高二数学 选修2-3 随机变量及其分布 单元测试
人教A版数学高二选修2-3第二章《随机变量及其分布》综合检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝()
A．2B．8
C．18D．20
C
D(3X＋2)＝9D(X)＝18.
2．离散型随机变量X的概率分布列如下：
本题考查概率、互斥事件、数学期望，以及运用知识解决问题的能力．
由题意，ξ的可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝ ＝ ，
P(ξ＝1)＝ ＝ ，P(ξ＝2)＝ ＝ .
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
∴ξ的数学期望E(ξ)＝0× ＋1× ＋2× ＝ ＝ .
16．(2010·安徽理，15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
∵x1＜x2，∴ ，∴x1＋x2＝3.
12．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()
自然状况
A1
A2
A3
A4
S1
0.25
50
70
－20
98
S2
0.30
65
26
52
82
S3
0.45
26
16
78
－10
A.A1B．A2
C．A3D．A4
C
A1的均值为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7.
高中数学选修2-3单元配套练习试题2.1离散型随机变量及其分布列及参考答案解析
2.1离散型随机变量及其分布列(包括2.1.1离散型随机变量,2.1.2离散型随机变量的分布列)姓名:___________班级:______________________一、选择题1.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量ξ,则ξ所有可能取值的个数是( )A.5B.9C.10D.252.随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-,且1(2)4P X =-=,11(3),(5)212P X P X ====,则(0)P X =的值为( ) A.0 B.14 C.16 D.18 3.设ξ的分布列如下:则p 等于( ) A.0 B.13 C.16D.不确定 4.设随机变量X 的分布列为()15k P X k ==,1,2,3,4,5k =,则1522P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭等于() A.215 B.25 C.15 D.1155.设随机变量X 的概率分布如下表,则(|2|1)P X -==( )A.712B.12C.512D.166.则q 等于( )A.1B.C.17.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为)(X P ,则)4(=X P 的值为( ) A.2201 B.5527 C.22027 D.2521 8.一袋中装有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个,取出后记下颜色,若为红色停止,若为白色则继续抽取,停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量ξ,则=≤)6(ξP ( ) A.149 B. 5625 C. 5637 D. 2823二、填空题9.袋内有5个白球,6个红球,从中摸出两球,记X ＝01⎧⎨⎩，两球全红，，两球非全红，则X 的分布列为________.10.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下:11.已知12x x <,0αβ≠,与随机变量ξ相关的三个概率的值分别是()11P x ξα≥=-、2()1P x ξβ≤=-和()1234P x x ξ<<=,则αβ的最大值为 .三、解答题12.某校高二年级某班的数学课外活动小组中有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,用X 表示其中的男生人数,求X 的分布列.13.在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖;某顾客从此10张券中任取2张,求:(1)该顾客中奖的概率;(2)该顾客获得的奖品总价值ξ(元)的概率分布列.14.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费,超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按 1小时计算).有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24;两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列.参考答案1.B【解析】号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9种.考点:离散型随机变量.2.C【解析】因为随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-,且1(2)4P X =-=, 11(3),(5)212P X P X ====,所以(0)P X =＝16,故选C 考点:随机变量的概率.3.C【解析】由已知及分布列的性质知:11123p ++=,16p ∴=,故选C. 考点:分布列的性质.4.C故选C. 考点:随机变量的概率公式及运用.5.C【解析】由所有概率和为1,所以 ()()115(|2|1)136412P X P X P X -===+==+=.故选C. 考点:随机变量的概率分布.6.C1－2.故选C. 考点:分布列的性质.7.C【解析】从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,当盒中旧球的个数为4X =时,相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个,所以取出的3个球中只有一个新球,即取出的3个球中有2个是旧球1个新球,所以21393123927(4)121110220321C C P X C ⨯====⨯⨯⨯⨯,故选C. 考点:离散型随机变量及其分布列.8.D【解析】k =ξ表示前k 个为白球,第1+k 个恰为红球.18135)(+⋅==k k A A A k P ξ(=k 0,1,2,…,5), ∴分布列为 ∴=≤)6(ξP 4623(0)(1)(2)5628P P P ξξξ=+=+===. 考点:离散型随机变量及其分布列.9.如下表:【解析】P(X ＝0)311,P(X ＝1)＝1－311＝811,故X 的分布列如下表.考点:离散型随机变量及其分布列.10.0.88【解析】根据射手射击所得的环数ξ的分布列,有P(ξ＝7)＝0.09,P(ξ＝8)＝0.28,P(ξ＝9)＝0.29,P(ξ＝10)＝0.22,所求的概率P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88. 考点:离散型随机变量及其概率.11.4964【解析】()()()12311114P x x ξαβαβ<<=----=+-=,∴74αβ+=,又,0αβ>,∴49264αβαβ+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭. 考点:离散型随机变量,概率及不等式性质.12.X 的分布列如下:【解析】X 的可能取值为0,1,2,3,4, ()0464410C C 10C 210P X ===,()1364410C C 41C 35P X ===,()2264410C C 32C 7P X ===,()3164410C C 83C 21P X ===,()4064410C C 14C 14P X ===. ∴X 的分布列为:考点:古典概率的计算,随机变量的分布列.13.(1)23(2)概率分布列见解析 【解析】即该顾客中奖的概率为23. (2)ξ的所有可能值为0,10,20,50,60,()26210C 10C 3P ξ===,()1136210C C 210C 5P ξ===,()23210C 120C 15P ξ===, ()1116210C C 250C 15P ξ===,()1131210C C 160C 15P ξ===, 故ξ的分布列为:ξ 010 20 50 60 P 13 25 115 215 115 考点:离散型随机变量的概率及分布列.14.(1)516(2)ξ的分布列见解析 【解析】(1)由题意得,甲,乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为11,44.记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件A ,则111()422P A =⨯+ 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516. (2)ξ的可能取值为0,2,4,6,8,1111151111115(0),(2),(4)844221644242416P P P ξξξ====⨯+⨯===⨯+⨯+⨯=, 11113(6)442416P ξ==⨯+⨯=,111(8)4416P ξ==⨯=, 分布列如下表:02468P 18516516316116考点:离散型随机变量的分布列及概率.。
最新人教版高中数学选修2-3《随机变量及其分布》单元检测4
最新⼈教版⾼中数学选修2-3《随机变量及其分布》单元检测4本章测评⼀、选择题1.给出下列四个命题：①15秒内，通过某⼗字路⼝的汽车的数量是随机变量;②在⼀段时间内，某候车室内候车的旅客⼈数是随机变量;③⼀条河流每年的最⼤流量是随机变量;④⼀个剧场共有三个出⼝，散场后从某⼀出⼝退场的⼈数是随机变量.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4思路解析：随机变量是随着试验结果变化⽽变化的变量，①②③④均满⾜，选D. 答案：D2.随机变量X 的概率分布如下：X 1 2 3 4P 0.2 0.3 0.4 c则c 等于( )A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4思路解析：根据随机变量分布列的概率和为1，易求得c=0.1，选A.答案：A3.若事件A 与B 相互独⽴，则下列不相互独⽴的事件为( )A.A 与BB.A 与BC.B 与BD.B 与A 答案：B4.某射⼿射击所得的环数X 的分布列如下:X 5 6 7 8 9 10 P 0.05 0.15 0.2 0.3 0.25 0.05 如果命中8—10环为优秀，则该射⼿射击⼀次为优秀的概率是( )A.0.3B.0.4D.0.6思路解析：从分布列中不难看出该射⼿命中环数不⼩于8环的概率是0.3+0.25+0.05=0.6. 答案：D5.甲、⼄、丙三位同学解⼀道数学题，他们做对的概率都是0.8，则甲、⼄、丙都做对的概率为( )A.0.83B.0.1×0.82C.0.8+0.8+0.8D.1-0.22思路解析：记甲、⼄、丙三位同学做对⼀道数学题分别为事件A 、事件B 、事件C ，则事件A 、事件B 、事件C 相互独⽴，所以同时发⽣的概率为0.83，选A.答案：A6.将⼀颗骰⼦连掷6次,恰好3次出现6点的概率为( ) A.3336)65()61(C B.456)65)(61(C C.0336)65()61(C D.556)61(C 思路解析：易知⼀颗骰⼦连掷6次出现6点这⼀事件是独⽴重复试验，利⽤独⽴重复试验恰有3次发⽣的概率为3336)65()61(C .应选A.答案：A7.若随机变量X 服从成功概率为p 的两点分布，则下列正确的是( )A.EX=p,DX=1-pB.EX=1-p,DX=pC.EX=p,DX=p-p 2D.EX=1-p,DX=p-p 2思路解析：因为随机变量X 服从分布列X 01 P 1-pp ,所以EX=p,DX=p 2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p).答案：C8.设随机变量X —N(µ,σ2)，则η=aX+b 服从( )A.N(µ,σ2)B.N(0,1)C.N(22,b a σµ) D.N(aµ+b,a 2σ2)思路解析：若随机变量X —N(µ,σ2)，则EX=µ,DX=σ2，由于η=aX+b ，所以Eη=aµ+b,Dη=a 2σ2，选D.9.已知随机变量X 服从⼆项分布，且EX=2.4，DX=1.44，则⼆项分布的参数n 、p 的值为( )A.n=4，p=0.6B.n=6，p=0.4C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.1思路解析：根据题设条件可得np=2.4,np(1-p)=1.44，解得p=0.4,n=6.选B.答案：B10.甲、⼄两⼈在相同的条件下，射靶10次，命中环数如下：甲8 6 9 5 10 7 4 8 9 5 ⼄7 6 5 8 6 9 6 8 7 7 根据以上数据估计( )A.甲⽐⼄的射击情况稳定B.⼄⽐甲的射击情况稳定C.两⼈情况⼀样，没有区别D.不能判定思路解析：分别记甲、⼄两⼈射击⼀次的中靶数为X 1,X 2，列出甲、⼄两⼈射靶的分布列如下：X 1 4 5 6 7 8 9 10 P 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1X 2 5 6 7 8 9P 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1计算可得：EX 1=7.1，EX 2=6.9，说明甲、⼄两⼈的射击⽔平不⼀样，从分布列的情况看⼄相对于均值的分布较集中（可通过计算⽅差⽐较），因此⼄⽐甲的射击情况稳定.答案：B⼆、填空题11.下图是正态分布N(µ,σ12),N(µ,σ22),N(µ,σ32)的相应曲线，则σ1,σ2,σ3的⼤⼩关系是_________.思路解析：掌握正态曲线的特征是解决此类问题的基础，从图中可以看出三条曲线的分布情况是1,σµ?(x)最分散，其次是2,σµ?(x)，⽽3,σµ?(x)相对最集中，所以σ1>σ2>σ3.答案:σ1>σ2>σ312.(2006福建⾼考卷,理15)⼀个均匀⼩正⽅体的6个⾯中，三个⾯上标以数0，两个⾯上标以数1，⼀个⾯上标以数 2.将这个⼩正⽅体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是___________.思路解析：根据题意可以列出分布列，如下表ξ 0 1 2 4 P 3627 364 364 361 故Eξ=94436123641364=?+?+?. 答案：94 13.在某次学校的游园活动中，⾼⼆（2）班设计了这样⼀个游戏：在⼀个纸箱⾥放进了5个红球和5个⽩球，这些球除了颜⾊不同外完全相同，⼀次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即为中奖，则中奖的概率是_____________.（精确到0.001）思路解析：设摸出的红球个数为X ，则X 服从超⼏何分布，其中N=10,M=5,n=5，于是中奖的概率为P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=510555101545C C C C C +≈0.103. 答案：0.10314.(2006全国⾼考卷Ⅱ,理16)⼀个社会调查机构就某地居民的⽉收⼊调查了10 000⼈，并根据所得数据画了样本的频率分布直⽅图（如下图）.为了分析居民的收⼊与年龄、学历、职业等⽅⾯的关系，要从这10 000⼈中再⽤分层抽样⽅法抽出100⼈作进⼀步调查，则在［2 500，3 000）（元）⽉收⼊段应抽出_________________________⼈.思路解析：观察图象，可知在［2 500，3 000）的频率为500×0.000 5=0.25，故共有2 500⼈，现要从10 000⼈中选出100名作调查，根据分层抽样⽅法，应抽出25⼈.答案：25三、解答题15.已知随机变量ξ的分布列为ξ -2 -1 0 1 2 3 P 121 123 124 121 122 121 分别求出随机变量η1=21ξ,η2=ξ2的分布列.解：由于η1=21ξ对于不同的ξ有不同的取值满⾜y=21x ，即y 1=21x 1=-1, y 2=21x 2=21-,y 3=21x 3=0,y 4=21x 4=21,y 5=21x 5=1,y 6=21x 6=23，所以η1的分布列为η1 -1 21- 0 21 1 32 P 121 123 124 121 122 121 η2=ξ2对于ξ的不同取值-2，2及-1，1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取-2与2值的概率122121与合并的结果，η2取1这个值的概率就是ξ取-1与1值的概率121123与合并的结果，故η2的分布列为η20 1 4 9 P 124 124 123 121 16.甲、⼄两市都位于长江下游，根据⼀百多年来的⽓象记录知道⼀年中⾬天的⽐例甲市占20%，⼄市占14%，两地同时下⾬占12%，试求:（1）甲市下⾬的条件下，⼄市出现⾬天的概率；（2）⼄市出现⾬天的条件下，甲市下⾬的概率；（3）甲市或⼄市下⾬的概率.解：记A=“甲市出现⾬天”，B=“⼄市出现⾬天”，有P(A)=0.20，P(B)=0.14，P(AB)=0.12,于是（1）P(B|A)=20.012.0)()(=A P AB P =0.6. （2）P(A|B)=14.012.0)()(=B P AB P =0.857. （3）P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.20+0.14-0.12=0.22.17.甲、⼄两个野⽣动物保护区有相同的⾃然环境，且野⽣动物的种类和数量也⼤致相等.⽽两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：ξ 0 1 2 3P 0.3 0.3 0.2 0.2⼄保护区：ξ 0 1 2P 0.1 0.5 0.4试评定这两个保护区的管理⽔平.思路分析：⼀是要⽐较⼀下甲、⼄两个保护区内每季度发⽣的违规事件的次数的均值，即数学期望；⼆是要看发⽣违规事件次数的波动情况，即⽅差值的⼤⼩.（当然，亦可计算其标准差，同样说明道理）解：甲保护区的违规次数ξ1的数学期望和⽅差为：Eξ1=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3;Dξ1=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.⼄保护区的违规次数ξ2的数学期望和⽅差为：Eξ2=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3;Dξ2=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因为Eξ1=Eξ2,Dξ1>Dξ2，所以两个保护区内每季度发⽣的违规平均次数是相同的，但⼄保护区内的违规事件次数更集中和稳定，⽽甲保护区的违规事件次数相对分散和波动.18.(2006湖北⾼考卷,理20)在某校举⾏的数学竞赛中，全体参赛学⽣的竞赛成绩近似服从正态分布 N(70,100).已知成绩在90分以上（含90分）的学⽣有12名.（1）试问此次参赛的学⽣总数约为多少⼈？（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学⽣，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的（部分）标准正态分布表Φ(x 0)=P(xx 0 0 1 2 3 41.2 0.884 9 0.886 9 0.888 8 0.890 7 0.892 51.3 0.903 2 0.904 9 0.906 6 0.908 2 0.909 91.4 0.919 2 0.920 7 0.922 2 0.923 6 0.925 11.9 0.971 3 0.971 9 0.972 6 0.973 2 0.973 82.0 0.977 2 0.977 8 0.978 3 0.978 8 0.979 3 x 0 5 6 7 89 1.2 0.894 4 0.896 2 0.898 0 0.899 70.901 5 1.3 0.911 5 0.913 1 0.914 7 0.916 20.917 7 1.4 0.926 5 0.927 8 0.929 2 0.930 60.931 9 1.9 0.974 4 0.975 0 0.975 6 0.976 20.976 7 2.0 0.979 8 0.980 3 0.980 8 0.981 20.981 7 2.1 0.984 2 0.984 6 0.985 0 0.985 40.985 7 解：（1）设参赛学⽣的分数为ξ，因为ξ—N(70，100)，由条件知，P(ξ≥90)=1-P （ξ<90）=1-F(90)=1-Φ(107090-)=1-Φ(2)=1-0.977 2=0.228. 这说明成绩在90分以上（含90分）的学⽣⼈数约占全体参赛⼈数的2.28％，因此，参赛总⼈数约为0228.012≈526（⼈）. （2）假定设奖的分数线为x 分，则P(ξ≥x)=1-P （ξ1070-x )=52650=0.095 1，即Φ(1070-x )=0.904 9，查表得1070-x ≈1.31，解得x=83.1. 故设奖的分数线约为83.1分.19.(2005辽宁⾼考卷,理20)某⼯⼚⽣产甲、⼄两种产品，每种产品都是经过第⼀和第⼆⼯序加⼯⽽成，两道⼯序的加⼯结果相互独⽴，每道⼯序的加⼯结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道⼯序的加⼯结果都为A 级时，产品为⼀等品，其余均为⼆等品.（1）已知甲、⼄两种产品每⼀道⼯序的加⼯结果为A 级的概率如表⼀所⽰，分别求⽣产出的甲、⼄产品为⼀等品的概率P 甲、P ⼄.表⼀（2）已知⼀件产品的利润如表⼆所⽰，⽤ξ、η分别表⽰⼀件甲、⼄产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη.表⼆（3）已知⽣产⼀件产品需⽤的⼯⼈数和资⾦额如表三所⽰.该⼯⼚有⼯⼈40名，可⽤资⾦60万元.设x 、y 分别表⽰⽣产甲、⼄产品的数量，在（2）的条件下，x 、y 为何值时，z=xEξ+yEη最⼤？最⼤值是多少？（解答时须给出图⽰）表三解：（1）P 甲=0.8×0.85=0.68,P ⼄=0.75×0.8=0.6.（2）随机变量ξ、η的分布列是ξ 52.5 P 0.680.32η 2.51.5 P 0.60.4Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2,Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1. （3）由题设知≥≥≤+≤+. 0,0,4038,60105y x y x y x⽬标函数为z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y.作出可⾏域（如图）：。
人教A版数学高二选修2-3第二章《随机变量分布列》单元测试
一、选择题：
1.在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法正确的是（）
A.总体容量越大，估计越精确；B.总体容量越小，估计越精确；
C.样本容量越大，估计越精确D.样本容量越小，估计越精确
2袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（）
A.取到球的个数B.取到红球的个数
C.至少取到一个红球D.至少取得一个红球的概率
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元）.
三、解答题：
15.盒子中装有卡号为1,2,3,4,5的五张卡片,现从中取出3张,以 表示取出的最大号码;
①写出 的分布列;②求 ;
16一批灯泡的使用时间 （单位：小时）服从正态分布 ，求这批灯泡中“使用时间超过10800小时”的灯泡的概率.
A. B. C. D.
9.一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为（）（假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能的）
A. B. C. D.
10.某种灯泡的耐用时间超过1000小时的概率为0.2，有3个相互独立的灯泡在使用1000小时以后，最多只有1个损坏的概率是（）
A.0.008B.0.488C.0.096D.0.104
3.若随机变量 服从两点分布，且成功的概率 ，则 和 分别为（）
A.0.5和0.25B.0.5和0.75C.1和0.25D.1和0.75
4.如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（）
A． B． C． D．
5.设随机变量 的分布列为 ，则 （）
二、填空题：
2019-2020学年人教A版数学选修2-3培优教程练习：第二章 随机变量及其分布 单元质量测评
姓名，年级：时间：第二章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题,共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．袋中有大小相同的5只钢球,分别标有1，2,3，4，5五个号码，有放回的依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是( ）A．25 B．10C．9 D．5答案C解析由题意，由于是有放回的取，故可有如下情况：若两次取球为相同号码，则有1＋1＝2,2＋2＝4，3＋3＝6，4＋4＝8，5＋5＝10,5个不同的和;若两次取球为不同号码，则还有1＋2＝3,1＋4＝5，2＋5＝7,4＋5＝9这四个和，故共有9个．2．设随机变量ξ等可能取值1，2，3,…，n。
如果P（ξ<4)＝0.3,那么（）A．n＝3 B．n＝4C．n＝10 D．n不能确定答案C解析∵ξ是等可能地取值，∴P(ξ＝k)＝错误!(k＝1,2，…,n),∴P（ξ〈4）＝错误!＝0.3，∴n＝10.3．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人中至少有一人达标的概率是（）A．0。
16 B．0.24C．0。
96 D．0。
04答案C解析三人都不达标的概率是(1－0.8)×（1－0。
6）×(1－0。
5）＝0。
04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0。
04＝0.96.4．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1）,若P(ξ〉1）＝p，则P（－1〈ξ<0)＝( ）A。
错误!＋p B．1－pC．1－2p D。
错误!－p答案D解析P(－1〈ξ<0)＝错误!P（－1<ξ〈1)＝错误!［1－2P(ξ>1）］＝错误!－P（ξ>1）＝错误!－p.5．甲、乙、丙三个在同一办公室工作，办公室只有一部电话机,经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是错误!,错误!，错误!.在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是（）A。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 章末综合检测(二)(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题
章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次，若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为( )A.12 B ．23 C.34D ．45解析：选B.法一：记事件A ＝{第一次取到合格的高尔夫球}， 事件B ＝{}第二次取到合格的高尔夫球.由题意可得P (AB )＝3×24×3＝12，P (A )＝3×34×3＝34，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1234＝23.法二：记事件A ＝{}第一次取到合格的高尔夫球，事件B ＝{}第二次取到合格的高尔夫球，由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数n (AB )＝3×2＝6，事件A 发生所包含的基本事件数n (A )＝3×3＝9.所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ） ＝69 ＝23.2．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a (13)i(i ＝1，2，3)，则a 的值为( )A ．1B ．913 C.1113D ．2713解析：选D.因为P (X ＝1)＝a 3，P (X ＝2)＝a 9，P (X ＝3)＝a 27.所以a 3＋a 9＋a 27＝1，所以a ＝2713.3．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )A ．0.95B ．0.6C ．0.05D ．0.4解析：选A.法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故至少有一颗卫星预报准确的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻两颗卫星预报都不准确”，故至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)×(1－0.75)＝0.95.4．已知随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则D (2X ＋1)等于( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．9解析：选A.因为D (2X ＋1)＝D (X )×22＝4D (X )，D (X )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32，所以D (2X ＋1)＝4×32＝6.5.如果随机变量X 表示抛掷一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体向上面的数字，则随机变量X 的均值为( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4解析：选C.P (X ＝k )＝16(k ＝1，2，3，…，6)，所以E (X )＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝16(1＋2＋…＋6)＝16×6×（1＋6）2＝3.5.6．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD ．2π解析：选C.由正态分布密度曲线上的最高点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12知12π·σ＝12，即σ＝2π，所以D (X )＝σ2＝2π.7．已知随机变量ξ的分布列如下：若E (ξ)＝2，则D (ξ)A ．0 B ．2 C ．1D ．12解析：选A.由题意得a ＝1－13＝23，所以E (ξ)＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (ξ)＝13×(m －2)2＋23(n －2)2＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，D (ξ)取最小值为0.8．设随机变量X ～N (μ，σ2)且P (X ＜1)＝12，P (X ＞2)＝p ，则P (0＜X ＜1)的值为( )A ．12pB ．1－pC ．1－2pD ．12－p 解析：选D.由正态曲线的对称性知P (X ＜1)＝12，故μ＝1，即正态曲线关于直线x ＝1对称，于是P (X ＜0)＝P (X ＞2)，所以P (0＜X ＜1)＝P (X ＜1)－P (X ＜0)＝P (X ＜1)－P (X ＞2)＝12－p .9．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为23，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )A ．49B ．827C ．1927D ．4081解析：选C.最后乙队获胜的概率含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P ＝13＋23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×13＝1927，故选C. 10．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如表所示的分布列若进这种鲜花500A ．706元 B ．690元 C ．754元D ．720元解析：选A.因为E (X )＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340， 所以利润的均值为340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706元，故选A. 11.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为( )A ．516B ．532C ．16D ．以上都不对解析：选A.由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口3出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C 25条路线，故所求的概率为C 2525＝516.12．某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费1 000元，便可以获得奖券1X ，每X 奖券中奖的概率为15，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1 000元．小王购买一套价格为2 400元的西服，只能得到2X 奖券，于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3X 奖券．设小王这次消费的实际支出为ξ元，则E (ξ)＝( )A ．1 850B ．1 720C ．1 560D ．1 480解析：选A.根据题意知，ξ的可能取值为2 450，1 450，450，－550，且P (ξ＝2 450)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝64125，P (ξ＝1 450)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝48125，P (ξ＝450)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫15·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125，P (ξ＝－550)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝1125，所以E (ξ)＝2 450×64125＋1 450×48125＋450×12125＋(－550)×1125＝1 850.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．邮局工作人员整理，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X ＜10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X ＞30)等于________．解析：根据随机变量的概率分布的性质，可知P (X ＜10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X ＞30)＝1，故P (X ＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.答案：0.314．一批产品的二等品概率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数， 则D (X )＝________.解析：X ～B (100，0.02)，所以D (X )＝np (1－p )＝100×0.02×0.98＝1.96. 答案：1.9615．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标注数字0，两个面上标注数字1，一个面上标注数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数字之积的数学期望是________．解析：设ξ表示两次向上的数字之积， 则P (ξ＝1)＝13×13＝19，P (ξ＝2)＝C 12×13×16＝19，P (ξ＝4)＝16×16＝136，P (ξ＝0)＝34，所以E (ξ)＝1×19＋2×19＋4×136＝49.答案：4916．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答)解析：由a 4＝2，a 7＝－4可得等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1，2，3，…)．{a n }的前10项分别为8，6，4，2，0，－2，－4，－6，－8，－10.由题意知三次取数相当于三次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为25，取得负数的概率为12，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫25⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝625. 答案：625三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)某一射手射击所得环数X 的分布列如下：(1)求m (2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．解：(1)由分布列的性质得m ＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28. (2)P (射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.18．(本小题满分12分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1，2，3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A —2A 3)＋P (A —1A 2A 3)＝P (A 1)P (A —2)P (A 3)＋P (A —1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.19．(本小题满分12分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； (ii)设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)(i)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k3C 37(k ＝0，1，2，3)． 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×35＋1×35＋2×35＋3×435＝127.(ii)设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥．由(i)知，P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)，故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67.所以，事件A 发生的概率为67.20．(本小题满分12分)进货商当天以每份1元的进价从报社购进某种报纸，以每份2元的价格售出．若当天卖不完，剩余报纸以每份0.5元的价格被报社回收．根据市场统计，得到这个月的日销售量X (单位：份)的频率分布直方图(如图所示)，将频率视为概率．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)若进货量为n (单位：份)，当n ≥X 时，求利润Y 的表达式； (3)若当天进货量n ＝400，求利润Y 的分布列和数学期望E (Y )．解：(1)由题图可得，100a ＋0.002×100＋0.003×100＋0.003 5×100＝1，解得a ＝0.001 5.(2)因为n ≥X ，所以Y ＝(2－1)X －0.5(n －X )＝1.5X －0.5n .(3)销售量X 的所有可能取值为200，300，400，500，由第二问知对应的Y 分别为100，250，400.由频率分布直方图可得P (Y ＝100)＝P (X ＝200)＝0.20， P (Y ＝250)＝P (X ＝300)＝0.35， P (Y ＝400)＝P (X ≥400)＝0.45.利润Y 的分布列为Y 100 250 400 P0.200.350.45所以E (Y )21．(本小题满分12分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X 、Y 分别表示这4个人去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．解：(1)依题意，这4人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i .这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能的取值为0，2，4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781，所以ξ的分布列是22.(本小题满分12分)该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A ，B ，C 商品的概率分别为23，p 1，p 2(p 1<p 2)，至少购买一种的概率为2324，最多购买两种的概率为34.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民分别购买B ，C 两种商品的概率；(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)由题意可知至少购买一种的概率为2324，所以一种都不买的概率为1－2324＝124，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23(1－p 1)(1－p 2)＝124.① 又因为最多购买两种商品的概率为34，所以三种都买的概率为1－34＝14，即23p 1p 2＝14.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝12，p 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝34，p 2＝12.因为p 1<p 2，所以某网民购买B ，C 两种商品的概率分别为p 1＝12，p 2＝34.(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，由题意可得X 的所有可能取值为0，5，10，15.则P (X ＝0)＝124，P (X ＝5)＝23×12×14＋13×12×14＋13×12×34＝14，P (X ＝10)＝23×12×14＋23×12×34＋13×12×34＝1124， P (X ＝15)＝23×12×34＝14.所以X 的分布列为则E (X )＝0×124＋5×14＋10×24＋15×4＝12.。
高中数学选修2-3随机变量及其分布(分布列)精选题目(附答案)
高中数学选修2-3随机变量及其分布（分布列）精选题目（附答案）一、条件概率1．在区间(0,1)内随机取一个数x ，若A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <12，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 14<x <34，则P (B |A )等于( )A.12B.14 C.13 D.34解析：选A P (A )＝121＝12，∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 14<x <12， ∴P (AB )＝141＝14， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.2.有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．解：记第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B.(1)第一次抽到次品的概率为P(A)＝520＝14.(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝1 19.(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝119÷14＝419.3．抛掷5枚硬币，在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下，问：正面朝上数恰好是3枚的条件概率是多少？解：法一：记至少出现2枚正面朝上为事件A，恰好出现3枚正面朝上为事件B，所求概率为P(B|A)，事件A包含的基本事件的个数为n(A)＝C25＋C35＋C45＋C55＝26，事件B包含的基本事件的个数为n(B)＝C35＝10，P(B|A)＝n(AB)n(A)＝n(B)n(A)＝1026＝5 13.法二：事件A，B同上，则P(A)＝C25＋C35＋C45＋C5525＝2632，P(AB)＝P(B)＝C3525＝1032，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝513.4．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是________．解析：令事件A，B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则P(C)＝1－P(A)P(B)＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P(A|C)＝P(AC)P(C)＝0.60.8＝0.75.答案：0.755．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43； ③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________．解析：①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，其方差为6×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝43，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}，则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627，故④正确． 答案：①②④二、相互独立事件的概率1.A ，B ，C 三名乒乓球选手间的胜负情况如下：A 胜B 的概率为0.4，B 胜C 的概率为0.5，C 胜A 的概率为0.6，本次竞赛按以下顺序进行：第一轮：A 与B ；第二轮：第一轮的胜者与C ；第三轮：第二轮的胜者与第一轮的败者；第四轮：第三轮的胜者与第二轮的败者．求：(1)B 连胜四轮的概率；(2)C 连胜三轮的概率．解：(1)要B 连胜四轮，以下这些相互独立事件须发生：第一轮B 胜A ，第二轮B 胜C ，第三轮B 再胜A ，第四轮B 再胜C .根据相互独立事件同时发生的概率公式，得所求概率为P ＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.故B连胜四轮的概率为0.09.(2)C连胜三轮应分两种情况：①第一轮A胜B，则第二轮C胜A，第三轮C 胜B，第四轮C胜A，得C连胜三轮的概率为P1＝0.4×0.6×(1－0.5)×0.6＝0.072;②第一轮B胜A，则第二轮C胜B，第三轮C胜A，第四轮C胜B，得C 连胜三轮的概率为P2＝(1－0.4)×(1－0.5)×0.6×(1－0.5)＝0.09.由于①②两种情况是两个互斥事件，所以所求概率为P＝P1＋P2＝0.072＋0.09＝0.162.故C连胜三轮的概率为0.162.2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1)．解：(1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式，知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F，D E F，D EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.45.三、离散型随机变量的分布列及均值、方差求离散型随机变量X的均值与方差的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)；(3)写出X的分布列；(4)由分布列和均值的定义求出E(X);(5)由方差的定义，求D(X)．1．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下：则p的值为()A.12 B.16C.13 D.14解析：选A因为15＋15＋110＋p＝1，所以p＝12，故选A.2．10张奖劵中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为()A.310 B.112C.12 D.1112解析：选D设事件A为“无人中奖”，则P(A)＝C57C510＝112，则至少有1个人中奖的概率P＝1－P(A)＝1－112＝1112.3．设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y<6)的值为()A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.2解析：选A由Y＝2X－1<6，得X<3.5，∴P(Y<6)＝P(X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3.4．若离散型随机变量X的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A.32 B ．2 C.52 D ．3解析：选A 由数学期望的公式可得：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.5．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，且两人是否击中相互不受影响，则恰有一人击中敌机的概率为( )A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.5解析：选D 设事件A ，B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，且A 与B 互相独立，则事件恰有一人击中敌机的概率为P (A B ＋A B )＝P (A )[1－P (B )]＋[1－P (A )]P (B )＝0.5，故选D.6.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方是2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及均值．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率分别是827，827，427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意知各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得 P (X ＝0)＝P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627， P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327. 故X 的分布列为所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.7．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列、均值及方差．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为E (X )＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3142×114＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋3142×514＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3142×27＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3142×27≈0.88. 8．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获得50元，生产出一件乙等品可获得30元，生产出一件次品，要赔20元．已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次等品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．解析：设生产一件该产品可获利X 元，则随机变量X 的取值可以是－20,30,50.依题意，得X 的分布列为故E (X )＝－20×0.1＋30×0.3＋50×0.6＝37.9．(本小题满分10分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令X 表示走出迷宫所需的时间．(1)求X 的分布列； (2)求X 的均值．解：(1)X 的所有可能取值为1,3,4,6.P (X ＝1)＝13，P (X ＝3)＝16，P (X ＝4)＝16，P (X ＝6)＝13，所以X 的分布列为(2)E (X )＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72.10．(本小题满分12分)已知某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，他们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y 的分布列．解：(1)∵X 的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为 P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝19， P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝2)＝12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×23＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝3)＝12×13×23＝19， ∴随机变量X 的分布列为(2)根据题意知得分Y ＝5X ＋2(3－X )＝6＋3X ， ∵X 的可能取值为0,1,2,3.∴Y 的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为 P (Y ＝6)＝P (X ＝0)＝19，P (Y ＝9)＝P (X ＝1)＝718， P (Y ＝12)＝P (X ＝2)＝718，P (Y ＝15)＝P (X ＝3)＝19. ∴随机变量Y 的分布列为11．(本小题满分12分)北京市政府为做好APEC 会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响．(1)求该海产品不能销售的概率；(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利—80元)．已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出均值E (ξ)．解：(1)设“该海产品不能销售”为事件A ， 则P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝14.所以，该海产品不能销售的概率为14.(2)由已知，可知ξ的可能取值为－320，－200，－80,40,160. P (ξ＝－320)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1256，P (ξ＝－200)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫143×34＝364，P (ξ＝－80)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128，P (ξ＝40)＝C 34×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (ξ＝160)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256.所以ξ的分布列为E (ξ)＝－320×1256－200×364－80×27128＋40×2764＋160×81256＝40.四、二项分布在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n .这时称X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )．当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．1. 某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率；(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．解：(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A ，B ，C ，由已知，得P (A )＝34，[1－P (A )][1－P (C )]＝112，∴P (C )＝23.又P (B )P (C )＝14，∴P (B )＝38. ∴该单位代表队答对此题的概率 P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－38×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝9196. (2)记X 为该单位代表队必答题答对的道数，Y 为必答题的得分，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，9196， ∴E (X )＝10×9196＝45548.而Y ＝20X －10×(10－X )＝30X －100， ∴E (Y )＝30E (X )－100＝1 4758≈184. 2．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的均值； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的均值． 解：(1)投篮1次，命中次数X 的分布列如表：则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布， 即Y ～B (5,0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.3．(本小题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？解：法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”． 因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1－415＝1115， 即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值E (3X 2)．由已知可得，X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，25， 所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45， 从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125. 因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含“X ＝0”“X ＝2”“X ＝3”三个两两互斥的事件． 因为P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝15，P (X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝25，P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－23×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E(X2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．五、正态分布1．正态分布N1(μ1，σ21)，N2(μ2，σ22)，N3(μ3，σ23)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示，则下列说法正确的是()A．μ1最大，σ1最大B．μ3最大，σ3最大C．μ1最大，σ3最大D．μ3最大，σ1最大解析：选D在正态曲线N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形式：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”．故由图象知σ1最大．故选D.2. (1)已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (0<X <4)＝0.8，则P (X >4)的值为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.6(2)2018年1月某校高三年级1 600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X ～N (100，σ2)(试卷满分为150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数约为( )A ．80B ．100C ．120D ．200(3)若随机变量ξ～N (2，σ2)，且P (ξ>3)＝0.158 7，则P (ξ>1)＝________. 解析：(1)∵随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，∴正态曲线的对称轴是x ＝2，∵P (0<X <4)＝0.8，∴P (X >4)＝12×(1－0.8)＝0.1，故选A.(2)∵X ～N (100，σ2)，∴其正态曲线关于直线x ＝100对称，又∵数学成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的34，∴由对称性知，数学成绩不低于120分的学生人数约为总人数的12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝18，∴此次考试中数学成绩不低于120分的学生人数约为18×1 600＝200.故选D.(3)∵随机变量ξ～N (2，σ2)，∴正态曲线关于x ＝2对称，∵P (ξ>3)＝0.158 7，∴P (ξ>1)＝P (ξ<3)＝1－0.158 7＝0.841 3.答案：(1)A (2)D (3)0.841 33．某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500,502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解：因为考生成绩X ～N (500,502)， 所以μ＝500，σ＝50，所以P＝(550<x≤600)＝12[P(500－2×50<x≤500＋2×50)－P(500－50<x≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398人．4．(本小题满分12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？解：(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70,100)，所以μ＝70，σ＝10.则P(X≥90)＝P(X≤50)＝12[1－P(50<X<90)]＝12[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]＝12×(1－0.954 4)＝0.022 8，120.022 8≈526.因此，此次参赛学生的总数约为526人．(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝12[1－P(60<X<80)]＝12[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，得526×0.158 7≈83.因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．六、茎叶图为了搞好世界大学生夏季运动会的接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高绘成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．解： (1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人．用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以选中的“高个子”有12×16＝2(人)，“非高个子”有18×16＝3(人)．用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A －表示“没有‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710.(2)由茎叶图知，“女高个子”有4人，“男高个子”有8人．依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，p (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，ξ的分布列为。
人教A版选修2-3第二章随机变量及其分布基础测试题
人教A 版选修2-3第二章随机变量及其分布基础测试题一、单选题1．已知1()2P B A =∣，3()8P AB =，则()P A 等于（ ） A ．316 B ．1316 C ．34D ．142．随机变量X 的分布列如下表，其中2b a c =+，且1c ab =，则(2)P X ==（ ） A ．47B ．45C ．14D ．2213．已知随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p ，且()2E X =，() 1.6D X =，则二项分布的参数n ，p 的值为（ ） A ．4n =，12p =B ．6n =，13p =C ．8n =，14p =D ．10n =，15p =4．设随机变量()~01X N ，，则()0P X ≤=（ ）A ．0B ．1C ． 12D ．1 45．某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（ ） A ．3pB ．3(1)p p -C ．334(1)C p p -D ．334C p6．某射手每次射击击中目标的概率都是45，则这名射手在3次射击中恰有2次击中目标的概率为（ ） A ．12125B ．16125C ．32125D ．481257．若随机变量X 的分布列为则X 的数学期望()EX 是（ ）A ．14B ．12C ．1D ．328．已知随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，若(2)(2)p c p c ξξ>+=<-，则c 的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．79．已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量X 是取出球的编号，数学期望为()E X ，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量Y 是取出球的编号，数学期望为()E Y ，则（ ） A ．(3)(3)P X P Y =>=且()()E X E Y > B ．(3)(3)P X P Y =>=且()()E X E Y < C ．(3)(3)P X P Y =<=且()()E X E Y > D ．(3)(3)P X P Y =<=且()()E X E Y <10．若随机变量ξ服从正态分布()22020,σN ，则()2020ξ<=P （ ）A ．12B ．11010C ．14D ．1202011．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ）A ．25B ．89C ．811D ．91112．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ） A ．至少取到1个白球 B ．取到白球的个数 C ．至多取到1个白球 D ．取到的球的个数二、填空题13．已知,A B 独立，若()0.66P AB =∣，则()P A =_____． 14．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是_________. 15．已知随机变量X 的分布列如下：若23YX =-，则(5)P Y =的值为________.16．某地有A ，B ，C ，D 四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A 到过疫区，B 确实是由A 感染的.对于C 难以判断是由A 或是由B 感染的，于是假定他是由A 和B 感染的概率都是12.同样也假定D 由A ，B 和C 感染的概率都是13.在这种假定下，B ，C ，D 中都是由A 感染的概率是______.三、解答题17．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金． （1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？ 18．某运动员射击一次所得环数X 的分布如下：现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ. （Ⅰ）求该运动员两次都命中7环的概率. （Ⅱ）求ξ的分布列及其数学期望.19．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)． (1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．20．一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球.如果不放回地依次取出2个球，回答下列问题： （1）第一次取出的是黑球的概率；（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率.21．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率； （2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由． 22．设离散型随机变量X 的分布列为求：（1）21X +的分布列； （2）求(14)P X <≤的值.参考答案1．C 【分析】根据条件概率公式计算． 【详解】由()()()P AB P BA P A =∣，可得()3()()4P AB P A P B A ==∣.故选：C. 2．A 【分析】由概率的性质可得1a b c ++=，结合已知条件求出a 的值，即可求解. 【详解】由概率的性质可得1a b c ++=，由2,1,21b a c c ab a b c =+⎧⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩得4,71,32,21a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩则4(2)7P X ==， 故选：A 3．D 【分析】利用离散型随机变量的期望与方差公式，转化求解即可. 【详解】解：随机变量X 服从二项分布，即(),XB n p ，且()2E X =，() 1.6D X =，可得2np =，()1 1.6np p -=，解得0.2p =，10n =， 故选：D. 【点睛】此题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查二项分布的性质，属于基础题4．C 【分析】根据正态分布曲线的对称性得结论． 【详解】因为随机变量()~01X N ，，所以正态曲线关于X 0=对称，所以()0P X ≤=12． 5．C 【分析】根据独立重复试验的概率计算公式，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】由题意，从这批产品中任取4件，所得次品数记作X ， 则X 服从二项分布，即()4,XB p ，所以从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是()3343(1)P X C p p ==-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求独立重复试验对应的概率，属于基础题型. 6．D 【分析】利用n 次独立重复实验恰好发生k 次的概率公式计算，即可求解. 【详解】这名射手在3次射击中有2次击中目标，有1次没有击中目标，所以概率为：223414855125C ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】本题主要考查了独立重复事件的概率公式，属于基础题. 7．C 【分析】由数学期望的计算公式直接求解即可 【详解】解：由题意得()1110121424E X =⨯+⨯+⨯=，故选：C 【点睛】此题考查由离散型随机变量的分布列求数学期望，属于基础题 8．B 【分析】随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，得到曲线关于5x =对称，根据(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，结合曲线的对称性列方程，从而解出常数c 的值得到结果.【详解】随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，∴曲线关于5x =对称，(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，2210c c ∴++-=， 5c ∴=，故选：B . 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题. 9．C 【分析】求出(3),(3)P X P Y ==，(),()E X E Y ，即得解. 【详解】 由题1(3)6P X ==，1(3)5P Y ==， 1111117()1234566666662E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，11111()12345355555E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：C 【点睛】本题主要考查概率的计算和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．A 【分析】根据正态分布的对称性可得选项. 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22020,σN ，所以2020u =，根据正态分布图象的对称性可知，图象关于2020x =对称，所以1(2020)2P ξ<=， 故选：A. 【点睛】本题考查正态分布的性质，属于基础题. 11．C 【分析】在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率÷ 下雨的概率 【详解】在下雨条件下吹东风的概率为8830=111130，选C【点睛】本题考查条件概率的计算，属于简单题． 12．B 【分析】根据随机变量的定义，即可求解. 【详解】根据离散型随机变量的定义可得选项B 是随机变量，其可以一一列出， 其中随机变量X 的取值0,1,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了随机变量的定义及其应用，准确理解随机变量的概念是解答的关键，属于基础题. 13．0.34 【分析】根据,A B 独立，由()()1()P AB P A P A ==-∣求解. 【详解】 因为,A B 独立，所以()()1()0.66P AB P A P A ==-=∣， 所以()0.34P A =． 故答案为：0.34 14．0.175 【分析】设1B =“他是谨慎的”，2B =“他是一般的”，3B =“他是冒失的”，事件A =“出事故”，由全概率公式求解. 【详解】设1B =“他是谨慎的”，2B =“他是一般的”，3B =“他是冒失的”， 则123,,B B B 构成了Ω的一个划分，设事件A =“出事故”， 由全概率公式得，()()31()(1,2,3)0.0520%0.1550%0.3030%0.175i i i P A P B P A B i ====⨯+⨯+⨯=∑∣.故答案为：0.175 15．0.2 【分析】 利用23YX =-，求出X 的值，观察表格即可.【详解】 当5Y =时，由235X -=得4X =， 所以(5)(4)0.2P Y P X ====.故答案为：0.2. 16．16【分析】利用相互独立事件概率乘法公式，即可求得答案 【详解】在这种假定下，B ，C ，D 中都是由A 感染的概率为：1211136P =⨯⨯=. 故答案为：16. 17．（1）分布列如图，34E ξ=；（2）143144D η= 【详解】试题分析：本题主要考查生活中的概率知识，离散型随机变量的分布列和数学期望以及二项分布的方差问题，考查学生的分析能力和计算能力.第一问，10个球中摸3个，所以基本事件总数为310C ，ξ的可能取值为4种，分别数出每一种情况符合题意的种数，与基本事件总数相除求出4个概率值，列出分布列，利用1122n n E x p x p x p ξ=+++求期望；第二问，利用第一问分布列的结论，用间接法先求出乙一次抽奖中奖的概率，通过分析题意，可得中奖次数η符合二项分布，利用(1)D np p η=-的公式计算方差.试题解析：（1）甲抽奖一次，基本事件的总数为310=120C ，奖金ξ的所有可能取值为0,30,60,240.一等奖的情况只有一种，所有奖金为120元的概率为1(240)120P ξ==， 三球连号的情况有1,2,3；2,3,4；……8,9,10共8种，得60元的概率为81(60)12015P ξ===， 仅有两球连号中，对应1,2与9,10的各有7种：对应2,3；3,4；……8,9各有6种. 得奖金30元的概率为72677(30)12015P ξ⨯+⨯===，得奖金0元的概率为11711(0)1120151524P ξ==---=， ξ的分布列为：117110306024034 241515120Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (2)由(1)可得乙一次抽奖中中奖的概率为四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数故131114342424144 Dη=⨯⨯=.考点：1.离散型随机变量的分布列和数学期望；2.二项分布；3.方差.18．(I) 0.04(II)(III) 9.07【解析】本试题主要考查了独立事件概率的乘法公式好分布列的求解，以及期望公式的的综合运用．（1）中，利用两次都命中事件同时发生的概率乘法公式得到（2）中，因为由题意可知ξ可能取值为7、8、9、10，那么分别得到各个取值的概率值，得到分布列．（3）利用期望公式求解期望值．解：（I）由题意知运动员两次射击是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到，该运动员两次都命中7环的概率为P=0.2×0.2=0.04（II）ξ可能取值为7、8、9、10P（ξ=7）=0.04 P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3+0.32=0.39P（ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.0719．(1)67(2)见解析【解析】（1）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）==P（X=4）==X的分布列为EX==20．（1）35（2）310【分析】（1）利用古典概率的求解方法进行求解；（2）利用独立事件同时发生的概率公式求解. 【详解】依题意，设事件A 表示“第一次取出的是黑球”，事件B 表示“第二次取出的是白球”. （1）黑球有3个，球的总数为5个，所以()35P A =. （2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为()3235410P AB ⨯==⨯. 【点睛】本题主要考查古典概率模型和独立事件的概率求解，题目较为简单，侧重考查数学运算的核心素养. 21．（1）23196.（2）见解析 【解析】试题分析：（1）为古典概型，利用组合数公式计算基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的总数即可.（2）为计算离散型随机变量的分布列和数学期望，利用公式计算即可．（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ，则()32535023196C P M C ==.（2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，则当38a =时，386228X =⨯=，当39a =时，396234X =⨯=，当40a =时，406240X =⨯=，当41a =时，40617247X =⨯+⨯=，当42a =时，40627254X =⨯+⨯=.所以X 的所有可能取值为228，234，240，247，254.故X 的分布列为：所以()11121228234240247254241.81055510E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8+⨯=元.由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.因为238.8241.8<，故推荐小王去乙公司应聘.22．（1）见解析；（2）0.7 【分析】根据概率和为1列方程，求得m 的值.（1）根据分布列的知识，求得21X +对应的分布列.（2）利用(14)(2)(3)(4)P X P X P X P X <≤==+=+=求得(14)P X <≤的值. 【详解】由分布列的性质知：0.20.10.10.31m ++++=，解得0.3m = （1）由题意可知(211)(0)0.2P X P X +====，(213)(1)0.1P X P X +====，(215)(2)0.1P X P X +====(217)(3)0.3P X P X +====，(219)(4)0.3P X P X +====所以21X +的分布列为：（2）(14)(2)(3)(4)0.10.30.30.7P X P X P X P X <≤==+=+==++= 【点睛】本小题主要考查分布列的计算，属于基础题.。
数学：第二章《随机变量及其分布》测试(1)(新人教A版选修2-3)
高中新课标选修（2-3）第二章随机变量及其分布测试题一、选择题1．将一枚均匀骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（）Ａ．第一次出现的点数Ｂ．第二次出现的点数Ｃ．两次出现点数之和Ｄ．两次出现相同点的种数答案：C2．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310为（）Ａ．恰有1只坏的概率Ｂ．恰有2只好的概率Ｃ．4只全是好的概率Ｄ．至多2只坏的概率答案：BX表示击中目标的次数，则(2)P X≥等于（）Ａ．81125Ｂ．54125Ｃ．36125Ｄ．27125答案：A4．采用简单随机抽样从个体为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体a，前两次没被抽到，第三次恰好被抽到的概率为（）Ａ．12Ｂ．13Ｃ．15Ｄ．16答案：D5．设~(100.8)X B，，则(21)D X+等于（）答案：Ｃ6．在一次反恐）答案：Ｄ7．设1~24X N⎛⎫-⎪⎝⎭，，则X落在(][)3.50.5---+，，∞∞内的概率是（）Ａ．95.4%Ｂ．99.7%Ｃ．4.6%Ｄ．0.3%答案：Ｄ8．设随机变量X0 1 2 30．1 0．10.2-0.4-答案：Ｃ9．任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则DX等于（）Ａ．67Ｂ．2449Ｃ．3649Ｄ．4849答案：Ｂ10．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X表示取出竹签的最大号码，则EX 的值为（ ）Ａ．4 Ｄ．5 答案：Ｂ11．袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是（ ）Ａ．甲多 Ｂ．乙多 Ｃ．一样多 Ｄ．不确定 答案：Ｃ，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如下表所示的分布：200 300 400 5000．200．350．30 0．15若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ）Ａ．706元 Ｂ．690元 Ｃ．754元 Ｄ．720元答案：Ａ 二、填空题13．事件A B C ，，相互独立，若111()()()688P A B P B C P A B C ===，，····，则()P B = ．答案：1214．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若(4)0.3P X <=，则EX 等于 ． 15．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ．答案：215⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 16．某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%．下表是过去200例类似项目开发的实施结果． 则该公司一年后估计可获收益的均值是 元． 答案：4760 三、解答题17．掷3枚均匀硬币一次，求正面个数与反面个数之差X 的分布列，并求其均值和方差．解：3X =-，1-，1，3，且1111(3)2228P X =-=⨯⨯=；213113(1)228P X C ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭，213113(1)228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；1111(3)222P X ==⨯⨯=，1303EX DX ==，∴18．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求（1）恰有1人译出密码的概率；（2）若达到译出密码的概率为99100，至少需要多少乙这样的人． 解：设“甲译出密码”为事件A ；“乙译出密码”为事件B ， 则11()()34P A P B ==，．（1）13215()()343412P P A B P A B =+=⨯+⨯=··．（2）n 个乙这样的人都译不出密码的概率为114n⎛⎫- ⎪⎝⎭．199114100n⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴≥．解得17n ≥．达到译出密码的概率为99100，至少需要17人. 19．生产工艺工程中产品的尺寸偏差2(mm)~(02)X N ，，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm 的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率． 解：由题意2~(02)X N ，，求得(4)(44)0.9544P X P X =-=≤≤≤． 设Y 表示5件产品中合格品个数，则~(50.9544)Y B ，．0.18920.79190.981≈+≈．20．甲、乙、丙三名射击选手，各射击一次，击中目标的概率如下表所示(01)p <<：选手甲乙丙概率若三人各射击一次，恰有k 名选手击中目标的概率记为()0123k P P X k k ===，，，，． (1) 求X 的分布列；（2）若击中目标人数的均值是2，求P 的值．解：（1）201(1)2P p =-；2211111(1)2(1)2222P P p p p =-+-=-+·， 2221112(1)222P p p p p p =-+=-+··，2312P p =， X ∴的分布列为 0123（2）22221111110(1)1232222222EX p p p p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-++⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222p +=∴，34p =∴．21．张华同学上学途中必须经过A B C D ，，，四个交通岗，其中在A B ，岗遇到红灯的概率均为12，在C D ，岗遇到红灯的概率均为13．假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数．（1）若3x ≥，就会迟到，求张华不迟到的概率；（2）求EX ． 解：（1）2221122111121(3)232336P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭·····； 22111(4)2336P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·．故张华不迟到的概率为29(2)1(3)(4)36P X P X P X =-=-==≤． （2）X 的分布列为123411131150123493366363EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴.22．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100m 处击中目标的概率为12，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的． （1）求这位射手在三次射击中命中目标的概率； （2）求这位射手在这次射击比赛中得分的均值． 解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A B C ，，，三次都未击中目标为事件D ，依题意1()2P A =，设在x m 处击中目标的概率为()P x ，则2()k P x x =，且212100k=， 5000k =∴，即25000()P x x =， 250002()1509P B ==∴，250001()2008P C ==，17749()298144P D =⨯⨯=． （1） 由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率()()()P P A P AB P A B C =++ (11212195)111229298144⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭···． （2）依题意，设射手甲得分为X ，则1(3)2P X ==， 121(2)299P X ==⨯=，1717(1)298144P X ==⨯⨯=，49(0)144P X ==， 117492558532102914414414448EX =⨯+⨯+⨯+⨯==∴．。
人教版高中数学选修2-3第二章随机变量及其分布单元测试(二)及参考答案
2018-2019学年选修2-3第二章训练卷随机变量及其分布(二)注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设在一次试验中事件A 出现的概率为p,在n 次独立重复试验中事件A 出现k 次的概率为p k ,则( )A.p 1＋p 2＋…＋n p ＝1B.p 0＋p 1＋p 2＋…＋n p ＝1C.p 0＋p 1＋p 2＋…＋n p ＝0D.p 1＋p 2＋…＋1n p -＝12.设随机变量ξ等可能取值1,2,3,…,n.如果P(ξ<4)＝0.3,那么( ) A.n ＝3 B.n ＝4 C.n ＝10D.n 不能确定3.甲、乙、丙三人参加某项测试,他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5,则三人中至少有一人达标的概率是( ) A.0.16B.0.24C.0.96D.0.044.设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ,若()1P p ξ>=,则()10P ξ-<<=( ) A.12p + B.1p - C.12p -D.12p - 5.将一枚硬币连掷5次,如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率,则k 的值为( ) A.0B.1C.2D.36.设样本数据x 1,x 2,…,x 10的均值和方差分别为1和4,若i i y x a =+(a 为非零常数,i ＝1,2,…,10),则y 1,y 2,…,y 10的均值和方差分别为( ) A.1a +,4B.1a +,4a +C.1,4D.1,4a +7.某校14岁女生的平均身高为154.4 cm,标准差是5.1 cm,如果身高服从正态分布,那么在该校200个14岁女生中身高在164.6 cm 以上的约有( ) A.5人B.6人C.7人D.8人8.已知随机变量ξ的分布列为则ξ的数学期望是( ) A.2 B.2.1C.2.3D.随m 的变化而变化9.张家的3个鸡仔钻进了李家装有3个鸡仔的鸡笼里,现打开笼门,让鸡仔一个一个地走出来,若第一个走出的是张家的鸡仔,那么第二个走出的也是张家的鸡仔的概率是( ) A.25B.23C.15D.3510.某市教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如下图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由图中曲线可得下列说法中正确的是( )A.甲科总体的标准差最小B.乙科总体的标准差及平均数都居中C.丙科总体的平均数最小D.甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同11.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b,不得分的概率为(),,0,1c a b c ∈⎡⎤⎣⎦,已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况),则ab 的最大值为( )此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号考场号 座位号A.148B.124C.112D.1612.某个游戏中,一个珠子按如图所示的通道,由上至下的滑下,从最下面的六个出口出来,规定猜中者为胜,如果你在该游戏中,猜得珠子从出口3出来,那么你取胜的概率为()A.516B.532C.16D.以上都不对二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.甲、乙同时炮击一架敌机,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,敌机被击中的概率为________.14.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为________.15.在等差数列{}n a 中,42a =,74a =-.现从{}n a 的前10项中随机取数,每次取出一个数,取后放回,连续抽取3次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________(用数字作答).16.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球,以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号). ①P(B)＝25；②P(B|A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定,∵它与A 1,A 2,A 3中究竟哪一个发生有关.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张,将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞,求2张都是假钞的概率.18.(12分)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为12,乙每次击中目标的概率为23.(1)记甲击中目标的次数为X,求X 的概率分布列及数学期望EX ； (2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.19.(12分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)20.(12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表：(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.21.(12分)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用X 表示取出的3个小球上的最大数字,求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率.22.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一些质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求EX.附：150≈12.2.若Z～N(μ,σ2),则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826,P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544.2018-2019学年选修2-3第二章训练卷随机变量及其分布(二)答 案一、选择题. 1.【答案】B【解析】由题意可知ξ～B(n,p),由分布列的性质可知∑k ＝0np k ＝1.故选B.2.【答案】C【解析】∵ξ是等可能地取值,∴P(ξ＝k)＝1n (k ＝1,2,…,n),∴P(ξ<4)＝3n ＝0.3,∴n ＝10.故选C.3.【答案】C【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04, 故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.故选C. 4.【答案】D【解析】()()()()1111121011112222P P p P P ξξξξ<<<<>>-=-=-=-=-⎡⎤⎣⎦. 故选D. 5.【答案】C【解析】由51511551111C C2222kkk k k k -+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即155C C k k +=.∴()15k k ++=.∴2k =.故选C.6.【答案】A【解析】给每个数据都加上常数a 后,均值也增加a ,方差不变,故选A. 7.【答案】A【解析】设某校14岁女生的身高为X(cm),则()2154.4,5.1X N ～. 由于P(154.4－2×5.1<X≤154.4＋2×5.1)＝0.9544, ∴P(X>164.6)＝12×(1－0.9544)＝0.0228.∵200×0.0228＝4.56,∴身高在164.6 cm 以上的约有5人.故选A. 8.【答案】B【解析】∵0.2＋0.5＋m ＝1,∴m ＝0.3,∴Eξ＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.故选B. 9.【答案】A【解析】∵()2326A A P AB =,()1316A A P A =,∴()()()2|=5P A P B P A B A =,故选A.10.【答案】A【解析】从甲、乙、丙三科曲线可知,它们总体的平均数相同,且甲科曲线“瘦高”, ∴甲科标准差最小,只有A 正确.故选A. 11.【答案】B【解析】由已知得3201a b c ++⨯=,即321a b +=, ∴221132111326626224a b ab a b +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅≤=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当且仅当1322a b ==,即16a =,14b =时取“等号”,故选B. 12.【答案】A【解析】由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法, 因而基本事件个数为25.而从出口3出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”,即共25C 条路线,故所求的概率为255C 5216=.故选A.二、填空题. 13.【答案】0.8【解析】()()()1P P P =-敌机被击中甲未击中敌机乙未击中敌机()()110.610.510.20.8--⨯--===.14.【答案】16【解析】十个数中任取七个不同的数共有710C 种情况,七个数的中位数为6,那么6只有处在中间位置,有36C 种情况,于是所求概率36710C 1C 6P ==.15.【答案】625【解析】由42a =,74a =-可得等差数列{}n a 的通项公式为()1021,2,,10n a n n -==.由题意,三次取数相当于三次独立重复试验,在每次试验中取得正数的概率为25,取得负数的概率为12,在三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为2123216C 5225⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 16.【答案】②④【解析】由题意知P(B)的值是由A 1,A 2,A 3中某一个事件发生所决定的,故①③错误；∵()()()1111552111112P B A P B A P A ⨯===,故②正确；由互斥事件的定义知④正确,()11115554111110111011C C C C 9C C C C 22P B =⨯+⨯=.三、解答题. 17.【答案】217. 【解析】若A 表示“抽到的2张都为假钞”,B 表示“抽到的2张中至少有1张为假钞”,则所求概率为P(A|B).又()()25220C C P AB P A ==；()2115515220C C C C P B +=,∴()()()252115515C 102C C C 8517P AB P A B P B ====+. 18.【答案】(1)1.5；(2)1927；(3)124.【解析】(1)X 的概率分布列为EX ＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5或EX ＝3×12＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为3332191C 327⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1,甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B 2,则A ＝B 1＋B 2. B 1、B 2为互斥事件,P(A)＝P(B 1)＋P(B 2)＝38×127＋18×29＝124.19.【答案】(1)213；(2)分布列见解析,1213；(3)3月5日.【解析】设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市” ()i 1,2,,13=.根据题意,P(A i )＝113,且()i ij A A j =∅≠.(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则58B A A =.∴()()()()5858213P B P A A P A P A ==+=. (2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2, 且()()()()()()36711367114113P X P A A A A P A P A P A P A ==+++==, ()()()()()1212131212134)213(P X P A A A A P A P A P A P A ==+++==, ()()()5011213P X P X P X ==-==-=. ∴X 的分布列为故X 的期望EX ＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 20.【答案】(1)见解析；(2)0.896.【解析】(1)设A 表示事件“作物产量为300 kg”,B 表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)＝0.5,P(B)＝0.4, ∵利润＝产量×市场价格－成本, ∴X 所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000, 300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.()()()()()10.510.40.40003P A P B P X ==-⨯-==,()()()()()()()10.50.420000.510.40.5P A P B P A P B P X =+=-⨯+⨯-==,()()()0.50.408.200P A P B P X ==⨯==, ∴X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 由题意知C 1,C 2,C 3相互独立,由(1)知,P(C i )＝P(X ＝4000)＋P(X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3),3季的利润均不少于2000元的概率为P(C 1C 2C 3)＝P(C 1)P(C 2)P(C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季的利润不少于2000元的概率为()()()212312312330.80.20.384P C C C P C C C P C C C ++=⨯⨯=,∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 21.【答案】(1)23；(2)见解析；(3)1330.【解析】(1)“取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则()31115222310C C C C 2C 3P A ==. (2)由题意,X 的可能取值为2,3,4,5.()21122222310C C +C C 12C 30P X ===；()21124242310C C +C C 23C 15P X ===； ()21126262310C C +C C 34C 10P X ===；()21128282310C C +C C 85C 15P X ===. ∴随机变量X 的概率分布列为(3)“则P(C)＝P(X ＝3)＋P(X ＝4)＝215＋310＝1330. 22.【答案】(1)200x =, 2150s =；(2)①0.6826；②68.26.【解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 200=,()()()2222222300.02200.091002200.33100.24200.08300.02s =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯-． 150=.(2)①由(1)知,Z ～N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826.②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826, 依题意知X ～B(100,0.6826),∴EX ＝100×0.6826＝68.26.。
高中数学选修2-3 随机变量及其分布检测题 附答案解析
第二章随机变量及其分布一、选择题1．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个元素，取到偶数的个数为随机变量，则此随机变量的取值为()．A ．2，4B ．0，2C ．1，2D ．0，1，22．已知随机变量X 的分布列如下，则X 取负数的概率为()．A ．0.1B ．0.4C ．0.5D ．0.043．设随机变量X 等可能的取值1，2，3，…，n ，如果P (X ＜4)＝0.3，那么()．A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝9D ．n ＝104．已知随机变量X 服从两点分布，EX ＝0.7，则其成功概率为()．A ．0B ．1C ．0.3D ．0.75．在15件产品中，有7件为次品，现从中任意选10件，用X 表示这10件产品中的次品数，下列概率等于10156847C C C 的是()．A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)6．某地区干旱的概率为0.1，干旱且同时发生蝗灾的概率为0.01．若此地区现处于干旱中，则发生蝗灾的概率为()．A ．0.11B ．0.1C ．0.001D ．0.097．若X ～N (μ，σ2)，P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.7，则P (X ≤μ－σ)＝()．A ．0.15B ．0.3C ．0.35D ．0.658．A ，B ，C 三人射击一次击中目标概率分别为0.2、0.6、0.7，现让三人同时射击，恰有1人击中目标的概率为()．A ．0.392B ．0.608C ．0.084D ．0.0969．设随机变量X 服从分布B (n ，p )，且EX ＝1．6，DX ＝1.28，则()．A ．n ＝8，p ＝0.2B ．n ＝4，p ＝0.4C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.4510．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是()．A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.9728X －2－101P0.10.40.30.2二、填空题11．100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件．已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是．12．设随机变量X 的概率分布是P (X ＝k )＝k5a ，a 为常数，k ＝1，2，3，则a ＝_________．13．若随机变量X 服从正态分布，正态曲线上最高点的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛π212 ，，则X 的平均值是_____，标准差是________．14．在10个球中有6个红球，4个白球，不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是__________．15．甲，乙两个工人在同样的条件下生产同一产品，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列：工人甲乙废品数01230123概率0.40.30.20.10.30.50.2则______生产的产品质量好一些．16．某机床加工1个零件得到正品的概率是0.9．现连续加工4个，且各次加工的结果相互之间没有影响．有下列结论：①第3次加工得正品的概率是0.9；②恰好加工出3个正品的概率是0.93×0.1；③至少加工出1个正品的概率是1－0.14．其中正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号)．三、解答题17．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．设随机变量X 表示所选3人中女生的人数．(1)求X 的分布列；(2)求X 的数学期望；(3)求“所选3人中女生人数X ≤1”的概率．18．甲、乙两同学参加100m 跑步测试．已知他们跑步成绩相互间不受影响，能得到优秀的概率分别为0.8和0.9，求：(1)2人都得到优秀成绩的概率；(2)有且仅有1人优秀的概率；(3)至多有1人优秀的概率．19．抛掷一颗骰子两次，(1)设随机变量X ＝⎪⎩⎪⎨⎧求X 的分布列、均值和方差；(2)在第一次掷得的点数是偶数的条件下，求第二次掷得的点数也是偶数的概率．20．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32，(1)记甲击中目标的次数为X ，求X 的概率分布及EX ；(2)求乙恰好击中目标2次的概率；(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．0，两次得到的点数不同，1，两次得到的点数相同，参考答案一、选择题1．D解析：可以不取偶数，在1，3，5中任取两个；也可以在偶数2，4中任取一个，再在1，3，5中任取一个；还可以取偶数2，4．所以取到偶数的个数是0个、1个或2个．故选D ．2．C解析：0.1＋0.4＝0.5．故选C ．3．D解析：由“等可能”知X 取每一个值的概率都为0.1．故选D ．4．D解析：EX ＝0×(1－p )＋1×p ＝0.7，所以p ＝0.7．故选D ．5．C解析：概率算式表示的事件为：选中4件次品，6件正品．故选C ．6．B解析：记干旱、蝗灾的事件为A ，B ，P (B |A )＝)()(A P AB P ＝10010..＝0.1．故选B ．7．A解析：P (X ≤μ－σ或X ＞μ＋σ)＝1－0.7，由正态曲线对称性，P (X ≤μ－σ)＝0.15．故选A ．8．A解析：P ＝P (C B A )＋P (C B A )＋P (C B A )＝0.2·0.4·0.3＋0.8·0.6·0.3＋0.8·0.4·0.7＝0.392．故选A ．9．A解析：⎪⎩⎪⎨⎧ 1.28＝－11.6)(p np np ＝⇒⎪⎩⎪⎨⎧0.2＝8p n ＝．故选A ．10．D解析：P ＝04C 0.200.84＋14C 0.210.83＋24C 0.220.82＝0.9728．故选D ．二、填空题11．9995．解析：剩下99中有95件正品，故第2次抽出正品的概率是9995．12．12531．解析：由a 51＋a 52＋a 53＝1得a ＝12531．13．2；1．解析：正态曲线上最高点的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛π21σμ ，，故μ＝2，σ＝1．14．59．解析：设第1次摸出红球为事件A ，第2次摸出红球为事件B ，P (B |A )＝)()(A n AB n ＝3054＝59．15．乙．解析：E (甲)＝1＞E (乙)＝0.9，故乙生产的产品质量好一些．16．①③．解析：由于各次加工的结果相互之间没有影响，所以①正确；恰好加工出3个正品的概率＝34C 0.93×0.1，所以②错误；至少加工出1个正品的对立事件是加工出4个零件全是次品，所以③正确．故正确结论的序号是①③．三、解答题17．(1)P (X ＝0)＝3634C C ＝0.2，P (X ＝1)＝361224C C C ＝0.6，P (X ＝2)＝362214C C C ＝0.2，∴X 分布列为:(2)EX ＝0×0.2＋1×0.6＋2×0.2＝1．(3)“所选3人中女生人数X ≤1”的概率为P (X ≤1)＝0.2＋0.6＝0.8．18．(1)解：记“甲测试优秀”为事件A ，“乙测试优秀”为事件B ，2人都优秀的概率为：P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72．X012P0.20.60.2(2)有且仅有1人优秀的概率为：P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26．(3)解法一：“至多有1人优秀”包括“有1人优秀”和“2人都不优秀”，故所求概率为P ＝P (A ·B )＋P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28．解法二：“至多有1人优秀”的对立事件是“2人都优秀”，所求概率为P ＝1－P (A ·B )＝1－P (A )·P (B )＝1－0.72＝0.28．19．解：(1)两次得到的点数相同时，有6种情况，故P (X ＝1)＝61＝366，由互斥事件概率公式得，P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝65，所以所求分布列是EX ＝1×61＋0×65＝61，DX ＝61261－1⎪⎭⎫ ⎝⎛＋65261－0⎪⎭⎫ ⎝⎛＝365．(2)设第一次掷得点数是偶数的事件为A ，第二次掷得点数是偶数的事件为B ，所求概率为P (B |A )＝)()(A P AB P ＝)()(A n AB n ＝189＝21或P (B |A )＝)()(A P AB P ＝3618369＝21．20．解：(1)X ～B ⎪⎭⎫ ⎝⎛213 ，，X 的分布列为X 0123P18383818E (X )＝0×81＋1×83＋2×83＋3×81＝1.5或E (X )＝3×21＝1.5．(2)乙恰好击中目标2次的概率为94＝3132C 223⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛．X 10P1656(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B ，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件C ，则：P (A )＝P (B )＋P (C )＝92 81＋271 83··＝241．。
高二数学-选修2-3--随机变量及其分布-单元测试
高二数学-选修2-3--随机变量及其分布-单元测试-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2东莞中学高二数学 选修2-3 第二章《随机变量及其分布》单元测试一、选择题：将答案填在后面的表格里！1.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为: A.41004901C C -B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .2.位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是21．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是：A.5)21(B.525)21(CC.335)21(CD.53525)21(C C3.甲,乙两个工人在同样的条件下生产,日产量相等,每天出废品的情况如下表所列,则有结论:A 甲的产品质量比乙的产品质量好一些；B 乙的产品质量比甲的产品质量好一些；C 两人的产品质量一样好；D 无法判断谁的质量好一些；4.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 A. 0．216 B.0．36 C.0．432 D.0．6485.把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是: A ．40243B ．1027C ．516D ．102436.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于: A 9160 B 21 C 185 D 216917.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是:A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 8.从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是A ．2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率C ．至少有一个个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率9.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是101，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为:A ．1001 B ．2507 C ．2501 D ．10001 10.右图中有一个信号源和五个接收器。
高二数学-选修2-3--随机变量及其分布-单元测试
一、选择题：将答案填在后面的表格里！1.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为: A.41004901C C -B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .2.位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是21．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是：A.5)21(B.525)21(CC.335)21(CD.53525)21(C C3.甲,乙两个工人在同样的条件下生产,日产量相等,每天出废品的情况如下表所列,则有结论:甲的产品质量比乙A 的产品质量好一些；B 乙的产品质量比甲的产品质量好一些； { C 两人的产品质量一样好； D 无法判断谁的质量好一些；4.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是A. 0．216 ．36 C.0．432 ．648 5.把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是: A ．40243 B ．1027 C ．516D ．102436.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于: A 9160 B 21 C 185 D 216917.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是: A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 ￥8.从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是 C ．至少有一个个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率 9.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是101，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为: A ．1001 B ．2507 C ．2501 D ．10001 10.右图中有一个信号源和五个接收器。
选修2-3：第二章 随机变量及其分布 单元测试题
选修2-3 第二章 随机变量及其分布列一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．已知随机变量ξ的概率分布列如下：则P (ξ＝A.239 B.2310 C.139 D.1310 2．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是( )A ．0.146 2B ．0.153 8C ．0.996 2D ．0.853 8 3．已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：则其数学期望E (ξ)等于( )A ．1B ．0.6C ．2＋3mD ．2.4 4．已知随机变量X 服从二项分布X ～B (6，13)，则P (X ＝2)等于( )A.1316B.4243C.13243D.80243 5．投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是( )A.38B.12C.58D.786．在比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率是23，那么在五次比赛中运动员A 恰有三次获胜的概率是( )A.40243B.80243C.110243D.202437．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4 8.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为( )A.516B.532C.16 D ．以上都不对 9．已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ 10 20 30 P0.6a14－a 2则D (3ξ－3)等于( )A ．42B ．135C ．402D ．405 10．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)等于( )A.12p B ．1－p C ．1－2p D.12－p 11．一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.164B.5564C.18D.116 12．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )A.A1B．A2 C．A3D．A4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，14这10个值，且取每一个值的概率均相等，则P(ξ≥10)＝______；P(6<ξ≤14)＝________.14．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．15．如果随机变量ξ服从N(μ，σ)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，那么μ＝________，σ＝________.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)一个口袋中有5个同样大小的球，编号为3,4,5,6,7，从中同时取出3个小球，以ξ表示取出的球的最小号码，求ξ的分布列．18.(12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．19．(12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.(1)记甲击中目标的次数为X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )； (2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．20．(12分)老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．21．(12分)甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数X 稳定在7,8,9,10环．他们的这次成绩画成频率分布直方图如下图所示：(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P (X 乙＝8)，并求甲、乙同时击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高．22．(2012·陕西)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望．第二章 随机变量及其分布列1.答案 C解析 P (ξ＝10)＝1－P (ξ＝1)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)－…－P (ξ＝9)＝1－23－232－…－239＝139.2.答案 A解析 所求的概率为1－C 237C 240＝1－37×3640×39＝0.146 2.3.答案 D解析 ∵0.5＋m ＋0.2＝1，∴m ＝0.3. ∴E (ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 4.答案 D解析 P (X ＝2)＝C 26·(23)4·(13)2＝80243. 5.答案 D解析 P (至少有一枚正面)＝1－P (三枚均为反面)＝1－(12)3＝78.6.答案 B解析 所求概率为C 35(23)3×(1－23)2＝80243. 7.答案 C解析 P (ξ＝k )＝16(k ＝1,2,3，…，6)，∴E (ξ)＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝16(1＋2＋ (6)＝16×[6×(1＋6)2]＝3.5. 8.答案 A解析 由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C 25条路线，故所求的概率为C 2525＝516. 9.答案 D 10.答案 D解析 由于随机变量服从正态分布N (0,1)，由标准正态分布图像可得P (－1<ξ<1)＝1－2P (ξ>1)＝1－2p . 故P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝12－p .11.答案 B解析 设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则P (T )＝P (R )＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率为P ＝1－P (T )·P (R )·P (C )·P (D )＝5564.12.答案 C 13.答案 25，45解析 由题意P (ξ＝k )＝110(k ＝5,6，…，14)，P (ξ≥10)＝4×110＝55.P (6<ξ≤14)＝8×110＝45.14.答案 0.8解析 P (敌机被击中)＝1－P (甲未击中敌机)P (乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝1－0.2＝0.8. 15.答案 3,1解析 ∵ξ～N (μ，σ)，∴E (ξ)＝μ＝3，D (ξ)＝σ2＝1，∴σ＝1. 16.答案 0.128解析 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.17.解析 ξ的取值分别为3,4,5，P (ξ＝5)＝C 22C 35＝110，P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝3)＝C 24C 35＝35，所以ξ的分布列为18.解析 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P (ξ＝0)＝C 4C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15. ∴ξ的分布列为(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ， 则P (C )＝C 34C 36＝420＝15.∴所求概率为P (C )＝1－P (C)＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12；P (B |A )＝C 14C 25＝410＝25.19.解析 (1)X 的概率分布列为E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5或E (X )＝3×12＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C 33(23)3＝1927. (3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1、B 2为互斥事件，P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝38×127＋18×29＝124.20.解析 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则X 为离散型随机变量，且X 服从超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3，当X ＝0时，P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，当X ＝1时，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，当X ＝2时，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，当X ＝3时，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16，则可得X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.21.解析 (1)由图可知：P (X 乙＝7)＝0.2，P (X 乙＝9)＝0.2， P (X 乙＝10)＝0.35.所以P (X 乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25. 同理P (X 甲＝7)＝0.2，P (X 甲＝8)＝0.15， P (X 甲＝9)＝0.3.所以P (X 甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35. 因为P (X 甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65， P (X 乙≥9)＝0.2＋0.35＝0.55.所以甲、乙同时击中9环以上(包含9环)的概率为 P ＝P (X 甲≥9)·P (X 乙≥9)＝0.65×0.55＝0.357 5.(2)因为E (X 甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8， E (X 乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7， E (X 甲)>E (X 乙)，所以估计甲的水平更高．22.解析 设Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y 的分布列如下：(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A 对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)方法一X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为：E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.方法二X的所有可能取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49.所以X的分布列为：E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.。
高中数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布 章末检测题
高中数学选修2-3第二章 随机变量及其分布 章末检测题（满分150分，时间120分钟）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表格可以作为ξ的分布列的是( )【解析】根据分布列的性质各概率之和等于1，易知D 正确． 【答案】D2．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )A.49B.29C.427D.227【解析】213124339P C ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】A3．某射手射击所得的环数X 的分布列如下：如果命中8～10环为优秀，则该射手射击一次为优秀的概率是( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.5D ．0.6【解析】从分布列中不难看出该射手命中环数不小于8环的概率是0.3＋0.25＋0.05＝0.6.【答案】D4．某镇互不认识的甲、乙两个体老板准备在同一天在同一车站乘车进城进货，甲乘座第一班车的概率为0.7，乙乘座第一班车的概率为0.8，则其中至少有一人乘座第一班车的概率为( )A ．0.06B ．0.15C ．0.56D ．0.94【解析】P ＝1－0.3×0.2＝0.94. 【答案】D5．已知随机变量ξ的分布列为：又变量η＝4ξ＋3，则η的期望是( ) A.72 B.52 C ．－1D ．1【解析】E (ξ)＝－1×12＋0×18＋1×38＝－18E (η)＝4E (ξ)＋3＝4×18⎛⎫- ⎪⎝⎭＋3＝52.【答案】B6．设X 是随机变量，且D (10X )＝90，则D (X )等于( ) A ．0.9 B ．9 C ．90D ．900 【解析】D (10X )＝100D (X )，∴90＝100D (X )，则D (X )＝0.9. 【答案】A7．若随机变量ξ的分布列为，其中m ∈(0,1)，则下列结果中正确的是( ) A ．E (ξ)＝m ，D (ξ)＝n 3 B ．E (ξ)＝n ，D (ξ)＝n 2 C ．E (ξ)＝1－m ，D (ξ)＝m －m 2 D ．E (ξ)＝1－m ，D (ξ)＝m 2 【解析】∵m ＋n ＝1，∴E (ξ)＝n ＝1－m ，D (ξ)＝m (0－n )2＋n (1－n )2＝m －m 2. 【答案】C8．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( )A ．(90,100]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]【解析】∵X ～N (110,52)， ∴μ＝110，σ＝5，∴5760＝0.95≈P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝P (100＜X ≤120)． 【答案】C9．已知离散型随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，若P (1≤X ≤3)＝15，则n 的值为( )A ．3B ．5C ．10D ．15 【解析】由已知X 的分布列为P (X ＝k )＝1n ，k ＝1,2,3，…，n ，∴P (1≤X ≤3)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝15，∴n ＝15.【答案】D10．已知某产品的次品率为0.04，现要抽取这种产品进行检验，则要使检查到次品的概率达到95%以上，至少要选的产品个数为( )A ．24B ．25C ．74D ．75【解析】由题意得1－(1－0.04)n ≥0.95，解得n ≥74. 【答案】C11．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X ，则P (X ≤2)＝( )A ．C 210216⎛⎫⎪⎝⎭×856⎛⎫⎪⎝⎭B ．C 11016⎛⎫⎪⎝⎭×956⎛⎫ ⎪⎝⎭＋1056⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．C 11016⎛⎫⎪⎝⎭×956⎛⎫ ⎪⎝⎭＋C 210216⎛⎫⎪⎝⎭×856⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．以上都不对【解析】P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 010016⎛⎫ ⎪⎝⎭×1056⎛⎫ ⎪⎝⎭＋C 11016⎛⎫ ⎪⎝⎭×956⎛⎫ ⎪⎝⎭＋C 210216⎛⎫ ⎪⎝⎭×856⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【答案】D12．有10件产品，其中2件次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是( )A.145B.110C.19D.25【解析】记“第一次抽到次品”为事件A ，第二次抽到次品为事件B .P (A )＝C 12C 19C 110C 19＝15，P (AB )＝C 12C 11C 110C 19＝145 ，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝19.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p ＝________.【解析】因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ， 易知ξ～B (6,1－p )，所以E (ξ)＝6(1－p )＝2.解得p ＝23.【答案】2314．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________．【解析】P (B |A )＝P (AB )P (A ) ，∴P (A )＝P (AB )P (B |A )＝31012＝35.【答案】3515．中国乒乓球队可谓高手如云，在某届世乒乓赛中，有3名世界排名前10位的运动员，据专家分析每位运动员进入前四名的概率为45，那么这三名运动员恰有2名进入前4名的概率是________．【解析】P ＝C 23245⎛⎫⋅⎪⎝⎭15＝48125. 【答案】4812516．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.【解析】由题意得：p ＝12，P (X ＝0)＝13×(1－p )2＝112，P (X ＝1)＝13×12×12×2＋23×12×12＝13，P (X ＝2)＝13×12×12＋23×12×12×2＝512，P (X ＝3)＝23×12×12＝16，∴ E (X )＝13×1＋512×2＋16×3＝53.【答案】53三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．【解析】记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先． (1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P (A 0·A )＋P (A 1·A )＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A )＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36，P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48， P (B 2)＝0.42＝0.16，P (A 2)＝0.62＝0.36. C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2 P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2) ＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2) ＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.18．(本小题满分12分)设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求随机变量X 的期望E (X )与方差D (X ).【解析】由0.5＋2a ＋3a ＝1，得a ＝0.1， 故X 的分布列为：∴E (X )＝－1×0.5＋0×0.2＋1×0.3＝－0.2.D (X )＝(－1＋0.2)2×0.5＋(0＋0.2)2×0.2＋(1＋0.2)2×0.3＝0.76.19．(本小题满分12分)袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X 的概率分布列及其均值；(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X 的均值． 【解析】(1)X 的可能取值为1、2、3，P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝2×35×4＝310，P (X ＝3)＝2×1×35×4×3＝110，故抽取次数X 的分布列为：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.(2)每次检验取到新球的概率均为35，故X ～B 35,5⎛⎫⎪⎝⎭，∴E (X )＝5×35＝3.20．(本小题满分12分)已知随机变量X 的正态曲线如下图所示，(1)求E (2X －1)，D 14X ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)试求随机变量X 在(110,130]范围内取值的概率．【解析】由正态曲线知，随机变量X 的均值为120，标准差为5，即μ＝120，σ＝5. 因此E (2X －1)＝2E (X )－1＝239， D 14X ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝116D (X )＝2516.(2)由于μ＝120，σ＝5，μ－2σ＝110，μ＋2σ＝130，且随机变量在(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，所以随机变量X 在(110,130]范围内取值的概率是0.954 4.21．(本小题满分13分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)【解析】(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310，P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15，P (X ＝3)＝10100＝110.X 的分布列为：X 的数学期望为：E (X )＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”， X i (i ＝1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P (A )＝P (X 1＝1且X 2＝1)＋P (X 1＝1且X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5且X 2＝1)． 由于各顾客的结算相互独立，且X 1，X 2的分布列都与X 的分布列相同，所以 P (A )＝P (X 1＝1)×P (X 2＝1)＋P (X 1＝1)×P (X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5)×P (X 2＝1) ＝320×320＋320×310＋310×320＝980. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980. 22．(本小题满分13分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )． 【解析】(1)X 的所有可能取值为0,1,2，依题意得P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35 ，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为：(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝C 34C 36＝15；∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12；P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 14C 36C 25C 36＝25.。
人教版高中数学选修2-3第二章随机变量及其分布单元测试(一)- Word版含答案
2018-2019学年选修2-3第二章训练卷随机变量及其分布（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则()3P ξ==（ ） A ．22313C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．22331C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C ．21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭2．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是（ ） A ．0.1462B ．0.1538C ．0.9962D ．0.85383．已知某离散型随机变量X 服从的分布列如图，则随机变量X 的方差D(X)等于（ ）A ．19B ．29C ．13D ．234．设随机变量ξ等可能取值1、2、3、…、n ，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．9D ．105．有编号分别为1、2、3、4、5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（ ） A ．521B ．27C ．13D ．8216．在比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率是23，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．202437．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为（ ） A ．2.5B ．3C ．3.5D ．48．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是（ ） A ．512B ．12C ．712D ．349．设随机变量ξ的概率分布列为()()()110,1kk P k p p k ξ--===，则E(ξ)和D(ξ)的值分别是（ ） A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．p 和(1－p)p10．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为（ ） A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.511．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为（ ）A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多2只是坏的12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：()1f x x =，()22f x x =，()33f x x =，()4sin f x x =，()5cos f x x =，()62f x =．现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为（ ） A ．74B ．7720C ．34D ．73此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）13．随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．14．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)． ①P(B)＝25；②P(B|A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．15．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数字0，两个面上标以数字1，一个面上标以数字2．将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望 是_______．16．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(ξ)＝________(结果用最简分数表示)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（12分）某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列．18．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．19．（12分）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．20．（12分）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．（1）求甲、乙两人都被分到A社区的概率；（2）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；（3）设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和E(ξ)的值．21．（12分）有红、黄、蓝、白4种颜色的小球，每种小球数量不限且它们除颜色不同外，其余完全相同，将小球放入编号为1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子只放一只小球．（1）放置小球满足：“对任意的正整数j(1≤j≤5)，至少存在另一个正整数k(1≤k≤5，且j≠k)使得j号盒子与k号盒子中所放小球的颜色相同”的概率；（2）记X为5个盒子中颜色相同小球个数的最大值，求X的概率分布和数学期望E(X)．22．（14分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．2018-2019学年选修2-3第二章训练卷随机变量及其分布（一）答 案一、选择题． 1．【答案】C【解析】ξ＝3表示前2次测到的为次品，第3次测到的为正品， 故()234431P ξ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭=．故选C ．2．【答案】A【解析】237240C 10.1462C P =-=．故选A ．3．【答案】B【解析】由m ＋2m ＝1得，m ＝13，∴E(X)＝0×13＋1×23＝23，()22122202133393D X ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，故选B ．4．【答案】D【解析】∵P(ξ<4)＝3n ＝0.3，∴n ＝10．故选D ．5．【答案】D【解析】从10个球中任取4个，有410C 210=种取法， 取出的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种，∴所求概率P ＝80210＝821．故选D ． 6．【答案】B 【解析】32352280C 133243P ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ． 7．【答案】C【解析】∵p( ξ＝k)＝16(k ＝1，2，…，6)．∴()()12616 3.5E ξ++=⋯+=．故选C ．8．【答案】C【解析】由题意P(A)＝12，P(B)＝16，事件A 、B 中至少有一个发生的概率P ＝1－12×56＝712．9．【答案】D【解析】这是一个两点分布，分布列为∴E(ξ)＝p ，D(ξ)＝p(1－p)10．【答案】D【解析】设事件A 、B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5， 事件恰有一人击中敌机的概率为()()()()()()()110.5P AB AB P A P B P A P B +=⋅-+-⋅=．故选D ．11．【答案】C【解析】ξ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则()473410C C C 4)2(13k kP k k ξ-===、、、， ∴P(ξ＝1)＝130，P(ξ＝2)＝310，P(ξ＝3)＝12，P(ξ＝4)＝16．故选C ．12．【答案】A【解析】由于()2f x ，()5f x ，()6f x 为偶函数，()1f x ，()3f x ，()4f x 为奇函数， ∴随机变量ξ可取1，2，3，4．()131621C 1C P ξ===，()11331165C C 3C 2C 10P ξ===，()111323111654C C C 3C C C 203P ξ===，()1111321311116543C C C C 1C C C 24C 0P ξ===．∴ξ的分布列为E(ξ)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74．二、填空题． 13．【答案】25【解析】本题考查期望，方差的求法．设ξ＝1概率为P ．则E(ξ)＝0×15＋1×P ＋2(1－P －15)＝1，∴P ＝35．故D(ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)×35＋(2－1)2×15＝25．14．【答案】②④【解析】由条件概率知②正确．④显然正确．而且P(B)＝P(B∩(A 1∪A 2∪A 3))＝P(B∩A 1)＋P(B∩A 2)＋P(B∩A 3) ＝P(A 1)·P(B|A 1)＋P(A 2)P(B|A 2)＋P(A 3)P(B|A 3) ＝510·511＋210·411＋310·411＝922． 故①③⑤不正确． 15．【答案】49【解析】设ξ表示向上的数之积，则P(ξ＝1)＝13×13＝19，P(ξ＝2)＝12C ×13×16＝19， P(ξ＝4)＝16×16＝136，P(ξ＝0)＝34．∴Eξ＝1×19＋2×19＋4×136＝49．16．【答案】47【解析】由题意，ξ的可能取值为0，1，2，则()2527C 10C 210P ξ===，()115227C C 10C 121P ξ===，()2227C 1C 221P ξ===． ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝47．三、解答题． 17．【答案】见解析．【解析】由题意知，用X 表示成功的人数，则X 服从n ＝3，p ＝34的二项分布，于是有()3333C 144kkk P X k -⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，0,1,2,3k =．∴X 的分布列为18．【答案】（1）1315；（2）分布列见解析，140．【解析】（1）设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立 事件，则事件B 为一种新产品都没有成功，因为甲，乙成功的概率分别为23，35．则P(B)＝(1－23)×(1－35)＝13×25＝215，再根据对立事件概率之间的公式可得P(A)＝1－P(B)＝1315， ∴至少一种产品研发成功的概率为1315．（2）由题可设该企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有0，120＋0，100＋0，120＋100，即ξ＝0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得： P(ξ＝0)＝(1－23)×(1－35)＝215；P(ξ＝120)＝23×(1－35)＝415；P (ξ＝100)＝(1－23)×35＝15；P(ξ＝220)＝23×35＝25；∴ξ的分布列如下：则数学期望E(ξ)＝0×215＋120×415＋100×15＋220×25＝32＋20＋88＝140．19．【答案】（1）14；（2）分布列见解析，35．【解析】（1）令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有()111235310C C C 1C 4P A ==． （2）X 的可能取值为0，1，2，且()38310C 70C 15P X ===，()1228310C C 71C 15P X ===，()2128310C C 12C 15P X ===；综上知，X 的分布列为：故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)20．【答案】（1）118；（2）56；（3）分布列见解析，43．【解析】（1）记甲、乙两人同时到A 社区为事件M ，那么()232343A 1C A 18P M ==，即甲、乙两人同时分到A 社区的概率是118． （2）记甲、乙两人在同一社区为事件E ，那么()332343A 1C A 6P E ==，∴甲、乙两人不在同一社区的概率是()()516P E P E =-=． （3）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ＝i(i ＝1，2)”是指有i 个同学到A 社区，则()22422343C A 1C 32A p ξ===．∴()()21312p pξξ-====， ξ的分布列是：∴E(ξ)＝1×23＋2×13＝43．21．【答案】（1）31256；（2）分布列见解析，635256．【解析】（1）4种颜色的球放置在5个不同的盒子中，共有45种放法， 满足条件的发放分为两类：①每个盒子中颜色都相同，共有4种，②有2种颜色组成，共有22452C C 120⨯⨯=，所求的概率为54120314256P +==． （2）X 的可能的值为2，3，4，5．则()1321124542545C C C C C C 7541282P X +===，()132455C C 34541283P X ⋅===， ()1414535C C C 1544256P X ===，()54145526P X ===； ∴X 的概率分布列为：E(X)＝2×75128＋3×45128＋4×15256＋5×1256＝635256．22．【答案】（1）710；（2）分布列见解析，35．【解析】（1）记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}， B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}． 由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥， 且B 1＝A 1A 2，21212B A A A A =+，C ＝B 1＋B 2． 因P(A 1)＝410＝25，P(A 2)＝510＝12，∴P(B 1)＝P(A 1A 2)＝P(A 1)P(A 2)＝25×12＝15，()()()()()()()()()()212121212121211P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=-++-=212111152522⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故所求概率为P(C)＝ P(B 1＋B 2)＝P(B 1)＋P(B 2)＝15＋12＝710．（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，∴13,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭～．于是()03031464C 551025P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，()12131448C 551125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， ()21231412C 551225P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，()3033141C 551235P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=． 故X 的分布列为X 的数学期望为E(X)＝3×15＝35．。
高中数学 第2章 随机变量及其分布阶段性测试题二 新人教A版高二选修2-3数学试题
第二章 随机变量及其分布(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p 1的值为( )A ．0B ．215C ．115D ．1解析：由分布列的性质得15＋23＋p 1＝1，得p 1＝215.答案：B2．某校举行安全知识测试，约有2 000人参加，其测试成绩ξ～N (80，σ2)(σ>0，试卷满分100分)，统计结果显示P (ξ≤65)＝0.3，则此次安全知识测试成绩达到优秀(不低于95分)的学生人数约为( )A ．200B ．300C ．400D ．600解析：由正态分布密度曲线的对称性，可得P (ξ≥95)＝P (ξ≤65)＝0.3，所以测试成绩达到优秀的学生人数约为0.3×2 000＝600，故选D.答案：D3．某射手射击所得的环数X 的分布列如下，如果命中8( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.5D ．0.6解析：P ＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.3＋0.25＋0.05＝0.6. 答案：D4．已知随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3P0.20.5m若随机变量η＝3X －1，则E (η)为( ) A ．4.2 B ．18.9C ．5.3D ．随m 变化而变化解析：因为0.2＋0.5＋m ＝1，所以m ＝0.3，所以E (X )＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.又η＝3X －1，所以E (η)＝3E (X )－1＝3×2.1－1＝5.3.答案：C5．设整数m 是从不等式x 2－2x －8≤0的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m ，则ξ的数学期望E (ξ)＝( )A ．1B ．5C.147D.167解析：由x 2－2x －8≤0得，－2≤x ≤4，∴S ＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，∴ξ的分布列为ξ －2 －1 0 1 2 3 4 P17171717171717∴E (ξ)＝－27－17＋0＋17＋27＋37＋47＝1，故选A.答案：A6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P ，用M 表示事件“点P 恰好取自曲线y ＝x 2与直线y ＝1及y 轴所围成的曲边梯形内”，N 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”，则P (N |M )等于( )A.14B.15 C.16D.17解析：曲线y ＝x 2与直线y ＝1及y 轴所围成的曲边梯形的面积S M ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪x －⎭⎪⎫13x 310＝1－13＝23， 直线y ＝x 与曲线y ＝x 2围成的阴影部分的面积S N ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 310＝12－13＝16， ∴P (M )＝S MS 正方形OABC ＝23，P (MN )＝S N S 正方形OABC ＝16，∴P (N |M )＝P (MN )P (M )＝1623＝14，故选A.答案：A7．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5，P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7，若μ＝4，σ＝1，则P (5<X <6)＝( )A ．0.135 9B ．0.135 8C ．0.271 8D ．0.271 6解析：P (5<X <6)＝12[P (2<X <6)－P (3<X <5)]＝12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.答案：A8．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6解析：由已知得E (ξ)＝6，D(ξ)＝2.4，所以E (η)＝8－E (ξ)＝2，D (η)＝(－1)2D (ξ)＝2.4.答案：B9．口袋中有n 个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，若取到红球，则继续取球，且取出的红球不放回；若取到白球，则停止取球．记取球的次数为X ，若P (X ＝2)＝730，则下列结论错误的是( )A ．n ＝7B ．P (X ＝3)＝7120C ．E (X )＝118D ．D (X )＝12解析：由P (X ＝2)＝730，得C 13C 1n C 1n ＋3C 1n ＋2＝730，即3n (n ＋3)(n ＋2)＝730，整理得90n ＝7(n ＋2)(n＋3)，解得n ＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＝67舍去.X 的所有可能取值为1,2,3,4，P (X ＝1)＝C 17C 110＝710，P (X ＝3)＝C 13C 12C 17C 110C 19C 18＝7120，P (X ＝4)＝C 13C 12C 11C 17C 110C 19C 18C 17＝1120，所以E (X )＝1×710＋2×730＋3×7120＋4×1120＝118，D (X )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1182×710＋⎝⎛⎭⎪⎫2－1182×730＋⎝⎛⎭⎪⎫3－1182×7120＋⎝⎛⎭⎪⎫4－1182×1120＝77192.答案：D10．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，其正态分布密度曲线为函数ƒ(x )的图象，且⎠⎛02ƒ(x )d x ＝13，则P (x >4)＝( )A.16B.14 C.13D.12解析：∵X ～N (2，σ2)，∴ƒ(x )的图象关于x ＝2对称，由⎠⎛02ƒ(x )d x ＝13得P (0<X ≤2)＝13，P (X >4)＝12－P (0<X ≤2)＝12－13＝16，故选A. 答案：A11．某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击6次，有3次命中且恰有2次连续命中的概率为( )A ．C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126B ．A 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126C ．C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126D ．C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫126解析：先排3次未命中结果只有一种，产生四个空位，选两个空位插入2次连续命中和1次命中，所以3次命中且恰有2次连续命中的概率为A 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126，故选B.答案：B12．(2019·某某浙南名校联盟期末)已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，c >0.若X 的方差D (X )≤3对所有a ∈(0，1－b )都成立，则( )A ．0<b ≤13B ．0<b ≤23C.13≤b <1D.23≤b <1 解析：由X 的分布列可得X 的期望为E (X )＝－a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1， 所以X 的方差D (X )＝(－1＋a －c )2a ＋(a －c )2b ＋(1＋a －c )2c＝(a －c )2(a ＋b ＋c )－2(a －c )2＋a ＋c ＝－(a －c )2＋a ＋c＝－(2a －1＋b )2＋1－b ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1－b 22＋1－b ， 因为a ∈(0,1－b )，所以当且仅当a ＝1－b2时，D (X )取最大值1－b .又D (X )≤13对所有a ∈(0,1－b )都成立，所以只需1－b ≤13，解得b ≥23，所以23≤b <1.故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．(2019·某某一中高二期末)已知有一匀速转动的圆盘，其中心有一个固定的小目标M ，甲、乙两人站在距离圆盘边缘2 m 处的地方向圆盘中心抛掷小圆环，他们抛掷的小圆环能套上小目标M 的概率分别为14与15，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标M 被套上的概率为________．解析：小目标M 被套上包括甲抛掷的小圆环套上、乙抛掷的小圆环没有套上；乙抛掷的小圆环套上、甲抛掷的小圆环没有套上；甲、乙抛掷的小圆环都套上，所以小目标M 被套上的概率P ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×15＋14×15＝25.答案：2514．若A ＝{1,2,3，－1，－2}，且a∈A，b∈A，c∈A，则a ，b ，c 这三数中恰有两个正数一个负数的概率为________．解析：P ＝C 23×32×253＝54125. 答案：5412515．若A ，B ，C 相互独立，且P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (A )＝________，P (B )＝________，P (C )＝________.解析：设P (A )＝x ，P (B )＝y ，P (C )＝z ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝16，(1－y )z ＝18，xy (1－z )＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝14，y ＝12，x ＝13.答案：13121416．有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分，已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为13.假设每题答对与否相互独立，记ξ为该考生答对的题数，η为该考生的得分，则P (ξ＝9)＝________，E (η)＝________(用数字作答)．解析：P (ξ＝9)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝29.依题意，ξ的可能取值为7,8,9,10，η＝4ξ.P (ξ＝7)＝C 03⎝⎛⎭⎪⎫1－133＝827， P (ξ＝8)＝C 13×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝49，P (ξ＝9)＝29， P (ξ＝10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，∴E (ξ)＝7×827＋8×49＋9×29＋10×127＝8，E (η)＝E (4ξ)＝4E (ξ)＝32.答案：2932三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝1,2,3,4,5)．求：(1)E (ξ＋2)2；(2)D (2ξ－1)．解：(1)∵E (ξ)＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝3，E (ξ2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15＝11，E (ξ＋2)2＝E (ξ2＋4ξ＋4)＝E (ξ2)＋4E (ξ)＋4＝11＋12＋4＝27.(2)D (ξ)＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝2，D (2ξ－1)＝22×D (ξ)＝8.18．(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和样本方差s 2；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 分布服从N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E (X )．附：150≈12.2，若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 5.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 7，依题意知X ～B (100,0.682 7)，所以E (X )＝100×0.682 7＝68.27.19．(12分)(2019·某某省部分重点中学高三起点考试)为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x )、推理能力(指标y )、建模能力(指标z )的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w ＝x ＋y ＋z 的值评定学生的数学核心素养，若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级．为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：的概率；(2)从这10名学生中任取3人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．解：(1)9A 4，A 7，A 10；数学核心素养为一级的学生是A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8.记“所取的2人的建模能力指标相同”为事件A ，记“所取的2人的综合指标值相同”为事件B ，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 23＋C 22C 24＋C 25＝416＝14.(2)由题意可知，数学核心素养为一级的学生为A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8， 非一级的学生为余下的4人， ∴X 的可能值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16，∴随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×130＋1×310＋2×2＋3×6＝5.20．(12分)(2019·某某市高三联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市：购买基金：(1)当p ＝14时，求q 的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值X 围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝12，q ＝16，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由．解：(1)∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴p ＋13＋q ＝1.又p ＝14，∴q ＝512.(2)记事件A 为“甲投资股市且获利”，事件B 为“乙购买基金且获利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C ＝A B ∪A B ∪AB ，且A ，B 独立．由题意可知，P (A )＝12，P (B )＝p ，∴P (C )＝P (A B )＋P (A B )＋P (AB ) ＝12(1－p )＋12p ＋12p ＝12＋12p . ∵P (C )＝12＋12p >45，∴p >35.又p ＋13＋q ＝1，q ≥0，∴p ≤23.∴p 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤35，23. (3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，∴随机变量X 的分布列为则E (X )＝4×12＋0×18＋(－2)×8＝4.假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)， ∴随机变量Y 的分布列为则E (Y )＝2×12＋0×13＋(－1)×6＝6.∵E (X )>E (Y )，∴丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．21．(12分)(2019·某某省五校协作体测试)食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为17，第二轮检测不合格的概率为18，第三轮检测合格的概率为89，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响．(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；(2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列和数学期望．解：(1)记A i (i ＝1,2,3)分别为事件“第一、二、三轮检测合格”，A 为事件“每箱这种蔬菜不能在该超市销售”．由题设知P (A 1)＝1－17＝67，P (A 2)＝1－18＝78， P (A 3)＝89，所以P (A )＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝1－67×78×89＝13.(2)设这4箱蔬菜的总收益为随机变量X ，则X 的所有可能取值为1 600,1 000,400，－200，－800，且P (X ＝1 600)＝C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1681，P (X ＝1 000)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝3281， P (X ＝400)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝2481， P (X ＝－200)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝881， P (X ＝－800)＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181. 故X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝1 600×81＋1 000×81＋400×81－200×81－800×181＝800.22．(12分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：(1)设顾客所获的奖励额为X . ①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×2＋60×12＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案 1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×3＋100×6＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003. 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×3＋80×6＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.。
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东莞中学高二数学 选修2-3 第二章《随机变量及其分布》单元测试一、选择题：将答案填在后面的表格里！1.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为: A.41004901C C -B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .2.位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是21．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是： A.5)21( B.525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C3.甲,乙两个工人在同样的条件下生产,日产量相等,每天出废品的情况如下表所列,则有结论:A 甲的产品质量比乙的产品质量好一些；B 乙的产品质量比甲的产品质量好一些；C 两人的产品质量一样好；D 无法判断谁的质量好一些； 4.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是A. 0．216B.0．36C.0．432D.0．648 5.把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是: A ．40243 B ．1027C ．516 D ．102436.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于: A9160 B 21 C 185 D 216917.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是:A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 8.从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是A ．2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率C ．至少有一个个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率 9.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是101，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为: A ．1001 B ．2507 C ．2501 D ．10001 10.右图中有一个信号源和五个接收器。
接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。
若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 A.454 B.361 C.154 D.158二、填空题：11.若随机变量X 服从两点分布，且成功概率为0.7；随机变量Y 服从二项分布，且Y ～B （10，0.8），则EX ，DX ，EY ，DY 分别是 ， ， ， .12.甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%. 求：① 乙市下雨时甲市也下雨的概率为_______② 甲乙两市至少一市下雨的概率为 __13.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1⨯；③他至少击中目标1次的概率是410.1-.其中正确结论的序号是 _____（写出所有正确结论的序号）. 14.对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,,n L 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}1,2,,m L 和{}1,2,,m m n ++L (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ; 所有ij P (1≤i ＜j ≤)n 的和等于 . 三、解答题：15.有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件．求：⑴第一次抽到次品的概率；⑵第一次和第二次都抽到次品的概率；⑶在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.16.在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛。
（Ⅰ）通过抽签将他们安排到1~4号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；（Ⅱ）记1号、2号射箭运动员射箭的环数为ξ（ξ所有取值为0，1，2，3．．．，10）分别为1P 、2P .根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：ξ0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1P0 0 0 0 0.06 0.04 0.06 0.3 0.2 0.3 0.04 2P0.040.050.050.20.320.320.02②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．17.一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n N ∈）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（Ⅱ）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n 取多少时，P 最大？18.甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是25，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是320，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是340，且乙通过测试的概率比丙大。
（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；（Ⅱ）求测试结束后通过的人数ξ的数学期望E ξ。
19.某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均不影响.(1) 求他不需要补考就可获得证书的概率；(2) 在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ.20.如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A B 、两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为14，向南、北行走的概率为13和p ，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q ⑴求p 和q 的值；⑵问最少几分钟，甲、乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率。
东莞中学2008-2009学年第二学期高二理科数学第十二周周末练习参考答案一.1-5：DBBDA 6-10：ACCBD北西南东BA二填空题：11. 6.1,8,21.0,7.0 12. %26,3213. ①③ 14.4()m n m - ,6三解答题：15.解：17.解：设第一次抽到次品为事件A,第二次都抽到次品为事件B.⑴第一次抽到次品的概率()51.204p A == ⑵191)()()(==B P A P AB P ⑶在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为()114.19419p B A =÷=16．（Ⅰ）从4名运动员中任取两名，其靶位号与参赛号相同，有24C 种方法，另2名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有1种，所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为 2444114C P A ⋅== （Ⅱ）①由表可知，两人各射击一次，都未击中9环的概率为P=（1-0.3）（1-0.32）=0.476∴至少有一人命中9环的概率为p=1-0.476=0.524②6.704.0103.092.083.0706.0604.0506.041=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE Θ75.702.01032.0932.082.0705.0605.0504.042=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE所以2号射箭运动员的射箭水平高.17.（Ⅰ）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，一次摸奖中奖的概率10(5)(4)np n n =++．（Ⅱ）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =,三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是:123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，知在1(0,)3上P 为增函数，在1(,1)3上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值．又101(5)(4)3n p n n ==++,解得20n =．18.解：（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x 、y 依题意得：23,52033(1)(1),540xy x y ⎧=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ 即3,41.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或 1,23.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去） 所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是34、12. （Ⅱ）因为3(0)40P ξ==； 3(3)20P ξ==； 2312312317(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)54254254220P ξ==--+--+--=；所以E ξ＝371733301234020402020⋅+⋅+⋅+⋅=19. 解:设“科目A 第一次考试合格”为事件A 1，“科目A 补考合格”为事件A 2；“科目B 第一次考试合格”为事件B ，“科目B 补考合格”为事件B .(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A 1·B 1,注意到A 1与B 1相互独立，则1111211()()()323P A B P A P B =⨯=⨯=g . (Ⅱ)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得1112(2)()()P P A B P A A ξ==+g g 2111114.3233399=⨯+⨯=+=112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++g g g g g g =9412221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+g g g g g g 12111211111,3322332218189=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=故4418234.9993E ξ=⨯+⨯+⨯=20.解：⑴Q 1111443p +++=，∴16p =又Q 41q =，∴14q =⑵最少需要2分钟，甲乙二人可以相遇（如图在C D E 、、三处相遇）设在C D E 、、三处相遇的概率分别为C D E p p p 、、，则11111()()66443616C p =⨯⨯⨯=⨯ 111112()2()6444616D p =⨯⨯⨯=⨯ 11111()()44441616E p =⨯⨯⨯=⨯∴111137()3218382304C D E p p p ++=++=即所求的概率为37230401317(2)1()40P P P P ξ==-++=。