第三章 稳健估计
callaway_and_sant’anna(2021)提出的稳健估计量
callaway and sant’anna(2021)提出的稳健估计量1. 引言1.1 概述在经济学和统计学领域，估计量的稳健性一直是一个重要的研究方向。
随着研究方法和技术的不断发展，学者们提出了各种稳健估计量的方法来解决传统估计方法的局限性。
本文将聚焦于Callaway和Sant’Anna(2021)提出的一种新型稳健估计量方法，并对其在实证研究中的应用进行深入分析。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分。
首先，在引言部分我们将介绍整篇文章的背景、目的和结构。
接下来，在第二部分，我们将详细介绍Callaway和Sant’Anna(2021)提出的稳健估计量方法，包括该方法所针对的研究背景、具体方法步骤以及相关结果和讨论。
第三部分将回顾稳健统计学的概念与原理，并解释Callaway和Sant’Anna(2021)方法的基本原理。
此外，我们还会对其他相关方法进行比较介绍。
紧接着，在第四部分中我们将给出一个实际案例并描述数据收集的具体过程，然后展示Callaway和Sant’Anna(2021)方法在该案例中的应用，并进行结果分析与讨论。
最后，在第五部分中，我们将总结Callaway和Sant’Anna(2021)提出的稳健估计量方法，并对其贡献和局限性进行评价，同时提出未来研究的方向建议。
1.3 目的本文的目的是深入探讨Callaway和Sant’Anna(2021)提出的稳健估计量方法，并对其在实证研究中的应用进行详细分析。
通过全面解释该方法的理论基础以及实际应用案例，我们旨在为读者提供对该方法的深入理解，并帮助读者判断该方法在不同研究领域中的适用性和优势。
此外，我们还将总结该方法的贡献并指出可能存在的局限性，为后续研究提供参考方向。
2. Callaway and Sant’Anna(2021)的稳健估计量2.1 研究背景引言介绍到，稳健回归分析在存在异常值或数据不满足常规统计假设时具有较好的性能。
GNSS高程拟合中的稳健估计粗差剔除方法
ｐ ｏ ｅ ｓ ｅｍｅｒｃ ｌ ａａａ ｄｆ ｄａｐ ｒｍｅｆｃ ｌ ｓｉ ｔ ｎｍｅｈ ｄｗｉ ｅａ ｉｔ ｆ ｘ ｌ ｄｎ ｒｏ ｔｒｅｅ ｃ ， ｒ ｃ ｓ ｔｉａ ｔ ｎ ｎ ａ ａ ｔ ａ ｔ ｈ ｔ ｄ ｉ ｉ ｅ ｍａｉ ｔｏ ｔ ｔ ｂｌ ｏ ｃｕ ｉｇｅｒ ｒ ｎ ｅｆｒ ｎ ｅ ｏ ｈｈ ｉ ｙ ｅ ｉ
宫雨生 ，张丽萍 ，赵海莹
（． １ 辽宁科技大学 资源 与土木工程学院，辽宁 鞍 山 １４ ５ ；２辽宁有色勘察研 究院，辽 宁 沈阳 １０ １ ： １０ １ ． １０ ３
３东北岩土： 程勘察总公司 ，辽宁 鞍 山 １４ ０ ） ． ［ １０ ２
摘 要：针对 Ｇ Ｓ 高程拟 合中最小二乘 估计不具备抗粗差 的能力 ，至使含有粗差数据拟合结果失真的问题， ＮＳ 将稳健估计引入到数据预处理 中，建立 了稳健估计选权迭代方法 。研究结果表明：该方法有效地解决了在精度允 许的范围 内数学模型失真这一 问题 ，并结合 具体工程实例分析证明了该方法的有效性。
关键 词：Ｇ Ｓ ＮＳ ：高程拟 合；数据 预处理； 最小二乘估计 ；稳健估计选权迭代法；粗 差剔 除；ＭＡ Ｌ Ｂ；多项式 ＴＡ
中图分类号 ：Ｐ２ ８ ２ ． ４ 文献标志码 ：Ａ
Ｍ ｅ ｈ ｄ ｏ ｒ ｓ ｒｏ ｌ ｉ ａｉ ｎ ｆ ｒ ｏ ｕ ｔ ｓｉ ａｉ ｎ ｔ ｏ ｆ ｏ ｓｅ ｒ ｒｅｉ ｎ ｔｏ ｏ ｂ ｓ ｔ ｔｏ ｇ ｍ ｒ ｅ ｍ ｉ ｑ ｈ ｉ ｈ ｔｉ ｇ ｎ ＧＴ Ｓ ｅｇ ｔ ｔ Ｓ ｉ ｆ ｎ
ＧＯＮＧ ｓ ｅ ，， ＺＨＡＮＧ ｐｉ ＺＨＡＯ ａ ｙ ｎｇ Ｙｕ ｈ ｎｇ Ｌｉ ｎｇ ， Ｈ ｉｉ
（ ．ｃ ｏ ｌ ｆ ｓ ｕ ｃ ｓａ ｄＣｉｉ Ｅｎ ｉｅ ｒｎ ， ｉ ｅ ｓｔ ｆ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙＬｉｏ ｉ ｇ Ａｎ ｈ ｎ １Ｓ ｈ ｏ ｏ ｒ ｅ ｎ ｖ ｌ ｇｎ ｅ ｉｇ Ｕｎｖ ｒ ｉ ｏ ｉｎ ｅａ ｄＴ ｃ ｎ ｌｇ ａ ｎｎ ， ｓ ａ ｏ Ｒｅ ｙ Ｓ
稳健估计new1
浅谈稳健估计一、 稳健性的含义稳健性是从英语“robustness"翻译过来的一个名词，含有强壮，健康、坚韧等意思．它是统计方法可能具有的一种特性。
一般说来，是人们在构造统计方法时所努力追求的一种特性。
对这种性质的确切含义，文献中提出了种种不尽相同的说法，难于用三言两话说清楚。
在理论上解决一个统计问题时，要假定问题适合一定的统计模型，就是说样本的概率分布属于一定的分布族。
在这个基础上，根据问题的要求(估计某一参数，检验某一假设等)而选定的优良性准则或者直观上的考虑，提出一定的统计方法(一个点估计量，一个检验等)，但在实际上情况比较复杂，往往没有足够的根据去确定总体所服从的分布，即使有相当的根据去确定其模型，但往往也只能说是近似地成立而不是一丝不差地成立。
例如，在一些情况下有理由认为模型近似地为正态，但很少可能是确切的正态．由于这一点，我们希望所使用的统计方法有如下的性质： 当分布或模型有微小的变化时，统计方法的性能也只受到微小的影响，若不然，则针对模型为正态所构造的统计方法虽说在理论上有良好的性能，但在实用中可能完全不是那回事。
统计方法的性能对模型的微小变化反映不敏感这样一种性质，一般就理解为统计方法的稳健性。
次序统计量的线性组合估计下面引入计算对称分布中心的几种算法。
而后我们对于中尾分布到重尾分布的集合，找到更为稳健的统计量。
在讨论稳健性指标中，许多常用的稳健估计是样本次序统计量的线性组合。
例如样本均值是顺序统计量的函数，设(1)(),,n X X 为样本次序统计量。
1(1)()n n T a X a X =++称为L 估计量。
其中11ni i a ==∑。
特别当取1(1,2,,)i a i n n== 时，为样本均值。
样本中位数也是一种L 估计量。
在前面我们已经分析样本的均值对对样本的极端值非常敏感。
为了使其不太敏感，一个非常简单的方法是对样本观测值进行“修剪”，删去那些最最极端的值。
稳健估计
3、稳健估计的发展历史
• 薄克斯（G.E.P.Box）于1953年提出了稳健估计（Robust Estimation）概念 • 1964年胡倍尔（P.J.Huber）发表了“位置参数的稳健估计”，才 使稳健估计真正步入到研究与应用阶段 • 1968年，荷兰的巴尔达（W.Baarda）教授利用数理统计方法建立 了测量粗差的“数据探测”（Data-Snooping）和可靠性理论 • 周江文（1989）、李德仁（1988）等系统研究了粗差统计学 （Robust statistics），形成了具有特色的抗差最小二乘估计理论 • 1991年杨元喜提出了相关观测估计方案，建立了相关观测抗差估 计理论，进一步完善了抗差估计的理论与应用
P
Q P I
最小二乘： ˆ AT P A 1 AT P l Q AT P l , X XX
V AQ A P
T XX
I l QVV P l Rl
QVV Q AQXX AT R QVV P I AQXX AT P V R
ˆ x 5.0625
其他估计法： 1.中位数法 观测值按大小排列，取中，偶数取中间两数平均：
4.993，4.997，4.998，5.001，5.002，5.008，5.500，
ˆ x 5.001
2 ．切尾法：去掉一个最小值和一个最大值，期于平均。
ˆ x 5.0012
随机误差——最小二乘 系统误差——附有参数的 粗差 粗差是一种异常大误差 (2 4 ) 不能用最小二乘 其他方法见“实用测量数据处理”P52例1 粗差估计：1）识别法——数据探测 探测粗差数据的位置，剔除，保干净数据 2）调节法——稳健估计 采用抗干扰性强的估计法，削弱粗差对平差结果的影响
稳健估计在两种坐标转换中的应用
，
● ， ● ， ● ●
１ Ｈ
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０ Ｚ 一
■
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南 ７ ）
（ ） ２
ｙ Ｚ
为 了解 决迭 代 计算 中 因 Ｖ ０出现 定 权 问题 ， ： 计 算 时 可取 权 因子 为
ｓ ｓ ＝ｓ ｉ ｎ ，ｓ 占 ＝占 ｉ ｎ ，ｓ ＝ｓ ，ｃｓ ＝１ ｉ ｎ ， ｏｓ ， 。 爪 ，， 、 ：１
．
。
：１ ．
值很小的权 ， 从而实现粗差的削弱或剔除。
Ｉ
Ｉ
１坐 转 数 模 标换 学型
设有两个空问直角坐标系 Ｏ — １ １ １和 ０ ｌ Ｘ ＹＺ ２一 Ｘ ＹＺ ， ２ ２ ２ 要实现空间直角坐标系从 Ｏ 一 １ Ｉ １到 １ Ｘ ＹＺ ０ Ｘ ＹＺ ２一 ２ ２ ２的转换 ， 坐标 系原点 不重合 ， 在三个 存 平移参数 △ 、 、 ， △ △ 坐标 轴也不互相 平行 ， 存在
２１ ０ １年第 ３期
・ 京测 绘 ・ 北
６ １
稳健 估计在两种坐标转换中的应用
张 小青 李世 顺
（．北京建筑工程 学院 ，测绘 与城 市空间信息学院 ，北京 １０ ４ ； １ ０ ０ ４
２ ．北 京 市 测 绘 设 计 研 究 院 ，北 京 １０ ３ ） ００ ８
［ 摘
要］ 针对 空间坐标 转换 中的转挟参数 易受到公共点 坐标精度 的影响 ， 用稳健 估计 中的选权迭代 采
法 方程 为
Ｂ ＰＢ戈 一Ｂ ｜ ｐ Ｚ：０
０
（ ６ ２— ）
０
茎 ］
０
● ● ●
式 中： Ｅ表 示 已知 值 ， 表 示： 为等价权 ， 为等价权元素 ， 是观测值 的 权 Ｐ 与权 因子 ∞ 之积。
复合核估计法的纠偏及稳健估计
。
１
ｈ ＝Ｏ（ ） 音 ＜ ＜吾 ｎ 且 ０ ０ ，
则新估计量 仍具有 比普通 的核估计量更小的均方误差 ． （） 推论２２ 明： ． 表 新估计量对窗 宽的选择不再敏感 ， 即复合方法是一种 更实用 的估计方法．
此外， 由推论２１ 以看 出， ．可 新估计量 ） 均方误差 的渐近阶不受 ，ｊ ｃ］ ｍ ２的影响． ￣ｍ（ ） 当ｍ增大时， 会使运算更加复杂， 不会增加估计 的渐近效． 但 于是， 我们可选择一个较小的ｍ值来
本 节 我 们 通 过 模 拟 观 察 复 合 核估 计 的有 限样 本 表 现． 在 下 面 的例 子 中，样 本容 量 均
为几＝ １０ 回归函数ｒｘ ＝ （一（ｘ一１。 ０， （） １ ２ ））具有４ 阶连续导数， 故我们选择 ＝ ２ 来构造ｒ 的复 （）
合核 估 计 ．
例 ３１ 设计此模型是为了验证复合核估计对窗宽选择 的稳健性． ． 考虑模型
表示为：
Ｅ ） （） ｎ ＋Ｏ ｎ Ｘ∈（，） （（） 一ｒ ＝Ａ 一 （一 ） ０１，
其中 是不依赖于ｎ 的常数 ．
由（．） 知， 估计 （） 差的阶为Ｏ（－ｏ， ２ 式可 ４ ＧＭ 偏 ｎ ２）故新 估计量的偏差显著小于原Ｇ 估计 ￣ Ｍ
量的偏差．
定 理２２ 当ｎ一 ∞ 时， ． 估计量 的方差可表示为： （）
２ …
所对应 的观测值， 差项Ｅ ， ， 独立 同分布且期望 为０ 方差为 ．为 了引出新估计量， 误 １… ， 我
）娄 （ ， ＝ 去
．
（ ２ ． ２ ）
（） ２ ． ３
其中ｓ 。＝０ ８ ＝ （ｉ ｉ１／， ＝ １・ ｎ一１ｓ １ （ 为核 函数， ， ｉ Ｘ ＋Ｘ＋ ）２ ｉ ，一， ， ＝ ． ． ） 为依赖 于ｎ 的窗宽．
稳健估计原理
估计理论引入测量界；
L 估计——排序统计量线性组合估计，需将观测子样按其大小排列； R估计——秩检验估计（列序统计量的秩），基于观测子样列序统计量的秩， 属于非参数估计。
ˆ max Inf
ˆ max Inf l , x
i 1 i
i 1 i
ˆ 0 l , x
i 1 i
n
则
ˆ 式中， li , x
l i , x x
不具备抗差性
录
平差模型的稳健估计
（抗差估计）
目 录
壹
稳 健 估 计 原 理
贰
稳 健 估 计 的 选 权 迭 代 法
叁
几 种 常 见 的 抗 差 模 型
肆
相 关 观 测 的 稳 健 估 计 方 法
伍
稳 健 回 归 分 析
稳健估计的分类：
M估计——广义的极大似然估计，是经典的极大似然估计的推广，基于1964 年Huber所提出的M估计理论，丹麦的Krarup和Kubik等人于1980年将稳健
n
ˆ max Inf l , x
i 1 i
n
正态分布下的极大似然估计准则：
极大似然估计准则为
M估计：
极大似然估计准则为
ˆ max Inf l , x
i 1 i
n
令
n
ˆ Inf li , x ˆ li , x
求导
则上式可改写为
ˆ min l , x
稳健最大似然(mlr)估计方法
稳健最大似然(mlr)估计方法The robust maximum likelihood estimation method (mlr) is a statistical technique used to estimate the parameters of a model while accounting for outliers or extreme values in the data. This method is particularly useful in situations where traditional maximum likelihood estimation may be prone to bias or inefficiency due to the presence of outliers. By incorporating robust estimators, such as the Huber or Tukey biweight functions, mlr helps to reduce the impact of outliers on parameter estimates, resulting in more reliable and accurate model fitting.稳健最大似然估计方法（mlr）是一种统计技术，用于在考虑数据中的异常值或极端值的情况下估计模型的参数。
这种方法特别适用于传统最大似然估计可能因为异常值存在而产生偏差或低效的情况。
通过结合稳健估计器，如Huber或Tukey双加权函数，mlr有助于减少异常值对参数估计的影响，从而实现更可靠和准确的模型拟合。
One of the key advantages of the robust maximum likelihood estimation method is its ability to provide consistent estimates even in the presence of outliers. Traditional maximum likelihoodestimation methods are sensitive to outliers, which can greatly impact the accuracy of parameter estimates and the overall fit of the model. By using robust estimators, mlr is able to downweight the influence of outliers while still maintaining the consistency of parameter estimates, resulting in more robust and reliable inference.稳健最大似然估计方法的关键优势之一是它能够在存在异常值的情况下提供一致的估计。
稳健估计
稳健估计在测量平差中的数学模型综述摘要：随着测量科学技术的发展，采集数据越来越现代化、快速化、自动化、大规模化，粗差已经不可能再以传统方式剔除了，因此，在平差时同时考虑偶然误差和粗差就成了测量界的一个研究方向。
本文主要解释了稳健估计中的M估计方法，进一步推到了M估计在测量平差领域的应用模型，介绍了现有的函数定义方法。
关键字：粗差；测量；M估计；函数1 引言现代测量平差理论中，考虑粗差产生的原因和影响，在数据处理时可将粗差归为函数模型或归为随机模型。
将粗差归为函数模型，可解释为均值漂移模型，粗差即表现为观测误差绝对值较大且偏离群体，其处理的思想是在正式进行最小二乘平差之前探测和定位粗差，然后剔除含粗差的观测值，得到一组比较净化的观测值，以便符合最小二乘平差只含有偶然误差的条件；将粗差归为随机模型，可解释为方差膨胀模型，粗差即表现为先验随机模型和实际随机模型差异过大，其处理的思想是根据逐次迭代平差的结果来逐渐改变观测值的权或方差，最终使粗差观测值的权趋于零或方差趋于无穷大，这种方法可以保证所估计的参数少受模型误差，特别是粗差的影响。
将粗差归为随机模型后使用的平差方法就是通常所说的稳健估计方法。
2 稳健估计经典的估计方法，是建立在观测数据来源于某一特定分布的母体基础上，按这一特定分布模式做出相应的估计。
例如测量平差中采用的最小二乘估计，其观测值的特定分布为正态分布。
在观测值服从正态分布情况下，最小二乘估计是最优线性无偏估计，具有最优统计性质。
但当观测值中含有粗差时，观测值来源于特定的正态分布母体这一假设前提不成立，最小二乘估计自然就不再具有最优估计的性质，参数估计也往往被少数几个粗差所破坏。
严格而言，符合某一特定分布的观测数据是不存在的，如果有一种估计方法，其分布模式是建立在符合观测数据的实际情况的基础上，并给出相应的估计准则，那当然是一种最好的估计方法了，但这仅是一种理想的估计方法。
因为实际情况的严格分布模式是未知的。
稳健估计
稳健估计一、概述测量数据处理是对一组含有误差的观测值，依一定的数学模型，包括函数模型和随机模型，按某种估计准则，求出未知参数的最优估值，并评定其精度。
当观测值中仅包含偶然误差时，按最小二乘准则估计平差模型的参数，将具有最优的统计性质，亦即所估参数为最优线性无偏估计。
统计学家根据大量观测数据分析指出，在生产实践和科学实验所采集的数据中，粗差出现的概率约为（Huber《Robust Statistics》）。
粗差被定义为比最大偶然误差还要大的误差，如果平差模型中包含了这种粗差，即使为数不多，仍将严重歪曲参数的最小二乘估计，影响成果的质量，造成极为不良的后果。
随着全球定位系统（GPS）、地理信息系统（GIS）、遥感（RS）等先进测量技术的发展，测量数据采集的现代化和自动化，在某种意义上而言，粗差也不可避免地被包含在平差模型之中。
因此，如何处理同时存在偶然误差和粗差的观测数据，以达到减弱或消除其对成果的影响，是近二十年来现代测量平差所注意研究的理论课题。
现代测量平差理论中，考虑粗差产生的原因和影响，在数据处理时可将粗差归为函数模型，或归为随机模型。
将粗差归为函数模型，粗差即表现为观测量误差绝对值较大且偏离群体；将粗差归为随机模型，粗差即表现为先验随机模型和实际随机模型的差异过大。
将粗差归为函数模型，可解释为均值漂移模型，其处理的思想是在正式进行最小二乘平差之前探测和定位粗差，然后剔除含粗差的观测值，得到一组比较净化的观测值，以便符合最小二乘平差观测值只具有偶然误差的条件；而将粗差归为随机模型，可解释为方差膨胀模型，其处理的思想是根据逐次迭代平差的结果来不断地改变观测值的权或方差，最终使粗差观测值的权趋于零或方差趋于无穷大，这种方法可以保证所估计的参数少受模型误差，特别是粗差的影响。
前已指出，在测量数据服从正态分布情况下，最小二乘估计具有最优统计性质。
但最小二乘法对含粗差的观测量相当敏感，个别粗差就会对参数的估值产生较大的影响。
稳健估计ppt课件
i
所以难以正确定位，只能用假设检验法
不能简单地直接由残差来检测粗差。
三、数据探测法
1、基本思想（Baarda数据探测法）
在平差中检测出粗差（观测值中存在粗差），并对其进行定 位（第几个观测值），删除粗差观测值，然后按常规平差方法 （最小二乘）进行平差（参数估计）。达到消除粗差，获得 “干净”观测值的目的。 通过假设检验的方法
可靠性任务：1、研究平差系统发现、区分模型误差的能力，以及不可发现、
区分的模型误差对平差的影响 2、平差过程中发现区分模型误差的方法
可靠性：多余观测、误差、可靠性的关系。
可靠性：衡量成果可靠成度的指标
不可靠
有一定可靠行，不可定位
可靠性高，可定位
二、残差理论（可靠性理论）
粗差对残差的影响 残差（改正数）V ：发现粗差的重要信号 观测值残差大 设： 粗差（可能）
其他估计法： 1.中位数法 观测值按大小排列，取中，偶数取中间两数平均：
4.993，4.997，4.998，5.001，5.002，5.008，5.500，
ˆ 5 x .001
2 ．切尾法：去掉一个最小值和一个最大值，期于平均。
ˆ 5 x .0012Fra bibliotek随机误差——最小二乘 系统误差——附有参数的 粗差 粗差是一种异常大误差 ( 2 4 ) 不能用最小二乘 其他方法见“实用测量数据处理”P52例1 粗差估计：1）识别法——数据探测 探测粗差数据的位置，剔除，保干净数据 2）调节法——稳健估计 采用抗干扰性强的估计法，削弱粗差对平差结果的影响
ˆ VA X l
P
Q P I
最小二乘： 1 T T T ˆ X AP A A P l Q A l, XX P
GPS高程拟合的模型参数优选与稳健估计
式 中：——模型参数 的估计值 ； 主
（，） Ｎ （，） 口 ＿ ￣ｚ ＋互 ｑ ３ － ｘ，
（） １
∑立 — ＿ 的协方差 阵 ； 三 Ｐ 一 观测 值 的权 阵 ； 甏 ——单位权方差 ； ｉ 一 残 差 向量 ；
， — 已知点数 ； ｚ —
式 中：（ ——待求点的高程异常 ； 车 ，） Ｎｏ ，） ——全球模型计算的待求点的近似高程 异常 ； （ ） ｚ， —— 待求 点 的平 面坐标 ； ｎ——模型参数 ，，－０ １… ， ｄ ｉ ，， ｍ； 多 项式 的阶数 。
— —
重力场模型计算的已知点的近似模型。
当有足够的已知点 ， （ ） 式 ２ 就可以在最ｄ －乘的原 ￣ －
则求解模型参数和其后验方差阵：
王 （ 一 Ａ ） Ａ ＰＺ Ａ） （） ３
∑菇 一甏Ｑ 一 （ Ａ） 若 Ａ
１’一 ‘
（） ４
（） ５
一
三
一
，
云 一 一 ｚ
２ 模 型 参数稳 健估计
Ａ ｚ— Ｚ
＊ 收 稿 日期 ：０ １０—８ ２ １ －７０
作者简介 ： 程￣
（ ９ ８）男 （ １ ７一 ｔ 汉族 ） 江西上饶人 ， ， 工程师 ， 事工程测绘技术工作 。 现从
２０ １
一
西部 探矿 工程
虑 观测 量 的相关 性 。
２１ 年 第 １期 ０２
Ｐ＝ ∑ 一 （ ｈ ∑ＨＨ） ∑ｈ ＋ （） ７
但实际上， 协方差阵∑Ｍ和∑Ｈ 是 得到 的， 所以 实际计算中初始权阵 Ｐ一般为单位矩阵。对于移动 曲面 模型也可以 根据已知点与待求点的已知距离来给定， 如：
，咤 一
另一个基本条件 ， 因为它直接影响着系数矩阵 Ａ。基于 这个原因对模型参数进行显著性检验而优化选择是很 有 必要 的 。 在进行参数显著性检核之前， 应先建立好相关 的检 验标准 （ 统计量） 。数理统计中常用到 的检验为单参数 Ｆ检 验 。 设零假设为：
马尔可夫过程稳态分布估计
马尔可夫过程稳态分布估计马尔可夫过程是概率论和随机过程中一类重要的随机模型，具有无后效性和马尔可夫性质。
在实际应用中，我们经常需要对马尔可夫过程的稳态分布进行估计。
1. 简介马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，过去的状态和未来的状态是条件独立的。
这意味着在马尔可夫过程中，当前状态仅依赖于前一状态，而与更早的状态无关。
2. 稳态分布稳态分布是指当时间趋于无穷大时，系统的概率分布不再发生变化。
对于马尔可夫过程而言，稳态分布在长时间尺度上表示系统的平衡状态。
3. 马尔可夫链蒙特卡洛法马尔可夫链蒙特卡洛法（MCMC）是一种常用的马尔可夫过程稳态分布估计方法。
MCMC基于马尔可夫链的收敛性质，通过构建一个马尔可夫链并模拟其演化过程，最终得到系统的稳态分布。
4. 蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟是一种基于随机抽样的数值计算方法。
在马尔可夫链蒙特卡洛法中，通过抽样得到一组样本，然后基于这些样本计算系统的稳态分布。
5. 马尔可夫链收敛性当马尔可夫链的迭代次数趋向于无穷时，如果马尔可夫链的状态分布收敛于马尔可夫过程的稳态分布，那么称该马尔可夫链具有收敛性。
6. MCMC算法MCMC算法是一种基于马尔可夫链的蒙特卡洛方法。
在MCMC算法中，通过定义一个转移矩阵，以当前状态为基础，按照一定的概率进行状态的转移，最终得到稳态分布的近似值。
7. Gibbs抽样Gibbs抽样是一种常用的MCMC算法。
在Gibbs抽样中，将多维分布的抽样问题转化为一系列较为简单的条件抽样问题，通过依次抽取每个变量的条件分布，实现对多维分布的逐步抽样，从而得到稳态分布的估计。
8. Metropolis-Hastings算法Metropolis-Hastings算法是一种常用的MCMC算法。
该算法通过定义一个接受概率，根据当前状态和建议状态的概率差异来决定是否接受建议状态，从而实现状态的转移。
通过多次迭代，得到系统的稳态分布估计。
callaway and sant’anna(2021)提出的稳健估计量
callaway and sant’anna(2021)提出的稳健估计量Callaway and Sant'Anna（2021）是两位经济学家提出的一种稳健估计量方法。
稳健估计量是指在面对数据异常、模型假设不满足等情况下，能够产生较为准确、可靠的估计结果的方法。
本文将对Callaway and Sant'Anna（2021）提出的稳健估计量进行介绍和分析。
在经济学研究中，常常面临数据异常或模型假设不满足的情况。
传统的估计方法在这些情况下可能会产生偏误较大的估计结果，从而影响对经济现象的理解和分析。
为了解决这个问题，研究者提出了各种稳健估计量方法。
Callaway and Sant'Anna（2021）提出的稳健方法是基于工具变量的估计法。
他们注意到在传统方法中，工具变量的选择常常会受到数据异常等因素的影响。
为了克服这个问题，他们提出了一种利用稳健回归的工具变量估计方法。
他们的方法基于两个关键观察。
首先，他们指出在工具变量的选择上，传统方法常常忽略了数据异常的可能性。
相比之下，他们的方法通过使用稳健回归来选择工具变量，从而在面对数据异常时能够更加稳定地进行估计。
其次，他们提出了一种新的稳健标准误估计方法，用于处理模型假设不满足的情况。
这些方法的应用可以提高估计结果的准确性和可靠性。
在他们的研究中，Callaway and Sant'Anna（2021）通过实证分析来验证他们提出的稳健估计量方法的有效性。
他们利用实际数据进行了模拟实验，比较了他们的方法与传统方法在不同情况下的估计结果。
他们的研究结果表明，他们提出的稳健方法在数据异常和模型假设不满足情况下获得了更准确和可靠的估计结果。
尽管Callaway and Sant'Anna（2021）的研究在稳健估计量领域取得了一定的成果，但仍有一些局限性需要考虑。
首先，他们的方法在实际应用中可能存在一定的计算复杂性。
介绍稳健回归的书
介绍稳健回归的书《稳健回归》是一本关于统计学方法和机器学习的经典著作，由统计学家Peter J. Huber于1981年出版。
该书以直观而严谨的方式介绍了稳健回归的概念、算法和应用。
稳健回归是一种用于处理数据中存在异常值或偏离常态假设的情况的方法，它能够更准确地估计模型参数和提高预测的准确性。
《稳健回归》一书共分为11章，涵盖了稳健回归的理论基础、算法实现和实际应用。
在第一章中，作者介绍了稳健回归的概念和动机，解释了为什么常规的最小二乘（OLS）估计方法在存在异常值或非正态分布数据时无法提供可靠的结果。
接下来的几章中，作者介绍了不同的稳健回归方法，包括加权最小二乘法、M估计、S估计和MM估计等。
这些方法在不同情况下采用了不同的权重和目标函数，以提高稳健性能。
本书还讨论了如何选择适当的稳健回归方法和调整参数，以适应特定的数据集问题。
作者详细介绍了样本外预测和模型诊断等实用技巧，以帮助读者理解模型的性能和稳健性。
此外，本书还包含了丰富的数学推导和证明，以便读者更好地理解算法的原理和基本假设。
对于想要进一步学习和应用稳健回归的人来说，《稳健回归》是一本难得的著作。
它深入探讨了稳健回归的理论和实践，并提供了大量的真实案例和数据集来说明方法的实际应用。
读者可以通过这些案例和数据集进行实践和练习，以提高稳健回归的应用水平。
此外，本书还包含了一些扩展内容，例如非线性稳健回归、时间序列的稳健回归和广义稳健回归等。
这些内容对于研究人员和实践者来说是非常有价值的，可以用来解决更复杂和多变的问题。
不仅如此，本书还提供了丰富的参考文献和进一步阅读建议，使读者可以深入研究相关的领域和方法。
总之，《稳健回归》是一本权威而全面的著作，涵盖了稳健回归的理论、方法和应用。
它以简明的语言和清晰的例子阐述了复杂的概念和技术，适合从事统计学、机器学习和数据科学研究的学者、研究人员和实践者阅读。
无论是初学者还是专业人士，都能从这本书中获得关于稳健回归的深入理解和应用能力。
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第三章 稳健估计第一节 模型误差与稳健估计 一、模型误差实际模型与所建模型之差称为模型误差。
模型误差分为随机误差、系统误差和粗差。
二、稳健估计的概念及任务1概念所谓稳健估计，是在粗差不可避免的情况下，选择适当的估计方法，使所估参数尽可能减免粗差的影响，得出正常模式下最佳或接近最佳的估值。
2目标（1） 在采用假定模型下，所估计的参数应具有最优或接近最优性； （2） 如果实际模型与假定模型存在较小的偏差，则对应的估计参数所受影响也较小； （3） 即使实际模型与假定模型有较大的偏差，其参数估值的性能也不应太差，亦即不至于对估值产生灾难性的后果。
第二节 稳健估计原理一、影响函数影响函数是用来判断估计统计量对异常值敏感程度的指标，反映了在不同位置上异常数据对估值所造成的相对影响的大小。
影响函数的定义式为：(){})79(1)ˆ,,(0εεεθθεx F linF l IF ∆+-=→其中F 为正常观测值的分布函数，Δx 为异常观测值引起的阶跃分布函数。
当以一个小的概率ε出现的异常值的分布函数成为F ε：)80()1(xF F ∆+-=εεε因此估计统计量x F F ∆+-=εεθθε)1(()(与正常观测值下的估计函数)(F θ之差，描述了异常值对估计函数的影响，这就是影响函数的实现含义。
在实用中可剔除一组含粗差数据s 后，由其余（n-s ）个数据得到的估值)(F θ与全部数据获得估值之差求出s 个数对估值θ的影响函数)81()()(),,(ns F F F l IF θθθε-=该式刻画了剔除的数据对估值的影响大小或敏感程度。
因此，影响函数可用来刻划各种稳健估计方法而且作为其稳定性的度量。
二、广义极大似然估计（M 估计）设有参数向量X ，是未知的非随机量，为了估计X ，进行n 次观测，得到了观测向量L 的观测值l ，由极大似然估计有：的密度函数是随机量其中或L f )83(min )ˆ,(ln )82(max )ˆ,(ln 11∑∑===-=ni ini ixl f xl f.M ,,x ,(86)(85),x)x ,()ˆ,()85(0)ˆ,()84(min )ˆ,()x ˆ,l (lnf )x ,l 1n1i i i 估计简称就是极大似然估计进行估计对参数出发有式中或于是可得：，使一其定义广义化，代替函数（如果用l xl xl xl i ni iiρψψρρ∂===-∑∑==.L ,F )86()()],()[/())(,(),,(M **)(为异常观测值为分布函数式中估计的影响函数直接给出⎰*∂∂-=L d x L x F x l F l IF F x ψψψ三、顺序统计量线性组合估计（L 估计）设L （l 1,l 2,…,l n ）为相互独立具有同一分布F 的随机变量，把l i （i=1，2，…，n ）按其大小顺序排列得：()()），间为（为权系数，一般取值区式中量的线性组合估计正是上述顺序统计。
为新排列得顺序观测值其中10c )87()(ˆL i )(1)i (2)1(i ni i n l h c xl l l l ∑==≤≤≤四、秩检验型估计（R 估计）0)88()(1l R m)n ),()(),(,,,,,,1,i i m 2121〉∆=∆=+∆∆-=''''∑=，备选假设设为否存在差异，即取原假以检验确定两子样间是于是可构造一个统计量在组合子样的秩。
为的字样，并令个容量为（现将两个子样组合成一为未知的参数平移量。
布分别为独立的子样，他们的分为两他个相互和数的秩检验。
设首先两个三子样定位参ni i m n n R n s l F l G l F l l l l l l α的函数。
是秩接去近于零，且估计应使的估计定义，要求参数的根据）＝（或函数确定：）为权，可由（）中，在（，x Rl x a mn i J m n i J R iiii i n1i m n i i R )91(min )(S R X R Hogg )90()21(R )89(1)(J R 88=-+-⎪⎭⎫⎝⎛++=∑=ααα第三节、选权迭代法一、选权迭代法的基本思想 由M 估计式：())93(0)(,0)(ˆˆ)92(0)()(x min11111='='-=-==∂∂'=∂∂=∑∑∑∑∑=====i ii ni T i n i i i i i i ini i ni i ni iv v v a a v l x a v l xA V x v v x v v ρρρρρ或有：或考虑到：零得：求一阶导数，并令其为对未知数代替观测权阵。
仅是用权函数矩阵法方程形式完全一致，上式与最小二乘估计得（代入得：把）变为：则（令＝＝))(,),(()()95(0)ˆ)()94(0)(93,)()(11i 1i i n i i i i i nT i i i i nT iii i i v p v p diag V P l xa v p aV v v p av v v p ==-='=∑∑ρxV P V V P V V P l x A V Tˆ)(min)()(ˆ估计参数定的初值，采用迭代法其赋予一是未知的，只能通过给是残差的函数，计算前所不同的是权函数程序计算，采用类似最小二乘估计最小二乘估计的模型，亦即将平差模型转换为估计准则为：误差方程与权函数为模型：选权迭代法归结为如下为此，可将稳健估计的=-=二、计算程序计算程序为：1． 列立误差方程，令观测权函数初值为1。
2． 解算法方程（95），得出x 和v 的第一次估值。
3． 由v 确定各观测权函数，再解算法方程，类似迭代计算，直至前后两次解的差符合限差要求为止。
4． 得到最后结果。
第四节 一次范数最小估计的线性规划法 一、线性规划的基本概念线性规划的数学模型为：目标函数：f(X)=C T X=min约束条件： AX=b (96) X ≥0在数学模型中，变量X 为（n ×1）向量，C 是目标函数系数（n ×1）向量，b 是约束条件（m ×1）常数向量，A 为参数的m ×n 系数矩阵。
n 称为线性规划的维数，m 称为线性规划的阶数。
对于具体问题，应用上述数学模型可作如下考虑： （1）、若要求目标函数f(X)=max,只需将其进行转换，求函数-f(X)的最小值，所求参数不变。
（2）、当第i 个约束条件为：a i1x 1+a i2x 2+…+a in x n ≥b i 或（≤b i ）可以引入松弛变量x n+i≥0,使不等式成为：a i1x 1+a i2x 2+…+a in x n ±x n+i =b i（3）、若某些变量x j 可正可负，一般可引进变量x j =x j ″-x j ′.要求x j ″，x j ′≥0。
在线性规划中，通常称满足约束条件Ax=b 和x ≥0的解为可行解，所有可行解组成的集合称为可行解集，或称可行域。
在一般线性规划问题中，m ‹n,约束条件AX=b 有无穷多个解，如任取其中（n-m)个参数令其为零，可解出其余m 个不全为零的一组参数，由此得到的解X=[x 1,x 2,…,x m ,0,…0]T称为X 的基本解，而满足非负条件x ≥0的基本解，又是可行解，称为基本可行解。
基本可行解全体组成的点集称为基本可行解系，其中大于零的分量称为基本变量，其余为非基本变量。
二、 单纯形法单纯形法的基本思想是：根据线性规划的数学模型，从方程AX=b 的基本可行解开始，在它所有相邻的可行解中选择使目标函数有较大下降的可行解代替原来的解，这是一次迭代，经过有限次迭代，当目标函数达到极小值时，便得到最优解。
),BA ),,,(),,,,(m ,,,)()97(021)(212111N a a a N a a a B A a a a m A R m n X b X A n m m m n m m mmn m n mn ＝（则有：令其余列向量组成的列向量，组成个线无关出的各列向量，从中可选为。
设，秩中可行解，在约束条件首先求线性规划的基本 ++-===〉≥=)102()()(99)101(00)(96)(101111NB N N B N B N N N B B N B N N N N B B TN BX N B C C Z X N B C C b B C X C NX B C b B C Z X X B NX BX X C X C z x f C C C ------+=-+=+-=⎪⎭⎪⎬⎫≥≥=++===可得：）代入上式的目标函数将（）式可写成则（，设目标函数系数为：最优解，对应约束条件为检验基本可行解是否为判断最优解的标准。
是否大于等于零，可作＝因此：不是最优解，所求的基本可行解就则必有，如果式中：是可行解，故必有）式，因为由（对应的目标函数为：时，基本可行解：当)104(Z Z 00X X 102)103(00101N 101rN B C C N B C C bB C Z Z b B X X X X B N B N B N B N -----≤≤-≥==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==三、一次范数最小估计的单纯形算法可行解。
满足上式的解即为最优：化为线性规划标准形式算：计的数学模型作如下换首先把一次范数最小估)105(0000min⎪⎭⎪⎬⎫≥≥≥≥=+--=+=≥≥≥≥-=-==-+++++++++V V X X l V V AX AX V V Z V V X X V V V X X X l V AX表示用量加入基变量，负系数所对应的非基变中，找出绝对值最大的）在所有（否则转入下一步。
计算则已得到最优解，停止，若，基变量的）计算（，求出初始基本可行解）选择初始（）式的计算步骤为：解（l i i B N N B T N Br r r N B C C r b B X X X C C C N BA X 03,0020)(),(19611≤≥=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===-- 。
重复直至求出新的基本可行解，素的系数：基，按消元法计算各元）进行基变换，组成新（换出用，换为非基变量，亦即对应的基变量，即存在：取其中最小值，记为，即除对应的常数前的系数用）为保持解的可行性，（0)6(,/,/5),,,min(/,),2,1(/42211≥-='='-='='==r a a b b b a b b a a a a a a a a X X X a b a b a ba b a b a b m j a b b a X jl klkj j kl k kjl klkiji ji kl ai kik l k klkmlm l l kl k kl k jl j j jl l第五节等价权原理:)107(min)106(min ,,,,,11122121=∂∂'==∑∑∑===x v v p v p vp p p p l l l i ni i i ni iini ii n n ）（或）（准则为：对于稳健估计，相应的为：。