第六章 马尔可夫链
马尔可夫链的基本概念与应用
马尔可夫链的基本概念与应用随机过程是用来描述随机事件演变的数学模型。
在现实生活中，很多情况下的随机事件都有时间上的相关性，也就是说当前的随机事件决定于之前的一些随机事件，这就涉及到了马尔可夫链。
马尔可夫链是序列上的随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态只由当前状态决定，而与之前的状态无关。
马尔可夫链的概念和应用在各个领域都有广泛的应用。
本文将从基本概念和应用两个方面介绍马尔可夫链。
一、基本概念马尔可夫链是一个由若干个状态及其转移概率组成的随机过程。
若状态空间为S={s1,s2,...,sn}，则一个马尔可夫链可以表示为一个n×n的矩阵P={pij}，其中pij表示转移从状态si到状态sj的概率。
一般来说，一个马尔可夫链从某一个状态开始，每一次转移是根据概率分布进行的，而且每次的转移只依赖于当前状态，而不依赖于之前的状态。
这也就是说，如果我们知道当前状态，就可以确定下一步的状态。
马尔可夫链的一个重要概念是状态转移矩阵。
状态转移矩阵是指某一时刻处于一个状态，下一时刻转移到另一个状态的所有可能性的概率矩阵。
在状态转移矩阵中，每一个元素pij表示从状态i 转移到状态 j 的概率。
状态转移矩阵是唯一的，因为每个状态只有一种可能的下一个状态。
马尔可夫链是一种随机过程，因此它的演化具有随机性。
由于其状态转移矩阵具有随机性，所以我们可以通过模拟来预测其未来的状态。
在模拟马尔可夫链时，我们需要一个状态转移矩阵和一个初始状态。
然后，根据初始状态和状态转移矩阵，我们可以生成整个马尔可夫链的状态序列。
二、应用马尔可夫链在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用。
1.自然语言处理在自然语言处理中，马尔可夫链被广泛用于以下场景：文本生成、词性标注、语音识别、机器翻译等等。
其中，最常见的应用是文本生成。
文本生成是指通过某种方式生成一段看似自然的、有意义的文本，而马尔可夫链是一种被广泛应用于文本生成的方法。
马尔可夫链生成文本的基本思路是：通过一个有限的语料库训练出一个马尔可夫模型，然后随机生成一些文本，最后通过概率分布进行筛选，从而得到一些看似自然的、有意义的文本。
第六章 6.2 马尔可夫链的概率分布
如果个体当前收入等级为3，试分析经过三代后个体收 入等级转变为2的可能性，进一步分析经过n代后个体 收入等级的概率分布，并具体计算n=10时，个体收入 等级的概率分布。
i
= ∑ P ( X 0 = i, X n = j )
i
= ∑ P( X 0 = i) ⋅ P( X n = j X 0 = i)
i
= ∑ q p (0)
(0) i (n) ij i
n ≥ 0, i, j ∈ S
对于齐次马尔可夫链，上述结论可表示为
q
(n)
=q P , n≥0
(0) n
有限维分布 定理6.2.2 马尔可夫链X的有限维分布由其初始分 布和一步转移概率所完全确定. 证明 对∀n ≥ 1, ∀0 ≤ t1 < t2 < ⋯ < tn , i1 , i2 , ⋯, in , i ∈ S
i
= ∑ P ( X 0 = i, X t1 = i1 , X t2 = i2 ,⋯ , X tn = in )
i
= ∑ P ( X 0 = i ) ⋅ P( X t1 = i1 X 0 = i ) ⋅ P ( X t2 = i2 X 0 = i, X t1 = i1 )
i
⋅⋯ ⋅ P ( X tn = in X 0 = i , X t1 = i1 ,⋯ , X tn−1 = in −1 )
(2) 其中p02 为两步转移概率，是两步转移概率
矩阵中第一行第三列元素.
（2） 而P = P2
= 5 9 3 9 1 6 3 9 7 18 5 12 1 9 5 18 5 12
随机过程课件-马尔可夫链
对于不可约的马尔可夫链，其极限分 布是遍历的，即极限分布与初始状态 无关。
05
马尔可夫链的模拟与实现
随机数生成
伪随机数生成器
使用数学公式和种子值生成一系列近似 随机的数列。
VS
真随机数生成器
利用物理现象（如电路噪音）产生真正的 随机数。
马尔可夫链蒙特卡洛方法
采样分布
通过多次重复模拟马尔可夫链的路径来估计 某个事件的概率或某个参数的值。
收敛性
随着模拟次数的增加，估计值逐渐接近真实 值。
马尔可夫链在决策分析中的应用
要点一
决策树
要点二
强化学习
将马尔可夫链应用于决策分析中，帮助决策者评估不同策 略的风险和收益。
在强化学习中，马尔可夫链用于描述环境状态转移和奖励 函数。
06
马尔可夫链的扩展与改进
时齐马尔可夫链
定义
时齐马尔可夫链是指时间 参数为离散的马尔可夫链 ，其状态转移概率不随时 间而变化。
遍历性是马尔可夫链达到平稳分布的必要条件之一，也是判 断马尔可夫链是否具有唯一平稳分布的重要依据。
03
马尔可夫链的转移概率
转移概率的定义与性质
定义
马尔可夫链中，给定当前状态$i$，未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移 概率，记作$P(i,j)$。
性质
转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j) geq 0$；归一性指对于每个 状态$i$，所有可能转移到该状态的转移概率之和为1，即$sum_{ j} P(i,j) = 1$；时齐性
周期性会影响马尔可夫链的平稳分来自的性质和计算。状态空间的分解
状态空间的分解是将状态空间划分为若干个子集，每个子集内的状态具有相似的 性质和转移概率。
随机过程课件-马尔可夫链
本课件将介绍随机过程中一种重要的模型——马尔可夫链。探讨马尔可夫链 的定义、特性、应用及改进方法，展望其未来发展。
什么是随机过程？
随机过程是一种数学模型，用于描述随机变量在时间上的演化。根据性质和分类不同，随机过程可分为多种类 型。
马尔可夫链的概念
定义
马尔可夫链是一种随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态仅与当前状态相关。
马尔可夫链的局限性和优缺点
马尔可夫链具有简单、易于实现的优点，但在某些情况下存在局限性。
马尔可夫链的未来发展方向
未来，马尔可夫链有望结合更多机器学习、深度学习技术，在更多领域得到应用和改进。
马尔可夫链的改进
局限性
马尔可夫链模型在某些情况下存 在局限性，如长期依赖性和大状 态空间问题。
改进方法
针对马尔可夫链的局限性，研究 者提出了多种改进方法，如隐马 尔可夫模型和条件随机场。
马尔可夫决策过程
马尔可夫决策过程是对马尔可夫 链进行扩展，引入了决策和奖励 机制，用于解决决策问题。
总结与展望
马尔可夫链的平稳分布
平稳分布是马尔可夫链在长期 运行后，状态分布稳定的概率 分布。
马尔可夫链的应用
1
模拟系统
2
马尔可夫链在模拟系统中用于模拟随机
事件和状态转移，如队列模型和流程模
3
型。
自然语言处理
马尔可夫链在自然语言处理中用于语言 模型、文本生成和机器翻译等。
金融领域
马尔可夫链在金融领域中用于风险评估、 投资组合优化和市场分析等。
特性
马尔可夫链具有无记忆性、状态空间有限、状态转移概率固定等特性。
状态转移图
马尔可夫链可用状态转移图表示，展示各状态之间的转移概率。
马尔可夫过程与泊松过程
P{X mk aimk |X m aim , X m1 aim1 ,, X1 ai1 }
P{Xmk aimk |Xm aim }
6.1 马尔可夫链
一、定义及一般特性 典型马尔可夫链
一维随机游动
4 3 2 1 0
Xn
+ + + +
1 p
0
p
x
+
+
1
T
T P (1)p(1) p(1) , p(1) p1 , p2 , , pN 中取N-1个方程 在方程
11 p1 21 p2 N 1 pN p1 12 p1 22 p2 N 2 pN p2 1N p1 2 N p2 NN pN pN
当随机过程在时刻 t i 所处的状态已知时，过程在时
刻 t (t ti ) 所处的状态仅与过程在 t i 时刻的状态有关， 而与过程在 t i 时刻以前所处的状态无关。
P 将来 现在，过去 =P 将来 现在
பைடு நூலகம்
马尔可夫过程
马尔可夫过程分类：
1.马尔可夫链 时间离散，状态离散； 2.离散马尔可夫过程 时间连续，状态离散； 3.马尔可夫序列
四、状态分类
3、常返态和滑过态（非常返态）
定义： fij (n) P xn j; xm j, m 1,2,..., n 1| x0 i
自状态i出发，在时刻n首次到达状态j的概率
很显然，
fij (1) P x1 j | x0 i Pij fij () P xn j; 对一切n 1| x0 i
p1 p2 pN 1
马尔可夫链
n
n
P{Tij l, X n j | X 0 i} P{Tij l | X 0 i}P{X n j | Tij l, X 0 i}
l 1
l 1
n
fij (l)P{X n j | X 0 i, X1 j, X l1 j, X l j} l 1
n
n
fij (l)P{X n j | X l j} fij (l)Pjj (n l)
p
j
jl
n
m
p
j
i
mpii
n
pij
l
pii
n
定理8 若 i j ，则 （1）i与j同为常返或同为非常返； （2）若i与j常返，则i与j同为正常返或同为零常返； （3）i与j或同为非周期的，或同为周期的且有相同的周期。
遍历性与平稳分布
1 遍历性
定义1 设齐次马氏链 {X (n), n 0}的状态空间为E，若对一切 i, j E ，存在 不依赖于i的极限
显然有
fij () P{Tij } 1 fij
（i 不能到达 j 的概率）
0 fij (n) fij 1
fjj 表示从 j 出发迟早返回 j 的概率
定理4： 对任何状态 i, j G, n 1, 有
n
pij n fij lp jj n l i 1
证明：
pij (n) P{X n j | X 0 i} P{Tij n, X n j | X 0 i}
则称马尔可夫链具有遍历性。并 p j称为状态j的稳态概率。
定理9
对于一有限状态的马氏链，如 m 0,对一切i, j I, pij m 0
则 此链具有遍历性。且 p j p1, p2,p3, , pN
是
第六章 6.1马尔可夫链的定义
t = n +1 将来
(6.1)式表示的马氏性指： 式表示的马氏性指：在已知过程现在状态的条 件下， 件下，过程将来处于那个状态的概率不依赖于过程 过去经历的状态. 也称之为无记忆性 也称之为无记忆性.
(6.1)式中的条件概率 P( X n +1 = in +1 X n = in )
⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ p ra
⋯ q r ⋯ 0 qa
例6.1.3 (天气变化) 如果明天是否有雨仅与今天的天 气关， 气有关，而与过去的天气无关. 并设今天下雨、 并设今天下雨、明天 有雨的概率为a，今天无雨而明天有雨的概率为b， 又假设有雨称为0状态天气， 状态天气，无雨称为1状态天气. Xn表示时刻n时的天气状态， 时的天气状态，则
α β γ δ
如果Xn仍表示时刻n的天气状态，则 {X n , n ≥ 0} 是以下状态空间上的齐次马尔可夫链.
S = {(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)} 一步转移概率矩阵为
α 1 − α 0 0 P= γ 1− γ 0 0
0 β 1− β 0 0 δ 1− δ 0
例(补) (有限制随机游动) 设质点在直线上的{0，1 ，2，···，a}各点上作随机游动，移动规则如下：
（）移动前 1 i ∈ {1, 2,⋯ , a − 1}处
p, q, r ≥ 0, p + q + r = 1;
q p
i-1
p0
i
i+1
r
0 1
（ 2）移动前i = 0处
p0 , r0 ≥ 0, p0 + r0 = 1
马尔可夫链的基本概念
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种数学模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
马尔可夫链由一组状态和状态之间的转移概率组成，可以用于模拟和预测各种随机过程，如天气变化、股票价格波动等。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链由状态空间和转移概率矩阵组成。
状态空间是指所有可能的状态的集合，用S表示。
转移概率矩阵是一个n×n的矩阵，其中n 是状态空间的大小。
转移概率矩阵的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质：在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
2. 遍历性：从任意一个状态出发，经过有限步骤后可以到达任意一个状态。
3. 周期性：一个状态可以分为周期为k的状态和非周期状态。
周期为k的状态在经过k步后才能返回原状态，非周期状态的周期为1。
4. 不可约性：如果一个马尔可夫链中的任意两个状态都是可达的，那么该马尔可夫链是不可约的。
5. 非周期马尔可夫链的收敛性：如果一个马尔可夫链是非周期的且不可约的，那么它具有收敛性，即在经过足够多的步骤后，状态分布会趋于稳定。
三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在许多领域都有广泛的应用，包括自然语言处理、机器学习、金融市场分析等。
1. 自然语言处理：马尔可夫链可以用于语言模型的建立，通过分析文本中的词语之间的转移概率，可以预测下一个词语的出现概率，从而实现自动文本生成、机器翻译等任务。
2. 机器学习：马尔可夫链可以用于序列数据的建模和预测，如音频信号处理、图像处理等。
通过分析序列数据中的状态转移概率，可以预测下一个状态的出现概率，从而实现序列数据的预测和分类。
3. 金融市场分析：马尔可夫链可以用于分析金融市场的波动性和趋势。
通过分析股票价格的状态转移概率，可以预测未来股票价格的走势，从而指导投资决策。
四、马尔可夫链的改进和扩展马尔可夫链的基本概念可以通过改进和扩展来适应更复杂的问题。
第六章马尔可夫链07a2_91820369
证明从略
讲解从略关键点
讲解从略
判定定理
闭集的特性
空间分解与基本闭集的处理观察与思考
分步处理,逐一筛选
有限状态
的总结证明从略
空间结构是什么特别观察与理解
特点的处理与技巧
互通性
探索与观察
有限与无限互换的处理技巧
注意处理方式
传播性
正常返的规律性与统计模式
6.6 极限特性与平稳分布
平稳分布
定义与计算
理论证明与
处理
重复处理重复处理
总结
能想到的
例子是什么?
反证处理
构造性证明
推广
特殊情况
注意:
平均返回时间的计算1
12
3
观图
极限分布平稳分布区别与联
系。
第6章-马尔可夫链及随机游动(马坤,周波)
2-SAT问题
观察(Xi表示当前赋值Ai中，与满足的赋值S有相同值的变量 数) 对于非满足字句，这表示Ai与S在这个字句中至少有1个 变量值不一致，子句中有不多于两个的变量(2-SAT),所 以增加匹配的个数的概率至少为1/2,即
Pr( Xi + 1 = j + 1 | Xi = j ) ≥ 1 / 2
fi , j = ∑ r ( t )
(t )
i, j
= Pr( Xt = j; 若1 ≤ s ≤ t − 1, Xs ≠ j | X 0 = i )
(t ) i, j
首达时间hi,j:从状态i首次到状态j的期望时间hi,j
hi , j = ∑ t • r
t >0
20
马尔可夫链定义及表示
23
马尔可夫链定义及表示
h1,1 = ∑ t ⋅ r
t =1
∞
∞
(t ) 1,1
1 1 3 = 1× + 2 × = < ∞ 2 2 2
1 1 = 1× 0 + 2 × + ... + n × 2 2
24
h 2, 2 = ∑ t ⋅ r2(,t2)
t =1
n −1
=3<∞
所以,状态1,2是正常返的
7
2-SAT问题-分析
分析：为了讨论算法的迭代次数 n个变量,S表示n个变量的满足的赋值 Ai表示经第i步算法后的变量赋值 Xi表示当前赋值Ai中，与满足的赋值S有相同值 的变量数，当Xi =n时，算法以满足赋值结束。 如果算法找到了另外的满足赋值，可能在Xi 达n之前就结束。最糟糕的是到Xi =n算法停 止。
马尔可夫链定义及表示
定义6.2,6.3 强连通图:在有向图G中,如果对于每一对顶点vi,vj,从vi 到vj和vj到vi都存在一条路径，则称G是连通图 强连通分量:有向图的极大强连通子图(i到j有路径，，从 j到i也有路径)
马尔可夫链精品PPT课件
例2.1 (一维随机游动)
12345
设一随机游动的质点, 在如右上图所示的
直线点集I={1,2,3,4,5}作随机游动,并且仅仅在1秒,2秒
…等时刻发生游动.游动的概率规则是:如果Q现在位于点
i(1＜i＜5), 则下一时刻各以1/3的概率向左或向右移动
一格,或以1/3的概率留在原处; 如果Q现在位于点1(或5)
式.
利用积事件的概率及上述定义知: P{X0=i0,X1=i1,…,Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…, Xn-1=in-1} =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1} =… =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1|Xn-2=in-2}…P{X1=i1| X0=i0}P{X0=i0}.
即马尔可夫链的统计特性完全由条件概率
P{Xn+1=in+1|Xn=in} 所决定. 如何确定这个条件概率,是马尔可夫链理论和应
用中的重要问题之一.
2.转移概率 条件概率P{Xn+1=j|Xn=i}的直观含义是:系统在时刻n处
于状态i的条件下,在时刻n+1系统处于状态j的概率.这相 当于随机游动的质点在时刻n处于状态i的条件下,下一步 转移到状态j的概率.
pij(n)为pij. 下面只讨论齐次马尔可夫链,并将齐次两字省略.
设I=P{为1,一2,步转移概率pij所组成的矩阵,状态空间
…},则 P=
p11 p12 … p1n … p21 p22 … p2n … … … … ……
pi1 pi2 … pin … …… … … …
马尔可夫链分析法
市场占有率预测
• • • • • 调查目前市场上各产品占有率：S(0) =(S1,S2,…,Sn) 调查顾客对各相关产品购买的变动：pij=P{Si->Sj} 建立数学模型： S(k+1)=S(k)P, 其中P=(pij)nn。 进行预测： S(k)= S(0) Pk。 预测长期的市场占有率：根据概率矩阵性质，必有 S=SP，其中S=(s1,s2,…,sn),且s1+s2+…+sn =1。即最终 有稳定状态的占有率。可通过解方程组(*)求得S。
Vi (1) Pi R , 其中Pi ( pij )1n , Ri (rij )1n
T i
V (k ) V (1) P V (k 1)
期望利润示例的R程序
• • • • • • • • P=matrix(c(0.6,0.4,0.54,0.46),ncol=2,byrow=T);P #建概率阵 R=matrix(c(30,10,15,-10),ncol=2,byrow=T);R #建利润矩阵 v11=P[1,]%*%R[1,];v11 # 运算符%*%夹在向量间表示求内积 v12=P[2,]%*%R[2,];v12 V1=rbind(v11,v12);V1 # 计算出一期后的期望利润向量 V1=matrix(diag(P%*%t(R)),ncol=1);V1 # 与上3句等效 V2=V1+P%*%V1;V2 # 计算出二期后的期望利润向量 V3=V1+P%*%V2;V3 # 计算出三期后的期望利润向量
期望利润预测步骤
• 1.进行统计调查：首先查清销路的变化情况，即 查清由畅销到滞销或由滞销到畅销，连续畅销或 连续滞销的可能性是多少，计算P。其次，统计出 由于销路的变化，获得的利润和亏损情况，计算R。 • 2.建立数学模型。列出预测公式。 • 3.根据预测公式和统计数据，按预测期长短进行 预测。
马尔可夫链及其性质
马尔可夫链及其性质马尔可夫链是一个具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来的状态仅依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这个概念最早由俄国数学家马尔可夫在20世纪初提出，并且在各领域展示了广泛的应用。
一、马尔科夫链的定义马尔可夫链可以由以下元素定义：1. 状态空间：表示系统可能处于的所有状态的集合。
用S表示状态空间。
2. 转移概率：表示从一个状态到另一个状态的概率。
这些概率可以用转移矩阵P来表示，其中P[i, j]表示从状态i转移到状态j的概率。
3. 初始概率分布：表示系统在初始状态时各个状态的概率分布。
用初始概率向量π表示，其中π[i]表示系统初始时处于状态i的概率。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔科夫性质：马尔可夫链的核心特性是满足马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
2. 细致平稳条件：若马尔可夫链的转移概率满足细致平稳条件，则存在唯一的平稳分布。
细致平稳条件是指对于任意两个状态i和j，从i 到j的概率乘以停留在状态i的时间和从j到i的概率乘以停留在状态j 的时间应相等。
3. 遍历性：若马尔可夫链的任意两个状态之间存在一条路径，并且这条路径上的概率都不为零，那么这个马尔可夫链是遍历的。
遍历性保证了无论初始状态如何，最终都可以到达所有的状态。
4. 不可约性：若马尔可夫链的任意两个状态之间都是互达的，那么这个马尔可夫链是不可约的。
不可约性保证了从任意一个状态出发，都可以到达所有的状态。
5. 周期性：若马尔可夫链中存在状态i，使得从状态i出发，无论经过多少次转移，都不能回到状态i，那么这个状态具有周期性。
马尔可夫链的周期定义为状态的所有周期的最大公约数，具有相同周期的状态构成一个封闭的循环。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理：马尔可夫链可以用于文本生成和语音识别等自然语言处理领域。
通过观察文本中的状态转移概率，可以生成类似语义的新文本。
2. 金融市场分析：马尔可夫链可以应用于股票价格预测和市场波动分析等金融领域。
马尔可夫链高中数学
马尔可夫链高中数学
马尔可夫链是一种随机过程，它的特点是下一个状态只与当前状态有关，与之前的状态无关。
在高中数学中，我们通常将马尔可夫链作为概率论和统计学的重要内容来学习。
具体来说，马尔可夫链由三个部分组成：状态空间、初始概率向量和状态转移矩阵。
其中，状态空间指所有可能的状态集合，初始概率向量是描述系统在初始状态下各个状态出现的概率，状态转移矩阵则是描述系统从一个状态转移到另一个状态的概率。
在高中数学中，通常会通过实例来具体说明马尔可夫链的应用。
例如，在一个赌场里，每个人进入时有50%的概率选择玩红色的轮盘，50%的概率选择玩黑色的轮盘，每次抽奖后，如果赢了就继续玩这个轮盘，如果输了就换到另外一个轮盘继续玩。
这个游戏可以被建模为一个马尔可夫链，并且可以通过状态转移矩阵来计算出最终状态的概率分布。
总之，马尔可夫链在高中数学中属于比较高级的内容，需要对概率论和线性代数有一定的基础。
马尔可夫链的基本概念
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种数学模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
马尔可夫链由一组状态和状态之间的转移概率组成，可以用于模拟和预测各种随机过程，如天气变化、股票价格波动等。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链由状态空间和转移概率矩阵组成。
状态空间是指所有可能的状态的集合，用S表示。
转移概率矩阵是一个n×n的矩阵，其中n 是状态空间的大小。
转移概率矩阵的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质：在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
2. 遍历性：从任意一个状态出发，经过有限步骤后可以到达任意一个状态。
3. 周期性：一个状态可以返回到自身的步数称为周期。
如果一个状态的周期为1，则称其为非周期状态；如果周期大于1，则称其为周期状态。
4. 不可约性：如果一个马尔可夫链中的任意两个状态都是可达的，则称该马尔可夫链是不可约的。
5. 遍历性与周期性的关系：对于不可约的马尔可夫链，要么所有状态都是非周期状态，要么所有状态都是周期状态。
三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在许多领域都有广泛的应用，包括自然语言处理、机器学习、金融市场分析等。
以下是一些具体的应用案例：1. 自然语言处理：马尔可夫链可以用于生成文本，如自动写作、机器翻译等。
通过学习文本的转移概率，可以生成具有相似语言风格的新文本。
2. 机器学习：马尔可夫链可以用于序列建模，如语音识别、手写识别等。
通过学习序列的转移概率，可以对序列进行分类和预测。
3. 金融市场分析：马尔可夫链可以用于预测股票价格的波动。
通过学习历史股票价格的转移概率，可以预测未来股票价格的走势。
4. 生物信息学：马尔可夫链可以用于基因序列分析。
通过学习基因序列的转移概率，可以识别基因的功能和结构。
四、马尔可夫链的应用案例以下是一个简单的马尔可夫链应用案例，用于模拟天气变化：假设有三种天气状态：晴天、多云和雨天。
第六章 马尔科夫链
三、马氏链的例子
解：马尔科夫链的 { X n，n 0，2， } 的状态空间为： 1，
S { 0，，， } 1 2
一步状态概率为：
j | X n i}
p， 若 j i 1，i 0；
q， 若 j i 1，i 0；
P{ X n 1
记 ( 0，1， )，( i P{ X 0 i}，i S ) .称
为齐次马尔可夫链的初始分布.
齐次马尔科夫链的有限维分布族完全由其一步转移 概率矩阵 P 和初始分布 确定.
三、马氏链的例子
例1 (一个简单的疾病死亡模型)
考虑一个包含两个健康状态S1和S2以及两个死亡状态 S3和S（即由不同原因引起的死亡）的模型。若个体病愈， 4 则认为它处于状态S1，若患病，则认为它处于S2，个体可 以从S1，S2 进入S3和S4，易见这是一个马氏链，转移矩阵为
以{X n，n 0} 表示质点在时刻 n 时的位置，则 X n是齐 次马尔可夫链，称为带有两个吸收壁的随机游动.求其 一步转移概率矩阵. 解：一步状态概率为：
P{ X n 1 j | X n i}
一步状态概率矩阵为：
1 0 0 0 0 q 0 p 0 0 0 q 0 p 0 P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
的状态与其过去的历史状态无关(独立).
一、马尔可夫链的定义
【例】 细胞分裂实验
第一节
基本概念
马尔可夫链的研究内容
1、计算马尔可夫链 { X n，n 0} 的有限维分布.
2、对马尔可夫链 { X n，n 0}的状态空间 S 按照某种 规则进行分类.
3、研究马尔可夫链 { X n，n 0} 的极限性质.
马尔可夫链的概念及转移概率
第四章4.1 马尔可夫链的的概念及转移概率一、知识回顾二、马尔可夫链的的定义三、转移概率四、马尔可夫链的一些简单例子五、总结一、知识回顾1. 条件概率定义：设A，B为两个事件，且，称为事件A发生条件下B事件发生的条件概率。
将条件概率公式移项即得到所谓的乘法公式：2.全概率公式设试验E的样本空间为S，A为E的事件，若，，为S的一个完备事件组，既满足条件：1)，，两两互不相容，即，2).，且有，则此式称为全概率公式。
3.矩阵乘法矩阵乘法的定义，如果那么矩阵C叫做矩阵A和B的乘积，记作4.马尔可夫过程的分类马尔可夫过程按其状态和时间参数是连续的或离散的，可分为三类：（1）时间、状态都是离散的马尔科夫过程，称为马尔可夫链；（2）时间连续、状态离散的马尔科夫过程称为连续时间的马尔可夫链的；（3）时间、状态都连续的马尔科夫过程。
二、马尔科夫链的定义定义4.1设有随机过程，若对于任意的整数和任意的，条件概率都满足则称为马尔科夫链，简称马氏链。
已知的条件下，的条件概率与无关，而仅与所处的状态有关。
式是马尔科夫链的马氏性（或无后效性）的数学表达式。
由定义知===可见，马尔科夫链的统计特性完全由条件概率所决定。
如何确定这个条件概率，是马尔科夫链理论和应用中的重要问题之一。
现举一例说明上述概念：例4.1.1 箱中装有c个白球和d个黑球，每次从箱子中任取一球，抽出的球要到从箱子中再抽出一球后才放回箱中，每抽出一球作为一次取样试验。
现引进随机变量序列为,每次取样试验的所有可能结果只有两个，即白球或黑球。
若以数代表白球，以数代表黑球则有，第次抽球结果为白球，第次抽球结果为黑球由上所述的抽球规则可知，任意第n次抽到黑球或白球的概率只与第n-1次抽得球的结果有关，而与第次，第次，，第次，抽的球的结果无关，由此可知上述随机变量序列,为马氏链。
三、转移概率定义4.2称条件概率为马尔科夫链在时刻N的一步转移概率，其中，简称为转移概率。
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8
第六章 Markov链
第一节 基本概念
1. 转移概率
２. Chapman-kolmogorov方程
3. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱarkov链的分布
4.齐次Markov链
５.Markov 链举例
.
9
第一节 基本概念
1. 转移概率
定义 设 {Xn,n0}是马尔可夫链,称条件概率
p i ( j k ) ( n ) @ P ( X n k jX n i ) ,i ,j S ,n 0 ,k 1
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布 3）绝对分布
Q
q(n) j
P(Xn
j)
U P( (X0i),Xnj)
i
U P( (X0i,Xnj)
i
P(X0i,Xnj) i
P (X 0 i)P (X njX 0 i) i
q i(0 )p i(jn )(0 . ) n 0 ,i,j S i
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布
2）有限维分布
P ( X 0 i ) P ( X t 1 i 1 X 0 i ) P ( X t 2 i 2 X 0 i ,X t 1 i 1 ) i L P ( X t n i n X 0 i ,X t 1 i 1 , L ,X t n 1 i n 1 )
i
.
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布 2）有限维分布 又因为马尔可夫链的k步转移概率由一步转移概率所 完全确定. 所以马尔可夫链的有限维分布由其初始分布和 一步转移概率所完全确定.
.
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布
3）绝对分布
称 q ( jn )@ P (X nj), n 0 ,j S
在 条 件 X ( t n 1 ) x n 1 下 的 条 件 分 布 函 数 , 即
P (X (tn)xnX (t1)x 1,X (t2)x2,L,X (tn 1)xn 1) P (X (tn)xnX (tn 1)xn 1), xn R
则 称 { X ( t) ,t T } 为 马 . 尔 可 夫 过 程 .
t t0 过去
t t0
现在
.
t t0 将来
2. 马尔可夫过程 定义 设 {X(t),tT}的状态空间为S,
如 果 对 n 2 , t 1 t2 L tn T , 在 条 件 X ( t i ) x i ,x i S ,i 1 , 2 , L , n 1 下
X (tn ) 的条件分布函数恰好等于
为{Xn,n0}在n时的k步转移概率. (它表示系统{X n , n 0}在n时处于状态i的条件下
经过k步转移,于n+k时到达状态j的条件概率).
称
以
p(k ij
)
(n
)为
第
i行
底
j列
元
素
的
矩
阵
P
(k
)
(n)
(
p(k ij
)
(n))
为 系 统 {Xn,n0}在 n时的k步转移概率矩阵. .
第一节 基本概念
.
第一节 基本概念
4.齐次马尔可夫链
为方便，一般假定时间起点为零．即
p(k) ij
P(Xk
j
X0
i)
i, j S,k 0
相应的k步与一步转移概率矩阵分别记为 P (k)与 P
定理 (1) P(k) Pk , k 0;
(2) q(k) q(0)Pk , k 0;
(3) {Xn, n 0}的有限维分布由其初始分布和一 步转移概率所完全确定
1．马尔可夫性 定义 设 {X(t),tT}是一个随机过程，如果
{X(t),tT}在t0时刻所处的状态为已知，它在
时刻 t t0 所处状态的条件分布与其在 t0 之前
所处的状态无关。
通俗地说，就是在知道过程现在的条件下，其 将来的条件分布不依赖于过去，则称{X(t),tT} 具有马尔可夫（Markov)性。
.
第一节 基本概念
５.马尔可夫链举例
例１(天气预报问题) 如果明天是否有雨仅与今天的 天气(是否有雨)有关，而与过去的天气无关. 并设 今天下雨、明天有雨的概率为a， 今天无雨而明天有雨的概率为b，又假设 有雨称为0状态天气，无雨称为1状态天气. Xn表示时刻n时的天气状态，则 {Xn,n0}是以 S{0,1}为状态空间的齐次马尔可夫链.
)
的(行)向量
q
(
0
)为马尔可夫链的
初始分布向量. 即 q(0) (qi(0))
.
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布
2）有限维分布 定理 马尔可夫链{Xn,n0}的有限维分布由其
初始分布和一步转移概率所完全确定.
证明 Q 对 n 1 , 0 t 1 t 2 L t n , i 1 , i 2 , L , i n , i S
.
Markov 过程
.
Markov过程
安德雷.安德耶维奇.马尔可夫 (A.A.Markov): 俄数学家，1856~1922 概率和统计领域专家。
当年Markov研究普希金诗歌里元音字母和辅 音字母交替出现的规律时提出了Markov过程的数 学模型
Markov过程80年代兴起，在现代工程、自然 科2学020/、4/27社会科学中应用广泛.。
r
（ 2） 移 动 前 i0处
p0,r00,p0r01
p0
0
1
r0
（ 3） 移 动 前 ia处
qa
qa,ra0,qara1
.
a-1
a
ra
第一节 基本概念
５.马尔可夫链举例 例2(有限制随机游动问题)
设Xn表示质点在n时刻所处的位置，则
{ X n ,n 0 } 是 以 S { 0 ,1 ,L ,a } 为 状 态 空 间 的 齐 次 马 尔 可 夫 链 . 其一步转移概率矩阵为
P { X t1 i1 ,X t2 i2 ,L ,X tn in }
U P {(X 0 i),X t1 i1 ,X t2 i2 ,L ,X tn in }
i
U P {(X 0 i,X t1 i1 ,X t2 i2 ,L ,X tn in )}
i
P (X 0 i,X t1 i1 .,X t2 i2 ,L ,X tn in ) i
L
P ( n ) P ( n 1 ) L P ( n k 1 ) P ( n k )
分量形式
(n, k 0)
p i ( j k 1 ) ( n ) Lp i j 1 ( n ) p j 1 j 2 ( n 1 ) L p j k j( n k ) j 1j 2 j k . (n,k0,i,jS)
pij1 ,( i)
j
显然，{X n , n 0}在n时的k步转移概率矩阵 P(k) (n)
是一随机矩阵.
特别 k＝０时，约定
p(0) ij
ij
1 0,
ij ij
i,jS,n0
此 时 P (0 )(n ) I为 . 单 位 矩 阵 .
第一节 基本概念
２. Chapman-kolmogorov方程
P ( X 0 i ) P ( X t 1 i 1 X 0 i ) P ( X t 2 i 2 X t 1 i 1 )
i
LP(Xtn in Xtn1in1)
q i (0 )p iti 1 1 (0 )p it1 2 i2 t1 (t1 )L p itn n 1 it n n 1 (tn 1 ).
1. 转移概率
特别 当k=1时，
p (1) ij
(n
)为
系
统
在
n时
的
一
步
转
移
概
率
,
记为 pij (n)
P
(1)
(n)
(
p (1) ij
(n))为系统的一步转移概率矩阵
记 为P(n)pij(n)
.
第一节 基本概念
1. 转移概率
定义 称可数维的矩阵 P(pij)为随机矩阵，如果
pij0,( i,j)
3.马尔可夫链 定义 参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程
称为马尔可夫链。 注 只讨论马尔可夫链的状态空间为有限或可列无限. 则马尔可夫性可表示为
对 n 2 , t 1 t 2 L t n T , i 1 , i 2 , L , i n S ,
有 P (X (tn) inX (t1 ) i1,X (t2) i2,L,X (tn 1 ) in 1 ) P (X (tn) inX (tn 1 ) in 1 ), x n R
第一节 基本概念
２. Chapman-kolmogorov方程
C-K方程的直观意义：
系统在n 时从状态i的出发,经过k+m步转移,于 n+k+m时到达状态j,可以先在n时从状态i出发，经 过k步转移于n+k时到达某种中间状态l,再在n+k时 从中间状态l出发经过m步转移于n+k+m时到达最 终状态j,而中间状态l要取遍整个状态空间S.
证明 P (X n k l,X n k m j)X n i)
l
P ( X n k lX n i ) P ( X n k m jX n i ,X n k l )
l
P ( X n k lX n i) P ( X n k m jX n k l) l
pi(lk)(n)pl(jm)(n. k)
定理 (C-K方程) （解决了k步转移概率与一步转移概率间的关系）
p i ( j k m ) ( n ) p i ( l k ) ( n ) p l ( j m ) ( n k ) ,n ,m ,k 0 ,i ,j S l