15.4角的平分线(2)

课堂小结
本节课主要学习了哪些知识？ 你获得了哪些成功的经验？
作业：
课本P144练习第2题.
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.求证:PD=PE.
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
A
D
O
1 2
P
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） C ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证） ∵ ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） (3)验证猜想: ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
E
B
活 动
角平分线上的 点到角两边的 距离相等.
A
几何语言: ∵OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE
1
D P
2
C
B
O
E
Baidu Nhomakorabea
E
A C P
实践与应用
O 判断正误，并说明理由： 图1 F B A （1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA， E PF⊥OB，则PE=PF. C （2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上 P 的一点，E、F分别在OA、OB上，则 PE=PF. F B O 图2 （3）如图3，在∠AOB的平分线OC上 A 任取一点P，若P到OA的距离为3cm， E C 则P到OB的距离也为3cm. P O
{
变题1：如图，△ABC中，AD是 ∠BAC的平分线， ∠C＝90°， A DE⊥AB于E，F 在AC上，且BD=DF， 求证：CF=EB.
F
E D B
变题2：如图，△ABC中， AD是∠BAC的平分线， ∠C＝90°，DE⊥AB于E， BC=8，BD=5，求DE.
A
C E
C
D
B
问题1： 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路 和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这 个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
O
s
D C
解：作夹角的角 平分线OC，截取 OD=2.5cm， 即D 为所求.
问题2 如图,已知两条公路OA、OB相交于O，两个村 庄C、D在公路附近，现在要建一个商店P，使P到两条 公路的距离相等且P到两个村庄的距离也相等.
B
P
O C●
D●
A
解：（1）连接CD，作线段CD的垂直平分线； （2）作∠AOB的平分线，交CD的垂直平分线于点P. 即图中点P就是所要求作的商店.
图3
B
A
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，AD E 是它的角平分线，且BD=CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别是E，F.求证：EB=FC. B
F C
D
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB,DF⊥AC ∴DE=DF 在Rt△BDE和Rt△CDF中 ∴△BDE≌△CDF(HL) BD=CD ∵ ∴EB=FC DE=DF
B
N
O
活 动
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三 角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察 两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
探究角平分线的性质
•你能写出你猜想的题设和 结论，并能证明你的猜想 吗？
活 动
探究角平分线的性质
15.4 角的平分线(2)
复习作已知角的平分线的方法
角平分线的画法： (1)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB 于 N． (2)分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作 弧．两弧在∠AOB的内部交于C． A
(3)作射线OC，
则射线OC即为所要求
M
C
的∠AOB的角平分线.
你也来试一试！