勾股定理的发现和证明
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勾股定理的发现与证明
我们的猜想
• 活动家------观察与思考:
右边这张邮票是希腊政府于1955年发行的。它是用来纪 念古希腊历史上一位对数学做出了杰出贡献的数学家：毕 达哥拉斯。这张邮票就是根据他发现的定理而设计的。他 究竟发现了什么？你想知道吗？
• 结论:
两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积。
即： 3
2
42 52
我们的猜想
• 活动2----动手与操作: （1）在方格纸上任画一个顶点都在格点的直角三角形和一个 一般三角形，并且分别以这个直角三角形和一般三角形 的各边向外作正方形。通过计算以各边为边的正方形的 面积。你发现了什么？
我们的猜想
• 活动2----动手与操作: （2）你对直角三角形的三边之间的数量关系的什么猜想？ 这个关系在锐角三角形与钝角三角形中也成立吗？ （3）通过上述操作,你能得出什么结论? 我们通过上述两个活动，经过大家的努力，我们发现：
美国总统枷菲尔德的证法
美国总统枷菲尔德有一天外出散步，遇到两个伏在石板上冥思苦 想的男孩，总统上前问他们遇到了什么麻烦？一男孩说：“先生，您 知道怎样证明勾股定理吗？”总统一时语塞，无法解释，于是匆忙回 家研究，得出了拼直角梯形证明勾股定理的方法。其证法如下： 用两个全等有直角三角形拼成一个如右图所示的图形。 则有：
2 2
即： a 2 b2 c2
Байду номын сангаас 练笔小天地
• 1、根据右图中数据，计算图中x的值。
练笔小天地
• 如图，在等腰ΔABC中，已知AB=AC=13厘 米，BC=10厘米,你能算出ΔABC的面积吗？
数学史话：勾股定理的发现
早在公元前11世纪的西周初期，数学 家商高曾与辅佐周成王的周公谈到直角三 角形具有这样的一个性质：如果直角三角 形的两个直角边分别为3和4，则这个直角 三角形的斜边为5。利用商高的方法，很容 易得到更一般的结论：在直角三角形中， 两条直角边的平方和等于斜边的平方。这 就是勾股定理或商高定理，西方称之为毕 达哥拉斯定理。
我们的证明
• 通过大家动手拼图得出了两种证明方法：
证法1：由左图可知：
1 (a b) c 4 ab 2
2 2
即： a 2 b2 c 2
我们的证明
• 通过大家动手拼图得出了两种证明方法：
证法2： 比较图（1）、图（2）两正方形， 则有：
1 1 a b 4 ab 4 ab c 2 2 2
直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平方和.
我们的发现
经过我们小组成员的活动,发现了直角三角形 三边之间的关系,也就是勾股定理。
我们的证明
• 1、请你拿出准备好的八个边长为a、b、c的直角三角 • 形（全等）和边长分别为a、b、c的三个正方形 。 • 2、用这八个直角三角形和三个正方形拼一拼，摆一 • 摆，你能得到两个正方形吗？ • 3、你能用所拼的图证明勾股定理吗？你是怎 样思考的？与同伴交流。
勾股定理的其它证明方法
• 勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法 最多的一个定理。 两千多年来，人们对勾股定理的证明颇 感兴趣,因为这个定理太贴近人们的生活实际。以至于古往 今来，上至帝王总统，下至黎民百姓都愿意探讨、研究它 的证明，因此不断出现新的证法。这些方法不仅证出了定 理，而且丰富了研究数学问题的方法和手段。我国古代的 学者们，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使 用了许多巧妙的方法证明了它。我们在网上查资料，找到 了其它一些证明勾股定理的方法。如：美国总统枷菲尔德 的证法、我国古代吴国数学家赵爽的证法、 欧几里得证法 等。
我们的猜想
• 活动家------观察与思考:
右边这张邮票是希腊政府于1955年发行的。它是用来纪 念古希腊历史上一位对数学做出了杰出贡献的数学家：毕 达哥拉斯。这张邮票就是根据他发现的定理而设计的。他 究竟发现了什么？你想知道吗？
• 结论:
两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积。
即： 3
2
42 52
我们的猜想
• 活动2----动手与操作: （1）在方格纸上任画一个顶点都在格点的直角三角形和一个 一般三角形，并且分别以这个直角三角形和一般三角形 的各边向外作正方形。通过计算以各边为边的正方形的 面积。你发现了什么？
我们的猜想
• 活动2----动手与操作: （2）你对直角三角形的三边之间的数量关系的什么猜想？ 这个关系在锐角三角形与钝角三角形中也成立吗？ （3）通过上述操作,你能得出什么结论? 我们通过上述两个活动，经过大家的努力，我们发现：
美国总统枷菲尔德的证法
美国总统枷菲尔德有一天外出散步，遇到两个伏在石板上冥思苦 想的男孩，总统上前问他们遇到了什么麻烦？一男孩说：“先生，您 知道怎样证明勾股定理吗？”总统一时语塞，无法解释，于是匆忙回 家研究，得出了拼直角梯形证明勾股定理的方法。其证法如下： 用两个全等有直角三角形拼成一个如右图所示的图形。 则有：
2 2
即： a 2 b2 c2
Байду номын сангаас 练笔小天地
• 1、根据右图中数据，计算图中x的值。
练笔小天地
• 如图，在等腰ΔABC中，已知AB=AC=13厘 米，BC=10厘米,你能算出ΔABC的面积吗？
数学史话：勾股定理的发现
早在公元前11世纪的西周初期，数学 家商高曾与辅佐周成王的周公谈到直角三 角形具有这样的一个性质：如果直角三角 形的两个直角边分别为3和4，则这个直角 三角形的斜边为5。利用商高的方法，很容 易得到更一般的结论：在直角三角形中， 两条直角边的平方和等于斜边的平方。这 就是勾股定理或商高定理，西方称之为毕 达哥拉斯定理。
我们的证明
• 通过大家动手拼图得出了两种证明方法：
证法1：由左图可知：
1 (a b) c 4 ab 2
2 2
即： a 2 b2 c 2
我们的证明
• 通过大家动手拼图得出了两种证明方法：
证法2： 比较图（1）、图（2）两正方形， 则有：
1 1 a b 4 ab 4 ab c 2 2 2
直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平方和.
我们的发现
经过我们小组成员的活动,发现了直角三角形 三边之间的关系,也就是勾股定理。
我们的证明
• 1、请你拿出准备好的八个边长为a、b、c的直角三角 • 形（全等）和边长分别为a、b、c的三个正方形 。 • 2、用这八个直角三角形和三个正方形拼一拼，摆一 • 摆，你能得到两个正方形吗？ • 3、你能用所拼的图证明勾股定理吗？你是怎 样思考的？与同伴交流。
勾股定理的其它证明方法
• 勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法 最多的一个定理。 两千多年来，人们对勾股定理的证明颇 感兴趣,因为这个定理太贴近人们的生活实际。以至于古往 今来，上至帝王总统，下至黎民百姓都愿意探讨、研究它 的证明，因此不断出现新的证法。这些方法不仅证出了定 理，而且丰富了研究数学问题的方法和手段。我国古代的 学者们，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使 用了许多巧妙的方法证明了它。我们在网上查资料，找到 了其它一些证明勾股定理的方法。如：美国总统枷菲尔德 的证法、我国古代吴国数学家赵爽的证法、 欧几里得证法 等。