O(四章第三讲)幺正变换

合集下载

幺正变换和酉矩阵

幺正变换和酉矩阵幺正变换和酉矩阵是量子力学中与矩阵和向量运算密切相关的概念。

它们在量子力学中具有重要的地位和应用。

本文将介绍幺正变换和酉矩阵的基本概念、性质和应用，并探讨它们在量子力学中的重要性。

一、幺正变换的定义和性质幺正变换是指在向量空间中的线性变换，它保持内积不变，并且保持向量的模不变。

2. 模不变性： ||x|| = ||Ux||。

幺正变换在量子力学中具有广泛应用，特别是在描述量子态演化时。

它能够保持态矢量的归一性，同时保持量子态之间的内积关系，具有非常重要的物理意义。

二、酉矩阵的定义和性质酉矩阵是一类具有特殊性质的方阵。

如果矩阵U满足U†U = I，其中U†表示矩阵U的厄米共轭转置，I表示单位矩阵，那么矩阵U就被称为酉矩阵。

酉矩阵具有以下重要性质：1. 逆存在性：对于任意的酉矩阵U，它的逆矩阵也是酉矩阵，即U†也是酉矩阵。

2. 特征值性质：酉矩阵的特征值的模等于1，即|λ| = 1，其中λ表示酉矩阵的特征值。

3. 列正交性：酉矩阵的列向量两两正交，并且模长为1。

酉矩阵在量子力学中广泛应用于变换算符的表示、量子系统的演化和测量等方面。

由于酉矩阵的特殊性质，它能够保持向量的长度和内积，保证量子力学中的概率守恒和信息的完整性。

三、幺正变换与酉矩阵的关系幺正变换和酉矩阵是密切相关的概念。

实际上，幺正变换可以通过酉矩阵来表示。

设U是一个幺正变换，它可以表示为U = e^(iH)，其中H是一个厄米矩阵。

通过数学推导和证明，我们可以得知，对于幺正变换U来说，其对应的矩阵表示就是一个酉矩阵。

在量子力学中，我们常常通过酉矩阵来描述量子态的变换和演化过程。

对于一个量子系统，如果我们知道了它的初始态和变换算符（或演化算符），那么我们可以通过酉矩阵的性质来计算系统的最终态。

21幺正变换.

m,n
m,n
F S FS 或 FB S FAS S 1FAS （矩阵表示）
这就是力学量算符 Fˆ 由 A表象到 B表象的变换公式。
三、态矢量由A表象到B表象的变换
把任意态矢量u(x,t) 用 { n (x)} 、{ (x)}展开，即
u(x,t) an (t) n (x)
Fmn

* m
Fˆ
n
dx
F * Fˆ dx
所以即
F * Fˆ dx

* m
Sm*
Fˆ
n (x)Sn dx
Sm*

* m
Fˆ
ndx

Sn
m
n
m,n
Sm* FmnSn SmFmnSn (SFS)
证明：设算符 Fˆ 在 A表象和 B表象中的本征值方程分别为
因为
FAa a
FBb b
FBb (S 1FAS )(S 1a) S 1FASS 1a S 1FAa
n
u(x,t) b (t) (x)
an (t)

* n
(
x)u(
x,
t
)dx
b (t) * (x)u(x,t)dx
态矢量 u(x,t) 在 A表象和 B表象中的矩阵形式分别为
a1
a

a2

b1
b

b2

Sm*mnSn Sn* Sn SnSn (SS)
n,m
n
n
即
SS I
同理，可以证明

量子力学教程第二版 4.4幺正变换

a1 于是 a 2 就是 ( x , t ) 在 Q 表象中的矩阵表示。
a n (t ) u (x, tdx ) n
以上是这两种简单情况，本节讨论的是一般情况，即态和力
B 学量从A 表象到表象的变换。
下面用大家熟悉的解析几何中的坐标变换作为类比，以引入量子力学中表象变换的概念。平面直角坐标系 xoy 的基矢为 e 1 和 e2 ，且长度为1 ，显然二
(8)
a n ( t ) u ( x, t ) dx ； n
而 ( x ) (x )S

m
m
b (t) u ( x, t ) dx
S u(x, tdx ) mm
m
m
则：b (t ) u(x, t )dx
现取另一个平面坐标系 o ，它由坐标系 xoy 逆时针转动角而得到，基矢分别用 b1 和 b 2 表示，则：
b i b j ＝ ij
i ( ,j ＝1,2）(正交归一性)(1)
且矢量A 在坐标系o 中表示为
' A 1 A ＝ 1 b
' 1 ' 2
2.变换矩阵 S 的性质
S 应满足一定的条件，即要求当{ n (x) }为正交归一完全系时，通过 S 将{ n (x) }变化得到的{ ( x ) }也应为正交归一完全
( x )dx 系，即：
Sm 而 ( x ) ＝ n ( x )S n ； ( x ) ( x ) m
展开系数为：
m
Sn ( x ) (x) dx n
S m ( x ) (x) dx m

21幺正变换

L a1
L
a2
M M M M M M M M M
或简记为
b S a S 1a （矩阵表示）
这就是态矢量 u(x,由t) 表A象到表象B的变换公式。
四、幺正变换的重要性质
1．幺正变换不改变算符的本征值。
证明：设算符 Fˆ在表A 象和表B象中的本征值方程分别为
因为
FAa a
Sm*mnSn Sn* Sn SnSn (SS)
n,m
n
n
即
SS I
同理，可以证明
SS I
因此S S SS IS Nhomakorabea S 1
所以，变换矩阵为幺正矩阵，它所表示的变换为幺正变换。
二、力学量算符Fˆ 由 A表象到 B表象的变换
在表A象和表B象中，力学量的矩Fˆ 阵元公式分别为
FBb b
FBb (S 1FAS )(S 1a) S 1FASS 1a S 1FAa
S 1a S1a b
所以
2．幺正变换不改变矩阵的迹
证明：
矩阵 F (F的mn迹)
SpF TrF Fnn
n
SpF Sp(S 1FS ) (S 1FS )
Sm1 FmnSn
m,n
§4-3 幺正变换
一、A表象与B表象的变换关系（基矢变换）二、力学量算符Fˆ 由A表象到B表象的变换三、态矢量u(x,t)由A表象到B表象的变换四、幺正变换的重要性质
§4-3 幺正变换
用大家熟悉的解析几何中的坐标变换作为类比，来引入量子力学中表象变换的概念。
如图，两个平面直角坐标系的基矢满足
a1
a
a2
M
b1
b
b2
M

幺正变换

幺正变换摘要：从一个表象到另一个表象的变换为幺正变换，本文介绍了幺正变换的定义，推导了不同表象之间的变换关系，讨论了幺正变换下算符、波函数的变化以及幺正变换的性质，并举例应用幺正变换不改变本征值的性质，求算符的本征值。

对学习幺正变换以及加深对幺正变换的理解有重要作用。

关键词：表象；算符；波函数；幺正变换一、引言：和一个矢量可在不同坐标系中表示相似，同一个量子态或者同一个算符也可以在不同表象中表示。

在高等数学中，这些不同坐标系的表示可通过同一个坐标变换把它们联系起来。

在量子力学中，这些态或算符的不同表示也可以用表象变换把它们联系起来。

在表象变换中，算符的本征值不变，与在高等数学中选用适当的坐标系可以大大简化计算过程相似，在量子力学中，选用适当表象，或通过表象变换到适当的表象，也可以使计算过程大大简化，甚至直接得出所求结果。

二、A 表象与B 表象的变换关系（基矢变换）设力学量算符Aˆ、B ˆ的本征方程分别为其中()}{x n ψ和()}{x ϕβ均为正交归一完备系。

将()}{x ϕβ按()}{x n ψ展开展开系数为()S n S β=就是变换矩阵。

通过它可以把B 表象的基矢用A 表象的基矢表示出来。

展开式的矩阵表示为ˆ()()n n nA x x ψλψ=ˆ()()B x x βββϕμϕ=(,1,2,)n β= ()()n n nx S x ββϕψ=∑,2,1=β***()()m m mx x S ααϕψ=∑,2,1=α*()()n n S x x dxββψϕ=⎰**()()m m S x x dxααψϕ=⎰，利用基矢组()}{x ϕβ的正交归一性，得，即I S S =+，同理，可以证明I SS =+，因此-+=S S 。

满足上式得矩阵称为幺正矩阵。

由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换。

所以，从一个表象到另一个表象的变换为幺正变换.三、幺正变换下算符和波函数的变化。

1、算符的变换在 B 表象中，算符F ˆ的矩阵元是αβF '，在A 表象中，算符F ˆ的矩阵元是mnF ，它们两者之间的关系是= =******m m n n mnm m n n mnm mn n m mn n mnmnF F dx S FS dxS F dxS S F S S F S αβαβαβαβαβαβϕϕψψψψ+'===∑⎰⎰∑⎰∑∑上式写成矩阵形式是1F S FS S FS +-'==或1F SF S -'=波函数的变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ )()()()(212212211121x x S S S S x x ψψϕϕ()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*22*21*12*11*2*1*2*1)()()()(S S S S x x x x ψψϕϕ*dx αβαβδϕϕ=⎰**,m m n n n mS S dxαβψψ=∑⎰**,m m n n n mS dx S αβψψ⎡⎤=⎣⎦∑⎰*n n nS S αβ=∑n n nS S αβ+=∑()S S αβ+=*,m mn n n mS S αβδ=∑考察波函数()t x ,ψ从A 表象到B 表象的变化。

幺正变换

m
ˆ | m m F n n
n
ˆ | | m m F n n m | Fmn n |
* mn mn

mn mn
S
* m
Fmn Sn
(4.4-9)
S mF mn S n
k
Tr ( F )
F' 的迹等于 F 的迹，也就是说：么正变换不改变矩阵的迹。
* k
计算出全部矩阵元即可得到 S 矩阵。
方法 II ：
由表达式
| Sk | k
k
可知，
S 矩阵元S kβ, n = 1, 2, 3, ... 即是基矢 |φβ > 在A表象中的表示，
在 A 表象中，B 的本征基矢可表示为：
S11 1 S 21 S 31 S12 2 S 22 S 32 S13 3 S 23 S 33
将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵：
S11 S S 21 S 21 S12 S 22 S 32 S13 S 23 S 33
就是由 A 表象到 B 表象的么正变换矩阵。
波函数的变换关系
（1）波函数变换关系
对任一态矢 |u >
u ( x, t ) an (t ) n ( x)
么正变换矩阵
（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵（二）波函数和算符的变换关系
（三）么正变换的性质
设算符A的本征函数系为：
1 x , 2 x
设算符B的本征函数系为：
1 x ,2 x
则算符F在A表象中的矩阵元

幺正变换

* , n ( x),
Sn1 Sn 2 Snn
( x), ( x),
* 1 * 2

1 (t ) ( t ) 2 ( t ) n
（4.4.7）

* 1
* ( x), 2 ( x),
* , n ( x),
m ( x) C m ( x )

（4.4.14）
将（4.4.14）式代入（4.4.13）式得
4.4 幺正变换
S S =
n m * n * ( x) ( x)dx C m ( x ) ( x )dx
因此一般说来要使算符对应的矩阵对角化就要求出对应得的本征函数系然后把对应于不同本征值的本征函数按列排好以构成幺正矩阵在某一表象中的矩阵为其中为常数求
4.4 幺正变换
和一个矢量可在不同坐标系中表示相似，同一个量子态或者同一个算符也可以在不同表象中表示。在高等数学中，这些不同坐标系的表示可通过同一个坐标变换把它们联系起来。在量子力学中，这些态或算符的不同表示也可以用表象变换把它们联系起来。而且，物理规律应当具有协变性：即物理规律与所选择的用以描述它们的坐标系无关。同样，在量子力学中算符的本征值也应与所选用的表象无关，因为本征值就是在相应的本征态中观测算符所对应的力学量时的观测值，是实验测量所得到的值。设算符 A 的正交归一本征函数系为 1 ( x), 2 ( x), ，算符 B 的正交归一本征函数系为 1 ( x), 1 ( x), ，则算符 F 在 A 表象中的矩阵元为： F * ( x)F ( x)dx （4.4.1）
F b (S 1 FS )S 1a S 1 Fa S 1a b

么正变换

矩阵力学提供了另一种与波动力学不同的求本征值和本征函数的方案: 2 1)求解本征方程 Q = Q a 即 ∑ n n 2) 使算符对应的矩阵对角化 Chap.4 _ 1st：表象与算符矩阵表示 n
2
§4-4 么(幺)正变换 Unitary transformation
引入：引入：量子力学中的表象的选取随所讨论的问题而定。量子力学中的表象的选取随所讨论的问题而定。表象取得适当可使得问题的讨论大为简化。表象取得适当可使得问题的讨论大为简化。为此常需要将波函数和力学量从一个表象变换到另一个表象
n n n
n
n
* m
α
αLeabharlann * mαS11 S12 a1 矩 a 2 S21 S22 阵 = .... .... .... 形 an S S n1 n2 式 ... ..... ..... Chap.4 _ 1st：表象与算符矩阵表示
3
ϕ α ( x) = ∑ S ψ ( x)
∗
ϕ β ( x ) = ∑ Snβψ n ( x )
n
∗ mα ∗ m m
为了找到 Fmn 和 Fαβ 的联系，的联系，将 ϕ ( x ) 按 ψ ( x ) 展开：展开：
(A表象 ⇒ B表象 )
展 S = ψ ∗ ( x)ϕ ( x)dx β 开 nβ ∫ n 系 S ∗ = ψ ( x)ϕ ∗ ( x)dx α 数 mα ∫ m
∗ mα ∗ m m
为了找到 Fmn 和 Fαβ 的联系，的联系，将 ϕ ( x ) 按 ψ ( x ) 展开：展开：
(A表象 ⇒ B表象 )
展 S = ψ ∗ ( x)ϕ ( x)dx β 开 nβ ∫ n 系 S ∗ = ψ ( x)ϕ ∗ ( x)dx α 数 mα ∫ m

幺正变换物理含义

幺正变换物理含义幺正变换（Y-TTransformation）是一种重要的数学概念，它可以帮助物理学家们研究不同物理系统之间的关系。

它的发展是基于一种更广泛的概念，即坐标变换（coordinate transformations），它可以用来表示同一物理系统在不同坐标空间下的性质。

幺正变换能够把物理系统从一个坐标系转换到另一个坐标系，而在这两个坐标系中，物理系统的性质保持不变。

在物理学中，幺正变换通常用于求解许多基本方程，如牛顿力学方程、相对论方程等，通过幺正变换独特的性质可以简化物理系统的解析求解步骤，从而加快计算速度。

在数学上，幺正变换是一种线性变换，它有四个基本性质：（1）线性性质，指的是幺正变换可以表示一系列的线性方程；（2）可逆性质，指的是变换可以逆向进行；（3）射影性质，指的是在变换过程中，当采用直角空间时，进行射影操作，即可以把物理系统从一个坐标系转换到另一个坐标系；（4）度量保持性质，指的是在变换过程中，度量的内容保持不变。

幺正变换的应用极为广泛，在物理学中也是一种重要的工具。

例如，在一般相对论中，为了描述平行转动物理系统，就可以采用幺正变换，这就是所谓的凝聚态物理中的几何体“转动系”，其由变换矩阵A作为描述，它可以把物理系统从一个坐标系转换到另一个坐标系，从而可以更加准确地描述这一物理系统。

在统计力学中，也可以使用幺正变换来描述平行转动的系统，并进行物理现象的研究，这就是所谓的“拓扑统计力学”。

在统计力学中，对物理系统进行分析，可以采用幺正变换的方式，从而可以更好地描述和理解物理系统的行为现象。

此外，幺正变换有重要的应用于放射学领域，它可以把物理系统从一个坐标系转换到另一个坐标系，从而可以更加准确地描述放射反应对物理系统的影响。

总而言之，幺正变换在物理学中已经被广泛应用，它不仅可以加快物理系统解析求解的速度，还可以更好地描述物理系统的行为特性。

它可以把物理系统从一个坐标空间转换到另一个坐标空间，并保持其度量保持不变，因此，它可以作为有效的工具，用来研究物理系统之间的关系。

弦理论中的幺正变换

弦理论中的幺正变换弦理论（String Theory）是一种物理学理论，旨在描述宇宙中所有基本粒子和相互作用的统一理论。

在弦理论中，幺正变换（Unitary Transformations）是一种重要的数学工具，它在理论的研究和推导中起着关键作用。

本文将深入探讨弦理论中幺正变换的概念、性质和应用。

一、幺正变换的概念在弦理论中，幺正变换是指在时空坐标变换框架下保持弦理论性质不变的数学运算。

幺正变换保持弦的长度和形状不变，仅改变了其在时空中的位置和朝向。

这种变换可以用一组幺正算符来描述，这些算符在变换中保持弦的长度和形状不变。

二、幺正变换的性质1. 幺正性：幺正变换的关键特征是保持内积不变。

假设有两个弦的态矢量分别为|ψ⟩和|φ⟩，则经过幺正变换后它们的内积⟨ψ|φ⟩等于变换前的内积⟨ψ'|φ'⟩。

这证明了幺正变换是保持态之间的几何关系不变的。

2. 单位性：幺正变换是单位化的，即幺正算符的逆等于其共轭转置。

这保证了经过幺正变换后的弦仍然满足态矢量的归一化条件。

3. 组合性：幺正变换满足组合律，即多个幺正算符的连续作用仍然是幺正的。

对于弦的变换来说，这意味着多次幺正变换后的弦仍然保持其性质不变。

三、幺正变换的应用1. 弦的时空坐标变换：幺正变换在描述弦的时空坐标变换方面发挥着重要作用。

通过幺正变换，我们可以将弦从一类坐标系变换到另一类坐标系，从而改变弦在时空中的位置和朝向，而保持弦的长度和形状不变。

2. 弦的相互作用描述：幺正变换还可用于描述弦之间的相互作用。

通过不同幺正变换描述的弦之间相互影响的数学表达式，我们可以研究弦之间的相互作用方式和性质。

3. 弦理论的推导和验证：在弦理论的推导和验证中，幺正变换是必不可少的数学工具。

通过对幺正变换的运用，我们可以得到弦理论中的各种关系式、方程和物理规律。

总结：弦理论中的幺正变换是保持弦的性质不变的数学运算，它在描述弦的时空坐标变换、相互作用描述以及弦理论的推导和验证等方面发挥着重要作用。

量子力学中的幺正变换描述量子系统的变换

量子力学中的幺正变换描述量子系统的变换量子力学是研究微观粒子行为的理论框架，它揭示了微观世界的非经典性质。

量子系统的变换是其中一个重要的研究方向，而幺正变换是描述量子系统变换的数学工具之一。

本文将重点探讨幺正变换在量子力学中的应用以及其在描述量子系统变换中的作用。

一、幺正变换的概念与性质幺正变换又称为幺正操作，是指在量子力学中保持内积不变的线性变换。

对于一个量子态向量ψ，经过幺正变换U后，可以表示为Uψ。

幺正变换具有以下性质：1. 保持内积不变：幺正变换保持内积的不变性，即⟨ψ1|ψ2⟩经过幺正变换U后，仍为⟨Uψ1|Uψ2⟩。

2. 保持归一性：若原始态矢量ψ经过幺正变换后，幺正变换矩阵U 满足U†U=I，其中I为单位矩阵，则经过幺正变换后的态矢量Uψ仍然被归一化。

3. 保持可逆性：幺正变换具有可逆性，即存在逆变换U†，使得UU†=U†U=I。

二、幺正变换的应用1. 表示量子力学中的可观测量：在量子力学中，可观测量由厄米算符表示。

一个厄米算符A可以通过幺正变换U与一个对角化算符D联系起来，即A=UDU†。

这种对角化的过程简化了对可观测量的研究。

2. 描述量子系统的变换：幺正变换是描述量子系统变换的重要工具。

例如，当一个量子系统受到外界干扰或作用时，可以用幺正变换来描述系统从一个状态变换到另一个状态的演化过程。

这种变换可以应用于描述粒子的位置、动量、自旋等物理量的变化。

三、幺正变换的数学表示幺正变换的数学表示可以通过矩阵运算来实现。

幺正变换矩阵满足以下条件：1. 形式上为一个幺正矩阵：幺正变换矩阵U满足U†U=UU†=I，其中U†为U的厄米共轭矩阵。

2. 厄米算符的指数函数：若H为一个厄米算符，幺正变换可以表示为U=e^(iHt)，其中t为时间参数。

幺正变换的数学表示使得我们可以通过矩阵运算来描述系统的变换，同时保持量子态的归一性和内积不变。

四、实例：量子比特的旋转量子比特是量子计算中最基本的单位，通常用二维希尔伯特空间来描述。

弦理论中的幺正变换

弦理论中的幺正变换弦理论（String Theory）是一种试图统一所有力的物理理论，它假设基本粒子不是点状的，而是由一维的弦状物体组成。

幺正变换（Unitary Transformation）在弦理论中扮演着重要的角色，它是一种保持概率守恒的线性变换。

本文将探讨幺正变换在弦理论中的应用及其重要性。

一、基本概念幺正变换是量子力学中的一个重要概念，它描述了量子系统在状态空间内的变换。

在弦理论中，我们将弦的位置和动量等物理量表示为算符，幺正变换将这些算符进行线性变换，保持物理量的关系不变。

二、幺正性质幺正变换具有一些重要的性质。

首先，幺正变换是可逆的，即存在逆变换，其逆变换也是幺正的。

其次，幺正变换保持内积，即两个态之间的内积在变换后保持不变。

最后，由于幺正变换保持概率守恒，它是保持物理观察的一种变换方式。

三、幺正变换的应用幺正变换在弦理论中有广泛的应用。

首先，它用于描述弦的运动。

幺正变换将弦的位置和动量变换为新的量子态，从而描述了弦的演化过程。

其次，幺正变换用于描述不同弦的相互作用。

通过幺正变换，我们可以将不同弦的相互作用转化为弦的内部相互作用，从而简化了计算过程。

四、幺正变换的重要性幺正变换在弦理论中具有重要的地位。

首先，幺正变换保持了量子态的性质，从而保证了描述物理过程的可靠性。

其次，幺正变换是构建弦的数学框架的基础，它为我们研究弦的运动和相互作用提供了有效的方法和工具。

最后，幺正变换是保持物理规律普适性的重要手段，它使得我们可以将已有的物理学理论与弦理论相结合，以求解更加深奥的物理问题。

总结：弦理论中的幺正变换是一项重要的数学工具，它描述了弦的运动和相互作用。

通过幺正变换，我们可以研究弦理论中更加复杂的物理现象，探索宇宙的奥秘。

幺正变换的应用不仅局限于弦理论，而是具有普适性的数学概念，在物理学的其他领域中也有重要的应用。

通过对幺正变换的深入研究，我们可以进一步理解弦理论的本质，并为我们寻求探索自然规律的道路提供新的思路。

幺正变换在量子力学中的作用

幺正变换在量子力学中的作用量子力学是描述微观世界中粒子行为的一门物理学理论。

在这个领域中，幺正变换是一种重要的数学工具，它在量子力学的各个方面都发挥着重要的作用。

幺正变换是指保持向量长度不变的线性变换。

在量子力学中，一个物理系统的状态可以用一个向量表示，这个向量称为态矢量。

幺正变换可以将一个态矢量映射到另一个态矢量，而保持它们的长度不变。

这种性质使得幺正变换在量子力学中的应用非常广泛。

首先，幺正变换在量子力学中的一个重要应用是描述量子态的演化。

根据量子力学的演化方程，一个量子态在时间演化中会发生变化。

而幺正变换可以用来描述这种演化过程。

通过对演化算符进行幺正变换，我们可以得到一个新的算符，它描述了系统在不同时间点的态矢量之间的关系。

这种描述方式不仅简洁，而且符合量子力学的基本原理。

其次，幺正变换还在量子力学中的对称性研究中起到了重要的作用。

对称性是自然界中普遍存在的一种规律，而幺正变换可以用来描述物理系统的对称性。

通过对态矢量进行幺正变换，我们可以得到一个新的态矢量，它描述了系统在对称操作下的行为。

这种对称性的研究不仅有助于我们理解物理现象，还为我们设计新的实验方法和技术提供了指导。

此外，幺正变换还在量子力学中的测量理论中发挥着重要的作用。

量子力学中的测量是一个复杂的过程，而幺正变换可以用来描述测量过程中的变换关系。

通过对测量算符进行幺正变换，我们可以得到一个新的算符，它描述了测量结果与原始态矢量之间的关系。

这种描述方式有助于我们理解测量的本质，并为我们设计新的测量方法和技术提供了思路。

最后，幺正变换还在量子力学中的量子计算和量子通信中发挥着重要的作用。

量子计算和量子通信是量子信息科学的两个重要分支，它们利用量子力学中的幺正变换来进行信息的处理和传输。

通过对量子态进行幺正变换，我们可以实现量子比特之间的相互作用和信息的传递。

这种幺正变换的应用不仅有助于我们提高计算和通信的效率，还为我们开辟了新的信息处理和传输的前沿领域。

幺正变换

对学习幺正变换以及加深对幺正变换的理解有重要作用。

关键词：表象；算符；波函数；幺正变换一、引言：和一个矢量可在不同坐标系中表示相似，同一个量子态或者同一个算符也可以在不同表象中表示。

在高等数学中，这些不同坐标系的表示可通过同一个坐标变换把它们联系起来。

在量子力学中，这些态或算符的不同表示也可以用表象变换把它们联系起来。

二、A 表象与B 表象的变换关系（基矢变换）设力学量算符Aˆ、B ˆ的本征方程分别为其中()}{x n ψ和()}{x ϕβ均为正交归一完备系。

将()}{x ϕβ按()}{x n ψ展开展开系数为()S n S β=就是变换矩阵。

通过它可以把B 表象的基矢用A 表象的基矢表示出来。

展开式的矩阵表示为ˆ()()n n nA x x ψλψ=ˆ()()B x x βββϕμϕ=(,1,2,)n β=()()n n nx Sx ββϕψ=∑,2,1=β***()()mm mx x S ααϕψ=∑,2,1=α*()()n n S x x dxββψϕ=⎰**()()m m S x x dxααψϕ=⎰，利用基矢组()}{x ϕβ的正交归一性，得，即I S S =+，同理，可以证明I SS =+，因此-+=S S 。

满足上式得矩阵称为幺正矩阵。

由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换。

所以，从一个表象到另一个表象的变换为幺正变换.三、幺正变换下算符和波函数的变化。

1、算符的变换在 B 表象中，算符Fˆ的矩阵元是αβF '，在A 表象中，算符F ˆ的矩阵元是mn F ，它们两者之间的关系是= =******m m n n mnm m n n mnm mn n m mn n mnmnF F dx S FS dxS F dxS S F S S F S αβαβαβαβαβαβϕϕψψψψ+'===∑⎰⎰∑⎰∑∑上式写成矩阵形式是1F S FS S FS +-'==或1F SF S -'=波函数的变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ )()()()(212212211121x x S S S S x x ψψϕϕ()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*22*21*12*11*2*1*2*1)()()()(S S S S x x x x ψψϕϕ*dx αβαβδϕϕ=⎰**,m m n n n m S S dx αβψψ=∑⎰**,m m n n n mS dx S αβψψ⎡⎤=⎣⎦∑⎰*n n nS S αβ=∑n n nS S αβ+=∑()S S αβ+=*,m mn n n mS S αβδ=∑考察波函数()t x ,ψ从A 表象到B 表象的变化。

幺正变换和复共轭

幺正变换和复共轭幺正变换是量子力学中一个重要的概念，它在描述物理系统的过程中起到了至关重要的作用。

复共轭则是在复数运算中常常用到的操作，它与幺正变换有着密切的联系。

本文将从幺正变换和复共轭的概念入手，详细探讨它们的关系和应用。

我们先来介绍一下幺正变换的概念。

在量子力学中，幺正变换是指保持内积不变的线性变换。

简单来说，就是当我们对一个量子态进行幺正变换后，它的内积不会发生变化。

这意味着幺正变换是一个保持量子态之间的概率关系不变的变换。

幺正变换可以用一个幺正算符来描述，这个算符满足厄米共轭条件，即其厄米共轭等于其逆。

幺正变换在量子力学中的应用非常广泛。

例如，在量子测量中，我们可以通过幺正变换将待测量的物理量转化为某个已知物理量的本征值问题，从而简化计算。

另外，在量子通信中，幺正变换可以用来对量子比特进行编码和解码，实现信息的传输和处理。

接下来，我们来了解一下复共轭的概念。

在复数运算中，复共轭是指将一个复数的虚部取负得到的新的复数。

例如，对于复数z=a+bi，其复共轭为z*=a-bi。

复共轭在复数运算中有着重要的作用，它能够用来求解复数的模、求解复数的实部和虚部，以及进行复数的除法等。

复共轭与幺正变换有着密切的联系。

事实上，我们可以将幺正变换看作是对量子态的复共轭操作。

在量子力学中，一个量子态可以表示为一个复数的线性组合，即波函数。

当我们对波函数进行幺正变换时，实际上就是对波函数进行了复共轭操作。

这是因为幺正变换保持了量子态之间的概率关系不变，而这种概率关系正是由波函数的模的平方给出的。

幺正变换和复共轭的关系还可以通过厄米算符来体现。

在量子力学中，厄米算符是指满足厄米共轭条件的算符。

我们可以将幺正变换表示为一个厄米算符的指数形式，即U=e^(iH)，其中H是一个厄米算符。

这个表达式中的复数i实际上就是一个复共轭操作，它将厄米算符H变换为了其厄米共轭。

幺正变换和复共轭的应用不仅仅局限在量子力学中，它们在其他领域也有着广泛的应用。

4.4么正变换

§4.4么正变换一．基矢量的表象变换设算符A ˆ的正交归一本征函数系为()(),,,21 x x ψψ算符B ˆ的正交归一本征函数系为()(),,,21 x x ϕϕ算符Fˆ在A ˆ表象中的矩阵元为 ()()()1.4.4,,2,1,,ˆ ==⎰∙n m dx x F x F nm mn ψψ 算符Fˆ在B ˆ表象中的矩阵元为 ()()()2.4.4,,2,1,,ˆ =='⎰∙βαϕϕβααβdx x F x F 将()x ϕ按()(),,,21 x x ψψ展开()()()())3.4.4( ⎪⎭⎪⎬⎫==∑∑∙∙∙m m m n n n S x x x S x ααββψϕψϕ写成军阵形式()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ t t t S S S S S S S S S x x x n n n n ψψψϕϕϕββββ2121222121211121 ()()()[]()()()[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ααααψψψϕϕϕm m m m S S S S S S S S S x x x t t t 2122221112112121,,,,,,,简记为∙++ψ=Φψ=ΦSS ,~ 式中S ~为S 的转置矩阵。

展开系数βn S 和∙αm S 由下式给出()()()())4.4.4( ⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰*∙∙dx x x S dx x x S m m n n ααββϕψϕψ 矩阵S 称为变换矩阵，也叫么正矩阵。

二．么正矩阵S 和么正变换()()()()()()()()αββαβαβαβαβααβδψψψψϕϕδS S S S S S dx x x S S dxS x S x dx x x mnm m mn mn n m mnn m n m mnn n m m ++∙∙∙∙∙∙======∑∑∑⎰⎰∑⎰所以()5.4.4 I S S =++S 是S 的共轭矩阵。