15[1].1.1_从分数到分式

合集下载

八年级数学上册高效课堂(人教版)15.1.1从分数到分式优秀教学案例

（二）问题导向
在教学过程中，我将采用问题导向的教学方法，引导学生主动发现问题、提出问题、解决问题。针对分数与分式的知识点，设计一系列具有启发性和挑战性的问题，如分数与分式的区别与联系、分式的性质等。通过问题驱动，激发学生的求知欲，培养学生的批判性思维和创新能力。
（三）小组合作
小组合作是培养学生团队合作精神和沟通能力的重要途径。在本章节的教学中，我将组织学生进行小组合作学习，让学生在互动交流中共同探讨分数与分式的性质、运算规则等。小组合作任务包括但不限于：讨论问题、共同完成练习、互相讲解解题思路等。在此过程中，关注学生的个体差异，鼓励每个学生积极参与，提高小组的整体学习效果。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生学习数学的兴趣，培养学生对数学的热爱和信心，形成积极的学习态度。
2.培养学生勇于探索、勤于思考的良好习惯，使学生具备克服困难的勇气和毅力。
3.通过数学学习，引导学生认识数学在科学技术、社会生活等方面的重要作用，培养学生的社会责任感和使命感。
4.培养学生尊重事实、严谨求实的科学态度，使学生具备诚实、公正、合作的人格品质。
3.分式的性质与运算：结合教材，讲解分式的性质和运算规则，如分式的乘、除、加、减等。通过具体例题，让学生掌握分式的运算方法。
4.分式方程的解法：介绍分式方程的解法，并通过典型例题，让学生学会如何解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对本节课学习的分式性质、运算规则等方面进行讨论，共同探讨解决实际问题的方法。
3.小组合作促进学生互动
小组合作是本案例的一大亮点。通过组织学生进行小组讨论、分享成果，激发了学生的团队协作精神，提高了学生的沟通能力。同时，小组合作有助于学生取长补短，共同进步，提高整体教学质量。

15.1.1从分数到分式(教案)

15.1.1从分数到分式（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第15章《分式》的第一节“15.1.1从分数到分式”。教学内容主要包括以下两部分：
1.分式的定义：通过复习分数的概念，引导学生理解分式的定义，即分母不为零的整式比值称为分式。
2.分式的性质：探讨分式的分子、分母与分式值的关系，总结分式的性质，如分子分母同乘（除）一个非零整式，分式的值不变。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的定义、性质和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在数学学习和日常生活中灵活运用分式知识。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：分式2x/(x+1)与2x*2/(x的简单运算：学会分式的加减乘除运算，掌握运算规律。
举例：分式2x/(x+1)加上分式3/(x+1)时，只需将分子相加，分母保持不变，即(2x+3)/(x+1)。
2.教学难点
（1）分式与分数的区别：理解分式与分数在概念上的联系与区别，特别是分式的整式特性。
4.合作与交流：通过小组讨论、分享心得，培养学生团队合作和沟通交流的能力，促进学生共同成长。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）分式的定义：理解分式的概念，明确分母不为零的整式比值是分式的核心。
举例：分数5/6可以看作分式，而表达式(2x+1)/(x-3)也是分式，但(x+2)/0不是分式。
（2）分式的性质：掌握分式的基本性质，如分子分母同乘（除）一个非零整式，分式的值不变。

人教版八年级上册 15.1从分数到分式说课讲稿

15.1 分式 (1) 《从分数到分式》说课稿一、教材分析1．地位和作用“从分数到分式”是人教版九年制义务教育课本中八年级第一学期第十五章的第一节内容，是中学知识体系的重要组成部分。

分式的概念与整式是紧密相联的，是前面知识的延伸，同时也是对前面知识的进一步运用和巩固。

学生掌握了分式的意义后，为进一步学习分式、函数、方程等知识作好铺垫；本节课的主要内容是分式的概念，分式有意义、无意义、值为零的条件，是以分数为基础，类比引出分式的概念，把学生从对式的认识从整式扩展到有理式。

学好本章不仅能提高学生的运算能力、运算速度，还有助于培养学生的观察、类比归纳能力，并让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律；让学生在自主探索的学习过程中享受成功的喜悦，形成良好的学习氛围，提高学生学习数学的兴趣。

2．学情分析我任教班级学生基础不是很扎实，学习能力不够高．通过分数的学习，学生可能会用分数的定义去理解分式．但是在分式中，它的分母不是具体的数，而是含有字母的整式。

为了让学生能切实掌握所学知识，提高学生的能力，在教学中对于教材中的例题和练习题，作了适当的延伸拓展和变式处理。

3．教学目标(1) 知识目标：理解分式的概念，并能判断一个有理式是不是分式。

(2) 技能目标：掌握“如果分式的分母的值为零，则分式没有意义”；“如果分式的分子为零，而分母不为零时，分式的值为零”，会推断分式的分母中所含字母的取值范围。

(3) 能力目标：学习观察类比和转化的思想方法，培养学生分析、归纳、概括的能力。

(4) 情感目标：通过类比学习分式的的意义，培养学生认识事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点，并在探索学习的过程中体会成功的喜悦，从而提高学生学习数学的兴趣。

4．教学重点与难点本着课程标准，在吃透教材基础上，我确立了如下的教学重点、难点（1）重点：分式的意义；分式有意义的条件；（2）难点：分式无意义、分式的值为零的条件。

二、教学方法与学法本节课运用启发类比的教学方法，带着学生去发现和探究新知识，教师在实施教学的过程中注意学生的观察能力和语言表达能力以及类比归纳能力的培养，通过不断的实践和认识，循序渐进的让学生全面地掌握分式的意义，分式有意义、无意义、值为零的条件，使学生体会到新旧知识间的联系，树立学习数学的信心。

教学设计5：15.1.1从分数到分式

15.1.1从分数到分式一、课题：新人教版八年级上册第十五章15.1.1从分数到分式二、课型：新授课三、教材分析：《从分数到分式》的主要内容是分式的概念以及分式有意义、无意义、分式值为0的条件和用分式表示数量关系。

分式是继整式之后对代数式的进一步研究，它以分数知识为基础，类比引出分式的概念。

与整式一样，分式也是表示具体问题情境中的数量关系的一种工具，是解决实际问题的常见模型之一。

本节课的学习为今后学习更为复杂的函数、方程等知识提供重要条件，打下坚实的基础，起到承上启下的作用。

四、教学目标：1、知识与技能：学生通过实际问题中的数量关系，类比、抽象出分式的概念，理解并掌握分式的概念，能求出分式有无意义以及分式值为0的条件。

2、过程与方法：通过对分式与分数的类比，学生亲身经历、探究分式的过程，初步体会运用类比转化的思想方法研究数学问题，培养学生观察、归纳、类比的思想，并体会从特殊到一般的数学思想。

3、情感态度与价值观：通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心。

五、教学重难点：重点：理解并掌握分式的概念，体会其内涵；难点：分式有无意义、分式值为0条件的讨论及运用。

六、教法与学法：根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，教学上采用的教学方法是问题探究法，探究发现法，即学生在教师的正确引导下，积极主动参与探索发现、归纳类比等数学活动获得知识。

教师着眼于引导，学生着眼于探索。

本节课还利用多媒体辅助教学，增加课堂的容量，同时有利于突出重点、分散难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率。

有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，积极参与、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。

这节课学生积极参与到教学活动中，用启发引导的方式学习分式的概念，并在学习中渗透观察、类比、归纳的数学学习思想，体现以学生发展为本的理念，突出学生是学习的主体。

七、教学设计：。

新人教版数学八年级上册第十五章分式 15.1.1从分数到分式1教案2

15.1.1 从分数到分式课标依据1、借助现实情境了解分式，进一步理解用字母表示数的意义。

2、能分析简单问题中的数量关系，并用代数式（分式）表示。

一、教材分析“从分数到分式”是人教版九年制义务教育课本中八年级上第十五章的第一节内容，是中学知识体系的重要组成部分。

分式的概念与整式是紧密相联的，是前面知识的延伸，同时也是对前面知识的进一步运用和巩固。

从分数有意义到分式有意义，从判断分母是否为0到求解分母何时值为0，并将此规律应用于求解最简单的分式方程（分式值为0），既是知识的同化迁移，也包括了调整和重组的因素．这部分内容是本课的教学难点．二、学情分析我校是农村初中，学习基础有较大的差异，大部分学生数学基础比较薄弱，对数学学习感觉很困难，导致学习兴趣低下。

为了激发学生的学习数学的兴趣，平时我在课堂上鼓励学生积极发言、小组讨论、合作探究等多种形式调动学生学习的积极性。

三、教学目标知识与技能1．理解分式的概念，会辨别分式与整式.2．会求分式有意义时的字母满足的条件，并能求出分式值为零的这一特殊情况时字母满足的条件.过程与方法能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号感，通过类比分数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题．情感态度与价值观通过生活中的实例让学生体验发现身边的数学，激发学生对数学的学习兴趣，进一步引导探究，培养学生严谨创新的思维能力．四、教学重点难点教学重点准确理解分式的概念;教学难点会求分式有意义时的字母满足的条件，并能求出分式值为零的这一特殊情况时字母满足的条件.五、教法学法本节课运用启发类比的教学方法，通过不断的实践和认识，循序渐进的让学生全面地掌握分式的意义，分式有意义、无意义、值为零的条件，使学生体会到新旧知识间的联系，树立学习数学的信心。

人教版数学八年级上册-第15章分式15.1.1《从分数到分式》教学设计

<<从分式到分式>>教学设计三、课堂巩固当B=0时，分式AB无意义.当B≠0时，分式AB有意义.2、当AB=0时分子和分母应满足什么条件？当A=0而B≠0时，分式AB的值为零.例题：（1）当x 时，分式23x有意义；（2）当x 时，分式xx1-有意义；（3）当b 时，分式153b-有意义；（4）当x,y 满足关系时，分式x yx y+-有意义.小试牛刀2下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？()a21，()112-+xx，()2323+mm，()yx-14，()baba-+325，()1262-x我们知道除数不能为0，通过学生思考、讨论等活动，让学生充分认识到分式的一大要求：分母不能为0且分子为0，分式的值就为0.四、课堂小结四、布置作业：五、拓展延伸1.定义：一般地，如果A,B表示整式，且B中含有字母，式子AB 叫做分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.2.有意义的条件：分式AB有意义的条件是B ≠0.3.分式AB值为零的条件是A=0且B ≠0.《全效学习》P99页分层作业1.填空：⑴当时，分式x2无意义；（2）当时，分式2-xx无意义；（3）当时，分式121+-xx有意义；（4）当时，分式21-+x x 有意义；（5）当x 时，分式 21-+x x 有意义。

2. 要使分式 )2)(1(2+-+x x x 有意义，则 x 应满足的条件是。

3. 当x 为何值时，分式 211x x -+ 的值为零?板书设计15.1.1从分数到分式1、分式的概念（1）是 B A（即A ÷B ）的形式（2）分子A 与分母B 都是整式（3）分母 B 中含有字母2、分式的意义：当B=0时，分式 B A无意义.当B ≠0时，分式 B A有意义.3、分式值为0：当A=0而 B ≠0时，分式 B A的值为零.。

新人教版《15.1.1从分数到分式》评课稿

15.1.1从分数到分式
授课人：
评课人：
《从分数到分式》的评课稿
聆听了老师的课。

下面就王老师的《分数到分式》这一课谈谈自己的看法。

本节课学习目标符合学情，最终目标达成度高，组织教学手段形式多样，学生小组合作交流、跟踪练习、思维导图的引入，限时让学生充分记忆定义和概念。

王老师以一首诗引入，激发了学生兴趣，通过课前自学部分接触引出分数、以分数为系数的单项式、分式。

类比分数（以0为分子，为分母）的概念定义分式，引导学生从分子和分母两部分观察，探究出分子和分母的特征，渗透类比思想。

及时跟踪练习让学生及时巩固概念，将代数式分成整式分式两类，暴露学生的易错点，不落下π与字母的区别，解决学生的易错题型。

紧接着，类比分数有无意义的情况探究分式有无意义的条件，跟踪训练及时巩固所学知识。

在探究分式的值为0时，分别对分子分母分解因式后，一方面让分子等于零，另一方面让分母不等于零，重点强调“且”字。

以思维导图的形式对本节课进行总结，增加学生总结知识的形式，延长记忆时长。

选取较简单，较典型的题目进行当堂检测，既能解决练习的需求，又能满足训练的强度。

最后以一首诗结尾本，首尾呼应。

遗憾的是，什么是有理式没有讲透，零值这个问题还未讲通。

习题处理略显仓促，只口述没有板书过程，老师没有示范，学生就无法下手。

新课的板书应强调重点，突出大括号的使用。

三部分的练习环节未及时点评学生的讲解，告诉学生讲题应该讲什么，讲透这道题的思路，站位和姿态。

合作探究部分应放手给小组，自己研究，发现问题，教师帮助学生解决困难。

小结部分给学生时间在导学案上手绘思维导图。

人教版数学八年级上册 15.1.1：从分数到分式-说课教案设计

15.1.1 从分数到分式教学设计一、教材地位作用“从分数到分式”是人教版八年级上第十五章第一节内容，是中学知识体系的重要主成部分。

本节课的内容是分式的定义、分式有无意义的条件、分式值为零的条件。

它是以分数知识为基础，类比归纳出分式的概念，把学生对“式”的认识由整式扩充到有理式。

学号本节知识是进一步学习分式、函数、方程等知识做好铺垫。

二、教学目标1.知识与技能了解分式的概念，能求出分式有无意义的条件、分式值为零的条件。

2.过程与方法通过对分数与分式的类比，学生亲身经历探究整式到分式的过程，初步学会用类比转化的思想方法研究数学问题3.情感态度价值观通过探究分式的概念，让学生体会生生交流合作的作用，体会数学的应用价值。

三、教学重难点重点：分式的概念及分式有无意义的条件、分式值为零的条件。

难点：分式值为零的条件四、教法学法教法：利用导学案引导发现教学法学法：自主探索、交流发现五、教学过程（一）章前简介设计意图:通过章前简介、与分数的类比，让学生对分式的整章知识体系有大致了解，在学习方法学习思路既有熟悉感又有新鲜感，从而激发学生学习的欲望、并有战胜它值信心决心。

（二）展示学习目标设计意图：明确学习目标，并为之努力。

（三）展示学生课前学习情况（学生展示）设计意图：培养学生自主学习的习惯，并在解决第3题时引出课题：（四）普读求是探究（一）：分式的概念１.一艘轮船在静水中的航速为30km/h,顺流航行90km所用时间，与逆流航行60km所用时间相等，求江水的平均流速。

设江水的平均流速ｘkm/h，则顺流航行90km所用的时间为h；逆流航行60km所用时间为 h；依题意所列方程为。

２．长方形的面积为10 cm2，长为7cm，宽应为cm；长方形的面积为s cm2，长为a cm，宽应为cm；３.把200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中，水面高度为cm；把体积为 V cm3的水倒入底面积为(a + b) cm2的圆柱形容器中，水面高度为cm；４.某班有n个同学，数学月考总分为４３２０分，则人均分为分；从以上得到式子中，有什么发现？能你类比分数给出分式的定义?分式的概念：。

15.1.1从分数到分式

6、“循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式．如果一次乒乓球比赛有x名选手报名参加，、使分式没有意义的x的取值是（）
A.―3 B.―2 C. 3或―2 D. ±3
2、下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？
；2x+y；；；；3a；5 .
3、阅读“引言”，“引言”中出现的式子是整式吗？
4、自主探究：完成p2的“思考”，通过探究发现，、、、与分数一样，都是的形式，分数的分子A与分母B都是，并且B中都含有。
5、归纳：分式的意义：。
代数式、、、、、都是。分数有意义的条件是。那么分式有意义的条件是。
整式是，分式是。（只填序号）
2、当x=时，分式没有意义。
3、当x=时，分式的值为0。
4、当x=时，分式的值为正，当x=时，分式的值为非负数。
5、甲,乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则小时相遇;若同而行则小时甲追上乙,那么甲的速度是乙的速度的（）倍.
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
课题：八年级数学上册《15.1.1从分数到分式》导学案
学习
目标
1、了解分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。
2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。
重
点
分式的概念和分式有意义的条件。
难
点
分式的概念和分式有意义的条件。
过程
学法
指导
问题导学
独立自学
用5分钟时间独立完成
1、什么是整式？，整式中如有分母，分母中（含、不含）字母
例3、x为何值时，下列分式有意义？
（1）（2）（3）
精讲导学
教师指导
学生补充

人教版数学八年级上册15.1《从分数到分式》名师教案

15.1 分式15.1.1 从分数到分式〔蔡林〕一、教学目标〔一〕学习目标1.以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．2.探究并理解分式有意义的条件和分式的值为零的条件．3.能熟练准确地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件．〔二〕学习重点理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．〔三〕学习难点能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件．二、教学设计〔一〕课前设计1. 预习任务〔1〕一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，分式AB中，A叫做分子，B叫做分母．〔2〕分式AB有意义的条件是：B≠0；分式AB的值为零的条件是：A=0且B≠0.2. 预习自测〔1〕面积为4平方米的长方形的一边长为a米，那么另一边长为()A.4a米B.4a米 C.4a米 D.8a米【知识点】列分式代数式.【解题过程】由长方形的面积公式可以得到：4a 米.【思路点拨】长方形的面积=底×高. 【答案】B.〔2〕以下式子中，是分式的是()A .3a B .3a C .13a + D .13a+【知识点】分式的定义. 【解题过程】因为3a中，分母中含有字母a ，所以它为分式. 【思路点拨】抓住分式的定义，分母中含有字母. 【答案】B. 〔3〕要使分式12x -有意义，那么x 的取值应满足( ) A ．x≠2 B ．x≠－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－1 【知识点】分式有意义的条件．20x -≠，即2x ≠.【思路点拨】分式有意义的条件为分母不等于零．【答案】A ．〔4〕假设分式34x x -+的值为0，那么x 的值是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝0 C ．x ＝－3 D ．x ＝－4 【知识点】分式的值为零的条件．30x -=，3x =.【思路点拨】分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零．【答案】A ． (二)课堂设计什么是单项式？什么是多项式？什么是整式？探究一分式的定义●活动① 回忆旧知，回忆整式的概念问题：判断以下各式中，哪些是整式？①83m n +；②21x +；③223a b +；④241x x ++；⑤2412x x +；⑥221a b+；学生答复：①②③．【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动② 整合旧知，探究分式的概念. 填一填：cm²，长为7cm .宽应为______cm ；长方形的面积为S ,长为a ,宽应为______；cm³的水倒入底面积为33cm²的圆柱形容器中,水面高度为_____cm ；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中,水面高度为______；3.一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，假设江水的流速为v 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间为小时，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间为小时. 【答案】710，a s ，33200，s v ，v +3090，v-3060问题1：所填式子中，哪些是整式？问题2：比拟不是整式的这一类式子，它们有什么共同点？它们与分数有什么一样点和不同点？【设计意图】让学生从自我知识体系中完善代数式的知识，进一步理解字母表示数的意义.题目的精心设计为学生提供从事数学活动的时机. ●活动③ 集思广益，归纳概念师问：这类不同于整式，而形式和分数一样的式子，我们定义为分式.请同学们根据我们讨论的分式的特点，试着概括分式的概念及一般表达式.学生活动：学生试着概括总结，小组内互相补充，完善对分式概念的认识.分式的概念：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式．【设计意图】在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索，在探索、交流中获取新知，掌握方法，提升能力，从而归纳分式的概念. ●活动④ 运用新知，辨析概念例1：指出以下代数式中，哪些是分式？1421.37πx xy a x y --；；；；【知识点】分式的概念【解题过程】因为14a x y -；从形式上满足A B ，并且分母中含有字母，所以14a x y-；是分式.【思路点拨】一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．注意π是常数，不是字母.【答案】14 a x y-；练习：从“－1、4、5、a、b、c〞中任选几个数字或字母，编一个分式. 【知识点】分式的概念【解题过程】5a；4a b+等〔答案不唯一〕【思路点拨】一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．【答案】4a b+等〔答案不唯一〕【设计意图】强化对概念的理解，设置开放性问题，可培养学生的问题意识. 探究二分式有意义的条件和分式的值为零的条件●活动①探究分式有意义的条件和分式的值为零的条件填表：问题1问题2：分式在什么条件下有意义？问题3：分式在什么条件下值为0？归纳：分式AB有意义：B≠0，分式AB的值为0：0,0.BA≠⎧⎨=⎩【设计意图】通过对字母赋予值，求出式子的值，将“代数式〞的有理式复原为学生熟悉的数，通过类比分数何时有意义，将陌生的问题向熟悉的问题转化，得出分式有意义的条件和分式值为0的条件.●活动②分式有意义的条件，分式的值为零的条件例2 以下分式中的字母满足什么条件时分式有意义？〔1〕23x ；(2)1x x -；(3)153b-；(4)x y x y +-.【知识点】分式有意义的条件【解题过程】(1) 要使分式23x 有意义，那么分母3x ≠0，即x ≠0； (2) 要使分式1xx -有意义，那么分母x －1≠0，即x ≠1；(3) 要使分式153b-有意义，那么分母5－3b ≠0，即b ≠53；(4) 要使分式x yx y+-有意义，那么分母x －y ≠0，即x ≠y . 【思路点拨】要使得分式有意义，即分母不等于零【答案】(1)x ≠0；(2)x ≠1；(3)b ≠53；(4)x ≠y . 练习：假设分式219x -有意义，那么x ________. 【知识点】分式有意义的条件【解题过程】要使分式219x -有意义，那么分母290x -≠，即3x ≠±. 【思路点拨】要使得分式有意义，即分母不等于零【答案】3x ≠±例3 假设分式2122x x -+的值为0，那么x 的值是 .【知识点】分式的值为零的条件【数学思想】建模思想、分类讨论思想【解题过程】要使分式2122x x -+=0，那么210220x x ⎧-=⎨+≠⎩，即x =1【思路点拨】要使得分式 A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩【答案】x =1 练习：假设33x x -+的值为0，那么x= . 【知识点】分式的值为零的条件【数学思想】建模思想、分类讨论思想【解题过程】要使分式33x x -+=0，那么3030x x ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，即x =3 【思路点拨】要使得分式 A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩【答案】x =3【设计意图】强化对分式有意义的条件，分式的值为零的条件的理解．探究三能熟练准确求出分式有无意义的条件，分式的值为零的条件例4 无论a 取何值时，以下分式总有意义的是( ) A.21a a + B .211a a -+ C .211a - D .11a + 【知识点】分式有意义的条件【解题过程】220,10a a ≥+>∴分母不可能等于0，选B【思路点拨】要使得分式有意义，即分母不等于零【答案】B 练习：分式212x x m-+不管x 取何实数总有意义，那么m 的取值范围．【知识点】分式有意义的条件【解题过程】∵x 2－2x ＋m ＝x 2－2x ＋1－1＋m ＝(x －1)2＋m －1，(x －1)2≥0，∴当m －1＞0时，(x －1)2＋m －1的值不可能为零． ∴当m ＞1时，不管x 取何实数，212x x m-+总有意义【思路点拨】要使得分式有意义，即分母不等于零【答案】m ＞1例5 当x= 时，分式()()6231xx x -+-的值为零.【知识点】分式的值为零的条件【数学思想】建模思想、分类讨论思想【解题过程】由题意，得()()620310x x x ⎧-=⎪⎨+-≠⎪⎩解得x ＝3，∴当x ＝3时，分式的值为0【思路点拨】要使得分式A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩【答案】x ＝3练习：x ＝－4时，分式x bx a-+无意义，x ＝2时分式的值为零，那么a －b= ．【知识点】分式有意义的条件，分式的值为零的条件【解题过程】由x ＝－4时，分式x b x a -+无意义，得－4＋a ＝0，即ax ＝2时，分式x bx a-+的值为零，得2－b ＝0，即ba －b ＝4－2＝2【思路点拨】要使得分式A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩【答案】2【设计意图】锻炼学生的思维，提升学习能力，能熟练的求分式有无意义的条件和分式的值.知识梳理〔1〕一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式．〔2〕分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义．〔3〕分式的值为零的条件：①分母不能为零；②分子为零．重难点归纳分式A B 有意义：B ≠0，分式A B 的值为0：0,0.B A ≠⎧⎨=⎩〔三〕课后作业根底型自主突破1．以下式子是分式的是( )A .2x B .1x x + C .2x y + D .12x +【知识点】分式的概念【解题过程】因为1x x +分母含有字母，所以1x x +是分式【思路点拨】一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式．【答案】B 2．如果分式23xx +有意义，那么x 的取值范围是〔〕 A . x ≠-3 B . x =-3 C . x ≠3 D . x =3 【知识点】分式有意义的条件【解题过程】要使分式23xx +有意义，那么分母30x +≠，即3x ≠-. 【思路点拨】要使得分式有意义，即分母不等于零【答案】A21x x -+的值为0，那么x 的值为( ) A ．2或－1 B ．0 C ．2 D ．－1 【知识点】分式的值为零的条件【数学思想】建模思想【解题过程】要使分式21x x -+=0，那么2010x x -=⎧⎨+≠⎩，即x =2【思路点拨】要使得分式A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩【答案】C 4.当x ＝2时，分式22x kx -+的值为0，那么k ＝〔〕 A ．2 B ．0 C ．4 D ．－1 【知识点】分式的值【解题过程】当x=2时，22x k x -+=422k-+=0，那么k =4 【思路点拨】x 的值，代入分式即可求出k 的值【答案】C31x ax +-中，当x ＝－a 时，以下说法正确的选项是( ) A ．分式的值为0 B ．分式无意义C ．当a ≠－13时，分式的值为0D ．当a ≠13时，分式的值为0 【知识点】分式的值【解题过程】当x=-a 时，31x a x +-=31a a a -+--=0，又因为分母310a --≠，所以13a ≠-【思路点拨】x 的值，代入分式即可求出分式值【答案】C6.当a ＝－3时，分式2aa -+的值为〔〕 A ．2 B ．-3 C ．4 D ．－1 【知识点】分式的值【解题过程】当a=-3时，2a a -+=()332---+=-3 【思路点拨】a 的值，代入分式即可求出分式值【答案】B能力型师生共研 7.假设分式()()122x x x +++的值为0，那么x = ．【知识点】分式的值为零的条件【数学思想】建模思想、分类讨论思想【解题过程】要使分式()()122x x x +++=0，那么()()12020x x x ++=⎧⎪⎨+≠⎪⎩，即x =-1【思路点拨】要使得分式 A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩【答案】x =-1212x x+-的值为正数，那么x 的取值范围是. 【知识点】分式的值【数学思想】建模思想【解题过程】要使分式212x x +-的值为正数，那么21020x x ⎧+>⎨->⎩，所以2x <【思路点拨】要使得分式 AB 的值为正，分子分母同号【答案】2x <探究型多维突破 x 取何值时，分式()()332x x x --+：(1)有意义？(2)无意义？(3)值为0?【知识点】分式有无意义的条件，分式的值为零的条件【数学思想】建模思想、分类讨论思想【解题过程】〔1〕要使分式()()332x x x --+有意义，那么()()320x x -+≠，即3x ≠且2x ≠-〔2〕要使分式()()332x x x --+无意义，那么()()320x x -+=，即3x =或2x =-〔3〕要使分式()()332x x x --+=0，那么()()30320x x x ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩，即x =-3【思路点拨】要使得分式有意义，即分母不等于零，要使得分式 A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩ 【答案】〔1〕3x ≠且2x ≠-〔2〕3x =或2x =-〔3〕x =-310．分式2x mx n-+，当x ＝3时分式无意义；当x 22m n m n +-的值．【知识点】分式无意义的条件，分式的值为零的条件【解题过程】当x ＝3时分式无意义，所以3+n =0,即n =-3；当x ＝－1时，分式的值为0，所以-2-m =0,即m 22m n m n+-=13 【思路点拨】要使得分式有意义，即分母不等于零，要使得分式 A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩ 【答案】13 自助餐24a a -无意义的条件是( ) A ．a ＝2 B ．a ＝－2 C ．a ＝2且a ＝－2 D ．a ＝2或a ＝－2【知识点】分式有意义的条件【解题过程】要使得分式24a a -无意义，那么240a -=，即2a =± 【思路点拨】要使得分式无意义，即分母等于零【答案】Da ＝1，b ＝2，那么aba －b的值是( ) A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2【知识点】分式的值【解题过程】当a ＝1，b ＝2，那么aba －b =-2 【思路点拨】a ，b 的值，代入分式即可求出分式值【答案】D3.假设分式23x x-的值为负数，那么x 的取值范围是________．【知识点】分式的值【解题过程】由题意得2300x x -<⎧⎨≠⎩，解得3x <且0x ≠ 【思路点拨】要使得分式的值为负，分子分母异号【答案】3x <且0x ≠4.观察以下一组数：14，39，516，725，936，…，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n 个数是___________.(n 是正整数)【知识点】找规律列分式代数式【解题过程】分子1,3,5,7,9为奇数，所以分子2n -1，分母4,9,16,25,36为平方数，所以分母()21n +，所以第n 个数为()2211n n -+【思路点拨】在解决分数类型的数字规律问题时，一般从分子分母两个方面去寻找规律【答案】()2211n n -+123x x--的值为负数，求x 的取值范围．【知识点】分式的值为零的条件【数学思想】建模思想、分类讨论思想【解题过程】由题意得10230x x ->⎧⎨-<⎩或10230x x -<⎧⎨->⎩，解得x >1或x<23 【思路点拨】要使得分式的值为负，分子分母异号【答案】x >1或x<236.学完分式的概念后，教师出了一道题：当m 取哪些整数时，分式41m -的值是整数？小芳的解答如下：当m －1＝1，2，4，即m ＝2，3，5时，分式41m -的值是整数．小芳的解答对吗？如果不对，请改正．【知识点】分式的值【数学思想】建模思想、分类讨论思想【解题过程】∵分式41m -的值为整数 ∴m －1是4的因数，又∵m 为整数，∴m =5，3，2，0，－1，－3．故小芳的解答错误【思路点拨】要使式子是整数，分子一定要被分母整除，因而m -1的值是±1，±2，±4，故可以求出m 的值．【答案】小芳的解答错误，假设使分式41m -值是一个整数，那么m−1一定是4的约数，4的约数有±1，±2，±4共6个，当m−1=±1时，m=0或m=2，当m−1=±2时，m=−1或m=3，当m−1=±4时，m=−3或m=5，即m=−3，−1，0，2，3，5时，分式41m -的值是整数.。

人教版八年级上册数学15.1.1从分数到分式课件

【选自教材P128 练习第1题】
40
（1）某村有n个人，耕地40hm2，则人均耕地面积为 n hm2.
2S
（2）△ABC的面积为S，BC边的长为a，则高AD为 a .
a
（3）一辆汽车b h行驶了a km，则它的平均速度为 b km/h；
一列火车行驶a km比这辆汽车少用1 h，则它的平均速度为
a
b - 1 km/h.
B. x ≠ 2 D. 以上结果都不对
方法总结:分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零.
想一想
分式 A 的值为零应满足什么条件？ B
0 0 2
分子为0 分母不为0
A0 B
当A=0，B≠0时，分式 A 0 B
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.
针对训练
区别
分子与分母都是整数，即都不含字母
分母中一定含有字母
整式整式（含字母）
S 令S=100，a=7 100
a
7
整数整数
分式
具体化一般化
分数
实质：分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具有一般性.
针对训练
下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
ab2 ； 1 ； a ； x ； x 1 ； 1 x y ； 1 .
面积 = 长×宽
S?
a
体积 = 底面积×高
（2）把体积为200 cm3 的水倒入底面积为33
200
cm2 的圆柱形容器中，则水面高度为 33 cm；
把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容
V
器中，则水面高度为 S .
S
同5÷3可以写成
5 3

公开课从分数到分式解析

《从分数到分式》教学设计下列分式的值为零?(2) 生有序写出满足条件的方程或不等式.这节课你学到了什么怎样学到的? 从知识和方法方面进行211 (“从分数到分式”的教学反思分式是分数的一般形式，是中学知识体系的重要组成部分。

从整数到分数是数的扩充，从整式到分式是式的扩充。

分式作为一类重要的代数式，是研究函数、方程、不等式的重要载体。

同时，分式作为某些实际问题的数学模型，有着整式不可替代的作用。

“15.1.1从分数到分式”一节的内容是进一步学习分式性质、运算、解分式方程以及后续学习反比例函数的基础．因此，本节课的教学有着重要的意义。

我对这节课的教学有以下几点思考：一、重视章节起始课的引入环节本节课是分式单元的第一节课，也是全章的起始课。

一般说来，起始课有两个核心作用，一是获得研究对象，二是构建研究路径。

本节课的主要内容是分式的概念、分式有意义的条件。

因此，在本节课中要获得的研究对象是分式的概念。

那么就涉及一个问题，如何引入本节课？我预设了两种引入，一是从运算的角度引入，比如给一些整式，让学生用其中的任意两个，通过四则运算构造四个算式，当然也就构造出新的式子---分式。

这种引入从数学的逻辑上是没有问题的，但是，在义务教育阶段，课程标准对整式的除法不做要求，因此这种做法有偏离了课标要求，无形中给一些学生的学习增加了不必要的难度。

另一种是用实际问题作为引入环节的材料，从中获得新的代数式。

通过这样的情境让学生明确本节课乃至这一章研究的对象及研究的思路。

翻阅各种版本的教材，不难发现，用实际问题引入是教材倡导的。

这种方法最符合教材的编写理念，同时也符合分式的价值取向---分式及分式方程作为某些实际问题的数学模型，是整式无法替代的。

通过引入环节的设计应该让学生体会到，在实际问题的解决中有新的代数式，这些代数式是之前没有学习过的。

它们具有怎样的性质，如何进行运算，有怎样的应用？这是本章将要研究的问题。

以实际问题为引导性材料, 对所要学习的内容加以定向和引导，也符合“先行组织者”理论。

教学设计 15.1.1从分数到分式教案

15.1.1从分数到分式教案一、教学目标1、知识与技能目标：（1）了解分式的概念，明确分母不得为零是分式概念的组成部分．（2）能够求出分式有意义的条件．2、过程与方法目标：能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号感，通过类比分数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题．3、情感与价值目标：提高学生严谨的思维能力．二、重点、难点重点：准确理解分式的意义，明确分母不能为零。

难点：准确理解分式的意义，明确分母不能为零。

三、教学过程：（一）例、习题的分析1、．从引言中的实际问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.设江水的流速为x 千米/时.轮船顺流航行100千米所用的时间为v+20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时，所以v v -=+206020100。

2、完成 [思考]依次填出：710，a s ，33200，sv 。

3.观察以上的式子v+20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？可以发现，这些式子都像分数一样都是（即B ÷A ）的形式。

分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母。

像这样的式子叫做分式。

分式比分数更具有一般性，例如分式BA 可以表示为两个整式相除的商（除式不能为零），其中包括所有的分数 .（二）、讨论分式有意义、无意义、值为零的条件1、问题：分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有满足了分式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当B ≠0时，分式BA 才有意义.反之，当B=0时，分式B A 无意义。