第五讲-三阶幻方.docx
三阶幻方的解法与数学原理
三阶幻方的解法与数学原理A magic square is a square grid filled with numbers in such a way that the sum of the numbers in each row, column, and diagonal is the same. The most well-known magic squares are the 3x3 squares, also known as the 3rd order magic squares.幻方是一个填满了数字的正方形网格，以使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
最著名的幻方是3x3幻方，也称为三阶幻方。
The 3x3 magic square has been a topic of fascination for mathematicians, artists, and philosophers for centuries. It has a long history dating back to ancient China, where it was associated with the Lo Shu square and the concept of cosmic order and harmony.几个世纪以来，三阶幻方一直是数学家、艺术家和哲学家的研究课题。
它有着悠久的历史，追溯至古代中国，与洛书方关联，并与宇宙秩序和和谐的概念有着密切联系。
The study of 3x3 magic squares involves a combination of mathematical principles, logical reasoning, and a bit of creativity. Itrequires careful manipulation of numbers to ensure that the sum in every direction is the same, which can be both challenging and rewarding.三阶幻方的研究涉及到数学原理、逻辑推理以及一些创造力的结合。
三阶幻方原理及填法
三阶幻方原理及填法嗨，朋友们！今天咱们来聊聊一个超级有趣的数学小玩意儿——三阶幻方。
这三阶幻方啊，就像是数学世界里的一个神秘小魔法阵，可有意思啦。
我先给你们说说啥是三阶幻方。
简单来讲，就是用1到9这九个数字，填在一个3×3的方格里面，使得每行、每列还有两条对角线上的数字之和都相等。
这个相等的和呢，就叫幻和。
你想啊，这九个数字就像九个调皮的小娃娃，要把它们安排在这九个格子里，还得让每行每列和对角线上的数字之和都一样，是不是感觉像在玩一个超级有挑战性的数字拼图游戏呢？那这个幻和是多少呢？这可不难算哦。
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45，因为三阶幻方有三行（或者三列），所以幻和就是45÷3 = 15。
这就像是我们找到了这个魔法阵的一个关键密码一样。
我有个朋友，之前第一次接触三阶幻方的时候，就皱着眉头跟我说：“这怎么填啊？感觉无从下手呢！”我就跟他说：“嘿，别急，这里面可有不少小窍门呢。
”有一种比较简单的填法。
咱们先把1放在这个3×3方格的最中间那一行最左边的那个格子里。
这就像是先在魔法阵里种下一颗数字的种子。
然后呢，按照斜着往上走的规则来填数字。
如果斜着往上走的时候，走出了这个方格，那就像这个数字小娃娃调皮地跑到方格外面去了，怎么办呢？这时候就把它拉回来，拉到这个方格相对应的另一边的位置上。
比如说，如果斜着往上走，数字跑到方格的左上角外面去了，那就把它放到右下角的格子里。
当我们按照这个方法填到数字3的时候，就会发现如果再斜着往上走，那个格子已经有数字1了。
这就像两个小娃娃抢一个小格子，那可不行。
这时候呢，我们就把数字3填在数字2的下面。
就像数字3说：“既然上面的地方被占了，那我就乖乖在2下面呆着吧。
”按照这个规则一直填下去，就能把这个三阶幻方填出来啦。
哇，当你把最后一个数字填好的时候，那种成就感就像是你自己创造了一个小奇迹一样。
不过呢，还有其他的填法哦。
三阶幻方
三阶幻方__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________能够根据三阶幻方的规律补充三阶幻方中的空格幻方起源于中国，传说在大禹治水时有神龟在洛水出现，背上有图，称为洛书．宋代学者朱熹在所著的《周易本义》卷首画出如下的洛书图，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。
三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图。
【例1】将1~9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．分析：l+2+…+8+9=45所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(= 45÷3)．从l到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是9+5+1，9+4+2，8+6+1, 8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3, 6+5+4这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心，在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图所示除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．【例2】.将1，3，5，7，…，1 7填入3×3的方格中，使它们成为一个三阶幻方．分析：将图9-2 中的1，2，3，…，9分别用l，3，5，…，17代替，得到下图．它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．【例3】如果1、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？分析：总和是1+4+7+…+25=(1+25)×9÷2=117由于三行的和相等，所以每一行的和是117÷3=39．每一列、每一条对角线的和也是39两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍，所以中央的那个数是(39×3-39×2)÷3=13一般地，三阶幻方中央的数，等于行（列）和除以3．行（列）和等于中央的数乘以3．【例4】下图是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方性质填出其他的数．分析：由例3，每一行（每一列、每条对角线）的和是中央那个数的3倍，因此，现在每一行的和是15×3=45这样，就可以得出第三行第一个数是45 -6 –28=l1．第三行第三个数是45 -6 -15=24第三行第二个数是45 -11- 24 =10．同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图所示．【例5】已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．分析: 每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12第一行的第一个数是3×6×12÷12÷1=18，第一列的第二个数是3×6×12÷18÷3 = 4．第二列的第三个数是3×6×12÷1÷6 = 36．第三列的第二个数是3×6×12÷4÷6=9．第三列的第三个数是3×6×12÷18÷6=2于是，得出下图【例6】已知下图是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2 037．求画有“？”的格子填的数是多少．分析:根据例3，中央的那个数是2 037÷3 = 679．第一行第二个数是2 037 - 679 –894=464第一行第三个数是？=2 037 - 447 - 464=1126．所以要填的数是l1261.用0到8这几个数构造个三阶幻方．2.将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．3.如果2、6、10、11、15、19、20、21、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？4.下图是一个三阶幻方，请填出其他的数．5.已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．1．用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方.2．用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方3．在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30．4．在空个格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30．5．用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和都是60．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________1．下图是一个三阶幻方．求“？”是多少．2．从1~13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等．这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？3．填好第7题的图4．在下图中，每个方格填一个数，使得每行、每列、每条对角线上的4个数都是1、3、5、7．带“☆”号的两个方格中的数的和是多少？5．将八个不同的数填入下图的空格中，使8个数的总和等于36．如果总和为37、38、39，你还能填吗？6．在3×3的正方形中，每个方格填一个自然数，使每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，并且其中有一个数是10．7．完成下图，使每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．。
趣谈三阶幻方
趣谈三阶幻方王凯成(陕西省小学教师培训中心 710600)一、什么是三阶幻方把9个自然数填在3行3列的方阵中，使每行每列及两条对角线上3个数的和都相等,这样的方阵就叫做三阶幻方。
相等的和叫做幻和。
传说古代夏禹治水时，洛水出了个神龟，背上刻有文字，大禹就照此写出了《洪范. 九筹》(治国的九种大法)。
实际上，神龟背上刻的文字，就是三阶幻方，也叫九宫图。
我国的少数民族如藏族和纳西族都曾有“九宫图”,有诗赞美九宫: 四海三山八洞仙， 九龙五子一枝莲。
二七六郎赏月半， 周围十五月团圆。
根据数学史家考证，这个三阶幻方最早见于公元前500年左右春秋时期的《大戴礼记》中。
汉朝徐岳把它叫做“九宫算”，后人的注解是：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居其中。
”宋代数学家杨辉把九宫算叫做“纵横图”。
公元15世纪，住在拜占庭君士坦丁堡的摩索普拉斯把我国的“纵横图”介绍到欧洲，并取名为“幻方”。
古印度有许多少女在胸前佩戴一个三阶幻方，当做“护身符”，认为这样可以“避邪”。
也有人把它贴在门板上，“驱邪避灾”(中世纪的欧洲也有这种习惯)。
金庸大侠还把三阶幻方写进他的的小说《射雕英雄传》中：一天, 黄蓉被裘千仞的铁掌所伤，几乎致命。
郭靖带着她去找“神算子”瑛姑求医。
两人在一片泥沼中七弯八拐，闯过重重机关终于来到了神算子的门前。
只见屋里一白发女子正凝神细算一道题，黄蓉暗点算 子数目，报出了得数。
那女子惊诧之余，拿出自己深思多日的一些题目，黄蓉均一一破解。
那女子呆了半晌问道：“你是人吗？”接着白发女子又甩出一招：“将一至九这九个数字排成三行三列，不论纵横斜角，每三数相加都是十五，如何排法？”病黄蓉低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。
”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。
闻听此言，那女子面如死灰。
正是在这段有名的“九宫阵”里，金庸先生将黄蓉的聪敏机智刻画得淋漓尽致。
二、数学教材中的三阶幻方人教版和北师大版小学数学教材及人教版初中数学教材有三阶幻方的内容，这是对数学文化的传承与发扬。
第五讲 三阶幻方
第五讲、三阶幻方之马矢奏春创作幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.如果将龟背上的数字翻译出来，如下图. 观察，你发现了什么？观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个分歧的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数.三阶幻方的规律：（1）幻和= 九个数之和 ÷3； （2）中间数=幻和÷3（3）四个角上的数字 2=（3+1）÷2,8=（9+7）÷2例题 1 在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
例题 2 在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。
例题3 在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列 及每条对角线上的三个数之和都等于21。
7 3 8 4 6 3 19 14 10188二、例题讲解672159834巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角线上的三个数之和都等于27。
例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
介绍杨辉法：介绍公式法：口诀：九子斜列，上下对易，左右相更，四维挺出。
想一想还有没有其他填法：第一种：816 357492第二种：618753294第三种：49235781612巩固练习：用3-11构造一个三阶幻方课堂练习1、把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
三阶幻方的N种构造方法
三阶幻方的N种构造方法三阶幻方是一种3x3的数字方阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
以下是几种构造三阶幻方的方法：1.蛇型法：首先将数字1放在第一行的中间位置，然后按照蛇形的方式，依次填充数字2、3、4⋯、9、当数字超出边界时，从相反的边界开始填充。
这样构造出的三阶幻方如下：8163574922.阶梯法：首先将数字1放在第一行的第一列，然后依次填充数字2、3到第一列的第三行。
接下来，将数字4填充到第一行的第二列，之后将数字5、6依次填充到第二列的第一行和第三行。
最后将数字7、8、9填充到第二列的第二行、第三行和第一行，最终构造出以下三阶幻方：2769514383.方块法：将数字1填充到方阵的上方，然后从上方顺序填充数字2、3、4到右上角、右下角和左下角。
接下来，将数字5填充到剩余的位置。
构造出的三阶幻方如下：2947536184.加法法：首先将数字1填充到方阵的中间位置。
然后从中间位置开始，按照数字的递增顺序依次填充2、3、4到右上角、右下角和左下角。
最后将剩下的数字以对称的方式填充到相应的位置。
构造出的三阶幻方如下：8163574925.填充法：首先将数字1填充到方阵的上方，然后从上方顺序填充数字2、3、4到右上角、右下角和左下角。
接下来，将数字5填充到剩余的位置。
构造出的三阶幻方如下：294753618以上只是几种常见的构造三阶幻方的方法，实际上，三阶幻方的构造方法有很多种，而且可以进行旋转和翻转等操作来得到更多的构造方法。
由于幻方的特殊性质和对称性，可以通过一些数学方法进行推导和计算来构造出更多的三阶幻方。
幻方是数学中的一个有趣且古老的问题，它的研究既有实际应用价值，又具有数学美感。
三阶幻方
简单的三阶幻方1、什么是幻方？幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.观察，你发现了什么？观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数. 罗伯法构造三阶幻方游戏：把1~9这9个数字按照要求填入下面的九宫格中？（1）把1~9依次按照从右上到左下的斜行顺序填入9个空白格中；（2）把最上面的“1”调到粗线框中第三行中间，最小面的“9”调到粗线框中第一行的中间。
最左边的“3”调到粗线框中第列的中间，最右边的“7”调到粗线框中第一列的中间。
（3）把粗线框中最后的结果填入右边的九宫格中算一算，九宫格中各行、各列及斜行的数字和，你有什么发现？三阶幻方的规律：1、幻和：各行、各列及斜行的和都是15，我们称它为幻和；幻和= 九个数之和 ÷3；2、中心数：幻和是中心数字的3倍；中间数=幻和÷3=(3+7)÷2=(1+9)÷2=(2+8)÷2=(6+4)÷23、左上角、右上角、左下角、右下角的四个数字依次是第2、第4、第6、第8个数字672159834四个角上的数字2=(3＋1)÷2，8=(9＋7)÷2；6=(3＋9)÷2；4=(1＋7)÷22、小试牛刀你能用上面的方法把2、4、6、8、10、12、、14、16、18这九个数字填入右面的九宫格中，使它构成三阶幻方吗？例1在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
（1（2巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
四下第五讲 三阶幻方
第五讲三阶幻方一、知识要点三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，是由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如右图示），其对角线、横行、纵向的的和都为15，称这个最简单的幻方的幻和为15。
中心数为5。
二、自我探究【例1】将1—9这九个数，填入下面的方格中，使每行、每列、两条对角线上三个数字的和都相等。
（想一想，除了上述填法，还有其它什么方法）【例2】在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方。
A 12 DB 15 2016 C 11【例3】图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
22 30 3822 30 3822 30 38【例4】在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下左图.请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27.56三、自我挑战第一关：1.把7、10、13、16、19、22、25、28、31这九个数填入图中的空格，使每一行、每一列和每条对角线上的数的和都相等。
2.在下图中，A= ,B= ,C= ,D= ,E= 时，它才能都成一个三阶幻方。
19 A 1410 B CD 18 E3. 在下图的空格中任意填入不大于12且互不相同的九个自然数（已填一个），使每一横行、竖行及对角线上的三个数之和都等于21(1) (2)115第二关：1.在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列即每条对角线上的四个放个中的数字都是1、3、5、7，那么带★的两个方格中的数字之和等于多少？1 3 5 77★★2.下图为3×3的数阵，请选择9个不同的自然数填入下面的9个方格，使得其中最大的数为20，最小的数大于5，并且每行、每列以及两条对角线上三个数相加的和都相等。
3.请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.第三关：1.在下图的空格中任意填入八个自然数（可以相同），使每边的数字之和为5，而八个数的总和为12，如果八个数的总和为13,14,又应怎样填呢？和12和15。
(精选课件)三阶幻方
1
洛书
2
综合与实践
根据北周甄鸶注《数 术记遗》： 九宫者，二四为肩， 六八为足，左三右七， 戴九履一，五居中央。
3
神奇的幻方
4 92 3 57 8 16
4
规律1： 幻和=中间数×3
三
492
阶
幻
35 7
方
816
5
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三
492
17
探寻神奇的幻方
492 357 816
三阶幻方
四海三山八洞天， 九牛五虎一起眠， 二女七星和六国， 周围十五月团圆。
18
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了 系统的研究。他称这种图为“纵横图”，他提 出了一个构造三阶幻方的秘诀： [九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出， 戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足]
19
杨辉法
20
（瑛姑）双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来， 脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你： 将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相 加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花 岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图 的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义， 法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一， 五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。那女 子面如死灰。
这
个 8 17 5
幻 方
11
95 1 2 76
13 11 9 7 5 15
12
68 18
12 14 4
84 10
16 2 12
13
17 12 15
第五讲 三阶幻方
6
3
例题2在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
19
14
10
18
巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。
8
例题3在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于21。
12
巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角线上的三个数之和都等于27。
例题4将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
介绍杨辉法：介绍公式法：
口诀：九子斜列，上下对易，左右相更，四维挺出。
想一想还有没有其他填法：
第一种：
8
1
6
3
5
7
4
9
2
第二种：
6
1
8
7
5
3
2
9
4
第三种：
4
9
2
3
5
7
8
1
6
第四种：
2
9
4
7
5
3
6
1
8
第五种：
第五讲、三阶幻方
幻方起源于中国.传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图.人们称之为洛书.
如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.
观察，你发现了什么
观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15.像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方.三阶幻方是一种特殊的数阵图.
上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数.
三阶幻方文档
三阶幻方什么是幻方？幻方是一个由数字组成的方形矩阵，其中每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
这种特殊的矩阵在数学和游戏领域都有广泛的应用。
幻方可以划分为奇阶幻方和偶阶幻方两种类型，根据矩阵边长的奇偶性质进行分类。
三阶幻方三阶幻方是指边长为3的幻方。
三阶幻方是最简单的幻方之一，它是一种非常有趣且充满挑战性的问题，吸引了许多数学家和爱好者的研究。
在三阶幻方中，矩阵由3行3列的方格组成，每个方格填入1到9之间的不重复数字。
对于一个三阶幻方，要求每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
下面是一个例子，展示了一个三阶幻方的布局：2 9 47 5 36 1 8该幻方的每行、每列以及对角线上的数字之和都是15。
如何构造三阶幻方？构造一个符合条件的三阶幻方是一个具有一定难度的问题。
目前，已经有多种方法被开发出来用于构造三阶幻方。
阶梯法阶梯法是一种基于填充数字的规律来构造三阶幻方的方法。
这种方法是通过按照一定的规则，依次填充数字到矩阵的不同位置上来实现的。
具体步骤如下： 1. 矩阵的中间行第一列为1； 2. 从2开始依次填充数字，如果当前的位置已经被填充，则向下一行移动，并将数字填充到下一行的同一列。
如果下一行超出边界，则返回到当前行第一列的下一行； 3. 如果当前位置为空，则将数字填充到此位置。
以下是根据阶梯法构造的一个三阶幻方的示例：8 1 63 5 74 9 2奇偶交换法奇偶交换法是另一种常用的构造三阶幻方的方法。
这种方法是通过将两个已知的三阶幻方进行特定的交换来构造新的三阶幻方。
具体步骤如下： 1. 构造两个已知的三阶幻方，可以使用任何已知的三阶幻方；2. 将两个已知的幻方中的某些数字进行交换，并保持每行、每列以及对角线上的数字之和不变。
以下是一个使用奇偶交换法构造的三阶幻方的示例：已知幻方A：2 9 47 5 36 1 8已知幻方B：4 9 23 5 78 1 6通过交换A和B的2和4，以及6和8，得到以下新的三阶幻方：4 9 27 5 36 1 8总结三阶幻方是一种非常有趣且具有挑战性的问题。
三阶幻方的公式的推导过程
三阶幻方的公式的推导过程嘿，说起三阶幻方，那可是个挺有趣的数学玩意儿。
咱先瞅瞅啥是三阶幻方。
简单说，就是一个 3×3 的方格，里面填上数字，让每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等。
那这神奇的相等的和是咋来的呢？咱们来一步步推导推导。
假设这个三阶幻方里的数字分别是a11、a12、a13、a21、a22、a23、a31、a32、a33 。
因为每行的和都相等，咱就设这个相等的和是 S 。
所以就有：a11 + a12 + a13 = S （1）a21 + a22 + a23 = S （2）a31 + a32 + a33 = S （3）同样，每列的和也相等，那就是：a11 + a21 + a31 = S （4）a12 + a22 + a32 = S （5）a13 + a23 + a33 = S （6）还有两条对角线：a11 + a22 + a33 = S （7）a13 + a22 + a31 = S （8）把这 8 个式子加起来，就是：3(a11 + a12 + a13 + a21 + a22 + a23 + a31 + a32 + a33) = 8S可一个三阶幻方里所有数字的和是：a11 + a12 + a13 + a21 + a22 + a23 + a31 + a32 + a33 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45所以 3×45 = 8S ，那 S 就等于 15 。
知道了和是 15 ，咱们再看看中间那个数。
就说我有一次教学生三阶幻方的时候，有个特别机灵的小家伙就问我：“老师，这中间的数是不是有啥特别的呀？”嘿，还真被他问着了！咱们把前面那 8 个式子两两相减，就能发现中间那个数 a22 出现的次数特别多。
比如说（1） - （4），就能得到 a12 - a21 + a13 - a31 = 0 ，也就是 a12 + a13 = a21 + a31 。
二年级奥数-第二学期-005三阶幻方(二)
二年级创新思维春季班讲义：第五讲 三阶幻方（二）姓名：【例1】在下图的33⨯的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟悉的三阶幻方。
现在另有一个33⨯的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使其中最大者为20，最小者大于5，且每一横行，每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。
4923578162013141618191217图1 图2【例2】在33⨯的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图，请你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36。
56B C D EFG56图3图4【例3】 将1～9这九个数字分别填入图中所示的空格中，使得前两行所构成的两个三位数之和等于第三行的三个数，并且相邻（上下或左右）的两个数奇偶性不同。
【例4】写出一个三阶幻方，使其幻和为24。
【例5】从1～13这13个数中挑出12个数，填入图中的方格中，使每一横行，四数之和相等，每一竖列三个数之和相等。
练习1．下图是一个三阶幻方。
求“？”是多少？2．从1~13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一数列的3个数的和也相等。
这时所选的12个数是哪12个数？，每一行的和是多少？每一列的和是多少？3．填好第2题的图。
4．在下图中，每个方格填一个数，使得每行、每列、每条对角线上的4个数都是1、3、5、7。
带“☆”号的两个方格中的数的和是多少？5．将八个不同的数填入下图的空格中，使8个数的总和等于36。
如果总和为37、38、39，你还能填吗？6．在3×3的正方形中，每个方格填一个自然数，使得每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，并且其中有一个数是10。
三阶幻方公式
三阶幻方公式三阶幻方是一种数学游戏，它包含一个3x3的矩阵，每行、每列和对角线上的数字和都是15，而各格中的数字则由1到9不等。
它的解法是在空格中填入1到9的数字，使每行、每列和对角线上的数字和都是15。
三阶幻方的解法一般有两种：一种是推理法，即根据每行、每列和对角线上的数字和等于15，来推断哪些数字可以填入，从而找出解法；另一种是公式法，即利用三阶幻方的公式，来计算出空格中应填入的数字。
三阶幻方的公式为：a +b +c = 15d +e +f = 15g + h + i = 15a + d + g = 15b + e + h = 15c + f + i = 15a + e + i = 15g + e + c = 15其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表三阶幻方矩阵中的九个数字。
利用上述公式，可以找出三阶幻方的解法。
例如，假设已知a=3，b=2，c=1，d=9，e=7，f=8，g=4，则可以算出h=5，i=6。
这样就可以确定三阶幻方矩阵中的九个数字，而且每行、每列和对角线上的数字和都是15。
三阶幻方公式是由英国数学家哈里·韦恩斯所发明的，它可以用来解决三阶幻方的谜题，而且相比推理法，它更加方便快捷。
它的出现，不仅节省了解决三阶幻方的时间，而且也更有趣，让更多人喜欢上了这种数学游戏。
三阶幻方不仅是一种普通的数学游戏，它还可以用来培养孩子的数学思维能力。
它的解法可以从几个方面来考虑，如数学逻辑、排列组合和推理等，这些都可以帮助孩子提高解题能力，同时也可以培养孩子的独立思考能力。
总之，三阶幻方公式是一种优秀的算法，它不仅可以解决三阶幻方的谜题，还可以培养孩子的数学思维能力。
它的简单易用，使更多的人喜欢上了这种数学游戏。
三阶幻方原理
三阶幻方原理幻方，是一种特殊的方阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
三阶幻方，即由3个行、3个列和两个对角线组成的方阵。
在这篇文章中，我将探讨三阶幻方的原理及其特点。
三阶幻方是最简单的幻方类型，也是最早被人们研究的。
它由3个行、3个列和两个对角线组成，共有9个格子。
每个格子都填充一个不同的数字，从1到9，使得每行、每列和两个对角线上的数字之和都相等。
在构建三阶幻方时，有一些基本原则需要遵循。
首先，中间格子必须填充数字5，这是因为5是9个数字的中间值，同时也是每行、每列和对角线之和的目标值。
其次，角落格子的数字应该是连续的，即1和9、3和7应该成对出现。
最后，边缘格子的数字应该是交替的，即2、4、6和8。
在满足这些基本原则的前提下，我们可以通过不同的排列方式构建不同的三阶幻方。
根据排列的不同，三阶幻方可以分为多种类型。
其中，最基本的类型是顺时针和逆时针旋转的幻方，它们的构建方式相似，只是数字的排列顺序不同。
顺时针旋转的幻方的构建方式如下：1 9 72 5 63 4 8逆时针旋转的幻方的构建方式如下：3 7 92 5 61 8 4除了旋转幻方外，还有其他类型的三阶幻方。
例如，水平翻转幻方的构建方式如下：7 9 16 5 28 4 3垂直翻转幻方的构建方式如下：3 4 82 5 61 9 7对角线翻转幻方的构建方式如下：9 7 14 5 63 2 8除了这些基本的幻方类型外，还可以通过改变数字的排列顺序或者使用其他数学方法来构建新的幻方。
例如，可以使用数学公式或者算法来生成幻方。
然而，在本文中，我们不会涉及这些复杂的构建方法。
三阶幻方的原理并不难理解，但是构建一个满足条件的幻方并不容易。
事实上，三阶幻方的总数只有8种，其中4种是旋转幻方，另外4种是翻转幻方。
这是因为，对于一个满足条件的幻方，通过旋转或翻转可以得到其他的幻方。
因此，三阶幻方的种类是有限的。
三阶幻方在数学和游戏中都有广泛的应用。
三阶幻方的特征
三阶幻方的特征嘿，朋友们！今天咱来唠唠三阶幻方的那些事儿。
你看啊，这三阶幻方就像是一个神秘又有趣的小世界。
咱先说说它的特征哈。
想象一下，三阶幻方就好像是一个特别有秩序的小团体。
每个数字都有它自己的位置，不能乱来。
就好比咱一群人去参加活动，都得按安排好的座位坐，不能瞎坐。
有一次我和几个朋友一起研究三阶幻方呢。
我就说：“你们看，这每行、每列还有对角线上的数字加起来都得是一个固定的值，多神奇啊！”朋友A 就挠挠头说：“哎呀，还真是，这也太有意思了。
”朋友B 接着说：“可不是嘛，就像我们玩游戏有规则一样，这个三阶幻方也有它自己的规则呢。
”然后我们就开始试着自己填三阶幻方。
我一边填一边念叨：“哎呀，这个数字得放这儿，那个数字得放那儿。
”朋友A 就笑我：“你这跟个老学究似的。
”我白了他一眼说：“哼，我这是认真！”在填的过程中，我们发现要让这些数字乖乖听话还真不容易。
有时候一个数字放错了，全盘都得重新来。
就像我们走路一样，一步错了，可能就得绕好大一个弯才能回到正轨。
三阶幻方里的数字啊，它们之间好像有一种奇妙的联系。
每行每列都相互关联着，一个动了，其他的也得跟着变。
这就跟咱人与人之间的关系似的，一个人有点啥事儿，周围的人可能都得受影响。
经过一番折腾，我们终于填出了一个完美的三阶幻方。
那感觉，就像攻克了一个大难题，特别有成就感。
总之呢，三阶幻方就是这么个有趣又有点神秘的东西。
它有自己独特的规则和特征，让我们在探索的过程中充满了乐趣和惊喜。
朋友们，你们也快来试试吧，感受一下这个神奇小世界的魅力！。
三阶幻方中的规律
三阶幻方中的规律
嘿，朋友们！今天咱来聊聊三阶幻方里那神奇的规律呀！
你说这三阶幻方，就像是一个神秘的小世界，充满了各种奇妙之处呢！它就好比是一个精心设计的拼图，每一块都有它特定的位置和作用。
你看啊，那横竖斜的数字加起来，嘿，都一个样！这多有意思呀！就好像是有一双神奇的手在安排着一切，让它们乖乖地遵循着这个规则。
这要是在生活中，那不就像是我们每个人都有自己的角色和任务，大家相互配合，才能让整个生活变得和谐有序嘛！
想象一下，我们在一个大舞台上，每个人就像是三阶幻方里的一个数字，只有在自己的位置上发挥作用，和其他“数字”们默契配合，才能演出一场精彩的大戏呀！
三阶幻方里的规律还特别稳定呢！不管你怎么摆弄那些数字，它的那个特性就是不变。
这多像我们生活中的一些原则呀，不管遇到什么情况，有些底线就是不能破。
而且哦，三阶幻方还能给我们带来很多启发呢！比如说，它让我们明白平衡的重要性。
就像我们的生活，工作、家庭、休闲，都得有个合适的比例，不能一头重一头轻，不然可就要出问题啦。
再看看那数字之间的关系，有的相互呼应，有的相互制约。
这不就跟我们人与人之间一样嘛，大家相互影响，又相互需要。
你说神奇不神奇？一个小小的三阶幻方，居然蕴含着这么多的道理。
我们是不是应该好好研究研究它，从中学到更多的智慧呢？
总之啊，三阶幻方可真是个宝贝呀！它就像是一个隐藏在数字世界里的秘密花园，等着我们去探索，去发现它的美和奇妙。
让我们一起走进这个神奇的世界，感受它的魅力吧！。
三阶幻方的公式
三阶幻方的公式三阶幻方，又称“独一无二”，是人类最强大的数学游戏之一。
它被认为是世界上第一个数学游戏，因为它蕴含着各种解题技巧和深奥的数学原理。
三阶幻方的原理在欧洲最早由泰勒斯在1600年代提出，但他的原理不完整，所以无法用来解决此问题。
直到19世纪，在各个国家的探索和研究下，终于有了完整的解题公式。
三阶幻方的公式是其基本原理，也是整个游戏中最重要的部分。
三阶幻方用其特有的解题方法来求解，它是一种制定一定原则，通过利用计数、算法、图论等数学原理来求解问题的方法。
其关键在于要求填入每一个“盒子”中的数字符合一定的原则。
首先，每个盒子中应填入1至9的数字，每一行、每一列和每一个斜角方向的数字总和都必须相等，并且每个盒子中填入的数字都不能重复。
止匕外，还必须符合排布顺序的要求，即必须在上一个盒子中填入的数字按照设定的规则排列，以确保每一行、每一列和每一个斜角方向的数字总和相等。
有了公式,三阶幻方的游戏就变得容易多了，因为可以根据公式,快速算出每个盒子填入的数字，从而完成游戏。
公式可以分成几种方法，最典型的是“分解法”。
该法要求将一个三阶的幻方分解为三个二阶的幻方，然后分别求出每一个二阶的幻方的解。
止匕外，还有“重组法”、“树形法”、“枚举法”等，它们分别从不同的角度来研究三阶幻方，都有其独特的优势。
不同的方法会有不同的步骤，但它们的最终目的都是一致的：给定一系列数字，需要按照一定的规则来填入每个盒子，以得出图形最终结果。
数学家们的研究伴随着三阶幻方的公式的不断发展，使我们对其解题原理有了更深刻的理解。
从古代中国到当今的西方社会，三阶幻方都被人们所推崇，三阶幻方的公式成为研究者共同推展的一部分，也是我们认识数学原理的重要途径。
三阶幻方被称为“独一无二”，其本质就是要求结果独一无二，因此一定要认真按照一定的原则来完成每一个步骤，以确保游戏结果是唯一的。
三阶幻方的公式和原理，既可以用来解决数学问题，也可以用来训练人们的逻辑、思维能力。
三阶幻方中的规律及证明
三阶幻方中的规律及证明三阶幻方是一个3×3的正方形网格，其中填入了1到9的数字，使得每行、每列和每条对角线上的数字之和都相等。
下面我们将探讨三阶幻方的规律及证明。
首先，我们可以观察到三阶幻方的特点是，中心数字始终为5，而其他数字则根据位置的不同而有所变化。
因此，我们可以将幻方表示为：```abcd5efgh```其中a、b、c、d、e、f、g、h分别代表1到9之间的数字，不重不漏。
根据幻方的定义，我们可以列出一系列等式：1.a+b+c=15(第一行之和)2.d+5+e=15(第二行之和)3.f+g+h=15(第三行之和)4.a+d+f=15(第一列之和)5.b+5+g=15(第二列之和)6.c+e+h=15(第三列之和)7.a+5+h=15(正对角线之和)8.c+5+f=15(反对角线之和)现在我们来推导幻方的规律。
首先，我们可以将式(2)、(4)、(7)和(8)分别改写为：2.d+e=104.a+f=107.a+h=108.c+f=10由于a、d、f、h是1到9之间的数字，且不重不漏，我们可以得出以下结论：1.a+d+f+h的值必须为固定的常数，即15-10=52.c+e的值也必须为固定的常数，即10。
因此，我们可以得出以下结论：1.第一行、第一列、两条对角线的和都必须为15、即a+b+c=d+5+e=f+g+h=a+d+f=b+5+h=c+e+g=a+5+h=c+5+f=152.第二行、第二列的和都必须为10。
即d+5+e=b+5+g=10。
基于以上推论，我们可以根据“顺序原则”来构建三阶幻方。
顺序原则即我们将数字按照顺序依次填入幻方中，从1开始到9结束。
根据顺序原则，我们可以完成以下构造过程：```276951438```其中，每行、每列和每条对角线的和都为15，满足幻方的定义。
接下来，我们来证明三阶幻方的唯一性。
假设存在两个不同的三阶幻方，我们将它们表示为：```abcxyzd5e和m5nfghopq```根据幻方的定义，我们可以列出以下等式：1.a+b+c=x+y+z2.d+5+e=m+5+n3.f+g+h=o+p+q4.a+d+f=x+m+o5.b+5+g=y+5+p6.c+e+h=z+n+q7.a+5+h=x+5+q8.c+5+f=z+5+o将等式1~6代入等式7和等式8中，我们可以得到以下等式：9.x+m+o=x+5+q10.z+n+q=z+5+o由于等式9和等式10的左侧相等，右侧也必须相等。
-三阶幻方的规律和求法
三阶幻方的规律和求法
嘿，今天咱来聊聊三阶幻方的规律和求法哈。
你知道不，有一次我和几个朋友玩游戏，就用到了三阶幻方呢。
那是在一个周末，我们聚在一起，想着找点好玩的。
突然有人提议玩个数字游戏，然后就拿出纸和笔来。
我们就开始画起了三阶幻方，哎呀呀，一开始那可真是有点摸不着头脑呀。
我们就在那琢磨，这每行、每列还有对角线上的数字加起来得一样才行呢。
然后就开始各种试，一会儿这个数字放这儿，一会儿那个数字放那儿，弄得我们手忙脚乱的。
我就盯着那几个空格，脑袋里不停地转呀转，想着怎么能让它们平衡起来。
慢慢地，我们好像找到了点门道。
比如说，先确定中间那个数字很重要呢，然后再根据其他数字来调整。
我们就像侦探一样，一点点地去探索这个三阶幻方的秘密。
经过一番折腾，哇塞，终于让我们给弄出来啦！那一刻，我们可高兴了，就像解开了一个大难题一样。
你看，这就是三阶幻方，虽然一开始觉得挺难搞的，但只要我们用心去研究，还是能发现它的规律和找到求法的嘛。
以后再遇到三阶幻方，咱可就不怕啦，哈哈！
所以呀，不管啥东西，只要咱有耐心，多去尝试，就都能搞明白滴！这就是我对三阶幻方的体会啦。
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第五讲、三阶幻方
幻方起源于中国 . 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，
如右图 . 人们称之为洛书 .
如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.
4 9 2
3 5 7
8 1 6
观察，你发现了什么？
观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是
15.像这样，将九个不同的自然数填在 3× 3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方 . 三阶幻方是一种特殊的数阵图 .
上面的三阶幻方中， 15 是这个幻方的和，简称幻和 . 5 是幻方最中心的数字，简称中心数 .
三阶幻方的规律：
（1）幻和 = 九个数之和÷ 3；
（2）中间数 =幻和÷ 3
（3）四个角上的数字 2= （ 3+1）÷ 2,8= （9+7）÷ 2
二、例题讲解
例题 1 在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
7
38
巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和
都等于 21。
46
3
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1914
10
18
巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。
例题 3 在下图的每个空格中填入小于12 且互不相同的九个自然数，使得每行、每列
及每条对角线上的三个数之和都等于21。
8
巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角线上的三个数之和都等于27。
12
例题 4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
介绍杨辉法：介绍公式法：口诀：九子斜列，上下对易，左右相更，四维挺出。
想一想还有没有其他填法：
第一种：第三种：第五种：第七种：816492672276 357357159951 492816834438第二种：第四种：第六种：第八种：618294834438 753753159951 294618672276
巩固练习：用 3-11 构造一个三阶幻方
课堂练习
2、使下图每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等，且等于45。
19
20
16
3用 1～9 这 9 个数字补全图中的幻方，并求出幻和。
5
26
4 在下图的空格里填入不大于1
5 且不相同的自然数，使每一行、每一列和每一条对角线上的三个数的和都等于30。
9
5请编写下列三阶幻方。
①用 6，8，10，12， 14，16，18， 20，22 这九个数构成一个三阶幻方。
②把 2，6，10，14， 18，22，26， 30，34 这九个数构成一个三阶幻方。
③把 3，5，7，9，11，13， 15，17，19 这九个数构成一个三阶幻方。