数学-中考常考知识手册

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中考数学知识点总结完整版

中考数学总复习资料代数部分第一章：实数基础知识点：一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.1001……；特定意义的数，如π、45sin °等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a 的相反数是 -a ；（2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0 2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。

（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。

（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。

三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。

中考数学知识点集锦小册子

常见的初中数学公理、定理■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9.同位角相等，两直线平行10.内错角相等，两直线平行11.同旁内角互补，两直线平行12.两直线平行，同位角相等13.两直线平行，内错角相等14.两直线平行，同旁内角互补15.定理：三角形两边的和大于第三边16.推论：三角形两边的差小于第三边17.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°18.推论1：直角三角形的两个锐角互余19.推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20.推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21.全等三角形的对应边、对应角相等22.边角边公理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23.角边角公理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24.推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25.边边边公理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等26.斜边、直角边公理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27.定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28.定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31.推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33.推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形36.推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42.定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形43.定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44.定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45.逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46.勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48.定理：四边形的内角和等于360°49.四边形的外角和等于360°50.多边形内角和定理：n边形的内角的和等于（n-2）×180°51.推论：任意多边的外角和等于360°52.平行四边形性质定理 1：平行四边形的对角相等53.平行四边形性质定理 2：平行四边形的对边相等54.推论：夹在两条平行线间的平行线段相等55.平行四边形性质定理 3：平行四边形的对角线互相平分56.平行四边形判定定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形57.平行四边形判定定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形58.平行四边形判定定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形59.平行四边形判定定理 4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形60.矩形性质定理 1：矩形的四个角都是直角61.矩形性质定理 2：矩形的对角线相等62.矩形判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形63.矩形判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形64.菱形性质定理 1：菱形的四条边都相等65.菱形性质定理 2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66.菱形面积=对角线乘积的一半，即 S=（a×b）÷267.菱形判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形68.菱形判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形69.正方形性质定理 1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等70.正方形性质定理 2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71.定理1：关于中心对称的两个图形是全等的72.定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73.逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74.等腰梯形性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等75.等腰梯形的两条对角线相等76.等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77.对角线相等的梯形是等腰梯形78.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79.推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80.推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h 83. (1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84. (2)合比性质：如果 a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85. (3)等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的应线段成比例88.定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90.定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91.相似三角形判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似（ASA）92.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93.判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94.判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95.定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96.性质定理 1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97.性质定理 2：相似三角形周长的比等于相似比98.性质定理 3：相似三角形面积的比等于相似比的平方99.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101.圆是定点的距离等于定长的点的集合102.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104.同圆或等圆的半径相等105.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106.和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107.到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108.到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。

中考数学知识点归纳总结

中考数学知识点归纳总结一、数与代数。

（一）有理数。

1. 有理数的概念。

- 整数和分数统称为有理数。

整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。

- 例如：3是正整数， - 5是负整数，0.25（可化为(1)/(4)）是有限小数属于分数，0.3̇（可化为(1)/(3)）是无限循环小数属于分数。

2. 有理数的运算。

- 加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。

- 例如：3 + 5=8；-3+(-5)= - 8；3+(-5)= - 2；5+(-5)=0。

- 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

即a - b=a+(-b)。

- 例如：5 - 3 = 5+(-3)=2；3 - 5=3+(-5)= - 2。

- 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0；几个不为0的数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正，负因数的个数为奇数时，积为负。

- 例如：3×5 = 15；-3×(-5)=15；3×(-5)= - 15；0×5 = 0；(-2)×(-3)×(-4)= - 24（3个负因数，积为负）。

- 除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

即a÷b=a×(1)/(b)(b≠0)。

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0。

- 例如：15÷3 = 5；-15÷(-3)=5；15÷(-3)= - 5；0÷5 = 0。

- 乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

a^n 中，a叫做底数，n叫做指数。

- 例如：2^3 = 2×2×2 = 8；(-2)^3=-2× - 2× - 2=-8。

中考数学必背知识点(精简必背)

中考数学必背知识点(精简必背)中考数学必背知识点一、不为零的量1.分式 $\frac{A}{B}$，分母 $B\neq 0$；2.二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a\neq 0$）；3.一次函数 $y=kx+b$（$k\neq 0$）；4.反比例函数 $y=\frac{k}{x}$（$k\neq 0$）；5.二次函数 $y=ax^2+bx+c=0$（$a\neq 0$）。

二、非负数1.$|a|\geq 0$；2.$a\geq 0$（$a\geq 0$）；3.$a^{2n}\geq 0$（$n$ 为自然数）。

三、绝对值：$|a|=\begin{cases}a。

& a\geq 0\\-a。

& a<0\end{cases}$四、重要概念1.平方根与算术平方根：如果 $x^2=a$（$a\geq 0$），则称 $x$ 为 $a$ 的平方根，记作：$x=\pm\sqrt{a}$，其中$x=\sqrt{a}$ 称为 $x$ 的算术平方根；2.负指数：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$；3.零指数：$a=1$（$a\neq 0$）；4.科学计数法：$a\times 10^n$（$n$ 为整数，$1\leqa<10$）。

五、重要公式一）幂的运算性质1.同底数幂的乘法法则：$a^m\timesa^n=a^{m+n}$（$a\neq 0$，$m$，$n$ 都是正数）；2.幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$，$n$ 都是正数）；3.积的乘方法则：$(ab)^n=a^n\times b^n$（$n$ 为正整数）；4.同底数幂的除法法则：$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$（$a\neq 0$，$m$，$n$ 都是正数，且 $m>n$）。

二）整式的运算1.平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；2.完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。

数学中考复习必背知识点

数学中考复习必背知识点数学中考复习必背知识点1实数的知识点1、数轴------规定了原点、正方向、单位长度的直线，叫做数轴。

实数和数轴上的点是一一对应的。

2、相反数-----只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

(1)几何意义：在数轴上，表示相反的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等，关于原点对称;(2)实数a的相反数为-a;(3)a和b互为相反数则，a+b=0;(4)相反数是它本身的数是0。

3、倒数----乘积是1的两个数互为倒数。

(1)实数a的倒数是1/a,其中a≠0;(2)a和b互为倒数则，a__b=1;(3)倒数是它本身的数有-1和1。

4、绝对值----一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

绝对值的性质：即，(1)、a0时，|a|=±a;(2)|a|=|b|,则a=b或a+b=0;(2)|a|=|b|,则a=b或a+b=0;(3)任意实数的绝对值具有非负性，即|a|≥0;(4)含有绝对值代数式的化简、运算，首先考虑代数式的性质，即正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行化简、运算。

5、实数的分类：有理数和无理数。

常见无理数种类：(1)具有特殊意义的常数，例如：π、π-1、π+4、9π等;(2)特殊结构类型，例如：0.101001000100001.(每两个1之间0的个数依次增加1)等无限不循环小数;(3)根号类型，例如：、等不能开的尽方的二次根式;当然具有根号，但是能开方就是有理数;2二次根式1、一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。

当a≥0时，√a表示a的算术平方根;当a小于0时，√a的值为纯虚数。

2、最简二次根式：若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

3、化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

中考数学必杀知识点总结

中考数学必杀知识点总结数学是中考必考科目之一，对于很多学生来说，数学是一个难啃的硬骨头。

因此，掌握一些必杀知识点，能够在考试中取得更好的成绩。

本文将从初中数学的各个章节展开，总结出中考数学的必杀知识点，帮助学生在备考中把握重点，提高答题效率。

一、代数与函数1. 代数代数是中考数学的一个重要板块，包括代数式的计算、等式的解法、多项式的运算、二次根式的化简和合并等内容。

(1) 代数式的计算：掌握加减乘除和带字母的代数式运算，包括整式的加减乘除和分式的加减乘除。

要熟练掌握这些计算方法，运用代数式计算解决实际问题。

(2) 等式的解法：熟练掌握一元一次方程和一元一次不等式的解法，包括用加减消元法解方程和用分配律解不等式。

同时要学会应用代数方法解决实际问题。

(3) 多项式的运算：掌握多项式的加减乘除和乘法公式、整式乘法和除法，尤其是乘法中的公式，并且熟练掌握代数平方差公式和完全平方法。

(4) 二次根式的化简和合并：掌握二次根式的化简和合并的方法，熟练运用添括号法和通分法，计算化简二次根式。

2. 函数函数是中考数学中的一个重点和难点，包括函数的概念、函数的表示法、函数的性质和函数的图像等内容。

(1) 函数的概念：理解函数的定义和基本概念，包括自变量、因变量和定义域、值域的概念。

同时要掌握函数的意义和函数的表示方法。

(2) 函数的性质：熟练掌握奇偶性、周期性和单调性的判断方法，掌握函数的增减性和极值、最值的求解方法。

(3) 函数的图像：掌握函数图像的绘制方法和一些特殊函数的图像特点，包括上下平移、左右平移、翻折和缩放变换。

二、平面几何与空间几何1. 平面几何平面几何是中考数学中的一个难点，包括角的性质、平行线与幂的性质、相交线与三角形的性质等内容。

(1) 角的性质：熟练掌握角的度量、角的分类和角的性质，包括对顶角、邻补角和余角的关系。

(2) 平行线与幂的性质：掌握平行线与垂直线的性质和角平分线的性质，包括平行线的判定方法和平行线的性质应用。

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初中数学总复习知识点总结
2016 年中考数学复习计划 ............................................................................................................................................... 4 一、第一轮复习（3-4 周） .............................................................................................................................................. 4 1、第一轮复习的形式：“梳理知识脉络，构建知识体系”----理解为主，做题为辅.........................................4 （1）目的：过三关 ............................................................................................................................................................ 4 （2）宗旨：知识系统化.................................................................................................................................................... 4 2、第一轮复习应注意的问题 ...................................

中考知识点大全数学

中考知识点大全数学一、数与代数。

1. 有理数。

- 有理数的概念：整数和分数统称为有理数。

整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。

- 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴上的点与有理数一一对应。

- 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。

互为相反数的两个数到原点的距离相等。

- 绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

即| a|=a(a>0) 0(a = 0) -a(a<0)。

- 有理数的运算：- 加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。

- 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

- 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0；几个不为0的数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负。

- 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数（0不能作除数）；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

- 乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作a^n，其中a叫做底数，n叫做指数。

正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

2. 实数。

- 无理数：无限不循环小数叫做无理数，如√(2)、π等。

- 实数的概念：有理数和无理数统称为实数。

实数与数轴上的点一一对应。

- 实数的运算：实数的运算顺序为先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。

3. 代数式。

- 代数式的概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或者一个字母也是代数式。

- 整式：单项式和多项式统称为整式。

- 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

初三数学常考知识点

初三数学常考知识点一、实数与代数1.有理数：整数、分数、相反数、绝对值、有理数的乘方、平方根、算术平方根等。

2.实数：实数的定义、实数的分类、实数的性质、实数的运算等。

3.代数式：代数式的定义、代数式的分类、代数式的运算等。

4.一元一次方程：一元一次方程的定义、一元一次方程的解法、一元一次方程的应用等。

5.不等式：不等式的定义、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用等。

6.二元一次方程组：二元一次方程组的定义、二元一次方程组的解法、二元一次方程组的应用等。

7.点、线、面：点的定义、线的定义、面的定义、点、线、面的关系等。

8.平面几何基本概念：邻补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角、平行线、相交线、垂直、平行的性质等。

9.三角形：三角形的定义、三角形的分类、三角形的性质、三角形的判定、三角形的计算等。

10.四边形：四边形的定义、四边形的分类、四边形的性质、四边形的判定、四边形的计算等。

11.圆：圆的定义、圆的性质、圆的方程、圆的计算、扇形、弧、弦等。

12.空间几何：长方体、正方体、球、棱柱、棱锥等空间几何图形的性质、计算和应用。

13.一次函数：一次函数的定义、一次函数的图像、一次函数的性质、一次函数的应用等。

14.二次函数：二次函数的定义、二次函数的图像、二次函数的性质、二次函数的应用等。

15.反比例函数：反比例函数的定义、反比例函数的图像、反比例函数的性质、反比例函数的应用等。

16.函数图像：函数图像的性质、函数图像的变换、函数图像的分析等。

四、统计与概率1.统计：统计的基本概念、统计的运算、数据的收集与处理、图表的制作等。

2.概率：概率的基本概念、概率的计算、概率的应用等。

五、解决问题的方法1.方程思想：列方程、求解方程、检验解等。

2.函数思想：建立函数关系、求解函数问题等。

3.几何思想：利用几何性质、定理解决问题等。

4.数形结合思想：利用数形结合的方法解决问题等。

以上是初三数学常考的知识点，希望对你有所帮助。

中考数学总复习知识点总结手册

中考数学总复习知识点总结⼿册点⼋、、总结2016 年中考数学复习计划.........................................................................................4..⼀、第⼀轮复习（ 3-4 周）.........................................................................................4..1 、第⼀轮复习的形式： “梳理知识脉络，构建知识体系” -------- 理解为主，做题为辅4初中数学总复习知2）宗旨：知识系统化 2、第⼀轮复习应注意的问题（ 1 ）必须扎扎实实夯实基础 ........................................................................................... 4 . （ 2）必须深钻教材，不能脱离课本.......................................................... 4 . （ 3）掌握基础知识，⼀定要从理解⾓度出发 .................................................. 4...⼆、第⼆轮复习（ 3 周） ................................................................... 4 .1、第⼆轮复习的形式： “突出重点，综合提⾼” 练习专题化，专题规律化 (4)（ 1）⽬的：融会贯通考纲上的所有知识点 .................................................... 4... （ 2 ）宗旨：建⽴数学思想，培养数学能⼒................................................... 5...2、第⼆轮复习应注意的问题 ................................................................. 5 . （ 1）专题的划分要合理.................................................................... 5 . （ 2）保证⼀定的习题量 .................................................................... 5 . （ 3）注重多思考，并及时总结规律 .......................................................... 5 .三、第三轮复习（ 2-3 周） ................................................................. 5 .1、第三轮复习的形式： “模拟训练，查缺补漏” .............................................. 5... ⽬的：突破中考分数的⾮知识⾓度的障碍...................................................... 5...2、第三轮复习应注意的问题 ................................................................. 5 . （ 1）通过做模拟题进⾏查缺补漏............................................................ 5 . （ 2）克服不良的考试习惯 .................................................................. 5 . （ 3）总结适当的应试技巧 .................................................................. 5 .第⼀章实数 ............................................................................... 6 . 考点⼀、实数的概念及分类（ 3 分） .............................................6 (4).4.考点⼆、实数的倒数、相反数和绝对值（3 分）.................................. 6...考点三、平⽅根、算数平⽅根和⽴⽅根（3—10分）............................... 6..考点四、科学记数法和近似数（3—6 分）.................................................... 6...考点五、实数⼤⼩的⽐较（3 分）. (7)考点六、实数的运算（做题的基础，分值相当⼤）............................................. 7..第⼆章代数式............................................................................. 8 .考点⼀、整式的有关概念（3 分） (8)考点⼆、多项式（11 分）.................................................................. 8 .考点三、因式分解（11 分）............................................................... 8 .考点四、分式（8~10 分）................................................................. 9 .考点五、⼆次根式（初中数学基础，分值很⼤）............................................... 9..第三章⽅程（组）....................................................................... 1..1..考点⼀、⼀元⼀次⽅程的概念（6 分）.......................................... 1..1考点⼆、⼀元⼆次⽅程（6 分）........................................................... 1..1.考点三、⼀元⼆次⽅程的解法（10分）.......................................... 1..1考点四、⼀元⼆次⽅程根的判别式（3 分）..................................... 1..1考点五、⼀元⼆次⽅程根与系数的关系（3 分）................................ 1..1考点六、分式⽅程（8 分）............................................................. 1..2.考点七、⼆元⼀次⽅程组（8~10 分）............................................. 1..2.第四章不等式（组）.................................................................... 1..3..考点⼀、不等式的概念（3 分）................................................... 1..3.考点⼆、不等式基本性质（3~5 分）.............................................. 1..3.考点三、⼀元⼀次不等式（6~8分）............................................... 1..3.第五章统计初步与概率初步............................................................... 1..4..考点⼀、平均数（3分）........................................................... 1..4..考点⼆、统计学中的⼏个基本概念（4 分）....................................... 1..4考点三、众数、中位数（3~5 分）......................................................... 1..4.考点四、⽅差（3 分）............................................................. 1..4..考点五、频率分布（6 分）............................................................... 1..5.考点六、确定事件和随机事件（3分）........................................... 1..5考点七、随机事件发⽣的可能性（3 分） ........................................ 1..6考点⼋、概率的意义与表⽰⽅法（5~6 分） ...................................... 1..6考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系（3 分）......................... 1. 6考点⼗、古典概型（3 分）............................................................... 1..6.考点⼗⼀、列表法求概率（10 分）............................................... 1..6.考点⼗⼆、树状图法求概率（10 分）.............................................. 1..6考点⼗三、利⽤频率估计概率（8 分）..................................................... 1..6.第六章⼀次函数与反⽐例函数............................................................. 1..8.考点⼀、平⾯直⾓坐标系（3 分） ................................................ 1..8.考点⼆、不同位置的点的坐标的特征（3分）..................................... 1..8考点三、函数及其相关概念（3~8 分）................................. 1..8考点四、正⽐例函数和⼀次函数（3~10 分）................................. 1..9考点五、反⽐例函数（3~10 分）................................................... 2..0.第七章⼆次函数......................................................................... 2..2..考点⼀、⼆次函数的概念和图像（3~8 分）................................. 2..2考点⼆、⼆次函数的解析式（10~16 分）.................................................. 2..2考点四、⼆次函数的性质（6~14 分）...................................................... 2..3.补充：23第⼋章图形的初步认识................................................................... 2..5..考点⼀、直线、射线和线段（3分）...................................................... 2..5.考点⼆、⾓（3 分）.................................................................... 2..5..考点三、相交线（3分） .......................................................... 2..6..考点四、平⾏线（3~8 分） ........................................................ 2..6.考点五、命题、定理、证明（3~8 分）..................................................... 2..7考点六、投影与视图（3 分）..................................................... 2..7.第九章三⾓形........................................................................... 2..9...考点⼀、三⾓形（3~8 分）....................................................... 2..9.考点⼆、全等三⾓形（3~8分）.................................................... 2..9.考点三、等腰三⾓形（8~10 分）................................................... 3..0.第⼗章四边形........................................................................... 3..2...考点⼀、四边形的相关概念（3 分）...................................................... 3..2.考点⼆、平⾏四边形（3~10 分）................................................... 3..2.考点三、矩形（3~10 分）....................................................... 3..2..考点四、菱形（3~10 分）....................................................... 3..3..考点五、正⽅形（3~10 分）....................................................... 3..3.考点六、梯形（3~10 分）....................................................... 3..3..第⼗⼀章解直⾓三⾓形.............................................................. 3..5..考点⼀、直⾓三⾓形的性质（3~5 分）............................................. 3..5考点⼆、直⾓三⾓形的判定（3~5 分）............................................. 3..5考点四、解直⾓三⾓形（3~5 ）.................................................. 3..6.第⼗⼆章圆.................................................................................................................... 3..7...考点⼀、圆的相关概念（3分）................................................... 3..7.考点⼆、弦、弧等与圆有关的定义（3 分）....................................... 3..7考点三、垂径定理及其推论（3 分）.............................................. 3..7.考点四、圆的对称性（3 分）............................................................. 3..7.考点五、弧、弦、弦⼼距、圆⼼⾓之间的关系定理（3 分）...................... 3. 7考点六、圆周⾓定理及其推论（3~8分）......................................... 3..7考点七、点和圆的位置关系（3 分）.............................................. 3..8.考点⼋、过三点的圆（3分）............................................................. 3..8.考点九、反证法（3 分）........................................................... 3..8..考点⼗、直线与圆的位置关系（3~5 分）......................................... 3..8考点⼗⼀、切线的判定和性质（3~8 分）......................................... 3..8考点⼗⼆、切线长定理（3 分）........................................................... 3..8.考点⼗三、三⾓形的内切圆（3~8分）.......................................... 3..8考点⼗四、圆和圆的位置关系（3 分）........................................... 3..8考点⼗五、正多边形和圆（3 分） ................................................ 3..9.考点⼗六、与正多边形有关的概念（3 分）....................................... 3..9考点⼗七、正多边形的对称性（3 分） 3..9考点⼗⼋、弧长和扇形⾯积（3~8 分）........................................... 3..9第⼗三章图形的变换.................................................................... 4..1..考点⼀、平移（3~5分）................................................................ 4..1.考点⼆、轴对称（3~5 分）........................................................ 4..1.考点三、旋转（3~8 分）........................................................... 4..1.考点四、中⼼对称（3 分） ....................................................... 4..1.第⼗四章图形的相似.................................................................... 4..2..考点⼀、⽐例线段（3 分） ....................................................... 4..2.考点⼆、平⾏线分线段成⽐例定理（3~5 分）................................... 4..2考点三、相似三⾓形（3~8 分）.......................................................... 4..2.初中数学总复习知识点.......................................................................... 中考数学常⽤公式及性质........................................................................ 1．乘法与因式分解............................................................................2 ．幂的运算性质............................................................................. 3．⼆次根式.................................................................................. 4．三⾓不等式................................................................................ 5．某些数列前n 项之和.......................................................................6 ．⼀元⼆次⽅程............................................................................. 7．⼀次函数.................................................................................. 8．反⽐例函数................................................................................9 ．⼆次函数.................................................................................。

中考数学知识点复习总复习资料大全(精华版)

中考数学知识点复习总复习资料大全(精华版)第一章实数重要概念：1.数的分类及概念：数系表包括正整数、整数、有限或无限循环小数的负整数、正分数、分数、负分数、正无理数、无理数和负无理数。

分类的原则是相称且有标准。

2.非负数：指正实数和零的统称。

常见的非负数有a²（a为一切实数）、|a|和a（a≥0）。

若干个非负数的和为非负数。

3.倒数：①定义及表示法；②性质：A。

a≠1/a（a≠±1）；B。

1/a中，a≠0；C。

0＜a＜1时1/a＞1；a＞1时，1/a＜1；D。

积为1.4.相反数：①定义及表示法；②性质：A。

a≠时，a≠-a；B。

a与-a在数轴上的位置；C。

和为0，商为-1.5.数轴：①定义（“三要素”）；②作用：A。

直观地比较实数的大小；B。

明确体现绝对值意义；C。

建立点与实数的一一对应关系。

6.奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）：定义及表示：奇数为2n-1，偶数为2n（n为自然数）。

7.绝对值：①定义（两种）：代数定义和几何定义；②│a│≥0，符号“││”是“非负数”的标志；③数a的绝对值只有一个；④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

实数的运算：1.运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）。

2.运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律；[乘法对加法的]分配律）。

3.运算顺序：A。

高级运算到低级运算；B。

（同级运算）从“左”到“右”（如5÷1×5）；C。

（有括号时）由“小”到“中”到“大”。

典型例题：1.已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a。

2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判断a、b的符号。

第二章代数式重要概念：分类：单项式、整式、多项式、有理式、分式代数式和无理式。

代数式的运算：1.加减法：同类项相加减。

2.乘法：用分配律展开式子，然后合并同类项。

考点图形的性质-中考数学必背知识手册

考点04 图形的性质知识点1：线、角、相交线与平行线1. 直线、射线、线段与角（1）直线公理:经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的,直线没有端点.（2）射线:直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸,射线只有一个端点.（3）线段:直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点,有长短之分,将某一线.（4）两点确定一条直线,两点之间线段最短,两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.（5）1°=60',1'=60″.（6）1周角=2平角=4直角=360°.（7）余角、补角:如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角,同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角,同角或等角补角相等.2. 对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等.3. 角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.4. 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.5. 垂线段公理：直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.6. 线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,到线段两端距离相等的点在知识归纳线段的垂直平分线上.7. 平行线（1）过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.（2）平行线的性质:①两条直线平行,同位角相等;②两条直线平行,内错角相等;③两条直线平行,同旁内角互补.（3）平行线的判定:①同位角相等,两条直线平行;②内错角相等,两条直线平行;③同旁内角互补,两条直线平行.知识点2：全等三角形1. 全等三角形的定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2. 全等三角形的判定方法（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(简称“SAS”)（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(简称“ASA”)（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.(简称“AAS”)（4）有三边对应相等的两个三角形全等.(简称“SSS”)（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(简称“HL”)3. 全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边、对应角相等.（2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.（3）全等三角形的周长相等、面积相等.知识点3：等腰三角形、等边三角形、直角三角形1. 等腰三角形（1）定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）性质:①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形的两底角相等,即“等边对等角”;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,即“三线合一”;④等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴,对称轴是底边的垂直平分线.（3）判定:①有两条边相等的三角形是等腰三角形;②有两个角相等的三角形是等腰三角形,即“等角对等边”.2. 等边三角形（1）定义:三边相等的三角形是等边三角形.（2）性质:①等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°;②“三线合一”;③等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.（3）判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等的三角形是等边三角形;③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3. 直角三角形（1）性质:①直角三角形的两锐角互余;②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;③直角三角形中,斜边上的中线长等于斜边长的一半.（2）判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.（3）勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.知识点4：锐角三角函数1. 锐角三角函数的概念（1）锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数.（2）在△ABC 中，∠C=90°,∠A 的正弦sin A=斜边的对边A ∠,∠A 的余弦cos A=斜边的邻边A ∠,∠A 的正切tan A=的邻边的对边A A ∠∠. 2. 特殊角的三角函数值(填写下表) 三角函数30° 45° 60° sin a 21 22 23 cos a 23 22 21tan a33 1 3知识点5：解直角三角形1. 解直角三角形（1）解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.（2）直角三角形的解法直角三角形的解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型:①已知一条直角边和一个锐角(如a ,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A ,c=Aa sin ; ②已知斜边和一个锐角(如c ,∠A ),其解法为:∠B=90°-∠A ,a=A c sin ;③已知两直角边(如a ,b ),其解法为:c 2=a 2+b 2,tan A=ba ; ④已知斜边和一直角边(如c ,a ),其解法为:b 2=c 2-a 2,sin A=c a . 2. 与解直角三角形有关的名词、术语（1）视角:视线与水平线的夹角叫做视角.从下向上看,叫做仰角;从上往下看,叫做俯角.（2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角.（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡度(或坡比),记作i=i l .坡面与水平面的夹角(α),叫做坡角.知识点6：多边形1. 多边形的内角和、外角和n 边形的内角和为(n -2)·180°，外角和为360°.2. 正多边形：在平面内,各内角都相等,各边也都相等的多边形叫做正多边形.3. 多边形的对角线：在多边形中,连接互不相邻的两个顶点的线段.知识点7：平行四边形1. 平行四边形：两组对边分别平行的四边形.2. 平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行;（2）平行四边形的对边相等;（3）平行四边形的对角相等;（4）平行四边形的对角线互相平分.3. 平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形;（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形;（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形;（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形;（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知识点8：菱形1. 定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2. 性质:菱形的四条边相等,两条对角线互垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.3. 判定方法:①一组邻边相等的平行四边形是菱形;②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;③四条边都相等的四边形是菱形.4. 设菱形对角线长分别为l 1,l 2,则S 菱形=21l 1l 2. 知识点9：矩形1. 定义:有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.2. 性质:矩形的对角线互相平分且相等,四个角都是直角.3. 判定方法:①有三个角是直角的四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形;③有一个角是直角的平行四边形是矩形.4. 设矩形的长和宽分别为a ,b ,则S 矩形=ab.知识点10：正方形1. 正方形的定义：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形.2. 正方形的性质（1）正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.（2）正方形的四个角都是直角，四条边相等.（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分.3. 正方形的判定方法（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.（3）有一个角是直角的菱形是正方形.（4）对角线相等的菱形是正方形.4. 平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系知识点11：圆的有关概念及性质（1）圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,圆既是轴对称图形也是中心对称图形.（2）圆具有对称性和旋转不变性.（3）不共线的三点确定一个圆.（4）圆上各点到圆心的距离都等于半径.（5）圆上任意两点间的部分叫做弧,大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧. （6）连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.（7）弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.推论：在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等.知识点12：*垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.（2）推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.（3）推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.注意:轴对称性是圆的基本性质,垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的,它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.知识点13：与圆有关的角及其性质（1）圆心角:顶点在圆心,角的两边和圆相交的角叫做圆心角.圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论：① 同弧或等弧所对的圆周角相等.② 半圆(或直径)所对的圆周角是直径,90°的圆周角所对的弦是圆的直径.③ 圆内接四边形的对角互补.知识点14：圆周长、弧长计算（1）半径为R 的圆周长：C=πd=2πR .（2）半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的弧长为l ,则l=180R n π. 知识点15：圆、扇形面积计算（1）半径为R 的圆面积S=2R π （2）半径为R 的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S 扇=lR 21或S 扇=362R n π. 知识点16：圆柱、圆锥的有关计算（1）圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2πRh ,全面积S=2πRh+2πR 2(R 表示底面圆的半径,h 表示圆柱的高).（2）圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=πRl ,全面积S=πRl+πR 2(R 表示底面圆的半径,l 表示圆锥的母线).（3）圆柱的体积=底面积×高,即V=Sh=πR 2h. 圆锥的体积=31×底面积×高,即V=31πR 2h. 知识点17：正多边形与圆（1）正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.（2）圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.（3）正多边形的内角和=(n -2)·180°;正多边形的每个内角= ()nn 1802-; 正多边形的周长=边长×边数;正多边形的面积=21×周长×边心距. 知识点18：点、线与圆的位置关系:1. 如果圆的半径为r ,某一点到圆心的距离为d ,那么:（1）点在圆外⇔d >r ;（2）点在圆上⇔d =r ;（3）点在圆内⇔d <r .2.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交位置关系相离相切相交图形公共点个数 0 1 2 数量关系 d >r d =r d <r 3.切线的性质与判定（1）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.4.*切线长定理（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.（2）定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.1．应用平行线巧建“三角形”求角的度数平行线可以迁租等角或者构造互补的角：平行线+1条角粉线则可以构适“等腰三角形”如图①；平行线十2角平分线，则可以构造“直角三传形”如图②2．求三角形角的度数，一般涉及以下几个知识点（1）等边对等角，把边的关系转化为角的关系（2）角平分线以及等腰三角形的三线合一（3）三角形的内角和为180.（4）直角三角形的两锐角至余（5）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和3．等腰三角形的性质:（1）等腰三角形的两腰相等。

中考常考知识手册-数学

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中考数学必背知识手册知识必备10 圆(公式、定理、结论图表)

知识必备10圆（公式、定理、结论图表）考点一、圆的有关概念1.圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是⊙O的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记作 BC，BAC．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．⑤劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．�圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB，∠BOC是圆心角．�圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角．要点诠释：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.圆外角度数等于它所夹弧的度数的差的一半.圆内角度数等于它所夹弧的度数的和的一半.典例1：如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝OD，则∠ABD的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°【分析】连接OB，则OC＝OB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案．【解答】解：如图：连接OB，则OB＝OD，∵OC＝OD，∴OC＝OB，∵OC⊥AB，∴∠OBC＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∠ABD＝30°+75°＝105°．故选：D．【点评】本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．考点二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示．要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)C CA B=，(5)AD BD=．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．典例2：石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．（1）直接判断AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论；（2）设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果．【解答】解：（1）∵OC⊥AB，∴AD＝BD；（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，∴BD＝AB＝13，OD＝OC﹣CD＝R﹣5，∵∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣5）2+132＝R2，解得R＝19.4≈19，答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理．此题难度不大，解题的关键是方程思想的应用．典例3：牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面示意图．（1）科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）；（2）若∠COD＝162°，点M在上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况．【分析】（1）设OA＝OC＝Rm，利用勾股定理求出R即可；（2）补全⊙O，在CD的下方取一点N，连接CN，DN，CM，DM，利用圆周角定理，圆内接四边形的性质求解即可．【解答】解：（1）设OA＝OC＝Rm，∵OA⊥CD，∴CB＝BD＝CD＝14m，在Rt△COB中，OC2＝OB2+CB2，∴R2＝142+（R﹣12）2，∴R＝，∴OC＝≈14.2m．（2）补全⊙O，在CD的下方取一点N，连接CN，DN，CM，DM，∵∠N＝∠COD＝81°，∵∠CMD+∠N＝180°，∴∠CMD＝99°．∵∠CMD＝99°不变，是定值，∴“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况．【点评】本题考查垂径定理的应用，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．典例4：如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是90°．【分析】根据已知，列出关于α，β的方程组，可解得α，β的度数，即可求出答案．【解答】解：根据题意得：，解得，∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，故答案为：90°．【点评】本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为360°和已知，列出方程组．典例5：如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE．（1）求直径BD的长；（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．【分析】（1）由BD为⊙O的直径，得到∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，所以BC＝DC，△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD的长；（2）因为BC＝DC，所以阴影的面积等于三角形CDE的面积．【解答】解：（1）∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝DC＝2，∴BD＝2×＝4；（2）∵BE＝5，∴CE＝3，∵BC＝DC，∴S阴影＝S△CDE＝×2×＝6．【点评】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R ≥r)．d为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r 1－r 2”时，要特别注意，r 1＞r 2．典例6：如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠ACB ＝60°，AD 经过圆心O 交⊙O 于点E ，连接BD ，∠ADB ＝30°．（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB ＝4，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BE ，根据圆周角定理得到∠AEB ＝∠C ＝60°，连接OB ，根据等边三角形的性质得到∠BOD ＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠ABE ＝90°，解直角三角形得到OB ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）直线BD 与⊙O 相切，理由：连接BE ，∵∠ACB ＝60°，∴∠AEB ＝∠C ＝60°，连接OB ，∵OB ＝OE ，∴△OBE是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵∠ADB＝30°，∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OB⊥BD，∵OB是⊙O的半径，∴直线BD与⊙O相切；（2）∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵AB＝4，∴sin∠AEB＝sin60°＝＝＝，∴AE＝8，∴OB＝4，∴BD＝OB＝4，﹣S扇形BOE＝4×﹣＝8﹣．∴图中阴影部分的面积＝S△OBD【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．典例7：如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC＝PC＝3，则PB的长为（）A．B．C．D．3【分析】连结OC，根据切线的性质得到∠PCO＝90°，根据OC＝OA，得到∠A＝∠OCA，根据AC＝PC，得到∠P＝∠A，在△APC中，根据三角形内角和定理求得∠P＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质得到OP＝2OC＝2r，在Rt△POC中，根据tan P＝求出⊙O的半径r即可得出答案．【解答】解：如图，连结OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠OCA，∵AC＝PC，∴∠P＝∠A，设∠A＝∠OCA＝∠P＝x°，在△APC中，∠A+∠P+∠PCA＝180°，∴x+x+90+x＝180，∴x＝30，∴∠P＝30°，∵∠PCO＝90°，∴OP＝2OC＝2r，在Rt△POC中，tan P＝，∴＝，∴r＝3，∴PB＝OP﹣OB＝2r﹣r＝r＝3．故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，体现了方程思想，在△APC中，根据三角形内角和定理求得∠P＝30°是解题的关键．典例8：如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明OD∥AC，得∠ODF＝∠AED ＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；（3））由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF ＝BD＝2．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．（2）证明：∵线段AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等边三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．【点评】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．典例9：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．【解答】（1）证明：连接OD．∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC．∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∴∠ADC+∠BDO＝90°．∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AC＝CD＝，∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形．∴∠ACD＝60°．∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．在Rt△OCD中，OD＝CD tan∠DCO＝tan30°＝2．∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝30°．∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．∴的长＝．【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°．要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a、边心距r、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n = °，180cos n r R n= °，2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a = ，1122n n n n n S a r n P r == ．典例10：（2022•黔东南州）（1）请在图1中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图2，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 是⊙O 的直径，点B 是的中点，过点B 的切线与AC 的延长线交于点D ．①求证：BD ⊥AD ；②若AC ＝6，tan ∠ABC ＝，求⊙O 的半径．【分析】（1）利用尺规作图分别作出AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，以O 为圆心、OA 为半径作圆即可；（2）①连接OB ，根据切线的性质得到OB ⊥BD ，证明OB ∥AD ，根据平行线的性质证明结论；②连接EC，根据圆周角定理得到∠AEC＝∠ABC，根据正切的定义求出EC，根据勾股定理求出AE，得到答案．【解答】（1）解：如图1，⊙O即为△ABC的外接圆；（2）①证明：如图2，连接OB，∵BD是⊙O的切线，∴OB⊥BD，∵点B是的中点，∴＝，∴∠CAB＝∠EAB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠EAB，∴∠CAB＝∠OBA，∴OB∥AD，∴BD⊥AD；②解：如图2，连接EC，由圆周角定理得：∠AEC＝∠ABC，∵tan∠ABC＝，∴tan∠AEC＝，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∴＝，∵AC＝6，∴EC＝8，∴AE＝＝10，∴⊙O的半径为5．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．典例11：如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含π的式子表示）【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，＝＝（cm2），∴S扇形DOE故答案为：．【点评】本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键．典例12：如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（）A ．30°B ．36°C ．45°D ．60°【分析】由正六边形的性质得出∠COE ＝120°，由圆周角定理求出∠CME ＝60°．【解答】解：连接OC ，OD ，OE ，∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴∠COD ＝∠DOE ＝60°，∴∠COE ＝2∠COD ＝120°，∴∠CME ＝∠COE ＝60°，故选：D ．【点评】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠COM ＝120°是解决问题的关键．考点五、圆中的计算问题1.弧长公式：180n R l π=，其中l 为n°的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径．2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．要点诠释：（1）在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．（2）求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．典例13：如图，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，∠BAC ＝α，将△ABC 绕点A 逆时针旋转2α，得到△AB ′C ′，连接B ′C 并延长交AB 于点D ，当B ′D ⊥AB 时，的长是（）A．πB．πC．πD．π【分析】证明α＝30°，根据已知可算出AD的长度，根据弧长公式即可得出答案．【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°，∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，∴，∴的长度l＝＝π．故选：B．【点评】本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．典例14：如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝，以A为圆心，以AB为半径作；以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是π﹣2.（结果保留π）【分析】如图，取BC的中点O，连接OA．根据S阴＝S半圆﹣S△ABC+S扇形ACB﹣S△ACB，求解即可．【解答】解：如图，取BC的中点O，连接OA．∵∠CAB＝90°，AC＝AB＝，∴BC＝AB＝2，∴OA＝OB＝OC＝1，∴S阴＝S半圆﹣S△ABC+S扇形ACB﹣S△ACB＝•π×12﹣××+﹣××＝π﹣2．故答案为：π﹣2．【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用割补法求阴影部分的面积．典例15：蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（）A．圆柱的底面积为4πm2B．圆柱的侧面积为10πm2C．圆锥的母线AB长为2.25mD．圆锥的侧面积为5πm2【分析】利用圆的面积公式对A选项进行判断；利用圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高可对B选项进行判断；根据勾股定理可对C选项进行判断；由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式可对D选项进行判断．【解答】解：∵底面圆半径DE＝2m，∴圆柱的底面积为4πm2，所以A选项不符合题意；∵圆柱的高CD＝2.5m，∴圆柱的侧面积＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B选项不符合题意；∵底面圆半径DE＝2m，即BC＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，∴圆锥的母线长AB＝＝2.5（m），所以C选项符合题意；∴圆锥的侧面积＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱的计算．典例16：某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】由圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD＝DE，根据圆锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，即知计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为9πcm3，设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD为xcm，可得π•（6﹣x）2•（6﹣x）＝9π，即可解得答案．【解答】解：如图：∵圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，∴△ABC是等腰直角三角形，∴△CDE也是等腰直角三角形，即CD＝DE，由已知可得：液体的体积为π×32×7＝63π（cm3），圆锥的体积为π×62×6＝72π（cm3），∴计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为72π﹣63π＝9π（cm3），设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD为xcm，则CD＝DE＝（6﹣x）cm，∴π•（6﹣x）2•（6﹣x）＝9π，∴（6﹣x）3＝27，解得x＝3，∴计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm，故选：B．【点评】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．考点六、四点共圆1.四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.2.证明四点共圆一些基本方法：1.从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距.2.如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆．（若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径.）3.把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．4.把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆.典例17：综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）∴点A，B，C，D四点在同一个圆上反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆．（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为45°．拓展探究：（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；（3）①根据轴对称的性质得到AE＝AC，DE＝DC，∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，进而得到∠AED＝∠ABC，证明结论；②连接CF，证明△ABD∽△AFB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆，故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；（2）解：∵∠1＝∠2，∴点A，B，C，D四点在同一个圆上，∴∠3＝∠4，∵∠3＝45°，∴∠4＝45°，故答案为：45°；（3）①证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵点E与点C关于AD的对称，∴AE＝AC，DE＝DC，∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，∴∠AED＝∠ACB，∴∠AED＝∠ABC，∴A，D，B，E四点共圆；②解：AD•AF的值不会发生变化，理由如下：如图4，连接CF，∵点E与点C关于AD的对称，∴FE＝FC，∴∠FEC＝∠FCE，∴∠FED＝∠FCD，∵A，D，B，E四点共圆，∴∠FED＝∠BAF，∴∠BAF＝∠FCD，∴A，B，F，C四点共圆，∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，∵∠BAD＝∠FAB，∴△ABD∽△AFB，∴＝，∴AD•AF＝AB2＝8．【点评】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键．考点七、与圆有关的比例线段（补充知识）1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.3.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O 中，AB、CD 为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P.PC 2＝PA·PB.用相交弦定理.切割线定理⊙O 中，PT 切⊙O 于T，割线PB 交⊙O 于APT 2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT 切割线定理推论PB、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A、C PA·PB＝PC·PD过P 作PT 切⊙O 于T，用两次切割线定理。