计算方法-曲线拟合a

Y a bT 就是个线性拟合问题
3. 改造数据表， 并方程求解
i Ti=1/ti Yi=1/yi 1 1.00000 0.25000 2
线性化 …
1 y
b t
1 1 y t 性方程组 !求解太难拉！
3 0.33333 0.12500 … … … 16 0.06250 0.09434
0.50000 0.15625
(3) || x y || || x || || y || （三角不等式
|| x ||1
/* triangle inequality */ )
|x
i 1
n
i
|
|| x || 2

n
i1
| xi |
2
|| x || max | x i |
1 i n
曲线拟合类型 1. | P ( xi ) yi | =min: L1拟合/* L1 approximation */ 2. | P ( xi ) yi |2=min: 最小二乘法拟合 /* Least-Squares method */ 3. max | P ( x i ) yi | =min:最佳一致逼近 /* Optimal uniform 1 i m approximation */ 或 最大极小化问题 /* minimax problem */
经验公式为:
xi
y≈φ(x)=95.3524+2.2337x
36.9 46.7 63.7 77.8 84.0 87.5
4.误差检验。
φ(xi)
δi
177.78
-3.22
199.67
2.67
237.64
2.64
269.13
-0.87
282.98
-0.02
290.80
-1.20
4.1 Lb=0.16272255 。
y
t 0.08017446t 0.16272255
4.1 L-S Approximation
方案二：设 y φ ( x ) a e
b/ x
( a > 0, b < 0 )
线性化：由 ln y ln a b 可做变换 Y ln y , x 1 X x , A ln a Y A bT 就是个线性问题 改造数据表，并 方程求解
j 0 j
m
n
k
)a j ( y , k ) k 0 ,1,...,n
φ ) 记(φj,φk)= j(xi) φk(xi, (y,φk)=
i 1
m

i 1
yiφk(xi)
4.1 L-S Approximation
矩阵形式方程
( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , n ) a 0 ( 0 ,y ) ( , ) ( , ) ( , ) a ( ,y ) 1 1 1 n 1 1 1 0 ( n , 0 ) ( n , 1 ) ( n , n ) a n ( n ,y )
k 0
m
i 1
Φ常采用幂函数、三角函数、指数函数、有理函数等
I ( a0 , a1 ,...an ) [a00 ( xi ) a11 ( xi ) an n ( xi ) - yi ]2 i 1 I 0 , k 0 , ... , n 在 I的极值点应有 ak
定理 当φ0,φ1,…, φn线性无关时法方程存在唯一解。
证明：法方程组的系数矩阵A是对称正定的: 由(φj, φk)=(φk, φj) 法方程组(或正规方程组) 知Ａ是对称的；对任意非零向量c，因函数φ0,φ1,…, φn线性无 回归系数 /* normal /* regression coefficients */ 关，必然有 equations */ n u( x ) ck k ( x ) 0 因此二次型
m
m n m ( xi ) I 2 [ a j φj(xi) y i ]φk(xi) 0 2 [( xi ) yi ] ak ak i 1 i 1 j 0

2

n
j 0
aj
φ j(xi) φk(xi) yiφk(xi)
i 1 i 1
m
m
( ,
解:1.将数据绘制在坐标纸上，如下图所示。 2. 确定拟合曲线的形式。由图可看出， 数据点位于一条直线附近，故可用线性 函数来拟合，即令 φ(x)=a0+a1x 3. 建立法方程组，并求解。
最大误差= max i 6a0 396 .9a1 1458 1 i 6 a0 95 .3524 , a1 2.2337 2 均方误差= ＝3.22 28 396 .9a0 28365 .a1i 101176 .3 ＝5.16
向量的范数 /* Norms of Vectors */
定义 Rn空间的向量范数 || · 对任意 x, y R n 满足下列条件： ||
(1) || x || 0 ; || x || 0 x 0 （正定性 /* positive definite */ ) (2) || x || | | || x || 对任意 C (齐次性 /* homogeneous */ )
I 0 a I 0 b
ti t i2 2 ( yi ) 0 2 i 1 ati b (ati b) 16 t ti 2 ( i yi ) 0 2 i 1 ati b (ati b)
16
Y , T ，则 线性化别急！我们可以将它 , 令 这是个关于a和b的非线 ：等价方程 a
m n i
4.1 L-S Approximation
例 某种铝合金的含铝量为x(%)，熔解温度为y(oC)，由实验测得x 与y的数据如下表。试用最小二乘法建立x与y之间的经验公式。
xi yi 36.9 181 46.7 197 63.7 235 77.8 270 84.0 283 87.5 292
x
i 1 m i 1
i
x i2 x in1
i 1 m
m x yi i 1 a0 mi 1 m a x in 1 1 yi xi i 1 i 1 a m m n 2n n y i x i xi i 1 i 1
i 1
m
i 1 m
4.1 最小二乘拟合
/* L-S approximation*/
对于一组数据(xi, yi), i=1,2,…,m, 要求在某个函数类
{ 0 ( x ) , 1 ( x ) ,..., n ( x )} (n <<m )中构造一个函数
n
( x ) ak k ( x ) ，使得 I [( xi ) - yi ]2 达到极小。 k
1.3 其他函数类作拟合函数
例 某化学反应中，测得生成物浓度y(o/oo)与时间t (min)的数据见 下表，试用最小二乘法求y与t的近似函数关系。
t y t y 1 4.00 9 10.00 2 6.40 10 10.20 3 8.00 11 10.32 4 8.80 12 10.42 5 9.22 13 10.50 6 9.50 14 10.55 7 9.70 15 10.58 8 9.86 16 10.60
i Ti=1/ti 1 1.00000 2 0.50000 3 0.33333 … … 16 0.06250
Yi=lnyi
1.38629
1.85630
2.07944
…
2.36085
A =2.4270331, b=-1.0566838, 4.误差检验。
方案 方案 1 方案 2 均方误差 1.249 0.341 最大偏差 0.560 0.277
a=eA=11.325232
y t 0.08017446t 0.16272255
√
y 11.325232e 1.0566838 / t
解:1.将数据绘制在坐标纸上。 2. 确定拟合曲线的形式。
y
y
t a at b
y a b/ t aeb (a 0, b 0)
(ti , yi) , i = 1, 2, …, m
t
4.1 L-S Approximation
方案一：设 y φ ( t )
t at b m i I (a, b) ( t yi )2 最小。 求 a 和 b 使得 at i b i 1
1.2 最小二乘拟合多项式 /* L-S approximating polynomials */ 取Φ={1,x,x2,…, xn}, 则有φ(x)=a0+a1x+…+ anxn, 而且 (φj,φk)=

i 1
m
xij+k
, (y,φk)=
m

i 1
m
yixik 。法方程为
m m x i i 1 m x n i 1 i
第四章 曲线拟合/* Approximation Theory */
仍然是已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近 似函数 P(x) f(x)。 但是
①
m 很大； ② y 本身是测量值，不准确，即 y f (x ) i i i
这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) yi 总体上尽可能小。
n n T k 0 j 0
k 0
n
c Ac (k , j )ck c j (k , c j j )ck ( ck k , u ) ( u,u ) 0
k 0 j 0 k 0
n
n
Ａ为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一解。
4.1 L-S Approximation
数学描述 对于一组实验数据(xi, yi)，寻找变量x和y之间的
函数关系y=f(x)的近似式P(x) f(x) ，要求在给定点xi上的偏
差/* deviation*/向量δ=(δ1 ,δ2,…, δm )T, δi=P(xi) - yi
(i=1,2,…,m)按某种标准最小。
Approximation Theory