信号与系统 第4讲

2
k 1
)e
λ1t
+ C k +1e
λk +1 t
+ ... + C n e
λn t
2 利用初始条件，求待定系数 利用初始条件，
r (0) = C1 + C 2 + ... + C n r ' (0) = λ1C1 + λ2C 2 + ... + λnC n ............ r
( n 1 )
一 信号分解成冲激函数的组合
e(t )
e(0) o τ 2τ kτ (k+1)τ
t
e( t ) ≈ e(0)[ε ( t ) ε ( t τ )] + e( τ )[ε ( t τ ) ε ( t 2 τ )] +
= ∑ e ( kτ )[ε ( t kτ ) ε ( t ( k + 1)τ )]
k =0
∞
=
∑
∞
e(kτ )
k =0
1 [ ε ( t k τ ) ε ( t ( k + 1 ) τ )] τ τ
e(t )
p(t )
e(0) o τ 2τ
∞
1/τ kτ (k+1)τ
t
o
τ
t
e(t ) ≈
∑ e ( k τ )
k =0
≈ ∑ e( kτ ) p( t kτ ) τ
e(t)
-
e( t ) = 2e t ε ( t ) v
求： uC(t)。 。
分析： 分析：
1 / RC H ( p) = P + RC
例1.
+
R
i(t)
+ uc C
已知： 已知：R=500 k , C=1 F , uC(0)=0
e(t)
-
e( t ) = 2e t ε ( t ) V
求： uC(t)。 。
( pn + an1 pn1 + ... + a1 p + a0 )r(t ) = (bm pm + bm1 pm1 + ... + b1 p + b0 )e(t )
(bm pm + bm1 pm1 + ... + b1 p + b0 ) N ( p) H ( p) = = n n1 ( p + an1 p + ... + a1 p + a0 ) D( p) 当n>m时 时
2
3
2
分析： 分析：
2 3 p3 + 4 p2 5 解： H ( p ) = 2 = p +1+ + p+1 p+ 2 p + 3p+ 2 2 3 r ( t ) = pe( t ) + 1e( t ) + e( t ) + e( t ) p+1 p+2
当e ( t ) = δ ( t )
h( t ) = δ ' ( t ) + δ ( t ) ( 2e t + 3e 2 t )ε ( t )
kn k1 k2 H ( p) = + + ... + ( p λ1 ) ( p λ 2 ) ( p λn )
h( t ) = k1e ε ( t ) + k 2 e ε ( t ) + ... + k n e ε ( t )
λ1t λ2 t
λn t
分解为： 当m=n时，可以将 时
eτ dτ = 4 × 10 6 e 2 t (e t 1)
= 4(e t e 2 t )ε ( t ) V
零状态响应中： 与激励的形式相同， 零状态响应中：4e-t 与激励的形式相同，叫强迫分量
h(t)
1 了解初始条件法 2 熟练掌握转移算子H(p) 熟练掌握转移算子
一 初始条件法 1: t=0- 和 t=0+ 时初始条件 t=0 - :激励作用前一刻 激励作用前一刻 t=0+ :激励作用后一刻 激励作用后一刻
uc (0 ) = 0
i (t )
1 uc (0 + ) = C
1 ∫0 i (t )dt = C
k =0
∞
脉冲响应
h( t τ )
冲激响应
r ( t ) = ∫ e(τ )h( t τ )dτ
0
∞
二 零状态响应 LTI因果系统的零状态响应 因果系统的零状态响应: 因果系统的零状态响应
r ( t ) = ∫ e(τ )h( t τ )dτ
0
t
例1.
+
R
i(t)
+ uc C
已知： 已知：R=500 k , C=1 F , uC(0)=0
t
若 p( t ) 的响应为 h p ( t )
∞
e( t ) ≈ ∑ e( kτ ) p( t kτ ) τ
k =0
r ( t ) ≈ ∑ e( kτ ) h p ( t kτ )τ
k =0
响应 r ( t ) = lim ∑ e ( k τ ) h p ( t k τ ) τ
积分
τ →0
H ( p) = C m + k1 k2 kn + + ... + ( p λ1 ) ( p λ2 ) ( p λn )
h( t ) =C mδ ( t ) + k1e λ1t ε ( t ) + k 2 e λ2 t ε ( t ) + ... + k n e λn t ε ( t )
第五节 零状态响应 主要内容: 主要内容 1 理解信号表示为冲激函数的思想 2 熟练 掌握系统零状态响应的求解方法 3 熟练掌握卷积积分运算 4 熟练掌握卷积的积分及图解法
特征根： 特征根：
λ 1 ... λ k 称为自然频率
λ t 响应中包含 e k 叫自然响应
(0) = λ1
( n 1 )
C1 + λ2
( n 1 )
C 2 + ... + λn
( n 1 )
Cn
第四节
冲激响应
冲激响应：系统对单位冲激信号的零状态响应； 冲激响应：系统对单位冲激信号的零状态响应；
δ(t) 零 状态
d r ( t ) λ r ( t ) = k δ ( t )的冲激响应 例 2：求系统 dt k λt 解： H ( p ) = h ( t ) = ke ε ( t ) pλ
d d d r ( t ) + 3 r ( t ) + 2 r ( t ) = 5 e ( t ) 7e ( t ) 例3：求系统 dt dt dt 的冲激响应
0+
冲激的作用就是在0-到 ＋ 冲激的作用就是在 到0＋ 给电容冲了的电
2 初始条件法
当t>0,uc(0+)=1/C
i (t )
R
+ uc uc (t ) 1 C
C
duC uC 1 + = δ (t ) dt RC C 1 t / RC h( t ) = e ε (t ) C
t
利用H(p） 二 利用 ）
k =0
∞
1 [ε ( t k τ ) ε ( t ( k + 1 ) τ )] τ τ
当e( t )分割得足够细, τ → dτ , kτ变成连续变量 τ
激励e( t ) = ∫ e(τ ) δ ( t τ )dτ
0
∞
p(t )
r(t)
t
1/τ o τ
t
0
τ 2τ
N
kτ (k+1)τ
解：先求该电路的冲激响应 h( t ) = 2e 2 t ε ( t )V 计算零状态响应 uC ( t ): t uC ( t ) = e( t ) * h( t ) = ∫ e(τ )h( t τ )dτ
= ∫ 2 × 10 6 e τ × 2e 2( t τ ) dτ
0
t
0
= 4 × 10 e
2
分析： 分析： ( p ) = H
5p7 2 3 = + 2 p + 3p+2 p+1 p+ 2
t 2 t
h( t ) = ( 2e + 3e
)ε ( t )
例4：求系统
d d d d r ( t ) + 3 r ( t ) + 2r ( t ) = e( t ) + 4 e( t ) 5e( t ) dt dt dt dt 的冲激响应
一 系统的零输入响应
n
1 写解的形式： 写解的形式：
( p + a n 1 p
λ1t
n 1
+ ... + a1 p + a0 )r ( t ) = 0
λ 2t
rzi ( t ) = C 1 e
+ C 2e
+ ... + C n e
λnt
若有k阶重根： 若有 阶重根： 阶重根
rzi ( t ) = (C1 + C 2 t + C 3 t + ... + C k t