安徽省合肥八中高一第二学期期末数学试卷
2019-2020学年安徽省合肥一中、六中、八中联盟高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年安徽省合肥六中、一中、八中联盟高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．化简+﹣等于（）A．B．C．D．2．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A．r4＜r2＜0＜r1＜r3B．r2＜r4＜0＜r1＜r3C．r2＜r4＜0＜r3＜r1D．r4＜r2＜0＜r3＜r13．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0B．a3+b3＜0C．a2﹣b2＜0D．b+a＞04．已知向量＝（1，2），＝（﹣3，3），若m+n与﹣3共线，则＝（）A．B．3C．﹣D．﹣35．将长度为1米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于0.2米的概率是（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.86．为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B 两班学生成绩的方差分别为S A2，S B2，则观察茎叶图可知（）A．A＜B，S A2＜S B2B．A＞B，S A2＜S B2C．A＜B，S A2＞S B2D．A＞B，S A2＞S B27．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角A，C，B成等差数列，且sin2C ＝sin A sin B，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形8．已知单位向量，满足（+2）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q等于（）A．1B．2C．D．﹣10．若关于x的不等式x2﹣（m+2）x+2m＜0的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（）A．（6，7]B．（6，7）C．[6，7）D．（6，+∞）11．已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是（）A．•＝﹣1B．＝+C．|++|＝D．在方向上的投影为12．若[x]表示不超过x的最大整数（例如：[0.1]＝0，[﹣0.1]＝﹣1），数列{a n}满足：a1＝3，a n+1﹣a n＝2n+2，则[]+[]+…+[]＝（）A．1010×2021B．1010×2020C．1009×2021D．1009×2020二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上．13．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．为了了解该地区近几年蔬菜的产量，收集了近5年的统计数据，如表所示：年份20152016201720182019年份代码x12345年产量y（万吨） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8根据表格可近似得回归方程＝0.2x+，预测该地区2020年蔬菜的产量为（万吨）．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别是a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+4，C＝，则△ABC的面积是．15．设S n是等比数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且a3＝，S3＝，则a1＝．16．已知实数x，y满足y≠2x，x≠﹣2y，且+＝1，则x2+y2的最小值为．三、解答题：本大题满分70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2＝ab．（1）求C；（2）若a cos B+b sin A＝c，c＝，求a．18．已知f（x）＝x2﹣（3+a）x+3a．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．19．2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分）．根据调查数据制成表格和频率分布直方图．已知评分在[80，100]的居民有900人．满意度评分[40，60）[60，80）[80，90）[90，100）满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；（2）定义满意度指数η＝，若η＜0.8，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整．根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在[40，50）、[50，60））中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员．求这2人都是对防疫工作的评分在[50，60）内的概率．20．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，并且a1＝1，S n＝．数列{b n}满足：＝2．（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）求数列{b n}的前n项和T n．21．如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB＝ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB＝AC+1，且∠ABC＝60°．（1）求y关于x的函数解析式，并指出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？22．已知数列{a n}满足，a n+1a n﹣2a n+1+1＝0．（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，b n+1b n＝（n+3）a n．①求证：．②求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．化简+﹣等于（）A．B．C．D．【分析】利用向量加法定理直接求解．解：+﹣＝＝．故选：A．2．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A．r4＜r2＜0＜r1＜r3B．r2＜r4＜0＜r1＜r3C．r2＜r4＜0＜r3＜r1D．r4＜r2＜0＜r3＜r1【分析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，进而可得出结果．解：根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关；故r1＞0，r3＞0；r2＜0，r4＜0；又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故r1＞r3，r2＜r4，因此，r2＜r4＜0＜r3＜r1．故选：C．3．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0B．a3+b3＜0C．a2﹣b2＜0D．b+a＞0【分析】由题意可以令a＝1，b＝0分别代入A，B，C，D四个选项进行一一排除．解：利用赋值法：令a＝1，b＝0b﹣a＝﹣1＜0，故A错误；a3+b3＝1＞0，故B错误；a2﹣b2＝1＞0，故C错误；排除A，B，C，故选：D．4．已知向量＝（1，2），＝（﹣3，3），若m+n与﹣3共线，则＝（）A．B．3C．﹣D．﹣3【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列式求出的值．解：向量＝（1，2），＝（﹣3，3），则m+n＝（m﹣3n，2m+3n），﹣3＝（10，﹣7）；又m+n与﹣3共线，所以﹣7（m﹣3n）﹣10（2m+3n）＝0，化简得﹣27m﹣9n＝0，解得＝﹣．故选：C．5．将长度为1米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于0.2米的概率是（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8【分析】由题意画出图形，再由测度比是长度比得答案．解：如图线段AB＝1，要使其中一段的长度小于0.2米，则满足条件的线段为AB＝0.2或CD＝0.2，∴根据概率公式可知所求的概率为＝0.4，故选：B．6．为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B 两班学生成绩的方差分别为S A2，S B2，则观察茎叶图可知（）A．A＜B，S A2＜S B2B．A＞B，S A2＜S B2C．A＜B，S A2＞S B2D．A＞B，S A2＞S B2【分析】观察茎叶图数据，根据平均分，方差的定义即可判断得解．解：A班学生的分数多集中在[70，80]之间，B班学生的分数集中在[50，70]之间，故A ＞B；相对两个班级的成绩分布来说，A班学生的分数更加集中，B班学生的分数更加离散，故S A2＜S B2，故选：B．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角A，C，B成等差数列，且sin2C ＝sin A sin B，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形【分析】由已知利用等差数列的性质可得C＝60°，由正弦定理可得c2＝ab，根据余弦定理可求a＝b，即可判断三角形的形状．解：由题意可知，C＝60°，c2＝ab，则c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab＝ab，所以a＝b，所以a＝b＝c，故△ABC的形状为等边三角形．故选：C．8．已知单位向量，满足（+2）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出与的夹角θ的值．解：∵单位向量，满足（+2）⊥，设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，∴（+2）•＝+2•＝1+2×1×1×cosθ＝0，求得cosθ＝﹣，故θ＝，故选：D．9．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q等于（）A．1B．2C．D．﹣【分析】由等差数列的中项性质可得2S3＝S1+S2，再由等比数列的通项公式解方程可得q．解：S1，S3，S2成等差数列，可得2S3＝S1+S2，即为2（a1+a2+a3）＝a1+a1+a2，即有2a1（1+q+q2）＝a1（2+q），化为2q2+q＝0，解得q＝﹣（q＝0舍去），故选：D．10．若关于x的不等式x2﹣（m+2）x+2m＜0的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（）A．（6，7]B．（6，7）C．[6，7）D．（6，+∞）【分析】不等式可化为（x﹣2）（x﹣m）＜0，讨论m≤2和m＞2时，求出不等式的解集，从而求得m的取值范围．解：原不等式可化为（x﹣2）（x﹣m）＜0，若m≤2，则不等式的解是m＜x＜2，不等式的解集中不可能有4个正整数，所以m＞2；所以不等式的解是2＜x＜m；所以不等式的解集中4个正整数分别是3，4，5，6；则m的取值范围是（6，7]．故选：A．11．已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是（）A．•＝﹣1B．＝+C．|++|＝D．在方向上的投影为【分析】根据平面向量数量积的性质及其运算，平面向量线性运算，模与投影的定义依次判断即可，解：由题E为AB中点，则，所以选项A错误；由平面向量线性运算得，所以选项B错误；以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，设，，所以，解得：，，所以选项C错误；∵在方向上的投影为：，所以选项D正确．故选：D．12．若[x]表示不超过x的最大整数（例如：[0.1]＝0，[﹣0.1]＝﹣1），数列{a n}满足：a1＝3，a n+1﹣a n＝2n+2，则[]+[]+…+[]＝（）A．1010×2021B．1010×2020C．1009×2021D．1009×2020【分析】首先利用叠加法的应用求出数列的通项公式，进一步利用放缩法的应用和取整问题的应用进一步利用等差数列的前n项和的应用求出结果．解：当n＝2时，a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2n+2（n﹣1）+…+4+3＝＝n2+n+1．当n＝1时，a1＝3也满足条件．所以．所以n2＜n2+n+1＜（n+1）2，故．所以，故则[]+[]+…+[]＝1+2+3+…+2020＝．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上．13．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．为了了解该地区近几年蔬菜的产量，收集了近5年的统计数据，如表所示：年份20152016201720182019年份代码x12345年产量y（万吨） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8根据表格可近似得回归方程＝0.2x+，预测该地区2020年蔬菜的产量为6（万吨）．【分析】先根据所给数据求出样本中心坐标，再把其代入回归方程，求出，然后把x ＝6代入回归方程即可得解．解：由所给数据计算可得，＝＝3，＝＝5.4，把样本中心点（3，5.4）代入＝0.2x+，得：5.4＝0.2×3+，解得＝4.8，所以＝0.2x+4.8，当x＝6时，＝0.2×6+4.8＝6，所以预测该地区2019年蔬菜的产量为6万吨．故答案为：6．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别是a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+4，C＝，则△ABC的面积是．【分析】由三角形的余弦定理和面积公式，计算可得所求值．解：由C＝，可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣2ab•（﹣），化为c2＝a2+b2+ab，又c2＝（a﹣b）2+4，可得a2+b2+ab＝（a﹣b）2+3ab＝（a﹣b）2+4，则ab＝，故△ABC的面积是ab sin C＝••＝．故答案为：．15．设S n是等比数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且a3＝，S3＝，则a1＝2或，．【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可直接求解．解：因为等比数列{a n}中，a3＝，S3＝，当q＝1时，a1＝，q≠1时，，解可得，q＝﹣，a1＝，综上，a1＝2或，故答案为：2或，16．已知实数x，y满足y≠2x，x≠﹣2y，且+＝1，则x2+y2的最小值为5．【分析】根据题意，分析可得x2+y2＝（2x﹣y）2+（x+2y）2，进而可得x2+y2＝[（2x ﹣y）2+（x+2y）2]×+＝×[4+9++]，结合基本不等式的性质分析可得答案．解：根据题意，x＝（2x﹣y）+（x+2y），y＝（x+2y）﹣（2x﹣y），则x2+y2＝[（2x﹣y）+（x+2y）]2+[（x+2y）﹣（2x﹣y）]2＝（2x﹣y）2+（x+2y）2，又由+＝1，则x2+y2＝[（2x﹣y）2+（x+2y）2]×+＝×[4+9++]≥×[13+2×]≥5，当且仅当2x﹣y＝x+2y时等号成立，即x2+y2的最小值为5；故答案为：5三、解答题：本大题满分70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2＝ab．（1）求C；（2）若a cos B+b sin A＝c，c＝，求a．【分析】（1）由已知结合余弦定理可求cos C，进而可求C；（2）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求A，然后结合正弦定理即可求解．解：（1）由余弦定理可得cos C＝＝，因为C为三角形的内角，故C＝；（2）因为a cos B+b sin A＝c，由正弦定理可得，sin A cos B+sin B sin A＝sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A，所以sin B sin A＝sin B cos A，因为sin B＞0，故sin A＝cos A即tan A＝1，由A为三角形内角可得A＝，因为c＝，由正弦定理可得，，所以，即a＝．18．已知f（x）＝x2﹣（3+a）x+3a．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．【分析】（1）a＝1时f（x）＝x2﹣4x+3，求不等式f（x）＜0的解集即可；（2）不等式化为x2﹣（3+a）x+3a≥0，求出不等式对应方程的实数根，讨论a的大小，写出对应不等式的解集．解：（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣4x+3，不等式f（x）＜0化为x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3；所以不等式f（x）＜0的解集为（1，3）；（2）不等式f（x）≥0，化为x2﹣（3+a）x+3a≥0，即（x﹣3）（x﹣a）≥0，不等式对应方程的实数根为3和a，所以当a＞3时，不等式的解集为{x|x≤3或x≥a}；当a＝3时，不等式的解集为R；当a＜3时，不等式的解集为{x|x≤a或x≥3}．19．2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分）．根据调查数据制成表格和频率分布直方图．已知评分在[80，100]的居民有900人．满意度评分[40，60）[60，80）[80，90）[90，100）满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；（2）定义满意度指数η＝，若η＜0.8，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整．根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在[40，50）、[50，60））中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员．求这2人都是对防疫工作的评分在[50，60）内的概率．【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a和所调查的总人数．（2）先求出满意度的平均分，进而求出满意度指数η＝，由此求出防疫工作不需要进行大的调整．（3）评分在[40，50）的居民有30人，评分在[50，60）的居民有60人，从不满意的居民（评分在[40，50）、[50，60））中用分层抽样的方法抽取6名居民，评分在[40，50）的居民抽取2人，评分在[50，60）的居民中抽取4人，从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，基本事件总数n＝＝15，这2人都是对防疫工作的评分在[50，60）内包含的基本事件个数m＝＝6，由此能求出这2人都是对防疫工作的评分在[50，60）内的概率．解：（1）由频率分布直方图得：（0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+a）×10＝1，解得a＝0.025．∵评分在[80，100]的频率为（0.035+0.025）×10＝0.6，评分在[80，100]的居民有900人，∴所调查的总人数n＝＝1500（人）．（2）满意度的平均分为＝45×0.002×10+55×0.004×10+65×0.014×10+75×0.020×10+85×0.035×10+95×0.025×10＝78.1，∴满意度指数η＝＝＝0.80.7＞0.8，∴防疫工作不需要进行大的调整．（3）评分在[40，50）的居民有0.002×10×1500＝30人，评分在[50，60）的居民有0.004×10×1500＝60人，从不满意的居民（评分在[40，50）、[50，60））中用分层抽样的方法抽取6名居民，评分在[40，50）的居民抽取6×＝2人，评分在[50，60）的居民中抽取6×＝4人，从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，基本事件总数n＝＝15，这2人都是对防疫工作的评分在[50，60）内包含的基本事件个数m＝＝6，∴这2人都是对防疫工作的评分在[50，60）内的概率p＝＝＝．20．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，并且a1＝1，S n＝．数列{b n}满足：＝2．（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出和．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列和．解：（1）设公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，当n＝2时，，所以，解得a2＝2，所以d＝1，故a n＝1+（n﹣1）＝n，所以．（2）数列{b n}满足：＝2．所以，故①，②，①﹣②得＝，所以．21．如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB＝ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB＝AC+1，且∠ABC＝60°．（1）求y关于x的函数解析式，并指出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？【分析】（1）根据题意得AB＝y且AC＝y﹣1，在Rt△BCF中，BC＝2CF＝2x．然后在△ABC中利用余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos B的式子建立关于x、y的等式，解出用x表示y的式子，即可得到y关于x的函数解析式以及函数的定义域；（2）由（1）求出的函数关系式，结合题意得出总造价M＝﹣3+4x．然后换元：令x﹣1＝t，化简得到M＝16t++25，利用基本不等式算出当t＝时，M的最小值为49．由此即可得出当总造价M最低时，相应的x值．解：（1）∵AB＝y，AB＝AC+1，∴AC＝y﹣1．∵在Rt△BCF中，CF＝x，∠ABC＝60°，∴∠CBF＝30°，可得BC＝2x．由于2x+y﹣1＞y，得x．在△ABC中，根据余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos B，可得（y﹣1）2＝y2+（2x）2﹣2y•2x•cos60°，即（y﹣1）2＝y2+4x2﹣2xy，解得y＝．∵y＞0且x，∴x＞1．可得y关于x的函数解析式为y＝，（x＞1）．函数的定义域为（1，+∞）．（2）由题意，可得总造价M＝3[y+（y﹣1）]+4x＝﹣3+4x．令x﹣1＝t，则M＝﹣3+4（t+1）＝16t++25≥＝49，当且仅当16t＝，即t＝时，M的最小值为49．此时x＝t+1＝，y＝＝．答：当x的值为时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．22．已知数列{a n}满足，a n+1a n﹣2a n+1+1＝0．（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，b n+1b n＝（n+3）a n．①求证：．②求证：．【分析】（Ⅰ）由a n+1a n﹣2a n+1+1＝0⇒，证明其为等差数列，再求其通项公式，进而求得a n；（Ⅱ）①由题设条件写出b n﹣1，b n，b n+1三者的关系式，即可证明结论；②利用①中证明的结论，使用累加法求出，再利用基本不等式求证出结果．【解答】证明：（Ⅰ）由条件知：，∴，所以数列为等差数列，且首项为，公差d＝﹣1．∴，∴．（Ⅱ）①∵b n+1b n＝（n+3）a n＝n+2，∴b n b n﹣1＝n+1（n≥2），两式相减，得b n（b n+1﹣b n﹣1）＝1，∴；②由①知；利用累加法，可得＝1+b3﹣b1+b4﹣b2+b5﹣b3+…+b n+1﹣b n﹣1＝1﹣b1﹣b2+b n+b n+1（当且仅当b n＝b n+1时取等号）．。
2020-2021学年安徽省合肥八中高一(下)期末数学复习试卷(10)(附答案详解)
2020-2021学年安徽省合肥八中高一（下）期末数学复习试卷（10）一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）1.(2021·安徽省合肥市·期末考试)下列命题正确的是()①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③2.(2020·广西壮族自治区·单元测试)已知在m、n、l1、l2表示直线，α、β表示平面，若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2=M，则α//β的一个充分条件是()A. m//β且l1//αB. m//β且n//βC. m//β且n//l2D. m//l1且n//l23.(2021·江苏省无锡市·同步练习)如图，在透明塑料制成的长方体ABCD−A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法的是()A. ②③④B. ①②④C. ①③④D. ①②③4.(2021·安徽省合肥市·期末考试)已知正方体ABCD−A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和BD所成的角的大小是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5.(2019·山东省青岛市·期末考试)在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AB1⊥BC，则B1在底面ABC上的射影H必在()A. 直线AC上B. 直线BC上C. 直线AB上D. △ABC内部6.(2021·安徽省合肥市·期末考试)将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使△ABD为正三角形，则三棱锥A−BCD的体积为()A. 16B. 112C. √312D. √212二、多选题（本大题共2小题，共14.0分）7.(2021·安徽省合肥市·期末考试)如图所示，ABCD−A1B1C1D1为正方体，给出以下四个结论中，正确结论的序号为()A. AC1⊥平面CB1D1B. AC1与底面ABCD所成角的正切值是√2C. 二面角C−B1D1−C1的正切值是√2D. 若点O是BD的中点，则OA1//平面CB1D18.(2021·安徽省合肥市·期末考试)已知a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是()A. 若a⊥α，a⊥β，则α//βB. 若a⊥α，b⊥α，则a//bC. 若a⊥b，b⊥α，a//β，则α//βD. 若α//β，a与α所成的角和b与β所成的角相等，则a//b三、单空题（本大题共4小题，共24.0分）9.(2021·安徽省合肥市·期末考试)若直线a//平面α，A∉α，且直线a与点A位于α的两侧，B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC=4，CF=5，AF=3，则EF的值为______ ．10.(2021·浙江省·模拟题)轴截面为等边三角形的圆锥叫作等边圆锥，底面半径为2的等边圆锥的体积为______ ．11.(2021·北京市市辖区·模拟题)在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM//平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积是______ ．12.(2021·江西省九江市·期末考试)《九章算术》是我国古代数学名著，书中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.如图，三棱锥P−ABC为鳖臑，且PA⊥平面ABC，AC=BC=1，PA=√2，则该鳖臑外接球的表面积为______ ．四、解答题（本大题共2小题，共32.0分）13.(2021·安徽省合肥市·期末考试)如图所示，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6．(1)求证：平面ABD⊥平面ACD；(2)求二面角A−CD−B的平面角的正切值；(3)求异面直线AD与BC间的距离．14.(2021·安徽省合肥市·期末考试)已知四棱锥P−ABCD，PA⊥PB，PA=PB=√2，AD⊥平面PAB，BC//AD，BC=3AD，，M是线段AB的中直线CD与平面PAB所成角的大小为π4点．(1)求证：CD⊥平面PDM；(2)求点M到平面PCD的距离．答案和解析1.【答案】C【知识点】空间中直线与平面的位置关系【解析】解：①由平行公理可得，平行于同一条直线的两条直线平行，故①正确；②平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故②错误；③平行于同一个平面的两条直线有三种位置关系，即平行、相交或异面，故③错误；④由平面与平面平行的判定可得，平行于同一个平面的两个平面平行，故④正确．∴正确的命题是①④．故选：C．由平行公理判断①；由平行于同一直线的两平面的位置关系判断②；由平行于同一平面的两直线的位置关系判断③；由面面平行的判定判断④．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．2.【答案】D【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断、面面平行的判定【解析】【分析】本题考查两个平面平行的判定定理的应用，明确已知条件的含义是解题的关键，属于基础题．根据题意，要使α//β，只要一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可．【解答】解：由题意得，m、n是平面α内的两条直线，l1、l2是平面β内的两条相交直线，要使α//β，只要一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可，故选D．3.【答案】C【知识点】棱柱的结构特征、线面平行的性质【解析】【分析】①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面判断即可；②水面四边形EFGH的面积改不改变；可以通过EF的变化EH不变判断正误；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；利用直线与平面平行的判断定理，推出结论；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．通过水的体积判断即可．本题属于中档题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识．【解答】解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断①正确；②水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的，EH是不变的，所以面积是改变的，②是不正确的；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1//EH，所以结论正确；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选：C．4.【答案】C【知识点】异面直线所成角【解析】解：连接A1D，AD1，则F恰好是它们的交点，同理E点是A1C1，B1D1的交点，连接EF，AB1，正方体ABCD−A1B1C1D1中，B1B//DD，且B1B=DD，四边形BB1D1D是平行四边形，可得BD//B1D1因此∠FED1(或其补角)就是EF和BD所成的角，设正方体的棱长为1，则△FED1中，D1E=D1F=EF=√2，2∴△FED1是等边三角形，可得∠FED1=60°，由此可得EF和BD所成的角等于60°，故选：C．如图所示，EF和BD所成的角即∠FED1．本题考查异面直线所成角的求法，考查直观想象的核心素养，属于基础题．5.【答案】A【知识点】线面垂直的判定【解析】解：∵在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AB1⊥BC，∴BC⊥AC，又AC∩AB1=A，∴BC⊥平面ACB1，BC⊂平面ABC，∴平面ACB1⊥平面ABC，∴B1在底面ABC上的射影H必在两平面的交线AC上．故选：A．由题意知要判断B1在底面ABC上的射影H，需要看过这个点向底面做射影，观察射影的位置，根据BC与一个平面上的两条直线垂直，得到BC与两条直线组成的面垂直，根据面面垂直的判断和性质，得到结果．本题考查棱柱的结构特征，考查直线与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.【答案】D【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】解：取AC的中点O，连接BO，DO，由题意，AC⊥BO，AC⊥DO，BO=DO=√22，因为△ABD为正三角形，AB=AD=DB=1，由已知可得AO=OB=OD，∴△OBD是直角三角形，∴DO⊥OB，∴V A−BCD=V D−ABC=13S ABC⋅DO=13×12×√22=√212．故选：D．取AC的中点O，连接BO，DO，求出底面面积以及高，然后求解体积即可．本题考查折叠问题，空间几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7.【答案】ACD【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、线面平行的判定【解析】解：对于A，连结A1C1，因为B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，又A1C1∩AA1=A1，A1C1，AA1⊂平面AA1C1，故B 1D1⊥平面AA1C1，因为AC1⊂平面AA1C1，所以AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥B1C，又B1D1∩B1C=B1，B1D1，B1C⊂平面CB1D1，所以AC1⊥平面CB1D1，故选项A正确；对于B，连结AC，因为CC1⊥平面ABCD，则∠C1AC即为直线AC1与平面ABCD所成的角，故tan∠C1AC=CC1AC =√22，故选项B错误；对于C，设A1C1∩B1D1=O1，连结O1C，则∠CO1C1为二面角C−B1D1−C1的平面角，所以tan∠CO1C1=CC1OC1=√2，故选项C正确；对于D，因为A1O1//OC，且A1O1=OC，所以四边形A1O1CO为平行四边形，则OA1//CO1，又OA1⊄平面CB1D1，CO1⊂平面CB1D1，所以OA1//平面CB1D1，故选项D正确．故选：ACD．利用线面垂直的性质定理证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，即可判断选项A；利用异面直线所成角的定义得到∠C1AC即为直线AC1与平面ABCD所成的角，求解即可判断选项B；利用二面角的平面角的定义得到∠CO1C1为二面角C−B1D1−C1的平面角，求解即可判断选项C；利用线面平行的判定定理即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体，考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．8.【答案】AB【知识点】平面与平面的位置关系、空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系【解析】解：对于A，若a⊥α，a⊥β，由直线与平面垂直的性质可得α//β，故A正确；对于B，若a⊥α，b⊥α，由直线与平面垂直的性质可得a//b，故B正确；对于C，若a⊥b，a//β，则b与β不一定垂直，而b⊥α，则α与β不一定平行，故C错误；对于D，若α//β，a与α所成的角和b与β所成的角相等，可得a与α所成的角和b与α所成的角相等，则a与b的位置关系可能平行、可能相交、也可能异面，故D错误．故选：AB．由直线与平面垂直的性质判断A与B；由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系判断C；由直线与平面所成角判断D．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9.【答案】32【知识点】线面平行的判定、利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】解：∵直线a//平面α，A∉α，且直线a与点A位于α的两侧，B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，如图，∴由直线与平面平行的性质得：EF//BC，∴AFAC =EFBC，∵BC=4，CF=5，AF=3，∴33+5=EF4，解得EF=3×48=32．故答案为：32．由直线与平面平行的性质得EF//BC，从而AFAC =EFBC，由此能求出EF的值．本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系基础知识，考查数学运算、逻辑思维等核心素养，是中档题．10.【答案】8√3π3【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）及其结构特征【解析】解：∵圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形，∴圆锥的母线长l=4.圆锥的高为2√3，∴该圆锥的体积为V=13π×22×2√3=8√3π3．故答案为：8√3π3．由已知可得圆锥的母线长，再由圆锥的体积公式求解．本题考查圆锥的结构特征，考查圆锥体积的求法，是基础题．11.【答案】2√3【知识点】圆有关的轨迹问题、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征【解析】解：因为平面BA1C1//平面ACD1，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM//平面AD1C，所以点M的轨迹是△A1C1B三角形及其内部，所以△A1BC1的面积为S=√34×(2√2)2=2√3．故答案为：2√3．根据平面BA1C1//平面ACD1，可得点M的轨迹是△A1C1B三角形及其内部，然后利用正三角形的面积公式进行求解即可．本题主要考查了面面平行的性质，以及三角形的面积公式，同时考查了转化思想和运算求解的能力，属于中档题．12.【答案】4π【知识点】球的表面积和体积【解析】解：∵PA⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，∴AB⊥PA，BC⊥PA，又△ABC是直角三角形，AC=BC=1，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴该鳖臑外接球的球心为PB的中点，则(2R)2=PA2+AC2+BC2，∴4R2=1+1+2=4，∴该鳖臑外接球的表面积为4πR2=4π．故答案为：4π．利用已知条件求出几何体的外接球的位置，求解外接球的半径，然后求解外接球表面积．本题考查几何体的外接球的表面积的求法，判断几何体的形状，求解外接球的半径是解题的关键，是中档题．13.【答案】证明：(1)∵平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC ∴BD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥BD，又AC⊥AB，BD∩AB=B，∴AC⊥平面ABD又AC⊂平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD．(2)设BC中点为E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连AF，由三垂线定理：∠EFA为二面角的平面角∵△EFC∽△DBC，∴EFBD =CFCD，∴EF=32,又AE=3，∴tan∠EFA=AEEF=2∴二面角的平面角的正切值为2(3)解：过点D作DG//BC，且CB=DG，连AG，设平面ADG为平面α∵BC//平面ADG，∴B到平面ADG的距离等于C到平面ADG的距离为h∵V C−AGD=V A−CBD∴13S△AGDℎ=13S△BCD AE∴ℎ=6√7 7【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、面面垂直的判定、利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】(1)要证平面ABD⊥平面ACD，关键是证AC⊥平面ABD，只需证AC⊥BC，AC⊥AB，利用平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC可证；(2)设BC中点为E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连AF，由三垂线定理，可得∠EFA为二面角的平面角，从而可求；(3)将异面直线AD与BC间的距离转化为点到面的距离求解．本题的考点是与二面角有关的立体几何综合，主要考查面面垂直的判定与性质，考查二面角的平面角，考查异面直线间的距离，有一定的综合性14.【答案】解：(1)因为AD⊥平面PAB，PM⊂平面PAB，所以AD⊥PM，因为PA=PB=√2，M是线段AB的中点，所以PM⊥AB，又AD∩AB=A，AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PM⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCCD，所以PM⊥CD．取CB上点E，使得CE=13CB，连接AE，所以AD//CE且AD=CE，所以四边形AECD为平行四边形，所以CD//AE，所以直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小，又AD⊥平面PAB，BC//AD，所以BC⊥平面PAB，所以∠EAB为直线AE与平面PAB所成的角，所以∠EAB=π4，所以BE=AB，因为PA=PB=√2，PA⊥PB，所以AB=2=BE，所以AD=1，BC=3，CD=2√2，所以DM=√2，CM=√10，所以DM2+DC2=CM2，所以CD⊥DM，因为DM∩PM=M，DM，PM⊂平面PDM，所以CD⊥平面PDM．(2)由(1)可知CD⊥平面PDM，所以△CDM和△CDP均为直角三角形，又PD=√3，设点M到平面PCD的距离为d，则V P−CDM=V M−PCD，即16CD⋅DM⋅PM=16CD⋅DP⋅d，化简得DM⋅PM=DP⋅d，解得d=√63，所以点M到平面PCD的距离为√63．【知识点】线面垂直的判定、利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】(1)根据线面垂直的判断定理证明PM⊥平面ABCD，得到PM⊥CD；再证明CD⊥DM，进而可得出结果；(2)根据等体积法，由V P−CDM=V M−PCD，结合题中数据即可得出结果．本题主要考查线面垂直的判定以及点到平面距离，熟记判定定理以及等体积法求点到面的距离即可，属于常考题型．。
2020-2021学年安徽省合肥一中、六中、八中高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年安徽省合肥一中、六中、八中高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设复数z 满足(1−2i)z =4+2i ，则z −=( )A. 3iB. −3iC. 2iD. −2i2. 已知向量a⃗ =(1,2)，c ⃗ =(m,−1)，若a ⃗ ⊥(a ⃗ −c ⃗ )，则实数m 的值为( ) A. 9 B. 7 C. 17 D. 213. 某校高一年级15个班参加庆祝建党100周年的合唱比赛，得分如下：85，87，88，89，89，90，91，91，92，93，93，93，94，96，98，则这组数据的40%分位数、90%分位数分别为( )A. 90.5，96B. 91.5，96C. 92.5，95D. 90，964. 从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是( )A. “至少一个白球”和“都是红球”B. “至少一个白球”和“至少一个红球”C. “恰有一个白球”和“恰有一个红球”D. “恰有一个白球”和“都是红球”5. 设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线．下列说法正确的是( )①若α//β，a//α，则a//β或a ⊂β； ②若a ⊥α，b ⊥α，则a//b ； ③若a ⊥α，a ⊥β，则α//β；④若α⊥β，α∩β=b ，a ⊂α，a ⊥b ，则a ⊥β．A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①②③④6. 在一次体检中，甲、乙两个班学生的身高统计如表：其中x −甲−x −乙=5，则两个班学生身高的方差为( )A. 19B. 18C. 18.6D. 207. 在一个掷骰子的试验中，事件A 表示“向上的面小于5的偶数点出现”，事件B 表示“向上的面小于4的点出现”，则在一次试验中，事件A ∪B −发生的概率为( )A. 12B. 23C. 13D. 568. 在△ABC 中，已知a +ccosA =b +ccosB ，则△ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰或直角三角形9. 如图，矩形ABCD 中，AB =√3，正方形ADEF 的边长为1，且平面ABCD ⊥平面ADEF ，则异面直线BD 与FC 所成角的余弦值为( )A. −√77B. √77C. √55D. −√5510. 如图，在△ABC 中，AB =BC =√6，∠ABC =90°，点D 为AC 的中点，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，使PC =PD ，连接PC ，得到三棱锥P −BCD ，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A. πB. 3πC. 5πD. 7π11. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD =2AB =2，∠BAD =120°，动点M 在以点C为圆心且与BD 相切的圆上，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是( ) A. 3+√3B. 3+√32C. 5+√3D. 5+√3212. 已知四棱锥P −ABCD 的底面是边长为8的正方形，PD ⊥平面ABCD ，且PD =4，E ，F ，M 为PA ，PC ，AB 的中点，则经过E ，F ，M 的平面截四棱锥P −ABCD 的截面面积为( )A. 24√2B. 30√2C. 36√2D. 42√2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，B=2π，AC=√7，AB=1，则BC=______．314.底面直径为2的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为______．15.在某次测试中，甲、乙通过的概率分别为0.8，0.5，若两人测试是否通过相互独立，则至少有一人通过的概率为______．16.在△ABC中，角A，B，C满足sin2A=3sin2B+3sin2C−2√3sinAsinBsinC，则C=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数z=(1+ai)(1+i)+2+4i(a∈R)．(1)若z在复平面中所对应的点在直线x−y=0上，求a的值；(2)求|z−1|的取值范围．18.某校高一年级为了提高教学效果，对老师命制的试卷提出要求，难度系数须控制在[0.65,0.7](难度系数是指学生得分的平均数与试卷总分的比值，例如：满分为100分的试卷平均分为68分，则难度系=0.68)，某次数学考试(满分100分)后，王老师根据所带班级学生的等级来估计高一年级1800数=68100人的成绩情况，已知学生的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，统计数据如图所示，根据图中的数据，回答下列问题：(1)试估算该校高一年级学生获得等级为B的人数；(2)若等级A，B，C，D，E分别对应90分，80分，70分，60分，50分，请问按王老师的估计：本次考试试卷命制是否符合要求；(3)王老师决定对成绩为E的16名学生(其中男生4人，女生12人)先找4人进行单独辅导，按分层抽样抽取的4人中任取2人，求恰好抽到1名男生的概率．19.已知△ABC的三个内角A，B，C所的边分为a，b，c，且ba+c =sinA−sinCsinB−√3sinC．(1)求A；(2)若△ABC的面积为2，求△ABC的周长的最小值．20.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是边长为2的菱形，且∠ABB1=60°，点M，G分别在CC1，AB1上，且MC1=GB1=a，BC=√212．(1)证明：直线MG//平面A1B1C1；(2)若点G恰好是点C1在平面ABB1A内的正投影，此时a=32，求三棱锥M−A1B1C1的体积．21.合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形ABCD的区域进行改造，如图所示，其中DC=4a 米，DA=2a米，△ABC为正三角形．改造后△BCD将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，△ABD将作为对三国历史文化的介绍区域．(1)当∠ADC=π时，求旅游观光、体闲娱乐的区域△BCD的面积；3(2)求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD的面积的最大值．22.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BD⊥平面AB1C，其垂足D落在直线B1C上．(1)求证：AC⊥B1C；(2)若P是线段AB上一点，BD=√3，BC=AC=2，三棱锥B1−PAC的体积，求二面角P−B1C−A的平面角的正弦值．为√33答案和解析1.【答案】D=2i，【解析】解：z=4+2i1−2i∴z−=−2i．故选：D．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵向量a⃗=(1,2)，c⃗=(m,−1)，a⃗⊥(a⃗−c⃗ )，∴a⃗⋅(a⃗−c⃗ )=a⃗2−a⃗⋅c⃗=5−(m−2)=0，∴m=7，故选：B．由题意两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得m的值．本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：将数据按照从小到大排列依次为：85，87，88，89，89，90，91，91，92，93，93，93，94，96，98，又40%×15=6，90%×15=13.5，=90.5，所以这组数据的40%分位数为第六个数与第七个数的平均数，即90+912这组数据的90%分位数为96．故选：A．利用百分位数的定义以及计算方法求解即可．本题考查了百分位数的定义以及计算方法的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：A 选项中“至少一个白球”和“都是红球”二者是互斥事件，也是对立事件，故A 不满足； B 选项中“至少一个白球”和“至少一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件，故B 不满足；C 选项中“恰有一个白球”和“恰有一个红球”同样有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件，故C 不满足；D 选项中“恰有一个白球”和“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件，又由于两个事件之外还有“都是白球”事件，故不是对立事件；可知只有D 正确； 故选：D ．利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：①若α//β，a//α，可得a//β或a ⊂β，故①正确； ②若a ⊥α，b ⊥α，由直线与平面垂直的性质可得a//b ，故②正确； ③若a ⊥α，a ⊥β，由直线与平面垂直的性质可得α//β，故③正确；④若α⊥β，α∩β=b ，a ⊂α，a ⊥b ，由平面与平面垂直的性质可得a ⊥β，故④正确． ∴说法正确的是①②③④． 故选：D ．由线面平行、面面平行的关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②③；由平面与平面垂直的性质判断④．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：由题意可知，x −甲−x −乙=5，则x −甲=x −乙+5， 故两个班身高的平均数为x −=20x 甲−+30x 乙−20+30=20(x 乙−+5)+30x 乙−20+30=x 乙−+2，所以两个班身高的方差为：s2=2020+30×[10+(x甲−−x−)2]+3020+30×[15+(x乙−−x−)2]=2020+30×(10+32)+3020+30×[15+(−2)2]=25×19+35×19=19．故选：A．先求出两个班身高的平均数，然后由方差的计算公式求解即可．本题考查了特征数的求解与应用，平均数与方差计算公式的应用，解题的关键是求出两个班得平均身高，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意，事件 B−表示“向上的面大于等于4的点出现”，即 B−={4,5，6}，A={2,4}，故A∪B−={2,4，5，6}，故事件A∪B−发生的概率为46=23，故选：B．由题意得 B−={4,5，6}，从而可得A∪B−={2,4，5，6}，从而利用古典概率模型求解即可．本题考查了对立事件及事件的运算，同时考查了古典概率模型的应用，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由正弦定理asinA =bsinB=csinC，及a+ccosA=b+ccosB，可得：sinA−sinB=sinCcosB−sinCcosA，可得：sin(B+C)−sin(A+C)=sinCcosB−sinCcosA，可得：sinBcosC+cosBsinC−sinAcosC−cosAsinC=sinCcosB−sinCcosA，可得：sinBcosC−sinAcosC=0，则cosC(sinB−sinA)=0，则cosC=0或sinB−sinA=0，所以C=90°，或A=B，所以△ABC 为直角三角形或等腰三角形． 故选：D ．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cosC(sinB −sinA)=0，可得cosC =0，或sinB −sinA =0，解得C =90°，或A =B ，即可得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：矩形ABCD 中，AB =√3，正方形ADEF 的边长为1，且平面ABCD ⊥平面ADEF ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(1,√3,0)，D(0,0，0)，F(1,0，1)，C(0,√3,0)， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,0)，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,−1)， 设异面直线BD 与FC 所成角为θ， 则异面直线BD 与FC 所成角的余弦值为： cosθ=|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=22√5=√55． 故选：C ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD 与FC 所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是基础题．10.【答案】D【解析】解：由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为√3的正三角形， 且BD ⊥平面PCD ，设三棱锥P −BDC 外接球的球心为O ， △PCD 外接圆的圆心为O 1，则OO 1⊥面PCD ， ∴四边形OO 1DB 为直角梯形，由BD =√3，O 1D =1，及OB =OD ，得OB =√72，∴外接球半径为R =√72，∴该球的表面积S =4πR 2=4π×74=7π． 故选：D ．由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为√3的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，求出三棱锥P −BDC 外接球半径R =√72，由此能示出该球的表面积． 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三棱锥的外接球的性质的合理运用．11.【答案】A【解析】解：因为平行四边形ABCD 中，AD =2AB =2，故AD =2，AB =1，又∠BAD =120°，由余弦定理得BD 2=AD 2+AB 2−2AD ⋅ABcos120°=22+12−2×2×1×cos120°=√7，设圆C 的半径为r ，由题意可知S △BCD =12×CD ×CB ×sin120°=12BD ×r ，即12×1×2×√32=12×√7×r ，解得|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r =√3√7， 由题意可知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r =√3√7为定值，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7，故CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向时，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值为|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos0=√7×√3√7×1=√3，故AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为3+√3． 故选：A ．设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，然后将AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 尽可能用基底表示出来，再结合数量积的定义求出CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值即可． 本题考查了平面向量的数量积的运算及性质，以及学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：由题意，作出四棱锥P −ABCD 的图形如图所示， 因为E ，F 分别为PA ，PC 的中点，所以EF//AC ，且EF =12AC ，设BC的中点为N，M为AB的中点，则MN//AC，且MN=12AC，则MN//EF且MN=EF，故四边形MNFE为平行四边形，所以M，N，E，F四点共面，设MN的中点为H，作HQ//PB，且交PD于点Q，交EF于点I，则点Q在平面MNFE上，故五边形MNFQE即截四棱锥P−ABCD所得的截面，因为BH=14BD=2√2，所以PQ=14PD=1，又PF=12PC=12√PD2+DC2=12×√42+82=2√5，cos∠QPF=PDPC=4√5=√5，由余弦定理可得QF=√1+20−2×2√5×√5=√17，同理可得QE=√17，所以△QEF是等腰三角形，QI⊥EF，又EF=12AC=12×8√2=4√2，所以QI=√QF2−(12EF)2=√17−8=3，则S△QEF=12EF⋅QI=12×4√2×3=6√2，又EM//PB，QI//PB，且QI⊥EF，所以EM⊥EF，故四边形MNFE是矩形，所以EM=12PB=12×√PD2+BD2=12×√42+(8√2)2=6，故矩形MNFE的面积S矩形MNFE=EF⋅EM=4√2×6=24√2，则截面的面积为S=S△QEF+S矩形MNFE=30√2．故选：B．先作出四棱锥P−ABCD的图形，证明四边形MNFE为平行四边形，从而得到M，N，E，F四点共面，设MN的中点为H，作HQ//PB，且交PD于点Q，交EF于点I，得到五边形MNFQE即截四棱锥P−ABCD所得的截面，将截面分割为△QEF和矩形MNFE求解即可．本题考查了空间几何体的截面面积的求解，解题的关键是确定截面的形状，考查了分割法求解平面图形面积的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：在△ABC中，B=2π3，AC=√7，AB=1，∴根据正弦定理得√7√32=1sinC，解得sinC=√2114，∴cosC=5√714，∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√32×5√714−12×√2114=√217，∴根据正弦定理得√7√32=√217，解得BC=2．故答案为：2．根据正弦定理即可求出sinC=√2114，然后得出cosC=5√714，然后可求出sin A的值，从而根据正弦定理即可求出BC的值．本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角函数的诱导公式，考查了计算能力，属于中档题．14.【答案】3π【解析】解：设圆锥的母线长为l，由题意可知，底面圆的半径r=1，则2πrl =2πl=π，解得l=2，所以圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×1×2+π×12=3π．故答案为：3π．由侧面积展开图求出圆锥的母线长，再利用圆锥的表面积公式求解即可．本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，圆锥体积公式的应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．15.【答案】0.9【解析】解：由题意，甲、乙通过的概率分别为0.8，0.5，则甲未通过的概率为0.2，乙未通过的概率为0.5，所以甲、乙都未通过的概率为0.2×0.5=0.1，则至少有一人通过的概率为1−0.1=0.9．故答案为：0.9．利用相互独立事件的概率公式，先求出甲、乙都未通过的概率，再利用对立事件的概率公式，即可得到答案．本题考查了相互独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．16.【答案】π6【解析】解：因为sin2A=3sin2B+3sin2C−2√3sinAsinBsinC，所以由正弦定理可得a2=3b2+3c2−2√3bcsinA，又由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，整理可得：3b2+3c2−2√3bcsinA=b2+c2−2bccosA，⇒b2+c2=√3bcsinA−bccosA，⇒sin(A−π6)=b2+c22bc，∴cos(A−π6)=√1−(b2+c22bc)2=12bc√−(b2−c2)2，∴b2−c2=0，即b=c．∴cos(A−π6)=0，又A∈(0,π)，∴A−π6=π2，∴A=2π3．∵b=c，∴B=C，∴B=C=π−A2=π6，故答案为：π6．由正弦定理化简已知等式可得：a2=3b2+3c2−2√3bcsinA，由余弦定理可得cos A的值，结合A的范围可求A的值．又∵b=c，可得C的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于基础题．17.【答案】解：(1)z=(1+ai)(1+i)+2+4i=(3−a)+(a+5)i，所以z在复平面中所对应的点的坐标为(3−a,a+5)，因为z在复平面中所对应的点在直线x−y=0上，所以3−a−(a+5)=0，解得a=−1；(2)|z−1|=|(2−a)+(a+5)i|=√(2− a)2+(a+5)2=√2a2+6a+29，因为a∈R，且2a²+6a+29≥492，所以|z−1|=√2a2+6a+29≥7√22，故|z−1|的取值范围是[7√22,+∞)．【解析】(1)化简z，得到z在复平面中所对应的点的坐标为(3−a,a+5)，带入直线x−y=0中，求出a即可；(2)由条件，可得|z−1|=√2a2+6a+29，利用二次函数性质，即可求得其范围．本题考查复数的代数表示法及其几何意义和复数的模，是基础题．18.【答案】解：(1)由图可得这100人中，有14名学生成绩等级为B，故高一年级获得成绩为B的总人数为14100×1800=252(人)；(2)由图中数据可求得这100人的平均分为90×7+80×14+70×41+60×22+50×16100=67.4，故改试卷难度系数为0.674，符合要求；(3)按分层抽样，抽到的4人中男生1人，女生3人，不妨记男生为a，3名女生分别为b1，b2，b3．4人中任取2人共有6种取法：ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3，2人中恰有1名男生共有3种取法：ab1，ab2，ab3，所以恰好抽到1名男生的概率为36=12．【解析】(1)从条形图中可知这100人中，有14名学生成绩等级为B，由此可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率，从而能求出该校高一年级学生获得成绩等级为B的人数．(2)这100名学生成绩的平均分为67.4分，由0.674>0.6，得到符合要求；(3)按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为a，3名女生分别为b1，b2，b3.利用列举法能求出从中抽取2人其中恰好抽到1名男生的概率．本题考查条形图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.【答案】解：(1)∵由已知可得b(sinB −√3sinC)=(a +c)(sinA −sinC)，利用正弦定理可得b(b −√3c)=(a +c)(a −c)，整理可得：b 2+c 2−a 2=√3bc ， ∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=√32， ∵A ∈(0,π)， ∴A =π6，(2)∵△ABC 的面积为2，即12bcsinA =14bc =2，可得bc =8，∴a 2=b 2+c 2−√3bc =(b +c)2−2bc −√3bc =(b +c)2−16−8√3， 又b +c ≥2√bc =4√2，∴△ABC 的周长a +b +c =√(b +c)2−16−8√3+b +c ≥√16−8√3+4√2=2√3−2+4√2， 即三角形周长的最小值为2√3−2+4√2，此时a =2√3−2，b =c =2√2．【解析】(1)由正弦定理化简已知等式可得b 2+c 2−a 2=√3bc ，利用余弦定理可求cos A ，结合范围A ∈(0,π)，可求A ，即可计算得解．(2)利用三角形面积公式可求bc ，利用基本不等式即可计算△ABC 的周长的最小值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.【答案】(1)证明：过G 作GE//AA 1，交A 1B 1于E ，连接C 1E ，∵△AB 1A 1为等边三角形，∴GE =GB 1， 又GB 1=MC 1，∴GE =MC 1，又MC 1//AA 1，∴GE//MC 1，可得四边形MGEC 1为平行四边形， ∴MG//EC 1，又MG ⊄平面A 1B 1C 1，EC 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴直线MG//平面A 1B 1C 1；(2)解：∵BC =√212，∴B 1C 1=√212，又GB 1=32，∴在Rt △C 1GB 1中，有C 1G =√3， S △A 1B 1G =12×32×2×sin60°=3√34， 又MG//平面A 1B 1C 1，∴V M−A1B1C1=V G−A1B1C1=V C1−A1B1G=13×3√34×√3=34，即三棱锥M−A1B1C1的体积为34．【解析】(1)过G作GE//AA1，交A1B1于E，连接C1E，证明四边形MGEC1为平行四边形，可得MG//EC1，再由直线与平面平行的判定可得直线MG//平面A1B1C1；(2)由BC=√212，得B1C1=√212，求出三角形A1B1G的面积，结合MG//平面A1B1C1，再由等体积法求三棱锥M−A1B1C1的体积为34．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．21.【答案】解：(1)AC²=AD²+DC²−2AD⋅DC⋅cosπ3，所以AC=2√3a，又ACsinπ3=ADsin∠ACD，所以sin∠ACD=12，所以∠BCD=π2，S△BCD=12×4a×2√3a=4√3a²(m²)．(2)不妨设∠ADC=θ，∠ACD=α，于是AC²=(20−16cosθ)a²①，AC sinθ=2asinα⇒sinα=2asinθAC②，4a²=AC²+16a²−8aAC⋅cosα⇒cosα=AC2+12a28aAC③，所以S△BCD=12×4a×AC⋅sin(α+π3)=AC⋅[2a2sinθAC+√3⋅AC2+12a28AC]=(2sinθ−2√3cosθ+4√3)a²=(4sin(θ−π3)+4√3)a²≤(4+4√3)a2，当且仅当θ−π3=π2⇒θ=5π6时取等号，所以S△BCD的最大值为(4+4√3)a2(m²)．【解析】(1)在△ACD中，由余弦定理可求得AC的值，再由正弦定理，可求得sin∠ACD的值，从而推出∠BCD=π2，从而可求得△BCD的面积；(2)不妨设∠ADC=θ，∠ACD=α，同(1)，可分别推出AC2=(20−16cosθ)a²，sinα=2asinθAC，由余弦定理可得cosα=AC2+12a28aAC ，从而可得S△BCD=(4sin(θ−π3)+4√3)a²，由正弦函数的图象与性质即可得解．本题考查解三角形的实际应用，还涉及三角恒等变换的知识，熟练掌握正弦定理、余弦定理、两角和差公式和辅助角公式等常见公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】(1)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AC⊥BB1，又BD⊥平面AB1C，所以AC⊥BD，又BD∩BB1=B，所以AC⊥平面BB1C1C，又B1C⊂平面BB1C1C，故AC⊥B1C；(2)解：由(1)可知，AC⊥平面BB1C1C，所以AC⊥BC，又AB=AC=2，则AB=2√2，设AP=x，则S△PAC=12⋅x⋅√2=√22x，因为BD⊥B1C，则Rt△BB1C∽Rt△BDC，BC=2，BD=√3，所以BB1=2√3，则V B1−PAC =13×√22x×2√3=√33，解得x=√22，所以APPB =13，连接AD，过点P作PO//BD交AD于点O，则PO=14BD=√34，过点P作PE⊥B1C，E为垂足，连接OE，因为B1C⊥PE，B1C⊥PO，PE∩PO=P，则B1C⊥平面POE，又OE⊂平面POE，所以B1C⊥OE，故∠PEO为二面角P−B1C−A的平面角，在△PB1C中，可得PC=√102,PB1=√662，B1C=4，由等面积法可以求得PE=√394，所以sin∠PEO=POPE =√34√394=√1313，故二面角P−B1C−A的平面角的正弦值为√1313．【解析】(1)利用线面垂直的性质定理以及直三棱柱的性质，可得AC⊥BB1，AC⊥BD，从而可证明AC⊥平面BB1C1C，即可证明AC⊥B1C；(2)连接AD，过点P作PO//BD交AD于点O，过点P作PE⊥B1C，E为垂足，连接OE，通过证明B1C⊥OE，B1C⊥PE，可得∠PEO为二面角P−B1C−A的平面角，在三角形中利用边角关系求解即可．本题考查了直三棱柱几何性质的运用，线面垂直的判定定理和性质定理的应用，二面角的平面角的定义，考查了空间想象能力、逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．。
2020-2021学年安徽省合肥八中高一(下)期末数学模拟练习试卷(一)(附答案详解)
2020-2021学年安徽省合肥八中高一（下）期末数学模拟练习试卷（一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知(1+i)z=2，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设α，β是两个不同平面，m，n是两条直线，下列命题中正确的是()A. 如果m⊥n，m⊥α，n//β，那么α⊥βB. 如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α//βC. 如果m//n，m⊥α，n⊥β，那么α//βD. 如果α//β，m与α所成的角和n与β所成的角相等，那么m//n3.某中学高中部共有80名教师，初中部共有120名教师，其性别比例如图所示，现从中按分层抽样抽取25人进行优质课展示，则应抽取高中部男教师的人数为()A. 3B. 6C. 7D. 94.轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为()A. 43B. 32C. 4√23D. 2√25.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定6.若随机事件A、B互斥，A、B发生的可能性均不等于0，且事件A发生的可能性为2−a，事件B发生的可能性为4a−5，则实数a的取值范围是()A. (54,2) B. (54,32) C. [54,32] D. (54,43]7.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|b⃗ |=√2|a⃗|，且(a⃗−b⃗ )⊥(3a⃗+2b⃗ )，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. 45°B. 135°C. 60°D. 120°8.为庆祝中国共产党成立100周年，A、B、C、D四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分(均为整数)情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知A 、B 、C 、D 四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是( )A. A 组中位数为2，极差为8B. B 组平均数为2，众数为2C. C 组平均数为1，方差大于0D. D 组平均数为2，方差为39. 《周礼⋅春官》中记载，中国古典乐器一般分为“金、石、土、革、丝、木、匏(páo)、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、土、匏、丝”任取“三音”，则“三音”分别来自三种不同种类乐器的概率为( )A. 15B. 34C. 25D. 2310. 若在△ABC 中，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，则△ABC 的面积为( ) A. 6 B. 8 C. 12 D. 2011. 在△ABC 中，点P 满足2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC⃗⃗⃗⃗⃗ ，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y AC⃗⃗⃗⃗⃗ (x >0,y >0)，则2x +y 的最小值为( ) A. 3 B. 3√2 C. 1D. 1312. 三棱锥P −ABC 中，PA =PB =PC ，∠ABC =π4，AC =√2，则三棱锥P −ABC 外接球表面积的最小值是( )A. 8πB. 4πC. 2πD. π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若复数z =3−4i1+2i ，i 为虚数单位，则|z|= ______ ．14. 设样本数据x 1，x 2，⋯，x 2021的平均数为x −，方差为s 2，若数据2x 1+1，2x 2+1，⋯，2x 2021+1的平均数比方差大3，则s 2−x −2的最大值为______．15. 甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是______． ①P(A)=P(B)=P(C)； ②P(BC)=P(AC)=P(AB)； ③P(ABC)=18；④P(A)⋅P(B)⋅P(C)=18．16.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD=4，且△ACD为正三角形，则△ABC面积的最大值为______ ，四边形ABCD的面积为______ .(注：圆内接凸四边形对角互补)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）∈R，其中i是虚数单位．17.已知复数z使得z+2i∈R，z2−i(1)求复数z的共轭复数z−；(2)若复数(z+mi)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．18.已知平面向量a⃗=(1,x),b⃗ =(2,1)(1)若(2a⃗+b⃗ )//(a⃗+2b⃗ )，求|a⃗|的值；(2)若(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，求向量a⃗在向量b⃗ 上的投影向量．19.某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个，家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．20. 2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于[20,45]岁的人中随机地抽取x 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据．(1)求x 、y 、z 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这x 人年龄的平均值和第80百分位数(同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数)；(3)从年龄段在[25,35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30,35]中的概率．21.如图，四棱锥P−ABCD中，△PAB是等边三角形，CB⊥平面PAB，AD//BC且PB=BC=2AD=2，F为PC中点．(1)求证：DF//平面PAB；(2)求直线AB与平面PDC所成角的正弦值；(3)求二面角D−PC−B的夹角余弦．22.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA−2ccosA=0．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a=2，且△ABC为锐角三角形，求b+2c的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】由(1+i)z=2，可得z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，其对应点为(1,−1)，在第四象限．故选：D．由(1+i)z=2，可求得z，然后可得复数z在复平面内对应的点所在象限．本题考查复数除法运算，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由α，β是两个不同平面，m，n是两条直线，知：对于A，如果m⊥n，m⊥α，n//β，那么α与β相交或平行，故A错误；对于B，如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α与β相交或平行，故B错误；对于C，如果m//n，m⊥α，n⊥β，那么由面面平行的判定定理得α//β，故C正确；对于D，如果α//β，m与α所成的角和n与β所成的角相等，那么m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：C．对于A，α与β相交或平行；对于B，α与β相交或平行；对于C，由面面平行的判定定理得α//β；对于D，m与n相交、平行或异面．本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力等核心素养，是中档题．3.【答案】B【解析】解：抽样的比例为2580+120=18，高中部男教师的人数为80×60100=48，故应抽取的高中部男教师的人数为48×18=6人，故选：B．先求出抽样的比例和高中部男教师的总人数人数，二者相乘，即为所求．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：设圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R，圆柱的体积V=πR2⋅2R=2πR3，外接球的半径为√2R，故球的体积为：43π(√2R)3=8√23πR3，故外接球的体积与该圆柱的体积的比值为4√23故选：C．分别计算圆柱的体积和球的体积，可得答案．本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，球的体积和表面积，难度不大，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=π2，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin(B+C)=sinAsinA，，可得sinA=1，故A=π2，故三角形为直角三角形，故选：B．6.【答案】D【解析】解：根据题意，随机事件A、B互斥，且事件A发生的可能性为2−a，事件B 发生的可能性为4a−5，则有{0<2−a ≤10<4a −5≤10<(2−a)+(4a −5)≤1，解可得54<a ≤43，即a 的取值范围为(54,43]； 故选：D ．根据题意，由概率的性质可得{0<2−a ≤10<4a −5≤10<(2−a)+(4a −5)≤1，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查概率的性质，涉及互斥事件的定义，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ， 因为(a ⃗ −b ⃗ )⊥(3a ⃗ +2b ⃗ )，|b ⃗ |=√2|a ⃗ |，所以(a ⃗ −b ⃗ )⋅(3a ⃗ +2b ⃗ )=3a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=−a ⃗ ⋅b ⃗ −a ⃗ 2=0，变形可得a⃗ ⋅b ⃗ =−a ⃗ 2． 则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=2|a ⃗ |⋅√2|a ⃗ |=−√22． 又由θ∈[0°,180°]，所以θ=135°． 故选：B ．根据题意，设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，由数量积的计算公式可得(a ⃗ −b ⃗ )⋅(3a ⃗ +2b ⃗ )=3a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=−a ⃗ ⋅b ⃗ −a ⃗ 2=0，变形可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，小组成员的失分最大值为9，最小值为1，其他均为2， 符合中位数为2，极差为8，但不是“优秀小组”，A 错误； 对于B ，小组成员的失分情况可能为0、0、0、2、2、2、2、2、8， 符合平均数为2，众数为2，但不是“优秀小组”，B 错误；对于C ，小组成员的失分最大值为10，其余都是0，符合平均数为1， 方差大于0，但不是“优秀小组”，C 错误； 对于D ，设小组成员的失分最大值为x ，则有(x −2)2<30，且x 为整数，必有x ≤7，一定为“优秀小组”D 正确； 故选：D ．根据题意，依次分析4个选项能否保证“每名同学失分都不超过7分”，综合可得答案． 本题考查数据的平均数、方差、极差、中位数的计算，注意平均数、方差、极差、中位数的定义，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：从“金、石、土、匏、丝”中任取“三音”的所有基本事件为： (金石土)，(金，石，匏)，(金，石，丝)，(金，土，匏)，(金，土，丝)， (金，匏，丝)，(石，土，匏)，(石，土，丝)，(石，匏，丝)，(土，匏，丝)， 共10种可能的情况，其中“三音”分别来自三种不同种类乐器的基本事件共有4种情况，所以所求概率为P =410=25． 故选：C ．先列举出从“金、石、土、匏、丝”中任取“三音”的所有基本事件并确定基本事件总数，再确定“三音”分别来自三种不同种类乐器的基本事件个数，最后利用古典概型概率计算公式即可求出所求概率．本题主要考查古典概型的概率计算公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴∠A =90°， ∴△ABC 的面积为12×2×6=6． 故选：A ． 由AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，然后可求得∴△ABC 的面积． 本题考查平面向量数量积性质，考查数学运算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：因为2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x >0,y >0)， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13yAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23xAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为M ，P ，N 共线， 所以13y +23x =1， 所以2x +y =(2x +y)(13y +23x)=53+2y 3x+2x 3y≥53+2√2y 3x⋅2x 3y=3，当且仅当2y3x =2x3y 且13y +23x =1，即x =y =1时取等号， 此时2x +y 的最小值为3． 故选：A ．由已知结合向量的线性表示及向量共线定理得13y +23x =1，然后利用乘1法，结合基本不等式可求．本题主要考查了向量的线性表示及平面向量共线定理，还考查了利用乘1法结合基本不等式求解最值，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：设底面△ABC 外接圆圆心为O 1，半径为r ，则2r =ACsin∠ABC =2，即r =1． 设三棱锥P −ABC 高为h ，球的半径为R.由PA =PB =PC ，得球心O 在PO 1上，且(ℎ−R)2+r 2=R 2，则R =12(ℎ+1ℎ)≥12⋅2√ℎ⋅1ℎ=1，当且仅当ℎ=1时等号成立，此时外接球表面积最小， 则S min =4π．故选：B．画出图形，利用正弦定理求解△ABC外接圆的半径，然后推出外接球的半径以及基本不等式，求解外接球的表面积的最小值．本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．13.【答案】√5【解析】解：∵z=3−4i1+2i，∴|z|=|3−4i1+2i |=|3−4i||1+2i|=√32+(−4)2√12+22=√5=√5．故答案为：√5．直接由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想，是基础题．14.【答案】−1【解析】解：设数据2x1+1，2x2+1，⋯，2x2021+1的平均数为x0−，方差为s02，由随机变量函数线性方差公式，可得x0−=2x−+1，s02=4s2，∵数据2x1+1，2x2+1，⋯，2x2021+1的平均数比方差大3，∴2x−+1=4s2+3，∴s2−x−2=12x−−12−x−2=−(x−−14)2−716，∵s2=12x−−12≥0，∴x−≥1，故当x−=1时，s2−x−2取得最大值−1．故答案为：−1．根据已知条件，结合随机变量函数线性方差公式，可得x0−=2x−+1，s02=4s2，运用条件数据2x1+1，2x2+1，⋯，2x2021+1的平均数比方差大3，将s2−x−2化简为关于x−的二次函数，结合x−的取值范围，即可求解．本题主要考查二次函数的最值问题，以及随机变量函数线性方差公式，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．15.【答案】①②④【解析】解：根据题意，P(A)=C21C21+C21C214×4=12，P(B)=24=12，P(C)=24=12，所以P(A)=P(B)=P(C)，结论①正确；P(BC)=P(B)P(C)=12×12=14，P(AC)=C21C214×4=14，P(AB)=C21C214×4=14，所以P(BC)=P(AC)=P(AB)，所以结论②正确；P(ABC)=C21C214×4=14，结论③错误；P(A)⋅P(B)⋅P(C)=12×12×12=18，结论④正确．故答案为：①②④．根据题意有P(A)=C21C21+C21C214×4=12，P(B)=24=12，P(C)=24=12，P(C)=24=12，从而可判断结论①；又P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=C21C214×4从而可判断结论②；易知P(ABC)=C21C21 4×4，即可判断结论③；最后用P(A)⋅P(B)⋅P(C)=12×12×12判断结论④即可．本题考查随机事件的概率和古典概型，考查学生的逻辑推理和运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于基础题．16.【答案】√34√3【解析】解：设等边三角形ACD的边长为x，由圆内接凸四边形对角互补，可得∠ABC=180°−60°=120°，设AB=m，BC=n，可得mx+nx=4x，即m+n=4，而S△ABC=12mnsin120°=√34mn≤√34⋅(m+n2)2=√3，当且仅当m=n=2时，上式取得等号，则△ABC 面积的最大值为√3，由圆的性质可得∠ABD =∠ACD =60°，∠CBD =∠CAD =60°，又四边形ABCD 的面积为S △ABD +S △BCD =12⋅AB ⋅BD ⋅sin60°+12⋅CB ⋅BD ⋅sin60°=√34×4(m +n)=4√3，故答案为：√3，4√3．设等边三角形ACD 的边长为x ，由圆内接凸四边形对角互补，可得∠ABC =120°，设AB =m ，BC =n ，运用三角形的面积公式和托勒密定理、基本不等式可得△ABC 面积的最大值，由四边形ABCD 的面积为三角形ABD 和三角形BCD 的面积之和，计算可得所求四边形ABCD 的面积．本题考查圆内接四边形的性质，以及三角形的面积的最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设z =x +yi(x,y ∈R)，则z +2i =x +(y +2)i ，∵z +2i ∈R ，∴y +2=0，即y =−2． 又z2−i =x−2i 2−i=(x−2i)(2+i)(2−i)(2+i)=2x+25+x−45i ∈R ，∴x −4=0，即x =4． ∴x =4−2i ，则z −=4+2i ；(2)∵m 为实数，且(z +mi)2=[4+(m −2)i]2=(12+4m −m 2)+8(m −2)i ， 由题意，{12+4m −m 2>08(m −2)<0，解得−2<m <2．∴实数m 的取值范围为(−2,2)．【解析】(1)设z =x +yi(x,y ∈R)，则z +2i =x +(y +2)i ，由虚部为0求得y 值．再把z2−i 利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得x 值，则z 可求，z −可求； (2)把(z +mi)2变形为复数的代数形式，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解m 的范围．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．18.【答案】解：(1)因为a ⃗ =(1,x),b ⃗ =(2,1)，所以2a ⃗ +b ⃗ =(4,2x +1)，a ⃗ +2b ⃗ =(5,x +2)，由(2a ⃗ +b ⃗ )//(a ⃗ +2b ⃗ )，得4(x +2)−5(2x +1)=0，解得x =12， ∴|a ⃗ |=√12+(12)2=√52； (2)a ⃗ −b ⃗ =(−1,x −1)，由(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，得(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =0， ∴−1×2+(x −1)×1=0，解得x =3， ∴a ⃗ =(1,3)．∴向量a ⃗ 在向量b ⃗ 上的投影向量a ⃗ ⋅b ⃗ |b⃗ |⋅b⃗ |b ⃗ |=55⋅b ⃗ =(2,1)．【解析】(1)根据平面向量共线的坐标运算可求出x 值，然后求出|a⃗ |； (2)由(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，可得(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =0，求出x 值，然后再求出向量a ⃗ 在向量b ⃗ 上的投影向量．本题考查平面向量数量积、向量共线及垂直的坐标运算，考查运算能力，属基础题．19.【答案】解：(1)设事件A 表示“甲家庭回答正确这道题”，事件B 表示“乙家庭回答正确这道题”，事件C 表示“丙家庭回答正确这道题”， 由题意得：{P(A)=34[1−P(A)][1−P(C)]=112P(B)P(C)=14，解得乙家庭回答正确这道题的概率P(B)=38， 丙家庭回答正确这道题的概率P(C)=23．(2)甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为： P =P(ABC)+P(A −BC)+P(AB −C)+P(ABC −) =34×38×23+14×38×23+34×58×23+34×38×13 =2132．【解析】(1)设事件A 表示“甲家庭回答正确这道题”，事件B 表示“乙家庭回答正确这道题”，事件C 表示“丙家庭回答正确这道题”，利用相互独立事件概率乘法公式列出方程组，能求出结果．(2)利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：(1)由题意得：x=450.750.06×5=200，y=25200×0.05×5=0.625，z=200×0.03×5×0.2=6；(2)根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值为：x−=22.5×0.06×5+27.5×0.04×5+32.5×0.04×5+37.5×0.03×5+42.5×0.03×5=30.75≈31..年龄在35以下的人数所在比例为(0.06+0.04+0.04)×5=0.7，年龄在40以下的人数所占比例为0.7+0.03×5=0.85，所以第80百分位数位于[35,40)内，由35+5×0.8−0.70.85−0.7≈38，估计第80百分位数为38．(3)从年龄段在[25,35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，[25,30)中选：9×2525+20=5人，[30,35]中选：9×2025+20=4人，在这9人中选取2人作为记录员，基本事件总数n=C92=36，选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30,35]包含的基本事件个数：m=C51+C41+C42=26，∴选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30,35]中的概率p=mn =2636=1318．【解析】(1)由频率分布直方图和频数分布表能求出x，y，z．(2)根据频率分布直方图，能估计这x人年龄的平均值及第80百分位数．(3)从年龄段在[25,35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，[25,30)中选5人，[30,35]中选4人，在这9人中选取2人作为记录员，基本事件总数n=36，选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30,35]包含的基本事件个数m=26，由此能求出选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30,35]中的概率．本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频数分布表、频率分布直方图、分层抽样、古典概型的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题．21.【答案】解：(1)证明：如图，取PB边的中点E，连AE，FE，则三角形中位线可知，EF//BC且EF=12BC，由题可知，AD//BC且AD=12BC，所以AD//EF，AD=EF，所以四边形AEFD为平行四边形，所以DF//AE，又因为DF⊄平面PAB，AE⊂平面PAB，故DF//平面PAB；(2)取BC边的中点G，则DG//AB，且DG=AB=2，直线AB与平面PDC所成角，即为DG与平面PDC所成角，又S△CDG=1，且易得DC=PD，所以S△CDP=12PC⋅DF=12×2√2×√3=√6，由V P−CDG=V G−PCD=13×1×√3=13×√6× d G−PCD，得d G−PCD=√22，所以DG与平面PDC所成角的正弦值为√222=√24，故直线AB与平面PDC所成角的正弦值为√24；(3)由CD=PD，F为PC的中点，可得DF⊥PC，由BC=PB，可得BF⊥PC，所以∠DFB为二面角D−PC−B的平面角．由PB⊥BC，且PB=BC=2，可得PC=2√2，BF=√2，由CD=PD=√5，可得DF=√5−2=√3，又BD=√5，且BD2=DF2+BF2，所以∠DFB=90°，则二面角D−PC−B的夹角余弦值为0．【解析】(1)取PB边的中点E，连AE，FE，由三角形的中位线定理和平行四边形的判定，可得四边形AEFD为平行四边形，再由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，即可得证；(2)取BC边的中点G，可得直线AB与平面PDC所成角，即为DG与平面PDC所成角，由等积法和棱锥的体积公式，计算即可；(3)由二面角的平面角的定义，可得∠DFB为二面角D−PC−B的平面角，由等腰三角形和直角三角形的性质，求得DF，BF，BD，再求出二面角D−PC−B的夹角余弦．本题考查线面平行的判定和线面角、二面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)∵acosB+bcosA−2ccosA=0，∴由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA−2sinCcosA=0，∴sin(A+B)−2sinCcosA=0，∵A+B=π−C，∴sin(A+B)=sin(π−C)=sinC，∴sinC=2sinCcosA，又C为三角形的内角，sinC≠0，∴cosA=12，又A为三角形内角，∴A=π3．(Ⅱ)∵A=π3，a=2，∴由正弦定理可得 asinA =bsinB=csinC=√32=√3，∴b+2c=√3+2sinC)=√3+2sin(A+B)]=√3+√3cosB)=√7√3+θ)，其中sinθ=√3√7，cosθ=√7，tanθ=√32，且π6<θ<π4，∵△ABC为锐角三角形，则{0<B<π20<2π3−B<π2，解得π6<B<π2，∴π6+θ<B+θ<π2+θ，∴sin(π2+θ)<sin(B+θ)≤1，即√7<sin(B+θ)≤1，∴√3<√7√3+θ)≤√7√3，即8√33<b+2c≤4√213．∴b+2c∈(8√33,4√213].【解析】(Ⅰ)根据正弦定理可得出sinAcosB+sinBcosA−2sinCcosA=0，进而得出sinC−2sinCcosA=0，从而得出cos A的值，进而可求A的值．(Ⅱ)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求b+2c=√7√3+θ)，由题意可求范围π6<B<π2，可得π6+θ<B+θ<π2+θ，根据正弦函数的性质即可求解其范围．本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．。
2015-2016学年安徽省合肥八中高一(下)期末考试数学试题(解析版)剖析.
2015-2016学年安徽省合肥八中高一（下）期末考试数学试题一、选择题1．已知实数,m n 满足0m <，0n >，则下列说法一定正确的是（ ） A ．22log ()log m n -> B ．31n m n< C ．||||m n < D【答案】B【解析】试题分析：当0m n ->>时，22log ()log m n ->成立；310n m n <<；当0m n <-<时，||||m n <0< B.【考点】不等式性质2．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽取20人进行评教，某男学生被抽到的概率是（ ） A ．1100 B ．125C ．15D ．14 【答案】C【解析】试题分析：某男学生被抽到的概率是2011005=，选C. 【考点】随机抽样概率3．将甲、乙两名同学8次数学测验成绩统计如茎叶图所示，若乙同学8次数学测试成绩的中位数比甲同学8次数学测验成绩的平均数多1，则a =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】试题分析：甲同学8次数学测验成绩的平均数为7877858484839190848+++++++=，所以84+80+84162aa =+⇒=，选C.【考点】茎叶图4．已知ABC ∆中，756,8,cos 96BC AC C ===，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形 【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理得22275682682596AB =+-⨯⨯⨯=，所以最大角为B角，因为226258cos 0265B +-=<⨯⨯，所以B 角为钝角，选D.【考点】余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.5．已知121,,,8a a -成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，那么122a ab 的值为（ ） A ．-5 B ．5 C ．52- D ．52【答案】A【解析】试题分析：由题意得122,5,a a ==22,b =-所以122 5.a ab =-选A.【考点】等差数列、等比数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.6．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：根据上表可得回归方程^^^y b x a =+中的^b 为9.4，据此模型，当广告费用为6万元时，销售额为（ ）A ．65.5万元B ．67.7万元C ．69.7万元D ．72.0万元 【答案】A【解析】试题分析：因为7,422x y ==，所以^^429.4 3.59.1a y b x =-=-⨯=，因此当6x =时，9.469.165.5y =⨯+=，选A.【考点】回归方程【名师点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求a ，b ^，写出回归方程，回归直线方程恒过点（x －，y －）. 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且918S =，则下列说法正确的是（ ） A ．3712log (22)a a +有最小值-3B ．3712log (22)a a +有最小值3C ．3712log (22)a a +有最大值-3D ．3712log (22)a a +有最大值3【答案】C【解析】试题分析：19919379()1818442a a S a a a a +=⇒=⇒+=⇒+=，所以37228a a +≥==，371122log (22)log 83a a +≤=-，选C.【考点】等差数列性质，基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 8．执行下面的程序框图，则输出的q 的值为（ ）A ．10B ．34C ．36D ．154 【答案】B【解析】试题分析：第一次循环：2,2,2,q i p ===第二次循环：4,3,6,q i p ===第三次循环：10,4,24,q i p ===第四次循环：34,5,120,q i p ===结束循环，输出34q =，选B.【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9．已知实数,x y 满足4303525010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，若z mx y =-的最小值为3，则实数m 的取值不可能为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 【答案】D【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中22(1,1),(1,),(5,2)5A B C ，所以 132237355523m m m m -≥⎧⎪⎪-≥⇒≥⎨⎪-≥⎪⎩，选D.【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.10．如图所示，四边形MNQP 被线段NP 切割成两个三角形分别为MNP ∆和QNP ∆，若MN MP ⊥)4MPN π∠+=22QN QP ==，则四边形MNQP 面积的最大值为（ ）A．54-．54+．52-．52+【答案】B【解析】)4424MPN MPN MPN ππππ∠+=⇒∠+=⇒∠=221111,sin sin (54cos )sin 2244MNQP PQN S MN PQ NQ NP θθθθθ∠==+⨯=+=-+设则55)444πθ=-≤34PQN π∠=时取等号，选B. 【考点】三角函数性质二、填空题11．已知集合2{|1230}A x x x =+->，{|2(41)0}B x x x =-<，则()R A C B = .【答案】11(,0][,1)34- 【解析】试题分析：21{|1230}(,1)3A x x x =+->=-，1{|2(41)0}(0,)4B x x x =-<=，所以()R A C B =11(,0][,1)34-【考点】集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．12．已知数列{}n a 满足114,26n n a a a +=+=，则4a = .【答案】74【解析】试题分析：112226261n n a a a a a ++=⇒+=⇒=，2335262a a a +=⇒=，3447264a a a +=⇒=【考点】数列递推公式13．一艘客轮自北向南航行，上午8时在灯塔P 的北偏东15位置，且距离灯塔34海里，下午2时在灯塔P 的东南方向，则这只船航行的速度为 海里/小时.【答案】6【解析】试题分析：设上午8时为M, 下午2时为N ，则34sin120sin 45MN MN =⇒=海里/小时.【考点】正弦定理14．如图所示，正方形ABCD 内接于圆O ，且A E B EC GD G ===，14AH CF AD ==，则往圆O 内投掷一点，该点落在四边形EFGH 内的概率为 .【答案】1π【解析】试题分析：设4,AB a =，则圆O 面积为28,a π四边形EFGH 面积为221116222328,22a a a a a a -⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=则所求概率为2288a aπ=1π 【考点】几何概型概率【方法点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．15．已知数列{}n a 满足*1110,2()n n a a a n n N +=-=∈，则na n的最小值为 . 【答案】163【解析】试题分析：利用叠加法得210242(1)10na n n n =++++-=-+，所以101n a n n n =+-，由于*n N ∈，3416113324a a =<=，所以n a n 的最小值为163 【考点】叠加法求数列通项，基本不等式求最值三、解答题16．随着网络信息时代的来临，支付宝已经实现了许多功能，如购物付款、加油付款、理财产品等，使得越来越多的人在生活中使用手机支付的便捷功能，阿里巴巴公司研究人员对某地区年龄在10～60岁间的n 位市民对支付宝的使用情况作出调查，并将调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图如下所示.（1）若被调查的年龄在20～30岁间的市民有600人，求被调查的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；（2）若按分层抽样的方法从年龄在[20,30)以及[40,50)内的市民中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调查，求抽取的2人中，至少1人年龄在[20,30)内的概率.【答案】（1）500（2）910【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知小长方形面积等于对应区间概率，因此在20～30岁间的概率为0.0310⨯，总人数为6000.0310⨯，在40岁以上（含40岁）的概率为(0.020.005)10+⨯，人数为600(0.020.005)105000.0310⨯+⨯=⨯（2）按分层抽样确定年龄在[20,30)内的有3人，年龄在[40,50)内的有2人.再按枚举法得随机抽取2人，所有可能的情况为10种，其中年龄都不在[20,30)内的情况只有一种，最后按对立事件概率求法得所求概率1911010P =-=.试题解析：（1）依题意，所求人数为600(0.020.005)105000.0310⨯+⨯=⨯.（2）依题意，年龄在[20,30)内的有3人，记为,,A B C ，年龄在[40,50)内的有2人. 记为1,2；随机抽取2人，所有可能的情况为(,),(,),(,1),(,2),(,),(,1),(,2),(,1),(,2),(1,2)A B A C A A B C B B C C ，共10种，其中年龄都不在[20,30)内的情况为(1,2)，故所求概率1911010P =-=.【考点】频率分布直方图，分层抽样，对立事件概率 【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 （1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+.（1）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11{}n n a a +的前n 项和为n T . 【答案】（1）详见解析（2）3(23)nn +【解析】试题分析：（1）由和项求通项，关键注意分类讨论：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，2212[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+；由于当1n =时，也符合上式，故*21()n a n n N =+∈.最后根据等差数列定义证明（2）裂项相消法求数列和：11111()22123n n a a n n +=-++注意调节系数，首尾相消得1111111111()()23557212323233(23)n nT n n n n =-+-++-=--=++++试题解析：（1）当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，2212[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+； 当1n =时，也符合上式，故*21()n a n n N =+∈. 因为12n n a a +-=，故数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列.（2）因为111111()(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，故1111111111()()23557212323233(23)n nT n n n n =-+-++-=--=++++.【考点】和项求通项，等差数列定义，裂项相消法求和【方法点睛】给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n （n≥2）转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2时，一定要注意分n ＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.18．已知实数,x y 的取值如下表所示.（1）请根据上表数据在下列网格纸中绘制散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程^^^y b x a =+.注：回归方程为^^^y b x a =+，其中^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）见图（2）^1.2 1.2yx =+【解析】试题分析：（1）按照描点法绘制散点图（2）根据数据，依次代入相应公式，得0123425x ++++==，12465 3.65y ++++==，^4852 3.61.23054b -⨯⨯==-⨯，^3.6 1.22 1.2a =-⨯=试题解析：（1）散点图如下：（2）0123425x ++++==，124653.65y ++++==，5128182048i ii x y==+++=∑，4211491630ii x==+++=∑，故^4852 3.61.23054b -⨯⨯==-⨯，则^3.6 1.22 1.2a =-⨯=，所以回归直线的方程为^1.2 1.2y x =+.【考点】线性回归方程【名师点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求a ，b ^，写出回归方程，回归直线方程恒过点（x －，y －）. 19．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若向量2(2,1sin)2A m a =-，2(cos ,2)2Cn c =，3m n b ⋅=. （1）证明：sin ,sin ,sin A B C 成等差数列； （2）若8,3b B π==，求ABC ∆的面积S .【答案】（1）详见解析（2）S =【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积得222cos 2(1sin )322C Aa cb +-=，再利用正弦定理将角化为边222sin cos 2sin cos 3sin 22C AA CB +=，根据二倍角余弦公式降幂、两角和正弦公式、诱导公式化简得sin sin 2sin A C B +=（2）由正弦定理得2=16a cb +=，再由余弦定理得2222222cos ()3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-，即64ac =，最后根据三角形面积公式得1sin 2S ac B ==试题解析：（1）依题意，222cos 2(1sin )322C Aa cb +-=，由正弦定理得：222sin cos 2sin cos 3sin 22C AA CB +=，∴sin (cos 1)sin (cos 1)3sin A C C A B +++=，∴sin sin 2sin A C B +=，故sin ,sin ,sin A B C 成等差数列.（2）由余弦定理，2222222cos ()3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-，由（1）可知，2a c b +=，又8b =，解得64ac =，故ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==.【考点】正余弦定理，二倍角公式【思路点睛】向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，或转化为三角形中的“数量关系”，再利用解三角形的有关知识进行求解. 20．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43210,9S a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式与前n 项和为n S ； （2）若数列{}n b 的通项公式为32nnb n a =-， （ⅰ）求数列{}n b 的前n 项和为n T ；（ⅱ）探究：数列{}n b 是否有最小项？若没有，请通过计算得到最小项的项数；若没有，请说明理由.【答案】（1）13n n a -=，312n n S -=.（2）（ⅰ）277322n n n T -=⋅+（ⅱ）第2项 【解析】试题分析：（1）由等比数列前n 项和公式得44221101S q S q -==-3q ⇒=，由通项公式得3121a a q ==，所以13n n a -=，312n n S -=.（2）（ⅰ）1(26)3n n b n -=-⋅，所以运用错位相减法求和：先错位相减121(13)423232323(26n n n T n --=-+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅，再对右边求和2(72)37nn T n -=-⋅-，即得277322n n n T -=⋅+（ⅱ）研究数列{}n b 单调性：112(23)3n n n b b n -+-=-⋅，所以1234b b b b ><<<，从而数列{}n b 有最小项，最小项是第2项.试题解析：（1）显然数列{}n a 的公比不为1，故44221101S q S q -==-，解得3q =（3q =-舍去），所以3121a a q ==，故13n na -=，312n n S -=. （2）（ⅰ）依题意，1(26)3n nb n -=-⋅，0121(4)3(2)303(26)3n n T n -=-⋅+-⋅+⋅++-⋅， 1233(4)3(2)303(26)3n n T n =-⋅+-⋅+⋅++-⋅，两式相减，01212423232323(26)3n n n T n --=-+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅，故2(72)37n n T n -=-⋅-，即277322n n n T -=⋅+. （ⅱ）法一：假设数列{}n b 中第k 项最小，则11k k k k b b b b -+≤⎧⎨≤⎩，即1212(3)32(4)32(3)32(2)3k k k kk k k k ---⎧-⋅≤-⋅⎨-⋅≤-⋅⎩， 解得3522k ≤≤，因为*k N ∈，故2k =， 则数列{}n b 有最小项，最小项是第2项.法二：由（ⅰ）知，1(26)3n n b n -=-⋅，且130n ->，则当3n >时，0n b >，当3n =时，0n b =，当03n <<时，0n b <，又124,10b b =-=-，所以数列{}n b 有最小项，最小项是第2项.【考点】等比数列通项，错位相减求和，数列单调性【方法点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据+1n n a a -的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列。
2020-2021学年安徽省合肥八中高一(下)期末数学复习试卷(12)(附答案详解)
2020-2021学年安徽省合肥八中高一（下）期末数学复习试卷（12）一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）1. 为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是( )A. 总体是240B. 个体是每一个学生C. 样本是40名学生D. 样本容量是402. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )A. 4B. 5C. 6D. 73. 容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：(10,20]，2；(20,30]，3；(30,40]，4；(40,50]，5；(50,60]，4；(60,70]，2.则样本在区间(10,50]上的频率为( )A. 0.5B. 0.7C. 0.25D. 0.054. 若△ABC 外接圆圆心为O ，半径为4，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 14 B. 2√7 C. √7 D. 25. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b =4，点O 为其外接圆的圆心.已知CO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =6，则角A 的最大值为( ) A. π6B. π3C. π4D. π26. 在斜三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AB 1⊥BC ，则B 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A. 直线AC 上B. 直线BC 上C. 直线AB 上D. △ABC 内部二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）7.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面BCC1B1内(包括边界)一动点，且D1P//平面EFG，则()A. BD//EGB. BD1//平面EFGC. 三棱锥D1−EFG的体积为13D. P点的轨迹长度为28.在△ABC中，角所对的边分别为a，b，c，给出下列四个命题中，其中正确的命题为()A. 若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=1：2：3B. 若cosA<cosB，则sinA>sinBC. 若A=30°，a=3，b=4，则这个三角形有两解D. 当△ABC是钝角三角形．则tanA⋅tanC<1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）9.若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这M+N个数的平均数是______ ．10.下列抽样的方式属于简单随机抽样的有______ ．(1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本．(2)从1000个个体中一次性抽取50个个体作为样本．(3)将1000个个体编号，把号签放在一个足够大的不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个个体作为样本．(4)福利彩票用摇奖机摇奖．11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=3，BB1=2BC=8，D为棱BB1的中点，则三棱锥D−ACC1的外接球的表面积为______ ．12.四面体ABCD的顶点A、B、C、D在同个球面上，AD⊥平面ABC，AD=2√6，AB=2，3 AC=3，∠CAB=60°，则该四面体的外接球的表面积为______ ．四、解答题（本大题共2小题，共24.0分）13.为了了解高二年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高二学生的达标率是多少？14.如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000.请根据该图提供的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)(1)求样本中月收入在[2500,3500)的人数；(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500,2000)的这段应抽多少人？(3)试估计样本数据的中位数．答案和解析1.【答案】D【解析】解：本题考查的对象是240名高一学生的身高情况，故总体是240名高一学生的身高情况；个体是每个学生的身高情况；样本是40名学生的身高情况，故样本容量是40．故选D．本题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物”.我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象是某校高一学生的身高，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查分层抽样，属于基础题．先计算分层抽样的抽样比，再求植物油类与果蔬类食品所需抽取的种数．【解答】解：由题意，共有食品100种，抽取容量为20的样本，，所以抽样比为15故抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为2+4=6．故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查样本的频率，样本的频数，属于基础题．求出样本在区间(10,50]上的频数，即可得解． 【解答】解：由已知条件知，样本在区间(10,50]上的频数为： 2+3+4+5=14，所以样本在区间(10,50]上的频率为1420=0.7， 故选：B ．4.【答案】A【解析】解：取BC 的中点E ，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以点A ，E ，O 三点共线，且E 为线段AO 的靠近A 的四等分点， ∵AO =4，∴AE =1，OE =3， 在直角三角形OEC 中可得CE =√7，∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠ACE =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CE⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2×7=14． 故选：A ．取BC 的中点E ，再根据已知推出点A ，E ，O 三点共线，且E 为线段AO 的靠近A 的四等分点，AE =1，OE =3，最后利用向量数量积可得． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．5.【答案】A【解析】解：如图：取AB 的中点D ，则DO ⊥BA ，∴CO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(16−a 2)=6，∴a =2， 又∵cosA =b 2+c 2−a 22bc =c 2+128c=c 8+128c≥2√c 8⋅128c=√32， 当且仅当c8=128c 即c =2√3时取等号，∴cosA ≥√32，又∵A ∈(0,π)，∴A ∈(0,π6]. 故选：A ．取AB 的中点D ，则DO ⊥BA 得CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =6， 求出a 值，再利用余弦定理和基本不等式，求出cos A 的范围即可．本题考查平面向量数量积性质及运算、余弦定理、基本不等式，考查数学运算能力及直观想象能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵在斜三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AB 1⊥BC ， ∴BC ⊥AC ，又AC ∩AB 1=A ， ∴BC ⊥平面ACB 1，BC ⊂平面ABC ， ∴平面ACB 1⊥平面ABC ，∴B 1在底面ABC 上的射影H 必在两平面的交线AC 上． 故选：A ．由题意知要判断B 1在底面ABC 上的射影H ，需要看过这个点向底面做射影，观察射影的位置，根据BC 与一个平面上的两条直线垂直，得到BC 与两条直线组成的面垂直，根据面面垂直的判断和性质，得到结果．本题考查棱柱的结构特征，考查直线与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7.【答案】BCD【解析】解：对于A，取BB1的中点M，连接GM，BD，由正方体的性质可知，BD//GM，而GM与EG相交，故BD与EG不平行，故A错误；对于B，连接D1C，由面面平行的判定可得平面FGE//平面D1BC，由平面与平面平行的性质可得BD1//平面EFG，故B正确；对于C，由等体积法可得：V D1−EFG =V E−FGD1=13S△FGD1⋅AE=13×(12×2×1)×1=13，故C正确；对于D，由分析时可知平面FGE//平面D1BC，即点P的轨迹为线段BC，长度为2，故D正确．故选：BCD．取BB1的中点M，连接GM，BD，可得BD//GM，由GM与EG相交判定A错误；连接D1C，由面面平行的判定及性质判断B；利用等体积法求体积判定C；求出P点的轨迹判断D．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．8.【答案】BCD【解析】解：对于A，若A：B：C=1：2：3，则A=30°，B=60°，C=90°，故a：b：c=sin30°：sin60°：sin90°=1：√3：2.故错误；对于B，在△ABC中，cosA<cosB⇔A>B⇔sinA>sinB，故正确；对于C，由A=30°，a=3，b=4，可得312=4sinB，可得sinB=23>sin30°，故满足条件的角B有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解，故正确；对于D，当A为钝角时，tanA<0，tanC>0，tanAtanC<1，成立，当C为钝角时，tanA>0，tanC<0，tanAtanC<1，成立，当B为钝角时，cosB=−cos(A+C)=sinAsinC−cosAcosC<0，可得sinAsinC<cosAcosC，可得tanA⋅tanC<1，成立，综上，命题正确．故选：BCD．对于A，运用内角和定理，求出A，B，C，再由正弦定理，即可得到三边之比，即可判断；对于B，在△ABC中，cosA<cosB⇔A>B⇔sinA>sinB，得出答案；对于C，利用正弦定理求得满足条件的角C有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解；对于D，分类讨论，利用两角和的余弦函数公式即可判断得解．本题考查正弦定理和余弦定理及运用，考查三角形的形状的判断，考查运算能力，属于中档题和易错题．9.【答案】MX+NYM+N【解析】解：因为M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，所以M个数的和为MX，N个数的和为NY，则这M+N个数的和为MX+NY，所以这M+N个数的平均数是MX+NY．M+N．故答案为：MX+NYM+N利用平均数的计算公式求解即可．本题考查了特征数的求解，解题的关键是掌握平均数的计算公式，属于基础题．10.【答案】(3)(4)【解析】解：简单随机抽样时是有限多个个体中进行抽取，故(1)不是简单随机抽样；简单随机抽样是逐个抽取，不是一次性抽取，故(2)不是简单随机抽样；根据简单随机抽样的特点，(3)是简单随机抽样；根据简单随机抽样的特点，(4)是简单随机抽样．故答案为：(3)(4)．利用简单随机抽样的特点进行分析判断即可．本题考查了抽样方法的选择，主要考查了简单随机抽样的应用，解题的关键是掌握简单随机抽样适用的条件以及它的特点，属于基础题．11.【答案】73π【解析】解：由题意知，BC=BD=B1D=4，又AC⊥BC，AC=3，∴AB=5，CD=C1D=4√2，则AD=√AB2+BD2=√41，AC1=√AC2+CC12=√73，∴AC12=AD2+C1D2，得C1D⊥AD，又AC⊥CC1，∴AC1的中点为三棱锥D−ACC1外接球的球心，则外接球的半径R=12AC1=√732．外接球的表面积为S=4πR2=4π×(√732)2=73π．故答案为：73π．由直三棱柱的性质求出CD、C1D1、AD、AC1，结合勾股定理可得C1D⊥AD，CC1⊥AC，可得AC1的中点为三棱锥D−ACC1外接球的球心，再求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体的外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】12π【解析】解：如图所示，设△ABC的外接圆的余弦为O1，过O1作直线l⊥平面ABC，又DA⊥平面ABC，∴DA//l，连接AO1并延长，交球O于H，连接DH，与l的交点为球心O，则OH=OD=R，OO1=12AD=√63，在△ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos60°=4+9−2×2×2×12=7，∴BC=√7，又由正弦定理可得BCsin60∘=2O1H，可得O1H=√213．∴R2=OH2=OO12+O1H2=69+219=3，则该四面体的外接球的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．由题意画出图形，求解三角形可得BC，由正弦定理求得底面三角形外接圆的半径，再由勾股定理求得多面体外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】解：(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为42+4+17+15+9+3=0.08．因为第二小组的频率=第二小组的频数样本容量，所以样本容量=第二小组的频数第二小组的频率=120.08=150．(2)由直方图可估计该校全体高二年级学生的达标率约为17+15+9+32+4+17+15+9+3×100%=88%．【解析】本题考查频率分布直方图，考查推理能力和计算能力，属于基础题．(1)由频率分布直方图求出第二小组的频率，根据样本容量=第二小组的频数第二小组的频率即可求得；(2)由直方图可估计该校全体高二年级学生的达标率．14.【答案】解：(1)∵月收入在[1000,1500]的频率为0.0008×500=0.4，且有4000人，∴样本的容量n=40000.4=10000，月收入在[1500,2000)的频率为0.0004×500=0.2，月收入在[2000,2500)的频率为0.0003×500=0.15，月收入在[3500,4000)的频率为0.0001×500=0.05，∴月收入在[2500,3500)的频率为；1−(0.4+0.2+0.15+0.05)=0.2，∴样本中月收入在[2500,3500)的人数为：0.2×10000=2000．(2)∵月收入在[1500,2000)的人数为：0.2×10000=2000，∴再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500,2000)的这段应抽取=20(人)．100×200010000(3)由(1)知月收入在[1000,2000)的频率为：0.4+0.2=0.6>0.5，=1500+250=1750(元)．∴样本数据的中位数为：1500+0.5−0.40.0004【解析】(1)根据频率分布直方图，求出各段的频率，然后再求[2500,3500)的人数；(2)根据抽样方法，选取抽样的人数，(3)根据求中位数的方法即可．本题考查了频率分布直方图，样本，中位数，只有会识图，问题就很好解决．。
2020-2021学年安徽省合肥八中高一(下)期末数学复习试卷(5)(附答案详解)
2020-2021学年安徽省合肥八中高一（下）期末数学复习试卷（5）一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）1. (2021·江苏省南通市·月考试卷)设i ⋅z =4−3i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为( )A. −4B. 4C. −4iD. 4i2. (2021·吉林省松原市·月考试卷)如图所示的△ABC 中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −16BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −56BA ⃗⃗⃗⃗⃗−13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −56BA ⃗⃗⃗⃗⃗+13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 3. (2021·四川省成都市·模拟题)在△ABC 中，已知AB =AC ，D 为BC 边中点，点O 在直线AD 上，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3，则BC 边的长度为( ) A. √6B. 2√3C. 2√6D. 64. (2021·安徽省合肥市·期末考试)在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3，则sinB =( )A. √306B. 2√521C. 4√59D. 4√55. (2021·安徽省合肥市·期末考试)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知bsinC +csinB =4asinBsinC ，b 2+c 2−a 2=8，则△ABC 的面积为( )A. √33B. 2√33C. √3D. √346. (2020·湖南省邵阳市·月考试卷)已知平面向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 均为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|a ⃗ +b ⃗ −c ⃗ |的取值范围是( )A. [√2−1,√2+1]B. [1,√2]C. [√2−1,1]D. [√2,√3]二、多选题（本大题共2小题，共14.0分）7. (2021·安徽省合肥市·期末考试)锐角△ABC 中，三个内角分别是A ，B ，C ，且A >B ，则下列说法正确的是( )A. sinA >sinBB. cosA <cosBC. sinA >cosBD. sinB >cosA8. (2021·福建省福州市·期中考试)下列说法中错误的为( )A. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)且a ⃗ 与a ⃗ +λb ⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞)B. 向量e 1⃗⃗⃗ =(2,−3)，e 2⃗⃗⃗ =(12,−34)不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，满足|a ⃗ |>|b ⃗ |且a ⃗ 与b ⃗ 同向，则a ⃗ >b ⃗D. 非零向量a ⃗ 和b ⃗ ，满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角为30° 三、单空题（本大题共4小题，共24.0分）9. (2021·安徽省合肥市·期末考试)已知a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(−2,4)，向量a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量______ ．10. (2021·安徽省合肥市·期末考试)已知复数z =√3+i(1−√3i)2，则z⋅z −= ______ ．11. (2020·河南省焦作市·月考试卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为√15，c −a =2，cosB =14，则b 的值为______ ．12. (2021·山东省烟台市·单元测试)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD =45m ，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则AB 两点的距离为______ m.四、解答题（本大题共2小题，共32.0分）13. (2021·安徽省安庆市·期中考试)如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ+μ的值． (2)若AB =2，当AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1时，求DF 的长．14. (2021·吉林省松原市·月考试卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，csinA +√3asin(C +π2)=0，c =6．(1)求△ABC 外接圆的面积；(2)若c =√3b ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求△ACM 的周长．答案和解析1.【答案】A【知识点】复数的四则运算 【解析】解：∵i ⋅z =4−3i ， ∴z =4−3i i=(4−3i)i i 2=4i−3i 2−1=−3−4i ，∴复数z 的虚部为−4， 故选：A ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的虚部概念得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的虚部的概念，是基础题．2.【答案】B【知识点】平面向量的基本定理及其应用【解析】解：依题意，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−16BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：B ．根据已知，利用向量的线性运算即可求解．本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，属于基础题．3.【答案】A【知识点】向量的数量积【解析】解：在△ABC 中，由AB =AC ，D 为BC 边中点，点O 在直线AD 上，且BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3， 结合图象可得|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=3， 即12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3，所以|BC|=√6． 故选：A ．画出图形，利用两个向量的数量积的定义求出结果．本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，是基础题．4.【答案】C【知识点】正弦定理【解析】解：因为cosC=23，AC=4，BC=3，由余弦定理得，AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosC=16+9−2×4×3×23=9，故AB=3，因为cosC=23，所以sinC=√53，由正弦定理得ACsinB =ABsinC则sinB=4×√533=4√59．故选：C．先利用余弦定理求出AB，由同角平方关系求sin C，然后结合正弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．5.【答案】B【知识点】正弦定理【解析】解：由正弦定理知，asinA =bsinB=csinC，∵bsinC+csinB=4asinBsinC，∴sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，即2sinBsinC=4sinAsinBsinC，∵sinBsinC≠0，∴sinA=12，由余弦定理知，cosA=b2+c2−a22bc =82bc=4bc>0，∴cosA=√1−sin2A=√32，∴4bc =√32，即bc=8√33，∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×8√33×12=2√33．故选：B．利用正弦定理化边为角，可得sinA=12，由余弦定理知，cosA=4bc>0，再结合同角三角函数的关系式，可得bc的值，最后由S=12bcsinA，得解．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式是解题的关键，考查转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．6.【答案】A【知识点】向量的数量积【解析】解：根据题意，三个平面向量a⃗,b⃗ ,c⃗均为单位向量，a⃗⋅b⃗ =0，∴设a⃗=(1,0)，b⃗ =(0,1)，c⃗=(x,y)，则a⃗+b⃗ −c⃗=(1−x,1−y)，若c⃗为单位向量，则x2+y2=1，表示单位圆上的任意一点，∴|a⃗+b⃗ −c⃗|2=√(1−x)2+(1−y)2．它表示单位圆上的点到定点P(1,1)的距离，其最大值是PM=r+|OP|=1+√2，最小值是|OP|−r=√2−1．∴|a⃗+b⃗ −c⃗|的取值范围是[√2−1,√2+1]．故选：A．根据题意，求出a⃗+b⃗ −c⃗的表达式，分析可得表示单位圆上的点到定点P(1,1)的距离，由点与圆的位置关系分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是涉及向量的坐标，分析向量模的几何意义．7.【答案】ABCD【知识点】三角函数线、正弦定理【解析】解：设锐角△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵A>B，且A，B均为锐角，∴a>b，由正弦定理可得asinA =bcosB，∴sinA>sinB，故A选项正确，∵0<B<A<π2，又∵y=cosx在(0,π2)上单调递减，∴cosB>cosA，故B正确，∵0<B<A<π2，且A+B>π2，∴A>π2− B，B>π2−A，π2− B、π2−A∈(0,π2)，∵y=sinx在(0,π2)上单调递增，∴sinA>sin(π2−B)=cosB，sinB>sin(π2−A)=cosA，故C、D选项正确．故选：ABCD．根据正弦定理以及余弦函数的单调性，可判断AB选项，运用诱导公式，并结合正弦函数的单调性，即可判断CD选项．本题考查了三角函数的诱导公式，以及正弦定理，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．8.【答案】AC【知识点】命题及其关系、平面向量的基本定理及其应用【解析】解：对于A，a⃗⋅(a⃗+λb⃗ )=3λ+5>0，且λ≠0，所以A不正确；对于B，向量e1⃗⃗⃗ =(2,−3)，e2⃗⃗⃗ =(12,−34)，满足e1⃗⃗⃗ =4e2⃗⃗⃗ ，两个向量共线，所以不能作为平面内所有向量的一组基底，所以B正确；对于C，向量是有方向的量，不能比较大小，所以C不正确；对于D，非零向量a⃗和b⃗ ，满足|a⃗|=|b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，所以以向量a⃗和b⃗ 的长度为边，构造菱形，满足a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角为30°，所以D正确；故选：AC．利用斜率的数量积，求解实数λ的取值范围判断A；判断斜率是否共线，判断B；利用向量的定义判断C；利用向量的平行四边形法则判断D即可．本题考查命题的真假的判断与应用，向量的基本定理以及向量共线，平行四边形法则的应用，是基础题．9.【答案】(−45,8 5 )【知识点】向量的数量积【解析】解：a⃗与b⃗ 的夹角θ，向量a⃗在b⃗ 上的投影向量为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|⋅b⃗|b⃗|=2×(−2)+3×4(−2)2+42(−2,4)=(−45,8 5 ).故答案为：(−45,8 5 ).a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ，向量a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量计算方法为a⃗ ⋅b ⃗|b ⃗ |⋅b⃗ |b⃗ |，依据此法可解决此题． 本题考查平面向量数量积性质及运算、投影向量计算方法，考查数学运算能力，属于基础题．10.【答案】14【知识点】复数的四则运算 【解析】解：z ⋅z −=|z|2=√3+i(1−√3i)22=√3+i|2|−2−2√3i|2=416=14．故答案为：14．利用复数与共轭复数的性质，结合复数模的运算性质进行求解即可．本题考查了复数与共轭复数的应用，复数模的运算性质的应用，考查了运算能力与转化化归能力，属于基础题．11.【答案】4【知识点】余弦定理、正弦定理 【解析】解：因为cosB =14， 所以sinB =2B =√154，因为△ABC 的面积为√15=12acsinB =12ac ×√154，解得ac =8，又c −a =2，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2+c 2−12ac =(c −a)2+2ac −12ac =4+16−4=16， 解得b =4． 故答案为：4．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，根据三角形的面积公式可求ac 的值，结合已知利用余弦定理可求b 的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．12.【答案】45√5【知识点】正弦定理【解析】解：如图所示：△BCD 中，CD =45，∠BDC =15°，∠BCD =∠ACB +∠DCA =120°+15°=135°， ∴∠CBD =30°，由正弦定理，得BDsin135∘=45sin30∘，解得BD =45√2， △ACD 中，CD =45，∠DCA =15°，∠ADC =∠ADB +∠BDC =135°+15°=150°， ∴∠CAD =15°，∴AD =CD =45，△ABD 中，由余弦定理，得AB 2=AD 2+BD 2−2AD ⋅BD ⋅cos∠ADB=452+(45√2)2−2×45×45√2×cos135°=452×5，∴AB =45√5，即A ，B 两点间的距离为45√5， 故答案为：45√5．根据题意画出图形，△BCD 中利用正弦定理求出BD 的值，△ACD 中利用等角对等边求出AD 的值，再在△ABD 中由余弦定理求出AB 的值．本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查学生逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．13.【答案】解：(1)∵点E 是BC 边上中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=−13，μ=12， 故λ+μ=−13+12=16．(2)设CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−4λ+2=1， 故λ=14，∴DF =(1−λ)×2=32．【知识点】向量的数量积【解析】(1)用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出EF⃗⃗⃗⃗⃗ ，得出λ，μ的值即可得出λ+μ的值； (2)设CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1计算λ，从而可得DF 的长． 本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，属于基础题．14.【答案】解：(1)∵csinA +√3asin(C +π2)=0，∴csinA +√3acosC =0， ∴sinCsinA +√3sinAcosC =0， ∵sinA ≠0， ∴tanC =−√3， ∵0<C <π， ∴C =2π3，∴△ABC 外接圆的半径R =12⋅csinC =12√32=2√3，∴△ABC 外接圆的面积为12π． (2)由正弦定理得，sinB =bsinC c=b×√32√3b=12， ∵0<B <π3，∴B =π6，∴A =π−B −C =π6，∴在△ACM 中，由余弦定理得，CM 2=AM 2+AC 2−2AM ⋅AC ⋅cosA ，解得CM =2， 则△ACM 的周长为4+2√3．【知识点】正弦定理【解析】(1)利用诱导公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan C 的值，结合0<C <π，可求C 的值，利用正弦定理，圆的面积公式即可求解． (2)由已知利用正弦定理可求sin B 的值，结合0<B <π3，可求B ，利用三角形内角和定理可求A ，在△ACM 中，由余弦定理可求CM 的值，即可求出△ACM 的周长的值． 本题主要考查了诱导公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．第11页，共11页。
2020-2021学年安徽省合肥八中高一(下)期末数学复习试卷(6)(附答案详解)
2020-2021学年安徽省合肥八中高一（下）期末数学复习试卷（6）一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）1. (2021·江苏省盐城市·单元测试)已知复数z 满足z −−z =2i ，则z 的虚部是( )A. −1B. 1C. −iD. i2. (2021·河南省安阳市·模拟题)已知复数z 满足|z −2|=1，则|z|的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 43. (2020·河北省石家庄市·单元测试)如图所示，在三棱台A′B′C′−ABC 中，沿A′BC 截去三棱锥A′−ABC ，则剩余的部分是( )A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体4. (2021·浙江省·单元测试)宽与长的比为√5−12≈0.618的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD 中，BC =√5−1，AB >BC ，那么AB ⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. √5−1 B. √5+1 C. 4 D. 2√5+25. (2021·江苏省苏州市·期中考试)已知△ABC 中，AB =2，AC =1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =1，O 为△ABC 所在平面内一点，且满足OA⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. −4 B. −1 C. 1 D. 46. (2021·浙江省台州市·单元测试)某圆锥母线长为2，底面半径为√3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为( )A. 2B. √3C. √2D. 1二、多选题（本大题共2小题，共14.0分）7. (2021·吉林省松原市·模拟题)已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )A. i +i 2+i 3+i 4=0B. 复数z =3−i 的虚部为−iC. 若z=(1+2i)2，则复平面内z−对应的点位于第二象限D. 已知复数z满足|z−1|=|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线8.(2021·河北省邯郸市·单元测试)下面关于空间几何体叙述不正确的是()A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥B. 棱柱的侧面都是平行四边形C. 直平行六面体是长方体D. 直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥三、单空题（本大题共4小题，共24.0分）9.(2021·安徽省合肥市·期末考试)如图所示，是三角形ABC的直观图，则三角形ABC的面积S△ABC=______ .(请用数字填写)10.(2021·河北省邯郸市·单元测试)若球的半径为2，则与球心距离为√3的平面截球所得的圆面面积为______ ．11.(2021·安徽省合肥市·期末考试)如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为______ ．12.(2021·浙江省金华市·单元测试)已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a,b,c,sinAsinB =1+cosA2−cosB,cosA=35,S△ABC=6，则a=______．四、解答题（本大题共2小题，共32.0分）13.(2021·安徽省合肥市·期末考试)已知|a⃗|=2，|b⃗ |=3，(2a⃗−3b⃗ )⋅(2a⃗+b⃗ )=−7．(1)求|a⃗+b⃗ |；(2)求向量a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角的余弦值．14.(2021·安徽省合肥市·期末考试)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinC=√3ccosA．3(1)求A的值；(2)若a=5，求2b−√3c的取值范围．答案和解析1.【答案】A【知识点】共轭复数【解析】【分析】本题考查了待定系数法求解复数的应用，考查了复数相等的定义，属于基础题．利用待定系数法设z=a+bi，然后利用复数相等，求出b的值即可得到答案．【解答】解：设z=a+bi，因为z−−z=2i，则有a−bi−(a+bi)=2i，即−2bi=2i，所以b=−1，故复数z的虚部为−1．故选：A．2.【答案】C【知识点】复数的模【解析】解：因为|z−2|=1，所以z在复平面内所对应的点Z到点(2,0)的距离为1，所以点Z的轨迹为以(2,0)为圆心，1为半径的圆，所以|z|的取值范围为[1,3]，则|z|的最大值为3．故选：C．利用复数的几何意义得到，点Z的轨迹为以(2,0)为圆心，1为半径的圆，分析即可求得答案．本题考查了复数几何意义的理解和模的运算，属于基础题．3.【答案】B【知识点】简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征、空间几何体【解析】解：如图所示，三棱台A′B′C′−ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′−ABC，剩余部分是四棱锥A′−BCC′B′．故选：B ．画出图形，根据图形和四棱锥的结构特征，即可得出剩余几何体是什么图形． 本题考查了空间几何体结构特征的应用问题，是基础题目．4.【答案】C【知识点】向量的数量积【解析】解：由黄金矩形的定义，可得AB =2，BC =√5−1， 在矩形ABCD 中，cos∠CAB =ABAC =2√4+6−2√5=2√10−2√5，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠CAB =2×√10−2√5×2√10−2√5=4，故选：C ．由黄金矩形ABCD 的定义，可得AB ，再由勾股定理和向量数量积的定义，计算可得所求值．本题考查黄金矩形的定义，以及向量数量积的定义和运用，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】B【知识点】向量的数量积【解析】解：∵△ABC 中，AB =2，AC =1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，O 为△ABC 所在平面内一点，且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 设AC 的中点为M ，BC 的中点为N ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =O⃗⃗ ， ∴O 为线段MN 的靠近N 的三等分点，∴AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23×12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12−43−16=−1， 故选：B ．分别令AC ，BC 的中点为M ，N ，则可化简式子得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =O ⃗⃗ ，于是O 为线段MN 的靠近N 的三等分点，再计算数量积即可得出结论．本题考查了平面向量的数量积运算，确定O 点位置是解题关键，属于中档题．6.【答案】A【知识点】平面的基本性质及应用、旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）及其结构特征【解析】解：如图所示，截面为△SMN，P为MN的中点，设OP=x(0<x≤√3)，SB= 2,OB=√3，所以SO=1，SP=√x2+1,MN=2√3−x2，故S△SMN=12⋅MN⋅SP=12⋅√x2+1⋅2√3−x2=√−(x2−1)2+4，所以当x=1时，S△SMN=2，此时的截面面积最大．故选：A．截面为△SMN，P为MN的中点，设OP=x(0<x≤√3)，分别求出MN和SP的值，然后利用三角形的面积公式表示出截面的面积，再利用二次函数的性质求解最值即可．本题考查了圆锥的结构特征的理解和应用，主要考查了圆锥的截面问题，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．7.【答案】AD【知识点】复数的代数表示及其几何意义、复数的概念、命题及其关系【解析】解：对于A：i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，故A正确；对于B：复数z=3−i的虚部为−1，故B错误；对于C：若z=(1+2i)2=1+4i−4=−3+4i，所以z−=−3−4i，则复平面内z−对应的点位于第三象限，故C错误；对于D：复数z满足|z−1|=|z+1|，表示z到A(1,0)和B(−1,0)两点的距离相等，即z 的轨迹为线段AB的垂直平分线，故D正确．故选：AD．直接利用复数的定义，复数的运算和几何意义判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：复数的定义，复数的运算和几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.【答案】ACD【知识点】简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征【解析】解：对于A，底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥，故错误；对于B，由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，故正确；对于C，直平行六面体是平行六面体的侧棱与底面垂直，底面可以是平行四边形，它不是长方体，故错误；对于D，直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥，故错误．故选：ACD．对于A，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，即可判断；对于B，由棱柱的性质可判断；对于C，由侧棱与底面不垂直进行判断；对于D，直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥，由此即可判断．本题考查命题真假的判断，考查棱柱、正棱锥、平行六面体、圆锥等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】2【知识点】空间几何体的直观图与斜二测画法【解析】解：根据题意知，△ABC的直观图面积为S′=12×2×1×sin45°=√22，所以△ABC的面积为S△ABC=2√2S′=2√2×√22=2．故答案为：2．结合图形求出△ABC直观图面积S′，再根据原平面图形的面积S=2√2S′，计算即可．本题考查了平面图形的直观图面积与原图形面积的关系应用问题，是基础题．10.【答案】π【知识点】球的表面积和体积【解析】解：根据题意，截球所得圆的半径r=√4−3=1，∴截球所得圆的面积为：π．故答案为：π．可求出截球所得圆的半径，然后即可求出截球所得圆的面积．本题考查了球心和截球所得圆的圆心的连线和球截面垂直，圆的面积公式，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】10+2√13【知识点】空间几何体的直观图与斜二测画法【解析】解：把△O′A′B′的直观图还原出原平面图形OAB ，如图所示：根据直观图的画法规则知，OA =2O′A′=6，OB =O′B′=4， 所以AB =√62+42=2√13，所以△OAB 的周长为OA +OB +AB =6+4+2√13=10+2√13． 故答案为：10+2√13．把△O′A′B′的直观图还原出原平面图形OAB ，根据直观图的画法规则求出OA 、OB ，利用勾股定理求出AB 的值．本题考查了平面图形的直观图与原平面图形之间的关系应用问题，是基础题．12.【答案】4【知识点】正弦定理【解析】解：∵sinAsinB =1+cosA2−cosB ,cosA =35,S △ABC =6，∴2sinA −sinAcosB =sinB +sinBcosA ，可得：2sinA =sinB +sinBcosA +sinAcosB =sinB +sin(A +B)=sinB +sinC ， ∴由正弦定理可得：2a =b +c ，∴sinA =√1−cos 2A =45，6=12bcsinA =12×bc ×45，可得：bc =15，∵cosA =35=b 2+c 2−a 22bc=(b+c)2−2bc−a 22bc=4a 2−30−a 230，可得：a 2=16，∴解得：a =4(负值舍去)． 故答案为：4．利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinA =sinB +sinC ，由正弦定理可得2a =b +c ，利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，根据三角形的面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．13.【答案】解：(1)∵|a⃗|=2，|b⃗ |=3，∴(2a⃗−3b⃗ )⋅(2a⃗+b⃗ )=4×22−3×32−4a⃗⋅b⃗ =−7，∴a⃗⋅b⃗ =−1，∴|a⃗+b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2=√22+32+2a⃗⋅b⃗ =√13+2×2×3×(−1)= 1；(2)设a⃗与a⃗+b⃗ 夹角θ，cosθ=a⃗ ⋅(a⃗ +b⃗)|a⃗ ||a⃗ +b⃗|=22−12×1=32．【知识点】向量的数量积【解析】(1)由(2a⃗−3b⃗ )⋅(2a⃗+b⃗ )=−7可得a⃗⋅b⃗ 的值，然后|a⃗+b⃗ |转化为√(a⃗+b⃗ )2可求得|a⃗+b⃗ |；(2)设a⃗与a⃗+b⃗ 夹角θ，根据cosθ=a⃗ ⋅(a⃗ +b⃗)|a⃗ ||a⃗ +b⃗|可求夹角余弦值．本题考查平面向量数量积性质，考查数学运算能力，属于基础题．14.【答案】解：(1)因为asinC=√33ccosA，所以sinAsinC=√33sinCcosA．又sinC≠0，所以sinA=√33cosA，即tanA=√33．又A∈(0,π)，所以A=π6．(2)因为a=5，所以asinA =bsinB=csinC=10，所以2b−√3c=20sinB−10√3sinC=20sin(π6+C)−10√3sinC=10cosC．由题可知，C∈(0,56π)，则10cosC∈(−5√3,10)，故2b−√3c的取值范围是(−5√3,10)．【知识点】正弦定理【解析】(1)由已知结合正弦定理可求sin A，然后结合同角基本关系可求；(2)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合余弦函数性质可求．本题主要考查了正弦定理，同角基本关系，和差角公式及余弦函数的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．。
2024届安徽省合肥八中、马鞍山二中、阜阳一中高一数学第二学期期末检测试题含解析
2024届安徽省合肥八中、马鞍山二中、阜阳一中高一数学第二学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ，其中0ω＞,ϕπ＜.若()26f π=，5()06f π=且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．34ω=,58πϕ=-B ．34ω=,38πϕ= C ．94ω=,8πϕ=-D ．94ω=,8πϕ=2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A ．B ．2C ．3D ．3．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 是OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，若1AD =，2AB =，3BD =，则AF BD ⋅=( )A ．3B ．1-C 3D ．23-4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全是男生”（ ） A ．是互斥事件，不是对立事件 B ．是对立事件，不是互斥事件 C ．既是互斥事件，也是对立事件 D ．既不是互斥事件也不是对立事件 5．关于x 的不等式()20x x-≥的解集为（ ）A ．[]0,2B ．(]0,2 C ．()[),02,-∞+∞D ．()(),02,-∞+∞6．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（ ） A ．122ππ+ B ．144ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤⎛⎫⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()y f x =的表达式是（ ）A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()22sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭8．在等比数列{}n a 中，1101,3,a a ==则23456789a a a a a a a a =（ ） A ．81B ．527C 3D ．2439．将正整数排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……则图中数2020出现在( ) A ．第64行3列B ．第64行4列C ．第65行3列D ．第65行4列10．在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为（ ）. A ．ｙ＝－ｘ＋２B ．ｙ＝－ｘ－２C ．ｙ＝ｘ＋２D ．ｙ＝ｘ－２二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
安徽省合肥市第一中学、第六中学、第八中学联合2024届高一数学第二学期期末检测模拟试题含解析
安徽省合肥市第一中学、第六中学、第八中学联合2024届高一数学第二学期期末检测模拟试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．圆221:1O x y +=与圆222:222230O x y x y +--+=的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切2．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．22C ．624- D ．624+ 3．函数cos y x =的最小正周期是（ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π4．下列命题中不正确的是（ ）A ．平面α∥平面β，一条直线a 平行于平面α，则a 一定平行于平面βB ．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC ．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D ．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线5．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=6．函数的最大值为（ ）A ．1B ．C ．D ．27．在等差数列{}n a 中，已知371, 3a =a =，则数列{}n a 的前9项之和等于（ ） A ．9B ．18C ．36D ．528．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 和3b 的等比中项，则14a b+的最小值为（ ） A ．6B ．42C ．8D ．99．在 ABC 中， 80,100,45a b A ===︒，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解10．等差数列的公差，且，则数列的前项和取得最大值时的项数是（ ） A ．9B ．10C ．10和11D ．11和12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2010-2023历年安徽省合肥市八中高一下学期期末考试数学卷
2010-2023历年安徽省合肥市八中高一下学期期末考试数学卷第1卷一.参考题库(共20题)1.（满分9分）盒子中有大小形状相同的4只红球、2只黑球，每个球被摸到的机会均等，求下列事件的概率：（1）A=“任取一球，得到红球”；（2）B=“任取两球，得到同色球”；（3）C=“任取三球，至多含一黑球”。
2.三鹿婴幼儿奶粉事件发生后，质检总局紧急开展了关于液态奶三聚氰胺的专项检查。
假设蒙牛，伊利，光明三家公司生产的某批次液态奶分别是箱，箱和箱，现分层随机抽取箱进行检验，则蒙牛、光明这两家公司生产的液态奶被抽取箱数之和为（）A．300B．380C．320D．5003.若，则目标函数的取值范围是_______________．4.设，则的最大值．为（）A．B．C．D．5.已知，若向区域内随机投一点，则点落在区域内的概率为（）A．B．C．D．6.（满分9分）如图，已知梯形中，,。
求梯形的高．7.已知数列的前项和，把数列的各项排成三角形形状如下：记第行第列上排的数为，则_____________．8.一枚硬币连掷次，恰有两次正面朝上的概率是（）A．B．C．D．9.已知成等差数列，成等比数列，则（）A．2B．C．D．10.一个容量为的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别为和，则_____．11.（满分10分）已知数列,,若以为系数的二次方程都有根，且满足。
（1）求数列通项公式；（2）求数列前项和．12.设是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程有两个不相等的实数根的概率为 .13.读算法，完成该题：第一步，李同学拿出一正方体；第二步，把正方体表面全涂上红色；第三步，将该正方体切割成27个全等的小正方体；第四步，将这些小正方体放到一箱子里，搅拌均匀；第五步，从箱子里随机取一个小正方体。
问：取到的小正方体恰有三个面为红色的概率是（）A．B．C．D．14.右图中，程序框图的循环体执行的次数是（）A．100B．99C．98D．9715.在中，面积则的长为（）A．75B．51C．49D．16.若,则不等式的解集为________________．17.若是任意实数，且，则（）A．B．C．D．18.（满分12分）甲、乙两名同学在高一学年中（相同条件下）都参加数学考试十次，每次考试成绩如下表：次数同学一二三四五六七八九十甲90507080706080607070乙204060807070809090100请在坐标系中画出甲、乙两同学的成绩折线图，并从以下不同角度对这次测试结果进行分析。
2020-2021学年安徽省合肥八中高一(下)期末数学模拟练习试卷(二)(附答案详解)
2020-2021学年安徽省合肥八中高一（下）期末数学模拟练习试卷（二）1.复数z=(1+i)(2−i)，则z−=()A. 3+iB. 3−iC. 4+iD. 4−i2.已知水平放置的△ABC按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=2，A′O′=√3，那么△ABC是一个()A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 三边互不相等的三角形3.有17名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前8名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道17名同学成绩的()A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosA=bcosB，且c2=a2+b2−ab，则△ABC的形状为()A. 等腰三角形或直角三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形5.已知a⃗，b⃗ 满足，|a⃗|+|b⃗ |=a⃗⋅b⃗ =2√5，|a⃗+b⃗ |=√10+4√5，则a⃗与b⃗ 夹角的余弦值为()A. 2√55B. √55C. 12D. √326.如图，AB为圆锥底面直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知OA=√3，圆锥侧面展开图是圆心角为√3π的扇形，当PB与BC所成角为π3时，PB与AC所成角为()A. π3B. π6C. π4 D. 5π67. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是( )A. 7B. 7.5C. 8D. 98. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，N 为BC 的中点.当点M 在平面DCC 1D 1内运动时，有MN//平面A 1BD ，则线段MN 的最小值为( )A. 1B. √62C. √2D. √39. 下列结论不正确的是( )A. 已知a ⃗ 是非零向量，b ⃗ ≠c ⃗ ，若a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ，则a ⃗ ⊥(b ⃗ −c ⃗ )B. 向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，则a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量为12b ⃗ C. 点P 在△ABC 所在的平面内，满足PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则点P 是△ABC 的外心 D. 以(1,1)，(2,3)，(5,−1)，(6,1)为顶点的四边形是一个矩形10. 如图，ABCD 是边长为2的正方形，点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，EF ，FA 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，则( )A. AP ⊥EFB. 点P 在平面AEF 内的射影为△AEF 的垂心C. 二面角A −EF −P 的余弦值为13D. 若四面体P −AEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是24π11. 垃圾分类是对垃圾进行处置前的重要环节.通过分类投放、分类收集，我们可以把有用物资从垃圾中分离出来重新回收、利用，变废为宝.某小区的分类垃圾箱如图所示，每组垃圾箱有四个垃圾投放桶，分别为有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.该小区业主手提两袋垃圾，分别为有害垃圾和厨余垃圾，分别将其随机投入两个不同的垃圾投放桶，则恰有一袋投放正确的概率为( )A. 19B. 16C. 13D. 1212. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以下结论不正确的有( )A. 点P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A −D 1PC 的体积不变B. 点P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面AD 1C 所成角的大小不变C. 点P 在直线BC 1上运动时，二面角P −AD 1−C 的大小不变D. M 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则点M 的轨迹是过点D 1的直线 13. 复数2+i 为一元二次方程x 2+ax +b =0(a,b ∈R)的一个根，则复数|a +bi|=______ ．14. 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AD ，AB 上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN 交于点P.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为______ ． 15. 在△ABC 中，AB =2，AC =3，且ABC 的面积为32，则∠BAC = ______ ． 16. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1，侧棱AA 1⊥底面ABC ，E ，F分别是AB ，AA 1的中点，且AC =BC =2，AC ⊥BC ，AA 1=4，过点E 作一个截面与平面BFC 1平行，则截面的周长为______ ．17. z =(m 2−5m +6)+(m 2−8m +15)i ，i 为虚数单位，m 为实数．(1)当z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数z −8i 在复平面内对应的点位于第四象限时，求m 的取值范围．18.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且a⃗与b⃗ 不共线．(1)若向量a⃗+k b⃗ 与k a⃗+2b⃗ 为方向相反的向量，求实数k的值；(2)若向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，求2a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角θ．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．现有以下三个条件：①(2c+b)cosA+acosB=0；②sin2B+sin2C−sin2A+sinBsinC=0；③a2−S．b2−c2=4√33请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量m⃗⃗⃗ =(4sinx,4√3)，n⃗=(cosx,sin2x)，函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−2√3，在△ABC )，且____，求2b+c的取值范围．中，a=f(π320.溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为23，乙队每人回答问题正确的概率分别为12,23,34，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响． (1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．21. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． (1)求证：平面BDE ⊥平面PAC ；(2)当PA//平面BDE 时，求三棱锥P −BDE 的体积．22. 2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]，画出频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)由频率分布直方图；(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．答案和解析1.【答案】B【解析】解：z=(1+i)(2−i)=2+1+2i−i=3+i，则z−=3−i，故选：B．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为A′O′在y轴上，B′C′在x轴上，所以AO⊥BC，在原图形中，AO=2√3，BC=4，∠ABC=∠ACB=60°．所以三角形为等边三角形．故选：B．利用平面图形的直观图的画法规则进行分析判断即可．本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为共有17个人，且他们的分数各不相同，第9名的成绩是中位数，故要判断是否能进入决赛，他还需要知道17名同学成绩的中位数．故选：C．根据特征数的意义和作用进行分析即可．本题考查了统计相关知识的理解和应用，解题的关键是正确理解特征数的意义，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由正弦定理知，asinA =bsinB，∵acosA=bcosB，∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2．∵c2=a2+b2−ab，∴由余弦定理知，cosC=a2+b2−c22ab =ab2ab=12，∵C∈(0,π)，∴C=π3．∴A+B=π2不成立，A=B符合题意，∴△ABC为等边三角形．故选：D．利用正弦定理将已知条件中的等式进行边化角的代换，得sinAcosA=sinBcosB，再由二倍角公式知sin2A=sin2B，从而得出A=B或A+B=π2；再由余弦定理可推出cosC=a2+b2−c22ab =12，即C=π3，故△ABC为等边三角形．本题考查解三角形中正弦定理和余弦定理的综合应用，还涉及二倍角公式与边化角的思维，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：因为|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=10+4√5,a⃗⋅b⃗ =2√5，所以a⃗2+b⃗ 2= 10．又(|a⃗|+|b⃗ |)2=a⃗2+2|a⃗||b⃗ |+b⃗ 2=20，所以|a⃗||b⃗ |=5，所以cos〈a⃗,b⃗ 〉=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=2√55，故选：A．利用向量的数量积，结合向量模的运算法则，转化求解即可．本题考查平面向量的模和平面向量的夹角，考查运算求解能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养．6.【答案】C【解析】解：设圆锥母线长为l，则l⋅√3π=2√3π，解得l=2，∵PB=PC，∴PB与BC所成角∠PBC=π，∴BC=2，∴Rt△ABC3中AC=2√2，作BD//AC与圆O交于点D，连接AD，四边形ABCD为平行四边形，BD=AC=2√2，连接PD，则∠PBD为PB与AC所成角，△PBD中PD=PB=2，可得PD⊥PB，所以∠PBD=π．4故选：C．设圆锥母线长为l，则l⋅√3π=2√3π，解得l=2，作BD//AC与圆O交于点D，连接AD，连接PD，∠PBD为PB与AC所成角然后求解即可．本题考查直线与直线所成角的求法，是中档题．7.【答案】C【解析】解：该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9．且6×80%=4.8，所以这组数据的第80百分位数是8．故选：C．把该组数据从小到大排列，计算6×80%=4.8，从而找出对应的第80百分位数．本题考查了一组数据的百分位数问题，是基础题．8.【答案】B【解析】解：取CD的中点P，DD1的中点Q，连接PQ、PN、QN，D1C，A1D，BD，A1B，如图所示：因为P、N分别为CD、BC中点，所以PN//BD，因为PN⊄平面A1DB，BD⊂平面A1DB，所以PN//平面A1DB，同理，P、Q分别为CD、DD1中点，所以PQ//D1C，因为A1D1=BC，且A1D1//BC，所以四边形BCD1A1是平行四边形，所以A1B//D1C，所以PQ//A1B，因为PQ⊄平面A1DB，A1B⊂平面A1DB，所以PQ//平面A1DB，又PQ∩PN=P，PQ⊂平面PQN，PN⊂平面PQN，所以平面PQN//平面A1BD，因为MN//平面A1BD，所以MN⊂平面PQN，又点M在平面DCC1D1内运动，所以点M在平面PQN和平面DCC1D1的交线上，即M∈PQ，在△PQN中，PN=√2，PQ=12CD1=√2，QN=√(√2)2+22=√6，所以cos∠NPQ=PN 2+PQ2−QN22PQ×PN=−12，所以∠NPQ=120°，所以N 点到PQ 的最小距离d =PN ⋅sin(180°−120°)=√62，所以线段MN 的最小值为√62．故选：B ．取CD 的中点P ，DD 1的中点Q ，连接PQ 、PN 、QN ，D 1C ，A 1D ，BD ，A 1B ，利用线面平行的判定和平行四边形的性质可得A 1B//D 1C ，可得PQ//A 1B ，利用面面平行的判定和性质可知MN//平面A 1BD ，可证M ∈PQ ，在△PQN 中，求解PN ，PQ ，QN 的值，利用余弦定理可求cos∠NPQ ，可得∠NPQ =120°，解三角形即可求解线段MN 的最小值． 本题主要考查了线面平行的判定和平行四边形的性质，考查了面面平行的判定和性质，考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：由a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ 得a ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0，又∵a ⃗ 是非零向量，b ⃗ ≠c ⃗ ，∴a ⃗ ⊥(b ⃗ −c ⃗ )，∴不选A ；a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量为|a⃗ |cos60°⋅b⃗ |b⃗ |=14b ⃗ ≠12b ⃗ ，∴选B ；由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可知点P △BC 的重心；∴选C ； 设A(1,1)，B(2,3)，C(5,−1)，D(6,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴四边形ABCD 是平行四边形， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)⋅(4,−2)=4−4=0，∴AB ⊥AC ，∴该四边形是矩形，∴不选D ． 故选：BC ．对a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ 进行移向提公因式进行运算可判断A ；利用投影向量的计算方法计算a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量，可判断B ； 由题意可知点P 是重心，可判断C ；设A(1,1)，B(2,3)，C(5,−1)，D(6,1)， 研究AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD⃗⃗⃗⃗⃗ 关系及AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，可判断D ． 本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力及直观想象能力，属于中档题．10.【答案】ABC【解析】解：对于A ，∵AP ⊥PF ，AP ⊥PE ， ∵PE ∩PF =P ，∴AP ⊥平面PEF ， ∵EF ⊂平面PEF ，∴AP ⊥EF ，故A 正确；对于B ，设P 在底面AEF 上的射影为O ，则PO ⊥底面AEF ，∴PO ⊥EF ，由A 知，PA ⊥EF ，连接AO 并延长，交EF 于G ， ∵PO ∩PA =P ，∴EF ⊥平面PAO ，则AG ⊥EF ，同理可证EO ⊥AF ，FO ⊥AE ，即点P 在平面AEF 内的射影为△AEF 的垂心，故B 正确； 对于C ，由B 知，AG ⊥EF ，∵AE =AF ，∴G 为EF 的中点， 连接PG ，又PE =PF ，∴PG ⊥EF ， 则∠PGA 为二面角A −EF −P 的平面角．在等腰直角三角形PEF 中，由PE =PF =1，得PG =√22，则AG =3√22， 在Rt △APG 中，有cos∠PGA =PG AG =13，故C 正确；对于D ，∴三棱锥P −AEF 的三条侧棱PA 、PE 、PF 两两互相垂直，且PA =2，PE =PF =1． 把该三棱锥补形为长方体，则其对角线长为√22+12+12=√6， 则其外接球的表面积S =4π×(√62)2=6π，故D 错误．故选：ABC ．由直线与平面垂直的判定与性质判断A 与B ；求解二面角的余弦值判断C ；通过补形法求出四面体P −AEF 的外接球的表面积判断D ．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】C【解析】解：记有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四个垃圾投放桶分别为1，2，3，4，则两袋垃圾中恰有一袋投放正确的情况有：(1,3)，(1,4)，(3,2)，(4,2)，共4种，而随机投放的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种，所以所求概率P=412=13．故选：C．分别列举出所有的基本事件以及随求概率对应的基本事件，由古典概型的概率公式求解即可．本题考查了古典概型概率公式的逻辑和应用，考查了逻辑推理与数学运算的核心素养，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：因为V A−D1PC=V P−ADC,BC1//AD1，且BC1⊄平面AD1C，AD1⊂平面AD1C，所以BC1//平面AD1C，所以BC1上的点到平面AD1C的距离相等，所以三棱锥A−D1PC的体积不变，故A说法正确；由图可知，当点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成角和直线AC1与平面AD1C所成角不相等，故B说法错误；因为AP⊂平面BC1D1A，所以二面角P−AD1−C的大小等于平面BC1D1A与平面AD1C所成角的大小，所以二面角P−AD1−C的大小不变，故C说法正确；因为M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，所以点M的轨迹是平面A1B1C1D1与线段DC1的垂直平分线D1C所在平面的交线，即点M的轨迹是平面A1B1C1D1与平面A1D1C的交线A1D1，所以点M的轨迹是过点D1的直线，故D说法正确．故选：B．根据等体积法，结合BC1//平面AD1C，可判断A选项；根据直线AB与平面AD1C所成角不等于直线AC1与平面AD1C所成角，可判断B选项；将二面角P−AD1−C的大小转化为平面BC1D1A与平面AD1C所成角的大小，可判断选项C；判断得点M的轨迹是平面A1B1C1D1与线段DC1的垂直平分线所在平面的交线，即可判断选项D．本题考查立体几何中的体积、角度及距离的求法，在空间几何体中，一般关于体积计算一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算底面积与点到底面的距离，代入体积公式计算；二是可以通过等体积法，通过换底换高求解．13.【答案】√41【解析】解：∵2+i 为一元二次方程x 2+ax +b =0(a,b ∈R)的一个根， ∴2−i 为一元二次方程x 2+ax +b =0(a,b ∈R)的另一个根， 则{(2+i)+(2−i)=−a (2+i)(2−i)=b ，解得a =−4，b =5． ∴|a +bi|=|−4+5i|=√(−4)2+52=√41． 故答案为：√41．由已知利用根与系数的关系列式求解a 与b 的值，再由复数模的计算公式求解． 本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理，考查根与系数关系的应用，考查复数模的求法，是基础题．14.【答案】27【解析】解：∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ(2AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵三点M ，N ，P 共线． ∴2λ+32λ=1， ∴λ=27，故答案为：27．根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题．15.【答案】30°或150°【解析】解：∵△ABC 中，AB =2，AC =3，且△ABC 的面积为32， ∴12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =32，即12×2×3sin∠BAC =32，整理得：sin∠BAC=12，则∠BAC=30°或150°，故答案为：30°或150°利用三角形面积公式列出关系式，把AB，AC，以及已知面积代入求出sin∠BAC的值，即可确定出∠BAC度数．此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握面积公式是解本题的关键．16.【答案】√3+2√2+2√5【解析】解：如图，取AF的中点G，分别在CC1，BC上取点H，M，使HC1=14CC1，BM=14BC，连接EG，GH，HM，EM.又F，G分别是AA1，AF的中点，∴FG=14AA1.又AA1//CC1，AA1=CC1，∴FG//HC1，FG=HC1，∴四边形FGHC1为平行四边形，∴GH//FC1，GH=FC1，∴GH//平面BFC1．∵HC1=14CC1，BM=14BC，∴MH//BC1，MH=34BC1，∴MH//平面BFC1.又MH∩GH=H，∴平面EGHM//平面BFC1．又AA1⊥平面ABC，AC=BC=2，E，F分别是AB，AA1的中点，AC⊥BC，AA1=4，∴AB=2√2，AF=A1F=2，∴EG=12BF=12√AF2+AB2=√3，GH=FC1=√A1F2+A1C12=2√2，HM=34BC1=34√BB12+B1C12=32√5．在△BEM中，BM=14BC=12，BE=√2，∠EBM=45°，∴EM2=BM2+BE2−2BM⋅BEcos45°=14+2−2×12×√2×√22=54，∴EM=√52，∴平面EGHM的周长为EG+GH+HM+EM=√3+2√2+32√5+√52=√3+2√2+2√5，即所求的截面周长为√3+2√2+2√5．故答案为：√3+2√2+2√5．取AF 的中点G ，分别在CC 1，BC 上取点H ，M ，使HC 1=14CC 1，BM =14BC ，连接EG ，GH ，HM ，EM.推导出四边形FGHC 1为平行四边形，GH//平面BFC 1.平面EGHM//平面BFC 1.由此能求出所求的截面周长．考查面面平行的判定定理等基础知识，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，是中档题．17.【答案】解：(1)由z 为纯虚数得{m 2−5m +6=0m 2−8m +15≠0，解得m =2；(2)复数z −8i =(m 2−5m +6)+(m 2−8m +7)i ， ∵复数z −8i 位于第四象限，∴{m 2−5m +6>0m 2−8m +7<0，解得1<m <2或3<m <7． 故m 的取值范围为(1,2)∪(3,7)．【解析】(1)由实部为0且虚部不为0列式求解m 值；(2)化简z −8i ，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．18.【答案】解：(1)∵向量a ⃗ +k b ⃗ 与k a ⃗ +2b ⃗ 的方向相反，∴存在实数λ<0，使a ⃗ +k b ⃗ =λ(k a ⃗ +2b ⃗ )，且a ⃗ ,b ⃗ 不共线， ∴{kλ=1k =2λ，解得λ=−√22或λ=√22(舍去)，∴k =−√2；(2)∵a ⃗ ⋅b ⃗ =1,a ⃗ 2=1,b ⃗ 2=4，∴|2a ⃗ +b ⃗ |=√4a ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√4+4+4=2√3，|a ⃗ −b ⃗ |=√a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√1−2+4=√3，(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=2a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=2−1−4=−3，∴cosθ=(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b⃗ )|2a ⃗ +b ⃗ ||a ⃗ −b⃗ |=2√3×√3=−12，且θ∈[0,π]，∴θ=2π3．【解析】(1)根据题意即可得出，存在实数λ<0，使得a ⃗ +k b ⃗ =kλa ⃗ +2λb ⃗ ，然后根据平面向量基本定理得出{kλ=1k =2λ，然后解出λ，从而得出k 的值；(2)根据题意即可得出a⃗⋅b⃗ =1,a⃗2=1,b⃗ 2=4，然后即可求出|2a⃗+b⃗ |=2√3,|a⃗−b⃗ |=√3，(2a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cosθ的值，进而得出θ的值．本题考查了共线向量基本定理，平面向量基本定理，向量数乘的几何意义，向量的数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．19.【答案】解：f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−2√3=4sinxcosx+4√3sin2x−2√3=2sin2x−2√3cos2x=4sin(2x−π3)，…2分所以a=f(π3)=4sinπ3=2√3，…4分①若(2c+b)cosA+acosB=0，则由正弦定理可得：2sinCcosA+sinBcosA+ sinAcosB=0，即2sinCcosA+sin(B+A)=2sinCcosA+sinC=0，因为C为三角形内角，sinC>0，可得cosA=−12，因为A∈(0,π)，可得A=2π3．②若sin2B+sin2C−sin2A+sinBsinC=0，由正弦定理可得：b2+c2−a2+bc=0，由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc =−12，因为A∈(0,π)，可得A=2π3．③若a2−b2−c2=4√33S，则b2+c2−a2=−4√33S=−4√33×12bcsinA=−2√33bcsinA，所以cosA=b2+c2−a22bc =−√33sinA，可得tanA=−√3，因为A∈(0,π)，可得A=2π3…7分由正弦定理可得bsinB =csinC=asinA=√3√32=4，所以b=4sinB，c=4sinC，因为B+C=π3，所以C=π3−B，…8分所以2b+c=8sinB+4sin(π3−B)=8sinB+4(√32cosB−12sinB)=6sinB+2√3cosB=4√3sin(B+π6)，…9分因为0<B<π3，所以π6<B+π6<π2，12<sin(B+π6)<1，所以2√3<4√3sin(B+π6)<4√3，即2b+c的取值范围为(2√3,4√3)…12分【解析】利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f(x)=4sin(2x−π3)，由已知可求a的值，若选①由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cosA=−12，结合范围A∈(0,π)，可得A=2π3.若选②由正弦定理，余弦定理可得cosA=−12，结合范围A ∈(0,π)，可得A =2π3.若选③利用余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求tanA =−√3，结合范围A ∈(0,π)，可得A =2π3，进而根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求2b +c =4√3sin(B +π6)，由0<B <π3，可求范围π6<B +π6<π2，进而根据正弦函数的性质可求其取值范围．本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.【答案】解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A ，记“甲队总得分为1分”为事件B ，甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P(A)=23×23×23=827， 甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，其概率为P(B)=23×(1−23)×(1−23)+(1−23)×23×(1−23)+(1−23)×(1−23)×23=29．∴甲队总得分为3分与1分的概率分别为827，29．(2)记“甲队得分为2分”为事件C ，记“乙队得分为1分”为事件D ， 事件C 即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，则P(C)=23×23×(1−23)+23×(1−23)×23+(1−23)×23×23=49， 事件D 即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，则P(D)=12×(1−23)×(1−34)+(1−12)×23×(1−34)+(1−12)×(1−23)×34=14， 由题意得事件C 与事件D 相互独立，∴甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率： P(CD)=P(C)P(D)=49×14=19．【解析】(1)记“甲队总得分为3分”为事件A ，记“甲队总得分为1分”为事件B ，甲队得3分，即三人都回答正确，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分与1分的概率． (2)记“甲队得分为2分”为事件C ，记“乙队得分为1分”为事件D ，事件C 即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，由题意得事件C与事件D相互独立，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】解：(1)证明：∵PA⊥AB，PA⊥BC，∴PA⊥面ABC，又∵BD⊂面ABC，∴PA⊥BD，又AB=BC=2，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥面PAC，又∵BD⊂面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC；(2)∵PA//平面BDE，平面PAC∩平面BDE=ED，∴ED//PA，∵D为AC中点，∴E为PC中点，∴V P−BDE=V A−BDE=V E−ABD=12V E−ABC=14V P−ABC=14×13S△ABC×AP=14×13×12×2×2×2=13．故三棱锥P−BDE的体积为13．【解析】(1)通过去证BD与PA，AC垂直，证得BD垂直平面PAC，进而得面面垂直；(2)先证E为中点，然后通过顶点转换把P−BDE的体积转化为P−ABC体积的四分之一即可得解．此题考查了线面垂直，面面垂直，线面平行，转化法求锥体体积，难度适中．22.【答案】解：(1)由(0.0025+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025)×20= 1，解得a=0.005．(2)(i)∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5，∴三科总分成绩的中位数在[220,240)内，设中位数为x，则(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(x−220)=0.5，解得x=224，即中位数为224．(ii)三科总分成绩的平均数为：170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6．(3)三科总分成绩在[220,240)，[260,280)两组内的学生分别为25人，10人，∴抽样比为725+10=15，∴三科总分成绩在[220,240)，[260,280)两组内抽取的学生数量分别为：25×15=5人，10×15=2人，设事件A表示“抽取的这2名学生来自不同组”，从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，基本事件总数n=C72=21，事件A包含的基本事件个数m=C51C21=10，∴抽取的这2名学生来自不同组的概率P(A)=mn =1021．【解析】(1)由频率分布直方图能求出a．(2)(i)由频率分布直方图能求出中位数．(ii)由频率分布直方图能求出三科总分成绩的平均数．(3)先求出抽样比为15，再求出三科总分成绩在[220,240)，[260,280)两组内抽取的学生数量分别为5人，2人，设事件A表示“抽取的这2名学生来自不同组”，基本事件总数n=C72=21，事件A包含的基本事件个数m=C51C21=10，由此能求出抽取的这2名学生来自不同组的概率．本题考查频率、中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．第21页，共21页。
2020-2021学年安徽省合肥八中高一(下)期末数学复习试卷(3)(附答案详解)
2020-2021学年安徽省合肥八中高一（下）期末数学复习试卷（3）一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）1. (2021·安徽省池州市·模拟题)已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2|b ⃗ |，且(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62. (2021·单元测试)在△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 16AB ⃗⃗⃗⃗⃗+56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 56AB ⃗⃗⃗⃗⃗+16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +45AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 3. (2020·全国·期中考试)在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若c <bcosA,则△ABC 为( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 不确定4. (2021·江苏省宿迁市·月考试卷)如图，四边形ABCD 中，∠B =∠C =120°，AB =4，BC =CD =2，则该四边形的面积等于( )A. √3B. 5√3C. 6√3D. 7√35. (2020·青海省西宁市·期中考试)已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，A =2π3，b =1，S △ABC =√3，则a+b−2csinA+sinB−2sinC =( ) A. 2√393B. √393C. 2√7D. 4√76. (2020·青海省西宁市·期中考试)一艘客船上午9：30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°方向上，之后它以每小时32nmile 的速度沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，测得船与灯塔S 相距8√2nmile ，则此时灯塔S 在客船的( )A. 北偏东75°方向上B. 南偏东15°方向上C. 北偏东75°或南偏东15°方向上D. 以上方位都不对二、多选题（本大题共2小题，共14.0分）7. (2021·安徽省合肥市·期末考试)a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知bsinA =(3b −c)sinB ，且cosA =13，则( )A. a +c =3bB. tanA =2√2C. △ABC 的周长为4cD. △ABC 的面积为2√29c 28. (2021·安徽省合肥市·期末考试)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是( )A. 若sinA <cosB ，则△ABC 为钝角三角形B. 存在△ABC 满足cosA +cosB ≤0C. c =acosB +bcosAD. 若(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，则△ABC 为等边三角形 三、单空题（本大题共4小题，共24.0分）9. (2020·青海省西宁市·期中考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若a 2+c 2−b 2=√3ac ，则角B 的值是______．10. (2021·安徽省合肥市·月考试卷)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若满足A =π4，b =3的△ABC 有且仅有一个，则边a 的取值范围是______ ． 11. (2021·安徽省合肥市·期末考试)在锐角△ABC 中，A =2B ，则BCAC 的取值范围是______ ．12. (2021·湖北省黄冈市·月考试卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b −c =2，cosA =−14，S △ABC =3√15，则△ABC 周长的值为______ ． 四、解答题（本大题共2小题，共32.0分）13. (2021·安徽省合肥市·期末考试)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA =√3acosB ． (1)求角B 的大小．(2)若b =3，sinC =2sinA ，求a ，c 的值及△ABC 的周长．14. (2021·安徽省合肥市·期末考试)在①√3b =a(sinC +√3cosC)；②2acosA =bcosC +ccosB ，③acosC +12c =b ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知_______．(1)求角A；(2)设△ABC的面积为S，若a=√3，求面积S的最大值．答案和解析1.【答案】B【知识点】向量的数量积与向量的垂直关系、利用向量的数量积求向量的夹角 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属于基础题．由(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，可得(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =0，进一步得到|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >−b ⃗ 2=0，然后求出夹角即可． 【解答】解：∵(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，∴(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >−b ⃗ 2=0， ∴cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b⃗ |2|a ⃗ ||b⃗ |=12，∵<a ⃗ ,b ⃗ >∈[0,π]，∴<a ⃗ ,b ⃗ >=π3，故选B ．2.【答案】A【知识点】平面向量的基本定理及其应用 【解析】解：∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ， 即6AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：A ．根据平面向量基本定理，结合向量运算法则进行化简即可．本题主要考查向量的基本定理的应用，结合向量的运算法则是解决本题的关键，是基础题．【知识点】两角和与差的三角函数公式、正弦定理【解析】【分析】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与两角和的正弦，属于中档题．依题意，可得sinC<sinBcosA，利用两角和的正弦整理得sinAcosB<0，从而可判断B 为钝角．【解答】解：在△ABC中，∵c<bcosA，∴sinC<sinBcosA，即sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA<sinBcosA，∴sinAcosB<0，sinA>0，∴cosB<0，B为钝角，∴△ABC为钝角三角形，故选：A．4.【答案】B【知识点】三角形面积公式、余弦定理【解析】解：连接BD，在△BCD中，BC=CD=2，∠BCD=120°，∴∠CBD=30°，BD=2√3，S△BCD=12×2×2×sin120°=√3．在△ABD中，∠ABD=120°−30°=90°，AB=4，BD=2√3，∴S△ABD=12AB⋅BD=12×4×2√3=4√3，∴四边形ABCD的面积是5√3．故选B连接BD，在△BCD中利用BC=CD，∠BCD=120°求得BD，进而利用三角形面积公式求得三角形BCD的面积．在△ABD中，依题意求得∠ABD=90°进而利用两直角边求得三角形的面积，最后相加即可．本题主要考查了解三角形问题．考查了三角函数基础知识的综合应用．【知识点】正弦定理【解析】解：∵A=2π3，b=1，S△ABC=√3=12bcsinA=12×1×c×√32，∴可得：c=4，∴由余弦定理可得：a=√b2+c2−2bccosA=√1+16−2×1×4×(−12)=√21，∵由正弦定理可得：a sinA=b sinB=c sinC=√21√32=2√7，∴a+b−2csinA+sinB−2sinC =2√7(sinA+sinB−2sinC)sinA+sinB−2sinC=2√7．故选：C．由已知利用三角形的面积公式可求c的值，利用余弦定理可求a的值，利用正弦定理化简已知即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.【答案】C【知识点】解三角形的实际应用【解析】解：在△ABS中，已知∠BAS=30°，且边BS=8√2nmile，AB=32×12=16nmile；利用正弦定理可得：ABsin∠ASB =BSsin∠BAS，16 sin∠ASB =8√2sin30°，sin∠ASB=√22，所以∠ASB=45°或135°，所以灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°，如图所示．故选：C．由题意及图形在△ABS中，∠BAS=30°，AB=16，BS=8√2，利用正弦定理求得∠ASB 的值，即可得出正确的结论．本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．7.【答案】ABD【知识点】正弦定理【解析】解：因为bsinA=(3b−c)sinB，所以由正弦定理可得ab=(3b−c)b，可得a=3b−c，即a+c=3b，故A正确；又因为cosA=13，所以tanA=√1cos2A −1=√1(13)2−1=2√2，故B正确；可得△ABC的周长a+b+c=3b+b=4b≠4c，可得sinA=2A=2√23，根据余弦定理(3b−c)2=b2+c2−2bccosA，整理解得b=23c，△ABC的面积S=12bcsinA=12×c×23c×2√23=2√29c2．故选：ABD．由正弦定理化简已知等式可得a+c=3b，即可判断A；由cosA=13，利用同角三角函数基本关系式可求tan A的值，即可判断B；根据余弦定理整理解得b=23c，可得△ABC的周长a+b+c=3b+b=4b≠4c，即可判断C；利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，利用三角形的面积公式即可判断D ． 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．8.【答案】ACD【知识点】正弦定理【解析】解：对于A ，由题意得B 一定为锐角，A 显然不为直角， 当A 为锐角时，则sinA <cosB ⇒sinA <sin(π2−B)⇒A <π2−B ⇒A +B <π2⇒C >π2，⇒△ABC 为钝角三角形，当A 为钝角时，sinA <cosB ⇒cos(A −π2)<cosB ⇒A −π2>B ⇒A >B +π2⇒A >π2⇒△ABC 为钝角三角形，A 正确；对于B ，由0<A <π−B <π，可得cosA >cos(π−B)=−cosB ， 恒有cosA +cosB >0，故B 不正确；对于C ，因为sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA ，由正弦定理可得c =acosB +bcosA ，故C 正确；对于D ，∵若(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |分别为单位向量， ∴∠A 的角平分线与BC 垂直， ∴AB =AC ，∵cosA =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12， ∴∠A =π3，∴∠B =∠C =∠A =π3，∴三角形为等边三角形，故D 正确． 故选：ACD ．结合三角函数关系即可检验A ；由余弦函数的单调性可判断B ；对于C ，利用两角和的正弦函数公式，正弦定理即可求解；对于D ，先根据已知等式判断出∠A 的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得A ，进而判断出三角形的形状．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，向量的数量积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．9.【答案】π6【知识点】余弦定理【解析】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若a 2+c 2−b 2=√3ac ， 由余弦定理可知cosB =a 2+c 2−b 22ac=√32，因为B 是三角形内角，所以B =π6．故答案为：π6．直接利用余弦定理求出B 的余弦值，推出B 的值即可． 本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查．10.【答案】{a|a ≥3或a =3√22}【知识点】正弦定理【解析】解：过C 作AB 边上的高ℎ=bsinA =3×√22=3√22， 若满足A =π4，b =3的△ABC 有且仅有一个， 则a =ℎ=3√22或a ≥b ，所以a ≥3或a =3√22， 即实数a 的取值范围是{a|a ≥3或a =3√22}， 故答案为：{a|a ≥3或a =3√22}. 求出三角形底边AC 上的高h ，结合三角形的性质建立条件关系即可．本题考查了正弦定理的应用，考查了数形结合思想，是中档题．11.【答案】(√2,√3)【知识点】正弦定理【解析】解：∵在锐角△ABC 中A =2B ， ∴由正弦定理可得：BCAC =sinAsinB =sin2B sinB=2sinBcosB sinB=2cosB ，∵A +B +C =π，∴C +3B =π，即C =π−3B ，由锐角三角形可得0<π−3B <π2，且0<2B <π2，∴解得π6<B <π4，故√22<cosB <√32，∴√2<2cosB<√3，故答案为：(√2,√3).由题意和正弦定理可得BCAC=2cosB，由锐角三角形可得B的范围，由余弦函数值域和不等式可得．本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，由已知三角形得出B的范围是解决问题的关键，属基础题．12.【答案】18【知识点】正弦定理【解析】解：由题意得，S△ABC=12bcsinA=12bcsinA=12bc√154=3√15，∴bc=24．由b−c=2，bc=24，解得，b=6，c=4或b=−4，c=−6(舍)，∴a2=b2+c2−2bccosA=36+16−2×6×4×(−14)=64．∴a=8，∴△ABC周长为18．故答案为：18．由已知结合三角形的面积公式可求bc，结合已知可求b，c，再利用余弦定理即可求解．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．13.【答案】解：(1)bsinA=√3acosB，由正弦定理可得sinBsinA=√3sinAcosB，∵0<A<π，∴sinA≠0，∴tanB=√3，∵0<B<π，∴B=π3．(2)∵sinC=2sinA，由正弦定理得c=2a，又由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac⋅cosB，又∵b=3，B=π3，∴9=a2+4a2−2a⋅2a⋅cosπ3，解得a=√3，c=2√3，∴△ABC的周长为a+b+c=3+3√3．【知识点】正弦定理【解析】(1)根据已知条件，运用正弦定理，即可求解，(2)由于sinC=2sinA，由正弦定理得c=2a，结合余弦定理、以及三角形面积公式，本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．14.【答案】解：(1)若选条件①，∵√3b=a(sinC+√3cosC)，∴由正弦定理得√3sinB=sinA(sinC+√3cosC)，∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴√3(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC+√3sinAcosC，即√3cosAsinC=sinAsinC，∵sinC≠0，∴tanA=√3，∵0<A<π，∴A=π；3若选条件②，∵2acosA=bcosC+ccosB，∴由正弦定理得2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，即2sinAcosA=sin(B+C)=sinA，即cosA=1，2∵0<A<π，∴A=π；3c=b，若选条件③，∵acosC+12∴由正弦定理得sinC=sinB，sinAcosC+12∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，sinC=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+12sinC，即cosAsinC=12∵sinC≠0，∴cosA=1，2第11页，共12页∵0<A<π，∴A=π3；所以不管选择哪个条件，A=π3．(2)a2=b2+c2−2bccosA，又∵a=√3,A=π3，即b2+c2−bc=3，∵b2+c2≥2bc，∴2bc−bc≤3，即bc≤3，当b=c时等号成立．∴bc的最大值为3，∵S△ABC=12bcsinA，∴面积S的最大值为12×3×√32=3√34．【知识点】两角和与差的三角函数公式、正弦定理【解析】(1)首先任选择一个条件，然后根据正弦定理进行边角互化，再根据三角恒等变换，化简求值．(2)由(1)得A=π3，利用余弦定理和基本不等式求bc的最大值，再求面积的最大值．本题为开放性问题，利用正弦定理解三角形，同时根据均值不等式求面积的最值问题．第12页，共12页。
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合肥八中
2009—2010学年度高一第二学期期终考试
数 学 试 题
考试说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），试题分值:100分，考试时间:100分钟。
2．所有答案均要答在答题卷上．．．．．．．．．．．．，否则无效．．．．。
考试结束后只交答题卷．．．．．．．．．．。
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分。
每小题只有一个选项符合题意。
请把正确答案填在答
题卷的答题栏内）
1．若b a 、是任意实数，且d c b a >>,，则 （ ）
A ．b a 22>
B ．c b d
a ->-
C ．22d c <
D ．bd ac
>
2．已知4,,,121a a 成等差数列，4,,22
b b 成等比数列，则=-a a b
1
2
（ ）
A ．2
B ．2±
C ．2±
D ．20或
3．三鹿婴幼儿奶粉事件发生后，质检总局紧急开展了关于液态奶三聚氰胺的专项检查。
假设蒙牛，伊利，光
明三家公司生产的某批次液态奶分别是 2400箱，3600 箱和4000箱，现分层随机抽取500箱进行检验，则蒙牛、光明这两家公司生产的液态奶被抽取箱数之和为
（ ）
A ．300
B ．380
C ．320
D ．500 4．一枚硬币连掷3次，恰有两次正面朝上的概率是 （ ）
A ．4
1
B ．3
2
C ．2
1
D ．8
3
5．在ABC ∆中，,16,600==AC A 面积,3220=S 则BC 的长为 （ ） A ．75 B ．51 C ．49
D ．320
6．右图中，程序框图的循环体执行的次数是 （ ） A ．100
B ．99
C ．98
D ．97
7．读算法，完成该题：第一步，李同学拿出一正方体；第二步，
把正方体表面全涂上红色；第三步，将该正方体切割成27个
全等的小正方体；第四步，将这些小正方体放到一箱子里， 搅拌均匀；第五步，从箱子里随机取一个小正方体。
问：取 到的小正方体恰有三个面为红色的概率是 （ ） A ．276
B ．
278 C ．
27
12 D ．27
24 8．在ABC ∆中，角C 、、B A 所对的边分别为c b a 、、，已知3,60C 0==c ，求使得ab 取得最大值时的该
三角形面积为
（ ）
A ．21
B ．
2
3 C ．4
1
D ．
4
33 9．已知},0,0,6|),{(≥≥≤+=Ωy x y x y x ,4|),{(≤=x y x A }02,0≥-≥y x y ，若向区域Ω内随
机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为 （ ）
A ．31
B ．3
2
C ．91
D ．9
2
10．设
N n n S n *
∈++++=,321 ，则S n S n f n n
1
)32()(++=
的最大值．为（ ）
A ．
50
1 B ．40
1
C ．
D ．20
1
第II 卷（非选择题 共70分）
二、填空题 （本题包括5小题，每小题4分，共20分。
请把正确答案写在答题卷上） 11．一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别为36和18.0，则=n _____．
12．若⎪⎩
⎪⎨
⎧≥+≤≤222
y x y x ，则目标函数y x z 2+=的取值范围是_______________．
13．设a 是甲随机抛掷一枚骰子得到的点数，则使方程2
20x ax ++=有两个不相等的实数根的概率为
_______．
14、若10a +>,则不等式221
x x a
x x --≥-的解集为________________．
15．已知数列}{a n 的前n 项和)(3
11n
n S -=，把
数列}{a n 的各项排成三角形形状如下：记第
m 行第n 列上排的数为),(n m A ，则
=)8,10(A _____________．
三、解答题（本题包括5小题，共50分。
请把解题过程和正确答案写在答题卷上）
16．（满分9分）如图，已知梯形ABCD 中，19,2==AC CD ,600=∠BAD 。
求梯形的高．
17．（满分10分）用自然语言设计一种计算642⨯⨯
18．（满分9分）盒子中有大小形状相同的4只红球、2只黑球，每个球被摸到的机会均等，求下列事件的概率：
（1）A=“任取一球，得到红球”； （2）B=“任取两球，得到同色球”； （3）C=“任取三球，至多含一黑球”。
19
请在坐标系中画出甲、乙两同学的成绩折线图，并从以下不同角度对这次测试结果进行分析。
（1）从平均数和方差相结合看,分析谁的成绩更稳定些； （2）从平均数和中位数相结合看,分析谁的成绩好些；
（3）从平均数和成绩为90分以上的次数相结合看,分析谁的成绩好些 ； （4
20．（满分10分）已知数列
}{a n ,6
51=
a ,若以
a a a a n
,,,,321 为系数的二次方程
012
1=+⋅-⋅-x a x a n n 都有根βα、，且满足133=+-βαβα。
（1）求数列}{a n 通项公式； （2）求数列}{a n 前n 项和S n ．
参考答案
一、选择题（3分×10＝30分） 1—5：BACDC
6—10：BBDDA 二、填空题 （3分×4＝12分） 11． 200
12．[]2,6
13．
23
14．(](),1,a -∞-⋃+∞
15．52
532133a ⎛⎫
=⋅ ⎪⎝⎭
三、解答题（满分58分）
16．解：在三角形ACD 中，由余弦定理易得AD=3，从而作高h 得，sin6003h =,得h=2
33 17．解：算法：第一步，令1,2==S i ．第二步，计算
1,+=+=i i i S S ．第三步，判断88>i 是否成立，
若不成立，则返回第二步；否则，输出S ．程序框图（右图）：
18．解：（1）P （A ）=
23;（2）P （B ）= 715;（3）P （C ）= 4
5。
19．解：（1）因为平均数相同，且S S 2
2
乙甲<，所以甲比乙优，因为
甲稳定些。
（2）因为平均数相同，甲的中位数<乙的中位数，所以乙的成绩比
甲好。
（3）因为平均数相同，且乙命中9环以上次数比甲多，所以乙的成
绩好。
（4）甲的成绩在平均线上波动；而乙处于上升趋势，从第四次以后
就没有比甲少的情况发生，所以说乙有较大潜力
20．解：（1）
2
1
31+
=⎪⎭
⎫
⎝⎛n
n a ；（2）312123-⨯-+=n n n S 。