高一数学知识点

高一数学

必修1

一、函数知识结构：

1、定义：集合A 到集合B 的函数（f ：A →B ）:⎩

⎨⎧对应中唯一中任一为非空数集

y B x A B A ,,

2、三要素：⎪⎩

⎪

⎨⎧的关系式）与对应关系（的取值集合）值域（函数值的取值集合）定义域（自变量

x y y x

3、性质：⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧=-=-⎪⎩⎪⎨

⎧><<<，则函数为偶函数若，则函数为奇函数若意的奇偶性：对定义域中任则若的任意单调递减：对定义域内

则若的任意单调递增：对定义域内单调性)()()()(,)()()()(21,2,2,121,2,2,1x f x f x f x f x x f x f x x x x x f x f x x x x

4、函数类型：（1）基本初等函数：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈=≠=≠=≠=≠++=≠+=)

(:6)1,0(log :5)1,0(:)4()

0(:3)0(:2)0(:12R a x y a a x y a a a y k x

k y a c bx ax y k b kx y a a x ）幂函数（且）对数函数（且指数函数）反比例函数（）二次函数（）一次函数（ （2）分段函数：v 子型函数：x y = (3)复合函数：例：)12(log 2+=x y ；x x y 22

2-= （4）组合函数：对勾函数：x

x y 1+= 5、函数的应用：函数的零点：

（1）函数与方程关系：

（2）零点存在性定理：

二、函数的解题思路：

1、求函数定义域：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨

⎧

≠≠≥≠)0;1,0(log :010)4()0(3)0,:02)0(1:010 N a a N a a a n a a a a n 且，真数大于且不等于对数式的底数大于

）（为偶数（于等于）偶次根号下的式子大（）分式的分母不为（

2、作图像的方法：

（1）描点法：⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧====)

1,1(:61log ,01log :51:)4(:3,:2:11

0）幂函数（两点）对数函数（，两点指数函数两点

）反比例函数（轴的交点顶点，与）二次函数（轴的交点）轴、两点（一般选与）一次函数（a a a a y x y x a a （2）变换作图：

①平移变换（左加右减，上加下减）

)()0()0()

(a x f y a a a a x f y +==个单位

平移图像向右个单位平移图像向左

b x f y b b b b x f y +==)()0()0()

(个单位

平移图像向下个单位

平移图像向上

②翻折变换

)()0)

(x f y y x y x f y =≥=轴对称的图像把右端的图像再做关于的图像，

轴右端（保留

)()0)

(x f y x x y x x f y =≥=轴上端去

轴下端的图像翻折到把原来的图像，

轴上端（保留

③对称变换⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧==-====)-(-)()()

()(-)(x f y x f y x f y y x f y x f y x x f y 关于原点对称轴对称

关于轴对称

关于 3、求函数的解析式：

（1）待定系数法：知道函数的类型 （2）复合函数求解析式

①代入法：知道f[(g(x)]的解析式，求f(x)的解析式

②换元法：知道f(x)的解析式，求f[(g(x)]的解析式

（3）分段函数求解析式法：利用函数的奇偶性：奇：)()(x f x f --=； 偶)()(x f x f -= （4）联立方程组法： 4、求函数的值域，最值： （1）图像法

（2）利用函数的单调性法:

若函数f(x)在[a,b]为增函数，则=min )(x f f(a),=max )(x f f(b).

(3)有界函数法：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧≥≥≥040302012 x a x x x ）（）（）（）（

(4)利用不等式的性质：不等式⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

>>⎩⎨

⎧⋅⋅⋅>⋅>>+>+>b a b a c b c a c c b c a c b a c b c a b a 110,03,0,0,2,1

则）若（则若则若则）若（则）若（ 5、函数的单调性的判断：（函数单调区间之间用逗号隔开） （1）图像法 （2）定义法证明：

证明函数y=f(x ）在区间I 上的单调性： ①设I x x ∈21，且21x x ②作差：=-)()(21x f x f

③变形：通分，合并同类项，提公因式，完全平方式等 ④定号 ⑤写结论

（3）组合函数单调性的判断：增+增=增；减+减=减；

—增=减； —减+增；

减增=1； 增

减=1。

（4）复合函数单调性的判断：

复合函数y=f[g(x)]由外函数y=f(t)与内函数t=g(x)复合而成： ①若外函数y=f(t)是增函数，则内函数t=g(x)的单调性就是复合函 数y=f[g(x)]的单调性

②若外函数y=f(t)是减函数，则内函数t=g(x)的单调性与复合函数 y=f[g(x)]的单调性相反

6、函数奇偶性的判断：（注意定义域一定关于原点对称） （1）图像法：

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称 （2)定义法证明：⎩⎨⎧=-=-（奇）（偶）或

证明称证明定义域关于原点对

)(-)()()(x f x f x f x f

（3）基本初等函数的奇偶性

①)0(:≠+=k b kx y 一次函数是奇函数⇔b=0 ②)0(:2≠++=a c bx ax y 二次函数是偶函数⇔b=0

③)(:R a x y a ∈=幂函数⎩⎨

⎧为偶数

是偶函数，为奇数是奇函数，a a

（4）组合函数的奇偶性判断：

奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 （5）复合函数的奇偶性：定义法 例：函数y=log a

1

1

+-x x ，)1(log )(2x x x f a -+=都是奇函数 函数y=2

x x e e -+是偶函数，y=2-x

x e e -是偶函数