高中数学模块复习-基本初等函数(Ⅰ)

1.70.2>1.70=1.
因为函数y=0.8x在R上是减函数且2.1>0,所以0<0.82.1<0.80=1.
综上,log2.10.9<0.82.1<1.70.2.
②当1<m<10时,0<lgm<1,由1.9<2.1得,(lgm)1.9>(lgm)2.1; 当m=10时,lgm=1,故(lgm)1.9=(lgm)2.1. 所以(lgm)1.9≥(lgm)2.1.
3.求对数函数定义域应注意的问题 求对数函数有关的定义域问题时,要注意对数函数的概念,若自变量在 真数上,则必须保证真数大于0;若自变量在底数上,应保证底数大于0 且不等于1.
类型一 指数与对数的运算
【典例1】(2015·济宁高一检测)计算
(1)
(2)l(o3g23.19.36)61+ (
2
2
4
1 5lg 2 4 3 lg 2 1 lg 5
2
32 2
1 lg 2 lg 5 1 .
2
2
类型二 指数函数、对数函数、幂函数的图象问题 【典例2】(1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示， 则函数g(x)=ax+b的图象是( )
(2)对a>0且a≠1的所有正实数,函数y=ax+1-2的图象一定经过一定点, 则该定点的坐标是________.
【解析】(1)选A.因为c=2log52=log54<b1, (1)0.8 1且，
b
( 1 )0.8
a=21.2>2,所以有a>b>c.
20.8 2，
2
(2)①2因为函数y=log2.1x在(0,+∞)上是增函数且0.9<1,所以
log2.10.9<log2.11=0.因为函数y=1.7x在R上是增函数且0.2>0,所以
)3
4(
16
)
1 2
49
+4 l2og830(.2l5 og(32270)0.5)0.
lg 1 ln(e2 g3 e)
1 000
【解析】(1)原式=
1
(23
1
32
)6
1
(22
1
24
4
)3
4
(
49)
1 2
1
24
1
(23)4
1
16
=
22
33
2
23
1
23
4
7
1
24
3
24
1
=108+2-7-2-1=104 0.
a n n am ((23))0a的mn 正 a分1mn 数 指n 1a数m 幂(a等>0于,m_,_n，∈0N的*,且负n分>1数).指数幂没有意义.
0
3.对数的运算性质
已知a>0,b>0,a≠1,M>0,N>0,m≠0.
(1)logaM+logaN=loga(MN).
(2)logaM-logaN=
象限是( )
3
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第一、四象限
D.只在第一象限
【解析】选A.设幂函数f(x)=xα，由 得
所以
α=-2，f(x)=x-2.因为当x>0时，有f(fx(1)>) 09；当(x1<)0时9， (也1)有2,f(x)>0.
3
3
3
所以函数f(x)的图象分布在第一、二象限.
类型三 数(式)的大小比较
C.(1-a)3>(1+a)2
B.log(1-a)(1+a)>0 D.(1-a)1+a>1
【解析】选A.因为0<a<1,
所以y=(1-a)x为减函数，又
所以
1
1
1 a3 1 a2 .
1 1， 32
2.设a>1,则log0.2a,0.2a,a0.2的大小关系是 ( ) A.0.2a<a0.2<log0.2a B.log0.2a<0.2a<a0.2 C.a0.2<log0.2a<0.2a D.0.2a<log0.2a<a0.2 【解析】选B.因为a>1, 所以log0.2a<0,0<0.2a<1,a0.2>1, 所以log0.2a<0.2a<a0.2.
②比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分 为“小于0”、“大于等于0小于等于1”、“大于1”三部分,然后再 在各部分内利用函数的性质比较大小.
【变式训练】若y1=40.9,y2=80.44,
y3
( 1 )1.5 , 2
则y1,y2,y3的大小关系
为( )
A.y3>y1>y2
【延伸探究】若(2)中的②将“1<m≤10”改为“m>10”,又如何比较 这两数的大小? 【解析】当m>10时,lgm>1,由1.9<2.1得,(lgm)1.9<(lgm)2.1.
【方法技巧】数(式)的大小比较常用的方法及技巧 (1)常用方法:作差法(作商法)、单调性法、图象法、中间量法. (2)常用的技巧 ①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某 个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性 比较.
【典例3】(1)(鹰潭高一检测)已知a=21.2，
c=2log52，则a,b,c的大小关系为( )
A．c<b<a
B．c<a<b
C．b<a<c
D．b<c<a
(2)比较下列各组数的大小:
①1.70.2,log2.10.9与0.82.1; ②(lgm)1.9与(lgm)2.1(1<m≤10).
b (1)0.8， 2
2.底数相同的对数式化简的两种基本方法 (1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数. (2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).
【变式训练】若x>0，则
13
13
(2x 4 32 )(2x 4 32 )
1
1
4x 2 (x x 2 )
=_____.
【解析】原式= 1
3
1
的范围.
(5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数.
提醒：在求有关指数型函数、对数型函数的定义域时要特别注意底数 要大于零且不等于１．
【变式训练】已知函数f(x)=ax+loga(x-1)(其中a＞0且a≠1).
(1)若 a 1 , 求f(x)在x∈(1,2］上的最小值. (2)若f(x)4在x∈［2,3］上的最小值为4，求a的值.
(2x 4 )2 (32 )2 4x 2 4 23.
答案：-23
【补偿训练】求下列各式的值.
(1)
1
0.064 3
(
7)0
[(2)5
]
2 5
(
1
)0.75.
(2)
8
16
1 lg 32 4 lg 8 lg 5.
【解2析】(1)3原式=0.4-1-1+（-2）-2+2-3=
(2)原式=
15 . 8
第三课 基本初等函数(Ⅰ)
【网络体系】
【核心速填】
1.根式的性质
(1) =__(n∈N*).
(2) n 0
0 =__(n∈N*)
(3) (n a )n=__a(n为奇数，n∈N*).
n=a|na|=a
(n为偶数，n∈N*).
a,a 0,
n an
a,a 0
2．分数指数幂
(1) m
(a>0,m,n∈N*,且n>1).
B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3
D.y1>y3>y2
【解析】选D.因为y1=40.9=21.8,y2=80.44=21.32,y3=21.5,而y=2x是增函数
1.8>1.5>1.32,故y1>y3>y2.
【补偿训练】1.如果0<a<1,那么下列不等式中正确的是( )
A.
1
1
(1 a)3 (1 a)2
【方法技巧】函数值域(最值)的求法
(1)直观法：图象在y轴上的“投影”的范围就是值域的范围.
(2)配方法：适合二次函数.
(3)反解法：有界量用y来表示.如
中，由
可求y的范围，可得值域.
1 x2 y 1 x2
x2 1 y 0 1 y
(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量
【补偿训练】已知f(x)=
2 3x 1
m
是奇函数.
(1)求函数的定义域.
(2)求常数m的值.
【解题指南】(1)要使函数有意义，只要3x-1≠0，解此不等式,
即可得函数的定义域.
(2)利用奇函数的定义求解，也可利用代入特殊值求解，如f(-1)
(3)
loga
M N
.
log a
m
b
n
n m
logab.
4.换底公式及常用结论
已知a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0,m>0,m≠1，c＞0,c≠1.
(1)logaN= logmN .
(2)logab= logma
.
(3)
1 =__l.ogba
log 1
a
1 b
logan bn
(4)laologgaNab·N logba=__,
【易错提醒】
1.对数的运算应注意的问题.
(1)注意对数运算性质和换底公式的灵活应用,还要注意
的应用.
aloga N N
(2)注意真数的变化和运算符号,以及公式运用过程中范围的变化.
2.判断y=af(x)(或y=logaf(x))型函数单调性需要注意的问题. (1)研究u=f(x)的单调性时,定义域是x的取值范围,即y=af(x)(或 y=logaf(x))的定义域. (2)研究y=au(或y=logau)的单调性,要注意定义域是u的取值范围,即 u=f(x)的值域.
(2)原式=log3.13.12+lg 10-3+ +log3(log333) 21 ln e 3
2 3 7 1 7 .
33
【方法技巧】 1.指数与对数的运算应遵循的原则 (1)指数的运算:注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为 分数指数幂运算.另外,若出现分式,则要注意对分子、分母因式分解 以达到约分的目的. (2)对数式的运算:注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,一般 本着真数化简的原则进行.
logab·logbc·log1ca=__.
1
5.指数函数的图象与底数的关系 (1)底数的取值与图象“升降”的关系： 当a＞1时，图象“上升”；当0＜a＜1时，图象“下降”. (2)底数的大小决定图象位置的高低： 在y轴右侧“底大图高”；在y轴左侧“底大图低”，如图所示有 a>b>1>c>0.
6.对数函数的图象与底数的关系 (1)对于底数都大于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越 接近x轴；对于底数都大于0而小于1的对数函数，底数越大，函数图 象向右的方向越远离x轴. (2)作直线y=1与各图象交点的横坐标即各函数的底数的大小，如图， a>b>1>c>d>0.
列表、描点、连线
【变式训练】(宁波高一检测)函数f(x)= 是( )
的2图|log象2x| 大致
【解析】选C.因为f(x)= 2|log2x|
即
f
x
xx
1 x
0
其 1图, 象为C. x 1,
2log2x x 1, 2log2x 0 x 1
，
【补偿训练】已知幂函数f(x)满足 f (1) 9，则f(x)的图象所分布的
画法技巧
基本初等函数
利用一次函数、反比例函数、二次函 数、指数函数、对数函数、幂函数的 有关知识,画出特殊点(线),直接根据 函数的图象特征作出图象
变换法
与基本初等函数 有关联的函数
弄清所给函数与基本函数的关系,恰当 选择平移、对称等变换方法,由基本函 数图象变换得到函数图象
描点法
未知函数或较复 杂的函数
【解析】(1)选A.由f(x)的图象知,0<a<1,b<-1,故g(x)=ax+b的图象 为A. (2)y=ax的图象恒过点(0,1),y=ax+1-2是由y=ax向左平移1个单位,向 下平移2个单位得到,故过点(-1,-1). 答案:(-1,-1)
【方法技巧】函数图象的画法
画法
基本函 数法
应用范围
类型四 函数的定义域与值域 【典例4】已知函数f(x)=2ax+2(a为常数). (1)求函数f(x)的定义域. (2)若a=1,x∈(1,2],求函数f(x)的值域. (3)若f(x)为减函数,求实数a的取值范围.
【解析】(1)函数y=2ax+2对任意实数都有意义,所以定义域为实数集R. (2)因为a=1,所以f(x)=2x+2.易知此时f(x)为增函数. 又因为1<x≤2,所以f(1)<f(x)≤f(2),即8<f(x)≤16. 所以函数f(x)的值域为(8,16]. (3)因为f(x)为减函数,而y=2u是增函数, 所以函数u=ax+2必须为减函数,所以得a<0.
【解析】(1)因为 a 1＜1, 4
所以f(x)=ax+loga(x-1)在x∈(1,2］上为减函数,
所以f(x)的最小值为f(2)=
(
1 4
)2
log
1 4
2
1
1 16
.
(2)如果0＜a＜1，则f(x)=ax+loga(x-1)在x∈［2,3］上为减函数, 所以f(x)在x∈［2,3］上的最小Βιβλιοθήκη Baidu为f(3)=a3+loga2=4, 又a3＜1,loga2＜0, 所以f(3)=4无解. 如果a＞1，则f(x)=ax+loga(x-1)在x∈［2,3］上为增函数, 所以f(x)在x∈［2,3］上的最小值为f(2)=a2+loga1=4, 所以a=2. 综上可得a的值为2.