x
0'
（b）点变换
（c）坐标系变换
平移变换矩阵
1 T 0 Tx 0 1 Ty 0 0 1
（6-29）
坐标系的旋转变换，应使用相反方向的旋转变换矩 阵。如绕z轴的逆时针旋转变换，应使用顺时针旋转变 换矩阵，反之亦然。
（6-2）
6.2 三维基本几何变换矩阵
6.2.1 平移变换
1 0 T 0 Tx 0 1 0 Ty 0 0 1 Tz 0 0 0 1
（6-3）
6.2.2 比例变换
S x 0 T 0 0 0 Sy 0 0 0 0 Sz 0 0 0 0 1
第六章
本章学习目标
三维几何变换矩阵 正交投影 斜投影 透视投影
本章内容
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
三维图形几何变换 三维基本几何变换矩阵 三维复合变换 坐标系变换 平行投影 透视投影 本章小结
6.1 三维图形几何变换
6.1.1三维几何变换矩阵
（6-6）
3.绕z轴旋转
cos sin T 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-7）
β为正向旋转角
6.2.4 反射变换
1.关于x轴的反射
1 0 0 0 1 0 T 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
同二维变换类似，三维变换同样引入了齐次坐标技 术，在四维空间（x,y,z,w）内进行讨论。定义了规范化 齐次坐标以后，三维图形几何变换就可以表示为物体顶 点集合的规范化齐次坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的形 式。用规范化齐次坐标表示的三维图形几何变换矩阵是 一个4×4方阵，简称为三维几何变换矩阵。
a d T g l
（6-33）
绕z轴的逆时针三维旋转变换矩阵为
cos sin T 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-34）
β为顺时针旋转角。 坐标系的三维反射变换，直接采用点变换的反射变换矩 阵。
主视图 正交投影 俯视图 侧视图 正投影 正等测 平行投影 正轴测投影 正二测 正三测 投影 斜等测 斜投影 斜二测 一点透视 透视投影二点透视 三点透视
（6-25）
2 2 2 2 2 2 由 n1 n2 n3 1 ，得到 cos cos cos 1
则， 1 cos2 cos2 cos2
所以， cos x cos 2 cos 2
n1 cos sin y cos x cos2 cos2
n2
n3
0 1 0 cos x 1 0 0 1 1 0 sin x 0 0
0 sin x cos x 0
0 cos y 0 0 0 sin y 1 0
0 sin y 1 0 0 cos y 0 0
0 0 0 1
y
P0 P 1
v θx
z O
θy
u
x
将 P0 P 1 规范为单位矢量n，它在三个坐标轴上的投影 分别为 n1 cos n2 cos n3 cos 。取z轴上一单位矢量k 将其绕x轴顺时针旋转θx角，再绕y轴逆时针旋转θy角， 则单位矢量k将同单位矢量n重合，变换过程为
n1
。
（6-26） （6-27）
n3 cos cos y cos x cos2 cos2
（6-28）
将式（6-25）～（6-28）代入（6-19）、（6-20）、
（6-22）和（6-23）中，即可计算出T2、T3、T5和T6。
复合变换矩阵
T T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
6.4.2 三维坐标系变换
平移变换矩阵
1 0 T 0 Tx 0 1 0 Ty 0 0 1 Tz 0 0 0 1
（6-31）
相对于点变换而言，坐标系变换的平移参数需要取为负值。
同二维坐标系的旋转变换类似，三维坐标系的旋转变化 矩阵应使用点变换的反向旋转变换矩阵表示。 绕x轴的逆时针三维旋转变换矩阵为
相对于任意方向的变换方法是首先对任意方向做旋转 变换，使变换方向与某个坐标轴重合，然后对该坐标轴 进行三维基本几何变换，最后做反向旋转变换，将任意 方向还原到原来的方向。三维几何变换中需要进行两次 旋转变换，才能使任意方向与某个坐标轴重合。一般做 法是先将任意方向旋转到某个坐标平面内，然后再旋转 到与该坐标平面内的某个坐标轴重合。 例6-1 已知空间矢量
cos y 0 T6 sin y 0 0 sin y 1 0 0 cos y 0 0 0 0 0 1
（6-23）
（7）将P0(x0，y0，z0)点平移回原位置
1 0 T7 0 x0 0 1 0 y0 0 0 1 z0 0 0 0 1
（6-21）
（5）将 P0 P1 绕x轴旋转-x角，即顺时针旋转x角
0 1 0 cos x T5 0 sin x 0 0
0 sin x cos x 0
0 0 0 1
（6-22）
（6）将 P0 P1 绕y轴旋转-y角间变量sinθx、sinθy、cosθx、cosθy 将 P0 P 1 投影到y＝0的平面上，投影矢量为u
u与z轴正向的夹角为θy
将 P0 P 1 投影到x＝0的平面上，投影矢量为v v与z轴正向的夹角为θx 不需要计算 θx 和θy的值，只需计算其正弦值与余弦值， 就可以计算出变换矩阵T2、T3、T5和T6。
6.3.1相对于任一参考点的三维几何变换
在三维基本几何变换中，比例变换和旋转变换是与参 考点相关的。相对于任一参考点Q（x,y,z）的比例变换 和旋转变换应表达为复合变换形式。变换方法是首先 将参考点平移到坐标原点，相对于坐标原点作比例变 换或旋转变换，然后再进行反平移将参考点平移回原 位置。
6.3.2 相对于任意方向的三维几何变换
（6-13）
6.2.5 错切变换
1 b d 1 T g h 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
（6-14）
1.沿x方向错切
1 d T g 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-15）
2.沿y方向错切
1 0 T 0 0 b 1 h 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-8）
2.关于y轴的反射
1 0 T 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
（6-9）
3.关于z轴的反射
1 0 0 1 T 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-10）
4.关于xoy面的反射
cos x sin y
sin x
cos x cos y 1