第1章命题逻辑讲课教案

表 1.1.3 ∨ 的 定 义 PQP∨ Q
00 0 01 1 10 1 11 1
由定义可知，析取联结词表示“可兼或”， “不可兼或”（排斥或）另有别的联结词定义之。
例：今晚我在家看电视或者去电影院看电影 （排斥或）。
例 ： 它 可 能 是 100 米 或 者 200 米 短 跑 的 冠 军 （可兼或）。
在日常生活中，用条件式表示前提和 结论之间的因果或实质关系。
如：如果某动物为哺乳动物，则它必 为胎生。这种条件式称为形式条件命题。
然而在命题逻辑中，一个条件式的前 提并不要求与结论有任何关系，这种条件 式称为实质条件命题。
如：如果雪是黑的，那末太阳从西方 出来。
采用实质条件式作定义，不单是出于 “善意推断”，主要是因为前提与结论间 有无因果和实质关系难以区分，而且实质 条件式已包含了形式条件式，更便于应用。
高等学校21世纪教材
上海大学理学院
离散数学既是现代数学的一个重要分支，又是 计算机科学中基础理论方面的核心内容。离散数学 是以离散量的结构和相互之间的关系为主要研究目 标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素。
离散数学是随着计算机科学的发展而逐步建立 的，它形成于20世纪70年代初，是一门新兴的工具 性学科。
定义1.1.3 设P和Q为两个命题，由命题 联结词∨把P和Q连接成P∨Q，称P∨Q为 命题P和Q的析取式复合命题，P∨Q读做 “P或Q”。称∨为析取联结词。
当 且 仅 当 P 和 Q 的 真 值 同 为 假 ， P∨Q 的真值为假；否则，P∨Q的真值为真。析 取联结词∨的定义由表1.1.3表示之。
定义1.1.5 令P、Q是两个命题，由命题联结词 把P和Q连接成P Q，称P Q为命题P和Q的双 条件式复合命题，简称双条件命题，P Q读做“P 当且仅当Q”，或“P等价Q”。称为双条件联结词。
当P和Q的真值相同时，P Q的真值为真；否 则，P Q的真值为假。
双条件联结词的定义由表1.1.5表示之。
与合取联结词一样，使用析取联结词时，也 不要求两命题间一定有某种关系.
例：P: 我们去看电影; Q: 房间里有小偷。
定义1.1.4 设P和Q为两个命题，由命题联 结词→把P和Q连接成P→Q，称P→Q为命题P和 Q的条件式复合命题，简称条件命题。P→Q读做 “P条件Q”或者“若P则Q”。称→为条件联结词。
第一章 命题逻辑
命题逻辑，也称命题演算，记为Ls。它 与谓词逻辑构成数理逻辑的基础，而命题逻 辑又是谓词逻辑的基础。数理逻辑是用数学 方法即通过引入表意符号研究推理的学问。 因此，数理逻辑又名为符号逻辑。
命题逻辑是研究由命题为基本单位构成 的前提和结论之间的可推导关系。
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1.1 命题与联结词
1. 雪是黑的。（ √ ） 2. 别的星球上有生命。（能区分真假√ ） 3. 1+101=110（看进制,需要前提条件才能判断） 4. 天气真好！（） 5. 全体立正！（） 6. 明天有雨吗？（） 7. 我正在说谎。（悖论） 8. 我学英语或者我学日语。（√） 9. 如果天气好，那么我去散步。(√)
离散数学与计算机科学中的数据结构、操作系 统、编译理论、算法分析、逻辑设计、系统结构、 容错诊断、机器证明等课程联系紧密。
包括的主要内容如下： 一、数理逻辑：命题逻辑（10学时）和谓词 逻辑（10学时） 。 二、集合论：集合与关系（10学时），函数 （4学时） 三、代数结构与布尔代数 四、图论（16学时） 五、应用：形式语言与自动机；纠错码初步。
当P的真值为真而Q的真值为假时，命题 P→Q的真值为假；否则，P→Q的真值为真。
条件联结词→的定义由表1.1.4表示之。
表 1 .1 .4 P QP → Q
001 011 100 111
在条件命题P→Q中，命题P称为P→Q 的前件或前提，命题Q称为P→Q的后件或 结论。条件命题P→Q
“如果P，那么Q”；“P仅当Q”；“Q 每当P”；“P是Q的充分条件”；“Q是P 的必要条件”等。
１.
所谓命题，是指具有非真必假的陈述句。而 疑问句、祈使句和感叹句等因都不能判断其真假， 故都不是命题。命题仅有两种可能的真值—真和 假，且二者只能居其一。真用1或T表示，假用0 或F表示。由于命题只有两种真值，所以称这种 逻辑为二值逻辑。命题的真值是具有客观性质的， 而不是由人的主观决定的。
几个实例：
当且仅当P和Q的真值同为真，命题P∧Q的 真值才为真；否则，P∧Q的真值为假。合取联结 词∧的定义由表1.1.2表示之。
表 1 .1 .2 ∧ 的 定 义 P Q P ∧ Q
000 010 100 111
例：P：今天下雨，Q：明天下雨。 P∧Q: 今天下雨而且明天下雨； P∧Q: 今天与明天下雨； P∧Q: 这两天都下雨； 例：A：我们去旅游，B: 四川地震。 A∧B: 我们去旅游与四川地震。 例： P：雪是黑的； Q：2+2=5; P∧Q: 雪是黑的且2+2=5。
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表 1 .1 .5 的 定 义
P Q P Q 001 010 100 111
lP是真当且仅当P为假；lP是假当且仅当P 为真。否定联结词“l”的定义可由表1.1.1表示之。
表 1.1.1 的定义 P P 10 01
由于否定”修改了命题，它是对单个命题进行操 作，称它为一元联结词。 例：P： 上海是一个大城市。
lP： 上海并不是一个大城市 lP ： 上海是一个不大的城市。
定义1.1.2 设P和Q为两个命题，由命题联 结词∧将P和Q连接成P∧Q，称P∧Q为命题P和Q 的合取式复合命题，P∧Q读做“P与Q”，或“P 且Q”。称∧为合取联结词。
如果一陈述句再也不能分解成更为简单的语 句，由它构成的命题称为原子命题。原子命题是
命题分为两类，第一类是原子命题，原子命
题用大写英文字母P，Q，R…及其带下标的Pi， Qi，Ri，…表示。称为命题的标识符。
第二类是复合命题，它由原子命题、命题联 结词和圆括号组成。
２. 命题联结词
定义1.1.1 设P表示一个命题，由命题联结 词l和命题P连接成lP，称lP为P的否定式复合命 题， lP读“非P”。称l为否定联结词。