2014北京初三石景山二模数学
北京市石景山2013-2014学年九年级上学期期末考试数学试卷(纯word解析版)(新人教版)
2014届北京市石景山九年级上学期期末考试数学试卷（带解析）1、已知⊙O 的半径为6，点A在⊙O内部，则（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】试题分析：点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．所以OA＜6,故选A.考点: 点与圆的位置关系．2、已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC=5，则cosA的值是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】试题分析：首先利用勾股定理求得斜边AB的长，然后利用三角函数的定义即可求解．则cosA=．故选C．考点: 1.锐角三角函数的定义；2.勾股定理．3、如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连结AD、BC．若∠BCD=70°，则∠BAD的度数为（）A．40° B．50° C．60°D．70°【答案】D.【解析】试题分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCD 的度数．∵∠BAD与∠BCD是对的圆周角，∴∠BCD=∠BAD=70°．故选D．考点: 圆周角定理．4、若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＞0 C．m＜1 D．m＜0【答案】A.【解析】试题分析：先根据函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．解答：解：∵函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，∴1-m＜0，解得m＞1．故选A．考点: 反比例函数的性质．5、从1～12这十二个自然数中任取一个，取到的数恰好是4的倍数的概率是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】试题分析：∵从1～12这十二个自然数中任取一个，共有12种等可能的结果，取到的数恰好是4的倍数的有3种情况，∴取到的数恰好是4的倍数的概率是：．故选B.考点：概率公式.6、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB=60°，PC=6，则AC的长为（）A．4 B．C．D．【答案】D.【解析】试题分析：如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．设⊙O的半径为r．∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB=60°，∴OA⊥AP，∠APO=∠APB=30°．∴OP=2OA，∠AOP=60°，∴PC=2OA+OC=3r=6，则r=2，易证△AOD是等边三角形，则AD=OA=2，又∵CD是直径，∴∠CAD=90°，∴∠ACD=30°，∴AC=AD?cot30°=2故选C．考点: 切线的性质.7、如图，抛物线和直线. 当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．0<x<2 B．x<0或x＞2 C．x<0或x＞4 D．0<x<4【答案】A.【解析】试题分析：联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．联立，解得，，∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），由图可知，y1＞y2时x的取值范围是0＜x＜2．故选A．考点: 二次函数与方程组.8、如图，在等边△中，，当直角三角板的角的顶点在上移动时，斜边始终经过边的中点，设直角三角板的另一直角边与相交于点E.设，，那么与之间的函数图象大致是（）【答案】B.【解析】试题分析：根据等边三角形的性质得BD=2，PC=4-x，∠B=∠C=60°，由于∠MPN=60°，易得∠DPB=∠PEC，根据三角形相似的判定方法得到△BPD∽△CEP，利用相似比即可得到y=x（4-x），配方得到y=-（x-2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．∵等边△ABC中，AB=4，BP=x，∴BD=2，PC=4-x，∠B=∠C=60°，∵∠MPN=60°，∴∠DPB+∠EPC=120°，∵∠EPC+∠PEC=120°，∴∠DPB=∠PEC，∴△BPD∽△CEP，∴，即，∴y=x（4-x）=-（x-2）2+2，（0≤x≤4）．故选B．考点: 动点问题的函数图象．9、已知线段、满足，则.【答案】．【解析】试题分析：根据比例的性质进行答题．试题解析：∵线段a、b满足2a=3b，则．故答案是：．考点: 比例的性质．10、若,,则.【答案】.【解析】试题分析：在Rt△AB C中，设∠C=90°，∠A=，则，设BC=k，则AC=2k，由勾股定理知：，因此考点: 解直角三角形.11、抛物线向上平移5个单位后的解析式为.【答案】y=-2x2+3x+5．【解析】试题分析：只要求得新抛物线的顶点坐标，就可以求得新抛物线的解析式了．试题解析：将y=-2x2+3x配方为y=-2（x-）2+，故原抛物线的顶点为（，），向上平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（，），可设新抛物线的解析式为：y=2（x-h）2+k，代入得：y=-2x2+3x+5．考点: 二次函数解析式．12、长方体底面周长为50cm，高为10cm．则长方体体积y关于底面的一条边长x的函数解析式是 .其中x 的取值范围是 . 【答案】y=-10x 2+250x ，0＜x ＜25. 【解析】试题分析：根据长方体的面积等于底面积乘以高这一计算方法列出函数关系式即可．试题解析：∵长方体底面周长为50cm ，底面的一条边长x （cm ）， ∴底面的另一条边长为：（25-x ）cm ，根据题意得出： y=x （25-x ）×10=-10x 2+250x （0＜x ＜25）． 故答案为：y=-10x 2+250x ，0＜x ＜25． 考点:根据实际问题列二次函数关系式．13、如图，在Rt△ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=1，BC=3，将△ABC 绕着点A 按逆时针方向旋转30°，使得点B 与点B′重合，点C 与点C′重合，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】 【解析】试题分析：先根据勾股定理得到AB=，再根据扇形的面积公式计算出S 扇形ABB′，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S 阴影部分=S △AC′B′+S 扇形ABB′﹣S △ABC =S 扇形ABB′，求出即可．解：如图，∵∠ACB=90°，AC=1，BC=3， ∴AB==，∴S 扇形ABB′==，又∴Rt△ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S 阴影部分=S △AC′B′+S 扇形ABB′﹣S △ABC =S 扇形ABB′=考点：旋转的性质；扇形面积的计算14、如图所示：下列正多边形都满足，在正三角形中，我们可推得：；在正方形中，可推得：；在正五边形中，可推得：，依此类推在正八边形中，，在正边形中，.【答案】135°．【解析】试题分析：根据图中所提示的内容，结合图形，找出规律，找到每种图形中∠EPA与其内角的关系．试题解析：在已知几个图中，都有△BEC≌△AFC，都有∠BPF=∠C，所以∠BPF都是等于这个多边形内角的度数；已知八边形内角为135°，所以在正八边形中，∠EPA=135°．考点: 正多边形和圆.15、计算：．【答案】.【解析】试题分析：根据二次根式、特殊角的三角函数值、非零数的零次幂的意义进行计算即可得出答案.试题解析：考点:实数的混合运算．16、已知：二次函数的图象开口向上，并且经过原点. （1）求的值；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标.【答案】（1）1；（2）（，-）．【解析】试题分析：（1）根据二次函数图象开口向上判断出a＞0，再把原点坐标代入函数解析式求解即可；（2）根据配方法的操作整理成顶点式解析式，然后写出顶点坐标即可．试题解析:（1）∵图象开口向上，∴a＞0，∵函数图象经过原点O（0，0），∴a2-1=0，解得a1=1，a2=-1（舍去），∴a=1；（2）y=x2-3x=x2-3x+=（x-）2-，故抛物线顶点坐标为（，-）．考点: 1.二次函数的性质；2.二次函数的三种形式．17、如图,在△ABC中，BD⊥AC于点D，,,并且.求的长.【答案】.【解析】试题分析：在Rt△ABD中，tan∠ABD=,即可求出∠ABD=30°，从而判断△ABC为直角三角形，且∠C=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出AC的长.试题解析：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，AB=，BD=∴tan∠ABD=,∴∠ABD=30°，∠A=60°∵∠ABD=∠CBD∴∠CBD=60°，∠ABC=90°在Rt△ABD中，考点: 解直角三角形．18、已知：一次函数y=2x+1与y轴交于点C,点A(1,n)是该函数与反比例函数在第一象限内的交点．（1）求点的坐标及的值；（2）试在轴上确定一点，使，求出点的坐标．【答案】（1）（1，3），3；（2）（2，0）或（-2，0）.【解析】试题分析：（1）将A点坐标代入一次函数解析式求出n的值，再把A点坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式．（2）过A点作AD⊥y轴，根据已知条件即可判断出△COB≌△ADC,因此OB=DC=2，从而确定点B的坐标.试题解析：（1）点A（1，n）在y=2x+1的图象上，∴n=3，A(1，3)点A（1，3）在的图象上，∴k=3（2）如图，作AD⊥y轴，垂足为D∵OC=AD=1，BC=AC且∠COB=∠ADC=90°∴△COB≌△ADC∴OB=DC=2∴B点坐标为（2，0）或（-2，0）考点: 反比例函数．19、已知：如图，⊙的直径与弦(不是直径)交于点，若=2，，求的长．【答案】.【解析】试题分析：连结OD，设⊙O的半径为R，根据AB是⊙O的直径，且CF=DF，在Rt△OFD中，根据勾股定理可得出AF的长，在Rt△ACF中，根据勾股定理可求出AC的长．试题解析：如图，连结OD，设⊙O的半径为R，∵AB是⊙O的直径，且CF=DF，∴AB⊥CD，∵OB=R BF=2，则OF=R-2，在Rt△OFD中，由勾股定理得：R2=（R-2）2+42，解得：R=5∴AF=8．在Rt△ACF中由勾股定理得：AC=．考点:1.垂径定理；2.勾股定理．20、如图，某机器人在点A待命，得到指令后从A点出发，沿着北偏东30°的方向，行了4个单位到达B点，此时观察到原点O在它的西北方向上，求A点的坐标（结果保留根号）．【答案】（0，-2-2）．【解析】试题分析：首先过点B做BD⊥y轴于点D，得出BD，AD的长，进而得出OA的长，即可得出A点坐标．试题解析：过点B做BD⊥y轴于点D．在Rt△ADB中，∠BAD=30°，AB=4，∴BD=ABsin∠BAO=2，AD=ABcos∠BAO=2，又∵∠BDO=90°，∴∠DBO=45°，∴OD=BD=2，∴OA=OD+AD=2+2∴A（0，-2-2）．考点: 解直角三角形的应用-方向角问题．21、已知：在中，，于，,若，，求的值及CD的长.【答案】3，．【解析】试题分析：根据“同角的余角相等”得到，∠ABC=∠ACD，然求同角的余弦三角函数得到．令BC=4k，AB=5k，则AC=3k．由BE：AB=3：5，知BE=3k．所以在中，tan∠AEC＝，则易求CD＝．试题解析：在Rt△ACD与Rt△ABC中，∵∠ABC+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴cos∠ABC=cos∠ACD=在Rt△ABC中，令BC=4k，AB=5k，则AC=3k由BE：AB=3：5，知BE=3k则CE=k，且CE=，则k=，AC=3．∴Rt△ACE中，tan∠AEC=，∵Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴CD=．考点: 解直角三角形.22、如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中的曲线是抛物线的一部分，要裁出一个等边三角形，使其一个顶点与抛物线的顶点重合，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长（结果精确到，）.【答案】（1）点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）；(2).【解析】试题分析：以抛物线的顶点O为坐标原点，过点O作直线AB的平行线和垂线分别作为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为y=ax2（a≠0），利用已知数据求出a的值，再利用等边三角形的性质计算即可．试题解析：以抛物线的顶点O为坐标原点，过点O作直线AB的平行线和垂线分别作为x轴和y轴，建立平面直角坐标系．则D（3，-6）设抛物线解析式为y=ax2（a≠0），∵D（3，-6）在抛物线上代入得：a=?，∴y=?x2，∵△ABO是等边三角形，∴OH=BH，设B(x，?x)，∴?x=?x2，∴x1=0（舍），x2=，∴BH=，AB=3≈5.2(dm)，答：等边三角形的边长为5.2dm考点: 二次函数的应用.23、已知：如图，是⊙的直径，是⊙外一点，过点作的垂线，交的延长线于点,的延长线与⊙交于点，．（1）求证：是⊙的切线；（2）若，⊙的半径为，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）连接OC，若要证明DC是⊙O的切线，则可转化为证明∠DCO=90°即可；（2）设AD=k，则AE=，ED=2k，利用勾股定理计算即可．试题解析：（1）证明：连结OC，∵DE=DC，∴∠4=∠E，∵OA=OC，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠4+∠1=∠E+∠3=90°，∴DC是⊙O的切线；（2）∵∠4=∠E，∴，设AD=k，则AE=k，ED=2k，∴DC=2k，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD2=DC2+OC2，∴(+k)2=(2k)2+2，∴k=0(舍)，k=，∴AE=k=考点: 1.切线的判定；2.解直角三角形；3.勾股定理．24、如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点. C为二次函数图象的顶点.（1）求二次函数的解析式；（2）定义函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y1或y2，若y1≠y2，函数f的函数值等于y1、y2中的较小值;若y1=y2，函数f的函数值等于y1（或y2）.” 当直线（k >0）与函数f的图象只有两个交点时，求的值.【答案】（1）y=x2-2x+1；（2）k=1，，．【解析】试题分析：（1）根据题意设抛物线的解析式为y=a(x-1)2，把A（0，1）代入求出a的值即可.（2）根据题意可知直线（k >0）与函数f的图象只有两个交点共有三种情况：①直线与直线AB：y=x+1平行，②直线过点B（3，4），③直线与二次函数y=x2-2x+1的图象只有一个交点，分别求出k的值即可.试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)2，，由抛物线过点A(0,1)，可得y=x2-2x+1（2）可得B（3，4）直线（k >0）与函数f的图象只有两个交点共有三种情况：①直线与直线AB：y=x+1平行，此时k=1；②直线过点B（3，4），此时；③直线与二次函数y=x2-2x+1的图象只有一个交点，此时有得,由△=0可得，.综上：k=1，，．考点:二次函数综合题.25、将绕点按逆时针方向旋转,旋转角为，旋转后使各边长变为原来的倍，得到,我们将这种变换记为[]．（1）如图①,对作变换[]得，则：=___；直线与直线所夹的锐角为__ °；图①（2）如图②，中，，对作变换[]得，使得四边形为梯形，其中∥,且梯形的面积为，求和的值．图②【答案】（1）3，60；（2）60°，4.【解析】试题分析：根据题意知△ABC∽△AB′C′，因此；直线BC与B′C′所夹的锐角的度数为：360°-90°-90°-60°-120°=60°.(2)因为AB∥B′C′，∠C′=90°，∠BAC=30°，所以∠CAC′=60°；由△ABC∽△AB′C′及梯形面积可求出n的值.试题解析：（1） 3 ， 60（2）由题意可知：△ABC∽△AB′C′，∴∠C′=∠C=90°，∵AB∥B′C′，∴∠BAC′=90°∴在Rt△ABC中,，∴，∴在直角梯形K中，∴n=4，n=-6（舍去）∴，n=4考点:1.旋转；2相似三角形．26、已知点和点在抛物线上.（1）求的值及点的坐标；（2）点在轴上，且满足△是以为直角边的直角三角形，求点的坐标;（3）平移抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为. 点M（2,0）在x轴上，当抛物线向右平移到某个位置时，最短，求此时抛物线的函数解析式.【答案】（1），B(-4，-8)；（2）(0,0)或（0，-12）；（3）右平移个单位时，抛物线的解析式为.【解析】试题分析：（1）把点A（2，-2）代入求出a=的值；把点B（-4，n）代入求得n=-8；（2）先求出直线AB的解析式，然后进行分类讨论求出点P的坐标；（3）利用对称性求解即可.试题解析：（1）a=抛物线解析式为：B(-4，-8)；(2) 记直线AB与x、y轴分别交于C、D两点，则直线AB：y=x-4C（4，0）、D（0，-4）在Rt△COD中，∵OC=DO∴∠ODA=45°以A为直角顶点，则在中，则∴又∵D（0，-4）∴（0，0）以B为直角顶点，则在中，∴∴(0,-12)∴P(0,0)或（0，-12）（3）记点A关于x轴的对称点为E(2，2)则BE:令y=0,得即BE与x轴的交点为Q（，0）故抛物线向右平移个单位时最短此时，抛物线的解析式为考点:二次函数综合题．。
2014北京石景山中考二模数学(含解析)
点 A5 的坐标为_________，点 Cn 的坐标为_______________． 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）
1 13．计算： 27 2sin 60 ( )1 6
12 3 ．
0
2 / 15
2 x 1≥x 1 14．解不等式组 ． x 8≤4 x 1
1 / 15
C
y 4 3 2 B D'
y 4 C' 3 2 1 2 1 A' 3 x –3 –2 –1 O
图2
B'
D
1 A –3 –2 –1 O
图1
1
y 4
2
3 x
y 4 y 2 1 O 1 2
A．
3 2 1 3 x O 1 2
y 2 1 3 x O 1 2
3 2 1 3 x O 1
D．
2
3 x
B．
备用图
备用图 1
7 / 15
备用图 2
2014 年北京石景山区中考二模数学试卷答案
一、选择题（本题共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 题 号 答 案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 B 6 A 7 C 8 D
二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分） 9． a( x 2 y)( x 2 y) ； 10． b 0 即可，答案不唯一； 11． m 2 ； 12． (16 , 0) ； (2n , 2n1 ) ．
y
O
x
6 / 15
24．将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 得到 △ADE ， DE 的延长线与 BC 相交于点 F ，连接 AF ． （1）如图 1 ，若 BAC 60 ， DF 2BF ，请直接写出 AF 与 BF 的数量关系； （2） 如图 2 ， 若 BAC 60 ，DF 3BF ， 猜想线段 AF 与 BF 的数量关系， 并证明你的猜想； （3）如图 3 ，若 BAC ， DF mBF （ m 为常数） ，请直接写出 表示） ．
北京市石景山实验中学2014-2015学年九年级(上)期末数学模拟试卷(二解析版)人教版
2014-2015学年北京市石景山实验中学九年级（上）期末数学模拟试卷（二）一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）（2013•烟台）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）反比例函数（k≠0）的图象过点（﹣1，1），则此函数的图象在直角坐标系中的（）A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限3．（4分）（2006•宜昌）某电视台举行的歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手已分别抽走了2号、7号题，第3位选手抽中8号题的概率是（）A．B．C．D．4．（4分）（2009•东营）如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1．则其旋转中心一定是（）A．点E B．点F C．点G D．点H5．（4分）（2014•西城区二模）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB 由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m，BC=8m，则旗杆的高度是（）A．6.4m B．7m C．8m D．96．（4分）（2014•石景山区一模）将二次函数y=2x2﹣8x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=2（x﹣2）2﹣1 B．y=2（x﹣4）2+32 C．y=2（x﹣2）2﹣9 D．y=2（x﹣4）2﹣337．（4分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（）A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．D．AC2=AD•AB8．（4分）（2014•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的位置如图1所示，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2），点D的坐标为（﹣3，1）．矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为x（0≤x≤3）秒，第一象限内的图形面积为y，则下列图象中表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B．C． D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2007•山西）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是_________．（写出名称）10．（4分）（2005•贵阳）如图，P是反比例函数图象在第二象限上一点，且矩形PEOF的面积是3，则反比例函数的解析式为_________．11．（4分）（2014•门头沟区一模）如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，AB=2，∠A=30°，则⊙O的直径为_________．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时，的值为_________；当时，为_________．（用含n的式子表示）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）计算：tan60°+sin245°﹣2cos30°．14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．（1）若点A（，3），则A′的坐标为_________；（2）若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积=_________．15．（5分）已知2x2+2x﹣4=0，求2（x﹣1）2﹣x（x﹣6）+3的值．16．（5分）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．17．（5分）（2013•朝阳区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx﹣2的图象与x、y轴分别交于点A、B，与反比例函数（x＜0）的图象交于点．（1）求A、B两点的坐标；（2）设点P是一次函数y=kx﹣2图象上的一点，且满足△APO的面积是△ABO的面积的2倍，直接写出点P的坐标．18．（5分）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用10米长的墙，另三边用总长为20米的篱笆恰好围成（如图所示）．若花圃的面积为48平方米，AB边的长应为多少米？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2012•东城区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，AE⊥BC于点E，cosB=，求tan∠CDE 的值．20．（5分）甲、乙两名同学玩抽纸牌比大小的游戏，规则是：“甲将同一副牌中正面分别标有数字1，3，6的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只抽一张，记下数字；乙将同一副牌中正面分别标有数字2，3，4的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只抽一张，记下数字；若甲同学抽得的数字比乙同学抽得的数字大，甲获胜，反之乙获胜，若数字相同，视为平局．”（1）请用画树状图或列表的方法计算出平局的概率；（2）说明这个规则对甲、乙双方是否公平．21．（5分）（2013•朝阳区一模）如图，⊙O是△ABC是的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若sin∠CAD=，⊙O的直径为8，求CD长．22．（5分）（2012•朝阳区一模）阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中BD的长为_________；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2012•东城区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m=0．（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围；（3）抛物线y=x2﹣（4m+1）x+3m2+m与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．24．（7分）（2013•门头沟区一模）已知：在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E 在线段DF的延长线上，点M在线段DF上，且∠BAE=∠BDF，∠ABE=∠DBM．（1）如图1，当∠ABC=45°时，线段DM与AE之间的数量关系是_________；（2）如图2，当∠ABC=60°时，线段DM与AE之间的数量关系是_________；（3）①如图3，当∠ABC=α（0°＜α＜90°）时，线段DM与AE之间的数量关系是_________；②在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连结CP，若AB=7，AE=，求sin∠ACP的值．25．（8分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的表达式；（3）若二次函数y=x2﹣﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，直接写出实数a，b的值．2014-2015学年北京市石景山实验中学九年级（上）期末数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）（2013•烟台）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形．分析：根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．解答：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选B．点评：此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（4分）反比例函数（k≠0）的图象过点（﹣1，1），则此函数的图象在直角坐标系中的（）A．第二、四象限B．第一、三象限C．第一、二象限D．第三、四象限考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象．分析：首先将点（﹣1，1）代入反比例函数的解析式，并求得k的值；然后由k的符号确定该函数的图象所在的象限．解答：解：∵反比例函数（k≠0）的图象过点（﹣1，1），∴1=，解得，k=﹣1＜0，∴反比例函数（k≠0）的图象经过第二、四象限．故选A．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数的图象．反比例函数（k≠0），当k＞0时，该3．（4分）（2006•宜昌）某电视台举行的歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手已分别抽走了2号、7号题，第3位选手抽中8号题的概率是（）A．B．C．D．考点：概率公式．分析：先求出题的总号数及8号的个数，再根据概率公式解答即可．解答：解：前两位选手抽走2号、7号题，第3位选手从1、3、4、5、6、8、9、10共8位中抽一个号，共有8种可能，每个数字被抽到的机会相等，所以抽中8号的概率为．故选B．点评：考查概率的求法，关键是真正理解概率的意义，正确认识到本题是八选一的问题，不受前面叙述的影响．4．（4分）（2009•东营）如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1．则其旋转中心一定是（）A．点EB．点FC．点GD．点H考点：旋转的性质．解答：解：根据旋转的性质，知：旋转中心，一定在对应点所连线段的垂直平分线上．则其旋转中心是NN1和PP1的垂直平分线的交点，即点G．故选C．点评：本题考查旋转的性质，要结合三角形的性质和网格特征解答．5．（4分）（2014•西城区二模）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB 由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m，BC=8m，则旗杆的高度是（）A．6.4mB．7mC．8mD．9考点：相似三角形的应用．分析：因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．解答：解：设旗杆高度为h，由题意得=，h=8米．故选：C．点评：本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．6．（4分）（2014•石景山区一模）将二次函数y=2x2﹣8x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=2（x﹣2）2﹣1B．y=2（x﹣4）2+32C．y=2（x﹣2）2﹣9考点：二次函数的三种形式．分析：利用配方法整理即可得解．解答：解：y=2x2﹣8x﹣1，=2（x2﹣4x+4）﹣8﹣1，=2（x﹣2）2﹣9，即y=2（x﹣2）2﹣9．故选C．点评：本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的操作是解题的关键．7．（4分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（）A．∠B=∠ACDB．∠ADC=∠ACBC．D．AC2=AD•AB考点：相似三角形的判定．专题：计算题．分析：根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．解答：解：∵∠A是公共角，∴再加上∠B=∠ACD，或∠ADC=∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，∵∠A是公共角，再加上AC2=AD•AB，即=，也可判定△ABC∽△ACD，∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．故选C．点评：8．（4分）（2014•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的位置如图1所示，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2），点D的坐标为（﹣3，1）．矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为x（0≤x≤3）秒，第一象限内的图形面积为y，则下列图象中表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：根据点A、B、D的坐标求出OA=OB=2，△AOB是等腰直角三角形，AD=，AB=2，由矩形的性质得出AD=BC=，AB=CD=2，∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，再分三种情况进行讨论：①当0≤x≤1时，矩形ABCD落在第一象限内的图形是三角形PB′Q，利用三角形的面积公式表示出y与x的函数关系式，②当1＜x≤2时，矩形ABCD 落在第一象限内的图形是梯形PB′CQ，利用梯形的面积公式表示出y与x的函数关系式，③当2＜x≤3时，矩形ABCD 落在第一象限内的图形是五边形PA′B′CQ，利用矩形的面积减去三角形的面积，列式整理得到y与x的函数关系式，从而判断出函数图象而得解．解答：解：如图1，∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2），点D的坐标为（﹣3，1），∴OA=OB=2，△AOB是等腰直角三角形，AD==，∴AB=2．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=，AB=CD=2，∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°．分三种情况：①当0≤x≤1时，矩形ABCD落在第一象限内的图形是三角形PB′Q，如图2．∵OA′=2﹣x，△A′OP是等腰直角三角形，∴A′P=OA′=（2﹣x），∴PB′=A′B′﹣A′P=2﹣（2﹣x）=x，∵△PB′Q是等腰直角三角形，∴y=PB′2=×（x）2=x2；②当1＜x≤2时，矩形ABCD落在第一象限内的图形是梯形PB′CQ，如图3．∵OA′=2﹣x，△A′OP是等腰直角三角形，∴A′P=OA′=（2﹣x），∴PB′=A′B′﹣A′P=2﹣（2﹣x）=x，D′Q=（2﹣x）+=3﹣x，∴C′Q=2﹣（3﹣x）=x﹣，∴y=（C′Q+B′P）•B′C′=（x﹣+x）×=2x﹣1；③当2＜x≤3时，矩形ABCD落在第一象限内的图形是五边形PA′B′CQ，如图4．∵OA′=x﹣2，△A′OP是等腰直角三角形，∴A′P=OA′=（x﹣2），∴PD′=A′D′﹣A′P=﹣（x﹣2）=3﹣x，∴S△PD′Q=PD′2=×（3﹣x）2=x2﹣6x+9；∴y=S矩形A′B′C′D′﹣S△PD′Q=2×﹣（x2﹣6x+9）=﹣x2+6x﹣5；纵观各选项，只有D选项图形符合．故选D．点评：本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，分三段得到第一象限内的图形并求出相应的函数关系式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2007•山西）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是圆柱．（写出名称）考点：简单几何体的三视图．分析：通过给出的三种视图，然后综合想象，得出这个几何体是圆柱体．解答：解：根据题意，这个几何体是圆柱．点评：本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．10．（4分）（2005•贵阳）如图，P是反比例函数图象在第二象限上一点，且矩形PEOF的面积是3，则反比例函数的解析式为．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：数形结合．分析：因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|，再根据反比例函数的图象所在的象限确定k的值，即可求出反比例函数的解析式．解答：解：由图象上的点所构成的矩形面积为3可知，S=|k|=3，k=±3．又由于反比例函数的图象在第二、四象限，k＜0，则k=﹣3，所以反比例函数的解析式为．故答案为：．点评：主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．11．（4分）（2014•门头沟区一模）如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，AB=2，∠A=30°，则⊙O的直径为4．考点：垂径定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：连结OB，根据垂径定理得到AD=BD=AB=，再根据圆周角定理得∠COB=2∠A=60°，则可根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD=BD=1，OB=2OD=2，于是得到⊙O的直径为4．解答：解：连结OB，如图，∵半径OC⊥AB于点D，∴AD=BD=AB=，∵∠A=30°，∴∠COB=2∠A=60°，∴OD=BD=1，∴OB=2OD=2，∴⊙O的直径为4．故答案为4．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时，的值为；当时，为．（用含n的式子表示）考点：相似三角形的判定与性质．专题：规律型．分析：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，由OD∥BC，OE∥AC易得△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，根据相似的性质得=，=，由于，则=，=，所以=，在Rt△ABC中，利用正切的定义得tanB=tan30°==，即=，所以=；利用等角的余角相等得到∠DOP=∠QOE，则Rt△DOP∽Rt△EOQ，则==，且当n=2时，即时，=．解答：解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，∵∠ACB=90°，∴OD∥BC，OE∥AC，∴△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，∴=，=，∵，∴=，=，∴=，=，∴=，在Rt△ABC中，tanB=tan30°==，即=，∴=，∵∠POQ=90°，而∠DOE=90°，∴∠DOP=∠QOE，∴Rt△DOP∽Rt△EOQ，∴==，当n=2时，即时，=．故答案为，．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）计算：tan60°+sin245°﹣2cos30°．考点：特殊角的三角函数值．分析：将特殊角的三角函数值代入求解．解答：解：原式=+﹣=．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．（1）若点A（，3），则A′的坐标为（5，6）；（2）若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积=4m．考点：位似变换；坐标与图形性质；相似三角形的性质．分析：（1）利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky）．（2）利用面积比等于位似比的平方得出即可．解答：解：（1）∵B（3，1），B′（6，2）．∴点A（，3），则A′的坐标为：（×2，3×2）即（5，6）；（2）∵△ABC的面积为m，∴△A′B′C′的面积为4m．故答案为：（1）（5，6）（2）4m．点评：此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．15．（5分）已知2x2+2x﹣4=0，求2（x﹣1）2﹣x（x﹣6）+3的值．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：本题应先将原式去括号、合并同类项，将原式化为含有x2+2x+5的式子，再根据方程求得x的值将x的值代入x2+2x+5的式子即可．解答：解：2（x﹣1）2﹣x（x﹣6）+3=2x2﹣4x+2﹣x2+6x+3=x2+2x+5∵2x2+2x﹣4=0，∴x2+x﹣2=0，∴x1=﹣2，x2=1，所以2（x﹣1）2﹣x（x﹣6）+3=x+7=5或8．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：单项式乘以多项式法则，完全平方公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则及公式是解本题的关键．16．（5分）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB，又因为又∠DAE=∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以，由平行四边形的性质可知BC=AD=8，所以EC=BC﹣BE=8﹣2=6，代入计算即可．解答：（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB．又∵∠DAE=∠F，∴∠AEB=∠F．∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8．∴EC=BC﹣BE=8﹣2=6．∴．∴．点评：本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，是中考常见题型．17．（5分）（2013•朝阳区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx﹣2的图象与x、y轴分别交于点A、B，与反比例函数（x＜0）的图象交于点．（1）求A、B两点的坐标；（2）设点P是一次函数y=kx﹣2图象上的一点，且满足△APO的面积是△ABO的面积的2倍，直接写出点P的坐标．考点：反比例函数综合题．分析：（1）将点M的坐标代入反比例函数，可得出n的值，再将点M的具体坐标代入一次函数，从而得出k的值，然后求A、B的坐标即可．（2）根据△APO的面积，求出点P的纵坐标，代入直线解析式可得出点P的坐标．解答：解：（1）∵点在反比例函数（x＜0）的图象上，∴n=1，∴．∵一次函数y=kx﹣2的图象经过点，∴．∴k=﹣2，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣2，∴A（﹣1，0），B（0，﹣2）．（2）S△AOB=OA×OB=1，设点P的坐标为（a，﹣2a﹣2），由题意得，×1×|﹣2a﹣2|=2，解得：a1=1，a2=﹣3，故P1（﹣3，4），P2（1，﹣4）．点评：本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是求出点M的坐标，第二问中要设出点P的纵坐标，根据△AOP的面积求出纵坐标．18．（5分）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用10米长的墙，另三边用总长为20米的篱笆恰好围成（如图所示）．若花圃的面积为48平方米，AB边的长应为多少米？考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：设AB边的长为x米，则BC边的长为（20﹣2x）米，利用矩形的面积公式列出方程求解即可；解答：解：设AB边的长为x米，则BC边的长为（20﹣2x）米，x（20﹣2x）=48解得x=4或x=6．∵20﹣2x≤10，∴x≥5，∴x=6，答：AB边的长应为6米．点评：本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解答本类题目的关键．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2012•东城区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，AE⊥BC于点E，cosB=，求tan∠CDE 的值．考点：平行四边形的性质；解直角三角形．分析：首先由已知条件和勾股定理计算CE=5，所以CD=AB，进而得到∠CDE=∠CED=∠ADE，所以tan∠CDE=tan∠ADE问题的解．解答：解：在△ABE中，AE⊥BC，AB=5，cosB=，∴BE=3，AE=4．∴EC=BC﹣BE=8﹣3=5．∵平行四边形ABCD，∴CD=AB=5．∴△CED为等腰三角形．∴∠CDE=∠CED．∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CED．∴∠CDE=∠ADE．在Rt△ADE中，AE=4，AD=BC=8，∴tan∠CDE==．点评：本题考查了解直角三角形的运用、勾股定理的运用、平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找到图形中相等的角．20．（5分）甲、乙两名同学玩抽纸牌比大小的游戏，规则是：“甲将同一副牌中正面分别标有数字1，3，6的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只抽一张，记下数字；乙将同一副牌中正面分别标有数字2，3，4的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只抽一张，记下数字；若甲同学抽得的数字比乙同学抽得的数字大，甲获胜，反之乙获胜，若数字相同，视为平局．”（1）请用画树状图或列表的方法计算出平局的概率；（2）说明这个规则对甲、乙双方是否公平．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）先列表展示所有9种等可能的结果数，再找出数字相同的结果数，然后根据概率公式计算；（2）分别计算出甲和乙获胜的概率，然后比较概率大小后判断游戏的公平性．解答：解：（1）列表如下：甲/乙2341（1，2）乙胜（1，3）乙胜（1，4）乙胜3（3，2）甲胜（3，3）平局（3，4）乙胜6（6，2）甲胜（6，3）甲胜（6，4）甲胜由列表可知，可能出现的结果有9个，平局的结果有1个，所以P（平局）=．…（4分）（2）甲获胜的概率=，乙获胜的概率=，所以两方获胜的概率相等，游戏规则对双方是公平的．点评：本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．21．（5分）（2013•朝阳区一模）如图，⊙O是△ABC是的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若sin∠CAD=，⊙O的直径为8，求CD长．考点：切线的判定；解直角三角形．专题：计算题．分析：（1）连结OA，根据圆周角定理的推论得到∠BAC=90°，由∠CAD=∠B易得∠BAO=∠CAD，则∠CAD+∠CAO=90°，于是OA⊥AD，然后根据切线的判定方法即可得到直线AD是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，由sinB=sin∠CAD=，根据正弦的定义可计算出AC=2，再根据勾股定理可计算出AB=2，利用△DAC∽△DBA得===，即AD=CD，然后在Rt△OAD中，根据勾股定理可得到关于CD的方程，然后解方程得CD的长．解答：（1）证明：连结OA，如图，∵BC为⊙O直径，∴∠BAC=90°，即∠BAO+∠CAO=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠BAO，而∠CAD=∠B，∴∠BAO=∠CAD，∴∠CAD+∠CAO=90°，即∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∴直线AD是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，sinB=sin∠CAD=，而sinB=，BC=8，∴AC=2，∴AB==2，∵∠CAD=∠B，∴△DAC∽△DBA，∴===，即AD=CD，在Rt△OAD中，OA=OC=4，∵OA2+AD2=OD2，∴42+（CD）2=（4+CD）2，∴CD=．点评：本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理的推论．22．（5分）（2012•朝阳区一模）阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中BD的长为2；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：（1）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，可得△ADC≌△AEC，又∠DCA=45°，即可得△CDE是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出BD的长；（2）同理把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，可得△ADC≌△AEC，又由∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，易证得△CDE为等边三角形，则DE的长，然后在AE上截取AF=AB，连接DF，可证得△ABD≌△AFD，即可得BD=DF，然后由角的关系，求得∠DFE=∠DEF=75°，根据等边对等角的性质，即可得BD=DE，即可求得BD的长；再作BG⊥AD 于点G，可得△BDG是等腰直角三角形，即可求得BG的长，又由∠BAD=30°，即可求得AB的长．解答：解：（1）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，∴△ADC≌△AEC，∴∠DCA=∠ECA，DC=EC，∠DAC=∠CAE，∵∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，∠DAE=∠DAC+∠CAE=2∠DAC，∴∠ECD=∠ECA+∠DCA=90°，∠BAD=∠DAE，∴DE==2，∵∠ADB=∠DAC+∠ACD=22.5°+45°=67.5°，∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠EDC=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°，∴∠ADB=∠ADE，在△BAD和△EAD中，∵，∴△BAD≌△EAD（ASA），∴BD=DE=2；…（2分）故答案为：2．（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，∴△ADC≌△AEC，∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，DC=EC，∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°，∴△CDE为等边三角形，…（3分）∴DC=DE，在AE上截取AF=AB，连接DF，∵AD是公共边，∴△ABD≌△AFD，∴BD=DF，在△ABD中，∠ADB=∠DAC+∠DCA=45°，∴∠ADE=∠AED=75°，∠ABD=105°，∴∠AFD=105°，∴∠DFE=75°，∴∠DFE=∠DEF，∴DF=DE，∴BD=DC=2，…（4分）作BG⊥AD于点G，∴在Rt△BDG中，BG=BD•sin∠ADB=2×=，…（5分）∴在Rt△ABG中，AB=2BG=2．…（6分）点评：此题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是根据题意作出辅助线；注意数形结合思想的应用．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2012•东城区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m=0．（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围；（3）抛物线y=x2﹣（4m+1）x+3m2+m与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．考点：根的判别式；根与系数的关系；二次函数图象与几何变换．专题：代数几何综合题；判别式法．分析：（1）先计算判别式的值得到△=（2m+1）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用公式法科得到x1=3m+1，x2=m，然后根据原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7列不等式组，然后解不等式组得到m的取值范围；（3）先确定m=1，再把抛物线配成顶点式得y=x﹣）2﹣，然后确定A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，4），直线BC的解析式为y=﹣x+4，由于抛物线的对称轴为直线x=，则求出直线x=与x轴的交点和与直线BC的交点坐标即可得到n的范围．解答：（1）证明：△=[﹣（4m+1）]2﹣4（3m2+m）=4m2+4m+1=（2m+1）2∵（2m+1）2≥0，∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）解：解方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m=0得x1=3m+1，x2=m，由题意得，解得；（3）解：m=1，抛物线为y=x2﹣5x+4=（x﹣）2﹣，A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，4），直线BC的解析式为y=﹣x+4，当x=时，y=﹣x+4=，所以此抛物线向上平移或（+）个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在边AB或BC上，所以符合题意的n的取值范围是．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了二次函数图象与几何变换．24．（7分）（2013•门头沟区一模）已知：在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E 在线段DF的延长线上，点M在线段DF上，且∠BAE=∠BDF，∠ABE=∠DBM．。
2014.1石景山九年级第一学期期数学末答案
石景山区2013-2014学年度第一学期期末考试试卷初三数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．9．23； 10.55； 11．5322++-=x x y ； 12. x x y 250102+-=,250<<x ; 13．56π； 14．135︒;()2180n n-⋅︒． 三、解答题（本题共7道小题，每小题5分，共35分）15．解：030cos 2145tan 60sin 227⎪⎭⎫ ⎝⎛︒--︒︒+=123233-⨯+ ……………………………………………………4分 =134- ……………………………………………………………5分 16．解：（1）a =1； ……………………………………………………………2分（2）x x y 32-=494932-+-=x x ………………………………………3分 49232--=）（x ………………………………………4分 ∴抛物线顶点坐标为)49,23(- ………………………………5分17．解：在Rt ABD ∆中, 90BDA ∠=︒，AB =BD = 23226c o s ==∠∴A B D ………1分30ABD ∴∠=︒，60A ∠=︒ ……3分12ABD CBD ∠=∠60CBD ∴∠=︒90ABC ∴∠=︒ ……4分在ABC Rt ∆中,24cos ==AAB AC ……………5分18. 解：（1） 点),1(n A 在12+=x y 的图象上， ∴()3,1,3A n =………………………1分 点)3,1(A 在xky =的图象上， ∴3=k ……………………………2分 （2）如图，作⊥AD y 轴，垂足为D AC BC AD OC ===,1 . 且ADCCOB ∠==∠90ADC COB △△≅∴…………………3分 2==∴DC OB()()0,2'0,2-∴B B 或. ……………………5分.19.解：方法一：连结OD ………………1分 设⊙O 的半径为R∵AB 是⊙O 的直径，且CF=DF∴CD AB ⊥ ………………2分 ∵ OB=R BF=2 则2-R OF = 在OFD Rt ∆中，由勾股定理得：()22242-+=R R …………3分解得：5=R∴8=AF ………………4分 在ACF Rt ∆中由勾股定理得：5422=+=AF CF AC ………………5分 方法二：连结CB ………………1分 ∵AB 是⊙O 的直径，且CF=DF ∴CD AB ⊥, ………………2分∴1tan tan ∠=A ∴CFBFAF CF = ………………3分 ∴8=AF ………………4分 在ACF Rt ∆中由勾股定理得：54=AC ………………5分20. 解: 过点B 做y ⊥BD 轴于点D . ……………1分在ADB Rt ∆中，30=∠BAD ，4=AB 2sin =∠=∴BAO AB BD ， ………2分 32cos =∠=BAO AB AD . ………3分 又90=∠BDO45=∠∴DBO ， 2==∴BD OD . ………4分 322+=+=∴AD OD OA()322,0--∴A ………5分21. 解：在ACD Rt ∆与ABC Rt ∆中︒=∠+∠90CAD ABC ︒=∠+∠90CAD ACDACD ABC ∠=∠∴ ………………1分 54cos cos =∠=∠∴ACD ABC 在Rt ABC △中，54=AB BC 令k AB k BC 5,4== ………………2分 则k AC 3=由k BE AB BE 3,5:3:==知则2,==CE k CE 且 ………………3分 则2=k ，23=AC3tan ==∠∆∴CEACAEC ACE Rt 中，……………4分54cos ==∠∆AC CD ACD ACD Rt 中， ， 2512=∴CD …………………5分四、解答题（本题共3道小题，每小题5分，共15分）22. 解：（说明：根据建立的坐标系的位置的不同，抛物线的解析式也不同）以抛物线的顶点O 为坐标原点， 过点O 作直线AB 的平行线和垂线分别作为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系. …………………1分 则()63-，D设抛物线解析式为()02≠=a ax y ，()63-，D 在抛物线上 代入得：32-=a232x y -=∴ …………….2分 △ABO 是等边三角形 BH OH 3=∴设()x x B 3,-………………3分 2323x x -=-01=∴x （舍），3232=x 323=∴BH ，)(2.533dm AB ≈=…………………………. 4分 答：等边三角形的边长为dm 2.5 . ………………………… 5分23. 解：(1)证明：连结OC ………………1分DC DE = E ∠=∠∴4 OC OA = 21∠=∠∴ 又32∠=∠则31∠=∠︒=∠+∠=∠+∠∴90314E ……2分∴DC 是⊙O 的切线 (2) E ∠=∠455sin =∠∴E，设k AD =k DC k ED k AE 2,2,5=∴==则………………3分在OCD Rt △中，由勾股定理得： 222OC DC OD +=2225)2()5(+=+∴k k ………………4分352,)(0==∴k k 舍 3105==∴k AE ……………5分6dm6dm24. 解：（1）设抛物线解析式为2)1(-=x a y ，由抛物线过点)10(，A ，可得122+-=x x y …………2分 （2）可得)4,3(B直线21-=kx y （k >0）与函数f 的图象只有两个交点共有三种情况：①直线21-=kx y 与直线AB ：1+=x y 平行，此时1=k ；…3分 ②直线21-=kx y 过点)4,3(B ，此时23=k ； ………………4分③直线21-=kx y 与二次函数122+-=x x y 的图象只有一个交点， 此时有⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=.12212x x y kx y ， 得21122-=+-kx x x , 由,0=∆可得)(26,2-621舍--==k k .…………5分 综上：1=k ，23=k ，2-6=k五、解答题（本题共2道小题，每小题7分，共14分）25. 解：（1） 3 ， 60 ………………………………………2分 （2） 由题意可知：C B A ''△∽ABC △n BC C B AC C A C C =''='=∠='∠∴,90︒=∠∴90',''//BAC C B AB60-90=∠︒=α∴BAC ……………………………4分在ABC Rt △中,121230cos ====AB BC AC AB ， n C B n AC =''=∴,3'………………………………5分∴在直角梯形C B AB ''中，()C A C B AB S '''+=21()3123221=+=n n …………………………6分()舍去6,4-==∴n n ………………………………7分4,60==α∴n26．解：（1）21-=a ……………………1分 抛物线解析式为：221x y -=)8,4(--B ……………………2分 (2) 记直线AB 与x 、y 轴分别交于C 、D 两点，4:则-=x y AB 直线)4,0(、)0,4(-D C ………………………3分 ︒=∠∴=∆45中，ODA DO OC COD Rt ， ①以A 为直角顶点，则︒=∠901AB P ︒=∠∆45中，11DA P AD P Rt 则2245cos 1=︒=D P AD421==∴AD D P 又),4，0(-D)0，0(1P ∴…………………4分 ②以B 为直角顶点，则︒=∠902DBP ︒=∠=∠∆45中，22ODC BDP DBP Rt 822==∴BD DP )12，0(-∴P ………………………5分 )12-，0(或)0，0(综上，P ∴（3）记点A 关于x 轴的对称点为)2，2(E 则BE: 3435-=x y令y=0,得54=x 即BE 与x 轴的交点为)0,54(Q ……6分56542=-=MQ故抛物线221x y -=向右平移56个单位时''MB M A +最短此时，抛物线的解析式为2)56(21--=x y …………………7分。
北京市石景山区2014届九年级上期末考试数学试题
石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷初一数学考生 1.本试卷为闭卷考试，满分为 100分，考试时间为100分钟. 须知 2.本试卷共6页，各题答案均写在试卷相应位置上.一、选择题（本大题共 8个小题，每小题 3分，共24分•在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项前的字母填在题后括号内） 1. -2的相反数是（）11A. 2B .C .D . -22 22•当A 地高于海平面152米时，记作“海拔+152米”那么B 地低于海平面23米时，记作 （ ）A .海拔23米B .海拔-23米C .海拔175米D .海拔129米 3.下列各式中，不相等的是 （ ） A . (— 3)2 和一32 B . (-3)2 和 32 C . (-2)3和一23 D .—2’和一2’4.长城总长约为6700000米，用科学计数法表示为（ ）567A . 6.7 10 米B . 6.7 10 米C . 6.7 10 米 5.方程2x+a-4=0的解是 x=-2，贝U a 等于（ ） A . -8 B . 0C . 2D . 86.下列各组整式中不是同类项的是 （ ）2.2 〔2—122. 3 .A . 3m n 与 3nmB . - xy 与—x yC . — 5ab 与—5X10 abD . 35 与—12337. 如图，点C 是线段AB 上的点，点D 是线段BC 的中点，AB=10 , AC=6，则线段CD 的 长是（）D . 6.7 108 米A C D B第7题图A.4B.3C.2D.11二、填空题（本大题共 6个小题，每小题9. 如图，Z a =120o , / 3=90 o . 则/ Y 勺度数是 ______ .10. 125 十 4= ________ __________ '11•数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简b-a+b = _______________b O a第11题图12.如果a-b=3,ab=-1,则代数式 3ab-a+b-2的值是 _____________13.有一个正方体，A, B, C 的对面分别是X, y,z 三个字母，如图所示，将这个正方体置依此翻到第1,2,3 ,4,5,6格， ^A~当正方体翻到第3格时正方体B C向上一面的字母是/ 7^57^-671 / 4/ /第13题图14.用“•”“■”别表▲种种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡,若要使第三架天平也平衡，那么? ”处应放■ ____ 个.第14题图三、探究题（本题 4分，每空1分，把答案填在题中横线上）8.下列基本几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是（ )圆柱 三棱柱 球 长方体 A B C D3分，共18分.把答案填在题中横线上）第10题图15•有若干个数，第1个数记为a1，第二个数记为a2,第三个数记为a3 ,第n个记为a n ,1若a i，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数。
北京市各城区2014年中考数学二模-阅读操作题22题汇总
个正方形 ABCD，使它的边长 a＝ 10 ，要求 A、B、C、D 四个顶点都在小正方形的
格点上. （2）参考小强的思路，探究解决下列问题：作另一个正方形 EFGH，使它的四个顶 点分别在（1）中所做正方形 ABCD 的边上，并且边长 b 取得最 小值. 请你画出图形，并简要说明 b 取得最小值的理由，写出 b 的最 小值.
结论是否仍然成立，并说明理由．
y
y
y
NP
C
1
P（x，
O M x -1 O 1 x O y）B x 11、（2014(年图 密1) 云二模）22．如图，将(图矩2形) 纸片 ABCD 按如下顺序(折图叠3) ：对折、展
平，得折痕 EF(如图①)；沿 GC 折叠，使点 B 落在 EF 上的点 B′处(如图②)；展平，
为点 C；
（2）若直线 MN 上存在点 P，使得 PA＋PB 的值最小，
请直接写出 PA 的长度．
M
B NA
9、（2014 年东城二模）22.我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用 它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题： 如图 1，已知，A，B 在直线 l 的同一侧，在 l 上求作一点，使得 PA+PB 最小．
的面积为 8 4 2 ，则八角形纸板的边长为
．
8、（2014 年通州二模）22．如图，在每个小正方形的边长均为 1 个单位长度的方
格纸中，有线段 AB 和直线 MN，点 A、B、M、N 均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画四边形 ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边
形 ABCD 是以直线 MN 为对称轴的轴对称图形，点 A 的对称点为点 D，点 B 的对称点
北京市石景山区中考数学二模试卷（含答案解析）
北京市石景山区中考数学二模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．﹣a＞c B．a＞b C．ab＞0 D．a＞﹣32．一种细胞的直径约为0.000052米，将0.000052用科学记数法表示为（）A．5.2×105 B．5.2×10﹣5 C．5.2×10﹣4 D．52×10﹣63．如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．130°B．50° C．40° D．25°4．在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．在某次体育测试中，九年级（1）班的15名女生仰卧起坐的成绩如表：成绩（次∕分钟）44 45 46 47 48 49人数（人） 1 1 3 3 5 2则此次测试成绩的中位数和众数分别是（）A．46，48 B．47，47 C．47，48 D．48，486．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上任意一点（与点B不重合），则∠BPC 的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．如图，l1反映了某公司的销售收入（单位：元）与销售量（单位：吨）的关系，l2反映了该公司的销售成本（单位：元）与销售量（单位：吨）的关系，当该公司盈利（收入大于成本）时，销售量应为（）A．大于4吨 B．等于5吨 C．小于5吨 D．大于5吨8．如图，某河的同侧有A，B两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为AC＝2km，BD＝3km，这两条小路相距5km．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A，B两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（）A．距C点1km处 B．距C点2km处 C．距C点3km处 D．CD的中点处9．如图是北京3月1日﹣7日的PM2.5浓度（单位：μg/m3）和空气质量指数（简称AQI）的统计图，当AQI不大于50时称空气质量为“优”，由统计图得到下列说法：①3月4日的PM2.5浓度最高②这七天的PM2.5浓度的平均数是30μg/m3③这七天中有5天的空气质量为“优”④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关其中说法正确的是（）A．②④ B．①③④C．①③ D．①④10．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，动点P从点B出发，在线段BC上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段OP的长为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积是（）A．20 B．24 C．48 D．60二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若二次根式有意义，则x的取值范围为________．12．分解因式：a2b﹣4ab+4b＝___________．13．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，图中阴影部分的面积是12π，则⊙O的半径为_________．14．关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a＝______，c＝_________．15．下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：线段a．求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为2a．作法：如图，（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线DE交BC于点F；（3）在射线FD上顺次截取线段FG＝GA＝a，连接AB，AC．所以△ABC即为所求作的等腰三角形．请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：①_____________：②_____________．16．某林业部门统计某种树苗在本地区一定条件下的移植成活率，结果如表：移植的棵数n 300 700 1000 5000 15000成活的棵数m 280 622 912 4475 135450.933 0.889 0.912 0.895 0.903成活的频率根据表中的数据，估计这种树苗移植成活的概率为_______（精确到0.1）；如果该地区计划成活4.5万棵幼树，那么需要移植这种幼树大约______万棵．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．计算：（π﹣）0+6cos45°+﹣|﹣3|．18．解不等式﹣≥﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．19．如图，在△ABC中，CD＝CA，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．求证：∠ACE＝∠DBF．20．已知x2﹣10xy+25y2＝0，且xy≠0，求代数式﹣÷的值．21．列方程或方程组解应用题：某校的软笔书法社团购进一批宣纸，用720元购进的用于创作的宣纸与用120元购进的用于练习的宣纸的数量相同，已知用于创作的宣纸的单价比用于练习的宣纸的单价多1元，求用于练习的宣纸的单价是多少元∕张？22．如图，四边形ABCD是矩形，点E在AD边上，点F在AD的延长线上，且BE＝CF．（1）求证：四边形EBCF是平行四边形．（2）若∠BEC＝90°，∠ABE＝30°，AB＝，求ED的长．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与双曲线y＝（m ≠0）的一个交点为B（﹣1，4）．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在双曲线y＝上，且△PAC的面积为4，求点P的坐标．24．绿色出行是对环境影响最小的出行方式，“共享单车”已成为北京的一道靓丽的风景线．某社会实践活动小组为了了解“共享单车”的使用情况，对本校教师在3月6日至3月10日使用单车的情况进行了问卷调查，以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分：请根据以上信息解答下列问题：（1）3月7日使用“共享单车”的教师人数为人，并请补全条形统计图；（2）不同品牌的“共享单车”各具特色，社会实践活动小组针对有过使用“共享单车”经历的教师做了进一步调查，每位教师都按要求选择了一种自己喜欢的“共享单车”，统计结果如右图，其中喜欢mobike的教师有36人，求喜欢ofo的教师的人数．25．如图，AB为⊙O的直径，弦BC，DE相交于点F，且DE⊥AB于点G，过点C作⊙O的切线交DE 的延长线于点H．（1）求证：HC＝HF；（2）若⊙O的半径为5，点F是BC的中点，tan∠HCF＝m，写出求线段BC长的思路．26．已知y是x的函数，如表是y与x的几组对应值．x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 5 …y … 1.969 1.938 1.875 1.75 1 0 ﹣2 ﹣1.5 0 2.5 …小明根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，写出：①x＝﹣1对应的函数值y约为________；②该函数的一条性质：_________．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），对称轴与x轴交于点（3，0），且AB＝4．（1）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2围成的封闭图形为M．直线l：y＝kx+m（k≠0）经过点B．若直线l与图形M有公共点，求k的取值范围．28．已知在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一点（与点B不重合），过点C作CE⊥BC于点C，且CE＝BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED．（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠ADE的度数．（2）当点D在线段BC的延长线上时，依题意在图2中补全图形并判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）在（1）的条件下，ED与AC相交于点P，若AB＝2，直接写出CP的最大值．29．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（a，b），点P的变换点P'的坐标定义如下：当a＞b时，点P'的坐标为（﹣a，b）；当a≤b时，点P'的坐标为（﹣b，a）．（1）点A（3，1）的变换点A'的坐标是______；点B（﹣4，2）的变换点为B'，连接OB，OB'，则∠BOB'＝_______；（2）已知抛物线y＝﹣（x+2）2+m与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E．点P在抛物线y＝﹣（x+2）2+m上，点P的变换点为P'．若点P'恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP'D 是菱形，求m的值；（3）若点F是函数y＝﹣2x﹣6（﹣4≤x≤﹣2）图象上的一点，点F的变换点为F'，连接FF'，以FF'为直径作⊙M，⊙M的半径为r，请直接写出r的取值范围．参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．﹣a＞c B．a＞b C．ab＞0 D．a＞﹣3【分析】根据数轴的性质，实数的性质计算即可．【解答】解：由数轴得，a＜0＜b＜c，|a|＞|c|＞|b|，∴﹣a＞c，故A正确；故选：A．【点评】本题考查了实数和数轴，掌握数轴的性质，实数的性质是解题的关键．2．一种细胞的直径约为0.000052米，将0.000052用科学记数法表示为（）A．5.2×105 B．5.2×10﹣5 C．5.2×10﹣4 D．52×10﹣6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000052＝5.2×10﹣5，故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．130°B．50° C．40° D．25°【分析】先根据平行线的性质，得出∠ABC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠2．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠ABC＝∠1＝50°，又∵AC⊥b，∴∠2＝90°﹣50°＝40°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线，解题时注意：两直线平行，同位角相等．4．在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．在某次体育测试中，九年级（1）班的15名女生仰卧起坐的成绩如表：成绩（次∕分钟）44 45 46 47 48 49人数（人） 1 1 3 3 5 2则此次测试成绩的中位数和众数分别是（）A．46，48 B．47，47 C．47，48 D．48，48【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．【解答】解：由于一共有15个数据，∴其中位数为第8个数据，即中位数为47，∵48出现次数最多，有5次，∴众数为48，故选：C．【点评】本题考查中位数和众数的概念．在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上任意一点（与点B不重合），则∠BPC 的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】接OB，OC，根据四边形ABCD是正方形可知∠BOC＝90°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接OB，OC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∴∠BPC＝∠BOC＝45°．故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．7．如图，l1反映了某公司的销售收入（单位：元）与销售量（单位：吨）的关系，l2反映了该公司的销售成本（单位：元）与销售量（单位：吨）的关系，当该公司盈利（收入大于成本）时，销售量应为（）A．大于4吨 B．等于5吨 C．小于5吨 D．大于5吨【分析】交点（5，5000）表示当销售量为5吨时，销售收入和销售成本相等，要想赢利，收入图象必须在成本图象上方，从图象得出，当x＞5时，收入大于成本．【解答】解：由图可得，当0＜x＜5时，收入小于成本；当x＝5时，收入等于成本；当x＞5时，收入大于成本．故选：D．【点评】此题为一次函数与不等式的综合应用，搞清楚交点的实际意义和函数图象的相对位置是关键．8．如图，某河的同侧有A，B两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为AC＝2km，BD＝3km，这两条小路相距5km．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A，B两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（）A．距C点1km处 B．距C点2km处 C．距C点3km处 D．CD的中点处【分析】作出点A关于江边的对称点E，连接EB交CD于P，则PA+PB＝PE+PB＝EB．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P处时，供水管路最短．根据△PCE∽△PDB，利用相似三角形的对应边的比等于相似比求解．【解答】解：作出点A关于江边的对称点E，连接EB交CD于P，则PA+PB＝PE+PB＝EB．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P处时，供水管路最短．根据△PCE∽△PDB，设PC＝x，则PD＝5﹣x，根据相似三角形的性质，得＝，即＝，解得x＝2．故供水站应建在距C点2千米处．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用及最短路线问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．9．如图是北京3月1日﹣7日的PM2.5浓度（单位：μg/m3）和空气质量指数（简称AQI）的统计图，当AQI不大于50时称空气质量为“优”，由统计图得到下列说法：①3月4日的PM2.5浓度最高②这七天的PM2.5浓度的平均数是30μg/m3③这七天中有5天的空气质量为“优”④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关其中说法正确的是（）A．②④ B．①③④C．①③ D．①④【分析】根据折线统计图，可得答案．【解答】解：由第一个图的纵坐标，得①3月4日的PM2.5浓度最高，故①符合题意；②＝34.85μg/m3，故②不符合题意；③由第二个图得这七天中有4天的空气质量为“优”，故③不符合题意；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，故④符合题意；故选：D．【点评】本题考查了折线统计图，观察统计图从图中获得有效信息是解题关键．10．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，动点P从点B出发，在线段BC上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段OP的长为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积是（）A．20 B．24 C．48 D．60【分析】根据点P的移动规律，当OP⊥BC时取最小值3，根据矩形的性质求得矩形的长与宽，易得该矩形的面积．【解答】解：如图2所示，当OP⊥BC时，BP＝CP＝4，OP＝3，所以AB＝2OP＝6，BC＝2BP＝8，所以矩形ABCD的面积＝6×8＝48．故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断出BP＝CP ＝4，OP＝3．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若二次根式有意义，则x的取值范围为x≥﹣2 ．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x+2≥0，解得x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．分解因式：a2b﹣4ab+4b＝b（a﹣2）2 ．【分析】考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应先提公因式，再用完全平方公式．【解答】解：a2b﹣4ab+4b＝b（a2﹣4a+4）＝b（a﹣2）2【点评】本题考查因式分解的概念，注意必须将式子分解到不能分解为止．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．13．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，图中阴影部分的面积是12π，则⊙O的半径为 6 ．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算可得．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，根据圆周角定理可得∠AOB＝2∠C＝120°，设⊙O的半径为r，∵阴影部分的面积是12π，∴＝12π，解得：r＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．14．关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a＝ 1 ，c＝ 1 ．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝4﹣4ac＝0，取a＝1找出c值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△＝22﹣4ac＝0，∴ac＝1，即当a＝1时，c＝1．故答案为：1；1．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．15．下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：线段a．求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为2a．作法：如图，（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线DE交BC于点F；（3）在射线FD上顺次截取线段FG＝GA＝a，连接AB，AC．所以△ABC即为所求作的等腰三角形．请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等：②有两条边相等的三角形是等腰三角形．【分析】根据垂直平分线的性质和等腰三角形的判定即可得出答案．【解答】解：根据题意知，∵DE垂直平分BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，其依据是：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；②有两条边相等的三角形是等腰三角形，故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等、有两条边相等的三角形是等腰三角形．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，熟练掌握垂直平分线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．16．某林业部门统计某种树苗在本地区一定条件下的移植成活率，结果如表：移植的棵数n 300 700 1000 5000 15000成活的棵数m 280 622 912 4475 135450.933 0.889 0.912 0.895 0.903成活的频率根据表中的数据，估计这种树苗移植成活的概率为0.9 （精确到0.1）；如果该地区计划成活4.5万棵幼树，那么需要移植这种幼树大约 5 万棵．【分析】利用表格中数据估算这种幼树移植成活率的概率即可．然后用样本概率估计总体概率即可确定答案．【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不等增加，这种幼树移植成活率稳定的0.9左右，故这种幼树移植成活率的概率约为0.9．∵该地区计划成活4.5万棵幼树，∴那么需要移植这种幼树大约4.5÷0.9＝5万棵故本题答案为：0.9；5．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．计算：（π﹣）0+6cos45°+﹣|﹣3|．【分析】利用零指数幂、立方根以及特殊角的三角函数值分别化简求出答案．【解答】解：原式＝1+6×+2﹣3＝3．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、立方根、绝对值等考点的运算．18．解不等式﹣≥﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：去分母，得：2（2x+1）﹣3（5x﹣1）≥﹣6．去括号，的：4x+2﹣15x+3≥﹣6．移项、合并，得：﹣11x≥﹣11．系数化为1，的：x≤1．不等式的解集在数轴上表示如下：．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．19．如图，在△ABC中，CD＝CA，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．求证：∠ACE＝∠DBF．【分析】依据CE⊥AD，BF⊥AD，可得CE∥BF，即可得出∠DBF＝∠DCE．根据∠ACE＝∠DCE，即可得到∠ACE＝∠DBF．【解答】证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED＝∠BFD＝90°．∴CE∥BF．∴∠DBF＝∠DCE．∵CD＝CA，CE⊥AD，∴∠ACE＝∠DCE．∴∠ACE＝∠DBF．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．20．已知x2﹣10xy+25y2＝0，且xy≠0，求代数式﹣÷的值．【分析】根据分式的混合运算把原式化为最简分式，由已知条件得到x＝5y，代入即可得到结果．【解答】解：原式＝＝，∵x2﹣10xy+25y2＝0，∴（x﹣5y）2＝0．∴x＝5y，∴原式＝＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算的法则是解题的关键．21．列方程或方程组解应用题：某校的软笔书法社团购进一批宣纸，用720元购进的用于创作的宣纸与用120元购进的用于练习的宣纸的数量相同，已知用于创作的宣纸的单价比用于练习的宣纸的单价多1元，求用于练习的宣纸的单价是多少元∕张？【分析】设用于练习的宣纸的单价是x元∕张，根据等量关系：，用720元购进的用于创作的宣纸与用120元购进的用于练习的宣纸的数量相同，可得方程，再解方程即可求解．【解答】解：设用于练习的宣纸的单价是x元∕张．由题意，得，解得x＝0.2．经检验，x＝0.2是所列方程的解，且符合题意．答：用于练习的宣纸的单价是0.2元∕张．【点评】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．找到关键描述语，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．22．如图，四边形ABCD是矩形，点E在AD边上，点F在AD的延长线上，且BE＝CF．（1）求证：四边形EBCF是平行四边形．（2）若∠BEC＝90°，∠ABE＝30°，AB＝，求ED的长．【分析】（1）由Rt△BAE≌Rt△CDF，推出∠1＝∠F，推出BE∥CF，又BE＝CF，即可证明四边形EBCF 是平行四边形；（2）Rt△BAE中，∠2＝30°，AB＝，求出AE.BE，在Rt△BEC中，求出BC，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠CDF＝∠ABC＝90°，AB＝DC，AD＝BC，在Rt△BAE和Rt△CDF中，，∴Rt△BAE≌Rt△CDF，∴∠1＝∠F，∴BE∥CF，又∵BE＝CF，∴四边形EBCF是平行四边形．（2）解：∵Rt△BAE中，∠2＝30°，AB＝，∴AE＝AB•tan∠2＝1，，∠3＝60°，在Rt△BEC中，，∴AD＝BC＝4，∴ED＝AD﹣AE＝4﹣1＝3．【点评】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定．解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与双曲线y＝（m ≠0）的一个交点为B（﹣1，4）．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在双曲线y＝上，且△PAC的面积为4，求点P的坐标．【分析】（1）将点B（﹣1，4）代入直线和双曲线解析式求出k和m的值即可；（2）根据直线解析式求得点A坐标，由求得点P的纵坐标，继而可得答案．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+3（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）都经过点B（﹣1，4），∴﹣k+3＝4，m＝﹣1×4．∴k＝﹣1，m＝﹣4．∴直线的表达式为y＝﹣x+3，双曲线的表达式为．（2）由题意，得点C的坐标为C（﹣1，0），直线y＝﹣x+3与x轴交于点A（3，0）．∴AC＝4．∵，∴yP＝±2．∵点P在双曲线上，∴点P的坐标为P1（﹣2，2）或P2（2，﹣2）．【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键．24．绿色出行是对环境影响最小的出行方式，“共享单车”已成为北京的一道靓丽的风景线．某社会实践活动小组为了了解“共享单车”的使用情况，对本校教师在3月6日至3月10日使用单车的情况进行了问卷调查，以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分：请根据以上信息解答下列问题：（1）3月7日使用“共享单车”的教师人数为人，并请补全条形统计图；（2）不同品牌的“共享单车”各具特色，社会实践活动小组针对有过使用“共享单车”经历的教师做了进一步调查，每位教师都按要求选择了一种自己喜欢的“共享单车”，统计结果如右图，其中喜欢mobike的教师有36人，求喜欢ofo的教师的人数．【分析】（1）根据题意列式计算即可得到结论；（2）根据题意列式计算即可得到结论．【解答】解：（1）3月7日使用“共享单车”的教师人数为：20（1+50%）＝30人，补全条形统计图如图所示．（2）36÷45%＝80． 80×（1﹣45%﹣15%）＝32（人）．答：喜欢ofo的教师有32人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25．如图，AB为⊙O的直径，弦BC，DE相交于点F，且DE⊥AB于点G，过点C作⊙O的切线交DE 的延长线于点H．（1）求证：HC＝HF；（2）若⊙O的半径为5，点F是BC的中点，tan∠HCF＝m，写出求线段BC长的思路．【分析】（1）连接OC，想办法想办法证明∠2＝∠5即可．（2）思路一：①OF过圆心且点F是BC的中点，由垂径定理可得BC＝2CF，∠OFC＝90°；②由∠6与∠1互余，∠2与∠1互余可得∠6＝∠2，从而可知tan∠6＝m；③在Rt△OFC中，由，可设OF＝x，CF＝mx，由勾股定理，得x2+（mx）2＝52，可解得x的值；④由BC＝2CF＝2mx，可求BC的长．思路二：①由AB是⊙O的直径，可得△ACB是直角三角形，知∠6与∠4互余，又DE⊥AB可知∠3与∠4互余，得∠6＝∠3；②由∠6＝∠3，∠3＝∠2，可得∠6＝∠2，从而可知tan∠6＝m；③在Rt△ACB中，由，可设AC＝x，BC＝mx，由勾股定理，得x2+（mx）2＝102，可解得x的值；④由BC＝mx，可求BC的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图1．∵CH是⊙O的切线，∴∠2+∠1＝90°，∵DE⊥AB，∴∠3+∠4＝90°，∵OB＝OC，∴∠1＝∠4，∴∠2＝∠3，又∵∠5＝∠3，∴∠2＝∠5，∴HC＝HF．（2）求解思路如下：思路一：连接OF，如图2．①OF过圆心且点F是BC的中点，由垂径定理可得BC＝2CF，∠OFC＝90°；②由∠6与∠1互余，∠2与∠1互余可得∠6＝∠2，从而可知tan∠6＝m；③在Rt△OFC中，由，可设OF＝x，CF＝mx，由勾股定理，得x2+（mx）2＝52，可解得x的值；④由BC＝2CF＝2mx，可求BC的长．思路二：连接AC，如图3．①由AB是⊙O的直径，可得△ACB是直角三角形，知∠6与∠4互余，又DE⊥AB可知∠3与∠4互余，得∠6＝∠3；②由∠6＝∠3，∠3＝∠2，可得∠6＝∠2，从而可知tan∠6＝m；③在Rt△ACB中，由，可设AC＝x，BC＝mx，由勾股定理，得x2+（mx）2＝102，可解得x的值；④由BC＝mx，可求BC的长．【点评】本题考查切线的性质、垂径定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．已知y是x的函数，如表是y与x的几组对应值．x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 5 …y … 1.969 1.938 1.875 1.75 1 0 ﹣2 ﹣1.5 0 2.5 …小明根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，写出：①x＝﹣1对应的函数值y约为 1.5 ；②该函数的一条性质：当x＜2时，y随x的增大而减小．【分析】（1）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可；（2）①在所画的函数图象上找出自变量为7所对应的函数值即可；②利用函数图象的图象求解．【解答】解：（1）如右图所求；（2）①x＝﹣1对应的函数值y约为1.5；②当x＜2时，y随x的增大而减小，（答案不唯一）；故答案为：1.5，当x＜2时，y随x的增大而减小．【点评】本题考查了函数的定义：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），对称轴与x轴交于点（3，0），且AB＝4．（1）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2围成的封闭图形为M．直线l：y＝kx+m（k≠0）经过点B．若直线l与图形M有公共点，求。
北京石景山区中考二模数学试题及答案(图片版)
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。2019北京昌平区中考二模英语试题及答案
2019北京延庆区中考二模英语试题及答案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。
2013-2014北京石景山区初三数学一模试卷
北京市石景山区2014年初三统一练习暨毕业考试一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．32-的相反数是A ．23-B ．23 C ．32-D ．322．清明长假本市150家景区接待游客约5245000人，数字5245000用科学记数 法表示为 A ．3105.245⨯ B ．6105.245⨯ C ．7100.5245⨯ D ．3105245⨯ 3．正五边形的每个内角等于 A ．72°B ．108°C ．54°D ．36°4．为了解居民用水情况，晓娜在某小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果 如下表：则这10户家庭的月用水量的平均数和众数分别是A ．7.8，9B ．7.8，3C ．4.5，9D ．4.5，3 5．将二次函数1822--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式，结果为 A ．1)2(22--=x y B ．32)4(22+-=x yC ．9)2(22--=x yD ． 33)4(22--=x y6．如图，△ABC 内接于⊙O ，BA =BC ，∠ACB =25°，AD 为⊙O 的直径，则∠DAC 的度数是 A ．25° B ．30° C ．40° D ．50°7．转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图所示，若指针固定不动，转动转盘， 当转盘停止后，则指针对准红色区域的概率是 A ．21B ．31C ．41D ．61红黄 蓝 红蓝 蓝8．如图，边长为1的正方形ABCD 中有两个动点P ，Q ,点P 从点B 出发沿BD 作匀速运动，到达点D 后 停止；同时点Q 从点B 出发，沿折线BC →CD 作匀 速运动，P ，Q 两个点的速度都为每秒1个单位，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动．设P ，Q 两点的运动时间为x 秒，两点之间的距离为y ,下列图 象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 分解因式：ax ax 163-=_______________．10． 如图，CD AB //，AC 与BD 相交于点O ，3=AB ，若3:1:=BD BO ，则CD 等于_____．11．如图所示，小明同学在距离某建筑物6米的点A 处测得条幅两端B 点、C 点的仰角分别为60°和30°，则条幅的高度BC 为 米（结果可以保留根号）．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x y =，作1A （1，0）关于xy =的对称点1B ，将点1B 向右水平平移2个单位得到点2A ；再作2A 关于x y =的对称点2B ，将点2B 向右水平平移2个单位得到点3A ；…．请继续操作并探究：点3A 的坐标是，点2014B 的坐标是．BDCC三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．02014130tan 3512）（-︒+--． 14．解方程：xx x -=+--53153.15．如图，在△ABC 和△ADE 中，AC AB =，AE AD =，DAE BAC ∠=∠，点C 在DE 上． 求证：（1）△ABD ≌△ACE ；（2）ADC BDA ∠=∠．16．已知：23=y x ，求代数式yx yx 3294+-的值.17．如图，一次函数21+=kx y 的图象与x 轴交于点B （0 2-，），与函数xmy =2(0>x )的图象交于点A （a 1，）．（1）求k 和m 的值； （2）将函数xmy =2（0x >）的图象沿y 轴向下平移3个单位后交x 轴于点C ．若点D 是平移后函数图象上一点，且△BCD的面积是3，直接写出点D 的坐标．B18．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台. （1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在四边形ABCD 中，2AB =,︒=∠=∠60C A ,DB AB ⊥于点B ， 45DBC ∠=︒，求BC 的长.20．为响应推进中小学生素质教育的号召，某校决定在下午15点至16点开设以下选修课：音乐史、管乐、篮球、健美操、油画.为了解同学们的选课情况，某班数学兴趣小组从全校三个年级中各调查一个班级，根据相关数据，绘制如下统计图.（1）请根据以上信息，直接补全条形统计图和扇形统计图；（2）若初一年级有180人，请估算初一年级中有多少学生选修音乐史？ （3）若该校共有学生540人，请估算全校有多少学生选修篮球课？三个班级参加选修课的 初二(5)班参加各类选修课的人数统计图 人数分布统计图人数音乐史 管乐 篮球 健美操油画 课程10 9 8 7 6 5 4 3 221．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC AB =，连结CO 并延长交⊙O 的切线AP 于点P ． （1）求证：BCP APC ∠=∠；（2）若53sin =∠APC ，4=BC ，求AP 的长．22．实验操作（1）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点的横、纵坐标都是整数，若将△ABC以点()1,1-P 为旋转中心，按顺时针方向旋转︒90得到△DEF ，请在坐标系中画出点P 及△DEF ；P五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23. 已知关于x 的方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根，且m 为非负整数.（1）求m 的值；（2）将抛物线1C ：1)1(22-+-+=m x m mx y 向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 过点），（b A 2和点），（12 4+b B ，求抛物线2C 的表达式；（3）将抛物线2C 绕点(n n ,1+)旋转︒180得到抛物线3C ，若抛物线3C 与直线121+=x y 有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围．24．在矩形A B C D 中，A D =12，A B =8，点F 是A D 边上一点，过点F 作∠AFE =∠DFC ，交射线AB 于点E ，交射线CB 于点G ． （1）若FG =_____CFG ∠=︒；（2） 当以F ，G ，C 为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB 的长； （3）过点E 作EH//CF 交射线CB 于点H ，请探究：当GB 为何值时，以F ，H ，E ，C为顶点的四边形是平行四边形．备用图25．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”=S ah .例如：三点坐标分别为)2,1(A ，)1,3(-B ，)2,2(-C ，则“水平底”5=a ，“铅垂高”4=h ，“矩面积”20==S ah ． （1）已知点)2,1(A ，)1,3(-B ，),0(t P ．①若A ，B ，P 三点的“矩面积”为12，求点P 的坐标； ②直接写出A ，B ，P 三点的“矩面积”的最小值． （2）已知点)0,4(E ，)2,0(F ，)4,(m m M ，)16,(nn N ，其中0>m ，0>n . ①若E ，F ，M 三点的“矩面积”为8，求m 的取值范围；②直接写出E ，F ，N 三点的“矩面积”的最小值及对应n 的取值范围．北京市石景山区2014年初三统一练习暨毕业考试数学参考答案阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）9．)4)(4(-+x x ax ； 10．6； 11．34； 12．（3，2），（2013，2014）. 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：02014130tan 3512）（-︒+-- =1333532-⨯+- ………………………………………4分 =6-33 ………………………………………5分 14. 解：方程两边同乘以)5(-x ，得 ………………………………………1分3)5(3-=-+-x x . ………………………………………2分解得25=x . ………………………………………3分 经检验：25=x 是原分式方程的解. ………………………………4分所以25=x 是原方程的解. ………………………………………5分15．证明：（1）DAE BAC ∠=∠ ，D A C D AE D A C B A C ∠-∠=∠-∠∴. C A E B A D ∠=∠∴. …………………………1分 在△ABD 和△A C E 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD EAC BAD AC AB ， ……………2分 ∴△ABD ≌△A C E . ………………………3分 （2）AEC ADB ∠=∠∴. AE AD = ，AEC ADC ∠=∠∴. …………………………4分 A D C B D A ∠=∠∴. …………………………5分16．解：由已知y x 32=， ………………………………………2分 ∴原式yy yy 3396+-=………………………………………4分21-=. ………………………………………5分17．解：（1）根据题意，将点B （0 2-，）代入21+=kx y ， ∴22-0+=k . ………………………………………………………1分∴1=k . …………………………………………………2分∴A （3 1，）. 将其代入x my =2,可得:3=m …………………3分（2）（2 53，）或（2 3-，）. ………………………………………5分 18．解：设该公司购进甲型显示器x 台, 则购进乙型显示器()50-x 台.（1）依题意可列不等式：77000)50(20001000≤-+x x ……………2分解得：23≥x …………………………………………………………3分∴该公司至少购进甲型显示器23台. （2）依题意可列不等式：x x -≤50解得：25≤x ………………………………………………………4分∵23≥x∴x 为23,24,25. 答：购买方案有：①甲型显示器23台，乙型显示器27台； ②甲型显示器24台，乙型显示器26台；③甲型显示器25台，乙型显示器25台. …………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 解：过点D 作BC DE ⊥于点E . ……………………1分︒=∠=⊥60 2,A AB AB DB ，，∴3260tan =︒⨯=AB BD . ………………2分 45DBC ∠=︒，BC DE ⊥，∴645sin =︒⨯==BD DE BE …………3分︒=∠︒=∠=∠9060DEC A C ， 260tan =︒=∴DECE . ……………………4分62+=∴BC .………………………………5分20．解：（1）条形统计图补充数据：6（图略）. ………………………………………1分 扇形统计图补充数据：20. ……………………………2分（2）180×308=48（人）. ………………………………………………3分 （3）()1543030303020866=++÷⎪⎭⎫⎝⎛⨯++. ……………4分144540154=⨯（人）. …………………………………………5分21.（1）证明：连结AO 并延长交BC 于D 、⋂BC 于EAP 切⊙O 于点AAPBC BC EA AC AB ACAB PA EA //∴⊥∴=∴=⊥∴⋂⋂…………………1分 BCP APC ∠=∠∴…………………………2分（2）解：BC AE ⊥221==∴BC CD 53sin ==∠PO AO APC ∴设k OP k OA 5,3==，则k OA OC 3==………………3分AP BC //∴△PAO ∽△C D O …………………………4分 CO PO CD PA =∴k k PA 352=∴∴310=PA (5)PE11五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．解：（1）∵方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根，∴0≠m 且0≥∆，……1分则有0)1(4-)1(42≥--m m m 且0≠m ∴1≤m 且0≠m又∵m 为非负整数，∴1=m . ……………2分（2）抛物线1C ：2x y =平移后，得到抛物线2C ：b a x y +-=2)(，……3分∵抛物线2C 过),2(b A 点，b a b +-=2)2(，可得2=a ，同理：b a b +-=+2)4(12，可得3=b ， …………………………4分∴2C ：()322+-=x y ）（或742+-=x x y . …………5分 （3）将抛物线2C ：3)2(2+-=x y 绕点(n n ,1+)旋转180°后得到的抛物线3C 顶点为（322-n n ，）， ………………6分当n x 2=时，11221+=+⨯=n n y ，由题意，132+>-n n ， 即：4>n ． ……7分 24．解：（1）90° ………………………………………………2分（2）正确画图 ………………………………………………3分四边形ABCD 是矩形，∴∠D=90°.△FGC 是等边三角形,=60GFC ∴∠︒ .∠DFC =∠AFE ，∴∠DFC =60°. …………4分 DC =8 ，∴331660sin =︒=DC FC. △FGC 是等边三角形，∴GC =FC =3 .BC=AD =12，∴GB=12-3. （3）过点F 作FK ⊥BC 于点K四边形ABCD 是矩形 ∴∠ABC =90°，AD//BC ∴∠DFC =∠KCF ，∠AFG =∠KGF ∠DFC =∠AFG ∴∠KCF =∠KGF ∴FG =FC ………………………6分∴GK =CK四边形FHEC 是平行四边形∴FG =EG …………7分∠FGK =∠EGB, ∠FKG =∠EBG=90°∴△FGK ≌△EGB∴BG =GK=KC=4312=……………………………………………8分12 25．解：（1）由题意：4=a ．①当2>t 时，1-=t h ，则12)1(4=-t ，可得4=t ，故点P 的坐标为(0,4)；……………1分当1<t 时，t h -=2，则12)2(4=-t ，可得1-=t ，故点P 的坐标为(0,1)-．…………2分②A ，B ，P 三点的“矩面积”的最小值为4． ……………………3分（2）①∵E ，F ，M 三点的“矩面积”的最小值为8，∴⎩⎨⎧≤≤≤≤24040m m ．∴210≤≤m ．∵0>m ，∴210≤<m ． ………………………………………………………4分②E ，F ，N 三点的“矩面积”的最小值为16，…………………………5分 n 的取值范围为84≤≤n ………………………………………………7分。
北京市各区县2014年中考数学二模试题分类汇编 简单计算
简单计算整理一、计算：13、212cos602-︒⎛⎫+- ⎪⎝⎭.13（顺义）计算：)1cos 60211π--++-°．13．（东城）计算：1012014tan 602-︒⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭.13．（通州）计算：()022sin 45π+︒14．(平谷)计算：1012014tan 603-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭．13.（昌平）计算：013sin60(-1)2π-︒+-．13（海淀）.计算：011|π12cos302--+--（）（）13．（西城）计算：101()(3)3tan304-+-π-+︒13. （门头沟）计算：()011()33-2cos 454π-----+︒.13．)0112sin 60()36-︒+-14．（丰台）计算: 112sin 60(2014)3-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ 13（大兴）．计算：10)41()25(45cos 28---+︒-π．13.(怀柔)+︒30tan 32-+212--（）14．（某某）计算：︒+-+--30tan 220145310．13（密云）． 计算:-1001-4+-2（））二、解不等式或不等式组14（顺义）．解不等式34(23)x --≥3(32)x -，并把它的解集在数轴上表示出来．-3-2-132115(平谷)．求不等式组2(2)43251x x x x -≤-⎧⎨--⎩＜的整数解．14. （昌平） 解不等式组：34,554 2.x x x x +>⎧⎨-<-⎩14．（石景山）解不等式组211841x x x x -≥+⎧⎨+≤-⎩．15．（密云）解不等式：5（x ﹣2）+8＜6（x ﹣1）+7；三、化简求值：16．（顺义）已知2(20a b +-=，求2(2)(3)(3)a a b a b a b +-+-的值． 16（房山）已知：12=m ，求代数式)3)(2()1(2+--+m m m 的值.16．（东城）22[()()(2)](2)x y x y x y y x y y +--++-÷-已知2=4,求的值． 15（通州）．已知32=-a a ，求)3()1)(1(---+a a a 的值． 16．(平谷)已知a 2＋2a =3，求代数式22(1)(2)a a a ---的值．16（昌平）．已知3=y x ，求22222()x y x y xy xy y --÷-的值．16．（海淀）已知22440a ab b -+=，0ab ≠，求222()a ba b a b+⋅--的值. 15. （门头沟）已知13x y =，求y x y y x y x y xy x x-++-⋅+-2222222的值. 16．（石景山）已知当1=x 时，22ax bx +的值为2-，求当2x =时，2ax bx + 的值．16（丰台）．已知2220a a --=，求代数式321a (1)121a a a -÷+++的值. 16．（大兴）已知01722=-+x x ，求代数式1)3()23)(1(2+---+x x x 的值．16（怀柔）．已知20+5+4=x x ，求代数式2(21)(1)(-2)2x x x -+--的值．16．(某某)已知50x y -=，求222232x y x yx xy y x y-+⋅-++的值．16．（密云）先化简,再计算：已知:210x x --=求代数式2(2)(2)(1)x x x +-+-的值.四、解分式方程 14（房山） 解方程：12242=---x xx x .14．（通州）解方程：5113--=-x xx15（西城）．解分式方程：22142xx x +=-- 14．（门头沟）解分式方程26111x x x -=+- 15（怀柔）．解方程：11312=-+-xxx ．15．（某某）解分式方程：xx x -=+--23123． 解方程14．（东城）解方程：21080x x -+=．14．（海淀）解方程组：3,23 1.x y x y +=⎧⎨-=⎩15.(丰台)解方程：2420x x -+=.14. （大兴）解方程组212x y x y +=⎧⎨-=⎩，．一、计算答案： 13.（房山）1+42⨯解：原式 ......................................4分.....................................5分13．（顺义）解：)1cos 60211π--++-°111122π=-++-……………………………………………………… 4分 π=…………………………………………………………………………5分13（东城）..解：原式=21-+ ……………………………………4分=1分13（通州）.解：()︒--+-+45sin 22820π= 1+2222-+………………………………..(3分) = 221+………………………………..(4分) 14．(平谷) (本小题满分5分)解：1012014tan 603-⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭=31-+-------------------------4分=2+-----------------------------5分 13（昌）解：原式=1312+-…………………………………………………4分12+． ……………………………………………………………5分13（海淀）. 解：011|π12cos302--++-（）（）122=+-4分 =1.…………………………………………………………………………………5分13．（西城）解：101()(3)3tan304-+-π-+︒=4133++⨯······················ 4分=3+······················· 5分13. （门头沟）解= 431---4分=8-……………………………………………………5分13．（石景山）解： 原式1623233-+⨯+= …………………………………4分 534+= ………………………………………………………5分14(丰台)．解：原式213=+-…………………4分2=………………………………………5分13． 解： 1)41()25(45cos 28---+︒-π=41222-+-………………………………………………… 4分 =32- ．……………………………………………………………5分13.（怀柔） 3tan30︒+2-+212--（）=3+333⨯2++4………………………………4分9…………………………………………5分 14.（某某） 解：原式13531323………………………………………… 4分=112. …………………………………………………………………… 5分 13．(密云)二、解不等式或不等式组答案：14．（顺义）解：去括号，得 3812x -+≥96x -． ………………………………… 1分移项，得 86x x -+≥9312--． ………………………………………2分 合并同类项，得 2x -≥6-． ……………………………………………… 3分 系数化1，得 x ≤3． ………………………………………………………… 4分 把它的解集在数轴上表示为…………………………………………… 5分15(平谷)．(本小题满分5分)解：2(2)43251x x x x -≤-⎧⎨--⎩＜由①得 21-≥x ； ----------------------------------------------------------------------------2分由②得 x<2．-----------------------------------------------------------------------------------3分∴ 此不等式组的解集为221<≤-x -------------------------------------------------------4分 ∴此不等式组的整数解为0，1． ----------------------------------------------------5分14．（昌平）解：34,554 2.x x x x +>⎧⎨-<-⎩①②①=3.............................5原式分分由①得，2x >-. ………………………………………………………………… 2分 由②得，3x <. …………………………………………………………………… 4分 ∴原不等式组的解集为：23x -<<. ……………………………………………… 5分 14（石景山）．解：21 1 84 1 x x x x -≥+⎧⎨+≤-⎩①②，解①得：2x ≥， ………………………………………2分 解②得：3x ≥． …………………………………………4分 则不等式组的解集是：3x ≥． …………………………………5分 15（密云）.10x-10+8<6x-6+7…………………1分 10x-6x<10-8-6+7………………2分 4x<3………………4分34x <………………5分 三、化简求值答案：16（顺义）解：2(2)(3)(3)a a b a b a b +-+-222249a ab a b =+-+………………………………………………………… 2分 2249a ab b =++……………………………………………………………… 3分∵2(20a b +-=，∴,2a b ==．……………………………………………………………… 4分∴原式22429233639=++⨯=+=+ 5分16. （房山）解：原式=m ²+2m +1-m ²-m +6=m +7 ...............................................................2分 ∵12=m ，∴m =±1 .................................................................3分当m =1时，原式=8； ..............................................................4分 当m =-1时，原式=6； 原式的值为8或6 ...............................................................5分16.（东城）22216.[()()(2)](2)(2)(2)1.3224,12.52x y x y y x y y xy y y x y x y x y --++-÷-=--÷-=++=∴+=解：分分15. （通州）解：)3()1)(1(---+a a a312+--=a a ………………………………..(2分)= 22+-a a ……………………………..(3分)32=-a a∴原式=22+-a a ………………………………..(4分)= 5 ………………………..(5分) 16．(平谷) (本小题满分5分) 解：22(1)(2)a a a ---=2222(44)a a a a ---+--------------------------------------------------------------------2分=222244a a a a --+---------------------------------------------------------------------------3分=224a a +-------------------------------------------------------------------------------------4分 ∵223a a += ∴原式=341-=-------------------------------------------------------------------------------5分16．(昌)解：原式=()()2()()2y x y x y x y xy x y -+-⋅-…………………………………………………………2分=2x y x+.……………………………………………………3分 ∵3xy=， ∴3x y =. ………………………………………………………4分原式=32233y y y +=⨯.………………………………………… 5分 16. （海淀）解：∵22440,a ab b -+=2(2)0.a b -=∴………………………………………………………………………1分2.a b =∴……………………………………………………………………………2分∵0ab ≠， ∴2222()()()()a b a ba b a b a b a b a b ++⋅-=⋅---+2a ba b+=+………………………………………………………3分 222b bb b+=+………………………………………………………4分 4.3=……………………………………………………………5分 15（门头沟）解：y x y y x y x y xy x x-++-⋅+-2222222 =yx y y x y x y x y x x -+++-⋅-2))(()(22·················· 2分=yx y y x x -+-2)(2=)()(2y x y x -+． ·························· 3分当13x y =时，3y x =. ························ 4分 原式=2(3)(3)x x x x +-=－4. ······················· 5分16（石景山）．解：将1x =代人22ax bx +2-=中，得22-=+b a ……………………………………………2分 当2x =时，2ax bx +=42a b +……………………………………… 3分2(2)a b =+4=- …………………………………………5分 16．(丰台)解：原式=32(1)1a 121a a a a +-÷+++=()3211a a a a ÷++ =23a 11a a a+⨯+（）……………………………2分 =21a a + ……………………………………………3分 当2220a a --=时，222a a =+…………4分 原式=122a a ++=12……………………………………5分01722=-+x x ，分4 (1722)=+∴x x16.（怀柔） 解：2(21)(1)(-2)2x x x -+--．=222+2-1(-44)2x x x x x --+-． ………………………………………2分=2221+442x x x x +----． ………………………………………3分 =2+57x x -． ………………………………………4分当20+5+4=x x 时，原式=-4711-=-．………………………………………5分分分大兴）3.......................................................................10722.. (196231))3()23)(1(.(162222-+=+-+--+=+---+x x x x x x x x x 分5 (91))3()23)(1(2-=+---+∴x x x16. （某某）解：原式=2()()3()x y x y x y x y x y+-+⋅-+……………………………………………2 分 =3x y x y+-．…………………………………………………………3分 ∵ x －5y =0，∴ x =5y ．…………………………………………………………………4分∴ 原式=5325y y y y+=-．…………………………………………………………5分 （密云）222242 1................2231016.=x x x =2x x ............................3x x =-1.......................................5-+-+----=原式分分当时，原式分四、解分式方程14. （房山）解：()242x x x +=- ..................................1分24x =-2x =- ..................................3分经检验：2x =-是原方程的解∴原方程的解为2x =- ..................................5分14. （通州）解：5113--=-x x x)1(53--=-x x ………………………………..(1分)84=x2=x ………………………………..(3分)经检验：2=x 是原方程的根∴原方程的根是2=x ………………………………..(4分)15. （西城）方程两边同时乘以24x -，得22(2)4x x x ++=-， ······· 3分 解得，3x =-. ··························· 4分经检验，3x =-是原方程的解3x =- ·················· 5分14. （门头沟）解: 去分母，得()()()1611x x x x --=+-. ……………………2分 解得5x =-. ……………………4分检验：把5x =-代入()()110x x +-≠所以5x =-是原方程的解. ……………………5分15(怀柔)．解：11312=---x x x ,----------- 1分 132-=-x x , -----------2分34-=-x , ----------- 3分43=x .-----------4分 经检验，43=x 是原方程的解．----------- 5分 ∴原方程的解是43=x . 15.（某某） 解：将方程整理，得331022x x x -++=--． 去分母，得 x －3+3+x －2 = 0． ……………………………………………2分解得 x = 1． ……………………………………………3分经检验 x = 1是原分式方程的解． ………………………………………………4 分∴原分式方程的解为x = 1．…………………………………………………………5 分五、解方程：14．（东城）解:09102=+-x x.22212108.11025825.2(5)17.3555x x x x x x x -=--+=-+-==+=变形为分配方，分整理，得分解得，分 14. （海淀）323 1. x y x y +=⎧⎨-=⎩， ①② 解：由①3⨯+②得,510x =.解得,2x =. …………………………………………………………………………2分 把2x =代入①得，1y =. ……………………………………………………………4分 ∴原方程组的解为2,1.x y =⎧⎨=⎩……….……………………………………………………5分 15.（丰台）解：∆＝244128-⨯⨯=，……………………1分∴x =，…………………………………3分∴1222x x ==……………5分14.(大兴)解：212x y x y +=⎧⎨-=⎩，①．② +①②得：23x x +=1x =． …………………………………………2分将1x =代入②得：12y -=，1-=y …………………………………………4分11x y =∴=-⎧⎨⎩原方程组的解是…………………………………………5分。
北京市石景山2013-2014学年九年级第一学期数学期末考试题
石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷初三数学 2014.1一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上． 1．已知⊙O 的半径为6，点A 在⊙O 内部，则A ．6<OAB ．6>OAC ．3<OAD ．3>OA2．已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，AC =5，则cos A 的值是A ．125 B ．512 C ．135 D ．13123．如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，连结AD 、BC ．若∠BCD=70°， 则∠BAD 的度数为 A ．40° B ．50°C ．60°D ．70°4．若函数xmy -=1的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是 A ．m ＞1B ． m ＞0C ． m ＜1D ．m ＜05．从1～12这十二个自然数中任取一个，取到的数恰好是4的倍数的概率是A ．121 B ．41 C ．31 D ．21 第2题CBA第3题B6．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 分别为切点，PO 交圆于点C ，若∠APB =60°，PC =6，则AC 的长为A ．4B ．22C ．32D ．337．如图，抛物线x x y 421+-=和直线x y 22=. 当y 1＞y 2时，x 的取值范围是A ．0<x <2B ．x <0或x ＞2C ．x <0或x ＞4D ．0<x <48．如图，在等边△ABC 中，4=AB ，当直角三角板MPN 的︒60角的顶点P 在BC 上移动时，斜边MP 始终经过 AB 边的中点D ，设直角三角板的另一直角边PN 与AC 相交于点E .设x BP =，y CE =，那么y 与x 之间的函 数图象大致是第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共6道小题，每小题4分，共24分） 9． 已知线段a 、b 满足b a 32=，则=ba. 10. 若︒<α<︒900,21tan =α,则=αsin . 11．抛物线x x y 322+-=向上平移5个单位后的解析式为 . 12．长方体底面周长为50cm ，高为10cm ．则长方体体积y ）（3cm 关于底面的一条边长x ）（cm 的函数解析式是 .其中x 的取值范围是 .C P OB A 第6题 第7题13．如图，在ABC Rt ∆中，已知90ACB ∠=︒， 1AC =,3BC =,将ABC ∆绕着点A 按逆时针 方向旋转30︒,使得点B 与点'B 重合，点C 与点 'C 重合，则图中阴影部分的面积为___________.14．如图所示：下列正多边形都满足11BA CB =，在正三角形中，我们可推得：160AOB ∠=︒；在正方形中，可推得：190AOB ∠=︒；在正五边形中，可推得：1108AOB ∠=︒，依此类推在正八边形中，1AOB ∠=︒，在正()3n n ≥边形中，1AOB ∠= ︒.三、解答题（本题共7道小题，每小题5分，共35分）15．计算：030cos 2145tan 60sin 227⎪⎭⎫ ⎝⎛︒--︒︒+．16．已知：二次函数1322-+-=a x ax y 的图象开口向上，并且经过原点O (0,0).（1）求a 的值；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标.17．如图,在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，AB =BD 并且12ABD CBD ∠=∠.求AC 的长.18．已知：一次函数12+=x y 与y 轴交于点C , 点()n 1，A 是该函数与反比例函数）（0≠=k xky 在第一象限内的交点． （1）求点A 的坐标及k 的值；（2）试在x 轴上确定一点B ，使CA CB =， 求出点B 的坐标．第12题O B 1A 1C B AOB 1A 1DC BAOB 1A 1EDC BA第11题.119．已知：如图，⊙O 的直径AB 与弦CD (不是直径)交于点F ，若FB =2，4==FD CF ，求AC 的长．20．如图，某机器人在点A 待命，得到指令后从A 点出发，沿着北偏东 30的方向，行了4个单位到达B 点，此时观察到原点O 在它的西北方向上，求A 点的坐标（结果保留根号）．21．已知：在ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，:3:5BE AB =,若CE =，4cos 5ACD ∠=，求AEC ∠tan 的值及CD 的长.EDCB A北东22．如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中的曲线是抛物线的一部分，要裁出一个等边三角形，使其一个顶点与抛物线的顶点重合，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长（结果精确到1.0，732.13≈）.23．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，E 是⊙O 外一点，过点E 作AB 的垂线ED ，交BA 的延长线于点D ,EA 的延长线与⊙O 交于点C ，DE DC =． （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若55sin =∠ACD ，⊙O 的半径为5， 求AE 的长．24．如图，二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图象与一次函数b x y +=2的图象交于)10(，A ，B 两点. C ）（0,1为二次函数图象的顶点.（1）求二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的解析式；（2）定义函数f ：“当自变量x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1或y 2，若y 1≠y 2，函数f 的函数值等于y 1、y 2中的较小值;若y 1=y 2，函数f 的函数值等于y 1（或y 2）.” 当直线213-=kx y （k >0）与函数f 的图象只有两个交点时，求k 的值.25．将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转,旋转角为）（︒<α<︒α900，旋转后使各边长变为原来的n 倍，得到C B A ''△,我们将这种变换记为[n ,α]． （1）如图①,对ABC △作变换[3,60 ]得C B A ''△，则C B A S ''△：ABC S △= ___；直线BC 与直线C B ''所夹的锐角为 __ °；（2）如图②，ABC △中，330,90==∠=∠AC BAC ACB ， ，对ABC △作变换[n ,α]得C B A ''△，使得四边形C B AB ''为梯形，其中AB ∥C B '',且梯形C B AB ''的面积为312，求α和n 的值．26. 已知点)2,2(-A 和点),4(n B -在抛物线)0(2≠=a ax y 上.（1）求a 的值及点B 的坐标；（2）点P 在y 轴上，且满足△ABP 是以AB 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标;（3）平移抛物线)0(2≠=a ax y ，记平移后点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B . 点M （2,0）在x 轴上，当抛物线向右平移到某个位置时，''MB M A +最短，求此时抛物线的函数解析式.石景山区2013-2014学年度第一学期期末考试试卷初三数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．9．23； 10.55； 11．5322++-=x x y ； 12. x x y 250102+-=,250<<x ; 13．56π； 14．135︒;()2180n n-⋅︒． 三、解答题（本题共7道小题，每小题5分，共35分）15．解：030cos 2145tan 60sin 227⎪⎭⎫ ⎝⎛︒--︒︒+=123233-⨯+ ……………………………………………………4分 =134- ……………………………………………………………5分 16．解：（1）a =1； ……………………………………………………………2分（2）x x y 32-=494932-+-=x x ………………………………………3分 49232--=）（x ………………………………………4分 ∴抛物线顶点坐标为)49,23(- ………………………………5分17．解：在Rt ABD ∆中, 90BDA ∠=︒，AB =BD = 23226c o s ==∠∴A B D ………1分30ABD ∴∠=︒，60A ∠=︒ ……3分12ABD CBD ∠=∠60CBD ∴∠=︒90ABC ∴∠=︒ ……4分在ABC Rt ∆中,24cos ==AAB AC ……………5分18. 解：（1） 点),1(n A 在12+=x y 的图象上， ∴()3,1,3A n =………………………1分 点)3,1(A 在xky =的图象上， ∴3=k ……………………………2分 （2）如图，作⊥AD y 轴，垂足为D AC BC AD OC ===,1 . 且ADCCOB ∠==∠90ADC COB △△≅∴…………………3分 2==∴DC OB()()0,2'0,2-∴B B 或. ……………………5分.19.解：方法一：连结OD ………………1分 设⊙O 的半径为R∵AB 是⊙O 的直径，且CF=DF∴CD AB ⊥ ………………2分 ∵ OB=R BF=2 则2-R OF = 在OFD Rt ∆中，由勾股定理得：()22242-+=R R …………3分解得：5=R∴8=AF ………………4分 在ACF Rt ∆中由勾股定理得：5422=+=AF CF AC ………………5分 方法二：连结CB ………………1分 ∵AB 是⊙O 的直径，且CF=DF ∴CD AB ⊥, ………………2分∴1tan tan ∠=A ∴CFBFAF CF = ………………3分 ∴8=AF ………………4分 在ACF Rt ∆中由勾股定理得：54=AC ………………5分20. 解: 过点B 做y ⊥BD 轴于点D . ……………1分在ADB Rt ∆中，30=∠BAD ，4=AB 2sin =∠=∴BAO AB BD ， ………2分 32cos =∠=BAO AB AD . ………3分 又90=∠BDO45=∠∴DBO ， 2==∴BD OD . ………4分 322+=+=∴AD OD OA()322,0--∴A ………5分21. 解：在ACD Rt ∆与ABC Rt ∆中︒=∠+∠90CAD ABC ︒=∠+∠90CAD ACDACD ABC ∠=∠∴ ………………1分 54cos cos =∠=∠∴ACD ABC 在Rt ABC △中，54=AB BC 令k AB k BC 5,4== ………………2分 则k AC 3=由k BE AB BE 3,5:3:==知则2,==CE k CE 且 ………………3分 则2=k ，23=AC3tan ==∠∆∴CEACAEC ACE Rt 中，……………4分54cos ==∠∆AC CD ACD ACD Rt 中， ， 2512=∴CD …………………5分四、解答题（本题共3道小题，每小题5分，共15分）22. 解：（说明：根据建立的坐标系的位置的不同，抛物线的解析式也不同）以抛物线的顶点O 为坐标原点， 过点O 作直线AB 的平行线和垂线分别作为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系. …………………1分 则()63-，D设抛物线解析式为()02≠=a ax y ，()63-，D 在抛物线上 代入得：32-=a232x y -=∴ …………….2分 △ABO 是等边三角形 BH OH 3=∴设()x x B 3,-………………3分 2323x x -=-01=∴x （舍），3232=x 323=∴BH ，)(2.533dm AB ≈=…………………………. 4分 答：等边三角形的边长为dm 2.5 . ………………………… 5分23. 解：(1)证明：连结OC ………………1分DC DE = E ∠=∠∴4 OC OA = 21∠=∠∴ 又32∠=∠则31∠=∠︒=∠+∠=∠+∠∴90314E ……2分∴DC 是⊙O 的切线 (2) E ∠=∠455sin =∠∴E，设k AD =k DC k ED k AE 2,2,5=∴==则………………3分在OCD Rt △中，由勾股定理得： 222OC DC OD +=2225)2()5(+=+∴k k ………………4分352,)(0==∴k k 舍 3105==∴k AE ……………5分6dm6dm24. 解：（1）设抛物线解析式为2)1(-=x a y ，由抛物线过点)10(，A ，可得122+-=x x y …………2分（2）可得)4,3(B直线21-=kx y （k >0）与函数f 的图象只有两个交点共有三种情况： ①直线21-=kx y 与直线AB ：1+=x y 平行，此时1=k ；…3分 ②直线21-=kx y 过点)4,3(B ，此时23=k ； ………………4分③直线21-=kx y 与二次函数122+-=x x y 的图象只有一个交点， 此时有⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=.12212x x y kx y ， 得21122-=+-kx x x , 由,0=∆可得)(26,2-621舍--==k k .…………5分 综上：1=k ，23=k ，2-6=k五、解答题（本题共2道小题，每小题7分，共14分）25. 解：（1） 3 ， 60 ………………………………………2分（2） 由题意可知：C B A ''△∽ABC △ n BC C B AC C A C C =''='=∠='∠∴,90︒=∠∴90',''//BAC C B AB 60-90=∠︒=α∴BAC ……………………………4分在ABC Rt △中,121230cos ====AB BC AC AB ， n C B n AC =''=∴,3'………………………………5分∴在直角梯形C B AB ''中， ()C A C B AB S '''+=21 ()3123221=+=n n …………………………6分()舍去6,4-==∴n n ………………………………7分4,60==α∴n26．解：（1）21-=a ……………………1分 抛物线解析式为：221x y -= )8,4(--B ……………………2分(2) 记直线AB 与x 、y 轴分别交于C 、D 两点，4:则-=x y AB 直线)4,0(、)0,4(-D C ………………………3分 ︒=∠∴=∆45中，ODA DO OC COD Rt ， ①以A 为直角顶点，则︒=∠901AB P ︒=∠∆45中，11DA P AD P Rt 则2245cos 1=︒=DP AD 421==∴AD D P 又),4，0(-D)0，0(1P ∴…………………4分 ②以B 为直角顶点，则︒=∠902DBP ︒=∠=∠∆45中，22ODC BDP DBP Rt 822==∴BD DP )12，0(-∴P ………………………5分 )12-，0(或)0，0(综上，P ∴（3）记点A 关于x 轴的对称点为)2，2(E 则BE: 3435-=x y 令y=0,得54=x 即BE 与x 轴的交点为)0,54(Q ……6分 56542=-=MQ故抛物线221x y -=向右平移56个单位时''MB M A +最短 此时，抛物线的解析式为2)56(21--=x y …………………7分。
2014年北京市石景山中考二模数学试卷(纯WORD版,含答案)
北京市石景山区2014年初三第二次统一练习数 学 试 卷第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后括号内． 1．5-的倒数是（ ）．A ．5B ．5C ．5-D ．55-2．某省去年底森林面积为2801700公顷，将2801700用科学记数法表示应为（ ）． A ．28017×102 B ．2.8017×106 C ．28.017×105 D ．0.28017×107 3．四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等腰三角形、平行四边形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（ ）． A.14B. 12C. 34D. 1 4．关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）． A ．0B ．8C ．4±D ．0或85．如图，已知△ABC 中，∠B =50°，若沿图中虚线剪去 ∠B ，则∠1+∠2 等于（ ）． A. 130° B. 230° C. 270° D. 310°第5题图2150°CBA6．如图是石景山当代商场地下广场到地面广场 的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示 地下广场、地面广场电梯口处的水平线，已 知∠ABC =135°，BC 的长约是26m ，则乘电 梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）m ．A ．6B ．24C ．33D ．237．下面一组数据是10名学生测试跳绳项目的成绩（单位：个/分钟）．176 180 184 180 170 176 172 164 186 180 该组数据的众数、中位数、平均数分别为（ ）． A ．180， 180， 178 B ．180， 178， 178 C ．180， 178， 176.8D ．178， 180， 176.88．在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的位置如图1所示，点A 的坐标为)0,2( ，点B 的坐标为)2,0(,点D 的坐标为(-3,1)．矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，设运动时间为x （0≤x ≤3）秒，第一象限内的图形面积为y ，则下列图象中表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )．A B C D第6题图 图1 图2 第8题图E D CBA 第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分解因式：=-224ay ax .10．已知二次函数82++=bx x y 的图象的顶点在y 轴右侧，则b 的一个值可为___________（只需写出符合条件的一个b 的值）. 11．已知(1)A m -，与)3,2(-m B 是反比例函数xky =图象上的两个点．则m 的值= .12．如图，已知直线l ：y =x ，过点A 1（1，0） 作x 轴的垂线交直线l 于点B 1，以A 1 B 1为 边作正方形A 1 B 1 C 1 A 2，过点A 2作x 轴的 垂线交直线l 于点B 2，以A 2 B 2为边作正方 形A 2 B 2 C 2 A 3，…；则点A 5的坐标为 ， 点C n 的坐标为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．)112sin 60()36-︒+-解：14．解不等式组211841x x x x -≥+⎧⎨+≤-⎩．解：15．已知：如图，点C 是线段AB 的中点，CE =CD ，∠ACD =∠BCE , 求证：AE =BD ．证明：C 3C 2C 1y=xB 3B 2B 1A 4A 3A 2A 1O x y第12题图16．已知当1=x 时，22ax bx +的值为2-，求当2x =时，2ax bx + 的值．解：17．已知关于x 的方程0)12()2(2=-++-k x k x ．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直 角三角形的周长． 解：18．北京某郊区景点门票价格：成人票每张40元，学生票每张是成人票的半价.小明和小华两家人买了12张门票共花了420元，求两家人的学生和成人各有几人？ 解：四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．如图1，在△OAB 中，∠OAB =90°，∠AOB =30°，BA =2．以OB 为边，向外作等边△OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ． （1）求证：四边形ABCE 是平行四边形； （2）如图2，将图1中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长．解：20．以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制的北京B 图1 图2（1）根据北京市2009--2013年生产总值年增长率，请计算出2011年北京市年生产总值是_________（结果精确到1百亿元），并补全条形统计图；（2）若从2013年以后，北京市年生产总值都按15%的年增长率增长，则请你估算，若年生产总值不低于．．．2009年的2倍，至少要到_________年．（填写年份） （3）在（1）的条件下，2009--2013这四年间，比上一年增长的生产总值的平均数为多少百亿元？若按此平均数增长，请你预测2014年北京地区的生产总值多少百亿元? 解：21．如图，在△ABC 中，︒=∠90BCA ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点P ，Q 是AC 的中点．（1）求证：直线PQ 与⊙O 相切； （2）连结PO 并延长交⊙O 于点E 、 交AC 的延长线于点F ，连结PC , 若OC =5，21tan =∠OPC , 求EF 的长. 解：ABQC22．阅读下列材料：小明同学遇到了这样一个问题：如图，M 是边长为a 的正方形ABCD 内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ），使它们将正方形ABCD 的面积分割成面积相等的四个部分.小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目.如图2，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将以点O 为顶点的直角绕点O 任意旋转, 且直角两边与BA ，CB 相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值.可以类比此问题解决.(1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为________; 参考小明同学的想法，解答问题: (2)请你在图3中，解决原问题（3）如图4.在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB +CD =BC ，点P 是AD 的中点，如果AB =a ，CD =b ，且b >a ，那么在边BC 上存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，保留作图痕迹. 解：图2 图1 图3图4五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23. 关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ． （1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的 值；（3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．解：24．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△ADE ，DE 的延长线与BC 相交于点 F ，连接AF ．（1）如图1，若BAC ∠=α=︒60，BF DF 2=，请直接写出AF 与BF 的数量 关系；（2）如图2，若BAC ∠＜α=︒60，BF DF 3=，猜想线段AF 与BF 的数量关 系，并证明你的猜想；（3）如图3，若BAC ∠＜α，mBF DF =（m 为常数），请直接写出BFAF的值 （用含α、m 的式子表示）． 解：25．在平面直角坐标系xoy中，射线l:()0y x=≥.点A是第一象限内．．．．．一定点，OA=射线OA与射线l的夹角为30°.射线l上有一动点P从点O出发，以每秒l匀速运动，同时x轴上有一动点Q从点O出发，以相同的速度沿x轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒.（1）用含t的代数式表示PQ的长.（2）若当P、Q运动某一时刻时，点A恰巧在线段PQ上，求出此时的t值.（3）定义M抛物线：顶点为P，且经过Q点的抛物线叫做“M抛物线”.若当P、Q运动t秒时，将△PQA绕其某边中点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在“M抛物线”上，求此时t的值.解：（1）（2）（3）备用图1备用图2备用图石景山区2014初三第二次统一练习数学参考答案一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）9．(2)(2)a x y x y +-； 10． 0b <即可,答案不唯一； 11．2m =； 12．（16，0）；（12,2n n -）． 三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13．解： 原式1623233-+⨯+= ……………………………………………4分534+= ………………………………………………………5分 14．解：21 1 84 1 x x x x -≥+⎧⎨+≤-⎩①②，解①得：2x ≥， (2)分 解②得：3x ≥． (4)分则不等式组的解集是：3x ≥． …………………………………5分 15．证明：∵点C 是线段AB 的中点，∴AC=BC ， ………………………………………………………1分 ∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, …………………………………………2分 即∠ACE=∠BCD,在△ACE 和△BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩…………………………………3分∴△ACE ≌△BCD （SAS ）……………………………………………………4分 ∴AE=BD. ………………………………………………………5分16．解：将1x =代人22ax bx +2-=中，得22-=+b a ……………………………………………2分 当2x =时，2ax bx +=42a b + ……………………………………… 3分2(2)a b =+ 4=- …………………………………………5分 17. 解：（1）证明：∵)12(4)2(2--+=∆k k2(2)40k =-+>……………………………………… 2分∴方程恒有两个不相等的实数根.（2）解：根据题意得：0)12()2(1=-++-k k 解得：2=k则原方程为：0342=+-x x解得另一个根为3. ……………………………………… 3分① 当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长为：10， 该直角三角形的周长为4+10； …………………………… 4分② 当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22，该直角三角形的周长为4+22 .…………… 5分18．解：设两家人有学生x 人，成人y 人 ……………………………………… 1分据题意：⎩⎨⎧=+=+420402012y x y x (3)分 解之：⎩⎨⎧==93y x ……………………………………… 4分答：两家人的学生有3人，成人有9人. ……………………………………… 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. （1）证明：在R t △OAB 中， D 为OB 的中点∴DO =DA∴∠DAO =∠DOA =30°, ∠EOA =90° ∴∠AEO =60°又∵△OBC 为等边三角形 ∴∠BCO =∠AEO =60°∴BC ∥AE ……………….…………………………………………….1分∵∠BAO =∠COA =90° ∴OC ∥AB∴四边形ABCE 是平行四边形． ……….…………………………………2分（2）解：在Rt △ABO 中 ∵∠OAB =90°，∠AOB =30°，AB =2∴OA =AB ·tan60° .………………………………………..3分在Rt △OAG 中，222OA OG AG +=，设OG =x ，由折叠可知：AG =GC =4x -，可得(()2224x x +=- (4)分 解得，12x = ∴OG =12……………………………………………….………………..5分20．解:（1）163（数字1分，统计图1分） ……………………………………2分（2）2015年 ………………………………………… 3分（3）解：增长的生产总值的平均数：(195122)4-÷=18.25 ∴2009—2013这四年间，比上一年增长生产总值的平均18.25百亿元……4分195+18.25=213.25预测2014年北京地区的生产总值213.25百亿元. …………………………5分 21．解：（1）证明：连结PO 、PC . 是BC ⊙O 的直径， ︒=∠∴90BPC .B则︒=∠90APC .AQ CQ = 又，.21CQ AC PQ ==∴.P C Q C P Q ∠=∠∴. OC OP = ,O C PO P C ∠=∠∴,︒=∠=∠+∠=∠+∠∴90BCA PCQ OCP CPQ OPC ,∴直线PQ 与⊙O相切（2）解：连结.CEEP 是直径，.90︒=∠∴ECP.90︒=∠+∠OCP ECO 即,90︒=∠+∠ECF ECO 又 .OPC OCP ECF ∠=∠=∠∴F F ∠=∠且△EFC ∽△.CFP .EF CF CF PF∴= 1tan ,2Rt ECP EPC ∆∠=中，.21=∴CP CE 1.2EF CF CF PF ==则 ,2EF CF =∴EF CF PF 42==∴ EF PE 3=∴.352=EF 解得 ………………………………………………………………5分22．解：答案：214a ………………………………………….1分ABQC………………………………………….3分当BQ =CD =b 时，PQ 将四边形ABCD 面积二等分. (5)24题7分，第25题8分） 23．（1）证明：()()[]0231=+--m x x ∴11=x ，231+=m x ……………………………………………1分∵011>=x∴无论m 为何值时，方程总有一个根大于0； …………………………2分（2）解：∵若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点∴29(1)4(32)0m m ∆=+-+= …………………………………………3分∴31-=m ……………………………………………4分 （3）解： 当31-=m 时，函数()22112-=+-=x x x y 依题意，沿直线2=x 翻折后的解析式为:()96322+-=-=x x x y ，图象G 如图所示．可得，()96322+-=-=x x x y 与x ，y 轴的 交点分别为()0,3，()9,0．设直线PQ 的解析式为()0≠+=k b kx y ，由()0,t P ，Q (0，2t )．∴直线PQ 的解析式为t x y 22+-=………5分 ①当线段PQ 与函数图象G 相切时，96222+-=+-x x t x ()029416=--=∆t∴25=t ②当线段PQ 经过点()9,0时，92=t∴29=t综上：当25=t 或29>t 时，线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点．……7分24. 解：（1）BF AF =; ……………1分 （2）解：猜想：BF AF 2=.证明：在DF 上截取BF DG =，连接AG （如图）. 由旋转得AB AD =， ADG ∠＝ABF ∠. ∴△ADG ≌△ABF .∴AF AG =，DAG ∠＝BAF ∠. ∴ GAF GAB BAF ∠=∠+∠∴60GAB DAG DAB =∠+∠=∠=︒. ∴△GAF 是等边三角形. 又∵BF DF 3=.∴BF BF DF DG DF GF AF 2=-=-==.…5分（3）BFAF 2sin21α-=m ． ……………7分 25. 解：（1）由射线l解析式为()0y x =≥∴∠POQ =60°. …………………………1分 ∵P ，Q 运动速度相同∴OP OQ == ∴△OPQ 是等边三角形∴PQ = ……………………………2分 （2）由题意：(6,A ，),3P t，(),0Q解法一：代数法),3Pt，(),0Q直线PQ解析式为6y t =+ …………3分 由于 A ，P ，Q三点共线，将(6,A 代入得：GABCD EFH FE D CBAG故 66t =+∴t =…………………………………4分 解法二：几何法过点A 作AB ⊥x 轴于B则AB =在Rt △ABQ 中，∠ABQ =90°，∠AQB =60°， ∴2BQ == ……………………………3分 ∴OQ =OB +BQ =8∴t ==…………………………4分 (3)由抛物线的对称性知：抛物线经过P 、Q 、O 三点),3Pt ，(),0Q ，()0,0O不妨设：抛物线M 的解析式为()y ax x =-将),3Pt 代入可得1a t =-∴抛物线的解析式为：21y x t=-+ …………………………5分显然：△PQA 绕PQ 中点旋转180°后，三个对应顶点在抛物线上 ……………6分 设A 的对应点为A’∴四边形P AQA’是平行四边形∵),3Pt ，(),0Q ，(6,A∴('6,3A t --， ……………………………………………………7分将('6,3A t --代入抛物线21y x t=-+∴ t =或t =∴当经过t =t =PQA 绕PQ 中点旋转180°后，三个对应顶点在“M 抛物线”上. ……………………………………………………8分。
北京市各区中考二模数学几何综合题题汇总含答案
EDMBC AEDMBC AMBCAE MBC2014年北京市各城区中考二模数学几何综合题24题汇总1、（2014年门头沟二模）24. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME（1）如图24-1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是（2）如图24-2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系请给出证明过程；（3） 在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧．．作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．（1）MD=ME ……………1分（2）如图，作DF ⊥AB ，EG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ．因为DF 、EG 分别是等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形 ACE 斜边上的高，所以F 、G 分别是AB 、AC 的中点．又∵M 是BC 的中点，所以MF 、MG 是△ABC 的中位线． ∴12MF AC =，12MG AB =，MF 12EG AC =12DF AB =图1，在ABC △中，90ACB ∠=°，2BC =，∠A=30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是________， AFBE =________．（2）如图2，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<），连结AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<），延长FC 交AB 于点D ，如果623AD =-α的度数．DEAFAFA图24-1图24-2图24-3图2图1ED C A解：（12分 （2）答：（1）中结论仍然成立.…………………………………3分 证明：∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴EC=12BC ，FC=12AC ∴12EC FC BC AC == ∵BCE ACF α∠=∠= BEC ∴∆∽AFC ∆13tan 30AF AC BE BC ∴===4分12∠=∠ , 延长BE 交AC 于点O ，交AF 于点M∵∠BOC=∠AOM ，∠1=∠2 ∴∠BCO=∠AMO=90°∴BE ⊥AF …………………………………………………5分 （3）∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30° ∴AB=4，∠B=60° 过点D作DH ⊥BC 于H∴DB=4(62--=∴1BH =，3DH =又∵21)3CH =-= ∴CH=BH ………………………………………………………6分∴∠HCD=45°∴∠DCA=45°18045135α∴=-=……………………………………7分 3、（2014年平谷二模）24.（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，E 为BC 上一点，且CE=AB ，BE=CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是_________________________.(2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ． ①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明． ②当BD CEAC AD==时， BPD ∠的度数____________________．（1）等腰直角三角形 ----------------------------------------------------1分（2） 45°. ------------------------------------------------------------2分DH F EC BAαPFEAC图1F E DC BA 证明：过B 点作FB ⊥AB,且FB=AD. ∴90FBD A ∠=∠=︒,∵BD=AC ，∴△FBD ≌△DAC.∴∠FDB=∠DCA ，ED=DC∵∠DCA+∠CDA=90︒，∴∠FDB +∠CDA=90︒， ∴∠CDF=90︒，∴∠FCD=∠CFD =45︒． ∵AD=CE ，∴BF=CE∵90FBD A ∠=∠=︒，∴180FBD A ∠+∠=︒. ∴BF ∥EC.∴四边形BECF 是平行四边形． ∴BE ∥FC.∴45BPD FCD ∠=∠=︒.-------------------------------------------------6分 （3）60︒． --------------------------------------------7分4、(2014年顺义二模) 24．在△ABC 中， A B AC ，A 0，将线段 B C 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 B D ，再将线段BD 平移到EF ，使点E 在AB 上，点F 在AC 上．（1）如图 1，直接写出 A BD 和CFE 的度数； （2）在图1中证明： E CF ； （3）如图2，连接 C E ，判断△CEF 的形状并加以证明．（1）ABD= 15 °，CFE= 45 °．……………………………………… 2分（2）证明：连结CD 、DF ．∵线段 B C 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 B D ，∴BD BC ，CBD 0． ∴△BCD 是等边三角形． ∴CD BD ．∵线段BD 平移到EF ，∴EF ∥BD ，EF BD ．∴四边形BDFE 是平行四边形，EF CD ．……… 3分 ∵AB AC ，A 0， ∴ABC ACB ．∴ABD ABCCBDACD ． ∴DFE ABD ，AEF ABD ．∴AEF ACD ．………………………………………………… 4分 ∵CFE A+AEF ，∴CFD CFEDFE ．∴ACFD ．…………………………………………………… 5分 ∴△AEF ≌△FCD （AAS ）．图2图1A DEFF E DA图2∴E CF ． …………………………………………………………… 6分（3）解：△CEF 是等腰直角三角形．证明：过点E 作EG ⊥CF 于G ，∵CFE ，∴FEG ． ∴EG FG ． ∵A 0，AGE ，∴12EG AE =．∵E CF ，∴12EG CF =． ∴12FG CF =． ∴G 为CF 的中点．∴EG 为CF 的垂直平分线． ∴EF EC ．∴CEF FEG=9．∴△CEF 是等腰直角三角形．………………………………………… 8分5、（2014年石景山二模）24．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△ADE ，DE 的延长线与BC 相交于点F ，连接AF ．（1）如图1，若BAC ∠=α=︒60，BF DF 2=，请直接写出AF 与BF 的数量 关系；（2）如图2，若BAC ∠＜α=︒60，BF DF 3=，猜想线段AF 与BF 的数量关 系，并证明你的猜想；（3）如图3，若BAC ∠＜α，mBF DF =（m 为常数），请直接写出BFAF的值 （用含α、m 的式子表示）． 解：解：（ （2）解：猜想：BF AF 2=.证明：在DF 上截取BF DG =，连接AG （如图）. 由旋转得AB AD =， ADG ∠＝ABF ∠.∴△ADG ≌△ABF .∴AF AG =，DAG ∠＝BAF ∠.∴ GAF GAB BAF ∠=∠+∠∴60GAB DAG DAB =∠+∠=∠=︒.G ABCDEFDAG∴△GAF 是等边三角形. 又∵BF DF 3=.∴BF BF DF DG DF GF AF 2=-=-==.…5分 （3）BFAF 2sin21α-=m ． ……………7分6、（2014年海淀二模）24．在ABC △中，90ABC ∠=，D 为平面内一动点，AD a =，AC b =，其中a ， b 为常数，且 a b <. 将ABD △沿射线BC 方向平移，得到FCE △，点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、C 、E.连接BE .（1）如图1，若D 在ABC △内部，请在图1中画出FCE △；（2）在（1）的条件下，若AD BE ⊥，求BE 的长（用含, a b 的式子表示）；（3）若=BAC α∠，当线段BE 的长度最大时，则BAD ∠的大小为__________；当线段BE 的长度最小时，则BAD ∠的大小为_______________（用含α的式子表示）.图1 备用图解:（1）…………………………………………………2分（2）连接BF.∵将ABD △沿射线BC 方向平移，得到FCE △， ∴AD ∥EF, AD=EF ；AB ∥FC, AB=FC. ∵∠ABC=90°，∴四边形ABCF 为矩形.∴AC=BF. ……………………………………3分 ∵AD BE ⊥,∴EF BE ⊥. …………………………………4分 ∵AD a =，AC b =， ∴EF a =，BF b =.∴BE . ………………………………………………………………5分 （3）180α︒-； α . ……………………………………………………………7分7、（2014年西城二模）24．在△ABC ，∠BAC 为锐角，AB>AC ， AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．（1）如图1，若△ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系； （2）BC 的垂直平分线交AD 延长线于点E ，交BC 于点F ．①如图2，若∠ABE=60°，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系并加以证明；②如图3，若AC AB +=，求∠BAC的度数．解：（1）AB=AC+CD ； ························ 1分 （2）①AB=AC+CE ； ························ 2分AB CAB证明：在线段AB 上截取AH=AC ，连接EH ． ∵AD 平分∠BAC ∴12∠=∠． 又∵AE=AE ，∴△ACE ≌△AHE ．∴CE=HE ． ························ 3分 EF 垂直平分BC ，∴CE=BE ． ························· 4分 又∠ABE=60°，∴△EHB 是等边三角形． ∴BH=HE ．∴AB=AH+HB=AC+CE ． ····················· 5分 ②在线段AB 上截取AH=AC ，连接EH ，作EM ⊥AB 于点M ． 易证△ACE ≌△AHE ， ∴CE=HE ．∴△EHB 是等腰三角形． ∴HM=BM ． ∴AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB =2AM ．∵3AC AB AE +=， ∴3AM AE =． 在Rt △AEM 中，3cos AM EAM AE ∠==， ∴∠EAB=30°．∴∠CAB=2∠EAB=60°． ··················· 7分8、（2014年通州二模）23．已知：△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称（点A 的对称点是点C ），点E 、F分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，连接AF 、AE ，AE 交BD 于点G ．D M HFECAB（1）如图l ，求证：∠EAF ＝∠ABD ；（2）如图2，当AB ＝AD 时，M 是线段AG 上一点，连接BM 、ED 、MF ，MF 的延长线交ED 于点N ，∠MBF＝12∠BAF ，AF ＝23AD ，请你判断线段FM 和FN 之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．证明：（1）如图1，连接FE 、FC ∵点F 在线段EC 的垂直平分线上 ∴FE=FC∴∠FEC=∠FCE∵△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称（点A 的对称点是点C ） ∴AB=CB ，∠ABD=∠CBD ∵在△ABF 与△CBF 中AB ＝CB∠ABD ＝∠CBD BF ＝BF ∴△ABF ≌△CBF （SAS ） ∴∠BAF=∠FCE ，FA=FC ∴FE=FA ，∠FEC=∠BAF ∴∠EAF=∠AEF∵∠FEC +∠BEF=180° ∴∠BAF+∠BEF=180°∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360°∴∠AFE+∠ABE=∠AFE+∠ABD+∠CBD =180° 又∵∠AFE+∠EAF+∠AEF=180° ∴∠EAF+∠AEF=∠ABD+∠CBD ∵∠ABD ＝∠CBD, ∠EAF=∠AEF∴∠EAF=∠ABD………………………………..(3分) （2）FM=72FN 证明： 由(1)可知∠EAF=∠ABD又∵∠AFB=∠GFA∴△AFG ∽△BFA∴∠AGF=∠BAF 又∵∠MBF=12∠BAF ． GFCBDENG FDBEM图1图2G FCBDEDBAEQP DC BA∴∠MBF=12∠AGF又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG∴∠MBG=∠BMG∴BG=MG∵AB=AD∴∠ADB=∠ABD=∠EAF 又∵∠FGA=∠AGD∴△AGF∽△DGAGF AG AFAG GD AD∴==∵AF=23AD23GF AGAG GD∴==设GF=2a AG=3a．∴GD=92a∴FD=52a∵∠CBD=∠ABD ∠ABD=∠ADB ∴∠CBD=∠ADB∴BE BG EGGD AG=23EG AGBG GD∴==54252===aaFDGFQEGQQEGQ54=4989k89k359k72MF MQFN QE∴==72(6分)9、（2014年东城二模）24．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE ⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由；（3）在整个运动过程中，设AP为x，BD为y，求y关于x的函数关系式，并求出当△BDQ为等腰三角形时BD的值．FEQP DCBA解：（1）∵ ∠ACB=90°，AC=BC=4，设AP 为x ， ∴PC=4-x ，CQ=4+x. ∵∠BQD=30°， ∴3CQ PC =. ∴43(4)x x +=-.解得843x =-.…………2分（2）当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB 的延长线于点F ， 又∵PE⊥AB 于E ， ∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P ，Q 做匀速运动且速度相同， ∴AP=BQ .∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴可证 PE=QF=AE=BF. ∵∠PDE=∠QDF， ∴△PDE≌△QDF . ∴DE =DF. ∴DE=AB. 又∵AC =BC=4， ∴42AB =∴22DE =∴当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变．…………5分 （3）∵AP =x ，∴22AE x =． ∵AB AE DE BD =++， ∵24222x y =+．即 222y x =-+（0＜x ＜4）． 当△BDQ 为等腰三角形时，x=y ． ∴424x =-．…………7分 即BD 的值为424-．10、（2014年朝阳二模）24. 已知∠ABC=90°，D 是直线AB 上的点，AD=BC ．（1）如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF=BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明； （2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、CD 相交于点P ，且∠APD=45°，求证BD=CE ．解：（1）△CDF 是等腰直角三角形 ．………………1分 证明：∵∠ABC=90°，AF⊥AB， ∴∠FAD=∠DBC ． ∵AD=BC，AF=BD ，∴△FAD≌△DBC ．∴FD=DC ．…………………………………………2分 ∠1=∠2． ∵∠1+∠3=90°， ∴∠2+∠3=90°．即∠CDF =90°． ……………………………………3分 ∴△CDF 是等腰直角三角形．（2）过点A 作AF⊥AB，并截取AF=BD ，连接DF 、CF ．…………………………4分 ∵∠ABC =90°，AF⊥AB， ∴∠FAD=∠DBC ．P EC 图2 C A B 图1 312CB∵AD=BC，AF=BD ，∴△FAD≌△DBC ． ∴FD=DC ，∠1=∠2． ∵∠1+∠3=90°， ∴∠2+∠3=90°． 即∠CDF=90°．∴△CDF 是等腰直角三角形．………………………………………………………5分 ∴∠FCD=∠APD=45°． ∴FC∥AE．∵∠ABC =90°，AF⊥AB， ∴AF∥CE．∴四边形AFCE 是平行四边形． …………………………………………………6分 ∴AF=CE．∴BD=CE．……………………………………………………………………………7分11、（2014年密云二模）24．已知等腰Rt ABC ∆和等腰Rt AED ∆中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC （1）发现：如(图1)，当点E 在AB 上且点C 和点D 重合时，若点M 、N 分别是DB 、EC 的中点，则MN 与EC 的位置关系是 ，MN 与EC 的数量关系是（2）探究：若把（1）小题中的△AED 绕点A 旋转一定角度，如(图2)所示，连接BD 和EC,并连接DB 、EC 的中点M 、N,则MN 与EC 的位置关系和数量关系仍然能成立吗若成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由;请以逆时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明位置关系成立，（1）1,2MN EC MN EC ⊥=.------------1分（2）连接EF并延长交BC 于F ， ∵∠AED=∠ACB=90°(图2) (图1) (图3) A (图4)∴DE ∥BC∴∠DEM=∠AFM ，∠EDM=∠MBF 又BM=MD ∴△EDM ≌△FBM ∴BF=DE=AE,EM=FM∴1111()()2222MN FC BC BF AC AE EC ==-=-=--------------4分延长ED 到F ，连接AF 、MF ，则AF 为矩形ACFE 对角线，所以比经过EC 的中点N 且AN=NF=EN=NC. 在Rt △BDF 中，M 是BD 的中点，∠B=45° ∴FD=FB∴FM ⊥AB ， ∴MN=NA=NF=NC∴点A 、C 、F 、M 都在以N 为圆心的圆上 ∴∠MNC=2∠DAC由四边形MACF 中，∠MFC=135° ∠FMA=∠ACB=90° ∴∠DAC=45°∴∠MNC=90°即MN ⊥FC-------------------7分12、（2014年延庆二模）13、(2014年房山二模) 24. 边长为2的正方形ABCD 的两顶点A 、C 分别在正方形EFGH 的两边DE 、DG 上(如图1)，现将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转，当A 点第一次落在DF 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交DF 于点M ，BC 边交DG 于点N . （1）求边DA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时(如图2)，求正方形ABCD 旋转的度数；（3）如图3，设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形ABCD 的过程中，p 值是否有变化请证明你的结论. （1）∵A 点第一次落在DF 上时停止旋转， ∴DA 旋转了045.BNMDE∴DA 在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=......................................2分 （2）∵MN ∥AC ，∴45BMN BAC ∠=∠=︒,45BNM BCA ∠=∠=︒. ∴BMN BNM ∠=∠.∴BM BN =. 又∵BA BC =，∴AM CN =.又∵DA DC =,DAM DCN ∠=∠,∴DAM DCN ∆≅∆. ∴ADM CDN ∠=∠.∴1(90452ADM ∠=︒-︒)=22.5︒. ∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形ABCD 旋转的度数为45︒-22.5︒=22.5︒ (5)分(3)证明：延长BA 交DE 轴于H 点，则045ADE ADM ∠=-∠，000904545CDN ADM ADM ∠=--∠=-∠，∴ADE CDN ∠=∠.又∵DA DC =，01809090DAH DCN ∠=-==∠. ∴DAH DCN ∆≅∆. ....................................................6分∴,DH DN AH CN ==.又∵045MDE MDN ∠=∠=,DM DM =,∴DMH DMN ∆≅∆. ........................................................7分∴MN MH AM AH ==+. ∴MN AM CN =+，∴4p MN BN BM AM CN BN BM AB BC =++=+++=+=.∴在旋转正方形ABCD 的过程中，p 值无变化............................8分14、（2014年昌平二模）24．【探究】如图1，在△ABC 中， D 是AB 边的中点，AE ⊥BC 于点E ，BF ⊥AC于点F ，AE ，BF 相交于点M ，连接DE ，DF. 则DE ，DF 的数量关系为 .【拓展】如图2，在△ A B C 中 ，C B = C A ，点 D 是AB 边的 中点 ，点M 在 △ A B C 的内部 ，且 ∠MBC =∠MAC . 过点M 作ME ⊥BC 于点E ，MF ⊥AC 于点F ，连接DE ，DF. 求证：DE=DF ；【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB=CA ”变为“CB ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.ADBE CMFAD BECMF MABCDFE图3图2图1【探究】DE=DF. …………………………………………………………………………………1分【拓展】如图2，连接CD. ∵在△ A B C 中 ，C B = C A ， ∴∠CAB=∠CBA. ∵∠MBC =∠MAC ,∴∠MAB=∠MBA. …………………………… 2分 ∴AM=BM.∵点 D 是 边 AB 的 中点 ，∴点M 在CD 上. ……………………………………………………………………… 3分 ∴CM 平分∠FCE. ∴∠FCD=∠ECD.∵ME ⊥BC 于E ，MF ⊥AC 于F ， ∴MF=ME. 又∵CM=CM, ∴△CMF ≌△CME. ∴CF=CE. ∵CD=CD ，∴△CFD ≌△CED.∴DE=DF. ……………………………………………………………………………… 4分图2F MCE BD A【推广】 DE=DF.如图3，作AM 的中点G,BM 的中点H. ∵点 D 是 边 AB 的 中点 ，∴1//,.2DG BM DG BM =同理可得：1//,.2DH AM DH AM =∵ME ⊥BC 于E ，H 是BM 的中点， ∴在Rt △BEM 中， 1.2HE BM BH == ∴DG=HE. ………………………………………………………………………………… 5分 同理可得：.DH FG = ∵DG ∴∠DGM=∠DH M.∵∠MGF=2∠MAC, ∠MHE=2∠MBC, 又∵∠MBC =∠MAC , ∴∠MGF=∠MHE.∴∠DGM+∠MGF =∠DHM+∠MHE.∴∠DGF=∠DHE. ……………………………………………………………………… 6分 ∴△DHE ≌△FGD.∴DE=DF. ………………………………………………………………………………… 7分15、（2014年怀柔二模）24．已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 边上一点，F 是BC 边延长线上一点，且CF=AE ，连接BE 、EF ．（1）如图1，若E 是AC 边的中点，猜想BE 与EF 的数量关系为 .（2）如图2，若E 是线段AC 上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．解 ：（1）猜想BE 与:BE=EF. …………………1分 （2）猜想BE=EF ．证明：将线段BE 绕点B 顺时针旋转60°，AB EF 图AB C E F 图2 AB C E F 图3 图3H GF M CE BD A得线段BE ’，连接E ’C 、E ’E ，………………………………2分∴△EB E ’为等边三角形，∴BE=E E ’,又∵△ABC 为等边三角形，∴AB=BC ，∠ABC=∠ACB= 60°，∴∠1=∠2, ∴△ABE ≌△CB E ’（SAS ），………………………………3分∴AE=C E ’, ∠A=∠3=60°，又∵CF=AE ， ∴C E ’=CF ，∵∠ACB=60°，∠3=60°，∴∠AC E ’=∠AC F=120°， ∵EC=EC∴△E C E ’≌△ECF （SAS ），………………………………4分 ∴E E ’=EF ． ∴BE=EF ．………………………………5分 （3）猜想BE=EF ．证明：将线段BE 绕点B 顺时针旋转60°，得线段BE ’，连接E ’C 、E ’E ，∴△EB E ’为等边三角形，∴BE=E E ’, 又∵△ABC 为等边三角形，∴AB=BC ，∠ABC=∠ACB= 60°，∴∠ABE=∠CB E ’,∴△ABE ≌△CB E ’（SAS ），∴AE=C E ’, ∠A=∠B C E ’=60°， 又∵CF=AE ，∴C E ’=CF ，∵∠ACB=60°，∠B C E ’=60°，∴∠EC E ’=∠EC F=60°， ∵EC=EC∴△E E ’C ≌△EFC （SAS ），………………………………6分∴E E ’=EF ．又∵BE=E E ’,∴BE=EF ．………………………………7分16、（2014年大兴二模）25. 已知：E 是线段AC 上一点，AE=AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点D ，使得∠EDB=∠EAB ，联结AD.（1）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB=60°时，如图1，求证：ED =AD+BD ；（2）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB= α（0o ﹤α﹤90o ）时，如图2，请你直接写出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）；4321'F ECB A ABCE F E '（3）若直线EF 与线段AB 不相交，当∠EAB=90°时，如图3，请你补全图形，写出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系，并证明你的结论.（1）证明：作∠DAH=∠EAB 交DE 于点H. …………………………1分∴∠DAB=∠HAE.∵∠EAB=∠EDB ，∠APE=∠BPD ， ∴∠ABD=∠AEH. ∵又AB=AE ，∴△ABD ≌△AEH. ………………2分 ∴BD=EH ，AD=AH. ∵∠DAH=∠EAB=60°， ∴△ADH 是等边三角形. ∴AD=HD. ∵ED = HD+EH∴ED =AD+BD. …………………………………………………………………3分 (2) BD AD ED +=2sin 2α ……………………5分（3）ED=BD －2AD ……………6分作∠DAH=∠EAB 交DE 于点H. ∴∠DAB=∠HAE. ∵∠EDB=∠EAB=90°，∴∠ABD+∠1=∠AEH+∠2 =90°. ∵∠1=∠2 ∴∠ABD=∠AEH.∵又AB=AE ，∴△ABD≌△AEH. ……………………………………………………7分 ∴BD=EH ，AD=AH. ∵∠DAH=∠EAB=90°， ∴△ADH 是等腰直角三角形.∵ED=EH-HD∴AD BD ED 2-=……………………………………………………8分17、（2014年燕山二模）24.如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接 AE ，BG ．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是 ； （2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα， ①判断（1）中的结论是否仍然成立请利用图2证明你的结论； ②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．图1 图2F GE DC A B B AC D EGF。
2014石景山区中考数学二模
2014石景山区中考数学二模一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后括号内．1．（4分）的倒数是（）A．5 B．C． D．2．（4分）某省去年底森林面积为2801700公顷，将2801700用科学记数法表示应为（）A．28017×102B．2.8017×106C．28.017×105D．0.28017×1073．（4分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等腰三角形、平行四边形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（）A．B．C．D．14．（4分）关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．0 B．8 C．4±2D．0或85．（4分）如图，已知△ABC中，∠B=50°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于（）A．130°B．230°C．270°D．310°6．（4分）如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下广场、地面广场电梯口处的水平线，已知∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）m．A．6 B． C． D．7．（4分）下面一组数据是10名学生测试跳绳项目的成绩（单位：个/分钟）．176 180 184 180 170 176 172 164 186 180该组数据的众数、中位数、平均数分别为（）A．180，180，178 B．180，178，178C．180，178，176.8 D．178，180，176.88．（4分）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的位置如图1所示，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2），点D的坐标为（﹣3，1）．矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为x（0≤x≤3）秒，第一象限内的图形面积为y，则下列图象中表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C． D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）分解因式：ax2﹣4ay2=．10．（4分）已知二次函数y=x2+bx+8的图象的顶点在y轴右侧，则b的一个值可为（只需写出符合条件的一个b的值）．11．（4分）已知A（﹣1，m）与B（2，m﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m的值．12．（4分）如图，已知直线l：y=x，过点A1（1，0）作x轴的垂线交直线l于点B1，以A1 B1为边作正方形A1B1C1A2，过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以A2 B2为边作正方形A2B2C2A3，…；则点A5的坐标为，点C n的坐标为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）计算：+2sin60°+（）﹣1﹣（﹣3）0．14．（5分）解不等式组．15．（5分）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE，求证：AE=BD．16．（5分）已知当x=1时，2ax2+bx的值为﹣2，求当x=2时，ax2+bx的值．17．（5分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．18．（5分）北京某郊区景点门票价格：成人票每张40元，学生票每张是成人票的半价．小明和小华两家人买了12张门票共花了420元，求两家人的学生和成人各有几人？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，BA=2．以OB为边，向外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．20．（5分）以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制的北京市年生产总值统计图的一部分．请你根据以上信息解答下列问题：（1）根据北京市2009﹣﹣2013年生产总值年增长率，请计算出2011年北京市年生产总值是（结果精确到1百亿元），并补全条形统计图；（2）若从2013年以后，北京市年生产总值都按15%的年增长率增长，则请你估算，若年生产总值不低于2009年的2倍，至少要到年．（填写年份）（3）在（1）的条件下，2009﹣﹣2013这四年间，比上一年增长的生产总值的平均数为多少百亿元？若按此平均数增长，请你预测2014年北京地区的生产总值多少百亿元？21．（5分）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．（1）求证：直线PQ与⊙O相切；（2）连结PO并延长交⊙O于点E、交AC的延长线于点F，连结PC，若OC=，tan∠OPC=，求EF的长．22．（5分）阅读下列材料：小明同学遇到了这样一个问题：如图，M是边长为a的正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积分割成面积相等的四个部分．小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将以点O为顶点的直角绕点O任意旋转，且直角两边与BA，CB相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值．可以类比此问题解决．（1）请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为；参考小明同学的想法，解答问题：（2）请你在图3中，解决原问题（3）如图4．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，保留作图痕迹．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．（7分）关于x的一元二次方程x2﹣3（m+1）x+3m+2=0．（1）求证：无论m为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数y=x2﹣3（m+1）x+3m+2与x轴有且只有一个交点，求m的值；（3）在（2）的条件下，将函数y=x2﹣3（m+1）x+3m+2的图象沿直线x=2翻折，得到新的函数图象G．在x，y轴上分别有点P（t，0），Q（0，2t），其中t＞0，当线段PQ与函数图象G只有一个公共点时，求t的值．24．（7分）将△ABC绕点A顺时针旋转α得到△ADE，DE的延长线与BC相交于点F，连接AF．（1）如图1，若∠BAC=α=60°，DF=2BF，请直接写出AF与BF的数量关系；（2）如图2，若∠BAC＜α=60°，DF=3BF，猜想线段AF与BF的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若∠BAC＜α，DF=mBF（m为常数），请直接写出的值（用含α、m的式子表示）．25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，射线l：．点A是第一象限内一定点，，射线OA 与射线l的夹角为30°．射线l上有一动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线l匀速运动，同时x 轴上有一动点Q从点O出发，以相同的速度沿x轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示PQ的长．（2）若当P、Q运动某一时刻时，点A恰巧在线段PQ上，求出此时的t值．（3）定义M抛物线：顶点为P，且经过Q点的抛物线叫做“M抛物线”．若当P、Q运动t秒时，将△PQA绕其某边中点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在“M抛物线”上，求此时t的值．参考答案与试题解析一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后括号内．1．【解答】的倒数是﹣，故选：D．2．【解答】将2801700用科学记数法表示为：2.8017×106．故选：B．3．【解答】∵四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等腰三角形、平行四边形四个图案．中心对称图形的是圆、矩形、平行四边形，∴从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为：．故选C．4．【解答】∵一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（m﹣2）2﹣4×1×（m+1）=0，整理，得m2﹣8m=0，解得m1=0，m2=8．故选D．5．【解答】∠BDE+∠BED=180°﹣∠B，=180°﹣50°，=130°，∠1+∠2=360°﹣（∠BDE+∠BED）=360°﹣130°=230°．故选：B．6．【解答】过点C作AB的延长线的垂线CE，即乘电梯从点B到点C上升的高度h，∵∠ABC=135°，∴∠CBE=180°﹣∠ABC=45°，∴CE=BC•sin∠CBE=6•sin45°=6•=6（m）．∴h=6（m）．故选A．7．【解答】∵180出现了3次，出现的次数最多，∴众数是180；把这组数据从小到大排列为：164，170，172，176，176，180，180，180，184，186，最中间两个数的平均数是（176+180）÷2=178，则中位数是178；这组数据的平均数是（176+180+184+180+170+176+172+164+186+180）÷10=176.8；故选C．8．【解答】如图1，∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2），点D的坐标为（﹣3，1），∴OA=OB=2，△AOB是等腰直角三角形，AD==，∴AB=2．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=，AB=CD=2，∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°．分三种情况：①当0≤x≤1时，矩形ABCD落在第一象限内的图形是三角形PB′Q，如图2∵OA′=2﹣x，△A′OP是等腰直角三角形，∴A′P=OA′=（2﹣x），∴PB′=A′B′﹣A′P=2﹣（2﹣x）=x，∵△PB′Q是等腰直角三角形，∴y=PB′2=×（x）2=x2；②当1＜x≤2时，矩形ABCD落在第一象限内的图形是梯形PB′CQ，如图3∵OA′=2﹣x，△A′OP是等腰直角三角形，∴A′P=OA′=（2﹣x），∴PB′=A′B′﹣A′P=2﹣（2﹣x）=x，D′Q=（2﹣x）+=3﹣x，∴C′Q=2﹣（3﹣x）=x﹣，∴y=（C′Q+B′P）•B′C′=（x﹣+x）×=2x﹣1；③当2＜x≤3时，矩形ABCD落在第一象限内的图形是五边形PA′B′CQ，如图4．∵OA′=x﹣2，△A′OP是等腰直角三角形，∴A′P=OA′=（x﹣2），∴PD′=A′D′﹣A′P=﹣（x﹣2）=3﹣x，∴S△PD′Q=PD′2=×（3﹣x）2=x2﹣6x+9；∴y=S矩形A′B′C′D′﹣S△PD′Q=2×﹣（x2﹣6x+9）=﹣x2+6x﹣5；纵观各选项，只有D选项图形符合．故选D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．【解答】ax2﹣4ay2=a（x2﹣4y2）=a（x+2y）（x﹣2y）．10．【解答】二次函数y=x2+bx+8的图象的顶点在y轴右侧，∴，b＜0，b=﹣1，故答案为：﹣1．11．【解答】∵A（﹣1，m）与B（2，m﹣3）是反比例函数图象上的两个点，∴（﹣1）×m=2×（m﹣3），解得m=2．故答案为：2．12．【解答】直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，1），以A1 B1为边作正方形A1B1C1A2，A1B1=A1A2=1，OA2=1+1=2，点A2的坐标为（2，0），C1的坐标为（2，1），这种方法可求得B2的坐标为（2，2），故点A3的坐标为（4，0），C2的坐标为（4，2），此类推便可求出点点A5的坐标为（16，0），点C n的坐标为（2n，2n﹣1）．故答案为（16，0），（2n，2n﹣1）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．【解答】原式=3+2×+6﹣1=4+5．14．【解答】∵解不等式2x﹣1≥x+1得：x≥2，解不等式x+8≤4x﹣1得：x≥3，∴不等式组的解集为x≥3．15．【解答】证明：∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD．16．【解答】将x=1代入2ax2+bx=﹣2中，得2a+b=﹣2，当x=2时，ax2+bx=4a+2b，=2（2a+b），=2×（﹣2），=﹣4．17．【解答】（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．18．【解答】设两家人有学生x人，成人y人，据题意得：，解得：．答：两家人的学生有3人，成人有9人．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．【解答】（1）证明：在Rt△OAB中，D为OB的中点，∴DO=DA，∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，∴∠AEO=60°又∵△OBC为等边三角形∴∠BCO=∠AEO=60°，∴BC∥AE，∵∠BAO=∠COA=90°，∴OC∥AB，∴四边形ABCE是平行四边形．（2）解：在Rt△ABO中，∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，AB=2，∴OA=AB•tan60°=2×=．在Rt△OAG中，OA2+OG2=AG2，设OG=x，由折叠可知：AG=GC=4﹣x，可得，解得，∴OG=．20．【解答】（1）141×15.6%+141≈22+141=163（百亿元）．统计图补充如图：（2）年生产总值2009年的2倍是：122×2=244（百亿元），而195（1+15%）=224.25（百亿元），195（1+15%）2=257.8875（百亿元）＞244（百亿元），2013+2=2015，即若年生产总值不低于2009年的2倍，至少要到2015年；（3）增长的生产总值的平均数：（195﹣122）÷4=18.25，即2009﹣2013这四年间，比上一年增长的生产总值的平均数为18.25百亿元；195+18.25=213.25，故预测2014年北京地区的生产总值为213.25百亿元．故答案为163百亿元；2015．21．【解答】（1）证明：连结PO、PC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BPC=90°，∴∠APC=90°，又∵Q是AC的中点，∴PQ=CQ，∴∠CPQ=∠PCQ，∵OP=OC∴∠OPC=∠OCP，∴∠OPC+∠CPQ=∠OCP+∠PCQ=∠BCA=90°，∴OP⊥PQ，∴直线PQ与⊙O相切；、（2）解：连结CE，如图，∵EP是直径，∴∠ECP=90°，即∠ECO+∠OCP=90°，又∵∠ECO+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠OCP=∠OPC，而∠F=∠F∴△FEC∽△FCP，∴==，在Rt△EPC中，tan∠OPC==，∴==，∴CF=2EF，PF=2CF，∴PF=4EF，∴PE=3EF，即3EF=2×，∴EF=．22．【解答】（1）如图2，连接BO，∵O是边长为a的正方形ABCD的中心，∴BO=CO，∠ABO=∠ACB=45°，∵∠CON+∠BON=90°，∠MOB+∠BON=90°，∴∠MOB=∠CON，在△BOM和△CON中，∴△BOM≌△CON（ASA），∴重叠部分的面积为：S△BOC=S正方形ABCD=；故答案为：；（2）如图3所示：（3）如图4所示：当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD面积二等分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．【解答】（1）解方程x2﹣3（m+1）x+3m+2=0，得x1=1，x2=3m+2，∵x1=1＞0∴无论m为何值时，方程总有一个根大于0；（2）∵若函数y=x2﹣3（m+1）x+3m+2与x轴有且只有一个交点，∴△=9（m+1）2﹣4（3m+2）=0，∴m=﹣，（3）当时，函数y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，依题意，沿直线x=2翻折后的解析式为：y=（x﹣3）2=x2﹣6x+9，可得，y=（x﹣3）2=x2﹣6x+9与x，y轴的交点分别为（3，0），（0，9）．设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），由P（t，0），Q（0，2t）．∴直线PQ的解析式为y=﹣2x+2t，①当线段PQ与函数图象相切时，有：﹣2x+2t=x2﹣6x+9，整理得：x2﹣4x+9﹣2t，△=16﹣4（9﹣2t）=0∴②当线段PQ经过点（0，9）时，2t=9∴当t＞时，P（t，0）在（3，0）的右侧，线段PQ只与图象G的右侧有交点，即当t＞时，线段PQ与函数图象G只有一个公共点．综上：当或t＞时，线段PQ与函数图象G只有一个公共点．24．【解答】解：（1）AF=BF．理由如下：在DF上截取DG=BF，连接AG，（如图1），由旋转得AD=AB，∠D=∠B，在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°．∴△GAF是等边三角形，又∵DF=2BF，∴AF=GF=DF﹣DG=DF﹣BF=BF，即AF=BF；（2）解：猜想：AF=2BF．证明：在DF上截取DG=BF，连接AG（如图2）．由旋转得AD=AB，∠D=∠B，在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°，∴△GAF是等边三角形，又∵DF=3BF，∴AF=GF=DF﹣DG=DF﹣BF=2BF，即AF=2BF；（3）在DF上截取DG=BF，连接AG，（如图3），由旋转得AD=AB，∠D=∠B，在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=α，∴△GAF是等腰三角形，∵DF=mBF，∴GF=DF﹣DG=mBF﹣BF=（m﹣1）BF，过点A作AH⊥DF于H，则FH=GF=（m﹣1）BF，∠FAH=∠GAF=α，∵sin∠FAH=，∴sin=，∴=．25．【解答】（1）∵射线l解析式为，∴∠POQ=60°．∵P，Q运动速度相同，∴OP=OQ=2t，∴△OPQ是等边三角形，∴PQ=2t；（2）由题意：A（6，2），P（，3t），Q（2t，0），过点A作AB⊥x轴于B，如图1，则AB=2，∵在Rt△ABQ中，∠ABQ=90°，∠AQB=60°，∴，∴OQ=OB+BQ=8，∴秒；（3）由抛物线的对称性知：抛物线经过P、Q、O三点P（，3t），Q（2t，0），O（0，0），如图2，不妨设：抛物线M的解析式为y=ax（x﹣2t），将P（，3t）代入可得，得到抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x，显然：△PQA绕PQ中点旋转180°后，三个对应顶点在抛物线上，设A的对应点为A′，如图3，得到四边形PAQA′是平行四边形，∵P（，3t），Q（2t，0），A（6，2），∴A′（3t﹣6，3t﹣2），将A′（3t﹣6，3t﹣2），代入抛物线y=﹣x2+2x，解得或，∴当经过秒或秒时，△PQA绕PQ中点旋转180°后，三个对应顶点在“M抛物线”上．。
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北京市石景山区2014年初三第二次统一练习数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．5-的倒数是（ ）．A ．5B ．5C ．5-D ．55-2．某省去年底森林面积为2801700公顷，将2801700用科学记数法表示应为（ ）． A ．28017×102 B ．2.8017×106 C ．28.017×105 D ．0.28017×1073．四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等腰三角形、平行四边形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（ ）． A.14 B. 12 C. 34D. 1 4．关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）． A ．0B ．8C．4±D ．0或85．如图，已知△ABC 中，∠B =50°，若沿图中虚线剪去 ∠B ，则∠1+∠2 等于（ ）． A. 130° B. 230° C. 270° D. 310°6．如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示地下广场、地面广场电梯口处的水平线，已知∠ABC =135°，BC 的长约是26m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）m ． A ．6B ．24C ．33D ．237．下面一组数据是10名学生测试跳绳项目的成绩（单位：个/分钟）．176 180 184 180 170 176 172 164 186 180 该组数据的众数、中位数、平均数分别为（ ）． A ．180， 180， 178 B ．180， 178， 178 C ．180， 178， 176.8D ．178， 180， 176.88．在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的位置如图1所示，点A 的坐标为)0,2(-，点B 的坐标为)2,0(,点D 的坐标为(-3,1)．矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，设运动时间为x （0≤x ≤3）秒，第一象限内的图形面积为y ，则下列图象中表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )．第6题图图1 图2 第5题图2150°CBAEDC BA二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分解因式：=-224ay ax .10．已知二次函数82++=bx x y 的图象的顶点在y 轴右侧，则b 的一个值可为___________（只需写出符合条件的一个b 的值）.11．已知(1)A m -，与)3,2(-m B 是反比例函数xky =图象上的两个点．则m 的值= . 12．如图，已知直线l ：y =x ，过点A 1（1，0）作x 轴的垂线交直线l 于点B 1，以A 1 B 1为 边作正方形A 1 B 1 C 1 A 2，过点A 2作x 轴的 垂线交直线l 于点B 2，以A 2 B 2为边作正方 形A 2 B 2 C 2 A 3，…；则点A 5的坐标为 ， 点C n 的坐标为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．)112sin 60()36-︒+-14．解不等式组211841x x x x -≥+⎧⎨+≤-⎩．15．已知：如图，点C 是线段AB 的中点，CE =CD ，∠ACD =∠BCE , 求证：AE =BD ．16．已知当1=x 时，22ax bx +的值为2-，求当2x =时，2ax bx + 的值．17．已知关于x 的方程0)12()2(2=-++-k x k x ．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直 角三角形的周长．18．北京某郊区景点门票价格：成人票每张40元，学生票每张是成人票的半价.小明和小华两家人买了12张门票共花了420元，求两家人的学生和成人各有几人？A B C DC 3C 2C 1y=xB 3B 2B 1A 4A 3A 2A 1O x y第12题图四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．如图1，在△OAB 中，∠OAB =90°，∠AOB =30°，BA =2．以OB 为边，向外作等边△OBC ，D 是OB的中点，连接AD 并延长交OC 于E ． （1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长．20．以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制的北京_________（结（2）若从2013年以后，北京市年生产总值都按15%的年增长率增长，则请你估算，若年生产总值不低．．于．2009年的2倍，至少要到_________年．（填写年份） （3）在（1）的条件下，2009--2013这四年间，比上一年增长的生产总值的平均数为多少百亿元？若按此平均数增长，请你预测2014年北京地区的生产总值多少百亿元?21．如图，在△ABC 中，︒=∠90BCA ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点P ，Q 是AC 的中点．（1）求证：直线PQ 与⊙O 相切；（2）连结PO 并延长交⊙O 于点E 、 交AC 的延长线于点F ，连结PC , 若OC =5，21tan =∠OPC 求EF 的长.B 图1 图2 ABQC22．阅读下列材料：小明同学遇到了这样一个问题：如图，M 是边长为a 的正方形ABCD 内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ），使它们将正方形ABCD 的面积分割成面积相等的四个部分.小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目.如图2，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将以点O 为顶点的直角绕点O 任意旋转, 且直角两边与BA ，CB 相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值.可以类比此问题解决.(1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为________; 参考小明同学的想法，解答问题: (2)请你在图3中，解决原问题（3）如图4.在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB +CD =BC ，点P 是AD 的中点，如果AB =a ，CD =b ，且b >a ，那么在边BC 上存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，保留作图痕迹 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23. 关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ． （1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0； （2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的 值；（3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．图2图1 图3图424．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△ADE ，DE 的延长线与BC 相交于点F ，连接AF ． （1）如图1，若BAC ∠=α=︒60，BF DF 2=，请直接写出AF 与BF 的数量关系；（2）如图2，若BAC ∠＜α=︒60，BF DF 3=，猜想线段AF 与BF 的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若BAC ∠＜α，mBF DF =（m 为常数），请直接写出BFAF的值（用含α、m 的式子表示）．25．在平面直角坐标系xoy 中，射线l:()0y x =≥.点A 是第一象限内．．．．．一定点，OA =OA 与射线l 的夹角为30°.射线l 上有一动点P 从点O 出发，以每秒l匀速运动，同时x 轴上有一动点Q 从点O 出发，以相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，设运动时间为t 秒.（1）用含t 的代数式表示PQ 的长.（2）若当P 、Q 运动某一时刻时，点A 恰巧在线段PQ 上，求出此时的t 值.（3）定义M 抛物线：顶点为P ，且经过Q 点的抛物线叫做“M 抛物线”.若当P 、Q 运动t 秒时，将△PQA 绕其某边中点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在“M 抛物线”上，求此时t 的值.备用图1 备用图2 备用图石景山区2014初三第二次统一练习数学参考答案阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）9．(2)(2)a x y x y +-； 10． 0b <即可,答案不唯一； 11．2m =； 12．（16，0）；（12,2nn -）．三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13．解： 原式1623233-+⨯+= ……………………………………………4分 534+= ………………………………………………………5分14．解：21 1 84 1 x x x x -≥+⎧⎨+≤-⎩①②，解①得：2x ≥， ………………………………………2分 解②得：3x ≥． …………………………………………4分 则不等式组的解集是：3x ≥． …………………………………5分15．证明：∵点C 是线段AB 的中点，∴AC=BC ， ………………………………………………………1分 ∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, …………………………………………2分 即∠ACE=∠BCD,在△ACE 和△BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩…………………………………3分∴△ACE ≌△BCD （SAS ）……………………………………………………4分 ∴AE=BD. ………………………………………………………5分 16．解：将1x =代人22ax bx +2-=中，得22-=+b a ……………………………………………2分 当2x =时，2ax bx +=42a b + ……………………………………… 3分2(2)a b =+4=- …………………………………………5分 17. 解：（1）证明：∵)12(4)2(2--+=∆k k2(2)40k =-+>……………………………………… 2分∴方程恒有两个不相等的实数根.（2）解：根据题意得：0)12()2(1=-++-k k 解得：2=k则原方程为：0342=+-x x解得另一个根为3. ……………………………………… 3分① 当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长为：10， 该直角三角形的周长为4+10； …………………………… 4分② 当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22，该直角三角形的周长为4+22 .…………… 5分18．解：设两家人有学生x 人，成人y 人 ……………………………………… 1分据题意：⎩⎨⎧=+=+420402012y x y x ……………………………………… 3分解之：⎩⎨⎧==93y x ……………………………………… 4分答：两家人的学生有3人，成人有9人. ……………………………………… 5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. （1）证明：在R t △OAB 中， D 为OB 的中点∴DO =DA∴∠DAO =∠DOA =30°, ∠EOA =90° ∴∠AEO =60°又∵△OBC 为等边三角形 ∴∠BCO =∠AEO =60°∴BC ∥AE ……………….…………………………………………….1分 ∵∠BAO =∠COA =90° ∴OC ∥AB∴四边形ABCE 是平行四边形． ……….…………………………………2分 （2）解：在Rt △ABO 中 ∵∠OAB =90°，∠AOB =30°，AB =2∴OA =AB ·tan60° .………………………………………..3分 在Rt △OAG 中，222OA OG AG +=，设OG =x ，由折叠可知：AG =GC =4x -，可得(()2224x x +=- …………………4分解得，12x = ∴OG =12……………………………………………….………………..5分 20．解:（1）163（数字1分，统计图1分） ……………………………………2分 （2）2015年 ………………………………………… 3分 （3）解：增长的生产总值的平均数：(195122)4-÷=18.25∴2009—2013这四年间，比上一年增长生产总值的平均18.25百亿元……4分 195+18.25=213.25预测2014年北京地区的生产总值213.25百亿元. …………………………5分 21．解：（1）证明：连结PO 、PC . 是BC ⊙O 的直径， ︒=∠∴90BPC .则︒=∠90APC .AQ CQ = 又，.21CQ AC PQ ==∴.P C Q C P Q ∠=∠∴. OC OP = ,O C PO P C ∠=∠∴,︒=∠=∠+∠=∠+∠∴90BCA PCQ OCP CPQ OPC ,∴直线PQ 与⊙O 相切 …………………………………………………2分（2）解：连结.CEEP 是直径，.90︒=∠∴ECP.90︒=∠+∠OCP ECO 即,90︒=∠+∠ECF ECO 又.OPC OCP ECF ∠=∠=∠∴ F F ∠=∠且 △EFC ∽△.CFP.EF CF CF PF∴= 1tan ,2Rt ECP EPC ∆∠=中，.21=∴CP CE 1.2EF CF CF PF ==则 ,2EF CF =∴EF CF PF 42==∴ EF PE 3=∴.352=EF 解得 ………………………………………………………………5分 22．解：答案：21a ………………………………………….1分………………………………………….3分时，PQ 将四边形ABCD 面积二等分.………………………………………….5分7分，第24题7分，第25题8分） 23．（1）证明：()()[]0231=+--m x x ∴11=x ，231+=m x ……………………………………………1分 ∵011>=xABQCA BQ C∴无论m 为何值时，方程总有一个根大于0； …………………………2分 （2）解：∵若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点∴29(1)4(32)0m m ∆=+-+= …………………………………………3分∴31-=m ……………………………………………4分 （3）解： 当31-=m 时，函数()22112-=+-=x x x y依题意，沿直线2=x 翻折后的解析式为:()96322+-=-=x x x y ，图象G 如图所示．可得，()96322+-=-=x x x y 与x ，y 轴的 交点分别为()0,3，()9,0．设直线PQ 的解析式为()0≠+=k b kx y ，由()0,t P ，Q (0，2t )．∴直线PQ 的解析式为t x y 22+-=………5分 ①当线段PQ 与函数图象G 相切时， 96222+-=+-x x t x()029416=--=∆t ∴25=t②当线段PQ 经过点()9,0时，92=t∴29=t综上：当25=t 或29>t 时，线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点．……7分24. 解：（1）BF AF =; ……………1分 （2）解：猜想：BF AF 2=.证明：在DF 上截取BF DG =，连接AG （如图）. 由旋转得AB AD =， ADG ∠＝ABF ∠. ∴△ADG ≌△ABF .∴AF AG =，DAG ∠＝BAF ∠. ∴ GAF GAB BAF ∠=∠+∠∴60GAB DAG DAB =∠+∠=∠=︒. ∴△GAF 是等边三角形. 又∵BF DF 3=.∴BF BF DF DG DF GF AF 2=-=-==.…5分（3）BFAF 2sin21α-=m ． ……………7分 25. 解：（1）由射线l 解析式为()0y x =≥∴∠POQ =60°. …………………………1分 ∵P ，Q 运动速度相同 ∴OP OQ == ∴△OPQ 是等边三角形∴PQ = ……………………………2分GABCD EFH FE D CBAG（2）由题意：(6,A ， ),3P t ，(),0Q解法一：代数法),3Pt ，(),0Q直线PQ 解析式为6y t =+ …………3分由于 A ，P ，Q 三点共线，将(6,A 代入得：故 66t =+∴t =…………………………………4分 解法二：几何法过点A 作AB ⊥x 轴于B则AB =在Rt △ABQ 中，∠ABQ =90°，∠AQB =60°， ∴2BQ == ……………………………3分 ∴OQ =OB +BQ =8∴t ==…………………………4分 (3)由抛物线的对称性知：抛物线经过P 、Q 、O 三点),3Pt ，(),0Q ，()0,0O不妨设：抛物线M 的解析式为()y ax x =-将),3Pt 代入可得1a t =-∴抛物线的解析式为：21y x t=-+ …………………………5分显然：△PQA 绕PQ 中点旋转180°后，三个对应顶点在抛物线上 ……………6分 设A 的对应点为A’∴四边形P AQA’是平行四边形∵),3Pt ，(),0Q ，(6,A∴('6,3A t --， ……………………………………………………7分将('6,3A t --代入抛物线21y x t=-+∴ t =或t =∴当经过t =t =PQA 绕PQ 中点旋转180°后，三个对应顶点在“M 抛物线”上. ……………………………………………………8分11。