2014年中考数学复习方案课件第6单元圆
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2014中考数学复习课件23与圆有关的计算-第一轮复习第六单元圆
例 12(2013· 乐山)如图， 小方格都是边长为 1 的正方 形， 则以格点为圆心， 半径为 1 和 2 的两种弧围成的“叶 状”阴影图案的面积为 2π－4 .
解析：如图，连接 AB，根据轴对称与旋转对称的 性质，从图中可知，S
2
阴影
＝ 2(S
扇形
AOB － S△AOB) ＝
90π×2 1 2×( － ×2×2)＝2π－4. 360 2
例 8．(2013· 德州)如图，扇形 AOB 的半径为 1， ∠AOB＝90° ，以 AB 为直径画半圆，则图中的阴影部 分的面积为( C )
1 A. π 4
1 B．π－ 2
1 C. 2
1 1 D. π＋ 4 2
解析：因为扇形 AOB 的半径为 1，∠AOB＝90° ， 1 所以 AB＝ 2，△AOB 的面积为 ，扇形 AOB 的面积为 2 90×π×1 π π 1 ＝ ， 所以弓形的面积为 － .又因为半圆的面 360 4 4 2 1 22 π π π 1 积为 π×( ) ＝ ，所以阴影部分的面积为 － ( － ) 2 2 4 4 4 2 1 ＝ .故选 C. 2
例 5 如图， 在 Rt△ ABC 中， ∠C＝90° ， ∠A＝30° ， AB＝2.将△ ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转至△ AB′C′ 的位置，B，A，C′三点共线，则线段 BC 扫过的区域 5 面积为 π . 12
3 解析：在 Rt△ABC 中，AC＝AB· cos 30° ＝2× ＝ 2 3.∠BAB′ ＝ ∠CAC′ ＝ 150° . 把 △AB′C′ 按逆时针旋转 到△ABC 的位置， 则阴影部分恰好为一个完整的扇环， 150π× 22 150π× 32 所以 S 阴影＝S 扇形 BAB′－S 扇形 CAC′＝ － ＝ 360 360 5 π. 12
2014中考数学复习课件6一元二次方程及应用-第一轮复习第二单元方程(组)和不等式(组)
4．已知 x1，x2 是一元二次方程 x2＋2ax＋b＝0 的 两根， 且 x1＋x2＝3， x1x2＝1， 则 a， b 的值分别是( A．a＝－3，b＝1 3 C．a＝－ ，b＝－1 2 B．a＝3，b＝1 3 D．a＝－ ，b＝1 2 D )
解析： 由根与系数的关系，得 x1 ＋ x2 ＝－ 2a ， 3 x1x2＝b，∴a＝－ ，b＝1.故选 D. 2
第6 讲
一元二次方程及其应用
·新课标
第6 讲
一元二次方程及其应用
│考点随堂练│
考点1 一元二次方程的概念及一般形式
一 1.定义:含有________ 个未知数，并且未知数最高次数是 ________ 的整式方程 2
2 ax ＋bx＋c＝0(a≠0) 2.一般形式:
在一元二次方程的一般形式中要注意强调a≠0 另外： a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.
应用类型 增长率 问题 利率 问题 销售利 润问题 等量关系 (1)增长率＝增量÷ 基础量； (2)设 a 为原来的量，m 为平均增长率，n 为增长次数， b 为增长后的量，则____________ a(1＋m)n＝b ，当 m 为平均下降率 时为____________ a(1－m)n＝b (1)本息和＝本金＋利息； (2)利息＝____________________ 本金×利率×期数 (1)毛利润＝售出价－进货价； (2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用； (3)利润率＝利润÷ 进货价
热身考点4
一元二次方程根与系数的关系
已知一元二次方程 x2－6x－5＝0 的两根分别为 a， 1 1 6 b，则 ＋ 的值是－ a b 5 .
解析：由根与系数的关系，得 a＋b＝6，ab＝－5. 1 1 a＋b 6 6 所以 ＋ ＝ ＝ ＝－ . a b ab －5 5
中考数学复习讲义课件 中考考点全攻略 第六单元 圆 小专题5 辅助圆问题
2．圆内接四边形对角互补，因此遇到四边形 ABCD中的动点问题，若满足其中一组对角角度之 和等于180°，可考虑作它的外接圆解题．如图3， 在四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°， 可知四边形ABCD有外接圆⊙O，其圆心O为任意 一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直 平分线的交点)．
【经典母题】 如图，△ABC为等边三角形，AB＝2.若P为△ABC内 一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度 的最小值为_______.
[解析] ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2. ∵∠PAB＝∠ACP， ∴∠PAC＋∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，
[思维方法] 根据线段BA与线段BQ关于线段BP所 在的直线对称可知，点Q在以点B为圆心，AB长为 半径的圆上运动，即点Q的运动轨迹是一段圆弧， 然后画出草图，再矩形的性质求出∠ABQ＝120°， 再由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC， 最后根据S阴影部分＝S四边形ABQD－S扇形ABQ ＝S四边形ABOD＋S△BOQ－S扇形ABQ可求出答 案．
小专题5辅助圆问题
类型一 定点定长作圆 方法解
读 平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定， 则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上 (如图1)．依据的是圆的定义：圆是所有到定点的 距离等于定长的点的集合．
推广：如图2，点E为定点，点F为线段BD上的动 点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点 B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的 一段圆弧．若遇到求最值问题，可利用两点间线段 最短或垂线段最短解决。
12．如图，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内 接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD， BC上，若AE＝3，求EF的长．
中考数学复习方案：第六单元圆精品PPT课件
直线：①经过圆心，②垂直于弦，③平分劣弧， ④平分优弧，⑤平分弦(弦不是直径)，只要其中的
两个条件成立，就可以得出其余的三个结论
第25讲┃ 圆的有关性质
5．如图25－4，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则 ∠BOC等于__4_0_°____．
图25－4
第25讲┃ 圆的有关性质
6．如图25－5，⊙O的半径OA＝10 cm，设AB＝16 cm， P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为___6_____cm.
图25－5
第25讲┃ 圆的有关性质
7．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图25－6所示，已知 AB＝16 m，半径OA＝10 m，则中间柱CD的高度为__4______m.
图25－6 第25讲┃ 圆的有关性质
8．如图 25－7，半径为 5 的⊙P 与 y 轴交于点 M(0，－4)，N(0，－10)，函数 y＝kx(x＜0)的图象过 点 P，则 k＝__2_8_____．
圆的两条__半__径___所夹的角，叫做圆心角 能够完全__重__合__的圆叫等圆
第25讲┃ 圆的有关性质
1.下列语句中，不正确的个数是( C )
①弦是直径；②半圆是弧；③长度相等的弧是等弧；
④经过圆内一定点可以作无数条直径．
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 弧包括半圆、优弧和劣弧，等弧是能够重合的弧， 而经过圆内一点只能作一条直径或无数条直径(圆内的一点正好是 圆心)．
第25讲 圆的有关性质 第225讲 圆的有关性质
第25讲┃ 圆的有关性质
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 圆的有关概念
弦
弧
圆心角 等圆
连接圆上任意两点的__线__段_____叫做弦 圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称
两个条件成立，就可以得出其余的三个结论
第25讲┃ 圆的有关性质
5．如图25－4，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则 ∠BOC等于__4_0_°____．
图25－4
第25讲┃ 圆的有关性质
6．如图25－5，⊙O的半径OA＝10 cm，设AB＝16 cm， P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为___6_____cm.
图25－5
第25讲┃ 圆的有关性质
7．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图25－6所示，已知 AB＝16 m，半径OA＝10 m，则中间柱CD的高度为__4______m.
图25－6 第25讲┃ 圆的有关性质
8．如图 25－7，半径为 5 的⊙P 与 y 轴交于点 M(0，－4)，N(0，－10)，函数 y＝kx(x＜0)的图象过 点 P，则 k＝__2_8_____．
圆的两条__半__径___所夹的角，叫做圆心角 能够完全__重__合__的圆叫等圆
第25讲┃ 圆的有关性质
1.下列语句中，不正确的个数是( C )
①弦是直径；②半圆是弧；③长度相等的弧是等弧；
④经过圆内一定点可以作无数条直径．
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 弧包括半圆、优弧和劣弧，等弧是能够重合的弧， 而经过圆内一点只能作一条直径或无数条直径(圆内的一点正好是 圆心)．
第25讲 圆的有关性质 第225讲 圆的有关性质
第25讲┃ 圆的有关性质
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 圆的有关概念
弦
弧
圆心角 等圆
连接圆上任意两点的__线__段_____叫做弦 圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称
中考数学复习方案第六单元圆第33课时与圆有关的计算
∴△ FOE 和△ AEF 的面积相等,
∴图中阴影部分的面积为 S△ ADE-S 扇形 FOE=
故答案为
3 3
2
3 3
2
2
− π.
3
第二十四页，共四十页。
−
60·π×22 3 3
360
=
2
2
− π.
3
基
础
知
识
巩
固
2.[2019·福建15题]如图33-9,边长为2的正方形
[答案(dáàn)] π-1
∴∠EOF=∠EOB=∠AOF=60°,
第二十三页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
∴OE∥AD,∠DAC=60°,
∴∠ADC=90°,∵CE=AE=2 3,
∴DE= 3,
∴AD=DE×tan60°= 3 × 3=3,
高
频
考
向
探
究
1
1
3 3
2
2
2
∴S△ ADE= AD×DE= ×3× 3=
,
∵△ FOE 和△ AEF 同底等高,
图33-2
第十二页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
| 考向精练
( jīngliàn) |
1.[2019·
厦门质检]如图 33-3,在矩形 ABCD 中,AB>BC,以点 B 为圆心,AB 的长为半
径的弧分别交 CD 边于点 M,交 BC 边的延长线于点 E.若 DM=CE,的长为 2π,
则 CE 的长为 4-2 .
顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的图形称
∴图中阴影部分的面积为 S△ ADE-S 扇形 FOE=
故答案为
3 3
2
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− π.
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第二十四页，共四十页。
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60·π×22 3 3
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− π.
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知
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2.[2019·福建15题]如图33-9,边长为2的正方形
[答案(dáàn)] π-1
∴∠EOF=∠EOB=∠AOF=60°,
第二十三页，共四十页。
基
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知
识
巩
固
∴OE∥AD,∠DAC=60°,
∴∠ADC=90°,∵CE=AE=2 3,
∴DE= 3,
∴AD=DE×tan60°= 3 × 3=3,
高
频
考
向
探
究
1
1
3 3
2
2
2
∴S△ ADE= AD×DE= ×3× 3=
,
∵△ FOE 和△ AEF 同底等高,
图33-2
第十二页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
| 考向精练
( jīngliàn) |
1.[2019·
厦门质检]如图 33-3,在矩形 ABCD 中,AB>BC,以点 B 为圆心,AB 的长为半
径的弧分别交 CD 边于点 M,交 BC 边的延长线于点 E.若 DM=CE,的长为 2π,
则 CE 的长为 4-2 .
顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的图形称
中考数学总复习第六章圆课件
方法帮 命题角度 2 圆内接四边形的性质
例2
[ 2 0 1 8 山东济宁] 如图, 点 B , C , D 在☉O 上, 若∠B C D = 1 3 0 °, 则∠B O D 的度数是( D )
A.50°
B.60°
C.80°
D.100°
思路分析 首先在优弧BD上取一点A,连接AB,AD,构造圆内接四边形,然后根据圆的内接四边形的性质,即可求出 ∠BAD的度数,最后根据圆周角定理,即可求得答案.
考点帮
垂径定理及其推论(2011年新课标选学内容)
考点1 考点2 考点3 考点4
1 . 垂径定理: 垂直于弦的直径①平分 弦, 并且② 平分 弦所对的两条弧. 2 . 垂径定理的推论: 平分弦( 非直径) 的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧. 3 . 延伸: ( 1 ) 弦的垂直平分线经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧. ( 2 ) 平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的另一条弧.
直径 .
易失分点
运用圆周角定理及其推论解题时的易错点
在应用圆周角定理及其推论时,一定要注意“在同圆或等圆中”这一条件,同时要特别注意一
条弦对着两条弧,这两条弧所对的圆周角互补;一条弧只对着一个圆心角,但对着无数个圆周
角.
方法指导 有关直径的问题,常通过构造直径所对的圆周角来进行证明或计算.
考点帮 圆内接四边形的概念和性质
例1
提分技法
利用 圆周角 定理及 其推论 解题时 的思路 1.在利 用圆周 角定理 解答具 体问题 时,找准 同弧所 对的圆 周角及 圆心角 ,并结 合圆周 角定理 进行相 关计 算是关 键.与圆 周角有 关的常 用辅助 线有 :① 过圆 上某点 作直径, 连接 过直径 端点的 弦;② 弦垂 直平 分半径 时可构 造直角 三角形 ;③ 构造 同弧所 对的圆 周角. 2.在利 用圆周 角定理 的推论 解答具 体问题 时,要找 准直径 及等弦 或同弦 所对应 的圆周 角, 一般 会结 合圆 周角定 理进行 相关计 算或证 明.
沪科版2014年中考数学复习方案课件第6单元圆
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第23课时┃ 圆的有关性质
垂径定理及其推论是证明两线段相等、两条弧相等及两 直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常 常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
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第23课时┃ 圆的有关性质
变式题 [2013· 潍坊] 如图 23－2，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且 BP∶AP＝1∶5，则 CD 的 长为( D )
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第23课时┃ 圆的有关性质
考点3
圆的基 垂径 定理
垂径定理及其推论
中心 对称图形， 圆既是一个轴对称图形又是一个________ 圆还具有旋转
本性质 不变性.
平分弦 ，并且平分弦所对的两条弧. 垂直于弦的直径________
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦， 并且平分弦所对的另
图 23－8
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第23课时┃ 圆的有关性质
解 析
因为四边形 ABCD 是圆内接四边形，E 是 BC 延
长线上一点，所以∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的外角，所 以∠DCE＝∠BAD＝105°.
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第23课时┃ 圆的有关性质
3．如图 23－9，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 E，已知 CD＝12，BE＝2，则⊙O 的直径为________ ． 20
第23课时┃ 圆的有关性质
垂径定理及其推论是证明两线段相等、两条弧相等及两 直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常 常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
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第23课时┃ 圆的有关性质
变式题 [2013· 潍坊] 如图 23－2，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且 BP∶AP＝1∶5，则 CD 的 长为( D )
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第23课时┃ 圆的有关性质
考点3
圆的基 垂径 定理
垂径定理及其推论
中心 对称图形， 圆既是一个轴对称图形又是一个________ 圆还具有旋转
本性质 不变性.
平分弦 ，并且平分弦所对的两条弧. 垂直于弦的直径________
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦， 并且平分弦所对的另
图 23－8
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第23课时┃ 圆的有关性质
解 析
因为四边形 ABCD 是圆内接四边形，E 是 BC 延
长线上一点，所以∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的外角，所 以∠DCE＝∠BAD＝105°.
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第23课时┃ 圆的有关性质
3．如图 23－9，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 E，已知 CD＝12，BE＝2，则⊙O 的直径为________ ． 20
中考数学复习第六章圆第一节课件
在Rt△ACF中，
∵AF2＝AC2＋CF2，∴(5＋EF)2＝42＋(2＋2EF)2， 整理得3EF2－2EF－5＝0， 解得EF＝－1(舍去)或EF＝ ，∴EF＝ .
5
5
3
3
考点二 圆心角、弧、弦和弦心距之间的关系
例2(2018·四川雅安中考)如图，AB，CE是圆O的直径，且AB＝4，
是AB上一动点，下列结论：①∠CED
点C为 的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为(
)
AB
D
易错易混点一 对圆周角、弧、弦等概念理解不深刻 例1 已知圆O的半径为1，弦BC的长是 ，点A是圆O上异于 B，C的一点，则∠BAC的度数为 .
3
易错易混点 忽略弦的位置可变性
例2 已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝10 cm，CD＝ 24 cm，求AB与CD之间的距离．
(3)作辅助线法 遇到弦时：①过圆心作弦的垂线，再连结过弦的端点的半 径，构造直角三角形； ②连结圆心和弦的两个端点，构造等腰三角形，或连结圆 周上一点和弦的两个端点．
3．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC
折叠， 恰好经过点O，则 与 的关系是(
)
AC
BC
AC
A
4．(2018·湖南株洲中考)如图，正五边形ABCDE和正三角 形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_____°.
AB AD . AE AB
(3)解：∵AD＝AC＝4，BD＝BC＝2，∠ADB＝90°，
∵四边形ACBD内接于⊙O，∴∠FBD＝∠FAC， 即∠FBE＋∠DBE＝∠BAE＋∠BAC. 又∵∠DBE＋∠ABD＝∠BAE＋∠ABD＝90°， ∴∠DBE＝∠BAE，∴∠FBE＝∠BAC. 又∠BAC＝∠BAD，∴∠FBE＝∠BAD， ∴△FBE∽△FAB，
2014年中考数学总复习课件_第1部分教材知识梳理(第6单元圆)
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中考考点清单
（4）圆心角：顶点在圆心，并且两边都与圆相交 的角叫做圆心角． （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交 的角叫做圆周角．
如图①，在圆 O 中，O A 为半径，A E 为 弦，E F 为直径，������������为劣弧， ������������������为优弧， ∠A O F 叫做������������所对的圆心角， ∠A E F 为圆周 角.
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第六单元
圆
类型二
垂径定理的运用
例2 （’13梧州）如图，AB是⊙O的 直径，AB垂直于弦CD， ∠BOC=70° ，则∠ABD=（ C ）
A. B. C. D.
20° 46° 55° 70°
例2题图
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第六单元
圆
【解析】连接 BC，∵OC=OB，∴∠OBC= ∠OCB=
图①
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第六单元
圆
2．圆的性质 （１）圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意 角度，都能与自身重合．特别地，圆是中心对称 图形，⑤ 圆心 是它的对称中心． （２）圆是⑥ 轴对称 图形，任意一条直径所在 的直线都是它的对称轴．
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第六单元
圆
考点2
垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径⑦ 平分 这条弦 . 温馨提示 ◆垂直于弦的直径⑧ 平分 弦所对的弧； ◆平分弦（不是直径）的直径垂直弦，并 且平分弦所对的弧；3.圆的两条平行弦所夹 的弧⑨相等 .
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第六单元
圆
2．垂径定理的应用类型 （1）如图②，基于圆的对称性，下列五 个结论： ①������������=������������； ②������������=������������； ③AE＝BE； ④AB⊥CD；⑤CD 是直径，只要满足其中的 两个，另外三个结论一定成立．
中考数学总复习第一轮第六单元圆第课圆的证明课件
点 ， 过 点 C 作 ⊙ O 的 切 线 交 AB 的 延 长 线 于 点 D. 若
∠A=32°，则∠D= 26
度．
4.（2020·益阳）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，
过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD=DC，则
∠C=
45
度．
5.（2020·巴中）如图，在矩形ABCD中，以AD为直径
∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC， ∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°， ∴OA⊥PA，∴ PA是⊙O的切线．
（2）若PD= 5 ，求⊙O的直径．
解：在Rt△OAP中，∠P=30°， ∴ PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴ OA=PD，
∠A=32°，则∠D= 26°
．
4.（2020·黄冈）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦， OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交 OP于点C.
（1）求证：∠CBP=∠ADB.
证明：如图，连接OB，
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°， ∴∠A+∠ADB=90°，∵BC为切线， ∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°， ∴∠OBA+∠CBP=90°， 而OA=OB，∴∠A=∠OBA， ∴∠CBP=∠ADB.
半径的直线是圆的切线.
切线的性质 切线垂直于经过切点的半径 .
切线长
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间 的线段长叫做这点到圆的切线长.
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长定理 切线长相等，这一点和圆心的连线平分两
条切线的夹角.
知识点4 三角形与圆
确定圆 不在同一直线的三个点确定一个圆. 的条件
(江西专版)2014中考数学复习课件：第六单元 圆
赣考解读 考点聚焦
析
13.故选D.
赣考探究
第22讲┃圆的基本性质
变式题 [2013· 南昌模拟] 如图22－8，AB是⊙O的直径， CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD，CB，AC， ∠DOB＝60°，EB＝2，那么CD的长为( D )
图22－8
A. 3 C．3 3
B．2 D．4
3 3
赣考解读
赣考解读 考点聚焦 赣考探究
第22讲┃圆的基本性质
【归纳总结】
相等 弦相等 在同圆或等圆中，圆心角相等 弧_____ 相等 ． 弦心距________
赣考解读
考点聚焦
赣考探究
第22讲┃圆的基本性质
考点3 圆周角定理
1．如图22－5，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝140°， 则∠BAC等于( B ) A．60° B．70° C．120° D．140°
赣考解读
考点聚焦
赣考探究
第22讲┃圆的基本性质
考点2 圆的旋转不变性
︵ 1．如图22－3，已知：AB是⊙O的直径，C，D是 BE 上的 三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE等于( C ) A．40° B．60° C．80° D．120°
图22－3
图22－4
︵ ︵ 2．如图22－4，已知⊙O中，AB＝BC，且 AB ∶ AMC ＝ 144° ． 3∶4，则∠AOC＝________
考点聚焦
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第22讲┃圆的基本性质
探究二 圆心角、圆周角的相关计算
例2 [2012·苏州] 如图22－9，已知BD是⊙O的直 ︵ ︵ 径，点A，C在⊙O上， AB ＝ BC ，∠AOB＝60°，则 ∠BDC的度数是( C )
图22－9
析
13.故选D.
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第22讲┃圆的基本性质
变式题 [2013· 南昌模拟] 如图22－8，AB是⊙O的直径， CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD，CB，AC， ∠DOB＝60°，EB＝2，那么CD的长为( D )
图22－8
A. 3 C．3 3
B．2 D．4
3 3
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赣考解读 考点聚焦 赣考探究
第22讲┃圆的基本性质
【归纳总结】
相等 弦相等 在同圆或等圆中，圆心角相等 弧_____ 相等 ． 弦心距________
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第22讲┃圆的基本性质
考点3 圆周角定理
1．如图22－5，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝140°， 则∠BAC等于( B ) A．60° B．70° C．120° D．140°
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第22讲┃圆的基本性质
考点2 圆的旋转不变性
︵ 1．如图22－3，已知：AB是⊙O的直径，C，D是 BE 上的 三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE等于( C ) A．40° B．60° C．80° D．120°
图22－3
图22－4
︵ ︵ 2．如图22－4，已知⊙O中，AB＝BC，且 AB ∶ AMC ＝ 144° ． 3∶4，则∠AOC＝________
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第22讲┃圆的基本性质
探究二 圆心角、圆周角的相关计算
例2 [2012·苏州] 如图22－9，已知BD是⊙O的直 ︵ ︵ 径，点A，C在⊙O上， AB ＝ BC ，∠AOB＝60°，则 ∠BDC的度数是( C )
图22－9
中考数学总复习 第六单元 圆 第24课时 与圆有关的计算数学课件
(2)∵∠D=30°,∠OCD=90°,∴∠BOC=60°,OD=2OC,∴∠AOC=120°,∠A=30°.
设☉O 的半径为 x,则 OB=OC=x,∴x+2=2x,解得 x=2.
过点 O 作 OE⊥AC,垂足为点 E,则 AE=CE,
图24-9
1
在 Rt△ OEA 中,OE= OA=1,AE= 2 - 2 = 22 -12 = 3,∴AC=2 3,
图 24-4
A.68π cm2
B.74π cm2
C.84π cm2
D.100π cm2
第七页，共二十四页。
高频考向探究
针对(zhēnduì)训练
1.(1)[2016·云南 6 题] 如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为 6,16π 的长方形,那么这个圆柱的体积等于
144 或 384π .
(2)圆心角为 60°,半径为 4 cm 的扇形的弧长为
180
= .
图24-5
3
第十页，共二十四页。
高频考向探究
2.[2018·合肥模拟] 如图 24-5,AB 是☉O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 P,若 AB=2,AC= 3.
(3)求弓形 CBD 的面积.
3
3
1
(3)∵OC=OA=1,∠BOC=60°,∴CP=OC·sin60°=1× = ,OP=OC·cos60°= ,
[解析]连接 OA,OB.
AB=4,则图中阴影部分的面积是(
∵四边 ABCD 为正方形,∴∠AOB=90°.
)
设 OA=OB=r,则 r2+r2=42.解得:r=2 2,
S 阴影=S☉O-S 正方形 ABCD=π×(2 2)2-4×4
=8π-16.
2014届中考北师大版复习方案 第6单元 圆
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推论
总结
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中考预测
第26讲┃圆的有关性质
考点6 圆心角、弧、弦之间的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 弧 相等，所对的______ 弦 相等 的______
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑ 两条弧或两条弦中有一组量相等，那 么它们所对应的其余各组量也分别相 等
第28课时
圆的有关性质
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第26讲┃圆的有关性质
考 点 聚 焦
考点1 多边形
圆的 定义
定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做 圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径
定义2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合
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防错提醒
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第26讲┃圆的有关性质
考点4 圆的对称性
中心 对称图形 圆既是一个轴对称图形又是一个________ ，圆还具有旋转不变性．
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关性质
解
析
直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点， 那么半径为斜边的一 半，分两种情况： ①当直角三角形的斜边长为 16 时，这个三角形的外接圆半径 为 8； ②当两条直角边长分别为 16 和 12 时， 则直角三角形的斜边长 ＝ 162＋122＝20， 因此这个三角形的外接圆半径为 10. 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于 8 或 10.
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第26讲┃圆的有关性质
考点6 圆心角、弧、弦之间的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 弧 相等，所对的______ 弦 相等 的______
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑ 两条弧或两条弦中有一组量相等，那 么它们所对应的其余各组量也分别相 等
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第26讲┃圆的有关性质
考 点 聚 焦
考点1 多边形
圆的 定义
定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做 圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径
定义2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合
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第26讲┃圆的有关性质
考点4 圆的对称性
中心 对称图形 圆既是一个轴对称图形又是一个________ ，圆还具有旋转不变性．
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解
析
直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点， 那么半径为斜边的一 半，分两种情况： ①当直角三角形的斜边长为 16 时，这个三角形的外接圆半径 为 8； ②当两条直角边长分别为 16 和 12 时， 则直角三角形的斜边长 ＝ 162＋122＝20， 因此这个三角形的外接圆半径为 10. 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于 8 或 10.
2014中考数学复习方案——圆(2013年中考真题为例)
︵ ︵ ︵ ︵ 2．如图 27－5，已知在⊙O 中，AB＝BC，且AB∶AMC＝3∶4， 则∠AOC＝
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第27课时┃ 圆的有关性质
【归纳总结】 在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧 弦心距 相等 .
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C.6 m
D.8 m
第27课时┃ 圆的有关性质
【归纳总结】 圆是
轴
对称图形，在圆中：①过圆心；② 平分
弦；
③ 垂直 于弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，若 一条直线具备这五项中的任意两项，则必得出另外三项.
相等 ⇔弦相⇔
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第27课时┃ 圆的有关性质
考点3 圆周角定理
1．如图 27－6，点 A，B，C 在⊙O 上， ∠BOC＝140°，则∠BAC 等于( B ) A.60° C.120° B.70° D.140°
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第27课时┃ 圆的有关性质
考点2 圆心角、弧、弦之间的关系
1．如图 27－4，已知：AB 是⊙O 的直径，C，D 是弧 BE 上的 三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE 是( C ) A.40° B.60° C.80° D.120°
第27课时┃ 圆的有关性质
豫 考 探 究
► 热考 圆周角
例 [2012· 深圳] 如图27－8，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A、 点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三 ︵ 象限内OB上一点，∠BMO＝120°， 则⊙C的半径长为( C ) A.6 C.3
中考数学冲刺复习 第六章 圆 第27课 圆课件
第七页，共十一页。
B组
4.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，过O点作OD⊥AC 交于点D，连接BC. (1)求证(qiúzhèng)：OD1＝ BC (2)若∠BAC＝40°2，求∠ABC度数.
（1）证明(zhèngmíng)：∵OD⊥AC，∴DC=DA.
在△ABC中，∵OB=OA. DC=DA，∴OD是△ABC的中位线.
x
第十页，共十一页。
内容(nèiróng)总结
第六章 圆。1.(1)圆是中心对称图形，对称中心是__________。3.如图4, AB是⊙O的直径，点C在圆上， 则∠ACB＝________度.。【变式1】如图，在⊙O中，弦AB的长为。求证(qiúzhèng)：(1)弧DB＝弧AC。解： 连接CD，∵AD是直径，∴∠ACD=90°.。∴△ABE∽△DCE.。解：连接AE，DE，。∵△BCE为等边三角形， ∴∠BEC=60°.
1.如图1，在⊙O中，弦AD平行(píngxíng)于弦BC，若∠AOC＝80°，
则∠DAB＝______4_0_度.
2.如图2, AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝30°，点P在线段OB 上运动．设∠ACP＝x，则x的取值范围是__________. 30°≤x≤90°
3.如图3，AB为⊙O的直径(zhíjìng)，D点在⊙O上，∠BAC＝50°，则 ∠ADC＝____4_0_°__.
∴AE=BF=CD.
第四页，共十一页。
【变式2】如图，在⊙O中，弦AB＝弦CD， 求证(qiúzhèng)：(1)弧DB＝弧AC；
(2)∠BOD＝∠AOC.
证明(zhèngmíng)：（1）∵在⊙O中，弦AB=弦CD，
∴ AB=C.D
∵
，
BC=CB
B组
4.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，过O点作OD⊥AC 交于点D，连接BC. (1)求证(qiúzhèng)：OD1＝ BC (2)若∠BAC＝40°2，求∠ABC度数.
（1）证明(zhèngmíng)：∵OD⊥AC，∴DC=DA.
在△ABC中，∵OB=OA. DC=DA，∴OD是△ABC的中位线.
x
第十页，共十一页。
内容(nèiróng)总结
第六章 圆。1.(1)圆是中心对称图形，对称中心是__________。3.如图4, AB是⊙O的直径，点C在圆上， 则∠ACB＝________度.。【变式1】如图，在⊙O中，弦AB的长为。求证(qiúzhèng)：(1)弧DB＝弧AC。解： 连接CD，∵AD是直径，∴∠ACD=90°.。∴△ABE∽△DCE.。解：连接AE，DE，。∵△BCE为等边三角形， ∴∠BEC=60°.
1.如图1，在⊙O中，弦AD平行(píngxíng)于弦BC，若∠AOC＝80°，
则∠DAB＝______4_0_度.
2.如图2, AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝30°，点P在线段OB 上运动．设∠ACP＝x，则x的取值范围是__________. 30°≤x≤90°
3.如图3，AB为⊙O的直径(zhíjìng)，D点在⊙O上，∠BAC＝50°，则 ∠ADC＝____4_0_°__.
∴AE=BF=CD.
第四页，共十一页。
【变式2】如图，在⊙O中，弦AB＝弦CD， 求证(qiúzhèng)：(1)弧DB＝弧AC；
(2)∠BOD＝∠AOC.
证明(zhèngmíng)：（1）∵在⊙O中，弦AB=弦CD，
∴ AB=C.D
∵
，
BC=CB
中考数学复习方案 第六单元 圆 第24课时 圆的有关概念与性质数学课件
C.圆中最长的弦是直径
D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧
7.一条弦把圆分成1∶5两部分,则这条弦所对的圆周角的度数是 30°或150° .
8.[2018·孝感]已知☉O的半径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16 cm,
CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
简言之,对于①过圆心、②垂直弦、③平分弦(不是直径)、④平分弦所
总结
对的优弧、⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立,那么其他的结论
也成立
考点四 圆周角定理及其推论
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑭ 一半
常见图形
推论1
∴∠ADC=180-70°=110°.
图24-11
2.[2014·江西 12 题]如图 24-12,△ ABC 内接 [答案] 60°
于☉O,AO=2,BC=2 3,则∠BAC 的度数
为
[解析]如图所示,连接 BO 并延长交☉O
于点 D,连接 CD,则 BD=2AO=4,
∠BDC=∠BAC.由 BD 为☉O 的直径,
圆弧(),点 O 是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m,
[解析]连接OD.由垂径定理可
知O,C,D三点在同一条直线
点 C 是的中点,点 D 是 AB 的中点,且 CD=10 m, 上,OC⊥AB.设圆的半径为r,
则这段弯路所在圆的半径为 (
则OC=OA=r,AD=20 m,
)
OD=OC-CD=r-10.在
★★★
考点聚焦
考点一 圆的有关概念及性质
1.圆:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形
D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧
7.一条弦把圆分成1∶5两部分,则这条弦所对的圆周角的度数是 30°或150° .
8.[2018·孝感]已知☉O的半径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16 cm,
CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
简言之,对于①过圆心、②垂直弦、③平分弦(不是直径)、④平分弦所
总结
对的优弧、⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立,那么其他的结论
也成立
考点四 圆周角定理及其推论
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑭ 一半
常见图形
推论1
∴∠ADC=180-70°=110°.
图24-11
2.[2014·江西 12 题]如图 24-12,△ ABC 内接 [答案] 60°
于☉O,AO=2,BC=2 3,则∠BAC 的度数
为
[解析]如图所示,连接 BO 并延长交☉O
于点 D,连接 CD,则 BD=2AO=4,
∠BDC=∠BAC.由 BD 为☉O 的直径,
圆弧(),点 O 是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m,
[解析]连接OD.由垂径定理可
知O,C,D三点在同一条直线
点 C 是的中点,点 D 是 AB 的中点,且 CD=10 m, 上,OC⊥AB.设圆的半径为r,
则这段弯路所在圆的半径为 (
则OC=OA=r,AD=20 m,
)
OD=OC-CD=r-10.在
★★★
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考点一 圆的有关概念及性质
1.圆:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形
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在同圆或等圆 中，如果两个圆心角﹑两条弧或两 ．．．．． 推论 条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组 量也分别相等.
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第23课时┃ 圆的有关性质
考点5 圆周角
圆上 ，并且两边____________ 都和圆相交 的角叫 顶点在________
定义 定理 推论 1 推论 2 推论 3
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第23课时┃ 圆的有关性质
考点3
圆的基 垂径 定理
垂径定理及其推论
中心 对称图形， 圆既是一个轴对称图形又是一个________ 圆还具有旋转
本性质 不变性.
平分弦 ，并且平分弦所对的两条弧. 垂直于弦的直径________
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦， 并且平分弦所对的另
图 23－3
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第23课时┃ 圆的有关性质
解 析
根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，由弦心
距 OD＝OE 可得 BC＝AC，由 AB＝BC，可得弦 AB＝BC，根据 三边的相等关系可判断出△ ABC 的形状．
解
∵OD、 OE 是弦心距， OD＝OE， ∴BC＝AC.∵AB＝BC， ∴AB＝BC，∴AB＝BC＝CA，∴△ABC 是等边三角形．
本题没有明确谁是直角边和斜边， 因此要分类讨论， 容易出 现漏解的情况．
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第23课时┃ 圆的有关性质
探究二 垂径定理及其推论
命题角度： 1．垂径定理的应用； 2．垂径定理的推论的应用．
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第23课时┃ 圆的有关性质
例 2 [2013· 广安] 如图 23－1， 已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直， 垂足为点 C， 若 AB＝8 cm， CD＝3 cm，则圆 O 的半径为( A ) 25 A. cm B．5 cm 6 19 C．4 cm D. cm 图 26－3 6 1 连接 OA， 由垂径定理， 得 AC＝ AB＝4 cm， 解 析 2 设 OA＝x cm，则 OC＝(x－3)cm，在直角三角形 OAC 中， 25 2 2 2 由勾股定理，得(x－3) ＋4 ＝x ，解得 x＝ ，故选 A. 6
由 AB 是⊙O 的直径知∠ADB＝90°，因为 解 析 ∠ABD＝ 58 °，所以∠BAD＝∠BCD＝ 90 °－ 58 °＝ 32 ° . 故选 B.
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第23课时┃ 圆的有关性质
2．如图 23－8，四边形 ABCD 是圆内接四边形，E 是 BC 延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE 的大小是( B ) A．115° B．105° C．100° D．95°
图 23－2 A．4 2 B．8 2 C．2 5 D．4 5
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第23课时┃ 圆的有关性质
探究三
圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度： 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．
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第23课时┃ 圆的有关性质
︵ ＝BC ︵ ，OD、OE 是弦心 例 3 [教材母题] 如图 23－3，AB 距，OD＝OE，那么△ ABC 是什么三角形，为什么？
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பைடு நூலகம்
第23课时┃ 圆的有关性质
当 堂 检 测
1．如图 23－7，若 AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦， ∠ABD＝58°，则∠BCD＝( B ) A．116° B．32° C．58° D．64°
图 23－7
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第23课时┃ 圆的有关性质
斜边长＝ 162＋122＝20，因此，这个三角形的外接圆半径 为 10. 综上所述，这个三角形的外接圆半径等于 8 或 10. 故答案为 10 或 8.
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第23课时┃ 圆的有关性质
1．过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段 的垂直平分线确定圆心即可， 没有必要作出第三条线段的垂直平 分线．事实上，三条垂直平分线交于同一点． 2．直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．
做圆周角. 在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的________. 一半 在 同圆或 等圆中 ，同 弧或等 弧所对 的圆 周角
相等 ，相等的圆周角所对的弧________. 相等 ________
直角 ；90°的 半圆(或直径)所对的圆周角是 ________
直径 圆周角所对的弦是________.
推论
一条弧． 对于①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径的弦)；④平分弦 所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立，那么其他 的结论也成立
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第23课时┃ 圆的有关性质
考点4 圆心角、弧、弦之间的关系
弧 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的________ ．．．．． 定理 弦 相等. 相等，所对的________
例 5 [2013· 苏州] 如图 23－5，AB 是半圆的直径，点 D 是弧 AC 的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB 等于( C ) A．55° B．60° C．65° D．70°
图 23－5
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第23课时┃ 圆的有关性质
连接 BD，由点 D 是弧 AC 的中点，得∠ABD＝ 解 析 1 ∠CBD＝ ∠ABC＝25°，又 AB 是半圆的直径，所以∠ADB 2 ＝90°，∠DAB＝90°－25°＝65°，故选 C.
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么 直角 三角形. 这个三角形是________
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第23课时┃ 圆的有关性质
考点6 圆内接四边形
概念
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形 叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
对角互补 ，并且一个外角等于它的 圆内接四边形的 ____________ 内对角 ____________.
考 点 聚 焦
考点1
圆 的 定 义 定义 2 弦 直径 弧
圆的有关概念
在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋
定义 1 转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．固定的 端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径． 圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
线段 叫做弦. 连接圆上任意两点的________ 圆心 的弦叫做直径. 经过________
直径是圆中最长的弦． 圆上任意两点间的部分叫做弧．
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第23课时┃ 圆的有关性质
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条 半圆 弧都叫半圆． 1. 大于半圆的弧叫做优弧； 2. 小于半圆的弧叫做劣弧.
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第23课时┃ 圆的有关性质
考点2
图 23－8
中考解读 皖考解读
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第23课时┃ 圆的有关性质
解 析
因为四边形 ABCD 是圆内接四边形，E 是 BC 延
长线上一点，所以∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的外角，所 以∠DCE＝∠BAD＝105°.
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第23课时┃ 圆的有关性质
垂径定理及其推论是证明两线段相等、两条弧相等及两 直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常 常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
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第23课时┃ 圆的有关性质
变式题 [2013· 潍坊] 如图 23－2，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且 BP∶AP＝1∶5，则 CD 的 长为( D )
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探究一 确定圆的条件
命题角度： 1．确定圆的圆心、半径； 2．三角形的外接圆圆心的性质．
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第23课时┃ 圆的有关性质
例 1 [2012·资阳] 直角三角形的两边长分别为 16 和 12， 则此三角形的外接圆半径是__________ 10或8 ．
解 析 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么 半径为斜边的一半，分两种情况： ①当直角三角形的斜边长为 16 时，这个三角形的外接 圆半径为 8； ②当两条直角边长分别为 16 和 12 时，则直角三角形的
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考纲要求 理解
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第23课时┃ 圆的有关性质
例 4 [2013· 无锡] 如图 23－4，A、B、C 是⊙O 上的三 点，且∠ABC＝70°，则∠AOC 的度数是( B ) A．35° B．140° C．70° D．70°或 140°