一个复数二次式的等价变形

1 1 3 i , z3 = i. 2 2 2
β= 例2 已知 cosα+ cos
1 1 , sinα- sinβ= ,求 2 3
) 的值 . sin (α- β β - i sinβ = 解 设 z 1 = cosα + i sinα, z 2 = cos
所以 sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2sin ( A + B ) ・ cos 1 ( A - B ) + sin2 C - 2sin2 C ・ + sin2 C = 0 , 2 cos2 A + cos2 B + cos2 C = 2cos ( A + B ) cos ( A - C) + 1 cos2 C = 2cos2 C・ + cos2 C = 0 . 2 总结 :通过以上三道典型例题的解答 , 我们不难 得出以下两点 : 1 . 当题设或结论中出现与命题相关的表达式 , 可以考虑用命题解题 ; 2 . 当题设或结论中没有与命题相关的表达式 , 可以构造复数 , 从而利用命题解题 . 总之 , 只要我们善于发现命题中表达式明显或 暗存的关系 , 熟练运用这个命题 , 一些束手无策的难 题就会迎刃而解 .
收稿日期 :2002 - 07 - 03 作者简介 :胡理华 , 男 , 湖北随州市第三中学高级教师 . © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
| z1|
z1
2
+
| z2|
z2
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
| zk| 2 = ( z1 + z2) 2・ ,
z1 z2
| zk| 2 把| z 1 + z 2 | 2 = ( z 1 + z 2 ) 2 ・ 代入 ( 1 ) 的左边
z1 z2
故 z 1 z 2 = ( z 1 + z 2 ) 2 = cos2 C + i sin2 C , 而 z 1 z 2 = cos ( A + B ) + i ・ sin ( A + B ) . ∴ cos ( A + B ) = cos2 C , sin ( A + B ) = sin2 C. 另一方面由 ( z 1 + z 2 ) 2 = z 1 z 2 , 得
| z1 + z2| 2 = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) = ( z1 + z2 ) ( z1 — z1・ z1 z2・ z2 + z2) = ( z1 + z2 ) = ( z1 + z2 ) ・ +
z1 z2
—
) + i sin ( - β ) , cos ( - β
2 az 1
z1 1 3 = ± i, z2 2 2
得 : ( z 1 + z 2) =λ z 1 z 2 . 例1 三个模为 1 的复数 z 1 , z 2 , z 3 满足 z 2 2 = z 1 z 3 , 和 z 2 + z 3 i = i , 求这三个复数 . 解 ∵ z 2 + z 3 i = i , | z k | = 1 , ( k = 1 , 2 , 3) , ∴ | z 2 + z 3 i | = | z 2 | = | z 3 i | , 由结论得
2 cz 2
则| z 1 + z 2 | =
13 | z k | , ( k = 1 , 2) , 6 13 6
2
由命题有 ( z 1 + z 2 ) 2 = 故 z1 z2 =
z1 z2 ,
5 12 + i, 13 13 ) + i sin (α - β ) , 由复数相等 又 z 1 z 2 = cos (α- β 12 ) = 的条件得 : sin (α- β . 13 例3 已知 sin A + sin B + sin C = 0 , cos A + cos B + cos C = 0 , 求证 : sin2 A + sin2 B + sin2 C = 0 , cos2 A + cos2 B + cos2 C = 0 . 证 设 z 1 = cos A + i sin A , z 2 = cos B + i sin B , 则 z 1 + z 2 = - ( cos C + i sin C) , 显然 | z 1 + z 2 | = | z1| = | z2| ,
2 2 z 2 z 3 i = ( z 2 + z 3 i) = i = - 1.
2
2
( 2)
( 3)
由 ( 2) , ( 3) 解出 z 2 , z 3 , 代入 z 2 2 = z1 z3 , 得 z1 =
1 , z2 = + 3 1 1 3 3 + i , z3 = + i 或 z1 = 1 , z2 = 2 2 2 2 2
2002 年第 23 期 数学通讯
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一个复数二次式的等价变形
胡理华
( 随州市第三中学 , 湖北 441318)
中图分类号 :O122 - 42 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 ( 2002) 23 - 0015 - 01 在复数中 , 常常见到关于复数 z 1 , z 2 的二次齐 次式的条件的复数题 . 关系式 + bz 1 z 2 + =0 ( a , b , c ∈R) 有多种变形方式 . 笔者试图探讨一下这 个关系式成立的充要条件 , 供读者参考 . 命题 两个模相等的非零复数 z 1 , z 2 , 满足 ( z 1 2 2 ) λ + z2 = ・ z 1 z 2 的充要条件是 | z 1 + z 2 | = λ| z k | + ( 其中 λ∈R , k = 1 , 2) . 2 证 必要性 : ∵( z 1 + z 2 ) 2 = λ z1 z2 , 又| z 1 | = | z 2 | , 2 2 ∴ | z 1 + z 2| 2 =λ | z1 z2| =λ | zk| 2 , k = 1 ,2 , ∴ | z 1 + z 2| =λ | zk| , k = 1 ,2. 充分性 : ∵ | z1 + z2| =λ | zk| , k = 1 ,2. 2 ( 1) ∴ | z 1 + z 2| 2 =λ | zk| 2