数学史

解析几何发展史

数学111 陈樊众所周知，在16世纪末，天文、力学、航海等领域都有了进一步的研究发展，在这些领域也相继取得了一定的成果，如德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，此外，法国数学家韦达提出了用代数的方法解几何问题的想法。在17世纪初，生产的发展与科学技术的进一步发展，给数学提出新的问题不断增多，要求不断变高，法国数学家笛卡尔与费马首先认识到新的数学学科解析几何学产生的必要和可能。解析几何学又称为坐标几何或卡氏几何，是数学中最基本的学科之一，也是科学技术中最基本的数学工具之一。解析几何的诞生是数学思想的一次飞跃，它代表着几何学与代数学的统一。

解析几何的基本内容有：引进坐标，使点（乃至更一般的几何对象）与数对应；使方程与曲线（或曲面等）相互对应；通过代数方法或算术方法解决几何问题，反过来对于代数方程等给出几何直观的解释。其中第三点是非常重要的，由于几何学的代数化或算术化大大扩展了几何学的研究领域，并弥补了综合方法的不足，为后来数学的发展指出了一条阳光大道。

解析几何学的思想来源可以上溯到公园前2000年。美索不达米亚地区的巴比伦人已经能用数字表示一点到另一个固定点、直线或物体的距离，已有原始坐标思想。公元前4世纪中古希腊数学家门奈赫莫斯发现了圆锥截线，并对这些曲线的性质作了系统的阐述。公元前200年左右阿波罗尼奥斯著有《圆锥曲线论》8卷，全面论述了圆锥曲线的各种性质，其中采用过一种坐标，以圆锥体底面的直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，加之所研究的内容，可以看做是解析几何的萌芽。解析几何的发展是由许许多多数学家不辞艰辛地付出所换来的，解析几何学的这一套内容的建立需要一个漫长的过程，通过参考一些有关解析几何学的书籍不难发现，解析几何学的发展大致可以归为以下几个阶段：创建阶段、翻译与评注阶段、从牛顿到欧拉的扩展阶段、定型阶段、推广阶段。

一、创建阶段

一般情况，笛卡尔与费马被公认为解析几何学的创立者，虽然很多学者对于他们的优先权问题有不同的说法，但他们是从不同的角度独立作出这项成功的。从许多参考书中可以发现他们的出发点不同，费马是从复原遗失的古希腊著作出发，特别是阿波隆尼斯问题（即求一个圆与已知三个圆相切），他更是进一步推广成求一个球与已知四个球相切的问题，由于熟悉韦达的符号代数学，他把代数学的与他所关心的轨迹问题结合起来。而笛卡尔完全继承了韦达的目标，通过几何作图作出代数方程的根来，当然也是结合韦达的代数方法。他们的道路也不同，笛卡尔是一位哲学家，把数学当成理性思维的基础，几何学只是他的一般方法论注脚，而费尔马是一位数学家，把从古代典籍的只言片语中得出的片段信息系统地翻译成代数的形式。

费马于1629年写成《平面和立体的轨迹引论》，这本书于1679年正式出版，在该书中，他找到了一个研究曲线问题的普遍方法，他提出解析几何学的一般原理：只要在最后的方程里出现了两个未知量，我们就得到一条轨迹，其中一个未

知量的端点就描绘出一条直线或曲线。而且，他说，直线是唯一的，而曲线则是无穷多的，包括圆、抛物线、椭圆等。他将轨迹分为平面轨迹（直线或圆）、立体轨迹（抛物线、双曲线或椭圆）、线性轨迹（其他曲线）。费尔马用一条直线OX 表示一个轴，距离OZ 表示一个未知量，距离ZJ 表示另一个未知量J ，即其端点。当Z 在OX 上变化时，J 描画出一条曲线的轨迹。不过，他没有明确提出坐标的概念。

利用以上由距离表示两个未知量，也求出了一些曲线的轨迹方程，如果原点的直线方程、任意直线方程、圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程，后来费尔马还引进了更高次的曲线，但他没有负坐标概念，所以他的方程不能代表整条曲线，可是，他认识到坐标轴可以平移及旋转，通过它们，可以将复杂的三次方程化为简单的形式，从某种意义上来说，这是现代坐标变换观念的萌芽。

笛卡尔的《方法谈》于1637年出版，其中的附录《几何学》被公认为解析几何学诞生的标志。《几何学》共分为三部分，第一部分是“仅需直线和圆的作图问题”，在这部分，他将作图问题归结为作出未知线段，为此，就要弄清楚未知线段与已知线段的相互关系，使得同一个量能用两种不同的方式表示出来，这样就得到了一个方程，若未知线段不止一条，就需要求出与未知线段数目相同的方程，这个方程经过消元、化简之后，得出一条未知线段的一个方程然后通过代数方法把未知线段通过代数运算表示出来。他通过例子表明代数运算都可以通过直尺和圆规作出图来；第二部分是介绍曲线的内涵及分类，也有轨迹问题，在这部分，笛卡尔对曲线的概念进行了新的论述，他认为古希腊人对曲线的分类没有意义，他把可用有限次代数方程来表示的曲线成为几何曲线，而把其他的曲线称为机械曲线，这样就把曲线的领域扩大了许多，并对曲线给出了一个自然的分类方法，他把含x y 、的一次、二次代数方程所决定的曲线划分为第一类，把三次、四次的曲线划分为第二类，把五次、六次方程的曲线划分为第三类，以此类推，对曲线给出了一个系统的分类；第三部分是通过作图解高次代数方程， 这部分笛卡尔再次回到作图问题，但涉及的方程是三次甚至更高次的，这类问题一般不能用直尺和圆规直接来解，而通常需要借助其他曲线。他断言如果方程是三次、四次的，非用圆锥曲线不可，而且三次问题都可以化为三等分角问题及倍立方体问题，如果方程是高于四次的，那就需要高次曲线了。他总结了过去代数方程求解的方法，讨论了纯代数方程理论，并给出了代数学基本定理的一个直观的证明。

二、翻译与评注阶段

笛卡尔的《方法谈》出版不久后，得到了一些法国数学家的肯定及应用。如，罗伯瓦尔写了两篇论文，其中《解方程的平面及立体几何》完全介绍了笛卡尔的 O X Z Z ' J J '

解析几何，在这篇论文中，他主要讨论了用方程表示轨迹及利用估计的交截来解方程。但他明显忽视了费尔马的方程图像表示，不过他没有像笛卡尔那样强调解作图问题，而是去求熟知的曲线的方程。另一位数学家得博内为《几何学》写了一个详细的评注，他第一次指出一次方程的图像是直线。

荷兰的数学家范·斯霍腾于1649年将笛卡尔的解析几何学用拉丁文进行翻译，出版《几何学》，其中不仅包含他自己的评注，而且包含自己写的更长的评注，不仅补充了笛卡尔原著中略去的证明，还加进了一些新的作图问题、新的曲线及新的代数、几何问题。该译本在1659-1661年再版时，被扩充为两卷，添加

了许多新内容。译本的第二版中，除了x轴，已经有了y轴。这部书对笛卡尔解

析几何学的传播发展起着非常重要的作用。

沃利斯是英国数学家，他被认为是笛卡尔几何学算术化思想的执行者，他是第一个提出负坐标概念的数学家。他的《圆锥曲线论》于1655年出版，是最早的用系统的代数方法来研究圆锥曲线的著作，第一次通过二次方程来定义圆锥曲线。他还证明了由二次方程定义的曲线正好就是古人的圆锥曲线，而且从方程出发来研究圆锥曲线的性质。这是解析几何学的一个重要突破。可惜的是，由于种种原因，他的观点没有得到应有的重视。

荷兰数学家维特的《曲线原本》是欧洲大陆最早的解析几何学的系统著作。这本书一开始定义曲线时，用的是开普勒的运动作图法，他先用几何方法推导圆锥曲线的性质，再证明二次方程所表示的正是具有这些性质的曲线。他与沃利斯的书合作一起，大致构成现代解析几何学教科书的原型。

在大部分数学家用的还是平面斜角坐标系时。莱布尼茨于1692年首先使用“坐标”这个词，他于1694年引用纵坐标这个词，在手稿中还用过横坐标这个词。

三、从牛顿到欧拉的扩展阶段

17世纪末，斜角坐标系已被普遍使用。牛顿在1671年写成的“解析几何”的手稿中，除了以直线为参考系的斜角坐标系及直角坐标系之外，还提出了包括极坐标系和双极坐标系在内的另外八种坐标系。在此之前，雅各布·伯努利已于1691年正式首次发表极坐标系。瑞士数学家赫尔曼于1729年正式宣告，用极坐标系研究轨迹同笛卡尔坐标系一样好。他还给出了由直角坐标系转换成极坐标系的一般公式。但他着他这方面的工作部大为人知，以致后来人们多引用欧拉乃至更晚的意大利数学家丰塔纳的著作。丰塔纳在1764年给出极坐标系的曲率半径公式。欧拉在《无穷分析引论》中已经系统地使用极坐标系，并给出变换公式。此外，欧拉还给出另一种重要的曲线表示法，即参数表示法。

17世纪之前，除了直线与圆，圆锥曲线是几何学研究的中心问题，研究方法是保守的综合法。解析几何的出现把代数法引进来，弥补了综合法的不足。对于二次曲线，曲线的分类问题相当于把二次方程转化为标准型问题。对于三次曲

线的分类，首先是牛顿做出的，牛顿不仅用负x值和负y值，还在四个象限中作

图，他把一般的三次方程所代表的曲线通过坐标变化为四种标准型，根据这些方程，得出72种不同的三次曲线，并画图表示。之后，他提出所有三次曲线都能转化为5种“发散抛物线”的投影。而它们是由其中一个方程的右方三次多项式的根的不同性质来区分的。这些结果后来由许多人加以证明，按照不同数学家的