高一数学平面与平面垂直的性质2

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高一数学教学课件人教A版必修二平面与平面垂直的性质

二、怎样证线线垂直：
1.利用平面几何中的定理：半圆上的圆周角是
直角、勾股定理的逆定理……
2.利用平移：a⊥b,b∥ca⊥c；
3.利用线面垂直定义：a⊥α,bαa⊥b；
4.利用三垂线定理或其逆定理（以后学）；
……
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2.面面垂直的判定定理：
一个平面过另一个平
面的垂线，则这两个平面垂直。

a

a a
探究
A1 A
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面面垂直的性质
D1
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α
F
B1
D
C1
D
E
B
C
β
如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？
规律小结
一、怎样证线线平行：
1.利用平面几何中的定理：三角形（或
梯形）的中位线与底边平行、平行四边形的对边平行、利用比例、…… 2.利用公理4； 3.利用线面平行的性质定理； 4.利用面面平行的性质定理； 5.利用线面垂直的性质定理；
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例 , a , a , 判断a与位置关系 α 解：设 l
在α内作直线b⊥l
b l a β l b b 又a a // b a // b bl
在γ内过A点作直线 a ⊥n，在γ内过A点作直线 b⊥m，
l β α
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a γ
m b A
n

高一数学必修2立体几何面面垂直的判定与性质

求证:平面A1C⊥平面B1D
E、F分别是AB、BC的中点，求证: 平面A1C1FE⊥平面B1D G是BB1的中点求证: 平面A1C1G⊥平面B1D
A1
D1 A D C
F
E Ｂ G G G G C1 B1
三、两个平面垂直的性质定理: 1.如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.
你发现了什么？
二、两个平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
符号: l
l
α
β l A
线面垂直，则面面垂直
线线垂直线面垂直来自面面垂直应用于生活
建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？
例1:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
面面垂直的判定与性质
淮北一中高一数学备课组
学习目标
1、掌握平面和平面垂直的定义； 2、掌握平面和平面垂直的判定定理；
3、掌握平面和平面垂直的性质定理； 4、掌握判定定理和性质定理的应用。
一、两个平面垂直的定义:
如果两个平面所成的二面角是直角 (即成直二面角)，就说这两个平面互相垂直．
观察生活
证明：过A点作AD⊥SB于D点. ∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC， ∴ AD⊥BC. 又∵ SA ⊥ 平面ABC， ∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A ∴BC ⊥ 平面SAB. ∴BC ⊥AB.
S
D A B C
【总结一下★成竹在胸】
为作辅助线提供了理论依据
三、两个平面垂直的性质定理:
2.如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．

高一数学面面垂直的性质2

符号表示：该命题正确吗？
b b

b
平面与平面垂直的性质定理
Ⅰ. 观察实验两个平面垂直,则一个平面观察两垂直平面中,一内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 个平面内的直线与另一个平面的有哪些位符号表示：置关系?
Ⅱ.概括结论 b b b
“同一法”
利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问证明：设α∩β＝c，过点P在平面α内题的情形下所采用的一种数学方法，作直线b⊥c，面面垂直的性质推论： ∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P∈a, 如果两个平面互相垂直，那么经过 ∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a应与直线b重合. 第一个平面内的一点垂直于第二个平面那么a α.

b
l
该命题正确吗？线面垂直
简述为： b l 面面垂直 b l
定理证明
一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN，AB在β内, AB⊥MN于点B，这时，直线AB⊥平面α 证明：在平面α内作BC⊥MN，则∠ABC是二面角α-MN-β 的平面角 ∵平面α ⊥平面β ∴∠ABC＝90° 即AB⊥BC 又AB⊥MN ∴AB⊥α
AD 的中点．
求证：(1)直线 EF∥平面 PCD；
(2)平面 BEF⊥平面 PAD
BF ⊥AD ⇒BF⊥面PAD( 因为平面PAD⊥平面 ABCD)⇒平面BEF⊥平面PAD(因为 BF⊂平面BEF)．前者利用面
面垂直的性质定理，后者利用面面垂直的判定定理．
面面垂直性质探究一：
设平面α⊥平面β, 点P∈α,P∈a, a⊥β,请同学们讨论直线a与平面α的关系. 如图,已知α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β. 求证：a α

平面与平面垂直 (第2课时)平面与平面垂直的性质(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

A
C
B
从本节的讨论可以看到，由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直；由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直；由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直；而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直．这进一步揭示了直线、平面之间的位置关系可以相互转化．
判定直线与直线垂直
判定直线与平面垂直
P
A
C
D
O
B
6. 如图, 在正方体ABCD ABCD中, 平面ABCD与正方体的各个面所在的平面所成的二面角大小分别是多少?
平面ABCD与平面ABB平面ADDA, 平面BCCB所成的二面角均为90
D A
C B
D A
C B
位置关系.
解：在内作垂直于与交线的直线b.
,b .
又a ,a / / b 又a , b ,a // . 即直线a与平面平行.
b
a
图8.6-32
环节五：课堂练习，巩固运用
例10 如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证： BC⊥平面PAB．
分析：要证明BC⊥平面PAB，需证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直线．由已知条件易得BC⊥PA．再利用平面PAB⊥平面PBC，过点A作PB的垂
P a
bc
a
bc
P
图8.6-31
环节四：辨析理解，深化概念
对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面
的特殊位置关系如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得
到哪些结论?
下面的例子就是其中的一些结果．
例9 如图8.6 32,已知平面平面 , 直线a , a , 判断a与的
(1)过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直．

高中数学面面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质新人教A版必修

另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( )． A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面 HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定．答案 D
法二
在 α 内作直线 m 垂直于 α 与 γ 的交线，在 β 内作直线 n
垂直于 β 与 γ 的交线， ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ. ∴m∥n.又 n⊂β，∴m∥β.又 m⊂α，α∩β＝l， ∴m∥l.∴l⊥γ.
【变式 2】如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，平面 PAB⊥平面 PBC.求证：BC⊥AB.
面面垂直线面垂直
例4 , a , a , 判断a与位置关系 α 解：设 l
在α内作直线b⊥l
β l b b 又a a // b b l a
bl

b a // a
答案 2
6．如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G. 求证：AE⊥SB，AG⊥SD. 证明因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC. 又BC⊥AB，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB，又AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE. 因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE. 又BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.
答：二面角的平面角与其顶点的位置无任何关系,只与二面角的张角大小有关。
平面角是直角的二面角叫做直二面角
当两个半平面重合时,平面角为0 °, 当两个半平面合成一个平面时,平面角为180 °

高一数学平面与平面垂直的判定

2、课后思考。
平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入判定定理性质定理课后思考应用
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小结
作业
别浪费了，留着这坛子好酒给店里赚钱吧！天儿这么晚了，咱们随便吃点儿就行了！”耿英和耿直也都坚持不让开酒坛。酒店老板和伙计们对这三兄妹更加刮目相看。老板说：“那咱就不用喝酒了。这些饭菜，咱们随意吃吧！”大家愉快地吃饭不提。饭毕告辞时，老板对耿正兄妹三人说：“今儿个熬得太晚了，又是这么个情况，你们一定很累了。明儿个就不用来上班了，咱们的契约今天就算是终止了。好好歇息一下，准备你们以后的创业途径吧！还有啊，你们在以后创业的过程中，如果遇到什么难处了，请一定来和我说一声。咱们酒店还有些个实力，一定会倾力相帮的！”耿正说：“多谢您！可酒店里明天就没有”老板说：“放心，已经说好了，明儿个一早，就会有一家子献艺的人来应试的！我看他们人挺不错，先试用几天吧！”那个机灵的演唱台伺应生伙计赶快跑到台后的乐器存放柜里取来二胡。老板接过来拿在手里小心地摸一摸，一边将其递到耿正的手上，一边说：“耿兄弟啊，你的这把二胡非同寻常哇，你拉二胡的手法也真是少见的好，简直就是人胡合一，美妙得很哪！让人听得，啧啧，我无法用语言来说得清楚呢！”耿正伸双手接过二胡来，谦逊地说：“您过奖了！只要学一学，谁都能拉得很好听的。”老板说：“不，这不一样！唉，咱不说这些了，你们快回去休息吧！这天儿太晚了，你们又住得偏僻，让两个伙计护送你们回去吧！”耿正说：“多谢老板关心，但不用护送了，我们三个人呢！”有两个伙计说：“我俩就住在那一带呢，咱们一起走吧！”老板将五人送出酒店，对两个伙计说：“你俩可一定要把他们送到出租房的门口啊！巷子太深，这么晚了怕是不安全呢！”两个伙计都说：“老板放心，我俩一定会把他们送到出租房门口的！”走在路上时，其中的一个伙计对耿正说：“耿兄弟啊，你这个妹妹可真厉害，不但现编现唱来得那么快，表演得那么好，而且那个气势，啧啧，真正少见呢！”另一个伙计也说：“是啊！耿妹子，你怎么就那么有把握呢？知道唱完了就一准儿能赢得满堂大喝彩！”耿英说：“因为有大多数客人们的支持啊！我看得出来，他们早就看不下去了！只要我们能坚持唱下去，大家就肯定能为我们喝大彩的！”耿正说：“正如那位做证人的老先生所言，邪不压正啊！”一个伙计说：“是这样的！”另一个伙计说：“不过这耿妹子还真是很了不起呢！还有啊，耿兄弟你和你的这个小弟弟也很了不起！你们兄妹三个不但有志向能吃苦，而且实在是具有超人的智慧和胆识呢！佩服，佩服啊！”耿英说：“您就别夸我们了。唉，什么智慧啊胆识的，都是被逼出来的啊！”耿正也说“确实是被逼出来的！这人啊，想要活得好很难，想要做成一些事情就更难嘞！”说着摸摸耿直

高一数学必修二2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质导学案(解析版)

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质一、课标解读1.掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。

2.掌握等价转化思想在解决问题中的运用.3.使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.4.能运用性质定理解决一些简单问题.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.二、自学导引问题1：如图，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱A A ′、B B ′、C C ′、D D ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？问题2：已知：a α⊥，b α⊥。

求证：b ∥a直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号语言作用：a b问题3：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你们能否在黑板上画一条直线与地面垂直呢？问题4：如图，长方体ABCD－A'B'C'D中，平面A'ADD’与平面ABCD垂直，直线A'A垂直于其交线AD，平面A'ADD’内的直线A'A与平面ABCD垂直吗？问题5：设α⊥β，α∩β＝CD，A B α，AB⊥CD，AB∩CD＝B，研究直线AB与平面β的位置关系。

归纳得到平面与平面垂直的性质定理：定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

想一想：用符号语言如何表述这个定理?三、典例精析例1 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，D A AC EF 1及与异面直线都垂直相交. 求证：EF ∥1BD变式训练1 如图所示，已知SA 垂直于ABCD 所在平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交 .,,,,G F E SD SC SB 于求证：SB AE ⊥例2 如图所示，平面⊥⊥PAC ABC PAB 平面平面,平面ABC ，⊥AE 平面PBC ,E 为垂足.（1）求证：ABC PA 平面⊥（2）当E 为PBC ∆的垂心时，求证：ABC ∆是直角三角形变式训练2 如图所示，是所在平面外一点，是四边形ABCD ABCD P60=∠DAB 且边长ABCD PAD a 面垂直于底面为正三角形，其所在平的菱形，侧面. (1) 若PAD BG AD G 平面边的中点，求证：为⊥ (2) 求证：PB AD ⊥四、自主反馈 1．两异面直线在平面α内的射影（）A ．相交直线B ．平行直线C ．一条直线—个点D ．以上三种情况均有可能2．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（）A ．有且只有—个B ．可能存在也可能不存在C ．有无数多个D ．—定不存在3．在空间，下列哪些命题是正确的（）①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确4．若平面α的斜线l 在α上的射影为l ′，直线b ∥α，且b ⊥l ′，则b 与l （）A ．必相交B ．必为异面直线C ．垂直D ．无法确定5．下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影； ③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．其中，正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个 n 4个6．在下列四个命题中，假命题为（）A ．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B ．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C ．过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内D ．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面7．已知P 是四边形ABCD 所在平面外一点且P 在平面ABCD 内的射影在四边形ABCD 内，若P 到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）A ．圆内接四边形B ．矩形C ．圆外切四边形D ．平行四边形8．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，则P 到BC 的距离等于（）A ．5B ．52C ．35D ．45答案2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质例1 证明：连接BD C B AB ,,11ABCD AC ABCD DD 平面平面⊂⊥,1D DD BD BD AC AC DD =⊥⊥∴11,, 又111,BD AC B BDD AC ⊥∴⊥∴平面C AB BD C B BD 1111,平面同理可证⊥∴⊥C BD A AD EF AC EF 11//,,又⊥⊥C AB EF C B EF 11,平面⊥∴⊥∴1//BD EF ∴例2 证明（1）在平面F AC DF D ABC 于作内取一点⊥,AC ABC PAC 且交线为平面平面,⊥AP DF PAC PA PAC DF ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面AP DG G AB DG ⊥⊥同理可证于作,D DF DG ABC DF DG = 内，且都在平面,ABC PA 平面⊥∴(2)连接H PC BE 于并延长交BE PC PBC E ⊥∴∆的垂心，是又已知AE PC PBC AE ⊥∴的垂线，是平面AB PC ABE PC ⊥∴⊥∴,平面PAC AB AB PA ABC PA 平面平面又⊥∴⊥∴⊥,, 是直角三角形即ABC AC AB ∆⊥∴,变式训练1.SA BC ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊂⊥,平面，平面证明：SAB SA SAB AB A SA AB AB BC 平面平面⊂⊂=⊥,,, BC AE SAB AE SAB BC ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面 SC AE AEFG AE AEFG SC ⊥∴⊂⊥,,平面平面 SBC BC SBC SC C BC SC 平面平面又⊂⊂=,, SB AE SBC SB SBC AE ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面2.略自主反馈1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D。

人教新课标版数学高一必修2讲义直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质

2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质1．理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．(重点)2．能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．(重点、难点) 3．理解“平行”与“垂直”之间的相互转化．(易错点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面垂直的性质定理阅读教材P 70的内容，完成下列问题．文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 图形语言判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．( ) (2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．( )(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．()【解析】由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．【答案】(1)√(2)√(3)√教材整理2平面与平面垂直的性质定理阅读教材P71“思考”以下至P72“例4”以上的内容，完成下列问题．文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．符号语言⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l⇒a⊥β图形语言在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF 与平面A1B1C1D1的关系是()A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直D[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确．][小组合作型]线面垂直性质定理的应用如图2-3-31所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N 是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.图2-3-31求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．【精彩点拨】(1)要证线线平行，则先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC.(2)可证ON＝AM，ON＝12AB.【自主解答】(1)∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1.∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC. 又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1. (2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.∴ON綊12DC綊12AB，∴ON∥AM.又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM.∵ON＝12AB，∴AM＝12AB，∴M是AB的中点．1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．2．当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．[再练一题]1．如图2-3-32，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.图2-3-32【证明】因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a ∥l .面面垂直性质定理的应用如图2-3-33所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a 的菱形且∠DAB ＝60°，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .图2-3-33(1)若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB .【精彩点拨】 (1)菱形ABCD ，∠DAB ＝60°―→△ABD 为正三角形―→BG ⊥AD ―――――――→面PAD ⊥底面ABCDBG ⊥平面PAD(2)要证AD ⊥PB ，只需证AD ⊥平面PBG 即可．【自主解答】 (1)如图，在菱形ABCD 中，连接BD ，由已知∠DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形， ∵G 是AD 的中点， ∴BG ⊥AD .∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴BG⊥平面PAD.(2)如图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB.1．证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．[再练一题]2．如图2-3-34，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.图2-3-34【证明】∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB.∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA⊂平面VAC.∴平面VBC⊥平面VAC.[探究共研型]垂直关系的综合应用探究1如图2-3-35，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC ＝BC＝2，等边△ADB以AB为轴转动．当平面ADB⊥平面ABC时，能否求CD的长度？图2-3-35【提示】取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.探究2在上述问题中，当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．【提示】①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由探究1知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.探究3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．【提示】垂直问题转化关系如下所示：如图2-3-36，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA ⊥底面ABCD；图2-3-36(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【精彩点拨】(1)利用性质定理可得PA⊥底面ABCD；(2)可证BE∥AD，从而得BE∥平面PAD；(3)利用面面垂直的判定定理．【自主解答】(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．2．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．[再练一题]3．如图2-3-37，在三棱锥P-ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.图2-3-37【证明】(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【解析】如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．【答案】 D2．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则()A．ME⊥平面ACB．ME⊂平面ACC．ME∥平面ACD．以上都有可能【解析】由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.【答案】 A3．如图2-3-38，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE ＝________.图2-3-38【解析】因为AF⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以△EDC为直角三角形，CE＝ED2＋CD2＝13.【答案】134．如图2-3-39，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________.图2-3-39【解析】过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.【答案】45°5．如图2-3-40，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求证：AD⊥平面PCD.图2-3-40【证明】在矩形ABCD中，AD⊥CD，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD.。

平面与平面垂直课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

(C) a//β，a//α
(D) a//α，a⊥β
练习
－－－－－－－－－－教材158页
3. 如下页图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，
为什么?
解：平面ABC⊥平面BCD，
平面ABD⊥平面BCD
平面ABC⊥平面ACD
理由如下：AB
平面BCD
平面ABC
平面BCD.
变式若 P 是△ABC 所在平面外一点，而△PBC 和△ABC 都是边长为 2 的
正三角形，PA＝ 6，那么二面角 P-BC-A 的大小为____9_0_°____．
解：如图，取 BC 的中点 O，连接 OA，OP，
P
则∠POA 为二面角 P-BC-A 的平面角，
∵OP＝OA＝ 3，PA＝ 6， ∴△POA 为直角三角形，∠POA＝90°.
当∠AOB=180°，即二面角的平面角为180°时，表示
B
二面角的两个半平面展开成一个平面.
β
lO
因此，二面角的平面角的取值范围为__[0_°_,_1_8_0_°_]_.
注意区分各种角的取值范围：
异面直线所成角：__(_0_°_, _9_0_°]___，线面角：__[_0_°_, _9_0_°]____.
1. 复习 (3) 直线与平面垂直的性质：
b
a
c
性质1：若a⊥α，m⊂α，则a⊥m. 性质2：若a⊥α，b⊥α，则a//b. (性质定理) 直线与平面垂直的性质定理：
m
垂直于同一平面的两条直线平行.
l
性质3：若a⊥α，c α，且c⊥a，则c//α.
性质4：若α//β，l⊥α，则l⊥β.
β
接下来我们将要探索平面与平面垂直的判定与性质. α

2.3.3-4直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质导学案

罗田一中高一数学必修2导学案编者：刘秀丹审核：杨德兵学生____________一．学习目标1.掌握直线与平面垂直的性质定理及平面与平面垂直的性质定理的应用。

2.进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想。

3.通过探索发现线面垂直和面面垂直的性质规律，培养空间想象能力、逻辑思维能力和类比思维能力。

二．自学导引1.直线与平面垂直的性质定理：_________________________________________. （线面垂直→线线平行）.符号表示：_______________________________.拓展:直线与平面垂直的其它性质：⑴ 直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的所有直线；⑵ 垂直于同一条直线的两个平面互相平行2.平面与平面垂直的性质定理： _________________________________________ __________________________________________.（面面垂直→线面垂直）符号表示：拓展:两个平面垂直的其它性质：⑴ 如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内；⑵ 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面；⑶ 三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.三.典型例题：题型一直线与平面垂直的性质的应用例一．已知,l CA αβα⋂=⊥与A ，B ,CB a a AB βα⊥⊂⊥于点，，求证//a l［规律方法］利用线面垂直的性质证明线线平行，关键是找（构造）出平面，使所证直线都与该平面垂直。

［变式1］已知一条直线l 和一个平面α平行，求证:直线l 上各点到平面α的距离相等题型二平面与平面垂直的性质的应用例二．在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是等边三角形，平面VAD⊥底面ABCD.(1) 求证：AB ⊥平面VAD.(2) 求平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的正切值。

高一数学(人教B版)平面与平面垂直的判定与性质

长．
α
C
lA
B
β
D
课堂小结
1、面面垂直的判定定理：证明两个平面相互垂直、寻找平面的垂面 2、判断两个平面互相垂直的方法：⑴定义 ⑵判定定理 3、面面垂直的性质定理：线面垂直的判断方法
一、填空题： 1.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直. 2.过一点可作____个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作____个平面与平面α垂直.
平面与平面垂直的判定与性质
高一年级数学
定义从一条直线出发的两个半平面组成的图形称为二面角二面范围 [0,π] 角
作法作（定义、棱的垂面、面的垂线）、证、指、算
平面与平面垂直的概念直二面角
思考1.在二面角α-m-β中,AO , 如果AO⊥β于点O,那么二面角α-m-β
是直二面角吗？
（×）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（2）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.
（× ）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（3）. 如果平面α内的一条直线 l 垂直于平面β内的两条相交直线, 则
α⊥β.（ √ ）
l⊥β ，l ⸦ α，则α⊥β.
（4）.如果α⊥β,那么平面α内的所有直线都垂直于平面β.（×）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（5）.若两个平面垂直，分别在这两个平面内直线互相垂直.（ × ）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（6）.若两个平面垂直,分别在两个平面内且互相垂直的两条直线一定分别

平面与平面垂直课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

。
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
3个条件：

A
l
O
10
B

A
O

B
。
。
5.二面角的平面角的范围 [0 ,180 ]
6.直二面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
A
B
O
步步高P83
例1
如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－
B的平面角的余弦值.
分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明
其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂直的
判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直．
P
在本题中, 由题意可知BC AC , BC PA,
AC PA A, 从而BC 平面PAC ,
进而平面PAC 平面PBC .
求证：平面A BD 平面ACC A
分析：要证平面ABD 平面ACC A, 根据两个平面垂直的判定定理,
只需证明平面ABD经过平面ACC A的一条垂线即可. 这需利用AC , BD
是正方形ABCD的对角线.
证明： ABCD A B C D是正方体 ,
AA 平面ABCD , AA BD ,
如果棱记作l , 那么这个二面角记作二面角 l 或P l Q .
李志刚课件
思考
如图8.6-22，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角
大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
4.二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱

新课标人教A版数学必修2全部课件：2.3.4平面与平面垂直的性质

面面垂直
线面垂直
面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
练习：
1、下列命题中错误的是（ B ） A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面直线平行于平面 β B如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面线都垂直于平面 β
α 内一定存在 α 内所有直 α 内一
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面。
A 3
B
2
C 1
D
0
例题
例1. 已知平面M、N，直线a满足M⊥N， a⊥N， a不在平面M内，试判断直线a与平面M的位置关系。
M b a
N
c
C如果平面 α 不垂直于平面 β ，则平面定不存在直线与 β 交于直线 a，则 a ⊥平面M
2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（B ）个 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；

北师大版高一数学必修2《垂直关系的性质》

6.2 垂直关系的性质知识点一：直线和平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．知识点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．知识点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；αβ=，求证：AB∥c．（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且c例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E 是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．举一反三：【变式1】如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E 作EF⊥SC交SC于F．（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．【变式2】如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF ⊥平面ACE。