从阶乘的推广到分数阶导数

，应有
( x n ) ( ) Pn x n n! x n (n )!
。 (32)
为了保证结果在 x = 0 处有意义，我们要求 n 。 由上式容易验证
( x )
n ( ) ( )
( x n )( )


( )
( x n ) ( )
(14)
综合(13)和(14)式，最终得到
k 1 x k ln x! x ln ln k k k 1
，
(15)
或者
x!
k 1

1 x 1 1 k k
x
1
。
(16)
上面给出了在满足连续可导性条件下阶乘在实数集合中的推广， 可以从形 式上认为是 x 个自然数的连乘积。由于(16)式是无穷连乘积的形式，使用 不够方便，通常用它的恒等变形 [ 3]
n! n ( n 1)! n ( n 1) ( n 2)! ( n) k ( n k )!, n k
。
(2)
其中 (n) k n (n 1) (n 2)(n k 1) 。 自然数集合 N 是整数集合 Z 的子集，Z 是有理数集合 Q 的子集，Q 又 是实数集合 R 的子集，推广阶乘概念第一步应该是把定义域扩充到整数 集合 Z 中。如果没有限制条件，这种扩充可以有无限多种可能，但是仅当 扩充后能够保持原来的性质时才是合理的推广，才能够继续称之为阶乘。 这就要求我们按照阶乘的固有性质(2)来进行扩充。由(2)式，我们得到
Pnm ( n) m
n! ( n m)!
。
(18)
另一方面我们也可以将(18)式作为排列数的定义，把原定义作为性质。这 样在上节的基础上，我们容易把排列数的概念推广到整数集合
4
m Pn
n!/ (n m)! n 0, n m 0 mn 0
由此可知，当 m 0 时有
L x

1
。
(35)


( m)
p Lx ! p
m

m 1
。
(36)
而按照本文的推广定义，我们有
7
L x


( )
! x L ( )!

1 ! p
n! xn m (n m)!
6
。
(31)
上式的推导中已经用了推广的排列数的性质。 不难看出任意一个幂函数的 负 n 次导数恰好是其从 0 到 x 的 n 次积分，由于积分是求导的逆运算，上 述推广具有非常明显的合理性和实用意义。根据叠加原理，由上式可以推 出任意在原点邻域解析的函数负整数阶导数。 为了进一步把导数概念推广到非整数阶， 我们很自然地设想对非整数
。
(3Байду номын сангаас)
这表明推广的定义能够很好地保持求导的原有性质。 由于任何实数都可以 分解为整数部分与小数部分之和，根据(33)式，对非整数阶求导可以只考 虑小数阶情况，即 0 1 。作为一个具体的例子，我们有
( x n ) ( 1/ 2 )
n! x n 1/ 2 1 (n 2 )!
。
(21)
类似地，我们可以把组合数的概念推广到整数集合
Cnm
n! m!(n m)!
m ( 1) m Cm n 1 n 1 ( 1) n m C m 1
n m 0 m 0n 0n m 其它
。 (22)
0
也可以把组合数的概念进一步推广到实数集合，即
f ( x) ak ( x b) k
k 0
。
(29)
因此上式的导数完全由幂函数的导数所决定。由原始定义(28)式，幂函数
x n 的 m 次导数为
( x n ) ( m) Pnm x n m
。
(30)
我们假定上式可以推广到 m 为负整数的情况，即
( x n ) ( m) Pn m x n m
k 1

1 xk
。
(10)
在上式中令 x = 0，又得到
() ( 0)
k 1

1 k
。
(11)
比较上面两式，不难推出
( x) ( 0)
k 1

1 k
1 x k
。
(12)
将上式对变量 x 积分，积分范围从 0 到 x，可以得到
(n 1)! n!/ n
。
(3)
在上式中取 n = 1，我们得出 0 ! = 1。这样就把阶乘的定义域扩充到了非 自然数零， 这个结果与高中代数教材上的补充定义是一致的 [ 2 ] ， 表明了该 补充定义实质上是一种合理的推广。 容易看出继续推广可以通过在(3)式中 取 n = 0 得到，将 n = 0 代入(3)式后，我们发现
从阶乘的推广到分数阶导数*
倪 致 祥
( 阜 阳 师 范 学 院 物 理 系 ， 安 徽 阜 阳 236032 )
摘 要：本文从创新思维的角度，把阶乘的定义从自然数推广到了实数
域。在此基础上，进一步对排列、组合和二项式定理进行了推广。并创 造性地给出了导函数概念从自然数阶到分数阶的推广。
关键词：阶乘，二项式定理，导数，推广 分类号：O411
*
安徽省自然科学基金（99047217 号）和安徽省教育委员会资助课题 1
给出了导数概念从自然数阶到实数阶的推广结果；最后是一个简明的小 结。 2．阶乘的推广 阶乘是一个非常重要和常用的数学概念。按定义，n 的阶乘是前 n 个 自然数的连乘积，即
n! 1 2 3n
。
(1)
由于个数总是自然数， 因此从映射的观点看， 阶乘的定义域为自然数集合。 很明显，阶乘 n!具有性质
(1)! 0!/ 0
。
(4)
这表明在通常的意义下，负整数的阶乘没有意义。然而如果我们把负一的 阶乘看成是一个特定的超限数，即记 (1)! ，则由(3)式我们不难推出
(n 1)! (1)n / n! n 0
。
(5)
上式虽然不能给出负整数阶乘的具体数值， 但给出了它们与超限数 的明
1．引言 人类的进步史归根结底是一部创造史，创造是历史进步的真正动力 [1] 。 在科学技术的范围内，创造主要指科学创新和技术发明。科学创新大体上 可以分为两个层次：原始创新与继承创新。原始创新指的是发现前人未曾 发现的新现象、新规律等；继承创新指的是在原始创新基础上在新的领域 发现同类现象或把同类规律推广应用到新的范围。 两者在方法上有各自的 特点，但没有绝对的区别。科学推广是继承创新的常用方法，在科学创造 的过程中具有相当重要的作用。本文从数学上最常用的阶乘概念出发，把 阶乘的定义从自然数推广到了实数域。在此基础上，进一步对排列、组合 和二项式定理进行了科学推广。 上述推广的合理性和有用性已得到了实践 的检验。除此之外，本文还创造性地给出了导函数概念从自然数阶到分数 阶以及实数阶的推广。 本文的第 2 节给出了阶乘概念从自然数集合到实数集合的推广过程； 第 3 节给出了排列、组合和二项式定理的推广过程；在此基础上，第 4 节
( x)
d ln x! dx
。
(7)
利用性质(2)，不难得到
( x 1) ( x)
由上式容易递推出
1 x 1
。
(8)
( x n) ( x )
k 1
n
1 xk
。
(9)
在(9)式中取 n ，我们得到
( ) ( x )
x!


0
e t t x d t ( x 1)
，
(17)
这也是有的文献把伽玛函数称为广义阶乘的原因。 3．排列、组合和二项式定理的推广 3.1．排列组合数的推广 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的排列数，记为 Pnm 。在通常情况下要求 n m 1 ， 这时有性质
x k x ln x! ( 0) x ln k k k 1

，
(13)
3
在推导中我们已经利用了条件 0 ! = 1。将 x = 1 代入(13)式，我们有
1 k 1 0 ( 0) ln k k k 1
。
n
1 2
。
(34)
上面结果的数学意义为：1/2 阶求导是把一个函数变换成另一个函数的线 性变换，该变换重复两次的结果恰好是通常的一阶求导。 上述推广的合理性还可以通过对结果的拉普拉斯变换看出来。 按拉普 拉斯变换，我们有 [ 4 ]
L x ! p 1
L f '( x) p L f ( x ) f (0)
C
! !( )!
。
(23)
3.2．二项式定理的推广 二项式定理的一个常用形式为
(1 x) Cnk x k
n k 0 n
n0
。
(24)
考虑到组合数的性质(22)，上式可以改写为
(1 x) n Cnk x k
k 0
n0
。
5
(25)
我们猜想当上式中左边的指数为负整数时公式依然成立，即
m ( 1) m Pm n 1
0n m n 0, n m
。
(19)
我们还可以把排列数的概念推广到实数集合，即
P ! / ( )!
。
(20)
从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有组合的个数，叫做组合数，记 为 Cnm 。组合数有性质