2019-2020学年天津市河东区高一第二学期期中数学试卷 含解析
天津市河西区2019-2020学年高一第二学期数学期中试卷(解析版)
2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共9小题）.1．如果a→，b→是两个单位向量，则a→与b→一定（）A．相等B．平行C．方向相同D．长度相等2．若复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或13．在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：观看场数012345678%10%20%26%m%12%6%2%观看人数占调查人数的百分比从表中可以得出正确的结论为（）A．表中m的数值为8B．估计观看比赛不低于4场的学生约为360人C．估计观看比赛不低于4场的学生约为720人D．估计观看比赛场数的众数为24．甲、乙两个元件构成一并联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元件故障“，则表示电路故障的事件为（）A．E∪F B．E∩C．D．E∩F5．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i＝b+i，则（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝1C．a＝1，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝﹣16．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（ ）A ．30%B ．10%C ．3%D ．不能确定7．设A 、B 是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ） A ．事件A ⊆B ，则P （A ）＜P （B ） B ．若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立C ．若A 和B 相互独立，则A 和B 一定不互斥D ．P （A ）+P （B ）≤18．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C +c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定9．已知向量a →，b →是两个不共线的向量，且向量m a →−3b →与a →+（2﹣m ）b →共线，则实数m 的值为（ ） A ．﹣1或3B ．√3C ．﹣1或4D ．3或4二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．i 是虚数单位，复数6+7i 1+2i= ．11．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．12．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．则事件“x+y≤3”的概率为．13．在三角形ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a＝2，B=π6，c＝2√3，则b＝．14．已知e1→，e2→是夹角为23π的两个单位向量，a→=e1→−2e2→，b→=k e1→+e2→，若a→•b→=0，则实数k的值为．15．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则AE→•BE→的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．16．随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．17．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．18．在△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝30°，b=√2，c＝2，解这个三角形．19．已知OP→=（2，1），OA→=（1，7），OB→=（5，1），设C是直线OP上的一点（其中O为坐标原点）（1）求使CA→⋅CB→取到最小值时的OC→；（2）根据（1）中求出的点C，求cos∠ACB．20．设z1是虚数，z2＝z1+1z1是实数，且﹣1≤z2≤l．（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若ω=1−z11+z1，求证ω为纯虚数；（3）求z2﹣ω2的最小值．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果a→，b→是两个单位向量，则a→与b→一定（）A．相等B．平行C．方向相同D．长度相等【分析】根据a→，b→是两个单位向量；只能得到其模长相等，方向不定，即可判断答案．解：因为a→，b→是两个单位向量；只能得到其模长相等，其他没法确定；故选：D．2．若复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1【分析】复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，复数的实部为0，虚部不等于0，求解即可．解：由复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，{x2−1=0可得x＝﹣1x−1≠0故选：A．3．在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：观看场数01234567观看人数占调查人数的8%10%20%26%m%12%6%2%百分比从表中可以得出正确的结论为（）A．表中m的数值为8B．估计观看比赛不低于4场的学生约为360人C．估计观看比赛不低于4场的学生约为720人D．估计观看比赛场数的众数为2【分析】由频率分布表的性质，求出m＝12；先由频率分布表求出观看比赛不低于4场的学生所占比率为36%，由此估计观看比赛不低于4场的学生约为360人；出现频率最高的为3．解：由频率分布表的性质，得：m＝100﹣8﹣10﹣20﹣26﹣16﹣6﹣2＝12，故A错误；∵观看比赛不低于4场的学生所占比率为：16%+12%+6%+2%＝36%，∴估计观看比赛不低于4场的学生约为：1000×36%＝360人，故B正确，C错误；出现频率最高的为3．故D错误；故选：B．4．甲、乙两个元件构成一并联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元件故障“，则表示电路故障的事件为（）A．E∪F B．E∩C．D．E∩F【分析】由并联电路性质得：电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障．解：甲、乙两个元件构成一并联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元件故障“，则电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障，∴表示电路故障的事件为E∩F．5．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i＝b+i，则（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝1C．a＝1，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝﹣1【分析】根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等，得到a，b的值．解：∵（a+i）i＝b+i，∴ai﹣1＝b+i，∴a＝1，b＝﹣1，故选：C．6．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A．30%B．10%C．3%D．不能确定【分析】计算鸡蛋占食品开支的百分比，利用一星期的食品开支占总开支的百分比，即可求得一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比解：根据一星期的食品开支图，可知鸡蛋占食品开支的百分比为3030+40+100+80+50=10%，∵一星期的食品开支占总开支的百分比为30%，∴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×10%＝3%．7．设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（）A．事件A⊆B，则P（A）＜P（B）B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥D．P（A）+P（B）≤1【分析】根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概型与性质进行判断．解：若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），故A错误；若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确；若事件A，B相互独立，且P（A）＞12，P（B）＞12，则P（A）+P（B）＞1，故D错误．故选：C．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A，则△ABC 的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B＝sin A sin A，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sin A＝1，可得A=π2，由此可得△ABC的形状．解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵b cos C+c cos B＝a sin A，则由正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B＝sin A sin A，即sin（B+C）＝sin A sin A，可得sin A＝1，故A=π2，故三角形为直角三角形，9．已知向量a →，b →是两个不共线的向量，且向量m a →−3b →与a →+（2﹣m ）b →共线，则实数m 的值为（ ） A ．﹣1或3B ．√3C ．﹣1或4D ．3或4【分析】利用向量共线定理即可得出．解：∵向量m a →−3b →与a →+（2﹣m ）b →共线，∴存在实数k 使得：m a →−3b →=k [a →+（2﹣m ）b →]，化为：（m ﹣k ）a →+[﹣3﹣k （2﹣m ）]b →=0→，∵向量a →，b →是两个不共线的向量， ∴{m −k =0−3−k(2−m)=0，解得m ＝3或﹣1． 故选：A ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．i 是虚数单位，复数6+7i 1+2i= 4﹣i ．【分析】根据复数的运算法则计算即可．解：6+7i 1+2i=(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=6+14+7i−12i5=20−5i 5=4﹣i ，故答案为：4﹣i11．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 60 名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为44+5+5+6=15，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×15=60，故答案为：60．12．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．则事件“x+y≤3”的概率为112．【分析】基本事件总数n＝6×6＝36，利用列举法求出事件“x+y≤3”包含的基本事件（x，y）有3个，由此能求出事件“x+y≤3”的概率．解：将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．基本事件总数n＝6×6＝36，事件“x+y≤3”包含的基本事件（x，y）有：（1，1），（1，2），（2，1），共3个，则事件“x+y≤3”的概率为p=336=112．故答案为：112．13．在三角形ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a＝2，B=π6，c＝2√3，则b＝2．【分析】由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出b即可．解：由余弦定理可知b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝22+(2√3)2−2×2×2√3×√32=4．因为b 是三角形的边长，所以b ＝2． 故答案为：2．14．已知e 1→，e 2→是夹角为23π的两个单位向量，a →=e 1→−2e 2→，b →=k e 1→+e 2→，若a →•b →=0，则实数k 的值为54．【分析】利用向量的数量积公式求出e 1→⋅e 2→；利用向量的运算律求出a →⋅b →，列出方程求出k ．解：∵e 1→，e 2→是夹角为23π的两个单位向量∴e 1→⋅e 2→=−12∴a →⋅b →=(e 1→−2e 2→)⋅(ke 1→+e 2→)=ke 1→2−2ke 1→⋅e 2→+e 1→⋅e 2→−2e 2→2=2k −52∵a →⋅b →=0∴2k −52=0 解得k =54 故答案为：5415．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →•BE →的最小值为2116．【分析】可建立坐标系，然后根据给的条件求出A ，B ，E 的坐标，再设E （0，m ），则可将AE →•BE →整理成m 的函数，然后求其最小值．解：因为AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．故如图，建立如图所示的坐标系．则A （1，0），连接AC ，易证Rt △ACD ≌RtACB ， ∴∠DAC ＝∠DAB ＝60°＝∠BAx ＝60°，∴DC =ADtan60°=√3．x B ＝1+1×cos60°=32，y B =sin60°=√32．∴B(32，√32)．设E （0，m ），（0＜m ＜√3）．∴AE →=(−1，m)，BE →=(−32，m −√32)．∴AE →⋅BE →=32+m 2−√32m =（m −√34）2+2116．故当m =√34时，AE →•BE →的最小值为2116．故答案为：2116．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．16．随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率．解：（1）（40，45]的频数n1＝7，频率f1＝0.28；（45，50]的频数n2＝2，频率f2＝0.08；（2）频率分布直方图：（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为525=15，∴P（A）=C40(1−15)4=0.4096，∴P（A）＝1﹣P（A）＝1﹣0，4096＝0.5904，∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率0.5904．17．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．【分析】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P（A）=1220=35，P（B）=820=25，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P（A B+AB）＝P（A）P（B）+P（A）P（B），由此能求出结果．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为P（AB）＝P（A）P（B）．由此能求出结果解：（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P（A）=1220=35，P（B）=820=25，∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P（A B+AB）＝P（A）P（B）+P（A）P（B）=35×(1−25)+（1−35）×25=1325．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：P（AB）＝P（A）P（B）＝（1−35）（1−25）=625．18．在△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝30°，b=√2，c＝2，解这个三角形．【分析】根据正弦定理求得C，进而得到A，根据余弦定理求得a即可．解：由正弦定理可得sin C=cb sin B=√2×12=√22，因为b＜c，则C＝135°或45°，所以A＝15°或105°；根据余弦定理可得cos B=a2+c2−b 22ac ，即√32=a2+4−24a，解得a=√3−1（√3+1舍），故该三角形a=√3−1，A＝15°，C＝135°或a=√3−1，A＝105°，C＝45°．19．已知OP →=（2，1），OA →=（1，7），OB →=（5，1），设C 是直线OP 上的一点（其中O 为坐标原点）（1）求使CA →⋅CB →取到最小值时的OC →； （2）根据（1）中求出的点C ，求cos ∠ACB ．【分析】（1）根据题意设点C(x ，12x)，从而将CA →⋅CB →数量积的坐标表示求出来，可得一个关于x 的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案；（2）根据（1）中的点C ，可以求得CA →，CB →的坐标，利用向量的数量积即可求得cos ∠ACB 的值．解：（1）∵OP →=(2，1)，则直线OP 的方程为y =12x ， ∵C 是直线OP 上的一点，则设点C(x ，12x)，∴CA →=OA →−OC →=(1−x ，7−12x)，CB →=OB →−OC →=(5−x ，1−12x)，∴CA →⋅CB →=（1﹣x ）（5﹣x ）+（7−12x ）（1−12x ） =54x 2−10x +12 =54(x −4)2−8，∴当x ＝4时，CA →⋅CB →取到最小值，此时C （4，2），∴OC →=(4，2)；（2）由（1）可知，C （4，2），∴CA →=(−3，5)，CB →=(1，−1)，∴cos∠ACB=CA→⋅CB→|CA→|⋅|CB→|=−3−5√(−3)+5√1+(−1)=−4√1717，故cos∠ACB=−4√1717．20．设z1是虚数，z2＝z1+1z1是实数，且﹣1≤z2≤l．（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若ω=1−z11+z1，求证ω为纯虚数；（3）求z2﹣ω2的最小值．【分析】（1）设z1＝a+bi，（a，b∈一、选择题，且b≠0），则z2＝（a+aa2+b2）+（b−ba2+b2）i，因为z2是实数，所以a2+b2＝1，即|z1|＝1，且z2＝2a，由﹣1≤z2≤1，z1的实部的取值范围为[−12，12]．（2）ω=1−z11+z1=1−a−bi1+a+bi=1−a2−b2−2bi(1+a)2+b2=−bia+1，由此证明ω=1−z11+z1是纯虚数．（3）z2﹣ω2＝（a+aa2+b2）+（b−ba2+b2）i﹣（−bia+1）2＝2（a+1）+2a+1−3，a+1∈[12，32]，利用基本不等式即可得出答案．解：（1）设z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则z2＝z1+1z1=（a+bi）+1a+bi=（a+bi）+a−bi(a+bi)(a−bi)=（a+bi）+a−bia2+b2=（a+aa2+b2）+（b−ba2+b2）i，因为z2是实数，所以b−ba2+b2=0，即b（a2+b2−1a+b）＝0，因为b≠0，所以a2+b2＝1，即|z1|＝1，且z2＝2a，由﹣1≤z 2≤1，得﹣1≤2a ≤1，解得−12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围为[−12，12]．（2）证明：∵a 2+b 2＝1，ω=1−z 11+z 1=1−a−bi 1+a+bi =1−a 2−b 2−2bi (1+a)2+b2=−bi a+1， 因为−12≤a ≤12，b ≠0，所以ω=1−z11+z 1为纯虚数．（3）z 2﹣ω2＝（a +aa 2+b 2）+（b −ba 2+b2）i ﹣（−bia+1）2，＝2a +（b ﹣b ）i +b2(a+1)2＝2a +1−a 2(a+1)2＝2a +1−aa+1=2a(a+1)+(1−a)a+1=2a 2+a+1a+1＝1+2a 2a+1＝1+2(a+1)2−4a−2a+1＝1+2(a+1)2−4(a+1)+2a+1＝1+2（a +1）﹣4+2a+1＝2（a +1）+2a+1−3，a +1∈[12，32]，2最小＝1．当2（a+1）=2a+1时，即a＝0时，z2﹣ω。
2019-2020学年天津市河东区高二下学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年天津市河东区高二下学期期中数学试题一、单选题1．若复数2()bi b R -∈的实部与虚部之和为零，则b 的值为（ ）A ．2B ．23C ．23-D ．2-【答案】A【解析】由复数2()bi b R -∈的实部与虚部之和为零，得20b -=，求解即可得答案．【详解】由复数2()bi b R -∈的实部与虚部之和为零，得20b -=，即2b =．故选：A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．i 为虚数单位，若复数()()11mi i ++是纯虚数，则实数m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．0或1 【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简()()1i 1i m ++，再利用纯虚数的定义求解即可．【详解】 ()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++Q 是纯虚数，10 10m m -=⎧∴⎨+≠⎩，即1m =，故选C ． 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．下列式子错误的是（ ）A ．(sin )cos x x '=B ．(cos )sin x x '=C ．2(2ln )x x '=D ．()x x e e --'=-【解析】根据题意，依次计算选项函数的导数，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，(sin )cos x x '=，正确；对于B ，(cos )sin x x '=-，错误；对于C ，2(2)lnx x '=，正确； 对于D ，()x x e e--'=-，正确；故选：B ．【点睛】 本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．4．设()ln(21)f x x =-，若()f x 在0x 处的导数0()1f x '=，则0x 的值为（ ） A ．12e + B ．32 C ．1 D ．34【答案】B【解析】直接求出原函数的导函数，由0()1f x '=列式求解0x 的值．【详解】由()ln(21)f x x =-，得(212)f x x =-'． 由002()121f x x '==-，解得：032x =． 故选：B ．【点睛】本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题． 5．若复数z 满足z （i-1）=2i （i 为虚数单位），则z 为（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【详解】z （i-1）=2i （i 为虚数单位），∴-z （1-i ）（1+i ）=2i （1+i ），∴-2z=2（i-1），解得z=1-i ．则z =1+i ．故选A ．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．6．复数43i z i +=，则(z = ) A ．5B ．4C ．5D ．25 【答案】C【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再求模即可．【详解】解：z ()24343i i i i i++===-（﹣3+4i ）＝3﹣4i ， ∴|z |223(4)=+-=5，故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.【详解】由函数()f x 的图象可知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递减，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x '< ，符合条件的只有D 选项，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题. 8．已知函数π()()sin cos 6f x f x x '=+，则π()6f 的值为（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1- 【答案】D【解析】求函数的导数，即可得到结论．【详解】()()sin cos 6f x f x x π='+Q ， ()()cos sin 6f x f x x π∴'='-， 令6x π=，则1()()cos sin ()666662f f f πππππ'='-='-，则()2)6f π'==-，则()2)sin cos f x x x =-+，则1()2)sin cos 2)16662f πππ=-++=-⨯=-， 故选：D ．【点睛】 本题主要考查函数值的计算，利用导数求出()6f π'的值是解决本题的关键． 9．设()f x 是定义在［－1，1］上的可导函数，()00f =，且()22f x x '=+，则不等式()()120f a f a +->的解集为A ．[]0,1B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[)0,1 【答案】D【解析】由导函数可得原函数，再根据函数单调性与奇偶性化简不等式，解得结果.【详解】因为()22f x x '=+，所以()()32,?003x f x x m f =++=又，因此()323x f x x =+，为[]11-，上的奇函数和增函数，()()()()()1201221f a f a f a f a f a +->⇒>--=-，则1111210121a a a a a -≤≤⎧⎪-≤-≤⇒≤<⎨⎪>-⎩，，，故选D ．【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.二、填空题10．已知i 为虚数单位，则复数2021i =_______.【答案】i ．【解析】直接利用虚数单位i 的运算性质得答案.【详解】20214505()i i i i ==g ；故答案为：i ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位i 的性质，是基础题． 11．设1262,618z i z i =--=-，其中i 为虚数单位.若12z z z =+，则z 在复平面上对应点的坐标为_______.【答案】(0,20)-．【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】126261820z z z i i i =+=--+-=-，则z 在复平面上对应点的坐标为(0,20)-．故答案为：(0,20)-．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．已知函数sin y x =在区间π[0,]6，ππ[,]32上的平均变化率分别为1k ，2k ，那么1k ，2k 的大小关系为_______.【答案】12k k >.【解析】根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小．【详解】当[0x ∈，]6π时，平均变化率1sin sin 0366k πππ-==， 当[3x π∈，]2π时，平均变化率2sin sin 2323k ππππ-==-， 12k k >，故答案为：12k k >.【点睛】 应熟练掌握函数在某点附近的平均变化率()()y f x x f x x x+-=V V V V ，属于基础题． 13．已知函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2(0,)e. 【解析】求出函数的导数，问题转化为y a =和2()x x g x e=在R 上有2个交点，根据函数的单调性求出()g x 的范围，从而求出a 的范围即可．【详解】()2x f x ae x '=-，若函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则y a =和2()x x g x e =在R 上有2个交点， 22()x x g x e -'=， (,1)x ∈-∞时，即()0g x '>，()g x 递增，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减，故()max g x g =（1）2e =， 而20x x e >恒成立，所以20a e<<， 故答案为：2(0,)e ．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题． 14．函数2()ln f x x x =+的图象在点(1,(1))f 处切线方程为_____．【答案】320x y --=【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x ＝1处的导数，再求出f （1），利用直线方程的点斜式得答案．【详解】由2()ln f x x x =+，得'1()2f x x x=+， 则'(1)3f =，又(1)1f =，所以切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=.故答案为：320x y --=【点睛】本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，是基础题．15．若函数()()2f x x x a =-在2x =处取得极小值，则a =__________．【答案】2【解析】求导函数可得22()34f x x ax a '=-+，所以2(2)1280f a a =-+='，解得2a = 或6a =，当2a =时，2()384(2)(32)f x x x x x ==-'-+-，函数在2x =处取得极小值，符合题意；当6a =时，2()324363(2)(6)f x x x x x =-=--'+，函数在2x =处取得极大值，不符合题意，不符合题意，所以2a =.三、解答题16．已知复数(12a z i i i=++为虚数单位）． （1）若z R ∈，求z ；（2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围．【答案】（1）12z =；（2）502a <<． 【解析】（1）利用复数的四则运算，先进行化简，结合若z R ∈，即可求z ；（2）结合复数的几何意义，求出对应点的坐标，结合点与象限的关系即可求a 的取值范围．【详解】（1）(12)25212(12)(12)555a a i a ai a a z i i i i i i i ---=+=+=+=++-+， 若z R ∈，则5205a -=，得52a =，此时12z =； （2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限， 则05a >且5205a ->， 得052a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，即502a <<， 即a 的取值范围是502a <<． 【点睛】本题主要考查复数的四则运算以及复数几何意义的应用，对复数进行化简是解决本题的关键．17．求下列函数的导数：（1）22log (3);y x x = （2）cos(21).x y x+= 【答案】（1）22log (3).ln 2x y x x '=+（2）()22sin 21cos(21).x x x y x -+-+'= 【解析】(1)求积的导数，[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+.(2)求商的导数，[]2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，由复合函数的导数得[]cos(21)sin(21)(21)2sin(21)x x x x ''+=-++=-+g .【详解】(1)[]2222()log (3)log (3)y x x x x '''=+2232log (3)3ln 2x x x x =+ 22log (3)ln 2x x x =+. (2)[]2cos(21)cos(21)x x x x y x ''+-+'=()22sin 21cos(21)x x x x -+-+=. 【点睛】本题考查导数的运算，考查积和商的导数、复合函数的导数，按照基本导数公式和导数运算法则进行计算即可.18．函数()2ln f x a x bx =-上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，求,a b 的值.【答案】21a b =⎧⎨=⎩【解析】当2x =时，代入切线方程，62ln 2242ln 2y =-++=-+， 即()242ln 2f =-+，并且()223a f bx x'=-=-，联立方程求,a b 的值. 【详解】 P Q 在32ln 22y x =-++上，()2322ln222ln24f ∴=-⋅++=-， ()2ln242ln24f a b ∴=-=-，又因为P 处的切线斜率为3-，()'2a f x bx x=-， ()'2432a fb ∴=-=-， ln 242ln 2421432a b a a b b -=-⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩. 【点睛】本题考查已知函数在某点处的切线方程，求参数的取值，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.19．已知函数2()1x f x e x =--.（1）若函数()()f x g x x=，(0,)x ∈+∞，求函数()g x 的单调区间； （2）若不等式()21()32202f x x x k +--≤有解，求k 的取值范围. 【答案】（1）()g x 的单调减区间为：()0,1，单调增区间为：()1,+∞；（2）k>-1【解析】（1）由题可得21()x e x g x x--= 求导得()22(1)1()()()(0)xx e x xf x f x g x x x x ''----==>， 令()1x t x e x =--，由()1xt x e x =--的单调性得()g x 的单调性． （2）不等式()21()32202f x x x k +--≤有解，则2min 112x k e x x ⎛⎫≥+-- ⎪⎝⎭ 设21()12x h x e x x =+--，求()h x 的最小值，从而求k 的取值范围． 【详解】 （1）因为2()1()x f x e x g x x x--==. 所以()22(1)1()()()(0)x x e x xf x f x g x x x x ''----==>. 设()1x t x e x =--，则()10xt x e '=->，即()t x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0t x t >=所以，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 单调递增.（2）因为x R ∃∈，()21()32202f x x x k +--≤. 所以2min112x k e x x ⎛⎫≥+-- ⎪⎝⎭. 设21()12x h x e x x =+--，则()1x h x e x '=+-. 由于()h x '在R 上单调递增，且(0)0h '=.所以当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，则()h x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>，则()h x 单调递增.所以min ()(0)0h x h ==.综上，k 的取值范围是[0,)+∞.【点睛】本题考查利用导函数解不等式（1）恒成立问题或存在性问题常利用分离参数法转化为最值求解（2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题，属于偏难题目． 20．已知函数f （x ）＝lnx ()12a x x --+．（1）若a ＝4，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）在区间（0，1]内单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若x 1、x 2∈R +，且x 1≤x 2，求证：（lnx 1﹣lnx 2）（x 1+2x 2）≤3（x 1﹣x 2）．【答案】（1）见解析；（2）3a ≤；（3）见解析【解析】(1)将a =4代入f (x )求出f (x )的导函数,然后根据导函数的符号,得到函数的单调区间;(2)根据条件将问题转化为434a x x ++„在(0,1]上恒成立问题,然后根据函数的单调性求出a 的范围;(3)根据条件将问题转化为1122123()2x x x ln x x x -+„成立问题,令12(0,1)x t x =∈,即3(1)02t lnt t --+„成立,再利用函数的单调性证明即可.【详解】解:(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,22213(43)4()(2)(2)a x a x f x x x x x +-+'=-=++, 所以4a =时,2284()(2)x x f x x x -+'=+, 由()0f x '>,解得04x <<-4x >+由()0f x '<,解得44x -<+,故()f x在(0,4-和(4+,)+∞上单调递增,在(4-4+上单调递减.(2)由(1)得22(43)4()(2)x a x f x x x +-+'=+, 若函数()f x 在区间(0,1]递增,则有2(43)40x a x +-+…在(0,1]上恒成立,即434a x x ++„在(0,1]上恒成立成立,所以只需min434a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭„, 因为函数44y x x =++在1x =时取得最小值9,所以min 4349a x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭„, 所以a 的取值范围为](,3-∞.(3)当12x x =时,不等式显然成立,当12x x ≠时,因为1x ,2x R +∈,所以要原不等式成立, 只需11122121223(1)3()22x x x x x ln x x x x x --=++„成立即可, 令12(0,1)x t x =∈,则3(1)02t lnt t --+„, 由(2)可知函数()f x 在(0,1]递增,所以()(1)0f x f ≤=, 所以3(1)02t lnt t --+„成立, 所以(lnx 1﹣lnx 2)(x 1+2x 2)≤3(x 1﹣x 2).【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题和不等式的证明,考查了转化思想和分类讨论思想,属难题.。
天津市河东区2019-2020学年中考数学三模试卷含解析
天津市河东区2019-2020学年中考数学三模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，过点D 作DE ∥AC ， 且DE=12AC ，连接CE 、OE ，连接AE ，交OD 于点F ，若AB=2，∠ABC=60°，则AE 的长为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．222．如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使顶点A 与顶点C 重合在一起，EF 为折痕．若AB=9，BC=3，试求以折痕EF 为边长的正方形面积（ ）A ．11B ．10C ．9D ．163．如图，在ABC V 中，30B ∠=︒，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ．如果8CE =，则ED 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．64．下面四个几何体：其中，俯视图是四边形的几何体个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，函数y 1=x 3与y 2=1x在同一坐标系中的图象如图所示，则当y 1＜y 2时（ ）A．﹣1＜x＜l B．0＜x＜1或x＜﹣1C．﹣1＜x＜I且x≠0D．﹣1＜x＜0或x＞16．圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为（）A．8πB．16πC．43πD．4π7．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．8．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边9．已知二次函数y=x2 + bx +c 的图象与x轴相交于A、B两点，其顶点为P，若S△APB=1，则b与c满足的关系是（）A．b2 -4c +1=0 B．b2 -4c -1=0 C．b2 -4c +4 =0 D．b2 -4c -4=010．如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是( )A．B．C．D．11．2017年5月5日国产大型客机C919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里．数字5550用科学记数法表示为（）A．0.555×104B．5.55×103C．5.55×104D．55.5×10312．如图，已知△ABC中，∠A=75°，则∠1+∠2=( )A．335°°B．255°C．155°D．150°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知一组数据1，2，0，﹣1，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为_____．14．已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，根据图中信息请写出不等式ax+b≥2的解集为___________．15．如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=3x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，A B的长是_____．以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则¼2019201816．比较大小：13___1．（填“＞”、“＜”或“＝”）17．如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域的概率为__________.18．如图，在Y ABCD中，AB=8，P、Q为对角线AC的三等分点，延长DP交AB于点M，延长MQ 交CD于点N，则CN=__________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图,直线11y k x b =+与第一象限的一支双曲线m y x =交于A 、B 两点,A 在B 的左边. (1)若1b =4,B(3,1),求直线及双曲线的解析式：并直接写出不等式11m k x b x ＜+的解集； (2)若A(1,3),第三象限的双曲线上有一点C,接AC 、BC,设直线BC 解析式为y kx b =+；当AC ⊥AB 时,求证：k 为定值.20．（6分）如图1，在四边形ABCD 中，AB=AD ．∠B+∠ADC=180°，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF=12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系.图1 图2 图3(1)思路梳理将△ABE 绕点A 逆时针旋转至△ADG ，使AB 与AD 重合.由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F ，D ，G 三点共线. 易证△AFG ≅ ，故EF ，BE ，DF 之间的数量关系为 ；(2)类比引申如图2，在图1的条件下，若点E ，F 由原来的位置分别变到四边形ABCD 的边CB ，DC 的延长线上，∠EAF=12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并给出证明. (3)联想拓展如图3，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE=45°. 若BD=1，EC=2，则DE 的长为 .21．（6分）如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N ．求证：△ABM∽△EFA；若AB=12，BM=5，求DE的长．22．（8分）（2013年四川绵阳12分）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若E是»AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．23．（8分）如图，点D为△ABC边上一点，请用尺规过点D，作△ADE，使点E在AC上，且△ADE与△ABC相似.（保留作图痕迹，不写作法，只作出符合条件的一个即可）24．（10分）如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=1.5米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=60°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD=1.3米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=45°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.01米参考数据：3≈1.73，2≈1.41）25．（10分）如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C，对称轴为直线x=1，且经过点A（3，-1），与y轴交于点B．求抛物线的解析式；判断△ABC 的形状，并说明理由；经过点A 的直线交抛物线于点P ，交x 轴于点Q ，若S △OPA =2S △OQA ，试求出点P 的坐标． 26．（12分）某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生总数为_____人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是_____小时，众数是_____小时；并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是_____；（3）若全校九年级共有学生800人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？ 27．（12分）解方程：3x x --239x -=1参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】在菱形ABCD 中,OC=12AC ，AC ⊥BD ，∴DE=OC ，∵DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴平行四边形OCED 是矩形，∵在菱形ABCD 中,∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AD=AB=AC=2,OA=12AC=1，在矩形OCED中,由勾股定理得：==在Rt△ACE中,由勾股定理得：== C.点睛:本题考查了菱形的性质，先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明四边形OCED是矩形，再根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可.2．B【解析】【分析】根据矩形和折叠性质可得△EHC≌△FBC，从而可得BF=HE=DE，设BF=EH=DE=x，则AF=CF=9﹣x，在Rt△BCF中，由BF2+BC2=CF2可得BF=DE=AG=4，据此得出GF=1，由EF2=EG2+GF2可得答案．【详解】如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠B=90°，根据折叠的性质，有HC=AD，∠H=∠D，HE=DE，∴HC=BC，∠H=∠B，又∠HCE+∠ECF=90°，∠BCF+∠ECF=90°，∴∠HCE=∠BCF，在△EHC和△FBC中，∵H BHC BCHCE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EHC≌△FBC，∴BF=HE，∴BF=HE=DE，设BF=EH=DE=x，则AF=CF=9﹣x，在Rt△BCF中，由BF2+BC2=CF2可得x2+32=（9﹣x）2，解得：x=4，即DE=EH=BF=4，则AG=DE=EH=BF=4，∴GF=AB﹣AG﹣BF=9﹣4﹣4=1，∴EF2=EG2+GF2=32+12=10，故选B．【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等，综合性较强，熟练掌握各相关的性质定理与判定定理是解题的关键.3．C【解析】【分析】先利用垂直平分线的性质证明BE=CE=8，再在Rt △BED 中利用30°角的性质即可求解ED ．【详解】解：因为DE 垂直平分BC ，所以8BE CE ==，在Rt BDE V 中，30B ∠=︒， 则118422ED BE ==⨯=； 故选：C ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°直角三角形的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．4．B【解析】试题分析：根据俯视图是分别从物体上面看，所得到的俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱， 故选B ．考点：简单几何体的三视图5．B【解析】【分析】根据图象知，两个函数的图象的交点是（1，1），（-1，-1）．由图象可以直接写出当y 1<y 2时所对应的x 的取值范围．【详解】根据图象知,一次函数y 1=x 3与反比例函数y 2=1x的交点是(1,1)，(-1,−1)，∴当y1<y2时，, 0<x<1或x＜-1；故答案选：B.【点睛】本题考查了反比例函数与幂函数，解题的关键是熟练的掌握反比例函数与幂函数的图象根据图象找出答案.6．A【解析】【详解】解：底面半径为2，底面周长=4π，侧面积=12×4π×4=8π，故选A．7．B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误；B．是轴对称图形，故本选项正确；C．不是轴对称图形，故本选项错误；D．不是轴对称图形，故本选项错误．故选B．8．C【解析】分析：由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b=a+3，c=b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为1、1，即可得出a=±1、b=±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．解析：∵|a﹣b|=3，|b﹣c|=5，∴b=a+3，c=b+5，∵原点O与A、B的距离分别为1、1，∴a=±1，b=±1，∵b=a+3，∴a=﹣1，b=﹣1，∵c=b+5，∴c=1．∴点O介于B、C点之间．故选C ．点睛：本题考查了数值以及绝对值，解题的关键是确定a 、b 、c 的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数轴上点的位置关系分别找出各点代表的数是关键．9．D【解析】【分析】抛物线的顶点坐标为P （−2b ，244c b -），设A 、B 两点的坐标为A （1x ，0）、B （2x ，0）则AB ＝12x x -，根据根与系数的关系把AB 的长度用b 、c 表示，而S △APB ＝1，然后根据三角形的面积公式就可以建立关于b 、c 的等式．【详解】解：∵1212,x x b x x c +=-=，∴AB ＝12x x -=∵若S △APB ＝1 ∴S △APB ＝12×AB×244c b - ＝1， 214124c b -∴-=∴−12×2414b c -=，∴(248b ac -=，s ，则38s =，故s ＝2，2，∴2440b c --=．故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点情况与判别式的关系、抛物线顶点坐标公式、三角形的面积公式等知识，综合性比较强．10．D【解析】【分析】找到从左面看到的图形即可.【详解】从左面上看是D项的图形.故选D.【点睛】本题考查三视图的知识，左视图是从物体左面看到的视图.11．B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：5550=5.55×1．故选B．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．B【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°，∴∠B+∠C=180°﹣∠A=105°．∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°．故选B．点睛:本题考查了三角形、四边形内角和定理，掌握n边形内角和为（n﹣2）×180°（n≥3且n为整数）是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2【解析】【详解】解:这组数据的平均数为2，有16（2+2+0-2+x+2）=2， 可求得x=2．将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知最中间的两个数是2与2，其平均数即中位数是（2+2）÷2=2． 故答案是：2．14．x≥1．【解析】试题分析：根据题意得当x≥1时，ax+b≥2，即不等式ax+b≥2的解集为x≥1．故答案为x≥1．考点： 一次函数与一元一次不等式．15．201923π 【解析】【分析】先根据一次函数方程式求出B 1点的坐标，再根据B 1点的坐标求出A 2点的坐标，得出B 2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A 2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解，．【详解】直线，点A 1坐标为（2，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1可知B 1点的坐标为（2，，以原O 为圆心，OB 1长为半径画弧x 轴于点A 2，OA 2=OB 1，OA 2，点A 2的坐标为（4，0），这种方法可求得B 2的坐标为（4，，故点A 3的坐标为（8，0），B 3（8，以此类推便可求出点A 2019的坐标为（22019，0）， 则¼20192018A B 的长是2019201960221803ππ⨯⨯=， 故答案为：201923π． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，弧长的计算，解题的关键找出点的坐标的变化规律、运用数形结合思想进行解题.16．＜．【解析】【分析】根据算术平方根的定义即可求解．【详解】1，1，1．故答案为＜．【点睛】考查了算术平方根，非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．17．1 4【解析】【分析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，观察发现：图中阴影部分面积=14S四边形，∴针头扎在阴影区域内的概率为14；故答案为：14．【点睛】此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．18．1【解析】【分析】根据平行四边形定义得：DC∥AB，由两角对应相等可得：△NQC∽△MQA，△DPC∽△MPA，列比例式可得CN的长．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CNQ=∠AMQ，∠NCQ=∠MAQ，∴△NQC∽△MQA，同理得：△DPC∽△MPA，∵P、Q为对角线AC的三等分点，∴12CN CQ AM AQ ＝＝，21CP CD AP AM ＝＝， 设CN=x ，AM=1x ， ∴8221x ＝， 解得，x=1，∴CN=1，故答案为1．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握两角对应相等，两三角形相似的判定方法是关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19． (1) 1＜x ＜3或x ＜0；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将B(3，1)代入m y x=，将B(3，1)代入14y k x =+，即可求出解析式； 再根据图像直接写出不等式11m k x b x+＜的解集；（2）过A 作l ∥x 轴,过C 作CG ⊥l 于G ,过B 作BH ⊥l 于H, △AGC ∽△BHA, 设B （m, 3m ）、C （n, 3n ），根据对应线段成比例即可得出mn=－9，联立3y kx b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2230k x bx +-=，根据根与系数的关系得39mn k -==-，由此得出13k =为定值. 【详解】解：(1)将B(3，1)代入m y x =, ∴m=3, 3y x=, 将B(3，1)代入14y k x =+，∴1341k +=,11k =-,∴4y x =-+, ∴不等式11m k x b x+＜的解集为1＜x ＜3或x ＜0 (2)过A 作l ∥x 轴,过C 作CG ⊥l 于G ,过B 作BH ⊥l 于H,则△AGC ∽△BHA,设B （m, 3m ）、C （n, 3n），∵AG BH CG AH=，∴331313n mmn--=--，∴131113mn mn mn-⋅-=--⋅，∴3131mn=-，∴mn=－9，联立∴3y kx byx=+⎧⎪⎨=⎪⎩，∴2230k x bx+-=∴39mnk-==-，∴13k=为定值.【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，再根据反比例函数的性质进行求解.20．（1）△AFE. EF=BE+DF.（2）BF=DF-BE，理由见解析；（35【解析】试题分析：（1）先根据旋转得：90ADG A∠=∠=o，计算180FDG∠=︒，即点F D G、、共线，再根据SAS证明△AFE≌△AFG，得EF=FG，可得结论EF=DF+DG=DF+AE；（2）如图2，同理作辅助线：把△ABE绕点A逆时针旋转90o至△ADG，证明△EAF≌△GAF，得EF=FG，所以EF=DF−DG=DF−BE;（3）如图3，同理作辅助线：把△ABD绕点A逆时针旋转90o至△ACG，证明△AED≌△AEG，得DE EG=，先由勾股定理求EG的长，从而得结论．试题解析：(1)思路梳理：如图1,把△ABE绕点A逆时针旋转90o至△ADG，可使AB与AD重合，即AB=AD，由旋转得：∠ADG=∠A=90o，BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，∴∠FDG=∠ADF+∠ADG=90o+90o=180o，即点F. D. G共线，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90o，∵∠EAF=45o，∴904545BAE FAD∠+∠=-=o o o，∴45FAD DAG FAG∠+∠=∠=o，∴45EAF FAG∠=∠=o，在△AFE和△AFG中，∵AE AGEAF FAG AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴EF=FG，∴EF=DF+DG=DF+AE；故答案为：△AFE，EF=DF+AE；(2)类比引申：如图2，EF=DF−BE，理由是：把△ABE绕点A逆时针旋转90o至△ADG，可使AB与AD重合，则G在DC上，由旋转得：BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，∵∠BAD=90o，∴∠BAE+∠BAG=90o，∵∠EAF=45o，∴∠FAG=90o−45o=45o，∴∠EAF=∠FAG=45o，在△EAF和△GAF中，∵AE AGEAF GAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF≌△GAF(SAS)，∴EF=FG，∴EF=DF−DG=DF−BE;(3)联想拓展：如图3,把△ABD绕点A逆时针旋转90o至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，由旋转得：AD=AG，∠BAD=∠CAG，BD=CG，∵∠BAC=90o，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45o，∴∠ACG=∠B=45o，∴∠BCG=∠ACB+∠ACG=45o+45o=90o，∵EC=2，CG=BD=1，由勾股定理得：22125EG=+，∵∠BAD=∠CAG,∠BAC=90o，∴∠DAG=90o，∵∠BAD+∠EAC=45o，∴∠CAG+∠EAC=45o=∠EAG，∴∠DAE=45o，∴∠DAE=∠EAG=45o，∵AE=AE，∴△AED≌△AEG，∴DE EG==21．（1）见解析；（2）4.1【解析】【详解】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=10°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=10°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=10°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）∵∠B=10°，AB=12，BM=5，∴=13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=12AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴BM AM AF AE=，即513 6.5AE=，∴AE=16.1，∴DE=AE-AD=4.1．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质．22．解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠BAC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．，∴∠DAC=∠OCA．∴OC∥AD．∵AD⊥CD，∴OC⊥CD．∵OC是⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．（2）如图，连接EB，由AB为直径，得到∠AEB=90°，∴EB∥CD，F为EB的中点．∴OF为△ABE的中位线．∴OF=12AE=12，即CF=DE=12．在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=32．∵E是»AC的中点，∴»AE=»EC，∴AE=EC．∴S弓形AE=S弓形EC．∴S阴影=S△DEC=12×12×32=38．【解析】（1）CD与圆O相切，理由为：由AC为角平分线得到一对角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD 垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得证．（2）根据E为弧AC的中点，得到弧AE=弧EC，利用等弧对等弦得到AE=EC，可得出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积，求出即可．考点：角平分线定义，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理，扇形面积的计算，转换思想的应用．23．见解析【解析】【分析】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AC的交点即为所求作的点．【详解】解：如图，点E即为所求作的点．【点睛】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作DE∥BC并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．24．3.05米【解析】【分析】延长FE交CB的延长线于M, 过A作AG⊥FM于G, 解直角三角形即可得到正确结论．【详解】解：如图：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB=，∴AB=BC•tan60°=1.5×1.73=2.595，∴GM=AB=2.595，在Rt△AGF中，∵∠FAG=∠FHE=45°，sin∠FAG=，∴sin45°=，∴FG=1.76，∴DM=FG+GM﹣DF≈3.05米．答：篮框D到地面的距离是3.05米．【点睛】本题主要考查直角三角形和三角函数，构造合适的辅助线是本题解题的关键．25．（1）y=-x2+2x+2；（2）详见解析；（3）点P的坐标为（2，1）、（2，1）、（6，-3）或（6，-3）．【解析】【分析】（1）根据题意得出方程组，求出b、c的值，即可求出答案；（2）求出B、C的坐标，根据点的坐标求出AB、BC、AC的值，根据勾股定理的逆定理求出即可；（3）分为两种情况，画出图形，根据相似三角形的判定和性质求出PE的长，即可得出答案．【详解】解：（1）由题意得：()121931bb c⎧-=⎪⨯-⎨⎪-++=-⎩，解得：22bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+2；（2）∵由y=-x2+2x+2得：当x=0时，y=2，∴B（0，2），由y=-（x-1）2+3得：C（1，3），∵A（3，-1），∴，，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）①如图，当点Q在线段AP上时，过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D ∵S△OPA=2S△OQA，∴PA=2AQ，∴PQ=AQ∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD，∴PEAD=PQAQ=1，∴PE=AD=1∵由-x2+2x+2=1得：x=12∴P（2，1）或（2，1），②如图，当点Q在PA延长线上时，过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D ∵S△OPA=2S△OQA，∴PA=2AQ，∴PQ=3AQ∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD，∴PEAD=PQAQ=3，∴PE=3AD=3∵由-x2+2x+2=-3得：x=1±6，∴P（6，-3），或（6，-3），综上可知：点P的坐标为（2，1）、（2，1）、（6，-3）或（6，-3）．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．26．（1）50；4；5；画图见解析；（2）144°；（3）64【解析】【分析】（1）根据统计图可知，课外阅读达3小时的共10人，占总人数的20%，由此可得出总人数；求出课外阅读时间4小时与6小时男生的人数，再根据中位数与众数的定义即可得出结论；根据求出的人数补全条形统计图即可；（2）求出课外阅读时间为5小时的人数，再求出其人数与总人数的比值即可得出扇形的圆心角度数；（3）求出总人数与课外阅读时间为6小时的学生人数的百分比的积即可．【详解】解：（1）∵课外阅读达3小时的共10人，占总人数的20%，∴1020%=50（人）．∵课外阅读4小时的人数是32%，∴50×32%=16（人），∴男生人数=16﹣8=8（人）；∴课外阅读6小时的人数=50﹣6﹣4﹣8﹣8﹣8﹣12﹣3=1（人），∴课外阅读3小时的是10人，4小时的是16人，5小时的是20人，6小时的是4人，∴中位数是4小时，众数是5小时．补全图形如图所示．故答案为50，4，5；（2）∵课外阅读5小时的人数是20人，∴2050×360°=144°．故答案为144°；（3）∵课外阅读6小时的人数是4人，∴800×450=64（人）．答：九年级一周课外阅读时间为6小时的学生大约有64人．【点睛】本题考查了统计图与中位数、众数的知识点，解题的关键是熟练的掌握中位数与众数的定义与根据题意作图.27．2x =-【解析】【分析】先去分母，把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程，再验根.【详解】解：去分母得：()2x x 33x 9+-=- 解得：x 2=-检验：把x 2=-代入2x 950-=-≠所以：方程的解为x 2=-【点睛】本题考核知识点：解方式方程. 解题关键点：去分母，得到一元一次方程，.验根是要点.。
2019-2020学年天津市河东区高一(下)期中数学试卷
等腰直角三角形直角边长为 ，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何体，则该几何体的体积为________．
【答案】
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．
【解答】
如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．
＝
＝ ．
命题的真假判断与应用
【解析】
利用棱柱的定义判断①的正误；利用正棱锥的定义判断②；棱台的侧棱所在的直线必交于一点，圆台的母线所在的直线也交于一点；判断③的正误；正方形的直观图判断④的正误即可．
【解答】
①因为底面最少为三角形，故 个侧面， 个底面，共 个面，故①对；
②正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，射影侧面都是全等的等腰三角形；②正确；
8.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，则角 为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
在 中利用正弦定理求出角 ，再利用三角形内角和即可求出角 ．
【解答】
在 中， ，
由正弦定理得： ，即
∴ ，
∵ ，∴ ，又 ，
∴ ＝ 或 ，
∴ ＝ 或 ，
9.等边三角形 的边长为 ，则
∵ ，
由正弦定理得： ＝ ，
又∵ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ＝ ，
又∵ ，
∴ ，又 ＝ ， ＝ ，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ．
已知 ， 是夹角为 的单位向量，且 ， ．
求 ；
2019-2020学年天津市河东区高一下学期期中数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年天津市河东区高一下学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．复数52i-（i 为虚数单位）的共轭复数是（） A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i -- 答案：A利用复数代数形式的乘除运算化简即可．解：()()()5252222i z i i i i +===+--+， 则2z i =-．故选A ．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．下列各式化简正确的是（）A ．0OA OD DA →→→→-+=B ．AB MB BO OM AB →→→→→+++=C ．0AB CB AC →→→→-+=D ．00AB →⋅= 答案：B直接根据向量的加减运算，逐个进行判断即可求解结论．解：解：因为2OA OD DA DA →→→→-+=，故A 错误；Q 0AB MB BO OM AB MB BM AB AB →→→→→→→→→→+++=++=+=，故B 正确； 2AB CB AC AB BC AC AC →→→→→→→-+=++=Q ，故C 错误；00AB →→=Q g ，故D 错误.故选：B ．点评：本题考查平面向量的加减法基本运算，属于基础题．3．已知向量()1,2a =r ，()3,1b =r ，则b a -=r r （）A ．()2,1-B ．()2,1-C ．()2,0D ．()4,3答案：B 试题分析：由题意得()()()3,11,22,1b a -=-=-r r ，故选B.【考点】本题考查平面向量的坐标运算，属于容易题.4．下列命题中正确的有（）①一个棱柱至少有5个平面；②正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；③有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台；④正方形的直观图是正方形；A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B利用棱柱的定义判断①的正误；利用正棱锥的定义判断②；棱台的侧棱所在的直线必交于一点判断③的正误；正方形的直观图判断④的正误即可．解：解：①因为底面最少为三角形，故3个侧面，2个底面，共5个面，故①正确； ②正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心， 射影侧面都是全等的等腰三角形，故②正确；③不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点；④正方形的直观图是平行四边形，所以④不正确；正确的命题只有①②．故选：B ．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，涉及棱锥、棱柱、棱台以及直观图的基本知识，考查对概念的理解． 5．已知5AB a b =+u u u v v v ，28BC a b =-+u u u v v v ，()3CD a b =-u u u v v v ，则（） A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案：A根据平面向量的线性运算与共线定理，证明AB u u u r 与BD u u u r 共线，即可得出结论．解：解：Q 5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-uu ur r r ∴5=+=+u u u r u u u r u u u r r r BD BC CD a b ，∴AB BD =u u u r u u u r ，∴AB u u u r 与BD u u u r 共线，A ∴、B 、D 三点共线．故选：A ．点评：本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，属于基础题．6．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos ,2,35ABC A b S ===△，则边a 为（）A ．203B ．5CD 答案：C 由4cos 5A =，得到3sin 5A =，再由三角形ABC V 的面积求得c 的值，再利用余弦定理即可求得a 的值．解： 解：由题可知，4cos ,2,35ABC A b S ===△， 4cos 5A =Q ，3sin 5A ∴=， 又1sin 32ABC S bc A ==Q g △， 5c ∴=，2224cos 25b c a A bc +-==Q ， 即：242542255a +-=⨯⨯，解得：a =，故选：C ．点评：本题考查了三角形的面积公式的应用，以及利用余弦定理解三角形，考查计算能力．7．在ABC V 中，向量AB →和AC →满足()0AB AC BC →→→+⋅=，则ABC V 为（） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．三边不等的三角形答案：C根据ABC V 中，BC AC AB →→→=-，代入已知式子中，化简得AB AC =，所以ABC V 为等腰三角形．解：解：ABC V 中，BC AC AB →→→=-， Q ()0AB AC BC →→→+=g ， ∴()()0AB AC AC AB →→→→+-=， ∴22A AC AB AC B →→→→=⇒=， ABC ∴V 为等腰三角形．故选：C ．点评：本题考查三角形形状的判断，以及平面向量的线性运算的应用．8．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，302B b c =︒==，，则角A 为（）A ．15︒B ．45︒C ．15︒或105︒D ．45︒或135︒ 答案：C在ABC V 中利用正弦定理求出角C ，再利用三角形内角和，即可求出角A ． 解：解：在ABC V 中，30,2B b c =︒==，由正弦定理得：sin sin b c B C=2sin C =，sin C ∴= c b >Q ，C B ∴>，又(0,)C π∈，45C ∴=︒或135︒，105A ∴=︒或15︒.故选：C ．点评：本题考查了正弦定理解三角形，考查了计算能力．9．已知等边ABC V 的边长为1，则BC CA CA AB AB BC →→→→→→⋅+⋅+⋅=（）A ．3B ．3-C ．32D ．32- 答案：D利用向量的数量积公式解答，注意向量的夹角与三角形的内角的关系．解：解：因为三角形ABC 是等边三角形，边长为1，各内角为60︒，所以3311cos1202BC CA CA AB AB BC →→→→→→++=⨯⨯⨯︒=-g g g . 故选：D ．点评：本题考查了向量的数量积公式的运用；需要注意的是：向量的夹角与三角形内角相等或者互补．10．如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果正方体的棱长是60cm ，那么石凳的体积是（）A ．3144000cmB ．3180000cmC ．336000cmD ．372000cm答案：B 由已知求得正方体的体积，减去八个正三棱锥的体积得答案．解：解：由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，体积是：31183030303600032cm ⨯⨯⨯⨯⨯=， 正方体的体积为：3606060216000cm ⨯⨯=，则石凳的体积是：321600036000180000cm -=．故选：B ．。
天津市河东区2019-2020学年高一下期末统考数学试题含解析
A．31B．32C．63D．64
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意求出 和 的值，再计算 即可.
【详解】
有题知： ，解得 ，
.
故选：C
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质以及前 项和的求法，属于简单题.
3．要得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝cos2 的图象()
【详解】
由 且 ，可得 ，
∴ ，且 ， ，
由此可得①当a=0时， 不成立，
②由 ， ，则 成立，
③由 ， ，可得 成立，
④由 ，若 ，则 不成立，
因此，一定成立的是②③，
故选：C.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质的应用，属于基础题.
12．函数 的大致图像是下列哪个选项（）
A． B．
C． D．
【答案】B
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意知，函数 为奇函数，故排除B；当 时， ，故排除D；当 时， ，故排除A．故选C．
点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
【详解】
因为 ,所以 ,则 ,
所以 ,
则 ,
故选:A
【点睛】
本题考查向量的模,考查向量垂直的数量积表示,考查运算能力
11．若 且 ，则下列四个不等式：① ，② ，③ ，④ 中，一定成立的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．①②③④
【答案】C
天津市河东区2019-2020学年数学高二第二学期期末统考试题含解析
天津市河东区2019-2020学年数学高二第二学期期末统考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A ．120种 B ．180种 C ．240种 D ．480种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分两步进行分析：先将5项工作分成4组，再将分好的4组进行全排，对应4名志愿者，分别求出每一步的情况数，由分步计数原理计算即可得到答案。
【详解】根据题意，分2步进行分析：（1）先将5项工作分成4组，有2510C =种分组方法；（2）将分好的4组进行全排，对应4名志愿者，有4424A =种情况；分步计数原理可得：1024240⨯=种不同的安排方式。
故答案选C 【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，注意题目中“每人至少完成1项，每项工作由1人完成”的要求，属于基础题。
2．以下四个命题中是真命题的是 ( )A ．对分类变量x 与y 的随机变量2k 观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大B ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C ．若数据123,,,...n x x x x 的方差为1，则1232,2,2,...2n x x x x 的方差为2D ．在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好 【答案】D 【解析】 【分析】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，即可得到答案. 【详解】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，选项D 是正确的． 【点睛】本题主要考查了线性相指数的知识及其应用，其中解答中熟记相关指数的概念和相关指数与相关性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3．从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有( ) A ．80种 B ．100种 C ．120种 D ．240种【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由题意知本题要求至少有两位男生，且至少有1位女生，它包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生两种情况，写出当选到的是两个男生，两个女生时和当选到的是三个男生，一个女生时的结果数，根据分类计数原理得到结果．解：∵至少有两位男生，且至少有1位女生包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生． 当选到的是两个男生，两个女生时共有C 52C 42=60种结果， 当选到的是三个男生，一个女生时共有C 53C 41=40种结果， 根据分类计数原理知共有60+40=100种结果， 故选B ．4．已知命题2:()4(1)3p f x ax a x =++-在[3,)+∞上递减；命题:q a m ≤，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则m 的取值范围为（ ） A ．25m <-B ．3m ≤-C ．25m >-D ．65m ≥-【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得当0a =时不成立，当0a ≠时，满足()04132a a a <⎧⎪+⎨-≤⎪⎩求出a 的范围，从而求出p ⌝，再求出q ⌝，根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即可求解. 【详解】由命题2:()4(1)3p f x ax a x =++-在[3,)+∞上递减， 当0a =时，()43f x x =-，不满足题意，当0a ≠时，则()0241532a a a a <⎧⎪⇒≤-+⎨-≤⎪⎩，所以p ⌝：25a >-， 由命题:q a m ≤，则q ⌝：a m >， 由因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， 所以25m <-. 故选：A 【点睛】本题考查了由充分不必要条件求参数的取值范围以及考查了二次函数的图像与性质，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.5．数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，112n n n nb a a b ++-==，n *∈N ，则数列{}na b 的前n 项和为（ ）． A ．()14413n -- B ．()4413n- C ．()11413n -- D ．()1413n- 【答案】D 【解析】 【分析】由题意是数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前n 项和公式即可求得. 【详解】 因为112n n n nb a a b ++-==，111a b ==，所以数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列， 因此()12121n a n n =+-=-，11122n n n b --=⨯=，数列{}n a b 的前n 项和为：1213521n a a a n b b b b b b b -+++=++++02422222n =++++()14141143n n -==--. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.6．给出下列四个命题，其中真命题的个数是（ ） ①回归直线恒过样本中心点；②“”是“”的必要不充分条件；③“，使得”的否定是“对，均有”；④“命题”为真命题，则“命题”也是真命题.A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B 【解析】归直线恒过样本中心点；正确②“”是“”的充分不必要条件；不正确 ③，使得”的否定是“对，均有”；不正确④“命题”为真命题，则“命题”当都真时是假命题. 不正确7．下列关于正态分布2(,)(0)N μσσ>的命题： ①正态曲线关于y 轴对称；②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”； ③设随机变量~(2,4)X N ，则1()2D X 的值等于2；④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移. 其中正确的是（ ） A ．①② B ．③④C ．②④D ．①④【答案】C 【解析】分析：根据正态分布的定义，及正态分布与各参数的关系结合正态曲线的对称性，逐一分析四个命题的真假，可得答案．详解：①正态曲线关于x μ=轴对称，故①不正确，②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”；正确； ③设随机变量()~2,4X N ，则12D X ⎛⎫⎪⎝⎭的值等于1；故③不正确； ④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移.正确. 故选C.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了正态分布及正态曲线，熟练掌握正态分布的相关概念是解答的关键．8．已知集合{}21,A x x =+，{}1,2,3B =，且A B ⊆，则实数x 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．3D ．4【答案】B【解析】 【分析】根据已知，将选项代入验证即可. 【详解】由A B ⊆，知21x B +∈且x B ∈， 经检验1x =符合题意，所以1x =. 故选：B 【点睛】本题考查集合间的关系，要注意特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题.9．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】①假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故甲说的是假话；②假定乙说的是真话，则丁说“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故乙说的是假话；③假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故丙说的是假话；综上可得，丁说的真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，所以甲负主要责任，故选A.10．若函数()2log 3,02,0x x x x f x x -+->⎧=⎨<⎩，则()()3f f =（）A ．13B ．32C ．52D ．3【答案】A 【解析】 【分析】首先计算()3f ，然后再计算()()3f f 的值.【详解】()223log 333log 30f =-+-=-<,()()()2log 3213log 323f f f -=-==.故选A. 【点睛】本题考查了分段函数求值，属于计算题型. 11．若集合{}A x R ==∈，{}1,B m =，若A B B ⋃=，则m 的值为（ ）A ．2B ．1-C ．1-或2D或2【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合A ，由A B B ⋃=，得出A B ⊆，于此可得知实数m 的值. 【详解】=22x x =-，得220x x --=，由于0x ≥，2x ∴=，则{}2A =，A B B =，A B ∴⊆，2m ∴=，故选：A.【点睛】本题考查集合间的包含关系，利用包含关系求参数的值，解本题的关键就是将集合表示出来，考查计算能力，属于基础题。
2020-2021学年天津市河东区高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年天津市河东区高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100,200,300,400件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丁种型号的产品中抽取()件．A. 24B. 18C. 12D. 62.下列事件中，随机事件的个数是()①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④x∈R，则|x|的值不小于0．A. 1B. 2C. 3D. 43.已知m，n是两条不同直线α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A. 若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B. 若m，n平行于同一平面，则m与n平行C. 若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面D. 若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线4.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，则二面角B−AC−P的平面角是()A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°5.在5盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为()A. 13B. 23C. 710D. 156.如图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的统计图，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，下列叙述不正确的是()A. 2018年3月的销售任务是400台B. 2018年月销售任务的平均值不超过600台C. 2018年总销售量为4870台D. 2018年月销售量最大的是6月份7.在空间四边形ABCD中，若AB=BC，AD=CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是()A. 平面ABD⊥平面BDCB. 平面ABC⊥平面ABDC. 平面ABC⊥平面ADCD. 平面ABC⊥平面BED8.三棱锥S−ABC中，SA⊥底面ABC，SA=4，AB=3，D为AB的中点，∠ABC=90°，则点D到面SBC的距离等于()A. 125B. 95C. 65D. 35二、单空题（本大题共6小题，共24.0分）9.某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的20%分位数为______．分数54321人数(单位：人)3121310.掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于______ ．11.如图，α∩β=CD，α∩γ=EF，β∩γ=AB，AB//α，则CD与EF的位置关系为______．12.A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，则A或B在边上的概率为______．13.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为______ .(用“>”连接)14.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=√2，现有下列结2论：①AC⊥BE；②平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF；③异面直线AE，BF所成的角为定值；④三棱锥A−BEF的体积为定值．其中错误结论的是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）15.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=9，BC=12，AB=15，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1//平面CDB1．16.据平安保险公司统计，某地车主购买车损险的概率为0.5，购买第三者人身安全险的概率为0.6.购买两种保险相互独立，各车主间相互独立．①求一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率．②求一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率．17.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100)作为样本(样本容量为n)进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50,60)，[90,100]的频数分别为8，2．(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；(2)估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．18.某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；(Ⅱ)从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PDC，AD//BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．(Ⅰ)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(Ⅱ)求证：PD⊥平面PBC；(Ⅲ)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查应从丁种型号的产品中抽取的件数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．利用分层抽样的性质直接求解．【解答】解：某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，300，400件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丁种型号的产品中抽取：=24(件)，60×400100+200+300+400故选：A．2.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析4个事件；①2022年8月18日，北京市不下雨，是随机事件；②在标准大气压下，水在4℃时结冰，是不可能事件；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，是随机事件；④x∈R，则|x|的值不小于0，是必然事件；则其中是随机事件的有2个；故选：B．根据题意，依次分析4个事件是不是随机事件，综合可得答案．本题考查随机事件的定义，注意随机事件的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β平行或相交，不正确；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行、相交或异面，不正确；对于C，根据垂直与同一平面的两条直线平行，可知C正确；对于D，若α，β不平行，则在α内存在与β平行的直线，与交线平行即可，不正确，故选：C．对4个选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查空间的线面位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力．4.【答案】A【解析】解：∵PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB，∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，∵PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAC，即二面角B−AC−P为直二面角，则二面角B−AC−P的大小为90°，故选：A．根据面面垂直的判定定理证明二面角B−AC−P是直二面角即可．本题主要考查二面角的求解，根据面面垂直的定义，判断二面角是直二面角是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】C【解析】解：设5盒酸奶分别为A1，A2，A3，B1，B2，其中保质期内的为A1，A2，A3，过了保质期为B1，B2，从5盒酸奶中，随机抽取2盒，有(A1,A2)，(A1,A3)，(A2,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)共10种，其中取到的酸奶中有已过保质期，有(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)共7种，．故所求的概率P=710故选：C．根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．本题主要考查古典概型的概率公式，以及列举法，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：对于A.由图中的数据，2018年3月的销售任务是400台，A正确．(100+200+3×300+3×300+500+对于B.2018年月销售任务的平均值为112700+800+1000)<600，B正确．对于C.2018年总销售量=300×50%+200×100%+400×120%+500×110%+ 800×100%+1000×70%+700×80%+400×90%+300×150%+400×90%+ 100×80%+300×60%=4870台，C正确，对于D.2018年月销售量5月份是800台，6月份是1000×70%=700台，因此2018年月销售量最大的是5月份，D错误；故选：D．根据题意，结合统计图，依次判断各选项即可．本题考查了统计图的识别，注意从折线图分析数据，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵AB=BC，AD=CD，E为对角线AC的中点，∴BE⊥AC，DE⊥AC，∵BE∩DE=E，∴AC⊥平面BED，∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BED，故选：D．根据面面垂直的判定定理进行证明即可．本题主要考查空间面面垂直的判断，利用面面垂直的判定定理是解决本题的关键，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵SA⊥底面ABC，SA=4，AB=3，D为AB的中点，∠ABC=90°，∴BC⊥面SAB，∴面SBC⊥面SAB，在面SAB中，作DE⊥SB，则DE⊥面SBC，DE为所求．由△BDE∽△BSA，得DESA =BDBS，即DE4=325，解得DE=65，故选：C．先由面面垂直的性质找出点D到面SBC的距离DE，再利用三角形相似，对应边成比例求出DE的值．本题考查线面垂直、面面垂直性质的应用，属于中档题．9.【答案】1【解析】解：根据题意，因为10×20%=2，由表格中的数据可得，这10人成绩的20%分位数为1+12=1．故答案为：1．根据题意，由分位数的定义直接求解即可．本题考查分位数的定义，解题的关键是掌握分位数的求解方法，属于基础题．10.【答案】536【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是列举出满足条件的事件数，列举时要做到不重不漏，本题是一个基础题，根据试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于8，有(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)共5种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于8，有(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)共5种结果，∴要求的概率是P=536，故答案为：536．11.【答案】CD//EF【解析】解：∵AB//平面α，AB⊂β，α∩β=CD，∴AB//CD，∵AB//平面α，AB⊂γ，α∩γ=EF，∴AB//EF，∴CD//EF．故答案为：CD//EF．由AB//平面α，推导出AB//CD，由AB//平面α，推导出AB//EF，由此得到CD//EF．本题考查线线关系的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．12.【答案】56【解析】解：A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，基本事件总数n=A44=24，A或B在边上包含的基本事件个数m=A21A33+A21A33−A22A22=20，∴A或B在边上的概率为p=mn =2024=56．故答案为：56．基本事件总数n=A44=24，A或B在边上包含的基本事件个数m=A21A33+A21A33−A22A22=20，由此能求出A或B在边上的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.【答案】s1>s2>s3【解析】解：根据三个频率分步直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差小，而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差最小，总上可知s1>s2>s3，故答案为：s1>s2>s3，第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字数据较分散，各个段内分布均匀，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端最分散，而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，是集中，由此得到结果．本题考查频率分步直方图，考查三组数据的标准差，考查标准差的意义，是比较几组数据的波动大小的量，考查读图，本题是一个基础题．14.【答案】③【解析】解：对于①，∵AC⊥平面BDD1B1，BE⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BE，故①正确；对于②，平面A1B1C1D1//平面ABCD，设平面AEF∩平面ABCD=l，平面AEF∩平面A1B1C1D1=EF，故l//EF，故②正确；对于③，∵当点E在D1处，F为D1B1的中点时，由BC1//AD1可知异面直线AE，BF所成的角是∠FBC1；当E在上底面的中心时，F在B1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠EAA1，两个角不相等，从而异面直线AE，BF所成的角不一定为定值，故③错误；对于④，∵A到平面BDD1B1的距离d=12AC=√22是定值，S△BEF=12×√22×1=√24是定值，∴三棱锥A−BEF的体积为定值，故④正确．故答案为：③．对于①，由AC⊥平面BDD1B1，得AC⊥BE；对于②，由面面平行的性质定理可证得平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF；对于③，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值；对于④，A 到平面BDD 1B 1的距离是定值，S △BEF 是定值，从而可得三棱锥A −BEF 的体积为定值．本题考查命题真假的判定，棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面的位置关系作出正确判断，属于中档题．15.【答案】解：(1)证明：因为AB 2=AC 2+BC 2，所以∠ACB =90°，AC ⊥BC ，又CC 1⊥底面ABC ，所以CC 1⊥AC ，CC 1∩BC =C ，所以AC ⊥平面BB 1C 1C .因为B 1C ⊂平面BB 1C 1C ，所以AC ⊥B 1C .(2)证明：连接BC 1交B 1C 于点O ，连接OD ．因为四边形BB 1C 1C 为矩形，所以点O 为BC 1的中点．又因为点D 为AB 的中点，所以OD//AC 1．因为OD ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，所以AC 1//平面CDB 1．【解析】(1)只需证明AC ⊥平面BB 1C 1C .即可证明AC ⊥B 1C .(2)连接BC 1交B 1C 于点O ，连接OD.即可得OD//AC 1.从而证明AC 1//平面CDB 1． 本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，考查了逻辑推理能力，属于中档题．16.【答案】解：记A 表示事件“购买车损险”，B 表示事件“购买第三者人身安全险”， 则由题意，得A 与B ，A 与B −，A −与B ，B −与A −都是相互独立事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6． (1)记C 表示事件“同时购买两种保险”，则C =AB ，所以一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率为：P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3．(2)记D 表示事件“购买第三者人身安全险但不购买车损险”，则D =A −B ，所以一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率：P(D)=P(A −B)=P(A −)P(B)=(1−0.5)×0.6=0.3．【解析】记A表示事件“购买车损险”，B表示事件“购买第三者人身安全险”，则由题意，得A与B，A与B−，A−与B，B−与A−都是相互独立事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6．(1)记C表示事件“同时购买两种保险”，则C=AB，利用相互独立事件概率乘法公式能求出一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率．(2)记D表示事件“购买第三者人身安全险但不购买车损险”，则D=A−B，利用相互独立事件概率乘法公式能求出一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由频率分布直方图得[50,60)的频率为0.016×10=0.16，∵得分在[50,60)，[90,100]的频数分别为8，2．∴n=80.016×10=50，y=2n×10=2500=0.004，∴x=[1−(0.016+0.04+0.01+0.004)×10]÷10=0.03．(2)估计本次竞赛学生成绩的众数为：70+802=75，∵[50,70)的频率为：(0.016+0.03)×10=0.46，[70,80)的频率为：0.04×10=0.4，∴中位数为：70+0.5−0.460.4×10=71，平均数为：55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6．【解析】(1)由频率分布直方图求出[50,60)的频率为0.16，根据得分在[50,60)，[90,100]的频数分别为8，2.能求出n，y，从而能求出x．(2)由频率分布直方图能估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．本题考查样本容量、频率、众数、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为20×0.04×5=4(人)，参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为20×0.02×5=2(人)．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6(人)．(Ⅱ)设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由(Ⅰ)可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95,100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率P(A)=715【解析】(I)利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到答案；(II)先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．19.【答案】(Ⅰ)解：如图，由已知AD//BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD，在Rt△PDA中，由已知，得AP=√AD2+PD2=√5，故cos∠DAP=ADAP =√55，所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为√55；(Ⅱ)证明：因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD，又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，所以PD⊥平面PBC；(Ⅲ)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由于AD//BC，DF//AB，所以四边形ABFD为平行四边形，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC−BF=2，因为AD⊥平面PDC，DC⊂平面PDC，∴AD⊥DC，又AD//BC，故BC⊥DC，∴DF=√DC2+CF2=2√5，在Rt△DPF中，可得sin∠DFP=PDDF =√55．所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为√55．【解析】本题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直的判定、直线与平面所成的角，是拔高题．(Ⅰ)由已知AD//BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值；(Ⅱ)由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC//AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC；(Ⅲ)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．。
2019学年天津市高一下期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年天津市高一下期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、选择题1. 对于任意实数，下列结论中正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．①______________________________________ B．②C．③_____________________________________ D．④2. 已知等比数列的前项和为，若，则公比为（） A． B． C．_____________________________________ D．3. 在中，若，则角为（）A． B． C．或___________________________________ D．或4. 在中，若，则最大角的余弦是（）A． B．_____________________________________ C． D．5. 若，两个等差数列与的公差分别为，则等于（）A．____________________ B．_________________________________ C．_________________________________ D．6. 在中，若，则的形状是（）A．直角三角形______________ B．等腰或直角三角形___________ C．等腰直角三角形___________ D．等腰三角形7. 在数列中，，，则（）A．______________________________ B．____________________________ C．____________________________D．8. 等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（）A．_____________________________________ B．C． D．9. 给出集合序列设为第个集合中元素之和，则（）A． B． C．___________________________________ D．10. 已知数列为等差数列，且，设，当数列的前项和最小时，则的值为（）A．_____________________________________ B．C．或___________________________________ D．或二、填空题11. 已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.12. 关于的一元二次不等式的解集是，则______.13. 在中，角所对的边分别为，若，且，则角的大小为_______.14. 不等式的解集为______.15. 在锐角中，角所对的边分别为，若，则的值是_______.16. 数列满足，记，若对任意恒成立，则正整数的最小值为_______.三、解答题17. 在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.18. 已知是正项数列的前项和，且 .（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.19. 已知数列的前项和为，若，且 . （1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为 .①求；②对于任意的及，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】。
2021-2022学年天津市河东区高一下学期期中考试数学试题(解析版)
天津市河东区2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内． 1．若复数z 满足(13)17z i i -=-，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限〖解 析〗(13)17z i i -=-，∴17(17)(13)22411213(13)(13)1055i i i i z i i i i --+-====---+， z ∴在复平面内对应的点112(,)55-位于第四象限． 〖答 案〗D2．有关向量a 和向量b ，下列四个说法中： ①若||0a =，则0a =；②若||||a b =，则a b =或a b =-； ③若//a b ，则||||a b =； ④若0a =，则0a -=． 其中的正确有( ) A ．1B ．2C ．3D ．4〖解 析〗因为0的模长为0，且方向是任意的，所以①④正确． 模长相等的两个向量，方向没有任何关系，故②错误． 平行向量．方向相同或相反，但是模长没有关系，故③错误． 〖答 案〗B3．在ABC ∆中，若7AB =，5AC =，120ACB ∠=︒，则(BC = )A ．B ．3C ．6D〖解 析〗在ABC ∆中，若7AB =，5AC =，120ACB ∠=︒， 由余弦定理有2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯∠， 21492525()2BC BC ∴=+-⨯⨯⨯-，25240BC BC ∴+-=，解得3BC =或8BC =-（舍去）， 〖答 案〗B4．ABC ∆中，三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin a B A =，cos 1a B c =+，则(A = ) A ．3πB ．512π C ．23π D ．34π 〖解 析〗由正弦定理及sin 2sin a B A =，得，2ab a =，2b =，又cos 1a B c =+，由余弦定理得：22212a c b a c ac+-⋅=+，即2222a c b c --=，由余弦定理得22221cos 222b c a c A bc bc +-==-=-，又(0,)A π∈，23A π∴=．〖答 案〗C5．棱锥的侧面和底面可以都是( ) A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形〖解 析〗由棱锥的定义可知，三棱锥的侧面和底面均是三角形． 〖答 案〗A6．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的表面积为( )A ．153πB ．160πC ．169πD ．360π〖解 析〗由题意，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 为直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C -补成四棱柱， 则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，132=， 则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积是24169R ππ=．〖答 案〗C 7．若复数1(2z bi b R =+∈，i 为虚数单位）满足z z b ⋅=-，其中z 为z 的共扼复数，则||12zi+的值为( ) ABC ．1 D〖解 析〗1(2z bi b R =+∈，i 为虚数单位），∴12z bi =-， ∴2111()()224z z bi bi b b ⋅=+-=+=-，解得12b =-，∴11||22||12|12|i z i i +===++=． 〖答 案〗D8．如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的值为( )A ．89B ．49C ．83D ．43〖解 析〗AP AB BP =+，13BP BD =，∴13AP AB BD =+，BD AD AB =-，23AD AC =，∴23BD AC AB =- ∴11222()33339AP AB BD AP AB AC AB AB AC =+==+-=+，AP AB AC λμ=+，23λ∴=，29μ=，则228399λμ+=+=． 〖答 案〗A二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分．请将〖答 案〗填在题中横线上． 9．设21(x i yi i +=+是虚数单位，x R ∈，)y R ∈，则||x yi += ． 〖解 析〗因为21x i yi +=+，所以1x =，2y =，则||x yi += 〖答10．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3．圆心角为43π的扇形，则该圆锥的高是 ． 〖解 析〗如图，设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为43π的扇形， 3l ∴=，∴4243r l πππ=⨯=，解得2r =，∴此圆锥的高为h =〖答11．在ABC ∆中，若面积2224b c a S +-=，则A ∠= ．〖解 析〗在ABC ∆中，若面积2224b c a S +-=，所以22212cos sin 244ABC b c a bc AS bc A ∆+-===， 整理得sin cos A A =，所以tan 1A =， 由于(0,)A π∈，故4A π=．〖答 案〗4π 12．已知向量(1,2)a =，(0,2)b =-，(1,)c λ=-，若(2)//a b c -，则实数λ= ． 〖解 析〗向量(1,2)a =，(0,2)b =-，(1,)c λ=-，∴2(2,6)a b -=，(2)//a b c -，∴261λ=-，解得3λ=-．∴实数3λ=-． 〖答 案〗3-13．在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则cos A = ． 〖解 析〗因为在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，所以由余弦定理可得3AB ， 所以AB BC =，即A C =，则2cos cos 3A C ==． 〖答 案〗2314．正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN 的最小值为 ．〖解 析〗如图，以O 为坐标原点，以过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以过O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立坐标系，则(2,2)B -，(2,2)C ，2(1)(2OP OB OC λλλ∴=+-=，2)(1)(2λ-+-，2)(2=，24)λ-，∴(1,12)OP λ=-即P 点坐标为(1,12)λ-，设(,2)M a -，则(,2)N a -，22a -，∴(1,23)PM a λ=--，(1,21)PN a λ=--+∴22(1)(1)(23)(21)1443PM PN a a a λλλλ=---+-+=-+--，当2a =±且41242λ-=-=⨯时，PM PN 有最小值7-． 〖答 案〗7-三、解答题：本大题共5小题，满分44分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程． 15．（8分）当实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i =++-是下列数？ （1）实数； （2）纯虚数．解：（1）由题意得10m -=，所以1m =；（2）由题意得10m +=且10m -≠，所以1m =-．16．（8分）设作用于同一点的三个力1F ，2F ，3F 处于平衡状态，若1||1F =，2||2F =，且1F 与2F 的夹角为23π，如图所示．（1）求3F 的大小；（2）求2F 与3F 的夹角．解：（1）作用于同一点的三个力1F ，2F ，3F 处于平衡状态，∴123F F F +=-，1||1F =，2||2F =，且1F 与2F 的夹角为23π，∴222312121214212()32F F F F F =++⋅=++⨯⨯⨯-=，∴3F（2）)作用于同一点的三个力1F ，2F ，3F 处于平衡状态， 123F F F ∴-=+，∴222123232F F F F F =++⋅，14322θ∴=++⨯，cos θ∴=，[0θ∈，]π，56πθ∴=． ∴2F 与3F 的夹角为56π． 17．（8分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a bc +=+，且8bc =． （1）求角A ； （2）求ABC ∆的面积．解：（1）由222b c a bc +=+，得222b c a bc +-=，可得2221cos 22b c a A bc +-==，又因为0A π<<，所以可得3A π=．（2）因为3A π=，8bc =，所以11sin 822ABC S bc A ∆==⨯=．18．（10分）已知等边三角形ABC 的边长为1，BC a =，CA b =，AB c =，那么 （1）求a b b c c a ⋅+⋅+⋅；（2）求12e c b =-+与232e c b =+的夹角．解：（1）等边三角形ABC 的边长为1，BC a =，CA b =，AB c =，∴1111()22a b ⋅=⨯⨯-=-，同理得12b c c a ⋅=⋅=-，∴32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-． （2）12e c b =-+，∴222114441472e c b c b =+-⋅=++⨯=，1||7e ∴=， 232e c b =+，∴222219412941272e c b c b =++⋅=+-⨯=，2||7e ∴=， 221217(2)(32)626222e e c b c b c b c b ⋅=-+⋅+=-+-⋅=-++=-， 71cos 2θ-∴==-，[0θ∈，]π，23πθ∴=， ∴12e c b =-+与232e c b =+的夹角为23π． 19．（10分）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量()m b a c =++，(3,)n c b a c =-+，且//m n ．（1）求A 的值；（2）若3a =，求ABC ∆周长的取值范围．解：（1）因为//m n ，所以()()30b c a b c a bc +++--=，所以22()3b c a bc +-=，所以222b c a bc +-=，所以2cos bc A bc =．1cos 2A =， 因为0A π<<，所以3A π=．（2）由正弦定理得sin sinb c B C ===所以b B =，)3c cB π==+，所以三角形的周长为333)33(sin )32b c B B B Bπ++=+++=+，13cos )36sin()26B B B π=++=++， 因为203B π<<，可得5666B πππ<+<，所以1sin()126B π<+，所以636sin()96B π<++，所以三角形的周长的取值范围为(6，9]．。
天津市河东区高一数学下学期期中试题新人教A版
河东区2012-2013学年度第二学期高一年级期中质量检测数学试卷⑤（AB 卷）A 、B 、C 、D 、 1、函数2()21210f x x x =-+A 、[)5,+∞B 、()(),15,-∞+∞C 、(][),15,-∞+∞D 、[]1,52、在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ,若2222a c b ac +-=，则B ∠为A 、60B 、45135或C 、135D 、453、满足线性约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩的目标函数z=x-2y 的最小值为A 、0B 、-1C 、2D 、-3 4、已知等比数列{}n a 中，2435460,225n a a a a a a a >++=则35a a +的值为 A 、5 B 、10 C 、1 5 D 、20 5、下列命题中，错误的是A 、若,a b c d ><，则a c b d ->-B 、若0,0a b c d >><<，则ac bd <C 、若a b >33a b >、若a b >，则2211a b< 6、已知等差数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和，且3630,100S S ==，则9S 的值为 A 、260 B 、130 C 、1 70 D 、2 1 07、在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若2cos a b C =，这个三角形一定是A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰三角形或直角三角形 8、已知0,0,231x y x y >>+=，则48xy+的最小值为A 、8B 、6 C、、A 、 B 、 C 、 D 、9、河东区近几年来区经济总产值逐年递增，2010年经济总产值为a 亿元，2012年经济总产值为a+2b 亿元（其中a>b>0）,则河东区在2010年到2012年两年的平均增长率为A 、b a b + B、b a D10、（A 卷）在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若2sin sin sin A B C =，则下列说法正确的是A 、,,a b c 三边成等比数列B 、,,a b c 三边成等差数列C 、,,a c b 三边成等比数列D 、,,a c b 三边成等差数列10、（B 卷）在△ABC 中，,,A B C ∠∠所对的边分别为,,a b c ，若确cos 2cos cos()1B B A C ++-=，则下列说法正确的是( )A 、,,a b c 三边成等比数列B 、,,a b c 三边成等差数列C 、,,a c b 三边成等比数列D 、,,a c b 三边成等差数列二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，满分20分．请将答案填在题中横线上． 11、已知等差数列{}n a 中，12366,8a a a a ++==，则4a =___________.12、满足线性约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≥⎩的目标函数z=3x+ 2y 的最大值为_____________.13、已知0,0,24x y x y >>+=，则21x y+的最小值为______________. 14、（A 卷）在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c，若1cos ,3A a ==32bc =，则a b +=____________. （B 卷）在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c，若1cos ,3A a ==则bc 取最大值时a b +=____________.15、（A 卷）已知三个数11,1,m n 成等差数列；又三个数22,1,m n 成等比数列，则1m n+值为_______________.（B 卷）已知三个数,,a b c 成等比数列，三个数,,b m a 成等差数列和三个数,,b n c 成等 差数列，则a cm n+的值为_____________. 三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程．16．（本题满分6分）不等式23402x x x --<-的解集.17．（本题满分8分）已知等比数列{}n a 中，公比51421,15,6q a a a a >-=-=，求数列{}n a 的通项公式及前9项和．18．（本题满分8分）（A 卷）（A 卷）在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，,,a b c 三边的长度分别为3、5、7，求C ∠的大小及三角形的面积．18．（本题满分8分）（B卷）中国的某渔船在我国的钓鱼岛海域捕鱼，渔船从A点出发（如图1所示）朝南偏西30方向行驶同时在行驶线路上布置渔网，行驶5公里后到达预定点B转向第二预定点C，行驶7公里到达点C，再由C点行驶3公里回到起点A，求渔网围成三角形的面积以及点C 在起点A的什么方向上．19．（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为291n S n n =-++， (1)求这个数列的通项公式；(2)*12()n n T a a a n N =++⋅⋅⋅+∈，求11T20．（本题满分1 0分）在数列{}n a 中，*1121,()2nn na a a n N a +==∈+， (1)写出这个数列的前5项；(2)根据数列的前5项写出这个数列的一个通项公式（不需要证明）； (3)令14n n n a a b +=，证明：1212n b b b ++⋅⋅⋅+<成立。
天津市2019-2020年度高一下学期期中数学试卷C卷
天津市2019-2020年度高一下学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单项选择 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·渝中期末) sin（﹣690°）的值为（）A .B .C .D .2. （2分）已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示（）A . 向东南航行kmB . 向东南航行2kmC . 向东北航行kmD . 向东北航行2km3. （2分）函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·大庆月考) 设，且，则的范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高一下·海淀期中) 若角的终边经过点，且，则m的值为（）A . 5B . 4C . -4D . -56. （2分）已知sin θ＋cos θ＝，θ∈ ，则sin θ－cos θ的值为（）A . －B .C .D . －7. （2分）函数的最小正周期为（）A .B .C .D .8. （2分）(2014·浙江理) 为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y= cos3x的图象（）A . 向右平移个单位B . 向左平移个单位C . 向右平移个单位D . 向左平移个单位9. （2分）(2020·沈阳模拟) 如图，在平行四边形中，为的中点，F为的中点，若，则（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·茂名模拟) 已知函数f(x)=sin(wx+j) (w＞0, 0＜j＜ )，f(x1)=1，f(x2)=0，若|x1–x2|min= ，且f（） = ，则f(x)的单调递增区间为（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高一下·丽水期末) 已知函数的最小正周期为，将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A . 函数在上是增函数B . 函数的图象关于直线对称C . 函数是奇函数D . 函数的图象关于点中心对称12. （2分）函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程为（）A . x＝B . x＝－C . x＝D . x＝二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·武邑月考) 化简： ________．14. （1分）已知tanα= α∈（0，π），则sinα=________．15. （1分） (2019高一下·嘉定月考) 已知，，则 ________.16. （1分） (2019高一上·台州期中) 函数是定义在上的奇函数，已知时，恒有，且当时，有，若函数，则关于的方程在区间上的实根的个数是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）写出终边在直线y=﹣x上所有角的集合，并指出在所写集合中，最大的负角是多少？18. （10分） (2020高二下·顺德期中) 如图所示，是边长，的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子，M、N是AB上被切去的小正方形的两个顶点，设 .（1）将长方体盒子体积表示成的函数关系式，并求其定义域；（2）当为何值时，此长方体盒子体积最大？并求出最大体积.19. （10分） (2018高一下·汕头期末) 在中，角，，所对应的边分别为，，，且，，（1）求的值；（2）求的值．20. （10分） (2016高三上·朝阳期中) 已知函数f（x）=asinx﹣ cosx（a∈R）的图象经过点（，0）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[ ， ]，求f（x）的取值范围．21. （5分） (2019高一下·嘉定月考) 已知都是锐角，且当取得最大值时，求的值.22. （10分）已知a＞0，函数，当时，﹣5≤f（x）≤1（1）求常数a，b的值；（2）当时，求f（x）的最大值与最小值及相应的x的值．参考答案一、单项选择 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
天津市河东区2019-2020学年数学高二第二学期期末统考试题含解析
天津市河东区2019-2020学年数学高二第二学期期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知集合A ={}1,2,3,4， {}|2B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．{}01,2， B ．{}1,2C ．(0)2，D ．[0,2]【答案】B 【解析】 【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】 B ＝{x|x ≤2}； ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：B ． 【点睛】本题考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算． 2． “人机大战，柯洁哭了，机器赢了”，2017年5月27日，岁的世界围棋第一人柯洁不敌人工智能系统AlphaGo ，落泪离席.许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查.在参与调查的男性中，有人持反对意见，名女性中，有人持反对意见.再运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（ ） A ．分层抽样 B ．回归分析C ．独立性检验D ．频率分布直方图【答案】C 【解析】 【分析】根据“性别”以及“反对与支持”这两种要素，符合，从而可得出统计方法。
【详解】本题考查“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”这两个变量是否有关系，符合独立性检验的基本思想，因此，该题所选择的统计方法是独立性检验，故选：C. 【点睛】本题考查独立性检验适用的基本情形，熟悉独立性检验的基本思想是解本题的概念，考查对概念的理解，属于基础题。
3．已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，且()A B =R R U ð，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．{}2a a ≤B ．{}1a a <C ．{}2a a ≥ D ．{}2a a >【答案】C 【解析】 【分析】由已知求得{}12R B x x x =≤≥或ð，再由()R A B R =U ð，即可求得a 的范围，得到答案． 【详解】由题意，集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，可得{}12R B x x x =≤≥或ð， 又由()R A B R =U ð，所以2a ≥． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及利用集合的运算求解参数的范围，其中解答中熟记集合基本运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．展开式中的系数是（ ）A ．7B ．C ．21D ．【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二项展开式的通项公式，求出对应的值，再代入通项求系数.【详解】，当时，即时，，的系数是.【点睛】二项展开式中项的系数与二项式系数要注意区别.5．设函数()e x f x x a +-（a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线31010y x x =上存在点00()x y ，使得00()f y y =，则a 的取值范围是A ．1e[1]e-, B ．1e[e 1]e-+， C ．[1e 1]+， D ．[1,e]【答案】D 【解析】 【分析】法一：考查四个选项，发现有两个特殊值区分开了四个选项，0出现在了A ，B 两个选项的范围中，1e +出现在了B ，C 两个选项的范围中，故通过验证参数为0与1e +时是否符合题意判断出正确选项。
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2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题.1．复数52−i（i为复数单位）的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i2．下列各式化简正确的是（）A．OA→−OD→+DA→=0→B．AB→+MB→+BO→+OM→=AB→C．AB→−CB→+AC→=0→D．0⋅AB→=03．已知向量a→=(1，2)，b→=(3，1)，则b→−a→=（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，0）D．（4，3）4．下列命题中正确的有（）①一个棱柱至少有5个平面；②正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；③有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台；④正方形的直观图是正方形；A．1B．2C．3D．45．已知AB→=a→+5b→，BC→=−2a→+8b→，CD→=3(a→−b→)，且a→，b→不共线，则（）A．A．B．D三点共线B．A．B．C三点共线C．B．C．D三点共线D．A．C．D三点共线6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=45，b=2，S△ABC=3，则边a为（）A．203B．5C．√13D．√9747．在△ABC中，向量AB→和AC→满足(AB→+AC→)⋅BC→=0，则△ABC为（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．三边不等的三角形8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=30°，b=√2，c=2，则角A 为（）A．15°B．45°C．15°或105°D．45°或135°9．等边三角形ABC的边长为1，则BC→•CA→+CA→•AB→+AB→•BC→=（）A．3B．﹣3C．32D．−3210．如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果正方体的棱长是60cm，那么石凳的体积是（）A．144000cm3B．180000cm3C．36000cm3D．72000cm3二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）11．计算复数7+i3+4i=．12．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的表面积之比是．13．等腰直角三角形直角边长为2，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何体，则该几何体的体积为．14．如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为米．15．在复平面内，复数6﹣5i与﹣3+2i对应的向量分别是OA→，OB→，其中O是原点，则向量BA→的坐标为．16．平面向量a→，b→，c→两两夹角都相等，且|a→|=|b→|=1，|c→|=2，则|a→+2b→+c→|=．三、解答题：（5个题，共46分）17．当实数m取什么值时，复数Z＝m2﹣4+（m2﹣m﹣6）i分别满足下列条件？（1）复数Z实数；（2）复数Z 纯虚数；（3）复平面内，复数Z 对应的点位于直线y ＝﹣x 上． 18．已知向量a →=(4，1)b →=(−5，2)．（1）若(a →+b →)∥(ma →−b →)，求实数m 的值； （2）若(a →+b →)⊥(ma →−b →)，求实数m 的值．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，acosC +√3asinC =b ． （1）求角A ；（2）若a =2√3−2，且△ABC 的面积为2，求边b ，c 的值．20．已知e 1→，e 2→是夹角为60°的单位向量，且a →=2e 1→+e 2→，b →=−3e 1→+2e 2→． （1）求a →⋅b →；（2）求a →与b →的夹角．21．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 为(√3−1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距离A 为2 海里的C 处有一艘缉私艇奉命以10√3海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10 海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜 （Ⅰ）问C 船与B 船相距多少海里？C 船在B 船的什么方向？（Ⅱ）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．参考答案一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求. 1．复数52−i（i 为复数单位）的共轭复数是（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2+iD ．﹣2﹣i【分析】先对复数进行化简运算，由共轭复数的定义可得答案． 解：52−i=5(2+i)(2+i)(2−i)=2+i ，则复数52−i（i 为复数单位）的共轭复数是2﹣i ，故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数，属于基础题． 2．下列各式化简正确的是（ ） A ．OA →−OD →+DA →=0→B ．AB →+MB →+BO →+OM →=AB →C ．AB →−CB →+AC →=0→D ．0⋅AB →=0【分析】直接根据向量的加减逐个进行判断即可求解结论． 解：因为OA →−OD →+DA →=2DA →，故A 错；∵AB →+MB →+BO →+OM →=AB →+MB →+BM →=AB →+0→=AB →，故B 对； AB →−CB →+AC →=AB →+BC →+AC →=2AC →，故C 错； 0•AB →=0→，故D 错； 故选：B ．【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，比较基础．3．已知向量a →=(1，2)，b →=(3，1)，则b →−a →=（ ）A ．（2，﹣1）B ．（﹣2，1）C ．（2，0）D ．（4，3）【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可．解：向量a →=(1，2)，b →=(3，1)，则b →−a →=（3，1）﹣（1，2）＝（2，﹣1）．故选：A ．【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．4．下列命题中正确的有（）①一个棱柱至少有5个平面；②正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；③有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台；④正方形的直观图是正方形；A．1B．2C．3D．4【分析】利用棱柱的定义判断①的正误；利用正棱锥的定义判断②；棱台的侧棱所在的直线必交于一点，圆台的母线所在的直线也交于一点；判断③的正误；正方形的直观图判断④的正误即可．解：①因为底面最少为三角形，故3个侧面，2个底面，共5个面，故①对；②正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，射影侧面都是全等的等腰三角形；②正确；③不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点．④正方形的直观图是平行四边形，所以④不正确；正确的命题只有①②．故选：B．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及棱锥、棱柱、棱台以及直观图的基本知识，是基础题．5．已知AB→=a→+5b→，BC→=−2a→+8b→，CD→=3(a→−b→)，且a→，b→不共线，则（）A．A．B．D三点共线B．A．B．C三点共线C．B．C．D三点共线D．A．C．D三点共线【分析】根据三点关系的等价条件进行判断即可．解：∵AB→=a→+5b→，BC→=−2a→+8b→，CD→=3(a→−b→)，且a→，b→不共线，∴BD→=BC→+CD→=3(a→−b→)−2a→+8b→=a→+5b→，∵已知AB→=a→+5b→，∴BD→=AB→，即BD→与AB→共线，则A ．B ．D 三点共线， 故选：A ．【点评】本题主要考查三点共线的判断，根据向量的共线定理结合向量的基本运算是解决本题的关键．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosA =45，b =2，S △ABC =3，则边a 为（ ） A ．203B ．5C ．√13D ．√974【分析】由cos A =45，得到sin A =35，再由三角形△ABC 的面积求得c 的值，再利用余弦定理即可求得a 的值． 解：∵cos A =45，∴sin A =35，又∵S △ABC =12bc ⋅sinA =3， ∴c ＝5，∵cos A =b 2+c 2−a 22bc =45，∴4+25−a 22×2×5=45，解得：a =√13， 故选：C ．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，以及余弦定理，是基础题． 7．在△ABC 中，向量AB →和AC →满足(AB →+AC →)⋅BC →=0，则△ABC 为（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．三边不等的三角形【分析】根据△ABC 中，BC →=AC →−AB →，代入已知式子中，化简得AB ＝AC ，所以△ABC 为等腰三角形．解：△ABC 中，BC →=AC →−AB →， ∵(AB →+AC →)⋅BC →=0， ∴(AB →+AC →)(AC →−AB →)=0，∴AB→2=AC→2，即|AB→|=|AC→|．∴△ABC为等腰三角形．故选：C．【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及平面向量的线性运算，属于基础题．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=30°，b=√2，c=2，则角A 为（）A．15°B．45°C．15°或105°D．45°或135°【分析】在△ABC中利用正弦定理求出角C，再利用三角形内角和即可求出角A．解：在△ABC中，B=30°，b=√2，c=2，由正弦定理得：bsinB =csinC，即√2sin30°=2sinC∴sin C=√22，∵c＞b，∴C＞B，又C∈（0，π），∴C＝45°或135°，∴A＝105°或15°，故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理，考查了计算能力，是基础题．9．等边三角形ABC的边长为1，则BC→•CA→+CA→•AB→+AB→•BC→=（）A．3B．﹣3C．32D．−32【分析】利用向量的数量积公式解答，注意向量的夹角与三角形的内角的关系．解：因为三角形ABC是等边三角形，边长为1，并且各内角为60°，所以BC→•CA→+CA→•AB→+AB→•BC→=3×1×1×cos120°=−32；故选：D．【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；需要注意的是：向量的夹角与三角形内角相等或者互补．10．如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果正方体的棱长是60cm，那么石凳的体积是（）A．144000cm3B．180000cm3C．36000cm3D．72000cm3【分析】由已知求得正方体的体积，减去八个正三棱锥的体积得答案．解：由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，体积是8×13×12×30×30×30=36000cm3；正方体的体积为60×60×60＝216000cm3；则石凳的体积是216000﹣36000＝180000cm3．故选：B．【点评】本题考查正方体与三棱锥体积的求法，是基础的计算题．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）11．计算复数7+i3+4i=1﹣i．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：7+i3+4i =(7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=25−25i25=1−i．故答案为：1﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．12．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的表面积之比是2：3．【分析】设球的半径为r，则S圆柱：S球＝[2πr2+（2r）•2πr]：4πr2，可得结论．解：设球的半径为r，则S圆柱：S球＝[2πr2+（2r）•2πr]：4πr2＝3：2．∴球的表面积与圆柱的表面积之比是2：3．故答案为：2：3．【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，是基础题．13．等腰直角三角形直角边长为2，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何体，则该几何体的体积为√2π3．【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体． V ＝2×13S •h =13πR 2•h＝2×13π×（√2）2×√2=4√2π3．故答案为：4√2π3．【点评】本题考查圆锥的体积公式，是基础题．14．如图所示，为测量一水塔AB 的高度，在C 处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D 处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为 10√3 米．【分析】利用AB 表示出BC ，BD ．让BD 减去BC 等于20即可求得AB 长．解：设AB ＝hm ，则BC =√33h ，BD =√3h ，则√3h −√33h ＝20，∴h =10√3m ， 故答案为10√3．【点评】本题主要考查了三角函数的定义，根据三角函数可以把问题转化为方程问题来解决．15．在复平面内，复数6﹣5i 与﹣3+2i 对应的向量分别是OA →，OB →，其中O 是原点，则向量BA →的坐标为 （9，﹣7） ．【分析】由已知求得OA →，OB →的坐标，再由向量的坐标减法求解． 解：由题意，OA →=(6，−5)，OB →=(−3，2)，∴BA →=OA →−OB →=（6，﹣5）﹣（﹣3，2）＝（9，﹣7）． ∴向量BA →的坐标为（9，﹣7）． 故答案为：（9，﹣7）．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量的坐标减法运算，是基础题．16．平面向量a →，b →，c →两两夹角都相等，且|a →|=|b →|=1，|c →|=2，则|a →+2b →+c →|= √3 ．【分析】由于三个平面向量两两夹角相等可得任意两向量的夹角是120°，由于三个向量的模已知，可采取平方的方法求三个向量的和向量的模．解：因为由题意三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是120°， |a →|=|b →|=1，|c →|=2，则|a →+2b →+c →|2=a →2+4b →2+c →2+4a →•b →+2a →•c →+4b →•c →=12+4×12+22+4×1×1×cos120°+2×1×2×cos120°+4×1×2×cos120°＝3，∴|a →+2b →+c →|=√3；故答案为：√3．【点评】本题考查求平面向量的模，解题的关键是理解模的定义及向量数量积的运算律，本题的难点是用平方法求和与差的向量的模，平方法是求向量的模的常用方，是中档题． 三、解答题：（5个题，共46分）17．当实数m 取什么值时，复数Z ＝m 2﹣4+（m 2﹣m ﹣6）i 分别满足下列条件？ （1）复数Z 实数； （2）复数Z 纯虚数；（3）复平面内，复数Z 对应的点位于直线y ＝﹣x 上． 【分析】（1）由虚部为0求解m 值；（2）由实部为0且虚部不为0列式求解m 值； （3）由实部与虚部的和为0列式求解m 值． 解：（1）由m 2﹣m ﹣6＝0，解得m ＝﹣2或m ＝3；（2）由{m 2−4=0m 2−m −6≠0，解得m ＝﹣3； （3）由m 2﹣4+（m 2﹣m ﹣6）＝0，解得m ＝﹣2或m =52．【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 18．已知向量a →=(4，1)b →=(−5，2)．（1）若(a →+b →)∥(ma →−b →)，求实数m 的值；（2）若(a →+b →)⊥(ma →−b →)，求实数m 的值． 【分析】（1）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行的性质，求出m 的值．（2）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量垂直的性质，求出m 的值．解：（1）∵已知向量a →=(4，1)，b →=(−5，2)，∴a →+b →=（﹣1，3），m a →−b →=（ 4m +5，m ﹣2），若(a →+b →)∥(ma →−b →)，则4m+5−1=m−23，求得实数m ＝﹣1． （2）若(a →+b →)⊥(ma →−b →)，则 （a →+b →）•（m a →−b →）＝m a →2+（m ﹣1）a →•b →−b →2=17m +（m ﹣1）（﹣18）﹣29＝0，可得实数m ＝﹣11．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直、平行的性质，属于基础题．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，acosC +√3asinC =b ． （1）求角A ；（2）若a =2√3−2，且△ABC 的面积为2，求边b ，c 的值．【分析】（1）由正弦定理结合sin B ＝sin （A +C ），可得tan A =√33，从而求出角A ； （2）由三角形面积求出bc ＝8，代入余弦定理求得b +c =4√2，从而得出b ＝c ＝2√2．解：（1）∵acosC +√3asinC =b ，由正弦定理得：sin A cos C +√3sin A sin C ＝sin B ，又∵sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ，∴√3sin A sin C ＝cos A sin C ，又∵C ∈（0，π），∴sin C ≠0，∴tan A =√33，又A ∈（0，π）， ∴A =π6；（2）∵A =π6，∴S △ABC =12bc ⋅sinA =14bc =2，∴bc ＝8，又∵cos A =b 2+c 2−a 22bc =√32， ∴(b +c)2−2bc −a 2=√3bc ，又a ＝2√3−2，bc ＝8，∴b +c =4√2，∴b ＝c ＝2√2．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理得应用，考查了计算能力，是中档题．20．已知e 1→，e 2→是夹角为60°的单位向量，且a →=2e 1→+e 2→，b →=−3e 1→+2e 2→． （1）求a →⋅b →； （2）求a →与b →的夹角．【分析】（1）由题意可得a →⋅b →=（2e 1→+e 2→）•（−3e 1→+2e 2→）＝﹣6e 1→2+e 1→⋅e 2→+2e 2→2，代入数据计算可得；（2）由模长公式可得|a →|和|b →|，由夹角公式可得．解：（1）∵e 1→，e 2→是夹角为θ＝60°的单位向量，又∵a →=2e 1→+e 2→，b →=−3e 1→+2e 2→， ∴a →⋅b →=（2e 1→+e 2→）•（−3e 1→+2e 2→）＝﹣6e 1→2+e 1→⋅e 2→+2e 2→2 =−6×12+1×1×12+2×12=−72；（2）平面内向量夹角α的取值范围是α∈[0，π]．由模长公式可得|a →|=√(2e 1→+e 2→)2 =√4e 1→2+4e 1→⋅e 2→+e 2→2=√4×12+4×1×1×12+12=√7 同理可得|b →|=√(−3e 1→+2e 2→)2=√9×12−12×1×1×12+4×12=√7， 设a →与b →的夹角为α，则cos α=a →⋅b →|a →||b →|=−72√7⋅√7=−12∴a→与b→的夹角为1200【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及向量数量积运算和模长公式，属中档题．21．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(√3−1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为2 海里的C处有一艘缉私艇奉命以10√3海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10 海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜（Ⅰ）问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？（Ⅱ）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．【分析】（I）在△ABC中根据余弦定理计算BC，再利用正弦定理计算∠ABC即可得出方位；（II）在△BCD中，利用正弦定理计算∠BCD，再计算BD得出追击时间．解：（I）由题意可知AB=√3−1，AC＝2，∠BAC＝120°，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°＝6，∴BC=√6．由正弦定理得：ACsin∠ABC =BCsin∠BAC，即2sin∠ABC=√6√32，解得sin∠ABC=√22，∴∠ABC＝45°，∴C船在B船的正西方向．（II）由（1）知BC=√6，∠DBC＝120°，设t小时后缉私艇在D处追上走私船，则BD＝10t，CD＝10√3t，在△BCD中，由正弦定理得：10√3tsin120°=10tsin∠BCD，解得sin∠BCD=12，∴∠BCD＝30°，∴△BCD是等腰三角形，∴10t=√6，即t=√610．∴缉私艇沿东偏北30°方向行驶√610小时才能最快追上走私船．【点评】本题考查了正余弦定理解三角形，解三角形的实际应用，属于中档题．。