高中数学第一章三角函数章末复习课学案北师大版必修

第一章 三角函数

学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握三角函数诱导公式.3.能画出y ＝sin x ，

y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像.4.理解三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的性质.5.了

解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义，掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的变换．

1．任意角三角函数的定义

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫作α的________，记作________，即________； (2)x 叫作α的________，记作________，即________；

(3)y x

叫作α的________，记作________，即____________________． 2．诱导公式

六组诱导公式可以统一概括为“k ·π

2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不

改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． 3．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质

类型一 三角函数的概念

例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25

5

，则y ＝________.

反思与感悟 (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．

②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r ＞0)．则sin α＝y

r ，cos α＝x r

.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．

(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．

跟踪训练1 已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值．

类型二 三角函数的图像与性质

例2 将函数y ＝f (x )的图像向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的π

3倍，

然后向上平移1个单位长度，得到函数y ＝3sin x 的图像． (1)求f (x )的最小正周期和递增区间；

(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最小值和最大值．

反思与感悟 研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性、最值问题，把ωx ＋φ看作一个整体来解决． 跟踪训练2 函数f (x )＝3sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图像如图所示．

(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π

2，－π12上的最大值和最小值．

类型三 三角函数的最值和值域 命题角度1 可化为y ＝A ωx ＋φ

＋k 型

例3 求函数y ＝－2sin(x ＋π

6

)＋3，x ∈[0，π]的最大值和最小值．

反思与感悟 利用y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响．

跟踪训练3 已知函数y ＝a sin(2x ＋π6)＋b 在x ∈[0，π

2]上的值域为[－5,1]，求a ，b 的值．

命题角度2 可化为sin x 或cos x 的二次函数型

例4 已知|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2

x ＋sin x 的最小值．

反思与感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错．

跟踪训练4 已知函数f (x )＝－sin 2

x －a sin x ＋b ＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数

a >0，求a ，

b 的值．

命题角度3 分式型函数利用有界性求值域 例5 求函数y ＝2cos x ＋1

2cos x －1的值域．

反思与感悟 在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征——有界性，利用三角函数的有界性可以求解三角函数的值域问题． 跟踪训练5 求函数y ＝3sin x ＋1

sin x ＋2的最大值和最小值．

类型四 数形结合思想在三角函数中的应用

例6 已知方程sin(x ＋π3)＝m

2在[0，π]上有两个解，求实数m 的取值范围．

反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y

＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图像时，常利用数形结合思想． 跟踪训练6 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)．若f (x )在区间[π6，π2]上具有单调性，且f (π2)＝f (2π3)＝－f (π

6

)，则f (x )的最小正周期为________．

1．若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝3

4

，则a 的值为( ) A ．4 3

B ．±4 3

C ．－43或－433

D. 3 2．已知f (α)＝

π－α

π－α－π－α

α

，则f (－31π

3

)的值为( )

A.12 B ．－13 C ．－12 D.13

3．函数y ＝|sin x |＋sin|x |的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,2] D ．[0,1]

4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，则ω，φ的值

分别是( )

A ．2，－π3

B ．2，－π6

C ．4，－π6

D ．4，π

3

5．已知函数f (x )＝－sin 2

x ＋sin x ＋a ，若1≤f (x )≤17

4

对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．

三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图像与性质结合