§3.3 导数的综合应用(
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基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数证明不等式
思维启迪 解析 思维升华
【例2】
已知定义在正实数集 1 2 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 2 ＝3a2ln x＋b，其中a>0.设两 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 点，且在该点处的切线相 同． (1)用a表示b，并求b的最大 值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
h′(t)<0.思想方法基础知识题型分类
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数证明不等式
思维启迪 解析
【例2】
思维升华 已知定义在正实数集 1 1 2 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 故 h(t)在(0， e 3 )上为增函数， 2 1 2 ＝3a ln x＋b，其中a>0.设两 在(e 3 ，＋∞)上为减函数， 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 于是 h(t)在(0， ＋∞)上的最 点，且在该点处的切线相 2 1 3 3)＝ e 3 ， 大值为 h (e 同． 2 (1)用a表示b，并求b的最大 3 2 即 b 的最大值为2e3. 值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
(2013· 浙江)已知函数y＝f(x)的图象是
下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的 图象如图所示，则该函数的图象是 ( B )
A项，在x＝0时变化率最小，故错误；
C项，变化率是越来越大的，故错误；
D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．
基础知识
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而 f(0)＝0，所以 f(x)>0，即 tan x3 故 tan x>x＋ 3 .
基础知识
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题型三 利用导数求参数的取值范围
思维启迪 解析 思维升华
【例3】 已知函数f(x)＝ ln x＋a 1 ( a ∈ R) ， g ( x ) ＝ . x x (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)若函数f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0，e2]上有 公共点，求实数a的取值范 围．
或 x0＝－3a(舍去)．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数证明不等式
思维启迪 解析
【例2】
思维升华 已知定义在正实数集 1 2 2 2 1 2 即有 b ＝ a ＋ 2 a － 3 a ln a＝ 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 2 2 5 2 2 2 a － 3 a ln a. ＝3a ln x＋b，其中a>0.设两 2 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 令 h(t)＝5t2－3t2ln t(t>0)， 2 点，且在该点处的切线相 则 h′(t)＝2t(1－3ln t)． 同． 于是当 t(1 － 3ln t)>0 ，即 1 (1)用a表示b，并求b的最大 0<t<e 3 时，h′(t)>0； 1 值； 当 t(1－3ln t)<0， 即 t>e 3 时， (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
题型一 利用导数识辨图象
思维升华
导函数的增减与函数的增减没有必然关系，导函数值
的正负决定着函数的增减，即导函数值为正，函数为增函数，导 函数值为负，函数为减函数．导数值的大小决定原函数图象切线 斜率的大小．
基础知识
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题型分类·深度剖析
跟踪训练1 (1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数， 则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是 ( )
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数证明不等式
思维启迪 解析
【例2】
思维升华 已知定义在正实数集 1 2 (2)证明 设 F(x)＝f(x)－g(x) 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 1 2 2 2 ＝ x ＋ 2 ax － 3 a ln x － 2 2 ＝3a ln x＋b，其中a>0.设两 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 b(x>0)， 3a2 点，且在该点处的切线相 则 F′(x) ＝ x ＋ 2a － x ＝ 同． x－ax＋3a (x>0)． x (1)用a表示b，并求b的最大 故 F(x)在(0，a)上为减函数， 值； 在(a，＋∞)上为增函数． (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
基础知识 题型分类
(1)设公共点为(x0， y0)， 则 f(x0) ＝ g(x0) 且 f′(x0) ＝ g′(x0)可得 a，b 的关系；
(2) 构造 函数 F(x) ＝ f(x) － g(x)，求 F(x)的最值．
思想方法
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题型二 利用导数证明不等式
思维启迪 解析
【例2】
题型分类 思想方法 练出高分
知识回顾 理清教材
基础知识
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1) √ (2) √ (3) × (4) × (5) × (6) ×
解析
D D (－2,2)
f(a)<f(b)
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题型一
【例1】
思维升华 已知定义在正实数集 设两曲线的公共点为(x0，y0)， 1 2 3a2 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 2 f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝ x ， ＝3a2ln x＋b，其中a>0.设两 由题意知 f(x0)＝g(x0)， 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 f′(x0)＝g′(x0)， 点，且在该点处的切线相 1x2＋2ax ＝3a2ln x ＋b， 0 0 2 0 同． 即 2 3 a x0＋2a＝ x . (1)用a表示b，并求b的最大 0 值； 3a2 由 x0＋2a＝ x ，得 x0＝a 0 (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
基础知识
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解析
(1)因为函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)在区间[a，b]上是增函数，
即在区间[a，b]上各点处的斜率k是递增的，由图易知选A. 注意C中y′＝k为常数．
基础知识
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思想方法
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(2)(2012· 重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数 f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是 ( )
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题型二 利用导数证明不等式
思维启迪 解析
【例2】
思维升华 已知定义在正实数集 1 2 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 利用导数证明不等式的步骤 2 ＝3a2ln x＋b，其中a>0.设两 (1)构造新函数，并求其单调 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 区间； (2)判断区间端点函数值与 0 点，且在该点处的切线相 的关系； 同． (3)判断定义域内函数值与 0 (1)用a表示b，并求b的最大 的大小关系，证不等式． 值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
通过 F(x)的单调性和函 g(x)的图象在区间(0，e2]上有 g(x)，
公共点，求实数a的取值范 围．
基础知识 题型分类
数值的变化研究 f(x)、g(x)的 交点情况．
思想方法
练出高分
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题型三 利用导数求参数的取值范围
思维启迪 解析 思维升华
【例3】 已知函数f(x)＝ ln x＋a 1 ( a ∈ R) ， g ( x ) ＝ . x x
思维启迪
作选图题要明确原函数的性质，以此为依据，结合
函数值的大小进行选择．
解析 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．
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题型分类·深度剖析
题型一
【例1】
利用导数识辨图象
利用导数识辨图象
(2013· 浙江)已知函数y＝f(x)的图象是
下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的 图象如图所示，则该函数的图象是 ( )
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题型一
【例1】
利用导数识辨图象
(2013· 浙江)已知函数y＝f(x)的图象是
下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的 图象如图所示，则该函数的图象是 ( )
即
π x∈0，2 时，f(x)为增函数． π x∈0，2 时，f(x)>f(0)．
所以
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跟踪训练2 π x3 当0<x< 时，求证：tan x>x＋ . 2 3
3 x x ＋ x－ >0. 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
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题型二 利用导数证明不等式
思维启迪 解析
【例2】
思维升华 已知定义在正实数集 1 2 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 于是 F(x)在(0，＋∞)上的最 2 ＝3a2ln x＋b，其中a>0.设两 小值是 F(a) ＝ F(x0) ＝ f(x0) － 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 g(x0)＝0. 点，且在该点处的切线相 故 当 x>0 时 ， 有 f(x) － 同． g(x)≥0， (1)用a表示b，并求b的最大 即当 x>0 时，f(x)≥g(x)． 值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
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题型二 利用导数证明不等式
思维启迪 解析 思维升华
【例2】
已知定义在正实数集 1 2 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 2 ＝3a2ln x＋b，其中a>0.设两 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 点，且在该点处的切线相 同． (1)用a表示b，并求b的最大 值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
数学
川（理）
§3.3 导数的综合应用
第三章 导数及其应用
基础知识·自主学习
要点梳理
1．不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或 最值问题． (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将 参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 2．研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还 是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的 思想找到解题思路，因此使用的知识还是函数的单调性和极 值的知识．
基础知识
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题型分类·深度剖析
解析 (2) ∵f(x)在x＝－2处取得极小值，
∴当x<－2时，f(x)单调递减，
即f′(x)<0；当x>－2时，f(x)单调递增，即f′(x)>0.
∴当x<－2时，y＝xf′(x)>0； 当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0； 当－2<x<0时，y＝xf′(x)<0； 当x＝0时，y＝xf′(x)＝0； 当x>0时，y＝xf′(x)>0. 结合选项中图象知选C.
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题型三 利用导数求参数的取值范围
思维启迪 解析 思维升华
【例3】 已知函数f(x)＝ ln x＋a 1 ( a ∈ R) ， g ( x ) ＝ . x x
(1)解 f′(x)＝0， 根据函数值 的变化 得到单调区间、 极
(1)求f(x)的单调区间与极值； 值； (2)若函数f(x)的图象与函数 (2) 构 造 函 数 F(x) ＝ f(x) －
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题型分类·深度剖析
π x3 跟踪训练2 当0<x< 时，求证：tan x>x＋ . 2 3 3 x 证明 设 f(x)＝tan x－ x＋ ， 3 1 则 f′(x)＝cos2x－1－x2＝tan2x－x2 ＝(tan x－x)(tan x＋x)． π 因为 0<x<2，所以 x<tan x(简单进行证明亦可)， 所以 f′(x)>0，
(1)函数 f(x)的定义域为(0， ＋∞)，
1－ln x＋a f′(x)＝ . 2 x (1)求f(x)的单调区间与极值； 令 f′(x)＝0，得 x＝e1－a， 1－a 当 x ∈ (0 ， e )时， f′(x)>0， (2)若函数f(x)的图象与函数
g(x)的图象在区间(0，e2]上有 f(x)是增函数； 公共点，求实数a的取值范 围．
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题型二 利用导数证明不等式
思维启迪 解析 思维升华
【例2】
已知定义在正实数集 1 2 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 2 ＝3a2ln x＋b，其中a>0.设两 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 点，且在该点处的切线相 同． (1)用a表示b，并求b的最大 值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
h′(t)<0.思想方法基础知识题型分类
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题型二 利用导数证明不等式
思维启迪 解析
【例2】
思维升华 已知定义在正实数集 1 1 2 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 故 h(t)在(0， e 3 )上为增函数， 2 1 2 ＝3a ln x＋b，其中a>0.设两 在(e 3 ，＋∞)上为减函数， 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 于是 h(t)在(0， ＋∞)上的最 点，且在该点处的切线相 2 1 3 3)＝ e 3 ， 大值为 h (e 同． 2 (1)用a表示b，并求b的最大 3 2 即 b 的最大值为2e3. 值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
(2013· 浙江)已知函数y＝f(x)的图象是
下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的 图象如图所示，则该函数的图象是 ( B )
A项，在x＝0时变化率最小，故错误；
C项，变化率是越来越大的，故错误；
D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．
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而 f(0)＝0，所以 f(x)>0，即 tan x3 故 tan x>x＋ 3 .
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【例3】 已知函数f(x)＝ ln x＋a 1 ( a ∈ R) ， g ( x ) ＝ . x x (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)若函数f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0，e2]上有 公共点，求实数a的取值范 围．
或 x0＝－3a(舍去)．
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【例2】
思维升华 已知定义在正实数集 1 2 2 2 1 2 即有 b ＝ a ＋ 2 a － 3 a ln a＝ 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 2 2 5 2 2 2 a － 3 a ln a. ＝3a ln x＋b，其中a>0.设两 2 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 令 h(t)＝5t2－3t2ln t(t>0)， 2 点，且在该点处的切线相 则 h′(t)＝2t(1－3ln t)． 同． 于是当 t(1 － 3ln t)>0 ，即 1 (1)用a表示b，并求b的最大 0<t<e 3 时，h′(t)>0； 1 值； 当 t(1－3ln t)<0， 即 t>e 3 时， (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
题型一 利用导数识辨图象
思维升华
导函数的增减与函数的增减没有必然关系，导函数值
的正负决定着函数的增减，即导函数值为正，函数为增函数，导 函数值为负，函数为减函数．导数值的大小决定原函数图象切线 斜率的大小．
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跟踪训练1 (1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数， 则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是 ( )
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【例2】
思维升华 已知定义在正实数集 1 2 (2)证明 设 F(x)＝f(x)－g(x) 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 1 2 2 2 ＝ x ＋ 2 ax － 3 a ln x － 2 2 ＝3a ln x＋b，其中a>0.设两 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 b(x>0)， 3a2 点，且在该点处的切线相 则 F′(x) ＝ x ＋ 2a － x ＝ 同． x－ax＋3a (x>0)． x (1)用a表示b，并求b的最大 故 F(x)在(0，a)上为减函数， 值； 在(a，＋∞)上为增函数． (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
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(1)设公共点为(x0， y0)， 则 f(x0) ＝ g(x0) 且 f′(x0) ＝ g′(x0)可得 a，b 的关系；
(2) 构造 函数 F(x) ＝ f(x) － g(x)，求 F(x)的最值．
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题号
1 2 3 4 5
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(1) √ (2) √ (3) × (4) × (5) × (6) ×
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f(a)<f(b)
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【例1】
思维升华 已知定义在正实数集 设两曲线的公共点为(x0，y0)， 1 2 3a2 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 2 f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝ x ， ＝3a2ln x＋b，其中a>0.设两 由题意知 f(x0)＝g(x0)， 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 f′(x0)＝g′(x0)， 点，且在该点处的切线相 1x2＋2ax ＝3a2ln x ＋b， 0 0 2 0 同． 即 2 3 a x0＋2a＝ x . (1)用a表示b，并求b的最大 0 值； 3a2 由 x0＋2a＝ x ，得 x0＝a 0 (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
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解析
(1)因为函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)在区间[a，b]上是增函数，
即在区间[a，b]上各点处的斜率k是递增的，由图易知选A. 注意C中y′＝k为常数．
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(2)(2012· 重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数 f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是 ( )
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【例2】
思维升华 已知定义在正实数集 1 2 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 利用导数证明不等式的步骤 2 ＝3a2ln x＋b，其中a>0.设两 (1)构造新函数，并求其单调 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 区间； (2)判断区间端点函数值与 0 点，且在该点处的切线相 的关系； 同． (3)判断定义域内函数值与 0 (1)用a表示b，并求b的最大 的大小关系，证不等式． 值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
通过 F(x)的单调性和函 g(x)的图象在区间(0，e2]上有 g(x)，
公共点，求实数a的取值范 围．
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数值的变化研究 f(x)、g(x)的 交点情况．
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【例3】 已知函数f(x)＝ ln x＋a 1 ( a ∈ R) ， g ( x ) ＝ . x x
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作选图题要明确原函数的性质，以此为依据，结合
函数值的大小进行选择．
解析 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．
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【例1】
利用导数识辨图象
利用导数识辨图象
(2013· 浙江)已知函数y＝f(x)的图象是
下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的 图象如图所示，则该函数的图象是 ( )
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【例1】
利用导数识辨图象
(2013· 浙江)已知函数y＝f(x)的图象是
下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的 图象如图所示，则该函数的图象是 ( )
即
π x∈0，2 时，f(x)为增函数． π x∈0，2 时，f(x)>f(0)．
所以
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跟踪训练2 π x3 当0<x< 时，求证：tan x>x＋ . 2 3
3 x x ＋ x－ >0. 3
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【例2】
思维升华 已知定义在正实数集 1 2 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 于是 F(x)在(0，＋∞)上的最 2 ＝3a2ln x＋b，其中a>0.设两 小值是 F(a) ＝ F(x0) ＝ f(x0) － 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 g(x0)＝0. 点，且在该点处的切线相 故 当 x>0 时 ， 有 f(x) － 同． g(x)≥0， (1)用a表示b，并求b的最大 即当 x>0 时，f(x)≥g(x)． 值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
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题型二 利用导数证明不等式
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【例2】
已知定义在正实数集 1 2 上的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x) 2 ＝3a2ln x＋b，其中a>0.设两 曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共 点，且在该点处的切线相 同． (1)用a表示b，并求b的最大 值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
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基础知识·自主学习
要点梳理
1．不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或 最值问题． (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将 参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 2．研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还 是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的 思想找到解题思路，因此使用的知识还是函数的单调性和极 值的知识．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
解析 (2) ∵f(x)在x＝－2处取得极小值，
∴当x<－2时，f(x)单调递减，
即f′(x)<0；当x>－2时，f(x)单调递增，即f′(x)>0.
∴当x<－2时，y＝xf′(x)>0； 当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0； 当－2<x<0时，y＝xf′(x)<0； 当x＝0时，y＝xf′(x)＝0； 当x>0时，y＝xf′(x)>0. 结合选项中图象知选C.
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题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求参数的取值范围
思维启迪 解析 思维升华
【例3】 已知函数f(x)＝ ln x＋a 1 ( a ∈ R) ， g ( x ) ＝ . x x
(1)解 f′(x)＝0， 根据函数值 的变化 得到单调区间、 极
(1)求f(x)的单调区间与极值； 值； (2)若函数f(x)的图象与函数 (2) 构 造 函 数 F(x) ＝ f(x) －
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题型分类·深度剖析
π x3 跟踪训练2 当0<x< 时，求证：tan x>x＋ . 2 3 3 x 证明 设 f(x)＝tan x－ x＋ ， 3 1 则 f′(x)＝cos2x－1－x2＝tan2x－x2 ＝(tan x－x)(tan x＋x)． π 因为 0<x<2，所以 x<tan x(简单进行证明亦可)， 所以 f′(x)>0，
(1)函数 f(x)的定义域为(0， ＋∞)，
1－ln x＋a f′(x)＝ . 2 x (1)求f(x)的单调区间与极值； 令 f′(x)＝0，得 x＝e1－a， 1－a 当 x ∈ (0 ， e )时， f′(x)>0， (2)若函数f(x)的图象与函数
g(x)的图象在区间(0，e2]上有 f(x)是增函数； 公共点，求实数a的取值范 围．