概率论答案第四册

P ( X = x1 , Y = y1 ) = P( X = x1 ) P(Y = y1 ) ，则随机变量 X 和 Y （ C ） A．一定独立 B．一定不独立 C．不一定独立 D．不相容
（3）设 F1 ( x) ， F2 ( x) 为两个分布函数，其相应的概率密度为 f1 ( x), f 2 ( x) 是连续 函数，则可以作为某个连续随机变量的概率密度函数的是（ D ）
随机抽取一件，记 X i = ⎨
⎧1 抽到i等品 （ ， i = 1, 2， 3） 其他 ⎩0
试求随机变量 X 1和 X 2 的联合分布。 解：令 Ai = " 抽到i等品"，i = 1, 2,3 ,则 A1 , A2 , A3 两两不相容.
P ( A1 ) = 0.8, P ( A2 ) = P( A3 ) = 0.1 P ( X 1 = 0, X 2 = 0) = P( A3 ) = 0.1 P ( X 1 = 0, X 2 = 1) = P( A2 ) = 0.1 P ( X 1 = 1, X 2 = 0) = P( A1 ) = 0.8 P ( X 1 = 1, X 2 = 1) = P (φ ) = 0 3． 将一硬币抛掷 3 次， X 表示 3 次中出现正面的次数，Y 表示 3 次中出现正面 次数与反面次数之差的绝对值，求 X 和 Y 的联合分布率。
P (ξ = 1| η = 1) =
P (ξ = 1,η = 1) 3 = P(η = 1) 7 P(ξ = 0,η = 1) =0 P(η = 1)
P (ξ = 2 | η = 1) =
华东理工大学
概率论与数理统计
作业簿（第四册）
学 学 院 号 ____________专 ____________姓 业 名 ____________班 级 ____________ ____________任课教师____________
第十次作业
一． 填空题： 1．若 ξ 在 [0,5] 上 服 从 均 匀 分 布 ， 则 方 程 x 2 + ξx + ξ 2 − 3ξ = 0 有 实 根 的 概 率 0.8 。
年，测量她的血压， （1） 求 P ( X ≤ 100), P(105.5 ≤ X ≤ 121) （2） 确定最小的 x ，使 P ( X > x) ≤ 0.05 解：设女青年的血压为 ξ ，则 ξ ~ N (110,121) ，
P ( X < 105.5) = P (
ξ − 110
11
~ N (0,1)
A． f1 ( x) f 2 ( x) C． f1 ( x) F2 ( x)
三. 计算题
B． 2 f 2 ( x) F2 ( x) D． f1 ( x) F2 ( x) + f 2 ( x) F1 ( x)
1．设随机变量 ξ ,η 的联合分布列为
ξ
η
0
0
1 6 1 3 1 12
1
2 9 1 6
0
2
1 36
（1）
X − 110 105.5 − 110 < ) = Φ (−0.5) 11 11 = 1 − Φ (0.5) = 1 − 0.6915 = 0.3085
121 − 110 99 − 110 P (99 ≤ X ≤ 121) = Φ ( ) − Φ( ) = Φ (1) − Φ (−1) 11 11 = 2Φ (1) − 1 = 2 × 0.8413 − 1 = 0.6826
A． F ( a , b ) B． 1 − F ( a , b )
）
C． 1 + F (a − 0, b) − F (+∞, b) − F (a − 0,+∞) D． 1 + F ( a, b) − F ( +∞ , b) − F ( a,+∞ )
（2）设随机变量 X 的可能取值为 x1 , x2 ， Y 的可能取值为 y1 , y2 , y3 ，若
4. 若 ξ ~ N ( μ , σ 2 ) 且 P (ξ < 89) = 0.90 ， P (ξ < 94) = 0.95 ，求 μ 和 σ 2 .
解：根据
0.90 = P(ξ < 89) = Φ(
和
89 − μ
σ
94 − μ
)，
0.95 = P(ξ < 94) = Φ(
σ
)，
利用随机变量分布函数的单调性，有 89 − μ = 1.2816 ，
所以， ( X , Y ) 的联合概率分布为： Y X 0 1 2 3 1 0 3
1
8
3 3
8 8
0 0
0
1
8
4．设随机向量 ( X , Y ) 的联合概率密度函数为
⎧ A(6 − x − y ) , 0 < x < 2 , 2 < y < 4 p ( x, y ) = ⎨ , 其他 ⎩0
（1）确定常数 A ;（2）求 P{ X < 1, Y < 3}, P{ X + Y < 4} 解： （1）根据规范性有 ∫
0 1
0
1
0.1 a
b 0.4
并且 P (ξ = 1| η = 1) =
2 ，则 a= 0.3 3
, b=
0.2
.
2. (ξ ,η ) 的联合分布列为
η ξ
-1 1
0
1
2
1 15
s
t
1 5 3 10 2 ） 15
。
1 5
若 ξ ,η 相互独立，则（s,t）=（0.1， 二. 选择题
（1）设（ X ， Y ）的分布函数为 F ( x, y ) ，则 P{ X ≥ a, Y > b} =（ C
1
， P( X ≤ 2, Y ≤ 1) = 1 − e −1 − e−2 + e−3
。
2．若二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布列为
X 0 1
则 随 机 变
Y
0 1 6 1 3
1 1 4 1 4
的 联 合 分 布 函 数 为
量
( X ,Y )
x < 0 or y < 0 ⎧ 0, ⎪ 1 / 6, 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1 ⎪ ⎪ F ( x, y ) = ⎨5 / 12, 0 ≤ x < 1, y ≥ 1 ⎪ 1 / 2, x ≥ 1,0 ≤ y < 1 ⎪ x ≥ 1, y ≥ 1 ⎪ ⎩ 1,
1
2
0
0
（3） 求边缘分布列； （4） 在η = 1 的条件下， ξ 的条件分布列； （5） 问 ξ 和η 是否独立？ 解： （1）
ξ
p
0 5 12 0 p 7 12
1 1 2 1 7 18
2 1 12 2 1 36
η
（2） P (ξ = 0 | η = 1) =
P(ξ = 0,η = 1) 4 = P(η = 1) 7
解：当连抛三次出现三次反面时， ( X , Y ) 的取值为 (0,3) ；
出现一次正面两次反面时， ( X , Y ) 的取值为 (1,1) ； 出现两次正面一次反面时， ( X , Y ) 的取值为 (2,1) ； 出现三次正面时， ( X , Y ) 的取值为 (3,3) 。 并且 P{ X = 0, Y = 3} = ( ) =
A.单调增大
B.单调减少
C.保持不变
D. 增减不定
则该灯管已使用了 a(a > 0) 小时,能再使用 b 小时的概 2．若灯管的寿命 ξ ~ e(λ ) ， 率（ A ） 。 A. 与 a 无关 B. 与 a 有关
C. 无法确定
D. 以上答案都不对
3．随机变量 X 的概率密度函数为 p( x) ，且 p( x) = p(− x) ， F ( x) 是 X 的分布函
+∞ −∞
∫
+∞
−∞
p ( x, y )dxdy = 1 ∴ A =
1 8
（2） P{ X < 1, Y < 3} =
1 1 3 3 (6 − x − y )dxdy = ∫ ∫ 0 2 8 8 1 2 4− x 2 P ( X + Y ≤ 4) = ∫ ∫ (6 − x − y )dydx = 8 0 2 3
解： P (| ξ |> 19.6) = P(ξ > 19.6) + P(ξ < −19.6) = 2[1 − Φ (
19.6 )] = 0.05 10
令η 为 100 次独立重复测量中，误差的绝对值大于 19.6 的次数， 则η ~ b(100, 0.05)
1 P (η ≥ 2) = 1 − P(η = 0) − P(η = 1) = 1 − (0.95)100 − C100 (0.05)(0.95)99 = 0.9629
3
1 2
⎛ 3⎞ 1 3 3 1 ； P{ X = 1, Y = 1} = ⎜ ⎜1 ⎟ ⎟( ) = 8 ； 8 ⎝ ⎠ 2
⎛ 3⎞ 1 3 3 1 3 1 P{ X = 2, Y = 1} = ⎜ ⎜1 ⎟ ⎟( 2 ) = 8 ； P{ X = 3, Y = 3} = ( 2 ) = 8 ⎝ ⎠
2．设随机变量 X 在区间[2，6]上服从均匀分布，现对 X 进行了 3 次独立试验， 则正好有 2 次观测值大于 4 的概率为
3 8
。
3．设每人每次打电话的时间（单位：min）服从 E (1) ，则在 808 人次的电话中有
3 次或以上超过 6 分钟的概率为
二． 选择题：
1 2
则随着 σ 的增大， 概率 P{| X − μ |< σ } （ C ） 。 1．设 X 服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) ，
数，则对任意实数 a ，有（
B ） 。 B. F (− a) =
A. F (−a ) = 1 − ∫ p ( x)dx
0
a
1 a − p ( x)dx 2 ∫0
C. F (− a) = F (a)
D. F (− a) = 2 F (a) − 1
三．
计算题：
1．某地区 18 岁的女青年的血压服从 N (110,121) 。在该地区任选一 18 岁的女青
σ
和 94 − μ
σFra Baidu bibliotek
= 1.6449 ，
解得 μ = 71.3617 ， σ = 13.7627 ，即 σ 2 = 189.4128
第十一次作业
一．填空题：
⎧ae − ( x + y )， 0 < x, y < +∞ ，则 a = 1 ． 设 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 概 率 密 度 为 f ( x, y ) = ⎨ ， 其他 ⎩0
Q Φ (1.65) = 0.95 ∴
（1） P{ξ > 2} = 1 − P{ξ ≤ 2} = 1 − F ( 2) = 1 − (1 − e
− 10 2
− 2 2
) = e −1 ≈ 0.367879 ；
− 10 2 1
− P{ξ > 10} 1 − (1 − e ) e （2） P{ξ > 10 ξ > 9} = = = 9 = e 2 ≈ 0.606531 。 9 − − P{ξ > 9} 1 − (1 − e 2 ) e 2 2 3．假设测量的随机误差 ξ ~ N (0, 10 ) ，试求在 100 次独立重复测量中，至少有 二次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 α 。
（3） 要使 P ( X > x) ≤ 0.05 ，只须 P ( X ≤ x) > 0.95
x − 110 > 1.65 ⇒ x > 128.15 11 1 2．修理某机器所需时间（单位：小时）服从参数为 的指数分布。试问： 2 （1） 修理时间超过 2 小时的概率是多少？ （2） 若已持续修理了 9 小时，总共需要至少 10 小时才能修好的条件概 率是多少？ x − ⎧ 1 ⎪1 − e 2 x > 0 解：设 ξ 是修理时间， ξ ~ E ( ) ， ξ 的分布函数为 F ( x) = ⎨ 。 2 ⎪ x≤0 ⎩ 0
P ( X = 0, Y = 1) = P( X = 1, Y = 0) = P( X = 0, Y = −1) = 0 ，
易得 ( X , Y ) 的联合概率分布如下：
X Y
-1 0 1
0 0
1
1 3
0
1 3
0
1 3
第十二次作业
一. 填空题： 1. 如果随机向量 (ξ ,η ) 的联合分布列为
η ξ
5. 若随机变量 X , Y 的概率分布分别为
X
0
1
Y
-1
0
1
P
1 3
2 3
P
1 3
1 3
1 3
且满足 P ( X 2 = Y 2 ) = 1 。求二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率分布。 解：由于 P ( X 2 = Y 2 ) = 1 ，故 P ( X 2 ≠ Y 2 ) = 0 。故有
二. 计算题
1. 设二维随机向量 (ξ ,η ) 仅取 (1,1), (2,3), (4,5) 三个点，且取它们的概率相同，求 (ξ ,η ) 的联合分布列。
解：
ξ
1 2 4
η
1
3
5 0 0
1 3
0 0
0
1 3
0
1 3
2. 某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80，10，10 件，现在从中